Импульсная техника_Глава 2

2. Преобразования импульсов в линейных
электрических цепях.
Линейными называются преобразования, которые не добавляют в
спектр сигнала более высоких гармоник. Наиболее распространенные
линейные преобразования импульсных сигналов - это интегрирование и
дифференцирование.
2.1. Интегрирование и дифференцирование.
Как нам уже известно, спектр сигнала состоит из конечного или
бесконечного числа гармоник или синусоидальных составляющих. При
этом интегрирование сигнала можно представить как интегрирование
каждой гармоники в отдельности, а проинтегрированный сигнал – как
сумму проинтегрированных гармоник. Интеграл от каждой гармоники
sin(ω i t ) / ωi
будет иметь вид
интеграла примет вид:
вида
. Значит, спектральная функция
S инт (ω ) = S (ω ) / ω
(2.1.1)
Таким образом, интегрирование вносит в спектр сигнала затухание
1/ω.
Дифференцирование
действует
противоположно
интегрированию:
S диф (ω ) = ωS (ω )
,
а
спектральная
функция
приобретает подъем вида ω. В качестве примера рассмотрим воздействие
интегрирования и дифференцирования на прямоугольный импульс. Как
нам известно, его спектр затухает как 1/ω. Дифференцирование добавляет
подъем ω, т.е.
1
ω
⋅ω = 1
- затухание исчезает.
Незатухающим спектром обладает δ-функция или импульс бесконечно
малой длительности. В этом мы и убеждаемся, взглянув на
осциллограмму импульса до и после дифференцирующего звена
(Рис.2.1.1).
Интегрирование
прямоугольного
импульса вносит дополнительное затухание 1/ω,
а спектр приобретает вид:
1 1
1
⋅ = 2
ω ω
Рис.2.1.1
9
ω
Как мы видели ранее, такой спектр наблюдается
у импульса треугольной формы. И снова
убеждаемся в этом на осциллограмме импульса
до и после интегрирования (Рис.2.1.2).
Дифференцирование
зануляет
постоянные
составляющие сигнала, то есть
Рис.2.1.2
S диф (ω ) ω =0 = 0 .
2.2. Схемотехническая реализация дифференцирования и
интегрирования.
Схемотехнически
реализовать
интегрирование
и
дифференцирование очень просто, если вспомнить, что индуктивность и
емкость имеют дифференциальную зависимость между током и
напряжением:
U L (t ) = −
dΦ
dI
=L ;
dt
dt
U C (t ) =
Q 1
=
Idt
C C∫
τ=L/R
τ=RC
а)
б)
Рис.2.2.1 Дифференцирующие звенья
τ=RC
τ=L/R
б)
а)
Рис.2.2.2 Интегрирующие звенья.
На рисунках изображены схемы пассивных звеньяев 1-го порядка.
Дифференцирующие звенья хорошо работают при длительностях
импульса T>>τ, а интегрирующие – при T<<τ. Это легко обосновать, если
воспользоваться разложением в степенной ряд. Так, для интегрирующего
RC звена:
10
t
−

U вых = U вх 1 − e τ




t
t2
t
t
 = U вх 1 − 1 + − 2 + ...  ≈ U вх 1 −  ,

τ 2τ
τ  2τ 



где t/2τ – ошибка интегрирования первого порядка. В случае
импульса прямоугольной формы, где Uвх=const в течение действия
импульса, при t<<τ выходное напряжение является линейной
функцией от времени, что соответствует интегралу от постоянной
величины.
Свойства интегрирующих и дифференцирующих звеньев можно
также рассмотреть с помощью амплитудно-частотных и фазо-частотных
характеристик. Амплитудно-частотные характеристики имеют много
общего со спектральными функциями, рассмотренными выше.
Рассмотрим
передаточную
характеристику
простейшего
интегрирующего RC звена (Рис.2.2.2 б).
K (ω ) =
1
1
=
jωC ( R + 1 jωC ) 1 + jωτ
На постоянном токе и низких частотах, где выполняется условие
ω<<1/τ, коэффициент передачи близок к единице. На высоких частотах,
где ω>>1/τ, коэффициент передачи пропорционален 1/ω. Звено вносит в
цепь затухание -20Дб/дек (Рис.2.3). Легко заметить, что при этом K(ω) ~
Sинт(ω) (2.1.1), то есть выполняется операция интегрирования.
Рис. 2.2.3 АЧХ и ФЧХ
интегрирующего RC звена с
постоянной времени τ =10 мкс
Рис.2.2.4 АЧХ и ФЧХ
дифференцирующего RC звена с
постоянной времени τ =10 мкс
Дифференцирующее RC звено (Рис.2.2.1 б) имеет передаточную
характеристику вида:
K (ω ) =
R
1
.
=
R + 1 jωC 1 + 1 / jωτ
На постоянном токе и низких частотах, где ω<<1/τ, такое звено вносит в
цепь линейный подьем АЧХ (выполняется операция дифференцирования),
а на высоких частотах коэффициент передачи близок к единице (Рис.2.2.4).
11
Повторное интегрирование или дифференцирование увеличивает
затухание или подъем АЧХ еще на 20 Дб/дек.
Из приведенных выражений также видно, что RC звенья выполняют
функции интеграторов и дифференциаторов лишь в некоторой области
частот, а применительно к импульсным сигналам – лишь для импульсов
определенной длительности.
С применением операционных усилителей можно строить
интеграторы и дифференциаторы, обеспечивающие высокую точность
преобразования, которая сохраняется независимо от длительности
импульса при условии, что операционный усилитель не входит в
насыщение, определяемое напряжением питания.
2.3. Фильтры для импульсных сигналов.
Фильтрами называются четырехполюсники, состоящие из
линейных элементов, которые вносят коррекцию в АЧХ и ФЧХ
электрической цепи. Фильтры могут содержать и активные элементы
(транзисторы, ОУ) при условии, что они работают в линейном режиме.
Фильтры, состоящие из пассивных элементов, могут лишь вносить
ослабление сигнала в определенной области частот. Фильтры разделяют
на 4 вида: фильтры низких частот (ФНЧ), фильтры высоких частот (ФВЧ),
полосовые фильтры (ПФ) и заградительные фильтры (ЗФ). Фильтры
низких частот применяются для подавления помех, шумов, выделения
звукового сигнала при радиоприеме и т.д. Фильтры высоких частот
служат для выделения переменной составляющей сигнала, фильтрации
медленных дрейфов сигнала (температурных и т.п.), подавления
низкочастотных помех, например фона сети 50Гц. Полосовые фильтры
применяются для выделения некоторой полосы частот их широкого
частотного диапазона, например при настройке радиоприемника на
нужную радиостанцию. Заградительные фильтры наоборот, подавляют
некоторую полосу частот.
Идеальный фильтр должен иметь «прямоугольную» передаточную
характеристику, как, например, идеальный ФНЧ (Рис.2.3.1):
K(ω)=1 при ω< ω0
K(ω)=0 при ω≥ ω0
Рис.2.3.1
На
практике
невозможно
построить такой четырехполюсник,
поэтому реальные фильтры, какими бы
сложными они ни были, всегда имеют
12
конечный наклон характеристики на границе пропускания, а также
некоторую неравномерность в полосе пропускания. Требования к спаду и
неравномерности характеристики определяют сложность схемы фильтра и
необходимое количество его элементов. Число реактивных элементов
определяет порядок фильтра. Так, например, интегрирующее RC звено
является простейшим ФНЧ первого порядка с затуханием 1/ω вне рабочей
полосы частот и неравномерностью ~3 Дб в рабочей полосе частот (в
точке перегиба). Такой фильтр хорош, если полоса частот, которую нужно
подавить, отстоит далеко от полосы рабочих частот. Если же частота
«помехи» находится близко от рабочей полосы, потребуется фильтр более
высокого порядка с более крутым спадом. Таким образом, при выборе
схемы фильтра для широкополосного (импульсного) сигнала
руководствуются требованиями к равномерности АЧХ в рабочей полосе
частот и крутизне спада на границе пропускаемой полосы. Существует
еще один критерий - фазовые искажения, то есть способность фильтра
пропускать импульс, спектр которого лежит в полосе пропускания, без
искажения его формы. Искажения формы импульса вызваны разным
сдвигом фазы для каждой гармоники спектра.
В любом случае, при выборе фильтра приходится идти на
некоторый компромисс. Так, например, попытка сделать более крутой
спад без увеличения порядка фильтра приводит к увеличению
неравномерности АЧХ в рабочей полосе, и наоборот. Существует три
наиболее распространенных типа фильтров, каждый из которых
оптимально подходит для одного из критериев. Все три типа фильтров
используются для построения ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ.
Фильтр
Баттерворта обеспечивает
наиболее
плоскую
характеристику в полосе пропускания и относительно плавный спад на
границе полосы пропускания. Его фазочастотная характеристика имеет
сильную неравномерность. Передаточная характеристика фильтра
Баттерворта низких частот выглядит следующим образом:
K (ω ) =
1
1 + (ω / ωср ) 2 n
,
ωср – частота среза, а n – порядок фильтра. На рисунке 2.3.2 приведены
АЧХ фильтров низких частот Баттерворта различных порядков.
13
Рис.2.3.2
Высокая крутизна спада фильтра Баттерворта достигается ценой
значительного повышения его порядка. Однако, если допустить
некоторую неравномерность вершины АЧХ, можно обеспечить высокую
крутизну спада и фильтром более низкого порядка.
Фильтр Чебышёва дает более крутой спад на границе полосы
пропускания ценой более высокой неравномерности АЧХ в полосе
пропускания. Фазочастотная характеристика также далека от идеальной.
Передаточная характеристика фильтра
Чебышёва описывается
следующим выражением:
K (ω ) =
1
1 + ε C (ω / ωср )
2
,
2
n
где ε – константа, определяющая неравномерность АЧХ в полосе
пропускания (показатель пульсаций), Сn(x) – полином Чебышёва первого
рода степени n: С0(x)=1, С1(x)=x, Сn+1(x)=2xСn(x) – Сn-1(x).
Рис.2.3.3 ФНЧ Чебышёва
14
Как уже упоминалось, фильтры Баттерворта и Чебышёва имеют
нелинейную фазочастотную характеристику. В результате, при
прохождении через фильтр сигнала,
спектр которого лежит в полосе
пропускания, его форма будет искажена.
Это хорошо видно на переходном
процессе при воздействии на фильтр
прямоугольного импульса. На рисунке
2.3.4
показана
реакция
фильтра
Рис.2.3.4
Баттерворта 3-го порядка на единичную
ступеньку.
В некоторых случаях от фильтра требуется, помимо подавления
ненужной полосы, сохранение формы сигнала. Эту задачу выполняет
Фильтр Бесселя, отличительной особенностью которого является
максимально гладкая групповая задержка (линейная фазочастотная
характеристика).
Фильтр Бесселя используется в радиотехнике для формирования
задержек сигналов, без внесения в них фазовых искажений.
Передаточную характеристику фильтра Бесселя удобно выражать
зависимостью времени задержки от частоты:
t зад (ω ) =
t0
1 + (ω / ωср ) 2 n
Главным свойством фазовой характеристики фильтра является
равенство нулю всех производных порядка m<n, что и обеспечивает ее
линейность.
d mϕ
= 0 при m<n
dt m ω =0
На рисунке 2.3.5 показан
график амплитудно-частотной
характеристики (2) и групповой
задержки
(1)
для
низкочастотного
фильтра
Бесселя четвёртого порядка.
Спад
амплитудно-частотной
Рис.2.3.5
15
характеристики значительно менее крутой, чем у других линейных
фильтров, однако групповая задержка практически не меняется по
частотам полосы пропускания.
2.4. Схемотехническая реализация фильтров.
Ранее мы рассмотрели в качестве примера фильтра простейшее RC
звено, которое является фильтром 1-го порядка. Казалось бы,
последовательное включение таких звеньев дадут нам фильтр любого
порядка со сколь угодно высокой крутизной спада. На самом деле,
увеличение крутизны спада общей характеристики будет сопровождаться
все более плавным переходом из полосы пропускания к полосе
подавления, и добиться резкого перехода никогда не удастся. Иными
словами, на RC и RL звеньях невозможно построить фильтры Баттерворта,
Чебышева и Бесселя. В самом деле, если каждое звено имеет
характеристику вида 1/(1+jωτ), то произведение n таких характеристик не
даст выражение вида 1 (1 + (ωτ ) ) . Поэтому для построения фильтров
более 1-го порядка необходимо совместно использовать индуктивные и
емкостные элементы. При этом LC звено является фильтром второго
порядка. Фильтры нечетного порядка состоят из одного звена 1-го
порядка и нескольких LC звеньев.
Пассивные фильтры, содержащие индуктивные элементы выглядят
достаточно громоздко. Кроме того, катушки индуктивности являются
более «капризными» элементами по сравнению с конденсаторами.
Помимо больших размеров они имеют большие омические потери,
снижающие добротность, для них труднее обеспечить точность номинала,
они чувствительны к внешним магнитным полям, а также наличию
поблизости посторонних магнитопроводящих предметов, влияющих на
собственное поле катушки. Поэтому в современной электронике
наибольшее распространение получили активные фильтры на
операционных усилителях, в которых используются только конденсаторы
и резисторы. На рисунке 2.4.1 представлены базовые схемы фильтров на
ОУ, из которых, путем каскадирования, строятся любые фильтры любого
порядка.
2n
16
Рис.2.4.1 НЧ фильтры (слева) и ВЧ фильтры (справа) 2-го и 3-го
порядка.
Тип фильтра (Баттерворта, Чебышева и т.д.) достигается выбором
номиналов R и C. Аналитический расчет номиналов фильтров высокого
порядка является довольно сложной задачей. Предположим, мы
рассчитали фильтр Баттерворта второго порядка с частотой среза ω0.
Однако при каскадном соединении двух таких фильтров характеристика
получившегося фильтра будет отличаться от характеристики фильтра
Баттерворта 4-го порядка, а частота среза будет отлична от ω0. Получится
так называемый фильтр с критическим затуханием. Существует
множество программ-симуляторов для расчета элементов фильтра по
заданным параметрам, таким как неравномерность АЧХ, крутизна спада и
полоса пропускания.
На рисунках 2.4.2 и 2.4.3 для сравнения приведены осциллограммы
переходных процессов и АЧХ различных типов фильтров одного порядка.
17
Рис.2.4.2 Переходные характеристики фильтров НЧ 4го порядка при ступенчатом входном сигнале. 1 –
фильтр с критическим затуханием; 2 – фильтр Бесселя;
3 – фильтр Баттерворта; 4 – фильтр Чебышева с
неравномерностью 0,5дБ;5 – фильтр Чебышева с
неравномерностью 3дБ.
Рис.2.4.3 АЧХ фильтров 4-го (а) и 10-го (б) порядков.1 – фильтр с
критическим затуханием; 2–фильтр Бесселя; 3 – фильтр Баттерворта;
4 – фильтр Чебышева с неравномерностью 3дБ.
18