нелинейные колебания неоднородных двухслойных
реклама
ISSN 19950470. МЕХАНИКА МАШИН, МЕХАНИЗМОВ И МАТЕРИАЛОВ. 2014. № 4 (29) УДК 539.3 С.А. ГУСЕЙНОВ Азербайджанский архитектурностроительный университет, г. Баку НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ДВУХСЛОЙНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНОК В статье исследуется задача о нелинейных колебаниях двухслойных неоднородных прямоугольных пла стинок. Предполагается, что слои изготовлены из различных неоднородных изотропных материалов и упругие характеристики являются непрерывными функциями координаты толщины пластинки. При нимая справедливость гипотезы КирхгоффаЛява для всего элемента, в общем виде получены все ос новные соотношения и система уравнений движения пластинки с учетом геометрической нелинейнос ти. Здесь рассмотрена также приближенная расстановка задачи. Подробно исследовано решение задачи о нелинейном колебании двухслойной квадратной пластинки при шарнирном закреплении краев. Полу чено аналитическое решение задачи с использованием метода БубноваГалеркина и определена зависи мость амплитудночастотных характеристик рассматриваемой пластинки. Для конкретного вида функций неоднородности материала слоев проведены численные расчеты и результаты представлены в виде характерных графиков. Ключевые слова: двухслойные пластинки, неоднородный, колебания, метод БубноваГалеркина, амплитудночастотные характеристики Введение. Различные задачи об устойчивости и колебании пластин и оболочек, изготовленных из однородно упругих материалов в современной на учной литературе освещено достаточно [1–4]. В [5] исследованы вибрационные процессы полярно неоднородных ортотропных круговых пластинок. В [6] рассмотрена задача о колеба нии двухслойных цилиндрических оболочек из функционально неоднородного материапа. В статье [7] исследованы собственные колебания нанопластинок на основе трехмерной теории упругости. В [8] исследованы собственные ко лебания слоистых композитных пластинок с помощью метода конечных элементов. В [9] ис следована нелинейная устойчивость и закрити ческое поведение круговых цилиндрических оболочек из функционально неоднородного ма териала под действием эксцентрично приложен ных нагрузок. Однако научные исследования, когда конст рукции изготовлены из неоднородных материалов и рассматриваются геометрически нелинейные за дачи, в литературе встречаются редко. Поэтому в данной статье рассмотрена зада ча исследования нелинейных колебаний двух слойных прямоугольных пластинок, слои кото рого изготовлены из различных неоднородно упругих материалов. Постановка задачи. Рассмотрим двухслой ную прямоугольную пластинку, изготовленную из изотропного неоднородно упругого матери ала. Координатная система выбрана следующим образом: оси ОХ и ОY расположены в средин ной плоскости, разделяющей слои пластинки, ось OZ — направлена перпендикулярно им (ри сунок 1). 64 В общем случае пластинка находится под дей ствием равномерно распределенных в срединной плоскости усилий. Связь между компонентами напряжений и дефор маций на основе обобщенного закона Гука имеет вид: (1) здесь предполагается, что упругие характеристики материала слоев являются непрерывными функци ями координаты толщины, т. е: Используем гипотезу КирхгоффаЛява для всей толщины элемента пластинки: (2) где ε11, ε22, ε12 и x11, x22, x12 — бесконечно малые из менения деформации и кривизны срединной плос кости пластинки. Рисунок 1 — Расчетная схема двухслойной пластинки
