Задачи и решения всех этапов

МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
Этап
23 октября 2011 г.
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН И ТЕОРЕМА ВИЕТА
1. (1б) Какой из графиков иллюстрирует решение данного уравнения  x 2  7 x  13  0
2. (1б) Определить значение выражения x12 x2  x1 x2 2 , где x1 ,x2 корни уравнения  2 x 2  5 x  8  0 .
3. (2б) По графику определить знак выражения nm  np , где p, m
и n – коэффициенты y  px 2  mx  n .
4. (2б) В зависимости от значений параметра a, определите число
корней уравнения (совпадающие корни считать за один
корень) a 2  a x 2  2a  1x  a  2  1 ?


 y  2 x 2  a
5. (3б) При каком значении параметра a система уравнений  2
имеет ровно три
 x  y 2  9
решения?
6. (3б) При каких p все корни уравнения x 2  px  2 p  0 больше 1?
РЕШЕНИЯ
За арифметическую ошибку во всех задачах снимается 0,5 баллов
Задача 1.Решение.
Старший коэффициент отрицательный, следовательно, ветви графика направлены вниз.
Уравнение имеет отрицательный дискриминант, следовательно, не имеет корней. Поэтому
правильный график размещен под цифрой 2.
Критерии оценки.
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Верно определено направление ветвей параболы, определено, что корней
квадратное уравнение не имеет. Данные правильно интерпретированы,
указан правильный ответ.
Допущена арифметическая ошибка, в результате которой данные
изменились. С учетом ошибки задание решено верно.
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий
Задача 2.Решение.
x12 x2  x1 x2 2  x1 x 2  x1  x 2  
c b
8 5



 10
a a
2 2
Ответ. 10.
Критерии оценки.
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Задача верно сведена к возможности использования теоремы Виета. Терема
применена верно. Получен правильный ответ.
Ход решения верен, но решение не доведено до конца.
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Задача 3.Решение.
Ветви параболы опущены вниз, значит, p<0, n (свободный член) - точка пересечения
m
графика функции с осью ОY, n=3>0. Вершина параболы х0>0; x0 
, откуда m>0.
2p
nm  np  nm  p  0
Критерии оценки.
2 балла
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Верно определены знаки всех трех коэффициентов. Правильно определен
знак искомого выражения
Верно определены знаки коэффициентов, но общий вывод о знаке сделан не
верно. Или задача решена верно, но нет достаточных обоснований для знака
m.
Задача решена верно в условиях неверно определенного знака среднего
коэффициента m.
Правильно определены знаки двух из трех коэффициентов. В остальном
задача решена не правильно.
Не выполнено ни одно из перечисленных выше условий
Задача 4.Решение.
a

 a x 2  2a  1x  a  2  1 преобразуем к виду aa  1x 2  2a  1x  a  1  0
1. a  1 : 0  0   число решений
1
2. a  0 :  2 x  1  0  x   - одно решение
2
2
3. a  0, a  1 : ax  2 x  1  0 Число решений квадратного уравнения зависит от
знака дискриминанта: D  4  4a  41  a . a  1 поэтому дискриминант не может
быть равен нулю, а уравнение иметь один корень. a<1 – два решения, a>1 – нет
решений.
Ответ a   ;0  0;1 - два решения; a=0 – 1 решение, a=1 - ∞ число решений a>1 – нет
решений.
2
Критерии оценки.
2 балла
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Рассмотрены все случаи. Получен правильный ответ.
Ход решения верен, но при решении итогового неравенства не верно
выбраны вернее промежутки.
Неверно определено число решений при а=1
Описана идея решения
Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.
Задача 5 .Решение.
1 способ (графическое решение)
 y  2 x  a
Представим графическое решение системы  2
.
 x  y 2  9
Графиком второго уравнения системы является окружность с центром в начале координат
и радиусом равным трем. Графиком первого уравнения системы является
парабола y  2x 2 , сдвинутая на a вверх (если a отрицательно) или на a вниз (если a
положительно).
2
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Для того чтобы система имела три решения, должно существовать три точки пересечения.
Это возможно в единственном случае, когда парабола сдвинута на 3 единицы вниз, т.е.
а=3.
Критерии оценки.
3 балла
2 балла
1 балл
0,5 баллов
0 баллов
Приведена верная графическая иллюстрация. Получен верный ответ.
Приведена верная графическая иллюстрация. Неправильно определен знак
сдвига параболы.
Идея решения верная, но допущена ошибки при построении графиков
Правильно выполнена графическая иллюстрация, но выводов не сделано.
Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.
2 способ (алгебраическое решение)
Подставим значение y из первого уравнения во второе, получим биквадратное уравнение
4 x 4  x 2 4a  1  a 2  9  0 , которое должно иметь ровно три различных корня (так как
затем y из первого уравнения определяется однозначно). Биквадратное уравнение имеет
три корня, если квадратное уравнение 4t 2  t 2 4a  1  a 2  9  0 имеет два корня, один
из которых положительный, а другой – ноль. Это возможно при реализации следующих

2
2
145
16a  8a  1  16a  144  0 a 

D

0

8
 2


a  9
0
 a  3  a  3
условий:  x1  x 2  0  
x  x  0  8

1
2
 1
 4a  1
a 
4

 8  1
Ответ. 3




Критерии оценки.
3 балла
2 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
Задача верно сведена к биквадратному уравнению. Проанализированы корни
этого уравнения. Получен верный ответ
Задача верно сведена к биквадратному уравнению, при решении которого
учтены не все условия
Задача верно сведена к биквадратному уравнению, при решении которого
учтены не все условия и допущена ошибка в решении системы
Описана идея решения
Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.
Задача 6.Решение.
Условия задачи удовлетворяют схематическим чертежам.
Поэтому, корни уравнения x 2  px  2 p  0 больше 1, если
выполнены следующих условия:

 p 2  8 p  0  p  p  8  0
D  0
 p   ;8  0;  



 p 1

 p   ;8
 f 1  0  1  p  0
 p  2
x  1
 p
 p  2
 0


1
 2
Ответ p   ;8
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
Критерии оценки.
3 балла
2 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
23 октября 2011 г.
Задача верно сведена к системе условий. Все неравенства решены верно.
Получен правильный ответ.
Задача верно сведена к системе условий. Все неравенства решены верно.
Ответ отличается от верного конечным числом точек.
Задача верно сведена к системе условий. При решении неравенств, или
системы неравенств допущены ошибки, в результате которых получен
неверный ответ.
Описана идея решения
Не выполнено ни одного из вышеназванных условий.
Этап
НЕРАВЕНСТВА.
1
.
(1 балл)
x
2
x( x  1)
2. Решить неравенство
 0 (2 балла)
x2
2
3. . Решить неравенство (arctgx)  4arctgx  3  0 .
1. Решить неравенство
x 
(2 балла)
4. Решить неравенство x  2 x  1  x  2 x  1  2 . (3 балла)
5. Задание A) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы, задание Б)
– тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из заданий или А)
или Б)
1
log x2 ( x 2  x  )  1 .
2
4
Б) (Без логарифмов). (4 балла). При каких значениях a неравенство 2( x  a)  1  x имеет
A) (Без производной). (4 балла). Решить неравенство
хотя бы одно решение?
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
1. Решить неравенство
Решение:
x 
(1 балл)
x  0 очевидно решение, если x  0 , то x 
Ответ: (,0)  (1, ) .
Баллы
1
.
x
1
x
и, следовательно
x  1.
Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен
верный ответ.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок в 1 балл.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
x( x  1)
 0.
x2
2
2. Решить неравенство
( x  1) 2
Решение: x  0 , поэтому
 0 с учетом ( x  1)2  0 , получаем:
x
Ответ: (,0)  1 .
Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
В ответе отсутствует 1 .
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
(arctgx)2  4arctgx  3  0 .
Решение: arctgx  t  t 2  4t  3  0  t  1 или t  3  arctgx  1 или arctgx  3 .

 . Следовательно 
Однако
  x  tg1.
3.Решить неравенство

 arctgx 
2
2
Ответ: x  tg1 .

2
 arctgx  1 
Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
2
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
1
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Возможно, не учтено условие 
0

2
 arctgx 
.
2
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
4. Решить неравенство
Решение:
x  2 x 1  x  2 x 1  2 .
( x  1  1)2  ( x  1  1)2  2 
x 1 1
Если x  1  1 т.е. x  2 , то 2 x  1  2  x  2 . Если же
когда1  x  2 , то имеем 2=2.
Ответ: x  1.
x 1 1  2 .
x  1  1, т.е.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Баллы Критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым
ответом
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ.
2
Выполнен переход к уравнению с модулями. Разобран хотя бы один случай
раскрытия модулей. Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная
ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В
результате описки или ошибки возможен неверный ответ.
1
Выполнен переход к уравнению с модулями.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок.
5. (Без производной).
Решить неравенство log ( x 2  x  1 )  1 .
x2
2
1
2
 x  0 . Имеем
 x  1
Решение: log 2 ( x 2  x  )  log 2 x 2 . ОДЗ 
x
x
 x 2  1,

 x 2  1,
 x  0,
x

1
1) 
.
2)

 1  x  1 .
 2
1

x  1
2
2
x  x   x


2
 x2  x  1  x2

2
1
Ответ: ( 1,  ]  (1, ) .
2
Баллы Общие критерии оценки выполнения математических заданий с
развернутым ответом
4
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Верно обоснованы все моменты решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный
ответ.
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Ответ отличается от правильного лишь конечным числом точек.
Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на
правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или ошибки
возможен неверный ответ.
2
Найдено без ошибок ОДЗ неравенства. Рассмотрен один из случаев
x2  1( x2  1) .
1
Найдено без ошибок ОДЗ неравенства.
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
5. (Без логарифмов).
При каких значениях
a
23 октября 2011 г.
неравенство 2( x  a)4  1  x имеет хотя бы одно решение?
f ( x)  2( x  a)4  x . Искомыми будут те значения a ,
1
при которых min f ( x)  1. Имеем f ( x)  8( x  a)3  1; f ( x)  0 при x  a  .
2
1
1
Если x  a  , то f ( x)  0; если x  a  , то f ( x)  0 . Следовательно, непрерывная
Решение: Рассмотрим функцию
2
2
функция f ( x) имеет единственную точку экстремума и этот экстремум минимум,
поэтому в этой точке функция и достигает своего наименьшего значения.
1
3
11
3
f (a  )  a  . Решая неравенство a   1 , получаем a  .
2
8
8
8
Ответ: a  11 .
8
Баллы Общие критерии оценки выполнения математических заданий с
развернутым ответом
4
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Верно обоснованы все моменты решения.
Правильно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный
ответ.
3
Приведена верная последовательность всех шагов решения.
Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие
на правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или
ошибки возможен неверный ответ.
2
Найдена точка экстремума функции , обоснование возможно отсутствует.
Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие
на правильность дальнейшего хода решения. В результате описки или
ошибки возможен неверный ответ
1
Приведено наименьшее значение функции
0
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям
выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.
f ( x) .
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Этап
ГЕОМЕТРИЯ
1 (1 балл). Площадь полной поверхности куба равна 54. Найдите ребро куба.
2 (2 балла). В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Площадь треугольника
АВО равна 2, а длина стороны ВС равна 3. Найдите высоту АН этого треугольника.
3 (2 балла). Найдите площадь четырехугольника АВСD, если известны координаты его
вершин А(-2; 5), В(6; 1), С(3; -3) и D(-4; -2).
4 (3 балла). В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известны три ребра:
АВ = 5, ВС = 12 и АА1 = 9. Определите синус угла между прямой А1D и плоскостью АС1С.
5 (4 балла). Дана окружность радиуса 4 с центром в точке О, расположенной на
биссектрисе угла, равного 60. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и
касающейся данной окружности внешним образом, если известно, что расстояние от
точки О до вершины угла равно 10.
КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Задача 1.
Баллы
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верные рассуждения, но имеются арифметические ошибки.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 2.
Баллы
2
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Найдена площадь исходного треугольника, но высота не найдена.
Высота треугольника выражена через площадь и сторону ВС, но при этом
площадь треугольника не найдена.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 3.
Баллы
2
1,5
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Предложены верные идеи решения, но в решении имеются арифметические
ошибки.
Предложены верные идеи решения (возможно, нерациональные), но сами идеи
не реализованы.
Есть некоторые верные идеи, но их недостаточно, чтобы решить задачу
(например, найдены стороны треугольника; других идей и вычислений нет).
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Задача 4.
Баллы
3
2,5
2
1
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение.
Верно указан угол между прямой и плоскостью (в плоскости основания
опущен перпендикуляр из точки D на диагональ прямоугольника), но
обоснования угла нет. Синус угла найден верно.
Верно указан угол между прямой и плоскостью (см. ранее). Способ
нахождения синуса угла указан неверно.
Верно указан угол между прямой и плоскостью (см. ранее), при этом
обоснования нет. Других продвижений нет.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Задача 5.
Баллы
4
3
2
1
0,5
0
Правильность (ошибочность) решения
Полное верное решение. Обоснованно получен верный ответ с рассмотрением
двух случаев.
Имеются два варианта расположения окружности. Идеи нахождения радиуса,
в целом верны, но имеются арифметич. ошибки и (или) мелкие неточности.
Рассмотрен только один вариант расположения окружности, радиус которой
необходимо найти. Вычисления проведены верно.
Рассмотрен только один вариант расположения окружности, радиус которой
необходимо найти. Вычисления содержат ошибку.
Возможно два варианта расположения окружности в виде чертежей. Но идей
нахождения радиусов нет.
Сделан верный чертеж к одному из вариантов расположения окружности. Но
идей для вычислений радиуса нет.
Решение неверное, продвижения отсутствуют или решение отсутствует.
Решения задач этапа «ГЕОМЕТРИЯ»
Задача 1.
Полная поверхность куба – это 6
площадей квадратов со стороной а.
S = 6a2 = 54.

а = 3.
Ответ. Ребро куба равно 3.
Задача 2.
Три медианы треугольника делят его
на 6 равновеликих треугольников.
Так как S ABO  2 , то S ABC  6 .
AH 
2S ABC 2  6

 4.
BC
3
Ответ. АН = 4.
Задача 3.
Достроить до прямоугольника со
сторонами 10 и 8 (см. рисунок).
Чтобы найти площадь четырехугольника АВСD, нужно
из площади прямоугольника вычесть 4 площади
прямоугольных треугольников, катеты которых легко определяются.
1
1
1
1
S ABCD  10  8   7  2   4  8   3  4   1  7   80  7  16  6  3,5  47,5
2
2
2
2
Ответ. SABCD = 47,5.
Задача 4.
В плоскости основания
АВСD провести перпендикуляр DH
на диагональ АС.
DH  AC (по построению)
DH  AA1 (так как боковое ребро
прямоугольного
параллелепипеда
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
перпендикулярно любой прямой плоскости).
Следовательно, DH  (АС1С).
Тогда A1H – проекция A1D на плоскость АС1С и DA1H – искомый.
DH
Синус угла найдем из прямоугольного треугольника A1DH: sin DA1 H 
.
A1 D
AD  DC 12  5

ACD: DH 
;
AC
13
AA1D:
A1 D  9 2  12 2  3 32  4 2  3  5  15 .
DH
12  5
4
sin DA1 H 

 .
A1 D 13  15 13
Ответ. sin DA1 H 
4
13
Задача 5.
Возможны два варианта расположения окружности, которая касается исходной
окружности и вписана в данный угол. Так как окружность вписана в угол, то ее центр
лежит на биссектрисе этого угла. Радиусы, проведенные в точки касания,
перпендикулярны стороне угла.
Рассмотрим подобие прямоугольных треугольников с острым углом 30: АОВ и АО1С.
1
ОВ = АО = 5 (свойство прямоугольного треугольника с углом 30).
2
I случай.
АО1 = АО – OD – O1D = 10 – 4 – r = 6 – r.
Из
подобия выпишем пропорцию:
6  r 10


r = 2.
r
5
II случай.
АО1 = АО + OD + O1D =
= 10 + 4 + R = 14 + R.
Из подобия выпишем пропорцию:
14  R 10


R = 14.
R
5
Ответ. Радиус может равняться
2 или 14.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Этап
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1
1  1
 1
1. (1 балл) Упростить  x 1  x  x 1  
3
3  52
3
2. (2 балл) Задание а) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал логарифмы,
задание б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за одно из
заданий или а) или б).

а) Найдите наименьшее значение функции y  3 log 0, 25 32  7 x 2

9
б) На сколько наибольшее значение функции y  4 x  , 0,1  x  8 больше
x
наименьшего значения?
3. (2 балла) Упростить
1  cos 2
 sin 2  . При каких значениях  выражение не
2
2 cos 3   
имеет числового значения?
6
11
4. (2 балла) Упростить  7,33 49 7  0,3 73 49 


5. (2 балла) Разложить на множители
4  x 2  4  4  x 2  x 4  4x 2
6. (3 балла) Упростить
 x  2
2  
2

 :  1 
 1




x
x2 
x

 
x
 2   : 1 

x2
 
x 

x  2 
РЕШЕНИЯ И КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ.
За арифметическую ошибку снимается 0,5 баллов.
1
1  1
 1
1. (1 балл) Упростить  x 1  x  x 1  
3
3  52
3
Решение.
1
1  1 9  3 1 1
13 1
1 1
 1


 x 1 
 x 1 
 x 1  x  x 1  
x 1
52 3
52 3
4
3
3  52
3
3
1
1

Ответ.
.
x 1
43
12  3 x
Критерии проверки.
1 балл
Обоснованно получен правильный ответ.
0,5 баллов
Решение не доведено до конца
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
2. (2 балл)
а) Найдите наименьшее значение функции y  3 log 0, 25 32  7 x 2
Решение.
Область значений функции g x   32  7 x 2 на множестве решений неравенства
32  7 x 2  0 .
2
 32  7 x 2  7x  0  32  32  ymax при x=0.




т.к. 32  7 x 2  0 , то Е y   0;32
функция y  3 log 0, 25  g  x  убывает, следовательно, принимает наименьшее
значение тогда, когда g x наибольшее, т.е. g x  32 .
 5
y наим  3 log 0, 25 32  3 log 2 2 2 5  3      7,5
 2
Ответ.-7,5.
Критерии проверки.
2 балл
Приведена верная последовательность шагов решения
1,5 балла
Ответ верен, но не полностью обоснован
1 баллов
Допущена описка или негрубая ошибка. Или решение не доведено до
конца
Верно найдена область определения.
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
0,5 баллов
0 баллов
9
б) На сколько наибольшее значение функции y  4 x  , 0,1  x  8 больше
x
наименьшего значения?
Решение.
Функция дифференцируема, непрерывна на 0,1;8



y  4 
3
3
9 4x 2  9

. x1   0,1;8 , x 2    0,1;8
2
2
2
2
x
x
3
y   6  6  12 - наименьшее значение
2
y0,1  0,4  90  90,4 - наибольшее значение;
9
y 8  32   33,125
8
90,4-12=78,4
Ответ..78,4
Критерии проверки.
2 балл
Приведена верная последовательность шагов решения
1 баллов
0,5 баллов
0 баллов
Допущена описка или негрубая ошибка. Или решение не доведено до
конца
Найдена только критическая точка
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
1  cos 2
 sin 2  . При каких значениях  выражение
3. (2 балла) Упростить
2 cos 2 3   
не имеет числового значения?
Решение.
1  cos 2
1  cos 2
1  cos 2
 sin 2  
 sin 2  
 sin 2   1  sin 2   cos 2 
2
1  cos6  2 
1  cos 2
2 cos 3   
2
2
.
Выражение
не
имеет
числового
значения,
если

cos3     0   cos   0     k , k  Z
2

Ответ. cos 2  , при    k , k  Z
2
Критерии проверки.
2 балла
Обоснованно получен правильный ответ.
1,5 балла
1 балл
0 баллов
Ответ и ход решения верен, но одно слагаемое пропущено
Не указана область определения или указана с ошибкой
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
6
11
4. (2 балла) Упростить  7,33 49 7  0,3 73 49 


Решение.
6
 7,33 49 7  0,3 73 49 


6
6
11
1 11
6
1

2 2 
5
5 11
  2 12  3





  7,3 7  7   0,3 7  7 3     7,3  7 6  0,3  7 6  

 

 




6
6
 5
 11  5
 11  11  11
  7 6 7,3  0,3   7 6  71    7 6   7




 
Ответ. 7
Критерии проверки.
2 балла
Обоснованно получен правильный ответ.
1 балл
0 баллов
Ход решения верен, но решение не доведено до конца
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
5. (2 балла) Разложить на множители
4  x 2  4  4  x 2  x 4  4x 2
Решение. ОДЗ 4  x 2  0  x   2;2
4  x 2  2 , поэтому
4  x2  4  0
4  x 2  4  4  x 2  x 4  4x 2  4  4  x 2  4  x 2  x 4  4x 2  x 4  4x 2  4 

 x 4  4x 2  4  x 2  2



2
Ответ. x 2  2 при x   2;2
2
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Критерии проверки.
2 балла
Проведена верная последовательность шагов
а) освобождение от знака модуля
б) разложение на множители
1 балл
Преобразования выполнялись верно, но решение не доведено до конца
0,5 баллов Верно раскрыт знак модуля, но после приведения подобных слагаемых не
замечена формула
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из перечисленных критериев.
 x  2
 
2  
2
x
x 
 :  1 
  : 1 

6. (3 балла) Упростить  
 1

2
 
 


x
x

2
x
x

2
x

2








Решение.
ОДЗ:
x  2
x  2
 x 0
 x 0

 x   ;2   0;  

 x2
x
x  2


2 0 
 1  x  R
 x   ;2   0;  

x
x2

 x
x  R


x  R
x
1


0



x2

 x  2
 
2  
2
x
x 

 :  1 

 1
 2   : 1 






x
x

2
x
x

2
x

2








 x  2
 
x   x2
x
x 

:
  : 1 
 замена



2
 
 


x
x

2
x
x

2
x

2
 
 


x2
t
x
2
 t  1 t  1t  1
 1 1
t
t
  1  t 1

 :
  t   :   t  2   : 1    
 2



2
t  2t  1  t
t  1 1  t 
  t   t
 t   t
t
t 11
1


 1
t 1
t 1
t 1
1
Обратная замена 1 
выполняется для всех x   ;2  0; 
x2
1
x
1
Ответ. 1 
.
x2
1
x
Критерии проверки.
3 бала
Обоснованно получен правильный ответ.
2 балла
Ход решения верен, но не доведен до конца или допущена описка
1 балл
Упрощение выражения проведено в одном из интервалов области
определения
0 баллов
Решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных выше.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Этап
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
1. (1 балл) На рисунке жирными
точками показана самая низкая
температура, зафиксированная в
течение суток в Омске с 1 по 22
октября 2011 года. По горизонтали
указываются числа месяца, по
вертикали
—
температура
в
градусах. Для наглядности жирные
точки на рисунке соединены
линией. Определите по графику,
сколько дней не наблюдалась
отрицательная температура?
Температура в г.Омске с 1.10 по 22.10.2011
T, °C
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
2. (2 балла) В таблице указаны средние
цены на некоторые основные продукты Наименование Средняя цена (в рублях) за 1 кг
продукта
Омск Барнаул Новосибирск
питания в трех городах России (по данным
Морковь
14
18
15
некоторого исследования).
34
36
40
Определите, в каком из этих трех Помидоры
6,5
10
8
городов
окажется
самым
дешевым Картофель
следующий набор продуктов: 3 мешка Лук
14,5
9
11
картофеля, 2 мешка лука и 1 мешок моркови. Перец
27
23
21
(1 мешок = 20 кг). Запишите полученную Яйца (1 десяток) 32
29
25
сумму в рублях.
3. (2 балла) В банке №1 курс продажи доллара 30,95 руб. за 1 доллар. Клиент А купил в
банке №2 90 долларов на сумму 2776 р. 50 коп. Клиент В в банке №3 купил 15 долларов,
заплатив 457 р. 50 коп. Определите, в каком из банков доллар стоит дешевле всего. В
ответе укажите, сколько рублей в этом банке будут стоить 10 долларов? При решении
задачи считайте, что комиссионный сбор при покупке валюты отсутствует.
4. (3 балла) На реке, скорость течения которой равна 5 км/ч, в направлении ее течения
расположены пристани А, В и С (АВ равно ВС). От пристани В одновременно отходят
плот, который по течению движется к пристани С, и катер, который идет к А. Дойдя до А,
катер разворачивается и движется по направлению к С. Найдите значения скорости
катера, при которых катер придет в С позже, чем плот.
5. (4 балла) Имеются 2 бочки, объемом 220 л и 180 л, в которые налит бензин разной
цены. Одновременно из обеих бочек отлили равное количество бензина. Бензин, отлитый
из первой бочки, перелили во вторую, а бензин, отлитый из второй бочки, - в первую.
После этого цена бензина в обеих бочках стала одинаковой. Сколько литров бензина было
перелито из каждой бочки?
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Задача 1. (1 балл)
Ответ: 16 дней
Критерии оценки.
1 балл
0 баллов
Верно определено значение.
Значение найдено не верно.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Задача 2. (2 балла)
Ответ: 1220 р.
Решение
Сравним стоимость набора в кг (3кг картофеля, 2 кг лука и 1 кг моркови).
Омск: 3х6,5р.+2х14,5р.+1х14р.=19,5р.+29р.+14р.=62,5р.
Барнаул: 3х10р.+2х9р.+1х18р.=66р.
Новосибирск: 3х8р.+2х11р.+1х15р.=61р.
Т.к. в условии задачи овощи в мешках. (1 мешок = 20 кг). Остается 61 р.х20=1220 р.
Критерии оценки.
2 балла
1,5 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
1) Верно определены стоимости наборов для каждого города.
2) Произведен правильный выбор самого дешевого набора.
Записан верный ответ
Выполнены п.1) и 2). Записан неправильный ответ
Имеется ошибка в одном из двух пунктов
Правильно определена стоимость набора только для одного города
Нет правильных результатов ни по одному из названных пунктов.
Задача 3. (2 балла)
Ответ: 305 р.
Решение
Стоимость доллара можно сравнивать двумя способами:
1. Сравнить стоимость 15 долларов в банке №3 и в банке №2. По условию 15
долларов в банке№3 стоят457 р. 50 коп. Найдем стоимость 15 долларов в банке
№2, для этого 2776 р. 50 коп. разделим на 6 (т.к.90 : 6=15), это 462 р.75 коп. Т.к. 15
долларов в банке №3 дешевле, найдем стоимость доллара в банке №3.
457 р. 50коп.: 15 = 30 р.50 коп. Это дешевле, чем в банке №1. Следовательно, в банке
№3 доллар дешевле. Найдем стоимость10 долларов 30 р.50 коп. х 10=305 р.
2. Вычислить стоимость доллара в банке №2 2776 р. 50 коп. : 90=30р.85коп.
Вычислить стоимость доллара в банке №3 457 р. 50коп.: 15 = 30 р.50 коп.
Сравнить со стоимостью доллара в банке №1 30,95 руб. Следовательно, в банке №3
доллар дешевле. Найдем стоимость10 долларов 30 р.50 коп. х 10=305 р.
Критерии оценки.
2 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
1) Верно определены стоимости долларов для банков №2 и №3.
2) Произведен правильный выбор самой дешевой продажи.
3) Получен верный ответ при умножении
Имеется ошибка в одном из трех пунктов
Верен только 1 пункт.
Нет правильных результатов ни по одному из названных пунктов.
Задача 4. (3 балла)
Ответ: v  (5;15)
Решение
Примем расстояние от В до С равным 1. Тогда от В до А тоже 1, от А до С равно 2.
Обозначим скорость катера v км/ч ( v >5). При движении катера против течения его
скорость v -5 км/ч, по течению v +5 км/ч. Время движения плота от В до С 1/5, время
1
2
движения катера от В до А
, от А до С
. Общее время движения
v5
v5
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
1
2
катера
+.
Чтобы катер пришел в С позже, чем плот, его время движения должно
v5 v5
быть больше, чем время движения плота. Запишем неравенство:
1
1
2
+.
> .
v5 v5 5
Приведем к общему знаменателю: (v  5)(v  5)  5(v  5)  10(v  5)
v 2  15v Решив неравенство, получим v  (5;15) .
Критерии оценки.
3 балла
2 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
1) Правильно составлено неравенство
2) Верно решено неравенство
3) Учтено условие v >5.
Получен верный ответ
Имеется ошибка в одном из пунктов.
Верен п.1)
Верен только п.3)
Нет правильных результатов ни по одному из названных пунктов.
Задача 5. (4 балла)
Ответ: 99 литров
Решение
Пусть a и b- цена литра бензина в 1 и 2 бочках соответственно, x литров бензина
перелито.
( 220 - x)a и ( 180 - x)b - стоимость бензина в 1 и 2 бочках после отливания x литров.
( 220 - x)a  xb и ( 180 - x)b  xa - стоимость бензина окончательно.
(220  x)a  bx (180  x)b  ax
Цена бензина после переливания стала
и
.
220
180
(220  x)a  bx (180  x)b  ax
Составим уравнение
=
.
220
180
(220  x)a  bx (180  x)b  ax
Сократим
=
, приведем к общему знаменателю.
11
9
9(220  x)a  9bx  11(180  x)b  11ax
99(a  b)  x(a  b)
x =99 литров.
Критерии оценки.
4 балла
3 балла
2 балла
1 балл
0,5 балла
0 баллов
1) Верно составлено уравнение
2) Верно решено уравнение
Получен правильный ответ
1) Верно составлено уравнение
2) Допущена арифметическая ошибка при решении уравнения
Получен неправильный ответ
1) Верно составлено уравнение
2) Уравнение не решено.
3) В ответе указана планируемая сумма премии
При составлении уравнения допущена ошибка или уравнение решено
неверно
В уравнении приравнивается не цена, а стоимость
Нет правильных результатов ни по одному из названных пунктов.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Этап
УРАВНЕНИЯ
Задание № 1 (1 балл) Решить уравнение:
Задание № 2 (1 балл) Решить уравнение:
Задание № 3 (2 балла) Решить уравнение:
Задание № 4 (2 балла) Решить уравнение:
0
Задание № 5 (3 балла) Определить целые значения параметра а, при котором уравнение
не имеет решений.
Задание № 6 (3 балла) Задание A) необходимо выполнять тем, кто по программе изучал
логарифмы, задание Б) – тем, кто изучал производную. Баллы выставляются только за
одно из заданий или А) или Б).
А) Решить уравнение:
Б) Решить уравнение
, если
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ
Задание № 1 (1 балл) Решить уравнение:
Решение:
Ответ: -1/6
1
Обе части уравнения верно представлены в виде степеней с одинаковым
основанием. Получено правильное линейное уравнение, получен верный его
корень.
0.5 Обе части уравнения верно представлены в виде степеней с одинаковым
основанием. Получено правильное линейное уравнение, при его решении
допущена арифметическая ошибка.
0
Обе части уравнения не верно представлены в виде степеней с одинаковым
основанием. Получен неверный ответ.
Задание № 2 (1 балл) Решить уравнение:
Решение:
2x=-2; 2x=2
X=-1; x=1
Ответ:
1
0.5
0
2x=-8; 2x=8
x=-4; x=4
Верно раскрыты модули. Рассмотрены все варианты. Получен правильный ответ.
Верно раскрыты модули. Рассмотрены все варианты. Допущена арифметическая
ошибка. Получен неверный ответ.
Не верно раскрыты модули. Рассмотрены не все варианты. Получен неверный
ответ.
Задание № 3 (2 балла) Решить уравнение:
Решение:
=t; t≥0
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
,
,
,
,
,
Ответ:
2
1.5
1
0.5
0
Верно выполнена подстановка, указано условие на новую переменную.
Полученное квадратное уравнение верно решено, отобран нужный корень. Верно
выполнена обратная замена. Получен правильный ответ.
Верно выполнена подстановка, указано условие на новую переменную.
Полученное квадратное уравнение решено с арифметической ошибкой, отобран
нужный корень. Верно выполнена обратная замена. При решении уравнения
допущена арифметическая ошибка. С учётом этой ошибки получен неверный
ответ.
Подстановка выбрана не рационально (в результате получено иррациональное
уравнение). Полученное уравнение решено, но не отобран нужный корень. В
результате получен неверный ответ.
Верно найдена ОДЗ.
Ни одно из выше перечисленных действий не выполнено.
Задание № 4 (2 балла) Решить уравнение:
0
Решение:
,
1)
,
2)
Ответ:
2
1.5
1
0.5
0
Верно взята замена (вторая скобка), верно выражено выражение в первой скобке.
Выполнена подстановка, получено и верно решено квадратное уравнение
относительно переменной t.Выполнена обратная замена, получены и верно решены
квадратные уравнения относительно переменной x.Получен верный ответ.
Допущена негрубая вычислительная ошибка или описка.
Верно взята замена (вторая скобка), верно выражено выражение в первой скобке.
Выполнена подстановка, получено и не верно решено квадратное уравнение
относительно переменной t.Выполнена обратная замена, получены и верно решены
квадратные уравнения относительно переменной x.Получен верный ответ.
Верно взята замена (вторая скобка), не верно выражено выражение в первой скобке.
Выполнена подстановка, получено не верное квадратное уравнение относительно
переменной t. Получен не верный ответ.
Ни одно из перечисленных действий не выполнено.
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
23 октября 2011 г.
Задание № 5 (3 балла) Определить целые значения параметра а, при котором уравнение
не имеет решений.
Решение: 1) при а=10 уравнение не имеет смысла, а следовательно и решений;
2) Исходное уравнение не имеет решений, если полученное квадратное уравнение не
имеет решений, D<0
3) Существует единственный корень, но он не принадлежит области определения
уравнения. Т.е. х=0, то а=0 или а=10 (этот случай мы уже рассмотрели). При а=0
уравнение имеет два корня х=0 (который не принадлежит ОДЗ) и х=8, который
является корнем. Т.е. при а=0 исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ:
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Верно рассмотрены все случаи. Получен верный ответ.
Верно рассмотрены все случаи. Допущена не грубая ошибка или описка. С учетом
этого получен неверный ответ.
Рассмотрены не все случаи (упущен один). С учётом этого получен неполный
ответ.
Рассмотрены не все случаи (упущен один). Допущена вычислительная ошибка или
описка. С учетом этого получен неверный и не полный ответ.
Рассмотрен только один случай. С учётом этого получен неполный ответ.
Указано ограничение на параметр а.
Задание не выполнено.
Задание № 6 (3 балла)
А) Решить уравнение:
Решение: ОДЗ: x  9, x  1
1)
Ответ:
2)
МАРАФОН АБИТУРИЕНТА
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
23 октября 2011 г.
Верно определена ОДЗ. Корректно применены свойства логарифма. Правильно
раскрыт модуль. Получен верный ответ.
Верно определена ОДЗ. Корректно применены свойства логарифма. Правильно
раскрыт модуль. Допущена арифметическая ошибка. С учетом этой ошибки
получен не верный ответ.
Верно определена ОДЗ. Корректно применены свойства логарифма. Не правильно
раскрыт модуль. В силу этого получен не верный ответ.
Не определена ОДЗ. Корректно применены свойства логарифма. Правильно
раскрыт модуль. Получен верный ответ.
Верно определена ОДЗ. Не корректно применены свойства логарифма (потерян
модуль). Получен не полный ответ.
Указана верно область допустимых значений уравнения.
Задание не выполнено.
Б) Решить уравнение
, если
Решение:
Ответ:
3
2.5
2
1.5
1
0
Верно найдена производная функции. Верно составлено и решено уравнение.
Получен правильный ответ.
Верно найдена производная функции. Верно составлено уравнение. Допущена не
грубая ошибка или описка. С учётом этой ошибки получен неверный ответ.
Верно найдена производная функции. Верно составлено уравнение. Уравнение
решено с арифметической ошибкой. С учётом этой ошибки получен неверный
ответ.
Верно найдена производная функции. Верно составлено уравнение. Полученное
уравнение не решено.
Верно найдена производная функции. Уравнение составлено не верно.
Задание не выполнено.