Удлер Е.М., Удлер Т.М. заданной поверхности

Удлер Е.М., Удлер Т.М.
Алгоритм построения сети с равносторонними ячейками на численно
заданной поверхности
(Казанский государственный архитектурно-строительный университет)
Эта задача решалась в связи с разработкой программы
автоматизированного раскроя тканевых оболочек сложной геометрии. Форма
таких оболочек определялась итерационным способом, путем вычисления
ординат поверхности в узлах плоской ортогональной координатной сетки с
учетом геометрии опорного контура оболочки [1].
Ввиду сложности формы, оболочка для раскроя расчленяется на
участки, ограниченные сечениями. Участки выбираются таким образом, чтобы в
пределах каждого, накладываемая на него сеть Чебышева (сеть с
равносторонними ячейками) имела малые изменения сетевого угла.
Задача наложения сети Чебышева на участок заключается в
определении координат ее узлов на поверхности. Эта задача решается в три
этапа.
Этап 1. По характерным сечениям на поверхности участка, строятся «осевые
линии» и определяется координата центра сети Чебышева. Положение
характерных сечений задается проектировщиком. Осевые линии представляются
как множество координат точек на поверхности. Центр сети находится на
пересечении осевых линий.
Этап 2. На осевых линиях определяются координаты «осевых» узлов сети с
выбранным размером ячеек. Расчет ведется от центра сети. Он заключается в
нахождении очередной точки на оси, расстояние до которой (от текущей)
отличается от размера ячейки на величину, не большую заданной (точности
расчета). Задача решается итерационным путем.
В процессе нахождения положения точки, удаленной на определенную
величину R с точностью t, используется простейший алгоритм половинного
деления.
Шаг 1. Из набора имеющихся отыскать две смежные точки с координатами
(Xmin, Ymin, Zmin) и (Xmax,Ymax,Zmax), расстояние до которых (Lmin и
Lmax) меньше и больше расчетного.
Шаг 2. Определить расстояние Lo до точки с промежуточными координатами
Xo,Yo,Zo, вычисленными по формулам:
Xo=(Xmin+Xmax)/2; Yo=(Ymin+Ymax)/2; Zo=(Zmin+Zmax)/2
Шаг 3. Сравнить расстояния Lo и R.
Если ABS(Lo – R) < t, Тогда промежуточная точка есть искомый узел, и расчет
завершен.
Если Lo>R, Тогда Xmax=Xo; Ymax=Yo; Zmax=Zo,
Иначе Xmin=Xo; Ymin=Yo; Zmin=Zo.
Переход к Шагу 2.
Приведенный алгоритм многократно использовалcя нами в расчетах и
показал достаточную для практических расчетов надежность.
Этап 3. Вычисляются координаты промежуточных узлов сети Чебышева.
Задача трактуется как нахождение на поверхности точки (четвертого узла
ячейки сети) по трем известным. Расстояние от этой точки до смежных узлов
сети не должно отличаться от размера стороны ячейки на величину, большую
точности. Расстояния между точками вычисляются по прямым линиям.
Процесс вычисления итерационный. За начальное положение искомого
узла принимается точка, соответствующая ячейке сети в виде плоского ромба.
Затем отыскивается ордината точки на поверхности, соответствующей проекции
узла на координатную плоскость. Полученная точка принимается за искомый
узел сети. Расстояние от этого узла до одного из смежных сравнивается с
размером стороны ячейки. Если это расстояние отличается на величину
большую точности, то уточняется положение искомого узла изменением
величины проекции искомой стороны (но сохраняя направление проекции)
ячейки сети, до тех пор пока не будет достигнута принятая точность.
Полученное положение узла на поверхности является основой для
поиска новых значений, удовлетворяющих расстоянию до второго смежного
узла ячейки. Расчет ведется аналогичным способом. Процесс расчета очередного
узла завершается тогда, когда его положение на поверхности удовлетворит
условию точности расстояний по обеим сторонам ячейки.
Литература:
1. Удлер Е.М., Толстов Е.В. Проектирование исходной геометрии тентовых
оболочек. Труды МНК «Архитектура оболочек и прочностной расчет
тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной
формы». Москва, ИПК РУДН, 2001 г.