Учет наложенных внешних связей в математической модели

УДК 681.5
Учет наложенных внешних связей
в математической модели
древовидного исполнительного
механизма двуногого шагающего
робота
КОВАЛЬЧУК
Александр Кондратьевич
кандидат технических
наук, доцент,
директор МИПК
(МГТУ им. Н.Э. Баумана)
А.К. Ковальчук
Предлагается блочноматричный способ записи математической мо
дели древовидного исполнительного механизма двуногого шагающего ро
бота, с учетом наложенных на него внешних связей. Данный способ по
зволяет получать математическую модель в форме, традиционной для
моделей роботов с линейной (разомкнутой) кинематической цепью.
Ключевые слова: двуногий шагающий робот, древовидный испол
нительный механизм, математическая модель.
The blochnomatrix way of record of mathematical model of the treelike
executive mechanism of the biped walking robot, taking into account the external
relations imposed on it is offered. The given way allows to receive mathematical
model in the form traditional for models of robots with a linear (opened)
kinematic chain.
Keywords: the biped walking robot, the treelike executive mechanism,
mathematical model.
динамики двуногого шагающего робота, имеющего дре
Уравнение
вовидную кинематическую структуру, записывается в виде [1, 2]
A(q )q&&+ B (q ,q& )-C (q )0 f в - H (q )0 n в = τ,
(1)
где
тæ
0 D
A(q )= σ( 0 z d ) ç
è- Λ( c f )
(
)
)
т
m d (D 0 z d ( E - σ )+
)
+Λт ( 0 c fD )0 z d σ +D т J Cd D 0 z d σ + ( E - σ )( 0 z d ) ´
(
0
т
(2)
)
´D т m d D 0 z d ( E - σ )+ Λт ( 0 c fD )0 z d σ ;
2011. ¹ 7
59
тì
B (q ,q& )= σ( 0 z d ) í - Λ( 0 c fD )
î
(
[
´(Λ (
)
т
0
md ´
торы l i , j , соединяющие начала систем коорди
´ Λ ( c fD )Λ ( z σq& )(D - E )+ Λ ´
т
0
т
0
0
т
d
т
d
нат f ( j ),ns ( j ) с началами основных систем ко
ординат звеньев i, в соответствии с взаимной
достижимостью звеньев, описываемой матри
цей достижимости D, (d i , j — соответствующие
элементы матрицы достижимости):
0
c fD )σq& d z d D + Λт ( 0 c fD )´
´((D - E )σ 0 z d q&)
d
)+
+ 2DΛт ( 0 z d ( E - σ )q& d )(D - E )]+
0
+D т J Cd Dσq& d Λт ( 0 z d )(D - E )+ D т Λ ´
´(D 0 z d σq&)
d 0
(3)
J Cd D} 0 z d σq& + ( E - σ )´
[
´( 0 z d ) D т m d Λт ( 0 c fD )Λт ´
т
´( 0 z d σq& d )(D - E )+ 2DΛт ( 0 z d ( E - σ )q& d ) ´
(
)ùû z
C (q )= σ( 0 z d )
0
т
d
т
- E )Λ( 0 s d )D т +
+D Λ( t )) + ( E - σ )( z
т
0 d
систем координат f (i ),ns (i ) (первый элемент
блочного вектора s нулевой, поскольку для
первого звена вектор s i не существует);
0
c =( 0 c 1т 0 c 2т .. 0 c Nт )т — блочный вектор,
σq&;
((D
0
d
);
H (q )=σ( 0 z d ) D т ,
т
(4)
(5)
где q =(q 1 ,q 2 ,..,q N )т — обобщенные координа
ты исполнительного механизма, записанные
в виде векторастолбца;
q d = diag (q 1 ,q 2 ,..,q N ) — обобщенные коор
динаты исполнительного механизма, записан
ные в виде элементов диагональной матрицы;
Λ(a )b = a ´b =-Λ(b )a = Λт (b )a — выраже
ние для векторного произведения;
D — матрица достижимости звеньев испол
нительного механизма;
0
z — блочный векторстолбец, определяю
щий последовательность осей
0
z ik , связанных
систем координат звеньев исполнительного
механизма;
σ — диагональная матрица, определяющая
типы сочленений звеньев исполнительного ме
ханизма;
60
× d 1,N × 0 l 1,N ö
÷
× d 2,N × 0 l 2,N ÷
÷; (6)
×
×
÷
0
× d N ,N × l N ÷
ø
d 1, 2 × 0 l 1, 2
d 2, 2 × 0 l 2
×
d N ,2 × 0l N ,2
s =(0 0 s 2т ,..., 0 s Nт )т — блочный вектор, объе
диняющий векторы s i , соединяющие начала
систем координат f ( f (i )),ns ( f (i )) с началами
0
d
æ d × 0l
1
ç 1,1
0
ç
d 2,1 × l 2,1
0
l D =ç
×
ç
çd × 0 l
è N ,1
N ,1
0
´(D - E )+ Λт ( 0 c fD )σq& d z d D + Λт ( 0 c fD )´
´((D - E )σ 0 z d q&)
l D — блочная матрица, объединяющая век
определяющий положения центров масс звень
ев относительно начал их основных систем ко
ординат;
0
c fD — матрица, объединяющая векторы
c fi ,j , соединяющие начала систем координат
звеньев f ( j ),ns ( j ) с центрами масс звеньев i,
в соответствии со взаимной достижимостью
звеньев, описываемой матрицей достижимости
D (d i , j — соответствующие элементы матрицы
достижимости):
0
c fD
æ d1,1 × 0 c f
1
ç
ç d 2,1 × 0 c f
2 ,1
=ç
×
ç
çd × 0 c
f N ,1
è N ,1
× d 1, N × 0 c f 1 , N ö
÷
× d 2, N × 0 c f 2 , N ÷
÷=;(7)
×
×
÷
× d N ,N × 0 c f N ÷
ø
d 1, 2 × 0 c f 1 , 2
d 2, 2 × 0 c f 2
×
d N , 2 × 0 c f N ,2
= 0lD + 0c dD
0
f в = ( 0 f вт 1
0
f вт 2
,...,
0
f вTN ) — блочная
T
матрица внешних сил, приложенных к звеньям
исполнительного механизма со стороны окру
жающей среды;
0
t =( 0 t 1т 0 t 2т ,..., 0 t Nт )т — блочный вектор,
объединяющий векторы t i , соединяющие нача
2011. ¹ 7
ла систем координат звеньев f (i ),ns (i ) с точка
ми, через которые проходят равнодействующие
внешних сил, приложенных к звеньям i;
0
nf =
(
0
n fт 1
0
n fт 2
,...,
0
n fт N
)
т
— блочная
матрица моментов, от приведения внешних
сил, приложенных к звеньям со стороны окру
жающей среды, к началам систем координат их
звеньевотцов, определяется в соответствии
0
с выражением: 0 n f = 0 t d f в ;
0
nв =( n
0
т1
в
0
n
т2
в
,...,
0
n
тN
в
)
т
— блочная
матрица внешних моментов, действующих на
звенья исполнительного механизма со стороны
окружающей среды;
0
n ¢ в = 0 n в + 0 n f — блочная матрица суммар
ных внешних моментов, действующих на зве
нья i относительно начал систем координат
f (i ),ns (i ) их звеньев отцов;
m =(m1 ,m 2 ,..., m N )т — матрица масс звеньев;
J C =(J C 1 ,J C 2 ,..., J C N )т — блочная матрица
тензоров инерции звеньев.
В этом выражении третье слагаемое C (q )0 f в
определяется внешними силами, действующи
ми на звенья исполнительного механизма
и моментами, от приведения этих сил к нача
лам соответствующих систем координат их
звеньев отцов.
При наложенных на исполнительный меха
низм связях в уравнении (1) к внешним силам,
моментам добавятся силы, моменты реакций
этих связей. И уравнение (1) запишется в виде:
N — число звеньев исполнительного меха
низма;
C (q )= J fт — транспонированная матрица
Якоби для линейных перемещений точек при
ложения равнодействующих внешних сил, дей
ствующих на звенья исполнительного механиз
ма, определяется в соответствии с выражением
C (q )= σ( 0 z d )
т
((D
т
- E )Λ( 0 s d )D т +
+D Λ( t )) + ( E - σ )( z
т
0 d
0
d
где
0
Rf =
(
0
R f1
0
R f2
,...,
0
R fN
)
D .
матрица Якоби для линейных перемещений то
чек приложения реакций связей, определяется
в соответствии с выражением
((D
- E )Λ( 0 s d )D т +
(10)
т
0 d
0 d т
т
+D Λ( t R )) + ( E - σ )( z ) D ;
C R (q )= σ( 0 z d )
т
т
t Ri — вектор, соединяющий начало системы
координат звена f (i ),ns (i ) с точкой, через кото
рую проходит сила реакции связи, наложенной
на звено i;
0
t R =( 0 t Rт1 0 t Rт2 ,..., 0 t RтN )т — блочный век
тор, объединяющий векторы t Ri для всех звень
ев исполнительного механизма;
H (q )= J ωт — транспонированная матрица
Якоби для угловых перемещений звеньев, ко
торая определяется в соответствии с выраже
нием
H (q )=σ( 0 z d ) D т .
(8)
т
— блочный
вектор силреакций связей, приложенных
к звеньям исполнительного механизма;
(9)
т
З де сь C R (q )= J Vт R — транспонир ов ан н ая
т
A(q )q&&+ B (q ,q& )-С (q ) 0 f в -С R (q ) 0 R f ,
0
0
-H (q )( n в + Rn )= τ,
)
т
(11)
Введем следующие обозначения:
0
F в =( 0 f вт 0 n вт )т — блочный вектор внеш
них сил, моментов, приложенных к звеньям
исполнительного механизма;
(
R = R fт
Rnт
)
т
— блочный вектор усилий
блоч
реакций связей, наложенных на исполнитель
ный механизм;
L(q )= (С (q ) H (q )) — матрица Якоби раз
ный вектор моментовреакций связей, прило
женных к звеньям исполнительного механизма;
мерностью N ( 2 N ), объединяющая матричные
коэффициенты внешних сил и внешних мо
0
Rn =
(
0
Rn 1
2011. ¹ 7
0
Rn 2 & ,...,
0
)—
т
Rn N
61
ментов, действующих на звенья исполнитель
ного механизма;
L R (q )= (С R (q ) H (q )) — матрица Якоби раз
мерностью N ( 2 N ), объединяющая матричные
коэффициенты сил и моментов реакций свя
зей, наложенных на звенья исполнительного
механизма.
С учетом введенных коэффициентов, урав
нение (8) запишется в следующем виде:
A(q )q&&+ B (q ,q& )- L(q )0 F в - L R (q )0 R = τ. (12)
В процессе движения исполнительного ме
ханизма могут изменяться как количество на
ложенных связей, так и вид уравнений описы
вающих эти связи. Связи можно разделить на
кинематические и геометрические. Первые оп
ределяются тем, что задаются уравнения кри
вых, по которым двигаются характерные точки
исполнительного механизма. Вторые опреде
ляются зависимостями внешних усилий, при
ложенных к роботу, как функций от координат
характерных точек исполнительного механиз
ма и их производных. В общем случае, эти
функции могут быть существенно нелинейные.
62
Выводы
Предложен блочноматричный способ запи
си математической модели динамики древо
видного исполнительного механизма двуного
го шагающего робота с учетом наложенных на
него внешних связей.
Достоинство данного способа состоит в том,
что он позволяет получить математическую мо
дель для древовидного исполнительного меха
низма в форме, традиционной для моделей ро
ботов с линейной (разомкнутой) кинематиче
ской цепью.
Литература
1. Ковальчук А.К., Кулаков Д.Б., Семенов С.Е. Блоч
номатричные уравнения движения исполнительных меха
низмов роботов с древовидной кинематической структурой //
Известия вузов. Машиностроение. М.: МГТУ им. Н.Э. Бау
мана, 2008. № 12. С. 5—21.
2. Ковальчук А.К., Кулаков Д.Б., Семенов С.Е. Математи
ческое описание кинематики и динамики исполнительных
механизмов роботов с древовидной кинематической
структурой // Известия вузов. Машиностроение. М.:
МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2008. № 11. С. 13—25.
Статья поступила в редакцию 02.06.2011 г.
2011. ¹ 7