Принцип возможных перемещений в исследовании механизмов

Принцип возможных перемещений в исследовании механизмов
УДК 621.01
И.Н. МАЦЮК, Э.М. ШЛЯХОВ
ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ИССЛЕДОВАНИИ
МЕХАНИЗМОВ
Применение одного из основополагающих принципов механики – принципа
возможных перемещений Лагранжа – в исследовании механизмов известно давно.
Достаточно указать на теорему Н.Е. Жуковского, в основе доказательства
которой лежит этот принцип. С помощью этой теоремы можно решать некоторые
задачи динамики механизмов, как то: определение сил, действующих на звенья
механизма, определение момента инерции маховика, определение мощности
двигателя и т.п. Непосредственное использование теоремы предполагает
графоаналитическое решение, требующее построения плана механизма и
повернутого плана скоростей механизма.
Во многих учебниках по теоретической механике и теории механизмов и
машин приведены примеры применения принципа Лагранжа в аналитическом виде.
С этой целью, например, для механизма с одной степенью свободы задают
бесконечно малое возможное перемещение входному звену, через которое
выражают аналитически все возможные перемещения механизма (углы поворота
звеньев, перемещения точек приложения внешних сил). Затем, из условия равенства
нулю суммы работ всех внешних сил на этих перемещениях, находят искомый
силовой параметр. Однако, для механизмов сложной структуры такое решение
становится весьма громоздким.
Если отнести возможные перемещения ко времени, то получается известное
положение механики о равенстве нулю суммы мощностей всех внешних сил,
действующих на звенья механизма. В этом случае возможно, как
графоаналитическое, так и аналитическое решение, требующее выполнения
кинематического анализа.
Векторное представление звеньев стержневых механизмов и широкие
возможности в решении векторных уравнений, которые имеются в современных
компьютерных математических программах, позволяют численное решение задач
динамики механизмов на основе принципа Лагранжа.
В настоящей статье рассматривается его применение для определения
уравновешивающего момента конкретного механизма с помощью, получившей
широкое распространение для исследования механизмов, программы Mathcad [1-9].
В качестве конкретного механизма принят восьмизвенный механизм пятого
класса (рис. 1), кинетостатика которого описана в [1].
Геометрические параметры механизма: l AB  0,16 м; lBC  0,55 м; lCD  0,2 м;
lDE  0,35 м; lEH  0,3 м; lDF  0,3 м; lFG  0,4 м; lHK  0,35 м; lKL  0,25 м;
lGL  0,55 м; a =0,3 м; b =0,4 м; c =0,8 м;   45 ; β  120 ;   150 .
В качестве обобщенной координаты механизма взят угол поворота входного
звена (кривошипа 1): 1  120 .
Векторная интерпретация звеньев механизма изображена на рис. 2.
В результате геометрического анализа в [1] получены следующие значения
углов (в радианах), определяющих положения звеньев механизма:
Теория Механизмов и Машин. 2014. №1. Том 12.
51
Силовой расчет механизмов
Рис. 1. Схема восьмизвенного механизма пятого класса
Рис. 2. Векторное представление звеньев механизма
.
Не находя реакций в кинематических парах, решим задачу определения
уравновешивающего момента, приложенного к звену 1 при следующих условиях:
 все силы, действующие на звено i , включая и инерционные,
представляются равнодействующим вектором Ri , приложенном в центре
52

масс звена si ;
все моменты сил, включая
равнодействующим вектором M i ;

реакция звена j на звено i обозначается R ji ;
и
инерционные,
представляются
http://tmm.spbstu.ru
Принцип возможных перемещений в исследовании механизмов



нагрузки приложены только к базисным звеньям;
центры масс базисных звеньев лежат в точках пересечения медиан;
массы остальных звеньев пренебрежимо малы.
Как выглядят схемы нагрузок на базисные звенья, изображено на рис. 3.
Рис. 3. Нагрузки на звенья механизма
В качестве нагрузок приняты следующие значения (R – Н, М – Нм).
.
Исследование выполнено в программе Mathcad -11.
Дадим углу 1 небольшое приращение (возможное перемещение) величиной,
например, 1  0.001 рад. Определим приращения углов 2 , 3 , ..., 7 , для чего
применим блок Given – Find.
.
Теория Механизмов и Машин. 2014. №1. Том 12.
53
Силовой расчет механизмов
.
Точность численного решения в блоке Given – Find определяется специальной
величиной CTOL, которая по умолчанию равна 0,001. Полученные величины углов
значительно меньше этого порога. Поэтому для уверенности в правильности трех
значащих цифр в самом малом значении 3 предварительно принято значение
СTOL=10-7.
Векторное представление звеньев механизма, соответствующее значению
1 
2
.
3
То же для 1 
54
2
3
 1 .
http://tmm.spbstu.ru
Принцип возможных перемещений в исследовании механизмов
Векторы, определяющие положения центров масс (рис. 3)
Векторы перемещений точек s3 , s5 и s6
образом:
.
можно определить следующим
.
Так как каждый из этих векторов является разностью двух очень близких по
модулю векторов, необходимо контролировать точность полученных значений.
Сумма работ всех внешних сил (в Дж), приложенных к звеньям 3, 5 и 6 на
возможных перемещениях:
.
В последней формуле первые три слагаемых суть произведения аппликат
векторов моментов сил на углы поворота звеньев, а вторая тройка слагаемых – это
скалярные произведения векторов перемещений и векторов сил.
Теория Механизмов и Машин. 2014. №1. Том 12.
55
Силовой расчет механизмов
Тогда уравновешивающий момент, приложенный к ведущему кривошипу:
.
Уравновешивающий момент в векторном виде
.
При подготовке данной статьи в [1] были обнаружены небольшие
технические ошибки, повлекшие, тем не менее, за собой искажение результатов, и за
которые авторы приносят извинения. Соответствующие фрагменты с ошибками
приведены ниже (подчеркнуты ошибочные параметры).
.
А вот как выглядит этот фрагмент без ошибок.
.
.
56
http://tmm.spbstu.ru
Принцип возможных перемещений в исследовании механизмов
.
Очевидно, что численное решение задачи на базе принципа Лагранжа дает
вполне удовлетворительные результаты и рекомендуется к применению при анализе
механизмов сложной структуры в случаях, когда нет необходимости определять
реакции в кинематических парах механизма.
Заметим, что отношения 2 / 1, 3 / 1,..., 7 / 1 есть не что иное, как
аналоги угловых скоростей звеньев. А отношения s3 / 1, s5 / 1, s6 / 1
являются аналогами линейных скоростей точек приложения внешних сил.
Следовательно, описанный прием может применяться для решения задач
кинематики механизмов, а также при выполнении операции приведения сил и масс,
т.е. получения значений параметров динамической модели механизма и, как
следствие, для решения уравнения движения механизма.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1
2.
3.
4.
5.
6.
7
8
Мацюк И.Н., Шляхов Э.М. Определение кинематических и кинетостатических
параметров плоских стержневых механизмов сложной структуры// Современное
машиностроение. Наука и образование: Материалы 3-й Междунар. науч.-практ.
конференции. / Под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во
Политехн. ун-та, 2013. – С. 788 – 796.
Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. –СПб.:БХВПетербург, 2005. – 752 с.: ил.
Мацюк И.Н., Шляхов Э.М., Зиборов К.А. Силовой анализ механизмов с помощью
программы Mathсad. // Теория механизмов и машин. 2010. – № 1. Том 8. – С. 83-88.
Мацюк І.М. Дослідження кінематики та динаміки механізмів засобами векторної
алгебри. // ВІСНИК Національного технічного університету України “Київський
політехнічний інститут”. Серія “Гірництво”: Збірник наукових праць. – Київ: НТУУ
“КПІ”: ЗАТ “Техновибух”, 2009. – Вип. 18. – с. 79-84.
Мацюк И.Н., Третьяков В.М., Шляхов Э.М. Аналитическая кинематика плоских
рычажных механизмов высоких классов с помощью программы Mathсad // Теория
механизмов и машин. 2012. – № 1. Том 10. – С. 65-70.
Третьяков В.М. Использование программы Mathсad при определении скоростей и
ускорений рычажных механизмов // Теория механизмов и машин. 2009. – № 14.
Том 7. С. 40-48.
Heinloo, M., Aarend, E., Mägi, M. On The Experience of Mathcad-Aided Analysis of
Planar Linkages. Proc. Tenth World Congress on the Theory of Machines and
Mechanisms, vol. 1, 1999, pp. 392 – 397.
Fehmi B. Krasniqi, Ahmet Shala, Valdrin Krasniqi. Planar kinematics analys is method
of seven-bar mechanism using vector loops and the verification of results experimentally.
Proc. 12th International Research/Expert Conference ”Trends in the Development of
Machinery and Associated Technology” TMT 2008, Istanbul, Turkey, 26-30 August,2008.
http://www.tmt.unze.ba/zbornik/TMT2008/247-TMT08-214.pdf
REFERENCES
1
Matsyuk I.N., Shlyakhov E.M. Opredeleniye kinematicheskikh i kinetostaticheskikh
parametrov ploskikh sterzhnevykh mekhanizmov slozhnoy struktury// Sovremennoye
Теория Механизмов и Машин. 2014. №1. Том 12.
57
Силовой расчет механизмов
2.
3.
4.
5.
6.
7
8
mashinostroyeniye. Nauka i obrazovaniye: Materialy 3-y Mezhdunar. nauch.-prakt.
konferentsii. / Pod red. M.M. Radkevicha i A.N. Evgrafova. – SPb.: Izd-vo Politekhn. unta, 2013. – Pp. 788 – 796 (rus.)
Bertyayev V.D. Teoreticheskaya mekhanika na baze Mathcad. Praktikum. –SPb.:BKhVPeterburg, 2005. – 752 p. (rus.)
Matsyuk I.N., Shlyakhov E.M., Ziborov K.A. Silovoy analiz mekhanizmov s
pomoshchyu programmy Mathsad. //Teoriya mekhanizmov i mashin.– 2010. – № 1. Tom
8. – Pp. 83-88 (rus.)
Matsyuk I.N. Doslіdzhennya kіnematiki ta dinamіki mekhanіzmіv zasobami vektornoї
algebri. // VІSNIK Natsіonalnogo tekhnіchnogo unіversitetu Ukraїni “Kiїvskiy
polіtekhnіchniy іnstitut”. Serіya “Gіrnitstvo”: Zbіrnik naukovikh prats. – Kiїv: NTUU
“KPІ”: ZAT “Tekhnovibukh”, 2009. – Vip. 18. – Pp. 79-84.
Matsyuk I.N., Tretyakov V.M., Shlyakhov E.M. Analiticheskaya kinematika ploskikh
rychazhnykh mekhanizmov vysokikh klassov s pomoshchyu programmy Mathsad //
Teoriya mekhanizmov i mashin. – 2012. – № 1. Tom 10. – Pp. 65-70 (rus.)
Tretyakov V.M. Ispolzovaniye programmy Mathsad pri opredelenii skorostey i uskoreniy
rychazhnykh mekhanizmov // Teoriya mekhanizmov i mashin. 2009. – № 14. Tom 7. Pp.
40-48 (rus.)
Heinloo, M., Aarend, E., Mägi, M. On The Experience of Mathcad-Aided Analysis of
Planar Linkages. Proc. Tenth World Congress on the Theory of Machines and
Mechanisms, vol. 1, 1999, pp. 392 – 397.
Fehmi B. Krasniqi, Ahmet Shala, Valdrin Krasniqi. Planar kinematics analys is method
of seven-bar mechanism using vector loops and the verification of results experimentally.
Proc. 12th International Research/Expert Conference ”Trends in the Development of
Machinery and Associated Technology” TMT 2008, Istanbul, Turkey, 26-30 August,2008.
http://www.tmt.unze.ba/zbornik/TMT2008/247-TMT08-214.pdf
Поступила в редакцию 27.09.2013
После доработки 04.10.2013
58
http://tmm.spbstu.ru