Расчет эффективной теплопроводности элементарной ячейки с

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 40
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 536.22
Расчет эффективной теплопроводности элементарной ячейки с
помощью «действия».
Василевский Д.В., Симахин Е.А., Спирин Г.Г.
Аннотация
Предложено использовать «действие» (аналог интеграла энергии электростатического
поля) для расчета эффективной теплопроводности элементарной ячейки. Предложенный
подход применен для расчета теплопроводности дисперсных материалов, характеристики,
необходимой при тепловом проектировании летательных аппаратов. Максимальное расхождение результатов расчета по сравнению с численным расчетом не превышает 10%.
Ключевые слова
Теплопроводность; «действие»; элементарная ячейка; дисперсная среда; температурное поле.
Метод обобщенной проводимости предполагает рассмотрение теплообмена в дисперсной среде в рамках одной элементарной ячейки, моделирующей основные черты переноса тепла в среде в целом. В 19 веке этот метод был предложен для расчета электрических и
магнитных свойств дисперсных материалов [1], а затем распространен на тепловые свойства.
Расчет эффективной теплопроводности элементарной ячейки проводится численными
методами [2], а в случае линеаризации температурного поля с помощью тепловых сопротивлений [3].
Вместе с тем, к расчету теплопроводности ячейки есть другой подход, основанный на
аналогии стационарных электрических и температурных полей, описываемых уравнением
Лапласа. Известно, что при заданном распределении зарядов энергия электростатического
поля минимальна [4]. Отсюда можно говорить о принципе минимального действия для величины
1
S = ∫ ε (∇ϕ ) 2 dV ,
V
где -диэлектрическая проницаемость среды, φ - электрический потенциал.
Действием применительно к теплопереносу является величина
S = ∫ λ (∇T ) 2 dV ,
(1)
V
λ – коэффициент теплопроводности вещества.
Отметим, что принцип минимума «действия» может быть полезен при оценке точности численных расчетов стационарных температурных полей. В частности, с увеличением
точности описания температурного поля, «действие» уменьшается, имея пределом минимальное значение, соответствующее истинному распределению температурного поля.
Остановимся на расчете эффективной теплопроводности элементарной ячейки при
использовании «действия». Пусть элементарная ячейка, имеющая форму куба с ребром
L,ограничена торцевыми изотермическими поверхностями с температурами T1 и T2 соответственно, и боковыми адиабатическими. Потребуем выполнения следующего равенства:
S эф = S ,
(2)
где S эф - «действие» для ячейки, заполненной однородным веществом с теплопроводностью
λ эф , а S - «действие» реальной ячейки.
Рассмотрим элементарную ячейку, образованную чередующимися слоями, перпендикулярными тепловому потоку. В данном случае (2) имеет вид
2
2
⎛ dT ⎞
⎛T −T ⎞
λэф ⎜ 2 1 ⎟ L3 = ∑ λi ⎜ i ⎟ L2li , (3)
⎝ L ⎠
i
⎝ dli ⎠
где li - толщина i -ого слоя с теплопроводностью λi . Учитывая, что
dTi q0
=
,а
dli
λi
q
T2 − T1
= 0 , (q 0 = const ), окончательно получим
L
λ эф
1
λ эф
=∑
i
Здесь mi
mi
λi
.
(4)
- объемная концентрация i -ого слоя включения,
-объем -ого слоя, - объем
ячейки.
В случае параллельно расположенных слоев относительно теплового потока имеем:
2
2
S эф
2
⎛T −T ⎞
⎛T −T ⎞
= λ эф ⎜ 2 1 ⎟ L3 , S = ∑ λi ⎜ 2 1 ⎟ ll L2 . Отсюда
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠
i
λ эф = ∑ λi mi .
(5)
i
Соотношения (4) и (5) известны, они непосредственно следуют из закона Фурье, применимого к слоистым системам. Вместе с тем понятие «действия» имеет более общий характер и позволяет определить эффективную теплопроводность ячейки следующим интегральным соотношением:
λ эф
⎧⎪⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎛ ∂T ⎞ 2 ⎫⎪
∫ λ ⎨⎜⎝ ∂x ⎟⎠ + ⎜⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠ + ⎜⎝ ∂z ⎟⎠ ⎬⎪dV
V ⎪
⎩
⎭ .
=
2
⎛ T2 − T1 ⎞ 3
⎜
⎟ L
⎝ L ⎠
(6)
Расчет теплопроводности существенно упрощается в случае линеаризациитемпературного поля, т.е. замене криволинейных линий тока прямыми. В качестве примера рассмотрим элементарную ячейку с включением сферической формы ( r - радиус включения,
теплопроводность его материала,
λ2 -
λ1 - теплопроводность среды, в которой находится вклю-
чение) (рис. 1).
Сферу заключим внутри воображаемой адиабатической поверхности (цилиндра),
предполагая S эф = S ад , имеем
2
2
2
⎛T −T ⎞
⎛T −T ⎞
⎛T −T ⎞
λ ⎜ 2 1 ⎟ L3 = λ1 ⎜ 2 1 ⎟ L3 − πr 2 L + λэф(1,2) ⎜ 2 1 ⎟ πr 2 L ,
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠
⎝ L ⎠
ад
эф
(
)
(
)
(7)
где λэф (1, 2 ) - эффективная теплопроводность цилиндра.
3
4 ⎛r⎞
Учитывая, что объемная концентрация включения m2 = π ⎜ ⎟ , перепишем (7) в ви3 ⎝L⎠
де
3
L
q0
Рис. 1.
λ
ад
эф
2
2
⎤
⎡
3
3
3
3
⎛
⎞
⎛
⎞
= λ1 ⎢1 − π ⎜
m2 ⎟ ⎥ + λ эф (1, 2 )π ⎜
m2 ⎟ .
⎢
⎠
⎝ 4π
⎝ 4π
⎠ ⎥
⎦
⎣
(8)
Далее рассмотрим «действие» для цилиндра S эф (1, 2 ) = S12 , или
2
λ эф (1, 2 )
⎛ dT ⎞
⎛ T − T1 ⎞
2
=⎜ 2
⎟ πr L = λ1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ L ⎠
⎝ dx1 ⎠
2
⎛ dT
4 3⎞
⎛ 2
⎜ πr L − πr ⎟ + λ 2 ⎜⎜ 2
3
⎝
⎠
⎝ dx 2
2
⎞ ⎛4 3⎞
⎟⎟ ⎜ πr ⎟ .
⎠
⎠ ⎝3
Отсюда имеем
1
1
λ'эф (1, 2)
1
4⎛ 3
⎞3 4 ⎛ 3
⎞3
1− ⎜
m2 ⎟
m2 ⎟
⎜
3 ⎝ 4π
⎠ + 3 ⎝ 4π
⎠ .
=
λ1
(9)
λ2
Объединяя (8) и (9) получим
λад
эф
2
2
⎡
⎤
3
3
λ
λ
3
3
⎛
⎞
⎛
⎞
1 2
= λ1 ⎢1 − π ⎜
m2 ⎟ ⎥ +
⋅
π
m
⎜
⎟
2
1
1
⎢
⎡
⎤
⎝ 4π
⎠ ⎥
⎝ 4π
⎠ . (10)
⎣
⎦ λ ⎢1 − 4 ⎛ 3 m ⎞ 3 ⎥ + λ 4 ⎛ 3 m ⎞ 3
⎜
⎟
⎜
⎟
2
⎢ 3 ⎝ 4π 2 ⎠ ⎥ 1 3 ⎝ 4π 2 ⎠
⎣
⎦
Относительная величина эффективной теплопроводности равна
4
2
⎛ 3
⎞3
2
π ⎜ m2 ⎟
ад
⎡
⎤
λ эф ⎢
⎛ 3
⎞3
⎝ 4π
⎠
,
= 1−π⎜
m2 ⎟ ⎥ +
1
1
⎢
⎥
λ1
⎡
⎤
⎝ 4π
⎠
⎣
⎦ ⎢1 − 4 ⎛ 3 m ⎞ 3 ⎥ + v 4 ⎛ 3 m ⎞ 3
⎜
⎟
⎜
2⎟
⎢ 3 ⎝ 4π 2 ⎠ ⎥
3 ⎝ 4π
⎠
⎣
⎦
где v =
(11)
λ1
λ2
λад
λ
эф
. В случае 1 → ∞ эта величина равна
Рассмотрим отношение
λ1
λ2
⎡
⎤
λад
⎛ 3
⎞3
эф
m2 ⎟ ⎥ .
= ⎢1 − π ⎜
λ1 ⎢
⎝ 4π
⎠ ⎥
2
⎣
(12)
⎦
λад
π
эф
(m2 ) в диапазоне 0 ≤ m2 ≤ , представлена на рис. 3.
Зависимость
λ1
6
Рассмотрим случай расчета эффективной теплопроводности ячейки, для случая, когда
в ячейке выделены две плоскости aa' и bb' с температурами соответственно T1 ' и T2 ' (рис.
2). По принятой терминологии это соответствует изотермическому дроблению ячейки.
a
b’ T2
a’ T1
a
b
a
a
q0
Рис. 2.
из
= S из , или
Имеем S эф
5
⎛ q
λ ⎜ из0
⎜λ
⎝ эф
из
эф
2
2
2
⎞ 3
⎟ L = λ1 ⎛⎜ q 0 ⎞⎟ L3 − 2rL2 + λ12 ⎛⎜ q 0 ⎞⎟ 2rL2 ,
⎜λ ⎟
⎜λ ⎟
⎟
⎝ 1⎠
⎝ 12 ⎠
⎠
(
)
(
)
(13)
Здесь λ12 - эффективная теплопроводность слоя, заключенного между изотермическими поверхностями aa' и bb' . Учитывая, что q 0 = const , соотношение (13) перепишем в виде
1
=
λ
из
' эф
1 ⎡
1
⎛ r ⎞⎤
⎛r⎞
⋅ 2⎜ ⎟ .
1 − 2⎜ ⎟⎥ +
⎢
λ1 ⎣
⎝ L ⎠⎦ λ12 эф ⎝ L ⎠
(14)
Рассмотрим далее выделенный слой, для него имеем S12 эф = S12
⎛ T2 '−T1 ' ⎞
⎛ T '−T ' ⎞
⎛ T '−T ' ⎞ 2
2
2
'
2
⎟ ⋅ 2rL = λ1 ⎜ 2 1 ⎟(2rL − πr 2r ) + λ12 эф ⎜ 2 1 ⎟(πr 2r ) .
⎝ 2r ⎠
⎝ 2r ⎠
⎝ 2r ⎠
λ12 эф ⎜
λ12 эф
2
2
⎡
⎛r⎞
⎛r⎞ ⎤
'
= λ1 ⎢1 − π ⎜ ⎟ ⎥ + λ12 эфπ ⎜ ⎟ .
⎝L⎠
⎝ L ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
(15)
(16)
'
Здесь λ12эф
- эффективная теплопроводность цилиндра, в котором заключен шар. Боковую
поверхность цилиндра считаем адиабатической. В этом случае имеем S12' эф = S12'
2
2
2
⎛ qo ⎞
'
⎜
⎟ ⋅ πr 2 2r = λ1 ⎛⎜ qo ⎞⎟ ⎛⎜ πr 2 2r − 4 πr 3 ⎞⎟ + λ2 ⎛⎜ q o ⎞⎟ ⎛⎜ 4 πr 3 ⎞⎟ или
λ12
эф
'
⎜λ ⎟
⎜λ ⎟ 3
⎜λ
⎟
3
⎠
⎠
⎝ 1⎠ ⎝
⎝ 2⎠ ⎝
⎝ 12 эф ⎠
1
λ
'
12 эф
=
1 1 1 2
⋅ +
⋅ .
λ1 3 λ 2 3
(17)
Используя (14), (16), (17), получим
λизэф
2
2
⎧ ⎡
⎫
⎤
3λ1λ 2
⎪ ⎢
⎛ 3
⎞3 ⎥
⎛ 3
⎞3 ⎪
λ1 ⎨λ1 1 − π ⎜ m2 ⎟ +
π ⎜ m2 ⎟ ⎬
⎝ 4π
⎠ ⎥ 2λ1 + λ 2 ⎝ 4π
⎠ ⎪
⎪ ⎢⎣
⎦
⎩
⎭
=
.
1
2
2
1
⎧ ⎡
⎫
⎤
⎤
⎡
3λ1λ 2
⎪ ⎢
⎛ 3
⎞3
⎛ 3
⎞3 ⎪
⎛ 3
⎞3
⎛ 3
⎞3
m2 ⎟ ⎥ +
π ⎜ m2 ⎟ ⎬ ⋅ ⎢1 − 2⎜ m2 ⎟ ⎥ + 2λ1 ⎜ m2 ⎟
⎨λ1 1 − π ⎜
⎝ 4π
⎠
⎠ ⎪ ⎢
⎝ 4π
⎠ ⎥
⎝ 4π
⎠ ⎥ 2λ1 + λ 2 ⎝ 4π
⎪ ⎢⎣
⎦
⎦
⎩
⎭ ⎣
(18)
Относительная величина эффективной теплопроводности равна
2
2
⎡
⎤
3
3
3
3
⎞
⎛
⎞3
⎢1 − π ⎛⎜
m2 ⎟ ⎥ +
π ⎜ m2 ⎟
⎢
⎝ 4π
⎠ ⎥ 1 + 2v ⎝ 4π
⎠
λизэф
⎣
⎦
=
.
1
1
2
2
λ1 ⎧⎡
⎫ ⎡
⎤
⎤
3
⎪⎢
⎛ 3
⎞3
⎛ 3
⎞3 ⎪
⎛ 3
⎞3
⎛ 3
⎞3
m2 ⎟ ⎥ +
π ⎜ m2 ⎟ ⎬ ⋅ ⎢1 − 2⎜ m2 ⎟ ⎥ + 2⎜ m2 ⎟
⎨ 1−π⎜
⎝ 4π
⎠ ⎥ 1 + 2v ⎝ 4π
⎠ ⎪ ⎢
⎝ 4π
⎠ ⎥ ⎝ 4π
⎠
⎪⎢⎣
⎦
⎦
⎩
⎭ ⎣
Рассмотрим предельный случай. При v → ∞ выражение (19) примет вид
6
(19)
2
⎛ 3 ⎞3
1 − π ⎜ m2 ⎟
из
λ эф
⎝4 ⎠
.
=
2
1
1
λ1
⎡
⎤
⎡
⎤
3
3
3
⎢1 − π ⎛⎜ 3 m ⎞⎟ ⎥ ⋅ ⎢1 − 2⎛⎜ 3 m ⎞⎟ ⎥ + 2⎛⎜ 3 m ⎞⎟
2
2
2
⎢
⎝ 4π
⎠ ⎥ ⎢
⎝ 4π
⎠ ⎥ ⎝ 4π
⎠
⎣
⎦ ⎣
⎦
Зависимость
λизэф
(m2 ) , при v → ∞ представлена на рис. 3.
λ1
Истинное значение теплопроводности
λ эф
≈
λ1
λизэф λад
эф
+
λ1
λ1
2
(20)
. Зависимость
из
ад
λэф лежит между λэф
и λэф . Следовательно,
λ эф
(m2 ) также графически представлена на рис. 3. В том
λ1
числе, на этом же рисунке представлена зависимость
λ эф
(m2 ) , для случая сфера в кубе, поλ1
лученная численными методами [2]. Максимальное расхождение результата составляет не
более 10%.
Представляется, что изложенный метод расчета теплопроводности дисперсных материалов может найти свое место в практике расчета теплофизических свойств материалов.
λ эф
(m 2 )
λ1
λ ад
эф
(m 2 )
λ1
λ эф
(m 2 )
λ1
(численными
методами)
λизэф
(m 2 )
λ1
m2
Рис. 3.
7
Библиографический список
1.Maxwell C. Treatise on electricity and magnetism. Vol. 1.OxfordUniv. press, London
1892.
2.Дульнев Г.Н. Перенос тепла через твердые дисперсные системы. ИФЖ, Т.9, 1965,
№3, с399-404.
3.Дульнев Г.Н. Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов, «Энергия», Ленинград , 1974, 265с.
4.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, т.6., «Мир»,
Москва, 1966, 342с.
Сведения об авторах
1)Василевский Дмитрий Валентинович, МАИ, в.н.с., к.т.н., 25080645.
2)Симахин Евгений Александрович, МАИ, студент, 89266254986.
3)Спирин Геннадий Георгиевич, МАИ, зав. кафедрой, д.т.н., профессор,
89857772487,[email protected].
8