ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ АБСОЛЮТНОЙ ОШИБКИ

Министерство образования
и науки Российской Федерации
В.Б. Пономарев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ
АБСОЛЮТНОЙ ОШИБКИ
ФУНКЦИИ
Методические указания по выполнению домашней работы
Подготовлено кафедрой оборудования и автоматизации силикатных производств
Предназначены для изучения дисциплины «Математическое моделирование»
магистерских программ «Производство строительных материалов и изделий»,
«Энерго- и ресурсосберегающие процессы и оборудование в производстве
строительных материалов и изделий» по направлению 08.04.01
«Строительство».
Для студентов магистратуры, изучающих дисциплины, связанные с проведением
инженерных экспериментов, моделированием технологических процессов и
оборудования. Цель указаний – на примере нахождения абсолютной ошибки
сложной функции закрепить навыки определения абсолютных и относительных
погрешностей результатов измерений и вычислений.
Екатеринбург
2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ ................................................................................................... 3
2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.................................................................................. 5
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................................... 9
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Определить предельную абсолютную ошибку вычисления величины
удельного линейного абразивного износа трубопроводов пневмотранспортных
установок систем пылеприготовления и золошлакоудаления ТЭС.
 уд .h 
5,55  10
7
K П U m k SiO2
2
0,4
D m
2
k изн
,
(1.1)
где КП – критерий аэродинамической легкости частиц при пневмотранспорте
мелкодисперсных
сыпучих
материалов
(абсолютная
погрешность
определения критерия – Кп = ±0,001);
Um – средняя по сечению скорость потока частиц материала (измеряется со
случайной погрешностью сл = ±0,021; класс прибора 0,1; предельная шкала
измерения – 25 м/с);
k SiO 2 – коэффициент относительного содержания SiО2 в угольной пыли
(точное число);
D – внутренний диаметр трубопровода, м (измеряется со случайной
погрешностью сл = ±0,004 штангенциркулем с нониусом);
m = Gм/Gв – массовая расходная концентрация потока смеси материала и
воздуха,
кгматериала/кгвоздуха
(измеряется
с
абсолютной
погрешностью
 = ±0,0009);
kизн
–
коэффициент
относительной
износостойкости
материала
трубопровода (точное число).
Неизвестные инструментальные погрешности средств измерений взять из
табл. 1.
Исходные данные: КП = 0,05 кг/м2; Um = 20 м/с; k SiO 2 = 0,0638; D = 0,15 м;
m = 10; kизн = 1,92. Величину удельного износа уд.h определить из формулы (1.1).
Таблица 1.1
Погрешности средств измерений
Средства измерения
Предел
Цена
Допустимая
измерения
деления погрешность
Линейки металлические с ценой до 300 мм
1 мм
0,1 мм
деления 1 мм
до 1000 мм
1 мм
0,2 мм
мензурка
до 250 мл
1 мл
1 мл
Штангенциркуль с нониусом
125 мм
0,1 мм
0,05 мм
микрометр
25 мм
0,01 мм 0,005 мм
динамометр
4Н
0,1 Н
0,05 Н
Секундомер
030 мин
0,2 с
1с за 30 мин
барометр-анероид
720–780 мм
1 мм
3 мм рт. ст
рт. ст.
рт. ст
0,05 мм
термометр ртутный стеклянный 0–100 °С
типа ТЛ-2
1 градус 1 градус
100–200 °С
2 градуса
200–300 °С
3 градуса
300–400 °С
4 градуса
2. ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Выполнить работу по следующему примеру.
Пример 2.1. Определить погрешность вычисления экспериментального
значения функции фракционного извлечения узкого класса крупности сыпучего
материала в мелкий продукт при воздушной сепарации измельченного диоксида
кремния.
В ходе лабораторного эксперимента на пневматическом классификаторе
получено два продукта. Вес мелкого материала составил 1200 г, крупного 
2300 г. После обработки результатов экспериментов для фракции 0,4 мм
значение функции фракционного разделения составило 33 %, или 0,33 ед.,
частный остаток rм мелкого материала на сетке 400 мкм составил 35 г; частный
остаток крупного продукта rк = 90 г.
Функция фракционного разделения определяется по формуле
Фм 
rм  м
rисх
,
(2.1)
где rм – частный весовой остаток ситового рассева мелкого продукта на смежных
сетках, % (определяется взвешиванием на электронных весах с точностью
до 0,1 г, общая навеска пробы 100 г);
rисх – частный остаток исходного материала на смежных сетках, %
(определяется по формуле rисх  rм  м  rк  к );
rк – частный весовой остаток ситового рассева крупного продукта на
смежных сетках, % (определяется взвешиванием на электронных весах с
точностью до 0,1 г);
м  выход мелкого продукта, %.
Выход м вычисляется как отношение массы мелкого продукта Gм,
полученного при фракционировании порошка, к массе исходного материала Gк
(веса определяются взвешиванием на стрелочных весах с точностью до 1 г, класс
прибора 0,1 при шкале измерения до 1000 г)
м 
Gм
Gи
.
(2.2)
В данном примере Gм = 1200 г, Gк = 2300 г.
При определении частных остатков необходимо учесть допускаемое
отклонение от номинального значения для среднего арифметического размера
сторон ячеек сеток в свету.
Согласно ГОСТ 3826-82 «Сетки проволочные тканые с квадратными
ячейками. Технические условия», можно принять его равным 6 % для сеток с
размером от 0,4 до 4 мм.
Запишем конечную формулу вычисления функции Фм
rм
Фм 
rм
Gм
Gм
Gи
 rк
Gи
Gк

rм G м
rм G м  rк G к
Gи

1
1
rк G к
rм G м
(2.3)
Определим абсолютные погрешности исходных величин.
Абсолютная погрешность определения частных остатков складывается:
 из случайной погрешности взвешивания пробы материала на весах.
Из опыта обработки экспериментальных данных примем ошибку
взвешивания
сл = 0,01;
 инструментальной погрешности прибора. Так как точность весов
ограничивается 0,1 г, сотые доли грамма будут сомнительным знаком в
числе, поэтому примем
и = 0,05;
 погрешности изготовления сеток. Максимальный размер взвешиваемой
фракции составляет 630 мкм. Погрешность сетки составит
с = 0,06·0,63 = 0,0378.
Общая погрешность определения r
r = 0,01+0,05+0,0378 = 0,0978  0,1.
Абсолютная погрешность взвешивания крупного, мелкого и исходного
продуктов складывается:
 из случайной погрешности взвешивания пробы материала на весах
сл = 0,01;
 инструментальной погрешности прибора. Для класса точности 0,1 и
максимальном значении шкалы 1000 г погрешность определится как
и 
 пр Amax
100

0 ,1 * 1000
100
 1;
 погрешности отсчета, равной половине цены деления стрелочного прибора
о = 0,5.
Общая погрешность взвешивания составит
G = 0,01+1+0,5 = 1,51  1,5.
Существует общее правило: чтобы найти предельную относительную
ошибку функции произвольного вида, необходимо
1. Логарифмировать функцию f a , b, c  .
2. Вычислить частные производные по каждому аргументу a , b, c 
3. Умножить каждую частную производную на предельную абсолютную
ошибку своего аргумента.
4. Каждому из этих произведений приписать знак плюс и сложить их
вместе. Это и будет предельная относительная ошибка функции.
Общая формула для вычисления предельной относительной ошибки
функции записывается в виде

 

E  E1  E 2     
ln f a , b     a 
ln f a , b     b   
b
 a
.
Прологарифмируем искомую функцию
ln Ф м  ln

rG 
1
 ln 1  ln  1  к к 
rG
rм G м 

1 к к
rм G м
.
Возьмем частные производные
d ln Ф м
drк
d ln Ф м
dr м
d ln Ф м
dG м


d ln Ф м
dG к
 
Gк
1

r G
 1  к к
rм G м

 rм G м


rк G к
1

r G  r 2 G м
 1  к к  м
rм G м 

rк G к
1

r G  r G 2
 1  к к  м м
rм G м 



1
rк

r G r G
 1  к к  м м
rм G м 




2300
90  2300

1 
35  1200


 35  1200

 0 ,0092
;
90  2300
0 ,90  2300  2

1 
 35  1200
0
,
35

1200


90  2300
90  2300 

1 
 35  1200
35  1200 

90
90  2300 

1 
 35  1200
35  1200 

 0 ,0238
;
 6 ,9  10
4
2
;
 3,6  10
4
Вычислим предельную относительную ошибку
E  E1  E 2  E 3  E 4 
 0,0092  0,1  0,0238  0,1  6,9  10
4
 1,5  3,6  10
4
 1,5  0,0049 .
Абсолютная погрешность косвенного измерения Фм составит
 Фм  E  Ф м  0,0049  33  0,16 %.
Ответ: Ф м  33  0,16 , E  0, 49 % .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. В универе. ру. Учебные материалы для студентов [Электронный
ресурс]. – Режим доступа: http://vunivere.ru/work24760.
2. Колесников, А.Ф. Основы математической обработки результатов
измерений / А.Ф. Колесников. – Томск: Изд-во Томского университета, 1963. –
49 с.
3. ГОСТ 8.207-76. Прямые измерения с многократными наблюдениями.
Методы обработки результатов измерений.
Учебное электронное текстовое издание
Пономарев Владимир Борисович
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ АБСОЛЮТНОЙ
ОШИБКИ ФУНКЦИИ
Ответственный редактор
Редактор
Компьютерная верстка
Н.В. Лутова
А.В. Овчинникова
авторская
Рекомендовано Методическим советом ФГАОУ ВПО УрФУ
Разрешено к публикации 05.10.2015
Электронный формат .pdf
Объем 0,59 уч.-изд. л.
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Информационный портал УрФУ
http://study.urfu.ru