Развитие теории массопереноса в электрохимических системах

реклама
Развитие теории массопереноса
в электрохимических системах:
от фундаментальных работ
В.Г. Левича до сегодняшнего дня
Волгин В.М.
Тульский государственный университет
2
Содержание
Введение
Математические модели и методы расчета ионного переноса
Моделирование ионного переноса при вынужденной конвекции
электролита
Моделирование ионного переноса при естественной конвекции
электролита
Естественно-конвективная неустойчивость неподвижного
электролита
Вклад В.Г. Левича в теорию
массопереноса в электрохимических
системах
Конвективная диффузия в жидкостях
Диффузионная кинетика при турбулентном течении
Прохождение токов через растворы электролитов
Движение частиц в растворах электролитов
Теория полярографического метода
Движение и диффузия в тонких пленках жидкости
Физико-химическая гидродинамика
Изучение влияния движения жидкостей на физико-химические
процессы и влияния физико-химических процессов на
движение жидкостей
3
Основные направления развития теории
массопереноса
Совершенствование математических моделей
(учет миграции, гомогенных химических
реакций, кинетики электродных реакций,
переход от одномерных к дву- и трехмерным
задачам и т.д.)
Совершенствование аналитических и
численных методов
Вычислительная электрохимия
4
Структура математических моделей ионного
переноса в электрохимических системах
• Уравнения движения вязкой жидкости, учитывающие действие внешних
сил (Архимеда, Лоренца, Кулона) на компоненты раствора
• Уравнения материального баланса компонентов раствора, учитывающие
диффузию, конвекцию, миграцию и гомогенные химические реакции
• Уравнение Пуассона для потенциала электрического поля или условие
электронейтральности
• Уравнение, описывающее зависимость физико-химических свойств
раствора (коэффициентов диффузии, вязкости, плотности, коэффициентов
активности и т.д.) от концентрации и температуры
• Уравнения кинетики электродных реакций
• Возможности аналитического решения системы
взаимосвязанных нелинейных уравнений ограничены рядом
простейших случаев.
•Учет конвекции и миграции ионов, как правило, требует
применения численных методов.
5
Основные методы численного решения задач
ионного переноса в электрохимических системах
Численный метод
Метод конечных
разностей
Метод конечных
элементов
Метод конечных
объемов
Метод граничных
элементов
Достоинства
• Простота программной
реализации
• Применим для любых
систем уравнений
• Произвольная геометрия
ячейки
• Применим для любых
систем уравнений
Число
узлов
сетки
Nx*Ny*Nz
Простая геометрия
ячейки
• Сложность
Nx*Ny*Nz
• Произвольная геометрия
ячейки
• Уменьшение на единицу
размерности задачи (сетка
строится только на
границе ячейки)
Недостатки
Nx*Ny
построения сетки
• Необходимость
оптимальной
нумерации узлов
сетки
Применим, если
возможно сведение
исходной системы к
системе граничных
интегральных
уравнений
6
7
Методы решения систем разностных уравнений
Метод
Совместное решение
полной системы
разностных уравнений
Расщепление системы
разностных уравнений,
т.е. последовательное и
независимое решение
уравнений исходной
системы
Достоинства
Недостатки
Быстрая сходимость
Большой объем вычислений - до
(N*M)3
• Необходимость введения
Значительное уменьшение
объема вычислений на
каждой итерации – M *N3
и менее
дополнительного итерационного
цикла для получения
согласованного решения полной
системы уравнений
• Необходимость
восстановления
электронейтральности среды
Способы восстановления электронейтральности
• Концентрация одного компонента определяется из условия
электронейтральности – физически необоснованно
• Использование уравнения Пуассона – большой объем вычислений
• Изменение концентраций пропорционально объемным значениям –
снижение точности
8
Восстановление электронейтральности
∂Ck
= zk Dk Ck div(gradϕ ) - на этапе восстановления
электронейтральности учитывается только
∂t
миграционный перенос ионов
(
- концентрация до восстановления
электронейтральности
- концентрация после восстановления
электронейтральности
Ck*
)
Ck = Ck* exp zk Dk A
Ck
Ns
Ns
k =1
k =1
∑ zk Ck + Qфикс = ∑ zk Ck* exp(zk Dk A) + Qфикс = 0
Ck =
⎛
Ck* ⎜1 − zk Dk
⎝
σ⎞
⎟
χ⎠
Ns
σ =∑
k =1
zk Ck*
+ Qfix
Достоинства:
• малый объем вычислений
• высокая точность
Ns
- приближенное
χ = ∑ zk2 Dk Ck* решение
k =1
Моделирование ионного переноса при
вынужденной конвекции электролита (ВДЭ)
Схема ячейки с ВДЭ
vz
vθ
vr
r
θ
Распределение составляющих
гидродинамической скорости
G
-H
F
При вынужденной конвекции гидродинамическая задача может решаться
независимо от задачи массопереноса
9
10
Гидродинамика ВДЭ
Автомодельные уравнения
движения жидкости у ВДЭ
2F + H ′ = 0
FF ′′ − HF ′ + G − F = 0
G ′′ − HG ′ − 2 FG = 0
2
2
Граничные условия
G (0) = 1, F (0) = 0, H (0) = 0
G (∞ ) = 0, F (∞ ) = 0
где vr (z, r ) = rωF (ξ)
v z (z ) = νωH (ξ)
vθ (z, r ) = rωG (ξ)
ξ= z ω ν
Приближенные решения
уравнений движения
H (ξ) = −a0ξ2
ξ3 b0ξ4 b02 ξ5
H (ξ) = −a0ξ + +
+
3
6
30
2
H (ξ ) = − a 0 ξ 2 + 0.81757 a 04 / 3ξ 3 − 0.31508 a 05 / 3ξ 4
S
H ( ξ) = −
, S=
1 + S 0.88447
10
∑ a jξ j
j =2
Аналитическо-численные решения
• Карман (1924)
• Кочрен (1934)
• Бентон (1966)
Аналитические решения
• Лиао (2003, 2006)
Ионный перенос к ВДЭ
Приближенные
аналитические решения
(формула Левича)
Sh = K L Sc1/ 3 Re1/2
Численные решения
• Ньюмен (1966)
K L = 0.62
•Уайт (1976)
• Левич (1942)
•Аданувор (1987)
• Ньюмен (1966)
11
• Ван ден Босше (1995)
• Касснер (1967)
Ограничения:
- используются приближенные
решения уравнений движения
- не учитывается миграция
Недостатки:
- большой объем вычислений O ( N ( M + 1) 3 )
- используются приближенные
решения уравнений движения
12
Математическая модель
Система уравнений ионного переноса в переменных Кармана
∂ 2C m
∂ ⎛
∂ Φ ⎞ Sc 1 H ∂ C m
+ zm
,
⎜ Cm
⎟−
2
∂ξ ⎝
∂ξ ⎠
D m ∂ξ
∂ξ
M
∑ zmC m
=0
где
m = 1,.., M
ξ= z ω ν
m =1
Преобразованная система уравнений ионного переноса
∂C m ⎤
∂ ⎡
∂ ⎡
∂Φ ⎤ Sc1
∂C m = 0
(1
)
z
(1
)C
(1
H)
−
ς
+
−
ς
+
−
m
m
∂ς ⎢⎣
∂ς ⎥⎦
∂ς ⎢⎣
∂ς ⎥⎦ D m
∂ς
M
∑z
m =1
m
Cm = 0
где
ς = 1− e
− cξ
~
, H (ς ) = 1 + H (ξ) c
Область решения
В исходной системе -
0≤ξ≤∞
В преобразованной системе -
0 ≤ ς ≤1
Распределение гидродинамической скорости
у поверхности ВДЭ
13
Оценка точности численного решения
Влияние неравномерности шага сетки
Число узлов сетки: (1) 25, (2) 50, (3) 100 Sc=1000
пунктирная линия – исходные уравнения
сплошная линия – преобразованные уравнения
14
Результаты
15
• Проведен анализ точности и вычислительной эффективности
численных методов моделирования ионного переноса, обусловленного
диффузией, миграцией, конвекцией у поверхности ВДЭ
• Определено влияние параметров разностной схемы на точность
численного решения
• Показано, что метод расщепления является эффективным при не очень
больших отличиях в коэффициентах диффузии ионов, большом числе
сортов ионов и сравнительно невысокой точности
• Получены зависимости коэффициента массопереноса KL при
произвольной концентрации фонового электролита
Моделирование ионного переноса при
естественной конвекции электролита
Схема ячейки с вертикальным
электродом
Известные решения
• Левич (1948)
• Вагнер (1949)
• Тобайес (1952)
• Ньюмен (1971)
Sh = K Ra
1/4
L
• Григин, Давыдов (2000)
Недостатки:
-не учитывается вклад в силу
плавучести фонового электролита
- использование чисел переноса
Sh = K L Ra
K L =0.9
1/4
- получено В.Г. Левичем
- не учитываются гомогенные
химические реакции
- большой объем при численном
решении - O ( N ( M + 1) 3 )
При естественной конвекции необходимо совместное решение
гидродинамической задачи и задачи массопереноса
16
17
Математическая модель
Система уравнений ионного переноса при
электровыделении меди и раствора сульфата
меди и серной кислоты
Принятые допущения
ƒ теория разбавленных электролитов
ƒ приближение Буссинеска для
2
∂V X
∂V X
∂ VX
1
+ VY
+ Ra 1 [(1 − C s ) + β (C a b − C a ) ], несжимаемой вязкой жидкости
(V X
)=
2
∂X
∂Y
Sc 1
∂Y
ƒлокальная электронейтральность
∂ V X ∂ VY
раствора
+
= 0,
ƒ неполная диссоциация сульфата меди
∂X
∂Y
2
и серной кислоты
∂ Ck
∂C k
∂C k
∂ ⎛
∂ Φ ⎞ D1 ⎛
⎞
−
−
z
C
+
V
+
V
+
=
0
,
σ
⎜ X
⎜ k
⎟
k
Y
k ⎟
ƒ учитываются концентрационные
∂Y ⎝
∂Y ⎠ D k ⎝
∂X
∂Y
∂Y 2
⎠
зависимости констант диссоциации от
4
Ka0 γ 4
K s0
Ka =
Ks =
концентрации электролита
∑ z k C k = 0,
cs b γ 2γ 3
c
γ
γ
k =1
sb 1 3
ƒ коэффициенты активности
C 1C 3 = K s C 5 ,
⎡
⎤
(0.2 − qI ) I
I
2
определяются с использованием
Az
ln
γ
=
−
−
k
k
⎢
⎥
C 2C3 = K a C 4 ,
1000 ⎦
модифицированного уравнения Девиса
⎣1 + a k B I
1 − Cu 2 + ; 2 − H + ; 3 − SO 24 − ; 4 − HSO −4 ; 5 − CuSO 4 (aq)
Реакции в растворе
CuSO 4 (aq) ↔ Cu 2 + + SO 24 −
HSO 4− ↔ H + + SO 24 −
Sc1 =
v
D1
- число Шмидта
gH 3 cs b ∂ρ
Ra 1 =
vD1 ρ ∂cs
- число Рэлея
β = (∂ρ ∂ca ) (∂ρ ∂cs )
4
I = 0.5cs b ∑ z k2 C k
k =1
- коэффициент
- ионная сила
Метод численного решения
18
• численное решение методом конечных разностей 2-го порядка
точности
• использование неравномерной сетки, шаг которой
увеличивается в геометрической прогрессии при удалении от
электрода
• расщепление полной системы уравнений, обеспечивает
экономичность численного решения
• учет концентрационных зависимостей физико-химических
свойств раствора
2+
HSO 4−
Зависимости относительной концентрации ионов Cu (а) и
(б)
в объеме электролита от относительной концентрации серной кислоты
19
Концентрация сульфата меди , моль/м3:
1 – 0.1; 2 – 1; 3 – 10; 4 – 50; 5 – 100
(а)
(б)
r=
ca b
ca b + cs b
- относительная концентрация
серной кислоты
Зависимости безразмерной концентрации серной кислоты у поверхности
катода Ca c от относительной концентрации серной кислоты
1, 5 – с учетом концентрационных зависимостей констант равновесия
2, 6 – без учета концентрационных зависимостей констант равновесия
3, 7 – c s K s = 106 , c s K a = K a
b
b
0
6
4, 8 – c s b K s =c s b K a = 10
1 – 4 – c s b = 10 моль/м3
5–8–
c s b = 100 моль/м3
20
Зависимости коэффициента массопереноса от относительной
концентрации серной кислоты
1, 5 – с учетом концентрационных зависимостей констант равновесия
2, 6 – без учета концентрационных зависимостей констант равновесия
3, 7 – c s K s = 106 , c s K a = K a
b
b
0
6
4, 8 – c s b K s =c s b K a = 10
1 – 4 – c s b = 10 моль/м3
5–8–
c s b = 100 моль/м3
21
22
Результаты
• Получено численное решение задачи определения предельной
плотности тока электровыделения меди на вертикальном электроде в
условиях естественной конвекции электролита, учитывающее неполную
диссоциацию сульфата меди и серной кислоты по второй ступени и
концентрационные зависимости физико-химических свойств раствора
• Установлены зависимости коэффициента массопереноса от
концентрации фонового электролита
• Показано, что умеренных и малых концентрациях фонового
электролита необходимо учитывать неполную диссоциацию сульфата
меди, иначе погрешность расчета может быть более 50 %
Естественно-конвективная неустойчивость
неподвижного электролита
Схема ячейки с горизонтальными
электродами
23
Распределения плотности раствора
при различном расположении электродов
1 – стационарное состояние; 2, 3 – нестационарное состояние
2 – бинарный электролит;
3 – многокомпонентный электролит
Зависимости плотности тока (а) и приложенного напряжения (б) от времени
(а)
(б)
1 – устойчивое состояние неподвижного электролита; 2 неустойчивость стационарного состояния;
3 – неустойчивость нестационарного состояния
Неустойчивость стационарного состояния:
критическое число Рэлея
gH 3 Δρ
Число Рэлея - Ra =
ρ b νD
24
25
Неустойчивость нестационарного состояния:
критическое время
Критическое время - t c
t=23 c
t=22 c
t=24 c
t=25 c
t=26 c
1, 2 – плотность тока
20
3 – амплитуда гидродинамической скорости
1 – устойчивое состояние; 2, 3 – неустойчивое состояние
t=27 c
16
1200
3
1000
Sh
12
V max
800
2
8
600
2
1
4
400
200
1
0
0
0
0
10
20
30
t
40
50
10
20
30
t
40
50
Зависимость безразмерного критического
времени от числа Рэлея
26
Условие устойчивости
Амплитуда возмущений с течением времени уменьшается
или остается постоянной
Типы конвективной неустойчивости
• монотонная
• колебательная
Схема линейного анализа устойчивости
• формулировка математической модели системы
• определение невозмущенного решения, соответствующего неподвижному
электролиту
• формулировка математической модели для малых возмущений
• исследование поведения малых возмущений с течением времени
(определение нетривиальных решений характеристической системы для
амплитуд возмущений) и определение условий, при которых амплитуда
возмущений с течением времени не будет возрастать
27
Особенности возникновения конвекции
в электрохимических системах
• наличие в растворе заряженных частиц (ионов)
• миграционный перенос ионов
• наличие объемного электрического заряда
• зависимость скорости электродной реакции от концентрации
электроактивных ионов и потенциала электрода
• зависимость плотности раствора от концентрации всех
компонентов электролита
Для электрохимических систем критическое число Рэлея и
критическое время, в отличие от тепловой конвекции, не
является постоянным и должно зависеть от состава
раствора,
транспортных
свойств
компонентов
и
кинетических параметров электродной реакции
28
Устойчивость стационарного состояния
I. Всегда устойчив
M z1 + z1e → M
M → M z1 + z1e
29
II. Устойчив лишь при Ra<Rac
M → M z1 + z1e
M z1 + z1e → M
Известные решения задачи устойчивости
стационарного состояния бинарного электролита
Автор
Критическое
число Рэлея
Baranowski B.
1708
Григин А.П.
1540
Нечипорук В.В.
720 - 1708
Особенности решения
ƒ не учитываются возмущения потенциала и
концентраций на электродах
ƒ учитывается объемный электрический
заряд и силы Кулона при плотности тока
близкой к предельной
ƒ не учитываются возмущения потенциала
электрода
ƒ связь между возмущениями тока и
потенциала устанавливается с учетом
свойств внешней цепи
ƒ считается, что устойчивость системы
зависит от режима электролиза
ƒ не учитываются возмущения потенциала
электрода
Существующие решения не обеспечивают удовлетворительного
соответствия с экспериментальными данными
30
Математическая модель
Принятые допущения
ƒ теория разбавленных электролитов
ƒ приближение Буссинеска для несжимаемой вязкой жидкости
ƒ учет объемного заряда (сила Кулона) только в уравнениях движения
ƒ локальная электронейтральность раствора
ƒ уравнение Батлера-Фольмера для необратимой электродной реакции
ƒ внешнее магнитное поле является однородным и имеет направление
перпендикулярное к электродам
ƒ учитывается сила Лоренца и индуцированное электрическое поле
ƒ не учитывается индуцированное магнитное поле
31
Линейный анализ устойчивости
32
Система уравнений для малых возмущений
∂ΔV Z
~
= Δ2V Z
∂τ
~
∂C1
~ ~
= ΔC1 − V Z
Sc
∂τ
~
∂ζ Z
~
= Δζ Z
∂τ
~
∂I Z
~
~
~
+ AΔ 2 C1 + C1Δ 2 Φ − C1ζ Z = 0
∂Z
Граничные условия
~
VZ
~
∂VZ
=
Z = 0, Z =1
∂Z
Z = 0, Z =1
Sc =
ν
D
- число Шмидта
- кулоновское
число
Число Рэлея
2 gH 3c1b i ∂ρ
Ra =
ρb νD ∂c1
~
~
FDb ⎛ ∂VY ∂V X ⎞ - вертикальная составляющая
~
ζZ =
⎜
−
⎟
RT ⎜⎝ ∂X
∂Y ⎟⎠ завихренности
~
~
∂C1
∂Φ ~ ∂ Φ
~
- вертикальная составляющая
IZ = A
+ C1
+ C1
∂Z
∂Z
∂Z
плотности тока
~
= 0, ζ Z
- число Гартмана
Z = 0, Z =1
= 0,
~
~
~
~
⎛ ∂C1 z 2 (1 + i ) ∂Φ
⎛ ∂C1 z2 (1 − i ) ∂Φ
2i ~ ⎞
2i ~ ⎞
⎜
⎟
⎜
0
,
C1 ⎟⎟
= 0,
C
−
+
=
−
+
1
⎜ ∂Z
⎟
⎜ ∂Z
2
1
2
1
i
Z
i
i
Z
i
∂
+
∂
−
⎠ Z =1
⎝
⎠ Z =0
⎝
~
~
~
~
∂C1
∂C1
~
~
= a0 Φ
+ b0С1 ,
= − a1Φ
− b1С1
Z =1
Z =0
Z =1
Z =0
∂Z Z =0
∂Z Z =1
D=
(z1 − z2 )D1D2
z1D1 − z 2 D2
D1 − D2
A=
z1 D1 − z2 D2
33
Критическое число Рэлея
Ra c = min[Ra (λ , k , Sc, i , i0 , z1 , z 2 , A, Ha, Γ )]
k
Ra
Диаграмма устойчивости
Колебательная
неустойчивость
λr > 0
λi ≠ 0
Ra cm
Ra co
k cm
Монотонная
неустойчивость
λr > 0
λi = 0
k co
λr < 0
Область
устойчивости
k
Численное решение
• аппроксимация распределений амплитуд возмущений полиномами
Чебышева
• применение метода коллокаций для сведения краевой задачи к
алгебраической задаче на собственные значения (λBX = AX)
• определение спектра собственных значений
• уточнение значения Ra методом Ньютона для обеспечения наибольшего
значения действительной части декремента λ равного нулю
• определение точки на нейтральной кривой, в которой происходит смена
типа неустойчивости
• минимизация Ra по волновому числу k для для участков нейтральной
кривой с колебательной и монотонной неустойчивостью
• определение критического значения числа Рэлея
34
35
Зависимости критического числа Рэлея от параметра A,
характеризующего транспортные свойства раствора, и
безразмерной плотности тока (Ha=0, Г=0)
Необратимая реакция (i0 = 0.1)
Обратимая реакция (i0 = 103 )
36
Влияние плотности тока на критическое число Рэлея
водного раствора CuSO4 (Ha=0, Г=0)
Критическое число Рэлея
Эксперимент
Безразмерная
плотность тока
Безразмерная
плотность тока
обмена
Эксперимент*
Расчет
1
0.767
0.604
1351.7 ± 34.7
1180.2
2
0.276
0.412
1209.3±165.2
1048.7
3
0.187
0.385
1251.0 ±133.8
1036.4
4
0.142
0.399
1039.8 ±101.6
1038.7
5
0.086
0.760
1182.0 ±121.8
1109.2
6
0.022
0.671
763.3 ±85.0
1095.2
* Baranowski B., Kawczynski A.L. // Electrochim. Acta. 1972. V.17. P.695
Результаты
• Получено решение задачи конвективной устойчивости бинарного
37
электролита с учетом кинетики электродных реакций, однородного
внешнего магнитного поля, кулоновских сил в объеме электролита и
возмущений концентрации и потенциала на границе раздела фаз
электрод/электролит
• Получены зависимости критического числа Рэлея от транспортных
свойств раствора, плотности тока и кинетических параметров
электродной реакции
• Исследовано влияние числа Гартмана и параметров электрохимической
системы на критическое число Рэлея и волновое число, характеризующее
размер конвективных ячеек
Установлено, что при определенных значениях параметра A,
наблюдается немонотонное изменение волнового числа
• Установлено, что объемная электроконвекции может возникать только
при определенных соотношениях значений коэффициентов диффузии
катионов и анионов (при их равенстве неустойчивость не возникает)
•Установлено, что действие кулоновских сил приводит к немонотонной
зависимости критического значения числа Рэлея от параметра А,
характеризующего соотношение коэффициентов диффузии катионов и
анионов
•За счет действия кулоновских сил возможно существенное уменьшение
критических значений числа Рэлея до 100 и менее
38
Устойчивость нестационарного состояния
электролита с тремя сортами ионов
∂V
1
(V ⋅ ∇ )V = −∇P + ΔV − e z Ra1 (С1 − 0.5 + С4 ) Электродная реакция
+
∂τ Sc1
n1 M 1z1 + ne ↔ n2 M 2z 2 + an1 M 1
div(V ) = 0
Плотность раствора
∂C
Sc1 1 = ΔC1 − V∇C1
∂τ
∂C
Sc1 4 = D4 ΔC4 − V∇C4 + D *ΔC1
∂τ
Граничные условия
V Z = 0 , Z =1 = 0
C1 Z = 0 = 0, C1 Z =1 = 1
∂C 4
∂Z
=0
Z = 0 , Z =1
ρ − ρb =
(
)
(
∂ρ
∂ρ
c1 − c1b +
c2 − c2 b
∂c1
∂c2
)
Числа Рэлея и Шмидта
Ra1 =
2 gH 3c1b α
ρb D1ν
Sc1 =
ν
D1
Безразмерные переменные и параметры
c1
z3c4
∂ρ
C4 =
2c1b
2αc1b ( z 3 − z 2 ) ∂c 2
nD
c4 = 2 1 c1 − c1b + c2 − c2b + c3 − c3b
n1D2
∂ρ z1 − z3n2 D1 n1D2 ∂ρ
D2 D3 ( z 3 − z 2 )
α=
+
D4 =
c
z3 − z2
∂c2
∂
D1 (z 3 D3 − z 2 D2 )
1
C1 =
(
D* =
)
⎡ n2
⎤ ∂ρ
z3
D3 ( z3 − z2 ) + (D3 − D2 )z1
n −n
D2 − 2 1 D4 ⎥
⎢ D1 −
αD2 (z3 − z2 ) ⎣ n1
n1
z3D3 − z2 D2
⎦ ∂c2
Критическое время
(
Ra c = min Ra k , Sc1 , D4, D * , β
k
τ c = Ra c
2/3
Sc1Ra
−2 / 3
tc =
H2
ν
39
)
Ra c 2 / 3 Sc1Ra − 2 / 3
Численное решение
• конечно-разностная аппроксимация амплитудных уравнений
• задание предварительного значения волнового числа k
•задание предварительных значений зависимых переменных на
поверхности электрода
• интегрирование системы уравнений методом Рунге-Кутта до внешней
границы расчетной области и определение невязки граничных условий
• уточнение значений зависимых переменных на поверхности электрода по
величине невязки методом Ньютона – в результате определяется точка
нейтральной кривой
• минимизация Ra по волновому числу k и определение Raс
Влияние параметров системы на
устойчивость нестационарного состояния
электролита с тремя сортами ионов
40
41
Сравнение с экспериментальными данными
τu = 4
τc
- время видимого проявления конвекции
Sc1
42
Результаты
• Получено решение задачи конвективной устойчивости электролита с
тремя сортами ионов
• Получены зависимости критического времени от транспортных свойств
раствора для режима предельного тока
• Показано, что немонотонное изменение плотности электролита,
связанное с миграционным переносом фонового электролита, оказывает
значительное влияние на критическое время
Скачать