Введение в математическую логику и теорию алгоритмов Лекция 5 Логика отношений

Введение в математическую логику и теорию алгоритмов
Лекция 5
Логика отношений
До сих пор мы рассматривали некоторую структуру и анализировали формулы в этой
структуре. Так, мы рассматривали натуральный ряд с обычной сигнатурой и исследовали,
какие отношения можно задать формулами. Или мы рассматривали действительные
числа с сигнатурой, состоящей из символов полиномов и доказывали, что любая формула
эквивалентна безквнторной.
Теперь мы рассмотрим обратную задачу: дано множество формул в некоторой
сигнатуре, что можно сказать о структурах, в которых выполнены все формулы из этого
множества.
1. Некоторые определения и обозначения
Формула без свободных переменных называется замкнутой или утверждением.
Множество замкнутых формул (в какой-то сигнатуре) мы называем теорией или
системой аксиом. Структуру, в которой выполнены все формулы данной теории
называют моделью теории.
Если M = ⟨D, Σ, Зн⟩ — структура с сигнатурой Σ, а Φ — утверждение в той же сигнатуре,
то M ⊨ Φ означет, что формула Φ истинна в M .
Индуктивное определение истинности формулы в структуре было дано на лекции 3,
это одно из главных определений логики отношений, Вам следует полностью понимать его.
Если формула Φ(x̄) содержит свободные переменные, а ā ∈ D, то M ⊨ Φ(ā) означает, что
Φ истинна в M , если вместо переменных xi подставлены элементы ai . (Более формально:
значение формулы Φ на любой бесконечной последовательности из DN , начинающейся с
a0 , . . . , ak , равно 1 (истине), см. Лекцию 3.)
Теории, у которых нет моделей, называются противоречивыми.
Мы скажем, что утверждение Φ следует из теории Γ, если формула Φ истинна в любой
модели теории Γ. Несмотря на некоторую двусмысленность, мы будем обозначать
следование аналогичным выражением: Γ ⊨ Φ.
Понятие следования является одним из центральных в логике отношений (иногда эту
логику называют логикой первого порядка).
Задача. Является ли отношение следования разрешимым?
Комментарий. Вопрос состоит в следующем: можно ли придумать такой алгоритм
(компьютерную программу) с двумя аргументами – символьными строками, что если в
качестве значения первого аргумента дать одну формулу, а в качестве второго – другую,
то алгоритм сообщит ”да”, если вторая формула следует из первой, и ”нет” – в противном
случае.
1
2
Исходное определение следования ”запрограммировать” конечно нельзя: нужно
просмотреть все мыслимые структуры с данной сигнатурой и проверить, что если на
структуре истинна первая формула, то истинна и вторая. Однако из этого не следует,
что искомого алгоритма не существует.
Задача. Является ли отношение следования перечислимым?
Комментарий. Вопрос состоит в следующем: можно ли придумать такой алгоритм
(компьютерную программу) с одним аргументом – символьной строкой, что если в
качестве значения аргумента дать формулу, то алгоритм напечатает (бесконечный) список
всех формул, следующих из данной и только их.
2. Примеры теорий
1.
(∃u0 , . . . , un ∀v(v = u0 ∨ · · · ∨ v = un ))
Моделями являются структуры, содержащие не более n + 1 элемента.
Задача. Бывают ли теории у которых нет бесконечных моделей, но для каждого
натурального n есть модель, содержащая n элементов?
2.
(∀u(¬R(u, u)))
(∀u, v(R(u, v) ∨ R(u, v) ∨ u = v))
(∀u, v, w((R(u, v) ∧ R(v, w)) → R(u, w)))
Это структуры, в которых отношение R задает линейный порядок.
3.
(∀u(¬(u < u)))
(∀u, v(u < v ∨ v < u ∨ u = v))
(∀u, v, w((u < v ∧ v < w) → u < w))
(∀u(∃v(u < v)))
Линейный порядок без последнего элемента. Примеры моделей: Q< , R< , N< , Z< .
Задача. Доказать, что все модели этой теории бесконечны.
4.
(∀u(¬(u < u)))
(∀u, v(u < v ∨ v < u ∨ u = v))
(∀u, v, w((u < v ∧ v < w) → u < w))
(∀u(∃v(u < v)))
(∀u, v(u < v → (∃w(u < w < v))))
(∀u(∃v(v < u)))
Теория ΓQ . Плотный линейный порядок без первого и последнего элемента.
Примеры моделей: Q< , положительные рациональные числа, R< .
Задача. Можно ли что-то добавить к ΓQ , чтобы отделить Q< , R< ?
3
5.
(∀u(¬(u < u)))
(∀u, v(u < v ∨ v < u ∨ u = v))
(∀u, v, w((u < v ∧ v < w) → u < w))
(∀u(∃v(u < v)))
(∀u(0 < u ∨ u = 0))
(∀u(∃v(u < v ∧ (∀w(u < w → (v = w ∨ v < w)))))) (непосредственно следующий)
(∀u(u ̸= 0 → (∃v(v < u ∧ (∀w(w < u → w = v ∨ w < v)))))) (непосредственно
предыдущий)
Задача. Однозначно ли определен ”непосредственно следующий” и ”непосредственно
предыдущий” элементы?
Примеры моделей: N< , нечетные числа, N< + Z< .
N< + Z< = 0, 1, 2, . . . , . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .
Теория ΓN : Дискретный линейный порядок с наименьшим элементом.
Задача. Можно ли что-то добавить к ΓN , чтобы отделить N< , N< + Z< ?
Комментарий. На лекции одна из слушательниц предложила отделить эти две структуры
добавив бесконечное число утверждений – воспользоваться (если я ее правильно понял)
тем, что на N< выполнен принцип индукции: в любом непустом подмножестве есть
наименьший элемент. То есть для каждой формулы Φ(x) в сигнатуре теории ΓN добавить
утверждение
(∃u(Φ(u))) → (∃v(Φ(v) ∧ (∀w(w < v → ¬Φ(w)))))
Это прекрасная попытка, и, конечно, все эти утверждения истинны в N< . Но откуда у
нас уверенность, что хоть одно из этих утверждений ложно в N< + Z< ? Так что вопрос
остается открытым.
3. Инструменты
Мы собираемся исследовать модели теорий, поэтому нам понадобятся некоторые
средства работы с моделями.
Почему мы не пытались отделить структуры N< и нечетные числа с порядком? Ясно, что
эти структуры ”одинаковы”: отображение n → 2n + 1 взаимнооднозначно отображает N<
на нечетные числа сохраняя порядок и сопоставляя минимальному элементу (значению
константы 0) минимальный элемент, поэтому очевидно, что в этих структурах выполнены
одни и те же утверждения.
Пусть даны две структуры M1 = ⟨D1 , Σ, Зн1 ⟩ и M2 = ⟨D2 , Σ, Зн2 ⟩ и взаимнооднозначное
отображение ψ : D1 на D2 . Это отображение называется изоморфизмом структур
(а структуры называются изоморфными), если для каждого имени (k + 1)-местного
отношения P , входящего в сигнатуру Σ, для любых a0 , . . . , ak ∈ D1
Зн1 (P )(a0 , . . . , ak ) ⇔ Зн2 (P )(ψ(a0 ), . . . , ψ(ak ))
и для каждого имени константы c, входящего в сигнатуру Σ,
ψ(Зн1 (c)) = Зн2 (c).
4
Изоморфизм структур N< и нечетных чисел с порядком очевиден, но почему мы не
пытались отделить Q< и положительные рациональные числа?
Задача. Доказать, что любые две счетные модели теории ΓQ изоморфны.
Решение. Лемма. Пусть M1 и M2 – модели теории ΓQ и ψ : M1 → M2 такое отображение,
что (1) область определения ψ конечна (2) ψ(a) < ψ(b) ⇔ a < b (ψ является частичным
изоморфизмом). Тогда для любого c ∈ M1 можно найти такое d ∈ M2 , что a < c ⇔
ψ(a) < d (добавив ψ(c) = d мы можем продолжить частичный изоморфизм ψ на c).
Доказательство. Пусть a0 < · · · < an – область определения отображения ψ. Если (1)
c < a0 , то в качестве d возьмем любой элемент, меньший ψ(a0 ) (ΓQ гарантирует, что в
структуре нет наименьшего элемента), (2) c > an , то в качестве d возьмем любой элемент,
больший ψ(an ) (ΓQ гарантирует, что в структуре нет наибольшего элемента), (3) ai < c <
ai+1 , то в качестве d возьмем любой элемент ψ(ai ) < d < ψ(ai+1 (ΓQ гарантирует, что в
структуре между любыми двумя элементами есть промежуточный).
□
Теперь построим изоморфизм между счетными моделями M1 и M2 теории ΓQ . Пусть
a0 , a1 , . . . – элементы M1 , b0 , b1 , . . . – элементы M2 . Шаг за шагом будем строить цепочку
ψ0 ⊂ ψ1 ⊂ . . . таких отображений структуры M1 в M2 , что (1) область определения ψi
конечна и (2) ψi (a) < ψi (b) ⇔ a < b и (3) ψi+1 является продолжением ψi .
Шаг 0. ψ(a0 ) = b0 , ψ0 определено только на a0 .
Шаг k. k > 0, отображение ψk−1 определено.
k = 2i. Если ψk−1 определено на ai , то ψk = ψk−1 . В противном случае ψk – продолжение
ψk−1 на ai (используем лемму).
−1
k = 2i + 1. Если ψk−1
определено на bi , то ψk = ψk−1 . В противном случае ψk – такое
продолжение ψk−1 , что ψk−1 определено на bi (используем лемму для ψk−1 с заменой M1 на
M2 ).
∪
Отображение ψi является изоморфизмом: на четных шагах мы заботились о том, чтобы
оно было всюду определено, на нечетных – чтобы это было отображение ”на”.
Такой метод построения отображений называется ”челночный метод”.
решения.
Конец
Задача. При чём здесь челнок?
Задача. Бывают ли модели теории ΓQ , равномощные R, но не изоморфные R< ?
Важным частным случаем изоморфизмов являются автоморфизмы: в частности группы
автоморфизмов структур тесно связана с многообразием определимых отношений в
структурах.
Изоморфные структуры, конечно, неотличимы, но, поскольку нас в основном интересует
истинность формул в структурах, нам важно и ”более грубое” отношение сходства
структур.
Если M – структура, то символом ThM мы обозначаем теорию структуры M – множество
утверждений, истинных в структуре M .
5
Мы скажем, что структуры M1 и M2 элементарно эквивалентны (или просто
эквивалентны), если ThM1 = ThM2 .
Задача.Почему изоморфные структуры эквивалентны?
Конечно, правильный ответ: ”очевидно”. Но из педантизма индукцией по построению
формулы Φ можно доказать, что
M1 ⊨ Φ(ā) ⇔ M2 ⊨ Φ(ψ̄(ā))
Доказательство рутинное, рассмотрим, например, случай Φ(x̄) = (∃uΨ(x̄, u)) и ⇒.
M1 ⊨ Φ(ā) ⇒ (M1 ⊨ Ψ(ā, b) для некоторого b ∈ M1 ) ⇒ (индукция) M2 ⊨ Ψ(ψ̄(ā), ψ(b)) ⇒
M1 ⊨ Φ(ψ̄(ā))
Задача. Бывают ли эквивалентные неизоморфные структуры?
Пусть M = ⟨D, Σ, Зн⟩ – некоторая структура, а D1 – подмножество области (носителя) D,
содержащее значения всех констант. Тогда подструктура M1 = ⟨D1 , Σ, Зн1 ⟩ определяется
естественным образом: отображение Зн1 является ограничением Зн на D1 . В общем
случае теории ThM и ThM1 имеют мало общего, поэтому особый интерес представляют
элементарные подструктуры.
Подструктура M1 структуры M называется элементарной, если M ⊨ Φ(ā) ⇔ M1 ⊨ Φ(ā)
для любой формулы Φ в сигнатуре Σ и любых элементов ā ∈ M1 . В этом случае структура
M называется элементарным расширением структуры M1 .
Если M1 – элементарная подструктура структуры M , то M и M1 , конечно,
эквивалентны.
Задача. Бывают ли такие структуры M и M1 , что (1) M1 – подструктура M , и (2) M1
эквивалентно M , но (3) M1 не является элементарной подструктурой M ?
Следующий критерий позволяет определить, когда подструктура элементарна.
Критерий Тарского – Воота.
Пусть M1 – подструктура структуры M . Следующие два условия равносильны:
(1) M1 – элементарная подструктура структуры M
(2) для любой формулы Φ(x̄, y) и любых элементов ā ∈ M1 если
M ⊨ Φ(ā, b) для некоторого b ∈ M , то
M ⊨ Φ(ā, b ′ ) для некоторого b ′ ∈ M1 .
Доказательство.
(1) ⇒ (2).
Очевидно: M ⊨ Φ(ā, b) для некоторого b ∈ M ⇒ M ⊨ (∃uΦ(ā, u)) ⇒(элементарная
подструктура) M1 ⊨ (∃uΦ(ā, u)) ⇒ M1 ⊨ Φ(ā, b ′ ) для некоторого b ′ ∈
M1 ⇒(элементарное расширение) M ⊨ Φ(ā, b ′ ).
(2) ⇒ (1). Индукцией по построению формулы Φ покажем, что
M1 ⊨ Φ(ā) ⇐⇒ M ⊨ Φ(ā)
для любой формулы Φ и для любых ā ∈ M1 .
6
Мы разберем единственный нетривиальный случай: Φ = (∃uΨ(x̄, u)).
Все остальные случаи: атомной формулы, Φ = ¬Ψ, Φ = Ψ1 ∨ Ψ2 , Φ = Ψ1 ∧ Ψ2 , Φ = Ψ1 →
Ψ2 , Φ = Ψ1 ≡ Ψ2 , Φ = (∀uΨ) разберите, пожалуйста, самостоятельно.
⇒. Пусть M1 ⊨ (∃uΨ(ā, u)). Тогда M1 ⊨ Ψ(ā, b ′ ) для некоторого b ′ ∈ M1 ⇒(индукция)
M ⊨ Ψ(ā, b ′ ) ⇒ M ⊨ (∃uΨ(ā, u)) (мы не использовали условий критерия).
⇐. Пусть M ⊨ (∃uΨ(ā, u)). Тогда M ⊨ Ψ(ā, b) для некоторого b ∈ M ⇒(критерий) M ⊨
Ψ(ā, b ′ ) для некоторого b ′ ∈ M1 ⇒(индукция) M1 ⊨ Ψ(ā, b ′ ) ⇒ M1 ⊨ (∃uΨ(ā, u)).
□
Мы используем данный критерий для доказательства теоремы Лёвенгейма –
Сколема.
Теорема Лёвенгейма – Сколема об элементарной подмодели. Любая беконечная
структура с конечной или счетной сигнатурой содержит счетную элементарную
подструктуру.
Доказательство. Построим счётную цепочку M0 ⊂ M1 ⊂ . . . счётных подструктур
бесконечной структуры M .
Подструктура M0 — произвольная счётная подструктура структуры M , содержащая все
элементы, соответствующие именам констант.
Пусть Mi уже построено. Для каждой формулы Φ(x̄, y) и для всех ā ∈ Mi , если M ⊨
Φ(ā, b) для некоторого b ∈ M , мы добавляем в Mi+1 один из таких элементов.
∪
Мы утверждаем, что подструктура M ′ =
Mi является искомой. Подструктура M ′
счётна, поскольку на каждом шагу мы добавляли не более чем счетное число элементов.
Элементарность подструктуры следует из критерия. Пусть M ⊨ Φ(ā, b), ā ∈ M ′ для
некоторого b ∈ M , мы должны показать, что M ⊨ Φ(ā, b′ ) для некоторого b′ ∈ M .
Поскольку набор ā конечен, то ā ∈ Mi для некоторого i. Тогда, при построении
подструктуры Mi+1 , мы рассматривали формулу Φ(x̄, y) и набор ā. Поскольку M ⊨
Φ(ā, b), то в Mi+1 будет включен один из таких элементов.
□
Одним из основных инструментов построения моделей является
Теорема компактности. Если любое конечное подмножество теории непротиворечиво,
то теория непротиворечива.
Задача. Как доказать теорему компактности?
Теорема компактности для логики отношений будет доказана позже.
Важное следствие:
Следствие.
Если некоторая замкнутая формула является следствием теории,
то эта формула является следствием некоторого конечного подмножества данной
теории.
Задача. Как вывести следствие из теоремы компактности?
7
Теория Γ называется полной, если Γ ⊨ Φ или Γ ⊨ ¬Φ для любой замкнутой формулы
Φ.
Полную теорию Γ по-существу нельзя усилить: если к ней добавить какое-то утверждение
Φ, то или Φ уже было истинно на всех моделях теории Γ, или теория станет
противоречивой – у нее не будет ни одной модели.
Иными словами, теория полна тогда и только тогда, когда две любые модели теории
эквивалентны.
Задача. Любую ли непротиворечивую теорию Γ можно расширить до полной теории?
Да, конечно. Пусть M – модель теории Γ. Рассмотрим ThM (все утверждения, истинные
в структуре M ) – эта теория является полным расширением теории Γ.
Задача. Являются ли теории ΓQ , ΓN полными?
4. Плотный порядок без первого и последнего элементов
Утверждение. Теория ΓQ полна.
Доказательство. Пусть M1 и M2 – две не эквивалентные модели теории ΓQ . Поскольку
все модели данной теории бесконечны, то, по тереме Лёвенгейма – Сколема, можно
считать, что M1 и M2 счетны. Тогда они, как мы заметили раньше, изоморфны, поэтому
эквивалентны. Противоречие.
□
Теория категорична в счётной мощности — все счетные модели изоморфны.
Доказывая полноту ΓQ мы фактически доказали
Признак Лося – Воота. Непротиворечивая теория с конечной или счётной сигнатурой,
не имеющая конечных моделей и категоричная в счётной мощности, полна.
Имеет место и обобщение этого признака на несчетные модели:
Пусть у непротиворечивой теории Γ с конечной или счётной сигнатурой, все модели
бесконечны и для некоторой модели M , все модели, равномощные M , изоморфны M .
Тогда теория Γ полна.
Мы, однако, не будем доказывать признак Лося – Воота в общем виде, а вернемся к
рассмотрению теории ΓN .
Однако прежде подведем итоги исследованию теории ΓQ : теория полна, то есть все
ее модели эквивалентны (в частности, отделить Q< и R< невозможно). У теории
единственная (с точностью до изоморфизма) счетная модель – Q< . Любая несчетная
модель является элементарным расширением (единственной) счетной модели.
5. Дискретный линейный порядок с наименьшим элементом
В данном случае признак Лося – Воота не применим: мы знаем, что у теории ΓN есть как
минимум две неизоморфные счетные модели: N< и N< + Z< .
Задача. Докажите, что структуры N< и N< + Z< не изоморфны.
8
Пусть M – произвольная модель теории ΓN , a, b – некоторые элементы M . Мы скажем,
что элементы a, b структуры M близки, если между a и b находится лишь конечное число
элементов. Более формально: элементы a ⩽ b (b ⩽ a) близки, если множество c ∈ M, a ⩽
c ⩽ b (b ⩽ c ⩽ a) конечно. Множество элементов, близких к элементу a, мы будем
обозначать ã и называть галактикой.
Задача. Докажите, что структура M разбивается на множество непересекающихся
галактик (классов эквивалентности отношения близости).
Задача. Как устроена галактика 0̃? Как устроены все прочие галактики?
Галактика 0̃ изморфна N< , любая другая галактика изоморфна Z< .
Мы определим порядок на галактиках так, что ã < b̃ если ã ̸= b̃ и a < b.
Задача. Корректно ли определен порядок (зависит ли отношение порядка между
галактиками от того, какой именно элемент выбран в галактике)? Будет ли порядок на
галактиках линейным? Есть ли среди галактик наименьшая?
Рассмотрим структуру N = ⟨N, {0, 1, 2, . . . , <, +, ×}, Зн0 ⟩ — натуральный ряд с
естественным соответствием Зн0 .
Техническое замечание. До сих пор мы рассматривали сигнатуры, в которых встречались
символы констант и отношений, в данной сигнатуре у нас встречаются символы функций
– +, ×. Это обобщение является чисто технической проблемой. Есть два способа решить
эту проблему.
Во-первых, можно, конечно, обобщить понятие интерпретации, включив в него
сопоставление функциональным символам функций соответствующей арности
на области (носителе) структуры.
Все сформулированные ранее утверждения
сохранятся.
Во-вторых, можно каждому функциональному символу от n переменных сопоставить
символ соответствующего отношения от n + 1 переменных (так, в частности, символу +
сопоставим символ R+ (x, y, z), символу × – R× (x, y, z), причем интерпретируются они
так, что R+ (n1 , n2 , n3 ) ⇔ n1 + n2 = n3 , R× (n1 , n2 , n3 ) ⇔ n1 · n2 = n3 ) и считать, что в
сигнатуру входят не имена функций, а имена соответствующих отношений. В этом случае
формулы станут более громоздкими, например вместо a + b + c = d придется писать
(∃u(R+ (a, b, u) ∧ R+ (u, c, d))) но по-существу ничего не изменится. Конец технического
замечания.
Пусть c — новое имя константы, рассмотрим теорию ThN ∪ {c ̸= i | i ∈ N }. По теореме
компактности данная теория непротиворечива.
Задача. Почему каждое конечное подмножество данной теории имеет модель?
Конечное подмножество содержит, в частности, лишь конечное множество утверждений
c ̸= n0 , . . . , c ̸= nk , где n0 , . . . , nk – натуральные числа. Поэтому моделью для
такого подмножества является обычный натуральный ряд, причем константе c можно
сопоставить любое натуральное число, не равное n0 , . . . , nk .
Пусть N∗ – некоторая счетная модель данной теории (раз бесконечная модель
данной теории существует, то, по тереме Лёвенгейма – Сколема, имеется и счетная
9
модель). Такие структуры называются нестандартными арифметиками, они устроены
чрезвычайно сложно и их рассмотрение выходит за рамки нашего курса.
В данном случае нас интересует в основном порядок на структуре N∗ – обозначим через
N∗< структуру, полученную из N∗ удалением всех отношений, кроме < и константы
0: носители структур N∗ и N∗< совпадают, сигнатура структуры N∗< – это {<, 0},
интерпретации символов < и 0 в структурах N∗ и N∗< совпадают.
Поскольку каждое натуральное число является значением соответствующей константы из
ThN , то N∗< является, по-существу, элементарным расширением N< и, тем более, моделью
теории ΓN .
Задача. Структура N∗< зависит от выбора модели N∗ . Может ли структура N∗< оказаться
изоморфной N< ?