05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы На правах рукописи программ»

ПЕРМСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
ДОЛГАНОВА ОЛЬГА ЮРЬЕВНА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ
РОСТОМ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ
05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ»
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание учёной степени
кандидата технических наук
Научный руководитель:
доктор технических наук, профессор
Няшин Юрий Иванович
Пермь − 2014
СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ....................................................................................................... 1
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4
ГЛАВА 1.
Особенности моделирования роста живых тканей ..................... 15
1.1.
Описание предмета моделирования.................................................... 15
1.2.
Анализ экспериментальных исследований биологического роста
тканей ................................................................................................................. 18
1.3.
Классификация математических моделей роста ............................... 22
1.3.1.
Одномерные модели роста ............................................................. 22
1.3.2.
Модель растущей многофазной среды ......................................... 25
1.3.3.
Модели роста, учитывающие остаточные напряжения .............. 27
1.3.4.
Модели, учитывающие зависимость скорости роста от
механических напряжений ........................................................................... 29
1.4.
Модели управления биологическим ростом ...................................... 35
1.4.1.
Модель управления растягивающими усилиями при
дистракционном удлинении костей ............................................................ 35
1.4.2.
Модель управления ростом нёбных фрагментов при
ортопедическом лечении врожденной расщелины нёба........................... 38
1.4.3.
1.5.
Модель активного ортопедического устройства ......................... 41
Выводы по главе ................................................................................... 43
ГЛАВА 2.
Постановка и решение задачи ростового деформирования
биологического тела ............................................................................................. 44
2.1.
Определяющее соотношение ростовой деформации ........................ 44
2.2.
Свойства материалов модели............................................................... 48
2.3.
Постановка
задачи
ростового
деформирования
изотропного
линейно-упругого тела ..................................................................................... 51
2.4.
Инструменты моделирования ростового деформирования в ANSYS.
................................................................................................................. 53
2.5.
Решение тестовой задачи ..................................................................... 56
2
2.6.
Вычислительный эксперимент по исследованию распределения
скоростей ростовых деформаций в расчетной области ................................ 57
2.7.
Выводы по главе ................................................................................... 60
ГЛАВА 3.
Исследование проблемы ортопедического лечения врожденной
расщелины нёба с помощью вычислительного эксперимента ......................... 62
3.1.
Предмет исследования.......................................................................... 62
3.2.
Расчетная область ................................................................................. 69
3.3.
Описание расчетной схемы.................................................................. 71
3.4.
Конечно-элементное разбиение расчетной области ......................... 73
3.5.
Результаты вычислительного эксперимента ...................................... 75
3.6.
Верификация результатов эксперимента ........................................... 77
3.7.
Выводы по главе ................................................................................... 78
ГЛАВА 4.
Оптимальное управление биологическим ростом ткани ........... 80
4.1.
Независимое управление ростовыми деформациями ....................... 80
4.2.
Теоретические основы алгоритма управления
ростовыми
деформациями ................................................................................................... 81
4.3.
Постановка задачи независимого управления деформированным
состоянием системы с помощью ростовой деформации .............................. 83
4.4.
Решение задачи независимого управления деформированным
состоянием системы с помощью ростовой деформации .............................. 84
4.4.1.
Деформации, соответствующие заданным перемещениям ........ 85
4.4.2.
Алгоритм вычисления управляющего воздействия .................... 85
4.4.3.
Блок-схемы алгоритма ................................................................... 91
4.5.
Вычислительный эксперимент по реализации оптимального режима
воздействия ортопедического устройства на костную ткань ....................... 93
4.6.
Выводы по главе ................................................................................... 99
ГЛАВА 5.
5.1.
Проблемно-ориентированный программный комплекс ........... 101
Биомеханическое
сопровождение
дохирургического
лечения
врожденной расщелины нёба ......................................................................... 101
3
5.2.
Структура работы проблемно-ориентированного программного
комплекса ......................................................................................................... 102
5.2.1.
Разработка математической модели............................................ 102
5.2.2.
Вычисление оптимальных усилий .............................................. 103
5.2.3.
Рекомендации к проектированию ортопедического аппарата . 105
5.2.4.
Визуализация результатов............................................................ 106
5.3.
Выводы по главе ................................................................................. 107
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................................................................... 109
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................... 111
ВВЕДЕНИЕ
Разработка теоретических представлений, математическое описание и
выделение механических аспектов управления индивидуальным развитием
многоклеточных организмов, в том числе и человека, ведется многими учеными на протяжении нескольких десятилетий [61]. Одним из фундаментальных этапов индивидуального развития многоклеточных является рост. Рост
характеризуется непрерывным увеличением массы организма и сопровождается изменением числа клеток или их размеров [26].
С позиции механики рост – это единовременно протекающие необратимая деформация и приток массы [61, 117, 126, 152]. Растущее тело в процессе своего роста испытывает деформацию, соответственно основные позиции механики растущих тел [40, 51, 61, 81, 108, 110, 117, 122, 126, 134] отличаются от механики сплошной среды [65]. Задачи механики растущих тел
весьма разнообразны и очевидно, что биомеханические модели роста живых
тканей отличаются от механических моделей в неживых системах [65]. С помощью классификации процессов роста выделим область исследований, о
которой будет идти речь в данной работе:
1. Существуют модели дискретного и непрерывного роста [65, 67, 68].
Дискретные модели роста предполагают формирование составного тела [65].
Уравнения равновесия, сформулированные для отдельных его частей, объединяются в систему, поэтому математические модели дискретно наращиваемых тел принципиально не отличается от классических моделей тел постоянного состава. Напротив, процесс непрерывного роста является серией элементарных, происходящих за бесконечно малые интервалы времени, актов
присоединения бесконечно малых частиц к растущему телу [65]: присоединение бесконечно тонких нитей, бесконечно малых капель, живых клеток.
2. Различают поверхностное наращивание и объемный рост. В первом
случае присоединение материала происходит на границе тела (границе роста). В работах [65, 67] представлены примеры поверхностного роста, такие
5
как намотка, электролитическое осаждение, возведение массивных сооружений, рост кристаллов, лазерное напыление. Объемный рост предполагает образование новой массы и ее перераспределение по всему объему тела, вследствие чего форма и геометрические размеры тела изменяются [70]. Примером
такого роста является биологический рост [68].
3. Механизмы образования новой массы при биологическом росте и
технологических процессах неживых систем отличаются друг от друга. Образование новой массы при биологическом росте происходит вследствие деления клеток того же тела и перераспределения «новой» массы по объему
или поверхности. Последний в биологических объектах всегда подразумевает
объемный рост в тонком слое (хотя бы толщиной в одну клетку) [51]. Это отличает биологический рост от наращивания, т.е. притока вещества извне [68],
имеющего место во многих технологических и природных процессах.
4. С точки зрения биологии тканей, выделяют нормальный физиологический и патологический (опухолевый) рост ткани [7, 12, 25, 102, 120]. При
нормальном делении ядра клетки образуются две дочерние клетки, что приводит к равномерному распределению материала ткани – это нормальный
здоровый рост. Любое другое деление клеток приводит к патологическому
росту, и как следствие этому, локальному разрастанию ткани и образованию
опухолей. С точки зрения математического описания, факторы, определяющие механизм патологического роста сильно отличается от тех, что определяют нормальный рост.
5. В литературе существует два теоретических подхода к рассмотрению
объемного роста живой ткани. Первый подход предполагает представление
модели исследуемой системы как однокомпонентной сплошной среды и чаще применим к описанию ростовых процессов в твердых тканях, таких как
кости и зубы [69, 111, 112, 117, 148]. Во втором подходе объемно-растущая
ткань представима как дисперсная многокомпонентная система, так называемая «mixture theory». Данный подход в основном применяется для мягких
6
тканей, таких как кожа, стенки сосудов, связки и сухожилия [51, 95, 103, 105,
147].
Согласно предложенной классификации в диссертации рассматривается нормальный, непрерывно происходящий по всему объему биологический
рост костной ткани.
В настоящее время компьютерное моделирование нормальных и патологических процессов, происходящих в организме, находит все более широкое применение в медицине [45, 51, 61, 75, 94]. Данная область знаний является в значительной мере экспериментальной наукой с богатейшим эмпирическим опытом воздействия на ход тех или иных болезней различными средствами [75]. Однако решение проблем, связанных с прогнозированием протекания постлечебного периода, замена органов и тканей, оценка эффективности ортопедических аппаратов, искусственных заменителей путем экспериментального исследования зачастую неприемлемы. Для их исследования целесообразно использовать аппарат математического моделирования. Поэтому
для совершенствования существующих методик лечения, для снижения риска повторных операций математические расчеты все сильнее внедряются в
медицину.
Значительная часть медицинских проблем не может сводиться только к
моделированию биологического состояния рассматриваемого тела. Более
ценными с позиции приложения оказываются формулировки и методы решения задач, сфокусированных на выборе некоторого оптимального варианта
[52, 69, 75]. Так, например, для медицинской практики интересны оптимальные конструкции протезов любых частей тела, наилучший способ установки
искусственных заменителей (имплантатов) и свойства материалов, из которых они изготовлены.
В детской ортопедии, связанной с исправлением врожденных патологий развития тканевых структур в растущем теле ребенка, первостепенными
являются вопросы моделирования и управления ростом. Методики лечения,
применяемые в современной медицинской практике для исправления таких
7
патологий развития как сколиоз, дефекты развития, связанные с укорочением
одной из конечностей, врожденные пороки челюстно-лицевой области, обязательно включают ортопедическую реконструкцию врожденных дефектов
[52]. Ортопедическое лечение основано на механическом воздействии ортопедических устройств на недоразвитые участки тела, подлежащие коррекции.
Вследствие данного воздействия в ткани возникает адаптивный рост, чем достигается скорейшее исправление дефекта.
В России систематическое изучение и моделирование роста биологических тканей проводилось учеными еще с середины 80-х годов (С.А. Регирер,
1985 г., Л.В. Белоусов, 1987 г., А.А. Штейн, 2000 г.). Однако большинство
моделей «перегружены» уравнениями настолько, что сложности, возникающие при идентификации параметров уравнений, не позволяют эффективно
применять построенные модели к конкретным, имеющим биологическое содержание, задачам. В настоящее время решение конкретных медицинских
проблем, связанных с моделированием ростовых процессов, затруднительно,
главным образом – ввиду сложности практического определения параметров,
описывающих состояние и поведение растущего тела. Впервые биомеханическая модель роста костной ткани человека была предложена в исследовании Масич А.Г., проводимом ею совместно с врачами-ортопедами [69, 85, 93,
139, 140]. В исследовании модель фрагментированного твердого нёба представлена как изотропно-растущая изгибаемая балка, подверженная действию
механической силы. Для описания скорости ростовой деформации применена
модель, учитывающая ростовую деформацию в зависимости от напряжений.
Параметры, входящие в определяющие соотношения модели, определены
экспериментально. В рамках цитируемого исследования управление ростом
реализовано в упрощенном варианте. Других, более поздних работ, посвященных исследованию механических аспектов роста тканей человека, не выявлено.
К настоящему времени для исправления врожденного несращения нёба
у детей предложены новые, более эффективные модификации ортопедиче-
8
ских устройств. Их конструкция позволяет создавать в костной ткани дополнительные растягивающие усилия и таким образом ускорять рост разобщенных нёбных фрагментов в сторону сближения. Биомеханическое обоснование
конструкции современного ортопедического аппарата изложено в единственной работе по медицине [37], в которой представлена упрощенная математическая модель системы ортопедический аппарат – костное нёбо пациента
раннего возраста. Усилия, создаваемые моделируемым устройством, подбираются так, чтобы максимально сблизить разобщенные нёбные кости без повреждений ткани. Однако в модели не учитываются ростовые свойства материала, и сближение разобщенных нёбных фрагментов осуществляется исключительно за счет их растяжения.
Между тем, в рассматриваемой области ортопедии остается множество
проблем, связанных с отсутствием научно-обоснованных стандартов лечения, которые определяли бы для каждого пациента индивидуально величину
и способ дозирования нагрузки, создаваемой ортопедическим аппаратом. С
позиции механики данная медицинская проблема может быть представлена и
решена как задача управления напряженно-деформированным состоянием
системы путем создания в ней заданных полных деформаций без изменения
существующих полей напряжений. Поскольку наведенные остаточные
напряжения могут оказать негативное влияние на небные фрагменты после
снятия ортодонтического аппарата и завершения лечения, то сохранение поля напряжений позволит исключить их возникновение и, тем самым, существенно упростить процедуру решения задачи о моделировании ростовой деформации. Подход к решению данного класса задач управления изложен в
работах [63, 73, 88, 89, 90].
Таким образом, исследование, направленное на разработку новой математической модели, позволяющей вычислять параметры управления ростовым процессом с учетом индивидуальных особенностей растущего тела,
является актуальным. В качестве индивидуальных особенностей выступают
ростовые свойства материала и геометрия расчетной области.
9
Цель работы
Разработка и реализация математической модели, которая позволяет
прогнозировать рост и определять параметры, управляющие ростовыми деформациями в биологических системах. С использованием модели требуется
определить параметры силовых воздействий (как функции времени), позволяющие получить требуемую форму тела за счет накопленных ростовых деформаций.
Цель исследования предполагает решение следующих задач:
1. Постановка и решение задачи математического моделирования ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле.
2. Формулировка задачи управления ростовыми деформациями в изотропном линейно-упругом теле.
3. Разработка, обоснование и тестирование математического алгоритма для решения задачи независимого управления (без изменения напряжений
в системе) деформированным состоянием исследуемой системы с помощью
ростовой деформации.
4. Проведение вычислительных экспериментов для определения оптимального режима воздействия ортопедического устройства на костную
ткань с целью создания в ней адаптивного роста при лечении врожденного
несращения твердого нёба у детей.
Методы исследований основаны на совместном применении методов
математического моделирования и вычислительной механики деформируемого твердого тела. Для написания математических алгоритмов использованы программные среды С++ и MATLAB, редактирование расчетной области
выполнено в графическом модуле программного комплекса SolidWorks, численные эксперименты реализованы в конечно-элементном комплексе
ANSYS.
Структура работы
В первой главе представлен анализ публикаций, в которых предложены математические модели роста живых тканей. Проанализировано понятие
10
биологического роста. На микроуровне механизм роста живых тканей связан
с делением и увеличением числа клеток, увеличением размеров клеток и массы. Изучением механизмов роста на уровне клеток занимаются отдельные
науки – биология, механобиология. На макроуровне в процессе роста наблюдается увеличение линейных размеров тела вследствие вышеуказанных процессов. Из анализа литературных данных автором предложена следующая
классификация моделей роста живой ткани:
•
модели, в основе которых лежит гипотеза о влиянии на рост ткани
внутриклеточного давления, которое зависит от объема жидкости, поступающего в клетку (Lockhart, 1965 г.);
•
модели многофазных сред, так называемые «mixture theory», в которых
растущая среда представлена как многофазная дисперсная система, рост которой обусловлен транспортом жидкости из одной фазы в другую (Ambrosi,
2008 г., Штейн, 2011 г.);
•
модели роста мягких тканей, основанные на гипотезе о влиянии оста-
точных напряжений на рост как стимулирующего фактора (Taber, 1996 г.,
Rodriguez, 1994 г.);
•
механические модели, связывающие зависимость скорости ростового
деформирования от механических сил, прилагаемых к телу и «ростовых»
свойств ткани (Hsu, 1968 г., Штейн, 1995 г.).
Автором предложено объединить понятия неупругих деформаций различной природы (ростовых, фазовых, температурных) в одно понятие собственных деформаций. Данный термин широко используется в современной
научной литературе [52, 63, 73, 87, 88, 89, 90]. Использование такой концепции позволяет унифицировать подход к решению задачи управления независимо от природы деформации. Тогда, в рамках малых деформаций, тензор
полной деформации будет разложен на тензоры упругой ε e и собственной
деформаций ( ε = ε e + ε g ). В большинстве исследований (Hsu, 1966 г., Lanyon,
Magee, Baggott, 1979 г., Lubarda, Hoger, 2002 г., Tanaka, Adachi, 1994 г., Ма-
11
сич, 2000 г.), посвященных формулированию интерпретации законов роста
костной ткани как функции напряжений и деформаций зафиксировано, что
поле деформации роста твердых тканей предполагает совместность в любое
время, и поэтому свободно от напряжений. Тогда для моделирования ростовых деформаций предложена формулировка, исключающая возникновение
собственных напряжений в процессе роста.
Таким образом, рост характеризуется изменением объема и формы тела. Моделируемый растущий материал – ткань нёбной кости ребенка возрастом до трех лет. Для описания ростового поведения принята механическая
модель. Параметры определяющего соотношения модели взяты из работы
Масич А.Г. [70].
Во второй главе рассмотрены вопросы моделирования роста живой
ткани. Показано, что ростовая деформация, вычисляемая по принятому определяющему соотношению, не вызывает остаточных напряжений в ткани.
Проведен анализ параметров определяющего соотношения для механической
модели роста изотропного тела. Представлена дифференциальная постановка
задачи ростового деформирования изотропного линейно-упругого биологического тела. Ввиду отсутствия встроенного инструмента для моделирования
роста в пакете ANSYS автором предложен способ решения данной задачи.
Каждому элементу массива деформаций, который формируется в ANSYS при
силовом нагружении, присваивается значение, равное накопленной ростовой
деформации. Преобразование массива по соответствующим формулам происходит с помощью подпрограммы, написанной автором на Си++. Преобразованный массив деформаций считывается в новом расчете как начальное
деформированное состояние. Представлено решение тестовой задачи ростового деформирования, реализованное в ANSYS.
Третья глава посвящена исследованию прикладной медицинской проблемы, которой является реабилитация пациентов с врожденной расщелиной
нёба. Ортопедическое лечение, проводимое пациентам раннего возраста в
ходе курса реабилитации, нацелено на сближение разобщенных фрагментов
12
нёба до хирургического вмешательства. Чем оно успешнее, тем ближе будут
сведены разобщенные фрагменты нёба, и тем безопаснее будет операция по
их сшиванию. В главе приводится биомеханический анализ аппаратуры,
применяемой в современной клинической практике. Для расчетов, проводимых в диссертации, слепок нёба полугодовалого пациента был отсканирован
и преобразован в Cad-модель в графическом модуле программного комплекса SolidWorks. Результаты численного эксперимента, в ходе которого расчетная область изменяет форму вследствие накопления ростовой деформации,
позволяют проанализировать влияние внешней механической нагрузки на
скорость сближения разобщенных нёбных отростков. Деформации, полученные в результате эксперимента, находятся в удовлетворительном соответствии с опубликованными в литературе данными, что позволяет произвести
верификацию модели. По результатам эксперимента делается вывод о том,
что механические усилия, создаваемые ортопедической аппаратурой, не всегда эффективны, поскольку дозируются врачом «на глаз». Таким образом,
введение критерия оптимальности, позволит повысить эффективность существующих методик лечения.
В четвертой главе излагаются теоретические основы к решению задачи управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой
деформации. Сформулирована постановка задачи оптимизации силового
нагружения, чтобы накопленная ростовая деформация придала телу форму
(перемещения на части границы), заданную до начала деформирования. Для
постановки и решения задачи управления применена теория независимого
управления собственными деформациями, разработанная (Ю.И. Няшин, В.А.
Лохов, В.С. Туктамышев) в гильбертовом пространстве тензоров деформаций. Предположение о малости деформаций и линейности конфигурации
позволило применить принцип суперпозиции решений. Полностью представлена система уравнений, на основе которых написан алгоритм вычисления
величины управляющего воздействия на ростовую деформацию, т.е. алгоритма поиска оптимальных ортодонтических усилий. Математический алго-
13
ритм реализован в пакете прикладных программ MATLAB 7.0. Формирование тензоров деформаций для расчетов происходит путем импорта массивов
деформаций элементов из конечно-элементного пакета ANSYS в формате
текстового файла. На примере плоской расчетной области, которая является
сечением трехмерной Cad-модели, приводится решение задачи оптимизации
механических усилий для принятия телом заданной формы. В качестве результатов представлены усилия и время их приложения, необходимые для
того, чтобы перемещения на части границы расчетной области были равны
заданным.
В пятой главе на базе алгоритма управления сформулированы основные положения методики биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения врожденной расщелины нёба. Методика предполагает
проведение вычислительных процедур до начала и во время ортопедического
лечения
и
предполагает
следующие
этапы
работы
проблемно-
ориентированного программного комплекса. Сначала нужно сканировать
слепок нёба, построить Cad-модель и выбрать 2 наихудших, с точки зрения
ширины диастаза, сечения. В рассматриваемых сечениях наметить форму дуги, которую планируется получить в результате лечения. Для выбранных сечений вычислить усилия и время их приложения с помощью программы
«Оптимальное усилие». Выдать рекомендации к конструкции ортопедического аппарата для создания им требуемых усилий. Визуализировать результаты лечения с помощью программы «расчет ростовой деформации».
В представленных вычислительных экспериментах эти усилия создают
желаемую форму при заданных ограничениях. Фрагменты сближаются на 10
мм за три месяца без повреждений.
Научная новизна работы
1.
Предложена новая математическая модель растущего биологиче-
ского тела, построенная в рамках механической модели роста.
2.
Определены параметры управления ростовыми деформациями,
позволяющие придавать телу заранее заданную форму, не меняя напряжений.
14
3.
Предложена методика биомеханического сопровождения дохи-
рургического этапа лечения пациентов раннего возраста (до трех лет) с
врожденным несращением нёба. Методика позволяет на базе математического моделирования процесса находить оптимальные режимы воздействия ортопедического устройства на костную ткань фрагментированного костного
нёба.
Практическая ценность работы
Практическая ценность работы обусловлена возможностью широкого
применения механической модели ростового деформирования для описания
роста твердых тканей организма человека. Возможность численного эксперимента клинических случаев имеет значимость при решении вопросов, связанных с прогнозированием протекания постлечебного периода, оценке эффективности ортопедических аппаратов и искусственных заменителей тканей.
Биомеханическое обоснование конструкции ортопедического аппарата
для обеспечения им оптимального по величине и направлению воздействия
на костную ткань может быть использовано как дополнительный инструмент
в планировании лечения пациентов с врожденными аномалиями скелета.
Надежность фиксации и оказание заведомо верного направления усилий в
ткани позволит сократить сроки реабилитации пациентов и уменьшить вероятность реопераций.
Кроме этого, биомеханическое сопровождение лечения позволит проводить «виртуальные операции», позволяющие визуализировать результат лечения еще до его начала. Следует отметить, что в настоящее время данная
технология в России не распространена и применяется в некоторых частных
клиниках при коррекции зубного ряда.
Диссертационная работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-01-31404 мол_а) и фонда
содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере
по программе «У.М.Н.И.К.»
15
ГЛАВА 1. Особенности моделирования роста живых тканей
1.1. Описание предмета моделирования
Понятие биологического роста
Рост является общебиологическим свойством живой материи и входит
в число основных составляющих биологического развития, наряду с формообразованием (морфогенезом) и возникновением новых типов клеток (дифференцировкой). В работах [12, 70] сказано, что в основе роста живых тканей
составляют лежит деление и увеличение числа клеток, увеличение размеров
клеток, увеличение массы и внеклеточных образований [12, 70]. Процессы
роста связаны с интенсивным обменом веществ, синтезом и биосинтезом как
источниками нового материала, с дыханием как источником энергии [12, 70].
Для всех тканей существуют специфические функциональные раздражители,
которые влияют на соответствующие клетки, побуждая их к усиленному росту и размножению [70, 107].
Изменение формы и объема тела в процессе своего развития происходит вследствие роста организма, при котором происходит деление клеток,
секреция внеклеточного матрикса и наложение растущих поверхностей. Рост
тканей в процессе деления клеток, характеризуемый интенсивным увеличением объема клеток после деления, связывается с возрастанием давления в
таких клетках. Важным условием интенсивного роста является повышенный
приток к зонам роста питательных веществ и воды [20, 70]. Кроме этого, ростовые процессы связаны с усиленным дыханием растущих органов [70].
Сугубо механическое деформирование биологических материалов является существенным элементом роста [70]. Многочисленные факты указывают на то, что без развития напряжений (по крайней мере на микроуровне)
рост невозможен [152, 159, 160, 161]. Впервые необходимость нагрузок, развиваемых на клеточном уровне, была понята физиологами растений [51, 122,
134, 147]. Основной механизм, приводящий к развитию необходимых при
росте напряжений – осмос [51, 134]. Ограничение подвижности растворен-
16
ных в биологических жидкостях веществ из-за взаимодействия этих веществ
с нежидкими компонентами тканей способствует возникновению значительных градиентов их концентраций и, как следствие, к развитию сил, действующих на жидкость. Действие этих сил и приводит к набуханию, а при его
ограничении – к внутренним давлениям. Набухание может происходить
вследствие осмоса, что проявляется в переориентации материала клеточной
стенки [70, 134]. Возможны и не осмотические механизмы набухания,
например развитие напряжений в ткани из-за изменения ее состава [12].
Нарушению процессов роста любых органов постоянно сопутствуют
процессы компенсации взаимосвязанных систем органов, так называемые
сопутствующие пороки развития [15, 31]. Данный факт соответствует закону
Ю. Вольфа о стремлении природы к оптимуму – зависимости внутренней
структуры органа и ткани от внешних нагрузок. Вследствие изменения
нагрузки происходит соответствующее изменение формы и структуры органа
[40, 46, 70, 146].
Таким образом, ростовые процессы в живых тканях, отличаются от
аналогичных, происходящих в небиологических процессах гальванопластики, лазерного напыления и бетонирования крупномасштабных объектов [10,
65, 163]. В технологических процессах приток вещества осуществляется
извне, «сценарий наращивания» задан и позволяет выбирать оптимальные
режимы наращивания, осуществляя «механическое программирование» [65].
В биологических процессах рост обусловлен природой и требует сложной
математической интерпретации [126].
Типы биологического роста
Выделяют три типа приращения материала ткани в процессе роста:
объемный, поверхностный и внутренний. Для их описания растущая среда
рассматривается как однофазная пористая среда [81, 82]. При рассмотрении
каждого типа роста предполагается постоянство истинной плотности твердого вещества [70], то есть отношение массы частиц материала вне пор к полному объему вместе с порами принимается постоянным. Здесь и далее рост
17
считается положительным, т.е. такие процессы как деградация, резорбция не
рассматриваются. деформации неростовой природы не учитываются.
Объемный рост подразумевает образование новой массы и распределение ее по всему объему, вследствие чего изменяется форма тела [70], при
этом образуется новый объем пор [70]. Схема данного процесса приведена на
рисунке 1.1.
Рисунок 1.1. Схема объемного роста
Внутренний рост. При внутреннем росте происходит изменение толщины внутренних границ пор, которыми пронизан объем [70]. Приращения
объема тела не происходит, наблюдается внутренняя «перестройка» и изменение внутренних свойств. Схема данного процесса приведена на рисунке
1.2.
Рисунок 1.2. Схема внутреннего роста
Поверхностный рост. При поверхностном росте новые частицы материала образуются исключительно на гранце тела, то говорят о поверхностном
18
(аппозиционном) росте [70]. При этом перестройки и деформаций внутренних пор не наблюдается [70]. Схема данного процесса приведена на рисунке
1.3.
Рисунок 1.3. Схема поверхностного роста
В реальном случае рост объединяет все три типа описанного деформирования. К примеру, при росте костной ткани вначале наблюдаются позиционирование нового материала на поверхности и далее, изменение плотности
и параметров трабекул. Теоретически возможно построить математическую
модель, описывающую одновременно происходящие объемный, поверхностный и внутренний рост. Одной из формальных трудностей является невозможность введения единственного начального времени для всех частиц ввиду их индивидуализации с некоторого момента времени [70, 157]. В доступных автору публикациях под биологическим ростом принято понимать распределенное по всему объему приращение массы, и даже в случай поверхностного роста рассматривается как объемный рост в тонком слое (хотя бы
толщиной в одну клетку) [51].
1.2.
Анализ экспериментальных исследований биологического роста
тканей
Существуют различные подходы к математической интерпретации
процесса роста живой ткани, однако, очевидно, что во всех случаях биологическое понятие роста включает в себя два основных макроскопических про-
19
цесса – необратимую деформацию, в первую очередь, и приток массы. Первый шаг в применении законов физики и механики к проблеме изучения биологического роста представлен в монографии Д'Арси Томпсона (D’Arcy
Thompson, 1917 г.) «Рост и форма» [164], в которой автор утверждает, что
форма растений и животных может быть обоснована с точки зрения чистой
математики. Для Томпсона форма тела – это не само разумеющееся, а продукт динамических сил, которые способствуют формированию роста. Далее
эта идея была подхвачена биологом Джулианом Хаксли (J.S. Huxley, 1932 г.).
Для ответа на вопрос, почему биологические тела в процессе своего роста
приобретают характерную форму, Хаксли ввел понятие «градиент роста» и
исследовал влияние механических сил на конфигурацию растущего тела.
Ученого интересовал вопрос: «Если известно, что тело растет и никакие массовые силы на него не действуют, то что произойдет с телом если на него будут оказывать влияние силы». В ходе экспериментов, проводимых на костях
растущих животных, было выяснено, что форма кости изменяется по направлению действия нагрузки. Далее Фанг Хсю (Feng-Hsiang Hsu, 1962 г.) своими
экспериментами подтвердил, что при действии на растущее тело объемных
или поверхностных сил наблюдается изменение формы тела ввиду образования новых клеток в области приложения силы [126]. Гроссман (Grossman,
1970 г.) отмечал, что разница между величиной напряжений в систолу и диастолу является причиной, по которой толщина стенки желудочков сердца
больше, чем толщина стенки предсердий. Также необходимость нагрузок для
роста ткани, развиваемых на клеточном уровне, понималась и физиологами
растений.
С середины 70-х годов проводилось большое количество исследований,
посвященных формулированию интерпретации законов роста живой ткани
как функции напряжений и деформаций. Причем для математического описания ростовых процессов конкретного биологического материала ученые
признавали необходимость выбора определяющих соотношений. Также ученые высказывали затруднительность вычисления напряжения и деформации
20
при приложении внешней нагрузки к живой ткани [100, 101, 111, 112, 128,
131, 139, 140, 148]. Первая постановка задачи о росте живой ткани с позиции
механики сплошной среды была описана в работе Фанга Хсю (Hsu, 1968 г.).
Ученый предполагал, что скорость изменения формы тела зависит от двух
параметров: «the mechanical properties of the material» и «the growth properties
of the material». Эти параметры по предположению Хсю входят в «биологомеханические» определяющие соотношения материала тела и являются причиной, по которой тела в процессе своего роста принимают определенную
форму. Что касается остаточных напряжений, костной ткани, то «поле деформации роста твердых тканей предполагает совместность в любое время, и
поэтому свободно от напряжений». Для костной ткани ученые также устанавливали существование некоторого равновесного состояния напряжений,
не связанного с ростом. Рост полагался линейной функцией между напряжением, возникающим при нагрузке, и уравновешенным напряженным состоянием (Cowin, 1983 г.). Темп роста костной ткани был выражен как показатель
разности между энергией деформации в нагруженном состоянии и энергией
деформации в равновесном состоянии (Harrigan, Hamilton, 1992 г.).
Большинство экспериментов по исследованию остаточных напряжений
связано с мягкими тканями (кардиоваскулярная система в целом и артерии в
частности) [52]. По одной из гипотез остаточные напряжения в мягких тканях, возникают как результат упругой деформации и являются обязательным
условием роста ткани с сохранением сплошности ее материала, т.е. без образования дыр или наложений. В работах Ричарда Скэлака (R. Skalak, 1981 г.)
[155, 156, 157, 158] показано, что ростовые деформации мягких тканей не являются совместными, поскольку все клетки тела не могут расти одинаково, и
вследствие этого, для того, чтобы сохранить однородность тела, возникают
напряжения. Эксперименты, проводимые Фангом (Fung, 1990 г.) демонстрировали наличие остаточных напряжений в стенках кровеносных сосудов:
кромки отрезков артерий и вен не были круглыми, а принимали эллиптическую форму, т.е. деформировались [146]. По предположению исследователя
21
остаточные деформации объясняют эффект неравномерного роста и перестройки ткани, т.е. изменения ее формы и свойств. В экспериментах Хэрригана (Harrigan) и Гамильтона (Hamilton) показано наличие существенных
изменений в величине остаточных напряжений в стенке сердца в период
морфогенеза. Вообще экспериментальные исследования морфогенеза сердечной мышцы проводились многими учеными. В развивающемся эмбрионе
сердце формируется в виде не срастающегося цилиндра, который в конечном
итоге закрывается, формируя сердечную трубку (Manasek, 1983 г.). Изначально сердце свободно от напряжения. По мере деления клеток, происходит
их слияние и формирование мягких тканей; базовая ткань должна выдержать
рост и деление клеток, что в свою очередь становится причиной остаточного
напряжения (Taber, 1993 г.). В то время как растущая ткань развивается, ее
развитие будет сопровождаться нагрузкой и сжатиями, которые нужно выдержать. Сталсберг (Stalsberg, 1970 г.) показал, что нормальное развитие сердечной трубки нарушается при изменении внешних механических факторов.
Из предположения о зависимости роста от напряжений делались выводы относительно отличия физиологического и патологического роста. Так при гипертрофии сердца рост происходит уже в зрелой ткани, имеющей определенное распределение остаточных напряжений. Сопутствующая заболеванию
перегрузка будет способствовать дальнейшему изменению, отличному от
естественного, свойств материала.
Исследователи отмечали, что поведение материала твердых тканей живых организмов под нагрузкой существенно отличается от аналогичного у
мягких тканей [108, 123]. Для мягких тканей наблюдалась анизотропия
свойств, вязко-упругое поведение материала и большие деформации, напротив, практически упругое поведение и малые деформации – у твердых. Таким
образом, для описания ростовых процессов в живых тканях человека, с точки
зрения возникающих напряжений, сформировалось два подхода: о совместности ростовых деформаций для твердых тканей [126, 131, 138, 162] и оста-
22
точных напряжений для мягких тканей, являющихся обязательным условием
роста [113, 119, 124, 129, 165].
Влияние температуры на процесс роста отмечали в своих работах многие авторы и высказывали предположение, что температура является важнейшей составляющей скорости роста [126]. Также проводились наблюдения, в ходе которых ткани одного и того же тела под влиянием разных температур вырастали до различных размеров, но при этом сохраняли идентичную форму. Однако в большинстве публикаций приводятся исследования роста при постоянной температуре. Также ученые отмечали сопоставимость
определяющих соотношений роста с термодинамическими [115, 116]. Исследования ДиКарло (Antonio DiCarlo) посвящены анализу допустимости описания законов роста на основе термодинамических соотношений.
1.3.
Классификация математических моделей роста
Явления, понимаемые как рост живой ткани, разнообразны и могут отличаться в зависимости от принятой модели роста и уровня организации, на
котором рассматривается предмет исследования. Из обзора существующих
моделей можно выделить основополагающие направления, в рамках которых
разработаны те или иные модели объемно-растущей ткани:
1. модели, основанные на гипотезе о влиянии на рост ткани внутриклеточного давления как стимулирующего фактора;
2. модели многофазных сред, так называемые «mixture theory»;
3. модели, основанные на гипотезе о влиянии остаточных напряжений
на рост мягких тканей как стимулирующего фактора;
4. модели, связывающие, зависимость скорости роста от механических напряжений, известную из наблюдений и экспериментов.
1.3.1. Одномерные модели роста
Модель Локхарта (Lockhart J.A., 1965) [134] является одной из первых
моделей количественного описания роста ткани растений. В данной модели
23
клетка ткани представлена цилиндром постоянного радиуса и за счет роста
может увеличиваться только в длину. Рост связан с объемом воды, поступающей в клетку. Необратимое увеличение длины происходит за счет тургорного давления – давления протоплазмы на стенку клетки изнутри (на основания цилиндра). Упругая деформация клетки может быть записана в виде (1.1)
ε=
l − l0
,
l0
(1.1)
где l – текущая длина клетки, l 0 – длина клетки на предыдущем временном
шаге.
Предполагается, что давление внутри клетки постоянно и выражение
дифференцируется по времени (1.2)
l& l l&
ε& = − 0 ,
l0 l0 l0
(1.2)
и, соответственно, постоянство скорости деформации на текущем и предыдущем временных шагах (1.3),
l& l&0
= .
l l0
(1.3)
Автор заключал, что ткань находится в состоянии упругого равновесия,
когда растет. Данный факт очевиден ввиду предположения о постоянстве
напряжений в клетке. Таким образом, выражение для объемного роста клетки
растений представлено в виде (1.4):
dl KA
=
(∆П − Р ),
dt α
(1.4)
где K – водопроницаемость стенки клетки; A = 2πrl – длина стенки клетки;
α = πr 2 – площадь поперечного сечения клетки; ∆П – градиент осмотического давления; P – тургорное давление.
24
В настоящее время представление о том, что ростовое растяжение клеточной стенки растений происходит под воздействием внутриклеточного
давления (достигающего нескольких атмосфер), общепринято. Однако модель не нашла применения к описанию ростовых процессов в тканях человека, поскольку не учитывает зависимость скорости деформации от модуля
упругости системы. Предположение о постоянстве упругой деформации не
может является удовлетворительным.
Далее Гудвин (Goodwin B.C., 1992) [117] преобразовал модель Локхарта
[134], записав уравнение движения в виде
1 dV
1 dP
= φ (Р − Y ) +
,
V dt
E dt
(1.5)
где Y – пороговое напряжение в стенке клетки; φ – коэффициент расширения стенки клетки; E – модуль упругости стенки. Слагаемое (1 / V )dV / dt
представляет собой скорость деформации, P – аналог механического напряжения.
Далее после преобразований (1.5) получим:
E
dε 1
dσ
= (σ − Y ) +
.
dt τ
dt
(1.6)
Гудвин отмечал, что при σ > Y , деформация ε клетки является суммой ростовой деформации (1.7) и упругой деформации, пропорциональной
напряжению в стенке:
dΓ 1 dl 0
=
.
dt l 0 dt
(1.7)
Таким образом, выражение для скорости деформации растущей ткани в
модели Гудвина записано в виде:
dε dΓ 1 dσ
=
+
,
dt dt E dt
(1.8)
25
т.е. скорость деформации клетки при одномерном росте может быть представлена как сумма на упругой, зависящей от напряжений и неупругой – ростовой составляющих скорости. В дальнейшем такой подход применялся
многими авторами в моделях роста, учитывающих влияние напряжений на
скорость роста ткани.
1.3.2. Модель растущей многофазной среды
В зарубежных литературных источниках существует целое направление
исследований, так называемое «mixture theory», последователи которого
предполагают, что рост ткани является результатом транспорта жидкости из
окружающей жидкой среды и последующих химических реакций. Транспорт
жидкости внутрь клетки обусловлен природой. С точки зрения данного подхода биологическая ткань представляет собой композиционный материал,
состоящий из твердой фазы и пор, заполненных несжимаемой жидкостью.
Так, например, в работе Дэвида Амброси (Davide Ambrosi) [103] показано,
что полная энергия системы является суммой энергий для твердой и жидкой
фаз, что описывается выражением (1.9):
ψ = ψ (F, ρ 0s , X ) + ψ (ρ 0β ),
(1.9)
где F – тензор деформации твердой фазы, ρ 0s – плотность твердой фазы, X –
координаты материала, ρ 0β – плотность β − го компонента жидкой фазы.
В России методы механики многофазных сред применительно к моделям растущей ткани использовались Штейном А.А.[96, 97, 61]. Математические модели для описания роста мягких тканей состоят из уравнений реакции-диффузии для минимального набора химических веществ, уравнений
для твердой фазы ткани и кинетических уравнений для межклеточной жидкости. Данные параметры для многих веществ в воде известны. Предполагается, что твердая фаза не претерпевает транспорта, и что в межклеточной
жидкости отсутствует источники и приемники [61, 97]. При рассмотрении
26
материала как условно однородного, возникает два условия его существования [51]:
•
равнозначное деформирование твердой и жидкой фазы применительно
к твердым структурам;
•
равенство напряжений между твердой и жидкой фазами для описания
мягких тканей. Для более точного описания процессов роста необходим учет
сил взаимодействия между твердой и жидкой фазами, природа которого слабо изучена.
Модель растущей среды включает в себя пористый деформируемый
каркас (твердую фазу) с объемной концентрацией α и жидкую фазу с объемной концентрацией β = 1 − α , перемещающуюся по системе связанных между собой пор. Для рассмотрения материала фаз как условно однородного
вводится понятие приведенной «размазанной» плотности ρ1 = ρ1 * α и
ρ 2 = ρ 2 * β , где звездочкой отмечены истинные плотности фаз [51]. В жидкой фазе распределен обобщенный химический компонент с концентрацией
c . Предполагается, что твердая фаза представляет собой вязко-упругое тело
максвелловского типа, а жидкая фаза – линейно вязкая несжимаемая жидкость [103].
Постановка задачи ростового деформирования одно-двух-трехфазной
среды изложена в работах [51, 61]. В общем случае для модели двухфазной
растущей среды реологические соотношения, описывающие внешнюю (макроскопическую) деформацию среды имеют вид:
ε = εe + εi ,
dε i
= ξ i (σ, p, χ ), ε e = ε e (σ, p, χ ),
dt
(1.10)
где ε, ε e , ε i – тензоры полных, упругих и неупругих деформаций, соответственно (упругая составляющая тензора деформации зависит от напряжений), ξ i – тензор скоростей неупругих (ростовых деформаций), σ – тензор
напряжений в среде как целом, p – давление в жидкой фазе, χ – дополни-
27
тельные физико-химические и структурные характеристики ткани. Вместо
тензора напряжений для среды в целом могут использоваться характеристики
напряженного состояния твердой фазы [51].
В рамках модели многофазной объемно-растущей среды возможно рассмотрение неупругого деформирования и массообразования фаз, составляющих рост. Деформирование определяется присутствием напряжений в твердой фазе из-за давлений, развиваемых в жидкости и из-за внешних сил. Давления в жидкости развиваются в результате осмоса из-за наличия компонента, распределенного в жидкой фазе. Однако решение задачи в рамках системы уравнений, представленной в работах, видится абстрактным ввиду сложностей практического вычисления констант, входящих в определяющие соотношения материала фаз, даже для максимально простой модели (двухфазной) многофазной среды.
1.3.3. Модели роста, учитывающие остаточные напряжения
В работе Родригеза (E.K. Rodriguez) [152] приведен пример, в котором
показано, что рост тела становится причиной возникновения и распространения остаточных напряжений, в результате чего изменяется форма тела. Исследуемое в работе тело – цилиндрическая трубка из несжимаемого изотропного упругого материала, растущая в окружном направлении. Реальный случай, к которому в максимальной степени приближен данный тип роста – гипертрофия (утолщение стенки) желудочков сердца вследствие заболевания,
связанного с хронической объемной перегрузкой [109, 114].
Расчетная область характеризуется следующими параметрами:
ρ = R, ϕ = K Q ( R )Θ, ζ = Z .
(1.11)
В момент времени t 0 в теле нет напряжений, и его конфигурация B(t 0 )
описывается координатами ( R, Θ, Z ) . В следующий момент времени t1 за
счет градиента ростовой деформации Fg конфигурация тела изменяется и
описывается координатами ( ρ , ϕ , ζ ) . В момент времени t1 расчетная область
28
также свободна от напряжений. Параметр K Q (R ) – коэффициент кольцевого
роста, который зависит от радиуса, но для упрощения принят константой.
Значения K Q > 1 стимулируют рост, при K Q < 1 возникает резорбция.
По причине роста тело из конфигурации B(t 0 ) переходит в конфигурацию B' (t1 ) . После того, рост произошел, стенка цилиндра рассекается. Конфигурация рассеченной области обозначена B (t1 ) . При K Q = 0,9 нарушение
непрерывности материала, возникшее при рассечении, увеличивается (рисунок 1.4 а). При K Q = 1,1 происходит наложение материала отрезанных концов
области (рисунок 1.4 б).
а)
б)
Рисунок 1.4. Модель ростового деформирования цилиндрической трубки
а) Рост при K Q = 0,9 ; б) Рост при K Q = 1,1
а)
б)
Рисунок 1.5 Напряжения в стенке цилиндрической трубки
а) Рост при K Q = 0,9 ; б) Рост при K Q = 1,1
29
На рисунке 1.5 представлено распределение напряжений вдоль стенки
сосуда при равномерной резорбции (а) и равномерном росте (б). Кривая 1 характеризует распределение остаточных напряжений по толщине стенки сосуда, кривая 2 – радиальные напряжения в ненагруженной стенке. При резорбции во внутренней стенке остаточные напряжения сжимающие, во внешней
стенке – растягивающие. В результате такого распределения напряжений открытый цилиндр разворачивается при резорбции и «загибается» с наложением материала стенок при росте.
Таким образом, в данном исследовании появление напряжений в растущем объеме объясняется как результат несовместного роста отдельных его
частей. Сохранение целостности приводит к необходимости создания ростовых напряжений. Такой подход к теоретическому пониманию ростовых
напряжений позволяет отнести их к остаточным напряжения, что и делается
в работе.
1.3.4.
Модели, учитывающие зависимость скорости роста от
механических напряжений
Для описания свойств материала в моделях, которые описаны в данной
главе, вводится понятие «растущего континуума», т.е. материала, допускающего ростовое деформирование наряду с известными типами деформаций
механики сплошной среды (упругой или неупругой) [70]. Под ростовой деформацией подразумевается неупругое изменение объема, формы и структуры частиц среды, обусловленное приращением и перераспределением ее массы [70, 126].
Модель F.Hsu
Впервые динамическая модель растущего континуума была предложена F.H. Hsu [126] в его работе «Влияние механических сил на форму растущего упругого тела» В ходе экспериментов, провидимых Hsu на тканях растений и животных, была установлена зависимость скорости роста тела, т.е.
30
скорости изменения его формы от прилагаемых к телу объемных и поверхностных сил.
В цитируемом исследовании сделано предположение, что конечный
элемент материала растет тогда и только тогда, когда масса, заключенная в
этом элементе, не является константой, ростовая деформация положительна
и имеет место выражение:
ε g > 0, ∀c ∈ R 3 ,
(1.12)
Форма живых организмов (органов) является важнейшим элементом их
биологического функционирования и является результатом биологических,
химических и физических изменений, происходящим с организмом в различных временных и пространственных масштабах [126]. Если принять, что тело
– это область материальных частиц, которая может быть описана гладкой
функцией в трехмерном Евклидовом пространстве, то форма тела, его конфигурация, определяется положением материальных частиц в пространстве
выражением:
x = c( X ),
(1.13)
где X – материальная частица, x – расположение материальной частицы в
Евклидовом пространстве, c – гладкая функция, определяющая форму тела.
В общем случае, выражение, определяющее изменение формы тела при
его росте записано в виде
c = f (t , ρ , ρ& , s, s& )
(1.14)
где t – время, поскольку ростовые свойства зависят от возраста материала,
ρ , ρ& – плотность материала и изменение плотности за время t , s, s& – напряжения и изменения напряжений в материале за время t.
Поскольку под ростом понимается достаточно медленный процесс, силами инерции пренебрегают, чем объясняется отсутствие инерционных параметров. Выражение (1.14) определяет поведение растущего материала. Вы-
31
бор начального момента ( ρ , s ) t =0 произволен, поскольку рост тела определяется текущими механическими условиями и не зависит от истории нагружения. Случай, когда напряжения и изменение напряжений s, s& равны нулю,
означает нормальный рост.
Масса понимается как абсолютная непрерывная функция от объема тела и всегда положительна [126, 152]. Выражение, связывающее массу с конкретной конфигурацией тела, может быть записано в виде:
M c = ∫ ρd (Vol ),
(1.15)
c
где ρ – плотность материала (неотрицательна) и принимается постоянной
величиной.
Изменение массы тела за время t может быть представлено как уравнение баланса масс для данной конфигурации:
d
[ ∫ ρ ⋅ d (Vol )] = − ∫ f ⋅ d (area) + ∫ g ⋅d (Vol ),
∂c
c
dt c
(1.16)
где первое слагаемое в левой части выражения обозначает приток массы
сквозь границу ∂c , второе – источник массы внутри тела, g – функция, отвечающая за продуцирование массы в единице объема.
Поскольку подробного изучения механизмов накопления массы в растущем теле не выявлено, то учитывается лишь тот факт, что с ростом тела
растет и масса [126, 152]. Граница тела рассматривается как непроницаемая.
Изменение массы генерируется источником, находящимся в теле, и имеет
место выражение:
d
d

ρ ⋅ d (Vol ) + ρ [d (Vol )] − ∫ g ⋅d (Vol ) = 0
c  dt
dt
 c
∫
где
d
[d (Vol )] = (divx& )d (Vol ) – скорость изменения объема тела.
dt
(1.17)
32
Если плотность материала постоянна, и функция с в (1.13) непрерывно
дифференцируема по пространственным координатам, то знак интегрирования в выражении (1.17) можно опустить [126, 152] и записать в виде:
dρ
+ ρ (divx& ) = g ,
dt
(1.18)
где g – мощность источника.
Рост тела однородный, если мощность источника массы (1.16), плотность и ориентация новой массы одинаковы для всех элементов тела. При
нормальном росте мощность источника может быть определена экспериментально. Рост элемента изотропный тогда и только тогда, когда скорость изменения деформации одинакова в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Рост тела за время t собственный (естественный), если в отсутствии
внешних воздействий за время t и до этого времени в теле не было и не возникли напряжения. Данный тип роста зависит исключительно от «ростовых»
свойств материала, входящих в его определяющие соотношения. Рост тела за
время t вынужденный, если до времени t в теле не было напряжений, за время t при действии внешних сил напряжения возникли, а после снятия сил
напряжения обратились в нуль. Исходя из определений роста, можно сделать
вывод, что в растущем теле напряжения не могут возникнуть самостоятельно
[126]. Для линейно-упругого тела вынужденный рост определяется текущими
механическими условиями и, как было сказано ранее, не зависит от истории
нагружения [126].
Далее в работе приводятся некоторые рассуждения, о зависимости ростовых свойств материала от возраста. Иными словами предполагается, что
влияние напряжений на ростовые свойства материала зависит не только от
механических свойств, но и от возраста материала. «Эффективные напряжения» в материале могут быть записаны как произведения механических
напряжений и функции времени. С учетом предположения, что нормальный
33
рост – это функция времени и постоянстве плотности выражение (1.14) может быть записано в виде:
d (t ) = A1 (t ) + A2 (t ) s + A3 (t ) s&.
(1.19)
В общем случае постановка задачи изотропного роста линейноупругого материала с постоянной плотностью записана в виде:
Уравнение баланса массы:
g = ρ x& ij ,
(1.20)
sij , j + ρ f i = 0,
(1.21)
Уравнения равновесия:
Определяющие соотношения материала:
d ij = δ ij ( A + BI1 + BJ1 ) + GS ij + KS& ij .
(1.22)
Система уравнений (1.20)-(1.22) становится замкнутой при заданной плотности, граничных и начальных условиях и параметрах роста.
Модель Штейна А.А.
Данная модель роста [159] является частным случаем модели роста,
предложенной F.Hsu [126]. Отправной точкой является декомпозиция тензора скорости полной деформации на упругую и ростовую (неупругую) компоненты:
ε& = ε& e + ε& g .
(1.23)
Выражение для тензора скорости ростовой деформации представимо в виде:
ε& g = A + Bσ.
(1.24)
При этом упругая компонента подчиняется закону Гука:
ε e = Kσ.
(1.25)
34
В общем случае выражение для тензора скорости ростовой деформации может быть записано в виде, аналогичном (1.22):
ε&kl = Akl + Bklmnσ mn +
d
( Bklmnσ mn ),
dt
(1.26)
где A kl – параметр собственного роста, Bklmn – оператор, учитывающий влияние напряжений на скорость деформации роста. Напряжения в выражении
(1.26) удовлетворяют уравнениям равновесия (1.21).
Предполагается, что деформации настолько малы, что производной по
времени можно пренебречь и принять параметры материала постоянными
для рассматриваемого интервала времени. В случае изотропии материала и
предположения о малости деформаций выражение (1.26) можно упростить и
записать в виде:
ε&kl = Aδ kl + Bσ kl ,
(1.27)
где δ kl – символ Кронекера, A – параметр собственного роста, B – параметр,
отвечающий за влияние напряжений на ростовую деформацию [70].
В работе [159] указывается на положительность величины A > 0 в период интенсивного роста у детей. В соответствии с экспериментами в широком диапазоне нагрузок на многих биологических объектах наблюдается
ускоряющее влияние растягивающих (и, наоборот, замедляющего воздействия сжимающих) осевых напряжений на рост в том же направлении [70] и,
соответственно, положительность величины B > 0 [70].
В работе Масич А.Г. [70], исследование которой посвящено моделированию ортопедического лечения детей с расщелиной нёба, параметры соотношения (1.27) определены экспериментально, и приняты в данной работе
в качестве исходных данных. Значения параметров приведены в таблице 2.2 в
главе 2.
35
1.4.
1.4.1.
Модели управления биологическим ростом
Модель управления растягивающими усилиями при
дистракционном удлинении костей
Моделируемый процесс [61]. Единственным способом реально удлинить ноги на 10 см, является операция компрессионно-дистракционного
остеосинтеза. Далее приведена краткая последовательность действий при
данной операции и схематическое изображение процесса. Под общим наркозом производится контролированный медицинский перелом кости в заданном месте, т.е. кость рассекается (остеотомия). После остеотомии костные
края сводят так, чтобы между ними оставался зазор в один миллиметр, и
фиксируют их в этом положении с помощью стержней. На ногу накладывается одна из современных модификаций аппарата Илизарова. Стержни проходят сквозь кость и закрепляются в округлой раме, закрепляющейся на ноге.
В этой раме есть ключ, с помощью которого регулируется расстояние между
верхней и нижней частью удлиняемого сегмента. Начиная со следующего
дня после операции, ключ поворачивается на четверть оборота в сутки так,
чтобы суточное продвижение составляло один миллиметр, и так до тех пор,
пока кость не удлинится на заданный размер.
Рисунок 1.6. Схематическое изображение дистракционного остеогенеза
Кость (1, рисунок 1.6) растягивается, а в увеличивающемся зазоре, заполненном костным регенератом (3, рисунок 1.6), образуются новые остеоциты (2, рисунок 1.6), создавая новый участок кости. Таким образом, приме-
36
нение аппарата внешней фиксации позволяет управлять ростом и дифференцировкой костного регенерата, образующегося между костными отломками.
Управляемые параметры. В центральной части костного регенерата
находится зона роста. При благоприятных условиях (нормальная клеточная
активность, нормальное поступление кальция через сеть кровеносных сосудов) в течение длительного времени сохраняется зона роста. При этом подвергшиеся окостенению периферические участки из нее исключаются: соединительно-тканные перемычки (4, рисунок 1.6) растягиваются внешними
усилиями, что создает условия для откладки синтезированных клеток и
остификации. Основной задачей математического моделирования является
определение клеточного состава и длины зоны роста в зависимости от режима нагружения, а также нахождение оптимального режима, соответствующего длительному поддержанию стационарной зоны роста.
Постановка задачи управления. Расчетная область приведена на рисунке 1.7.
Рисунок 1.7. Схема модельного деления костного регенерата на зоны
Реологическое уравнение имеет вид:
∂v
σ
d
1
=
+ (
σ ),
∂x θ (c, ρ ) dt E (c, ρ )
(1.28)
где x – одномерная пространственная координата, v – скорость перемещения среды, σ – осевое растягивающее напряжение. Предполагается, что
упругий модель E и коэффициент вязкости θ зависят от концентрации каль-
37
ция в матриксе c , отвечающей за минерализацию, и плотности матрикса в
среде ρ . Кроме этого, делается упрощающее предположение о постоянстве
плотности. Далее вводится критическое значение концентрации кальция c * ,
которое приводит к отвердению ткани и остановке растяжения
1 / θ(c) = n (c) при c < c *
1 / θ(c) = 0 при c > c*,
(1.29)
где n (c) – некоторая невозрастающая функция.
Поступление кальция по сети кровеносных сосудов характеризуется
плотностью ρ v и описывается как движение с постоянной относительно среды скоростью Θ . Движение осуществляется с двух сторон зоны роста в
среднюю часть. Рассмотрение ведется при 0 ≤ x ≤ L(t ) , где L(t ) – полудлина
области, занятой регенератом. Тогда
ρ v = 0 при x < s( t )
ρ v = ρ = const при x > s( t ),
(1.30)
где x = s( t ) – является границей, содержащей и не содержащей сосуды тканей.
Кинетика кальция рассматривается как совокупность двух процессов:
поступления кальция из крови в тканевую жидкость и перехода кальция в
кристаллическое состояние. Зависимость для скорости кальцификации в
двухфазной среде описывается уравнениями:
∂c ∂ (cv)
+
= ζρ v (c eq − c ),
∂t
∂x
(1.31)
∂L
= v 0 ( t ),
∂t
(1.32)
∂s
= −Θ + v(s, t ),
∂t
(1.33)
38
где c eq > c * – некоторая равновесная концентрация кальция в матриксе, при
которой процесс кальцификации прекращается, v 0 (t ) – скорость перемещения внешних границ регенерата. Плотность матрикса постоянна и включена в
коэффициент ζ .
Численные расчеты и результаты. Численные расчеты позволили автору цитируемого исследования рассмотреть различные режимы дистракции:
при постоянной скорости растяжения и при постоянном растягивающем
напряжении. В обоих режимах растяжения при малом изменении скорости
растяжения длина зоны роста либо неограниченно возрастала, либо стремилась к нулю. Таким образом, расчеты показали, что для замедления режима
неустойчивости необходим оптимальный режим растяжения, отслеживающий развивающие напряжения.
1.4.2.
Модель управления ростом нёбных фрагментов при
ортопедическом лечении врожденной расщелины нёба
Впервые биомеханическая модель роста костной ткани человека была
предложена в исследовании Масич А.Г [69], посвященном моделированию
ортопедического этапа лечения несращенного костного нёба у детей. Цитируемое исследование проводилось совместно с врачами ортопедами научнопрактического центра «Бонум» по реабилитации детей с различными врожденными патологиями. Ортопедическое лечение, проводимое детям в раннем
возрасте, нацелено на сближение разобщенных костей нёба до хирургического вмешательства. Ведущим этапом методики лечения в «Бонум» является
механическое давление, оказываемое со стороны ортопедической пластины
на недоразвитые нёбные фрагменты. Пластина является «пассивным» ортопедическим устройством (классификация ортопедических аппаратов приведена в главе 3). При применении ортопедической пластины фрагменты твердого неба подвержены давлению, производимому силой адгезии контактирующей пластинки за счет давления языка. Клинические наблюдения пока-
39
зывают, что действие языка при определенных параметрах устройства приводит к уменьшению расщелины [85].
В работе Масич А.Г. [70] представлена биомеханическая модель, позволяющая рассчитать поведение растущих фрагментов нёба под нагрузкой.
Модель фрагментированного твердого нёба представляет собой изгибаемую
балку, защемленную на одном конце и подверженную действию силы на
другом (рисунок 1.8 а). Для описания скорости деформации костной основы
нёба применяется модель Штейна А.А. [60], учитывающая ростовые деформации в зависимости от напряжений:
а) Изгибаемая растущая балка
б) Пояснение к задаче оптимизации
Рисунок 1.8. Биомеханическая модель костного нёба
Для записи уравнений начально-краевой задачи растущей балки рассмотрена
ось балки в плоскости xOy . Криволинейные координаты (ζ ,η ) связаны с
осью балки, так что ось η в каждой точке оси балки перпендикулярна ζ .
Определяющее соотношение и кинематические соотношения записаны в виде:
ξ (ζ ,η ) = A(η ) + Bσ (ζ ,η ),
(1.34)
ξ (ζ ,η ) = ξ 0 (ζ ) + χ& (ζ )η ,
(1.35)
где ξ 0 (ζ ) – скорость деформации, χ& (ζ ) – скорость изменения кривизны.
40
Изгибающий момент M A (ξ ,η ) и осевая (продольная) сила T (ξ ,η ) выражены
из системы уравнений равновесия для отсеченного участка AB балки и имеют вид
T (ζ ) = Fx cos γ + Fy sin γ ,
M A (ζ ) = Fy ( x B − x A ) − Fx ( y B − y A ),
(1.36)
В цитируемом исследовании описан алгоритм идентификации параметров определяющего соотношения (1.31). Для того чтобы найти величину
параметров А и В, т.е. максимального приближения начальной конфигурации
балки к конечной (рисунок 1.9), решена задача оптимизации. Конфигурация
области получена с помощью гипсовых отпечатков нёба, сделанных у пациентов. Целевая функция имеет вид:
s
Ф( А, B ) = ∫ ∆r 2 ( x, A, B)dx → min,
0
A, B
(1.37)
r r
r
r
где ∆r = r (ζ ) − r ( s (ζ ), t end ) , r (ζ ) – конфигурация экспериментальной облаr r
сти Ω Э , r = r ( s, t end ) – конфигурация расчетной области Ω Р .
Также в работе решена задача о проектировании ортопедического аппарата, который позволяет максимально сблизить разобщенные фрагменты в
течение заданного периода лечения. Параметры оптимизации – длина области контакта l ( мм) и величина силы Pn ( Н ) [70]. Расчетная схема представлена на рисунке 1.9. Определяющее соотношение для ростовой деформации
описывается выражением (1.27).
Рисунок 1.9. Схема разобщенного нёба
41
Для расчетной области, представленной на рисунке 1.9, необходимо найти
l , Pn ∈ R 2 , такие, что:
I (l , Pn ) = u x (l , Pn ) − c l→

min,
, Pn
(1.38)
u y (l , Pn ) ≤ 0,
(1.39)
L
, 0 ≤ Pn ≤ Pкрит ,
2
(1.40)
при ограничениях:
0≤l≤
где c – половина ширины расщелины, L – длина отростка.
Выражение (1.39) накладывает ограничение на направление перемещений
нёбного отростка – при лечении он должен опуститься. Величина силы Pn
(1.40) должна быть такой, чтобы не допустить повреждений при ее приложе-
нии к телу [70].
Поставленная задача (1.38) – (1.40) решена аналитически: для вычисления пятна контакта l опт и величины давления Pn
опт
был найден глобальный
минимум функции I (l , Pn ) при заданной ширине расщелины, т.е. найдены величина и направление силы, создаваемой ортопедическим аппаратом. В работе приведено подробное описание влияния величины и направления контактного давления в зависимости от длины области контакта на изменение
конфигурации отростка [70]. Делается вывод, что направление контактного
давления существенным образом влияет на характер роста нёбных отростков.
1.4.3. Модель активного ортопедического устройства
К настоящему времени для исправления врожденного несращения нёба
у детей предложены новые, более эффективные модификации ортопедических устройств, так называемые «активные» ортопедические аппараты Их
конструкция позволяет создавать в костной ткани дополнительные растяги-
42
вающие усилия и таким образом ускорять рост разобщенных нёбных фрагментов в сторону сближения.
Биомеханическое обоснование конструкции современного ортопедического аппарата изложено врачом-ортодонтом Егоровой М.В. в единственной
работе по медицине [37]. В цитируемом исследовании представлена упрощенная математическая модель системы ортопедический аппарат – костное
нёбо пациента раннего возраста (рисунок 1.10).
Рисунок 1.10. Схема разобщенного нёба
Статистическая обработка результатов экспериментов по определению
свойств костной ткани, показывает зависимость между модулем упругости и
возрастом, которая выражается формулой:
E = (0,566 lg Age − 0,003) ⋅ 10 4
(1.41)
где E – модуль упругости (МПа), Age – возраст (число месяцев).
Усилия, создаваемые моделируемым устройством, подбираются так,
чтобы максимально сблизить разобщенные нёбные кости без повреждений
ткани. Однако в модели не учитываются ростовые свойства материала, которые можно «задействовать» для сближения разобщенных нёбных костей. В
данном случае сближение нёбных фрагментов осуществляется исключительно за счет их растяжения.
43
1.5. Выводы по главе
Изучение проблемы биомеханического моделирования ростовых процессов в тканях, анализ публикаций, в которых предложены различные модели роста живых тканей и модели управления данным процессом, позволяет
сделать следующие выводы:
1.
Рост является общебиологическим свойством живой материи и
входит в число основных составляющих биологического развития. Тела в
процессе своего развития изменяют свою форму вследствие роста. Многочисленные факты указывают на то, что механические силы оказывают существенное влияние на темп роста и формирование структур тканей.
2.
В
общем
случае
рост
тела
предполагает
три
взаимно-
протекающих процесса: изменение объема, наращивание нового материала
на поверхности и внутреннюю перестройку. Под биологическим ростом принято понимать распределенное по всему объему приращение массы, то есть
объемный рост.
3.
Существует большое количество экспериментальных исследова-
ний роста живых тканей, проводимых в прошлом столетии. Однако публикации современных ученых по данной теме представлены в ограниченном количестве и посвящены росту растений.
4.
Существуют различные подходы к математической интерпрета-
ции процесса роста живой ткани. Математическая формализация представлений о растущей среде представлена механическими и физико-химическими
моделями роста живых тканей. В настоящее время физико-химические модели и модели, учитывающие влияние остаточных напряжений на скорость роста сложны в реализации, поскольку параметры модели не представляется
возможным определить с достаточной точностью.
5.
Для решения практических задач ортопедии, связанных с исправ-
ления врожденных патологий развития костных структур у детей требуются
математические модели управления ростом. Существующие математические
модели слишком упрощенные и их мало.
44
ГЛАВА 2. Постановка и решение задачи ростового
деформирования биологического тела
2.1.
Определяющее соотношение ростовой деформации
Термин «собственная деформация» используется для унификации
подхода к решению задач о моделировании и управлениями неупругими деформациями независимо от природы деформирования. Собственная деформация (eigenstrain) есть неупругая деформация любой природы, которая может быть температурной деформацией, пьезоэлектрической деформацией,
деформацией из-за фазовых переходов, ростовой деформацией и деформацией при перестройке в живых тканях и т.д. Согласно гипотезе Рейсснера
(1931 г.) в геометрически линейном теле тензор полной деформации в любой
точке тела может быть представлен в виде суммы тензора упругой деформации ε e , находимого по закону Гука, и тензора собственной деформации ε * ,
т.е.:
ε = ε e + ε* ,
(2.1)
Предполагается, что собственные деформации ε * можно найти отдельно, используя соответствующие определяющие соотношения [89]. Например, для
температурной деформации такое соотношение имеет вид: ε* = α∆T (α –
тензор коэффициентов температурного расширения [89], ∆T – изменение
температуры, отсчитываемое от состояния, в котором ( σ = 0, ε = 0, u = 0 )), для
ростовой деформации необходимо использовать соотношение (1.27).
В работах [52, 73, 89, 90] детально исследованы общие свойства моделирования собственных деформаций, доказана теорема о декомпозиции собственной деформации на свободную от напряжений часть и составляющую,
не вызывающую полной деформации системы. Показано, что теорема о декомпозиции дает возможность независимого управления напряжениями и
деформациями. В работе [73] представлен теоретический анализ, позволив-
45
ший связать собственные деформации, не создающие напряжений в теле, и
силы: записана теорема, согласно которой тензор собственной деформации
ε* (r ) является тензором собственной деформации, свободной от напряжений
тогда и только тогда, когда существуют такие объемные силы b и поверхностные
силы
t,
которые
производят
аналогичную
деформацию
ε(r ) = ε* (r ), r ∈V в линейно-упругом теле [115].
Применительно к данной задаче, в рамках малых деформаций, тензор
полной деформации будет разложен на тензоры упругой ε e и ростовой деформаций ( ε = ε e + ε g ). Для описания ростового деформирования принята механическая модель, согласно которой выражение для скорости ростовой деформации имеет вид:
ξ g = A + B ⋅ ⋅σ, r ∈ V ,
(2.2)
где A − тензор врожденного (генетического) роста, B − тензор, отражающий
влияние напряжений на деформацию роста, σ − тензор макронапряжений, V−
область, занимаемая телом.
Ростовая деформация ε g , соответствующая тензору деформации скорости ξ g (2.2) характеризует изменение конфигурации тела, вызванное процессами роста, и может быть рассмотрена как один из видов собственной деформации. В общем случае построение тензоров A и B требует глубокого
теоретического и экспериментального исследования. В работе Масич А.Г.
[70], принято упрощающее допущение об изотропии материала и роста. В
возрасте до трех лет костная ткань ребенка не имеет упорядоченной трабекулярной структуры и может быть рассмотрена как изотропный линейноупругий растущий материал [8]. Из принятой гипотезы об изотропии материала и роста следует, что тензоры должны быть изотропными. В таком случае
компоненты тензоров не зависят от поворота или отражения координатных
осей, и соотношение (2.2) можно упростить [69].
46
Известно, что среди тензоров второго ранга существует только один
линейно-независимый изотропный тензор [30]:
Aij = Aδ ij ,
(2.3)
где δ ij – символ Кронекера.
Среди тензоров четвертого ранга существует три линейно-независимых
изотропных тензора:
Bijkl = δ ij δ kl ,
Bijkl = δ ik δ jl ± δ il δ jk ,
(2.4)
поэтому мы запишем тензор B в следующем виде:
Bijkl = λδ ij δ kl + µ (δ ik δ jl + δ il δ jk ) + µ1 (δ ik δ jl − δ il δ jk ),
(2.5)
Вычислим двойную свертку тензора (2.5) и тензора напряжений:
(B ⋅ ⋅σ )
ij
= Bijkl σ kl = λδ ij δ kk + µ (σ ij + σ ji ) + µ1 (σ ij − σ ji ),
Bijkl σ kl = λδ ij δ kk + 2 µσ ij ,
(2.6)
Предполагая симметрию тензора напряжений, и вводя обозначение
σ kk = σ 11 + σ 22 + σ 33 = I1 (σ ) – первый инвариант тензора напряжений. В результате скорость деформации роста принимает вид:
ξ g ij = Aδ ij + λδ ijσ kk + 2µσ ij .
(2.7)
В работе [140] сделана упрощающая гипотеза (коэффициент λ положен равным нулю) и соотношение записано в виде:
ξ g = AI + Bσ, r ∈ V ,
(2.8)
где A и B − параметры материала.
Появление ростовой деформации в системе, вообще говоря, может изменить напряжения в системе. Напряжения, создаваемые собственной деформацией при отсутствии внешних сил, называют собственными напряжениями. Если тело свободно от опор, то собственные напряжения будут самоуравновешены, и тогда их называют остаточными напряжениями. В боль-
47
шинстве исследований, посвященных формулированию интерпретации законов роста костной ткани как функции напряжений и деформаций, зафиксировано, что поле деформации роста твердых тканей предполагает совместность
в любое время, и поэтому свободно от напряжений [126, 131, 138, 140, 162].
Недостатком формулы (2.2) является то, что оно, позволяя описать изменение конфигурации тела, допускает возникновение собственных напряжений,
что противоречит описанным экспериментальным результатам. Тогда для
моделирования ростовых деформаций нужна формулировка, исключающая
возникновение собственных напряжений в процессе роста. Для этого упрощение соотношения (2.2) сделано таким образом, чтобы тензор напряжений σ
был заменен тензором упругих деформаций ε e , и определяющее соотношение для деформации скорости роста ξ g принято в виде:
ξ g = AI + Mε e , r ∈V ,
(2.9)
где A, M = В / E – константы, вычисленные в исследовании Масич А.Г [70], Е
– модуль упругости материала.
Формулировки (2.8) и (2.9) равнозначны, однако последняя допускает
возможность развития ростовых деформаций без изменения напряжений.
Далее показано, что ростовая деформация, соответствующая формуле
(2.9) не вызывает собственных (остаточных) напряжений в ткани. В работе
[52] доказана теорема, что для любой деформации ε g ∈ H u можно подобрать
силы, создающие в таком же упругом теле деформацию ε e = ε g . Приращение
ростовой деформация за малое время dt, соответствующая формуле (2.9) может быть найдена как:
ξ g dt = AIdt + Mε e dt
(2.10)
Слагаемое AIdt формально аналогично равномерному температурному
расширению, не будет вызывать напряжений в теле при определенных граничных условиях. Что касается слагаемого Mε e dt , то в данном случае приме-
48
нима теорема о собственной деформации свободной от напряжений [73]. Тогда слагаемое Mε e dt также не изменит напряжения. Отсутствие остаточных
напряжений позволяет заменить интегрирование на каждом временном шаге
произведением на время и записать определяющее соотношение в виде:
ε g = AIT + MTε, r ∈ V ,
(2.11)
где A, M – константы роста, T – время.
2.2. Свойства материалов модели
Достоверность данных о плотности и достаточной независимости механических свойств кортикальной кости от индивидуальных особенностей
человека подтверждена в рамках популяционных исследований. Эти данные
неоднократно применялись при расчетах различных биомеханических конструкций минерализованных тканей [94].
Упругие характеристики материалов
Упругие свойства кости определяются ее вещественным составом и
структурой. Костная структура изменяется с возрастом, адаптируется и модифицируется в зависимости от окружающей механической обстановки. На
момент рождения человека его костная ткань челюстно-лицевой области
представляет собой однородную структуру. Формирование остеонных структур начинается в большинстве случаев с шестого месяца жизни. Преимущественные направления трабекул формируются к трехлетнему возрасту [8]. В
работах [37, 94] определено соответствие между упругими характеристиками
кости и ее плотностью, плотностью кости и возраста человека.
В диссертации используются данные о свойствах материала костной
ткани, опубликованные в исследовании [37]. На рисунке 2.11 приведены результаты испытаний образцов костной ткани по определению модуля упругости в зависимости от возраста пациента. Испытания в [37] проводились с
использованием электротензометрического способа определения деформа-
49
ции в лаборатории сопротивления материалов на кафедре «Материаловедение» МАТИ им. К.Э. Циолковского.
Рисунок 2.11. Зависимость модуля упругости костной ткани от возраста пациента
Как отмечают авторы [37] коэффициент поперечной деформации с незначительными индивидуальными отклонениями колеблется около 0,35 и не зависит от возраста.
На сегодняшний день, разрушающие методы определения свойств с
образцов трупов не могут полностью удовлетворить потребности современных научных исследований. Наиболее рациональным способом определения
свойств живых тканей видится компьютерная томография. В таком случае
механические свойства тканей определяются посредством условных рентгенологических показателей – чисел HU (Hounsfield). Существуют методики
определения механических характеристик живых тканей посредством аналитических зависимостей между числами HU, реальной плотности тканей, предела прочности и модуля упругости [92]. В любом случае проведение томографических исследований применительно к новорожденным представляет
собой сложность и в настоящее время публикаций, посвященных определению свойств детской костной ткани, автором найдено не было.
Физико-механические характеристики материалов модели приведены в
таблице 2.1.
50
Таблица 2.1.
σ sc ,
σ sp ,
0,35
МПа
1,48
МПа
0,55
№
Материал
1
Кость
Е,
МПа
43,7
2
Клей
0,07
0,45
100
10
3
Пластмасса
30
0,33
0,99
0,3
ν
Ростовые свойства костной ткани
На сегодняшний день решение конкретных биологических задач, связанных с моделированием ростовых процессов затруднительно ввиду сложности практического определения параметров, описывающих состояние и
поведение растущего тела. В исследованиях А.А. Штейна указывается на положительность параметра собственного роста [159]. Обобщение данных
наблюдений об ускоряющем влиянии растягивающий напряжений на рост
[40, 46, 70, 85, 93, 126] свидетельствует о положительном значении второго
слагаемого в выражении (2.11). На сегодняшний день значения параметров
роста определены в исследовании Масич А.Г. [70] для материала разобщенных фрагментов твердого нёба детей с врожденным заболеванием «Волчья
пасть». В ее исследовании конфигурация нёбных отростков с контрольнодиагностических моделей была представлена в виде трехмерного массива точек. Далее решалась задача математической идентификации параметров роста с учетом реального времени лечения [70], начальной и конечной конфигурации отростков и силой, развиваемой ортопедическим аппаратом [70].
Вычисленные значения параметров роста сведены в таблицу.
Таблица 2.2. Параметры роста
Возраст
А (мес-1)
M (мес-1)
0 мес – 1 год
0,020 – 0,025
0,48
1 год – 1,5 года
0,0013
9,12
1,5 года – 3 года
0,0010
13,36
51
Интенсивное развитие верхней челюсти наблюдается в первый год
жизни, с этим связано большее значение параметра, отвечающего за собственный рост в возрасте до года по сравнению с аналогичным в более старшем возрасте [31, 85]. Напротив, влияние механических напряжений в старшем возрасте значительно выше, по сравнению с аналогичным в младшем
возрасте [37].
Поскольку максимальное значение главных растягивающих напряжений в костной ткани составляет σ 1 = 0,55 МПа , то положительная скорость
ростовой деформации, в результате которой происходит рост тела, составляет ξ g ≤ 0,17 мес −1 . Отрицательное значение скорости ростовой деформации
при увеличении размеров тела вследствие его роста, недопустимо.
2.3.
Постановка задачи ростового деформирования изотропного
линейно-упругого тела
Рассмотрим
область
V
с
границей
S.
Замыкание
V =V ∪ S ,
S = S u ∪ Sσ . ∪ S p принадлежит трехмерному евклидову пространству E 3 , т.е.
V ∈ E 3 . На границе Su в каждой точке заданы три компоненты вектора пере-
мещений. На границе Sσ в каждой точке заданы три компоненты вектора
напряжений. На границе S p в каждой точке заданы три компоненты вектора
сил. Геометрические размеры области можно оценить по координатам точек,
приведенным на рисунке 2.12. Ввиду малости размеры представлены в мм.
Рисунок 2.12. Расчетная область
52
Тогда постановка начально-краевой задачи определения ростовых деформаций в упругой области примет следующий вид:
1) Уравнение статического равновесия имеет место внутри области:
∇ ⋅ σ = 0, r ∈ V ,
(2.12)
2) Деформации достаточно малы и аддлитивны:
ε = ε e + ε g , r ∈V
(2.13)
3) Упругая деформация связана с напряжениями законом Гука:
σ = C ⋅ ⋅ε e , r ∈ V ,
(2.14)
4) Определяющее соотношение:
ε g = AIT + MTε e , r ∈ V ,
(2.15)
5) Соотношение деформация-перемещение записывается в рамках геометри-
чески линеаризованной теории:
ε=
1
(u∇ + ∇u ), r ∈ V ,
2
(2.16)
n ⋅ σ = 0, r ∈ Sσ ,
(2.17)
6) Граничные условия:
u x = 0, τ xy = 0 r ∈ S u ,
u = 0, ( x = y = 0),
(2.18)
В итоге система уравнений (2.12) − (2.18) есть система дифференциальных уравнений начально-краевой задачи определения ростовой деформации в упругой системе.
53
2.4.
Инструменты моделирования ростового деформирования в ANSYS
На сегодняшний день математические модели биологических систем,
реализованные в конечно-элементных программных комплексах, находят все
более широкое применение [39, 41, 48, 75]. Разумеется, моделирование системы в рамках того или иного конечно-элементного пакета, не исключает
корректной математической постановки задачи [75]. Несмотря на то, что математическая постановка медицинских задач не всегда очевидна, направление вычислительной медицины, которое только начинает развиваться в России, является очень перспективным [37, 52, 75]. Компьютерная реализация
виртуальных операций и их возможных результатов, построение трехмерных
моделей исследуемых систем и их численное исследование представляют
большой интерес для клинической практики [31, 37].
Поскольку одной из задач данной диссертации является математическое моделирование растущих нёбных фрагментов, остановимся подробнее
на реализации данного исследования в рамках конечно-элементного пакета
ANSYS.
Понятие сопряженного анализа в ANSYS
Основной сложностью моделирования в рамках любого вычислительного программного комплекса является ограниченное количество моделей
деформирования. Поскольку моделирование ростового деформирования в
том виде, в котором оно представлено в данной работе, в ANSYS не предусмотрено, как собственно и в любом другом конечно-элементном пакете, то
было принято адаптировать имеющиеся в ANSYS функции для решения данной задачи.
Важным является допущение о единоообразии математического описания собственных деформаций [88, 89, 90]. Стационарное тепловое поле не
вызовет термических напряжений, аналогично тому, как естественный рост
не вызывает биологических напряжений [126]. Тепловое моделирование поддерживается многими модулями ANSYS [11, 17, 48]. В основе теплового ана-
54
лиза лежит уравнение теплового баланса, полученное в соответствии с принципом сохранения энергии [16]. Учет механического воздействия производится в рамках структурного анализа. Таким образом, можно говорить о сопряженном анализе, учитывающем взаимодействие между двумя инженерными дисциплинами (анализ тепло – механическое напряжение). Процедура
сопряжения может быть реализована либо как два последовательных анализа, либо непосредственно в рамках одного общего анализа с использованием
сопряженных элементов [48]. При последовательном способе результаты решения первого анализа используются в качестве нагрузок для второго: узловые температурные напряжения из термального анализа задаются в качестве
нагрузок «сила на тело» в последующем анализе напряжений. Сопряженные
элементы содержат все необходимые степени свободы. Предпочтительность
выбора между последовательным и прямым типом анализов имеет место в
случаях с высокой степенью нелинейности. Применительно к задачам, решаемым в данной диссертации, способ сопряжения значения не имел.
Понятие начального деформированного состояния в ANSYS
Для некоторых элементов в ANSYS есть функция «Inistate», с помощью которой можно задать в элементе начальное напряженное (или деформированное) состояние. Для того, чтобы упругая энергия системы не менялась при заданном начальном состоянии, необходимо имеющуюся конечноэлементную сетку деформировать в новое положение функцией «Upgeom».
Начальное деформированное состояние записывается в файле деформаций с расширением «.ist», который имеет определенную структуру, представленную на рисунке 2.13.
55
Рисунок 2.13. Структура файла «.ist»
Для решения задачи, каждому элементу массива файла, присваивалось
значение, равное накопленной ростовой деформации, вычисленной по формуле (2.19) для диагональных элементов матрицы деформаций и по (2.20) для
остальных.
ε g = AIT + MTε e , r ∈ V ,
(2.19)
ε g = MTε e , r ∈ V ,
(2.20)
Поскольку файл «.ist» имеет определенную структуру, которую нельзя
изменять (иначе файл не считается), для того, чтобы заменить элементы файла по формулам (2.19), (2.20) была написана программа «Расчет ростовой деформации» на языке Си++, интерфейс которой имеет следующий вид:
Рисунок 2.14. Интерфейс программы для вычисления ростовой деформации
56
Таким образом, для решения задачи производится силовое нагружение,
и записывается файл деформаций «файл 1». Далее, каждому элементу массива деформаций присваивается значение, равное накопленной ростовой деформации за время T, и формируется «файл 2». Затем «файл 2» считывается
как начальное деформированное состояние, деформируется сетка, и запускается счет.
2.5.
Решение тестовой задачи
Тестовая задача является примером расчета накопления ростовой деформации в теле в течение заданного времени с помощью функции «Inistate»
в ANSYS. Расчетная схема показана на рисунке 2.12. Свойства материала [37,
70] представлены в таблице 2.1 и составляют E = 43,7 МПа; ν = 0,35. Параметры скорости роста приняты A = 9,64·10-9 с-1; В = 1,85·10-7 с-1.По границе
S p , длина которой составляет 2 мм, приложено нормальное давление Pn =
0,15 Н/м. Величина и длина области действия усилия взяты из работы [69].
В результате силового нагружения получено изменение формы тела.
Перемещения расчетной области в направлении осей х и у, характеризующие
изменение формы тела, при приложении к нему давления Pn представлены на
рисунке 2.15.
а) dx , м
б) dy , м
Рисунок 2.15. Перемещения, м
Далее при T=1 мес. было вычислено накопление ростовой деформации
по формулам (2.19), (2.20), записан файл деформаций, используемый в расче-
57
те как начальное деформированное состояние. В качестве результата на рисунке 2.16 представлены напряжения в расчетной области.
а) σx , м
б) σy , м
Рисунок 2.16. Напряжения, Па
В
точках
закрепления
u x = 0, τ xy = 0 r ∈ S u ,
u = 0, ( x = y = 0)
напряжения, конечно, возникают, однако в области напряжения пренебрежительно малы. Можно сделать вывод, что в результате накопления ростовой
деформации, напряжения в расчетной области, свободной от закреплений, не
возникают.
2.6.
Вычислительный эксперимент по исследованию
распределения скоростей ростовых деформаций в расчетной области
В эксперименте показано, каким образом распределение скоростей ростовых деформаций в упругом теле оказывает влияние на его механическое
поведение. Решение задачи сводится к вычислению деформаций в момент
приложения нагрузки и далее, вычислению скоростей ростовых деформаций
по формуле (2.9). Результаты решения задачи имеют практический смысл для
объяснения эффекта сближения разобщенных нёбных фрагментов от воздействия нормального усилия, передаваемого ортопедическим аппаратом по методике «Бонум» [31, 69].
Моделируемая методика. Один из методов ортопедической коррекции
разобщенного нёба разработан в Республиканском научно-практическом
центре медико-социальной реабилитации детей и подростков с врожденной
58
челюстно-лицевой патологией «Бонум» (г. Екатеринбург) и применяется с
1989 года [31]. Для проведения коррекционной терапии используется индивидуально изготовляемая ортопедическая пластина, схема установки которой
приведена на рисунке 2.17. Контактное давление Pn, возникающее между
пластиной и фрагментом нёба, создается языком (на рисунке не показан), поскольку при кормлении он рефлекторно прижимается к нёбу [31, 37, 69, 139,
140]. В результате расщелина уменьшается, что приближает сроки проведения операции по сшиванию разобщенных нёбных отростков.
Рисунок 2.17. Схема устройства нёбной пластины
С точки зрения механики, эффект сближения недоразвитых фрагментов
твердого нёба кажется неясным: действие языка приводит, на первый взгляд,
к изгибающему моменту во фрагментах, что, казалось бы, должно привести к
дальнейшему расхождению фрагментов [69]. В данном примере приводится
объяснение эффекта сближения, т.е. объяснение механизма ростового деформирования.
Описание эксперимента. Расчетная схема показана на рисунке 2.12. Задача решена в плоско-деформированной постановке. Геометрические параметры расчетной области, моделирующей нёбный фрагмент, находятся в физиологическом диапазоне, их величину можно оценить по координатам точек. Свойства материалов и нагрузки аналогичны предыдущему примеру.
В конечно-элементном пакете ANSYS расчетная область разбивалась
плоскими элементами с линейной аппроксимацией перемещений и длиной
ребра не более 1мм. В результате расчета вычислялись поля деформаций в
59
области V при нагружении ее границы S p заданным усилием. Вдоль нижней
границы области V обозначены точки 1, 2 … n с шагом 2 мм. Из каждой указанной точки проведена прямая к верхней границе области (функция «path» в
ANSYS). Эпюры скоростей ростовых деформаций ξ gx области вдоль указанных линий представлены на рисунке 2.18. Для оценки полученных результатов в расчетной области обозначены «зоны роста»: «зона 1», где
ξ gx > 0,0025 (1 / мес) и «зона 2», где ξ gx < 0,0017 (1 / мес) .
Оценка полученных результатов. В области контакта ортопедической
пластины с исследуемым телом возникают деформации сжатия, которые подавляют рост «нижних» материала – рост в направлении оси Ox в этой области замедляется («зона 2»). В областях, где возникают деформации растяжения, наблюдается ускоренный рост волокон – «зона 1». В области контакта
рост «верхних» волокон опережает рост «нижних». Вследствие этого возникает изгиб фрагмента в направлении роста, что объясняет феномен сближения фрагментов с позиций теории ростовых деформаций.
Рисунок 2.18. Эпюры скоростей ростовых деформаций ξ gx (1 / мес) в области V
При увеличении зоны действия нагрузки Pn результаты будут неудовлетворительными: фрагменты будут расходиться. Поэтому давление должно
60
подбираться индивидуально для каждого пациента на основе анализа гипсовых контрольно-диагностических моделей или магниторезонансной томографии.
2.7. Выводы по главе
Биомеханического моделирование ростовых процессов в живых тканях на примере математической модели роста костной ткани, представленной
в данной работе, позволяет сделать следующие выводы:
1. Предложена математическая модель изотропно растущего линейноупругого материала. Рост понимается как изменение формы тела вследствие
накопления ростовой деформации, вычисляемой по соответствующей механической модели.
2. Предложена формулировка определяющего соотношения для ростовой деформации, исключающая возникновение остаточных напряжений в
результате роста. Накопление остаточных напряжений в ткани является неблагожелательным процессом и противоречит сложившейся позиции ученых
о совместности ростовых деформаций в костной ткани.
3. Ростовые деформации рассмотрены как один из видов собственной
деформации (неупругие деформации любой природы), не вызывающей остаточных напряжений в системе.
4. Ввиду отсутствия встроенного механизма моделирования ростового
деформирования в конечно-элементном пакете ANSYS предложено два способа моделирования роста. Первый способ предполагает решения задачи
термоупругости в рамках сопряженного анализа. Второй способ предполагает следующую последовательность: при решении задачи теории упругости
формируется массив деформаций, возникающих в рассматриваемом упругом
теле при приложении к нему внешней механической нагрузки. Далее по
формуле для скорости ростовой деформации и заданного времени вычисляются поля ростовых деформаций, которые накапливаются в рассматриваемом
теле и не вызывают напряжений.
61
5. Представлена постановка и решение задачи о моделировании ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле.
6. Разработан алгоритм расчета накопления ростовой деформации.
Разработанный
алгоритм
реализован
в
виде
комплекса
проблемно-
ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента
по моделированию ростового деформирования изотропного линейноупругого тела.
7. На основании результатов вычислительного эксперимента дана
оценка роли механического воздействия, оказываемого со стороны ортопедической аппаратуры на костные структуры нёба, и формирование правильной нёбной дуги. Объяснен эффект сближения разобщенных нёбных фрагментов от нагрузки, передаваемой ортопедическим аппаратом на основания
нёбных отростков.
62
ГЛАВА 3. Исследование проблемы ортопедического лечения
врожденной расщелины нёба с помощью вычислительного
эксперимента
Расщелина верхней губы и нёба является одним из самых распространенных врожденных пороков развития челюстно-лицевой области [13, 14, 31,
37, 54, 66, 85]. Идеальная методика лечения рассматриваемой патологии продолжает оставаться источником дискуссий [13, 14, 37, 47, 54, 98]. Очевидно,
что использование наугад подобранных методов лечения приводит к высокой
частоте неудач повторных операций по устранению расщелины [13]. Автор
придерживается мнения, что результативные и действенные методы лечения
могут являться следствием исключительно научного подхода к данной проблеме.
В данной главе представлено описание вычислительного эксперимента,
проводимого для сравнения основных методик ортопедического лечения детей с несращением нёба. Моделируется функциональное нагружение челюстно-лицевой области ребенка костно-мышечным аппаратом: мышечный
орган – язык – поднимается к нёбу и оказывает на него механическое воздействие. Данный процесс существенным образом влияет на формирование челюстно-лицевых структур. Для анализа методик вычисляется накопление ростовой деформации в нёбе в течение заданного времени, соответствующего
периодам лечения, производимым в клинической практике.
3.1
Предмет исследования
Анатомо-функциональные особенности строения нёба
Небо (palatum) является верхней стенкой полости рта и разделяется на
две части: твердое небо, образованное костной тканью, и мягкое небо. Небо в
норме - это образование, которое разобщает полости рта, носа и глотки. В
образовании костного неба принимают участие небные отростки верхней челюсти и горизонтальные пластинки небных костей. Соединяются они по
63
средней линии швом, а небные отростки соединяются с горизонтальными
пластинками костей поперечным небным швом. Кости твердого нёба образуют свод, который гасит нагрузки, передаваемые на кости черепа верхним
зубным рядом [13].
Мягкое небо представляет собой мышечную пластинку, покрытую слизистой оболочкой. Поверхность мягкого неба выстлана многоядерным мерцательным эпителием. Вместе твердое и мягкое небо образуют небноглоточный механизм, участвующий в дыхании, глотании и речи.
Рисунок 3.19. Твердое нёбо человека в норме и при патологии
Расщелина нёба – это несращение небных фрагментов, в результате которого полость рта свободно сообщается с полостью носа, что вызывает
морфологические и функциональные нарушения всех тканевых структур
среднего отдела лица. Также нарушается физиологическое равновесие мышц
приротовой области, языка, жевательной мускулатуры [31].
Различают односторонние и двусторонние расщелины, полные и неполные, изолированные и комбинированные, симметричные и несимметричные.
Основные виды расщелин представлены на рисунке 3.20.
64
а
б
в
г
Рисунок 3.20. Виды расщелин губы и нёба
а – расщелина, б – односторонняя расщелина губы и нёба, в – двусторонняя
расщелина губы и нёба, г – односторонняя расщелина губы и неполная нёба.
Общие сведения о врожденной расщелине губы и нёба
К числу наиболее тяжелых пороков относится врожденная расщелина
верхней губы и неба, показатели частоты которой колеблются в диапазоне от
12 до 36% от всех аномалий и пороков развития человека [5, 13, 14, 22, 143].
В России частота рождения детей с врожденной челюстно-лицевой патологией составляет от 0,6 до 5,3 на 1000 родившихся человек [13, 37]. Появление
расщелины может быть вызвано различными причинами, наиболее существенные из них отягощенная наследственность (13,6%) и вирусные заболевания (11,3%) в первые два месяца беременности [29]. На сегодняшний день
действенной профилактики врожденных пороков лица не разработано [13,
29].
В 25% случаев несращение нёба сочетается с другими врожденными
аномалиями и тяжелыми синдромами [13, 23, 28, 29]. При аномалиях лицевого скелета нарушается нормальная функция твердого неба – оптимальное
распределение напряжений, возникающих в области верхней челюсти в процессе деятельности жевательного аппарата при создании пищевого комка.
Процесс жевания оказывается неспособным дать нормальное распределение
сил в костной системе, что, в свою очередь, ведет к перегрузке и недогрузке
во всех элементах системы [54]. С возрастом клиническая картина усугубля-
65
ется [13, 84, 85]. По мере роста ребенка расщелина создает ощутимые препятствия к его социальной адаптации за счет наличия косметического дефекта и нарушения речи. Это служит поводом к запуску процесса стигматизации, определяющим предвзятое отношение к ребенку общества, а нередко – и
собственных родителей [54].
Расщелина нёба, или «волчья пасть» устраняется только хирургическим
способом, и эти операции травматичны. До 70% ранее оперированных больных нуждается в сложных повторных реконструктивных операциях, что значительно затягивает социальную и медицинскую реабилитацию детей [5,
151]. Методики лечения разнообразны, однако большинство российских авторов высказывают мнение о пошаговой предоперационной ортопедической
реконструкции врожденных дефектов верхней челюсти у детей. Ортопедические аппараты позволяют опустить небные отростки в положение [70], при
котором последующие операции по зашиванию неба не будут являться травматичными и не вызовут значительных деформаций зубочелюстной системы
[18, 21, 22, 66]. Чем раньше предпринято ортопедическое лечение, тем оно
эффективнее, тем лучше достигаемые функциональные и эстетические результаты. [31, 69, 85].
Ортопедическое лечение детей с врожденным несращением нёба
Основной целью лечения детей с расщелиной нёба является восстановление анатомической, физиологической и функциональной целостности
структур челюстно-лицевой области [37]. На современном этапе специалисты подходят к решению проблемы реабилитации детей с расщелиной губы и
нёба комплексно: сначала создают благоприятные условия для роста фрагментированных отделов, а потом «зашивают».
66
Схема 3.1. Схема комплексного лечения пациентов с расщелиной нёба
Хирургическое лечение
Дохирургическое лечение
Механическое воздействие на
разобщенные фрагменты нёба
Несъемные аппаСъемные аппараты (фиксация на
клей)
раты (внутрикостная фиксация)
Щадящая ура- Радикальная
уранопластика
нопластика
(костная
(сшивание)
«заплатка»)
Как утверждает автор [37] в большинстве реабилитационных центров
сложилась определённая последовательность работы специалистов, при этом
продолжительность ортопедического лечения занимает минимум 5-6 месяцев
[14, 31, 37]. Большинство специалистов подтверждают эффективность ранней
коррекционной терапии [3, 4, 5, 13, 14, 18, 21, 31, 35, 37, 66].
Раннее ортопедическое лечение нацелено на сближение разобщенных
фрагментов твердого неба до хирургического вмешательства. Чем успешнее
будет проведено ортопедическое лечение, тем ближе будут cведены фрагменты и тем безопаснее будет проведение операции по их сшиванию. По
способу воздействия на фрагментированное нёбо ортопедические устройства
можно разделить на 2 типа [37]:
1. Направляющие - съемные;
2. Активно-действующие (содержащие в конструкции винты, пружины)
- несъемные.
Фотографии и схемы действия нижеперечисленных аппаратов приведены в таблице 3.2. В качестве съемных усройств используют направляющеформирующую пластинку типа Hotz [37]. Конструкция изготовляется индивидуально по оттискам гипсовых моделей, перемещение разобщенных фрагментов осуществляется за счет нормализации работы мышц мягкого нёба,
языка и губ. В России распространена методика Долгополовой Г.В. (см. рисунок 2.17), которая предполагает метод раннюю предоперационную коррек-
67
цию посредством индивидуально изготовляемой ортопедической пластинки,
создающей оптимальные условия для процессов роста и развития фрагментированных отделов верхней челюсти [31, 69].
Как отмечает автор исследования [37] по организационным, объективным и субъективным причинам оказать раннюю ортопедическую помощь с
использованием съёмных аппаратов детям с расщелиной губы и нёба в полном объёме и к определённому возрасту не всегда возможно [14, 23]. Тогда
для устранения деформации и сокращения диастаза (ширины расщелины)
применяют метод лечения несъёмными аппаратами, позволяющий вводить в
конструкцию активные элементы (активаторы) для перемещения [13, 37].
Примерами таких аппаратов являются ортодонтические аппараты Стариковой Н.В. и Егоровой М.В [37]. Аппарат Стариковой Н.В. – модифицированный аппарат Latham R., который используется во многих центрах Ближнего
Зарубежья, Европы и Америки [37]. Аппарат фиксируется на боковые фрагменты верхней челюсти при помощи винтов внутрикостно, активатором системы является эластический модуль. Данный метод применим даже для лечения детей с двусторонними расщелинами нёба и используется во многих
центрах нашей страны. Аппарат Егоровой М.В. – с внутрикостной фиксацией, в качестве активатора перемещения используется спираль из нитинола.
Изменение плотности навивки пружины позволяет изменять величину усилия, создаваемого активатором [37].
68
Таблица 3.2. Схемы ортопедических аппаратов
Съемные (пассивные) ортопедические аппараты
Фото аппарата Hotz
Схема действия аппарата (расчетная схема 1)
Несъемные (активные) ортопедические аппараты
Фото аппарата М.В. Егоровой
Схема действия аппарата (расчетная схема 2)
В настоящее время накоплен определенный опыт реабилитации пациентов с врожденной и приобретенной патологией лица, черепа, челюстей в детских специализированных медицинских центрах. Тем не менее, остается
множество нерешенных вопросов на междисциплинарном уровне сотрудничества специалистов различного профиля при реабилитации пациентов с деформациями челюстно-лицевого комплекса [54]. Как отмечает автор исследования [13]: «Несмотря на значительные успехи от внедрения в практику
новых методик оперативного ортодонтического лечения, конечный результат
проведенной помощи не всегда удовлетворяет как врачей, так и самого больного». В исследовании [13] опубликованы результаты анкетирования пациентов возрастной группы, старше 18 лет, из которых 40% пациентов с врож-
69
денной расщелиной нёба оценивают результат проведенного лечения как хороший, 37% – как удовлетворительный и 23% – как неудовлетворительный,
незаконченным считают лечение 41% опрошенных.
Таким образом, вопросы ортопедической реабилитации пациентов с
врожденной патологией на всем протяжении развития российской и зарубежной стоматологии продолжают оставаться достаточно сложными [5, 13].
В большинстве публикаций, посвященных протезированию при данной патологии, рассматриваются отдельные клинические случаи или отдельные виды
ортопедических конструкций [13] – отсутствует системность в выборе
наиболее эффективных конструкций. Ортопедическое лечение основано на
эмпирическом опыте и субъективных представлениях врачей о ростовых
процессах в костной ткани – не существует научно-обоснованных стандартов
лечения, которые определяли бы для каждого пациента индивидуально эффективный способ достижения наилучших результатов.
Автор придерживается мнения, что оценить влияния ортопедических
аппаратов на костную ткань в процессе ее роста, проводимая на математических моделях, позволит повысить эффективность методик, применяемых в
клинической практике. Совершенствование (облегчение конструкции и способа фиксации) конструкции аппаратов, надежности их фиксации, обеспечение передачи ими необходимых усилий, дозирование усилий и разработка
новых модификаций устройств открывают пути для биомеханического обоснования выбора конструкции ортопедического аппарата.
3.2
Расчетная область
Технология 3D сканирования применяется для решения широкого круга задач в случаях, когда необходимо зарегистрировать форму объекта с высокой точностью и за короткое время. В российской медицине данная технология применима в сфере ортодонтии. В данной работе геометрические параметры расчетной области получены путем сканирования гипсового слепка
несращенного нёба пациента возрастом 6 месяцев. Для получения Cad-
70
модели нёба сканированная модель слепка была отредактирована в программном комплексе SolidWorks [33, 34, 49, 80]. Геометрическое построение
всех трехмерных тел математических моделей, представленных в диссертации, велось в данном пакете программ. Редактирование производилось с целью выделения небных костей из всего слепка. Cad-модель нёба до и после
редактирования представлена на рисунке 3.21.
а) До редактирования
б) После редактирования
Рисунок 3.21. Cad-модель разобщенного нёба
Геометрические размеры области представлены на рисунке 3.22.
Рисунок 3.22. Геометрические размеры расчетной области, мм
71
3.3 Описание расчетной схемы
В вычислительном эксперименте приведены 2 расчетные схемы, моделирующие лечение пассивным (схема 1) и активным (схема 2) ортопедическими аппаратами. Пассивный аппарат защищает разобщенное нёбо от воздействия языка, создавая тем самым, благоприятные условия для роста и развития фрагментированного нёба. Активный аппарат создает дополнительные
стягивающие усилия, что приводит к сближению нёбных отростков.
Рассмотрим область V с границей S. Замыкание V = V ∪ S , V ∈ E 3 ,
V = V1 ∪ V2 ∪ V3 ∪ V4 ∪ V5 . Тела V1 и V2 моделируют нёбные фрагменты, V3 и
V4 моделируют клей, V5 – ортопедическая пластина. Тела V1 – V5 объединены
в сборку в SolidWorks. На контактирующих поверхностях тел V1 и V3, V2 и V4,
V3 и V5, V4 и V5 перемещения объединены и заданы условия непроникнове-
ния. Граница S объединяет S = S u ∪ S u1 ∪ S σ ∪ S p . На границе S u в каждой
точке заданы три компоненты вектора перемещений: u x = u y = u z = 0, r ∈ S u1 ,
u x = 0, r ∈ S u . На границе Sσ в каждой точке заданы три компоненты вектора
напряжений. На границе S p в каждой точке заданы три компоненты вектора
сил. Расчетные схемы 1 и 2 приведены на рисунках 3.23, 3.24 соответственно.
Рисунок 3.23. Расчетная схема 1
72
Рисунок 3.24. Расчетная схема 2
Постановка задачи представлена в главе 2 уравнениями (2.12) – (2.18),
свойства материалов – в таблицах 2.1 и 2.2. На схемах 1 и 2 на границе S p
приложено давление, моделирующее усилие, создаваемое языком. Величина
давления принята 0,15 Па аналогично с работами [99]. На схеме 2 на границе
S p приложены силы Fx = 3 Н, величина которых соответствует усилию, раз-
виваемому ортопедическим аппаратом в исследовании М.В. Егоровой [37].
Заданные нагрузки и их направления обозначены буквами А, В, С и представлены на рисунке 3.25.
а) Схема 1
б) Схема 2
Рисунок 3.25. Прилагаемые силы
73
Накопление деформации (2.15) вычислено при действии нагрузки в течение времени T=10 мес. для пассивного аппарата и T=1 мес. для активного.
Время лечения соответствует литературным данным о продолжительности
дохирургического лечения [31, 37, 70].
Дискретизация расчетной области конечными элементами и решение
задачи теории упругости (2.12) − (2.18) было получено в ANSYS Workbench
14.5. Далее из расчетной схемы выделялось тело, моделирующее нёбо и для
расчета накопления ростовых деформаций импортировалось в ANSYS Mechanical APDL 14.5, где формировались файлы для программы «Расчет ростовой деформации».
3.4 Конечно-элементное разбиение расчетной области
Для решения задачи расчетная область дискретизирована тетраэдрическими твердотельными элементами с линейной функцией формы [11, 41, 43].
Для оценки качества конечно-элементной модели последовательно решены
несколько задач с возрастающими степенями дискретизации. В каждом случае решалась задача о вычислении ростовой деформации (2.15) и фиксировалась величина максимальных перемещений и максимальных напряжений.
Оптимальным был принят уровень, при котором фиксируемые параметры
переставали заметно меняться при использовании более густой сетки. В таблице 3.1 представлена зависимость максимальных перемещений и напряжений.
Таблица 3.3
Maкс. длина
Количество
Maкс. пере-
Maкс. напря-
мещения, м
жения, МПа
узлов
элементов
0,15·10-3
0,00454
0,156·10-8
78495
52801
0,12·10-3
0,00442
0,861·10-9
58334
38720
0,1·10-3
0,00438
0,968·10-9
36121
23389
0,08·10-3
0,00437
0,173·10-8
20552
12778
ребра элемента, м
74
Для расчетов принято разбиение, при котором максимальная длина ребра элемента составляет 0,1·10-3 м. Более мелкое разбиение нерационально.
На рисунках 3.26 – 3.29 представлены перемещения, возникающие в
расчетной области при накоплении ростовой деформации в зависимости от
степени ее дискретизации.
Рисунок 3.26. Перемещения в направлении оси х, м.
Макс. длина ребра элемента 0,15·10-3 м.
Рисунок 3.27. Перемещения в направлении оси х, м.
Макс. длина ребра элемента 0,12·10-3 м.
75
Рисунок 3.28. Перемещения в направлении оси х, м.
Макс. длина ребра элемента 0,1·10-3 м.
Рисунок 3.29. Перемещения в направлении оси х, м.
Макс. длина ребра элемента 0,08·10-3 м.
3.5
Результаты вычислительного эксперимента
Оценка методик происходила посредством сравнения максимальных
перемещений в направлении оси x для соответствующих схем, т.е. оценивается «сближение» разобщенных нёбных фрагментов – уменьшение диастаза.
На рисунках 3.30 – 3.31 представлены перемещения в направлении
осей x для обеих схем. На рисунках с результатами пластина не показана.
76
Рисунок 3.30. Схема 1. Перемещения в направлении оси х, м
Рисунок 3.31. Схема 2. Перемещения в направлении оси х, м
При действии пассивного ортопедического аппарата (схема 1) в течение T = 10 мес. уменьшение диастаза составляет 8,8 мм. При действии активного ортопедического аппарата (схема 2) T = 1 мес. уменьшение диастаза составляет 11,3 мм. По результатам эксперимента, очевидно, что наличие ортопедического аппарата приводит к сближению нёбных отростков, однако время лечения активным устройством существенно отличается.
77
3.6
Верификация результатов эксперимента
Для пациента, слепок нёба которого использовался для моделирования
разобщенного нёба в эксперименте, не удалось найти сведений о результатах
его ортопедического лечения (гипсового слепка после лечения). Поэтому верификация модели осуществлялась посредством сравнения величины, на которую уменьшился диастаз в эксперименте с опубликованными в литературе
данными для аналогичных пациентов. Для пациента №1 на рисунке 3.32 ширина расщелины до лечения составляла 14,5 мм, после лечения пассивной
ортопедической пластиной в течение T=8,2 мес. диастаз составлял 5мм (рисунок 3.33). Для пациента №2, рисунок 3.34 ширина расщелины до лечения
составляла 16,8 мм, после лечения активным ортопедическим устройством в
течение T=2,0 мес. диастаз составлял 8,4 мм (рисунок 3.35).
Рисунок 3.32. Пациент №1 до ортопедического лечения
Рисунок 3.33. Пациент №1 после ортопедического лечения
78
Рисунок 3.34. Пациент №2 до ортопедического лечения
Рисунок 3.35. Пациент №2 после ортопедического лечения
Полученные перемещения находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными [70], что позволяет произвести верификацию модели.
В России активная ортопедическая аппаратура не находит широкого
применения по ряду причин, среди которых: возможность разбалансировки
устройства при нагружении; усилия, создаваемые активными элементами,
находятся в большом диапазоне от 0,3 Н до 20 Н и дозируются «на глаз», при
слишком быстром сближении нёбных отростков активными элементами возникает опасность формирования «плоского нёба». Предполагается, что введение критерия оптимальности, позволит решить эти проблемы.
3.7
Выводы по главе
Результаты данной главы позволяют сделать следующие выводы:
1. Реабилитация пациентов с врожденной расщелиной нёба является
одной из самых сложных проблем восстановительной медицины. Ортопеди-
79
ческое лечение детей с расщелиной нёба производится в раннем возрасте и
нацелено на сближение разобщенных костных фрагментов: чем оно успешнее, тем ближе будут сведены фрагменты нёба, и тем безопаснее будет операция по их «сшиванию».
2. В работе представлена математическая модель растущего костного
нёба пациента с врожденной расщелиной нёба. Геометрия расчетной области
построена с применением технологии 3-D сканирования исследуемого тела и
последующего преобразования результата сканирования в Cad-модель в
SolidWorks.
3. В ANSYS реализован вычислительный эксперимент по оценке механического воздействия ортопедической аппаратуры на костную ткань. Вычисление накопления ростовой деформации осуществлялось с помощью программы «Расчет ростовой деформации».
4. Результаты моделирования ростового деформирования находятся в
удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными, опубликованными в литературных данных.
5. Результаты эксперимента подтверждают, что «активные» ортопедические устройства являются более эффективными по сравнению с «пассивными» ортопедическими пластинами.
80
ГЛАВА 4.
Оптимальное управление биологическим
ростом ткани
4.1. Независимое управление ростовыми деформациями
С позиции механики способы ортопедического лечения таких патологий развития, как сколиоз, разная длина конечностей и расщелина нёба, в
частности, могут быть интерпретированы и решены как задачи управления
напряженно-деформированным состоянием системы посредством создания в
ней заданного поля ростовых (собственных) деформаций. Появление ростовой деформации в системе, вообще говоря, может изменить напряжения в системе. Самоуравновешенные напряжения, создаваемые собственной деформацией при отсутствии внешних сил в теле без опор, называют собственными напряжениями. Предполагается, что наведенные остаточные напряжения
могут оказать негативное влияние на небные фрагменты после снятия ортодонтического аппарата и завершения лечения. Сохранение поля напряжений
при создании в теле заданных ростовых деформаций, позволит исключить
возникновение остаточных напряжений и, как показано далее, существенно
упростить процедуру решения задачи о моделировании ростовой деформации.
Подход
к
решению
задач
об
управлении
напряженно-
деформированным состоянием системы посредством собственных деформаций разработан учеными г. Перми (А.А. Поздеев, Ю.И. Няшин, П.В. Трусов)
[77] и основан на применении метода ортогонального разложения гильбертовых пространств в задачах механики [87]. Данный подход применялся для
получения заданного распределения остаточных напряжений в задачах термоупругости [87]. В работах [52, 73, 89, 90] детально исследованы общие
свойства моделирования собственных деформаций, доказана теорема о декомпозиции собственной деформации на свободную от напряжений часть и
81
составляющую, не вызывающую полной деформации системы, что дает возможность независимого управления напряжениями и деформациями.
В работе [73] представлен теоретический анализ, позволивший связать
ростовые деформации, не создающие напряжений в теле, и силы. Показано,
что в самой общей постановке совместные деформации равны некоторым
силовым деформациям, созданным распределением объемных и поверхностных сил. В диссертации данный подход применяется для вычисления величины управляющего воздействия на ростовую деформацию при ортопедическом лечении детей с врожденным пороком «Волчья пасть».
4.2. Теоретические основы алгоритма управления
ростовыми деформациями
Для разработки алгоритма управления автор использует работы, в которых представлено детальное исследование свойств собственных деформаций посредством аппарата функционального анализа [63]. В вышеуказанных
работах введено энергетическое пространство H симметричных тензоров
второго ранга, аналогичное евклидову пространству E 3 . Основное свойство
введенного пространства заключается в свойстве линейности, то есть сложение элементов пространства и умножения их на скаляр вновь дает некоторый
элемент этого пространства [63].
В пространстве H введено скалярное произведение, удовлетворяющее
условиям симметрии, линейности и положительной определенности [52]:
(ε
*
1
, ε * 2 )H = ∫ ε *1 ⋅ ⋅C ⋅ ⋅ε * 2 dV , ε *1 , ε * 2 ∈ H ,
V
(4.1)
также в H через скалярное произведение определена норма:
ε*
H
=
(ε , ε )
*
*
H
.
(4.2)
Введено подпространство H u : некоторый симметричный тензор α ∈ H
принадлежит подпространству H u , если существует вектор перемещения u
82
такой, что имеет место соотношение α = 0.5(u∇ + ∇u ) и обращения в нуль
перемещения u на неподвижных опорах [87]. Физический смысл подпространства H u заключается в том, что это пространство есть множество совместных деформаций, где соответствующие им перемещения u обращаются
в нуль на неподвижных опорах [87].
Далее полагается, что элементами пространства H u являются тензоры
ростовых деформаций ε g ∈ H u , что является необходимым и достаточным
условием того, что ростовая деформация является свободной от напряжений
[63, 88]. Доказательства необходимости и достаточности приведены в рабо-
тах В.А. Лохова [135, 136].
Поскольку H u линейно, то каждый элемент ε g ∈ H u может быть представлен как линейная комбинация базисных элементов. В системе, аппроксимированной конечными элементами, для получения базиса необходимо
поочередно прикладывать единичную силу к узлам системы [87, 146].
Поочередная подстановка единичных узловых сил в основное конечноэлементное соотношение и последующее восстановление деформаций по перемещениям узлов с помощью матрицы градиентов:
[K ]{u} = {F },
(4.3)
где [K ] – глобальная матрица жесткости конечных элементов, {u} – глобальный вектор узловых перемещений, {F } – глобальный вектор узловых сил,
позволяет построить базисные элементы [43, 87]:
{ε } = [B ]{u },
(e)
(e)
(e)
e = 1..ne ,
(4.4)
где {ε ( e ) } – вектор локальных деформаций элемента с номером e, {u ( e ) } – перемещения узлов элемента с номером e.
83
4.3. Постановка задачи независимого управления деформированным
состоянием системы с помощью ростовой деформации
Рассмотрим область V с границей S (рисунок 4.36). Замыкание
V = V ∪ S , S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3 принадлежит трехмерному евклидову простран-
ству E 3 , т.е. V ∈ E 3 . На границе S1 в каждой точке заданы три компоненты
вектора перемещений. На границе S 2 в каждой точке заданы три компоненты
вектора напряжений. На границе S 3 в каждой точке заданы три компоненты
вектора сил или три компоненты вектора перемещений.
Рисунок 4.36. Расчетная область
Параметры управления: усилия F , создаваемые на границе S 3 ортопедическим аппаратом, и время их приложения T .
F, r ∈S3 ,
T − время лечения.
(4.5)
Для постановки и решения задачи управления применяется теория независимого управления собственными деформациями [63, 87, 88, 89, 90], разработанная в гильбертовом пространстве тензоров деформаций, в котором
целевая функция записывается в следующем виде:
84
2
Ψ (F, T ) = ε g (F, T ) − ε ( 0 ) → inf(F, T ),
(4.6)
где ε ( 0 ) – заданная ростовая деформация, вычисляемая путем приложения соответствующих граничных условий (на границе S p расчетной области задаются перемещения), ε g – накопленная ростовая деформация, вычисляемая по
формуле (2.11). Условие совпадения полей деформаций ε ( 0 ) и ε g означает равенство перемещений на части границы, которые и обеспечивают срастание
неба.
Параметры оптимизации вычисляются при следующих ограничениях:
σ 1 < 0,55 МПа, r ∈ V ,
(4.7)
ε 1( 0) < 10%, r ∈ V ,
(4.8)
ε g > 0,
(4.9)
r ∈V ,
Выражение (4.7) означает, что главные напряжения не превосходят величины, при которой могут возникнуть повреждения ткани [37]. Выражение (4.8)
накладывает ограничение на величину заданных деформаций, т.е. конфигурация расчетной области меняется не более чем на 10%.
4.4. Решение задачи независимого управления деформированным
состоянием системы с помощью ростовой деформации
Для решения задачи управления (4.5) – (4.9) необходима следующая
последовательность действий:
1. Создать заданное поле ростовых деформаций ε ( 0 ) и решить задачу
теории упругости для вычисления ε ( 0 ) .
2. Минимизировать целевую функцию (4.6).
3. Выполнить проверку ограничений (4.7) –(4.9).
85
4.4.1. Деформации, соответствующие заданным перемещениям
Для того чтобы создать заданное поле ростовых деформаций ε ( 0 ) в области V необходимо в конечно-элементном пакете задать необходимые перемещения u 0 на границе S 3 , сохраняя при этом прежние граничные условия
на границах S1 и S 2 . Далее решить задачу теории упругости (4.10) – (4.17):
∇ ⋅ σ = 0, r ∈ V ,
(4.10)
ε = ε e , r ∈V ,
(4.11)
σ e = C ⋅ ⋅ε e , r ∈ V ,
(4.12)
1
(∇u + u∇), r ∈ V ,
2
(4.13)
n ⋅ σ = 0, r ∈ S 2 ,
(4.14)
u x = 0, τ xy = 0, r ∈ S1 ,
(4.15)
u = 0, ( x = y = 0),
(4.16)
u = u 0 , r ∈ S3 ,
(4.17)
ε=
4.4.2. Алгоритм вычисления управляющего воздействия
Все последующие рассмотрения проводятся в рамках конечноэлементной модели исследуемой системы, где используются плоские треугольные элементы с линейной аппроксимацией перемещений. Рассматривается плоско-деформированное состояние. Количество элементов модели обозначено e. Тогда ростовая деформация (2.11), записанная в общем виде, вычисляется следующим образом. Граница S 3 разбивается на узлы. К каждому
узлу границы S 3 последовательно прикладывается единичная сила (в
направлении оси x, а затем y) и решается задача теории упругости в конечно-
86
элементном пакете, что дает поля деформаций ε (k ) , k = 1, 2, … , K, где K –
удвоенное число узлов границы S3.
Рисунок 4.37. Расчетная схема
Деформации ε (k ) линейно-независимы ввиду положительной определенности матрицы жесткости системы. Предположение о малости деформаций позволяет применять принцип суперпозиции решений. В таком случае
выражение для ростовой деформации имеет вид:
K
ε = ATI + ∑ Fk MTε ( k ) ,
g
(4.18)
k =1
где T – время приложения нагрузки, Fk, k = 1, 2, … , K – искомые ортопедические силы, создаваемые на границе S3. Отметим, что теперь усилия
F, r ∈ S p представлены вектор-столбцом.
Преобразуем целевую функцию (4.6), раскрывая скалярное произведение:
Ψ (F, T ) = ∫ (ε g (F, T ) − ε 0 ) ⋅ ⋅C ⋅ ⋅(ε g (F, T ) − ε 0 )dV =
V
(ε (F, T ), ε (F, T ))
g
g
H
− 2(ε (F, T ), ε
g
0
)
H
+ (ε , ε
(0)
(0)
)
H
(4.19)
,
Отбросим слагаемые, не зависящие от Fk , k = 1K K , и подставим (4.18) в
(4.19):
87
Ψ(F,T ) = (ε (F, T ), ε (F, T ))H − 2(ε (F, T ), ε
g
g
g
0
)
H
K
K

(k )
= T  AI + ∑Fk Mε , AI + ∑Fk Mε(k )  −

k =1
k =1
H
2
K
K

(k )
(0) 
2
2
− 2T AI + ∑Fk Mε , ε  = T ( AI, AI)H + 2T  AI, ∑Fk Mε(k )  +

k =1
H
 k=1
H
(4.20)
K
K
K


(k )
(k ) 
(0)
+ T  ∑Fk Mε , ∑Fk Mε  − 2T (AI, ε )H − 2T ∑Fk Mε(k ) , ε(0)  ,
 k=1
k =1
H
 k=1
H
2
Поменяем порядок вычисления суммы и скалярного произведения:
Ψ = T 2 M 2 ∑ ∑ Fk Fl (ε ( k ) , ε (l ) )H − 2MT 2 ∑ Fk (ε ( 0 ) / T − AI , ε ( k ) ) +
[A T
2
2
K K
K
k =1l =1
l =1
(I, I )H
− 2 AT (I, ε
( 0)
) ],
H
(4.21)
H
В матричных обозначениях формула (4.21) принимает вид:
Ψ = T 2 M 2 {F }T [ε ] {F }− 2T 2 B 2 {F }T {θ }T + γ ,
(4.22)
{F } = {F , F ,K, F },
(4.23)
K × K K ×1
1× K
1× K
K ×1
где
1
K ×1
(ε (1) , ε (1) )H
 ( 2 ) (1)
(ε , ε )H
[ε ] = 
M

(ε ( K ) , ε (1) )H
{θ } =
K ×1
1 (0)
{(ε / T − AI, ε (1) )H ,
M
(ε
(ε
2
, ε ( 2 ) )H
K
(ε
(ε
, ε ( K ) )H


( 2)
(2)
, ε ( 2 ) )H K
, ε ( K ) )H 
,

M
O
M

(ε ( K ) , ε ( 2) )H K (ε ( K ) , ε ( K ) )H 
(1)
(ε
(0)
K
(1)
/ T − AI, ε ( 2 ) )H , K
γ = A 2T 2 (I, I )H − 2 AT (I, ε ( 0 ) )H .
(ε
(0)
/ T − AI, ε ( K ) )H },
(4.24)
(4.25)
(4.26)
Слагаемое ε ( 0 ) / T в формуле (4.21) по физическому смыслу представляет собой оптимальную скорость ростовой деформации. Матрица [ε] в формуле
(4.24) является положительно определенной [145] в силу линейной независи-
мости полей ε ( K ) [119].
88
Таким образом, задача поиска оптимальных усилий {F } сводится к минимизации (4.22), что можно сделать, используя аналитические условия экстремума:
∂Ψ
= 0, k = 1, 2,K, K ,
∂Fk
(4.27)
Подстановка функции (4.22) в условия (4.27) дает систему линейных
алгебраических уравнений относительно вектора неизвестных сил {F }:
[ε ] {F }− {θ } = 0,
K × K K ×1
(4.28)
K ×1
Решение системы (4.28) может быть найдено с использованием метода
обратной матрицы:
{F } = [ε ]−1 {θ }.
K ×K
K ×1
(4.29)
K ×1
Для того чтобы воспользоваться формулой (4.29), необходимо найти время
действия сил T, которое входит в столбец {θ }. Для дальнейших вычислений
K ×1
представим {θ } в виде:
{θ } = {θ }/ MT − {θ }/ M ,
(1)
( 2)
(4.30)
где
{θ } = (ε
(1)
k
( 0)
, ε ( k ) )H ,
{θ } = (AI, ε )
(2)
(k )
k
H
k = 1, 2, K, K .
(4.31)
Тогда формула (4.29) примет вид:
{F } = [ε ]−1 ({θ (1) }/ T − {θ ( 2) }) / M .
K ×1
(4.32)
K ×K
Подставим решение (4.32) в целевую функцию (4.22)
T
T
Ψ = T 2 M 2  {θ (1) } / T − {θ ( 2) }  / M [ε ]−1 [ε ][ε ]−1  {θ (1) }/ T − {θ ( 2) } / M −

1× K
1× K

K ×K K ×K K ×K

K ×1
K ×1
T
T
−1
− 2T 2 M 2  {θ (1) } / T − {θ ( 2 ) }  / M [ε ]  {θ (1) }/ T − {θ ( 2 ) } / M +
 1× K

K × K  K ×1
1× K
K ×1 
2 2
( 0)
+ A T (I, I )H − 2 AT (I, ε )H ,

(4.33)
89
или
T
T
−1
Ψ = A 2T 2 (I, I )H − 2 AT (I, ε ( 0) )H − T 2  {θ (1) } / T − {θ ( 2 ) }  [ε ]  {θ (1) }/ T − {θ ( 2) } =

1× K

1× K
K ×K

K ×1
T
T
−1
−1
= T 2  A 2 (I, I )H − {θ ( 2 ) } [ε ] {θ ( 2 ) } − 2T (AI, ε ( 0 ) )H − {θ (1) } [ε ] {θ ( 2 ) } −



K×K
K ×K
1× K
K ×1 

1× K
K ×1 

− {θ

(4.34)
} [ε ] {θ }.
(1) T
1× K
K ×1
−1
K ×K
(1)
K ×1
Далее составим уравнение для определения времени действия нагрузки T,
дифференцируя целевую функцию (4.34)
∂Ψ
= 0,
∂T
(4.35)
и получим формулу для времени T:
(AI, ε ) − {θ } [ε ] {θ }
T=
.
( AI, AI ) − {θ } [ε ] {θ }
(1) T
(0)
H
1× K
( 2) T
H
1× K
−1
K ×K
( 2)
K ×1
−1
K ×K
( 2)
(4.36)
K ×1
Построенный алгоритм вычисления оптимальных усилий не требует итерационных методов и включает в себя следующую последовательность процедур:
•
деформацию ε ( 0 ) ;
•
деформацию ε ( K ) , k = 1, 2,K, K ;
•
матрицу [ε ] по формуле (4.24) и обратную матрицу [ε ]−1 ;
•
столбцы {θ (1) } и {θ ( 2 ) } по формуле (4.31);
•
скалярные произведения ( AI, AI )H и ( AI, ε ( 0 ) )H ;
•
наименьшее время T приложения нагрузки (4.36);
•
оптимальные усилия {F } по формуле (4.32).
•
увеличение T в случае невыполнения условий (4.7) – (4.9) и повторная
K ×1
проверка условий.
90
В приведенном алгоритме вычисление скалярного произведения представляет собой отдельную процедуру, далее приведено ее описание. Поле
деформации ε представлено в виде двумерного массива [ε]
ε 1, xx

ε
[ε ] =  2, xx
e ×3
M

ε e, xx
ε 1, yy ε 1, xy
ε 2, yy ε 2, xy
M
M
ε e, yy ε e , xy


,



(4.37)
где каждая строка содержит три компоненты деформации для соответствующего конечного элемента [ε ]i = {ε i , xx ε i , yy ε i , xy }, i = 1, K , e . Поскольку величины деформаций в одном элементе постоянны, то интеграл по объему V
можно заменить суммой:
(ε
(1)
, ε ( 2 ) )H = ∫ ε (1) ⋅ ⋅C ⋅ ⋅ε ( 2 ) dV ≅ h ∑ {ε (m1), xx
e
V
m =1
ε (m1), yy
[
ε (m1), xy } D ( m )
ε (m2,)xx 
 ( 2 ) 
ε m , yy S m ,
 ( 2) 
ε m , xy 
]
(4.38)
где [D (m ) ] – матрица упругих свойств конечного элемента (при плоскодеформированном состоянии); S m – площадь конечного элемента с номером
m.
Данный алгоритм реализован в пакете прикладных программ MATLAB
7.0. Формирование тензоров деформаций для расчетов происходит путем
импорта массивов деформаций элементов из конечно-элементного пакета
ANSYS в MATLAB в формате текстового файла. Блок-схема алгоритма вычисления усилий и скалярного произведения приведена в следующей главе данной работы. Построенный алгоритм зарегистрирован как программа для
ЭВМ «Оптимальное усилие».
91
4.4.3. Блок-схемы алгоритма
92
93
4.5.
Вычислительный эксперимент по реализации оптимального
режима воздействия ортопедического устройства на костную ткань
В эксперименте задача о лечении врожденной расщелины твердого
нёба рассмотрена как задача независимого управления деформированным состоянием системы с помощью ростовой деформации. Цель управления – вычисление оптимального режима (величина усилий и время их приложения)
воздействия ортопедического устройства на нёбные фрагменты с целью придания им заранее заданной формы.
Расчетная схема показана на рисунке 4.38. Представленная схема является плоским сечением трехмерной Cad-модели, полученной в результате
сканирования гипсового слепка несращенного нёба пациента возрастом 6 месяцев. Свойства материала взяты из литературных данных: E = 43,7 МПа; ν
= 0,35. Параметры скорости роста приняты A = 9,64·10-9 с-1; M = 1,85·10-7 с-1.
Рисунок 4.38. Расчетная схема
Заданная форма является результатом приложения соответствующих
граничных условий: на границе S3 расчетной области заданы кинематические
граничные условия (4.17). Величина задаваемых перемещений определена по
чертежу формы дуги, которую необходимо получить в результате лечения (рисунок 4.41). Далее в ANSYS решена задача теории упругости (4.10) – (4.17),
вычислены деформации ε ( 0 ) , выполнена проверка условия (4.8) и записан файл
*.txt массива деформаций ε ( 0 ) . В случае невыполнения (4.8) величина задаваемых перемещений уменьшается и условие проверяется заново.
94
Рисунок 4.39. Заданные перемещения по границе S 3 в направлении оси x, м
Рисунок 4.40. Заданные перемещения по границе S 3 в направлении оси y, м
Далее для вычисления оптимального механического воздействия к
каждому узлу границы S 3 последовательно приложена единичная сила в
направлении оси x, а затем y (рисунок 4.41), решена задача теории упругости,
что дало поля деформаций ε (k ) , k = 1, 2, … , K, где K – удвоенное число узлов
границы S3. Записано K файлов *.txt массивов деформаций ε (k ) . Далее в программе «Оптимальное усилие» вычисляются силы Fx , Fy которые необходи-
95
мо приложить к границе S 3 на время T, которое также вычисляется программой, для того, чтобы тело приняло заданную форму.
Рисунок 4.41. Силовые граничные условия
Для оценки результатов на рисунках 4.42, 4.43 представлены перемещения
узлов на границе S 3 в направлениях осей x и для 1-го и 2-го фрагментов. Для
этого выбраны узлы, как показано на рисунке 4.41.
Рисунок 4.42. Вычисленные перемещения узлов границы S p в направлении
оси x, м
96
Рисунок 4.43. Вычисленные перемещения узлов границы S p в направлении
оси y, м
Вычисленные узловые силы Fx и Fy (рисунки 4.44 – 4.47) необходимо
прилагать к границе S 3 в течение времени T = 3,16 мес. Значение вычисленных усилий по модулю зависит от количества узлов, к которым прилагается
сила.
Рисунок 4.44. Фрагмент 1. Узловые силы в направлении оси x, м
97
Рисунок 4.45. Фрагмент 1. Узловые силы в направлении оси y, м
Рисунок 4.46. Фрагмент 2. Узловые силы в направлении оси x, м
Рисунок 4.47. Фрагмент 2. Узловые силы в направлении оси y, м
Обозначения на рисунках 4.44 – 4.47:
98
кривая «1» – Fx в каждом узле границы S3 ,
кривая «2» – Fx через 5 узлов границы S3 ,
кривая «3» – Fx через 15 узлов границы S3 .
Обозначения на рисунок 4.45, рисунок 4.47:
кривая «4» – Fy в каждом узле границы S3 ,
кривая «5» – Fy через 5 узлов границы S3 ,
кривая «6» – F y ⋅ T через 15 узлов границы S3 .
Далее выполнена проверка ограничений (4.7). Для этого вычислены
главные напряжения, возникающие в расчетной области при мгновенном
приложении найденных Fx и Fy (рисунки 4.48, 4.49).
Рисунок 4.48. Фрагмент 1. Главные напряжения σ1, Па
Рисунок 4.49. Фрагмент 1. Главные напряжения σ2, Па
99
Из рисунков 4.48, 4.49 видно, что величина главных напряжений удовлетворяет условию (4.7), т.е. σ 1 < 0,55 МПа, r ∈ V .
Следует отметить, что формирование заданной нёбной дуги происходит не только за счет «растяжения» ткани: естественность ростового процесса не нарушается. Рост направляется в «нужную» сторону путем создания в
теле определенного заранее напряженно-деформированного состояния.
4.6.
Выводы по главе
1. Сформулирована постановка задачи независимого управления де-
формированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации.
2. Разработан математический алгоритм независимого управления де-
формированным состоянием исследуемой системы с помощью ростовой деформации. Алгоритм реализован в программной среде Matlab и имеет свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013617410
«Оптимальное усилие».
3. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса проблемно-
ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента,
с применением которого решена задача о моделировании ортопедического
лечения врожденной расщелины костного неба.
4. Для оценки результатов рассматривались перемещения кромки раз-
общенных фрагментов при приложении к ним вычисленного в программе
«Оптимальное усилие» распределения сил. Результаты расчетов показывают,
что для того, чтобы сблизить разобщенные нёбные отростки на 11 мм необходимо приложение к ним сил (рисунки 4.44 – 4.47) в течение времени
T=3,16 мес. Полученные результаты не противоречат известным клиниче-
ским данным.
100
5. Величина вычисленных усилий и время их приложения находятся в
удовлетворительном соответствии с опубликованными в литературе данными, что позволяют верифицировать модель.
6. Анализ напряженно-деформированного состояние в исследуемом
теле при действии вычисленных сил показал, что зоны сжимающих напряжений не вызывают повреждений и не оказывают неблагоприятного воздействия на общую картину роста. Данный факт исключает укорочение нёбных
отростков, наблюдаемого в клинической практике в ходе ортопедического
лечения [70].
7. Любой вид ортопедического лечения может быть рассмотрен с позиций теории управления деформациями системы. Генерирование в теле заданных деформаций посредством механической аппаратуры обеспечит положительный клинический эффект.
101
ГЛАВА 5. Проблемно-ориентированный программный
комплекс
5.1. Биомеханическое сопровождение дохирургического лечения
врожденной расщелины нёба
Проблеме ортопедического лечения детей с врожденным несращением
костного нёба посвящена обширная литература. Идеальная методика лечения
данного заболевания продолжает оставаться источником дискуссий [14]. Тем
не менее, большинство российских авторов высказывают положительное
мнение о пошаговой предоперационной ортопедической реконструкции
врожденных дефектов верхней челюсти у детей [5, 14, 23, 30, 90]. Однако отсутствие научно-обоснованных стандартов дохирургического лечения приводит к высокой частоте неудач повторных операций по устранению расщелины (необходимость реоперации – до 70% случаев) [148]. По мнению автора, качество лечения данной патологии должно непременно возрастать
вследствие исследования методами математического моделирования влияния
ортопедических аппаратов на костную ткань, а именно измерения величины
создаваемого воздействия для каждого конкретного пациента. В таком случае
результативность и действенность конкретного метода лечения будет являться следствием научного подхода к данной проблеме.
В большинстве публикаций, посвященных применению современных
компьютерных технологий в медицине, последние позиционируются, в основном, как средство диагностики [36]. Системный подход к анализу системы разобщенное нёбо – ортопедический аппарат, предложенный автором,
предполагает биомеханическое сопровождение лечения, построенное на базе
современных компьютерных технологий. Методика предполагает индивидуальное планирование продолжительности воздействия ортопедического аппарата, его индивидуальную настройку с учетом параметров (размеров, кон-
102
фигурации, механических свойств) и визуализацию результатов лечения до
его начала.
Биомеханическое сопровождение ортопедического лечения пациентов с
расщелиной нёба, заключается в разработке методики планирования лечения
и предполагает следующие этапы работу проблемно-ориентированного комплекса, разработанного автором:
1.
Построение индивидуальной Cad-модели разобщенного нёба паци-
ента с помощью современных компьютерных технологий.
2.
Вычисление управляющего воздействия на костную ткань, создава-
емое ортопедическим аппаратом для сближения разобщенных нёбных отростков, с помощью программы «Оптимальное усилие».
3.
Формулирование параметров индивидуальной настройки конструк-
ции ортопедического аппарата, для реализации им вычисленных усилий.
4.
Визуализация результатов «виртуальной» операции с помощью
программы «Расчет ростовой деформации».
5.2.
Структура работы проблемно-ориентированного программного
комплекса
5.2.1.
Разработка математической модели
Современные методы диагностики позволяют не инвазивно исследовать
организм человека при помощи физических методов, с целью получения
изображения внутренних структур костной системы и мягких тканей. В общем случае создание трехмерной модели органа человека состоит из нескольких этапов: сканирование органа, обработка полученных данных, получение трехмерной модели, корректирование модели (при необходимости),
оценка напряженно-деформированного состояния, анализ результатов, проектирование протеза (при необходимости) [37, 86, 92].
Биомеханическое сопровождение предполагает аналогичную последовательность действий. Следует отметить, что сканирование органов может
103
осуществляться путем их непосредственного сканирования на трехмерном
сканере, сканирования гипсовых слепков, компьютерной томографии. Ввиду
того, что данное исследование посвящено детской ортопедии, а проведение
компьютерно-томографических исследований у детей сопровождается множеством трудностей и недостатков (под общим обезболиванием, высокая лучевая нагрузка) [37], то наиболее приемлемым видится сканирование гипсовых слепков нёба пациентов.
5.2.2.
Вычисление оптимальных усилий
Графическое пояснение представлено на рисунке 5.50. Сначала нужно
выбрать два сечения расчетной области, для которых будут вычисляться усилия, которые необходимо создать ортопедическим устройством для сближения нёбных отростков. В этих сечениях наметить форму нёбной дуги, которую необходимо получить в результате лечения и выполнить последовательность действий, описанную в главе 4.
Рисунок 5.50. Расчетные сечения
На рисунке 5.50 dmax – наибольшее расстояние между осями нёбных отростков (наибольшая ширина диастаза). В опубликованных медицинских ра-
104
ботах по устранению расщелины нёба «активные» элементы ортопедических
устройств располагают симметрично, относительно сечения с максимальной
шириной диастаза [37, 66]. Соответственно, расчетные сечения ориентированы аналогично.
Для того чтобы вычислить требуемые усилия в программе «Оптимальное усилие», необходимо создать заданное поле ростовых деформаций ε ( 0 ) и
решить задачу теории упругости для их вычисления. Для этого на границе S 3
расчетной области заданы необходимые перемещения u 0 , соответствующие
длине отрезков 1-1’, 2-2’, 3-3’, 4-4’, 5-5’, 6-6’, 7-7’ на рисунке 5.51. Описанную процедуру можно реализовать в графической среде любой программы
автоматизированного проектирования. Автором использовалась программа
Auto CAD 2010.
Рисунок 5.51. Формирование граничных условий u0
После завершения процедур, связанных с вычислением ε ( 0 ) , с помощью
программы «Оптимальное усилие» определяется величина управляющего
воздействия на ростовые деформации ε g : вычисляются время и силы, которые необходимо приложить к кромке фрагментов для их сближения. Распределение вычисленных усилий в одном из сечений показано на рисунках 4.44
– 4.47 главы 4.
Очевидно, что на практике полностью реализовать вычисленное распределение усилий, представляющее собой массив сил размерностью {1×K},
105
невозможно. Поэтому конкретизируем размерность массива сил до {1×4} в
каждом из фрагментов, как показано на рисунке 5.52, для того, чтобы их
можно было создать ортопедическим устройством. Количественные значения
вычисленных усилий представлены в таблице 5.1.
Рисунок 5.52. Точки расчетной области, к которым прикладываются
вычисленные усилия
Таблица 5.1.
Точка области
A
B
C
D
Fx, н
3
0,48
-1
0,19
Fz, н
-1,46
-0,69
-0,17
-0,13
Далее необходимо выполнить проверку ограничений (4.7) – (4.9), т.е. к
этапу проектирования ортопедического аппарата величина и продолжительность воздействия известны.
5.2.3.
Рекомендации к проектированию ортопедического аппарата
Далее необходимо выдать рекомендации к конструкции ортопедического аппарата, для реализации оптимальных усилий. Схема ортопедического устройства представлена на рисунке 5.53. Данная конструкция представлена следующими элементами: клей, ортопедическая пластина, 4 пружины из
никелида титана [37, 62]. В каждом клиническом случае состав элементов
остается постоянным: меняются лишь параметры индивидуальной настрой-
106
ки: толщина и форма пластины, длина области клея, плотность навивки пружин. Проектирование ортопедического аппарата не является целью данного
исследования, однако автор работы не видит принципиальных причин, которые могли бы помешать реализации вычисленных усилий.
Рис. 5.53. Конструкция ортопедического аппарата
При заданной толщине пластины t и длине области клея l вертикальные
пружины должны укорачиваться таким образом, чтобы создавать по краям
силы F1 и F2. Кроме этого пластины должны сближаться.
{F} ≈ {F1 , F2 , k1U1}
1×3
{F}' ≈ {F'1 , F'2 , k 2 U1}
1×3
5.2.4.
для 1 − го фрагмента,
для 2 − го фрагмента,
(5.1)
(5.2)
Визуализация результатов
Для расчетной области, представленной на рисунке 5.50, вычисленные
усилия были приложены непосредственно. Они создают желаемую форму
при заданных ограничениях – нёбные фрагменты сближаются на 10 мм за
3,16 месяцев без повреждений. На рисунках 5.54, 5.55 представлены перемещения в направлении осей х и z, которые возникают в теле при накоплении
ростовой деформации, вычисленной с помощью программы «Расчет ростовой деформации»
107
Рисунок 5.54. Перемещения в направлении оси х, м
Рисунок 5.55. Перемещения в направлении оси z, м
5.3 Выводы по главе
1.
Предложена методика биомеханического сопровождения дохи-
рургического этапа лечения пациентов раннего возраста с врожденной расщелиной нёба.
2.
Методика предполагает индивидуальное планирование продол-
жительности воздействия ортопедического аппарата и его индивидуальную
108
настройку с учетом параметров (размеров, конфигурации, механических
свойств), визуализацию результатов лечения до его начала.
3.
Результаты вычислительных экспериментов методики не проти-
воречат известным клиническим данным о применении ортопедических
устройств с «активными» элементами, величине, создаваемых аппаратом
усилий и продолжительности лечения.
4.
Предложены требования к конструкции ортопедического аппара-
та для реализации им вычисленных усилий.
5.
В представленном эксперименте вычисленные усилия были при-
ложены к расчетной области непосредственно (без реализации их ортопедическим устройством) – они позволяют сблизить разобщенные нёбные фрагменты на 10 мм за 3,16 месяцев без повреждений.
109
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вычислительная медицина является стремительно развивающейся технологией, сочетающей использование математического моделирования и данных
клинических исследований для изучения и совершенствования методов лечения
пациентов с разнообразной патологией. Для исправления некоторых патологий
развития у детей важнейшее значение приобретают вопросы моделирования и
управления ростом. Анализ существующих моделей роста живых тканей и исследования, проведенные в рамках диссертации, позволяют сделать следующие
выводы:
1. В процессе своего роста тело испытывает деформацию, вследствие
чего изменяется форма и размеры тела. Существенным фактором, влияющим на
рост живой ткани, является поле механических напряжений, возникающих в
теле, вследствие приложения к нему внешних механических сил, и ростовых
свойств, присущих ткани. Для описания ростового процесса костной ткани, исследуемого в работе, принята механическая модель, параметры которой определены в исследовании Масич А.Г [70].
2. Предложена новая формулировка определяющего соотношения для
деформации скорости роста, исключающая возникновение остаточных напряжений в ткани в процессе ее роста.
3. Предложена постановка и решение задачи математического моделирования ростовой деформации в изотропном линейно-упругом теле. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных
программ для проведения вычислительного эксперимента по моделированию
ростового деформирования изотропного линейно-упругого тела.
4. Формализация ростовой деформации, как одного из видов собственной деформации, позволила применить существующие математические методы
к решению задач, в которых необходимо управление собственными деформациями, не меняя напряжений.
110
5. Разработан алгоритм независимого управления деформациями. Разработанный алгоритм реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных
программ для проведения вычислительного эксперимента с применением которого решена задача о моделировании ортопедического лечения врожденной
расщелины костного неба.
6. Представлено комплексное исследование проблемы ортопедического
лечения детей с врожденной расщелиной нёба с помощью современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Представлены результаты вычислительных экспериментов по анализу существующих методик ортопедического лечения детей с несращением нёба. Результаты находятся в удовлетворительном соответствии с опубликованными в
литературе данными по времени лечения и величине создаваемых ортопедическим аппаратом усилий.
7. Предложена методика биомеханического сопровождения дохирургического этапа лечения пациентов с несращением нёба, предполагающая индивидуальное планирование лечения и визуализацию результатов лечения до его
начала. Методика позволяет назначать параметры индивидуальной настройки
ортопедического устройства для реализации оптимального режима воздействия
ортопедического устройства на костную ткань, с целью создания в ней адаптивного роста при лечении врожденного несращения твердого нёба у детей.
111
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Абдрахманов С.А. Ближайшие результаты применения различных мето-
дов уранопластики при лечении расщелин неба // Республиканский межведомственный сборник. – 1991. – №26 – C. 122-124.
2.
Агапов В.С., Шипкова Т.П., Дробышев А.Ю. Опыт лечения больных с
расщелинами, сочетающимися с врожденными деформациями челюстнолицевой области // Врожденная и наследственная патология головы, лица и шеи
у детей: актуальные вопросы комплексного лечения. – 2002. – C. 8-11.
3.
Агеева Л.В. Первичная рино-хейло-периостео-пластика в реабилитации
детей с врожденной односторонней расщелиной верхней губы и неба: автореф.
дис. … канд. мед. наук. – Москва, 1999. – 16 с.
4.
Акулов С.Д. Сравнительная оценка методик пластики неба // Сборник
статей научно-практической конф. стоматологов республики Башкортостан. –
Уфа, 1996. – C. 28-29.
5.
Амануллаев Р.А., Минисаев Д.А Способ закрытия дефекта переднего от-
дела твердого нёба и ротоносового соустья при сквозной расщелине верхней
губы и нёба // Новое в стоматологии. – 2005. – №2 – C. 106-108.
6.
Асанов М.О., Медицинская и биологическая кибернетика / Под ред.
М.О.Асанов, В.Д.Мазурова, В.И.Шилко. – Екатеринбург, 1998. – 70 c.
7.
Астанин С.А. Численное моделирование роста опухолей в среде с неод-
нородным распределением питательного вещества: автореф. дис. … физ.-мат.
наук, 2006 – 16 с
8.
Асфендиярова С.Д. Нижнечелюстной сустав в два-четыре года. Строение
нижнечелюстного сустава у ребенка. http:// www.medicalplanet.su/stomatology
(декабрь, 2010)
9.
Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом
пространстве. – М.: Наука, 1966. – 543 с.
112
10.
Барышев А.А., Манжиров А.В., Лычев С.А. Нестационарные колебания
растущей круговой цилиндрической оболочки// Известия Саратовского университета. – 2012. – Т. 12, № 2 – С. 42–48.
11.
Басов К.А. ANSYS: справочник пользователя. – М: ДМК Пресс, 2005. –
640 c.
12.
Белоусов Л.В. Основы общей эмбриологии. М.: Издательство МГУ, 1993.
– 304 с.
13.
Берсенев С.В. Оптимизация выбора методов зубочелюстного протезиро-
вания взрослых пациентов в отдаленные сроки после хирургического лечения
при врожденной расщелине верхней губы, альвеолярного отростка и нёба: дис.
….канд. мед. наук. – М., 2010 – 199 с.
14.
Бессонов С.Н. Диспансеризация и комплексное лечение детей с врожден-
ными расщелинами верхней губы и нёба: Методические рекомендации. – Ярославль, 1998. – 15 c.
15.
Бимбас Е.С., Долгополова Г.В. Деформации верхней челюсти у детей, с
врожденной патологией верхней губы и неба. – 2001.
16.
Боли Б., Уэйнер Дж. Теория термоупругих напряжений. М.: Мир, 1964.
17.
Бруяка В.А. Инженерный анализ в ANSYS Workbench: Учебное пособие.
– Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. – 271 c.
18.
Булатовекая Б.Я. Опыт комплексного лечения детей и подростков с
врожденными расщелинами лица и неба в условиях централизованной диспансеризации: автореф. дис. …канд. мед. наук. – Свердловск, 1974. – 20 c.
19.
Бурак Я.И., Гачкевич А.Р. Об одной форме уравнений термоупругости в
напряжениях //Математические методы и физико-механические поля. – 1977. –
Т. 2. – С. 73-75.
20.
Васильев Г.А., Евдокимов А.И. Хирургическая стоматология. – М.: Ме-
дицина, 1959. – С.422-455.
113
21.
Верапатвелян А.Ф., Дохирургическая коррекция положения фрагментов
верхней челюсти у детей с односторонним сквозным несращением губы и нёба:
автореф. дис. …канд. мед. наук. – М., 2004. – 16 c.
22.
Виссарионов В.А., Карякина И.А., Мохова Э.П. Комплексный подход в
лечении больных с односторонней расщелиной губы и нёба // Актуальные вопросы пластической, эстетической хирургии и дерматокосметологии: Сб. науч.
трудов. – 2004. – C. 142-147.
23.
Водолацкий М.П. Врачебная программа помощи детям с врожденной
расщелиной верхней губы и нёба в Ставропольском межобластном центре //
Врожденная наследственная патология головы, лица и шеи: актуальные вопросы комплексного лечения. — М.: МГМСУ, 2002. – C. 38-41.
24.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. – М., Наука,
1984.
25.
Ганцев Ш.Х., Танюкевич М.В., Хуснутдинов Ш.М., Ганцев К.Ш. Матема-
тическое моделирование процесса опухолевого роста // Медицинский вестник
Башкортостана, – 2006.
26.
Григорян, С.С. Биомеханика и некоторые общие вопросы биологии / С.С.
Григорян, С.А. Регирер // Биомеханика: проблемы и исследования. Рига: Зинатне, 1988. – С. 233–245.
27.
Глушаков, С.В.; Сурядный, А.С. Microsoft Excel 2007. Краткий курс, 2008.
28.
Губская А.Н. Вторичные деформации челюстно-лицевой области при
врожденной расщелине губы и неба / Под ред. Губская А.Н. – М.: Медицина,
1975. – 105 c.
29.
Давыдов Б.Н. Патогенез врожденных деформаций лицевого скелета у
больных с расщелинами верхней губы, альвеолярного отростка и неба / Под
ред. В.В. Рогинский. – Москва : Детстомиздат, 2002. – C. 91-101.
30.
Демидов С.П. Теория упругости. – М.: Высшая школа, 1979.
114
31.
Долгополова Г.В. Раннее ортопедическое лечение в комплексной реаби-
литации детей с врожденной расщелиной верхней губы, альвеолярного отростка и нёба: автореф. … канд. мед. наук – Екатеринбург, 2003. – 16 с.
32.
Дроботько Л.Н. Состояние зубочелюстной системы у детей с двусторон-
ней сквозной расщелиной верхней губы и неба // Медицинский журнал Узбекистана. – 1987. – № 4 – C. 34-36.
33.
Дударева Н.Ю., Загайко С.А. SolidWorks 2006. Самоучитель. – СПб.:
БХВ-Петербургбург, 2006. –226 с.
34.
Дударева Н.Ю., Загайко С.А. SolidWorks 2009 на примерах. – СПб.: БХВ-
Петербург, 2009. – 544 с.
35.
Дьякова С.В. Специализированное лечение детей с врожденной и наслед-
ственной патологией челюстно-лицевой области в системе диспансеризации //
Врожденная и наследственная патология головы, лица и шеи у детей: актуальные вопросы комплексного лечения. – М.: МГМСУ, 2002. – C. 91-95.
36.
Дьяконов В.П. MATLAB 6.0/6.1/6.5/6.5 + SP1 + Simulink 4/5. Обработка
сигналов и изображений. – М.: СОЛОН-Пресс, 2004. – 592 с.
37.
Егорова М.В. Ортодонтическое лечение детей раннего возраста с одно-
сторонней расщелиной верхней губы и нёба с использованием в аппарате
устройства из металла с памятью формы: дис. … канд. мед. наук. – М., 2011. –
C. 143.
38.
Елисеев В.Г. Гистология. – М.: Гос. изд-во мед. лит., 1963. – 672 с.
39.
Елисеев К.В., Зиновьева Т.В. Вычислительный практикум в современных
CAE-системах. – СПб: Изд-во Политехнического университета, 2008. – 112 c.
40.
Ентов В.М. О механической модели сколиоза // Изв. АН СССР. Механика
твердого тела. – 1983. – № 4 – С. 201-208.
41. Жидков А.В., Применение системы ANSYS к решению задач геометрического и конечно-элементного моделирования, Учебно-методические материалы
по программе повышения квалификации «Информационные системы в математике и механике». – Нижний Новгород, 2006. – 115 с
115
42.
ЗАО АСКОН КОМПАС-3D V8 Руководство пользователя. – 2005. – Т. 3.
43.
Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – LONDON:
MGGRAW-HILL, 1970. – 541 с.
44.
Зорич М.Е. Обоснование и разработка аппарата с внутрикостной фикса-
цией для раннего ортодонтического лечения детей с врожденными расщелинами верхней губы и неба: автореф. дис. ...канд. мед. наук. – Минск, 2000. – 20 с.
45.
Иванов А.Л. Использование методов компьютерного и стереографическо-
го биомоделирования в детской челюстно-лицевой хирургии: автореф. дис. ...
канд. мед. наук. – М.: ЦНИИС МЗ РФ, 2002. – 22 с.
46.
Илизаров Г.А. Напряжение растяжения как фактор, возбуждающий и
поддерживающий регенерацию и рост костных и мягких тканей // Структура и
биомеханика скелетно-мышечной и сердечно-сосудистой систем позвоночных:
Тезисы докладов республиканской конференции – Киев, 1984. – С. 38-40.
47.
Исмайлова В.И. Опыт раннего ортопедического лечения детей с врож-
денной патологией верхней губы и неба // Актуальные вопросы стоматологии. –
1994. – C. 52-55.
48.
Каплун А. Б., Морозов Е. М., Олферьева М. А. ANSYS в руках инженера.
Практическое руководство. – М.: Либроком, 2013. – 272 с.
49.
Каплун С.А., Ходякова Т.Ф., Щекин И.В. SolidWorks. Оформление чер-
тежей по ЕСКД. – М.: SolidWorks Russia, 2009. – 190 c.
50.
Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц Н. MATLAB 7. Программирование,
численные методы. – Спб.: БХВ-Петербург, 2005. – 742 с.
51.
Кизилова Н.Н., Логвенков С.А., Штейн А.А. Математическое моделиро-
вание транспортно-ростовых процессов в многофазных биологических сплошных средах // Механика жидкости и газа. – 2012. –№ 1 – С. 3–13.
52.
Кирюхин В.Ю., Няшин Ю.И. Задачи управления напряжениями в акту-
альных проблемах биомеханики // Российский журнал биомеханики. – 2005. –
Т. 9, №4 – C. 9-27.
116
53.
Конюхов А.В. Основы анализа конструкций в ANSYS. – Казань: КГУ,
2001. – 102 c.
54.
Короленкова М.В. Оптимизация алгоритма реабилитации детей с расще-
линой губы и нёба с использованием компьютерных методов автоматизации и
учёта: автореф. дис. … мед. наук. – Москва, 2008. – 23 c.
55.
Кузнецов С.И. Температурные напряжения в растущих телах: автореф.
дис. …канд. физ.-мат. наук. – Краснодар, 2012. – 16 с.
56.
Лазарев Ю.Ф. Начала программирования в среде MatLAB: Учебное посо-
бие. – Киев: НТУУ «КПИ», 2003. – 424 с.
57. Леонтьев Н.В. Применение системы ANSYS к решению задач модального
и гармонического анализа. Учебно-методический материал по программе повышения квалификации «Информационные системы в математике и механике».
– Нижний Новгород, 2006. – 101 с.
58. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.: Наука, 1982. –
376 с.
59.
Логвенков C.A., Шафит C.E. Математическая модель ткани костного ре-
генерата, полученного в результате дистракционного остеосинтеза // Биофизика. – 1996. – Т. 41, №6 – Р. 1332-1335.
60.
Логвенков С.А., Штейн А.А. Механика формирования зоны роста в кор-
нях растений // Российский журнал биомеханики – 2010. – Т. 14, № 1 – С. 37–
47.
61.
Логвенков С.А., Штейн А.А. Управление биологическим ростом как за-
дача механики // Российский журнал биомеханики. – 2006. – Т. 10. № 2. – С. 9–
19.
62.
Лохов, В.А. Кучумов А.Г., Создание заданных усилий в фиксаторах, из-
готовленных из сплавов с памятью формы // Российский журнал биомеханики.
– 2006. – Том 10, № 3. – С. 41–51.
117
63.
Лохов В.А., Няшин Ю.И., Туктамышев В.С. Развитие метода декомпози-
ции в механике деформируемого твердого тела // Известия Саратовского университета. – 2010. – Т. 10, №3.
64. Лукьянова А.Н. Моделирование контактной задачи с помощью программы
ANSYS. Учебно-методическое пособие. – Самара: СГТУ, 2010. – 53 с.
65.
Лычев С.А. Краевые задачи механики растущих тел и тонкостенных кон-
струкций: дис. ...докт. физ.-мат. наук. – Москва, 2012. – 390 с.
66.
Мамедов Ад. А. Алгоритм реабилитации детей с врожденной расщелиной
верхней губы и нёба // Врожденная наследственная патология головы, лица и
шеи: актуальные вопросы комплексного лечения. – М.: МГМСУ, 2002. – C.
151-155.
67.
Манжиров А.В., Лычев С.А. Математическая теория растущих тел при
конечных деформациях // Доклады Академии наук. – 2012. –Т. 443, № 4 – С.
438–441.
68.
Манжиров А.В., Лычев С.А., Кузнецов С.И., Федотов И.А. Аналитиче-
ское исследование процесса теплопроводности в растущем шаре // Вестник
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». – 2012. – С. 130–137.
69.
Масич А.Г. Математическое моделирование ортопедического лечения
врожденной расщелины твердого нёба у детей: автореф. дис. ... канд. физ.-мат.
наук. – Пермь, 2000. – 16 с.
70.
Масич А.Г. Математическое моделирование ортопедического лечения
врожденной расщелины твердого нёба у детей: дис. ...канд. физ.-мат. наук. –
Пермь, 2000. – 132 с.
71. Маслов Л.Б., Сабанеев Н.А. Практикум по курсу вычислительной механики на базе современных программных средств численного анализа (ANSYS).
Учебно-методическое пособие. – Иваново: ИГЭУ, 2009. –76 с.
72.
Михин М.Н. Кручение растущего вала // Вестник СамГУ Сер. «Есте-
ственные науки». – 2007. – № 54 – С. 130–137.
118
73.
Няшин Ю.И., Кирюхин В.Ю. Биологические напряжения в живых тканях.
Вопросы моделирования и управления // Российский журнал биомеханики. –
2002. – Т. 6, №13 – C. 13-32.
74.
Панченко С.П. Влияние ортотропии механических свойств кортикальной
ткани на напряженное состояние и прочность элементов системы «костьфиксатор» // Збiрник наукових праць. – 2012. – Т. 2, №2 – C. 13-32.
75.
Петров И.Б. Математическое моделирование в медицине и биологии на
основе моделей механики сплошных сред // Труды МФТИ, 2009. – Т. 1, № 1. –
С. 5–16.
76. Победри В.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М.:
МГУ, 1995. – 366 с.
77.
Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория
и приложения. – М.: Наука, 1982. – 112 с.
78.
Попова Д.Н. Профилактика деформаций зубочелюстной системы у детей
с врожденной расщелиной лица и челюстей на этапах комплексной реабилитации // Организация стоматологической помощи и профилактика основных стоматологических заболеваний. – Москва: Тр. ЦНИИС, 1983. – C. 122-125.
79.
Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов Matlab 5.x. Том
1 Диалог-МИФИ, 2004. – 336 с.
80.
Прохоренко В.П. SolidWorks. Практическое руководство. – М.: Бином,
2004. – 448 с.
81.
Регирер С.А., Штейн А.А. Методы механики сплошной среды в примене-
нии к задачам роста и развития биологических тканей // Современные проблемы биомеханики. – 1985. – Т. 2 – C. 5-67.
82.
Регирер С.А., Штейн А.А. Механические аспекты процессов роста, разви-
тия и перестройки биологических тканей // Итоги науки и техники. Комплексные и специальные разделы механики. М.:ВИНИТИ, 1985. – Т. 1 – С. 3–142.
119
83.
Регирер С.А., Штейн А.А., Логвенков С.А. Свойства и функции костных
клеток: биомеханические аспекты // Современные проблемы биомеханики. –
2000. – V. 10 – P. 174-224.
84.
Рогинский В.В., Арсенина О.И., Старикова Н.В. Устранение недоразви-
тия верхней челюсти у детей после хейлоуранопластики // Врожденная наследственная патология головы, лица и шеи: актуальные вопросы комплексного лечения. – М.: МГМСУ, 2002. – C. 227-231.
85.
Симановская Е.Ю. Реабилитация детей с врожденными расщелинами гу-
бы и нёба в условиях Пермского центра по диспансеризации и лечению //
Врожденная и наследственная патология головы, лица и шеи у детей: актуальные вопросы комплексного лечения. – М.: Изд-во МГМСУ, 2002. – C. 235-237.
86.
Тонконогий В.М., Савельева Е.В., Рязанцев В.М., Бец А.В. Применение
CAD/CAM технологий в медицине. http:// www.pratsi.opu.ua/app/webroot/articles
(май, 2013)
87.
Туктамышев В.С. Алгоритмы решения задач независимого управления
напряжениями и деформациями с помощью собственной деформации: автореф.
дис. ... канд. физ.-мат. наук. – Пермь, 2011. – 16 с.
88.
Туктамышев В.С., Лохов В.А. Метод независимого управления механиче-
скими напряжениями в деформируемых системах // Механика композиционных
материалов и конструкций. – 2008. – Т. 3, №2 – C. 269-281.
89.
Туктамышев В.С., Лохов В.А., Няшин Ю.И. Исследование методики не-
зависимого управления полными деформациями посредством собственных деформаций в дискретизированных системах // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, №3 – C. 110-119.
90.
Туктамышев В.С., Лохов В.А., Няшин Ю.И. Независимое управление
напряжениями и деформациями в растущих живых тканях // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, №2 – C. 69-76.
91.
Чен К., Джиблин П., Ирвинг А. Matlab в математических исследованиях.
– М.: Мир, 2001. – 346 с.
120
92.
Чуйко А.Н. Компьютерная томография и биомеханическое сопровожде-
ние при черепно-мозговой травме. http:// www.biomechanics.pro/node/390 (май,
2012)
93.
Шарова Т.В., Рогожников Г.И. Ортопедическая стоматология детского
возраста. – М.: Медицина, 1991. – 288 с.
94.
Шашмурина В.Р., Чумаченко Е.Н. Математическое моделирование в пла-
нировании ортопедического лечения пациентов с полным отсутствием зубов на
нижней челюсти. http:// www.smolensk.ru/user/sgma.htm (июнь, 2006)
95.
Штейн A.A. О континуальных моделях растущего материала // Мех. ком-
позиты, материалов. – 1979. – № 6 – С. 1105-1110.
96.
Штейн А.А. Новый подход к континуальному описанию механики объ-
емного роста. Модель растущего упругого тела // Биомеханика мягких тканей.
Казань: Казанский филиал АН СССР, 1987. – С. 90–101.
97.
Штейн А.А., Юдина Е.Н. Математическая модель растущей растительной
ткани как трехфазной деформируемой среды // Российский журнал биомеханики – 2011. – Т. 15. № 1 – С. 42–51.
98.
Шульженко В.И. Вариант изучения и анализа протоколов реабилитации
детей с несращением губы и неба, применяемых в мире // Кафедра детской стоматологии, ортодонтии и челюстно-лицевой хирургии ГОУ ВПО «Кубанский
государственный медицинский университет». – 2010.
99.
Шуньгин Д.Н., Горбатова Л.Н., Дерягина Л.Е. Физиологическое значение
давления губ и языка на зубы детей // Российский стоматологический журнал. –
2009. – №3 – C. 46-49.
100. Ahmed A.M., Park W., Burke D.L., Miller J.A. Transient and Residual Stresses and Displacements in Self-Curing Bone Cement. Part I: Characterization of Relevant Volumetric Behavior of Bone Cement // Transactions of the ASME. Journal of
Biomechanical Engineering. – 1982. – V. 104. № 2 – P. 21-37.
121
101. Alastrue V., Martinez M.A., Doblare M. Modelling adaptative volumetric finite growth in patient-specific residually stressed arteries // J Biomech. – 2009 –. V.
41. P. 1773–1781.
102. Ambrosi D., Mollica F. On the mechanics of a growing tumor // International
Journal of Engineering Science. – 2002. – V. 40 – P. 1297–1316.
103. Ambrosi D., Vitale G. The theory of mixtures for growth and remodeling compression // Mini-Workshop: The mathematics of growth and remodelling of soft biological tissues. – 2008. N 39 – P. 9–10.
104. Asaoka K., Kuwayama N., Tesk J.A. Influence of Tempering Method on Residual Stress in Dental Porcelain // Journal of Dental Research. – 1992. – V. 71, № 9
– P. 1623-1627.
105. Ateshian G.A. The role of mass balance equations in growth mechanics illustrated in surface and volume dissolutions // Journal of Biomechanics Engineering. –
2011 – V. 133. № 1 – P. 381-390.
106. Ateshian G.A., Chahine N.O., Basalo I.M., Hung C.T. The correspondence between equilibrium biphasic and triphasic material properties in mixture models of articular cartilage // Journal of Biomechanics. – 2004. – V. 37, № 3 – P. 391-400.
107. Ateshian G.A., Costa K.D., Azeloglu E.U. Continuum modeling of biological
tissue growth by cell division, and alteration of intracellular osmolytes and extracellular fixed charge density // Journal of Biomechanics Engineering. – 2009. – V. 131,
№ 3.
108. Ben Amar. M. Growth of thin hyperelastic soft tissues // Mini-Workshop: The
mathematics of growth and remodelling of soft biological tissues. – 2008, № 39 – P.
10–14.
109. Chaudhry H.R., Bukiet B., Davis A., Ritter A.B., Findley T. Residual Stresses
in Oscillating Thoracic Arteries Reduce Circumferential Stresses and Stress Gradients // Journal of Biomechanics. – 1997. – V. 30, №1 – Р. 57-62.
110. Chuong C.J., Fung Y.C. On residual stresses in arteries // Journal of Biomechanical Engineering. – 1986. – V. 108. – P. 189-192.
122
111. Cowin S.C. Tissue growth and remodeling // Annular Review Biomedical Engineer. – 2004. – V. 6 – P. 77–107.
112. Cowin S.C., Hegedus D.K. Bone remodelling Theory of adaptive elasticity // J.
Elast. – 1976. – V. 6, № 3 – P. 313-325.
113. Delfino A., Stergiopulos N., Moore J.E., Meister J.J. Residual Strain Effects on
the Stress Field in a Thick Wall Finite Element Model of the Human Carotid Bifurcation // Journal of Biomechanics. – 1997. – V. 30, № 8 – P. 777-786.
114. Dickson D.R. Tomographic assemetry of craniofacial structures // Cleft Palate
Journal. – 1983. – Т. 20, № 1 – P. 34.
115. Epstein M., Maugin G.A. Thermomechanics of volumetric growth in uniform
bodies // International Journal of Plasticity. – 2000. – V. 16, № 7 – P. 951–978.
116. Gonzales-Carrasco J.L., Escudero M.L., Chao J., Garcia-Alonso M.C. Thermal
Oxidation Treatments in the Development of New Coated Biomaterials: Application
to the MA 956 Superalloy // Materials and Manufacturing Processes. – 1998. – V. 13,
№ 3 – P. 431-443.
117. Goriely A., Robertson-Tessi M., Tabor M., Vandiver R. Elastic growth models
// Program in Applied Mathematics. RUMMBA, University of Arizona, 2010. – 45 p.
118. Grabowski R. Kopp H. Presurgical orthopedic treatment of newborn with
clefts- functional treatment with long-term effects // Journal of Cranio-Maxillofacial
Surgery. – 2006. – V. 34 – P. 34-44.
119. Greenwald S.E., Moore J.E., Rachev A., Kane T.P.C., Meister J.J. Experimental Investigation of the Distribution of Residual Strains in the Artery Wall //
Transactions of the ASME. Journal of Biomechanical Engineering. – 1997. – V. 119
– P. 438-444.
120. Growth and remodelling of soft biological tissues – Modeling approaches and
computational aspects // Mini-Workshop: The mathematics of growth and remodelling of soft biological tissues. – 2008. – V 39 – P. 26–29.
121. Habel A. Management of cleft lip and palate // Archives of Disease in Childhood. – 1996. – V. 74 – P. 360-366.
123
122. Hejnowicz Z., Romberger J.A. Growth tensor of plant organs // J. Theoretical
Biology. – 1984. – V. 110. № 1 – P. 93-114.
123. Hoger A. Residual Stress in an Elastic Body: a Theory for Small Strains and
Arbitrary Rotations // Journal of Elasticity. – 1993. – V. 31 – P. 1-24.
124. Hoger A. Virtual Configurations and Constitutive Equations for Residually
Stressed Bodies with Material Symmetry // Journal of Elasticity. – 1997. – V. 48. – P.
125-144.
125. Honda J. Longitudinal study an the changes of maxillary arch dimensions in
Japanese children with cleft lip and for palate: Infancy to 4 years of age // Cleft palate
craniofac. J. – 1995. – V. 2, № 32 – P. 149-155.
126. Hsu F. The influence of mechanical loads on the form of a growing elastic
body // University Microfilms, Inc., Ann Arbor, Michigan. 1966. – 39 p.
127. Irschik H., Ziegler F. Eigenstrain without stress and static shape control of
structures. // AIAA Journal. – 2001. – V.39, №10 – P.1985-1990.
128. Klarbing A. Growth, optimization and configurational forces // MiniWorkshop: The mathematics of growth and remodelling of soft biological tissues. –
2008. – N 39 – P. 21–24.
129. Klarbring A., Olsson T., Stalhad J. Theory of residual stresses with application
to an arterial geometry // Arch. Mech. – 2007. – V. 59, № 4 – P. 341–364.
130.
Kyrkanides S. Skeletal asymmetries of the nasomaxillary complex in noncleft
and postsurgecal unilateral cleft lip and palate individuals // Cleft-Palate-Craniofac.-J.
– 1995. – V. 5 – P. 32.
131. Lanyon L.E., Magee Р.Т., Baggott D.G. The relationship of functional stress
and strain to the processes of bone remodelling. An experimental study on the sheep
radius // J. Biomech. – 1979. – V. 12, № 8 – P. 593-600.
132. Latham R.A. Maxillary development and growth // Journal Anatomy. – 1970. –
V. 1 – P. 107.
133. Lawrence Kent L. ANSYS Workbench Tutorial. – SDC Publications, 2006. –
227 p.
124
134. Lockhart J.A. An analysis of irreversible plant cell elongation // J. Theoretical
Biology. – 1965. – V. 8, № 2 – P. 264–275.
135. Lokhov V., Nyashin Y., Kiryukhin V., Ziegler F. Theorem on stress-free eigenstrain and Duhamel’s analogy // Journal of Theoretical and Applied Mechanics,
Sofia. – 2006. – V. 36, № 3 – P. 35-46.
136. Lokhov V., Nyashin Y., Ziegler F. Statement and solution of optimal problems
for independent stress and deformation control by eigenstrain // Z. Angew. Math.
Mech. – 2009. – Vol. 89, № 4 – P. 320-332.
137. Lombard M. SolidWorks 2010 Bible. – Wiley, 2010. – 1179.
138. Lubarda A., Hoger A. On the mechanics of solids with a growing mass // International Journal of Solids Structure. – 2002. – V.39.
139. Masich A.G., Simanovskaya E.Yu., Chernopazov S.A., Nyashin Y.I., Dolgopolova G.V. The role of mechanical factor in orthopedic treatment of congenital palate
cleft in children // Russian Journal of Biomechanics. – 1999. – V. 4, №. 1 – P. 101109.
140. Masich A.G., Nyashin Y.I. Mathematical Modelling of Orthopedic Reconstruction of Children’s Congenital Maxillary Anomaly // Russian Journal of Biomechanics. – 1999. – V. 2, № 1 – P. 101-109.
141. Maulina I., Priede D., Linkeviciene I. The influence of early orthodontic treatment on the growth of craniofacial complex in deciduous occlusion of unilateral cleft
lip and palate patient // Stomatology, Baltic Dental and Maxillofacial Journal. – 2007.
– V. 9.
142. McNeil C.K. Orthopedic principles in the treatment of cleft lip and palate in
Hotz M.: Early treatment of cleft lip and palate. – Muber: Bern-Wein-Struttgart,
1984. – 59 p.
143. Mossey P. Global registry and database on craniofacial anomalies // Report of
WHO Registry Meeting on Craniofacial Anomalies. – Geneva, 2003. – 101 p.
144. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids / T. Mura. – Dordrecht: Kluwer
Academic Publ, 1991. – 494 p.
125
145. Nyashin Y.I., Lokhov V.A., Ziegler F. Decomposition method in linear elastic
problems with eigenstrain // Z. Angew. Math. Mech. – 2005. – V. 85, №.8 – P. 557570.
146. Nyashin Y.I., Kiryukhin V.Y. Biological stresses in living tissues. The modeling and control problems. Russian Journal of Biomechanics. – 2002. – V.6, N3 –
P.13–31.
147. Plant R.Е. A continuum model for root growth // J. Theor. Biol. – 1982. – V.
98, № l – P. 45-59.
148. Rachev A. Theoretical Study of the Effect of Stress-Dependent Remodeling on
Arterial Geometry Under Hypertensive Conditions // Journal of Biomechanics. –
1997. – V. 30, № 8 – P. 819-827.
149. Rao S.S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of flexible structures: a survey. // Applied Mechanics Reviews. – 1994. – V.47,
№4 – P.113–123.
150. Rausch M.K., Dam A. Computational modeling of growth: systemic and pulmonary hypertension in the heart // Biomech. Model Mechanobiol. – 2011 –. V. 10 –
P. 799–811.
151. Rintala A.E., Haapanen M-L. The correlation between training and skill of the
surgeon and reoperation rate for persistent cleft palate speech // British Journal Oral
Maxillofac Surg. – 1995.
152. Rodriguez E.K., Hoger A., McCulloch A.D. Stress-dependent finite growth in
soft elastic tissues // Journal Biomech. – 1994. – V. 27. – № 4 – P. 455–467.
153. Romeo M., Latham R. Treatment of an infant with a rare cleft resolved with
use of an orthopedic appliance // Cleft Palate Craniofac. J. – 2003. – V. 40, № 6 – P.
642 – 644.
154. Segev R., Rodnay G. Continuum kinematics of volumetric growth / Proceedings of the Continuous Models and Discrete Systems. – Istanbul, 1998. – 11 p.
155. Skalak R., Compability and the Genesis of Residual Stress by Volunetric
Growth // Journal of Mathematical Biology. – 1996. – V. 34. – P. 889-914.
126
156. Skalak R., Dasgupta G., Moss M., Otten E., Dullemeijer P., VilmannH. Analytical description of growth // J. Theor. Biol. – 1982. – V. 94, № 3 – P. 555- 577
157. Skalak R., Farrow D.A., Hoger A. Kinematics of Surface Growth // Journal of
Mathematical Biology. – 1997. – V. 35 – P. 869-907.
158. Skalak R., Zargaryan S., Jain R.K., Netti P.A., Hoger A. Compatibility and the
Genesis of Residual Stress by Volumetric Growth // Journal of Mathematical Biology. – 1996. – V. 34 – P. 889-914.
159. Stein A.A. The deformation of a rod of growing biological material under longitudinal compression // Journal Applied Math and Mechanics. – 1995. – V. 59, № 1
– P. 139–146.
160. Taber L.A. Biomechanics of growth, remodeling, and morphogenesis // Applied Mechanical Review. – 1995. – V. 48 – P. 487–545.
161. Taber L.A., Eggers D.W. Theoretical Study of Stress-Modulated Growth in the
Aorta // Journal of Theoretical Biology. – 1996. – V. 180 – P. 343-357.
162. Tanaka M., Adachi T. Preliminary Study on Mechanical Bone Remodeling
Permitting Residual Stress //JSME International Journal. – 1994. – V. 37, № 1 – P.
87-95.
163. Tepole A.B., Ploch C.J. Growing skin: A computational model for skin expansion in reconstructive surgery // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. –
2011. – V 59 – P. 2177–2190.
164. Thompson D. On growth and form // Edited by John Tyler, Cambridge: Cambridge University Press. (First published in 1917), 1961. – 180 p.
165. Vossoughi J. Intimal residual stress and strain in large arteries // Proc. Summer
Bioengineering Conference. – 1993. – P. 434-437.
166. Weinmbaum S., Cowin S.C, Zeng Y. A model for excitation of osteocytes by
mechanical loading-induced bone fluid shear-stresses // J. Biomech. – 1994. – V. 27 –
P.339-360.
167. Wood B.G. Maxillary arch correction in cleft lip and palate cases // Amer. J.
Orthodont. – 1970. – V. 2, № 58 – P. 135-150.