Смоленко А.Г. Комплексный подход к определению

67
УДК 629.7.023
А.Г. Смоленко
КОМПЛЕКСНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЭФФЕКТИВНОГО
КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СОТОВОГО ЗАПОЛНИТЕЛЯ
Широкое использование в изделиях ракетно-космической техники
сотовых конструкций [1], работающих при одновременном силовом и интенсивном тепловом воздействиях, требует комплексного подхода к их
оптимальному проектированию [2 – 4]. Это предопределяет необходимость разработки достоверных методов прогнозирования не только физико-механических, но и теплофизических характеристик основных элементов этих конструкций, в частности теплопроводности сотового заполнителя (СЗ).
Экспериментальными исследованиями установлено, что для сэндвичевых панелей с СЗ теплопроводность существенно зависит от его
высоты и геометрических параметров ячейки сотов [5].
Ранее нами в работе [6] были получены аналитические зависимости эффективного коэффициента теплопроводности СЗ от его геометрических параметров и толщины клеевых прослоек, соединяющих грани
сотов между собой и с несущими слоями. При этом было показано существенное влияние на теплопроводность сотовой панели клеевой прослойки, связывающей торцы граней СЗ с несущими слоями (НС).
Однако при данном подходе был рассмотрен лишь один механизм
передачи тепла внутри сотов – теплопроводность. Поэтому представляется актуальным оценить вклад других механизмов передачи тепла
внутри сотов.
Ранее в работах [7, 8] при совместном действии кондуктивного и
радиационного теплообменов была рассмотрена задача определения
температуры, теплового потока и эффективной теплопроводности заполнителя, представленного одинаковыми, прилегающими друг к другу
ячейками в виде закрытых полых цилиндров. Предложенный в этих работах подход позволил определить эффективный коэффициент теплопроводности лишь кругового и прямоугольного цилиндрических заполнителей. Обобщим полученные в работах [7, 8] результаты для СЗ с широко применяемой в настоящее время ячейкой неправильной шестигранной формы в плане [9].
Задачу будем решать при следующих допущениях:
1) ячейка сотов теплоизолирована по боковой поверхности;
2) основания и боковые поверхности излучают по закону идеально
серого тела;
3) кондуктивный теплообмен происходит только в стенке ячейки
сотов;
4) задача рассматривается как одномерная при изменении температуры и лучистого потока в направлении оси z.
68
Рассмотрим цилиндрическую ячейку СЗ неправильной шестигранной формы в плане (рис. 1).
Рисунок 1 – Рассматриваемая ячейка СЗ
Будем считать известными:
– высоту СЗ (hСЗ);
– площадь и длину контура основания ячейки (F, L);
– температуру и степень черноты верхнего и нижнего оснований
(T1, T2, ε1, ε2);
– толщину, теплопроводность и степень черноты стенки (δн, λн, εн).
При принятых допущениях уравнение стационарной теплопроводности в рассматриваемой ячейке СЗ с учетом теплового излучения примет вид
d 2T ( z )
dz
2
−
1
λнδ н
⋅ q рез ( z ) = 0 .
(1)
Интегральное уравнение лучистого теплообмена для рассматриваемой конструкции запишем в виде [10]
⎞
⎛
1 − ε1
= С0Т 4 ( z ) − ⎜⎜ С0Т 14 −
⋅ q1рез ⎟⎟ϕdz − осн ( z ) −
ε1
⎝
⎠
⎛
⎞
1− ε2
− ⎜⎜ С0Т 24 −
⋅ q2 рез ⎟⎟ϕdz − осн (Н − z ) −
ε2
⎝
⎠
q рез(z)
εн
⎞
1− εн
− ∫ ⎜⎜ С0Т 4 ( z' ) −
⋅ q рез ( z' ) ⎟⎟dϕdz − dz ' ( z − z' ) −
εн
⎠
0⎝
z⎛
hСЗ
⎛
⎞
1− εн
− ∫ ⎜⎜ С0Т 4 ( z' ) −
⋅ q рез ( z' ) ⎟⎟dϕdz − dz ' ( z'−z ) ,
εн
⎠
z ⎝
где С0 – постоянная Стефана – Больцмана;
(2)
69
ϕdz −осн ( z ), ϕdz − осн ( H − z ) – коэффициенты облученности элементов стенки ячейки нижним и верхним основаниями соответственно;
q1рез , q2 рез – плотности результирующего излучения на нижнем и
верхнем основаниях;
dϕdz −dz' – коэффициент взаимной облученности элементов стенки,
расположенных на расстоянии z − z' друг от друга;
q1рез
ε1
⎛
⎞
1 − ε2
= С0Т 14 − ⎜⎜ С0Т 24 −
⋅ q2 рез ⎟⎟ϕосн − осн −
ε2
⎝
⎠
hСЗ
⎛
⎞
1 − εн
− ∫ ⎜⎜ С0Т 4(z) −
⋅ q рез(z)⎟⎟ϕосн − dz ( z ) ;
εн
⎠
0 ⎝
q2 рез
⎛
⎞
1 − ε1
= С0Т 24 − ⎜⎜ С0Т 14 −
⋅ q1рез ⎟⎟ϕосн − осн −
ε2
ε1
⎝
⎠
hСЗ
⎞
⎛
1 − εн
− ∫ ⎜⎜ С0Т 4(z) −
⋅ q рез(z)⎟⎟ϕосн − dz (H − z ) ,
εн
⎠
0 ⎝
(3)
(4)
где ϕосн−осн – коэффициент облученности между основаниями;
ϕосн − dz ( z ), ϕосн − dz ( H − z ) – коэффициенты облученности верхнего
и нижнего оснований элементами стенки ячейки.
Граничными условиями при этом будут
Т( 0 ) = Т 1, Т(hСЗ ) = Т 2 .
(5)
Согласно закону сохранения энергии и соотношению взаимности
для коэффициентов облученности, входящих в уравнения (2) - (4), справедливо [12]:
∂
ϕdz − осн ( z − z' )dz' ;
∂z'
∂
dϕdz −dz' ( z' −z ) = −
ϕdz − осн ( z' −z )dz' ;
∂z'
L ⋅ dz
ϕосн − dz ( z ) = ϕdz − осн ( z ) ⋅
;
F
⎞
⎛L
.
ϕосн − осн = −⎜ ⋅ ∫ ϕdz − осн ( z )dz ⎟
⎠ z = hСЗ
⎝F
dϕdz −dz' ( z − z' ) =
(6)
Точное аналитическое решение интегрального уравнения теплообмена излучением возможно только при весьма простых геометрических конфигурациях. При рассмотрении сложных конструкций, в частности неправильной шестигранной призмы, следует прибегать к прибли-
70
женным аналитическим решениям. Так, интегральное уравнение (2) может быть преобразовано к дифференциальному уравнению второго порядка путем аппроксимации его ядра (геометрического коэффициента
∂
ϕdz − осн z − z' ) экспоненциальной функцией вида [12]
∂z'
−n⋅ z − z'
m⋅e
,
где m , n – произвольные постоянные.
(7)
В работе [8] при рассмотрении коэффициентов облученности кругового и прямоугольного цилиндрических заполнителей предложена
следующая экспоненциальная аппроксимация вида:
ϕdz − осн ( z ) =
−
1
2
⋅e
− 2f ⋅
z
hСЗ
;
∂
f
ϕdz − осн ( z − z' ) =
⋅e
∂z'
hСЗ
− 2f ⋅
(8)
z − z'
hСЗ
.
где f = L ⋅ hСЗ .
4F
Проверим применимость данной аппроксимации для сотов неправильной шестигранной формы в плане.
Коэффициент облученности между двумя поверхностями А1 и А2
определяется как [10]
ϕ1− 2 =
1
cos( α1 ) ⋅ cos( α 2 ) ⋅ dA1 ⋅ dA2
,
∫ ∫
A1 A1 A2
π⋅r2
(9)
где А1 – площадь поверхности А1;
dA1, dA2 – элементарные площадки поверхностей А1 и А2;
r – расстояние между центрами О1 и О2 элементарных площадок
dA1 и dA2;
α1, α 2 – углы, образованные отрезком О1О2 с нормалями dA1 и dA2.
Уравнение (9) может быть решено аналитически только для достаточно простых геометрических конфигураций. Поэтому при рассмотрении коэффициентов облученности элементов сложных геометрических
форм, таких, как неправильная шестигранная призма, целесообразнее
использовать альтернативные методы вычисления.
1. Метод контурного интегрирования
В соответствии с теоремой Стокса интеграл по поверхности в выражении (9) можно заменить криволинейным интегралом по контуру поверхности, что сократит кратность интегрирования. Коэффициент облученности между двумя поверхностями, выраженный посредством контурных интегралов, будет иметь вид [10]
71
ϕ1− 2 =
где r =
1
∫ ∫ (ln r ⋅ dx 2dx1 + ln r ⋅ dy 2dy1 + ln r ⋅ dz2dz1 ) ,
2π ⋅ A1 А1 А2
(10)
(x2 − x1)2 + (y 2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
2. Алгебра коэффициентов облученности
Коэффициенты облученности для сложных конфигураций могут
быть выражены через известные угловые коэффициенты для более
простых тел при помощи принципа суперпозиции и соотношений взаимности.
Так, коэффициент облученности между основаниями неправильной шестигранной призмы можно выразить:
– через коэффициент облученности параллельных прямоугольников (рис. 2, а)
d
b
1
⎡1
⎤
⋅ b2 + c 2 ⋅ arctg
+ ⋅ d 2 + c 2 ⋅ arctg
−⎥
⎢
2 b
b2 + c 2 d
d 2 + c2 ⎥ ;
ϕ1− 2 = ⎢
(11)
d c
b
c2
b2 + c 2 d 2 + c 2
π⎢ c
⎥
− ⋅ arctg − ⋅ arctg +
⋅ ln 2
⎢ b
⎥
c d
c 2d ⋅ b
c + b2 + d 2 + c 2
⎣
⎦
(
(
)(
)
)
– коэффициент облученности прямоугольников, образующих угол
α (рис. 2, б):
1 ⎧ sin 2α ⎡
⎛ N − L ⋅ cos α ⎞
⎛π
⎞ 2
2
2
+
+
⋅
⋅
+
−
NL
sin
N
L
L
arctg
ϕ1− 2 = ⎨−
α
α
⎟
⎜
⎟+
⎜
4 ⎢⎣
πL ⎩
⎠
⎝ L ⋅ sinα ⎠
⎝2
(
)
(
)(
)
⎡
cos ec2α + ctg 2α
2
2
⎛
⎞
1+ N 1+ L
⎛ L − N ⋅ cos α ⎞⎤ sin α ⎢⎜
⎟
+ N 2 ⋅ arctg⎜
×
ln⎢
⎟⎥ +
⎜ 1 + N 2 + L2 − 2NL ⋅ cos α ⎟
4
⎝ N ⋅ sinα ⎠⎦
⎠
⎢⎣⎝
L2 ⎤
⎛ L2 1 + N 2 + L2 − 2NL ⋅ cos α ⎞ ⎥ N 2 sin2 α ⎡⎛
⎞
N2
⎜
⎟
⎜
⎟×
×
+
ln
⎢
⎜ 1 + L2 N 2 + L2 − 2NL ⋅ cos α ⎟ ⎥
⎜ N 2 + L2 − 2NL ⋅ cos α ⎟
4
⎢⎣⎝
⎝
⎠ ⎥
⎠
⎦
cos 2α ⎤
2
⎛
⎞
+
1
N
⎥ + L ⋅ arctg 1 + N ⋅ arctg 1 −
⎟
×⎜
2
2
⎜ 1 + N + L − 2NL ⋅ cos α ⎟
⎥
L
N
⎝
⎠
⎦
1
N ⋅ sinα ⋅ sin 2α
− N 2 + L2 − 2NL ⋅ cos α ⋅ arctg
+
×
2
N 2 + L2 − 2NL ⋅ cos α
⎡
⎛
⎞⎤
⎛
⎞
N ⋅ cos α
⎟ + arctg⎜ L − N ⋅ cos α ⎟⎥ +
× 1 + N 2 ⋅ sin2 α ⋅ ⎢arctg⎜
⎜
⎜
2
2 ⎟
2
2 ⎟
⎢⎣
⎝ 1 + N ⋅ sin α ⎠⎥⎦
⎝ 1 + N ⋅ sin α ⎠
L
⎡
⎛
⎞ ⎤
⎛ N − z ⋅ cos α ⎞
z ⋅ cos α
⎟dz⎥ ,
⎟ + arctg⎜
+ cos α ⋅ ∫ 1 + z 2 ⋅ sin2 α ⎢arctg⎜
⎜
⎜
2
2 ⎟
2
2 ⎟
⎢⎣
0
⎝ 1 + z ⋅ sin α ⎠ ⎥⎦
⎝ 1 + z ⋅ sin α ⎠
2
(
(
)
)
)(
где L =
l
t
;N = .
w
w
(12)
72
б
а
Рисунок 2 – Простые конфигурации системы излучающих тел:
а – параллельные прямоугольники;
б – прямоугольники, образующие угол α
Для определения ϕосн−dz ( z ) ячейки соты методом алгебры угловых коэффициентов рассмотрим неправильную шестигранную призму
(рис. 3).
F1 – площадь прямоугольника ABB’A’
F2 – площадь прямоугольника ВСС’B’
F3 – площадь прямоугольника CDD’C’
F4 – площадь прямоугольника DEE’D’
F5 – площадь прямоугольника FEE’F’
F6 – площадь прямоугольника AFF’A’
F7 – площадь прямоугольника BPP’B’
F8 – площадь прямоугольника CPP’C’
F9 – площадь прямоугольника CMM’C’
F10 – площадь прямоугольника DMM’D’
F11 – площадь прямоугольника AKK’A’
F12 – площадь прямоугольника KBB’K’
Рисунок 3 – Неправильная шестигранная призма
Для грани ABB’A’ справедливо:
ϕ1− 2 + ϕ1− 3 + ϕ1− 4 + ϕ1− 5 + ϕ1− 6 + 2ϕ1− осн = 1.
(13)
В силу симметричности шестиугольника основания будет соблюдаться
равенство
следующих
коэффициентов
облученности:
ϕ1−2 = ϕ1−6 , ϕ1− 3 = ϕ1− 5 .
Коэффициент ϕ1− 2 определяется формулой (12), а ϕ1− 4 – формулой (11).
Согласно закону сохранения энергии
ϕ1− 3 =
1
(F1,7 ⋅ ϕ1,7 −3,8 + F7 ⋅ ϕ7 −8 − F7 ⋅ ϕ7 −3,8 − F1,7 ⋅ ϕ1,7 −8 ).
F1
(14)
73
Все угловые коэффициенты, определяющие ϕ1−3 , рассчитываются
по формуле (12).
Решая уравнение (13) относительно ϕ1−осн , получим
ϕ1− осн = 0,5 − (ϕ1− 2 + ϕ1− 3 + 0,5ϕ1− 4 ).
(15)
Теперь ϕосн −1 выразим согласно правилу взаимности
ϕосн −1 =
F1
⋅ ϕ1− осн .
Fосн
(16)
Аналогично (13) для грани призмы BCC’B’ справедливо
ϕ2 −1 + ϕ2 − 3 + ϕ2 − 4 + ϕ2 − 5 + ϕ2 − 6 + 2ϕ2 − осн = 1
(17)
Коэффициенты ϕ2 −1, ϕ2 − 3 определяются по формуле (12).
Согласно закону сохранения энергии:
ϕ2 − 4 =
1
(F2,9 ⋅ ϕ2,9 − 4,10 + F9 ⋅ ϕ9 −10 − F9 ⋅ ϕ9 − 4,10 − F2,9 ⋅ ϕ2,9 −10 ).
F2
(18)
Все угловые коэффициенты, присутствующие в правой части уравнения (18), вычисляются по формуле (12).
Для определения коэффициента облученности ϕ2 − 5 рассмотрим
фигуру, представленную на рис. 4.
F13 – площадь прямоугольникаBVV’B’
F14 – площадь прямоугольника VCC’V’
F15 – площадь прямоугольника CTT’C’
F16 – площадь прямоугольника RFF’R’
F17 – площадь прямоугольника FSS’F’
F18 – площадь прямоугольника SEE’S’
Рисунок 4 – Определение коэффициента облученности ϕ2−5
Согласно закону сохранения энергии
ϕ2 − 5 =
ϕ2− 6
1
(F2,15 ⋅ ϕ2,15 −5,16 − 2F15 ⋅ ϕ15 −18 − F14 ⋅ ϕ14 −17 );
2F2
1
(F2,12 ⋅ ϕ2,12 − 6,11 + F12 ⋅ ϕ12 −11 − F12 ⋅ ϕ12 − 6,11 −
=
F2
− F2,12 ⋅ϕ 2,12 −11 ) .
(19)
(20)
74
Коэффициенты облученности, определяющие ϕ2 − 5 и ϕ2 − 6 , вычисляют по формуле (11).
Из уравнения (17) имеем
ϕ2 − осн = 0,5 − 0,5(ϕ2 −1 + ϕ2 − 3 + ϕ2 − 4 + ϕ2 − 5 + ϕ2 − 6 ) .
(21)
Согласно соотношению взаимности
ϕосн − 2 =
F2
⋅ ϕ2 − осн .
Fосн
(22)
Коэффициент облученности между основаниями призмы
ϕосн −осн = 1 − (ϕосн −1 + ϕосн − 2 + ϕосн − 3 + ϕосн − 4 + ϕосн − 5 +
+ ϕосн − 6 ) = 1 − (2ϕосн −1 + 4ϕосн − 2 ) ,
где ϕосн −1 = ϕосн − 4 ; ϕосн − 2 = ϕосн − 3 = ϕосн − 5 = ϕосн − 6 .
(23)
Теперь коэффициент облученности основания элементами стенки
ячейки можно рассчитать, используя найденный коэффициент облученности оснований:
ϕосн − dz ( z ) = −
Fосн ∂
⋅ ϕосн − осн ( z ) .
Lосн ∂z
(24)
Сравнение коэффициентов облученности, полученных аппроксимацией (8) и методом алгебры угловых коэффициентов, приведено на
рис. 5 – 7.
Рисунок 5 – Характер изменения коэффициента облученности ϕосн−dz
по высоте СЗ (при ас=5 мм; К=1; β=60°): I – экспоненциальная аппроксимация; II – метод алгебры угловых коэффициентов
75
Рисунок 6 – Характер изменения коэффициента облученности ϕосн−dz
по высоте СЗ (при ас=5 мм; К=1; β=45°): I – экспоненциальная аппроксимация; II – метод алгебры угловых коэффициентов
Рисунок 7 – Характер изменения коэффициента облученности
ϕосн−dz по высоте СЗ (при ас=5 мм; К=1,1; β=45°): I – экспоненциальная
аппроксимация; II – метод алгебры угловых коэффициентов
Различие между величинами коэффициента облученности основания элементами стенки ячейки, полученными экспоненциальной аппроксимацией ядра, предложенной в работе [8] и методом алгебры угловых
коэффициентов, не превышает 0,9%. Следовательно, аппроксимация (8)
применима также и для сотов неправильной шестигранной формы в
плане.
С учетом аппроксимации (8) угловые коэффициенты (6) примут вид
dϕdz − dz' z − z' =
f
hСЗ
ϕосн − dz ( z ) = 0,5е
е
− 2f
− 2f
z
hСЗ
ϕосн − осн = e − 2f .
z − z'
hСЗ
dz' ;
L ⋅ dz
⋅
;
F
(25)
76
Систему уравнений, описывающих рассматриваемую задачу, представим в безразмерном виде посредством замены
2
q рез
С0Т 13 hСЗ
z
z'
;η =
;q =
;σ =
;
ξ=
λн δ н
hСЗ
hСЗ
С0Т 14
q1рез
q2 рез
Т
θ = ; q1 =
;
q
=
.
2
4
4
Т1
С0Т 1
С0Т 1
Приведение ядра интегрального уравнения лучистого теплообмена
(2) к экспоненциальному виду позволило преобразовать его в дифференциальное уравнение второго порядка (27).
С учетом вышеприведенных преобразований уравнения (1) - (4)
примут вид
d 2θ( ξ )
dξ
d 2 q( ξ )
dξ 2
2
− σ ⋅ q( ξ ) = 0 ;
2
− 4ε н f ⋅ q( ξ ) = ε н
(26)
d 2θ 4 ( ξ )
dξ 2
;
1⎛
⎛
⎞
⎞
q1
1 − ε2
1 − εн
= θ14 − ⎜⎜ θ 24 −
q 2 ⎟⎟e − 2f − ∫ ⎜⎜ θ 4(ξ) −
q(ξ) ⎟⎟2f ⋅ e − 2fξ dξ ;
ε1
ε2
εн
⎝
⎠
⎠
0⎝
(27)
(28)
1⎛
⎞
1− εн
q2
4 ⎛ 4 1− ε1 ⎞ −2f
= θ2 − ⎜⎜θ1 −
q(ξ)⎟⎟2f ⋅ e−2f (1−ξ )dξ . (29)
q1 ⎟⎟e − ∫ ⎜⎜θ 4(ξ) −
εн
ε2
ε1
⎝
⎠
⎠
0⎝
Граничными условиями при этом будут:
⎛
⎛
q (0 )
1 − ε1 ⎞
1 − ε2 ⎞
= θ14 − 0,5⎜⎜θ14 −
q1 ⎟⎟ − 0,5e − 2f ⎜⎜θ 24 −
q2 ⎟⎟ −
εн
ε1
ε2
⎝
⎠
⎝
⎠
1⎛
⎞
1 − εн
− ∫ ⎜⎜θ 4(γ) −
q(γ) ⎟⎟f ⋅ e − 2fγ dγ ;
εн
⎠
0⎝
⎛
⎛
q(1)
1 − ε1 ⎞
1 − ε2 ⎞
= θ 24 − 0,5e − 2f ⎜⎜θ14 −
q1 ⎟⎟ − 0,5⎜⎜θ 24 −
q2 ⎟⎟ −
εн
ε
ε
⎝
⎠
⎝
⎠
1
2
1⎛
⎞
1 − εн
− ∫ ⎜⎜θ 4(γ) −
q(γ) ⎟⎟f ⋅ e − 2f (1−γ )dγ .
εн
⎠
0⎝
(30)
(31)
Линеаризация описывающих задачу двух дифференциальных
уравнений второго порядка (26), (27) с граничными условиями (30), (31)
и соотношениями (28), (29) относительно θ(ξ) − 1 позволяет получить
решение в замкнутом виде:
77
[
(
)]
σ e kξ − 1 + ξ 1 − e k
θ (ξ ) = θ1 − (θ1 − θ 2 )ξ + C1
+
2
4ε н σ + f
k (1−ξ )
k
σe
− e − ξ 1 − ek
+ C2
;
4ε н σ + f 2
[
(
)
(
(
)]
)
(32)
q( ξ ) = C1e kξ + C2e k ( 1− ξ ) ,
где
Ci = (− 1)
i
(
)
2ε н (2 − ε i ) σ + f 2 (θ1 − θ2 )
f [ Ai − (− 1) (ε1 − ε 2 )Bi ]
i
(33)
;
(
)(
)
σ kf ⎤
⎡⎛ kf σ ⎞
Ai = (2 − ε i )⎢⎜ + ⎟e k − + ⎥ − ε i σ + f 2 1 − e k ;
2⎦
f
⎣⎝ 2 f ⎠
⎡σ
⎞⎤
2
k⎛σ
k
(
)
2
−
ε
−
+
e
kf
⎜
⎟⎥ − 2ε i e σ + f
i ⎢
k
1− e
⎝f
⎠⎦
⎣f
Bi = k
−
;
kε j ⎤
2
⎡
(2 − εi )⎢fεн (2 − ε j ) − ⎥ − (2 − ε j )⎡⎢fεн (2 − εi ) + kεi ⎤⎥ek
2 ⎦
2 ⎦
⎣
⎣
(
i = 1, 2;
(
)
)
j = 3 − i ; k = 2 εн σ + f 2 .
Эффективную теплопроводность ячейки СЗ вдоль оси z определим
следующим образом:
λ эф =
QhСЗ
,
F (T1 − T2 )
(34)
где Q – полный тепловой поток, поступающий с нижнего основания
ячейки на верхнее:
Q=−
Fδ λ σТ
λ н δ н LT1 dθ
⋅ ( 0 ) + н 2н 1 q( 0 ) .
hСЗ
dξ
hСЗ
(35)
Использовав решение (32), (33), получим выражение для определения эффективного коэффициента теплопроводности СЗ
λ эф = 4λ н
где
[
δн
[f + D1 + D2 ],
hСЗ
] (
)
σ(2 − ε i ) f ke k ( i −1) + 1 − e k − ε н σ + f 2 e k ( i −1)
Di =
.
⋅
2f
Ai − ( −1)i (ε1 − ε 2 )Bi
(36)
78
Выражение (36) определяет эффективный коэффициент теплопроводности изолированного СЗ. Как уже указывалось ранее, на теплопроводность сотовых конструкций существенное влияние оказывает клеевая прослойка, связывающая СЗ с НС. Поэтому представляется полезным определить эффективный коэффициент теплопроводности СЗ с
клеевой прослойкой на торцах. Для этого синтезируем полученное решение для изолированного СЗ с рассмотренным ранее методом электротепловой аналогии [6].
С точки зрения теплофизики СЗ с клеевой прослойкой на торцах
рассмотрим как систему последовательно соединенных термических сопротивлений СЗ и клея (рис. 8).
Рисунок 8 – СЗ с клеевой прослойкой
и соответствующая ему электрическая схема
Общее термическое сопротивление представленной электрической
схемы найдем согласно правилу последовательно включенных соединений:
Rобщ = RСЗ + 2Rк ,
(37)
h + 2δ к
где Rобщ = СЗ
– термическое сопротивление СЗ с клеевой проλ общ
слойкой;
Rк =
δк
– термическое сопротивление клеевого слоя;
λк
λ к – коэффициент теплопроводности клея;
h
RСЗ = СЗ – термическое сопротивление СЗ.
λСЗ
79
Синтезируя формулы (36) и (37), находим эффективный коэффициент теплопроводности СЗ с учетом клеевого слоя, связывающего соты
и НС:
λ общ =
4λ н λ к δ н (hСЗ + 2δ к )(f + D1 + D2 )
2
8λ н δк δн (f + D1 + D2 ) + hСЗ
λк
.
(38)
На рис. 9 – 12 показаны графики зависимости эффективного коэффициента теплопроводности СЗ от его высоты, размера грани ячейки
и различной толщины клеевой прослойки, определенные в соответствии
с полученными выше формулами. В качестве материала для СЗ была
выбрана алюминиевая фольга толщиной δн=0,04 мм.
Рисунок 9 – Характер изменения эффективного коэффициента
теплопроводности изолированного СЗ в зависимости от величины грани
ячейки: I - при hСЗ = 10 мм; II – при hСЗ = 20 мм; III - при hСЗ = 30 мм
Рисунок 10 – Характер изменения эффективного коэффициента
теплопроводности изолированного СЗ в зависимости от его высоты:
I – при ac = 2,5 мм; II – при ac = 5 мм; III – при ac = 7,5 мм
80
Рисунок 11 – Характер изменения эффективного коэффициента
теплопроводности СЗ в зависимости от толщины клеевого слоя,
связывающего СЗ и НС ( hСЗ = 20 мм; ac = 5 мм)
Рисунок 12 – Характер изменения эффективного коэффициента
теплопроводности СЗ в зависимости от температуры основания соты
( hСЗ = 20 мм; ac = 5 мм)
Анализ полученных результатов позволил сделать следующие выводы:
1. Эффективный коэффициент теплопроводности СЗ с увеличением размера грани ячейки уменьшается. Так, в рассматриваемом диапазоне изменения величины грани ячейки сотов 2,5 ≤ ac ≤ 7,5 максимальное и минимальное значения коэффициента теплопроводности СЗ
различаются более чем в 2,8 раза.
2. Учет радиационного теплообмена приводит к небольшому
уменьшению эффективного коэффициента теплопроводности СЗ с увеличением его высоты. Так, в диапазоне изменения высоты сотов
81
10 ≤ hСЗ ≤ 30 мм различие между максимальной и минимальной величинами теплопроводности СЗ не превышает 5%.
3. Существенное влияние на теплопроводность СЗ оказывает
клеевой слой, связывающий его с НС. Эффективная теплопроводность
СЗ с клеем отличается от теплопроводности изолированного СЗ более
чем в 7 раз. Влияние толщины клеевой прослойки незначительно. Так,
различие между величинами коэффициента теплопроводности при изменении толщины клеевого слоя в диапазоне 0,1…0,3 мм не превышает
5%.
4. Влияние температуры основания ячейки является незначительным.
В
заданном
диапазоне
изменения
температуры
20°C ≤ T1 ≤ 200°C различие между минимальным и максимальным
значениями коэффициента теплопроводности СЗ не превышает 0,9%.
Список использованных источников
1. Сотовые заполнители в конструкциях авиационно-космического
назначения [Текст] / В.И. Сливинский, В.С. Зевако, Г.В. Ткаченко,
О.А. Карпикова // Космічна наука і технологія: наук.-практ. журнал. – К.,
2008. – Т. 14, №3. – С. 101 – 107.
2. Белозеров, Л.Г. Композитные оболочки при силовых и тепловых
воздействиях [Текст] / Л.Г. Белозеров, В.А. Киреев. – М.: ФИЗМАТЛИТ,
2003. – 388 с.
3. Кондратьев, А.В. Проектирование головных обтекателей ракетносителей из полимерных композиционных материалов при одновременном тепловом и силовом воздействиях [Текст] / А.В. Кондратьев //
Вопросы проектирования и производства конструкций летательных аппаратов: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ». –
Вып. 4 (64). – Х., 2010. – С. 11 – 22.
4. Расчет композитной панели солнечной батареи с сотовым заполнителем при различных случаях ее нагружения [Текст] / В.Е. Гайдачук, А.В. Кондратьев, В.А. Коваленко и др. // Эффективность сотовых
конструкций в изделиях авиационно-космической техники: сб. материалов IV междунар. науч.-практ. конф., Днепропетровск 1 – 3 июня 2011 г. /
Укр. НИИ технологий машиностроения. – Днепропетровск, 2011. –
С. 40 – 53.
5. Панин, В.Ф. Конструкции с заполнителем [Текст] : справ. /
В.Ф. Панин, Ю.А. Гладков. – М. : Машиностроение, 1991. – 271 с.
6. Определение эффективного коэффициента теплопроводности
сотового заполнителя методом электротепловой аналогии заполнителем [Текст] / В.Г. Тихий, А.В. Кондратьев, А.Г. Смоленко, В.Л. Кириченко
// Вопросы проектирования и производства конструкций летательных
аппаратов: сб. науч. тр. Нац. аэрокосм. ун-та им. Н.Е. Жуковского «ХАИ».
– Вып. 2 (70).– Х., 2012. – С. 66 – 76.
82
7. Замула, Г.Н. Об эффективной теплопроводности сотового заполнителя [Текст] / Г.Н.Замула // Исследования по теплопроводности;
под ред. А.В. Лыкова, Б.М. Смольского. – Мн., 1967. – С. 255 – 261.
8. Замула, Г.Н. Определение эффективной теплопроводности и
излучательной способности многослойных и подкрепленных конструкций
[Текст] / Г.Н.Замула, С.Н. Иванов // Ученые записки ЦАГИ. – 1970. – Т.1,
№ 1. – С. 116 – 123.
9. Карпикова, О.А. Сотовый заполнитель из алюминиевой фольги с
регулируемыми механическими характеристиками [Текст] / О.А. Карпикова, В.И. Сливинский, Г.В. Ткаченко // Системні технології: Регіональний
міжвуз. зб. наук. пр. – Дніпропетрівськ: НМАУ, 2010. – Вип. 3(68). –
С. 14 – 19.
10. Спэрроу, Э.М. Теплообмен излучением [Текст] / Э.М. Спэрроу,
Р.Д. Сесс. – Л.: Энергия, 1971. – 294 с.
11. Оцисик, М.Н. Сложный теплообмен [Текст] / М.Н. Оцисик. – М.:
Мир, 1976. – 616 с.
12. Петровский, И.Г. Лекции по теории интегральных уравнений
[Текст] / И.Г. Петровский. – М.: Наука, 1965. – 128 с.
Поступила в редакцию 15.08.2012.
Рецензент: д-р техн. наук, ст. науч. сотр. В.И. Сливинский,
УкрНИИТМ, г. Днепропетровск.