СОВЕРШЕННЫЕ РАСКРАСКИ И КОРРЕЛЯЦИОННО-ИММУННЫЕ ФУНКЦИИ В Q-ЗНАЧНОМ ГИПЕРКУБЕ В. Н. Потапов Институт математики им. С. Л. Соболева СОРАН, Новосибирск, пр. Акад. Коптюга д.4 e-mail: [email protected] 1. Совершенные раскраски Пусть Eq = {0, 1, . . . , q−1}. Обозначим через Eqn множество упорядоченных q-ичных наборов (вершин) длины n (q-значный n-мерный куб ). Расстоянием Хэмминга d(x, y) между вершинами x, y ∈ Eqn называется число позиций, в которых наборы x и y различаются. Шаром радиуса ρ с центром в вершине x ∈ Eqn называется множество Bρ (x) = {y ∈ Eqn | d(x, y) ≤ ρ}. Lρ (x) = {y ∈ Eqn | d(x, y) = ρ} — сфера радиуса ρ. ρ-Совершенным кодом в Eqn называется такое множество C, |C| ≥ 2, что1 |C ∩ Bρ (x)| = 1 для любого x ∈ Eqn . Утверждение 1. Если в Eqn имеется ρ-совершенный код, то число ¡ ¢ qn n! целое, где nk = (n−k)!k! . ν(q, n) = 1+(q−1) n +···+(q−1) ρ n (1) (ρ) Утверждение 2. Множество C ⊂ Eqn является ρ-совершенным кодом тогда и только тогда, когда |C| = ν(q, n) и d(x, y) ≥ 2ρ + 1 для любых различных x, y ∈ C. Заметим, что если d(x, y) ≥ 2ρ + 1 для любых различных x, y ∈ C, то |C| ≤ ν(q, n). Рассмотрим множество Eqn как векторное пространство над полем GF (q), где q = ps — степень простого числа. Код называется линейным, если он является аффинным подпространством в Eqn . 1 Здесь и далее через |C| обозначается мощность множества C. 1 В. Н. Потапов Конструкция кода Хэмминга [13] Пусть q = 2, n = 2t − 1. Пусть βi — двоичная запись длины t числа i, i ∈ {0, . . . , 2t − 1}. Пусть матрица Dt = (β1 , . . . , βn ) составлена из векторов 1 0 1 0 1 0 1 i = 1, . . . , n. Например, D3 = 0 1 1 0 0 1 1 . 0 0 0 1 1 1 1 Утверждение 3. Множество C = {x ∈ E2n | Dt x = 0} является линейным 1-совершенным кодом. Подобным образом можно построить линейный 1-совершенный код Хэмt −1 . минга в Eqn , где q = ps — степень простого, n = qq−1 Заметим, что при нечётном n множество {0, 1} является (n−1)/2-совершенным кодом в E2n . Такие коды называются тривиальными. Теорема 1 (Зиновьев, Леонтьев, 1973 [3]; Тиетвайнен, 1973 [18]). Нетривиальный совершенный код в Eqn при q = ps (p — простое) должен иметь одни из следующих параметров: t −1 1) q = ps , ρ = 1, n = qq−1 ; 2) q = 3, ρ = 2, n = 11; 3) q = 2, ρ = 2, n = 23. Коды с параметрами 2) и 3) построены М. Голеем [12]. Все коды с параметрами 2) и 3) являются линейными. Проблема. Существуют ли совершенные коды в гиперкубе Eqn , если q — не степень простого числа? Через |x| = x1 ⊕ x2 ⊕ · · · ⊕ xn обозначим чётность вершины x ∈ E2n . Теорема 2 (Васильев, 1962 [2]). Пусть C ⊂ E2m — 1-совершенный код. Тогда множество Cλ = {(x, x⊕y, |x|⊕λ(y)) | x ∈ E2m , y ∈ C}, где λ : C → {0, 1} — произвольная функция, является 1-совершенным кодом в E22m+1 . Доказательство. В соответствии с утверждением 2 достаточно доказать, 2m+1 что |Cλ | = 22m+2 = |C| · 2m и d(z, z 0 ) ≥ 3 для любых z, z 0 ∈ Cλ . Первое сразу следует из определения кода Cλ , второе нетрудно получить непосредственной проверкой. Из теоремы Васильева, сравнив число различных функций λ и число различных аффинных подпространств, нетрудно получить следующее Утверждение 4. Существуют нелинейные 1-совершенные коды. 2 В. Н. Потапов Дж. Шёнхейм [16] предложил подобную конструкцию для построения соt −1 вершенных кодов в Eqn , где q = ps — степень простого, n = qq−1 . n Совершенной раскраской куба Eq в k цветов называется отображение Col : Eqn → {1, . . . , k − 1, 0}, удовлетворяющее следующему условию: мощность пересечения |Col−1 (i) ∩ L1 (x)| зависит только от цветов i и Col(x), но не от вершины x ∈ Eqn . Каждой совершенной раскраске2 соответствует матрица параметров S = {sij }, где sij — число вершин цвета j в сфере радиуса 1 с центром в вершине цвета i. Утверждение 5. Множество C ⊂ Eqn является 1-совершенным кодом тогда и только тогда, когда χC — совершенная раскраска куба Eqn в два цвеµ ¶ 0 n(q − 1) 3 та с матрицей параметров . 1 n(q − 1) − 1 Занумеруем вершины куба Eqn . Определим (0, 1)-матрицу M (n, q) = {mij } так: mij = 1, если i-я и j-я вершины находятся на расстоянии 1, и mij = 0 в противном случае. Матрица M = M (n, q) называется матрицей смежности 0 1 1 0 1 0 0 1 куба Eqn . Например, матрица смежности для E22 имеет вид 1 0 0 1 . 0 1 1 0 По произвольной раскраске Col куба Eqn в k цветов определим матрицу FCol размера q n × k, в которой i-я строка равна ej , если Col(i) = j. Наоборот, по любой (0, 1)-матрице размера q n × k с единственной единицей в каждой строке определяется раскраска куба в k цветов. Теорема 3 (Августинович [14]). 1) Если Col — совершенная раскраска куба Eqn с матрицей S, то M FCol = FCol S. 2) Если для некоторой раскраски и матрицы S выполнено равенство M FCol = FCol S, то раскраска Col совершенная. Теорему Августиновича можно доказать непосредственной проверкой равенства в п. 1) и проверкой определения совершенной раскраски в п. 2). Теорема верна для произвольного регулярного графа. Нетрудно доказать следующие утверждения о совершенных раскрасках и матрицах параметров. Утверждение 6. Пусть S матрица параметров совершенной раскраски куба Eqn , тогда n(q − 1) собственное число матрицы S. 2 Совершенные раскраски в два цвета также называются (c , c )-регулярными функци0 1 ями [6]. 3 Здесь и далее через χC обозначается характеристическая функция множества C. 3 В. Н. Потапов Для доказательства утверждения 6 достаточно заметить, что сумма элементов любой строки в матрице S равна мощности сферы |L1 (x)| в Eqn . Утверждение 7. Пусть S матрица параметров совершенной раскраски куба Eqn , тогда собственные числа матрицы S являются собственными числами матрицы M смежности куба Eqn . Доказательство. Пусть v ∈ Ck — собственный вектор матрицы S. Тогда Sv = λv и M FCol v = FCol Sv = λFCol v, причём FCol v 6= 0, если v 6= 0. Таким образом, λ — собственное число матрицы M . ¶ µ a b Утверждение 8. Пусть матрица параметров совершенной c d n 2 b целое. раскраски булева куба E2n . Тогда число b+c Для доказательства утверждения 8 достаточно заметить, что количества вершин разных цветов относятся друг к другу как b/c. Для раскрасок в произвольное число цветов утверждение 8 можно обобщить следующим образом. Утверждение 9. Пусть S — матрица параметров совершенной раскраски Eqn в k цветов. Тогда найдётся целочисленный вектор b размерности k удовлетворяющий условиям: k P (1) Sb = n(q − 1)b; (2) bi = q n ; (3) sij bj = sji bi для любых i, j ∈ {1, . . . , k}. i=1 µ ¶ a b матрица параметров совершенной c d совершенная раскраска булева раскраски булева куба E2n . Тогда существует µ ¶ a+1 b n+1 куба E2 с матрицей параметров . c d+1 Утверждение 10. Пусть Для доказательства утверждения 10 достаточно µ a → {0, 1} раскраска с матрицей параметров c ба E2n+1 с требуемой матрицей параметров можно f 0 (x1 , . . . , xn , xn+1 ) = f (x1 , . . . , xn ). E2n заметить, что если f : ¶ b , то раскраску куd определить равенством Утверждение 11 (Конструкция удвоения). Пустьµf : E2n¶ → E2 a b — совершенная раскраска с матрицей параметров S = . Тогда c d 2n g : E2 → E2 , где g(x, y) = f (x ⊕ y), есть совершенная раскраска с матрицей параметров 2S. 4 В. Н. Потапов Доказательство утверждения 11 получается непосредственной проверкой. Утверждение 11 можно обобщить следующим образом. µ ¶ a b Утверждение 12. Пусть матрица параметров совершенной c d n раскраски µ булева куба ¶ E2 . Тогда существует совершенная раскраска с параta tb метрами в E2tn . tc td Следующая теорема обеспечивает свойство монотонности реализуемых параметров совершенных раскрасок в два цвета. Теорема 4 (Августинович, Фрид [7]). Для любой пары натуральных b+c чисел b, c таких, что (b,c) = 2t найдётся такое a0 = a0 (b, c), что матрица µ ¶ a b Пусть является матрицей параметров совершенной расc a+b−c краски булева куба если и только если a ≥ a0 . Теорема 5 (Шапиро, Злотник, 1959 [17]; Кротов, 2011 [14]). Для любой совершенной раскраски Col : E n → {1, . . . , k − 1, 0} и t ∈ N мощность пересечения |Col−1 (i) ∩ Lt (x)| зависит только от цветов i и Col(x). Доказательство. Без ограничения общности считаем, что x = 0. Пусть rt — число вершин из Lt−1 (0) смежных с одной вершиной из Lt (0); lt — число вершин из Lt+1 (0) смежных с одной вершиной из Lt (0). Пусть Mt — матрица смежности расстояний t в кубе Eqn . Mt M = Mt+1 rt+1 + Mt−1 lt−1 , M1 = M , M0 = E, Mt = pt (M ). Mt FCol = pt (M )FCol = FCol pt (S). FCol — совершенная раскраска графа расстояний t по теореме 3. По-существу теорема 5 означает, что совершенная раскраска по расстоянию 1 всегда является совершенной раскраской по любому расстоянию. Из доказательства теоремы 5 можно извлечь более сильное утверждение. Утверждение 13. Если две совершенные раскраски по расстоянию 1 имеют одинаковую матрицу параметров S, то они имеют одинаковые матрицы параметров pt (S) как раскраски по расстоянию t. 5 В. Н. Потапов Подмножество C ⊆ E2n называется антиподальным, если из x ∈ C следует, что x ⊕ 1 ∈ C. Утверждение 14. Любой 1-совершенный код C ⊆ E2n является антиподальным. Доказательство. Свойство антиподальности означает, что χC является совершенной раскраской по расстоянию n, причём вершины, находящиеся на расстоянии n имеют одинаковый цвет. Таким образом, по утверждению 13 свойство антиподальности достаточно проверить для линейного 1совершенного кода. Теорема 6 (Августинович, 1995 [1]). Пусть C1 и C2 1-совершенные коды в E2n . Если C1 ∩ L(n−1)/2 (0) = C2 ∩ L(n−1)/2 (0), то C1 = C2 . Доказательство. Из утверждения 14 следует, что C1 ∩ L(n+1)/2 = C2 ∩ L(n+1)/2 . Тогда множество C = (C1 ∩ B(n−1)/2 (0)) ∩ (C2 ∩ B(n−1)/2 (1)) является 1-совершенным кодом по определению. Но из антиподальности совершенного кода имеем C2 ∩ B(n−1)/2 (1) = C ∩ B(n−1)/2 (1) = C1 ∩ B(n−1)/2 (1), C2 ∩ B(n−1)/2 (0) = C ∩ B(n−1)/2 (0) = C1 ∩ B(n−1)/2 (0). Аналогичным образом можно доказать, что любая совершенная раскраска гиперкуба E2n при нечётном n восстанавливается по раскраске вершин среднего слоя L(n−1)/2 (0). Средний слой L(n−1)/2 (0) гиперкуба и любое другое удовлетворяющее условию теоремы 6 называется тестовым для 1-совершенных кодов. Проблема. Найти тестовое множество меньшей мощности для 1совершенных кодов. 2. Корреляционно-иммунные функции Будем рассматривать множество Eq как группу по mod q и куб Eqn как абелеву группу Eq × · · · × Eq . Для x, y ∈ Eqn определим hx, yi = x1 y1 + · · · + xn yn ( mod q). Множество функций f : Eqn → C будем рассматривать как векторное пространство V над полем со скалярным произведением 1 X (f, g) = n f (x)g(x). q n x∈Eq 6 В. Н. Потапов Пусть ξ = e2πi/q . Характером группы Eqn называется φz ∈ V, где φz (x) = ξ , z ∈ Eqn . При q = 2 можно рассматривать векторное пространство над R или Q, поскольку ξ = −1. Непосредственно из определения характера нетрудно вывести следующие равенства. hx,zi Утверждение 15. 1) φz · φy = φz+y ; q−1 P kj 2) ξ = 0 при k 6= 0( mod q); j=0 P hx,zi 3) ξ = 0 при z 6= 0. x∈Eqn Из утверждения 15 получаем Утверждение 16. Характеры образуют ортонормированный базис в V. Преобразованием Фурье вектора f называется fb(z) = (f, φz ). Тогда f (x) = P b f (z)φz (x). z∈Eqn евклидовом PВ любом P b 2 пространстве справедливо |f (x)|2 = |f (z)| . x∈Eqn равенство Парсеваля: z∈Eqn Гранью размерности k называется подмножество куба Eqn , состоящее из вершин с одинаковыми фиксированными значениями некоторых n − k координат. В частности, одномерная грань направления i, проходящая через вершину (a1 , . . . , an ) ∈ Eqn , определяется как множество {(a1 , . . . , ai−1 , x, ai+1 , . . . , an ) | x ∈ Eq }. Функция f : Eqn → Eq называется корреляционно-иммунной порядка n − m, если для любого a ∈ Eq величина |f −1 (a) ∩ Γ| не зависит от выбора mмерной грани Γ. Обозначим через cor(f ) максимальный порядок иммунности функции f и через wt(x) — число ненулевых координат набора x ∈ Eqn . Пример. Пусть f (x1 , . . . , xn ) = x1 + · · · + xn ( mod q), тогда cor(f ) = n − 1. Утверждение 17. Если f — корреляционно-иммунная функция порядка m, тогда fb(z) = 0 при 0 < wt(z) ≤ m. Доказательство. Рассмотрим z = (z 0 , 0), wt(z 0 ) ≤ m. 00 1 X 1 X −hx0 ,z0 i X f (x)ξ −hx ,0i ) = (ξ fb(z) = n f (x)φz (x) = n q q n 0 00 x∈Eq x 7 x В. Н. Потапов = const X −hx0 ,z0 i ξ = 0. qn 0 x Утверждение 18. Если f ∈ V такова, что fb(z) = 0 при 0 ≤ wt(z) ≤ m. P Тогда f (x) = 0 для любой грани Γ размерности n − m. x∈Γ P fb(z)φz (x). Если wt(z) > m, то φz (x) = P Доказательство. f (x) = x∈Γ wt(z)>m 0 для любой грани Γ размерности n − m. Утверждение 19. Если f : Eqn → {0, 1} и fb(z) = 0 при 0 < wt(z) ≤ m, то f — корреляционно-иммунная функция порядка m. P Доказательство. Из утверждения 18 следует, что величина f (x) не x∈Γ зависит от выбор грани Γ размерности n − m. Следовательно, число единиц функции во всех таких гранях одинаково. Булеву функцию f : E2n → {0, 1} называют уравновешенной, если |f −1 (0)| = |f (1)|. −1 Теорема 7 (Фон-Дер-Флаасс, 2007 [11]). Пусть f : E2n → {0, 1} неуравновешенная и |f −1 (0)|, |f −1 (1)| 6= 0. Тогда cor(f ) < 2n 3 . Доказательство. Пусть c = |{x ∈ E2n | f (x) = 0}|, b = |{x½∈ E2n | f (x) = 1}|, c + b = 2n , c 6= b. −c, при f (x) = 1, Определим функцию g(x) = b, при f (x) = 0. Для любого x ∈ E2n имеем g 2 (x) − (b − c)g(x) − bc = 0. b(z) = 0 при wt(z) ≤ m и Пусть fb(z) = 0 при 0 < wt(z) ≤ 2n 3 = m. Тогда g X X X gb(z)φz (x) gb(z)φz (x) = cb + (b − c) gb(z)φz (x) , wt(z)>m wt(z)>m X wt(z)>m 0 gb(z 0 )b g (z 00 )(−1)hx,z ⊕z 00 i = (b − c) z 0 6=z 00 X gb(z)(−1)hx,zi . wt(z)>m Но wt(z 0 ⊕ z 00 ) ≤ 2n − wt(z 0 ) − wt(z 00 ) < m. Утверждение 20. Характеры φz (x) являются собственными векторами матрицы смежности куба Eqn с собственными числами (n − wt(z))(q − 1) − wt(z). 8 В. Н. Потапов Доказательство. M φz (x) = X ξ hy−x,zi+hx,zi = ξ hx,zi n X X ξ kzj = j=1 k6=0 y,d(x,y)=1 = ((n − wt(z))(q − 1) − wt(z))φz (x). Утверждение 21. Пусть f : Eqn → {0, 1} — совершенная раскраска µ ¶ a b b с матрицей параметров S = . Тогда f − c+b есть собственc d n ная функция матрицы смежности булева куба Eq с собственным числом n(q − 1) − (b + c). Утверждение 21 нетрудно доказать непосредственной проверкой. Утверждение 22. 1) Если f : Eqn → {0, 1} — совершенная раскраска с µ ¶ a b матрицей параметров S = , то fb(z) = 0 при wt(z) 6= 0, b+c q . c d 2) Если fb(z) = 0 при wt(z) 6= 0, s для некоторой функции f : Eqn → {0, 1}, то f — совершенная раскраска. Доказательство. Пункт 1) следует из утверждений 16, 20 и 21. Докажем пункт 2). Функция g = f + t является собственным вектором матрицы смежности гиперкуба Eqn для некоторой константы c ∈ Q. Пусть g(x) = t и b(x) = |L1 (x) ∩ g −1 (1 + t)|. Тогда b(x)(1 + t) + (n(q − 1) − b(x))t = λt, где λ — собственное число соответствующее характерам φz , wt(z) = s. Таким образом, число b(x) не зависит от выбора x ∈ Eqn . Из утверждений 19 и 22 имеем Утверждение 23. Пусть f f : Eqn → {0, 1} — совершенная раскраска с µ ¶ a b матрицей параметров S = . Тогда cor(f ) = c+b q − 1. c d Из доказательства теоремы 8 видно, что если неуравновешенная булева функция имеет максимально возможную корреляционную иммунность, то её преобразование Фурье имеет ненулевые значения только в точках фиксированного веса. Тогда, используя утверждение 22, получаем следующую теорему. Теорема 8 (Фон-Дер-Флаасс, 2007 [11]). Пусть f : E2n → {0, 1} корреляционно-иммунная функция порядка cor(f ) = 2n 3 − 1. Тогда f — совершенная раскраска. 9 В. Н. Потапов раскрасок достигающих границы Фон-Дер-Флаасса: µ Параметры ¶ µ совершенных ¶ 0 3 1 5 , . 1 2 3 3 С помощью конструкции удвоения (утверждение 11) можно построить совершенные раскраски, достигающие границы Фон-Дер-Флаасса, в гиперкубах сколь угодно большой размерности. |{x∈Eqn | f (x)=1}| Пусть f : Eqn → {0, 1}, будем называть плотностью %(f ) = . qn Теорема 9 (Фридман, 1992 [10]; Биербрауэр, 1995 [8]). Для любой n(q−1) функции f : Eqn → {0, 1} справедливо неравенство %(f ) ≥ 1 − q(cor(f )+1) . Доказательство. Пусть m = cor(f ), λ(z) — собственное число, соответствующее характеру φz . X f (x) = %(f ) + fb(z)φz (x), (f, f ) = %(f ). wt(z)>m 0 ≤ (M f, f ) = + X X λ(z 0 )fb(z 0 )fb(z 00 )(φz0 , φz00 ) = %2 (f )n(q − 1)+ z 0 ,z 00 λ(z)|fb(z)|2 ≤ %(f )n(q −1)+((n−(m+1))(q −1)−(m+1))(%(f )−%2 (f )). wt(z)>m (1) Eqn → {1, 0} является Теорема 10 (Потапов, 2010 [4]). Функции f : совершенной раскраской с параметром s11 = 0 тогда и только тогда, когда n(q−1) справедливо равенство %(f ) = 1 − q(cor(f )+1) . Доказательство. Если функция f является совершенной раскраской в два цвета с параметром s11 = 0, то (M f, f ) = 0. Из утверждений 22 и 23 в цепочке неравенств (1) имеем равенства. Наоборот, если выполнено равенство n(q−1) %(f ) = 1 − q(cor(f )+1) , то в цепочке неравенств (1) имеем всюду равенства. Тогда по утверждению 22 функция f есть совершенная раскраска. µ Граница ¶ Биербрауэра — Фридманаµдостигается¶ на счётчике чётности S = 0 n 0 n и 1-совершенном коде S = . n 0 1 n−1 Частным случаем теоремы 10 является Теорема 11 (Дельсарт, 1972 [9]; Пулатов, 1976 [5]; Остергард, Поттонен, Фелпс, 2010 [15]). Булева функция f является характеристической функцией 1-совершенного кода тогда и только тогда, когда cor(f ) = n−1 2 , 1 %(f ) = n+1 . 10 В. Н. Потапов Проблема. Обобщить на q-значный гиперкуб теоремы 7 и 8. Проблема. Существуют куба¶с матµ ¶лиµсовершенные ¶ µраскраски¶булева µ 1 23 2 22 3 21 0 25 рицами параметров , , , ? 9 15 10 14 11 13 7 18 Литература 1. Августинович С. В. Об одном свойстве совершенных двоичных кодов // Дискретн. анализ и исслед. опер. — 1995. — Т. 2, № 1. — C. —4—6. 2. Васильев Ю. Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. — 1962. — Вып. 8. — С. 337–339. 3. Зиновьев В. А., Леонтьев В. К. Несуществование совершенных кодов над полями Галуа // Проблемы управления и теории информации. — 1973. — Вып. 2. — С. 123–132. 4. Потапов В. Н. О совершенных раскрасках булева n-куба и корреляционно-иммунных функциях малой плотности // Сибирские электронные математические известия. — 2010. — Т. 7.— С. 372–382. 5. Пулатов А. К. О структуре плотно упакованных (n, 3)-кодов // Дискретный Анализ. — 1976. — Вып. 29. — С. 53–60. 6. Таранников Ю. В. О корреляционно-иммунных и устойчивых булевых функциях // Математические вопросы кибернетики. — 2002. — Вып. 11 — С. 91–148. 7. Фон-Дер-Флаасс Д. Г. Совершенные 2-раскраски гиперкуба // Сибирский математический журнал. — 2007. — Т. 48, № 4. — С. 923–930. 8. Bierbrauer J. Bounds on orthogonal arrays and resilient functions // Journal of Combinatorial Designs. — 1995. — V. 3. — P. 179–183. 9. Delsarte P. Bounds for unrestricted codes by linear programming // Philips Res. Reports. — 1972. — V. 27. — P. 272–289. 10. Friedman J. On the bit extraction problem // Proc. 33rd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science. — 1992. — P. 314–319. 11. Fon-Der-Flaass D. G. A bound of correlation immunity // Siberian Electronic Mathematical Reports. — 2007. — V. 4. — P. 133–135. 12. Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proc. IRE. — 1949. — V. 37. — P. 657. 13. Hamming R. W. Error detecting and error correcting codes // Bell System Tech. J. — 1950. — V. 29. — P. 147—160. 14. Krotov D. S. On weight distributions of perfect colorings and completely regular codes // Design, Codes and Cryptography. — 2011. — V. 61, №. 3. — P. 315–329. 11 В. Н. Потапов 15. Ostergard P. R. J., Pottonen O., Phelps K. T. The perfect binary one-errorcorrecting codes of length 15: Part II-Properties // IEEE Transactions on Information Theory. — 2010. — V. 56 — P. 2571–2582. 16. Schönheim J. On linear and nonlinear single-error-correcting q-nary perfect codes // Inform. and Control. — 1968. — V. 12, №. 1. — P. 23–26. 17. Shapiro G. S., Slotnik D. S. On the mathematical theory of error correcting codes // IBM Journal of Research Development. — 1959. — V. 3 — P. 68– 72. 18. Tietäväinen A. On the nonexistance of perfect codes over finite fields // SIAM J. Appl. Math. — 1973. — V. 24— P. 88–96. 12