НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ОКЕАНА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ
ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.И. ИЛЬИЧЕВА
ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
(ТОИ ДВО РАН)
УДК 55+550.3 (260/265)
№ госрегистрации 01200956692
Инв. №
УТВЕРЖДАЮ
Директор ТОИ ДВО РАН
академик РАН
___________В. А. Акуличев
«
» марта 2012 г.
ОТЧЕТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
по теме:
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ОКЕАНА
(заключительный)
Руководитель НИР:
д-р физ.-мат. наук
С.В. Пранц
Владивосток 2012
СПИСОК ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Руководитель работы
зав. отделом физики океана и атмосферы,
зав. лабораторией нелинейных динамических систем
д-р физ.-мат. наук
С.В. Пранц
(раздел 1, реферат,
введение, заключение,
общее редактирование)
Ответственные исполнители:
Зав. лабораторией геофизической
гидродинамики
д-р физ.-мат. наук
К.В. Кошель
(раздел 2.1)
Зав. лабораторией гидрофизики
д-р физ.-мат. наук
В.А. Буланов
(раздел 3.1, 3.2, 3.3,
Заключение)
Директор ТОИ ДВО РАН
aкадемик, директор
д-р физ.-мат. наук
В.А. Акуличев
(раздел 3.1.4, 3.2.3, 3.3, 3.4)
Вед. науч. сотр.
д-р физ.-мат. наук
А.О. Максимов
(раздел 1.2)
Вед. науч. сотр.
д-р физ.-мат. наук
В.В. Новотрясов
(раздел 2.2)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
Д.В. Степанов
(раздел 2.2)
Вед. науч. сотр.
д-р физ.-мат. наук
М.Ю. Трофимов
(раздел 2.3)
Вед. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
В.И. Пак
(раздел 2.3)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
С.Б. Козицкий
(раздел 2.3)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
А.Б. Захаренко
(раздел 2.3)
Мл. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
П.С. Петров
(раздел 2.3)
Науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
А.И. Гудименко
(раздел 2.1)
Науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
Е.А. Рыжов
(раздел 2.1)
2
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
Т.В. Гордейчук
(раздел 1.4)
Науч. сотр.
канд. хим. наук
М.В. Казачек
(раздел 1.4)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
Д.В. Макаров
(раздел 1.3)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
М.В. Будянский
(раздел 1.1)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
М.Ю. Улейский
(раздел 1.1)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
И.В. Корсков
(раздел 3.2.1; 3.2.2; 3.3.1,
3.3.2, 3.3.4)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
П.Н. Попов
(раздел 3.2.2, 3.3.1, 3.3.2;
3.3.4)
Ст. науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
А.А. Соловьев
(раздел 3.4)
Науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
Л.Е. Коньков
(раздел 1.3)
Науч. сотр.
канд. физ.-мат. наук
Е.В. Соседко
(раздел 1.3)
Науч. сотр.
Л.К. Бугаева
(раздел 3.4)
Науч. Сотрудник
А.В. Стороженко
(раздел3.3.1, 3.3.2, 3.3.3,
3.3.4, 3.3.5)
Вед. инженер
О.В. Левушкин
(раздел3.2.3; 3.3.1, 3.3.4)
Нормоконтролёр
Н.В. Ковальчук
3
РЕФЕРАТ
Отчет 237 с., 148 рис., 4 табл., 90 источников, 1 прил.
ХАОТИЧЕСКАЯ
АДВЕКЦИЯ,
КРУПНОМАСШТАБНОЕ
ПЕРЕМЕШИВАНИЕ
И
ПЕРЕНОС, МЕРИДИОНАЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС, СВОБОДНЫЕ И ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ВИХРИ,
ВИХРЕВЫЕ ДИПОЛИ И ТРИПОЛИ,
ВНУТРЕННИЕ
СЛУЧАЙНО
ВОЛНЫ,
ТЕРМОХАЛИННАЯ КОНВЕКЦИЯ, НЕЛИНЕЙНЫЕ
ВОЛНОВОЕ
НЕОДНОРОДНЫЙ
УРАВНЕНИЕ,
ВОЛНОВОД,
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЛУЧЕВОЙ
ХАОС,
ВОЛНОВОЙ
ЗВУКА,
ХАОС,
АКУСТИЧЕСКАЯ ТОМОГРАФИЯ, ПУЗЫРЬКИ ГАЗА, ИССЛЕДОВАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЗВУКА
С
МИКРОНЕОДНОРОДНЫМИ
АКУСТИЧЕСКОГО
МОНИТОРИНГА
И
СРЕДАМИ,
ИЗУЧЕНИЕ
РАЗРАБОТКА
СТРУКТУРЫ
И
МЕТОДОВ
ДИНАМИКИ
МЕЛКОМАСШТАБНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ДЕЯТЕЛЬНОГО СЛОЯ ОКЕАНА
В настоящем отчете представлены результаты экспериментальных и теоретических
исследований нелинейных гидрофизических процессов в океане. Работы по данному проекту
выполнены на современном научном уровне и явились продолжением многолетних исследований
коллектива отдела физики океана и атмосферы.
Выведена двумерная функция тока зонального сдвигового потока с двумя устойчивыми
волнами Россби, удовлетворяющая уравнению сохранения потенциальной завихренности
несжимаемой жидкости. Наличие второй волны приводит к возникновению хаотической адвекции
пассивных частиц, происходящей по типичному для гамильтоновых систем сценарию. Наличие
симметрии уравнений адвекции позволило разработать методику нахождения центральной
инвариантной кривой (ЦИК), используя итерации отображения Пуанкаре одной из индикаторных
точек. В зависимости от величины размерности покрытия множества точек этих итераций можно
различать режимы с наличием ЦИК и появлением на её месте стохастического слоя с ХПТ.
Выявлены амплитудный и резонансный механизмы разрушения ЦИК и установления ХПТ. В
последнем случае сценарии разрушения ЦИК различны для нечётных и чётных резонансов. Для
нечётных значений волновых чисел разрушение ЦИК и установление глобального ХПТ
происходят для сравнительно малых амплитуд волн Россби. В случае возмущения с чётнонечётными значениями волновых чисел, когда отсутствует одна из симметрий уравнений
адвекции, разработана другая методика обнаружения ХПТ, основанная на вычислении перекрытия
северного и южного стохастических слоёв. Расчёты по этой методике показывают, что в данном
случае глобальный ХПТ наступает при значительно больших (по сравнению с нечётными
волновыми числами) значениях амплитуд волн Россби.
4
Лагранжев анализ применялся для исследования приповерхностного транспорта и
перемешивания водных масс с вихрями, связанными с Приморским течением. Вычислены
лагранжевы траектории большого количества частиц в интерполированном поле скорости,
полученном с помощью численной региональной многослойной вихреразрешающей модели
циркуляции Морского гидрофизического института (г.Севастополь, Украина). Рассчитаны
значения
показателя
Ляпунова
и
построены
синоптические
карты,
описывающие
приповерхностный транспорт и перемешивание в исследуемом регионе. Используемые
лагранжевы методы позволили выявить мезомасштабные вихри и их структуру, отследить
различные фазы прибрежного потока, обнаружить неоднородный характер перемешивания и
транспорта на мезо- и субмезомасштабах, количественно охарактеризовать перемешивание с
помощью времён выхода и количества оборотов частиц вокруг центров вихрей.
11 марта 2011 г. в результате сильного землетрясения в Японии и последовавшего за ним
цунами произошло частичное разрушение реакторов АЭС “Фукусима-Дайичи” на восточном
побережье о.Хонсю. Помимо радиоактивного загрязнения воздуха произошло также загрязнение
радионуклидами в результате слива в океан зараженной воды из реакторов АЭС, выпадения
радиоактивных осадков на поверхность моря и смыва дождями с почвы в море радиоактивных
веществ.
В
результате
численного
моделирования
крупномасштабного
горизонтального
перемешивания и переноса радиоактивной воды от АЭС с использованием спутникового
альтиметрического поля скорости получены следующие результаты. Пятно радиоактивной воды,
слитой в океан с АЭС, распространяется в восточном направлении и подхватывается струями
продолжения Куросио. Опасность для живых организмов может представлять обнаруженный
эффект захвата радионуклидов устойчивыми многообразиями вихрей. Если предположить, что в
результате выпадения с дождями радиоактивных осадков были заражены значительные
территории прибрежной воды о.Хонсю, то часть радиоактивной воды адвектируется в северном
направлении и перемешивается под влиянием многообразий трехвихревой системы.
Для задачи хаотического транспорта и перемешивания в нижнем слое топографического
вихря в квазигеострофическом приближении получена оценка оптимальной частоты возмущения
и ширины стохастического слоя. С помощью модифицированного критерия Чирикова получены
аналогичные оценки и объяснена регуляризация траекторий в окрестности сингулярной точки.
Рассмотрена
квазигеострофическая
динамика
эллипсоидального
вихря,
погруженного
в
неоднородный внешний поток. В качестве модели рассмотрен бесконечно глубокий вращающийся
океан с постоянной частотой плавучести. Показано возникновение зон рециркуляции. Показано,
что при отклонении центра завихренности от центра симметрии внешнего потока центр
завихренности начинает осциллировать относительно центра симметрии потока. Проведено
качественное исследование относительного движения трех вихревых зарядов с нулевой
5
суммарной интенсивностью во вращающейся бароклинной жидкости в квазигеострофическом
приближении в модели бесконечной по вертикали среды. Дан анализ геометрии и линейной
устойчивости относительно стационарных конфигураций зарядов, результатом которого явилась
классификация движений по признакам числа, типа и линейной устойчивости этих конфигураций.
Определены бифуркационные значения параметров относительного движения вихревых зарядов,
при которых происходит перестройка формы движения.
Исследование процессов переноса и перемешивания в прибрежной зоне океана, вызванных
нелинейными внутренними волнами, а также механизмов, лежащих в основе этих процессов
проводились по двум направлениям: к первому направлению относятся аналитическое и
численное моделировние краевые внутренних волн, а второе связано с проведением натурных
наблюдений внутренних волн в прибрежной зоне окраинного моря. В рамках первого
направления: (а) численно исследован процесс эволюции “облака пассивной примеси”, в
прибрежной зоне с хорошо выраженным пикноклином в поле внутренней волны Кельвина (ВВК)
первой моды гауссовой формы в линейном и нелинейном режимах; (б) установлено существенное
различие в процессе эволюции поля примеси в линейном и нелинейном режимах волнового поля.
В линейном режиме после формирования “волнового” следа по направлению распространения
ВВК в поле примеси формируется её поток, а в нелинейном режиме происходит вовлечение
примеси пикноклином, а затем формирование в зоне пикноклина в поле примеси квазивихревой
структуры. В рамках второго направления в натурных наблюдениях 2010-2011 годов в
прибрежной зоне Японского моря над полем внутренних волн
зарегистрировано их
поверхностные проявления на оптических изображения панорамной съёмки гидрофизического
полигона МЭС “Шульц”. В результате анализа этих изображений установлено хорошее
соответствие между пространственно-временными масштабами неоднородностей яркости на
панорамных изображениях и пространственно-временными масштабами поля внутренних волн,
полученным в ходе натурных наблюдений.
Разработан модифицированный метод решения трехмерной задачи Стокса в естественных
переменных методом конечных элементов в сочетании с методом проекции градиента, который
обладает преимуществами как метода “векторный потенциал–завихренность”, так и метода
“скорость–давление”. Разработана численная модель для исследования осаждения твердой
компоненты в процессе фильтрации раствора в вязком скелете. Применение двухтемпературной
модели
к исследованию процесса образования температурной аномалии в мантии Курило-
Камчатского региона позволило получить ряд качественно новых эффектов в процессе
образования температурной аномалии, по сравнению с однотемпературной, и получить численные
результаты, согласующиеся с экспериментальными данными.
6
При исследовании бидиффузионной конвекции в бесконечном по горизонтали слое
несжимаемой
жидкости
в окрестности точек
бифуркации
Хопфа
получено семейство
амплитудных уравнений, описывающее трехмерную бидиффузионную конвекцию в бесконечном
слое жидкости, взаимодействующую с полем горизонтальной завихренности для ячеек в виде
конечной суперпозиции валиковых мод. Развит подход к вычислению коэффициентов
амплитудных уравнений для бидиффузионной конвекции, позволяющий получать сравнительно
компактные формулы. Численное моделирование показало, что конвекция в рассматриваемой
системе имеет вид вытянутых “облаков” или “нитей”. В случае двух и более мод достаточно
быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное
состояние разрушается и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по
времени.
Рассматривается задача о дальнем распространении звука в подводном звуковом канале.
Рассеяние звуковых лучей на случайной неоднородности канала, порождаемой внутренними
волнами, приводит к лучевому хаосу. Исследуется проблема волнового хаоса, т.е. проявлений
лучевого хаоса в волновом поле. Рассматривается подводный звуковой канал в Японском море.
Предлагается метод, основанный на построении оператора эволюции акустического поля.
Спектральный анализ оператора эволюции позволяет отследить переход к хаосу по мере роста
дистанции от источника. Использованы различные методы спектрального анализа. С их помощью
обнаружено, что распространение звука вблизи оси подводного звукового канала в Японском море
сохраняет устойчивость на расстояниях порядка сотен километров от источника. Показано, что
анализ собственных функций оператора эволюции обладает большей информативностью, чем
анализ собственных значений.
Выявлены фундаментальные закономерности образования структур на стенке пузырька в
акустическом поле, позволившие дать объяснение лабораторным экспериментам по применению
двухчастотного метода регистрации газовых включений в мутных средах, в частности, в морских
осадках.
Результаты работы позволили существенно продвинуться в понимании механизма
появления атомной эмиссии металлов в спектрах сонолюминесцении растворов солей.
Разработана модель, успешно объясняющая спектральные особенности профиля линий при
сонолюминесценции. Модель
основана на новом взгляде на механизм формирования
сонолюминесценции металлов и позволяет оценивать параметры кавитационного коллапса.
Результаты моделирования экспериментальных данных выявили несколько новых эффектов и
согласуются с последними результатами других авторов.
При моделировании распространения звука в неоднородном океане выведены и
исследованы параболические аппроксимации, относительно которых доказаны теоремы о
7
сохранении потока мощности и асимптотической фазовой точности. К преимуществам таких
аппроксимаций следует также отнести возможность расчета звукового поля с любой точностью,
используя при этом только программу решения стандартного узкоугольного параболического
уравнения, слегка модифицированную введением правой части.
Проведены теоретические исследования особенностей рассеяния звука
на зоо и
фитопланктоне и на газовых пузырьках, которые дают основной вклад в рассеяние звука в
верхнем слое моря. Полученные зависимости были положены в основу решения обратных задач
определения типа включения и концентрации, которые позволяют получить данные по
распределению биомассы в рамках двух распределений – степенного и гауссовского. На основе
развитых моделей широкополосного рассеяния звука получена информация о структуре
звукорассеивающих слоев, позволяющая выявить вклад, обусловленный неоднородностями
биологического происхождения. На основе разработанных
методов нестационарного и
нелинейного рассеяния акустических импульсов на мелкомасштабных неоднородностях морской
воды были проведены длительные измерения спектрального состава пузырьков, образующихся в
приповерхностном слое моря при обрушении ветровых волн. Изучена возможность использования
нелинейных параметрических излучателей для зондирования неоднородностей морской среды и
показана его эффективность. Проведены широкомасштабные исследования других нелинейных
характеристик: акустической нелинейности и кавитационной прочности морской воды на
различных глубинах. Показано, что в приповерхностном слое до глубины 7-10 метров
наблюдается повышение акустической нелинейности и одновременное понижение кавитационной
прочности
морской
воды,
которые
связаны
с
наличием
газовых
пузырьков,
всегда
присутствующих в подповерхностном слое. На основе акустических данных получены с высоким
пространственным разрешением данные о распределении зоопланктона на большой акватории в
заливе Петра Великого Японского моря (~50 кв.км) и его сезонной изменчивости, которые
согласуются с данными облова зоопланктона традиционными методами. Результаты работы
показали
возможность
оперативного
проведения
дистанционной
диагностики
микронеоднородностей морской воды.
Показано, что применение численного моделирования в совокупности с данными
дистанционного акустического зондирования позволяет решать обратные задачи восстановления
структуры крупномасштабных неоднородностей в океане. Положение и горизонтальный размер
фронтальной зоны можно выявить с помощью методов акустической томографии; используя
экспериментальные акустические данные и численное моделирование, можно получать
оперативную информацию о структуре и характеристиках крупномасштабных неоднородностей
на больших пространствах.
8
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Обозначения.............................................................................................................................
12
Введение...................................................................................................................................
13
1.
Нелинейная динамика физических полей в океане и атмосфере …………………
20
1.1
Лагранжев анализ мезомасштабного и субмезомасштабного перемешивания и
переноса в струйных и вихревых структурах океана ……………………………...
1.1.1
Хаотический меридиональный транспорт в двумерных струйных потоках с
волнами Россби ………………………………………………………………………
1.1.2
20
Мезомасштабное и субмезомасштабное перемешивание и перенос в вихрях
Приморского течения Японского моря……………………………………………...
1.1.3
20
34
Численное моделирование распространения в океане радиоактивного
загрязнения от АЭС “Фукусима-Дайичи” ………………………………………….
40
1.2
Динамические симметрии в кавитационных явлениях ……………………………
45
1.3
Распространение звука в подводном звуковом канале
в условиях лучевого и волнового хаоса …………………………………………….
1.4
57
Исследование свойств кавитационной области. Теоретическое развитие
и экспериментальная апробация модели формирования атомных
линий в спектрах кавитационного свечения водных растворов солей …………..
64
2.
Моделирование волновой и вихревой динамики океана ………………………….
77
2.1
Моделирование переноса и перемешивания вихревыми
структурами в океане…………………………………………………………………
77
2.1.1
Генерация топографических вихрей приливными потоками в прибрежной зоне
77
2.1.2
Эллипсоидальный вихрь в неоднородном потоке ………………………………....
80
2.1.3
Параметрический резонанс в задаче о движении вихревой
пары в нестационарном сдвиговом потоке …………………………………………
2.1.4
Вентиляция области топографического вихря захваченным
свободным вихрем …………………………………………………………………...
2.1.5
89
Устойчивость относительного равновесия трех вихревых зарядов
с нулевой суммарной интенсивностью ……………………………………………..
2.2
84
Влияние параметра  и начального положения захваченного
вихря на динамику системы …………………………………………………………
2.1.6
83
Исследование процессов переноса и перемешивания в прибрежной зоне
9
96
океана, вызванных нелинейными случайными внутренними волнами, а также
механизмов, лежащих в основе этих процессов …………………………………...
2.3
Моделирование процессов переноса в океане, океанической коре, мантии и
процессов распространения звука в неоднородном океане ……………….............
2.3.1
109
Математическое моделирование процессов тепломассопереноса
в океанической коре и мантии ………………………………………………………
2.3.2
102
109
Модель трехмерной бидиффузионной конвекции с ячейками
произвольной формы ………………………………………………………………...
117
2.3.3
Моделирование распространения звука в неоднородном океане ………………...
122
2.3.4
Анализ эффектов трехмерного рассеяния звука на типичных неоднородностях
геоакустического волновода мелкого моря ………………………………………...
3.
Исследование взаимодействия звука с микронеоднородными средами и
разработка методов акустического мониторинга деятельного слоя океана ……...
3.1
127
131
Теоретические исследования взаимодействия звука с фазовыми включениями в
микронеоднородных средах и возможности акустической спектроскопии ……...
131
3.1.1
Эффективные акустические параметры микронеоднородной жидкости ………...
131
3.1.2
Поглощение и скорость звука в микронеоднородной жидкости ………………….
136
3.1.3
Акустическая нелинейность микронеоднородной жидкости ……………………..
141
3.1.4
Кавитационная прочность гетерогенной жидкости ………………………………..
145
3.1.5
Нелинейное распространение акустических импульсов и нелинейный
акустический метод диагностики гетерогенных сред ……………………………..
3.2
Экспериментальные исследования взаимодействия звука с фазовыми
включениями в микронеоднородных жидкостях ......................................................
3.2.1
3.3
3.3.1
156
Исследования параметрического взаимодействия в верхнем слое морской воды
(применение различных акустических излучателей) ……………………………...
3.2.4
156
Исследования параметрического взаимодействия звука, поглощения и
рассеяния звука в пресной воде с пузырьками при различной концентрации …...
3.2.2
151
161
Акустические критерии кавитации и кавитационная прочность морской воды
Исследования акустической нелинейности морской воды ………………………..
164
Экспериментальные исследования рассеяния звука в деятельном слое моря …...
170
Особенности акустического зондирования с движущегося судна,
аппаратура и методики, районы исследований …………………………………….
10
173
3.3.2
Наиболее типичные результаты по рассеянию звука
в Японском и Охотском море ……………………………………………………….
178
3.3.3
Рассеяние звука на планктоне в различные сезоны ………………………………..
187
3.3.4
Исследования рассеяния звука на донной акустической станции ………………..
193
3.3.5
Акустическая спектроскопия при рассеянии звука и распределения пузырьков
по размерам в приповерхностном слое морской воды …………………………….
3.3.6
Распределение пузырьков по размерам и поток газа через поверхность
при обрушении волн …………………………………………………………………
3.4
197
202
Моделирование распространения звука через крупномасштабные
неоднородности в океане …………………………………………………………….
206
3.4.1
Гидрофизические параметры среды в пространстве вихря ……………………….
206
3.4.2
Влияние вихря на структуру акустического поля вдоль трасс A и B …………….
213
3.4.3
Численное моделирование распространения звука через вихрь ………………….
215
Заключение …………………………………………………………………………...
221
Приложение А ………………………………………………………………………..
228
11
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ЦИК – центральная инвариантная кривая
ХПТ – хаотический поперечный транспорт
ВВК – внутренняя волна Кельвина
СЛ – сонолюминисценция
ФВ – фазовые включения
РГБ – радио-гидроакустический буй
НИС – научно-исследовательское судно
ПЗК – подводный звуковой канал
АЭС – атомная электростанция
12
ВВЕДЕНИЕ
Методы нелинейной динамики и теории динамических систем активно применяются в
физической океанографии для описания переноса и перемешивания водных масс вихревыми
структурами и течениями. В первых двух разделах отчета изложены результаты исследования
переноса, перемешивания и хаотической адвекции пассивной примеси в геофизических потоках.
Необходимость подобных исследований диктуется
потребностью выяснить механизмы
крупномасштабного перемешивания и предсказывать распространение загрязнений в океане и
перенос
питательных
веществ,
совершенствовать
мониторинг
океана
и
биоресурсов.
Горизонтальное перемешивание и перенос вод с различными био-физико-химическими
свойствами являются важными динамическими процессами в океане, определяющими состояние и
изменчивость морской среды. Естественным математическим инструментом для описания
перемешивания и переноса является лагранжев подход, в котором рассчитываются траектории
жидких
частиц
характеристиками,
и
таким
их
образом
перенос
и
прослеживается
перемешивание
в
происхождение
исследуемом
вод
с
данными
морском
бассейне.
Перемешивание в океане на субсиноптических, синоптических и более крупных
масштабах, будучи неоднородным, похоже на то, что в теории динамических систем называется
хаотическим перемешиванием в фазовом пространстве, в котором капля фазовой жидкости при
определенных условиях сильно деформируется, многократно вытягиваясь и складываясь. Причем,
такое неоднородное хаотическое перемешивание возможно в совершенно регулярных эйлеровых
полях скорости. Подобную сложную картину с многочисленными интрузиями, филаментами и
пятнами на синоптических и субсиноптических масштабах можно видеть на спутниковых снимках
температуры и цвета поверхности океана. Применение методов и идей теории динамических
систем и хаоса для описания горизонтального перемешивания и переноса в океане имеет
сравнительно недавнюю историю. Лагранжев подход является эффективным способом не только
демонстрации неоднородного характера перемешивания и наличия когерентных структур, но и его
количественной характеризации. Получили развитие методы поиска лагранжевых когерентных
структур, устойчивых и неустойчивых многообразий, которые применяются для исследования
процессов переноса и перемешивания в разных морях и океанах. Среди лагранжевых методов
широкое распространение получили карты распределений показателей Ляпунова, которые
характеризуют относительное рассеивание поля консервативной примеси.
Струйные течения в океане и атмосфере являются барьерами для поперечного
(меридионального в геофизической терминологии) транспорта водных и воздушных масс. Вопрос
проницаемости этих барьеров – один из основных в физической океанографии и физике
атмосферы. Поскольку физико-химические и биологические характеристики по обе стороны струи
сильно различаются, то перенос водных (воздушных) масс с одной стороны струи на другую
13
может вызвать серьёзные последствия, например, истощение озонового слоя в атмосфере или
распреснение и охлаждение вод в океане. Наблюдения за траекториями буев нейтральной
плавучести, запущенных на различных глубинах в разных районах океана, выявили их
крупномасштабные перемещения поперёк струи. Очевидная нерегулярность траекторий этих буев
явилась веским аргументом для предложения хаотической адвекции в качестве механизма
крупномасштабного перемешивания и транспорта в струйных течениях в океане и атмосфере.
Хаотической
адвекцией
называется
процесс
перемешивания
пассивной
примеси
в
детерминированных потоках с экспоненциальной чувствительностью траекторий частиц к малым
изменениям их начальных положений и/или управляющих параметров потока (см. недавние
обзоры по хаотической адвекции в океане. Отметим ряд лабораторных экспериментов по
хаотической адвекции с вращающейся жидкостью, имитирующих струйные течения в океане и
атмосфере. Сквозь отверстия конусообразного дна (имитация эффекта Кориолиса на Земле)
вращающегося танка закачивалась вода с регулируемой величиной потока. В результате
создавалась
устойчивая
азимутальная
струя
с
несколькими волновыми
возмущениями.
Отмечалось хорошее хаотическое перемешивание в таком квазипериодическом потоке по обе
стороны струи, но не транспорт поперек нее. По распространённому мнению, большой градиент
потенциальной завихренности в центральной области струи является барьером, препятствующим
поперечному транспорту.
Будучи мотивированы проблемой проницаемости геофизических
струйных потоков в
океане и атмосфере и их лабораторных аналогов, нами исследовался горизонтальный поперечный
транспорт в динамически согласованной модели струйного потока с волнами Россби,
планетарными
длиннопериодными волнами в океане и атмосфере. Яркими примерами таких
струй являются Гольфстрим, Куросио и Антарктическое циркумполярное течение в океане и
зональные струи в атмосфере, разделяющие водные (воздушные) массы с различными свойствами.
Эйлеровы поля скорости реальных течений не являются, конечно, строго регулярными, но в тех
случаях, когда эйлерово время корреляции велико по сравнению с лагранжевым, проблему
перемешивания и транспорта можно рассматривать в рамках концепции хаотической адвекции.
Целями настоящей работы явилось: разработка методики выявления поперечного транспорта и
определение его характеристик; нахождение условий и механизмов разрушения транспортных
барьеров для разных значений волновых чисел и исследование поперечного транспорта при
сравнительно малых амплитудах возмущения, которые реализуются как в геофизических потоках,
так и в лабораторных экспериментах.
11 марта 2011 г. в результате сильного землетрясения в Японии и последовавшего за ним
цунами произошло частичное разрушение реакторов АЭС “Фукусима-Дайичи” на восточном
побережье о.Хонсю. Помимо радиоактивного загрязнения воздуха произошло также загрязнение
14
радионуклидами в результате слива в океан зараженной воды из реакторов АЭС, выпадения
радиоактивных осадков на поверхность моря и смыва дождями с почвы в море радиоактивных
веществ. Целью исследования являлось численное моделирование распространения в океане
зараженной воды в результате аварии на АЭС “Фукусима-Дайичи” на основе альтиметрического
поля скорости, построенного по данным спутниковых измерений в период с 11 марта по 24 апреля
2011г. Для этого использовалось лагранжева методика анализа перемешивания и переноса
пассивной примеси в океане. Рассматривался северо-западный регион Тихого океана (Рис.1.1.7).
Геострофическое поле скорости рассчитывалось по данным спутниковой альтиметрии с
пространственным разрешением 1 / 3
и суточным шагом по времени и последующей
бикубической пространственной интерполяцией и интерполяцией по времени полиномами
Лагранжа третьей степени. Крупномасштабная циркуляция в этом регионе возникает в результате
взаимодействия мощного течения Куросио и менее интенсивного холодного Курильского течения
(Ойясио). Эта фронтальная зона известна наличием вихрей синоптического масштаба и
неоднородным характером перемешивания.
Процессы переноса и перемешивания играют определяющую роль в распределении
гидробиохимических характеристик вод океана (температура, соленость, биопродуктивность и
т.д.). На сегодняшний день механизмы, лежащие в основе этих процессов, до конца не раскрыты.
Явления синоптического масштаба, в частности вихри, играют важную роль в этих процессах.
Кроме того, характерной чертой таких движений является их нестационарность (например,
приливного характера). Поэтому исследование процессов переноса и перемешивания в полях
скорости с сильной неоднородностью (вихревые образования) при их нестационарности является
на сегодняшний день вполне актуальным. В рамках простейших моделей вихревых структур в
качестве основного механизма, процессов переноса и перемешивания пассивной примеси
(нефтяное загрязнение, планктон, мальки рыб) предлагается хаотическая адвекция [1,2]. Основная
цель исследования: выявление роли параметров нестационарной составляющей проточного
течения (частоты, амплитуды, фазы), граничных условий, рельефа дна и стратификации на
хаотический перенос и перемешивание пассивной примеси.
Точечные вихри возникают как модельные описания вихревых структур в разных областях
физики, таких как многофазные жидкости, магнитная гидродинамика, физика сверхтекучести,
физика плазмы, космология и т.д. особенно большое количество приложений такие модели имеют
в гидродинамике из-за большого количества приложений, где они могут использоваться.
Например, меандрирующие потоки, динамика многовихревых структур, включая приложения в
геофизической гидродинамике. Наибольшее число работ посвящено использованию таких
моделей при изучении турбулентности. При исследовании турбулентных двумерных потоков
возникают когерентные вихревые структуры, часто их движение может быть описано, как
15
движение вихревой пары в нестационарном деформационном потоке. В частности возникновение
таких когерентных структур связано с хорошо известным явлением передачи энергии от малых
масштабов к большим в 2D турбулентности. Два вихря разных знаков с одинаковыми
интенсивностями движутся равномерно как самораспространяющаяся пара. Центр завихренности
также движется по незамкнутой траектории. Если же рассмотреть два вихря произвольных
интенсивностей в неоднородном потоке, тогда центра завихренности может двигаться, как
локализовано, так и неограниченно. Если при этом внешний поток нестационарен возникают
нелокализованные режимы движения в областях средних параметров соответствующих
локализованным движениям в стационарном случае. Такие режимы возникают вследствие
параметрического резонанса.
При исследовании эволюции пассивной примеси в поле волновых пакетов ограничиваются
рассмотрением эволюции примеси
в приповерхностном слое. Часть
работ
посвящена
исследованию переноса пассивной примеси в приближении слоистой жидкости, как правило, 2-х
слойной, что не позволяет всесторонне раскрыть картину эволюции примеси по вертикали. Для
анализа трехмерной эволюции последней в поле нелинейных внутренних волн с помощью
численных моделей часто ограничиваются заданием постоянной по вертикали частоты
плавучести, что является довольно грубым приближением сезонного пикноклина. Кроме этого,
согласно ряду работ положение пикноклина, а также его ширина оказывают существенное
влияние на нелинейные свойства внутренних волн. На основе численного моделирования
проведено исследование взаимодействия пассивной примеси с полем внутренних волн Кельвина
(ВВК) у береговой черты. Для расчетов эволюции первой моды внутренней волны Кельвина
(ВВК) у вертикальной стенки на пикноклине использовалась модель POM. Она основывается на
полных
уравнениях
термодинамики
океана,
записанных
в
системе
сигма-координт
и
сформулированных в приближениях Буссинеска и гидростатики. Модуль расчета переноса
пассивной примеси основывается на численной схеме вверх по потоку, которая успешно
применяется при исследовании переноса различных субстанций в прибрежной зоне.
Численное моделирование трехмерных стоксовых (ползущих) течений со свободной
границей, помимо многочисленных практических приложений (например, моделирование
трехмерной конвекции в мантии Земли), является одной из важных исследовательских проблем
гидродинамики при малых числах Рейнольдса. В настоящее время разработан ряд численных
алгоритмов ее решения. Однако при численном решении трехмерной задачи в переменных
“скорость–давление” неизбежно возникают трудности, связанные с точностью выполнения
условия несжимаемости и постановкой краевых условий на свободной границе. Разработан
численный метод, представляющий собой развитие на трехмерный случай эффективного
16
численного подхода к решению задачи Стокса, который обладает преимуществами традиционных
методов решения в переменных “векторный потенциал–завихренност” и “скорость–давление”.
Изучение флюидодинамических процессов в недрах Земли является одной из центральных
задач геологии и геофизики. В процессе адвекции флюида, в результате охлаждения
растворимость содержащихся в нем компонент уменьшается, что приводит к выпадению в осадок
твердых веществ и выделению жидких и газообразных компонент. Таким образом, могут
формироваться месторождения полезных ископаемых и углеводородов и т.д. Все эти явления
нуждаются в адекватном описании на языке механики сплошных сред. Основная сложность
построения моделей осаждения связана с разными температурами флюида и вмещающей породой:
уравнение теплового баланса должно определяется отдельно для твердой и жидкой фаз, и в них
должны быть введены дополнительные члены, характеризующие межфазный
17
неоднородностью вдоль трассы это позволяет дать ясную и наглядную геометрическую
интерпретацию
лучевой
динамики,
а
также
разделить
области
начальных
условий,
соответствующие регулярным и хаотическим лучам. Однако, реальные поля неоднородности не
являются периодическими и имеют стохастический характер. Статистические методы теории волн
в случайных средах, как правило, основаны на предположении об эргодическом хаосе и не
принимают во внимание существование зон устойчивости в фазовом пространстве. Такие зоны
могут существовать, если рассматривается ограниченный по горизонтали участок волноводной
трассы. Таким образом, возникает потребность в создании теоретического подхода, в котором
методы статистического и детерминированного описания удачно сочетаются друг с другом. Нам
удалось разработать подход, удовлетворяющий этим требованиям. В нем ключевую роль играет
построение оператора эволюции волнового поля для конечного отрезка волновода. Нами показано,
что спектральный анализ полученного оператора с применением теории случайных матриц
позволяет описать процесс обусловленной хаосом декогеренции акустического поля.
Использование мощных акустических излучателей и нелинейных методик для изучения
свойств газонасыщенных морских осадков сделали востребованными оценки кавитационных
порогов в “мутных” средах. Влияние поверхностной нуклеации на кавитационную прочность
жидкостей – этап проведенных исследований, позволивший оценить условия, когда данный
механизм нуклеации является доминирующим – поры с шероховатыми стенками.
При разработке теоретических основ метода двухчастотной диагностики газовых
включений определена величина и угловые зависимости рассеянных комбинационных компонент,
которые получаются за счет нелинейной связи между интенсивной низкочастотной волной
накачки и высокочастотной сигнальной волной. Нелинейный отклик пузырька на воздействие
интенсивной волны накачки приводит также к параметрической генерации поверхностных мод –
ряби Фарадея. Определены условия образования структур на поверхности газового пузырька,
возбуждаемого акустическим полем вблизи порога параметрической неустойчивости. Основное
уравнение этой теории для многокомпонентного параметра порядка описывает форму,
принимаемую неустойчивой межфазной поверхностью (жидкой каплей в жидкости или газе,
пузырьком, границей между жидкими слоями), а решения этого уравнения отвечают на вопрос,
каким образом неустойчивость приводит к формированию окончательной стабильной формы
межфазной
поверхности.
На
основе
теории
групп
дана
классификация
возможных
деформированных состояний газовых включений.
Сонолюминесцения – наиболее яркое следствие кавитации, явления образования в
жидкостях парогазовых полостей в результате местного понижения давления в жидкости либо при
увеличении её скорости (гидродинамическая кавитация), либо при прохождении акустической
волны. Коллапс кавитационных пузырьков сопровождается огромной концентрацией энергии - до
18
12 порядков величины. Возникающие при этом ударные волны обладают большой разрушающей
силой, а излучаемый свет отражает химические и плазменные базовые механизмы энергетической
передачи. В связи с широким использованием ультразвука в промышленности, военной технике,
медицине, исследование процессов в кавитационном пузырьке, которые и после почти 100-летней
истории изучения остаются во многом открытыми, является актуальной задачей. Результаты
работы в 2009-2011 г.г. позволили существенно продвинуться в понимании механизма появления
атомной эмиссии металлов в спектрах сонолюминесцении растворов солей. Разработана модель,
успешно объясняющая спектральные особенности профиля линий при сонолюминесценции.
Модель основана на новом взгляде на механизм формирования сонолюминесценции металлов и
позволяет
оценивать
параметры
кавитационного
коллапса.
Результаты
моделирования
экспериментальных данных выявили несколько новых эффектов и согласуются с последними
результатами других авторов.
Акустические
методы
изучения
свойств
микронеоднородной
жидкости
занимают
значительное место среди других, что связано с малым затуханием звуковых волн в жидкости и
сильным их нелинейным взаимодействием с неоднородностями среды. Такие характеристики
акустического поля как коэффициент поглощения звука, нелинейный акустический параметр,
коэффициент рассеяния и скорость звука тесно связаны с наличием микронеоднородностей в
жидкости. Теория акустического взаимодействия звука с микронеоднородностями в жидкостях
показывает
возможность
спектроскопии
микронеоднородностей.
Разработка
методов
спектроскопии является предметом многих экспериментальных работ. Однако в целом задачу
нельзя считать решенной, что связано с многообразием факторов, влияющих на свойства
микронеоднородной жидкости. К ним можно отнести изменчивость основных характеристик
звукового поля в условиях большой концентрации микронеоднородностей, а также вблизи точек
фазовых переходов. В работе проведено теоретическое и экспериментальное изучение
коэффициента поглощения звука, нелинейного акустического параметра и коэффициента
рассеяния звука в зависимости от концентрации пузырьков в жидкости и при различной
температуре, что отвечает различной отдаленности от точек фазовых переходов. Особое внимание
также
обращено
на
разработку
методов
микронеоднородной жидкости.
19
нелинейной
акустической
спектроскопии
1 Нелинейная динамика физических полей в океане и атмосфере
1.1 Лагранжев анализ мезомасштабного и субмезомасштабного перемешивания и
переноса в струйных и вихревых структурах океана
1.1.1 Хаотический меридиональный транспорт в струйных потоках с волнами Россби
Струйные течения в океане и атмосфере являются барьерами для поперечного
(меридионального в геофизической терминологии) транспорта водных и воздушных масс. Вопрос
проницаемости этих барьеров – один из основных в физической океанографии и физике
атмосферы. Поскольку физико-химические и биологические характеристики по обе стороны струи
сильно различаются, то перенос водных (воздушных) масс с одной стороны струи на другую
может вызвать серьёзные последствия, например, истощение озонового слоя в атмосфере или
распреснение и охлаждение вод в океане. Наблюдения за траекториями буев нейтральной
плавучести, запущенных на различных глубинах в разных районах океана, выявили их
крупномасштабные перемещения поперёк струи [1]. Очевидная нерегулярность траекторий этих
буев явилась веским аргументом для предложения хаотической адвекции в качестве механизма
крупномасштабного перемешивания и транспорта в струйных течениях в океане и атмосфере [15].
Хаотической
адвекцией
называется
процесс
перемешивания
пассивной
примеси
в
детерминированных потоках с экспоненциальной чувствительностью траекторий частиц к малым
изменениям их начальных положений и/или управляющих параметров потока (см. недавние
обзоры по хаотической адвекции в океане [6, 7]. Отметим ряд лабораторных экспериментов по
хаотической адвекции с вращающейся жидкостью [8-10], имитирующих струйные течения в
океане и атмосфере. Сквозь отверстия конусообразного дна (имитация эффекта Кориолиса на
Земле) вращающегося танка закачивалась вода с регулируемой величиной потока. В результате
создавалась
устойчивая
азимутальная
струя
с
несколькими волновыми
возмущениями.
Отмечалось хорошее хаотическое перемешивание в таком квазипериодическом потоке по обе
стороны струи, но не транспорт поперек нее. По распространённому мнению, большой градиент
потенциальной завихренности в центральной области струи является барьером, препятствующим
поперечному транспорту [8-11].
Для моделирования транспорта и перемешивания водных (воздушных) масс удобен
лагранжев подход, в котором частица с координатами r адвектируется эйлеровым полем скорости
v (r , t )
dr
 v (r , t )
dt
(1.1.1)
Несмотря на простой вид этого уравнения, эйлеровы свойства поля скорости и лагранжевы
свойства траекторий пассивных частиц могут быть связаны очень сложным образом. Так, даже
простое детерминированное эйлерово поле может порождать практически непредсказуемые
20
лагранжевы траектории частиц. Это означает, что в некоторых областях фазового пространства
расстояние между соседними частицами экспоненциально растёт со временем.
Будучи мотивированы проблемой проницаемости геофизических
струйных потоков в
океане и атмосфере [11-12] и их лабораторных аналогов [8-10], нами исследовался
горизонтальный поперечный транспорт в динамически согласованной модели струйного потока с
волнами Россби, планетарными
длиннопериодными волнами в океане и атмосфере. Яркими
примерами таких струй являются Гольфстрим, Куросио и Антарктическое циркумполярное
течение в океане и зональные струи в атмосфере, разделяющие водные (воздушные) массы с
различными свойствами. Эйлеровы поля скорости реальных течений не являются, конечно, строго
регулярными, но в тех случаях, когда эйлерово время корреляции велико по сравнению с
лагранжевым, проблему перемешивания и транспорта можно рассматривать в рамках концепции
хаотической адвекции.
При моделировании обычно рассматривается двумерное поле скорости несжимаемой
жидкости v  (u, v) с функцией тока  ( x, y, t ) и уравнениями адвекции
dx

 u ( x, y, t )  
,
dt
y
dy

 v ( x, y , t ) 
dt
x
(1.1.2)
составляющими гамильтонову систему с полутора степенями свободы, канонические переменные
которой являются координатами частиц, т.е. фазовое пространство уравнений адвекции является
конфигурационным для адвектируемых частиц. Целями настоящей работы явилось: разработка
методики выявления поперечного транспорта и определение его характеристик; нахождение
условий и механизмов разрушения транспортных барьеров для разных значений волновых чисел и
исследование поперечного транспорта при сравнительно малых амплитудах возмущения, которые
реализуются как в геофизических потоках, так и в лабораторных экспериментах.
Модельный сдвиговый поток с волнами Россби
Динамика двумерной несжимаемой жидкости во вращающейся системе координат
описывается
уравнением сохранения потенциальной завихренности
( / t  v ·)  0 . В
квазигеострофическом приближении потенциальная завихренность имеет вид   2   y , где
параметр  пропорционален изменению силы Кориолиса с широтой [13]. Здесь x - координата в
направлении зонального потока (запад-восток), а y - в направлении градиента (юг-север).
Баротропные
возмущения
сдвиговых
зональных
потоков
порождают
планетарные
длиннопериодные волны Россби, которые оказывают существенное влияние на транспорт и
перемешивание в океане и атмосфере [13].
21
Результирующая функция тока зонального сдвигового потока с двумя волнами Россби,
удовлетворяющая линеаризованному уравнению сохранения потенциальной завихренности, имеет
вид
y
y


( x, y, t )  U 0 D  tanh  sech 2  A1 cos k1 ( x  c1t )  A2 cos k2 ( x  c2t )  ,
D
D


(1.1.3)
где U0 - максимальная скорость потока, D - мера его ширины, а Aj – амплитуды волн.
Одной из задач данной работы являлось представление теоретических результатов в виде,
допускающем сравнение с лабораторными экспериментами [8-10], где создавалась замкнутая в
кольцо струя с двумя волнами, целое число длин которых, n1 и n2 , укладывается на окружность
радиуса R , т.е.
k1,2 
n1,2
R
c1,2 
,
U 0 D2 2
n1,2 .
6R2
(1.1.4)
Для определённости мы считаем, что n1  n2 , и волну с n1 называем первой, а с n2 - второй.
Приведём дробь n1 / n2 к несократимому виду: n1  mN1 , n2  mN2 , где m  1 - наибольший общий
делитель n1 и n2 , а N1 / N 2 - несократимая дробь.
Введя новые координаты запишем безразмерную функцию тока в системе отсчета,
движущейся с фазовой скоростью первой волны
( x, y, t )   tanh y  A1 sech 2 y cos( N1 x)  A2 sech 2 y cos( N2 x  2t )  C2 y,
(1.1.5)
2 N 2 ( N12  N 22 )
,
где 2 
3( N12  N 22 )
2 N12
C2 
.
3( N12  N 22 )
В результате получена функция тока (1.1.5) с двумя управляющими параметрами (помимо
амплитуд) N1 и N2 , которые определяются четырьмя экспериментальными параметрами: U0 ,  ,
D , R . С этой функцией тока можно исследовать поперечный транспорт для любых пар чисел
( n1, n2 ), свобода реализации которых обеспечивается вариацией параметров эксперимента: радиуса
R , ширины струи D , максимальной скорости U0 и  .
Уравнения адвекции (1.1.2) с функцией тока (1.1.5) имеют вид
dx
 C2  sech 2 y[1  2 A1 tanh y cos( N1 x)  2 A2 tanh y cos( N 2 x  2t )],
dt
dy
  sech 2 y[ A1 N1 sin( N1 x)  A2 N 2 sin( N 2 x  2t )],
dt
22
(1.1.6)
где опущены штрихи над x , y и t . Положим для определённости, что A1  A2 , тогда вторую
волну можно считать возмущением. Если A2  0 , то функция тока (1.1.5) является стационарной, а
система уравнений (1.1.6) - интегрируемой.
Для нечётных значений N1 и N2 уравнение (1.1.6) имеет две симметрии являющиеся
инволюциями, т.е. Sˆ 2  1 и Iˆ02  1 . Благодаря симметрии Ŝ , движение адвектируемых частиц
может
быть
рассмотрено
на
цилиндре
с
0„ x„ 2 .
Часть
фазового
пространства
с
2 n„ x„ 2 (n  1) , n  0, 1, , называется фреймом.
Хаотический поперечный транспорт для нечётных значений волновых чисел
Дадим определения основных структур, характеризующих хаотический поперечный
транспорт (ХПТ) в зональном сдвиговом потоке. Отметим, что стационарный поток с функцией
тока (1.1.5) является вырожденным, т.е. fst / st  0 , где fst - частота движения адвектируемых
частиц в невозмущённом потоке. В математической литературе отображения с таким свойством
носят название незакручивающих отображений (nontwist maps [11, 14-16]).
Вместо вычисления траекторий адвектируемых частиц удобно строить соответствующие
отображения Пуанкаре. Орбитой отображения Пуанкаре называется такая совокупность точек
{( xi , yi )}i на фазовой плоскости, для которых выполняется соотношение GˆT ( xi , yi )  ( xi 1 , yi 1 ) ,
где Gˆ t оператор эволюции на интервал времени t , а T  2 / 2 - период возмущения. Оператор
GˆT можно представить в виде произведения двух инволюций: GˆT  Iˆ1Iˆ0 , где Iˆ1  GˆT Iˆ0 инвариантный относительно обращения времени оператор.
Периодической орбитой периода nT (n  1, 2, ) называют орбиту для которой выполняется
условие ( xi n , yi n )  ( xi  2 m, yi ) , i , где m - целое число. Число вращения w орбиты
определяется выражением w  lim[( xi  x0 ) / (2 i )] .
i 
Число вращения есть отношение между частотой возмущения 2 и собственной частотой
движения в системе f . Периодические орбиты имеют рациональные числа вращения w  m / n .
Это выражение означает, что баллистическая пассивная частица проходит в потоке m фреймов и
возвращается в своё первоначальное положение на цилиндре после n периодов возмущения.
Числа вращения квазипериодических орбит являются иррациональными.
Введём важное для дальнейшего изложения понятие “центральной инвариантной кривой”
(ЦИК). ЦИК - это кривая, инвариантная относительно операторов Ŝ и GˆT . Нетрудно показать, что
две кривые, инвариантные относительно оператора Ŝ имеют, как минимум, две общие точки.
Кривые, инвариантные относительно GˆT , не могут пересекаться. Таким образом, из определения
23
следует, что ЦИК является единственной. ЦИК соответствует локальному экстремуму на профиле
числа обращения с иррациональным значением w( y) . Значимость ЦИК состоит в том, что она
разделяет поток на северную и южную части и является барьером для поперечного транспорта.
Когда ЦИК разрушена частицы могут перемещаться из северной части в южную и наоборот.
Такую ситуацию мы и называем поперечным транспортом (cross-jet transport). Как будет показано
далее при разрушении ЦИК на её месте возникает стохастический слой, ширина которого может
меняться в больших пределах. Будем называть локальным ХПТ такой режим, когда средняя
ширина стохастического слоя h  S / 2  1 , где S - площадь стохастического слоя, 2 - длина
фрейма. Отметим, что полуширина струи в нормированных переменных равна 1. Глобальным
ХПТ будем называть ситуацию с h ‰1 . В этом случае область хаотического перемешивания
сравнима с поперечным размером струи.
Одним из следствий нарушения условия невырожденности является возможность
существования более чем одной орбиты с заданным числом вращения. Такие орбиты возникают
парами по обе стороны от ЦИК. Они могут сталкиваться и аннигилировать при вариации
управляющих параметров. Столкновение периодических орбит является частью феномена
“пересоединения” (reconnection) инвариантных множеств соответствующих гиперболических
орбит [14]. Методика, изложенная в этом разделе, справедлива для любых пар нечётных значений
волновых чисел Россби N1 и N2 . Напомним, что N1 / N 2 - несократимая дробь. Так что
фактические волновые числа n1  mN1 и n2  mN2 могут принимать и чётные значения.
Для иллюстрации полученных результатов мы выбрали пару с N1  5 и N2  1 . На
рис.1.1.1a представлен фазовый портрет стационарного потока ( A2  0 ) в системе отсчёта,
движущейся с фазовой скоростью первой волны. Благодаря выбранной нормировке во фрейме
размером 2 укладывается пять длин первой волны и одна длина второй. Между двумя
цепочками из пяти вихрей находится струя, текущая на восток. Периферийные течения к югу и
северу от струи в выбранной системе отсчёта являются западными. В стационарном потоке все
частицы следуют линиям тока. При A2  0 уравнение (1.1.6) допускает хаотические решения. Хаос
возникает по типичному для нелинейных гамильтоновых систем сценарию: на месте разрушенных
сепаратрис интегрируемой системы возникает стохастический слой.
Центральная инвариантная кривая
Изложим алгоритм построения ЦИК. Решая уравнение Iˆ0 ( x( j ) , y ( j ) )  Sˆ ( x( j ) , y ( j ) ) , j  1, 2 ,
находим индикаторные точки [15]: ( x (1)   / 2 ,
y (1)  0 ) и ( x(2)  3 / 2 ,
исследуется
Пуанкаре
поведение
итераций
отображения
( xi , yi )  GˆTi ( x (1) , y (1) ) .
24
первой
y(2)  0 ). Далее
индикаторной
точки
Рисунок 1.1.2 иллюстрирует метаморфозы ЦИК с ростом амплитуды второй волны Россби
A2 . При малых значениях этой амплитуды ЦИК является немеандрирующей кривой (см.
Рис.1.1.2a). При критическом значении A2  0,0605 инвариантные многообразия гиперболических
орбит двух цепочек островов резонанса 7:3 соединяются, в результате чего ЦИК разрушается.
Дальнейший рост амплитуды приводит к расщеплению инвариантных многообразий и
возрождению ЦИК, которая становится кривой первого порядка меандрирования с 7 меандрами
(см. Рис.1.1.2b). Количество меандров (складок) на ЦИК определяется количеством резонансных
островов в пересоединяющихся цепочках. Последующий рост амплитуды приводит к появлению
новых складок на ЦИК. На рис.1.1.2с и d показана ЦИК высокого порядка меандрирования.
Рисунок 1.1.1 - Сечения Пуанкаре сдвигового потока с двумя волнами Россби (1.1.5) с N1  5 и
N2  1 в системе отсчёта, движущейся с фазовой скоростью первой волны для различных
значений амплитуды второй волны ( A1  0, 2416 ). a) Контуры линий тока стационарного течения
( A2  0 ). b) При A2  0,09 существует зональный хаотический транспорт, но ЦИК (жирная
кривая) является барьером для поперечного транспорта. c) При A2  0,095 ЦИК разрушена и на
её месте возникает стохастический слой с локальным ХПТ. d) При A2  0, 2 ХПТ является
глобальным.
25
Рисунок 1.1.2 - Метаморфозы ЦИК в сдвиговом потоке с волновыми числами N1  5 и N2  1 при
фиксированной амплитуде первой волны, A1  0, 243 , и вариации амплитуды второй волны
Россби. a) Немеандрирующая ЦИК ( A2  0,05 ). b) ЦИК первого порядка меандрирования с 7
меандрами ( A2  0,082 A2  0,082 ). c) ЦИК второго порядка меандрирования с 33 меандрами
( A2  0,099 ). d) ЦИК высокого порядка меандрирования ( A2  0,1047 ).
Механизмы возникновения хаотического поперечного транспорта
В результате численных экспериментов выявлены два механизма возникновения ХПТ. С
увеличением амплитуд волн Россби растёт ширина южного и северного стохастических слоёв,
разделённых ЦИК. При некоторых критических значениях амплитуд эти слои сливаются,
разрушая ЦИК. Это амплитудный механизм разрушения ЦИК и установления ХПТ, который
обычно является глобальным. Рисунок 1.1.3 иллюстрирует амплитудный механизм разрушения
ЦИК и установление ХПТ.
Существует и другой механизм разрушения ЦИК - резонансный, который работает при
сколь угодно малых значениях амплитуд волн Россби. Вариации амплитуд приводят к изменению
значения числа вращения на ЦИК. При рациональных значениях числа вращения ЦИК
разрушается и возникает как правило локальный ХПТ. Рисунок 1.1.4 иллюстрирует резонансный
механизм разрушения ЦИК и установление локального ХПТ.
Следует различать два сценария разрушения ЦИК, связанных с наличием чётных или
нечётных резонансов вблизи ЦИК. Резонанс n : m называется чётным или нечётным в зависимости
от того чётным или нечётным является n . Здесь m - количество фреймов проходимых частицей за
n периодов возмущения.
26
Рисунок 1.1.3 - Разрушение ЦИК и процесс установления ХПТ при фиксированной амплитуде
первой волны, A1  0, 2418 , и вариации амплитуды второй волны Россби A2 . На первых двух
панелях показаны ситуации, когда итерации индикаторной точки (жирные точки) укладываются
на: a) ЦИК ( A2  0,067 ), b) центральную почти периодическую орбиту ( A2  0,08703 ). На панелях
c) ( A2  0,088 ) и d) ( A2  0, 2 ) представлены случаи, когда ЦИК разрушена и итерации образуют
стохастический слой с локальным и глобальным ХПТ, соответственно. На врезках показаны
увеличенные изображения фазового пространства вблизи островов резонанса 7:3.
В рассмотренном выше случае нечётного резонанса в результате бифуркации “седлоцентр” по обе стороны ЦИК рождается пара цепочек резонансных островов. Далее при
увеличении амплитуды возмущения размеры островов и меандров ЦИК увеличиваются. При
некотором критическом значении амплитуды происходит слияние инвариантных многообразий
гиперболических орбит, сопровождающееся разрушением ЦИК. Дальнейшее увеличение
амплитуды приводит к разъединению этих многообразий с возрождением новой ЦИК. Этот
процесс в литературе по незакручивающим отображениям называется пересоедиением сепаратрис
(separatrix reconnection) [14].
27
Рисунок 1.1.4 - Резонансный механизм разрушения ЦИК и установление локального ХПТ в
интервале значений A2  [0,1016 : 0,1024] при A1  0, 243 . a) ЦИК в окружении гладких
инвариантных кривых ( A2  0,102 ). b) В результате бифуркации “седло-центр”
( A2  0,1022212  Acr ) по обе стороны от ЦИК появляются цепочки островов резонанса 151:64 и
ЦИК становится кривой с 151 меандрами. с) В результате слияния инвариантных многообразий
гиперболических орбит резонансов высокого порядка на месте ЦИК возникает стохастический
слой ( A2  0,102225 ). d) В результате разъединения многообразий гиперболичеких орбит
резонанса 151:64 появляется новая ЦИК ( A2  0,10236 ).
В случае чётного резонанса при увеличении амплитуды возмущения происходит
постепенное сближение цепочек резонансных островов, разделённых ЦИК. При некотором
критическом значении амплитуды цепочки сливаются, образуя вихревые пары. На месте
разрушенной ЦИК появляется узкий стохастический слой, опоясывающий вихревые пары. При
дальнейшем увеличении амплитуды происходит постепенное уменьшение размеров вихревых пар,
завершающееся аннигиляцией гиперболических и эллиптических орбит и рождением новой ЦИК.
Мы завершаем этот раздел построением диаграмм ХПТ для набора пар нечётных волновых
чисел в диапазонах значений амплитуд волн Россби A1  [0,05: 0,5] и A2  [0,05: 0,5] . Для каждой
пары вычислялись итераций первой индикаторной точки. Если точки при итерировании
составляют ЦИК или центральную периодическую орбиту, то поперечный транспорт очевидно
отсутствует. На рис.1.1.5 этой ситуации отвечает белый цвет. Начиная с определённых для каждой
пары волновых чисел значений волновых амплитуд, растёт ширина стохастического слоя,
возникающего на месте разрушенной ЦИК. Оттенки серого цвета на рис.1.1.5 характеризуют эту
28
ширину. Для значений h  1 ХПТ является локальным (серые области на рисунке). Чёрный цвет
означает, что при данных амплитудах волн Россби ХПТ становится глобальным, h  1 . Особое
значение имеет вид границы перехода между режимами с существованием ЦИК и наличием ХПТ.
Изрезанность этой границы на диаграммах (наличие шипов) обусловлена существованием цепочек
резонансных островов вблизи ЦИК.
Рисунок 1.1.5 - Диаграммы ХПТ в координатах амплитуд волн Россби для набора пар нечётных
волновых чисел 3-1, 5-1, 5-3, 7-1, 7-3, 9-1. Цвет кодирует ширину стохастического слоя h ,
возникающего на месте разрушенной ЦИК. Белый цвет - отсутствие ХПТ, серый цвет - локальный
ХПТ, чёрный цвет - глобальный ХПТ.
Хаотический поперечный транспорт для чётно-нечётных значений волновых чисел
В этом разделе приводятся результаты численного исследования поперечного транспорта в
потоке (1.1.5) для чётно-нечётных значений волновых чисел N1 и N2 . В этом случае уравнение
адвекции (1.1.6) уже не имеет симметрии Ŝ , наличие которой позволило нам разработать в
29
предыдущем разделе методику построения ЦИК с последующим изучением бифуркаций этой
кривой и её разрушения. Будем определять наличие поперечного транспорта по перекрытию
северного и южного стохастических слоёв, которые формируются при вычислении на достаточно
большое время сечений Пуанкаре с начальными условиями, взятыми, соответственно, в северной
и южной областях потока по отношению к центральной струе. Перекрытие двух таких слоёв
определим следующим образом. Если каждая точка первого стохастического слоя лежит во
втором и наоборот, то два таких слоя перекрываются. Полного перекрытия при счёте на конечное
время, конечно, не происходит, т.е. слои перекрываются частично.
На рис.1.1.6 представлены диаграммы поперечного транспорта в координатах амплитуд
волн Россби для чётно-нечётных значений волновых чисел 3-2, 5-4 и 6-5 рассчитанные по
приведённому выше алгоритму. Белый цвет означает, что для данных значений волновых
амплитуд южный и северный стохастические слои не перекрываются, т.е. существует барьер,
препятствующий поперечному транспорту. Градации серого цвета на диаграммах кодируют
ширину единого стохастического слоя. В этом случае существует ХПТ. Для чётно-нечётных
значений волновых чисел глобальный поперечный транспорт становится возможным только для
значений амплитуд волн Россби порядка единицы. Это в несколько раз больше, чем для нечётных
волновых чисел. Следует отметить, что с ростом амплитуды второй волны поток может
переходить из гетероклинического режима в гомоклинический с западной центральной струёй.
Рисунок 1.1.6 - Диаграммы ХПТ в координатах амплитуд волн Россби для чётно-нечётных
значений волновых чисел: 3-2, 5-4, 6-5. Цвет кодирует ширину единого стохастического слоя.
Белый цвет - отсутствие ХПТ.
30
Заключение и связь с лабораторными экспериментами
Резюмируем основные результаты работы. Выведена двумерная функция тока зонального
сдвигового потока с двумя устойчивыми волнами Россби, удовлетворяющая уравнению
сохранения
потенциальной
завихренности
несжимаемой
жидкости.
В
системе
отсчёта,
движущейся с фазовой скоростью первой волны, эта функция тока является суммой стационарной
компоненты и зависящего от времени возмущения. Наличие второй волны (возмущения) приводит
к возникновению хаотической адвекции пассивных частиц, происходящей по типичному для
гамильтоновых систем сценарию (Рис.1.1.1).
Записав волновые числа Россби в виде n1  mN1 , n2  mN2 , где m  1 - наибольший общий
делитель n1 и n2 , а N1 / N 2 - несократимая дробь, мы свели все возможные пары волновых чисел к
двум классам: (1) нечётные значения N1 и N2 и (2) одно из чисел N чётное, а другое - нечётное
(случай обоих чётных значений n1 и n2 сводится к одному из перечисленных). В первом случае
уравнения адвекции (1.1.6) имеют симметрию Ŝ , наличие которой позволило нам разработать
методику нахождения центральной инвариантной кривой, используя итерации отображения
Пуанкаре одной из индикаторных точек (Рис.1.1.2). В зависимости от величины размерности
покрытия множества точек этих итераций можно различать режимы с наличием ЦИК и
появлением на её месте стохастического слоя с ХПТ (Рис.1.1.3). Выявлены амплитудный
(Рис.1.1.3) и резонансный (Рис.1.1.4) механизмы разрушения ЦИК и установления ХПТ. В
последнем случае сценарии разрушения ЦИК различны для нечётных и чётных резонансов. Для
нечётных значений волновых чисел разрушение ЦИК и установление глобального ХПТ
происходят для сравнительно малых амплитуд волн Россби (Рис.1.1.5).
В случае возмущения с чётно-нечётными значениями волновых чисел, когда отсутствует
одна из симметрий уравнений адвекции, разработана другая методика обнаружения ХПТ,
основанная на вычислении перекрытия северного и южного стохастических слоёв. Расчёты по
этой методике показывают, что в данном случае глобальный ХПТ наступает при значительно
больших (по сравнению с нечётными волновыми числами) значениях амплитуд волн Россби
(Рис.1.1.6).
В заключение кратко обсудим возможность проверки полученных в этой работе
результатов в лабораторных экспериментах по хаотической адвекции с вращающейся жидкостью
[8-10], имитирующих нелинейные геострофические потоки в океане и атмосфере. Вращающийся
танк имеет конусообразное дно (имитация   эффекта на Земле), через отверстия которого
закачивается вода. В результате создавался устойчивый восточный струйный поток с волнами
Россби, измеренное поле скорости которого хорошо описывается модельной функцией тока.
Краситель, вводимый на одной стороне струи, быстро перемешивался вдоль струи (зональный
31
хаотический транспорт), но не пересекал струю, т.е. в экспериментах наблюдался центральный
транспортный барьер. Из измеренного энергетического спектра следовало, что, как правило, в
эксперименте создавалась устойчивая струя с одной доминирующей модой с волновым числом,
которое изменялось от 3 до 8 в зависимости от частоты вращения танка и силы накачки. Одна или
две другие волновые моды имели меньшую амплитуду. Причём, числа двух основных мод, для
которых проводилось сравнение экспериментальных и модельных линий тока, составляли пару
чётно-нечётных волновых чисел: 5-4 и 5-6. Из результатов настоящей работы следует, что для
чётно-нечётных значений волновых чисел и, в частности, для упомянутых выше, транспортный
барьер разрушается для нереально больших амплитуд волн Россби (см. Рис.1.1.6). То есть,
эксперименты проводились при таких условиях, когда транспортный барьер невозможно было
разрушить.
Однако, этот барьер можно разрушить, если реализовать в экспериментах на установке,
описанной в [8-10], пару нечётных волновых чисел, скажем 3-1 или 5-1 (см. Рис.1.1.5).
Полученные результаты позволяют для любой пары нечётных волновых чисел построить ЦИК и
указать те параметры потока, при которых возникают резонансы способные её разрушить и
обеспечить поперечный транспорт при умеренных значениях амплитуд волн Россби. Изменяя
амплитуду одной из волн, можно наблюдать постепенное разрушение барьера, следя за тем, как
филаменты красителя пересекают центр струи.
Список использованных источников
1 Lozier M.S., Pratt L.J., Rogerson A.M., Miller P.D. Exchange Geometry Revealed by Float
Trajectories in the Gulf Stream // J. Phys. Oceanogr. 1997. Vol. 27. P. 2327-2341.
2 Pierrehumbert R.T. Chaotic mixing of tracers and vorticity by modulated travelling Rossby
waves // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1991. Vol. 58. P. 285-320.
3 Samelson R.M. Fluid exchange across a meandering jet // J. Phys. Oceanogr. 1992. Vol. 22. P.
431-440.
4 Prants S.V., Budyansky M.V., Uleysky M.Yu., Zaslavsky G.M. Chaotic mixing and transport in
a meandering jet flow // Chaos. 2006. Vol. 16. P. 033117.
5 Uleysky M.Yu., Budyansky M.V., Prants S.V. Effect of dynamical traps on chaotic transport in
a meandering jet flow // Chaos. 2007. Vol. 17. P. 024703.
6 Кошель К.В., Пранц С.В. Хаотическая адвекция в океане // Усп. физ. наук. 2006. Vol. 176.
P. 1177-1206.
7 Кошель К.В., Пранц С.В. Хаотическая адвекция в океане. Москва-Ижевск: ИКИ, 2008. c.
8 Sommeria J., Meyers S.D., Swinney H.L. Laboratory model of a planetary eastward jet //
Nature. 1989. Vol. 337. P. 58-61.
32
9 Behringer R.P., Meyers S.D., Swinney H.L. Chaos and mixing in a geostrophic flow // Phys.
Fluids A. 1991. Vol. 3. P. 1243-1249.
10 Solomon T.H., Holloway W.J., Swinney H.L. Shear flow instabilities and Rossby waves in
barotropic flow in a rotating annulus // Phys. Fluids A. 1993. Vol. 5. P. 1971-1982.
11 Del-Castillo-Negrete D., Morrison P.J. Chaotic transport by Rossby waves in shear flow //
Phys. Fluids A. 1993. Vol. 5. P. 948-966.
12 Rypina I.I., Brown M.G., Beron-Vera F.J., Kozak H., Olascoaga M.J., Udovydchenkov I.A. On
the Lagrangian dynamics of atmospheric zonal jets and the permeability of the stratospheric polar vortex
// J. Atmos. Sci. 2007. Vol. 64. P. 3595-3610.
13 Pedlosky J. Geophysical fluid dynamics. New-York: Springer-Verlag, 1987. p.
14 Howard J.E., Hohs S.M. Stochasticity and reconnection in Hamiltonian systems // Phys. Rev.
A. 1984. Vol. 29. P. 418-421.
15 Shinohara S., Aizawa Y. Indicators of reconnection processes and transition to global chaos in
nontwist maps // Progr. Theor. Phys. 1998. Vol. 100. P. 219-233.
33
1.1.2 Мезомасштабное и субмезомасштабное перемешивание и перенос в вихрях
Приморского течения Японского моря
Для изучения и описания поверхностного транспорта и перемешивания в регионе
включающего Приморское (Лиманово) течение, которое известно своей богатой мезомасштабной
активностью, нами использовалось поле скорости, полученное на основе циркуляционной модели
Японского
моря.
Нестабильность
Приморского
течения
в
тёплый
период
генерирует
мезомасштабные прибрежные завихрения, которые распространяются вниз по течению вплоть до
входа в залив Петра Великого (на широте Владивостока, Россия). Эти завихрения генерируются в
модели как цепочка мезомасштабных вихрей. Мезомасштабная и субмезомасштабная динамика
вод над шельфом и крутыми континентальными склонами включает в себя: струйные потоки,
течения и вихри, которые определяются воздействием ветра и морской бароклинностью. Согласно
спутниковым
данным
мезомасштабные
антициклонные
вихри
относительно
небольших
масштабов порядка (10-50 км) наблюдаются в крайних северо-западный районах прямо над
крутыми
континентальными
склонами
(см.
Рис.1.1.7
и
1.1.8).
Антициклонические
мезомасштабные вихри большего масштаба чётко наблюдаются на южных краях склона и шельфа
залива Петра Великого. Мезомасштабную динамику над континентальным склоном
можно
связать с прибрежными волнами Кельвина, распространяющимися вдоль Приморского течения на
юго-запад вплоть до попадания на шельф залива Петра Великого.
Ряд практических задач сфокусирован на исследовании транспорта жидких пятен
(кластеров из частиц) вблизи берега. Результаты таких исследований становятся особенно
важными при мониторинге и сборе разлитой нефти и других отходов, а также при наблюдении за
ростом и накоплением вредных для человека водорослей. Основная тема исследований в
физической океанографии, связана с выявлением путей, по которым прибрежные воды переходят
в открытое море и воды из открытого моря попадают в прибрежную зону.
Циркуляционная модель океана, разработанная Н.Б.Шапиро и Е.Н.Михайловой в Морском
Гидрофизическом Институте в Севастополе (Украина), основана на системе примитивных
уравнений с кинематическим граничным условием для вертикальной скорости, условиями баланса
тепла и соли на поверхности океана, условием прилипания и отсутствия потоков тепла и соли на
его дне. Численные эксперименты проводились с горизонтальным разрешением 2.5 км.
Вертикальное разрешение соответствует десяти квазиизопикническим слоям, восемь из которых
расположены в главном пикноклине моря. Первый, верхний квазиоднородный по вертикали слой,
взаимодействует с атмосферой. Последний десятый слой аппроксимирует слой глубинных вод,
который в данных численных экспериментах считаются однородным по вертикали. Учитывался
реалистичный рельеф дна. Внешние метеорологические условия задавались из базы данных
глобального метеорологического реанализа (NCEP/NCAR Reanalysis http://www.cdc.noaa.gov) с
34
суточным разрешением. Используемые средние суточные метеорологические поля реанализа
усреднялись для каждых суток каждого года за многолетний период с 1980 по 2005г.
Особенность модели, такова, что плавучесть любого слоя позволяет играть с масштабом и
временем.
Цель настоящего исследования состояла в описании мезомасштабной динамики вод над
континентальным склоном и шельфом в регионе с координатами 39°N - 44°N, 129°E - 138°E с
шагом 2,5 км. Полная сетка 210 х 280. Топография дна, выбиралась из навигационных карт.
В теории динамических систем показатель Ляпунова λ известен как количественная
характеристика хаотического движения в асимптотическом пределе. На практике, показатель
Ляпунова рассчитывается на конечное время. Показатель Ляпунова на конечное время, это
конечно-временное среднее от максимальной скорости разбегания двух соседних адвектируемых
1
частиц:  (r (t ))  ln  (G (t )) , где  – время интегрирования,  (G(t )) – обозначает наибольшее

единичное значение матрицы G (t ) , которая определяет эволюцию малых отклонений в
линеаризованных уравнениях адвекции
Однородная сетка 1000х1000 частиц адвектировалась численно рассчитанным полем
скорости. На рис.1.1.9б представлена синоптическая карта показателя Ляпунова, накопленного за
50 дней (начало счёта 15 сентября). На карте чётко проявляются различные структуры, в том
числе, мезомасштабные циклонические вихри, определяющие динамику вод на протяжении
континентального склона Приморского края, что легко увидеть на карте Ляпунова и на карте
завихренности (Рис.1.1.9а). Ядра вихрей характеризуются малыми значений коэффициентов
Ляпунова. Частицы внутри ядра будут находиться там очень долгое время. Кроме того, на карте
выявляются длинные “хребты показателя Ляпунова”, это области, соответствующие наибольшим
коэффициентам Ляпунова. Хребты показателя Ляпунова заключены между регионами с меньшими
значениями λ, что означает, что частицы жидкости помещённые на эти хребты в будущем будут
испытывать сильное гиперболическое растяжение, т.е. они будут расходиться друг от друга по
экспоненциальному закону во время расчёта.
Для демонстрации неоднородности перемешивания в рассматриваемом регионе, мы
рассчитали эволюцию трёх пятен жидкости (см. Рис.1.1.10). Пятно 3 было выбрано на краю карты
Ляпунова (это левый прямоугольник среди трёх обозначенных на рис.1.1.9b) с центром в
(133°54´E и Y0= 42°34´N). Пятна 1 (134°2´E и 42°26´N) и 2 (134°2´E и 42°36´N) были выбраны по
обе стороны от одного из хребтов накопленного показателя Ляпунова, который является
прообразом устойчивого многообразия. На рис.1.1.10 представлены этапы эволюции выбранных
пятен в течение 18 дней. Пятна 1 и 2 остаются когерентными за это время, но их судьба различна:
пятно 1 смещается на юго-запад, в то время как пятно 2 врезается в побережье севернее от его
35
начального положения. Поведение пятна 3 иное. Оно испытывает сильное растяжение за 18 дней и
удлиняется на 600км, что на два порядка больше, чем у пятен 1 и 2. Это потому что пятно 3 было
помещено на хребте карты накопленного показателя Ляпунова. Частицы любого пятна
помещённого рядом с устойчивым многообразием, выстраиваются со временем вдоль
неустойчивого многообразия. Пятну 3 понадобилось 5-6 дней, чтобы достичь неустойчивого
многообразия. После пятно оно подверглось быстрому растяжению и изгибанию.
Рисунок 1.1.7 - Спутниковое изображение температуры поверхности моря в выбранном регионе в
инфракрасном диапазоне (NOAA AVHRR data, 15.09.1997). Темные и светлые области отвечают
низкой и высокой температуре, соответственно.
Рисунок 1.1.8 - Инфракрасные изображения NOAA AVHRR вихревых пар в мезомасштабной
вихревой цепочке, связанной с Приморским течением. Данные Landsat-5 (TM) (29.09.2007) с
разрешением 120 м и координатами 4338 N- 4535 N, 13510 E- 13814 E.
36
Рисунок 1.1.9 - (a) Зависимость величины завихренности поля скорости от начальных координат
частиц. Цвет обозначает величину завихренности rot v . (b) Ляпуновская синоптическая карта,
показывающая величину показателя Ляпунова на конечном времени в зависимости от начальных
координат частиц.  выражена в единицах день 1 . Время счёта - 50 дней.
Рисунок 1.1.10 - Эволюция когерентных пятен 1 (красный) и 2 (зелёный) и сильно
деформирующегося пятна 3 (синий) за 18 дней. Пространственный масштаб на панели,
соответствующей 18 дням, отличается от остальных. Начальный размер каждого пятна - 6 км по
широте и 3 км по долготе. Число точек в каждом пятне - 250  250 .
37
Лагранжевы диагностические инструменты для выявления структуры вихрей.
В этом разделе мы опишем лагранжево изучение транспорта и перемешивания пассивных
частиц парой сильно взаимодействующих антициклонических вихрей в вихревой дорожке,
связанной с Приморским течением. На спутниковых изображениях поля поверхностной
температуры в разные годы часто видны подобные пары (см. Рис.1.1.7). Мгновенное поле
завихренности, полученное с помощью MHI модели Японского моря и (Рис.1.1.9а) и
синоптическая лагранжева карта (Рис.1.1.9б) также указывают на существование вихревых пар в
данном регионе. В дополнение к полю показателей Ляпунова на конечное время мы предлагаем
новые лагранжевы диагностические инструменты для выявления структуры вихрей и
индуцированных ими транспорта и перемешивания. Рассматривалась наиболее заметная пара
вихрей, обозначенная двумя отрезками на рис.1.1.9а. Эта пара также видна на ляпуновской
синоптической карте на рис.1.1.9б.
Стоит заметить, что показатель Ляпунова на конечное время – это интегрированная
величина, характеризующая расходимость близких частиц за сравнительно большой период
времени, в нашем случае - 50 дней. Таким образом, лагранжева синоптическая карта представляет
собой поле этой величины в географических координатах, являющихся начальными положениями
пассивных частиц. На рис.1.1.11b представлено увеличение ляпуновской карты рис.1.1.9б. Ясно
видна сложная структура перемешивания пассивных частиц выбранной вихревой парой. Значения
 формируют спиральную структуру в обоих вихрях пары. Сама пара окружена хребтами
больших значений показателя Ляпунова, соответствующими растягивающему направлению поля
скорости, и являющимися устойчивыми многообразиями гиперболических траекторий вихревой
пары. Спиралевидная структура, в свою очередь, состоит из пары ветвей, с большими и
маленькими показателями Ляпунова, соответственно. Ветвь с большими показателями Ляпунова это множество начальных положений частиц, покидающих соответствующий вихрь за время
счёта. Ветвь с малыми показателями Ляпунова - это частицы, не покидающие вихрь за 50 дней. То
есть, тёмные спирали на рис.1.1.11б дают лагранжеву информацию о транспортных путях, вдоль
которых частицы покидают соответствующий вихрь. Используя поле скорости и лагранжевы
вихревые структуры, мы можем оценить общую скорость смещения антициклонических вихрей
вдоль кромки шельфа на юго-запад в 2-3 см/c, в то время как скорость течения в верхнем слое и на
поверхности океана равна, примерно, 10-20 см/с. Это согласуется со средней скоростью
Приморского течения в верхнем слое 200-400 м в главном пикноклине.
Карта показателей Ляпунова имеет тонкую структуру с большим количеством мелких
деталей. Для получения более гладкой картины перемешивания имеет смысл строить так
называемую карту времён выхода. Мы распределили в начальный момент времени 10 6 частиц в
прямоугольнике, показанном на рис.1.1.9а, и рассчитали время, необходимое каждой частице,
38
чтобы покинуть этот прямоугольник. Соответствующая карта, более контрастная по сравнению с
картой показателя Ляпунова, приведена на рис.1.1.11а. На ней ясно видно хорошо выделяющееся
однородное пятно с большими временами выхода (ядро вихря) в центре северного вихря. Южный
вихрь представляет собой спираль, начинающуюся из его центра.
Существует
ещё
одна
величина,
представляющая
интерес
при
изучении
вихреиндуцированной адвекции - число оборотов частицы вокруг центра вихря. Эту величину
сложно точно посчитать для большого количества частиц, однако, она может быть оценена как
число смен знака зональной ( nx ) или меридиональной ( n y ) скоростей частицы до выхода её за
пределы прямоугольника, показанного на рис.1.1.9а. На рис.1.1.11c и d приведены географические
карты этих величин. Обе карты явно показывают спиралеобразную структуру вихревой пары.
Рисунок 1.1.11 - (a) Карта времён выхода, показывающая как долго в днях T частица с начальными
координатами в соответствующей точке будет находится в прямоугольнике, изображённом на
Рис.1.1.9а. (b) Ляпуновская синоптическая карта, показывающая значение показателя Ляпунова в
зависимости от начальных координат. (c) и (d) Карты числа изменений частицами знака
зональной, nx , и меридиональной, n y , скоростей за время, пока частицы находятся в
прямоугольнике.
39
1.1.3 Численное моделирование распространения в океане радиоактивного загрязнения
от АЭС “Фукусима-Дайичи”
11 марта 2011 г. в результате сильного землетрясения в Японии и последовавшего за ним
цунами произошло частичное разрушение реакторов АЭС “Фукусима-Дайичи” на восточном
побережье о.Хонсю. Помимо радиоактивного загрязнения воздуха произошло также загрязнение
радионуклидами в результате слива в океан зараженной воды из реакторов АЭС, выпадения
радиоактивных осадков на поверхность моря и смыва дождями с почвы в море радиоактивных
веществ. Измерения в первые дни и недели в море вблизи АЭС показали наличие высоких
концентраций, главным образом,
йода-131 (период полураспада T1/2  8 суток) и цезия-137
( T1/2  30, 2 лет). 29-30 марта были зарегистрированы концентрации цезия-137 47000 Бк/литр и
йода-131 - 180000 Бк/литр [1]. До аварии уровень концентрации цезия-137 составлял от 1 до 3
мБк/литр, а йод-131 вообще не был обнаружен.
Целью исследования являлось численное моделирование распространения в океане
зараженной воды в результате аварии на АЭС “Фукусима-Дайичи” на основе альтиметрического
поля скорости, построенного по данным спутниковых измерений в период с 11 марта по 24 апреля
2011г. Для этого использовалось лагранжева методика анализа перемешивания и переноса
пассивной примеси в океане [2]. Рассматривался северо-западный регион Тихого океана
(Рис.1.1.7). Геострофическое поле скорости рассчитывалось по данным спутниковой альтиметрии
с пространственным разрешением 1 / 3 и суточным шагом по времени [3] и последующей
бикубической пространственной интерполяцией и интерполяцией по времени полиномами
Лагранжа третьей степени. Крупномасштабная циркуляция в этом регионе возникает в результате
взаимодействия мощного течения Куросио и менее интенсивного холодного Курильского течения
(Оясио). Эта фронтальная зона известна наличием вихрей синоптического масштаба и
неоднородным характером перемешивания. Через Сангарский пролив между о.Хоккайдо и
о.Хонсю происходит выток воды из Японского моря.
Синоптическая карта относительного сноса адвектируемых частиц в регионе. Цвет
кодирует величину сноса D в минутах. Положение АЭС “Фукусима-Дайичи” обозначено знаком
радиоактивности
( x0  14102 E,
y0  37 27 N).
Нами
решались
уравнения
адвекции
радиоактивных изотопов dx / dt  u ( x, y, t ), dy / dt  v( x, y, t ) , где ( x, y ) - координаты частицы, u и
v - угловые зональная и меридиональная скорости в точке ( x, y ) . Даже если эйлерово поле
скорости является сравнительно простым, например, детерминированным, лагранжевы траектории
движения частиц могут быть очень сложными в смысле экспоненциальной чувствительности к
малым вариациям начальных положений частиц и параметров потока. Это явление называется
хаотической адвекцией (см. недавние обзоры [4, 5]).
40
Рисунок 1.1.12 - Синоптическая карта относительного сноса адвектируемых частиц в регионе.
Цвет кодирует величину сноса D в минутах. Положение АЭС “Фукусима-Дайичи” обозначено
знаком радиоактивности ( x0  14102 E, y0  37 27 N).
Наглядное представление о сложном характере движении адвектируемых частиц дает
синоптическая карта их сноса, вычисленная в результате интегрирования уравнений адвекции для
2, 25·106 частиц, равномерно распределенных по региону. На рис.1.1.12 оттенками серого цвета
изображено
значение
в
минутах
величины
D  ( x f  x0 )2  ( y f  y0 )2 ,
являющейся
относительным смещением частицы из своего начального положения ( x0 , y0 ) в некоторое
конечное ( x f , y f ) . На этой карте отчетливо проявляется само течение Куросио с меандрами и
интрузиями, его продолжение и синоптические вихри. Особенно важны два светлых вихревых
пятна с координатами центров примерно на широте АЭС и долготе 153 E (грибовидный вихрь) и
161 E (циркулярный вихрь), окруженные темными ожерельями со сравнительно большой
величиной D . Здесь зафиксирован процесс образования рингов в результате меандрирования
Куросио с последующим отщеплением вихрей от основной струи.
В дополнение к D вычислялись смещения частиц по сторонам света. На карте смещений
восток-запад (левая панель рис.1.1.13) темные области маркируют частицы, сместившиеся на
запад, белые - на восток, а серые не сместились в определенном направлении за время счета. На
карте смещений юг-север (правая панель рис.1.1.13) темные области - частицы, сместившиеся на
юг, белые - на север, а серые не сместились в определенном направлении. Эти карты
свидетельствуют о том, что зараженные воды непосредственно от АЭС переносятся в основном в
юго-восточном направлении. Однако, имеются близлежащие к месту аварии воды, которые в
течение длительного времени могут перемешиваться.
41
В океане имеются гиперболические области, движение частиц в которых происходит по
тем же законам, что и в окрестности гиперболических траекторий в хаотической адвекции. В
основном, они находятся в ожерельях вихрей различного масштаба, в особенности, между
вихрями, и на периферии струйных течений. У каждой такой траектории имеются инвариантные
устойчивое ( Ws ) и неустойчивое ( Wu ) многообразия [4, 5]. Из определения Ws
следует, что
выбранное вблизи него пятно переносится к соответствующей гиперболической траектории,
сжимаясь вдоль направления этого многообразия. Приблизившись к гиперболической траектории,
пятно начинает растягиваться вдоль соответствующего Wu .
Рисунок 1.1.13 - Карты смещений частиц в направлении восток-запад (слева) и юг-север (справа).
Описание дано в тексте.
Результаты прямого численного моделирования распространения в океане радиоактивного
загрязнения от АЭС приведены на рис.1.1.14. Рассматривались два наиболее вероятных сценария
распространения радиоактивности. В первом моделировалось распространение загрязнённой
воды, сброшенной в марте непосредственно с АЭС и попавшей в океан в результате смыва
радионуклидов реками с почвы. В прибрежных районах альтиметрическое поле скорости
вычисляется с ошибками, обусловленными недостаточной точностью фильтрации приливных
колебаний. В 100 км от берега помещалось пятно загрязнённой воды размером 20 100 км с
центром на траверсе АЭС, состоящее из 4·106 частиц, и вычислялась его эволюция с 25 марта до
24 апреля 2011г. (левая панель рис.1.1.14). В процессе эволюции форма пятна существенно
усложняется, оно размывается и движется в восточном направлении до тех пор, пока
радиоактивная
вода
не
захватывается
устойчивым
многообразием
антициклонического
грибовидного вихря (Рис.1.1.12) и начинает наматываться на него. Вдоль Ws к вихрям переносится
вода, богатая планктоном и питательными веществами. Известно, что Ws и Wu являются своего
рода аттракторами для планктона и рыбных популяций [6]. Несмотря на то, что концентрация
радионуклидов в таком большом пятне сравнительно невелика, их расположение вдоль
инвариантных многообразий может представлять опасность для живых организмов, движущихся
вдоль них. Во втором сценарии моделировалось распространение радиоактивных веществ,
42
выпавших на поверхность океана в виде атмосферных осадков. В 100 км от берега была выбрана
прямая материальная линия длиной 1000 км и рассчитана ее эволюция (правая панель рис.1.1.14).
Частицы в средней части линии сносятся преимущественно на юго-восток и захватываются
продолжением Куросио, состоящем из двух главных струй. По северной струе часть частиц
захватывается Ws грибовидного вихря и наматывается на него. Небольшой отросток от этого
вихря является частью его Wu , вдоль которого некоторые частицы покидают этот вихрь. Частицы
южной части линии сносятся на юг в открытый океан. К северу от АЭС находится трехвихревая
система: большой синоптический антициклонический вихрь, малый антициклонический вихрь на
два градуса севернее и среднего размера циклонический вихрь, примерно, на широте Сангарского
пролива. Эта система вихрей имеет сложную структуру многообразий, которая определяет
характер перемешивания и переноса радиоактивной воды. Часть частиц захватывается Ws
большого антициклонического вихря, совершает несколько оборотов вокруг него и вымывается
вдоль Wu этого вихря на восток. Другие частицы захватываются Ws малого антициклонического
вихря и Сангарского циклонического вихря и совершают обороты вокруг них.
Рисунок 1.1.14 - Слева показано начальное радиоактивное пятно (25 марта) и его вид к 24 апреля.
Справа показана эволюция с 25 марта до 24 апреля прибрежной радиоактивной материальной
линии.
В
результате
численного
моделирования
крупномасштабного
горизонтального
перемешивания и переноса радиоактивной воды от АЭС “Фукусима-Дайичи” с использованием
спутникового альтиметрического поля скорости северо-западной Пацифики получены следующие
результаты. Пятно радиоактивной воды, слитой в океан с АЭС, распространяется в восточном
направлении и подхватывается струями продолжения Куросио. Опасность для живых организмов
может представлять обнаруженный эффект захвата радионуклидов устойчивыми многообразиями
вихрей. Если предположить, что в результате выпадения с дождями радиоактивных осадков были
заражены значительные территории прибрежной воды о.Хонсю, то часть радиоактивной воды
адвектируется в северном направлении и перемешивается под влиянием многообразий
43
трехвихревой системы. Не обнаружено вытока радионуклидов через Сангарский пролив в
Японское море в приповерхностном слое, хотя имеется небольшая вероятность их проникновения
туда с глубинным противотечением и/или ветровым дрейфом.
Список использованных источников
1 Report de Institut de Radioprotection and de Surete Nucleaire. http://www.irsn.fr/EN/news/
Documents/IRSN\_Fukushima-Accident\_Impact-on-marine-environment-EN\_20110404.pdf
2 Prants S.V., Budyansky M.V., Ponomarev V.I., Uleysky M.Y. Lagrangian study of transport and
mixing in a mesoscale eddy street // Ocean modelling. 2011. Vol. 38. P. 114-125.
3 http://www.aviso.oceanobs.com
4 Кошель К.В., Пранц С.В. Хаотическая адвекция в океане // Усп. физ. наук. 2006. Vol. 176.
P. 1177-1206.
5 Кошель К.В., Пранц С.В. Хаотическая адвекция в океане. Москва-Ижевск: ИКИ, 2008. c.
6 Tew Kai E., Rossi V., Sudre J. et al. Top marine predators track Lagrangian coherent structures
// Proc. Nat. Acad. Sci. 2009. Vol. 106. P. 8245-8250.
44
1.2 Динамические симметрии в кавитационных явлениях
Наличие симметрии в исследуемой физической проблеме позволяет в ряде случаев
сократить число независимых переменных и найти аналитическое решение, позволяющее дать
наглядную
интерпретацию
исследования
нелинейных
протекающих
явлений,
процессов.
Данный
сопровождающих
подход
динамику
используется
газовых
включений
для
в
акустическом поле.
Влияние поверхностной нуклеации на кавитационную прочность жидкостей
Фазовый переход первого рода, примером которого является кавитация, представляет собой
процесс возникновения и последующего роста зародышей новой фазы. В рамках классической
теории среднее число зародышей, возникающих в единицу времени в единице объема
метастабильной фазы, определяется следующей формулой: J  NV B exp(W / k BT ) , где NV – число
частиц в единице объема метастабильной фазы, B – кинетический коэффициент, зависящий от
особенности динамики роста критических зародышей в окрестности точки фазового перехода, W
– энергия образования критического зародыша, k B – постоянная Больцмана, T – температура. При
теоретическом
описании
поверхностной
нуклеации
в
качестве
зародышей
кавитации
рассматривались пузырьки, находящиеся на твердой поверхности, которая хорошо смачивается
окружающей вязкой, летучей, несжимаемой жидкостью. Цель исследования – изучение роли
нуклеации на микронеровной поверхности и ее влияния на кавитационные пороги. Вогнутые
участки поверхности с отрицательной кривизной могут понижать высоту активационного барьера
возникновения критических зародышей – механизм, активно изучаемый в последнее время.
Нуклеация в каверне
Для вычисления активационного барьера W мы использовали следующую модель. Пусть
зародыш  – фазы, имеющий форму линзы, располагается на твердой поверхности, в каверне с
радиусом кривизны R (см. рис.1.2.1). Окружающая пузырек  – фаза – несжимаемая жидкость.
Вводя обозначения для радиуса зародыша X, высоты внешнего Y и внутреннего H сегментов,
изменение потенциала Гиббса W при образовании зародыша может быть записано в виде
W   p R 3  f , f    y 2  3  y  / 3  h 2  3 x  h  / 3   e y   i xh ,
(1.2.1)
где x  X / R , y  Y / R , h  H / R ,  e  2( VS   LS ) /  pR  ,  i  2 VL /  pR  , p – степень захода в
метастабильную область по давлению;  VS ,  LS ,  VL – поверхностные натяжения на границах
газ(пар)/твердое тело, жидкость/твердое тело и газ(пар)/жидкость.
45
Рисунок 1.2.1 - Геометрия нуклеации в каверне.
Значение потенциал Гиббса в седловой точке, определяющее высоту активационного барьера,
равно следующему выражению
2
2
 i3  2   e   i  1   i  2 e
2
.
f     e 

3
3
3
(1.2.2)
Асимптотика (1.2.2) в области малых значений  e2  1 ,  i2  1 , отвечающих малости радиуса
критического зародыша по сравнению с размером каверны (гетерогенная нуклеация на плоской
поверхности), приводит к известному результату.
Экспериментальное изучение кавитационной прочности перегретых криогенных жидкостей,
выполненное в институте Теплофизики УрО РАН, показало, что возникновение кавитации в
статически растянутых жидком аргоне и растворе аргон–неон наступает при относительно
небольших амплитудах акустического воздействия. Для интерпретации этих результатов была
предложена настоящая модель поверхностной нуклеации, позволяющая оценить величину
кавитационных порогов и объяснить их низкие значения.
Нуклеация на микронеровной поверхности
Изучены особенности нуклеации на микронеровной поверхности. Характерные формы
случайно распределенных микронеоднородностей поверхности имеют вид каверн, бугорков,
бороздок и т.д. Каверны являются наиболее вероятными местами возникновения зародышей, и
физической причиной этого является минимальная работа – разность между энергией,
высвобождаемой при формировании кластера состоящего из n структурных блоков, и энергией,
затрачиваемой на образование межфазной поверхности между зародышем и окружающими
46
фазами. Частота зародышеобразования зависит от полного потока зародышей, который получается
суммированием вкладов от участков поверхности с различной кривизной. Доминирующий вклад в
эту сумму вносят вогнутые участки поверхности. В рамках простой модели проанализирована
нуклеация в окрестности омбилик – тех точек, где главные радиусы кривизны совпадают и в
окрестности которых применима модель образования зародышей в каверне, имеющей форму
сферического сегмента. Найдено среднее число омбилик на единичной площадке поверхности,
отклонение которой от плоскости описывается гауссовской случайной функцией. Получено
выражение для суммарного потока зародышей, определяющего вероятность появления новой
фазы J het :
J het 
64
9 N S kBT
Bhet ( X  s(n,0 )) X 

   / x  |x s1
n
3/ 2
3
VL

3
 16 VL
 1/ s(n),  0  


16 L4
 exp   2 2 2
,
 exp  
3(p) 2 k BT
  X  s (n,0 ) 


(1.2.3)
где  и L – средняя высота и поперечный размер неоднородностей;  – фактор формы,
описывающий особенности образования зародыша на поверхности, связанный с краевым углом
 0 ; NS – число частиц метастабильной фазы на единице поверхности; B – кинетический
коэффициент, зависящий от особенности динамики роста критических зародышей; X   2 VL / p
– радиус критического зародыша; s(n,0 )  Rbn / X  – нормированное значение граничного радиуса в
каверне. Оценены условия, когда данный механизм нуклеации является доминирующим – поры с
шероховатыми стенками. Результаты проведенных исследований докладывались на сессиях
Российского акустического общества [1, 3], опубликованы [2] и направлены в печать.
Образование структур на поверхности пузырька в акустическом поле
Нелинейный отклик пузырька на воздействие интенсивной волны накачки приводит к
параметрической генерации поверхностных мод – ряби Фарадея. Порог для генерации этих
искажений
формы пузырька достаточно
низок
и
составляет
несколько десятков Па.
Параметрически неустойчивыми будут те моды поверхностных колебаний, собственные частоты
которых близки к половине частоты накачки. Поверхностные моды, порядок которых l
определяется условием резонанса, являются многократно вырожденными, а именно: кратность
вырождения равна (2l+1). Закономерности, приводящие к росту одних составляющих до
состоянии равновесия, и подавляющие другие компоненты, определяет форму пузырька в
установившемся режиме. Экспериментально структуры на поверхности пузырька наблюдались на
47
протяжении более полувека, однако механизм их формирования оставался неизвестным до
настоящего времени.
Резонансные триады и симметрия реализуемых структур
Параметрическое взаимодействие между радиальными пульсациями и поверхностными
модами не может объяснить селекцию на стадии роста начальных возмущений и различную
форму конечных состояний. Однако эта задача была решена для ряби Фарадея на плоской
поверхности. Ключевым элементом, определяющим формирование регулярных структур в этом
случае, является трехволновое взаимодействие между поверхностными волнами. Эти резонансные
триады в зависимости от значений определяющих параметров задают тип структур (валиковых,
решетчатых, гексагональных), реализуемых на плоской поверхности. В совместном с проф. Т.Г.
Лейтоном исследовании дано систематическое описание трехволнового взаимодействия между
поверхностными модами на поверхности пузырька. Теория основывается на использовании
асимптотических методов анализа и ограничивается учетом Гамильтониана третьего порядка.
a)
c)
b)
)
d)
e)
f)
Фотографии пузырька радиуса R0 ~ 2.1 мм, совершающего колебания под действием акустического
поля амплитудой (a) 10.9 Па, (b) 24 Па, (c) 44 Па, (d) 79 Па, (e) 94 Па и (f) 139 Па. (a) 24 Па, (b) 44 Па
и частотой 1.5 кГц. Стеклянная палочка, видимая выше пузырька препятствует его всплыванию.
Рисунок 1.2.2 - Появление структур на поверхности пузырька в акустическом поле
(фотографии: P.R. Birkin School of Chemistry, Southampton University).
48
Уравнение для медленно меняющихся резонансных амплитуд Blm имеет вид
dBlm

 1 Blm   0 I 04 (l )   n ' I n4' (l )  ,
dt
Blm
I k4 (l ) 
(1.2.4)
k
l
l
l
l
 k k 0   l l k  l l k 
1 k







 Blm Blm Bls Bls


4 m ' k m '' k m1 l m2 l s1 l s2 l  m ' m ''0  m1 m2 m '  s1 s2 m ''  1 2 1 2
 0  (Cll 0 ) 2  0 l  0   l   / 2    l  l3 01 ,
2
 l l 0
2
1
 n '  2(Cn 'll )  n ' l  n '   l   / 2      
 (2l  1) (2n ' 1)(4 )
000


3
l l
2
1
0
где суммирование по l и m связано с разложением смещений и потенциала на поверхности
пузырька по сферическим гармоникам;  – частота накачки; 0 и l – собственные частоты
пульсационных и поверхностных колебаний, а  0 и  l – их коэффициенты затухания;
2
2
 0  0      02  ,  l  l   / 2    l2  ; Cll 0 и Cn 'll коэффициенты связи в гамильтониане,




описывающем параметрическое взаимодействие пульсационных и деформационных мод и
l l l 
взаимодействие поверхностных мод, образующих резонансную триаду;  1 2 3  – 3j символ
 m1 m2 m3 
Вигнера.
Уравнение (1.2.4) имеет градиентную форму и может быть приведено к виду:
dBlm
F
   , F  1I 02 (l )  0 I 04 (l )  n ' I n4' (l ),
dt
Blm
(1.2.5)
где F – функция Ляпунова.
Определены
возбуждаемого
условия
образования
акустическим
полем
структур
вблизи
на
порога
поверхности
газового
параметрической
пузырька,
неустойчивости.
Минимизация функции Ляпунова позволяет предсказать тип структур, возникающих из
начального флуктуационного состояния. Простейшие решения полученных динамических
уравнений позволяют интерпретировать экспериментально наблюдаемые валиковые и решетчатые
структуры на поверхности пузырька. Решение, описывающее валиковую структуру, имеет вид:
1/ 2
 l 1 
r  R0  

3
 2 0 R0 l 
1/ 2
 1 


 20 
2l  1 (2l )! sin l  cos(l  l )
sin  / 2  t  (1  2 )  (1.2.6)
4 22l 1 (l !) 2
cos 21
49
где 0 – плотность жидкости,  и  полярный и азимутальный углы, 1 –инкремент
параметрической неустойчивости,  l , 1 и 2 – стационарные значения пространственных и
временных фазовых сдвигов. На рис.1.2.3 проводится сопоставление валиковых структур,
наблюдаемых в эксперименте и полученных при решении уравнения (1.2.4).
Фотографии пузырька радиуса R0 ~ 2.1 мм, совершающего колебания под действием акустического
поля амплитудой (a) 24 Па, (b) 44 Па и частотой 1.5 кГц. Стеклянная палочка, видимая выше
пузырька препятствует его всплыванию.
Рисунок 1.2.3 - Сопоставление валиковой структуры, наблюдаемой в эксперименте –
(а) и рассчитанной на основе уравнения (1.2.2) – (с) (фотографии: P.R. Birkin &
I.Watson School of Chemistry, Southampton University).
Другой тип структуры, аналогичный решетчатым – реализуемым на плоской поверхности,
описывается следующим решением уравнения (1.2.4)
1/ 2


1
r  R0  

3
 0 R0 15 



1/ 2
 1 


 2 0 
2.4sin  / 2  t  (1  2 ) 
cos 21
sin15  cos 15  15 

 1.855  ( 24 /  0 )0.00558
1/ 2
 1.85
P15  cos  
1.082  (
/  0 )0.00334 
1/ 2
24


.


(1.2.7)
Это решение описывает структуру, образованную модой l  15 , и соответствует наблюдаемой в
эксперименте, приведенной на рис.1.2.4.
Существенным элементом данного исследования является предсказание симметрии
наблюдаемых структур. Типичным для систем далеких от положения равновесия является наличие
неустойчивостей, приводящих к образованию пространственных структур. Важной особенностью
неравновесных фазовых переходов является спонтанное нарушение симметрии. По мере
изменения определяющего параметра исходное состояние, инвариантное относительно группы
симметрии G, теряет свою устойчивость, и возникает новое состояние, которое инвариантно
относительно подгруппы группы G. Показано, что набор «укороченных» амплитуд в основном
50
уравнении
нашей
соответствующий
работы
представляет
нарушению
сферической
собой
многокомпонентный
симметрии
O(3)
(O(n)
параметр
–
порядка,
обозначение
для
ортогональной группы порядка n; O(3) – группа 3 × 3 ортогональных матриц с групповой
операцией – умножением матриц). Подгруппами O(3) являются точечные группы симметрии,
которые включают в себя O(2), I (икосаэдр), O (куб), T (тетраэдр) и др. Примечательным является
тот факт, что стационарные решения могут обладать симметрией идеальных тел Платона.
Заметим, что валиковые, решетчатые и гексагональные структуры, наблюдаемые на плоской
поверхности, соответствуют подгруппам O(2). Группа изотропии решения (1.2.4) Dlh – отвечает
призматической симметрии. Она обладает осью симметрии l-го порядка, перпендикулярными
осями второго порядка и горизонтальной плоскостью симметрии, проходящей через оси второго
порядка. Структура, изображенная на Рис.1.2.3 и описываемая уравнением (1.2.5), обладает
пирамидальной симметрией С15v. Группа изотропии этого состояния имеет 30 элементов: ось
симметрии 15-го порядка и набор 15 плоскостей симметрии, проходящих через эту ось.
Результаты этих исследований опубликованы в престижном издании [5], докладывались на
отечественных конференциях [4, 6], и приняты для представления на 19-ом Международном
симпозиуме по нелинейной акустике.
Вид снизу воздушного пузырька, закрепленного с помощью стеклянной палочки, видимой как белый
круг на заднем фоне. Масштаб – белая полоска – 2мм. Пузырек радиусом ~ 2.5 мм совершает
колебания под действием акустического поля частотой 1.297 кГц с амплитудой 83.2 Па. Форма
пузырька, соответствующая решетчатой структуре, изображена в виде двумерных проекций: (b) вид
снизу, (c) вид сверху, (d) вид сбоку.
Рисунок 1.2.4 - Сопоставление решетчатой структуры, наблюдаемой в эксперименте
– (а) и рассчитанной на основе уравнения (1.2.2) – (b, с, d) (фотография: P.R. Birkin
& I. Watson School of Chemistry, Southampton University).
51
Форма структур на закрепленном пузырьке
Полученные выше результаты справедливы для свободного пузырька. Однако в ряде
важных приложений, например акустике осадков, пузырьки располагаются в поровом
пространстве и
(а) Увеличенное изображение одного из кадров высокоскоростной съемки. Белая линия оттеняет
контур пузырька. (b) Форма возбужденной октаэдрической структуры для l = 4. Левая и правая
фигуры соответствуют максимальным искажениям, вносимым поверхностными модами. В
безразмерных единицах равновесный радиус пузырька равен R0  1 . Для октаэдрической структуры
амплитуды поверхностных мод, которые ее образуют: a4,4 (моды l = 4, m = 4) и a4,0 (моды l = 4, m =
0), связаны соотношением a4,0  1/ 67a4,4 . (c) Иллюстрация влияния жесткой стенки на форму
колебаний l = 4 моды: пузырек находится вблизи стенки (левая панель) и касается ее (правая панель).
Рисунок 1.2.5 - Сопоставление октаэдрической структуры, наблюдаемой в
эксперименте на стенке закрепленного пузырька – (а) и рассчитанной на основе
уравнения (1.2.3) – (b, с) (фотография: P.R. Birkin, D.G. Offin, C.J.B. Vian School of
Chemistry, Southampton University).
зачастую прикреплены к поверхности. Попытка интерпретировать лабораторный эксперимент и
описать структуру ряби Фарадея на закрепленном пузырьке – представлял один из этапов
исследований. Наблюдения с помощью высокоскоростной съемки формы пузырька с радиусом ~
110 мкм на подложке, совершающего колебания в поле акустической накачки, позволяют оценить
52
условия образования ряби Фарадея. Эти условия для свободного пузырька, основываясь на
результатах, изложенных в предыдущем параграфе, приводят к возбуждению l = 4 моды, которая
является девятикратно вырожденной. Максимальной точечной группой для l = 4 является группа
кубической (октаэдрической) симметрии. Наличие этой симметрии позволяет в явном виде
описать форму деформированного пузырька. Однако сопоставление с данными высокоскоростной
съемки выявило существенные различия в форме пузырька, закрепленного на поверхности от
теоретического предсказания.
Наличие
границы
эквивалентно
присутствию
другого
(зеркального)
пузырька,
располагающегося симметрично относительно первого и совершающего синфазные колебания.
Присутствие зеркального пузырька, описывающего влияние границы, модифицирует его форму.
Наибольшие искажения претерпевают пульсационные колебания, поскольку потенциал этой моды
убывает по закону r l (r – расстояние от центра пузырька). Для поверхностных мод порядка l
возмущение
быстро
спадает
как
r (l 1) ,
поэтому,
изменится
только
форма
лепестка
деформированного состояния пузырька, направленного к границе. Этот тип движения будет
подавлен, поскольку зеркальный пузырек препятствует данному виду колебаний. Боковые
лепестки слегка деформируются в направлении перпендикулярном границе. В результате
структура колебаний, отвечающая возбуждению моды l = 4, будет иметь форму пентагона (в
сечении перпендикулярном границе). Именно эта структура и наблюдается на высокоскоростной
фотографии. Хотя в данном исследовании [7] анализировался пузырек определенного размера и
конкретный тип поверхностных колебаний (l = 4), методика учета искажений, вносимых наличием
границы, может быть применена и к другим условиям, лишь бы длина вязкой волны была мала по
сравнению с размерами пузырька.
Угловая зависимость рассеяния на поверхностных структурах
Возможность предсказать форму пузырька в поле мощной волны накачки позволяет решить
главную задачу: описать величину и угловые зависимости рассеянных комбинационных
компонент для условий, отвечающих использованию двухчастотного метода в натурных
экспериментах. Основываясь на наших предыдущих публикациях, посвященных исследованию
этой проблемы [9, 10], мы использовали то обстоятельство, что частота сигнальной волны на
несколько порядков превосходит частоту накачки. В этих условиях сигнальная волна рассеивается
на мгновенных положениях стенки пузырька и неоднородных потоках в окружающей жидкости,
индуцированных волной накачки. Решение ищется в виде ряда по малой амплитуде сигнальной
волны, в котором учитываются три первых члена. Члены нулевого порядка соответствуют
динамике пузырька в поле накачки. Члены первого порядка описывают рассеяние сигнальной
волны на невозмущенной поверхности пузырька, и, наконец, в следующем порядке учитываются
перекрестные члены, которые и определяют структуру рассеянных комбинационных компонент.
53
Задача допускает ряд упрощений. Так, оказывается возможным разделить вклад в рассеяние от
неоднородных потоков в жидкости и неравновесной формы пузырька. Хотя общее решение может
быть получено в аналитическом виде, его форма в виде бесконечных рядов по парциальным
амплитудам требует дополнительного анализа. В настоящее время разработаны эффективные
методы численного суммирования подобных рядов при решении задачи Ми. Однако в данной
работе мы постарались не прибегать к численным расчетам, а воспользовались тем, что заметным
сигнал комбинационной субгармонической составляющей будет только в том случае, если длина
сигнальной волны будет меньше или сопоставима с характерными размерами структур,
возбуждаемой волной накачки на поверхности пузырька. Отметим, что именно эти условия
выполнялись в лабораторных экспериментах с миллиметровыми пузырьками, когда сигнальная
волна имела частоту в несколько мегагерц. В этом частотном интервале возможно проявление
высших мультипольных резонансов. Как известно, помимо основного, монопольного, существует
большое число высокочастотных резонансов. Хотя эти резонансы выражены гораздо слабее,
несколько первых, ближайших к монопольному заметно выделяются из фона и могут быть
использованы в двухчастотном методе диагностики пузырьков.
Традиционно в этой методике частота сигнальной волны фиксирована, а переменной
является частота накачки, которая подстраивается под собственные частоты пузырьков. Если же
наряду с накачкой менять и частоту сигнальной волны так, чтобы она соответствовала одному из
высокочастотных резонансов, то это значительно (в несколько раз) увеличит амплитуду
рассеянной комбинационной волны. Ближайшими к основному монопольному являются
следующие резонансы: дипольный (l = 1, n = 1), квадрупольный (l = 2, n = 1) и обертон
монопольного (l = 0, n = 2), здесь, как и выше, l нумерует тип моды, а n обозначает номер
резонанса. Комбинационная составляющая пульсационных колебаний для этих резонансов
оказывается осесимметричной относительно направления распространения сигнальной волны, а в
поперечном направлении меняется как косинус – для дипольного резонанса, описывается
квадратичной форма косинуса для квадруполного резонанса, и не зависит от угла для обертона
монопольного.
Угловая
зависимость
комбинационной
компоненты
субгармонической
составляющей гораздо более информативна, поскольку она отражает картину поверхностных
волн, возбужденных волной накачки. Из рассматриваемых трех резонансов наиболее просто
интерпретировать обертон монопольного, поскольку в этом случае симметрия (угловая
зависимость) комбинационной компоненты совпадает с симметрией картины поверхностных мод.
54
Таким образом, подстройка сигнальной волны под частоту обертона монопольного
резонанса позволяет проводить диагностику деформированного состояния пузырьков в мутных
средах (в частности в морских осадках). Единственным методом, позволяющим исследовать эти
состояния в осадках, была рентгеновская компьютерная томография. Результаты этих
исследований были доложены на “Pacific Rim Underwater Acoustic Conference” и опубликованы в
трудах этой конференции [10]. Развитые теоретические основы двухчастотного метода позволяют
перейти к обработке имеющихся экспериментальных данных, полученных при измерении
распределения метановых пузырьков в осадках приливной зоны.
I(a) – валиковые, II(a) – решетчатые, III(a) – октаэдрические структуры на поверхности пузырька и
соответствующие им угловые зависимости сечения рассеяния I(b), II(b), III(b).
Рисунок 1.2.6 - Структуры, наблюдаемые на поверхности пузырька, и угловые
зависимости сечения рассеяния на обертоне монопольного резонанса.
Результатом проведенных исследований явилась разработка новых моделей для объяснения
низких порогов кавитации в неоднородных средах, когда доминирующим является гетерогенный
механизм образования зародышей. Объяснение возникновения структур на стенке пузырька в
I(a)
II(a)
акустическом поле позволяет обосновать использование новых методик диагностики пузырьков в
мутных средах (в частности в морских осадках).
I(b)
55
II(b)
Список использованных источников
1 Каверин А.М., Максимов А.О. Влияние поверхностной нуклеации на кавитационную
прочность перегретых криогенных жидкостей // Труды ХХII сессии Российского акустического
общества, 15 – 17 июня 2010 г., Москва, Россия. М.: ГЕОС. 2010. Т. I. С. 36–40.
2 Максимов А.О., Каверин А.М. Об особенностях нуклеации в нанообъектах // Письма в
Журнал технической физики. 2010. Т. 36. Вып. 18. С. 89–94.
3 Каверин А.М., Максимов А.О. Возникновение кавитации в перегретой жидкости на
неоднородной поверхности // Сборник трудов Научной конференции “Сессия Научного совета
РАН по акустике и XXIV сессия Российского акустического общества”. Т. 1.– М.: ГЕОС. 2011. С.
12-15.
4. Максимов А.О. Динамика несферичного пузырька // Успехи механики сплошных сред,
тезисы Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина, ,
29сентября – 5 октября, 2009 г. Владивосток, Россия. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2009. С.
131–132.
5 Maksimov A.O., Leighton T.G. Pattern formation on the surface of a bubble driven by an
acoustic field // Proceeding of the Royal Society A. 2012. Vol. 468. No 2137. P. 57–75
{doi:10.1098/rspa.2011.0366}.
6 Максимов А.О. Leighton T.G. Неустойчивости и образование структур на сферической
межфазной поверхности // Труды Десятой региональной научной конференции «Физика:
Фундаментальные и прикладные исследования, образование», г. Владивосток, 1–3 ноября 2011 г.,
Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. С. 19.
7 Birkin P.R., Offin D.G., Vian C.J.B., Leighton T.G., Maksimov A.O. Investigation of noninertial cavitation produced by an ultrasonic horn // J. Acoust. Soc. Am. 2011. Vol. 130. No 5. Part 2. P.
3297–3308.
8 Maksimov A.O. On the subharmonic emission of gas bubbles under two-frequency excitation //
Ultrasonics Sonochemistry. 1997. Vol. 35. P. 79–86.
9 Maksimov A.O. & Leighton T.G. Transient processes near the acoustic threshold of
parametrically-driven bubble shape oscillations // Acta Acustica. 2001. Vol. 87. P. 322–332.
10 Maksimov A.O., Leighton T.G. Scattering from Pattern on a Bubble Wall by Two Frequency
Technique // Proceedings of Pacific Rim Underwater Acoustic Conference 2011, 5–7 October 2011, Jeju
Island Korea. Ansan: Hanyang Univ. 2011. P. 53–56.
56
1.3 Распространение звука в неоднородном подводном звуковом канале в условиях
лучевого и волнового хаоса
Оператор эволюции G акустического поля определяется соотношением
G  z, r  0   ( z, r   ) ,
где Φ - акустическое поле. Используя базис нормальных мод акустического волновода, мы можем
представить оператор эволюции в виде матрицы, в качестве элементов которой выступают
коэффициенты межмодовой трансформации. В отсутствие рассеяния на неоднородности матрица
оператора эволюции является диагональной. Собственные числа и собственные вектора оператора
эволюции находятся из уравнения
g m  exp( ik m ) ,
G m  g m m ,
где k - волновое число.
Спектр оператора эволюции позволяет охарактеризовать степень волнового хаоса. В
частности, хаос находит свое отражение в статистике межуровневых расстояний
s  k 0 ( m1   m ) .
Регулярная динамика предполагает, что матрица оператора эволюции может быть приведена к
блочно-диагональному виду. Тогда собственные значения, соответствующие разным блокам,
являются статистически независимыми, а статистика межуровневых расстояний описывается
распределением Пуассона
 s   exp  as ,
где a - нормировочная константа. Если лучевой хаос целиком захватывает фазовое пространство
лучевых уравнений, матрица оператора эволюции не распадается на блоки. Одним из следствий
этого является “расталкивание” ближайших уровней - явление, имеющее похожую природу со
спектральным расщеплением при туннельном эффекте. В этом случае статистика межуровневых
расстояний описывается распределением Вигнера-Дайсона
 s   s  exp Cs 2 ,
где константы ζ и C зависят от симметрий оператора эволюции. Наиболее общим является случай
смешанного фазового пространства, когда динамика лучей не является ни полностью регулярной,
ни полностью хаотической. В этом случае статистика межуровневых расстояний представляет
собой некий симбиоз распределений Пуассона и Вигнера-Дайсона. В частности, может быть
использовано распределение Берри-Робника. Форма распределения Берри-Робника зависит от
параметра, равного доле мод акустического поля, распространяющихся регулярно. Он равен 1 в
случае полностью регулярной рефракции волн, и 0 в случае полного хаоса. Форма распределения
Бери-Робника при различных значениях доли регулярных мод представлена на рис.1.3.1.
Аппроксимируя статистику межуровневых расстояний с помощью распределения Берри-Робника,
57
мы можем оценить число регулярных мод, а также отследить изменение этого числа с ростом
дистанции от источника. Полученный результат, вместе с тем, будет весьма приближенным
вследствие высокой степени приближенности распределения Берри-Робника. В этом смысле более
надежным является анализ статистики собственных функций оператора эволюции. Здесь в
качестве количественного показателя хаотичности каждой отдельной собственной функции можно
использовать число главных компонент в ее модовом разложении.
Рисунок 1.3.1 - Распределение Берри-Робника при различных значениях доли регулярных мод.
Рис. 1.3.2 - Фоновый профиль скорости звука в подводном звуковом канале в Японском море.
В качестве примера рассмотрим подводный звуковой канал между полуостровом Гамова и
банкой Кита-Ямато в Японском море. Наше внимание будет сосредоточено только на
глубоководной части этой трассы. С помощью базы гидрологических данных были построена
модель фонового профиля скорости звука (он приведен на рис.1.3.2). Также по гидрологическим
данным был рассчитан ансамбль из 100 реализаций возмущения скорости звука, вызванного
внутренними волнами. Для каждой реализации возмущения было построено семейство операторов
эволюции с различными значениями τ, вычислены собственные числа и собственные вектора.
Полученная статистика межуровневых расстояний была аппроксимирована с помощью
распределения Берри-Робника, в результате была получена зависимость доли регулярных мод от
расстояния.
58
Рисунок 1.3.3 - Зависимости доли регулярных мод от расстояния от источника.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что довольно значительная доля мод,
около 20 процентов, не подвержена рассеянию даже на расстояниях порядка сотен километров от
источника. Статистический анализ собственных функций позволяет уточнить эту оценку.
Рисунок 1.3.4 - Среднее число главных компонент в модовых разложениях собственных функций,
деленное на общее число канальных мод как функция расстояния от источника.
Прежде всего, отметим, что с ростом частоты сигнала интенсивность рассеяния растет, что
наглядно продемонстрировано на рис.1.3.4. Важной характеристикой является доля собственных
функций, отвечающих режимам сильной или умеренной локализации. Режим сильной
локализации предполагает, что число главных компонент не превышает 2. В режиме умеренной
локализации число главных компонент не превышает одной десятой от общего числа канальных
мод.
59
Рисунок 1.3.5 - Доля собственных функций с сильной локализацией как функция расстояния от
источника.
Как следует из рис.1.3.5, при частоте сигнала 100 Гц доля собственных функций с сильной
локализацией существенно выше, чем для более высоких частот. В то же время отметим близость
кривых, соответствующих высоким частотам. Это может указывать на существование
долгоживущего острова устойчивости в фазовом пространстве системы лучевых уравнений.
Рисунок 1.3.6 - Доля собственных функций с умеренной локализацией как функция расстояния от
источника.
Если говорить об умеренной локализации, то мы видим, что при частоте 100 Гц практически все
собственные функции отвечают этому критерию. С ростом частоты доля собственных функций с
умеренной локализацией спадает. Это означает увеличение числа мод, подверженных сильному
рассеянию на внутренних волнах. Это можно трактовать как ослабление динамической
локализации, сдерживающей диффузионное расплывание волновых пакетов в условиях хаоса. Как
известно, динамическая локализация является аналогом хорошо известного явления локализации
Андерсона.
60
Для того, чтобы провести более детальный анализ статистики собственных функций, для
каждой собственной функции введем параметр
 
M
c
m 1
2
m
m,
где cm ─ комплексная амплитуда m-й моды в разложении собственной функции по нормальным
модам невозмущенного волновода. Введенный параметр позволяет выявить моды, дающие
наибольший вклад в данную собственную функцию. Рисунок 1.3.7 представляет распределение
собственных функций в пространстве μ-ν, где ν – число главных компонент в модовом разложении
собственной функции, при частоте сигнала 500 Гц. Как следует из рисунка, в наименьшей степени
рассеянию подвержены моды с первыми номерами, в наибольшей степени – моды с номерами от
100 до 300. На малых расстояниях некоторый вклад в распределения вносят нелинейные
резонансы лучевой природы, соответствующие кратному соотношению между шагом оператора
эволюции τ и длиной цикла траектории луча. Значительную роль в регулярности первых мод
играет
образование
слаборасходящегося
пучка,
характеризующегося
пониженной
чувствительностью к плавным неоднородностям.
Рисунок 1.3.7 - Распределение собственных функций в пространстве μ-ν, где ν – число главных
компонент в модовом разложении собственной функции. Частота сигнала 500 Гц. Расстояние от
источника: (a) 10 км, (b) 35 км, (c) 100 км, (d) 350 км.
61
Рисунок 1.3.8 - То же, что и на предыдущем рисунке, но для частоты 100 Гц.
Соответствующие результаты, полученные для частоты 100 Гц, указывают на гораздо более
сложную картину рассеяния. Во-первых, даже на больших расстояниях от источника значительная
часть собственных функций имеет малое число главных компонент, т.е. крайне слабо подвержены
рассеянию. Во-вторых, на малых расстояниях картина распределений является весьма регулярной,
несмотря на то, что она формируется как суперпозиция случайных реализаций. Это означает, что
на малых расстояниях случайность среды вовсе не подразумевает случайность отклика волнового
поля.
В заключение отметим, что анализ спектральной статистики оператора эволюции позволяет
исследовать
динамику
волн
в
случайно-неоднородных
волноводах
с
позиции
теории
детерминированных волноводов. На наш взгляд, статистический анализ собственных функций
представляется наиболее надежным методом исследования статистики оператора. Важнейшим его
преимуществом является возможность исследовать различия в свойствах распространения
различных мод, выявить моды, не подверженные рассеянию, и оценить их количество. Метод,
основанный на статистическом анализе собственных значений с помощью распределения БерриРобника, дает качественное описание перехода к хаосу с ростом дистанции от источника, но не
обеспечивает количественного согласия. В качестве примера в работе использован подводный
звуковой канал в Японском море. Статистический анализ оператора эволюции указывает на
высокую стабильность приосевого распространения звука. Можно выделить два фактора этой
стабильности. Первый - это слабость вертикальных осцилляций неоднородности, что означает
62
незначительность вклада высоких мод поля внутренних волн. Это обстоятельство обусловлено
тем, что профиль частоты Вяйсяля-Брента в Японском море существенно отличен от нуля лишь в
узком приповерхностном слое. Это означает слабую фокусирующую способность волновода для
внутренних волн, способного эффективно удерживать только высокочастотную компоненту
спектра, на которую приходится малая спектральная плотность энергии. Низкочастотная
компонента удерживается волноводом слабо, и захваченными оказываются только низкие моды
внутренних волн. Второй фактор стабильности связан с образованием слаборасходящегося пучка.
63
1.4 Исследование свойств кавитационной области. Теоретическое развитие и
экспериментальная
апробация
модели
формирования
атомных
линий
в
спектрах
кавитационного свечения водных растворов солей
Сонолюминесценцией (СЛ) называют слабое световое излучение, сопровождающее
ультразвуковую кавитацию в жидкостях – явления, заключающегося в формировании в жидкости
под воздействием переменного давления (гидродинамического или акустического) нелинейно
пульсирующих
парогазовых
пузырьков.
Заметим,
что
свечение
возникает
и
при
гидродинамической кавитации в природных условиях и имеет, очевидно, ту же природу, что и в
случае ультразвуковой кавитации. Несмотря на почти 100-летнюю историю исследований,
явление СЛ оставляет множество вопросов открытыми, в частности, появление атомной эмиссии
металлов в спектрах СЛ водных растворов солей. Для объяснения СЛ наиболее приемлемой
считается гипотеза “горячего пятна” (“hot-spot”), согласно которой при интенсивном коллапсе
парогазовых пузырьков значения пиковых температуры и давления достигают тысяч кельвинов и
сотен
атмосфер.
Наблюдаемые
атомные
линии
металлов,
в
рамках
этой
гипотезы,
свидетельствуют о том, что металлы попадают из раствора в область высвечивания (по механизму,
предложенному, например, в [1]) и подвергаются тем же экстремальным температурам и
давлениям, что и парогазовая смесь внутри пузырьков. Форма линий при СЛ искажена. Линии
щелочных металлов в спектрах СЛ ассиметрично уширены относительно спектра в пламени,
центры сдвинуты, наблюдаются несмещенные родительские пики, голубые сателлиты. Такие
особенности спектрального профиля до сих пор не имели объяснения.
Основываясь на наших данных, а также на результатах исследований других авторов, мы
пришли к выводу об интегральной природе профиля линий. Нами предложена гипотеза, что
профиль линии формируется в результате наложения спектров, излученных в условиях
меняющейся плотности в течение коллапса пузырька. На основе гипотезы разработана
теоретическая модель с интерактивным алгоритмом. Модель позволяет успешно симулировать
экспериментальные данные, объясняет все характерные черты профиля линии (асимметрия линии,
красный сдвиг и наличие родительских пиков), позволяет оценить параметры коллапса, а именно
ход кривой плотности в течение высвечивания, а также границы диапазона плотностей
высвечивания металлов.
Основным объектом исследований при разработке модели являлась форма D-линии Na в
спектрах СЛ. Мы исследовали многопузырьковую СЛ водного раствора NaCl, насыщенного
аргоном. Известно, что D-линия Na в спектрах СЛ уширена в красную область относительно
спектра в пламени [2]. Это явление называют “красный сателлит” [3]. Уширение и сдвиг линии
можно объяснить экстремально высокой плотностью в пузырьке во время эмиссии. Наблюдаемая
при этом асимметрия полосы может быть следствием особенностей потенциальных кривых
64
взаимодействующих атомов. Мы предположили, что за время высвечивания СЛ плотность в
пузырьке проходит значительный диапазон величины (Рис.1.4.1а), и что асимметрия линии
образуется
в результате наложения спектров, излученных при
различных
плотностях
возмущающей среды. Расчеты, основанные на предложенной нами модели, показывают, что вид
кривой хода плотности существенно изменяет профиль D-линии Na. Согласно нашей модели,
узкие родительские пики дублета, наблюдаемые в экспериментальных спектрах СЛ на фоне
уширенной D-линии Na [4,5], нельзя объяснить плотностным уширением и сдвигом, поскольку
хорошо разрешенный дублет в модельных спектрах появляется только при плотностях,
значительно меньше пиковых. Отметим, что теории и численные симуляции динамики
кавитационного пузырька, особенно вблизи “точки возврата” t=0 (Рис.1.4.1а), нуждаются в
экспериментальных
подтверждениях,
которые
чрезвычайно
трудно
получить
из-за
экстремальности процесса.
Экспериментальная установка и условия эксперимента даны в работах [1,6,7,8]. В данном
исследовании частота ультразвука составляла 22 кГц, общая поглощенная ультразвуковая
мощность 40 Вт.
Основной алгоритм модели изложен далее. Согласно [9], зависимость сдвига и уширения
спектральных линий щелочных металлов инертными газами от плотности близка к линейной.
Заметим, однако, что это допущение может быть спорным для случая СЛ, так как
экспериментальные данные по уширению и сдвигу получены для плотностей порядка 10 20 см-3, а
плотности при СЛ могут превышать 1022 см-3. Линейные зависимости можно представить:
L(n)=L0+n, S(n)=S0+n, где L0 - длина волны при нормальном давлении, S0 - начальная
полуширина линии, n - плотность,  и  - коэффициенты сдвига и уширения для каждой линии.
Используя в качестве начального спектра профиль D-линии Na в пламени, можно вычислить
форму спектра для произвольной плотности возмущающей среды. В [9] отмечено, что в пределе
растущей плотности профиль линии стремится к гауссовому независимо от формы модельного
потенциала. Мы аппроксимировали профиль линии 2 гауссовыми кривыми, так как компоненты
дублета разрешены:
G(L) = (C1/S1)·exp(-½(L1-L)2/S12) + (C2/S2)·exp(-½(L2-L)2/S22),
(1.4.1)
где C1, C2 коэффициенты нормировки, S1, S2 – полуширины на полувысоте, L1, L2 – длины волн
для каждого компонента дублета.
Следуя [9], для Na в Ar коэффициенты сдвига и полуширины для первого компонента
дублета 3s 2S 1  3 p 2P3 (589 нм) 1=-7.5·10-21 см-1/см-3 и 1=1.17·10-20 см-1/см-3, соответственно;
2
2
для второго компонента дублета 3s 2S 1  3 p 2P1 (589.6 нм) 2=-6.8·10-21 см-1/см-3 и 2=1.41·10-20
2
2
65
см-1/см-3, соответственно. Эти коэффициенты определены для температур T~400÷600 K, тогда как
температуры многопузырьковой СЛ ~2000-5000 K. Кроме того, в пузырьке находится не только
Na и Ar, хотя в первом приближении можно принять, что возмущение другим атомом равно
возмущению аргоном. В [4] коэффициент уширения линии Na в Ar =3.31·10-20 см-1/см-3 (для 2000
К), что в 2.5 больше указанного в [9]. В нашей модели лучшее соответствие эксперименту дает
использование значений , удвоенных относительно приведенных [9]. Таким образом,
коэффициенты сдвига и уширения линии могут быть параметрами модели.
Подставив Sj(n) и Lj(n), где j=1, 2 – компоненты дублета, в формулу (1.4.1) и задав
плотность n от 10 до 100 Амг с шагом 10 Амг (1 Амг (амагат)=2.6868 1019 см-3), получаем форму
линии Na для каждой из этих плотностей (Рис.1.4.2, семейство линий 3’). Мы предположили здесь,
что число излучающих атомов постоянно, и сила осциллятора измененной D-линии не меняется.
Из приведенной иллюстрации видно, что моделирование линии Na спектром одной плотности
дает почти симметричный профиль, наблюдается лишь асимметрия яркостей дублета.
Следовательно,
необходимо
учитывать,
каким
образом
изменяется
плотность
возмущающей среды в течение времени высвечивания. Для простоты и определенности мы
рассматриваем отдельный кавитационный пузырек, хотя в общем случае необходимо знать
распределение параметров плотности в многопузырьковой системе.
На рис.1.4.1а показан ход радиуса и температуры для классической модели пузырька
вблизи коллапса [10], а также ход плотности, вычисленный нами из радиуса в предположении, что
времени недостаточно для массообмена. Из рисунка оценим пиковую плотность. В начале фазы
сжатия содержимое пузырька имеет ту же температуру, что и раствор. В пузырьке в основном
содержится водяной пар, так что давление также остается почти постоянным. Большая часть фазы
сжатия проходит изотермически. Только в конце сжатия, когда пузырек захватывает вещество и
теплоту, процесс становится почти адиабатическим, происходит резкий рост и температуры и
давления. Согласно [10], для пузырька, колеблющегося в ультразвуковом поле частотой 26.5 кГц,
это происходит за ~20 нс до t=0. Допустим в момент t=-20 нс плотность внутри пузырька еще
близка к нормальной, n=1 Амг. Радиус уменьшается от Ra~8 мкм до Rmin~0.8 мкм при t=0. Тогда из
nmax/na=(Ra/Rmin)3 получим nmax=1000 Амг. Отметим, что в воде при нормальных условиях
плотность частиц ~1240 Амг, т.е. пиковая плотность может достигать плотности жидкости.
Вспышка СЛ длится меньше 1 нс (~150 пс для однопузырьковой СЛ воды в аргоне [11]). Из
рисунка видно, что в течение 1 нс плотность внутри пузырька превышает 500 Амг, если принять,
что величина пиковой плотности ~1000 Амг. Временной промежуток, когда плотность близка к
пиковой, назовем “временем отскока”, после чего начинается фаза расширения. По нашему
мнению, соотношение времени отскока и длительности вспышки, так же как и ход плотности,
должно существенно влиять на профиль D-линии Na.
66
Ход плотности неизвестен и является параметром модели. Рассмотрим 2 варианта: первый
– плотность растет с ускорением к моменту t=0 [10] (время высвечивания много больше времени
отскока); второй – плотность растет с замедлением к моменту t=0 [12] (время высвечивания
сравнимо со временем отскока). Эти варианты отличаются друг от друга вкладом спектров
различной плотности в суммарный спектр и пиковой плотностью, которая в первом случае
значительно выше. Пиковая плотность nmax также является параметром модели. Модельный ход
плотности зададим функцией n(i)=nmax·(1-iz), где 0≤i≤1 – переменная интегрирования. Степень
хода плотности в нашей модели: z=1 для линейного роста, z>1 для роста с замедлением и z<1 для
1
роста с ускорением (Рис.1.4.1б). Суммарный спектр вычислим как
 G( L, n(i))  di .
Спектры
0
нормируем на 1 для длины волны 589 нм. Результаты расчетов, тонкие линии 1a’, 1b’, 1c’, 2’, и
экспериментальные спектры, жирные линии 1 и 2 (взят из [4]), показаны на рис.1.4.2. Сравнение
спектров показывает, что наилучшее соответствие эксперименту дает случай, когда z=0.5, т.е.
время высвечивания много больше времени отскока.
(а) - расчетный ход радиуса, температуры (взят из [9]) и плотности вблизи коллапса для пузырька, подверженного
колебаниям в ультразвуковом поле частотой 26.5 кГц; (б) три варианта модельного хода плотности внутри пузырька
вблизи коллапса: i-переменная интегрирования; n-плотность; z, ne, nmax - параметры модели
Рисунок 1.4.1 - Динамика пузырька вблизи коллапса.
Необходимо также знать значения плотности, когда начинается и прекращается эмиссия.
Используя соотношения Te/Ta=(Ra/Re)3(Г-1), ne/na=(Ra/Re)3 (Re, Te, ne – значения радиуса пузырька,
температуры и плотности среды в момент начала эмиссии; Ra, Ta, na – значения в некоторый
момент, предшествующий адиабатическому сжатию; мы полагаем для смеси паров воды и аргона
67
Жирная линия 1 – спектр СЛ раствора NaCl (разрешение 0.26 нм), частота 22 кГц, гидростатическое
давление 1.5 атм, диапазон температур 5-15 С, концентраций 0.5-4 М; жирная линия 2 – спектр СЛ раствора
NaCl [4] (разрешение 0.315 нм), частота 138 кГц; жирная линия 3 – спектр пламени с добавлением NaCl
(разрешение 0.26 нм). Тонкие линии 1a’, 1b’, 1c’ – модели спектра 1 с параметрами:
z=0.5, 1, 2, nmax=420, 250, 180 Амг, ne=28, 26, 23 Амг соответственно; d=0. Тонкая линия 2’ – модель спектра
2 с параметрами z=0.5, nmax=500 Амг, ne=10 Амг, d=0.05. Уровень континуума для экспериментальных спектров
взят за нулевой. Все спектры нормированы на 1 при 589 нм. Семейство тонких кривых 3’ –модельные спектры,
рассчитанные для плотности от 10 до 100 Амг с шагом 10 Амг и нормированные по площади. На врезке
показаны СЛ спектр [5], (разрешение 0.2 нм, спектр сдвинут нами на 0.6 нм в синюю область в связи с
возможной ошибкой прецизионных измерений в [5]), частота 460 кГц, и его модель с параметрами
z=0.5, nmax=600 Амг, ne=6 Амг, d=0.03.
Рисунок 1.4.2 - Экспериментальные и модельные спектры D-линии Na.
Г~1.5), можно оценить плотность ne~20 Амг, достаточную для нагрева с Ta~300 K до Te~1400 K
(предположим, что это температура начала свечения). Однако включение ne в модель ведет к
исчезновению родительских несмещенных пиков дублета Na, заметных на фоне широкой полосы
в экспериментальных спектрах (Рис.1.4.2, линия 2, врезка рис.1.4.2). Из семейства модельных
кривых 3’ видим, что уширение плотностью, начиная с n~10 Амг, делает дублет неразрешенным.
В рамках нашей модели это означает, что объяснить родительские пики D-линии Na в спектрах СЛ
можно только вкладом спектров
“низкой плотности”. Для объяснения интенсивности
родительских пиков дублета введем еще один параметр в модель – добавочную долю спектра
“низкой плотности” d. Как показывают расчеты, достаточно d~3-5%. Кажется, фаза сжатия –
неподходящее время для эмиссии родительской D-линии. Возможно допустить, что часть атомов
Na сохраняется в возбужденном состоянии на фазе расширения вплоть до момента, когда n~1 Амг.
68
Радиационное время жизни состояния Na 32P составляет 16 нс. Это означает, что остаточное
излучение составит 5% от исходного через ~50 нс после момента возбуждения. Период
ультразвука с частотой 20 кГц, для сравнения, равен 50000 нс, собственный период пузырька ~2000 нс. Из рис.1.4.1а видно, что уменьшение плотности в пузырьке до значений n<10 Амг при
t=50 нс достаточно вероятно.
Другими возможными объяснениями наличия родительских пиков могут быть образование
“зон низкой плотности” при взаимодействии пузырьков и/или при образовании ударных волн, а
также иные, чем тепловые, механизмы эмиссии. Этот вопрос может прояснить измерение
длительности и фазы высвечивания родительского пика D-линии Na относительно “красного
сателлита” и континуума.
Перечислим основные свойства модели. Модель дает хорошее воспроизведение формы
экспериментальных спектров. Ясно, что излучение при низкой плотности вносит вклад в полосу
вблизи родительского пика, тогда как излучение при высокой плотности увеличивает
интенсивность спектра вдали и справа от него. Рассмотрим поведение модели при варьировании
ее параметров. Использование удвоенного значения коэффициента сдвига линии  (точнее,
удвоенного отношения  к коэффициенту уширения ) хорошо воспроизводит крутой
коротковолновый подъем и более плавный длинноволновый спад интенсивности. При увеличении
/ изменяется наклон модельного спектра в точке 589 нм, а также уровень спектра слева и справа
вдали от максимума. При увеличении значения nmax поднимаются дальние крылья линии, и
пиковую плотность можно подобрать по отношению интенсивностей вдали и вблизи 589 нм.
Увеличение z при постоянном значении nmax дает расширение профиля линии. Для компенсации
этого следует одновременно c увеличением z уменьшать nmax, что, однако, приводит к изменению
наклона модельного спектра справа от максимума (Рис.1.4.2, линии 1a’,1b’,1c’). Лучшее согласие
получается для z=0.5, что понятно из сравнения рис.1.4.1а и 1.4.1б. Это означает, что модель
позволяет исключить вариант плавного замедления сжатия к моменту t=0 в пользу варианта
“короткий отскок”. Увеличение ne приводит к заметному росту интенсивности линии справа от
589 нм и смещению максимума. Для компенсации этого можно одновременно уменьшать nmax, что
приводит к изменению наклона модельного спектра справа от максимума, и его форма становится
более симметричной. Уменьшение ne (ne<10 Амг) дает тот же эффект, что и увеличение d, т.е. рост
вклада спектра “низкой плотности”. Для объяснения родительских пиков Na, как уже отмечалось,
достаточно ~3-5% вклада спектра “низкой плотности” в сумму, при этом, вследствие нормировки,
существенно изменяется форма всей модельной линии. Это означает, что, если имеет место
свечение Na при низкой плотности, оно занимает около 4% интенсивности или времени процесса.
Рассмотрим еще один вариант модели, когда ход плотности задается кривой n(t)
(Рис.1.4.1а), и в котором отсутствует параметр z. В этом случае для лучшей симуляции профиля
69
линии Na также требуется увеличить  в 1.5-2 раза относительно данного [9], однако форма линии
воспроизводится хуже, чем при выборе кривой n(i) (Рис.1.4.1б). В этом варианте модели
существует большой диапазон величины nmax (при nmax>>ne), в котором форма модельной линии
заметно не изменяется. Это объясняется тем, что при фиксированной ne увеличение nmax, т.е.
масштабирование кривой n(t) по вертикали, приводит не столько к росту вклада спектров высокой
плотности, сколько спектров плотностей, близких к ne. Математически это означает, что должен
существовать такой вид зависимости n(i), при котором параметр nmax можно исключить из модели
(остаются только ne и d). Физически это означает, что при nmax>>ne величина пиковой плотности
существенно не влияет на форму линии Na. Этим можно объяснить сходство профилей линии
щелочного металла для ряда растворов в спиртах, имеющих различное давление насыщенного
пара [13], и, вероятно, различную пиковую плотность. Грубое воспроизведение линий 1 и 2
(Рис.1.4.2), при таком моделировании, дает использование значений параметров: nmax>500 Амг,
ne~50 Амг и d=2% (линия 1), d=8% (линия 2), т.е. два модельных спектра отличаются лишь
вкладом спектра “низкой плотности”. Рассмотренный вариант модели на рисунках не показан.
Вид функции n(i) можно подобрать, используя меньшее число параметров. Заметим, что ne
и d взаимосвязаны и могут быть заменены одним параметром. Функцию n(i) можно также
восстановить из наблюдаемого спектра. При этом, чем точнее снята экспериментальная кривая,
тем детальнее можно будет судить о ходе плотности.
Моделирование линии калия дало следующие результаты.
(a) - линия K в спектрах СЛ водного раствора KCl, насыщенного Ar, для частоты ультразвука (снизу вверх): 1 МГц,
510, 115, 48, 28 кГц, спектры взяты из [13]; (b) - модели линии K с параметрами (снизу вверх): nmax=150, 400, 500, 500,
550 Амг; ne=0, 0, 0, 4, 25 Амг; d=30, 8, 3, 3, 2%, соответственно; z=0.5
Рисунок 1.4.3 - Моделирование линий калия в спектрах СЛ.
На hис.1.4.3 воспроизведены спектры СЛ KCl в воде для разных частот ультразвука, взятые
из [14] (a), и спектры, вычисленные на основе нашей модели (b). Параметры моделей указаны в
70
подписи к рисунку. При расчетах использован коэффициент сдвига линии калия в аргоне,
увеличенный в 1.5 раза относительно [9]. Моделирование показывает, что при понижении частоты
ультразвука с 1 МГц до 28 кГц происходит рост пиковой плотности с 150 до 550 Амг, уменьшение
доли спектра “низкой плотности” с 30 до 2% и повышение порога высвечивания с 0 до 25 Амг.
Наибольшие значения nmax достигаются на низких частотах ультразвука, а повышение частоты до
1 МГц приводит к быстрому уменьшению nmax. Радиационное время жизни состояния 4Р К ~27 нс.
Увеличение доли родительских пиков К с ростом частоты, как и в случае с Na, можно объяснить
относительным увеличением времени “послесвечения” при понижении плотности на фазе
расширения кавитационного пузырька.
Приведем некоторые выводы и рассуждения, касающиеся вопроса атомной эмиссии и
применения модели к экспериментальным данным. Простое измерение полуширины линии Na на
полувысоте с учетом спектральной ширины щели, или сдвига середины полосы дает оценки: по
уширению – 106 и 88 Амг, по сдвигу – 94
и 61 Амг для спектров 1 и 2 на рис.1.4.2,
соответственно. Для этих оценок использованы значения σ, удвоенные относительно приведенных
в [9], уширяющим веществом предполагается Ar. Предложенные в [4,7] оценки другими
способами составили 70 и 60 Амг, соответственно. Эти величины относятся к некоторой средней
плотности в течение времени высвечивания. Давление можно оценить из соотношения P=nkT. Для
Т~3000 К и nmax=400 Амг получаем Рmax~4400 атм для спектра 1 (Рис.1.4.2), что выше оценки
пикового давления, сделанной нами ранее [7].
Оценка плотности прямо зависит от значений  и , которые точно не определены по двум
причинам – высокие значения плотности, для которых коэффициенты не изучались, и
неизвестный состав возмущающего вещества. Внутри пузырька при максимальном сжатии,
согласно [15], содержится 14% воды и 86% аргона. Если предположить, что Na светится в
пограничном слое [1], то возмущающим веществом будет преимущественно вода. Этим можно
объяснить независимость ширины и сдвига линии от типа насыщающего газа [13], а также, чем
для аргона, значения  и . Независимость формы линии от давления насыщенного пара
растворителя может быть связана с тем, что в [13] исследован ряд однородных растворителей
(спирты), для которых значения  и  могут быть близки, а пиковые плотности или их влияние на
спектр по какой-либо причине одинаковы.
Согласно [13], ширина и сдвиг линии металла не зависят от внешних параметров,
влияющих на пиковую температуру, а именно, от давления пара растворителя и отношения
насыщающих газов (Ar/He). В частности, сдвиг линии, вызванный гелием, должен наблюдаться в
другую сторону, чем аргоном. Из этого был сделан вывод, что СЛ щелочных металлов не может
быть использована для оценки температуры и давления внутри пузырька. В [7] существенного
влияния на форму линии Na таких параметров, как температура раствора, от которой зависит
71
давление пара в пузырьке, концентрация раствора, мощность ультразвука, гидростатическое
давление также не наблюдалось. Однако, в [2] обнаружено, что форма СЛ линии Rb различна при
насыщении растворов Ar и Kr. В [13] приводятся аргументы в пользу того, что свечение щелочных
металлов происходит из “горячего пятна”, а уширение линии вызвано высокой плотностью,
порядка плотности жидкости.
Образование возбужденных состояний металлов происходит путем реакций с радикалами,
образующимися в “горячем пятне” [13]. Экспоненциальные зависимости яркости (не ширины и не
сдвига) D-линии K от параметров, связанных с пиковой температурой, при смене инертного газа
или давления паров растворителя, согласно [13], поддерживают идею приоритета влияния
химических реакций на СЛ щелочных металлов. Однако нам кажется маловероятным
необходимый для образования возбужденных состояний металла темп диффузии радикалов из
раскаленного пузырька внутрь раствора. Свободные радикалы скорее будут рекомбинировать друг
с другом, чем переходить глубоко в раствор. Модель “сверхкритического слоя” [1], в котором
может происходить образование радикалов, не требует их диффузии из “горячего пятна”.
Сдвиг и асимметрия линии в [13] не объяснены. Для объяснения ширины линии предложен
механизм быстрой (0.05 пс) деактивации возбужденных состояний металла молекулами
растворителя. Предложенное время жизни возбужденного состояния с учетом его деактивации
кажется слишком малым. Маловероятно, чтобы каждое соударение приводило к деактивации
электронного (не колебательного) состояния, что согласно [13] определяет ширину линии. В [14]
приведена замечательная серия СЛ спектров линии К при частотах от 28 кГц до 1 МГц, где
ширина линии монотонно уменьшается с ростом частоты ультразвука в 5 раз. Если следовать [13],
то для диапазона частот, приведенных в [14], время столкновительной деактивации так же должно
отличаться в 5 раз. Одно из наших предположений заключается в том, что возбужденное
состояние может сохраняться значительно большее время. Ширину, сдвиг и асимметрию D-линии
Na в спектрах СЛ предложенная нами модель хорошо объясняет на основе взаимодействия при
упругом столкновении, а не времени деактивации электронного состояния.
Что касается влияния внешних параметров на ширину и сдвиг линии металла в спектрах
СЛ, то в той же работе [13] показаны отличающиеся спектры калия в воде и октаноле.
Зависимость от частоты ультразвука, показанная в [14], возможно объясняется различным
размером кавитационных пузырьков. Форма линии Na также зависит от частоты (спектры 1, f=22
кГц, и 2, f=138 кГц, врезка, f=460 кГц, Рис.1.4.2). Как видим, частота ультразвука существенно
влияет на форму линии металла в СЛ водных растворов. При повышении частоты форма линии
меняется так, что наша модель дает для нее существенно меньший порог начала и конца свечения,
и увеличение доли родительской D-линии Na, что не совсем понятно с точки зрения динамики
пузырька. Если Na сохраняется в возбужденном состоянии долгое время, то возможно,
72
увеличивается отношение времени жизни возбужденного состояния к собственному периоду
пузырька, зависящему от радиуса, при росте частоты ультразвука.
По-видимому, имеются два процесса свечения Na, один из которых отвечает за широкую
полосу, другой за спектры Na “низкой плотности”. Эти процессы могут оказаться разделены во
времени, так как мы наблюдаем усредненные по времени спектры. Возможно, Na частично
светится в сверхкритическом слое в окружении молекул воды и их фрагментов, и частично
переходит, вследствие критической опалесценции, в газовую составляющую пузырька, где
сохраняется в возбужденном состоянии в течение времени, достаточного для достижения низкой
плотности на фазе расширения.
Модель [8] улучшена автоматической процедурой минимизации среднеквадратичного
отклонения
(СКО)
модельного
спектра
от
экспериментального
способом
пошагового
координатного спуска, что позволило получить новые результаты (Рис.1.4.4) [16].
Рисунок 1.4.4 - Спектры СЛ щелочных металлов и их модели.
На рисунке 1.4.4 показаны экспериментальные спектры СЛ K, Na и Li высокого
разрешения, в сравнении со спектром в пламени, и их модели. Спектры измерены в 3 М водных
растворах хлоридов металлов, насыщенных аргоном. Частота ультразвукового облучения
составляла 20 кГц, общая поглощенная мощность 21 Вт. Спектр лития высокого разрешения нами
в литературе не найден. Сравнивая спектры, можно видеть сходство смещений максимума в
красную область (0.2-0.3 нм), ширин на полувысоте (2.5-3 нм) и всей широкой структуры линий.
73
Моделирование позволило оценить границы диапазона плотностей, внутри которого
светятся металлы (таблица 1.4.1).
Таблица 1.4.1 - Диапазон плотностей высвечивания щелочных металлов при СЛ.
металл
длина волны, нм
Na
Li
K
590
671
768
энергия возбуждения,
эВ
нижняя граница,
Амг
2,11 эВ
1,85 эВ
1,62 эВ
верхняя граница,
Амг
41
16
10
доля родительского
спектра, %
415
279
203
1,78
0,5
1,23
Увеличение нижней границы плотности в ряду K, Na, Li, вероятно, связано с ростом
энергии возбуждения. Природа прекращения свечения металла при достижении верхней границы
плотности, тогда как пиковая плотность может приближаться к плотности воды (~1240 Амг),
остается не совсем ясной. Недавно экспериментально показано [4], что свечение Na в пузырьке,
образованном вспышкой лазера, начинается за десятки нс и проходит максимум до вспышки
континуума. Возможно, с ростом плотности и температуры становятся эффективными химические
реакции, не приводящие к возбуждению металлов. Также можно предположить, что длительность
“высокоплотного” свечения становится столь малой, что не успевает давать вклад в спектр СЛ.
Сравнение интенсивности линий щелочных металлов в спектрах СЛ низкого разрешения
позволило выявить еще одну закономерность – увеличение яркости линии с ростом атомного веса
металла (таблица 1.4.2) [16].
Таблица 1.4.2 - Относительная интенсивность линий щелочных металлов в спектрах СЛ.
Li
Na
K
Rb
, г/моль
R атома, Å
E возбуждения,
эВ
время жизни,
нс
яркость линии
(по Меггерсу)
Относительная
интенсивность
линии при СЛ
Относительная
интенсивность
линии при СЛ(*)
7
23
39
86
1.520
1.858
2.272
2.475
1.85 эВ
2.11 эВ
1.62 эВ
1.61 эВ
2Р – 27
3Р – 16
4Р – 27
5P – 27
М 3600
М 3000
М 2700
M 4500
1
1.3
1.7
2.7
1
3.2
10
20
*взято из [13]
Вероятно, наблюдаемая закономерность, при одинаковом количестве атомов щелочных
металлов, связана с увеличением атомного радиуса и, следовательно, с ростом числа соударений и
реакций типа М+ОН+Н = М*+Н2О, которые рассматриваются как источник возбужденных атомов
щелочных металлов при СЛ.
В заключении перечислим основные результаты, полученные в 2009-2011 г.г. Выдвинута
гипотеза, что сложный профиль линии щелочных металлов в спектрах СЛ формируется
наложением спектров, излученных при изменяющейся плотности возмущающей среды в течение
времени высвечивания. На основе гипотезы предложена модель, позволяющая успешно
74
симулировать экспериментальные спектры. Наилучшее совпадение модельных спектров со
спектрами СЛ дает увеличение отношения коэффициента сдвига к коэффициенту уширения Dлинии Na аргоном в 2 раза относительно изученных в [9], что можно объяснить высокими
температурой и давлением в случае СЛ. Это также может быть свидетельством того, что
возмущающей средой является не аргон. Модель позволила, исходя из формы линии, оценить
пиковое значение плотности и вывести ход плотности, различив вариант с ускорением роста
плотности к моменту коллапса пузырька от варианта с замедлением. Лучшее согласие модели с
экспериментом получается для варианта с ускорением. Применение модели к экспериментальным
данным выявило ряд закономерностей: увеличение нижней границы диапазона плотности
высвечивания в ряду K, Li, Na связано с ростом энергии возбуждения металла; наличие красного
горба в отдельных спектрах объясняется провалом в свечении при средних плотностях; наличие
несмещенных родительских пиков подтверждает, что свечение металлов является излучением
“низкой плотности” в отличие от излучения континуума СЛ. Последний факт согласуется с
новейшими результатами других авторов.
Работа выполнена при поддержке конкурсных программ ДВО РАН 06-III-А-02-035, 09-IIIА-02-047.
Список использованных источников
1 Гордейчук Т.В., Казачек М.В. Экспериментальное наблюдение интенсивного роста
сонолюминесценции металлов под влиянием давления и температуры // Оптика и спектроскопия.
2009. Т. 106, N 2. С. 277-280.
2 Lepoint-Mullie F, Voglet N., Lepoint T., Avdi R. Evidence for the emission of “alkali-metalnoble-gas” van der Waals molecules from cavitation bubbles // Ultrason. Sonochem. 2001. Vol. 8. P. 151158.
3 Jefimenko O., Williams G.M. Satellite bands in the spectra of potassium-foreign gas mixtures //
J. Chem. Phys. 1965. Vol. 42. P. 207-211.
4 Choi P.-K., Abe Sh., Hayashi Yu. Sonoluminescence of NaCl solutions doped with etanol // J.
Phys. Chem. B. 2008. Vol. 112. P. 918-922.
5 Sehgal C., Steer R.P., Sutherland R.G., Verrall R.E. Sonoluminescence of argon saturated alkali
metal salt solutions as a probe of acoustic cavitation // J. Chem. Phys. 1979. Vol. 70, N5. P. 2242-2248.
6 Didenko Y.T., Gordeychuk T.V., Koretz V.L. The effect of ultrasound power on water
sonoluminescence // J. Sound Vibr. 1991. Vol.147, N3. P. 409-416.
7 Казачек М.В., Гордейчук Т.В. Оценка пикового давления кавитации по структуре Dлинии Na в спектрах сонолюминесценции // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып.4. С. 87-94.
8 Казачек М.В., Гордейчук Т.В. Одна простая модель формы D-линии Na в спектрах
сонолюминесценции // Письма в ЖТФ. 2011. Т. 37. Вып. 6. С. 39-48.
75
9 Allard N., Kielkopf J. The effect of natural nonresonant collitions on atomic spectral lines //
Rev. Mod. Phys. 1982. Vol. 54. P. 1103-1181.
10 Brenner M.P., Hilgenfeldt S., Lohse D. Single-bubble sonoluminescence // Rev. Mod. Phys.
2002. Vol. 74. P. 425-484.
11 Gompf B., Gunther R., Nick G. et al. Resolving sonoluminescence pulse width with timecorrelated single photon counting // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. P. 1405-1408.
12 V.Q. Vuong, A.J. Szeri, Sonoluminescence and diffusive transport // Phys. Fluids. 1996. Vol.
8. P. 2354-2359.
13 Flint E.B., Suslick K.S. Sonoluminescence from alkali-metal salt solutions // J. Phys. Chem.
1991. Vol. 95. P. 1484-1488.
14 Abe Sh., Choi P.-K. Effect of Frequency on Sonoluminescence spectrum from alkali-metal
solutions // Nonlinear Acoustics—Fundamentals and Applications. Pros. ISNA 18. 2008. CP1022. P. 189192.
15 Storey B.D., Szeri A.J. Water vapour, sonoluminescence and sonochemistry // Proc. R. Soc.
London. Ser. A. 2000. Vol. 456. P. 1685-1689.
16 Gordeychuk T., Kazachek M. On a shape of alkali-metal lines in sonoluminescence spectra //
Pros. Intern. Congr. Ultrasonics ICU2011. 2011. P. 202.
76
2 Моделирование волновой и вихревой динамики океана
2.1 Моделирование переноса и перемешивания вихревыми структурами в океане
Процессы переноса и перемешивания играют определяющую роль в распределении
гидробиохимических характеристик вод океана (температура, соленость, биопродуктивность и
т.д.). На сегодняшний день механизмы, лежащие в основе этих процессов, до конца не раскрыты.
Явления синоптического масштаба, в частности вихри, играют важную роль в этих процессах.
Кроме того, характерной чертой таких движений является их нестационарность (например,
приливного характера). Поэтому исследование процессов переноса и перемешивания в полях
скорости с сильной неоднородностью (вихревые образования) при их нестационарности является
на сегодняшний день вполне актуальным.
В рамках простейших моделей вихревых структур в качестве основного механизма,
процессов переноса и перемешивания пассивной примеси (нефтяное загрязнение, планктон,
мальки рыб) предлагается хаотическая адвекция [1,2]. Основная цель проекта: выявление роли
параметров нестационарной составляющей проточного течения (частоты, амплитуды, фазы),
граничных условий, рельефа дна и стратификации на хаотический перенос и перемешивание
пассивной примеси.
2.1.1 Генерация топографических вихрей приливными потоками в прибрежной зоне
Концепция фоновых течений [1-4] представляет широкий класс вихревых геофизических
потоков допускающих хаотизацию траекторий. Мы рассмотрим такую двуслойную модель,
которая позволяет учесть стратификацию жидкости самым простым способом [1-4]. В нашем
случае мы рассмотрим топографический вихрь, который генерируется взаимодейстуием
проточного течения с дельтаобразным возвышением дна. Ниже мы сосредоточимся на
исследовании движения пассивных маркеров в нижнем слое. Ситуация в верхнем слое была
детально
изучена
в
работе
[5].
Безразмерная
функция
тока
выглядит
как
[3,4]:
  W  t  y    ln r  aK0  r   , а уравнения движения имеют гамильтонов вид:
dx

y1

x1
 dy

u 
 W     aK1  r   ,
v
    aK1  r   ,
dt
y
r r
x
rr
 dt

(2.1)
где   h* / ( HR0 )  O 1 - топографический параметр, R0  U / ( f 0 L* ) - число Россби, L* характерный
горизонтальный
масштаб,
который
выбран
равным
внутреннему радиусу
деформации Россби Ld  ( g ' H 2 H 2 / H )1/2 / f 0 , где g '  g  2  1  / 2 - приведенное ускорение
свободного падения, 1 , 2 - плотности в слоях, h * - эффективное возвышение рельефа дна,
H  H1  H2 - глубина океана, U - характерный масштаб скорости, W  W0 (1   cos t ) - скорость
77
проточного течения, x , y - горизонтальные координаты, r - радиус вектор, K0 , K1 модифицированные функции Бесселя, a  H1 / H 2 . На рис.2.1 приведен характерный фазовый
портрет.
Рисунок 2.1 - Фазовый портрет в нижнем слое для модели
топографического вихря с параметрами   0 , W0  0.3 .
Для оценки границы стохастического слоя использована проекции вектора Ляпунова на
нормаль к траектории. Хорошо известно, что положительный ляпуновский показатель
свидетельствует о хаотическом поведении траекторий [2,5]. Однако, при численных расчетах
часто используют ляпуновский показатель накопленный за конечное время [2,6]. В этом случае
такой однозначной связи нет. Мы рассмотрим проекцию собственного вектора лианеризованной
системы на нормаль к невозмущенной траектории:
прn h  [vx2  (  vy )vy ] / vx2  vy2 .
Локальная устойчивость траектории определяется собственными числами матрицы
 ux
L
 vx
uy 
 , которые легко вычисляются    u y vx  u x v y   V0V0 / r , где V0  (1/ r )  aK1 (r ) .
vy 
Теперь рассмотрим расходимость траекторий по нормали:

 

[ sign прn h log | прn h | et ] / t
В области регулярного поведения эта характеристика стремится в пределе к нулю
вследствии знакопеременности собственного вектора. В хаотической области изменения знака
78
собственного вектора неоднородны, что приводит к накоплению довольно больших значений
величины (2.3). Рис.2.2 иллюстрирует зависимости радиальной расходимости от начального
положения траектории.
Рисунок 2.2 - Зависимость величины (2.1.1.3) от начального положения
траектории, взятого на оси 0y (слева) для трех различных значений
параметров (   0.01 ,  2.2 ) Сечение Пуанкаре возмущенной системы
показывающее последний не разрушенный КАМ-тор (справа).
В качестве критерия для определения границы области хаотизации также предлагается
использовать критерий Чирикова [7], который в нашем случае оценивается как
 r0r' / (r' '  r' r0 ) .
0
0
0
Здесь   r0   2 / T  r0  - частота оборота траектории в вихревой области, r0  y0
начальный
T  r0   
r0
радиус
траектории,
взятый
 d
W02 2   0  log    aK0   
2
на
оси
симметрии
в
точке
-
 0; y0  ,
- период оборота траектории вокруг эллиптической
точки,  - коэффициент зависящий от возмущения. Когда величина (2.4) становится меньше
единицы, применимость приближения нелинейного маятника [8, 9] нарушается и ширина
нелинейных резонансов резко уменьшается с приближением к сингулярной эллиптической точке.
Это эквивалентно исчезновению резонансов из системы наблюдавшемуся в регулярной модели.
Таким образом, мы можем определить частоту возмущения оптимальную для хаотизации
траекторий системы, используя частоту соответствующую упомянутой границе. Сравнение
оптимальных частот полученных прямым вычислением степени выноса [4] и полученной по
оценке (2.4) показывает хорошее совпадение.
79
Для задачи хаотического транспорта и перемешивания в нижнем слое топографического
вихря в квазигеострофическом приближении получена оценка оптимальной частоты возмущения
и ширины стохастического слоя. Эта оценка получена с помощью модифицированного показателя
Ляпунова накопленного за конечное время. С помощью модифицированного критерия Чирикова
получены аналогичные оценки и объяснена регуляризация траекторий в окрестности сингулярной
точки.
2.1.2 Эллипсоидальный вихрь в неоднородном потоке
Рассмотрена квазигеострофическая динамика эллипсоидального вихря погруженного в
неоднородный внешний поток. В качестве модели рассмотрен бесконечно глубокий вращающийся
океан с постоянной частотой плавучести. Ядро вихря предполагается эллипсоидальным, с
постоянной завихренностью отличающейся от фоновой. Рассматривается фоновый поток вида
ub  ex  y,
vb  x  ey ,
(2.5)
где параметры e,  предполагаются постоянными. Граница ядра вихря определяется следующим
уравнением
F ( x, y , z , t ) 
~
x2
a 2 (t )

~
y2
b 2 (t )

~
z2
c2
1  0 ,
(2.6)
где координаты  x, y  связаны с исходными координатами  x, y  соотношениями
x  ( x  x0 ) cos  (t )  ( y  y0 ) sin  (t ),
y  ( x  x0 ) sin  (t )  ( y  y0 ) cos  (t ).
Функцию тока индуцированного вихревым ядром потока удобно записать, как сумму
  b V , где  V индуцированная ядром составляющая потока. Эти слагаемые удовлетворяют
уравнениям
 b  2 ,
 0, r  V ,
 V  
2 g , r V .
(2.7)
Для вихревой части получено выражение


1
x2
y2
2  d
 V ( x, y, )   gabc  1  2
 2
 2
.

2
a   b   c    (  )
  x , y ,  
(2.8)
Эволюция границы ядра вихря при условии сохранения формы описывается системой
уравнений для эксцентриситета и угла попорота эллипсоида  , [10]
  2e cos 2 ,   ( )    e
где  
 2 1
sin 2 ,
 2 1
a b
1
    . Интегрирование системы (2.1.2.5) дает [10]:
b a

80
(2.9)

2

1  2 1

1
1 
 0 1

sin 2 ( )  2 
sin 20   2 ( )d       0   ,
  1   0
e 0 
e

 0 

(2.10)
где 0 ,  0 начальные значения параметров ядра. Интеграл из (2.10) можно представить через
симметричную форму эллиптических интегралов [11,12].
Рисунок 2.3 - Области параметров соответствующие различным режимам
движения ядра вихря на плоскости ( gK , e) . Сплошная линия соответствует
K  1. Пунктирная линия соответствует K  0.01, штрихпунктирная K  10 .
Белый фон соответствует области e  1 с режимами движения 1-3,5,6; серый
фон соответствует e  1 с режимами движения 4,7,8.
81
Рисунок 2.4 - Фазовый портрет на плоскости   ,sin 2  при K  1, e  0.5  1
g  16.7 ( g  10 - пунктирная линия), режим 8. (b) – траектории жидких
частиц в поле скоростей индуцированном вихрем расположенным в
эллиптической точке ( g  10 ,  0  7.46 , sin 20  1 ).
Рисунок 2.5 - Сечения Пуанкаре при K  1, e  0.5  1 g  18 : (a) z  0.6 ; (b)
z  1.0 ; (c) z  1.3 ; (d) z  3.0 .
Режимы движения ядра вихря зависят от параметров внешнего потока и начального
состояния ядра (форма и ориентация относительно потока). Показано, что имеют место
следующие режимы: (i) вращение (сопровождаемое осцилляциями эксцентриситета), (ii)
колебания относительно одной из выделенных ориентаций (сопровождаемое осцилляциями
эксцентриситета), и (iii) неограниченное горизонтальное вытягивание ядра вдоль главной оси
эллипсоида. На рис.2.5 показаны области параметров соответствующие различным режимам
движения ядра вихря.
82
Были изучены локализованные режимы движения ядра вихря (вращение и осцилляции).
Показано возникновение зон рециркуляции. Изучен механизм хаотизации траекторий жидких
частиц. Показано, что вследствие двойной периодичности движения ядра вихря нелинейные
резонансы возникают парами с одинаковыми числами вращения, что приводит к интенсификации
хаотического перемешивания. На рисунках 2.4 и 2.5 проиллюстрированы фазовые портреты и
сечения Пуанкаре для движения жидких частиц в наиболее интересных режимах.
2.1.3
Параметрический
резонанс
в
задаче
о
движении
вихревой
пары
в
нестационарном сдвиговом потоке
Точечные вихри возникают как модельные описания вихревых структур в разных областях
физики, таких как многофазные жидкости, магнитная гидродинамика, физика сверхтекучести,
физика плазмы, космология и т.д. особенно большое количество приложений такие модели имеют
в гидродинамике из-за большого количества приложений, где они могут использоваться.
Например меандрирующие потоки, динамика многовихревых структур, включая приложения в
геофизической гидродинамике. Наибольшее число работ посвящено использованию таких
моделей при изучении турбулентности. При исследовании турбулентных двумерных потоков
возникают когерентные вихревые структуры, часто их движение может быть описано, как
движение вихревой пары в нестационарном деформационном потоке. В частности возникновение
подобных структур Появление таких когерентных структур связано с хорошо известным явлением
передачи энергии от малых масштабов к большим в 2D турбулентности.
Два вихря разных знаков с одинаковыми интенсивностями движутся равномерно как
самораспространяющаяся пара. Центр завихренности также движется по незамкнутой траектории.
Если же рассмотреть два вихря произвольных интенсивностей в неоднородном потоке, тогда
центра завихренности может двигаться как локализовано, так и неограниченно. Если при этом
внешний поток нестационарен, возникают нелокализованные режимы движения в областях
средних параметров соответствующих локализованным движениям в стационарном случае. Такие
режимы
возникают
вследствие
параметрического
резонанса.
Мы
показали
проявление
параметрического резонанса на примере деформационного нестационарного потока. В этом случае
центр завихренности движется по спиральным траекториям в отличии от гиперболических
нелокализованных траекторий в стационарном случае.
Рисунок
2.6
иллюстрирует
траектории
движения
локализованном и нелокализованном режимах движения.
83
центра
завихренности
при
Рисунок 2.6 - Траектории движения центра завихренности при локализованном
(слева) и неограниченно (справа) режимах движения.
Изучено
движение
центра
завихренности
пары
точечных
вихрей
произвольных
интенсивностей в нестационарном деформационном внешнем потоке. Показано, что при
отклонении центра завихренности от центра симметрии внешнего потока центр завихренности
начинает осциллировать относительно центра симметрии потока.
В случае совпадающей временной зависимости сдвиговой и вращательной компонент
внешнего потока показана интегрируемость уравнений движения центра завихренности. В случае
если среднее вращение превосходит средний сдвиг, центр завихренности движется по
эллиптическим траекториям. В противном случае движение неограниченно по гиперболическим
траекториям.
В случае если амплитуда осцилляций сдвига и вращения во внешнем потоке не совпадает
траектория движения центра завихренности описывается уравнением Риккати. Показано, что в
этом случае возникает явление параметрического резонанса. В резонансном режиме движение
центра завихренности неограниченно, но удаление от цента симметрии происходит по спирали и
значительно медленнее, чем в неограниченных стационарных режимах.
2.1.4 Вентиляция области топографического вихря захваченным свободным вихрем
Рассмотрим захват и высвобождение массы при взаимодействии топографического вихря
со свободным. Вихревой атмосферой вслед за [13] будем называть область ограниченных
траекторий жидких частиц в индуцированном вихревой структурой поле скоростей, предполагая,
что эта область движется вместе с вихрями или вместе со всей вихревой конфигурацией. Именно
взаимодействию вихревых атмосфер и, как следствие, вентиляции пассивной примеси внутри них
посредством адвекции, в том числе и хаотической [1, 2], посвящена данная работа.
Рассмотрим
фоновое
течение,
характеризуемое
постоянством
и
горизонтальной
однородностью потенциальной завихренности [1-3]. Задавая стратификацию, рельеф дна и
расходы на границах области, можно получить динамически согласованные функции тока таких
модельных течений в квазигеострофическом приближении.
84
Рассмотрим задачу построения фонового течения [1-3] в модели трехслойного океана на
f -плоскости. При наличии изолированной возвышенности рельефа дна, в слоях жидкости может
возникать
вихревое
движение
[1,2]
(такие
вихри
далее
по
тексту
называются
“топографическими”). Дополнительно в верхнем слое введем возмущение фонового потока в виде
сингулярного вихря (далее будем называть его “захваченным”), который также искажает границы
раздела и может приводить к появлению регулярных вихрей в среднем и нижнем слоях.
Взаимодействие топографического и захваченного вихрей приводит к сложному поведению
жидких частиц, захваченных ими.
Для описания квазидвухмерного движения жидкости удобно использовать потенциальную
завихренность, которую запишем для фонового потока в виде [1-3]:
1   1  f 0  f 0 / H1 1  1* ,
 2   2  f 0  f 0 / H 2  2   1   *2 ,
 3   3  f 0  f 0 / H 3  h  x, y    2   *3 .
Здесь
i
 i  ix  uiy
- постоянные потенциальные завихренности в слоях,
-
относительные завихренности в слоях с функциями тока  i ,  1 ,  2 - возвышения уровней раздела
между слоями, h  x, y  - топографическое возмущение дна, Hi - глубины слоев, f 0 - отсчетное
значение параметра Кориолиса, *i - постоянные, определяемые из условия минимума энергии
системы
[1-3].
В
верхнем
слое
добавим
сингулярное
возмущение
1  ( f 0 / H1 )   x  x*    y  y *  , где  x* , y *  - координаты центра захваченного вихря,  - его
интенсивность.
Полная потенциальная завихренность записывается как
1  1   1  f 0  k1  2  1   1* ,
 2   2  f 0   k21 1  2  k21  k22   k22 3   *2 ,
 3   3  f 0  k3  2  3   f 0 h  x, y  / H 3  *3 .
Здесь
k22 
k1 
f 02  2
1 2

,
R12 1 H1 g 1
k3 
f 02 3
1 3

,
R32  2 H 3 g  2
k21 
f 02  2
1 2

,
R22 1 H 2 g 1
f 02 3
1 3

, где Ri - внешние радиусы деформации Россби в i - ом слое. Уравнения
R22  2 H 2 g  2
для траекторий захваченного вихря имеют вид
 x*   1 / y x  x* ,
y  y*

 *
 y   1 / x x  x** .
y y

85
Для бароклинных и баротропных компонент функций тока в слоях нетрудно получить
выражения [14]


1  f 0 /   2   2   / H1 log  ri*   1 2   2 1   / H 3 log  ri  ,
  1  / H K 
   f /   1     / H K 
 2   f0 / 
3
2
0
где ri  xi 2  yi 2 и ri* 
2

/H K 

 1r   ,
0
k3  2  1ri*   1   2   / H 3 K 0
k3  2  1ri , (2.14)
1
0
k3   2
k3   2
x  x   y  y 
* 2
i

 1r   
1
* 2
i
*
i
2
 1  
3
0
i
.
Функции тока в слоях выражаются через
i
Uy ,
и безвихревое возмущение
обусловленное расходами на границах, как  i  Uy  1  i 2  i 3 , где 3  3  1 . Учитывая
(2.1.4.4), получаем:
 i  Uy 

f0 
 2   2  log  ri*    i   2  1 K 0
 H1 
f0  
    2 1  log  ri   i  1   2  K 0
 H3  1 2
Введем масштаб длины



k3  2  1ri*   i 1   2  K 0

k3  2  1ri   i  2  1  K 0
L   k3  2  1 
U /  f0 L    и безразмерные коэффициенты  
1/2

, масштаб скорости


k3   2  1ri*  


k3   2  1ri  .

U , число Россби
h0
f
 ~  ,   0 . При этом h0 / H 3 ~ O    H3
H1UL
требование квазигеострофичности, L ~ 1.3 104 м - характерный масштаб вихря, индуцируемого
топографией,
при
следующих
параметрах
слоев:
H1  200 м ,
H 2  800 м ,
H3  3000 м ,
1  1026.56кг / м3 , 2  1027.84кг / м3 , 3  1028.32кг / м3 . Безразмерные уравнения движения
жидких частиц в слоях имеют следующий вид:
 xi   i / y  W    yi  y* V1i  ri*  / ri*   yiV2i  ri  / ri ,


y   i / x     xi  x* V1i  ri*  / ri*   xiV2i  ri  / ri ,

 i

V1i   
где
V2i   

1
1
  2   2    i   2  1 K1     i 1   2 



1
1
 1 2   2 1    i  1   2  K1     i  2  1 



  2  1 K    2  1  
,
 2  1 1   2  1  
  2  1 K    2  1  
 2  1 1   2  1  
и W  W t  -
безразмерная скорость внешнего течения.
Используя (2.15), получаем уравнения движения свободного вихря в поле скорости
топографического:
86
 x*   1 / y x  x*  W   y*V21  r *  / r * ,
y  y*

 *
*
*
*
 y   1 / x x  x**   x V21  r  / r ,
y y

( r* 
x   y 
* 2
* 2
).
При любом не нулевом значении W0 в нижнем слое существует гиперболическая
стационарная точка и сепаратриса, отделяющая область с замкнутыми траекториями, тогда как в
верхнем и среднем слоях для появления регулярных особых точек, эллиптической и
гиперболической, скорость потока не должна превышать максимального значения азимутальной
скорости в соответствующем слое. Зависимости азимутальных скоростей V2i
от радиуса
приведены на рис.2.7. Далее положим W  0.2  , что обеспечивает существование сепаратрис,
или, другими словами, вихревых атмосфер топографического вихря во всех слоях, а их размеры
соответствуют мезомасштабным океаническим вихрям. На рис. 2.7б приведены линии тока
системы (2.16) при W  0.2  .
Движение жидких частиц описывается системой уравнений (2.15), в правую часть которой
нужно подставить решение системы (2.16). Тем самым мы имеем систему с одной степенью
свободы, правая часть которой периодическая функция времени, если сингулярный вихрь
верхнего слоя находится внутри сепаратрисы. Следовательно, система (2.15) не интегрируема
даже в случае постоянной скорости внешнего течения [1,14]. Несмотря на это, ответ на вопрос
существования хаотического транспорта не очевиден. Для установления хаотической природы
транспорта частиц в системе вычислим время захвата вихревой атмосферой частиц из внешнего
потока [1,14].
Здесь нам нужно уточнить понятие вихревой атмосферы. В стационарном случае
естественно считать вихревой атмосферой область замкнутых траекторий, ограниченную
сепаратрисой. В нестационарном случае траектории жидких частиц не совпадают с линиями тока
и возможен выход частиц в область внешнего течения, так же, как и захват частиц из внешнего
потока вихревой атмосферой. При малых нестационарных возмущениях в качестве границы
вихревой атмосферы удобно рассматривать сепаратрисный слой [1, 2]. В нашем случае
нестационарную часть функции тока нельзя считать малой, поэтому определим вихревую
атмосферу, как область, ограниченную в каждый момент времени в каждом слое замороженными
сепаратрисами, т.е. вычисляемыми в предположении, что функция тока зависит от времени как от
параметра при фиксированном значении этого параметра. При этом в сложной структуре
сепаратрис, как будет показано ниже, можно выделить часть, связанную с топографическим
вихрем, и часть, связанную со свободным вихрем, что позволяет говорить о вихревой атмосфере
топографического вихря и вихревой атмосфере свободного вихря. При таком определении
87
(2
вихревая атмосфера будет меняться со временем, оставаясь в каждом слое областью, в которой
замороженные линии тока замкнуты.
Рисунок 2.7 - а) азимутальная скорость V2i ( y0 ) для верхнего (сплошная
линия), среднего (штриховая линия) и нижнего (штрихпунктирная линия)
слоев; штриховая прямая - W0  0.2 . б) линии тока системы (2.16) в верхнем
слое, жирная линия – положение сепаратрисы системы.
Для выявления наличия хаотического транспорта в вихревой атмосфере топографического
вихря введем контрольную полосу, ограниченную линиями
x  7
и
x  5 . Частицы,
стартовавшие с левой границы, могут захватываться в окрестности вихрей, совершать в ней
несколько оборотов, а затем вымываться в проточную область. Если частица достигла правой
границы, она будет унесена на бесконечность и заведомо не вернется в окрестность вихрей. В
верхнем слое, на находящийся в проточной области отрезок между точками (-7,-11.75) (-7,-11.68),
помещалось 10000 маркеров, и далее регистрировалось время прохождения этих частиц через
правую границу контрольной полосы. На рис.2.8 приведен пример подобного расчёта, из которого
можно сделать вывод о фрактальном характере транспорта в системе, что является признаком
детерминированного хаоса [1, 2].
88
Рисунок 2.8 - Время захвата частиц из внешнего потока вихревой областью
для   0.1 , y1  0   4 . На основном рисунке ординаты концов отрезка
[11.75, 11.68] , на врезке [-11.7108,-11.71] . На врезке жирной серой линией
обозначена часть кривой с основного рисунка.
2.1.5 Влияние параметра  и начального положения захваченного вихря на динамику
системы
Рассмотрим классификацию режимов движения в системе (2.15). Зафиксируем параметр
   и будем менять коэффициент  в диапазоне значений [  ;  ] . При малом значении 
влияние захваченного вихря можно считать слабым: общая структура топографического вихря
меняется незначительно. При  ~  доминирующее влияние на пассивные маркеры оказывает
захваченный вихрь, и общая динамика становится похожа на движение, индуцированное
свободным вихрем во внешнем потоке. При промежуточных значениях  система проявляет
черты, как первого, так и второго сценария, но на разных временных интервалах. Схожее влияние
оказывает начальное положение захваченного вихря y*  0   y10 . Если начальное положение
близко к одной из замороженных особых точек топографического вихря, то при некоторых
89
значениях  эта особая точка сольется с одной из особых точек свободного вихря, и система
будет проявлять в большей мере черты свободного вихря во внешнем потоке. При отрицательных
значениях параметра  захваченный вихрь индуцирует вращение жидких частиц в направлении
противоположном индуцируемому топографическим, порождая сильное перемешивание, причем
характерные черты вихревой атмосферы свободного или топографического вихря пропадают.
Рисунок 2.9 - а) Зависимость скорости индуцированной вихрями в верхнем слое от
начального положения траектории на оси ординат в начальный момент времени
при y10  4 и значениях  :  - кривая 1, 0.5 - кривая 2, 0.1 - кривая 3, 103 кривая 4. б) Ордината регулярных особых точек (кривая 1 - гиперболическая точка
топографического вихря, 2 – гиперболическая точка захваченного вихря, 3 эллиптическая точка топографического вихря в зависимости от времени при
  0.5 и y10  5.5 .
.
На рис.2.9 приведена зависимость индуцированной вихрями скорости на оси ординат, как
функция начального положения на этой оси, также приведены зависимости ординаты
замороженных регулярных особых точек системы от времени. В случае малого   103
наблюдаются три регулярные неподвижные точки и одна сингулярная (центр захваченного вихря).
Две крайние соответствуют
особым точкам топографического вихря, третья является
гиперболической точкой захваченного вихря (находится рядом с сингулярной особой точкой). При
  0.1 наблюдается схожая ситуация: особые точки топографического вихря слабо отклоняются
от их положения в случае отсутствия захваченного вихря, однако его влияние уже достаточно
сильно. Вследствие этого динамика значительной области в окрестности сингулярности
представляет собой движение свободного вихря во внешнем течении. Случаи   0.5 и    уже
90
практически не отражают динамики, индуцированной топографическим вихрем, демонстрируя в
большей степени поведение свободного вихря во внешнем течении.
Рисунок 2.10 - Диаграмма количества регулярных особых точек с течением
времени в зависимости от параметров  и y10 : a)   0 ; б)   0 .
Приведенный выше сценарий отражает одну из множества картин, которые можно
наблюдать в системе (2.15), варьируя параметры  и y10 . На рис.2.10 приведена диаграмма
количества регулярных особых точек в зависимости от параметров  , y10 за один оборот
захваченного вихря. В верхнем слое всегда существует сингулярная точка захваченного вихря. С
течением времени одна или несколько замороженных регулярных особых точек могут исчезать.
91
Рисунок 2.11 - Времена жизни частиц при  ; y1  0   : а) 1.254;-3.8 ; б)
 0.705;-5.4  ; в)  0.135;-5.5 ; г)  0.435;-2.385 ; д)  2;-5 ; е)  0.28;-3.33 ; ж)
 2.5;-4  .
92
Рисунок 2.12 - Замороженные линии тока в указанные моменты времени при
 ; y  0 а)  0.705;  5.4  ; б)  0.705;  5.4  ; в)  0.135;  5.5 ; г)  0.135;  5.5 ; д)
1
 0.435;  2.385 ; е)  0.435;  2.385 ; ж)  2;  5 ; з)  2;  5 ; и)  0.28;  3.33 ; к)
 2.5;  4  ; л)  7;  4  средний слой; м)  25;  4 
Для
иллюстрации
эффективности
хаотического
средний слой.
транспорта,
при
каждом
наборе
параметров, соответствующих какому-либо оттенку на диаграммах Рис.2.10, на Рис.2.11
приведены времена жизни жидких частиц. Под временем жизни понимается время, которое
93
частица, изначально стартовавшая внутри сепаратрисы топографического вихря (жирная линия на
рис.2.7б), будет находиться внутри вихревой атмосферы до пересечения линии x  5 , после чего
она уносится на бесконечность внешним потоком. Такая характеристика наряду с накопленными
показателями Ляпунова [1] является индикатором интенсивности обмена между внешним потоком
и областью вихря. На рис.2.11 значения времен жизни приведены к начальному положению
частиц.
Количество
начальных
положений,
равномерно
распределенных
по
области
топографического вихря, выбирается равным 0 4 . Частица, не вылетевшая из вихревой области в
течение t  105 , считается регулярной. На рис.2.12 приведены замороженные линии тока в
указанные моменты времени. Жирной линией обозначена траектория захваченного вихря.
Далее рассмотрим каждый случай по отдельности:
a) одна гиперболическая точка за период оборота захваченного вихря (Рис.2.12а). Все
движение можно охарактеризовать, как движение свободного вихря, при этом топографический
выступает в роли генератора внешнего потока. Все маркеры, изначально находившиеся вне
области захваченного вихря, быстро выносятся из вихревой области. Вокруг захваченного вихря
существует интенсивное ядро невымываемых маркеров, а также стохастический слой.
Замороженные линии тока напоминают рис.2.7, деформирующийся со временем с сохранением
структуры.
б) одна, две либо три регулярные особые точки (рисунки 2.11а,б и 2.12б слабое влияние
топографического вихря). За период оборота захваченного вихря появляются и исчезают две
регулярные точки. В начальный момент времени существует три регулярные особые точки
(Рис.2.12а): пара – эллиптическая, гиперболическая - соответствующая топографическому вихрю,
а также гиперболическая точка захваченного вихря между ними. По мере приближения
захваченного вихря к эллиптической точке топографического наступает момент, когда эта точка
сливается с гиперболической точкой захваченного вихря. Далее эта слившаяся точка вырождается,
и в системе остается только одна регулярная гиперболическая точка, являющаяся парой для
сингулярного центра захваченного вихря (Рис.2.12б).
в) три регулярные точки (рисунки 2.12в,г и 2.11в, преобладание черт топографического
вихря). На протяжении всего оборота сохраняется начальная ситуация случая б). Систему (2.11)
можно рассматривать как топографический вихрь с большим возмущением в виде захваченного
вихря. На рис.2.11в видно, что в системе появляются долгоживущие частицы вне окрестности
сингулярного вихря. Это говорит о том, что перемешивание в таком случае менее интенсивно.
В случае вращения захваченного вихря в противоположном направлении, то есть   0
динамика претерпевает коренные изменения.
г) всегда существуют пять регулярных особых точек (рисунки 2.12д,е и 2.11г). В результате
противоположного топографическому вихрю направления вращения, захваченный вихрь вначале
94
имеет гетероклиническую структуру, при этом дополнительно образуется эллиптическая точка
выше захваченного вихря, а пара точек топографического вихря смещается ниже (Рис.2.12д). При
дальнейшем движении сепаратриса расщепляется на две, причем сохраняется индуцированная
область рециркуляции (Рис.2.12е). На этой части периода существует сложная проточная область
между двумя вихревыми структурами. Картина времен жизни приобретает достаточно сложный
вид, а эффективность выноса (и, следовательно, перемешивания) очень высока.
д) постоянно существуют три регулярные точки (рисунки 2.12ж,з и 2.11д). Динамическая
картина в таком случае аналогична предыдущему пункту, за исключением отсутствия
индуцированной зоны рециркуляции.
e) от трех до пяти регулярных точек (Рис.2.11е). Данный случай является промежуточным
между предыдущими двумя. На начальном этапе в системе существует три регулярные точки
аналогично рис.2.12ж, далее по мере движения захваченного вихря в системе сначала появляется
дополнительно эллиптическая точка ниже сингулярного вихря рис.2.12и, а затем общая для двух
регулярных эллиптических гиперболическая точка распадается на две и ситуация становится
аналогичной той, что изображена на рисунке 2.12е.
ж) существование от одной до трех регулярных точек (Рис.2.11ж). В начальный момент
времени картина линий тока аналогична рис.2.12ж, однако, в процессе движения область
топографического вихря вырождается (Рис.2.12к). Данный случай соответствует наиболее
интенсивному переносу жидких частиц. Действительно, на определенных временных интервалах
на всей области, изначально заполненной маркерами, существует только одна область
рециркуляции – захваченный вихрь.
Такая грубая классификация не может описать всех тонкостей динамики системы (2.11).
Однако, в целом видно, что при значениях  , удовлетворяющих условию квазигеострофичности,
в такой системе наблюдается очень интенсивный перенос, в том числе хаотический, и
перемешивание.
Следует отметить, что захваченный вихрь не является ни малым, ни даже конечным
возмущением для системы (2.11). Такой вывод интересен в связи с влиянием топографии на
хаотизацию движения жидкости в океане. В работе [15] рассматривается вихревая пара, при
наложении на нее пульсирующего внешнего потока она остается регулярной, а хаотические черты
начинают проявляться только в деформационном потоке. В [16] исследуется аналогичная пара
точечных вихрей, но закрепленных (модель топографической возвышенности у стенки). В этом
случае уже достаточно наложения однонаправленного пульсирующего внешнего потока для
возникновения хаотических режимов. В нашем случае для возникновения хаотических режимов
вообще не требуется нестационарности внешнего потока. При нестационарном же потоке будет
95
наблюдаться помимо хаотической адвекции жидких частиц также и хаотическая адвекция самого
захваченного вихря.
Показано, что при взаимодействии свободного и топографического вихрей наблюдается
эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря. Этот эффект определяется
двумя механизмами. Первым является хаотический транспорт. Наличие такого транспорта
показано с помощью анализа времен захвата жидких частиц из внешнего потока. Второй механизм
связан с перестройкой фазового портрета со временем. Это приводит к интенсивному обмену
между меняющими объем областями рециркуляции и проточной областью. Вклад каждого из
механизмов определяется положением захваченного вихря и его интенсивностью, при этом
динамика жидких частиц внутри топографического вихря значительно меняется.
При наложении на внешнее течение периодического по времени возмущения свободный
вихрь может захватываться топографией. При таком краткосрочном воздействии эффективность и
интенсивность вентиляции топографического вихря очень велика. Стратификация значительно
регуляризирует динамику системы в нижних слоях по сравнению с верхними.
2.1.6 Устойчивость относительного равновесия трех вихревых зарядов с нулевой
суммарной интенсивностью
Проведено качественное исследование относительного движения трех вихревых зарядов с
нулевой
суммарной
интенсивностью
во
вращающейся
бароклинной
жидкости
в
квазигеострофическом приближении в модели бесконечной по вертикали среды (атмосфера,
океан).
Дан
анализ
геометрии
и
линейной
устойчивости
относительно
стационарных
конфигураций (положений относительного равновесия) зарядов, результатом которого явилась
классификация движений по признакам числа, типа и линейной устойчивости этих конфигураций.
Определены бифуркационные значения параметров относительного движения вихревых зарядов,
при которых происходит перестройка формы движения.
Уравнения
движения
зарядов
получаются
редукцией
из
уравнений
эволюции
потенциального вихря и имеют вид гамильтоновой системы
где xi , yi – горизонтальные координаты зарядов,  i - их интенсивности,
где zi – вертикальная координата зарядов, N – частота Брента-Вяйсяля, f – параметр Кориолиса.
Про данную систему говорят, что она описывает абсолютное движение зарядов. Если же
интересоваться только эволюцией взаимных расстояний между зарядами, то мы будем иметь дело
96
с относительным движением. Именно этот тип движения изучается в работе. Уравнения
относительного
движения
получаются
из
уравнений
абсолютного
движения
методом
алгебраической редукции и имеют следующий вид:
где
m0
– удвоенная ориентированная площадь треугольника зарядов в проекции на
горизонтальную плоскость, mi – квадрат расстояния между зарядами, отличными от i -го также в
проекции на горизонтальную плоскость, Mi – квадрат расстояния между зарядами, отличными от
i -го. Ограничение системы относительного движения на многообразие уровня интегралов
движения называется приведенной системой.
Исследование стационарных точек системы относительного движения позволяет выделить
три их типа: сингулярные, когда два из трех вихрей слиты в один, точки, представляющие
равносторонние конфигурации зарядов, и точки, представляющие стационарные коллинеарные
конфигурации зарядов. Цель работы – изучение устойчивости данных точек равновесия.
Результаты об устойчивости собраны в таблицы устойчивости, в которых для каждого
набора параметров системы движения зарядов указаны число, тип и форма линейной
устойчивости положений относительного равновесия зарядов.
Таблица 2.1 — Разбиение приведенных систем по значениям интенсивностей и интеграла D для
случая z12  z31 .
Таблица 2.2 — Число, тип и устойчивость вертикальных стационарных конфигураций при
z12  z31 .
97
Таблицы 2.1 и 2.2 проиллюстрированы соответствующими фазовыми портретами
приведенных систем в каноничесаких координатах:
Рисунок 2.13 - Фазовые портреты приведенных систем, иллюстрирующие первый
сектор таблицы устойчивости.
Изучение движения вихревых зарядов впервые было предпринято в [17]. Однако оно
ограничивалось двумя вихревыми зарядами. Сложность задачи трех зарядов обусловлена
наличием дополнительных (в сравнении с классической задачей трех точечных вихрей)
параметров движения - высот (глубин) расположения зарядов. Более или менее полно обозреть
возможные типы движения в этом случае представляется проблематичным.
Настоящая работа посвящена изучению частного случая движения трех вихревых зарядов,
когда их суммарная интенсивность равна нулю. С физической точки зрения этот случай считается
наиболее интересным, ибо при генезисе зарядов источник потенциальной завихренности не
предполагается. Ранее этот случай движения в литературе не рассматривался. Аналогичная задача
для точечных вихрей рассматривалась в работах [18,19]. Предлагаемое исследование ограничено
качественным анализом относительного движения зарядов, причем основной акцент делается на
изучении геометрии и устойчивости положений относительного равновесия зарядов. Как и для
точечных вихрей, изучение относительного движения (то есть движения, при котором
98
учитываются только расстояния между зарядами) является первым и необходимым шагом в
изучении полного (абсолютного) движения зарядов. Отметим, что полный качественный анализ
относительного движения трех вихрей проведен сравнительно недавно [20, 23].
Рисунок 2.14 - Фазовые портреты приведенных систем, иллюстрирующие пятый и
шестой секторы таблицы устойчивости.
Список использованных источников
1 Кошель К.В., Пранц С.В. Хаотическая адвекция в океане // Успехи физических наук.
2006. Т.176, No 11. С. 1177 – 1206.
2 Хаотическая адвекция в океане / Кошель К.В., Пранц С.В. – М. : НИЦ Регулярная и
хаотическая динамика, 2008. – 360 с.
99
3 Козлов В.Ф., Кошель К.В. Хаотическая адвекция в моделях фоновых течений
геофизической гидродинамики // В книге Фундаментальные и прикладные проблемы теории
вихрей (ред. А.В. Борисов, И.С. Мамаев, М.А. Соколовский) - Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований. 2003. с. 469 – 502.
4 Izrailsky Yu.G., Koshel K.V., Stepanov D.V., Determination of optimal excitation frequency
range in background flows // CHAOS. 2008. Vol. 18. P. 013107.
5 Regular and Stochastic Motion / Lichtenberg A., Lieberman M. - New York, Springer-Verlag,
1983. – 720 pp.
6 Pierrehumbert R.T., Yang H. Global Chaotic Mixing on Isentropic Surfaces // J. Atmos.
Sci.1992. Vol. 50. P. 2462—2480.
7 Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Rep.1979.
Vol. 52. P. 263.
8 Koshel K.V., Stepanov D.V. Boundary effect on the mixing and transport of passive impurities
in a nonstationary flow // Technical Physics Letters. 2005. Vol. 31, No 2. 135—137.
9 Davies P.A., Koshel K.V., Sokolovskiy M.A., Chaotic advection and nonlinear resonances in a
periodic flow above submerged obstacle // Fluid Dynamics Research. 2008. Vol. 40. P. 695–736.
10 Zhmur V. V. and Pankratov K. K. Dynamics of a semi-ellipsoidal subsurface vortex in a
nonuniform flow // Oceanology. 1989. Vol. 29. P. 205—211.
11 Carlson B. C. and Gustafson J. L. Asymptotic approximations for symmetric elliptic integrals
// 1993. arXiv:math/9310223v1.
12 Dritschel, D.G., Reinaud J.N., McKiver W.J. The quasi-geostrophic ellipsoidal vortex model //
J. Fluid Mech. 2004. Vol. 505. P. 201–223.
13 Roenby J., Aref H. Chaos in body-vortex interactions // Proc. R. Soc. A. 2010. Vol. 466, No
2119. P. 1871—1891.
14 Рыжов Е.А., Кошель К.В. Вентилирование области топографического вихря
захваченным свободным вихрем // Известия РАН, Физика атмосферы и океана. 2011. Т. 47, No 6.
C. 263—274.
15 Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins S. An analytical study of transport, mixing and chaos in
an unsteady vortical flow // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 214. P. 347—394.
16 Козлов В.Ф., Кошель К В., Степанов Д. В. Влияние границы на хаотическую адвекцию в
простейшей модели топографического вихря // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41,
No 2. С. 242–252.
17 Гряник В.М. Динамика локализованных вихревых возмущений — «вихревых зарядов» в
бароклинной жидкости // Изв. АН СССР. ФАО. 1983. Т. 19, No 5. С. 467—475.
100
18 Rott N. Three-vortex motion with zero total circulation // ZAMP. 1989. Vol. 40, No 4. P.
473—494.
19 Гудименко А.И., Захаренко А.Д. Движение трех вихрей с нулевой суммарной
интенсивностью // ПМТФ. 2010. No. 3. С. 55—65.
20 Tavantzis J., Ting L. The dynamics of three vortices revisited // Phys. Fluids. 1988. Vol. 31,
No 6. P. 1392—1409.
21 Aref H. Stability of relative equilibria of three vortices // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21, No 9. P.
094101.
22 Aref H. Self-similar motion of three point vortices // Phys. Fluids. 2010. V. 22, No 5. P
057104.
23 Гудименко А. И., Захаренко А. Д. Качественный анализ относительного движения трех
вихрей // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, N. 2. С. 307—326.
24 Математические методы динамики вихревых структур / Борисов А.В., Мамаев И.С. – М.:
Институт компьютерных исследований 2005. – 386 c.
2.2 Исследование процессов переноса и перемешивания в прибрежной зоне океана,
вызванных нелинейными случайными внутренними волнами, а также механизмов,
лежащих в основе этих процессов
Исследования процессов переноса и перемешивания проводились по двум направлениям.
Первое направление связано с использованием численного моделирования для изучения эволюция
101
примеси нейтральной плавучести и завихренности у боковой границы в поле нелинейных
внутренних волн Кельвина. Второе направление связано с проведением натурных оптикогидрофизических экспериментов, направленных на исследование взаимодействия консервативных
маркеров (оптические слики) в прибрежной зоне Японского моря (МЭС “Шульц” ТОИ ДВО РАН),
с полем нелинейного внутреннего волнения.
При исследовании эволюции пассивной примеси в поле волновых пакетов ограничиваются
рассмотрением эволюции примеси в приповерхностном слое [1]. Часть работ посвящена
исследованию переноса пассивной примеси в приближении слоистой жидкости, как правило, 2-х
слойной [2,3], что не позволяет всесторонне раскрыть картину эволюции примеси по вертикали.
Для анализа трехмерной эволюции последней в поле нелинейных внутренних волн с помощью
численных моделей часто ограничиваются заданием постоянной по вертикали частоты плавучести
[4], что является довольно грубым приближением сезонного пикноклина. Кроме этого, согласно
ряду работ положение пикноклина, а также его ширина оказывают существенное влияние на
нелинейные свойства внутренних волн [5].
На основе численного моделирования проведено исследование взаимодействия пассивной
примеси с полем внутренних волн Кельвина (ВВК) у береговой черты. Для расчетов эволюции
первой моды внутренней волны Кельвина (ВВК) у вертикальной стенки на пикноклине
использовалась модель POM [6]. Она основывается на полных уравнениях термодинамики океана,
записанных в системе сигма-координт и сформулированных в приближениях Буссинеска и
гидростатики. Модуль расчета переноса пассивной примеси основывается на численной схеме
вверх по потоку, предложенной [7] и успешно применяемой при исследовании переноса
различных субстанций в прибрежной зоне [8]. Для расчетов использовалось высокое
пространственное разрешение (вертикальное и горизонтальное), что позволило уменьшить
влияние неявной схемной вязкости присущей используемой транспортной схеме. Распределение
частоты плавучести по вертикали аппроксимировалось трехпараметрическим профилем [9],
который характеризуется максимальным значением частоты Брента-Вяйсяля, шириной и глубиной
залегания пикноклина. Для этого
профиля
удается аналитически
вычислить
профили
вертикальной и горизонтальной (вдоль стенки) компонент скорости для различных мод [9]. В
качестве волнового возмущения принималась первая мода волны Кельвина, которая получается в
результате приспособления поля плотности к начальному возмущению поля скорости. В
дальнейшем исследовалась эволюция пассивной примеси в полученном выше волновом поле.
Начальная концентрация пассивной примеси имела гауссово распределение по горизонтали и
была постоянна по вертикали. Анализировалось два режима. В первом из них вклад от
адвективных членов в уравнениях переноса импульса (линейный режим) полагался равным нулю.
Во втором случае волновое возмущение задавалось в виде нелинейной внутренней волны
102
Кельвина, которое формировалась в результате нелинейной трансформации первой моды ВВК и
представляла собой нелинейное образование перед обрушением. В обоих случаях рассматривалось
волновое возмущение конечной длительности, которое единожды провзаимодействовав с полем
пассивной примеси, вновь использовалось в качестве возмущения.
Размеры идеализированного бассейна задавались равными 1200 км на 160 км. Сеточное
разрешение в поперечном направлении к вертикальной стенке варьировалось от 2 до 6 км, а вдоль
стенки задавалось постоянным и равным 4 км. Вертикальное разрешение модели принималось
равным 10 метрам при полной глубине бассейна в 500 метров. Для линейного и нелинейного
режимов ВВК профиль частоты плавучести характеризуется максимумом частоты Брента­Вяйсяля
0,012494 с-1, который расположен на глубине 200 метров, ширина профиля 250 метров.
Рассчитанная фазовая скорость первой моды равна 1,52 м/с при длине волны около 170 км.
Максимальная величина скорости продольной компоненты скорости равна 0,19 м/с. Характерный
поперечный масштаб волнового возмущения чуть более 30 км, что ослабляет влияние на перенос
примеси поперечной компоненты скорости.
В ходе исследования обнаружены два возможных сценария эволюции пассивной примеси в
зависимости от режима ВВК рис.2.15. Так, для обоих режимов на начальном этапе характерно
формирование “волнового” следа в поле примеси и увеличение ее концентрации в слоях, выше и
ниже пикноклина. Затем рост концентрации примеси наблюдается в области максимальных
вертикальных градиентов скорости. В дальнейшем в сценариях эволюции примеси появляются
различия. В линейном режиме ВВК примесь в приповерхностном слое переносится вдоль
пикноклина. Концентрация оставшейся части примеси в верхнем слое растет, а в слое ниже
пикноклина понижается, что говорит о переносе примеси в вертикальном направлении. В
дальнейшем оставшаяся часть примеси переносится вдоль пикноклина в направлении
распространения ВВК. В нелинейном режиме примесь из слоя выше пикноклина начинает
проникать в слой ниже пикноклина. Это приводит к увеличению концентрации примеси на
пикноклине и ее уменьшению в приповерхностном слое. Оставшаяся часть примеси, как и в
линейном случае, из нижнего слоя проникает в верхний слой. Однако, в отличии от линейного
случая не переносится вдоль пикноклина, а захватывается им и вновь проникает в слой ниже
пикноклина.
103
Рисунок 2.15 - Концентрация консервативной примеси после 10 (сплошные линии) и 42
(штриховые линии) взаимодействий с ВВК в линейном (а) и нелинейном (б) режимах.
На начальном этапе эволюции в обоих режимах в поле примеси формируется “волновой”
след и увеличивается ее концентрация в слоях над и под пикноклином, а также растет
концентрация примеси в области максимальных вертикальных градиентов скорости. На
последующих этапах формируются различия. В линейном режиме примесь в приповерхностном
слое переносится вдоль пикноклина. Концентрация оставшейся части примеси в верхнем слое
растет, а в слое ниже пикноклина понижается, что говорит о переносе примеси по вертикали. В
дальнейшем оставшаяся часть примеси переносится вдоль пикноклина в направлении
распространения ВВК. В нелинейном режиме примесь из верхнего слоя вовлекается в пикноклин
и ее концентрация в приповерхностном слое уменьшается. В это же время часть примеси из
нижнего слоя, как и в линейном случае, проникает в верхний слой. Однако, в отличии от
линейного случая примесь не переносится вдоль пикноклина, а захватывается им и вновь
проникает в слой ниже пикноклина.
104
Используя численную модель POM исследовано влияние поля ВВК на эволюцию
относительной завихренности. Проанализирован процесс переноса завихренности первой модой
ВВК на пикноклине в линейном и нелинейном режимах. Установлено, что для обоих режимов
характерен перенос завихренности в направлении волнового возмущения. В вертикальной
плоскости в слое выше пикноклина формируется область положительной завихренности в слое
ниже пикноклина отрицательная завихренность. Установлено, что скорость распространения
относительной завихренности выше в нелинейном режиме ВВК по сравнению с линейным
режимом.
Второе направление исследований связано с использованием современных видео и фото
средств для анализа морской поверхности. Это направление исследований интенсивно развивается
в последние годы, например работы в ИПФ РАН (Нижний Новгород) и направлено на
восстановление спектров ветрового волнения. Аналогичные исследования проводят украинских
коллег по набору статистики редких волн большой амплитуды. Однако использование оптикополяризацион-ных методов для мониторинга поверхностных проявлений внутренних волн и
вихревых структур в прибрежной зоне довольно новый подход, а регистрация выразительного
проявления внутренних волн на поверхности моря на полигоне МЭС “Шульц” ТОИ ДВО РАН
была выполнена впервые.
Оптическая регистрация поверхностных сликов осуществлялась с помощью двух
видеокамер: для панорамной съемки используется камера корейского производства KPC-S400B,
для поляризационной съемки камера немецкого производства PCO PixelFly. Камеры установлены
на обрывистом побережье полуострова Гамов, на высоте около 300 м над уровнем моря.
Мобильная видео и фотосъемка проводится с помощью цифрового фотоаппарата Canon PowerShot
S5 IS. Наблюдение за нелинейным внутренним волнением выполнялось с использованием
специально организованного многосуточного гидрофизического полигона, оборудованного
автономными заякоренными буйковыми станциями, оснащенными измерителями течений и
температуры.
Для
изучения поверхностных проявлений ВВ был поставлен натурный эксперимент,
который проходил с 28 августа по 30 сентября в районе полуострова Гамова. Для работы
использовались данные инструментальных измерений температуры с помощью семи измерителей
компании Onset. Ошибка измерений этим прибором не превышает 0,05°. Измерители размещались
на заякоренных буйковых станции (АБС_1,2,3), установленных на полигоне треугольной формы,
который распологался в окрестности изобаты 40 м прибрежной зоны полуострова Гамова
(Рис.2.16а).
105
Рисунок 2.16 - а) Карта-схема гидрофизического полигона для наблюдения за полем внутренних
волн; б) среднесуточные профили температуры и частоты плавучести на полигоне.
Регистрация температуры проводилась каждую минуту в течении месяца. Число отсчётов
составило 7х42000. На каждой из АБС_1,2,3 было размещено по два измерителя на горизонтах z=30, -20м, а на АБС_1 к двум был добавлен третий измеритель на горизонте z =-10м.
Предварительный анализ натурных данных по температуре показал, что 1) в низкочастотных
вариациях температуры на полигоне отчётливо прослеживаются три колебания из синоптического
диапазона с периодами около 10 дней; 2) каждая из 3 –х синоптических вариаций заполнена
колебаниями, среди которых доминируют колебания с периодами близкими к инерционному Т=1/
fk; 3) между инерционными колебаниями на станциях АБС_1 и АБС_2 надёжно фиксируется
положительный временной сдвиг τ~ 120 мин и небольшой неустойчивый сдвиг разных знаков
между станциями АБС_2 и АБС_3; 4) скорость распространения возмущений по трассе АБС_1-2
составляет величину около 0,5 м/с.
В начале эксперимента (29 августа 2010 г.) в районе полигона была выполнена суточная
станция (С_ст на рис.2.16а), на которой зондом CTD Sea-Bird SBE19 plus. с дискретностью 30 мин
было выполнено 49 вертикальных зондирований, в ходе которых измерялись гидрологические
параметры: температура, гидростатическое давление и электропроводность морской воды.
Ошибки измерений зондом не превышали 0,005° С по температуре и 0,0005 Сименс/метр по
электропроводности. Расчет условной плотности и частоты плавучести проводился по формулам
UNESCO (1983 г). Результаты показаны на рис.2.16б, где представлены среднесуточные профили
температуры и
частоты плавучести в районе полигона. С использованием среднесуточного
профиля частоты плавучести численно были рассчитаны параметры внутренних волн на полигоне.
Для высокочастотных внутренних волн с периодами из диапазона 7-10 мин групповая скорость
составила величину c  0,45(m / c) , а длины волн принадлежат диапазону 170-270 м.
106
В ходе натурного эксперимента проводились панорамная съёмка поверхности моря в
районе полигона. В ходе съёмок было зарегистрировано выразительное проявление на оптических
изображениях поверхности моря внутренних волн. На рис.2.17 представлены два изображения
поверхности моря, полученные панорамной камерой в 09 час. 14мин и 09 час. 29мин
Рисунок 2.17 - Панорамные изображения поверхности моря в районе гидрологического полигона,
полученные через 15 мин. 30.09.2010г. (а) и 09ч.29м 30.09.2010г. (б).
Стрелками показаны положения одного и того же фронта интенсивности через 15 минут.
Расчёты показывают, что расстояние между двумя положениями фронта составляет ~ 400 м.
Отсюда скорость распространения фронта интенсивности составляет с~0,45 м/с. Из рисунка также
следует, что пространственный масштаб неоднородностей освещённости составляет около 200 м, а
их временной масштаб Т порядка 7-8 мин. Сравнение полученного по панорамным изображениям
значения скорости распространения фронта яркости и скорости распространения внутренних волн
соответствующего частотного диапазона показывает хорошее соответствие между ними.
Предварительный анализ экспериментальных данных показал, что ВВ с амплитудами,
превышающими пороговое значение 2 метра и частотами 2πV/L , где V -скорость распространения
слика, а L -его пространственный масштаб, транспортируют поверхностные слики в направлении
распространения ВВ на морской поверхности прибрежной водной массы с выраженным сезонным
пикноклином (N_max = 40 ц/час), расположенным на горизонте z = H/2 , где H~40 метров.
Список использованных источников
107
1 Талипова Т. Г. Динамика нелинейных длинных внутренних волн в стратифицированной
жидкости: дис. д-ра физ.-мат. наук / Институт прикладной физики – Н. Новгород, 2004. – 358 c.
2 Le Sommer J., Zeitlin V. Tracer adjustment during the geostrophic adjustment in the equatorial
ocean // Chaotic dynamics and transport in classical and quantum systems. NATO Science Series. 2005.
Vol. 182. P. 413-429.
3 Bouchut F., Le Sommer J., Zeitlin V. Breaking of balanced and unbalanced equatorial waves //
Chaos. 2005. Vol. 15. P. 013503.
4 Bouruet-Aubertot P., Koudella C., Staquet C., et al. Particle dispersion and mixing induced by
breaking internal gravity waves // Dyn. Atm. Oceans. 2001. Vol. 33, № 2. P. 95-134.
5 Kao T.W., Pan F.S. and Renouard D. Internal solitons on the pycnocline: generation,
propagation, and shoaling and breaking over a slope // J. Fluid Mech. 1985. Vol. 159. P. 19-53.
6 Blumberg A.F. and Mellor G.L. A description of a three dimensional coastal ocean circulation
model // Three-Dimensional Coastal Ocean Models, Coastal and Estuarine Sciences. 1987. Vol. 4. P. 116.
7 Lin Shian-Jiann, Winston C., Sud Y. C., Walker G. K. A class of the vanleer-type transport
schemes and its application to the moisture transport in a general-circulation model // Mon. Wea. Rev.
1994. Vol. 122, № 7. P. 1575-1593.
8 Costas D., Davies Ian D., Triantafyllou G., et al. Large-scale impacts of bottom trawling on
shelf primary productivity // Cont. Shelf. Res. 2007. Vol. 27, № 17. P. 2198-2210.
9 Stepanov D.V., Novotryasov V.
Internal Kelvin wave frontogenesis on the equatorial
pycnocline // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2011. Vol. 105. P. 438-452.
108
2.3 Моделирование процессов переноса в океане, океанической коре, мантии и
процессов распространения звука в неоднородном океане
2.3.1 Математическое моделирование процессов тепломассопереноса в океанической
коре и мантии
Численное моделирование трехмерных стоксовых (ползущих) течений со свободной
границей, помимо многочисленных практических приложений (например, моделирование
трехмерной конвекции в мантии Земли), является одной из важных исследовательских проблем
гидродинамики при малых числах Рейнольдса. В настоящее время разработан ряд численных
алгоритмов ее решения. Однако при численном решении трехмерной задачи в переменных
«скорость–давление» неизбежно возникают трудности, связанные с точностью выполнения
условия несжимаемости и постановкой краевых условий на свободной границе. Разработан
численный метод, представляющий собой развитие на трехмерный случай эффективного
численного подхода к решению задачи Стокса, который обладает преимуществами традиционных
методов решения в переменных “векторный потенциал–завихренность” и “скорость–давление”.
Изучение флюидодинамических процессов в недрах Земли является одной из центральных
задач геологии и геофизики. В процессе адвекции флюида, в результате охлаждения
растворимость содержащихся в нем компонент уменьшается, что приводит к выпадению в осадок
твердых веществ и выделению жидких и газообразных компонент. Таким образом, могут
формироваться месторождения полезных ископаемых и углеводородов и т.д. Все эти явления
нуждаются в адекватном описании на языке механики сплошных сред. Основная сложность
построения моделей осаждения связана с разными температурами флюида и вмещающей породой:
уравнение теплового баланса должно определяется отдельно для твердой и жидкой фаз, и в них
должны быть введены дополнительные члены, характеризующие межфазный тепло- и
массообмен. Хотя возможность построения таких моделей теоретически обоснована, варианты их
практической реализации единичны. Разработана численная модель осаждения твердой
компоненты на основе уравнения вязкой компакции с учетом процессов межфазного тепломассопереноса.
Изучение многослойных течений вязкой жидкости в длинноволновом приближении
связано со значительными трудностями: задача сводится к системе квазилинейных уравнений
относительно границ слоев, в которой учитывается взаимное влияние течений в слоях. Как
показали результаты моделирования двухслойных течений, слоистая структура течения приводит
к нетривиальной труд но предсказуемой эволюции на больших временах. Детальное исследование
этой проблемы в нелинейной постановке еще не проводилось. Проведено исследование полной
нелинейной системы для осесимметричного течения двухслойной вязкой жидкости. С помощью
метода малого параметра исследуется эволюция течения на больших временах. В качестве
109
приложения полученных результатов выполнен расчет глубинного профиля границы кора-мантия
под крупномасштабной кольцевой структурой на Луне.
В поле силы тяжести рассмотрим трехмерную область D с границей  , заполненную
вязкой несжимаемой жидкостью. Медленное (ползущее) течение с переменной вязкостью и
плотностью описывается уравнениями движения вязкой жидкости в приближении Стокса:
 p  2    def u    g  0
u  0
где I — единичный тензор; g — ускорение силы тяжести;  — коэффициент вязкости жидкости;
—
плотность
жидкости;
u—
вектор
скорости;
p—
давление;
def u — тензор скоростей деформации. Пусть  состоит из двух частей:   1 2 . На части 1
зададим условие полного прилипания или гладкого контакта, а на 2 — условие на подвижной
границе. Если существуют внутренние границы разрыва вязкости и/или плотности, на них
задаются условия непрерывности скоростей и напряжений.
Уравнения системы (2.17)-(2.18) и граничные условия позволяют записать основное
интегральное тождество (принцип виртуальных работ):
J (u, v) = C(u, v)  P  v   F( v)  0 ,
где v — произвольное трехмерное векторное поле; C(u, v) = 2  def u def v dx1dx2 dx3
—
D
мощность внутренних напряжений; P( v)   p   v dx1dx2 dx3 — работа, совершаемая давлением;
D
F( v)   f  v dS    g  v dx1dx2 dx3 — работа внешних поверхностных и массовых сил.
2
D
Так как C(u, v ) — симметричный и положительно определенный оператор, то решение
краевой задачи для уравнений (2.17)-(2.18) существует и единственно. Если перейти к
эквивалентной задаче минимизации, искомое решение является минимумом функционала
 J(u, u)  F(u) на пространстве соленоидальных функций.
Численное решение задачи Стокса определялось методом конечных элементов. Для решения
конечноэлементной
задачи,
получающейся
в
результате
дискретизации
функционала,
использовался модифицированный метод проекции градиента. Особенностью предлагаемого
метода является достаточно точное соблюдение условия несжимаемости в каждом элементарном
объеме. Благодаря улучшенной аппроксимации давления удается устранить дополнительную
погрешность, связанную с приближенным выполнением этого условия и характерную для
большинства разработанных ранее методов решения в естественных переменных.
110
Рисунок 2.18 - Поле скоростей, давление и невязка численного решения на
верхней границе трехмерной области. Верхняя граница области является
свободной, боковые границы — гладкие неподвижные стенки, а нижняя
граница жестко закреплена. К верхней границе приложена периодическая
(по пространству) нагрузка.
Рисунок 2.19 - Поле скоростей, давление и невязка численного решения на
срезе. Давление изображено изолиниями, а невязка – фоном.
111
Предлагаемый численный метод, сочетающий метод конечных элементов с методом
проекции градиента, тестировался на решении трехмерной задачи Стокса в естественных
переменных с переменной нагрузкой на верхней границе [1].
Рассмотрим двумерную область, заполненную флюидонасыщенной вязкой средой в поле
силы тяжести. Предположим, что твердая фаза состоит из скелета и осаждаемой компоненты с
плотностями, соответственно,
m ,  s , скорости которых равны. Жидкая фаза представляет собой
флюид с плотностью  f , в котором растворена эта компонента с массовой концентрацией c .
Движение этой многофазной среды описывается следующими уравнениями:
1


 p  2   1 def u     1  u     2  u    g  0,
3


p  DV  2 m2 g  0,
где g — ускорение силы тяжести, u — скорость скелета, def u — тензор скоростей деформации
(если обозначить через ui компоненты скорости u , то компоненты def u равны
ui , j  u j ,i
2
, i  1, 2 ),
p — давление, 1 ~ 2 – коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости скелета, D   f / k —
гидравлическое сопротивление среды,  f - вязкость флюида, k  k022 — проницаемость скелета,
  1  2 , 1 , 2 — плотности твердой и жидкой фаз, 1 , 2 — объемные концентрации осадка и
флюида, m ,  s ,  f — коэффициенты терморасширения скелета, осадка и флюида (для простоты
предположим, что m  s ), T1 , T2 — температуры твердой и жидкой фаз, (по Кельвину), T1* , T2* —
температуры скелета и флюида в начальный момент (по Кельвину).
Уравнения массопереноса имеют следующий вид:
10 1  1  2 
111
    10 1  1  2  u   0,
    111 u   J12  0,
t
t
 20 2
c  20 2
     20 2 u  V    0,
   c  20 2 u  V    J12  0.
t
t
(2.20)
где J12 — скорость фазового перехода между осадком и раствором.
Предположим, что компоненты твердой фазы имеют одинаковую температуру. Для
простоты мы не рассматриваем в модели плавление осадка и пренебрегаем затратами тепла на его
растворение и осаждение, а также диссипативным нагревом скелета. Предположим, что
теплоемкости скелета и осаждающейся компоненты одинаковы. Тогда тепловой баланс среды
описывается следующими уравнениями:
T
1C1 1   1C1  u T1   1T1  Q21  J12 U 21  C1T1  ,
t
T
2C2 2   2C2  1  2  u  V  T2   1T2  Q12  J12 U12  C2T2  ,
t
где Ci – удельные теплоемкости твердой и жидкой фаз:
112
i - коэффициенты теплопроводности
(2.21
твердой и жидкой фаз, Q ji - приток тепла через межфазную границу (из j –той в i –тую фазу),
U ji – удельная внутренняя энергия, переходящая из j –той в i –тую фазу.
В данной модели предполагалось, что, в процессе эволюции, раствор постоянно находится
в насыщенном состоянии. Тогда существует функциональная зависимость c от T2 (зависимостью
от давления мы пренебрегаем): c  c0   T2 .
Используя условие баланса для межфазного теплообмена исключим Q12 и U12 , решим
уравнение концентрации из системы (2.20) относительно J12 и подставим полученное значение в
остальные уравнения (2.19)-(2.21). Пренебрегая произведениями малых величин  i , i ,  , c , i ,
после некоторых преобразований получим:
 u    V 
2 
T1  T2   0,
C2 11 1  c 
1
2 

T1  T2   0,
t C2 11 1  c 
2
   V  0,
t
  C T  T  
T1


 T1  u  1 T1  2 T1  T2  1  1 2 1   0,
t
10C1
10C1
C2 1  c  

2
 1  c 
  1  c 
T2
 T2  V  2
T2  2
T1  T2   0,
t
 20C2
 20C2
Уравнение эволюции температуры твердой фазы отличается от ранее используемого
уравнения, дополнительным членом с множителем  , который характеризует нагревание твердой
фазы за счет более высокой температуры осаждаемой компоненты. Для численного решения
системы (2.22) использовался модифицированный метод конечных элементов в сочетании с
методом проекции градиента.
Решена следующая модельная задача, которая использовалась для исследования
флюидодинамики в мантии зоны перехода океан-континент [8,9]. На нижней задан постоянный
поток флюида, а на верхней границе – переменный коэффициент дренирования.
113
Рисунок 2.20 - Поле температур и направления флюидного потока для модели
осаждения в мантии Курило-Камчатского региона. В пунктирных изолиниях показано
распределение температуры флюида. Фоном показано распределение объемной
концентрации осаждаемой компоненты. В изолиниях показано распределение
температуры. Стрелки - направления потока флюида. На верхнем графике показан
коэффициент дренирования. Расстояния и глубины указаны в километрах, а
температуры скелета и флюида - в тысячах °С.
Рассмотрим вязкую жидкость в поле силы тяжести, состоящую из двух слоев с
постоянными плотностями и вязкостями i , i , i  1, 2 , которые ограничены поверхностями
раздела Zi , i  0, 2 . Пусть течение создается осесимметричным начальным рельефом поверхности
и границы раздела слоев. Для описания движения жидкости в каждом слоем использовались
уравнения в приближении смазочного слоя, полученные в предположении, что горизонтальный
масштаб возмущений существенно больше вертикального и плотность не убывает с глубиной.
p i  2ur

,
r 0 z 2
p
  i ,
z
ur u z

 0,
r
z
На границах между слоями задавались условия непрерывности скоростей и напряжений:
ur   0,  p



 u 
 0,   r   0, z  Zi  r , t  , i  1, N  1
 z  
На верхней границе задавалось условие свободной поверхности. На границах слоев
задавалось условие отсутствия перетока массы:
114
uz 
Zi
R Zi
ur 
 0, i  0,1
r
u0t0 t
В качестве масштаба времени выберем величину t0 
R
u0 2
, где  2  2  1 безразмерная
разность плотностей слоев. Решая уравнения (2.23)- (2.25), после некоторых преобразований
получаем уравнения для Zi  r , t  :
где Aij  Aji 
2
2
2
 hi  hj 
l i
m j
1
hk
k  j k 1   jk   ij
2
Z1 1   
Z
Z  

r  A11 1   2 A12 2   ,

t r r  
r
r  
2
Z 2 1   
Z
Z  

r  A21 1   2 A22 2   ,

t
r r  
r
r  
, (i  j , i, j  1,2) , hi  Zi 1  Zi ,  ij - символ
Кронекера.
Для реальных значения плотностей в коре и мантии Земли и других твердых планет,
величина  2  0.1 является малым параметром. С помощью асимптотического анализа было
получено, что в эволюции двухслойного можно выделить два различных режима: быстрая
эволюция на малых временах, переходящая в медленно изменяющуюся (квазистационарную)
фазу. Представляя приближенное решение (2.26) в виде асимптотических разложений
Zi  zi 0   2 zi1 
, получим систему уравнений, которая описывает эволюцию течения на
больших временах.
0
1   
z11
z20  
r
A
0,
z

A
0,
z




11
20
12
20

 ,
r r  
r
r  
z20 1   
z11
z20  

r
A
0,
z

A
0,
z




21
20
22
20

 ,
t
r r  
r
r  
Решая эту систему, предполагая, что вязкость верхнего слоя много больше вязкости
нижнего, получим
z11 

z20  H
Z  2H
Z  2 z20 
 3 Z 3  arctan 3
 arctan 3
,
2
3
Z
3
Z
3
3


3
z 202  z20  Z 3 
z20 1  
z20 
r
.

t
4r r   z20  Z 3 2  3  z20  Z 3  z20  3z 2 r 
20


115
Таким образом, на больших временах эволюции границ зависимость между z11 и z20
получается почти функциональной. Краевые условия оказывают слабое влияние на эту
зависимость.
В качестве приложения был выполнен расчет профиля границы раздела кора-мантия кольцевой структуры Orientale на Луне [4-6]. Согласно данным наблюдений, эта кольцевая структура
образовалась из первоначального кратера, форму и время образования которого можно оценить
лишь приблизительно. Очевидно, что для непосредственного наблюдения доступна лишь
топография поверхности, а профиль границы кора-мантия на глубине порядка 50-60 км может
быть получен только с помощью различных методов интерпретации.
Рисунок 2.21 - Рельеф поверхности кольцевой структуры и профили границы
кора—мантия, полученные гравиметрическими методами: методом
аппроксимации границы многогранниками (пунктирная линия с
квадратными маркерами), с помощью сферических функций (пунктирная
линия с треугольными маркерами) и с помощью асимптотического
приближения (сплошная линия с круглыми маркерами).
Разработан модифицированный метод решения трехмерной задачи Стокса в естественных
переменных методом конечных элементов в сочетании с методом проекции градиента, который
обладает преимуществами как метода “векторный потенциал–завихренность”, так и метода
“скорость–давление”. Как показано в численных примерах, предлагаемым методом задача
гидростатики решается точно, тем самым достигается надежность и устойчивость численного
счета.
116
Разработана численная модель для исследования осаждения твердой компоненты в
процессе фильтрации раствора в вязком скелете. Применение двухтемпературной модели
к
исследованию процесса образования температурной аномалии в мантии Курило-Камчатского
региона позволило получить ряд качественно новых эффектов в процессе образования
температурной аномалии, по сравнению с однотемпературной, и получить численные результаты,
согласующиеся с экспериментальными данными.
Проведено исследование системы нелинейных параболических уравнений, описывающих
эволюцию осесимметричного медленного течения двухслойной вязкой жидкости со свободной
поверхностью. создаваемого начальным рельефом границ слоев. С помощью метода малого
параметра показано существенное различие эволюции течения на малых и больших временах
возможно
лишь
при
наличии
перепада
плотностей
между
слоями.
Из
результатов
асимптотического анализа следует, что движения поверхности и границы раздела слоев жидкости
на больших временах связаны зависимостью, близкой к функциональной. В качестве приложения
был выполнен расчет профиля границы раздела кора-мантия кольцевой структуры Orientale на
Луне.
2.3.2 Модель трехмерной бидиффузионной конвекции с ячейками произвольной
формы
Рассмотрим трехмерную бидиффузионную конвекцию в бесконечном по горизонтали слое
несжимаемой жидкости в окрестности точек бифуркации Хопфа. Нашей целью является вывод
амплитудных уравнений методом многомасштабных разложений для вариаций амплитуды
конвективных ячеек. Форма ячеек задается как суперпозиция конечного числа конвективных
валиков с различными волновыми векторами. При этом учитывается, что в трехмерном случае
взаимодействие конвекции с полем горизонтальной завихренности играет существенную роль в
динамике системы. Уравнения моделируются численно псевдоспектральным ETD методом.
Исходные уравнения для момента импульса жидкой частицы, а также диффузии
температуры и соли в жидкости таковы:
 t v  ( v) v =   1p v  g ,
 tT  ( v)T = T ,
 t S  ( v) S = DS ,
div v = 0.
где v(t , x, y, z ) – поле скоростей жидкости, T (t , x, y, z ) – температура, S (t , x, y, z ) – концентрация
соли, p(t , x, y, z ) – давление,  (t , x, y, z ) – плотность жидкости, g – ускорение свободного
падения, 
– кинематическая вязкость,  – температуропроводность, D – коэффициент
диффузии соли. Использована декартова система координат с горизонтальными x и y
117
координатами, ось z направлена вертикально вверх и время обозначено через t. Жидкий слой
подогревается и подсаливается снизу.
Исходные уравнения обезразмериваются с использованием приближения Буссинеска и
следующих параметров:  =  / – число Прандтля (   7.0 ),  = D/ – число Льюиса ( 0 <  < 1 );
RT = ( g h3 / )T и RS = ( g h3 / )S – температурное и соленостное числа Рэлея.
Конвекция рассматривается в  2 окрестности точек бифуркации Хопфа, где числа Рэлея
таковы, что RT = RTC (1   2 rT ) и RS = RSC (1   2 rS ). Нижний индекс “C” обозначает критические
величины, rT и rS - параметры порядка единицы, малый параметр  описывает надкритичность
системы. Для вывода амплитудных уравнений используется метод многомасштабных разложений,
согласно которому вводятся медленные переменные:
T =  t , T2 =  2t , X =  x, Y =  y.
Зависимые переменные полагаются зависящими от t , T , T2 , x , y , z , X , Y , также
вводятся продолженные производные обычным способом. Решения для зависимых переменных
ищутся в форме асимптотических рядов по степеням малого параметра. После их подстановки в
исходные уравнения собираются члены с одинаковыми степенями  , и в итоге получаются
системы для определения членов рядов. Из условия совместности этих систем уравнений
(отсутствия секулярных членов), мы получаем искомые амплитудные уравнения.
При первом порядке  получается линейная система с решением в виде суперпозиции
нормальных валиковых мод
n
w1 =  Aj ( X  Y  T , T2 )e
t  ik j x
sin  z  c.c.
j 1
для вертикальной скорости и других переменных. Здесь k j  (kaj , kbj ) - волновой вектор для
валиковой моды с номером
j . Например, для ячеек квадратного типа справедливо
w1 = ( A1eikx  A2eiky )et sin  z  c.c. . После подстановки этих выражений в исходную систему
уравнений в частных производных получается система алгебраических уравнений с условием
совместности
в
виде
кубического
уравнения
по
отношению
к
параметру
λ:
(   щ 2 )(  щ 2 )(   щ 2 )   (k 2 /щ 2 )[ RS (  щ 2 )  RT (   щ 2 )] = 0. Здесь щ 2 = k 2   2 - квадрат
полного волнового числа. Это уравнение известно как дисперсионное соотношение и имеет три
корня, два из которых могут быть комплексно-сопряженными. В случае рассматриваемой
бифуркации Хопфа действительная часть комплексно-сопряженных корней обращается в ноль.
Это справедливо когда
RTC =
 
щ6
RSC  2 (1   )(   ),
1 
k
118
2 =
1 
k2
 RSC 2   2щ 4 .
1 
щ
При  2 получаются системы с нелинейной правой частью, резонирующей с решениями в
виде нормальных валиковых мод так, что нарушается регулярность асимптотических разложений
для основных переменных. Условия отсутствия секулярных членов в данном случае приобретают
вид амплитудных уравнений
AjT  20 (ikaj AjX  ikbj AjY )  (ikaj Y  ikbj  X ) Aj  0 
^
j  1…n .
^
Здесь  – горизонтальная функция тока ( u1  Y  v1   X ), зависящая только от
медленных переменных. Также для устранения других секулярных членов типа констант в правых
частях уравнений необходимо потребовать T  0 .
Система уравнений при  3 приводит к следующему искомому семейству амплитудных
уравнений:
^
1

2

A

rA

(
k


k

)
A



A

i
k

G
j (  ) A j  J (  A j )  N j ( A) 
j
aj X
bj Y
j
0  j
3
 T2 j
k2

2 n ^

(




)



J
(



)

G j ( Aj 2 ) 
 T2



2 
k j 1

^
2
2
2
G j ( f )  [(kaj  kbj ) f XY  kaj kbj ( fYY  f XX )]  k , J ( f )  ( X fY   Y f X ).

Где  f  f XX  fYY – Лапласиан по медленным переменным.  i – комплексные коэффициенты,
для которых получены замкнутые, но достаточно громоздкие аналитические выражения. Индекс
j  1…n обозначает номер моды. N j ( A) – комбинации кубических нелинейных членов:
n
n
n
n
N j ( A)   2 Aj   Aq 2      (kq  k p  km  k j )C (1)
jmqp Am Aq Ap 
q 1
m 1 q 1 p  q 1

(3)

 (kq  k p  km  k j )C (2)
jmqp Am Aq Ap   ( k q  k p  k m  k j )C jmqp Am Aq Ap 


(5)
  
 (kq  k p  km  k j )C (4)
jmqp Am Aq Ap   ( k q  k p  k m  k j )C jmqp Am Aq Ap 
 
(7)
 
 (kq  k p  km  k j )C (6)
jmqp Am Aq Ap   ( k q  k p  k m  k j )C jmqp Am Aq Ap 


 (kq  k p  km  k j )C (8)
jmqp Am Aq Ap  .
s)
C (jmqp
( s  1 8)
–
комплексные
коэффициенты,
функция
 ( x)
определена
как:
 (0)  1,  ( x)  0, if x  0. Это семейство амплитудных уравнений зависит от множества n
^
волновых векторов k j определяющих форму конвективных ячеек. Оператор G j в уравнениях
описывает взаимодействие конвекции с полем горизонтальной завихренности, генерацию вихря
вследствие конвекции. Если пренебречь всеми членами с функцией тока  и устранить
зависимость от переменной y, полученная система редуцируется к хорошо известному
комплексному уравнению Гинзбурга-Ланаду (CGL):
119
AT = rA   5 AXX   2 A | A |2 .
2
Однако в нашем случае ширина конвективных ячеек изначально неограниченна и может
быть разной при различных числах Рэлея, в силу чего значение коэффициента 5 получается
более общим.
Для численного моделирования написаны пакеты программ на MATLAB на основе
современных ETD (exponential time differencing) псевдоспектральных методов для исследования
валиковой конвекции, а также конвекции с квадратными и гексагональными ячейками.
1 - одномодовые уравнения в области 25×25 для T=20, показан модуль
амплитуды |A(T,X,Y)|, начальные условия – случайный шум с амплитудой 10-4
(слева), 2 - трехмодовые уравнения в области 15×15 для T=15.427, показан
модуль функции тока |Ψ(T,X,Y)| (справа).
Рисунок 2.22 - Численные решения одномодовых и трехмодовых уравнений. В обоих
случаях граничные условия – периодические, сетка – 256 на 256 точек.
Численное моделирование показало, что конвекция в рассматриваемой системе имеет вид
вытянутых “облаков” или “нитей” (Рис.2.22, справа). В случае двух и более мод достаточно
быстро развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное
состояние разрушается и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по
времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности (Рис.2.22,
слева).
120
Рисунок 2.23 - Численное решение одномодовых уравнений в области 15×15, показан
модуль амплитуды |A(T,X,Y)|, начальные условия: A = 2exp(-0.5(X2+Y2)). Для
значений времени T=2, 4, 16 (слева направо). Граничные условия – периодические,
сетка – 256 на 256 точек.
Полученные
результаты
позволят
глубже
понять
особенности
процессов
тепломассопереноса в океане и атмосфере, существенным образом влияющие на климат и
миграцию разнообразных примесей. Позволят более адекватно описывать конвективные и
вихревые структуры, возникающие в физических системах с конвективной неустойчивостью, а
также могут быть основой для построения более продвинутых моделей такого рода.
По результатам исследований можно отметить следующее:
1.
Получено
семейство
амплитудных
уравнений,
описывающее
трехмерную
бидиффузионную конвекцию в бесконечном слое жидкости, взаимодействующую с полем
горизонтальной завихренности для ячеек в виде конечной суперпозиции валиковых мод.
2.
Развит
подход
к
вычислению
коэффициентов
амплитудных
уравнений
для
бидиффузионной конвекции, позволяющий получать сравнительно компактные формулы.
3. При переходе к одной пространственной переменной получается комплексное уравнение
Гинзбурга-Ландау для двумерной бидиффузионной конвекции при произвольной ширине
конвективных ячеек.
121
4. Из структуры полученных уравнений можно понять, что в 3D случае взаимодействие
конвекции с полем горизонтальной завихренности играет существенную роль.
5.
Для
численного
моделирования
полученных
систем
амплитудных
уравнений
разработаны численные схемы на основе современных ETD (exponential time differencing) методов.
Написаны программы на MATLAB для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с
квадратными и гексагональными ячейками.
6. Численное моделирование показало, что конвекция в рассматриваемой системе имеет
вид вытянутых “облаков” или “нитей”. В случае двух и более мод достаточно быстро (за время
порядка T=15) развивается состояние диффузионного хаоса, когда первоначальное симметричное
состояние разрушается и конвекция становится нерегулярной как по пространству, так и по
времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески завихренности.
2.3.3 Моделирование распространения звука в неоднородном океане
Проблема сохранения потока мощности в методе параболического уравнения была
предметом рассмотрения в многих работах (см., например, [7]). В этом разделе мы покажем, что
система уравнений, выведенная систематически методом многих масштабов, дает параболическую
аппроксимацию, сохраняющую поток мощности во всех порядках малого параметра. Выведенная
система асимптотически свободна от фазовых ошибок, присущих методу параболического
уравнения.
Мы рассмотрим распространение звука, описываемое уравнением Гельмгольца
1  1  1 2
 ux    uz   k u  0,
  x   z 
где u - акустическое давление,    ( x, z ) - плотность и k  k ( x, z ) - волновое числоs, в
двумерном волноводе с мягкой верхней границей при z  0 и жесткой нижней границей при
z   H (x) , ось z направлена вверх.
Пусть  - малый параметр (отношение типичной длины волны к типичным размерам
неоднородностей волновода). Метод многих масштабов, примененный к уравнению (2.27) с
медленными переменными
переменной  
1

X  x ,
Z   1/ 2 z
(параболическое шкалирование, и быстрой
( X , Z ) с предположением, что k 2 зависит только от медленных переменных,
1 
дает представление акустического давления в виде u  exp  ( A0  A1   2 A2  ) , уравнение
 
 Z  0 , так что  зависит только от X , уравнение Гамильтона-Якоби  X  k , и следующие
уравнения для амплитуд A j :
122
2i
где
k0
и 
1
  1 
1

1 
k0 AjX   AjZ   i  k0     Aj   Aj 1, X   0,


Z     X  

X
1
- компоненты разложения
k 2 ( X , Z )  k02 ( X )  ( X , Z ) ,
A1
предполагается
тождественно равным нулю.
Система уравнений (2.28) для j  0, n составляет параболическую аппроксимацию для
уравнения (2.27) порядка n . Она может быть преобразована в одно уравнение для количества
Bn  A0     n An , что будет рассмотрено в последующих работах.
Поток энергии через вертикальную границу есть
0
I
1
1
Im(u xu * )dz ,

2 H ( x ) 
1 
где  - круговая частоа. Записанный для представления u  exp  ( A0  A1   2 A2  ) , он
 
может быть разложен в виде
I  I 0  I1  .
Сохранение потока мощности состоит в равенстве I x  0 , и под сохранением потока
энергии в порядке n мы будем понимать равенство I n, X  0 .
Со всем этим, предполагая также, что H  H (x)  H ( X ) , верна следующая
Теорема 0.1. Решение начально-краевой задачи для параболической аппроксимации
порядка n с граничными условиями
Aj  0 при
z  0,
AjZ  H X k0 Aj  H X Aj 1, X  0 при
z  H
сохраняет поток энергии в порядке n , и, следовательно, по индукции, во всех порядках j ,
0  j  n.
Замечание 0.1. Граничные условия (2.29) впервые появились (в частном случае
стандартного
узкоугольного
параболического
уравнения,
то
есть
для
параболической
аппроксимации порядка 0) в работе [10].
В слоистой среде, т.е. когда параметры k 0 и  независимы от X , мы можем искать
решение параболической аппроксимации порядка n виде
Al  Cl ( X ) ( z), l  0,
, n.
Для конкретности, мы будем рассматривать начально-краевую задачу для параболической
аппроксимации порядка n в волноводе с мягкой границей z  0 и жесткой границей z  H ,
123
начальные условия будут C0 (0)  1, Cl (0)  0, l  1,, n 1 . Подставляя анзац (2.30) в уравнения
(2.28), мы находим, что C0  exp(iX ) , где  - собственное значение спектральной задачи
1  1
1
  z     2 k0

  z 
и Cl для l  1,, n  1 удовлетворяют следующим уравнениям
2ik0ClX  2 k0Cl  Cl 1, XX  0.
Мы видим, что собственные функции совпадают с собственными функциями спектральной
задачи для уравнения Гельмгольца
1

1 2
1 2
 z   k   2  H ,

  z 
и что
 H2  2 k0  k02 .
Предложение 0.1. Решение начально-краевой задачи для уравнений (2.32) имеет форму
Cl  Dl exp(iX ) , где Dl дается системой рекуррентных соотношений
Dl  
X

1 
2
 Dl 1, X  2i Dl 1    Dl 1dX  Dl 1, X (0)  .
2ik0 
0

Предложение 0.2. Dl есть полином степени l .
Имеет место
Теорема 0.2. Функции expi(  k0 ) X ( D0   Dn ) равномерно сходятся на каждом
конечном интервале к функции exp i H X  при n   .
Таким образом, фазовая ошибка параболических аппроксимаций стремится к нулю при
увеличении порядка аппроксимации.
Для наглядности приведем два рисунка, показывающие эту сходимость. Вычисления были
проведены для волновода Пекериса со скоростями звука 1500 и 1800 м/с и плотностями 1000 и
2000 кг/м3 соответственно в верхнем и нижнем слое, глубина верхнего слоя равна 100 м. В таком
волноводе имеется 7 распространяющихся мод. На рисунках сплошной линией изображена
функция expi( H    k0 ) X  и штриховыми линиями – аппроксимации
различных n (изображены действительные части этих функций).
124
D0  Dn для
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
km
12
14
16
18
20
Рисунок 2.24 - Мода 4. Последовательно ответвляющиеся кривые соответствуют
аппроксимациям 3, 6, 9 и 12 порядка.
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
0.5
1
1.5
2
km
2.5
3
3.5
4
Рисунок 2.25 - Мода 6. Последовательно ответвляющиеся кривые соответствуют
аппроксимациям 3, 6, 9 и 12 порядка.
125
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Рисунок 2.26 - Параболическая аппроксимация порядка 0 (стандартное узкоугольное
параболическое уравнение. Штриховая линия – метод нормальных мод, сплошная
линия – параболическая аппроксимация.
10
0
-10
Db
-20
-30
-40
-50
-60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
m
Рисунок 2.27 - Параболическая аппроксимация порядка 1. Штриховая линия – метод
нормальных мод, сплошная линия – параболическая аппроксимация.
126
Расчеты были проведены для волновода, описанного в предыдущем подразделе. Глубина
источника 50 м, глубина приемника 50 м. На рисунках представлены потери на распространение,
рассчитанные с помощью параболических аппроксимаций различных порядков в сравнении с
точным решением методом нормальных мод. В качестве начального условия принималась сумма
всех распространяющихся мод, возбужденных источником.
10
0
-10
Db
-20
-30
-40
-50
-60
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
m
Рисунок 2.28 - Параболическая аппроксимация порядка 3. Штриховая линия – метод
нормальных мод, сплошная линия – параболическая аппроксимация.
В этом разделе выведены и исследованы параболические аппроксимации, относительно
которых доказаны теоремы о сохранении потока мощности и асимптотической фазовой точности.
К преимуществам таких аппроксимаций следует также отнести возможность расчета звукового
поля с любой точностью, используя при этом только программу решения стандартного
узкоугольного параболического уравнения, слегка модифицированную введением правой части.
2.3.4 Анализ эффектов трехмерного рассеяния звука на типичных неоднородностях
геоакустического волновода мелкого моря
Анализ влияния трехмерных эффектов, возникающих при распространении звука в
геоакустических волноводах шельфовых зон мелкого моря, является одной из наиболее
актуальных задач вычислительной акустики. Для решения таких задач может быть применен
метод модового параболического уравнения, предложенный М.Ю. Трофимовым [7,8]. В
настоящее время математическая модель на основе этого метода реализована нами в виде
127
комплекса программ и может применяться для расчетов звукового поля в волноводах с
неоднородностями скорости звука и батиметрии общего вида.
Хотя программный комплекс ориентирован на использование натурных данных о рельефе
дна и поле скорости звука, в настоящей работе мы выполнили исследование методического
характера, состоящее в анализе влияния возвышенности дна на формирование акустического поля
в
модельном
волноводе
  ( x, y, z) | 0  x  L;D  y  D,0  z  H m .
Рассматриваемый
модельный волновод  состоит из водного слоя глубиной H 0 =30 м и дна, сформированного
жидкими осадками (скорость звука cs плотность  s ), и простирающегося до глубины H m , где
волновод имеет жесткую границу. Скорость звука и плотность в воде мы считаем постоянными
c 0 =1450 м/с,  0 = 1 г/см3. В точке с координатами x =0, y =0, z s =15 м мы располагаем источник
тонального звукового сигнала частоты
f . Введем теперь в рассмотрение неоднородность
 (( y  y 0 ) 2  ( x  x 0 ) 2 )
батиметрии вида H 0   Me
2 2
. Такая неоднородность, очевидно, представляет собой
возвышенность высотой M , вершина которой имеет координаты x = x0 , y = y0 , z s = H 0  M .
Ширина возвышенности характеризуется параметром  . Нас будет интересовать вопрос о том,
как будет влиять рассматриваемая возвышенность на звуковое поле в геоакустическом волноводе.
Хорошо известно, что такого рода неоднородности обеспечивают формирование затенений, где
потери при распространении звуковых волн от источника существенно выше, чем в
невозмущенном волноводе (т.е. при отсутствии неоднородности). Мы исследуем порядок
максимального изменения уровня потерь в волноводе для различных значений параметров дна
( cs ,  s ), неоднородности ( x0 , y0 , M ,  ) и источника звука ( f ).
Для решения поставленной задачи мы используем метод узкоугольного модового
параболического уравнения [7,8]. В основе метода лежит представление звукового поля в виде
разложения по собственным функциям  j (z ) стандартной акустической спектральной задачи:
p( x, y, z )   Aj ( x, y) j ( z ).
(2.36)
j
Эти функции  j (z ) и соответствующие им собственные числа k j , вообще говоря, различны
для разных значений x и y , однако в приближении модового параболического уравнения мы
считаем их зависящими только от x (ось x ориентирована вдоль трассы, y - в поперечном
горизонтальном направлении). Зависимость звукового поля от y в данном методе учитывается
лишь в модовых амплитудах
Aj ( x, y) , которые могут быть найдены из узкоугольного
параболического уравнения
2ik j Ax  ik jx A  Ayy   A  0,
128
(2.37)
где коэффициент  предварительно находится во всей области по формуле
 j  H 0 (( jz /  ) z )   (( jz /  ) z )    ( jz /  ) 2 (    )z  H
0
 H 0 ( x , 0 )
.
(2.38)
Поле акустического давления в области  может быть получено с помощью численного
решения уравнений (2.36)- (2.38) методом конечных разностей на равномерной сетке ( xm , yn , zl ) по
следующей схеме:
1)
Для всех значений xm решается акустическая спектральная задача, в результате чего
находятся mj (z ) и kmj .
2)
По найденным mj (z ) и kmj вычисляется коэффициент  j ( xm , yn ).
3)
Для всех
j решаются модовые параболические уравнения, в результате чего
находятся значения Aj ( xm , yn ).
4)
По формуле (2.36) строится поле акустического давления p( x, y, z ).
Функции потерь при распространении могут быть получены после вычисления
поля p( x, y, z ). Для сравнения в докладе также будут представлены результаты расчетов рассеяния
звука на возвышенностях дна, проведенные в борновском приближении [9].
Список использованных источников
1 Пак В.В. Применение метода проекции градиента к численному решению трехмерной
задачи Стокса // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3, № 2. С. 61-70.
2 Пак В.В. Моделирование процесса образования тепловой аномалии в мантии зоны
перехода океан-континент// VII Всероссийский симпозиум “Физика геосфер” Владивосток, 5-9
сентября 2011 г., Владивосток: [сб. докл.]. Владивосток: Дальнаука., 2011. С. 362-367.
3 Пак В.В. Численная модель вязкой компакции двухтемпературной среды и некоторые
геофизические приложения // Всероссийская научная конференция “Фундаментальные и
прикладные вопросы механики и процессов управления”, посвященная 75-летию со дня рождения
академика В.П. Мясникова, 11 – 17 сент. 2011 г., Владивосток: [тезисы]. Владивосток: ИАПУ ДВО
РАН, 2011. С. 65.
4 Пак В.В. Осесимметрическая модель кольцевой структуры в двухслойном течении вязкой
жидкости со свободной поверхностью // Вестник Удмуртского Университета. Сер. Механика.
2009. Вып. 2. С. 63-74.
5 Пак В.В. Нелинейная модель осесимметричного течения двухслойной вязкой жидкости со
свободной поверхностью // Вестник Удмуртского университета. Сер. Механика. 2010. Вып. 2. С.
91-100.
6 Pak V.V. An asymptotic study of axisymmetric free-surface two-layered creeping flow//
International Conference “Fluxes and structures in fluids: Physics of Geospheres” September 27 – 30,
129
2011, Владивосток: [тезисы]. Владивосток: Изд-во Дальневосточного федерального университета.
2011. С. 153-155.
7 Godin O.A. Reciprocity and energy conservation within the parabolic approximation //Wave
Motion. 1999. Vol. 29, No 2. P. 175-194.
8 Collins M.D. A higher-order energy-conserving parabolic equation for range-dependent ocean
depth, sound speed, and density // J. Acoust. Soc. Am. 1991. Vol. 89. P. 1068-1075.
9 Perturbation methods / Nayfeh A.H. – N.-Y.: John Wiley and Sons, 1973 – 600 pp.
10 Abrahamsson L., Kreiss H.-O. Boundary condition for the parabolic equation in a rangedependent duct // J. Acoust. Soc. Am. 1990. Vol. 87. P. 2438-2441.
130
3 Исследование взаимодействия звука с микронеоднородными средами и разработка
методов акустического мониторинга деятельного слоя океана
3.1 Теоретические исследования взаимодействия звука с фазовыми включениями в
микронеоднородных средах и возможности акустической спектроскопии
Акустические
методы
изучения
свойств
микронеоднородной
жидкости
занимают
значительное место среди других, что связано с малым затуханием звуковых волн в жидкости и
сильным их нелинейным взаимодействием с неоднородностями среды. Такие характеристики
акустического поля как коэффициент поглощения звука, нелинейный акустический параметр,
коэффициент рассеяния и скорость звука тесно связаны с наличием микронеоднородностей в
жидкости. Теория акустического взаимодействия звука с микронеоднородностями в жидкостях
показывает
возможность
спектроскопии
микронеоднородностей.
Разработка
методов
спектроскопии является предметом многих экспериментальных работ. Однако в целом задачу
нельзя считать решенной, что связано с многообразием факторов, влияющих на свойства
микронеоднородной жидкости. К ним можно отнести изменчивость основных характеристик
звукового поля в условиях большой концентрации микронеоднородностей, а также вблизи точек
фазовых переходов. В работе проведено теоретическое и экспериментальное изучение
коэффициента поглощения звука, нелинейного акустического параметра и коэффициента
рассеяния звука в зависимости от концентрации пузырьков в жидкости и при различной
температуре, что отвечает различной отдаленности от точек фазовых переходов. Особое внимание
также
обращено
на
разработку
методов
нелинейной
акустической
спектроскопии
микронеоднородной жидкости.
3.1.1 Эффективные акустические параметры микронеоднородной жидкости
Для описания акустических (и других физических) свойств микронеоднородной жидкости
наиболее часто используют эффективные акустические параметры микронеоднородной жидкости,
которые обычно определяются в рамках гомогенной модели сплошной среды [1-4]. Суть этой
модели заключается в том, что отдельные гетерогенные включения и жидкие частицы при
осреднении по пространству на характерной длине, превышающей расстояние между
включениями, образуют новую сплошную среду с некоторыми эффективными параметрами. Тогда
оказывается можно написать эффективные параметры такой среды без детального знания ее
структуры. Такой феноменологический подход оказывается плодотворным для различных
жидкостей, включая морскую воду с содержащимися в ней включениями различных типов.
Рассмотрим вычисление ряда наиболее важных эффективных параметров микронеоднородной
жидкости.
Эффективная плотность. Эффективная плотность получается непосредственно из
сохранения массы единицы объема микронеоднородной жидкости V S
131
re =
m + m ў mV
m ўV ў
=
+
= r (1 - x ) + r ўx ,
VS
V V S V ўV S
x = V ўV S
(3.1)
Здесь m ў и m - соответственно, масса вещества, содержащаяся в фазовых включениях
(ФВ), занимающих суммарный объем V ў, и в основной жидкости, рассматриваемой как
своеобразный растворитель и занимающей объем V . При этом V S = V ў+ V и через x = V ўV S
обозначена объемная концентрация ФВ, которую общем случае можно записать с помощью
функции распределения ФВ g(R ) по размерам R в виде
x=
R max
4
pт
R 3g(R )dR ,
3 R min
(3.2)
где введена функции распределения ФВ g(R ) , которая равна количеству ФВ в единице объема dN,
приходящихся на интервал радиусов ФВ dR, т.е. g(R)=dN/dR, так что суммарная концентрация
пузырьков в единице объема равна
N =
т
R max
g(R )dR .
(3.3)
R min
В том случае, если r ў является функцией R , выражение r ўx следует понимать в
операторном виде
r ўx =
R max
4
pт
r ўR 3g(R )dR .
3 R min
(3.4)
Аналогичную запись будем применять и к другим физическим величинам x , при этом в
формуле (3.4) будем делать соответствующую замену r ў на x .
Эффективная сжимаемость. Продифференцируем по давлению уравнение (3.1) для
эффективной плотности
d r e / dP » (¶ r e / ¶ P ) S є ( r e )P = r P (1 - x ) + r Pўx + ( r ў- r )x P ,
(3.5)
где S означает, что производная взята при постоянной энтропии единицы объема жидкости с ФВ.
Далее следует учесть, что x P можно выразить в виде
(
x P = V ўV S
)
P
=
V Pў
VS
-
V Pў (V S )P
Vў
(
V
)
=
x
(
).
S P
Vў
VS
VS2
(3.6)
Принимая во внимание, что собственная сжимаемость одиночного ФВ определяется
соотношением [4,5] K = - (1 / V 1ў)(¶ V 1ў/ ¶ P ў) или K = - (1 / V 1ў)(¶ V 1ў/ ¶ P )Q , где Q = (¶ P / ¶ P ў)
и связь давления внутри и снаружи ФВ в приближении несжимаемой жидкости определяется
&+ 3R&2 / 2 = P / Q , Q - инерционный
уравнением Релея вида P ў= P + 2s / R + 4R&/ R + r RR&
(
132
)
множитель [5]. Укажем также, что полная сжимаемость ФВ в поле внешнего давления
= - (1 / V 1ў)(¶ V 1ў/ ¶ P ) = K/ Q , при этом V 1ў= 4p R 3 / 3 - объем
определяется в виде [5] K=
одиночного ФВ. Определяя эффективную сжимаемость гомогенной среды соотношением
(
)(
)
βe = - 1 V S ¶ V S ¶ P , получаем
x P = x ( be - K ) =
R max
4
pт
( be - K )R 3g(R )dR .
R
3
min
(3.7)
Отсюда получаем обобщение эффективной сжимаемости для жидкости с фазовыми
превращениями в виде
( r e )P / r e = be = b (1 - x ) + b ўx +
м
жb ў- b
цьп
п
Dr
D r b ў- K ч
п
ч
( b ў- K )x = b п
+
н1 + x ззз
э.
ч
ч
п
r
r
b шп
и b
п
п
о
ю
(3.8)
В случае отсутствия фазовых превращений и без учета поверхностного натяжения и
инерционных эффектов имеем K » b ў, откуда получаем известное выражение для эффективной
сжимаемости микронеоднородной жидкости без фазовых превращений [4]
be = b (1 - x ) + b ўx = b +
R max
4
pт
(b ў- b )R 3g(R )dR .
R
3
min
(3.9)
В ряде случаев для простоты анализа будем считать распределение ФВ по размерам
монодисперсным, тогда V ў= N ўV 1ў, где N ў - количество ФВ, V 1ў - объем одиночного ФВ.
На рисунке 3.1 представлена концентрационная зависимость сжимаемости be (x ) воды с
газовыми пузырьками при T=200C , вычисленная для различных частот звука в случае
полидисперсной смеси пузырьков для степенной функции распределения пузырьков по размерам
g(R ) = A g R - n в интервале размеров от R min до R max . При этом предполагалось выполнение
соответствия между концентрацией x и g(R ) согласно формуле, аналогичной (3.4) и имеющей
вид [4,6]
x =
R max
4
4 p Ag
p Ag т
R 3- n dR »
R 4- n - R min 4- n .
R min
3
3 4 - n max
(
)
(3.10)
Из рисунка.3.1 видно, что в интервале концентраций от 10 -5 до 10-3 (в зависимости от
частоты) происходит резкое увеличение сжимаемости жидкости с пузырьками.
133
Рисунок 3.1 - Концентрационная зависимость сжимаемости be (x ) воды с газовыми пузырьками
при T=200C, вычисленная для различных частот звука в случае полидисперсной смеси пузырьков
для степенной функции распределения пузырьков по размерам g(R ) = A g R - n .
Для практических задач акустики океана представляло интерес рассмотреть вопрос о
поведении сжимаемости воды с газовыми пузырьками на различных глубинах в море. Это в
большой степени касается поведения выбросов газа из газогидратных месторождений в виде
метановых факелов на различных глубинах. На рисунке 3.2 показана концентрационная
зависимость низкочастотной сжимаемости be (x ) воды с газовыми пузырьками при различных
гидростатических давлениях P0 (различные глубины в море). Видно, что с увеличением глубины и
ростом концентрации газа эффективная сжимаемость воды с пузырьками заметно спадает, что
свидетельствует об уменьшении вклада в возможную экранировку
134
Рисунок 3.2 - Концентрационная зависимость низкочастотной сжимаемости be (x ) воды с
газовыми пузырьками при различных гидростатических давлениях P0
(различные глубины в море).
Представляет интерес сравнить сжимаемость воды с пузырьками при различных
температурах. Важной чертой, отличающих свойства пузырьков при различных температурах,
является относительное содержание газа и пара внутри пузырьков. При наличии пара следует
учитывать фазовые превращения, существенно влияющие на акустические характеристики
жидкости с пузырьками [7-9]. Наличие последнего слагаемого в формуле (3.8) ( b ў- K )x № 0
характеризует это отличие. Анализ сжимаемости парогазового пузырька K с учетом фазовых
превращений подробно проводился в ряде отечественных и зарубежных работ в 1980-1990-х гг.
Подставляя выражения для K из [4,5] в формулу (3.8) можно вычислить концентрационные
зависимости сжимаемости be (x ) воды с газопаровыми пузырьками при различных температурах.
На рисунке 3.2 представлена концентрационная зависимость сжимаемости be (x ) воды с
паровыми пузырьками при T=1000 C совместно с сжимаемостью be (x ) воды с газовыми
пузырьками, вычисленная для различных частот звука в случае полидисперсной смеси пузырьков.
Результаты даны для степенной функции распределения по размерам g(R ) = A g R - n в интервале
размеров от R min до R max . Из рисунка 3.2 видно, что наличие фазовых превращений достаточно
существенно увеличивает сжимаемость на низких частотах звука и при больших концентрациях
135
пузырьков. Появление запаздываний при фазовых превращениях на высоких частотах вследствие
неравновесности фазовых переходов приводит к уменьшению контраста между сжимаемостями
паровых и газовых пузырьков.
Рисунок 3.2 - Концентрационная зависимость сжимаемости be (x ) воды с паровыми пузырьками
при T=1000 C совместно с сжимаемостью be (x ) воды с газовыми пузырьками при T=200C.
3.1.2 Поглощение и скорость звука в микронеоднородной жидкости
Эффективная скорость звука. Нетрудно видеть, что обобщение формулы Вуда для
скорости звука c%e в жидкости с ФВ аналогично эффективной сжимаемости получается в виде [4]
- 1/ 2
- 1/ 2
c%
= [( r e )P ]
e
- 1/ 2
= [r e be ]
м
ьп
й
щй D r щ
жb ў- b
п
D r b ў- K ц
п
ч
з
к
ъ
к
ъ
ч
= c нк1 + x зз
+
1+
xп
э
ч
ъ
к
ъп
ч
п
r
b шы
r ы
и b
к
ъл
пл
п
о
ю
,
(3.11)
которая формально выглядит также, как и известная формула Вуда, но с измененными
эффективными параметрами r e и b e в соответствии с (3.8) и (3.9).
Следует отметить, что сжимаемость K
одиночного ФВ в общем случае величина
комплексная [5] и учитывает резонансные и релаксационные отклики ФВ на воздействие внешней
силы. Поэтому выражение (3.11) для c%e является величиной комплексной, вещественная часть
которой определяет фазовую скорость волны давления в виде:
- 1/ 2
мй 4
ьп
щй
ц 3
щ
п
пк1 + p R max ж
зз b ў- b + D r b ў- K ч
ък1 + D r x ъп
ч
ce = Re(c%
)
=
c
Re
R
g
(
R
)
dR
н
э
ч
e
к 3 тR min зи b
ък
ъп
ч
п
r
b
r
ш
к
ъ
п
п
л
ы
л
ы
о
ю
136
. (3.12)
На рисунке 3.3 представлена концентрационная зависимость безразмерной скорости звука
ce (x ) / c воды с газопаровыми пузырьками при T=200C , вычисленная для различных частот звука
в случае полидисперсной парогазовой смеси пузырьков для степенной функции распределения
пузырьков по размерам g(R ) = A g R - n в интервале размеров от R min до R max . Из рисунка 3.3 видно,
что в интервале концентраций от 10-5 до 10-3 происходит резкое снижение скорости звука в
жидкости с пузырьками, что соответствует соответствующему резкому увеличению сжимаемости
парогазовой смеси.
Рисунок 3.3 - Концентрационная зависимость безразмерной скорости звука
ce (x ) / c воды с газовыми пузырьками при T=200C, вычисленная для различных
частот звука в случае полидисперсной смеси пузырьков для степенной функции
распределения пузырьков по размерам g(R ) = A g R - n .
137
Рисунок 3.4 - Концентрационная зависимость безразмерной скорости звука ce (x ) / c
воды с паровыми пузырьками при T=1000 C совместно с ce (x ) / c воды с газовыми
пузырьками при T=200C.
На рисунке 3.4 представлена концентрационная зависимость безразмерной скорости звука
ce (x ) / c воды с паровыми пузырьками при T=1000 C совместно с ce (x ) / c воды с газовыми
пузырьками, вычисленная для различных частот звука в случае полидисперсной смеси пузырьков.
Результаты даны для степенной функции распределения по размерам g(R ) = A g R - n в интервале
размеров от R min до R max . Из рисунка 3.4 видно, что наличие фазовых превращений наиболее
сильно увеличивает дисперсию скорости звука на низких частотах и при больших концентрациях
пузырьков. Появление запаздываний при фазовых превращениях на высоких частотах вследствие
неравновесности фазовых переходов приводит к уменьшению контраста между ce (x ) / c паровых
и газовых пузырьков.
Поглощение звука. Определяя волновое число волны в жидкости с ФВ в стандартном виде
ke = w / c%
и учитывая, что мнимая часть волнового числа Im ke является коэффициентом
e
затухания a волны, распространяющейся в жидкости с ФВ, находим
м
ь
R max жb ў- b
п
п
4
D r b ў- K
Dr ц
3
ч
п
п
з
ч
1+ pт
+
+
R
g
(
R
)
dR
+
п
з
п
ч
п
п
ч
3 R min зи b
r
b
r ш
п
a = Im(ke ) = w Im п
н
э.
ж
ц
R
п
п
ў
ў
4
D
r
b
b
D
r
b
K
max
3
ч
зз
п
п
ч
+ px
+
R
g
(
R
)
dR
п
п
ч
т
п
п
R min з
ч
3
r
b
r
b
и
ш
п
п
п
п
о
ю
138
(3.13)
На рисунке 3.5 представлена концентрационная зависимость коэффициента поглощения
звука ce (x ) / c воды с газопаровыми пузырьками при T=200C , вычисленная при тех же условиях,
что и скорость для различных частот звука. Из рисунка 3.5 видно, что в интервале концентраций
от 10-5 до 10-3 происходит переход от линейной концентрационной зависимости к более сложной
нелинейной, имеющей плавный максимум при больших концентрациях пузырьков около 45%.
Рисунок 3.5 - Концентрационная зависимость коэффициента поглощения звука a (x ) воды с
газовыми пузырьками при T=200C , вычисленная при тех же условиях, что и скорость для
различных частот звука, представленная на рисунке 3.3.
На рисунке 3.6 представлена концентрационная зависимость коэффициента поглощения
звука a (x ) в воде с паровыми пузырьками при T=1000 C совместно с a (x ) в воде с газовыми
пузырьками, вычисленная для различных частот звука в случае полидисперсной смеси пузырьков.
Результаты даны для степенной функции распределения по размерам g(R ) = A g R - n в интервале
размеров от R min до R max . Из рисунка 3.6 видно, что наличие фазовых превращений сильно
увеличивает коэффициент поглощения звука a (x ) в воде с пузырьками. Появление запаздываний
при фазовых превращениях на высоких частотах вследствие неравновесности фазовых переходов
приводит к уменьшению контраста между a (x ) паровых и газовых пузырьков.
139
Рисунок 3.6 - Концентрационная зависимость коэффициента поглощения звука a (x ) в воде
с паровыми пузырьками при T=1000 C совместно с a (x ) в воде с газовыми пузырьками при
T=200C.
Рисунок 3.7 - Частотная зависимость коэффициента поглощения звука a (x ) в воде с
газопаровыми пузырьками при T=500C ,800C, 1000 C для различных концентраций.
На рисунке 3.7 представлена частотная зависимость коэффициента поглощения звука a (x )
в воде с газопаровыми пузырьками при T=500C ,800C, 1000 C, вычисленная для различных частот
140
звука в случае полидисперсной смеси пузырьков. Из рисунка 3.7 видно, что наличие фазовых
превращений существенно увеличивает коэффициент поглощения звука
a (x )
в воде с
газопаровыми пузырьками и в небольшой степени изменяет форму функции a ( w) .
3.1.3 Акустическая нелинейность микронеоднородной жидкости
Нелинейный акустический параметр. Существует некоторая неоднозначность в
употреблениях термина “нелинейный акустический параметр”. В зарубежной литературе [10-12]
этим термином обозначают величину
G = B / A = r ¶ c2 / ¶ P ,
(3.14)
где c - скорость звука. Величину G можно также переписать с использованием сжимаемости b в
виде
(
)
G = - 1 + bP / b 2 ,
(3.15)
где b P = ¶ b / ¶ P .
В
отечественной
литературе
этим
термином
зачастую
именуют
величину
e,
определяющую эволюцию нелинейной волны в известном решении Римана [12] или
определяющей
эффективность
параметрического
излучения
в
теории
параметрических
акустических излучателей [13, 14]. Как известно [4, 12], величина e связана с G соотношением
e = 1 + G / 2 , отсюда получаем
e=
1
1 - bP / b 2 .
2
(
)
(3.16)
Нелинейный параметр e имеет четкий физический смысл – он определяет расстояние
разрыва в волне r * , согласно соотношению
r * = 1 / ekM
(3.17)
где k = w / c - волновое число, M = v / c = P / r c 2 - число Маха, v и P - скорость частиц и
давление в волне, r - плотность. Часто на практике определение нелинейного параметра
осуществляется именно посредством измерения r *
и дальнейшего вычисления согласно
приведенной зависимости.
В микронеоднородной среде параметр e зависит от структуры среды, а также от
динамических свойств включений [4, 5, 15, 16]. Нелинейный параметр ε жидкости с пузырьками
можно выразить как сумму, один член которой определяет нелинейность воды без пузырьков, а
другой определяет влияние самих пузырьков. Используя полученные выше выражения для
эффективной сжимаемости b e
можно найти нелинейный параметр жидкости с ФВ или
эффективный нелинейный параметр ee в виде
141
{
ee = 1 - (be )
p
(b ) } 2
2
e
.
(3.18)
Для дальнейшего определения эффективного нелинейного параметра ee следует вычислить
наряду с ( be )2 также ( be )P . Для этого следует произвести с уравнением (3.18) процедуру,
аналогичную той, что мы проделали с уравнением (3.8). Тогда получаем
( be )P = b P (1 - x ) + b Pўx + (D r / r )( b Pў - K P )x + be 2 - be K - b ( be - K ) + ( b ў- K )( b ў- b )( r ў/ r )x
.
(3.19)
Отсюда можно получить следующее уравнение
(be )P - be 2 = b Pўx - b ў2x + b P (1 - x ) - b 2 (1 - x ) + (D r / r )(b Pў - K P )x +
.
щ
ў
ў
ў
+ (b ў- K )x й
(л
b
K
)(
r
/
r
)
+
2[
K
(
r
/
r
)
b
]
к
ъ
ы
(3.20)
Подставляя (3.20) в (3.18) получаем выражение для эффективного нелинейного параметра в
виде
ee (x ) = e0e (x ) + e%(x ) ,
(3.21)
где нелинейный параметр e0e (x ) , характеризующий жидкость без фазовых превращений, и
дополнительное изменение нелинейного параметра e%(x ) , связанное с фазовыми превращениями (а
в случае пузырьков и с динамическими свойствами), определяются следующими выражениями
й
ж 2
цщ
к1 + x зз e ўb ў - 1ч
ъ,
ч
ч
к
ъ
зз eb 2
ч
и
шъ
кл
ы
(3.22)
щ
ж
rў ц
ъ,
ў
ч
+ 2 зззK - b ч
b
K
(
)
ч
ъ
ч
r ш
и
ъ
ы
(3.23)
b2
b ў2
b2
ў
e0e =
e(1 - x ) +
ex = e
be (x )2
be (x )2
be (x )2
e%(x ) =
x
b e ( x )2
йD r
к (b ў - K ) + r ў(b ў- K
P
P
кr
r
к
л
2
)
или в окончательном виде
2
мй
ьп
щ
п
щ 1 й
жe ўb ў2
ц
ц
цъ
KP ц
ў b ў2 ж
п
b2 п
D r b Pў ж
r
K
b ў2 ж
K r ў b цж
Kч
к
ч
ч
з
ч
ч
з
п
п
з
з
з
к
ъ
ч
ч
ч
ч
ч
з
ee = e
1
+
x
1
+
x
1
+
1
+
2
1
з
з
з
з
н
э
к
ъ
ч
ч
ч
ч
ч
2 пк
2
ъ
2 з
2 з
2 з
з
ч
ч
ч
ч
з
п
ў
ў
ў
ў
ў
з
ч
з
e кr b и
bP ш r b и
b ш
r b ши
b шъп
be (x ) пл
b иb
и eb
шы
к
ъ
л
ыю
п
п
о
(3.24)
При этом следует учесть, что величина b Pў , относящаяся к материалу, составляющему ФВ
(пар, газ или твердое вещество) и производная от сжимаемости ФВ, K P , связаны как с
нелинейным параметром e ў этого материала, так и с параметрами, зависящими от динамики ФВ,
т.е. от условий генерации волны комбинационной частоты. В частном случае генерации волны
разностной частоты Ω = w1 – w2 , при распространении бигармонической волны, т.е. волны накачки
с двумя частотами w1 и w2 , получаем (такой же результат получаем и для амплитудномодулированной волны)
142
bPў = b ў2 (1 - 2e ў) ,
(3.25)
K ( w1 )K ( w2 )* й
щ,
K P ( w1, w2, Ω) =
к1 - B W( w1, w2, Ω)ы
ъ
л
3
(3.26)
Здесь величина B W( w1, w2, Ω) характеризует нелинейную восприимчивость ФВ, зависящую
от
кинетики
фазового
превращения
и
динамических
характеристик
ФВ
и
подробно
проанализирована в монографии [4]. Из (3.23)-( 3.26) видно, что при условии отсутствия фазовых
превращений, когда имеется равенство b = K , получаем соотношение [4] εe(x) = ε0e(x) .
Полученные формулы (3.23)-( 3.26) показывают, что нелинейный параметр существенным
образом зависит от поведения функции сжимаемости K (R , w) жидкости с ФВ. Сжимаемость
K (R , w) для жидкости с пузырьками и центрами кристаллизации подробно проанализирована в
книге [4] для различных жидкостей: вода, криогенные жидкости, жидкие металлы.
На рисунке 3.8 представлена зависимость нелинейного акустического параметра воды с
пузырьками от их радиуса при различных разностных частотах и различной объемной
концентрации пузырьков. Таким образом, здесь промоделирована акустическая нелинейность
монодисперсной жидкости с пузырьками. Видно, что наблюдаются резонансные увеличения
нелинейности при совпадении размера пузырьков с резонансными размерами, отвечающими
применяемым разностным частотам. Видно, что в целом фазовые превращения увеличивают
акустическую нелинейность микронеоднородных жидкостей с пузырьками [4, 18-20].
Следует обратить внимание на весьма значительные превышения величины
ee ,
достигающие двух порядков при размерах ФВ, сравнимых с длиной тепловой волны. Объясняется
это явление следующим образом. Именно при указанных значениях размеров ФВ наблюдается
резкое усиление сжимаемости ФВ, обусловленных наличием фазового перехода [11] и тогда
резкое увеличение амплитуды колебаний ФВ приводит к сильному возрастанию нелинейности.
143
Рисунок 3.8 - Зависимость нелинейного параметра ee от радиуса парогазовых пузырьков в воде
при различной температуре в случае монодисперсного распределения пузырьков по размерам: а) –
для различной разностной частоты  при x =10-7; б) – для различной суммарной объемной
концентрации x при =10 кГц. Частота накачки 150 кГц.
Следует обратить внимание на то, что зависимость от концентрации параметра ee
нелинейна и сильно зависит от температуры. На рисунке 3.9 представлены частотные зависимости
нелинейного параметра для различных температур воды с пузырьками при различной их
концентрации. Видно, что увеличение нелинейного параметра с температурой имеет место только
при малых концентрациях пузырьков в воде. Начиная с концентраций x ~ 10- 6 - 10- 5 нелинейный
параметр воды с чисто паровыми пузырьками (T=1000C) становится наименьшим, в то время как
вклад чисто газовых пузырьков увеличивается значительно. Тем не менее вклад фазовых
превращений остается сильным и приводит к значительному увеличению нелинейного параметра,
что наблюдается особенно на низких разностных частотах [17-20].
144
б)
а)
в)
г)
Рисунок 3.9 - Частотные зависимости нелинейного параметра для различных температур
воды с пузырьками при различной их концентрации.
3.1.4 Кавитационная прочность микронеоднородной жидкости
Кавитационная прочность реальной жидкости имеет низкое значение по сравнению с
чистой жидкостью и это обстоятельство обычно связывают с наличием в жидкости пузырьков и
других зародышей кавитации [5,21,22]. Разрыв жидкости представляет собой типичный
нелинейный процесс. Известно также, что акустическая нелинейность реальных жидкостей имеет
повышенное значение сравнительно с чистой жидкостью. Последнее обстоятельство также, как и
пониженное значение кавитационной прочности, обычно связывают с наличием в жидкости
пузырьков газа [21-23]. Вопрос о взаимосвязи кавитационной прочности D Pk и нелинейного
акустического параметра e жидкости обсуждался в работе [23], в которой была получена
зависимость следующего вида:
145
1
1
DP =
k 2 3 (e - 1)b
(3.27)
где D Pk = P0 - Pk , P0 - гидростатическое давление в жидкости, Pk - пороговое давление
кавитации в жидкости, b - сжимаемость жидкости. Получим выражение (1) из следующих
соображений. Раскладывая функцию состояния жидкости P = P ( r ) в ряд Тейлора около
равновесного состояния, обозначаемого индексом s , получаем
D P = P - P = a x - bx2 + c x 3 ,
s
где
a = r (¶ P / ¶ r )s = 1 / b ,
x = - (r - r s ) r s ,
b = r 2 (¶ 2P / ¶ r 2 )s / 2 ,
(3.28)
c = r 3 (¶ 3P / ¶ r 3 )s / 6 .
При
этом
потенциальная энергия записывается в виде
W ( x) =
т
D P ( x)d x =
ц
cx2 ж
ззx 2 - 4b x + 2 a ч
ч
.
ч
ч
4 зи
3c
cш
(3.29)
Экстремумы функции W ( x) являются нулями функции D P ( x) . При этом в случае фазового
равновесия, достигаемом при наступлении разрыва растянутой жидкости, выполняется "правило
щ , где x и x - экстремали W ( x) (нули
рычага" Максвелла W (x1 ) - W (0) = - й
2
1
к
лW (x2 ) - W (x1 )ъ
ы
D P ( x) ). Отсюда получаем, что разрыв происходит при строго определенном соотношении между
a , b и c : c = 2b2 / 9a , при этом x2 = 3a / b . Дифференцируя D P ( x) по x находим, что искомый
максимум
D Pk
реализуется
2
2
e = 1 + ( r / 2) й
кл¶ P / ¶ r
(
при
) (¶ P / ¶ r )щыъ ,
(
) (1 -
xk = 3a 2b
)
3 ,
1
откуда,
учитывая,
что
имеем выражение (3.27). Выражение типа (3.27) было
также получено Сегалом в работе [23] для соотношения между внутримолекулярным давлением и
параметром нелинейности.
Для случая чистой жидкости выражение D Pk было определено Зельдовичем [24], которое
по существу представляет собой внутримолекулярное давление из уравнения состояния Ван-дерВаальса и равно
(
1/ 2
)
D Pk 0 = 16ps 3 3kT ln(C / J )
,
(3.30)
где s - коэффициент поверхностного натяжения, k - постоянная Больцмана, T - температура,
ln(C / J ) » 70 - 78 . Для воды D Pk 0 » 1400 атм и из (1) следует e » 5 , что согласуется с
значениями для чистой воды [12, 25].
В настоящей работе формула (3.27) обобщается также на случай жидкости, содержащей
фазовые включения. Тогда в (3.27) везде следует заменить параметры e и b на ee и b e 146
эффективные нелинейный параметр и сжимаемость жидкости с ФВ, которые в рамках гомогенного
приближения для монодисперсной смеси имеют вид, определяемый формулами (3.9) и (3.21)(3.24). В случае произвольного распределения по размерам и с учетом капиллярного давления (но
без учета фазовых превращений) указанные формулы обобщаются в виде [18,21]
4p
be = b (1 - x ) +
3
- 1
т
R max
R min
й 3g - 1 2s щ
R 3g(R )b ў(R )dR
к1 +
ў
ў
b
(
R
)
=
b
b 0ў ъ ,
,
0 к
ъ
3
R ы
1 - ( w w0 )2 (1 - i d)
л
2
жb ц
4p
ч
ee = e(1 - x ) ззз ч
ч + eў
ч
зиbe ш
3
где x = (4p / 3) т
R max
R min
(3.31)
2
т
R max
R min
жb ў(R ) ц
dR
ч
ч
,
R 3g(R ) ззз
ч
2
ч
з be ш
2
и
1 - ( w w0 (R )) (1 - i d)
R 3g(R )dR - объемная концентрация, w0 (R ) =
(3.32)
3 b ў(R ) R - резонансная
частота пузырька, g - постоянная адиабаты, d - постоянная затухания, g(R ) - функция
распределения пузырьков по размерам. Выполняя интегрирование в (5) и (6) в пределах
существования функции g(R ) от R min до R max , получаем
2ц
ж
ж
ц
ч
зз
b ў(Ro ) ц
ў 4 ж
4p 4 b ў(R 0 ) ч
4
pe
ч
ч
з
з
ч
ч
з
be » b зз1 - x +
R 0 g0
iч
,
e
»
e
1
x
+
R
g
з
ч
чч
e
зз
ч
ч
зи
3
b
3de 0 0 ззи be ч
ш
шш
ч
зи
(3.33)
Можно показать, что при типичных концентрациях пузырьков be » b . Вместе с тем в силу
большой величины (b ў b )2 , содержащейся в (3.33), имеем ee > > e . Подставим тогда (3.33) в
(3.27), получаем:
- 1
2щ
2
й
жb ў(R ) ц
D Pk 0 3d( e - 1) ж
be ц
4pe ў
к
ъ
ч
4
з
з
o ч
ч
ч
зз
D Pk = D Pk 0 к1 +
R g з
ч ъ e »> > 1 4
ч (3.34)
ч ъ e R 0 g0 4pe ў и
ч
з b ў(Ro ) ш
к 3d( e - 1) 0 0 ззи be ш
кл
ъ
ы
В качестве измеряемой характеристики кавитационной прочности на практике обычно
выступает величина давления акустического поля, при котором возникает разрыв жидкости Pmk , и
тогда Pmk = D Pk .
На рисунке 3.10 представлена типичная зависимость Pk (x ) в широком интервале значений
x для воды при 200С при различных частотах акустического поля, вызывающего кавитацию.
Гидростатическое давление равно 1 атм. Видно, что с увеличением частоты кавитационная
прочность растет, а при увеличении концентрации пузырьков вначале резко спадает, а затем при
превышении концентрации значения 10-4 происходит стабилизация Pk (x ) - стремление к
постоянной величине кавитационной прочности, независимо от концентрации пузырьков.
147
Рисунок 3.10 - Зависимость Pk (x ) для воды при 200С при различных частотах акустического поля.
На рисунке 3.11 представлена частотная зависимость Pk ( f ) для воды при 200С при
различных концентрациях пузырьков. Видно, что при малых концентрациях пузырьков
отсутствует частотная зависимость кавитационной прочности. При этом величина кавитационной
прочности жидкости с малой концентрацией пузырьков приближается к предельной величине
кавитационной прочности чистой жидкости. Только при сравнительно высоких концентрациях
x > 2 Ч10- 5 появляется частотная зависимость. Начиная с концентраций x ~ 10- 4 появляется
степенная зависимость Pk ( f ) ~ f n , где n ® 0.5 при x > 0.001 . Гидростатическое давление здесь
равно 1 атм.
148
Рисунок 3.11 - Частотная зависимость Pk ( f ) для воды при 200С при различных концентрациях
пузырьков.
Рассмотрим поподробней частотную зависимость кавитационной прочности. В случае
степенной функции g(R ) = A R - n q(R - R min )q(R max - R ) , а также учитывая высокочастотную
асимптотику d » dthermal µ
w [4, 10], можно получить следующую частотную зависимость
кавитационной прочности D Pk µ w4.5- n при w > 20 кГц и D Pk µ w4- n
при w < 10 кГц.
Учитывая, что в обычных условиях (например, в морской воде) показатель степени n » 3.8 ё 4 [6,
10], получаем D Pk µ
w при w > 20 кГц и D Pk µ Const при w < < 10 кГц. Именно такая
частотная зависимость следует из рисунка 3.11 при достаточно большой концентрации пузырьков
x > 2 Ч10- 5 . Аналогичные зависимости наблюдаются в экспериментах по акустической кавитации
в морской воде [24, 25].
Рассмотрим концентрационную зависимость Pk (x ) при различном давлении как модель для
изучения поведения порога кавитации на различных глубинах в море. На рисунке 3.12
представлена типичная зависимость низкочастотной кавитационной прочности Pk (x ) в широком
интервале значений x при различных гидростатических давлениях. Видно, что с повышением
гидростатического давления растет кавитационная прочность.
149
Рисунок 3.12 - Зависимость Pmk (x ) при различном гидростатическом давлении.
Рисунок 3.13 - Зависимость низкочастотной кавитационной прочности Pk от гидростатического
давления P0 в широком интервале значений x = 10- 9 ё 3 Ч10- 1 .
150
На рисунке 3.13 представлена зависимость низкочастотной кавитационной прочности Pk от
гидростатического давления P0 в широком интервале значений x . Видно, что с повышением
гидростатического давления рост кавитационной прочности при различной концентрации
пузырьков можно аппроксимировать степенным законом вида Pk (P0 ) ~ P0N , причем показатель
степени заключен в основном в интервале N = 1 ё 2 . Слабая зависимость от гидростатического
давления оказывается для малой концентрации x , когда жидкость практически можно считать
чистой, без зародышей кавитации, и кавитационная прочность стремится к предельному значению,
определяемого внутримолекулярным давлением.
3.1.5
Нелинейное
распространение
акустических
импульсов
и
нелинейный
акустический метод диагностики гетерогенных сред
Рассмотрим возможности акустического диагностирования микронеоднородных сред при
нелинейном распространении звука. В работе [4] рассмотрены некоторые особенности
распространения звука в микронеоднородной среде на примере распространения плоской волны с
генерацией второй гармоники. При этом считается, что в среде отсутствует дисперсия скорости
звука, но существенно влияние поглощения звука. Для чистой жидкости впервые решение было
получено методом возмущения Гольдбергом и имеет вид:
v2 w
vw
=
1
- 2a r
- 4a r
(e w - e w )
*
2a wr
(3.35)
где r * = 1 / ekM - расстояние разрыва, имеет вид (3.17), a w - коэффициент поглощения звука на
частоте ω. Видно, что амплитуда второй гармоники растет до расстояния x m = ln 2 / (2a w ) где
имеет максимум, равный
v2w
vw
=
1
8a wr *
(3.36)
а затем резко затухает, подчиняясь экспоненциальному закону. Решение (3.35) справедливо, когда
a wr* >1, т.е. когда длина затухания меньше длины разрыва. Очень часто имеет место
противоположный случай, когда a wr* <1. Тогда решение справедливо лишь на небольших
расстояниях r<r0< rm, когда нелинейные эффекты не успевают развиться. В этом случае,
используя αr<< 1, получается следующее простое выражение:
v2 w
vw
=
r
r*
(3.37)
Это выражение может использоваться для определения нелинейного параметра с учетом
сделанных выше замечаний. Будем рассматривать поведение волны только на линейном участке
151
r < r * , хотя влияние ФВ на эволюцию всего профиля также представляет интерес. При этом
удобнее перейти к давлению P = r cv , тогда получаем
P2w =
e2ww
rc3
(3.38)
Pwr
В более сложном и наиболее практически важном случае применения бигармонического
сигнала с частотами w1 и w2 можно показать, что на линейном участке r < r * генерация сигнала с
разностной частотой W= w1 - w2 описывается следующей формулой
жe ц
ч
2
PW = ззз W3 ч
ч WPw r
зиr c ч
шe
(3.39)
Введем величину K ef , характеризующую эффективность генерации второй гармоники или
разностной частоты в микронеоднородной жидкости по отношению к чистой жидкости в виде
K 2 wef =
(P ) 2w e
P2 w
P2 w
K Wef =
,
(P ) W e
PW
(3.40)
PW
Тогда используя (3.39) получаем
(e / r c ) 3
K ef =
e
e / rc3
e / rc3
,
(3.41)
где нелинейный параметр e отвечает частотной зависимости при преобразовании либо из w в 2w ,
либо из w1 и w2 в W. Окончательно получаем
(e / r c )
3
K ef =
ee
e
=
e
e / rc3
3/ 2
мй
ьп
жb ў- b
цщ
e п
D r b ў- K ч
ъп
ч
- 1= e п
+
нкк1 + x ззз
э
ъп
ч
eп
r
b ч
и b
шы
к
ъп
пл
о
ю
1/ 2
й
щ
к1 + D r x ъ - 1 ,
к
ъ
r ы
л
(3.42)
1
ґ
2
й
щ
жb ў- b
ц
D r b ў- K чъ
к1 + x зз
ч
+
ч
к
зи b
чъ
r
b ш
л
ы
мй
щ 1 йD r b ў ж K ц r ў b ў2 ж K цж K
п
жe ўb ў2
ц
чъ+ x к
чз
з
P з
зз1 ч
ч
з1 - P ч
ґ п
+
зз1 +
нкк1 + x зз 2 - 1ч
ч
ч
ч
к
ъ
2 з
2 з
ч
ч
ч
п
ў
ў
ў
з
з
з
e
r
b
r
b
b
eb
b
b
и
ш
и
ш
и
и
ш
к
к
ъ
п
P
ы
л
п
ол
ь
цщ
п
жr K
bц
чч
ъп
ч
2 зз
- ч
ч
ъэп
чч
зиr ўb ў b ўш
ч
шы
ъп
п
ю
(3.43)
или
152
K ef
м
п
жe ўb ў2
цщ 1 йD r b ў ж K ц
пй
P з
ъ+ x к
ч
ч
зз1 - P ч
= нкк1 + x ззз 2 - 1ч
ч+
ч
к
ъ
2
ч
п
ў
з
ч
з
e
r
b
eb
b
и
ш
и
ш
к
к
ъ
п
P
ы
л
пл
о
- 1/ 2
м
ьп й
й
жb ў- b
цщ
п
ў
D
r
b
K
п
п
ч
з
ъэ
к
ч
ґ нкк1 + x з
+
ч
ъп к1 +
ч
п
з
b
r
b
и
ш
к
ъ
пл
п л
ыю
о
цж K
r ў b ў2 ж
зз1 - K чз
ч
з1 +
ч
чззи
r b 2 зи
b ўш
bў
Dr
r
ьп
цщ
жr K
bц
п
ч
ч
ъ
з
ч
2 зз
- ч
эґ
ч
ч
ъ
чч
п
иr ўb ў b ўш
шъ
п
ыю
п
1/ 2
щ
xъ - 1
ъ
ы
(3.44)
В отсутствие фазовых превращений и резонансных явлений имеем
K 0ef
- 1/ 2
1/ 2
м
ьм
ь
й
щ
жe ўb ў2
цщ
пй
п
жb ў- b ц
й Dr щ
п
п
ч
п
п
ч
з
п
п
з
ъэ нк1 + x з
ъэ
к1 +
ч
= нкк1 + x зз 2 - 1ч
xъ - 1
ч
ч
ъппк
ъп
к
ъ
ч
ч
п
з
з
b
r
eb
и
ш
и
ш
ъп
к
ъпп
пл
ы
ы
ыо
ю л
п
п кл
о
ю
(3.45)
Зачастую изменения эффективного нелинейного параметра среды оказываются малыми. В
этом случае из (3.44) в линейном приближении получаем
м
п e ўb ў2
K ef = x п
н 2 - 1п
п
о eb
1 Dr
+
+
2 r
1ж
зз b ў- b + D r b ў2 зи b
r
b
ж
ц
1й
кD r b Pў зз1 - K P ч
ч
+
ч
ч
e кк r b 2 ззи
b Pў ш
л
K ц
ч
ч
+
ч
ч
ш
ь
щ
цп
цж K
жr K
r ў b ў2 ж
bц
ч
ч
ъ
зз1 - K чз
з
ч
ч
ч
зз1 + 2 зз
- ччъп
э
ч
2 з
чъп
ч
чш
r b и
b ўшзи
bў
иr ўb ў b ўш
ып
п
ю
(3.46)
В отсутствие фазовых превращений и резонансных явлений можно получить
йe ўb ў2
b ў- b
r ў- r щ
ъ
K 0ef = x кк 2 - 1 +
ъ
2b
2r ы
л eb
(3.47)
В случае твердых частиц b ў< < b и тогда из (3.47) следует простое выражение
йr ў щ
K 0ef = к - 1ъx
к2r
ъ
л
ы
(3.48)
Таким образом, эффективность нелинейной генерации в среде с твердыми ФВ связана
непосредственно с плотностью частиц и их концентрацией. Замечательным является тот факт, что
по наклону линейной зависимости K ef (x ) можно получить значение плотности твердых частиц в
жидкости, а по самому значению K ef - получить величину объемной концентрации этих частиц.
Следует обратить внимание на то, что в случае, если в жидкости находятся газовые
пузырьки, то величина K ef резко изменяется по сравнению с (3.48). Действительно в случае
дорезонансных газовых пузырьков имеем b ў> > b , r ў< < r и тогда
K 0ef =
b ў2e ў
x
b 2e
(3.49)
Из (3.49) видно, что наклон зависимости K ef (x ) резко увеличивается по сравнению с (3.48).
Таким образом, при реализации нелинейной акустической диагностики микронеоднородных
153
жидкостей типа суспензий следует тщательно следить за наклоном зависимости K ef (x ) . Резкое
увеличение наклона кривых K ef (x ) свидетельствует о наличии газовых пузырьков. В случае, когда
на опыте невозможно определить концентрационные зависимости K ef (x ) , существует большой
риск получить завышенные концентрации твердых частиц по формуле (3.48) в том случае, если в
жидкости содержится хоть небольшое количество пузырьков.
Важным является вопрос о возможности диагностирования слабоконтрастных ФВ в
морской воде, например, планктона, медуз и т.п. В этом случае учитывая, что b ў » b и r ў » r ,
получаем
йe ў щ
K 0ef = x к - 1ъ.
кe
ъ
л
ы
(3.50)
Из (3.50) видно, что для слабоконтрастных ФВ величина K ef (x ) в основном зависит от
разности нелинейных параметров жидкости и ФВ. Этот случай существенно отличается от чисто
твердых и газообразных включений тем, что слабоконтрастные ФВ не позволяют эффективно
распознаваться по параметрам первого порядка (плотности, сжимаемости), но гораздо лучше
видны с помощью параметра второго порядка – нелинейному акустическому параметру.
Рисунок 3.14 - Зависимость K ef (x ) для воды с пузырьками при различном
гидростатическом давлении.
На рисунке 3.14 показана зависимость K ef (x ) для воды с пузырьками при различном
гидростатическом давлении. Видно, что при малых значениях концентрации наблюдается
линейный участок. Тем не менее, начиная с концентраций 10 -5 наблюдается нелинейная
154
зависимость от концентрации, которая имеет экстремальный характер. Так, например, при
гидростатическом давлении 1 атм. наблюдается максимум зависимости K ef (x ) , затем при
увеличении концентрации величина K ef (x ) заметно уменьшается.
Таким образом, с помощью формул (3.48) - (3.50) по методу нелинейной генерации может
быть реализована акустическая диагностика микронеоднородных жидкостей. Существенным
является то, что можно выделить 3 группы включений в жидкости, диагностирование которых
будет проходить по различным физическим параметрам: твердые частицы – по контрасту
плотностей жидкости и ФВ, пузырьки – по соотношению сжимаемостей жидкости и пузырьков,
слабоконтрастных ФВ (в основном биологического происхождения) – по контрасту нелинейных
параметров жидкости и ФВ.
155
3.2
Экспериментальные
исследования
взаимодействия
звука
с
фазовыми
включениями в микронеоднородных жидкостях
3.2.1 Исследования параметрического взаимодействия звука, поглощения и рассеяния
звука в пресной воде с пузырьками при различной концентрации
При небольших концентрациях фазовых включений коэффициент поглощения,
рассеяния, дисперсия скорости звука и параметр акустической нелинейности связаны линейной
зависимостью с концентрацией ФВ. Вместе с тем зачастую эксперименты проводятся в области
больших концентраций, когда нарушается линейная зависимость указанных параметров. Как
следует из результатов раздела 3.1 именно в этой области наблюдаются интересные
зависимости, позволяющие провести диагностику микронеоднородной среды акустическими
методами.
Акустические эксперименты в жидкости с пузырьками. Экспериментальная
установка. Рассмотрим результаты экспериментов по изучению поглощения, рассеяния звука и
акустической нелинейности, проведенных нами в воде с пузырьками при различной
температуре. Лабораторная установка состояла из измерительной ячейки размерами 50х50 см,
высота 25 см. Внутри расположены 2 перегородки, отделяющие зоны нагрева воды от
измерительной зоны. В измерительной зоне находился параметрический акустический
излучатель, гидрофон, электролитический генератор пузырьков, датчик температуры и
устройства для перемешивания и подогрева воды до 90 - 96˚С. Концентрация пузырьков в воде
изменялась при регулировании тока электролитического генератора пузырьков. Эксперимент
проводился на фиксированных частотах от 30 до 100 кГц с интервалом в 10 кГц, которые
излучались параметрическим излучателем со средней частотой накачки 700 кГц.
Рисунок 3.15 - Схема измерительной установки для исследования рассеяния, акустической
нелинейности и затухания звука в воде с газовыми и парогазовыми пузырьками.
156
Схема измерительной установки представлена на рисунке 3.15. На схеме введены
следующие обозначения: 1 – излучатель, 2 – гидрофон, 3 – датчик температуры, 4 – устройство
для перемешивания воды, 5 – генератор пузырьков, 6 – нагреватели, 7 – перегородки, отделяющие
измерительную зону от зоны нагревателей.
Малые размеры бассейна требовали применения высоких частот при измерениях. С этой
целью был разработан и изготовлен высоконаправленный параметрический излучатель на основе
пьезокерамического диска диаметром 7 см и резонансной частотой 715 кГц. Ширина
характеристика направленности излучателя составляла около 0.50, добротность Q на накачке
(резонансной частоте) – Q~20. Измерения проводились как в линейном, так и в параметрическом
режиме, поэтому важным параметром являлась длина ближней зоны излучателя, которая
составляла примерно 250 см. Режим работы параметрического излучателя по приведенным
параметрам оказался режимом Вестервельта [13]. Этот режим характеризуется тем, что длина
нелинейного взаимодействия Lnel взаимодействующих звуковых пучков целиком лежит в области
линейной диссипации La~1/, т.е. справедливо соотношение Lnel << La~1/, где  - коэффициент
затухания звука на частоте накачки 715 кГц, а длина нелинейного взаимодействия Lnel примерно
равна длине разрыва в волне накачки, когда начинает формироваться фронт ударной волны
Lnel~1/kM,  - нелинейный параметр, k - волновое число на частоте накачки, M – число Маха,
равное M=Pa/c2., Pa – давление в акустической волне вблизи излучателя.
Прием эхо-сигналов осуществлялся на частоте накачки излучателем, а на разностных
частотах широкополосным гидрофоном фирмы Brűel & Kjær типа 8103. Гидрофон закреплялся на
передвижной каретке и мог устанавливаться в любом месте внутри бассейна. Чувствительность
гидрофона в диапазоне 30-100 кГц составляла величину в интервале от 37 мкВ/Па до 29 мкВ/Па.
Температурный коэффициент чувствительности равен –0,04 дБ/˚С. Рабочий
диапазон
температур: от -40˚С до +120˚С.
Для изучения особенностей нелинейной генерации звука, рассеяния и поглощения был
разработан комплекс аппаратуры, включающий в себя устройство формирования сигнала, тракты
излучения и приема, средства обработки информации. Электронное оборудование обеспечивает
проведение измерений в линейном и параметрическом режимах, задание режима работы
генератора пузырьков по току.
Тракт приема ВРЧ выполнен по схеме с гетеродинированием частоты разностного сигнала
на промежуточную частоту, что позволяло работать без перестройки фильтров в режиме
сканирования частоты. Гетеродин и задающие генераторы тракта излучения выполнены по схеме
генераторов, управляемых напряжением, что дало возможность синхронизировать работу тракта
излучения и приема при сканировании по частотам. Тракт приема эхо-сигналов накачки –
двухканальный. Первый канал с низким коэффициентом усиления (обычно равным 1) позволяет
157
регистрировать без искажений амплитуды первых отражений эхо-сигналов накачки, а второй
канал
с большим коэффициентом
усиления
– дальние эхо-сигналы и
рассеяние на
микронеоднородностях. Схема установки показана на рисунке 3.16.
Рисунок 3.16 - Схема установки для измерения свойств жидкости с пузырьками.
На схеме введены следующие обозначения: 1 – таймер, управляющий режимом гетеродина
и генераторов частот накачки; 2 – генератор запуска и формирователь длительности импульса; 3 –
генераторы частот накачки; 4 – сумматор сигналов накачки; 5 – усилитель мощности; 6 –
электронный коммутатор; 7 – излучатель; 8 – гидрофон; 9 – генератор пузырьков; 10 – фильтр
частот накачки; 11 – гетеродин; 12 – фильтр; 13 - усилитель; 14 – амплитудный детектор; 15 –
источник тока генератора пузырьков; 16 – датчик температуры; 17 – многоканальная плата ввода
обрабатывающего компьютера.
Методика акустических измерений. Коэффициент линейного рассеяния звука mV на
различных частотах определялся для двух предельных случаев:
а) рассеяние происходит в ближней зоне на расстоянии r и тогда рассеивающий объем
определяется площадью поверхности излучателя πd2/4 и пространственной протяженностью
импульса сτ/2 :
2
8r 2  P s 
mV ( ) 

 ;
c d 2  Pi 
(3.51)
б) рассеяние происходит в дальней зоне, когда сечение звукового луча зависит от
характеристики направленности θ:
2
P 
mV ( )  2  s  ;
 c  Pi 
2
158
(3.52)
Здесь P s - давление в рассеянной волне на частоте  в точке приема и Pi - давление в
падающей на рассеивающий объем волне на частоте  . В случае рассеяния на разностной
частоте  , зависящего от давления P на частоте накачки  ,
его значение Pi ~| P |2
определяется по последовательным отраженным от противоположных стенок ячейки сигналам.
Коэффициент поглощения звука   на частоте  определялся по измеренным
коэффициентам суммарного затухания звука, коэффициенту отражения от стенок звука и учета
дополнительного затухания звука при рассеянии на пузырьках  sc . Коэффициент суммарного
затухания звука экспериментально определялся по спаду амплитуд последовательных
отражений от стенки бассейна, при этом коэффициент отражения от стенок калибровался в
идеальных условиях в условиях отсутствия пузырьков. Коэффициент затухания звука при
рассеянии
на
пузырьках
определялся
с
помощью
экспериментально
определенного
коэффициента рассеяния звука mV в виде  sc  2 mV
Нелинейный параметр  определялся несколькими методами:
а) по измерению расстояния разрыва r* в волне и пересчету в соответствии с выражением
[12, 25]
r *  1 / ( k M  ) ,
(3.53)
где k и M   P /  c 2 - волновое число и число Маха на частоте накачки, P - давление в волне
накачки на поверхности излучателя,  - плотность и c - скорость звука в жидкости;
б) по формуле [12, 13]
  4P (r )re r /  D RF 0 ln[2 RF  E /   /  ] ,

(3.54)
справедливой для дальнего поля в режиме Берктея параметрического излучателя (когда зона
нелинейного взаимодействия определяется сферической расходимостью пучков и затухание на
частоте накачки не лимитирует размер зоны эффективного взаимодействия волн накачки ), где
RF=kωd2/8 - параметр Фраунгофера, DΩ=kΩ d/4, γE = 1.78 – постоянная Эйлера, P0  P 1P 2 /  c 2 .
В условиях, когда зона нелинейного взаимодействия определяется не сферической
расходимостью пучков, а затуханием на частоте накачки, что отвечает режиму Вестервельта,
нелинейный параметр  определялся по формуле
  2 rP (r )e r /  D 20 [1  exp(2 r )] ,

(3.55)
куда наряду с указанными выше величинами входит коэффициент поглощения звука на частоте
накачки, предварительно измеряемый в каждом эксперименте.
Результаты измерения поглощения звука и акустической нелинейности. На
рисунках 3.17 – 3.18 представлены коэффициенты поглощения и акустической нелинейности
159
жидкости с пузырьками, создаваемыми электролизным способом [20] при различных токах I
(концентрациях пузырьков x). Видно, что при токе, превышающем 400-500 мА, наблюдается
резкий перегиб кривых. Исследования проводились на различных частотах 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90 кГц. В итоге экспериментально установлена нелинейная зависимость коэффициентов
поглощения, рассеяния звука и акустической нелинейности жидкости с пузырьками при
высоких концентрациях последних.
Рисунок 3.17 - Коэффициент поглощения
Рисунок 3.18 - Параметр акустической
звука в воде с газовыми пузырьками при
нелинейности воды с пузырьками при
различных токах I
различных токах I
Аналогичные по характеру зависимости  ( x) наблюдались в экспериментах других
авторов, имеющих дело с другими типами микронеоднородных жидкостей, например, с
концентрированными суспензиями жидкости с кварцевыми и стеклянными твердыми
частицами [27, 28]. Здесь полученные резкие переходы от одного линейного закона к другому
степенному закону были связаны с проявлением структурных переходов в суспензиях
фрактального типа. При этом указанный выше резкий переход напоминал явление кроссовера в
теории фрактальных структур. Теория данного перехода отсутствует и связь с проявлением
фрактальности структуры основывалась лишь на чисто внешним проявлении свойства,
напоминающего кроссовер. Отметим, что характер нелинейности в нашем случае и в случае
[27, 28] также отличался. Выше в разделе 3.1 были приведены выражения, которые при
больших концентрациях нелинейны по концентрации ФВ. Полученные в настоящей работе
экспериментальные результаты можно полностью объяснить на основе классических теорий:
теории самосогласованного поля Фолди [29] и теории гомогенного приближения.
160
3.2.2 Исследования параметрического взаимодействия в верхнем слое морской воды
(применение различных акустических излучателей)
Была изучена возможность использования узколучевых нелинейных параметрических
излучателей для зондирования неоднородностей морской среды с высоким пространственным
разрешением и показана его эффективность. Важной задачей в работе было всестороннее изучение
возможностей
взаимодействия
нелинейных
акустических
акустических
импульсов
методов
с
зондирования
различными
на
типами
основе
измерения
мелкомасштабных
неоднородностей в параметрическом режиме. В связи с необходимостью проведения работ с
применением параметрического режима излучения указанных нами были созданы и испытаны
параметрические излучатели различных типов. Кратко опишем применяемые излучатели.
Наиболее часто нами применялся мощный излучатель FURUNO с частотой накачки 200
кГц, который способен поддержать излучение при электрической нагрузке на резонансе W~2 кВт.
Внешний размер пьезокерамической пластины излучателя составляет 10 см, так
что
характеристика направленности на частоте 200 кГц в линейном режиме составляет около 4 0. На
рисунке 3.19 представлена структура осевого распределения поля параметрического излучателя на
основе данного излучателя, вычисленная для случая бигармонической накачки, когда амплитуда
давления на резонансе на поверхности излучателя составляла ~ 6 атм. Расчеты проводились для
идеального случая чистой морской воды без ФВ согласно [13].
Рисунок 3.19 - Структура осевого распределения поля параметрического излучателя,
вычисленного на различных разностных частотах при бигармонической накачке 200 кГц.
161
На рисунке 3.20 представлено осевое распределение акустического поля для указанного
излучателя, применяемого в параметрическом режиме с разностными частотами 15 кГц и 20 кГц
при накачке в бигармоническом режиме с средней частотой 200 кГц и амплитудой вблизи
поверхности излучателя 300 кПа.
а)
б)
Рисунок 3.20 - Структура осевого распределения поля параметрического излучателя, измеренная
на различных разностных частотах 15 и 20 кГц при накачке 200 кГц и представленная:
а) в линейном масштабе, б) в двойном логарифмическом масштабе.
Видно, что за счет нелинейного взаимодействия формируется пучок остронаправленного
излучения на низких частотах 15 и 20 кГц с достаточно высокой амплитудой в дальнем поле,
составляющем на частоте 15 кГц величину около 3-4 кПа*м. Из рисунка 3.20 б) видно, что на
малых расстояниях справедлива аппроксимация по линейному нарастанию сигнала разностной
частоты с расстоянием, что отвечает теоретическим представлениям [13, 25]. На расстояниях
больше 2 – 3 метров от излучателя наблюдается степенной закон спада с показателем n чуть
меньше -1, что свидетельствует о существенной роли поглощения даже на столь малых
расстояниях. Последнее указывает на возможную роль воздушных пузырьков в приповерхностных
слоях моря в резком увеличении диссипации энергии звука.
Следует особо подчеркнуть высокую концентрацию излучения на низких частотах,
характеристика направленности на частоте 15 кГц составляет всего лишь 4.50 . Для формирования
такой узкой характеристики направленности в обычном линейном режиме на частоте 15 кГц
потребовался бы излучатель с апертурой не менее 1.5 м. В нашем случае такую же узкую
характеристику направленности удалось достичь для излучателя с диаметром излучающей
поверхности всего 18 см.
Для еще более прецизионных измерений была подготовлена высоконаправленная
акустическая излучающая антенна, позволяющая реализовать параметрическое нелинейное
взаимодействие в широкой полосе разностных частот. Антенна состоит из 56 элементов в виде
162
круглого поршня с диаметром 45 мм. Все 56 элементов поделены на 4 отдельные группы, т.е.
каждая группа состоит из 14 связанных параллельно между собой элементов. Общий вид антенны
представлен на рисунке 3.21.
Рисунок 3.21 - Общий вид многоэлементной антенны.
На рисунке 3.22 представлена структура осевого распределения поля параметрического
излучателя на основе данной антенны, вычисленная для случая бигармонической накачки с
суммарной мощностью излучения в импульсе 300 Вт.
Рисунок 3.22 - Структура осевого распределения поля параметрической антенны с частотой
накачки 450 кГц.
163
На рисунке 3.23 представлена амплитудно-частотная характеристика параметрической
антенны, измеренная в морских экспериментах с накачкой ~425 и ~457 кГц и разностной частотой
~32 кГц. Видно, что измерения на расстояниях ~10-20 м дают разность между давлением в волне
накачки и волне разностной частоты около 20 дБ. Сравнивая с результатами расчетов,
представленными на рисунке 3.22, видно, что наблюдается совпадение на расстоянии около 20 м.
Следует отметить, что направленность для такой антенны на разностных частотах в интервале 2070 кГц составляет чрезвычайно малую величину около 0.40.
Рисунок 3.23 - Амплитудно-частотная характеристика параметрической антенны с накачкой 425
кГц и 457 кГц и разностной частотой ~32 кГц.
3.2.3. Акустические критерии кавитации и кавитационная прочность морской воды
Исследования кавитационной прочности морской воды были проведены с применением
акустического концентратора в форме цилиндра с резонансной частотой 10 кГц. Регистрация
кавитации осуществлялась по акустическим шумам, присущим кавитационному режиму. Шумы
регистрировались с помощью измерительных гидрофонов фирмы “Ахтуба” (рабочая полоса
частот 0.01-300000 Гц) и фирмы Bruel&Kjaer, тип 8103 (рабочая полоса частот 0.01-200000 Гц).
Запись сигналов осуществлялась в цифровом виде с помощью многоканальной 14 разрядной
платы E20-10 фирмы Л-кард с максимальной частотой оцифровки 5 МГц. Высокое напряжение на
излучатель подавалось на частоте резонанса 10.7 кГц с помощью усилителя мощности типа Phonic
XP 5000 с максимальной мощностью 2 кВт и подстраиваемой индуктивностью, компенсирующей
на частоте резонанса емкостную нагрузку. При зондировании в морских условиях гидрофон
прикреплялся с внешней стороны концентратора вблизи свободного торца. Предварительно
устанавливалось
соотношение
между
акустическими
характеристиками,
измеряемыми
гидрофоном снаружи и внутри концентратора. Соответствующие поправки вносились в
дальнейшем в показания внешнего гидрофона при проведении экспериментов в морских условиях.
164
При проведении кавитационных исследований особое внимание было сосредоточено на
изучениях зависимости порога кавитации от различных критериев обнаружения разрыва
сплошности морской воды: по нелинейности кривой излучаемой мощности на частоте
излучаемого сигнала ws , по второй гармонике P2 w , по суммарным высшим гармоникам
е
Pw , а
w> ws
также по субгармоникам Pw/ 2 и P3 w/ 2 [30-32].
На рисунках 3.24 и 3.25 представлены зависимости от времени амплитуды напряжения на
гидрофоне и на излучателе, нагружаемом на кавитирующую жидкость с переменным импедансом.
Здесь же на врезке представлены зависимости от времени спектральных характеристик указанных
выше сигналов с гидрофона и с излучателя. Глубина, на котором располагался макет измерителя
кавитационной прочности, составлял 2.5 м для сигналов, представленных на рисунке 3.24 и 3.5 м
для сигналов, представленных на рисунке 3.25.
Рисунок 3.24 - Зависимости от времени амплитуды напряжения на гидрофоне и на излучателе, на
врезке - зависимости от времени спектральных характеристик у сигналов с гидрофона и с
излучателя. Глубина 2.5 м
165
Рисунок 3.25 - Зависимости от времени амплитуды напряжения на гидрофоне и на излучателе, на
врезке - зависимости от времени спектральных характеристик у сигналов с гидрофона и с
излучателя. Глубина 2.5 м
Видно, что при высоких напряжениях сигналов наблюдается резкий изгиб зависимостей
U(t), который в спектральной области отвечает резкому обогащению спектральных характеристик
акустического шума предположительно кавитационного происхождения. Этот изгиб может быть
положен в основу одного из критериев порога кавитации и измерения на его основе
кавитационной прочности морской воды. Соответствующие значения кавитационной прочности
представлены на рисунках 3.24 и 3.25.
На рисунке 3.26 представлены зависимости от напряжения на излучателе различных
спектральных составляющих акустического шума: сигнала субгармоники P3w/ 2 (U source (t )) на
частоте 3/2s , суммарных высших гармоник
е
Pw (U source (t )) , а также высших гармоник
w> ws
е
Pw (U source (t )) , начиная с 6 гармоники. Глубина, на котором располагался макет измерителя
w> 5 ws
кавитационной прочности, составлял 3 м.
166
Рисунок 3.26 - Зависимости от от напряжения на излучателе спектральных составляющих
акустического шума: сигнала субгармоники P3w/ 2 (U source (t )) , суммарных высших гармоник
е
е
Pw (U source (t )) и высших гармоник
w> ws
Pw (U source (t )) , начиная с 6 гармоники.
w> 5 ws
Из рисунка 3.26 видно, что можно четко выделить 2 порога кавитации, отличающихся
более чем в 2 раза: по изгибу кривой
е
Pw (U source (t )) и по началу асимптотики всех
w> 5 ws
перечисленных кривых и, особенно, - кривой
е
Pw (U source (t )) . Первый порог отвечает началу
w> ws
кавитации, а второй порог – началу бурной кавитации, сопровождающейся резким уменьшением
акустического импеданса. Таким образом, критерий порога кавитации является в определенной
мере достаточно условным. Тем не менее, с позиций обнаружения именно начала кавитации, как
начала разрыва сплошности жидкости и начала образования пузырьков в жидкости, можно
считать кавитационной прочностью жидкости в данном примере первый порог, составляющий
Pc 1 =105 кПа.
На рисунке 3.27 представлены зависимости от времени различных спектральных
составляющих акустического шума: сигнала субгармоники P3 w/ 2 (t ) на частоте 3/2s , суммарных
гармоник PS w (t ) =
е
Pw (t ) в интервале частот S w =1 кГц – 1 МГц, высших гармоник
w
PS 6w (t ) =
е
Pw (t ) , начиная с 6 гармоники. Глубина, на котором располагался макет измерителя
w> 5 ws
кавитационной прочности, составлял 3 м.
167
Результаты, представленные на рисунке 3.27, соответствуют результатам, представленным
на рисунке 3.26, так как получены в одном и том же эксперименте, но обработаны в различном
виде. Сопоставляя результаты на рисунке 3.26 и рисунке 3.27, можно видеть, что первый порог
Pc 1 =105 кПа отвечает началу кавитации, а второй порог Pc 2 =244 кПа, находящемся на
асимптотическом участке PS w (t ) , соответствует началу бурной кавитации.
Рисунок 3.27 - Зависимости от времени сигнала субгармоники P3 w/ 2 (t ) , суммарных гармоник
PS w (t ) в интервале частот S w =1 кГц – 1 МГц и высших гармоник PS 6 w (t ) , начиная с 6 гармоники.
Экспериментальные исследования кавитационной прочности морской воды проводились в
осенний период в б.Витязь залива Петра Великого Японского моря. На рисунке 3.28 представлены
распределения температуры и солености морской воды в зависимости от глубины. Из рисунка 3.28
видно, что наблюдается четко выраженный верхний перемешанный слой с квазиоднородными
температурой и соленостью, простирающийся до глубины около 6-8 метров. Ниже идет ярко
выраженный
слой
скачка,
характеризующийся
гидрофизических параметров морской воды.
168
высокими
вертикальными
градиентами
Рисунок 3.28 - Распределения температуры и солености морской воды в зависимости от глубины.
На рисунке 3.29 представлена кавитационная прочность морской воды в зависимости от
глубины, измеренная в серии экспериментов в одном и том же месте в б.Витязь, гидрология
которой отвечает рисунок 3.28. Измерения проводились при вертикальном зондировании макетом
с НИС “Малахит” в октябре 2012 г. Напряжение непрерывно изменялось при зондировании. Так
что измерения каждой точки кавитационной прочности проводились в определенном интервале
глубин около 0.5 метра. Отдельные точки на рисунке 3.29 отвечают указанным интервалам
глубин. В качестве критерия кавитации были взяты данные по первому порогу кавитации Pc 1 .
Ошибки измерений кавитационной прочности указаны на графике и отчасти отражают
статистическую природу акустической кавитации.
Рисунок 3.29 - Кавитационная прочность морской воды в зависимости от глубины.
Из рисунка 3.29 видно, что кавитационная прочность морской воды существенно зависит
от глубины в подповерхностном слое толщиной до 6 метров, а затем зависимость от глубины
169
выражена слабо. На врезке показан внешний вид акустического концентратора с прикрепленным к
нему гидрофоном фирмы “Ахтуба” для регистрации кавитационных шумов при разрыве
сплошности морской воды под действием звука.
Полученные результаты по понижению кавитационной прочности морской воды в
приповерхностном слое мы связываем с наличием газовых пузырьков, всегда присутствующих в
этом слое. Обращаясь к теоретическим результатам для кавитационной прочности воды с
пузырьками, представленными на рисунках 3.10 и 3.11, можно видеть, что экспериментально
обнаруженное понижение до 20 кПа кавитационной прочности воды в непосредственной близости
поверхности моря, которое представлено на рисунке 3.29, можно объяснить присутствием
воздушных пузырьков с суммарной объемной концентрацией 1.2*10-4.
3.2.4 Исследования акустической нелинейности морской воды
Для выполнения работ по исследованию нелинейных процессов была отработана методика
и проведены исследования нелинейного рассеяния звука и нелинейного параметра морской воды
на отдельных станциях. Исследования проводились с помощью зондирующей установки на основе
акустической антенны, излучатели которой установлены под углом для схождения акустических
пучков в области нелинейного взаимодействия с микронеоднородностями морской среды.
Акустическая антенна представляла собой два пьезокерамических излучателя, расположенных под
углом друг к другу, в точке пересечения осей излучателей на кронштейне располагался
измерительный гидрофон типа 8103 фирмы Bruel&Kjaer чувствительностью 26.9 мкВ/Па или
измерительный гидрофон фирмы “Ахтуба” чувствительностью 100 мкВ/Па (внешний вид его
показан на врезке рисунка 3.29). Расстояние от гидрофона до каждого из излучателей – около 40
см. Схема измерения и внешний вид установки представлен на рисунке 3.30.
Рисунок 3.30 - Схема измерения и внешний вид установки: 1,2 - генераторы ГСПФ-053, 3 –
первый канал усилителя мощности Phonic XP 5000, 4 – второй канал усилителя мощности Phonic
XP 5000, 5 - гидроакустическая антенна, 6 - гидрофон типа 8103 фирмы Bruel&Kjaer, 7 –
усилитель типа 2650 фирмы Bruel&Kjaer, 8 - селективный нановольтметр SN-233, 9 - компьютер с
АЦП Е20-10 фирмы Л-Кард.
170
Процедура измерений была следующей. Генератор 1 формировал импульсы с частотой
заполнения 57 кГц , генератор 2 - импульсы с частотой заполнения 63 кГц . Длительность
импульсов в обоих каналах – 2,3 мс, период посылок – 12 мс, 18 мс и 90 мс в разных режимах
излучения, управление параметрами сигналов генераторов осуществлялось с компьютера.
Импульсы усиливались двумя каналами усилителя мощности Phonic XP 5000 с подключенными к
его выходам повышающими трансформаторами, амплитуда сигналов на каждом излучателе
антенны составляла 540 В. Принятые сигналы обратного рассеяния с гидрофона подавались на
согласующий усилитель типа 2650 фирмы Bruel&Kjaer с изменяемым коэффициентом усиления,
для фильтрации и дополнительного усиления сигналов использовался селективный нановольтметр
SN-233 с изменяемой полосой пропускания. Оцифровка сигнала производилась с помощью 14
разрядной АЦП Е20-10 фирмы Л-кард с записью на компьютер, частота квантования – не менее
500 кГц. Вертикальное зондирование осуществлялось путем опускания и подъема антенны с
закрепленным на ней приемным гидрофоном на тросе.
На рисунке 3.31 представлен спектр акустического сигнала, полученного с помощью
гидрофона, расположенного вблизи области пересечения пучков. Частоты накачки составляли 57 и
63 кГц. Из рисунка 3.31 виден сигнал на разностной частоте 6 кГц и множество спектральных
составляющих на комбинационных частотах. Наиболее значительными являются генерируемые
сигналы на суммарной частоте w1 + w2 » 2w .
Рисунок 3.31 - Спектр акустического сигнала, генерируемого в области пересечения пучков.
На рисунке 3.32 представлено распределение по глубине акустического сигнала на второй
гармонике P2w / Pw Pw , генерируемого в области пересечения пучков. При этом проводилось
1
2
нормирование на мощность излучаемого сигнала на накачках 57 и 63 кГц.
171
Из рисунка 3.32 видно, что в приповерхностном слое до глубины 7-10 метров наблюдается
значительная изменчивость величины
P2 w / Pw Pw
1
при превышении над фоновым значением,
2
достигающим 30 дБ. Столь значительное превышение свидетельствует о существенном
увеличении нелинейности подповерхностного слоя вплоть до указанной глубины 6-8 метров.
Указанное повышение акустической нелинейности мы связываем с наличием воздушных
пузырьков, которые всегда присутствуют в подповерхностном слое и существенно увеличивают
параметр акустической нелинейности морской воды. Следует отметить, что именно до глубины 68 метров простирается верхний перемешанный слой, как это можно видеть из врезки на рисунке
3.32.
Рисунок 3.32 - Распределение по глубине акустического сигнала на второй гармонике,
генерируемого в области пересечения пучков.
172
3.3 Экспериментальные исследования рассеяния звука в деятельном слое моря
В настоящем разделе представлены результаты исследований структуры мелкомасштабных
неоднородностей в деятельном слое моря с применением акустического зондирования.
Акустические исследования основывались на методе обратного рассеяния звука. Акустические
методы позволяли оценить вклад достаточно крупных фазовых включений, составляющих
гетерогенные неоднородности в деятельном слое моря: крупный планктон (в основном,
зоопланктон), рыбу, твердые взвеси, пузырьки газа и др. Выявлена сложная пространственная
структура мелкомасштабных неоднородностей приповерхностного слоя моря. Проанализированы
характерные вариации глубины залегания термоклина, связанные с приливными течениями и
внутренними волнами различных масштабов. Показано, что метод акустического зондирования
позволяет изучать мелкомасштабную структуру водной среды в шельфовой части моря и ее
пространственно-временную изменчивость, связанную с проявлением внутренних волн, наличием
пузырьков, планктона, турбулентных образований, твердых взвесей.
3.3.1 Особенности акустического зондирования с движущегося судна, аппаратура и
методики, районы исследований
Исследования характеристик рассеяния звука представляет интерес в связи с возможностью
проводить оценку структуры морской среды [6, 26, 33]. Такая возможность особенно важна вблизи
фронтальных зон и границ течений, когда характеристики среды изменяются на небольшом
расстоянии и поэтому никакие контактные методы не позволяют осуществлять подробную
пространственную съемку структуры среды вблизи таких границ [6]. Важным оказывается
применение дистанционных методов для исследования рассеяния звука в верхнем слое морской
воды в шельфовой зоне и мелководных морях. Исследования рассеяния звука в шельфовой зоне
Японского моря и его заливах проводились регулярно на НИС “Импульс” и НИС “Малахит” в
1998-2009 гг.
Изучение рассеяния звука составляет основу дистанционного метода мониторинга
структуры
и
динамики
мелкомасштабных
неоднородностей
в
деятельном
слое
моря.
Значительный интерес представляют исследования рассеяния, обусловленные зоо и фито
планктоном, газовыми пузырьками и рыбами, имеющими плавательный пузырь [6]. На практике
часто возникает необходимость получения информации не только о суммарной концентрации, но
также о раздельном вкладе каждого из типов включений. Частично задачи такого типа решались с
применением методов акустической спектроскопии [10, 26, 33-35].
Экспериментальные методы и аппаратура. Метод измерения коэффициентов рассеяния
звука в приповерхностном слое моря основывался на остронаправленном излучении звука, приеме
сигналов обратного рассеяния звука, вводу, записи и первичной обработки акустической
информации на персональных компьютерах. Метод прошел многолетнюю апробацию в
173
экспедиционных условиях, его основные черты отражены в [6, 26, 33, 36, 37]. Обработка сигналов
рассеяния звука с целью визуализации пространственных структур проводилась с применением
специально разработанных программ SCATTER (автор Соседко С.Н.), AVIEWER (автор Демичев
Д.А.), BinaryAcoustics (авторы Боровой Д.И., Стороженко А.В.).
Основные акустические измерения были выполнены с применением акустического
профилографа течений ADP фирмы SONTEC (США), который позволял изучать рассеяние звука
на частоте 250 кГц. Основные характеристики ADP: три акустических преобразователя с
ориентацией 250 от вертикальной оси одинаково расположены под углом 1200 относительно
азимута. Давление акустического сигнала Р ~ 105 Ра, диаграмма направленности θ ~ 20,
длительность импульса τ = 1.4 мс. Диапазон профилирования 150-220 м с максимальным
разрешением 1.5-2 м. ADP включает датчик температуры, давления и поддерживает
последовательный
коммуникационный
протокол
Использовалась
также
дополнительная
акустическая система измерения рассеяния звука на других частотах. Наиболее часто
применяемым излучателем был мощный излучатель FURUNO с частотой накачки 200 кГц,
который способен поддержать излучение при электрической нагрузке на резонансе W~2 кВт.
Функциональная схема типичной акустической системы для измерения рассеяния звука
представлена на рисунке 3.33.
Рисунок 3.33 - Функциональная схема типичной акустической системы для
измерения рассеяния звука.
Использовались также акустические излучатели с другими частотами 200 кГц, 150 кГц и 50
кГц, которые крепились на носу и по борту судна на глубине около 1.3 м.
Система измерения рассеяния включала в себя тракт излучения звука с различными
частотами, пьезокерамические преобразователи, тракт приема и систему ввода и первичной
обработки акустической информации. Система ввода и первичной обработки акустической
174
информации включала в себя 14 разрядную плату ввода LA2USB с предельной частотой
квантования 400 кГц, многоканальный цифровой регистратор МА-16 с предельной частотой
записи 200 кГц, персональные компьютеры и специальные программы обработки и визуализации
акустических сигналов.
Важным для успешного продвижения работ по изучению рассеяния звука было выполнение
настройки и адаптации для задач исследования рассеяния звука двухчастотного гидролокатора на
базе рыбопоискового эхолота FURUNO FCV 1150. В итоге была решена задача съема информации
с наименьшими помехами, которая позволила провести в дальнейшем исследования по рассеянию
звука в районах с малой концентрацией микронеоднородностей в морской среде. Принципиальная
схема подключения эхолота FURUNO FCV 1150 в нашу измерительную схему представлена на
рисунке 3.34.
Рисунок 3.34 - Принципиальная схема подключения эхолота FURUNO FCV 1150 в измерительную
схему с цифровым вводом в компьютер через высокочастотную интерфейсную плату E20-10.
Навигационная система на базе прибора GPSMAP-130 обеспечивала привязку временного
распределения данных по рассеянию на измеряемых трассах к географическим координатам.
На рисунках 3.35-3.36 представлены фотографии типичной аппаратуры для исследований
рассеяния звука. Аппаратура устанавливалась на борту НИС “Импульс” и “Малахит”. На рисунке
3.35 внизу справа изображен комплекс пьезокерамических излучателей для донной станции
(морской гидрофизический полигон МЭС “Шульц” ТОИ ДВО РАН): 1 – 3-х элементный
излучатель с частотами 138 кГц, 216 кГц и 519 кГц, 2 – параметрический излучатель с частотой
накачки 300 кГц, 3- излучатель с частотой 170 кГц; вверху справа – цилиндрический
пьезокерамический излучатель, устанавливаемый на дно и предназначенный для задач
исследования распространения звука с средней частотой 2.5 кГц, внутри которого установлен
излучатель с частотой 150 кГц для исследования рассеяния звука. На рисунке 3.36 изображен
трехлучевой комплекс для исследования рассеяния звука на базе акустического доплеровского
175
профилографа ADP фирмы SONTEC (США) с рабочей частотой 250 кГц. Комплекс включает
трехлучевую антенну, блок питания в цилиндрическом боксе и измеритель температуры и
солености Sea Bird с регистрацией в в памяти блока ADP. Комплекс может производить измерения
в автономном режиме и в режиме реального времени. В последнем случае отдельная антенна с
излучателями крепится на борту судна на выдвижном креплении, так чтобы заглубление антенны
было не меньше 1.5 метров.
Рисунок 3.35 - Типичные акустические излучатели для исследований рассеяния звука: внизу на
желтой штанге пьезокерамический излучатель с резонансной частотой 147 кГц.
Рисунок 3.36 - Трехлучевой комплекс для исследования рассеяния звука на базе акустического
доплеровского профилографа ADP фирмы SONTEC (США).
176
В итоге был проведен большой цикл работ по исследованию рассеяния звука с целью
получения
информации
о
различных
типах
неоднородностей,
размерного
состава
и
пространственного распределения неоднородностей в деятельном слое океана. Получены
результаты акустического зондирования верхнего слоя морской воды в Японском и Охотском
море. Работы по изучению рассеяния звука на различных частотах проведились также на шельфе
Японского моря, в заливе Петра Великого, где были отработаны основные методы и изучены
основные акустические характеристики. Работы проводились в морских экспедициях на
малотоннажных НИС “Малахит” и “Импульс” (шельф Японского моря), типичные трассы вдоль
которых проводились исследования показаны на рисунке 3.37 и рисунке 3.38.
Кроме того, были проведены исследования по рассеянию звука в Охотском и Японском
морях как на шельфе, так и в глубоком море и переходной зоне от глубокого к мелкому морю, в
экспедиции на ПУС “Надежда” (август 2010 г.). Схема маршрута экспедиции на ПУС “Надежда”
представлена на рисунке 3.39. По всем трассам движения проводились непрерывные записи
сигналов обратного рассеяния звука на различных частотах.
Рисунок 3.37 - Структура рассеяния звука в шельфовой зоне Японского моря (в заливе Посьет
вблизи гидрофизического полигона ТОИ ДВО РАН).
177
Рисунок 3.38 - Схема типичных трасс в
шельфовой зоне Японского моря, вдоль
которых проводились исследования
рассеяния звука на различных частотах:
Рисунок 3.39 - Схема маршрута экспедиции
на ПУС "Надежда" в Японском и Охотском
морях (август 2010 г.).
1) июнь 2) август 3) октябрь 2011 г.
3.3.2 Наиболее типичные результаты по рассеянию звука в Японском и Охотском
море
Для описания рассеяния звука в среде с микронеоднородностями вводят понятие
коэффициента рассеяния mV [29], который в приближении однократного рассеяния (борновском
приближении) определяется согласно выражению:
I bs = I iV mV / r 2 ,
(3.56)
где I bs : Pbs 2 , I i : Pi 2 - интенсивности падающего на неоднородность и рассеянного звука
соответственно, при этом Pi и Pbs - соответственно, амплитуды падающей на объем V волны и
рассеянной в обратном направлении, r - расстояние до неоднородности, V - импульсный
рассеивающий объем среды. Для остронаправленных излучателей, работающих в импульсном
режиме, объем V можно записать в виде V = pr 2q2ct / 2 , где q - ширина диаграммы
направленности излучателя, c - скорость звука, t - длина импульса звука. Из формулы (3.56)
можно получить экспериментальное значение коэффициента обратного рассеяния звука в
жидкости в виде [6, 26, 33-35]
mV
2
=
pq2c t
жPbs
зз
зи Pi
ц2
ч
.
ч
ч
ш
178
(3.57)
Часто коэффициент рассеяния звука mv записывают в логарифмической форме – в
децибелах согласно следующей формуле
SV (w) = 10 lg mV (w) ,
(3.58)
при этом размерность mv берут в м-1. С помощью формул (3.57)-( 3.58) можно экспериментально
определить частотную зависимость mV ( w) или SV ( w) , которая позволяет установить тип
рассеивателей, а также некоторые их характеристики, например, функцию распределения по
размерам g(R ) или объемную концентрацию V 0 , определяемую в виде
V 0 = (4p / 3) т
R max
R min
R 3g(R )dR ).
(3.59)
Формулы (3.56)- (3.58) были положены в основу определения коэффициентов рассеяния
звука на основании экспериментальных данных по измерениям амплитуд падающей на объем V
волны и рассеянной в обратном направлении Pi и Pbs , соответственно.
Рисунок 3.40 - Рассеяние звука на частоте 200 кГц на трассе в заливе Петра Великого Японского
моря (расположение трассы показано во врезке) в осенний период.
На рисунке 3.40 представлены результаты исследований рассеяния звука на частоте 200
кГц вдоль трассы в заливе Петра Великого Японского моря (расположение трассы показано во
врезке) в осенний период. Видно мощное рассеяние практически во всей толще. В зависимости от
расположения трассы по отношению к островам на шельфе залива
изменение характера рассеяния звука и
связанных
видно существенное
с этим процессом распределения
неоднородностей в морской воде. Обращает на себя внимание существенное внедрение
неоднородностей в толщу воды в районе между архипелагом Римскова-Корсакова и мысом
Гамова. Эта глубоководная часть залива является открытой для беспрепятственного захода
179
внутренних волн из открытого моря, что иллюстрируется на рисунком 3.40. Как видно из рисунка
3.40 мощное рассеяние звука сосредоточено вблизи поверхности в слое 10-20 метров.
Весьма сложным по структуре рассеяния звука являются области моря со сложным
рельефом дна. Так на рисунке 3.41 показан один из подобных примеров, из которого видно, что во
всей толщи морской среды наблюдается интенсивное рассеяние звука.
Рисунок 3.41 - Структура коэффициента рассеяния звука в области
со сложным рельефом дна.
Рисунок 3.42 - Распределение логарифма коэффициента рассеяния звука SV (w) = 10 lg mV (w) при
прохождении внутренней волны через подводную возвышенность.
Отдельно
были
проведены
исследования
динамики
внутренних
волн
при
их
взаимодействии с морским дном. На рисунке 3.42 представлена типичная картина прохождения
180
внутренней волны через подводную возвышенность. Как видно из рисунка 3.40 основное
рассеяние звука сосредоточено вблизи поверхности в слое 10-20 метров.
Интересно сравнить типичные данные по рассеянию звука в Охотском море с данными для
Японского моря. На рисунке 3.43 представлены данные по рассеянию звука на частоте 100 кГц на
трассе 52 км в Охотском море (вблизи мыса Елизаветы, северная оконечность о.Сахалин). Из
сравнения результатов, представленных на рисунках 3.43 и 3.40, видны отличия в характере
рассеяния звука, характеризующиеся более сильным звукорассеивающим слоем в Охотском море
по сравнению с шельфом Японского моря. Из рисунка 3.43 хорошо видны характерные вариации
рассеяния звука, связанные с внутренними волнами, локализованными вблизи верхней и нижних
границ термоклина на глубинах около 4-6 м и 10-15 м, соответственно.
Рисунок 3.43 - Рассеяние звука на частоте 100 кГц на трассе протяженностью 52 км в Охотском
море (вблизи мыса Елизаветы, о.Сахалин) в августе 2010 г.
На рисунке 3.44 представлены результаты исследований рассеяния звука на частоте 100
кГц вдоль различных трасс в Охотском море в 2004 и 2010 гг. Из рисунка 3.44 видно, что в
глубоководной части моря четко видны суточные вариации коэффициента рассеяния звука,
обусловленные суточными перемещениями планктона по глубине. Разница в значениях силы слоя
в дневное и ночное время в 2004 г. для северной трассы составляла величину более 10 дБ. Разница
в значениях силы слоя в дневное и ночное время изменяется вдоль южной трассы 2010 г. и
составляет в среднем такую же величину 10 дБ. Следует отметить, что характер рассеяния звука
на шельфе вблизи Курильских островов значительно отличается от его поведения в глубоководной
части моря.
181
Рисунок 3.44 - Исследования рассеяния звука на частоте 100 кГц вдоль различных трасс в
Охотском море в 2004 и 2010 гг.
На рисунке 3.45 представлена запись звукорассеивающих слоев на частоте 100 кГц на
трассе 420 км в северной части Японского моря (от пролива Лаперуза к берегам Приморья). Из
рисунка 3.45 видны характерные вариации рассеяния звука, связанные с суточными миграциями
биологических неоднородностей морской среды. Видно, что рассеяние звука на частоте 100 кГц
хорошо регистрируется
только в верхнем слое моря, что связано как с резко выраженным
поглощением звука на высоких частотах, так и с отсутствием микронеоднородностей, достаточно
эффективно взаимодействующих со звуком на частоте 100 кГц. Несмотря на, казалось бы,
небольшую информативность результатов, представленных на рисунке 3.45, тем не менее после
специальной обработки с учетом сложных сигналов удается получить данные для коэффициента
рассеяния звука.
182
Рисунок 3.45 - Рассеяние звука на частоте 100 кГц на трассе протяженностью 420 км в северной
части Японского моря в августе 2010 г.
Рисунок 3.46 - Коэффициент рассеяния звука в логарифмическом виде Mv=10lg(mV)+150 на
частоте 100 кГц для трассы рисунка 3.45.
Важное направление в акустической океанографии, которое складывается в последние годы
в исследованиях зарубежных ученых, заключается в изучении акустическими методами детальной
структуры распределения течений и внутренних волн. С аналогичной
целью нами были
предприняты исследования рассеяния звука на звукорассеивающих слоях в бухте Витязь
Японского моря вдоль ряда трасс, пересекающих неоднородность вихревого характера,
локализованную на акватории бухты.
183
Рисунок 3.47. Рассеяние звука на частоте 147 кГц вдоль трасс (врезка вверху справа),
пресекающих вихревую структуру, хорошо видную на поверхности моря (врезка вверху слева) в
бухте Витязь Японского моря.
Из рисунка 3.47 хорошо видна сложная структура пространственного распределения
коэффициента рассеяния звука вдоль трасс (врезка вверху справа), пересекающих вихревую
структуру, хорошо видную на поверхности моря (врезка вверху слева). В частности можно видеть
постепенное заглубление звукорассеивающих слоев от центра вихря к его периферии, которое
наблюдается с определенными вариациями глубины залегания, отвечающими расположению
сликов на поверхности моря. Таким образом, из рисунка 3.47 видно, что выявлены
пространственные вариации коэффициента рассеяния звука mV, модулированные внутренними
волнами (внизу рисунков – вариации mV на глубине 7 метров).
Таким образом, на ходу судна удается вдоль длинных трасс регистрировать существенные
пространственные вариации коэффициента рассеяния звука, которые модулируются внутренними
волнами. Более значительные пространственные масштабы скорее всего оказываются связанными
с географическими особенностями распределения мелкомасштабных неоднородностей в толще
морской воды.
Для изучения временной изменчивости рассеяния звука и связанных с ним распределений
мелкомасштабных неоднородностей были проведены исследования на суточных (полусуточных)
184
станциях. В первую очередь представляло интерес изучение суточных вариаций коэффициента
рассеяния звука, которые хорошо изучены для глубокого моря на низких частотах порядка единиц
кГц – первые десятки кГц. Изменчивость коэффициента рассеяния звука на боле высоких частотах
порядка сотен кГц в мелководных районах гораздо менее изучена.
Эксперименты в шельфовой зоне Японского моря с использованием трехлучевого
излучателя ADP, проведенные в летний период 2009 г., выявили значительную анизотропность
вдоль лучей поля обратного рассеяния звука (см. Рис 3.48). На рисунке 3.48 такая анизотропия
видна из распределения коэффициента рассеяния звука при направлении луча поперек приливного
течения (верхний рисунок) и вдоль (средний рисунок). Данное обстоятельство связано с
анизотропией коэффициента объемного рассеяния звука, которая, предположительно, возникает
вследствие наличия турбулентных мелкомасштабных течений в приливной период.
Следует отметить также еще дополнительное обстоятельство, связанное с временной
изменчивостью коэффициента рассеяния звука в течение суток, которая связана с приливным
циклом, изображенным на рисунке 3.48 (нижний рисунок). Хорошо видно, что структура
коэффициента рассеяния звука в спокойные периоды максимума или минимума прилива
существенно отличается от его структуры в динамический период, как при направлении к отливу,
так и к приливу. На рисунке 3.48 соответствующие зоны для иллюстрации отделены
вертикальными линиями.
Рисунок 3.48 - Распределение коэффициента рассеяния звука на частоте 250 кГц при направлении
луча поперек приливного течения (верхний рисунок) и вдоль (средний рисунок). На нижнем
рисунке представлено распределение прилива в течение суток. Станция расположена в заливе
Петра Великого вблизи мыса Шульц 04.09.2009 г.
185
На рисунке 3.49 представлено распределение коэффициента рассеяния звука на частоте 250
кГц по различным лучам на полусуточной станции в заливе Петра Великого вблизи о. Попова (в
районе пролива Старка) 20.07.2010 г. Хорошо видно различие в структуре рассеяния звука вдоль
различных лучей, что характеризует анизотропность в рассеянии звука.
Рисунок 3.49 - Распределение коэффициента рассеяния звука на частоте 250 кГц по различным
лучам на полусуточной станции в заливе Петра Великого вблизи о. Попова (в районе пролива
Старка) 20.07.2010 г.
На рисунке 3.50 представлено распределение во времени среднего по глубине
коэффициента рассеяния звука на частоте 250 кГц на полусуточных станциях в заливе Петра
Великого вблизи о.Попова 20.07.2010 г. (красная кривая) и вблизи мыса Шульц 04.092009 г.
(черная кривая). Видно что в течение полусуток коэффициент рассеяния звука сильно изменяется,
наиболее значительные контрасты D mV наблюдаются при переходе от светлого времени суток к
темному и обратно. Так для обеих станций D mV составляет величину D mV ~ 8 - 10 дБ, в то
время как абсолютные значения m V для станции внутри залива Петра Великого вблизи о.Попова
примерно на 10 дБ выше m V для на станции на периферии залива Петра Великого вблизи мыса
Шульц. Последнее, в частности, характеризует высокую неоднородность распределения биомассы
в заливе. Подчеркнем, что характерные контрасты D mV для обеих станций оказались примерно
равными.
186
Рисунок 3.50 - Распределение во времени среднего по глубине коэффициента рассеяния звука на
частоте 250 кГц на станциях в заливе Петра Великого вблизи о. Попова 20.07.2010 г. (верхняя
красная кривая) и вблизи мыса Шульц 04.09.2009 г. (нижняя черная кривая).
3.3.3 Рассеяние звука на планктоне в различные сезоны
На рисунке 3.51 представлены результаты рассеяния звука, полученные в осенний период.
Из рисунка 3.51 видно мощное глубинное рассеяние звука, тем не менее наблюдается также
значительное рассеяние звука в приповерхностных слоях моря. Аналогичный вывод следует из
данных о флуктуации вертикальной компоненты и горизонтальной компоненты скорости частиц
среды (рисунок 3.49, компонента перпендикулярна направлению движения судна).
Рисунок 3.51 - Акустические данные, полученные на частоте 250 кГц на трассе б.Витязь Владивосток на дистанции 70 км в осенний период 08.10.2011г.
187
Охарактеризуем наиболее типичные результаты. Для характеристики звукорассеивающего
слоя (ЗРС) часто вводят силу слоя по формуле
йhmax
щ
S l (w) = 10 lg ккт mV ( w, z )dz ъ
ъ
кл 0
ъ
ы
(3.59)
где h max - максимальная толщина слоя, например, до дна или до границы зондирования (зачастую
h max выбирают равной толщине верхней части деятельного слоя океана h max =200 м). Видно, что
сила слоя величина безразмерная, но зависящая от толщины слоя.
При исследовании рассеяния звука на шельфе Японского моря данная формула оказывается
не пригодной, поскольку глубины меняются от 0 м до 80 м, выделить слой постоянной толщины
не представляется возможным. Поэтому удобно ввести в качестве характеристики ЗРС
усредненную по толщине слоя величину коэффициента рассеяния при этом толщина слоя
изменяется в зависимости от глубины в точке. Для выявления пространственной изменчивости
вдоль трасс вводим
йhmax
щ
1 к
ъ.
mV (r ) =
m
(
r
,
z
)
dz
к
ъ
hmax кт0 V
ъ
л
ы
(3.60)
Таким образом, при анализе рассеяния звука в мелком море возникает необходимость
детектирования дна для получения границ интегрирования в формуле (3.60). В условиях мелкого
моря, сильно изрезанного рельефа дна и наличия рассеивателей по силе превосходящих отражение
от дна – это вызывает определенные трудности, однако было успешно реализовано в специальной
программе, при помощи которой проводилась обработка данных рассеяния звука, пример трассы
на рисунке 3.52.
Рисунок 3.52 - Коэффициент обратного рассеяния звука вдоль одной из трасс в заливе Петра
Великого Японского моря (23.05.2010) и профиль придонного слоя до которого проводилось
интегрирование при вычислении среднего коэффициента рассеяния.
188
На рисунке 3.53 представлена картина рассеяния звука вдоль трассы в летний период
(23.08.2011), а также профиль mv(r,z0) на глубине z0=10 м и средний по глубине профиль mV (r ) .
Видно, что рассеиватели распределены крайне неравномерно вдоль трассы и mV (r ) изменяется на
mv(r), м
-1
2 порядка от 5*10-10 м-1 до 2*10-8 м-1.
1
-8
10
-9
10
2
1
2
-10
<mv(r)>z
mv(r, z0), z0=10 м
10
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
r, км
а)
б)
Рис 3.53 - а) Распределение обратного рассеяния звука вдоль трассы на шельфе Японского
моря в летний период (23.08.2011), б) горизонтальный профиль mv(r,z0) на
глубине z0=10 м и профиль mV (r ) .
Представляло интерес проанализировать вертикальное распределение рассеяния звука в
различные сезоны. Аналогично формуле (3.60) для выявления пространственной изменчивости
коэффициента рассеяния звука по глубине введем следующую формулу:
mV (z ) =
1
L
йL
щ
к m (r , z )dr ъ,
кт V
ъ
к0
ъ
л
ы
(3.61)
где L – длина трассы.
На рисунке 3.54 представлены вертикальные профили mV (z ) r полученные на шельфе
Японского моря в различные сезоны.
189
Рис 3.54 - Распределение mV (z ) по глубине (м-1) для различных сезонов 2011 г. в заливе Петра
Великого Японского моря.
Рисунок 3.55 - Логарифмический коэффициент рассеяния звука SV (w) = 10 lg mV (w) в заливе Петра
Великого Японского моря в различные сезоны а) май- начало июня б) июнь – июль
в) август г) октябрь.
190
На рисунке 3.55 а, б, в, г представлены распределения коэффициентов рассеяния звука
mV (r , z )
(или SV (w) = 10lg mV (w) ) и структуры звукорассеивающих слоев, полученные на шельфе
Японского моря в различные сезоны 2011 г.
Можно выделить следующие характерные сезонные особенности рассеяния. Так, в маеначале июня вся толща воды характеризуется мощным рассеянием 3*10-8 м-1. (рисунок 3.55 а)) Это
связано с весенним пиком зоопланктона. Для июня-июля характерно снижение рассеяния на
глубинах более 5 м, и наличие мощного приповерхностного слоя (рисунок 3.55 б)). В августе
приповерхностный слой ослабевает, наблюдаются локальные максимумы рассеяния в глубинных
местах залива 40 - 50м (рисунок 3.55 в)). В октябре приповерхностный слой разрушается
полностью, глубинные максимумы ослабевают (рисунок 3.55 г)). Особо следует отметить наличие
мощного рассеяния в глубоких местах залива Петра Великого во все сезоны.
В работе были проведены теоретические исследования особенностей рассеяния звука на
различных типах рассеивателей, встречающихся в морской воде. Основное внимание было
сосредоточено на зоо и фитопланктоне и на газовых пузырьках, которые дают основной вклад в
рассеяние звука в верхнем слое моря. Были уточнены формулы для сечений рассеяния в области,
когда длина волны становится сравнима с характерным размером рассеивателей. Полученные
зависимости были положены в основу решения обратных задач определения типа рассеивателей,
их концентрации, а также некоторых их характеристик. В частности, было получено общее
выражение, позволяющее по данным для получать данные по распределению биомассы в рамках
двух распределений – степенного и гауссовского:
m g( P ,G ) (r , f ) = D ( P ,G ) ( f )m v (r , f ) ,
(3.62)
Коэффициент D (P ,G ) ( f ) имеет сложный вид, для частоты f~100 кГц можно получить
D ( P ) ~2102 гм/л [6, 38, 39]. Приведенная оценка в дальнейшем использована для оценки
распределения биомассы вдоль трасс.
Следует обратить внимание, что исследования концентрации планктона методами облова
отличаются значительной трудоемкостью. Оценка распределения биомассы в деятельном слое
океана по данным о рассеянии звука позволяет значительно упростить эту задачу. Возможность
производить акустические зондирования прямо по ходу движения судна позволяет получать
непрерывные подробные картины распределения биомассы в обширных районах. За последние 3
года лабораторией были проделаны более 40 трасс в акватории Залива Петра Великого, эти
данные позволили выявить сезонную динамику зоопланктона и его распределение в заливе.
Использованный подход заключался в использовании полуэмпирических формул для сечения
рассеяния на одиночном включении и двух практически важных типов функций распределения
включений по размерам, который позволил выявить связь между экспериментальными и
191
теоретическими характеристиками. Важным было сравнить полученные концентрации биомассы с
результатами облова in situ. Для сопоставления двумерной картины распределения биомассы в
море, полученной на основе данных рассеяния звука с результатами обловов, данные
коэффициентов рассеяния звука усреднялись по формуле
1
mV =
Lhmax
L hmax
ттm
V
0
(r , z )dzdr
(3.63)
0
На рисунке 3.56 представлены данные по рассеянию звука на частоте 100 кГц на трассе 52
км в Охотском море (вблизи мыса Елизаветы, северная оконечность о.Сахалин). Из рисунка 3.56
хорошо видны характерные вариации рассеяния звука, связанные с внутренними волнами,
локализованными на глубинах около 4-6 м и 10-15 м, соответственно. На врезке рисунка 3.56
представлены спектральные пики, отвечающие характерным пространственным периодам
внутренних волн, распространяющихся в верхнем слое моря.
Рисунок 3.56 - Структура рассеяния звука на мелкомасштабных неоднородностях биологического
происхождения на частоте 100 кГц в Охотском море в августе 2010 г. (верхний рисунок), спектр
силы рассеивающего слоя вдоль трассы (на врезке вверху) и оценка распределения биомассы
вдоль трассы (нижний рисунок).
Из результатов, представленных на рисунке 3.56, видно, что имеется значительная
пространственная изменчивость mg (r ) , которая связана с характерными закономерностями
распределения планктона по глубине. Модуляция последними термоклина приводит к
существенным вариациям mg (r ) .
192
Представляло интерес сравнить полученные данные на основе рассеяния звука с
результатами непосредственного биологического облова планктона в море. На рис.3.57.
представлены акустические результаты, полученные в тех же районах залива Петра Великого
Японского моря, что и результаты, полученные биологами в различные месяцы [40].
Рисунок 3.57 - Сравнение концентрации биомассы, полученных на основе рассеяния звука и в
результате облова in situ: 1 - mg (r ) по данным рассеяния звука, 2008-2010 гг., 2 - mg (r ) по
результатам облова in situ 1991 г.
Из рисунка 3.57 видно, что акустические данные достаточно хорошо повторяют структуру
данных облова. Таким образом, в работе получены оценки, позволяющие по данным о
коэффициенте рассеяния оценить важную характеристику биопродуктивности водных масс –
массовую концентрацию включений и их суммарное количество в интервале размеров. Последнее
позволяет внедрить быстрый акустический способ для проведения оценок распределения
планктона в различных районах океана. Полученные зависимости, связывающее коэффициент
рассеяния звука mV и распределение биомассы в морской среде, представляют интерес для
использования их для оперативного акустического мониторинга биоресурсов непосредственно на
ходу судна.
3.3.4 Исследования рассеяния звука на донной акустической станции
Для задач по исследованию рассеяния звука были разработаны и испытаны в условиях
натурного эксперимента новые методы и аппаратурные средства, позволяющие определить
коэффициенты рассеяния звука на различных частотах с использованием обратного рассеяния
звука. Была произведена постановка и калибровка акустической системы излучения-приема,
включающей донную станцию и аппаратуру регистрации и анализа сигналов, располагающейся на
береговом посту. Донная станция была установлена июне 2009 г. и включала в себя большее
количество излучателей: трехэлементный пьезокерамический излучатель с резонансными
193
частотами 138, 216 и 519 кГц, параметрический двухэлементный излучатель с частотами 300 и 50
кГц, излучатель с резонансной частотой 170 кГц. На протяжении 2009-2011 гг. происходила
интенсивная эксплуатация станции (с ежегодной профилактикой в начале сезона – май-июнь),
которая показала устойчивые характеристики всех акустических систем. Основные параметры
станции в 2011г. остались практически неизменными и соответствовали сезону 2009 г. Ниже
приведены краткие характеристики излучателей донной станции. Трехэлементный излучатель
имеет ширину основного лепестка характеристики направленности на частоте 138 кГц равную
11.50, на частоте 216 кГц – 7.20, на частоте 519 кГц - 30. Параметрический преобразователь имеет
следующие характеристики: частота излучения звукового импульса – 300 кГц, звуковое давление
на оси излучателя при напряжении 180 Вольт - 160*103 Па, ширина основного лепестка
характеристики направленности на частоте 300 кГц – 3.80, частота приемного преобразователя – 50
кГц, излучатель на частоте 170 кГц имеет ширину основного лепестка характеристики
направленности 4.60.
Рисунок 3.58 - Схема акустических измерений при одновременном излучении импульсов.
Береговой комплекс аппаратуры позволял производить многочастотное измерение
сигналов рассеяния различными методами. Применялся метод одновременного излучения
импульсов разных частот с последующей фильтрацией принимаемых сигналов по каналам. На
рисунке 3.58
изображена схема измерений
одновременном
последовательном
излучении
излучении
акустических
импульсов
сигналов обратного рассеяния звука
импульсов.
разных
Другой
частот,
метод,
позволяет
основанный
уменьшить
при
на
влияние
межканального проникновения, но ограничен временным интервалом, который требуется для
опроса всех приемных каналов. Подробно метод описан в статье [36] и получен патент на
полезную модель [37].
194
В качестве цифрового генератора сигналов применялся программируемый генератор
ГСПФ-053 фирмы “Руднев и Шиляев” (Москва). Широкополосные усилители мощности У7-5
использовались в качестве предварительных усилителей, оконечными усилителями были
усилители, выполненные на базе высоковольтных транзисторов и позволяли поднимать выходное
напряжение до 400 Вольт. Коммутатор сигналов был выполнен по схеме диодных коммутаторов
эхолотов. В качестве селективных усилителей использовались нановольтметры SN-233 и SN-232
фирмы UNIPAN (Польша), третьоктавные фильтры RFT01018 фирмы Robotron (ГДР),
микрофонные усилители RFT00011 фирмы Robotron (ГДР), фильтры на отдельные частоты были
изготовлены в лаборатории гидрофизики ТОИ. Береговой комплекс аппаратуры располагался в
лабораторном помещении на берегу и был связан подводным кабелем (см. рисунок 3.59).
Рисунок 3.59 - Схема расположения и фотографии лабораторных помещений для обеспечения
акустических исследований на донной станции МЭС “Шульц”.
Для
исследования
рассеяния
звука
на
звукорассеивающих
слоях
различного
происхождения были проведены измерения коэффициентов рассеяния звука с использованием
представленной выше донной станции и с использованием аналогичной аппаратуры на НИС
“Импульс” и НИС “Малахит”, которые осуществлялись как в водной толще в б.Витязь, так и на
гидрофизическом полигоне вблизи МЭС “Шульц” вдоль различных трасс с началом либо в
б.Витязь, либо в непосредственной близости от мыса Шульц.
Исследования временной изменчивости мелкомасштабной структуры приповерхностного
слоя моря методом обратного рассеяния звука на стационарной донной станции выявили
характерные особенности динамики структуры, связанные с вариациями планктона. Особый
интерес представляло проведение исследований в различные сезоны, которые характеризуются
195
различни планктона. Представлял определенный интерес также ход суточных вариаций
распределения планктона и свзанного с ним рассеяния звука. На рисунке 3.60-3.62 представлены
наиболее типичные результаты.
Рисунок 3.60 - Изменчивость во времени коэффициента рассеяния звука на частоте 138 кГц в
летний период.
Рисунок 3.61 - Изменчивость во времени коэффициента рассеяния звука на частоте 138 кГц в
осенний период.
196
Рисунок 3.62 - Изменчивость во времени коэффициента рассеяния звука на частоте 138 кГц в
весенний период.
3.3.5 Акустическая спектроскопия при рассеянии звука и распределения пузырьков
по размерам в приповерхностном слое морской воды
Исследования временной изменчивости мелкомасштабной структуры приповерхностного
слоя моря методом обратного рассеяния звука на стационарной донной станции выявили
характерные особенности динамики структуры водного слоя моря, образуемых за счет
динамических воздействий (ветровые напряжения, течения, турбулентность и др.). Основные
исследования на донной станции были связаны с изучением структуры приповерхностного слоя
моря с распределенными воздушными пузырьками, образующимися в результате обрушения
ветровых волн.
На рисунке 3.63 представлены наиболее типичные результаты для различных частот звука
на протяжении 2 суток непрерывной регистрации рассеяния на пелене пузырьков, вовлекаемых в
толщу воды ветровыми напряжениями.
197
Рисунок 3.63 - Вариации коэффициента рассеяния звука на частотах 138, 216 и 519 кГц, вызванные
пузырьковыми облаками в течении 3 суток.
На рисунке 3.64 представлена подробная запись сигналов обратного рассеяния звука с
донной станции на частоте 138 кГц. Хорошо видны вариации рассеяния звука, обусловленные
вовлеченными воздушными пузырьками в толщу морской воды до глубины 5-7 метров. Их
спектральные распределения на глубинах 1.8 метра и 4.5 метра представлены на рисунке 3.65.
Видно, что спектр флуктуаций по глубине наиболее сильно меняется в высокочастотной области,
отвечающей вкладу рассеяния на пузырьках.
Рисунок 3.64 - Исследования рассеяния звука с донной станции на частоте 138 кГц с целью
изучения приповерхностного слоя пузырьков, образованного при обрушении поверхностных волн.
198
а)
б)
Рисунок 3.65 - Спектр флуктуаций коэффициента рассеяния звука с донной станции на частоте
138 кГц на различных глубинах : а) 1.8 м, а) 4.5 м.
Особенности распределения коэффициента рассеяния звука, обусловленного изменением
структуры пузырьковых облаков, вовлекаемых ветровыми напряжениями и индуцированными
течениями, представлены на рисунке 3.66, типичным для мелкого моря при скорости ветра до 12
м/с.
Рисунок 3.66 - Суточная запись сигналов обратного рассеяния звука с донной станции на частоте
138 кГц при различной скорости ветра (до 12 м/с).
Из результатов, представленных на рисунке 3.66 видно, что наблюдается значительное
вовлечение пузырьков в толщу морской воды. При этом имеется существенная частотная
зависимость, что свидетельствует о наличии существенного распределения пузырьков по
размерам, вид функции которого оказывается изменяющимся от глубины вовлечения пузырьков в
толщу моря. На рисунке 3.66 хорошо видны вариации рассеяния звука с наиболее значительными
повышениями уровня в моменты резкого усиления ветра, когда наблюдается вовлечение
199
воздушных пузырьков в толщу морской воды до глубины 5-6 метров, при этом коэффициент
рассеяния звука изменяется более чем в 1000 раз.
Данные по рассеянию звука на различных частотах в приповерхностном слое моря при
наличии развитого волнения и вовлечения пузырьков в толщу морской воды позволили выявить
структуру распределения по размерам пузырьков и их динамику.
Функция распределения пузырьков по размерам g(R) может быть найдена по частотной
зависимости коэффициента рассеяния звука mV ( ) в предположении, что основной вклад в
рассеяние звука вносят резонансные пузырьки, радиус которых связан с частотой по формуле
Миннерта R( )  3 P0 /   [10, 26, 33]:
g ( R( )) 
2
m ( ) ,
 R3 ( ) V
(3.64)
где  – коэффициент резонансного затухания на частоте  .
Полученные данные с помощью формулы (5) позволили получить функции распределения
пузырьков по размерам, которые для различных глубин представлены на рисунке 3.67 для
различных состояний моря: пред штормом, во время шторма и после шторма.
Рисунок 3.67 - Функция распределения пузырьков по размерам на различных глубинах в
различные временные периоды развития шторма и эволюция объемной концентрации газа,
содержащихся в пузырьках на различных глубинах.
Из рисунка 3.67 видно, что в периоды без шторма наблюдается максимум функции g ( R, z ) ,
который располагается при Rmax>10 мкм, при этом величина Rmax зависит от глубины. При R>Rmax
200
наблюдается степенная зависимость функции распределения пузырьков по размерам с
экспоненциальным
3
L ~ (2  4)  10 U10
2,5
спадом
с
глубиной
согласно
формуле
g ( R, z )  Ae
z/L
R
n ( z )
,
где
(здесь L дается в метрах, U10 – в м/с).
Столь сильное изменение распределения пузырьков по размерам во время шторма
приводит к существенному изменению акустических характеристик воды. На рисунке 3.68
представлено изменение вклада в параметр акустической нелинейности, связанного с наличием
пузырьков.
Рисунок 3.68 - Изменение вклада в параметр акустической нелинейности, связанного с наличием
пузырьков. Вертикальная штриховая линия отмечает значение параметра нелинейности чистой
морской воды без пузырьков.
Из рисунка 3.68 видно, что параметр акустической нелинейности, связанного с наличием
пузырьков, меняется значительно при увеличении концентрации пузырьков в морской воде и в
общих чертах соответствует экспериментальным данным, приведенным в разделе 3.2.4.
Итак, показано, что для слабо возмущенной структуры характерно наличие g(R) с
максимумом, положение которого изменяется в зависимости от глубины. Совершенно отличная
картина наблюдается во время шторма - здесь в приповерхностных слоях образуется большое
201
количество как больших, так и мелких пузырьков в отсутствии видимого максимума, который, тем
не менее, имеется для пузырьков, располагающихся в толще воды с глубинами больше 3 метров.
Представленная на рисунке 3.68 объемная концентрация газа в пузырьках, вычисленная на
основании данных для g(R), показывает, что во время шторма аэрация воды на шельфе возрастает
на 1 - 2 порядка.
В качестве сравнения на рисунке 3.69 представлены результаты измерения g(R) ,
проведенные при умеренных скоростях ветра.
Рисунок 3.69 - Распределения пузырьков по размерам, полученные различными авторами на
различных глубинах при умеренных скоростях ветра.
3.3.6 Распределение пузырьков по размерам и поток газа через поверхность при
обрушении волн
В связи с изменчивостью вида функции распределения пузырьков по размерам при
различных состояниях моря, что продемонстрировано на рисунке 3.69, возник вопрос о более
корректном описании функции распределения пузырьков по размерам. Схематично распределение
пузырьков по размерам представлено на рисунке 3.70.
202
Рисунок 3.70 - Схематичное распределение пузырьков по размерам с обозначением типичных
параметров функции g(R). Здесь R - радиус резонансных пузырьков, который связан с частотой
по формуле Миннерта R()  3 P0 /   (P0 – гидростатическое давление,  - плотность воды,  постоянная адиабаты газа внутри пузырька).
На основании большого экспериментального материала нам представляется возможным
ввести следующий вид функции g(R):
й жR
щ
ц
ч R ъ.
з
g(R ) = AgR - n exp кк- n зз p - 1ч
ч
ъ
ч
ч Rm ъ
кл зи R
ш
ы
(3.65)
Здесь показатель степени n и критические размеры Rp, Rm являются естественными
параметрами, которые следуют из теории Фармера-Гаррета, являющейся наследницей теории
дробления капель А.Н. Колмогорова по степенному закону в инерционном интервале между
размерами Rp, Rm [35]. При этом оказывается, что величина n~3.3, хотя при измерениях g(R) на
большом фактическом материале в умеренных состояниях моря оказывается n~3.5-3.8. [6, 33 ].
В связи с распределением пузырьков по размерам, описываемым функцией вида (3.65)
возникает ряд вопросов, касающихся проблем акустической спектроскопии. Главный вопрос – это
насколько корректно можно восстановить функцию g(R) и каков частотный диапазон звука
следует применять.
Можно показать, что при применении низкочастотного звука получим:
(3.66)
Здесь основной вклад будет иметь низкочастотная ветвь g(R) при R..В этом случае
возможна резонансная спектроскопия пузырьков при рассеянии звука.
Рассмотрим высокочастотноt рассеяние. Имеем
(3.67)
203
Здесь через  обозначена объемная концентрация газа в пузырьках:
(3.68)
В этом случае в формулу входит лишь , показатель степени n, и отношение размера Rp,
отвечающего максимуму g(R) к максимальному размеру Rm . Отсюда следует, что резонансная
спектроскопия пузырьков при рассеянии звука невозможна, но можно получить результат,
касающейся интегральной характеристике – объемной концентрации газа в пузырьках .
Рассмотрим возможность применения рассеяния звука для получения информации по
потокам газа через поверхность моря при развитом волнении или при другом механизме
транспортировки пузырьков. Поток газа в пузырьках (в м3 ), проходящий через м2 поверхности в
единицу времени V& равен
(3.69)
Здесь u – вертикальная компонента скорости движения пузырьков в приповерхностных
слоях. Оценивая u через силу Стокса при воздействии сил плавучести, можно связать величину V&
с различными параметрами, определяемыми акустическим методом при рассеянии звука. Так на
рисунке 3.71 представлены зависимости V&(mV ) и V&(n )
n
mV
.
Рисунок 3.71 - Зависимости V&(mV ) и V&(n )
n
mV
.
На рисунке 3.72 представлены соответствующие зависимости объемной концентрации газа
в пузырьках .
204
Рисунок 3.72 - Зависимости j (mV ) и j (n )
n
mV
Характерные значения V&, известные из литературы, составляют величины [34]: V&=0.038
м3/ м2с (Monahan (1988,1989), V&=0.0039 м3/ м2с (Deane (1997), Medwin and Breitz (1989)). На
рисунке 3.69 среди прочих ссылок представлены оценки указанных авторов для функции g(R).
Таким образом, в работе были получены следующие основные результаты:
Проведены теоретические исследования особенностей рассеяния звука
на зоо и
фитопланктоне и на газовых пузырьках, которые дают основной вклад в рассеяние звука в
верхнем слое моря. Полученные зависимости были положены в основу решения обратных задач
определения типа включения и концентрации. В частности, было получено общее выражение,
позволяющее получать данные по распределению биомассы
в рамках двух распределений –
степенного и гауссовского.
Развиты акустические методы на основе широкополосного обратного рассеяния звука.
Новизна заключалась в использовании сложных сигналов и многочастотного рассеяния звука, в
том числе с применением остронаправленных параметрических излучающих систем. На основе
развитых моделей получена информация о структуре звукорассеивающих слоев, позволяющая
выявить вклад, обусловленный неоднородностями биологического происхождения.
На основе разработанных методов нелинейного и нестационарного рассеяния и
распространения звука получены данные по распределению пузырьков в приповерхностном слое
моря и
выявлены особенности
вертикальной
структуры вовлеченных
при
обрушении
поверхностных волн облаков пузырьков
Разработана гомогенная модель эффективных параметров микронеоднородной жидкости с
фазовыми превращениями, которая для случая парогазовых пузырьков прошла проверку до
больших концентраций пузырьков в жидкости.
205
3.4 Моделирование распространения звука через крупномасштабные неоднородности
в океане
3.4.1 Гидрофизические параметры среды в пространстве вихря
Фронтальные зоны и вихри относятся к числу крупномасштабных динамических процессов
в океане. Фронтальные зоны разделяют различные водные массы в океане. Поэтому в области
фронтальных
зон
наблюдаются
значительные
пространственные
градиенты
основных
гидрологических характеристик среды по сравнению с их средними значениями, таких как
температура, солёность, плотность и скорость звука в водной среде. Характерные масштабы
фронтальных зон Мирового океана имеют пространственные размеры от 10 км до 100 км и более.
Горизонтальные градиенты температуры во фронтальной зоне могут изменяться от 0,1°С/км до
30°С/км; горизонтальные градиенты солености от 0,1‰/км до 10‰/км. Во фронтальных зонах
наблюдается сильная конвергенция (схождение) поверхностных течений и резкий горизонтальный
сдвиг скорости. В первом случае – вода вдоль линии конвергенции опускается, а во втором случае
из-за сильного сдвига скорости и поперечной неустойчивости потока происходит петлеобразное
изгибание линии фронта и образование меандров, а затем вихрей (рингов), представляющих собой
замкнутые кольцевые образования. Примерами наиболее ярко выраженных фронтальных зон с
особенно большими градиентами гидрологических характеристик являются границы течения
Гольфстрим в Атлантическом океане и течения Куросио в Тихом океане.
Вихревые динамические структуры в Мировом океане формируются вследствие
бароклинной неустойчивости, в результате обтекания подводных препятствий водными массами
или порождаются атмосферными процессами, например циклонами. Различают циклонические и
антициклонические
вихри
(по
типу
вращения),
крупномасштабные,
промежуточные
и
мезомасштабные (по пространственным масштабам), а также квазипостоянные, долгоживущие и
краткоживущие (по времени существования).
Значительное развитие акустические методы исследования океана получили в период
разработки и проведения экспериментов по регистрации глобальных изменений климата по
проекту ATOC (Акустическая Томография Климата Океана), который предложил в конце
прошлого века У. Манк [46].
Акустические измерения изменчивости параметров океана на интервалах времени до
одного года и расстояниях порядка 103 км, позволяют исследовать течения, вихри и фронтальные
зоны в океане, дополняя и расширяя представления о физических процессах в Мировом океане.
Развитие методик восстановления параметров среды в океане [47] инициировали проведение ряда
экспериментов по дистанционному акустическому мониторингу (томографии) процессов и полей
в различных районах Мирового океана [48,49].
206
Систематические исследования влияния крупномасштабных волновых процессов, таких
как течения, вихри и фронтальные зоны в океане на акустические характеристики среды и
распространение звука в различных районах Мирового океана проводятся в ТОИ ДВО РАН с
середины 80-х годов прошлого века [50,51]. Акустические эксперименты проводились совместно
несколькими судами с применением уникальных излучающих и приемных систем.
Практический интерес для российского Дальнего Востока и Приморья представляют
гидрофизические процессы в северо-западной части Тихого океана в системе течения Куросио. В
данном районе на границе раздела субтропических и субарктических вод океана ежегодно
образуется по 7-8 квазипериодических холодных циклонических и теплых антициклонических
синоптических вихрей, перемещающихся со средней скоростью 2-8 см/с [42].
Рассмотрим результаты распространение звука через синоптический антициклонический
вихрь, примыкающий к фронтальной зоне раздела между теплыми субтропическими и холодными
субарктическими водными массами в районе течения Куросио. Расположение центра вращения
этого вихря в горизонтальной плоскости во время проведения измерений изображено на рисунке
3.73 точкой пересечения трассы А и трассы В. Вихрь имел горизонтальный размер около 350 км и
вертикальный размер около 600 м, центр вихря находился вблизи точки с координатами 39°
северной широты, 149° восточной долготы. Такие вихри в указанном районе возникают и
проявляются ежегодно. При этом центр вихря перемещается в зависимости от сезонной и
межгодовой изменчивости динамических характеристик океана.
Рисунок 3.73 - Расположение акустических трасс в северо-западной части
Тихого океана в июне 1988 года (трассы A, B).
Более детальное расположение центра этого вихря показано на рисунке 3.74. Здесь тонкими
линиями приведены изотермы на поверхности воды в районе расположения вихря во время
проведения акустических измерений. Прямыми линиями показаны пересекающие этот вихрь
207
трассы А и В. Исследования распространения звука вдоль указанных трасс А и В были выполнены
в течение времени с 17 по 22 июня 1988 года.
Рисунок 3.74 - Изотермы на поверхности вихря и расположение трасс А и В.
a- 20-21 июня 1988 года, b- 18-19 июня 1988 года.
На рисунке 3.74 светлыми кружочками показаны места расположения приемных
акустических систем, каждая из которых состояла из свободно дрейфующей системы в виде
радио-гидроакустического буя (РГБ). Гидрофоны РГБ располагались на 4-х различных глубинах,
определяемых размерами соответствующих элементов гибкого кабеля длиной 100 м, 250 м, 500м и
1000 м. (При этом глубина расположения гидрофонов была обычно меньше указанных величин
длины кабеля вследствие влияния течения, ветрового дрейфа и других факторов). Принятые
гидрофонами акустические сигналы после преобразования передавались по радио каналу на одно
из научно-исследовательских судов (НИС), которое обеспечивало регистрацию принятых
сигналов. Излучение акустических сигналов обеспечивалось другим НИС, которое производило
буксировку акустических излучателей со скоростью в шесть узлов на глубине 100 м вдоль трасс А
и В. Буксируемыми устройствами излучались тональные сигналы с частотами 232 Гц и 696 Гц. В
случае трассы А, рисунок 3.74а, при проведении измерений приемная система располагалась
вблизи центра вихря, в точке с координатами 38˚30΄N, 149˚09΄E, при этом буксировка излучателей
производилась в режиме удаления источника звука от центра вихря в северо-западном
направлении в точку с координатами 42˚30΄N, 147˚09΄E, т.е. от теплых вод в центре вихря до
холодных субарктических вод на северной периферии вихря. Темные кружочки показывают
последовательные положения контрольного буя нейтральной плавучести, перемещающегося
внутри центральной области вихря в направлении против часовой стрелки и фиксируемые через
каждые 12 часов. Скорость перемещения этого буя нейтральной плавучести оказалась примерно
равной 1,2 узла
208
Подробные акустические и гидрофизические измерения были выполнены в ходе морской
экспедиции 1988 года на НИС “Академик Александр Виноградов” и НИС “Академик М.А.
Лаврентьев” [52]. Схема проведения акустических измерений в районе указанного вихря
приведена на рисунке 3.75.
Рисунок 3.75 - Схема расположения теплого антициклонического вихря в
системе течения Куросио и трассы акустических измерений.
В первой части эксперимента на трассах А и В выполнялось излучение акустических
сигналов при горизонтальном движении излучателя в области вихря. Во второй части
эксперимента выполнялось излучение акустических сигналов при вертикальном погружении
излучателя в точках S1-S4. В точке приема сигналов R располагалась вертикальная акустическая
антенна с гидрофонами на различных глубинах. В случае трассы А приемная система находилась
в центре вихря в точке с координатами 38˚30΄N, 149˚09΄E, а излучающее судно буксировало
излучатель, удаляясь от приемной системы на север в точку с координатами 42˚30΄N, 147˚09΄E. В
случае трассы В приемные системы находились на периферии вихря в точке с координатами
42˚04΄N, 151˚40΄E, а излучатель акустических сигналов удалялся от них на юго-восток в точку с
координатами 38˚58΄N, 148˚52΄E. Протяженность обеих трасс составляла более 400 км.
Постановка и обеспечение работы приемных систем осуществлялась с судна – НИС “Академик
М.А. Лаврентьев”.
Во второй части эксперимента в области вихря излучались тональные акустические
сигналы с частотой 348 Гц в точках S1, S2, S3 и S4 при вертикальном погружении излучателя от 100
м до 800 м. Положения точек излучения и приемных систем были выбраны таким образом, чтобы
209
трассы распространения звука пересекали вихревую систему в различных гидрологических
условиях по отношению к центру вихря. Трассы S1-R, S2-R и S3-R проходили по периферии вихря,
а трасса S4-R проходила через центр вихря и пересекала его в направлении на северо-запад.
Гидрологическая съемка в районе работ выполнялась до начала и после завершения
акустических измерений. Расстояния между гидрологическими станциями составляли около 25
км. Батиметрическая съемка дна во время акустических измерений осуществлялась с помощью
эхолота излучающего судна. Глубина дна вдоль трасс изменялась от 5300 м до 6500 м. При таких
больших глубинах влияние изменчивости рельефа дна на распространение звука можно считать
незначительным. Изолинии поверхностной температуры в периоды проведения работ на
акустических трассах А и В, построенные по данным гидрологических измерений, представлены
на рисунке 3.75.
Рисунок 3.76 - Изображение поля скорости звука в районе вихря.
На рисунке 3.76 приведена трехмерная структура поля скорости звука в области вихря,
построенная по данным стандартных гидрологических измерений [52]. Вихрь на поверхности
имеет форму эллипса с заметной деформацией в северо-восточной его части. Как показано на
рисунке 3.76, влияние теплого вихря на гидрологическую структуру проявлялось до глубин
порядка 600 м.
Экспериментальные данные распределения скорости звука по глубине и расстоянию для
трассы А представлены на рисунках 3.77 и 3.78.
210
Рис.3.77 - Профили скорости звука c ( z ) вдоль трассы А.
В южной части трассы А наблюдается заглубление основного термоклина, что приводит к
формированию тела вихря. В центральной части трассы ось звукового канала располагается на
глубине 150 - 200 м, далее наблюдается деформация вертикального профиля скорости звука до
глубин 1200-1300 м. Севернее фронтального раздела на дистанции более 230 км скорость звука на
поверхности постепенно понижается, достигая минимального значения 1478 м/с.
Рисунок 3.78 - Поле скорости звука c ( z ) и расположение
гидрологических станций вдоль трассы А.
В конце трасы А ось подводного звукового канала располагается на глубине 100 м со
значением скорости звука 1450 м/с. Заглубление вод сезонного и основного термоклина
прослеживается до глубин 1200м. Таким образом, трасса А проходит через центральную часть
антициклонического вихря и пересекает восточную периферию вихревого образования.
Трасса В расположена перпендикулярно к трассе А и проходит через центр вихря в своей
южной части. В северо-восточной части трассы скорость звука на оси подводного звукового
211
канала (ПЗК), рисунок 3.79, составляет 1468 м/с при глубине оси канала, изменяющейся в
интервале глубин от 180 м до 200 м.
Рисунок 3.79 - Профили скорости звука c ( z ) вдоль трассы B.
Распределения полей скорости звука вдоль акустических трасс S1-R, S2-R, S3-R, S4-R
значительно отличаются между собой. Как показано на рисунке 3.75, точка излучения S 4
располагалась вблизи центра вихря. Точки расположения источников звука S 3, S2 и S1
располагались последовательно с равным удалением от центра к периферии вихря вдоль
направления трассы А. Таким образом, распространение звука при зондировании из точки S4
происходило из центра вихря к его периферии вдоль направления трассы B, изменчивость
гидрологии которой приведена на рисунках 3.79 и 3.80.
Рисунок 3.80 - Поле скорости звука c ( z ) и расположение
гидрологических станций вдоль трассы В.
Зондирование из точки S1 выполнялось на периферии вихря в условиях горизонтальной
однородности поля скорости звука по трассе S1-R, рисунке 3.81. Зондирование из точки S2 при
приеме в точке R происходило вдоль трассы частично затрагивающее структуру вихря.
Зондирование из точки S3 при приеме в точке R происходило вдоль трассы с существенным
влиянием вихря.
212
Рисунок 3.81 - Поле скорости звука вдоль трассы S1-R.
3.4.2 Влияние вихря на структуру акустического поля вдоль трасс A и B
Рассмотрим экспериментальные результаты при распространении звука через вихрь вдоль
трасс A и B. Экспериментальные данные потерь при распространении звука вдоль трассы А,
приведены на рисунке 3.82. По мере удаления от теплого ядра вихря сначала проявляется
зональная структура акустического поля, присущая субтропическим океаническим водам. Затем
акустическое поле в зависимости от расстояния переходит в фактически однородную незональную
структуру, характерную при распространении звука в субарктических водах. Зональная структура
акустического поля в пространстве вихря для трассы А наиболее ярко выражена на малых
глубинах приема сигналов (приведен пример глубины приема 60 м) и вполне отчетливо
проявляется на относительно больших глубинах приема сигналов (приведен пример глубины
приема 900 м).
В случае трассы В акустическое поле с самого начала трассы формируется в условиях
субарктических вод, при этом глубина источника звука совпадает с глубиной оси подводного
звукового канала, равной 100 м. Поэтому не наблюдается формирование зональной структуры
звука вдоль всей трассы В на всех глубинах расположения приемников звука, что также хорошо
видно на рисунке 3.80 для глубин приема соответственно 100 м и 900 м.
213
Рисунок 3.82 - Потери при распространении сигналов с частотой 232 Гц вдоль трасс А и В.
Слева – трасса А (глубины 100 м и 900 м), справа – трасса В (глубины 100 м и 900 м).
На следующем этапе работ было выполнено зондирование вихря тональными источниками
акустических сигналов с частотой 348 Гц при вертикальном погружении излучателя от 100 м до 800 м
в 4-х точках S1 – S4 с приемом сигналов в точке R. На рисунке 3.75 показано расположение точек S1 –
S4 и точки приема сигналов R. Трассы распространения звука при вертикальном погружении
излучателей показаны штриховыми прямыми линиями. При этом на рисунке 3.75 сплошными
прямыми линиями показаны также расположения ранее выполненных трасс А и В при букировке
излучателей на глубине 100 м. Результаты вертикального акустического зондирования излучателем
от глубины100 м до глубины 800 м соответственно в точках S1 и S4 представлены на рисунках 3.83
и 3.84. В случае излучения звука из точки S1 и распространения вдоль трассы S1-R не
наблюдаются существенные изменения средних значений уровня сигналов в зависимости от
глубины источника. При излучении из точки S4 и распространения звука вдоль трассы S4-R
картина существенно изменилась. На рисунке 3.84 можно видеть наличие максимума огибающей
сигнала на всех гидрофонах по мере приближения источника звука к глубине около 600 м,
соответствующей оси подводного звукового канала в теплых водах существования вихря. Эта
закономерность наблюдается на фоне изменения интерференционной структуры акустических
сигналов по мере погружения источника звука и увеличении глубины расположения приемных
гидрофонов.
214
Рисунок 3.83 - Уровни сигналов на различных гидрофонах при непрерывном погружении
излучателя в точке S1. Глубины гидрофонов 100, 250, 500 и 1000 м. Частота 348 Гц.
Рисунок 3.84 - Уровни сигналов на различных гидрофонах при непрерывном погружении
излучателя в точке S4. Глубины гидрофонов 100, 250, 500 и 1000 м. Частота 348 Гц.
3.4.3 Численное моделирование распространения звука через вихрь
Численные расчеты акустических полей при буксировке излучателей вдоль обеих трасс А и
В, а также при вертикальном погружении источника звука в точках S1, S2, S3 и S4.были выполнены
с использованием данных об изменении скорости звука в пространстве вихря, профиля дна,
измеренных процессе проведения акустических экспериментов. Расчеты выполнялись с
использованием приближения нормальных мод [54], а также в приближении широкоугольного
параболического уравнения [55]. При численном моделировании в приближении нормальных мод
использовалась
программа
MOATL
(Modal
Acoustic
Transmission
Loss),
а
в
параболического уравнения – программа RAMS (Range-Dependent Acoustic Model Seismic).
215
случае
Решение уравнения Гельмгольца в представлении нормальных мод имеет вид
Ф( r ,  ) 
i N
U n ( 0 )U n ( )H 01 (kn r ) ,
4 H1 n 1
(3.70)
где Ф(r ,  ) - потенциал скорости, Н1  глубина водного слоя, H 01  kn r  - функция Ханкеля,  
плотность воды, k n - собственное значение n-ой моды,   z / H 1 - безразмерная глубина, U n ( ),
U n ( 0 ) - собственные функции нормальных мод в местах расположения приемника и источника
соответственно. Собственные функции нормальных мод удовлетворяют следующему уравнению
для собственных значений
2


d 2U n
2   
2
,

H

k



1
n U n  0
d 2
 c( z) 

(3.71)
где  - круговая частота излучаемого сигнала. Акустическое поле в среде с медленно
меняющимися по расстоянию параметрами представляется в адиабатическом приближении в виде
суммы невзаимодействующих мод. Условие применимости адиабатического приближения имеет
вид [56]
D/M<<1,
(3.72)
где D  2 /(kn  km ) , пространственный период интерференции мод m и n, М – горизонтальный
масштаб изменений параметров среды. Собственные функции нормальных мод рассчитываются в
местах расположения источника, приемника и в местах измерений вертикального профиля
скорости звука и глубины океана.
В расчетах потерь при распространении звука (TL= 20 lg p(r , z ) , где p(r , z ) - звуковое
давление), изменение гидрологических и батиметрических данных по трассам задается в
соответствии с измеренными значениями в реальном эксперименте. В нашем случае источник
звука располагался на глубине 100 м, шаг вычислений по горизонтали и вертикали составлял 450
м и 0.5 м соответственно. Вычисления производились для акустических сигналов с частотами 232
Гц, 348 Гц и 696 Гц. Скорость звука в дне линейно возрастала от 1610 м/с до 1710 м/с вглубь на 10
м, при этом плотность грунта изменялась от 1.1 г/см3 до 1.3 г/см3 [51]. Количество
распространяющихся мод при расчетах изменялось для различных трасс от 600 до 2000 в
зависимости от частоты сигнала, глубины водного и осадочного слоев.
Программа RAMS определяет параметры акустического поля с учетом упругих свойств дна
на
основе
широкоугольного
параболического
приближения
уравнения
Гельмгольца.
Параболическое уравнение относительно функции звукового давления p(r , z ) имеет следующий
вид:
n
p
 ik 0   j ,n (1   j ,n L) 1 L p
r
j 1
216
(3.73)
где  j ,n ,  j ,n – коэффициенты Падé, k 0 – характерное волновое число, L – “поперечный”
дифференциальный оператор
1    2
L  (n (r , z )  1) 

,
 z z z 2
2
n( r , z )
(3.74)
– показатель преломления. Решение уравнения (3.73) для вектора-столбца
p(r ) ,
представляющего собой дискретный ряд значений звукового давления по глубине на расстоянии r
от источника, строится по схеме
n
p(r  r )  p(r )  ik0  a j , n (1  b j , n L) 1 L p
(3.75)
j 1
Здесь a j, n и b j, n коэффициенты Падé конечно-разностной схемы. Для дискретизации
“поперечного” оператора в правой части уравнения (3.77) применяется конечно-разностная схема
На рисунке 3.85 приведены результаты измеренных в эксперименте и рассчитанных потерь
при распространении звука вдоль трассы А в параболическом приближении и в приближении
нормальных мод.
Рисунок 3.85 - Потери TL(r) при распространении звука частоты 232 Гц и аппроксимация
степенным законом P ~ r -n экспериментальных и модельных данных вдоль трассы A; а) –
горизонт 60 м, б) – горизонт 300 м.
Из представленных рисунков следует, что экспериментальные данные хорошо согласуются
с
расчетами
по
обеим
моделям.
Лучшее
совпадение
рассчитанных
результатов,
с
экспериментальными данными наблюдается на дистанции до 230 км в области вихря. На
дистанции свыше 230 км на глубине приема 60 м лучшее согласование с экспериментальными
данными наблюдается у параболического приближения, тогда как на горизонте 600 м данные
эксперимента лучше согласуются с моделированием методом нормальных мод. Возможная
причина расхождений заключается в том, что в параболической модели учитываются упругие
свойства дна, в то время как в модели нормальных мод дно предполагается в виде жидкого слоя.
Пространственное распределение акустического поля, рассчитанное для трассы А, в приближении
метода нормальных мод представлено на рисунке 3.86а. Видно, что наличие вихря на трассе
217
распространения звука на дистанции больше 230 км существенно изменяет пространственное
распределение акустического поля. Акустическое поле в области вихря имеет четко выраженную
зональную структуру, которая разрушается при переходе через границу вихря. Вне вихря
акустическая энергия концентрируется вблизи оси подводного звукового канала на глубине 200 м.
На рисунке 3.86б приведен расчет пространственной структуры акустического поля в
параболическом приближении. Зональная структура звукового поля проявляется практически
вдоль всей трассы А протяженностью около 450 км.
Рисунок 3.86 - Пространственная структура акустического поля для трассы А: а) - метод
нормальных мод, б) - метод параболического приближения. Частота 232Гц.
В области вихря зональная структура акустического поля сохраняется как в приближении
нормальных мод, так и в параболическом приближении. При выходе источника из области вихря и
движении его в приповерхностном звуковом канале на дальностях больше 230 км от начала
трассы интерференционная структура в приближении нормальных мод отличается от результатов
расчета в параболическом приближении. При сравнении экспериментальных и вычисленных
потерь при распространении звука на отдельных горизонтах приема наблюдается скачок уровня
сигнала на дистанции, где трасса выходит из области вихря, а так же изменение закона спада,
аппроксимация которого приведена на рисунке 3.85. Внутри вихря до дистанции 230 км звук
спадает по цилиндрическому закону с показателем степени равным величине n=0.5 (для модели
акустического давления P(r)~r-n, ) для глубин приема 60 м и 600 м. На дистанции от 230 км до 430
км вне вихря, в холодных субарктических водах, показатель степени изменяется. На горизонте 60
м он становится равным n=0.3, а на горизонте 300 м n=0.65.
При движении источника звука из холодных субарктических вод к центру вихря вдоль
трассы В, пространственная картина звукового поля имеет более размытую зональную структуру
по сравнению с акустическим полем вдоль трассы А что следует из результатов расчета в
приближении нормальных волн представленных на рисунке 3.87. Глубина оси подводного
звукового канала вдоль трассы зондирования в этом случае, изменялась от 150 м до 600 м.
Зональная структура поля для звука с частотой 232Гц, что следует из рисунка 3.87а, сохраняется
по трассе на большем расстоянии, чем при распространении сигнала с частотой 696 Гц как
218
показано рисунке 3.87б. Это связано с тем, что моды высоких номеров, касаясь дна, затухают
быстрее мод низших номеров и не участвуют в формировании поля на дальних расстояниях,
приводя к изменению интерференционной структуры поля и возрастанию потерь по трассе.
Рисунок 3.87 - Акустическое поле вдоль трассы В для сигналов с различными частотами:
a) – 232 Гц, b) – 696 Гц.
Аппроксимация уровней спада потерь при распространении по трассе В степенным
законном, отдельно для участка, где располагался вихрь до расстояния 230 км и в отсутствии
вихря на расстоянии 230-430 км показывает изменение показателя степени от значения n=0.5 до
значения n=0.52 для частоты 232 Гц и изменение n от n=0.5 до n=1.5 для частоты 696 Гц. Разрыв
кривых аппроксимации происходит на границе вихря и определяет его горизонтальный размер
(рисунки 3.85 и 3.88).
Рисунок 3.88 - Потери при распространении звука по трассе В в зависимости от расстояния
и его аппроксимация на различных частотах: a) – 232Гц, b) – 696 Гц.
Глубина приема 100м
Данные
проведенного
акустического
эксперимента
и
результаты
численного
моделирования позволяют сделать вывод, что спад звукового поля по расстоянию чувствителен к
месторасположению синоптического вихря и расположению приемных систем по трассе
распространения акустического сигнала. Полученные экспериментальные кривые изменения
219
уровня звука для приемников на различных глубинах и различных частотах хорошо согласуются с
модельными расчетами.
Приведенные результаты экспериментов и результаты численного моделирования
свидетельствуют
о
существенном
влиянии
теплого
антициклонического
вихря
на
пространственно-энергетическую структуру звукового поля в океане. Анализ изменчивости
уровней звука вдоль акустических трасс в пространстве вихря позволяет рассчитать положение и
горизонтальный размер вихря, не прибегая к прямым методам измерения гидрологических
параметров в районе с изменчивыми во времени гидродинамическими характеристиками, а с
помощью дистанционных методов акустической томографии. Пространственный спектральный
анализ вертикального распределения интенсивности звукового поля дает возможность определить
горизонтальный и вертикальный размеры синоптического вихря. Таким образом, используя
данные дистанционного акустического зондирования и численное моделирование можно получать
оперативную информацию о структуре и локальных характеристиках крупномасштабных
неоднородностей в исследуемой области океана на больших пространствах. В заключение следует
отметить,
что
дистанционные
акустические
методы
мониторинга
крупномасштабных
неоднородностей в океане могут иметь преимущества по сравнению с традиционными
полигонными океанологическими съемкам с точки зрения материальных затрат и оперативности
получения информации о динамике таких объектов.
220
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результатом проделанной работы являются экспериментальные натурные и
лабораторные исследования, а также аналитические и численные модели
гидродинамических и акустических линейных и нелинейных процессов в океане.
Раздел 1
В задаче изучения меридионального переноса водных масс поперек струйных течений в
океане и атмосфере получены следующие результаты. Наличие симметрии уравнений адвекции
позволило разработать методику нахождения ЦИК. В зависимости от величины размерности
покрытия можно различать режимы с наличием ЦИК и появлением на её месте стохастического
слоя с ХПТ. Выявлены амплитудный и резонансный механизмы разрушения ЦИК и установления
ХПТ. В последнем случае сценарии разрушения ЦИК различны для нечётных и чётных
резонансов. Для нечётных значений волновых чисел разрушение ЦИК и установление глобального
ХПТ происходят для сравнительно малых амплитуд волн Россби. В случае возмущения с чётнонечётными значениями волновых чисел, когда отсутствует одна из симметрий уравнений
адвекции, разработана другая методика обнаружения ХПТ, основанная на вычислении перекрытия
северного и южного стохастических слоёв. Расчёты по этой методике показывают, что в данном
случае глобальный ХПТ наступает при значительно больших (по сравнению с нечётными
волновыми числами) значениях амплитуд волн Россби.
В задаче исследования приповерхностного транспорта и перемешивания водных масс с
вихрями, связанными с Приморским течением рассчитаны значения показателя Ляпунова и
построены синоптические карты, описывающие приповерхностный транспорт и перемешивание в
исследуемом регионе. Используемые лагранжевы методы позволили выявить мезомасштабные
вихри и их структуру, отследить различные фазы прибрежного потока, обнаружить неоднородный
характер
перемешивания
и
транспорта
на
мезо-
и
субмезомасштабах,
количественно
охарактеризовать перемешивание с помощью времён выхода и количества оборотов частиц вокруг
центров вихрей.
В
результате
численного
моделирования
крупномасштабного
горизонтального
перемешивания и переноса радиоактивной воды от АЭС “Фукусима-Дайичи” с использованием
спутникового альтиметрического поля скорости получены следующие результаты. Пятно
радиоактивной воды, слитой в океан с АЭС, распространяется в восточном направлении и
подхватывается струями продолжения Куросио. Опасность для живых организмов может
представлять обнаруженный эффект захвата радионуклидов устойчивыми многообразиями
вихрей.
При разработке теоретических основ метода двухчастотной диагностики газовых
включений определена величина и угловые зависимости рассеянных комбинационных компонент
221
Нелинейный отклик пузырька на воздействие интенсивной волны накачки приводит также к
параметрической генерации поверхностных мод – ряби Фарадея. Определены условия
образования структур на поверхности газового пузырька, возбуждаемого акустическим полем
вблизи порога параметрической неустойчивости. На основе теории групп дана классификация
возможных деформированных состояний газовых включений.
При изучении дальнего распространения звука в подводном звуковом канале показано, что
рассеяние звуковых лучей на случайной неоднородности канала, порождаемой внутренними
волнами, приводит к лучевому хаосу. Предложен метод, основанный на построении оператора
эволюции акустического поля. Спектральный анализ оператора эволюции позволяет отследить
переход к хаосу по мере роста дистанции от источника. Обнаружено, что распространение звука
вблизи оси подводного звукового канала в Японском море сохраняет устойчивость на расстояниях
порядка сотен километров от источника. Показано, что анализ собственных функций оператора
эволюции обладает большей информативностью, чем анализ собственных значений.
Результаты экспериментального изучения сонолюминесцении позволили существенно
продвинуться в понимании механизма появления атомной эмиссии металлов в спектрах
сонолюминесцении растворов солей. Разработана модель, успешно объясняющая спектральные
особенности профиля линий при сонолюминесценции. Модель основана на новом взгляде на
механизм формирования сонолюминесценции металлов и позволяет оценивать параметры
кавитационного коллапса. Результаты моделирования экспериментальных данных выявили
несколько новых эффектов и согласуются с последними результатами других авторов.
Раздел 2
Для задачи хаотического транспорта и перемешивания в нижнем слое
топографического вихря в квазигеострофическом приближении получена оценка
оптимальной частоты возмущения и ширины стохастического слоя. Эта оценка
получена с помощью модифицированного показателя Ляпунова накопленного за
конечное время. С помощью модифицированного критерия Чирикова получены
аналогичные оценки и объяснена регуляризация траекторий в окрестности
сингулярной точки.
Были изучены локализованные режимы движения ядра эллипсоидального
вихря (вращение и осцилляции) во вращающемся стратифицированном океане.
Показано возникновение зон рециркуляции. Изучен механизм хаотизации
траекторий жидких частиц. Показано, что в следствие двойной периодичности
движения ядра вихря нелинейные резонансы возникают парами с одинаковыми
числами вращения, что приводит к интенсификации хаотического перемешивания.
222
Изучено
движение
центра
завихренности
пары
точечных
вихрей
произвольных
интенсивностей в нестационарном деформационном внешнем потоке. Показано, что при
отклонении центра завихренности от центра симметрии внешнего потока центр завихренности
начинает осциллировать относительно центра симметрии потока.
В случае совпадающей временной зависимости сдвиговой и вращательной компонент
внешнего потока показана интегрируемость уравнений движения центра завихренности. В случае
если среднее вращение превосходит средний сдвиг, центр завихренности движется по
эллиптическим траекториям. В противном случае движение неограниченно по гиперболическим
траекториям.
В случае если амплитуда осцилляций сдвига и вращения во внешнем потоке не совпадает
траектория движения центра завихренности описывается уравнением Риккати. Показано, что в
этом случае возникает явление параметрического резонанса. В резонансном режиме движение
центра завихренности неограниченно но удаление от цента симметрии происходит по спирали и
значительно медленнее, чем в неограниченных стационарных режимах.
Показано, что при взаимодействии свободного и топографического вихрей наблюдается
эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря. Этот эффект определяется
двумя механизмами. Первым является хаотический транспорт. Наличие такого транспорта
показано с помощью анализа времен захвата жидких частиц из внешнего потока. Второй механизм
связан с перестройкой фазового портрета со временем. Это приводит к интенсивному обмену
между меняющими объем областями рециркуляции и проточной областью. Вклад каждого из
механизмов определяется положением захваченного вихря и его интенсивностью, при этом
динамика жидких частиц внутри топографического вихря значительно меняется.
При наложении на внешнее течение периодического по времени возмущения свободный
вихрь может захватываться топографией. При таком краткосрочном воздействии эффективность и
интенсивность вентиляции топографического вихря очень велика. Стратификация значительно
регуляризирует динамику системы в нижних слоях по сравнению с верхними.
Сложность задачи трех зарядов обусловлена наличием дополнительных (в сравнении с
классической задачей трех точечных вихрей) параметров движения - высот (глубин) расположения
зарядов. Более или менее полно обозреть возможные типы движения в этом случае представляется
проблематичным.
Настоящая работа посвящена изучению частного случая движения трех
вихревых зарядов, когда их суммарная интенсивность равна нулю. С физической
точки зрения этот случай считается наиболее интересным, ибо при генезисе зарядов
источник потенциальной завихренности не предполагается. Ранее этот случай
движения в литературе не рассматривался. Предлагаемое исследование ограничено
223
качественным анализом относительного движения зарядов, причем основной
акцент делается на изучении геометрии и устойчивости положений относительного
равновесия зарядов. Как и для точечных вихрей, изучение относительного
движения (то есть движения, при котором учитываются только расстояния между
зарядами) является первым и необходимым шагом в изучении полного
(абсолютного) движения зарядов. Отметим, что полный качественный анализ
относительного движения трех вихрей проведен сравнительно недавно.
Используя численную модель POM исследовано влияние поля ВВК на
эволюцию относительной завихренности. Проанализирован процесс переноса
завихренности первой модой ВВК на пикноклине в линейном и нелинейном
режимах. Установлено, что для обоих режимов характерен перенос завихренности в
направлении волнового возмущения. В вертикальной плоскости в слое выше
пикноклина формируется область положительной завихренности в слое ниже
пикноклина отрицательная завихренность. Установлено, что скорость
распространения относительной завихренности выше в нелинейном режиме ВВК по
сравнению с линейным режимом.
Исследован процесс эволюции области пассивной примеси, расположенной у
вертикальной стенки морского бассейна, заполненного стратифицированной
жидкостью с хорошо выраженным пикноклином в поле внутренней волны
Кельвина (ВВК) на основе численного моделирования. Проанализирован процесс
деформации “тонкой, вертикальной нити примеси” постоянной в начальный
момент концентрации под действием уединённой ВВК первой моды гауссовой
формы в линейном и нелинейном режимах. Обнаружены существенные различия
между двумя этими режимами. Установлено, что в линейном режиме ВВК после
формирования “волнового” следа в поле примеси происходит формирование потока
примеси по направлению распространения ВВК, а нелинейном режиме после
формирования “волнового” следа происходит вовлечение примеси пикноклином, а
затем формирование в этой зоне поля концентрации в форме квазивихревой
структуры.
Для изучения влияния поля внутренних волн (ВВ) на перенос пассивной
примеси был поставлен натурный эксперимент, который проходил с 28 августа по
30 сентября в районе полуострова Гамова. В качестве объектов исследования
выступали поверхностные слики. Для решения поставленной задачи
использовались данные инструментальных измерений температуры, а также
снимки с камер панорамного наблюдения. На основе анализа данных натурных
224
наблюдений установлено, что ВВ с амплитудами, превышающими некоторое
пороговое значение и частотами 2PiV/L , где V- скорость распространения слика, а L
- его пространственный масштаб, транспортируют поверхностные слики на морской
поверхности прибрежной водной массы с выраженным сезонным пикноклином
(N_max = 40 ц/час), расположенным на горизонте z=H/2 , где H~40 метров.
При изучении процессов тепломассопереноса в океанической коре и мантии разработан
модифицированный метод решения трехмерной задачи Стокса в естественных переменных
методом конечных элементов в сочетании с методом проекции градиента, который обладает
преимуществами как метода “векторный потенциал–завихренность”, так и метода “скорость–
давление”. Как показано в численных примерах, предлагаемым методом задача гидростатики
решается точно, тем самым достигается надежность и устойчивость численного счета. Разработана
численная модель для исследования осаждения твердой компоненты в процессе фильтрации
раствора в вязком скелете. Применение двухтемпературной модели к исследованию процесса
образования температурной аномалии в мантии Курило-Камчатского региона позволило получить
ряд качественно новых эффектов в процессе образования температурной аномалии, по сравнению
с однотемпературной, и получить численные результаты, согласующиеся с экспериментальными
данными.
Проведено
исследование
системы
нелинейных
параболических
уравнений,
описывающих эволюцию осесимметричного медленного течения двухслойной вязкой жидкости со
свободной поверхностью, создаваемого начальным рельефом границ слоев. С помощью метода
малого параметра показано существенное различие эволюции течения на малых и больших
временах возможно лишь при наличии перепада плотностей между слоями. Из результатов
асимптотического анализа следует, что движения поверхности и границы раздела слоев жидкости
на больших временах связаны зависимостью, близкой к функциональной. В качестве приложения
был выполнен расчет профиля границы раздела кора-мантия кольцевой структуры Orientale на
Луне.
По результатам исследований бидиффузионной конвекции можно отметить следующее:
Получено семейство амплитудных уравнений, описывающее трехмерную бидиффузионную
конвекцию в бесконечном слое жидкости, взаимодействующую с полем горизонтальной
завихренности для ячеек в виде конечной суперпозиции валиковых мод.
Развит
подход
к
вычислению
коэффициентов
амплитудных
уравнений
для
бидиффузионной конвекции, позволяющий получать сравнительно компактные формулы. При
переходе к одной пространственной переменной получается комплексное уравнение ГинзбургаЛандау для двумерной бидиффузионной конвекции при произвольной ширине конвективных
ячеек. Из структуры полученных уравнений можно понять, что в 3D случае взаимодействие
конвекции с полем горизонтальной завихренности играет существенную роль.
225
Для численного моделирования полученных систем амплитудных уравнений разработаны
численные схемы на основе современных ETD (exponential time differencing) методов. Написаны
программы на MATLAB для моделирования валиковой конвекции, а также конвекции с
квадратными и гексагональными ячейками. Численное моделирование показало, что конвекция в
рассматриваемой системе имеет вид вытянутых “облаков” или “нитей”. В случае двух и более мод
достаточно быстро (за время порядка T=15) развивается состояние диффузионного хаоса, когда
первоначальное симметричное состояние разрушается и конвекция становится нерегулярной как
по пространству, так и по времени. При этом в некоторых областях возникают пиковые всплески
завихренности.
Выведены и исследованы параболические аппроксимации, относительно которых доказаны
теоремы о сохранении потока мощности и асимптотической фазовой точности. К преимуществам
таких аппроксимаций следует также отнести возможность расчета звукового поля с любой
точностью, используя при этом только программу решения стандартного узкоугольного
параболического уравнения, слегка модифицированную введением правой части.
Раздел 3
Проведены теоретические исследования особенностей рассеяния звука
на зоо и
фитопланктоне и на газовых пузырьках, которые дают основной вклад в рассеяние звука в
верхнем слое моря. Полученные зависимости были положены в основу решения обратных задач
определения типа включения и концентрации. В частности, было получено общее выражение,
позволяющее получать данные по распределению биомассы
в рамках двух распределений –
степенного и гауссовского.
Развиты акустические методы на основе широкополосного обратного рассеяния звука.
Новизна заключалась в использовании сложных сигналов и многочастотного рассеяния звука, в
том числе с применением остронаправленных параметрических излучающих систем. На основе
развитых моделей получена информация о структуре звукорассеивающих слоев, позволяющая
выявить вклад, обусловленный неоднородностями биологического происхождения.
На основе разработанных методов нелинейного и нестационарного рассеяния и
распространения звука получены данные по распределению пузырьков в приповерхностном слое
моря и
выявлены особенности
вертикальной
структуры вовлеченных
при
обрушении
поверхностных волн облаков пузырьков
Разработана гомогенная модель эффективных параметров микронеоднородной жидкости с
фазовыми превращениями, которая для случая парогазовых пузырьков прошла проверку до
больших концентраций пузырьков в жидкости. Результаты экспериментов и результаты
численного
моделирования
свидетельствуют
о
существенном
влиянии
теплого
антициклонического вихря на пространственно-энергетическую структуру звукового поля в
226
океане. Анализ изменчивости уровней звука вдоль акустических трасс в пространстве вихря
позволяет рассчитать положение и горизонтальный размер вихря, не прибегая к прямым методам
измерения гидрологических параметров в районе с изменчивыми во времени гидродинамическими
характеристиками, а с помощью дистанционных методов акустической томографии.
Пространственный спектральный анализ вертикального распределения интенсивности
звукового поля дает возможность определить горизонтальный и вертикальный размеры
синоптического вихря. Таким образом, используя данные дистанционного акустического
зондирования и численное моделирование можно получать оперативную информацию о структуре
и локальных характеристиках крупномасштабных неоднородностей в исследуемой области океана
на больших пространствах.
227
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Список основных работ, опубликованных по теме исследований
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Моргунов Ю.Н., Половинка Ю.А., Соловьев А.А. Влияние
синоптического вихря на распространение акустических сигналов в северо-западной части
Тихого океана // Подводные исследования и робототехника. 2009. №1 (7). С. 40-56.
Акуличев В.А.., Буланов В.А.., Стороженко А.В. Оценка распределения планктона в океане
методом акустического зондирования // Доклады Академии наук. 2011. Т. 438, № 2. С. 267270.
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Моргунов Ю.Н., Соловьев А.А. Влияние теплого антициклонического
вихря на распространение звука в северо-западной части Тихого океана // Доклады АН.
2011. Т. 441, № 6.
Акуличев В.А. Влияние крупномасштабных неоднородностей водной среды на распространение
звука в северо-западной части Тихого океана. // Успехи механики сплошных сред: к 70летию академика В.А.Левина / Сборник научных трудов. – Владивосток: Дальнаука. 2009.
С. 5-15.
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Моргунов Ю.Н., Половинка Ю.А., Соловьев А.А. Акустическое
зондирование теплого антициклонического вихря в системе течения Куросио // Доклады
XII школы-семинара имени акад. Л.М.Бреховских, совмещенной с XXI сессией
Российского акустического общества / М.: ГЕОС. 2009. С. 23-26.
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Моргунов Ю.Н., Половинка Ю.А., Соловьев А.А. Исследование
распространения акустических сигналов через фронтальную зону в северо-западной части
Тихого океана // Третья Всероссийская научно-техническая конференция “Технические
проблемы освоения Мирового океана”, Владивосток: Дальнаука. 2009. C. 155-160.
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Моргунов Ю.Н., Соловьев А.А. Влияние крупномасштабных
неоднородностей на распространение звука в северо-западной части Тихого океана // Сб.
трудов XXII сессии Российского акустического общества. Т. 2, М.: ГЕОС. 2010. С. 161-164.
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Моргунов Ю.Н., Соловьев А.А. Распространение звука в северозападной
части
Тихого
океана
//
Доклады
XII
школы-семинара
имени
акад.
Л.М.Бреховских, совмещенной с XXIII сессией Российского акустического общества / М.:
ГЕОС. 2011. С. 9-12.
Акуличев В.А., Бугаева Л.К., Соловьев А.А. Оценка влияния фронтальной зоны на закон спада
акустического сигнала // Четвертая Всероссийская научно-техническая конференция
“Технические проблемы освоения Мирового океана”, 3-7 октября 2011 года / Материалы
конференции. – Владивосток: Дальнаука. 2011. C. 164-168.
228
Боровой Д.И. Программа для разбиения, объединения, усреднения и фрагментации бинарных
файлов неограниченно больших размеров // Технологии Microsoft в теории и практике
программирования: Труды VI Всероссийской научно-практ. конф. студентов, аспирантов и
молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ. 2009. С. 239-241.
Боровой Д.И. Программа для ЭВМ: Программа для разделения, объединения и усреднения
бинарных
многоканальных
файлов
больших
размеров.
Официальный
бюллетень
Российского агентства по патентам и товарным знакам. Рег. номер 2009610759 (03.02.2009).
Боровой Д.И., Стороженко А.В. Программа для ЭВМ: Программа для разделения, объединения,
усреднения и фрагментации бинарных многоканальных файлов больших размеров
(BinaryAcoustics). Официальный бюллетень Российского агентства по патентам и товарным
знакам. Рег. номер 2009611689 (30.03.2009).
Боровой Д.И. Программа для ЭВМ: Программа для визуализации и первичной обработки
бинарных
фрагментированных
данных
(AcousticMaster).
Официальный
бюллетень
Российского агентства по патентам и товарным знакам. Рег. номер 2009612353 (08.05.2009).
Буланов В.А., Стороженко А.В. О возможности акустической оценки распределения планктона в
море // Электронный журнал “Техническая акустика”, http://ejta.org. 2011. № 1.
Буланов В.А., Корсков И.В. “Система многочастотного акустического зондирования с временным
разделением частот” // Приборы и техника эксперимента. 2009. № 3. C. 120-122.
Буланов В.А. Исследования структуры неоднородностей верхнего слоя океана методами
нестационарного акустического зондирования // “Акустика океана”, Доклады XII школысеминара им. акад. Л.М.Бреховских- М.: ГЕОС. 2009. C. 137-140.
Буланов В.А., Боровой Д.И., Корсков И.В., Стороженко А.В., Попов П.Н. Исследования рассеяния
звука в мелком море с применением донной системы // “Акустика океана”, Доклады XII
школы-семинара им. акад. Л.М.Бреховских- М.: ГЕОС. 2009. C. 141-144.
Буланов В.А., Корсков И.В., Попов П.Н. Стороженко А.В. Особенности рассеяния звука на
морских водорослях // Доклады XI Международной научно-технической конференции
“Современные методы и средства океанологических исследований” (МСОИ 2009), 25-27
ноября 2009 года. М.: Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН. 2009. С. 276-280.
Буланов В.А., Корсков И.В., Попов П.Н. Стороженко
А.В.
Исследования структуры
мелкомасштабных неоднородностей в шельфовой зоне Японского моря методами
рассеяния звука // Доклады XI Международной научно-технической конференции
“Современные методы и средства океанологических исследований” (МСОИ 2009), 25-27
ноября 2009 года. М.: Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН. 2009. С. 269-273.
229
Буланов В.А., Корсков И.В., Попов П.Н. Стороженко А.В. Акустические исследования структуры
мелкомасштабных неоднородностей в шельфовой зоне Японского моря // Сб. трудов XXII
сессии Российского акустического общества. Т. 2, М.: ГЕОС. 2010. C. 265-269.
Вировлянский А.Л., Макаров Д.В., Пранц С.В. Лучевой и волновой хаос в подводных акустических
волноводах // Успехи физических наук. 2012. Т. 182, Вып. 1. С. 19-48.
Гордейчук Т.В., Казачек М.В. Модель формирования линий щелочных металлов в спектрах
сонолюминесценции // Труды ХХII сессии Российского акустического общества, 15 – 17
июня 2010 г., Москва, Россия. Москва: ГЕОС. 2010. Т. 1. С. 52-56.
Гордейчук
Т.В.,
Казачек
М.В.
Экспериментальное
наблюдение
интенсивного
роста
сонолюминесценции металлов под влиянием давления и температуры // Оптика и
спектроскопия. 2009. Т. 106, № 2. С. 277-280.
Гудименко А.И., Купцов К.Г. Движение трех точечных вихрей в случае, если один из них проходит
через центр завихренности // Вестник Удмуртского университета. 2009. Вып. 2. С. 38-52.
Гудименко А.И., Захаренко А.Д. Качественный анализ движения трех вихрей // Нелинейная
Динамика. 2010. Т. 6, № 2. C. 307-326.
Гудименко А.И., Захаренко А.Д. Движение трех вихрей с нулевой суммарной интенсивностью //
ПМТФ. 2010. Т. 51, № 3. C. 55-65.
Гузев М.А., Кошель К.В., Израильский Ю.Г. Эффект глобальной хаотизации в цепочке частиц //
Нелинейная Динамика. 2010. Т. 6, № 2. С. 291-305.
Каверин А.М., Максимов А.О. Влияние поверхностной нуклеации на кавитационную прочность
перегретых криогенных жидкостей // Труды ХХII сессии Российского акустического
общества, 15-17 июня 2010 г., Москва, Россия. М.: ГЕОС. 2010. Т. I. С. 36–40.
Каверин А.М., Максимов А.О. Возникновение кавитации в перегретой жидкости на неоднородной
поверхности // Сборник трудов Научной конференции “Сессия Научного совета РАН по
акустике и XXIV сессия Российского акустического общества”. Т. 1.– М.: ГЕОС. 2011. С.
12-15.
Казачек М.В., Гордейчук Т.В. Одна простая модель формы D-линии Na в спектрах
сонолюминесценции // Письма в ЖТФ. 2011. Т. 37. Вып.6. С. 39-48.
Казачек М.В., Гордейчук Т.В. Оценка пикового давления кавитации по структуре D-линии Na в
спектрах сонолюминесценции // Письма в ЖТФ. 2009. Т. 35. Вып.4. С. 87-94
Козицкий С.Б. Амплитудные уравнения для трехмерной бидиффузионной валиковой конвекции с
ячейками произвольной ширины в окрестности точек бифуркации Хопфа // Вестник
Удмуртского университета. 2010. Вып. 4. С. 13-24.
230
Корсков И.В., Буланов В.А.. Патент 101202 Российская Федерация МПК G01S15/00. Система
многочастотного акустического зондирования / ТОИ ДВО РАН, заявл. 18.06.2010, опубл.
10.01.11 Бюл. №1.
Корсков И.В., Буланов В.А. Патент 108642 Российская Федерация МПК G01S15/00. Система
многочастотного акустического зондирования / ТОИ ДВО РАН, заявл. 07.06.2011, опубл.
20.09.11 Бюл. №26.
Лучин В.А., Новотрясов В.В. , Степанов Д.В. Межгодовая и декадная изменчивость температуры
промежуточных вод Японского моря во второй половине XX века // Вестник ДВО РАН.
2010. № 6. С. 33-35.
Макаров Д.В., Улейский М.Ю., Соседко Е.В., Коньков Л.Е. Анализ распространения звука в
подводном звуковом канале с использованием комплексного метода ВКБ // Докл. 12-ой
школы-семинара акад. Л.М. Бреховских “Акустика океана” / М. ГЕОС. 2009. С. 115-118.
Макаров Д.В., Петров П.С., Улейский М.Ю. О стабильности акустического поля в Японском море
// Докл. 13-ой школы-семинара акад. Л.М. Бреховских “Акустика океана” / М. ГЕОС. 2011.
С. 86-89.
Максимов А.О. Динамика несферичного пузырька // Успехи механики сплошных сред, тезисы
Всероссийской конференции, приуроченной к 70-летию академика В.А. Левина, 29
сентября 5 октября, 2009 г. Владивосток, Россия. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2009. С.
131–132.
Максимов А.О., Каверин А.М. Об особенностях нуклеации в нанообъектах // Письма в Журнал
технической физики. 2010. Т. 36, Вып. 18. С. 89–94.
Максимов А.О. Особенности рассеяния звука на газовых включениях в ледяном покрове // Труды
ХХII сессии Российского акустического общества, 15 – 17 июня 2010 г., Москва, Россия.
М.: ГЕОС, 2010. Т. II. С. 294–296.
Максимов А.О. Декорирование каустических особенностей обратного рассеяния от морского дна
подводной растительностью // Труды ХХII сессии Российского акустического общества, 1517 июня 2010 г., Москва, Россия. М.: ГЕОС. 2010. Т. II. С. 297–301.
Максимов А.О. Акустические проявления пузырьков, вмороженных в ледяной покров //
Акустический журнал. 2011. Т. 57, № 3. С. 398–408.
Максимов А.О., Leighton T.G. Неустойчивости и образование структур на сферической межфазной
поверхности
//
Труды
“Десятой
региональной
научной
конференции
Физика:
Фундаментальные и прикладные исследования, образование”, г. Владивосток, 1–3 ноября
2011 г., Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. С. 19.
231
Новотрясов В.В., Карнаухов А.А. О нелинейном взаимодействии внутренних волн в прибрежной
зоне Японского моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2009. Т. 45, № 2. С.
276-285.
Новотрясов В.В. Спектральное описание нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне океана
// Сборник трудов ХХII сессии Российского акустического общества и Сессии Научного
совета РАН по акустике. ГЕОС, 361 с., Москва, 2010. Т.2. Секционные доклады. С. 279-282.
Новотрясов В.В., Ярощук И.О. О распространении длинных нелинейных внутренних волн на фоне
статистических неоднородностей поля плотности // Известия РАН. Физика атмосферы и
океана. 2011. Т. 47, № 5. C. 701-704.
Новотрясов В.В., Павлова Е.П. Определение параметров низкочастотных внутренних волн в
прибрежной зоне окраинного моря с использованием натурных измерений на основе
нелинейной теории // Метеорология и гидрология. 2011. № 4. С. 82-86.
Пак В.В. Осесимметрическая модель кольцевой структуры в двухслойном течении вязкой
жидкости со свободной поверхностью // Вестник Удмуртского университета. 2009. Вып. 2.
С. 63-74.
Пак В.В. Нелинейная модель осесимметричного течения двухслойной вязкой жидкости со
свободной поверхностью // Вестник Удмуртского университета. 2010. Вып. 2. С. 91-100.
Пак В.В. Применение метода проекции градиента к численному решению трехмерной задачи
Стокса // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3, № 2. С. 93-102.
Пак В.В. Асимптотическое исследование трехслойного течения вязкой жидкости и некоторые
геофизические приложения // Вестник Удмуртского университета. 2011. Вып. 4. С. 107-115.
Пранц С.В., Улейский М.Ю., Будянский М.В. Численное моделирование распространения в океане
радиоактивного загрязнения от АЭС “Фукусима-Дайичи” // Доклады РАН. 2011. Т. 439, №
6. С. 811-814.
Рыжов Е.А., Кошель К.В. Хаотический перенос и перемешивание пассивной примеси вихревыми
потоками за препятствиями // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46, № 2.
C. 204–211.
Рыжов Е.А. Эффекты хаотической адвекции в вихревых структурах: дис. … канд. физ.-мат. наук /
Учреждение Российской академии наук Тихоокеанский океанологический институт им.
В.И. Ильичева Дальневосточного отделения РАН. Владивосток, 2011. – 94 с.
Рыжов Е.А., Кошель К.В. Эффекты хаотической адвекции в трехслойной модели океана //
Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2011. Т. 47, № 2. C. 845-857.
Рыжов Е.А., Кошель К.В. Вентилирование области топографического вихря захваченным
свободным вихрем // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2011. Т. 47, № 6. C. 263274.
232
Рыжов Е.А. Интегрируемое и неинтегрируемое движение вихревой пары в несимметричном
деформационном потоке // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7, № 2. С. 283-293.
Салюк П.А., Майор А.Ю., Буланов В.А., Корсков И.В., Букин И.О., Буланов А.В., Ляхов Д.Г.,
Бубновский А.Ю. Возможность дистанционного обнаружения повышенных концентраций
метана в морской воде с использованием методов оптической спектроскопии на подводных
телеуправляемых аппаратах // Подводные исследования и робототехника. Владивосток:
Дальнаука. 2011. № 2. С. 43-51.
Трофимов М.Ю. Параболические уравнения для задач распространения звука в нестационарных
морских волноводах с течениями // Динамика сплошной среды: сб. науч. ст. 2010.
Новосибирск. Институт гидродинамики СО РАН. Выпуск 126. С. 156—159.
Трофимов М.Ю., Петров П.С. Об использовании нестационарного уравнения Тапперта в качестве
условия прозрачной границы // Фундаментальная и прикладная математика. М.: Центр
новых информационных технологий МГУ. Т. 15, № 2. С. 191—206.
Улейский М.Ю., Будянский М.В., Пранц С.В. Хаотический поперечный транспорт в двумерных
струйных потоках // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2011. Т. 138, №
6. С. 1175-1188.
Ярощук И.О., Новотрясов В.В. О параметре нелинейности волнового движения при наличии
тонкой структуры неоднородной среды // Актуальные проблемы статистической
радиофизики. 2009. Т. 8. С. 25-32.
Akulichev V.A., Bulanov V.A.. “Measurements of bubbles in sea water by nonstationary sound scattering”
// J. Acoust. Soc. Am. 2011. V. 130, № 5. P. 3438-3449.
Akulichev V.A., Bugaeva L.K., Morgunov Yu.N., Polovinka Yu.A., Solovjev A.A. Influence of Warm
Mesoscale Eddy on Sound Propagation in the Region of Kuroshio // Proceeding of the 10th
Western Pacific Acoustics Conference WESPAC X, 2009, China // Institute of Acoustics, China
Academy of Sciences / Western Pacific Commission for Acoustics. – Paper 0183, 8 p. (on CDROM).
Akulichev V.A., Bulanov V.A., Borovoj D.I., Korskov I.V., Popov P.N. Researches of sound scattering in
the subsurface sea layer // Proceeding of the 10th Western Pacific Acoustics Conference
WESPAC X, 21-23 September 2009, Beijing, China // Institute of Acoustics, China Academy of
Sciences / Western Pacific Commission for Acoustics. – Paper 0191, 8 p. (Организатор – Инст.
Акустики, г. Пекин, КНР, WESTPAC).
Akulichev V.A., Bugaeva L.K., Morgunov Yu.N., Solovjev A.A. Influence of mesoscale eddies and frontal
zones on sound propagation at the Northwest Pacific Ocean // In : Proceedings of 20th Int.
Congress on Acoustics, ICA 2010. 23-27 August 2010, Sydney, Australia, P. 1-6.
233
Birkin P.R., Offin D.G., Vian C.J.B., Leighton T.G., Maksimov A.O. Investigation of non-inertial
cavitation produced by an ultrasonic horn // J. Acoust. Soc. Am. 2011. V. 130, № 5, Part 2. P.
3297–3308.
Budyansky M.V., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Detecting barriers to cross-jet Lagrangian transport and its
destruction in a meandering flow // Physical Review E. 2009. V. 79, № 5, art. no 056215.
Budyansky M.V., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Cross-frontal chaotic transport in ocean jet currents // In:
“Topics on Chaotic Systems, Selected Papers from CHAOS 2008 International Conference”.
Singapore: World Scientific. 2009. P. 202-213.
Budyansky M.V., Ponomarev V.I., Fyman P.A., Uleysky M.Yu., Prants S.V. Lagrangian approach to
chaotic transport and mixing in the Japan Sea. Chaos Theory: Modeling, Simulation and
Applications. Selected Papers from the 3rd Chaotic Modeling and Simulation International
Conference (CHAOS2010) (eds. C.H. Skiadas, I. Dimotikalis,C. Skiadas). Singapore: World
Scientific. 2011. P. 3-13.
Bulanov V.A., Korskov I.V. Acoustic linear and nonlinear spectroscopy of bubble liquids // Proceeding of
the 10th Western Pacific Acoustics Conference WESPAC X, 2009, Beijing, China. Institute of
Acoustics, China Academy of Sciences / Western Pacific Commission for Acoustics. – Paper
0177, 8 p. (Организатор – Инст. Акустики, г. Пекин, КНР, WESTPAC).
Bulanov V.A., Korskov I.V. On the attenuation and acoustical nonlinearity of water with vapor-gas
bubbles // In Proceedings of the Science Conference “Session of the Scientific Council of Russian
Academy of Science on Acoustics and XXIV Session of the Russian Acoustical Society”, Saratov,
September 12-15. 2011. P. 121 - 125. http:/www.akin.ru.
Bulanov V.A., Korskov I.V., Popov P.N., Storozhenko A.V. Researches of sound scattering along largescale traces in The Sea of Okhotsk and in The Sea of Japan // In Proceedings of the Science
Conference “Session of the Scientific Council of Russian Academy of Science on Acoustics and
XXIV Session of the Russian Acoustical Society”, Saratov, September 12-15, 2011. P. 485 - 490.
http:/www.akin.ru.
Bulanov V.A., Korskov I.V., Storozhenko A.V. Researches of sound scattering in the sea using the bottom
station // In Proceedings of the Science Conference “Session of the Scientific Council of Russian
Academy of Science on Acoustics and XXIV Session of the Russian Acoustical Society”, Saratov,
September 12-15, 2011. P. 490 - 494. http:/www.akin.ru.
Chacon R., Uleysky M., Makarov D. Universal chaotic layer width in space-periodic Hamiltonian systems
// Europhysics Letters. 2010. V. 90. P. 40003.
Gordeychuk T.V., Kazachek M.V. On a shape of alkali-metal lines in sonoluminescence spectra // Pros.
International Congress on Ultrasonics ICU2011. 5-9 September 2011, Gdansk, Poland. P. 202.
234
Kazachek M.V., Gordeychuk T.V. Modelling of Na D-line shape in sonoluminescence spectra based upon
density dynamics // Proc. of XX International Congress on Acoustics, ICA 2010, 23-27 August
2010, Sydney, Australia, P. 66.
Kazachek M.V., Gordeychuk T.V. T. A simple model for explanation of Na D-line shape in
sonoluminescence spectra // Proc. of 10th Western Pacific Acoustics Conference (WESPAC X),
Beijing, China, 21-23 September 2009. China, 2009. Paper 0021.
Koshel K., Ryzhov E., Stepanov D. Background current concept and chaotic advection in an oceanic
vortex flow // Theor. Comput. Fluid Dyn. 2010. V. 24. P. 59–64.
Koshel K.V., Izrailsky Yu.G. Alexandrova O.V. Chaotic Advection in the Flow Field Generated by a Point
Vortex in the Bay // Intern. Сonf. Flux and structures in fluids: Physics of Geospheres – 2009.
Selected papers. Institute for Problems in mechanics of the RAS, Moscow. 2010. P. 180-185.
Koshel K.V., Konstantinov O.G., Karnaukhov A.F., Malikova N.P. Generation of Topographic Vortices
by Tidal Currents on Japan Sea Shelf // Intern. Сonf. Flux and structures in fluids: Physics of
Geospheres – 2009. Selected papers. Institute for Problems in mechanics of the RAS, Moscow.
2010. P. 217-222.
Koshel K., Ryzhov E. The Estimate of the Regular Region Border in a Singular Vortex Model If the
Nonstationary Perturbation Is Finite // Intern. Сonf. Flux and structures in fluids: Physics of
Geospheres – 2009. Selected papers. Institute for Problems in mechanics of the RAS, Moscow.
2010. P. 304-310.
Makarov D.V., Prants S.V., Virovlyansky A.L., Zaslavsky G. Ray and wave chaos in ocean acoustics:
chaos in waveguides // Singapore: World Scientific. 2012. 388 p.
Makarov D.V., Kon'kov L.E., Uleysky M.Yu. Wave chaos in underwater acoustics // Journal of Siberian
Federal University. 2010. V. 3. P. 336-348.
Maksimov A.O., Sosedko E.V. Acoustic manifestations of gas hydrate shelled bubbles // Acoustical
Physics. 2009. V. 55, № 6. P. 776–784.
Maksimov A.O. Interpretation of acoustic scattering from submerged aquatic vegetation // Proceedings of
the 3rd International Conference & Exhibition on Underwater Acoustic Measurements:
Technologies and Results, Nafplion, Greece, 21-26 June 2009. Edited by John S. Papadakis &
Leif Bjørnø, Heraclion, Greece. 2009. P. 753–758.
Maksimov A.O. Characteristics of acoustic scattering from hydrate shelled bubbles // Proceedings of the
3rd International Conference & Exhibition on Underwater Acoustic Measurements: Technologies
and Results, Nafplion, Greece, 21-26 June 2009. Edited by John S. Papadakis & Leif Bjørnø,
Heraclion. 2009. P. 781–786.
Maksimov A.O. Sounds of marine hydrocarbon seeps // The 10th Western Pacific Acoustic Conference
Program & Abstracts, Beijing, China 21-23 Sept. 2009, Beijing. 2009. P. 24-25.
235
Maksimov A.O. Dynamics of constrained bubbles // The 10th Western Pacific Acoustic Conference
Program & Abstracts, Beijing, China 21-23 Sept. 2009, Beijing. 2009. P. 104.
Maksimov A.O. The acoustic manifestations of marine hydrocarbon seeps // Pacific oceanography. 2010.
V. 5, № 1. P. 88–95.
Maksimov A.O. Frozen bubbles // 10th International Conference on Gas in Marine Sediments Listvyanka
(Lake Baikal), Russia, 6-12 September, 2010. Иркутск: ЛИН СО РАН. 2010. P. 55.
Maksimov A.O. Structure of bubble plume emitted by natural methane seepages // 10th International
Conference on Gas in Marine Sediments Listvyanka (Lake Baikal), Russia, 6-12 September, 2010,
Иркутск: ЛИН СО РАН. 2010. P. 124.
Maksimov A.O., Leighton T.G. Scattering from Pattern on a Bubble Wall by Two Frequency Technique //
Proceedings of Pacific Rim Underwater Acoustic Conference 2011, 5–7 October 2011, Jeju Island
Korea. Ansan: Hanyang Univ. 2011. P. 53–56.
Maksimov A.O. Acoustic properties of sea floor gas hydrates // International Conference FLUXES and
STRUCTURES in FLUIDS: PHYSICS of GEOSPHERES, Vladivostok, September 27 –30, 2011,
Владивосток: Из.-во ДВФУ. 2011. P. 125–128.
Maksimov A.O., Leighton T.G. Pattern formation on the surface of a bubble driven by an acoustic field //
Proceeding of the Royal Society A. 2012. V. 468, № 2137. P. 57–75. doi:10.1098/rspa.2011.0366.
published online 17.08.2011.
Novotryasov V., Filonov A., Lavín M.F. Nonlinear internal tidal waves in a semi-enclosed sea //
Geophysical Research Letters. 2011. V. 38. P. L24611.
Petrov P.S., Trofimov M.Yu. A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its
application as an artificial boundary condition for the wave equation in a waveguide //
Europhysics Letters. 2009. V. 85, № 3. P. 34001.
Prants S.V., Budyansky M.V., Uleysky M.Yu. Transport barriers in zonal flows // In: “Frontiers of
Nonlinear Physics”, ed. by A. G. Litvak, Nizhny Novgorod. 2010. P. 112-113.
Prants S.V., Budyansky M.V., Ponomarev V.V., Uleysky M.Yu. Lagrangian study of transport and mixing
in a mesoscale eddy street // Ocean modelling. 2011. V. 38, Is. 1-2. P. 114-125. doi
10.1016/j.ocemod. 2011.02.008.
Prants S.V. Lagrangian tools to monitor the ocean // Сборник докладов International Conference
“Structures and fluxes in fluids” (Владивосток, ДВФУ). 2011, P. 168-170.
Ryzhov E.A., Koshel K.V., Stepanov D.V. Background current concept and chaotic advection in an oceanic
vortex flow // Proceedings of an IUTAM Symposium “150 Years of Vortex Dynamics”.
Shpringer, Dordrecht, Heidelberg, London, New York. 2010. P. 75-80.
Ryzhov E.A., Koshel K.V. Estimating the size of the regular region of a topographically trapped vortex //
Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2011. V. 105, N 4-5. P. 536-551.
236
Ryzhov E.A. On changing the size of the atmosphere of a vortex pair embedded in a periodic external
shear flow // Physics Letters A. 2011. V. 375, № 44. P. 3884—3889.
Sokolovskiy M.A., Koshel K.V., Carton X. Baroclinic multipole evolution in shear and strain //
Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2011. V. 105, № 4-5. P. 506—535.
Stepanov D.V., Novotryasov V.V. Internal Kelvin wave frontogenesis on the equatorial pycnocline //
Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2011. V. 105, № 4-5. P. 438—452.
Storozhenko A.V. Features of sound scattering along non-uniform traces in the Sea of Japan and in the
Sea of Okhotsk // In: Atmosphere aerosol, phytoplankton and its influence on climate forming in
the Pacific Ocean: Measurment New Methods. Ed. by V.F Yurchik. Cambridge Scholars
Publishing. Newcastle upon Tyne, United Kingdom. 2011. P. 65 - 72
Uleysky M.Yu., Budyansky M.V., Prants S.V. Mechanism of destruction of the transport barriers in
geophysical jets with Rossby waves. Physical Review E. 2010. V. 81, art. no 017202.
Zhmur V.V., Ryzhov E.A., Koshel K.V. Ellipsoidal vortex in a nonuniform flow: Dynamics and chaotic
advections // Journal of Marine Research. 2011. V. 69, № 2-3. P. 435-461.
237