Дипломная работа Математическое моделирование развития Т-системы иммунитета

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики и кибернетики
кафедра вычислительных технологий и моделирования
Дипломная работа
Математическое моделирование развития
Т-системы иммунитета
Выполнила:
Казакова О.А.,
503 группа
Научный руководитель:
к.ф.-м.н. С.Г. Руднев
Москва 2008
Содержание
1. Введение
1.1. Т- и В-системы иммунитета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Теломерная гипотеза старения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Модели возрастных изменений Т-системы иммунитета . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5
2. Цели и задачи работы
6
3. Построение математических моделей
3.1. Модификация системы уравнений модели Романюхи и Яшина . . . . . . . .
3.2. Моделирование динамики Т-системы иммунитета в раннем возрасте (развитие модели Романюхи и Яшина) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Модель Де Бура и ее модификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Моделирование динамики Т-системы иммунитета в раннем возрасте (развитие модели Де Бура) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
4. Описание данных и методов
4.1. Нормальная возрастная изменчивость Т-системы иммунитета . . . . . . . .
4.2. Возрастные изменения Т-системы иммунитета при ВИЧ-инфекции . . . . .
9
11
12
13
13
16
5. Обобщенная картина динамики возрастных изменений Т-системы иммунитета
19
6. Начальные оценки и идентификация параметров моделей по данным наблюдений
20
7. Энергетическая цена иммунной защиты
7.1. Построение функционалов энергии для модели Де Бура . . . . . . . . . . .
7.2. Идентификация параметров моделей: смешанный критерий оптимизации . .
25
30
31
8. Численные эксперименты
33
9. Результаты и выводы
33
10.Приложение
10.1. Вывод уравнений модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
34
2
1. Введение
1.1. Т- и В-системы иммунитета
Принято считать, что основная функция иммунной системы заключается в поддержании
целостности внутренней среды организма путем распознавания и нейтрализации генетически чужеродных факторов (антигенов). Иммунная система представлена двумя типами
антиген-специфических клеток (детекторов антигенных структур): Т- и В-лимфоцитами.
Каждый лимфоцит способен взаимодействовать лишь с одним антигеном. Такая способность имеет название специфичности. Лимфоциты одной специфичности образуют клон.
Основной тип иммунной реакции — иммунный ответ — заключается в каскадном размножении клеток одного или нескольких клонов с последующей нейтрализацией антигена. В организме человека содержится около 1012 лимфоцитов, а общее количество клонов
оценивается величиной порядка 106 –107 .
Рис. 1: Схема процесса развития Т- и В-лимфоцитов
Общая схема процесса развития лимфоцитов представлена на рис. 1. Из находящихся в костном мозге полипотентных стволовых кроветворных клеток в результате
нескольких циклов деления и дифференцировки образуются предшественники В- и Тлимфоцитов. Пре-В-лимфоциты завершают развитие и проходят “отбор” в специальном
лимфоидном органе — селезенке, а пре-Т-лимфоциты — в тимусе. В процессе отбора
около 95–97% попавших в тимус пре-Т-лимфоцитов погибают, а остальные клетки после нескольких циклов деления и дифференцировки выходят из тимуса в интактную
периферическую лимфоидную ткань (ИПЛТ) в виде функционально зрелых наивных Тлимфоцитов. При встрече с антигеном такие клетки участвуют в иммунном ответе. По
завершении иммунного ответа большинство клеток клона погибает в результате апоптоза
(программируемой клеточной гибели), а остальная часть (около 5%) формирует популяцию долгоживущих клеток памяти.
Упрощенно, В-лимфоциты обеспечивают защиту против бактериальных, а Т-лимфоциты — против вирусных антигенов. Кроме того, Т-лимфоциты участвуют в В-клеточном
3
Рис. 2: Схема строения иммунной системы
иммунном ответе.
На рис. 2 приведена схема строения иммунной системы.
1.2. Теломерная гипотеза старения
Демографические данные показывают, что с возрастом происходит увеличение смертности
от инфекционных заболеваний. Естественно предположить, что в основе этого лежат
изменения иммунной системы.
В конце XIX века немецкий биолог Август Вейсманн высказал гипотезу, что конечная
продолжительность жизни организмов вызвана ограниченной способностью соматических
клеток к репликации (Вейсманн, 1914, цит. по: (Гаврилов, Гаврилова, 1991)). Эта гипотеза в течение 30–40 последующих лет была широко признана, но затем после публикации
работ А. Карреля и А. Эбелинга с описанием результатов многолетней культивации соматических клеток in vitro была на долгие годы оставлена и забыта.
В 1961 году Хейфлик и Мурхед описали явление репликативного старения клеток
в культуре фибробластов: совершая определенное число делений (порядка 50), клетки
теряли способность к размножению и погибали (Hayflick, Moorhead, 1961). В более поздних работах Хейфлика и других авторов это представление получило развитие и уточнение. Оловников предположил, что механизмом снижения репликативного потенциала
клеток является уменьшение длины концевых фрагментов ДНК — так называемых теломер (Оловников, 1971): в результате митоза длина теломер клетки уменьшается на
определенную величину, и как только она становится меньше некоторого критического
значения, клетка перестает делиться. Такая критическая длина получила в литературе название предела Хейфлика, а соответствующую теорию стали называть теломерной
гипотезой старения. Теломерная гипотеза старения популяции лимфоцитов является ос4
новой ряда математических моделей возрастных изменений иммунной системы (DeBoer,
Noest, 1998; Романюха, Яшин, 2001; DeBoer, 2002).
1.3. Модели возрастных изменений Т-системы иммунитета
Имеется несколько типов математических моделей возрастных изменений Т-системы иммунитета. Простая статистическая модель развития Т-системы иммунитета была построена Олдхаус и соавт. в 1994 году по большой выборке экспериментальных данных [14].
В этой работе были описаны зависимости от возраста средних значений, дисперсии и
степени асимметрии относительных численностей субпопуляций Т-лимфоцитов в крови.
Более распространены в настоящее время блочные модели, имеющие вид систем обыкновенных дифференциальных уравнений. По-видимому, первая модель такого вида на основе теломерной гипотезы старения была построена в 1998 году Де Буром и Ноэстом [16].
Там были получены оценки скоростей размножения и гибели наивных Т-лимфоцитов и
клеток памяти. В дальнейшем была предложена модель динамики популяции CD4+ Тлимфоцитов (система ОДУ) и проведен сравнительный анализ решений системы уравнений модели для больных ревматоидным артритом и для здоровых людей [17]. Считается,
что скорость размножения Т-лимфоцитов обратно пропорциональна, а скорость гибели —
прямо пропорциональна количеству клеток. Величина антигенной нагрузки в модели не
рассматривается, а воздействие антигенной среды описывается неявно, через параметр
активации Т-лимфоцитов.
Модель Де Бура была развита Хазенбергом и соавт. [24] для описания динамики
Т-системы иммунитета у здоровых и ВИЧ-инфицированных детей. При этом предполагалось, что под действием вирусов иммунодефицита происходит снижение продукции
наивных Т-лимфоцитов в тимусе и увеличивается скорость гомеостатического (антигеннезависимого) размножения и гибели Т-лимфоцитов. Однако описание экспериментальных данных в этой работе носило качественный, а не количественный характер.
Другая модель возрастных изменений Т-системы иммунитета (система обыкновенных
дифференциальных уравнений) предложена в работе Романюхи и Яшина [8]. Развитие
эта модель получила в работе [9]. В этой работе предложен подход к оценке качества
модели с точки зрения энергетической цены иммунной защиты. В этих моделях, как и
в моделях Де Бура, также заложено предположение о гомеостазе иммунной системы,
но гомеостаз в этой модели в отличие от моделей Де Бура описывается более строго.
Предполагается, что в тканях поддерживается постоянная концентрация Т-лимфоцитов,
в случае повышения этой концентрации Т-лимфоциты начинают ускоренно гибнуть, а в
случае понижения — ускоренно размножаться. Воздействие антигена, как и в модели Де
Бура, неявно и выражено в терминах “антигенной нагрузки” — величины, пропорциональной основному обмену организма. В [28] эта модель модифицирована для описания
динамики Т-системы иммунитета при ВИЧ-инфекции у взрослых пациентов.
В работе [3] модели Де Бура [17] и Романюхи [8] были рассмотрены совместно. Оказалось, что результаты моделирования сопоставимы как с точки зрения точности описания
5
данных наблюдений, так и энергетической цены основных процессов взаимодействия с
антигенной средой.
В 2006 году Лучиани построил стохастическую модель возрастных изменений Тсистемы иммунитета (Luciani, 2006). Модель основана на гипотезе о ведущей роли нарушений функции иммунной системы в процессе старения организма. Она имеет вид системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений для описания динамики наивных
Т-лимфоцитов и клеток памяти. Правая часть системы зависит от случайной величины,
характеризующей антигенную нагрузку. В зависимости от реализации случайной величины решением системы уравнений является некоторый сценарий развития Т-системы
иммунитета. Показано, что уменьшение дисперсии антигенной нагрузки снижает разнообразие сценариев и приближает их к некоторому среднему, а уменьшение средней
антигенной нагрузки приводит к замедлению скорости перехода наивных Т-лимфоцитов в
клетки памяти, что в конечном итоге дает увеличение средней продолжительности жизни.
2. Цели и задачи работы
Особенностью блочных моделей возрастной динамики Т-системы иммунитета является
упрощенное описание начального развития Т-системы иммунитета. Вместе с тем известно,
что частота вирусных инфекций в первые годы жизни высоко коррелирует со смертностью
от сердечно-сосудистых заболеваний в старшем возрасте. Поэтому представляет интерес
подробное описание динамики развития системы у детей. Фундаментальной проблемой
иммунологии является оценка величины антигенной нагрузки, которая в моделях является
функцией состояния системы.
Иммунная система обладает свойством двойной пластичности, т. е. способна к параметрическим и структурным изменениям (Берсини, 2006) под действием окружающей
среды и антигенной нагрузки, а также в результате взаимодействия с другими системами организма. В математических терминах, двойная пластичность означает возможность
динамических изменений как параметров, так и структуры уравнений модели. В соответствии с общими принципами систем с двойной пластичностью, структурные изменения
происходят значительно реже параметрических изменений. Поэтому при моделировании
процессов долговременной адаптации иммунной системы имеет смысл ограничиться лишь
свойством параметрической пластичности, считая постоянной структуру взаимодействий
иммунной системы и антигенной среды.
В связи с этим были поставлены следующие задачи:
• анализ данных, характеризующих начальное развитие Т-системы иммунитета, построение и исследование математических моделей;
• идентификация параметров моделей с использованием различных критериев оптимизации;
• сопоставление моделей, анализ чувствительности решений;
6
• разработка метода оценки величины антигенной нагрузки.
3. Построение математических моделей
Для описания динамики Т-системы иммунитета в раннем возрасте использовалась модификация модели Романюхи и Яшина [8]. Первоначальная модификация модели [9]
выглядит следующим образом.
3.1. Модификация системы уравнений модели Романюхи и Яшина
Математическая модель возрастных изменений популяции периферических Т-лимфоцитов
имеет вид системы 8 нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:
dN ∗
= −kT N ∗ ,
dt
dN
N∗
L
dV N
=
− α1 N − µN N −
,
dt
V
V
dt V
dM
L
L
dV M
= ρ1 α1 N + ρ2 α2 M + µM (C ∗ − N − M ) −
,
dt
V
V
dt V
dP ∗
k̄P dm
= −(
+ kP )P ∗ ,
dt
m dt
dPN
N∗
= (P ∗ − PN )
,
dt
NV
dPM
LN
L
= ρ1 α1 (PN − PM − λN )
− (ρ2 + 1)α2 λM ,
dt
V M
V
dV
L dm
= α3
− kV V ,
dt
V dt
dm
= α4 m3/4 − km m.
dt
(1)
Начальные условия соответствуют моменту рождения:
N ∗ (0) = N0∗ ;
N (0) = C ∗ ;
PN (0) = PN0 ;
0
PM (0) = PM
;
M (0) = M0∗ ;
P ∗ (0) = P0∗ ;
V (0) = V0 ;
m(0) = m0 .
(2)
Считаем, что в момент рождения большинство Т-лимфоцитов в ИПЛТ наивные (N0∗ À
M0∗ ), то есть не взаимодействовали с антигеном (Hayward et al., 1989).
Первое уравнение описывает снижение с увеличением возраста скорости притока наивных клеток N ∗ из тимуса. Это уравнение соответствует экспериментальным данным
для возраста старше одного года.
Второе уравнение описывает динамику N — концентрации наивных Т-лимфоцитов в
ИПЛТ. Первое слагаемое в правой части характеризует приток клеток их тимуса, второе — убыль в результате антигенной стимуляции, третье — естественную гибель наивных Т-лимфоцитов, а четвертое — изменение концентрации клеток из-за изменения
объема ИПЛТ (V ).
7
Третье уравнение описывает динамику M — концентрации Т-лимфоцитов памяти в
ИПЛТ. Первое слагаемое справа описывает появление клеток памяти в результате размножения наивных клеток, где ρ1 — коэффициент размножения наивных Т-лимфоцитов,
второе слагаемое — размножение клеток памяти за счет повторной антигенной стимуляции (ρ2 — коэффициент размножения клеток памяти). Третье слагаемое описывает
механизм поддержания постоянной концентрации лимфоцитов в ИПЛТ (C ∗ ) за счет ускоренной гибели лишних клеток памяти, последнее слагаемое учитывает изменение объема
ИПЛТ.
Четвертое уравнение описывает скорость снижения длины теломер P ∗ наивных Тлимфоцитов, выходящих в данный момент из тимуса. Мы предполагаем, что скорость
этого процесса определяется сокращением длины теломер стволовых клеток, которое связано с необходимостью постоянного обновления клеток организма, учитываемого параметром kP , и с дополнительной нагрузкой на популяцию стволовых клеток, пропорциональной
относительной скорости увеличения массы тела в процессе роста организма.
Пятое уравнение описывает динамику средней длины теломер PN наивных Т-лимфоцитов. Величина PN уменьшается за счет притока наивных клеток из тимуса. Скорость
этого процесса пропорциональна разности длины теломер этих клеток и относительной
скорости притока новых клеток.
Шестое уравнение описывает динамику средней длины теломер PM клеток памяти.
Величина PM увеличивается за счет большей длины теломер в клетках памяти, образующихся из наивных клеток (первое слагаемое), и уменьшается при повторной антигенной
стимуляции клеток памяти (второе слагаемое). Уравнения для PN и PM являются следствием балансовых соотношений для общей длины теломер в популяции периферических
наивных Т-лимфоцитов и клеток памяти соответственно (Sannikova et al., 2004).
Седьмое уравнение описывает динамику объема ИПЛТ. При этом предполагается, что
темп увеличения объема ИПЛТ в процессе роста организма пропорционален удельной
антигенной нагрузке L(t)/V (t) и скорости изменения массы тела m. Второе слагаемое
описывает медленное сокращение объема ИПЛТ в старших возрастных группах (Сапин,
Этинген, 1996).
Восьмое уравнение описывает динамику массы тела. Как известно (West, Brown,
2005), изменения массы тела m для большинства видов многоклеточных организмов можно с хорошей точностью описать уравнением
µ
¶
µ ¶
B0 m c
Bc
dm
3/4
=
(3)
m −
m,
dt
Ec
Ec
где mc — средняя масса клетки, Ec — количество энергии, необходимое для синтеза
одной клетки, Bc — средняя величина мощности клеточного метаболизма, а B0 — нормировочный коэффициент, характеризующий взаимосвязь между общим метаболизмом B и
массой тела m. Величина B0 аппроксимируется следующим выражением:
B = B0 m3/4 .
8
(4)
Данная зависимость имеет название закона трех четвертей; для млекопитающих она
была установлена экспериментально в начале 1930-х годов (Kleiber, 1932).
В работе (Романюха, Яшин, 2001) использовалось допущение о постоянстве общей
антигенной нагрузки L. Однако в общем случае величина L зависит от скорости обмена
веществ и энергии в организме. Можно предположить, что
L = kL B,
(5)
где B — интенсивность базового метаболизма, а kL — параметр, зависящий от экологических (уровень загрязнений окружающей среды, качество потребляемой воды и пищи),
эпидемиологических (инфекционная заболеваемость), культурно-социальных (уровень гигиены и санитарии), климатических и других факторов. Из формулы (4) следует, что
L = α5 m3/4 ,
(6)
где α5 = kL B0 .
3.2. Моделирование динамики Т-системы иммунитета в раннем возрасте (развитие модели Романюхи и Яшина)
Система уравнений (1) была модифицирована для уточненного описания динамики Тсистемы иммунитета в раннем возрасте. В предущих версиях модели популяции наивных
Т-лимфоцитов и клеток памяти рассматривались как однородные. Однако, как показывают данные наблюдений, в раннем возрасте динамика абсолютных численностей и концентраций субпопуляций этих клеток (в первую очередь, CD4 и CD8 Т-лимфоцитов)
существенно различна ([4],[20],[10]). Это означает, что клетки соответствующих типов
могут иметь различные скорости размножения и гибели. В новой версии модели уравнения для численностей субпопуляций CD4 и CD8 наивных Т-лимфоцитов и клеток памяти
рассматриваются отдельно. Результаты численного исследования модели (1) показали, что
в первые годы жизни гомеостатическое (антиген-независимое) размножение может давать
до 50% вклада в общий приток наивных Т-лимфоцитов [9]. Поэтому уравнения динамики длины теломер Т-лимфоцитов, построенные на основе закона сохранения масс, были
видоизменены с учетом этой возможности. Для удобства работы с данными уравнения
динамики популяции клеток строились в терминах общих количеств, а не концентраций.
На возрастном интервале от 0 до 24 месяцев динамика продукции тимуса существенно меняется. Известно, что до 12 месяцев объем тимуса у детей увеличивается вдвое, а
затем начинает снижаться со скоростью около 5% в год [15]. Пропорционально объему
тимуса меняется продукция наивных Т-лимфоцитов. Будем считать, что отношения численностей популяций CD4 и CD8 наивных Т-лимфоцитов в тимусе и в крови одинаковы.
Это соотношение [14] можно описать линейной функцией, как показано на рис.5, тогда
продукции N4∗ и N8∗ CD4 и CD8 наивных Т-лимфоцитов будет описываться, как показано
на рис. 6.
9
Считается, что производная массы тела меняется с возрастом не по закону трех четвертей, а пропорционально логарифму массы тела. Будем считать, что объем V интактной
периферической лимфоидной ткани (ИПЛТ) меняется с возрастом пропорционально массе
тела.
С учетом этих модификаций систему (1) можно записать в виде
d(N4 V )
L
= N4∗ − α14 (N4 V ) − µN 4 (N4 V ) + µ0N 4 (²m − N V − M V )
dt
V
d(N8 V )
L
= N8∗ − α18 (N8 V ) − µN 8 (N8 V ) + µ0N 8 (²m − N V − M V )
dt
V
d(M4 V )
L
L
= ρ14 α14 (N4 V ) + ρ24 α24 (M4 V ) + µ0M 4 (²m − N V − M V )
dt
V
V
d(M8 V )
L
L
= ρ18 α18 (N8 V ) + ρ28 α28 (M8 V ) + µ0M 8 (²m − N V − M V )
dt
V
V
∗
dP
k̄P dm
= −(
+ kP )P ∗ ,
dt
m dt
(7)
PN 4
N∗
λN 4 µ0N 4 ∗
= (P4∗ − PN 4 ) 4 − 2
(C − N − M ) · hC ∗ −N −M ,
dt
N4 V
N4
∗
PN 8
N
λN 8 µ0N 8 ∗
= (P8∗ − PN 8 ) 8 − 2
(C − N − M ) · hC ∗ −N −M ,
dt
N8 V
N8
PM 4
ρ14 α14 LN4
λM 4 µ0M 4 ∗
= (PN 4 − PM 4 − λN 4 )
−2
(C − N − M ) · hC ∗ −N −M ,
dt
M4 V
M4
PM 8
ρ18 α18 LN8
λM 8 µ0M 8 ∗
= (PN 8 − PM 8 − λN 8 )
−2
(C − N − M ) · hC ∗ −N −M ,
dt
M8 V
M8
dm
= γ ln m.
dt
В первом и во втором уравнениях отдельно моделируется динамика популяции CD4+
CD45RA+ (наивных Т-хелперов) и CD8+CD45R0+ (наивных Т-эффекторов). Уравнения
сходны по своей структуре и отличаются только значениями параметров.
Третье и четвертое уравнения описывают динамику CD4 и CD8 Т-лимфоцитов памяти. Пятое уравнение описывает скорость снижения длины теломер P ∗ , наивных Тлимфоцитов, выходящих в данный момент из тимуса. Считаем, что для CD4 и CD8
Т-лимфоцитов эта скорость одинакова.
Шестое и седьмое уравнения описывают скорость снижения длины теломер PN 4 ,PN 8
наивных CD4 и CD8 Т-лимфоцитов. Воспользуемся уравнениями динамики наивных Тлимфоцитов, чтобы вывести уравнения динамики длины теломер этих клеток. (Здесь N =
N4 + N8 , M = M4 + M8 ). Эти уравнения вытекают из физического смысла и предыдущих
уравнений модели (см. Приложение)
Восьмое и девятое уравнения описывают скорость снижения длины теломер PM 4 ,PM 8
CD4 и CD8 Т-лимфоцитов памяти. Воспользуемся уравнениями динамики Т-лимфоцитов
памяти, аналогично тому, как это было проделано с наивными Т-лимфоцитами, чтобы
вывести уравнения динамики длины теломер Т-лимфоцитов памяти (см. Приложение).
Десятое уравнение описывает динамику массы тела m. Это уравнение соответствует экспериментальным данным для возраста от нуля до 24 месяцев.
В таблице 1 приведены зависимые переменные модели и их физический смысл.
10
Таблица 1: Зависимые переменные модели (7)
Переменная
N4 V
N8 V
M4 V
M8 V
P∗
PN 4
PN 8
PM 4
PM 8
m
Физический смысл
численность CD4+CD45RA+ Т-лимфоцитов
численность CD8+CD45RA+ Т-лимфоцитов
численность CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов
численность CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов
длина теломер клеток-предшественников
длина теломер CD4+CD45RA+ Т-лимфоцитов
длина теломер CD8+CD45RA+ Т-лимфоцитов
длина теломер CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов
длина теломер CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов
масса тела
.
Размерность
кл
кл
кл
кл
п.о.
п.о.
п.о.
п.о.
п.о.
г
3.3. Модель Де Бура и ее модификация
Система уравнений модели Р. Де Бура [17] имеет вид
dN
= σN (t) + ρN (N )N − δN (N )N − αN N ,
dt
dM
= σM (N ) + ρM (M )M − δM (M )M ,
dt
dµP
= k,
dt
dµN
= 2ρN (N ) − (σN (t)/N )(µN − µP − KP ),
dt
dµM
= 2ρM (M ) − (σM (N )/M )(µM − µN − KN ).
dt
(8)
Первое уравнение описывает динамику общей численности наивных Т-лимфоцитов
в ИПЛТ (N ). Первое слагаемое в правой части характеризует приток клеток из тиму0 −νt
са со скоростью σN (t) = σN
e , второе — гомеостатическое размножение со скоростью
ρN (N )N = ρN N/(1 + N/hN ). Третье слагаемое описывает естественную гибель наивных
Т-лимфоцитов с параметром δN (N ) = δ(N ) + ²N N , четвертое — убыль в результате антигенной стимуляции.
Второе уравнение описывает динамику численности Т-лимфоцитов памяти в ИПЛТ
(M ). Первое слагаемое справа характеризует приток клеток памяти в результате размножения наивных клеток (σM (N ) = CN αN N (t − τ )), где τ — период запаздывания,
соответствующий длительности иммунного ответа. Так как интересующий нас интервал
моделирования много больше τ , будем считать, что N (t − τ ) ≈ N (t). Второе слагаемое описывает размножение клеток памяти за счет повторной антигенной стимуляции
(ρM (M ) = ρM /(1 + M/hM )), третье слагаемое — естественную гибель Т-лимфоцитов памяти (δM (M ) = δ(M ) + ²M M ).
Третье уравнение описывает скорость увеличения среднего индекса деления µP клетокпредшественников. Предполагается, что эта скорость постоянна.
11
Четвертое уравнение описывает динамику среднего индекса деления наивных Т-лимфоцитов (µN ). Величина µN растет при увеличении скорости размножения Т-лимфоцитов и
уменьшается в результате притока новых клеток из тимуса.
Аналогичный вид имеет уравнение для динамики среднего индекса деления Т-лимфоцитов памяти (µM ).
Для удобства сопоставления рассматриваемых математических моделей будем считать
0 −νt
в модели Де Бура “функцию источника” σN (t) = σN
e
зависимой переменной, вместо индексов деления µP , µN и µM рассмотрим длины теломер P ∗ , PN и PM . P ∗ (t) = P0∗ −bP µP (t),
где P0∗ — начальная длина теломер клеток-предшественников, bP = λρPP (λP — количество
пар оснований, на которое уменьшается длина теломер за одно деление, ρP — частота деления, которую будем считать постоянной); PN (t) = PN0 − λρNN µN (t) — средняя длина теломер наивных Т-лимфоцитов, где PN0 — начальная длина теломер наивных Т-лимфоцитов,
λN — среднее уменьшение длины теломер за одно деление, ρN — частота деления кле0
0
M
µM (t), где PM
— начальная длина теломер клеток памяти, λM —
ток; PM (t) = PM
− λρM
среднее уменьшение длины теломер в результате деления, ρM — интенсивность деления
Т-лимфоцитов памяти. Зависимость переменной P ∗ от времени будем считать экспоненциальной (на качество оценки параметров это практически не влияет).
В результате система уравнений модели приобретает вид
dσN
= −νσN ,
dt
dN
= σN (t) + ρN (N )N − δN (N )N − αN N ,
dt
dM
= CN αN Nt−τN + ρM (M )M − δM (M )M ,
dt
P∗
dP ∗
= −bP k avg ,
dt
P∗
µ
¶
µ
dPN
σN
1
1
KP
0
∗
∗
= −λN 2 −
(P − PN ) −
(P − P ) −
+
dt
N λN N
bP ρN (N ) 0
ρN (N )
¶
1
dN
0
+
(P − PN )
,
(hN + N )λN N
dt
µ
µ
¶
dPM
σM
1
ρN (N )
KN
0
0
= −λM 2 −
(P − PM ) −
(P − PN ) −
+
dt
M λM M
λN ρM (M ) N
ρM (M )
¶
dM
1
0
+
(P − PM )
.
(hM + M )λM M
dt
(9)
3.4. Моделирование динамики Т-системы иммунитета в раннем возрасте (развитие модели Де Бура)
Система уравнений (9) была модифицирована для уточненного описания динамики Тсистемы иммунитета в раннем возрасте. Уравнения для численностей субпопуляций CD4
и CD8 наивных Т-лимфоцитов и клеток памяти рассматриваются отдельно, продукция
тимуса не является зависимой переменной модели, а совпадает с функцией, приведенной
на рисунке 6. Вводится уравнение, описывающее динамику массы тела (так же, как и в
12
модели (7)). Последние слагаемые в уравнениях, описывающих динамику длин теломер,
опущены, так как они не дают значимого вклада в решение.
dN4
= N4∗ + ρN 4 (N4 )N4 − δN4 (N4 )N4 − αN4 N4 ,
dt
dN8
= N8∗ + ρN 8 (N8 )N8 − δN8 (N8 )N8 − αN8 N8 ,
dt
dM4
= CN 4 αN 4 N4 + ρM 4 (M4 )M4 − δM4 (M4 )M4 ,
dt
dM8
= CN 8 αN 8 N8 + ρM 8 (M8 )M8 − δM8 (M8 )M8 ,
dt
P∗
k̄P dm
dP ∗
= −bP k avg −
dt
P
mµdt
µ∗
¶¶
PN 4
N4∗
1
1
KP
0
∗
∗
(P − PN 4 ) −
= −λN 4 2 −
(P − P ) −
dt
N4 λ N 4 N 4
bP ρN 4 (N4 ) 0
ρN 4 (N4 )
µ
µ
¶¶
∗
PN 8
N8
1
1
KP
0
∗
∗
= −λN 8 2 −
(P − PN 8 ) −
(P − P ) −
dt
N8 λ N 8 N 8
bP ρN 8 (N8 ) 0
ρN 8 (N8 )
¶¶
µ
µ
PM 4
1
ρN 4 (N4 )
KN 4
CN 4 αN 4 N4
0
0
= −λM 4 2 −
(P − PM 4 ) −
(P − PN 4 ) −
dt
M4
λM 4 M 4
λN 4 ρM 4 (M4 ) N 4
ρM 4 (M4 )
µ
¶¶
µ
PM 8
1
ρN 8 (N8 )
KN 8
CN 8 αN 8 N8
0
0
= −λM 8 2 −
(P − PM 8 ) −
(P − PN 8 ) −
dt
M8
λM 8 M 8
λN 8 ρM 8 (M8 ) N 8
ρM 8 (M8 )
dm
= γ ln m.
dt
(10)
В первом и во втором уравнениях отдельно моделируется динамика популяции CD4+
CD45RA+ (наивных Т-хелперов) и CD8 + CD45R0+ (наивных Т-эффекторов),третье
и четвертое уравнения описывают динамику CD4 и CD8 Т-лимфоцитов памяти, пятое
— скорость снижения длины теломер P ∗ , наивных Т-лимфоцитов, выходящих в данный
момент из тимуса. Считаем, что для CD4 и CD8 Т-лимфоцитов эта скорость одинакова. Шестое и седьмое уравнения описывают скорость снижения длины теломер PN 4 ,PN 8
наивных CD4 и CD8 Т-лимфоцитов. Восьмое и девятое — скорость снижения длины теломер PM 4 ,PM 8 CD4 и CD8 Т-лимфоцитов памяти. Десятое уравнение описывает динамику
массы тела m.
4. Описание данных и методов
4.1. Нормальная возрастная изменчивость Т-системы иммунитета
У грудных детей иммунитет — как специфический, так и неспецифический — выражен
слабее, чем у взрослых людей, что проявляется в более низком уровне антител у детей грудного и младшего детского возраста. Способность к формированию полноценного
специфического иммунного ответа у них также снижена [14],[10],[20],[19].
13
Тимус
Вилочковая железа, или тимус — наиболее ранний лимфоидный орган, возникающий у
позвоночных в процессе зародышевого развития. Данные указывают на раннее становление Т-системы иммунитета, по крайней мере по морфологическим признакам. Тимус
закладывается из вентральной части третьей и четвертой пары глоточных карманов, и
на 7–10 неделе внутриутробного развития опускается в переднее средостение. К 10–14
неделе это уже сложно организованный орган, поставляющий на периферию полноценные
Т-лимфоциты.
Миграция стволовых клеток в тимус происходит не случайно, а в ответ на хемотаксические сигналы, исходящие из тимуса.
Паренхима тимуса имеет дольчатое строение. Каждая долька состоит из коркового вещества, куда поступают незрелые Т-лимфоциты, и мозгового вещества, куда Тлимфоциты перемещаются по мере созревания. В мозговых зонах присутствуют эпителиальные клетки, необходимые для дифференцировки T-лимфоцитов.
В процессе созревания меняется фенотип T-лимфоцитов по CD-маркерам. При этом
реализуются два основных пути развития T-лимфоцитов: незначительная доля зрелых
лимфоцитов тимуса (менее 1%) экспрессирует γδ-рецепторы; большинство же тимоцитов
дифференцируется в клетки с αβ-рецепторами.
По мере созревания T–лимфоциты подвергаются положительному и отрицательному
отбору. γδ-Т-лимфоциты созревают вне тимуса в периферических лимфоидных тканях.
Интактная периферическая лимфоидная ткань
Лимфатические узлы располагаются в виде зерен по ходу лимфатических сосудов (обычно
в местах разветвления сосудов). Размеры узлов у человека в условиях нормы колеблются
от 3 до 30 мм.
В эмбриогенезе лимфатические узлы возникают в конце 2-го–начале 3-го месяца развития. Как и в тимусе, в лимфатическом узле различают корковый слой, расположенный
по периферии и организованный в первичные и вторичные фолликулы, и мозговое вещество, находящееся в центре узла. Область между корой и мозговым веществом (паракортикальная зона) — место концентрации Т-клеток. В силу этого она получила название
тимусзависимой зоны, или Т-зоны. Т-лимфоциты этой зоны являются зрелыми тимуспроизводными клетками с ярко выраженной способностью к киллерной функции. Около 70%
клеток лимфатических узлов представлено Т-клетками, среди которых около 30% составляют T-киллеры (CD8+) и около 40% - T-хелперы (CD4+) На долю В-клеток приходится
около 28% от общего количества всех лимфоцитов узла.
Защита от антигенов в лимфатических узлах (иммунный ответ) складывается из секреции антител в кровоток и из местных клеточных реакций. В центрах размножения помимо В-лимфоцитов различной степени зрелости хорошо представлены дендритные клетки ,
входящие в состав стромы, и свободные макрофаги с выраженной фагоцитарной активностью. Подобная близость всех трех типов функционально зрелых клеток создает реальные
14
условия для успешного их взаимодействия при развитии иммунного ответа.
Рис. 3: Распределение лимфоцитов в органах иммунной системы.
Фенотип Т-лимфоцитов
Фенотип Т-лимфоцитов у новорожденных аналогичен фенотипу наивных Т-лимфоцитов
взрослых людей. У новорожденных таким фенотипом обладают примерно 90%, тогда как
у взрослых — 60% циркулирующих Т-лимфоцитов. Т-лимфоциты памяти не столь зависимы от активирующих молекул и способны к более быстрой миграции в очаг воспаления, пролиферации и выработке цитокинов, а значит, раньше формируют иммунный
ответ [14],[10],[19].
Численность Т-лимфоцитов
Количество Т-лимфоцитов в кровотоке возрастает примерно с середины беременности,
достигая к 6 месяцам жизни примернов среднем 3×106 кл/мл, а затем постепенно снижается и к старшему детскому возрасту становится примерно таким же, как у взрослых
людей — 106 кл/мл. Относительные изменения численностей субпопуляций лимфоцитов менее выражены: доля лимфоцитов CD4 снижается с 50% у грудных детей до 40%
у взрослых. Соотношение клеток CD4 и CD8 также меняется в процессе развития: типичное для взрослых соотношение устанавливается примерно к четырехлетнему возрасту [14],[10],[19].
Выработка цитокинов
Синтез одних цитокинов (ФНОα, гранулоцитарно–макрофагальный колониестимулирующий фактор) у новорожденных снижен незначительно, других (интерферон γ, ИЛ-3,
ИЛ-4, ИЛ-5 и ИЛ-12, необходимых для быстрого иммунного ответа) — существенно.
Некоторые цитокины (ИЛ-2, ФНОβ) с рождения вырабатываются примерно в таком же
15
количестве, как у взрослых. Однако секреторные особенности лимфоцитов новорожденных не абсолютны, а связаны с условиями активации. Способность лимфоцитов к выработке цитокинов повышается с возрастом: синтез ФНОβ достигает нормального уровня
на первых месяцах жизни, а интерферона γ и ИЛ-12 — к одному году [10].
Цитотоксические Т-лимфоциты
Хотя в лабораторных исследованиях доказано, что Т-лимфоциты новорожденных способны превращаться в полноценные Т-киллеры, вероятность такого преврацения и цитотоксическая активность образовавшихся Т-киллеров во время инфекций у новорожденных
ниже, чем у взрослых. В течение первого года жизни цитотоксическая активность возрастает [14],[10].
4.2. Возрастные изменения Т-системы иммунитета при ВИЧ-инфекции
Вирус иммунодефицита человека (ВИЧ)
Вирус ВИЧ — это ретровирус, геном которого образован двумя цепями РНК. Вирус имеет
специальный фермент — обратную транскриптазу, который после проникновения вируса в
клетку-мишень синтезирует ДНК по матрице вирусной РНК. Второй вирусный фермент,
интеграза, катализирует ковалентную интеграцию вирусной ДНК в несколько различных
участков генома человека. Интегрированная ДНК вируса имеет название провируса. С
этой ДНК вируса происходит синтез мРНК для трансляции белков вируса и образование
геномной РНК вируса. Оболочка вируса — это мембрана клетки человека, “инкрустированная” оболочечными белками вируса gp120 и gp41. Размер генома вируса примерно
равен 10000 нуклеотидов, частота точечных мутаций составляет около 1/10000, т. е. каждый первый дочерний вирион имеет хотя бы одну мутацию. Столь высокая изменчивость
характерна для РНК-содержащих вирусов и является их главным биологическим механизмом выживания в сильно изменяющихся условиях внешней среды. Цикл репликации
вируса занимает около 10 ч, вирус является цитопатогенным [11].
Вертикальная передача вируса
Реакция иммунной системы новорожденных на ВИЧ-инфекцию изучена относительно мало. Известно, что при вертикальном заражении вирусом ВИЧ в течение 48 часов после
контакта с ВИЧ дендритные клетки слизистой переносят вирус в регионарные лимфатические узлы. В лимфоузлах в результате межклеточных взаимодействий вирус передается
от дендритных клеток CD4+ Т-лимфоцитам, в которых вирус размножается. Через 4–
14 дней в крови и лимфоидных органах по всему организму обнаруживается большое
количество свободного вируса и инфицированных им Т-лимфоцитов [4].
16
Уровень виремии
У большинства детей, инфицированных ВИЧ в момент рождения, максимальная концентрация вируса в крови приходится на первые 1–2 месяца жизни, но в отличие от взрослых
людей в последующие несколько месяцев уровень виремии снижается незначительно. У
некоторых детей с быстрым развитием заболевания концентрация вируса в крови на первом году жизни не снижается. При медленном развитии концентрация вируса снижается,
но, как правило не более, чем в 3–10 раз от исходного уровня [29].
Нарушение функции Т-хелперов
Нарушения клеточного иммунитета при ВИЧ-инфекции у детей приводят к более тяжелому или рецидивирующему течению инфекций. При нарушениях клеточного иммунитета
страдает и гуморальный иммунитет. Характерная черта ВИЧ-инфекции — снижение абсолютного и относительного (в меньшей степени) количества CD4+ Т-лимфоцитов по
сравнению с нормой. (Оценивая эти параметры у детей нужно учитывать, что в норме
число этих клеток постепенно снижается в течение первых 6 лет жизни). На уровне
CD4+ лимфоцитов механизмы иммунодепрессии следующие:
• прямое цитопатогенное (разрушительное) действие ВИЧ на CD4+ Т-лимфоциты;
• конкурентная блокада корецептора CD4 растворимым белком ВИЧ gp120;
• растворимый gp120, связываясь с неинфицированными CD4 Т-лимфоцитами, превращает их в мишень для цитотоксических лимфоцитов и антителозависимой клеточной цитотоксичности;
• суперагенты ВИЧ индуцируют поликлональную активацию и апоптоз Т-лимфоцитов.
Нарушение функции лимфоцитов CD4 предшествует снижению их абсолютного числа.
При бессимптомной инфекции у детей, длящейся больше 2 лет, наблюдается снижение
пролиферации Т-лимфоцитов в ответ на типичные стимуляторы, при наличии клинических проявлений пролиферация снижается раньше. По мере нарастания иммуннодефицита происходит уменьшение пролиферативного ответа на специфические антигены,
затем на аллоантигены и на митогены (вещества, которые стимулируют пролиферацию
Т-лимфоцитов независимо от их антигенной специфичности). При ВИЧ-инфекции снижается секреция цитокинов лимфоцитами CD4+ (Ил-2, интерферона-γ). Меняется фенотип
лимфоцитов CD4, наиболее заметно увеличение числа Т-лимфоцитов памяти (CD45R0)
по отношению к наивным Т-лимфоцитам (CD45RA, CD62L), но поскольку у детей снижено абсолютное количество CD4, имеется абсолютный дефицит обоих типов клеток.
Относительное нарастание количества клеток памяти может быть связано с хронической
стимуляцией персистирующим ВИЧ или нарушением образования наивных Т-лимфоцитов
в тимусе [4].
17
Нарушение функции Т-супрессоров
Исследования показали, что при перинатальном заражении специфичные к ВИЧ цитотоксические Т-лимфоциты появляются позже, чем обычно, и лишь в редких случаях иммунный ответ возникает раньше, чем ребенку исполнится 6 месяцев. У детей, доживших до 2
лет, уровень специфичных к ВИЧ цитотоксических Т-лимфоцитов сопоставим с уровнем,
наблюдаемым у взрослых.
Во время острой лихорадочной фазы происходит резкое нарастание числа лимфоцитов
CD8, их пролиферация отмечается как при острой, так и при хронической инфекции.
Относительное и абсолютное их количество остается высоким, особенно у больных с
симптомами ВИЧ-инфекции. На поздних стадиях ВИЧ-инфекции абсолютное число лимфоцитов CD8 может снизиться в результате лимфопении. Большинство лимфоцитов CD8
имеют фенотип активированных клеток или клеток памяти. У ВИЧ-инфицированных значительная часть лимфоцитов CD8 имеет фенотип клеток со сниженной способностью к
пролиферации и готовых к апоптозу [4]
Прогрессирующая и непрогрессирующая ВИЧ-инфекция. Классификация клинических стадий и категорий ВИЧ-инфекции по CDC
У небольшого числа детей ВИЧ-инфекция не прогрессирует в течение 10 и более лет.
Концентрация ВИЧ в крови таких больных, как правило, низкая. Такое течение ВИЧ
называют замедленным прогрессированием. Оно обусловлено особенностями как вируса,
так и больного. У некоторых из этих больных обнаруживают вариант ВИЧ с делецией в
гене nef, которая и приводит к уменьшению патогенности вируса. (Nef — белок, снижающий экспрессию молекул HLA-1 на мембране зараженных клеток, а без этих молекул
цитотоксические Т-лимфоциты не способны распознавать и убивать зараженные клетки).
У больных с замедленным прогрессированием ВИЧ-инфекции чаще происходит пролиферация лимфоцитов, специфичных к ВИЧ и выше число специфичных к ВИЧ цитотоксических Т-лимфоцитов. Другие особенности иммунной системы также могут способствовать
лучшему контролю над вирусом.
Клинически болезнь классифицируют на 3 категории по числу CD4+ Т-лимфоцитов в
крови и по манифестации индикаторных болезней.
Клиническая категория
Концентрация CD4+
A
B
C
CD4+ Тбессимптомная
симптоматическая, СПИД
лимфоцитов
или с генерализоно не такая,
в крови на 1 мкл
ванной лимфадекак С
нопатией
>500
A1
B1
C1
200-500
A2
B2
C2
<200
A3
B3
C3
18
Методы определения абсолютного и относительного количества CD4+ Т-лимфоцитов
Абсолютное и относительное число лимфоцитов CD4+ оценивают путем анализа поверхностных маркеров лимфоцитов с помощью проточной цитофлуориметрии. Клетки периферической крови инкубируют с моноклональными антитлами к белкам, находящимся на
поверхности лимфоцитов. Эти антитела имеют флуоресцентные метки и при прохождении
через цитофлуориметр под воздействием света каждая метка флуорисцирует с определенной длиной волны.
5. Обобщенная картина динамики возрастных изменений Т-системы иммунитета
В литературе большое количество работ посвящено описанию данных по динамике субпопуляций Т-системы иммунитета. Однако данные поперечные и достаточно разнородные.
Общий обзор развития иммунной системы в раннем возрасте дан в работах Э.Де Вриз
и соавт.[20],[19], а также в работах Ш.Смит и соавт.[10], Э. Макфарланд[4], Т.Денни и
соавт.[21]. Данные по динамике теломерных фрагментов у детей и взрослых приведены в
работе Н.Руфер[27].
В настоящее время не существует полной обобщенной картины Т-системы иммунитета. Данные разнородны, продольных данных крайне мало, вариация нормальных значений
рассматриваемых показателей крайне велика. Особенно велик разброс значений для динамики длины теломерных фрагментов.
Экспериментальные данные для этой работы брались из работ [30], [14], [19], [27].
Рис. 4: Динамика изменения массы тела у детей от рождения до 5 лет. The European Collaborative
Study, 2003, [30].
19
[!h]
Рис. 5: Возрастная динамика численности лимфоцитов. Отношение численностей клеток CD4+ и
CD8+. Aldhous et al, 1994, [14].
Рис. 6: Возрастная динамика продукции тимуса. Anastasiadis et al, 2006, [15].
Рис. 7: Возрастная динамика численности лимфоцитов. Численности субпопуляций. De Vries et
al, 2000, [19].
6. Начальные оценки и идентификация параметров моделей по данным наблюдений
В работе [18] приведены оценки скоростей деления и гибели Т-лимфоцитов на основе
метода CFSE-меток. В зависимости от концентрации ростового фактора IL-2, скорость
20
[!h]
Рис. 8: Длина теломер гранулоцитов. Rufer et al, 1999, [27].
Рис. 9: Длина теломер CD4 Т-лимфоцитов. Rufer et al, 1999, [27].
деления лимфоцитов находилась в интервале 3×10−7 –1×10−5 сут−1 , а скорость гибели —
в интервале 2 × 10−6 –1 × 10−5 сут−1 .
В работе [7] проводилась оценка границ допустимых значений параметров модели
противовирусного иммунного ответа при вирусном гепатите B. Константа скорости естественной гибели CD8+ Т-лимфоцитов оказалась лежащей в пределах 0.33–0.5 сут−1 , а
константа скорости стимуляции клеток — 4 × 1017 –3 × 1018 мл/(моль·сут).
В таблице 2 приводятся физический смысл, начальные оценки (из работы [8]) и уточненные значения параметров модели (7).
21
Рис. 10: Длина теломер CD8 Т-лимфоцитов. Rufer et al, 1999, [27].
Таблица 2: Параметры модифицированной модели Романюхи и Яшина (1) возрастных изменений популяции периферических Т-лимфоцитов в постнатальном периоде [8]
Параметр
α14
α18
α24
α28
L/V
µN 4
µN 8
µ0N 4
µ0N 8
µ0M 4
µ0M 8
ρ14
ρ18
Физический смысл
Константа скорости активации и деления
CD4+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости активации и деления
CD8+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости активации и деления
CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов
Константа скорости активации и деления
CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов
Удельная антигенная нагрузка
Константа скорости естественной
гибели CD4+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости естественной
гибели CD8+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости гомеостатической гибели
или размножения CD4+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости гомеостатической гибели
или размножения CD8+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости гомеостатической гибели
или размножения CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов
Константа скорости гомеостатической гибели
или размножения CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов
Число CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов, образующееся из одного CD4+CD45RA+ Т-лимфоцита
Число CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов, образующееся из одного CD8+CD45RA+ Т-лимфоцита
22
Размерность
мл/г
Начальная
оценка
1.5·104
Уточненная
оценка
3·103
мл/г
1.5·104
1·103
мл/г
1.5·104
5·103
мл/г
1.5·104
1·104
г/(мл·сут)
1/сут
1·10−9
1.3·104
8·10−9
0.9·10−4
1/сут
1.3·104
8·10−3
1/сут
0.3
0.03
1/сут
0.3
0.004
1/сут
0.07
0.01
1/сут
0.07
0.0009
б/р
100
100
б/р
100
100
ρ24
ρ28
²
k
k
λN 4
λN 8
λM 4
λM 8
Число CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов, образующееся из одного CD4+CD45R0+ Т-лимфоцита
Число CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов, образующееся из одного CD8+CD45R0+ Т-лимфоцита
Нижняя граница нормального содержания
Т-лимфоцитов в ИПЛТ, нормированного к массе
Константа скорости ускоренного сокращения
длины теломеров клеток-предшественников
CD45RA+ Т-лимфоцитов в раннем возрасте
Константа скорости уменьшения с возрастом
длины теломеров в предшественниках
CD45RA+ Т-лимфоцитов
Средняя длина теломерного фрагмента
CD4+CD45RA+ Т-лимфоцита,
расходуемого в результате иммунного ответа
Средняя длина теломерного фрагмента
CD8+CD45RA+ Т-лимфоцита,
расходуемого в результате иммунного ответа
Средняя длина теломерного фрагмента
CD4+CD45R0+ Т-лимфоцита,
расходуемого в результате иммунного ответа
Средняя длина теломерного фрагмента
CD8+CD45R0+ Т-лимфоцита,
расходуемого в результате иммунного ответа
б/р
1.1
10
б/р
1.1
10
кл/г
2.5·109
1.5·107
п.о./сут
0.07
0.3
п.о./сут
1·10−5
3·10−4
п.о./сут
1400
1100
п.о./сут
1400
2000
п.о./сут
500
700
п.о./сут
500
600
Примечание. б/р — безразмерная величина, п. о. — пар оснований (нуклеотидов).
В таблице 3 приводятся физический смысл, начальные оценки (из работы [3]) и уточненные значения параметров модели (10).
Таблица 3: Параметры модифицированной модели Де Бура (10) возрастных изменений популяции периферических
Т-лимфоцитов в постнатальном периоде [17]
Параметр
δN 4
²N4
δN8
²N8
δM4
²M4
δM8
²M8
ρN 4
hN 4
ρN 8
Физический смысл
Размерность
константы скорости гомеостатического
деления CD4 наивных Т-лимфоцитов
константы скорости гомеостатического
деления CD8 наивных Т-лимфоцитов
константы скорости гомеостатического
деления CD4 Т-лимфоцитов памяти
константы скорости гомеостатического
деления CD8 Т-лимфоцитов памяти
константы скорости гомеостатической
гибели CD4 наивных Т-лимфоцитов
константы скорости гомеостатической
1/сут
1/(сут·кл)
1/сут
1/(сут·кл)
1/сут
1/(сут·кл)
1/сут
1/(сут·кл)
1/сут
кл
1/сут
23
Начальная Уточненная
оценка
оценка
5·10−3
1·10−11
5·10−3
1·10−11
5·10−3
1·10−11
5·10−3
1·10−11
1·10−2
1·1010
1·10−1
1.7·10−4
4.3·10−14
1.5·10−4
5.0·10−13
7.4·10−3
6.4·10−13
7.6·10−3
3.2·10−12
9.0·10−3
2.1·1010
5.7·10−4
hN 8
ρM 4
hM4
ρM 8
hM8
αN4
αN4
CN 4
CN 8
гибели CD8 наивных Т-лимфоцитов
константы скорости гомеостатической
гибели CD4 Т-лимфоцитов памяти
константы скорости гомеостатической
гибели CD8 Т-лимфоцитов памяти
константа скорости антиген-зависимого деления
деления CD4 Т-лимфоцитов
константа скорости антиген-зависимого деления
деления CD8 Т-лимфоцитов
среднее количество CD4 Т-лифоцитов памяти,
образующихся из одной наивной клетки
среднее количество CD8 Т-лифоцитов памяти,
образующихся из одной наивной клетки
кл
1/сут
кл
1/сут
кл
1/сут
1·1010
1·10−2
1·1010
1·10−1
1·1010
5.7·10−7
2.6·1010
4.7·10−3
9.8·1010
2.6·10−2
2.5·1010
1·10−6
1/сут
1.0·10−8
1·10−6
б/р
10000
18000
б/р
10000
26500
Примечание. б/р — безразмерная величина, п. о. — пар оснований (нуклеотидов).
Сначала поставим задачу подобрать параметры таким образом, чтобы минимизировать
функционал невязки вида
XX
(ln(Xk (tj )/xk (tj )))2 ,
k
j
где Xk — набор экспериментальных точек для k-й переменной модели, x(k) — k-я компонента аналитического решения модели, j — некоторый момент времени, в который
известно и экспериментальное и аналитическое значение k-й переменной модели.
Динамика массы тела аппроксимировалась функцией вида mass = exp(γ1 · age + γ2 ).
Рис. 11: Динамика массы тела.
Для динамики численностей субпопуляций Т–лимфоцитов согласование модели и данных обощенной картины достигалось следующим образом. В работе[19] дана концентрация Т–лимфоцитов в крови. Чтобы найти численность субпопуляции во всем организме,
необходимо домножить концетрацию в крови на общий объем крови, а затем принять во
внимание, что в крови находится около 2% всех лимфоцитов органзима. Предполагалось,
что у ребенка в возрасте от рождения до двух лет приходится 0.08 л крови на один
килограмм массы тела [31].
Чтобы обощенная динамика длины теломерных фрагментов хромосом Т–лимфоцитов
согласовывалась с моделью, данные для соответствующих длин из работы[27], в едини24
Рис. 12: Динамика численности субпопуляций Т–лимфоцитов в организме (модель (7) — слева,
модель (10) — справа).
цах MESF (molecules of equivalent soluble fluorochrome) переводились в длины в парах
оснований по формуле
bp = M ESF units · 0.02604 · 0.019 · 103 .
Рис. 13: Динамика длины теломер клеток-предшественников (модель (7) — слева, модель (10) —
справа).
7. Энергетическая цена иммунной защиты
Сначала построим функционалы компонент энергетической цены иммунной защиты для
модифицированной модели Романюхи и Яшина (1). Рассмотрим суммарную э.ц. антигенной нагрузки за время жизни индивида [9]. Эта величина представима в виде суммы
E = Efm + Eft + Efd + Eln + Ele ,
где Efm — расходы на поддержание пула периферических Т–лимфоцитов; Eft — расходы
на образование наивных Т-лимфоцитов в тимусе; Efd — расходы на размножение наивных
25
Рис. 14: Динамика длины теломер CD4+CD45RA+ Т–лимфоцитов (модель (7) — слева, модель (10) — справа).
Рис. 15: Динамика длины теломер CD8+CD45RA+ Т–лимфоцитов (модель (7) — слева, модель (10) — справа).
Рис. 16: Динамика длины теломер CD4+CD45R0+ Т–лимфоцитов (модель (7) — слева, модель (10) — справа).
Т-лимфоцитов и Т-лимфоцитов амяти в ИПЛТ; Eln — потери энергии, связанные с воздействием на организм новых антигенов; Ele — потери энергии, связанные с воздействием
на организм уже знакомых антигенов.
26
Рис. 17: Динамика длины теломер CD8+CD45R0+ Т–лимфоцитов (модель (7) — слева, модель (10) — справа).
Из физического смысла уравнений модели следует, что
ZT
Efm = β1
((N4 + N8 + M4 + M8 ) ∗ V )dt;
0
ZT
Eft = β2
k1 (N4∗ + N8∗ )dt;
0
ZT
Efd = β2
[k2 L(ρ14 α14 N4 + ρ18 α18 N8 ) + k3 L(ρ24 α24 M4 + ρ28 α28 M8 )+
0
+(µ0N 4
+ µ0N 8 + µ0M 4 + µ0M 8 ) · (C ∗ − N4 − N8 − M4 − M8 )] dt;
Рассмотрим теперь вывод функционала энергетической цены взаимодействия с новыми
антигенами. Найдем энергетическую цену одного заболевания. Известно, что 90% расходов энергии на взаимодействие с инфекцией связано с увеличением температуры тела.
В качестве типичного заболевания будем рассматривать острую инфекцию верхних дыхательных путей. Продолжительность такой инфекции составляет как правило 5 дней,
период лихорадки — 2–4 суток с температурой тела 38–38,5◦ C. Повышение температуры
тела на один градус приводит к увеличению основного обмена (B0 m3/4 ) на 10%. Тогда
суммарные потери в результате единичной острой инфекции оцениваются следующей величиной:
E0 = 0.1 · 2◦ · (B0 · m3/4 ) · (2 · 24 · 600с).
Будем считать, что функция f (t) пропорциональная заболеваемости в зависимости от
возраста, для детей первых двух лет жизни выглядит так, как показано на рисунке 18.
Также считаем, что в течение первых двух лет жизни ребенок переносит в среднем 20
инфекционных заболеваний.
Разумно предположить, что энергетическая цена взаимодействия с “новыми” антигенами зависит от численности наивных Т-лимфоцитов и констант скоростей антигенной
27
Рис. 18: Заболеваемость f (t) детей инфекционными заболеваниями в раннем возрасте.
активации Т-лимфоцитов. Чтобы найти вид этой зависимости, мы воспользовались базовой моделью Марчука (1980). Мы исследовали зависимость тяжести заболевания в
базовой модели Марчука от начального количества плазматических клеток и от константы скорости активации клеток. Предположив, что энергия линейно зависит от тяжести
заболевания, получили зависимости отношения E/Enorm от N/Nnorm и k3 /k3norm , показанные на рис. 19 и 20 соответственно.Здесь — энергия, соответствующая текущему
значению параметра, Enorm — энергия, соответствующая нормальному значению параметра в случае острой инфекции, N — исходное количество плазматических клеток, k3 —
константа скорости антигенной активации.
E/E_норм
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
N/N_норм
Рис. 19: Зависимость изменения энергии взаимодействия с “новыми” антигенами от изменения
начального количества плазматических клеток. E/Enorm (N/Nnorm ) = g(N/Nnorm ) = 0.0019 ×
(N/Nnorm )4 − 0.0418 × (N/Nnorm )3 + 0.3455 × (N/Nnorm )2 − 1.3091 × (N/Nnorm ) + 2.0027.
Тогда функционал энергетической цены взаимодействия с новыми антигенами на про28
E/E_норм
4,00
3,50
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
k3/k3_норм
Рис. 20: Зависимость изменения энергии взаимодействия с “новыми” антигенами от константы
скорости антигенной активации. E/Enorm (k3 /k3norm ) = α(k3 /k3norm ) = 0.944 × (k3 /k3norm )−0.55
тяжении первых двух лет жизни равен
µ
ZT
Eln
=
E0 (t) · A · f (t) · g
0
N4 + N8
N 4norm + N 8norm
где
A = RT
0
n
f (t)dt
¶
µ
·α
α14 + α18
α14norm + α18norm
¶
dt,
,
а n — характеристика количества острых инфекционных заболеваний в течение жизни.
Предположим, что скорость обучения иммунной системы h(t) линейна и выглядит так,
как показано на рис. 21. Тогда функционал энергетической цены воздействия на органзим
уже знакомых антигенов выводится аналогично предыдущему и равен
Рис. 21: “Обученность” иммунной системы h(t).
29
µ
ZT
Ele
E1 (t) · A · h(t) · g
=
0
M4 + M8
M 4norm + M 8norm
µ
¶
·α
α24 + α28
α24norm + α28norm
¶
dt,
где E1 (t) = 15 E0 (t).
В таблице 4 приведены физический смысл и значения параметров, связанных с функционалами энергетической цены иммунной защиты.
Таблица 4: Параметры, связанных с функционалами энергетической цены иммунной защиты.
Параметр
T
β1
β2
k1
k2
k3
T
n
B0
Физический смысл
Отрезок времени, на котором строим решения
Расход энергии на поддержание функции
одного Т-лимфоцита
Количество энергии, необходимое для синтеза
одного Т-лимфоцита
Среднее соотношение скоростей гибели
клеток-предшественников и выхода наивных
Т-лимфоцитов из тимуса
Отношение максимального размера клона
Т-лимфоцитов, образующихся в ходе иммунного ответа,
к численности формирующейся популяции
клеток памяти для наивных Т-лимфоцитов
То же для клеток памяти
Продолжительность раннего детства
”Нормальное” количество острых заболеваний
в течение первых двух лет жизни
Взаимосвязь между общим метаболизмом
и массой тела
Размерность
сут
Дж/(сут·кл)
Значение
Дж/кл
2*365
4.1·10−8
2.7·10−8
б/р
20
б/р
20
б/р
сут
б/р
20
2·365
20
Дж·г−3/4 /(сут·кл)
12.65
7.1. Построение функционалов энергии для модели Де Бура
На основе предположений, изложенных в предыдущем подразделе, можно построить распределение компонент общей энергетической цены иммунной защиты для модели Де Бура (10).
Из физического смысла уравнений модели следует, что
ZT
Efm = β1
(N4 + N8 + M4 + M8 )dt;
0
30
ZT
Eft
k1 (N4∗ + N8∗ )dt;
= β2
0
ZT
Efd
= β2
(ρN 4 N4 + ρN 8 N8 + ρM 4 M4 + ρM 8 M8 + k2 (CN 4 αN 4 N4 + CN 8 αN 8 N8 ))dt;
0
µ
ZT
Eln
=
E0 (t) · A · f (t) · g
0
µ
ZT
Ele
E1 (t) · A · h(t) · g
=
0
N4 + N8
N 4norm + N 8norm
M4 + M8
M 4norm + M 8norm
¶
dt,
¶
dt,
Распределение компонент энергетической цены иммунной защиты в норме для моделей (1) и (10) представлено на рис. 22.
Рис. 22: Распределение энергий Efm , Eft , Efd , Eln и Ele .
7.2. Идентификация параметров моделей: смешанный критерий оптимизации
Для того, чтобы идентифицировать параметры моделей применим смешанный критерий.
Значения параметров длолжны быть таковы, чтобы с одной стороны решения системы
уравнений модели удовлетворяли данным наблюдений, а с другой — отвечали минимуму
общей энергетической цены иммунной защиты.
Чтобы идентифицировать параметры моделей таким образом, будем минимизировать
функционал свертки
F = λ1
XX
¢
¡
(ln(Xk (tj )/xk (tj )))2 + λ2 Efm + Eft + Efd + Eln + Ele ,
k
j
где Xk — набор экспериментальных точек для k-й переменной модели, x(k) — k-я
компонента аналитического решения модели, j — некоторый момент времени, в который
известно и экспериментальное и аналитическое значение k-й переменной модели, Efm , Eft ,
31
Efd , Eln и Ele — компоненты энергетической цены иммунной защиты, λ1 ,λ2 — нормировочные коэффициенты.
Для модели (1) при изменении параметров антигенной нагрузки (α14 , α18 , α24 , α28 ) значение функционала F снижается за счет существенного уменьшения второго слагаемого
функционала, отвечающего за энергетическую цену. Однако решения, которые дает система при измененных значениях параметров α14 , α18 , α24 , α28 сильно отличаются от реально
наблюдаемых сценариев (первое слагаемое функционала F , отвечающее за невязку увеличивается). Это может свидетельствовать о неадекватном значении параметра антигенной
нагрузки L. При уменьшении параметра антигенной нагрузки в три раза по сравнению
с исходным значением энергетическая цена иммунной защиты остается пониженной, а
решения модели отвечают экспериментальным данным (см.рис.23).
В таблице 5 приведены исходные и соптимизированные согласно смешанному критерию оптимизации F значения параметров скоростей антигенной активации и антигенной
нагрузки для модели Романюхи и Яшина (1).
Таблица 5: исходные и соптимизированные согласно смешанному критерию оптимизации F значения параметров
скоростей антигенной активации и антигенной нагрузки.
Параметр
α14
α18
α24
α28
L/V
Физический смысл
Константа скорости активации и
CD4+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости активации и
CD8+CD45RA+ Т-лимфоцитов
Константа скорости активации и
CD4+CD45R0+ Т-лимфоцитов
Константа скорости активации и
CD8+CD45R0+ Т-лимфоцитов
Удельная антигенная нагрузка
деления
Размерность
мл/г
Исходное
значение
3.0·103
Уточненное
значение
5.0·104
деления
мл/г
5.0·103
5.4·104
деления
мл/г
1.0·103
2.5·103
деления
мл/г
1.0·104
1.3·103
г/(мл·сут)
8·10−9
3·10−9
Одним из нерешенных вопросов теоретической иммунологии является оценка сравнительного вклада в регуляцию численности Т-лимфоцитов процессов гомеостатического и
антиген-зависимого размножения клеток. На рис.24 видно, что для рассматриваемых нами
моделей эти соотношения различны, несмотря на их хорошее соответствие при описании
данных и структуры энергетической цены иммунной защиты. Сопоставление моделей не
дает однозначного ответа на этот вопрос, и требуется дополнительное исследование.
32
Рис. 23: Распределение функционалов энергетической цены иммунной защиты и решения системы (1) для исходных и уточненных параметров α14 , α18 , α24 , α28 , L.
Рис. 24: Отношение скоростей гомеостатического и антиген-зависимого размножения CD4 (слева)
и CD8 (справа) Т-лимфоцитов памяти для моделей (1) и (10).
8. Численные эксперименты
В работе [24] Хазенберга и соавт.(2004) предложен численный эксперимент для модели
Де Бура (8), моделирующий численность Т-лимфоцитов при ВИЧ-инфекции. Предполагалось, что в ходе ВИЧ-инфекции продукция тимуса снижается в 100 раз и/или скорость
деления Т-лимфоцитов увеличивается в два раза, а скорость гибели — в пять раз. Решения систем (1) и (10), а также распределения функционалов энергетической цены
имммунной защиты в этих случаях представлены на рис. 25, 26.
9. Результаты и выводы
Таким образом, для изучения механизмов начального развития Т-системы иммунитета
предложены модификации моделей Романюхи и Яшина (2001) и Де Бура (2002). Парамет33
Рис. 25: Распределение функционалов энергетической цены иммунной защиты для системы (1)
(слева) и (10) (справа) при сниженной в 100 раз продукции тимуса.
Рис. 26: Решения систем (1) (слева) и (10) (справа) при сниженной в 100 раз продукции тимуса.
ры моделей оценены по данным наблюдений и с использованием вариационного принципа
минимума диссипации энергии. Проведены численные эксперименты, иллюстрирующие
влияние изменения скоростей притока Т-лимфоцитов и антиген-зависимой активации на
динамику системы. Предложен метод оценки величины антигенной нагрузки.
10. Приложение
10.1. Вывод уравнений модели
d(N V )
dt
d(M V )
dt
dPN
dt
dPM
dt
= N ∗ − α1 VL (N V ) − µN (N V ) + µ0N (C ∗ V − N V − M V )
= ρ1 α1³VL (N V ) + ρ2 α2 VL (M´V ) + µ0M (C ∗ V − N V − M V )
V PN )
= N1V d(N dt
− PN d(NdtV )
³
´
V)
V PM )
= M1V d(M dt
− PM d(M
dt
Исходя из физического смысла модели, выведем
34
d(N V PN )
.
dt
(N V PN )(t + ∆t) − (N V PN )(t)
L
=N ∗ P ∗ − α1 (N V ) PN − µN N V PN +
∆t
V
0
(PN µN − 2λN µ0N ) (C ∗ V − N V − M V ) ·
· hC ∗ V −N V −M V (C ∗ V − N V − M V ) +
PN µ0N (C ∗ V − N V − M V ) · h−C ∗ V +N V +M V (C ∗ V − N V − M V )
Тогда
PN
N∗
λN µ0N
= (P ∗ − PN )
−2
(C ∗ − N − M ) · hC ∗ −N −M
dt
NV
N
Аналогично выведем
d(M V PM )
.
dt
(M V PM )(t+∆t)−(M V PM )(t)
∆t
= ρ1 α1 VL (N V ) (PN − λN ) + ρ2 α2 VL (M V ) PM
(PM µ0M − 2λM µ0M ) (C ∗ V − N V − M V ) ·
·hC ∗ V −N V −M V (C ∗ V − N V − M V )
Тогда
PM
ρ1 α1 LN
λM µ0M
= (PN − PM − λN )
−2
(C ∗ − N − M ) · hC ∗ −N −M
dt
MV
M
Список литературы
[1] Вейсманн А. О жизни и смерти (1884) // Смерть и бессмертие. (Новые идеи в
биологии. Сб. 3) Под ред. В.А. Вагнер, Е.А. Шульц. СПб., 1914. Вып. 1. С. 1–66.
[2] Гаврилов Л.А., Гаврилова Н.С. Биология продолжительности жизни. М.: Наука,
1991. 280 с.
[3] Казакова О.А. О двух моделях популяционной динамики Т-лимфоцитов // Сб. статей
молодых ученых ф-та ВМиК МГУ, 2007. Вып. 4. C. 57–65.
[4] Макфарланд Э. Иммунология ВИЧ-инфекции у детей. В кн.: Руководство по оказанию помощи ВИЧ-инфицированным детям (под ред. С. Зайхнера и Дж. Рид) (пер. с
англ.). http://www.eurasiahealth.org/attaches/85908/3_Pediatric_HIV_Care_Rus.pdf
[5] Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980. 264 c.
[6] Оловников А.М. Принцип маргинотомии в матричном синтезе полинуклеотидов //
Доклады АН СССР. 1971. С. 1496–1499.
[7] Романюха А.А., Бочаров Г.А. Построение начального приближения для решения задачи идентификации коэффициентов математической модели противовирусного иммунного ответа / Препринт ОВМ АН СССР № 159. М., 1987. 14 с.
[8] Романюха А.А., Яшин А.И. Математическая модель возрастных изменений в популяции периферических Т-лимфоцитов. // Успехи геронтологии. 2001. Вып. 8. C. 65–84.
35
[9] Руднев С.Г., Романюха А.А., Яшин А.И. Факторы, влияющие на развитие Т-системы
иммунитета, и задача оптимального распределения ресурсов // Матем. моделирование. 2007. Т. 19, № 11. С. 25–42.
[10] Смит Ш., Мелвин Э. Развитие и нормальная физиология иммунной системы.
В кн.: Руководство по оказанию помощи ВИЧ-инфицированным детям (под ред.
С. Зайхнера и Дж. Рид) (пер. с англ.). http://www.eurasiahealth.org/attaches/85908/
1_Pediatric_HIV_Care_Rus.pdf
[11] Хаитов Р.М., Игнатьева Г.А., Сидорович И.Г. Иммунология. М.: Медицина, 2000.
536 c.
[12] Ярилин А.А. Гомеостатические процессы в иммунной системе. Контроль численности
Т-лимфоцитов // Иммунология. 2004. № 5. С. 312–320.
[13] Ярилин А.А. Основы иммунологии. М.: Медицина, 1999. 608 с.
[14] Aldhous M.C., Raab G.M., Doherty K.V., Mok J.Y.Q., Bird A.G., Froebel K.S. Agerelated ranges of memory, activation, and cytotoxic markers on CD4 and CD8 cells in
children // J. Clin. Immunol. 1994. V. 14, № 5. P. 289–298.
[15] Anastasiadis K., Ratnanunga C. (Eds.) The thymus gland: diagnosis and surgical
management. Berlin–Heidelberg: Springer, 2006. 120 p.
[16] De Boer R.J., Noest A.J. T cell renewal rates, telomerase and telomere length shortening
// J. Immunol. 1998. V 160. P. 5832–5837.
[17] De Boer R.J. Mathematical models of human CD4+ T cell population kinetics // Neth.
J. Med. 2002. V. 60, № 7. P. 17–26.
[18] De Boer R.J., Ganusov V.V., Milutinovic D., Hodgkin P.D., Perelson A.S. Estimating
lymphocyte division and death rate from CFSE data // Bull. Math. Biol. 2006. № 68.
P. 1011–1031.
[19] de Vries E., de Bruin-Versteeg S., Comans-Bitter W.M., de Groot R., Hop W.C.J.,
Boerma G.J.M., Lotgering F.K., van Dongen J.J.M. Longitudinal survey of lymphocyte
subpopulations in the first year of life // Pediatr. Res. 2000. V. 47, № 4. P. 528–537.
[20] de Vries E., de Groot R., de Bruin-Versteeg S., Comans-Bitter W.M., van Dongen J.J.M.
Analysing the developing lymphocyte system of neonates and infants // Eur. J. Pediatr.
1999. V. 158, № 8. P. 611–617.
[21] Denny T., Yogev R., Gelman R., Skuza C., Oleske J., Chadwick E., Cheng S.-C., Connor
E. Lymphocyte subsets in healthy children during the first 5 years of life // JAMA. 1992.
V. 267. P. 1484–1488.
36
[22] Flower D.R., Timmis J. (Eds.) In silico immunology. Berlin–Heidelberg: Springer, 2007.
450 p.
[23] Hayflick L., Moorhead P.S. The serial cultivation of human diploid cell strains // Exp.
Cell Res. 1961. V. 25. P. 585–621.
[24] Hazenberg M.D., Otto S.A., van Rossum A.M.C., Scherpbier H.J., de Groot R.,
Kuijpers T.W., Lange J.M.A., Hamann D., de Boer R.J., Borghans J.A.M., Miedema
F. Establishment of the CD4+ T-cell pool in healthy children and untreated children
infected with HIV-1 // Blood. 2004. V. 104. P. 3513–3519.
[25] Highlights from the Clinical Immunology Society HIV Symposium, March 3, 1997.
http://www.projinf.org/ news/press_030397.html
[26] Rich K.C., Siegel J.N., Jennings C., Rydman R.J., Landay A.L. Function and phenotype
of immature CD41 lymphocytes in healthy infants and early lymphocyte activation in
uninfected infants of human immunodeficiency virus-infected mothers // Clin. Diagn.
Lab. Immunol. 1997. V. 4, № 3. P. 358–361.
[27] Rufer N., Brummendorf T.H., Kolvraa S., Bischoff C., Christensen K., Wadsworth L.,
Schulzer M., Lansdorp P.M. Telomere fluorescence measurements in granulocytes and
T lymphocyte subsets point to a high turnover of hematopoietic stem cells and memory
T cells in early childhood //J. Exp. Med. 1999. V. 190, № 2. P. 157–167.
[28] Sannikova T.E., Rudnev S.G., Romanyukha A.A., Yashin A.I. Immune system aging
may be affected by HIV infection: Mathematical model of immunosenescence // Russ.
J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. V. 19, № 4. P. 315–329.
[29] Shearer W.T., Quinn T.C., Lew J.F., Mofenson L., Almy S., Rich K., Handelsman E.,
Diaz C., Pagano M. Viral load and disease progression in infants infected with human
immunodeficiency virus type 1 // New Engl. J. Med. 1997. V. 336, № 19. P. 1337–1342.
[30] The European Collaborative Study. Height, weight, and growth in children born to
mothers with HIV-1 infection in Europe // Pediatrics. 2003. V. 111. P. e52-e60.
[31] Valentin J. (Ed.) Basic anatomical and physiological data for use in radiological
protection: reference values // Annals of the ICRP. 2002. V. 32, № 4. P. 1–277.
37