Основы наноэлектроники

Кафедра физической электроники и нанотехнологий
Белорусский государственный университет
доцент
ЖЕВНЯК Олег Григорьевич
ОСНОВЫ НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Для студентов
специальности:
1-31 04 03 Физическая электроника
специализации:
1-31 04 03 03 Наноэлектроника
КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ
Лекция 1.
Введение
Вопросы для рассмотрения:
1. Определение наноэлектронных размеров.
2. Современные тенденция миниатюризации элементов интегральных схем.
3. Тенденции развития наноэлектроники.
Наноэлектроника — это наука, изучающая закономерности движения электронов
через структуры с размерами от 100 нм до 1 нм.
К современным структурам наноэлектроники относятся:
1. Стандартные интегральные транзисторы с малыми размерами своих элементов
(истоковых и стоковых областей, а также проводящих каналов и изолирующих
диэлектриков).
1.1. Транзисторы с размерами элементов 100 нм и менее.
1.2. Транзисторы с низкоразмерным электронным газом.
1.3. Транзисторы с квазибаллистическим переносом носителей заряда.
2. Структуры на сверхрешетках.
2.1. Транзисторы с модулированным легированием.
2.2. Гетеролазеры.
2.3. Резонансно-туннельные диоды.
3. Наноэлектронные структуры на квантовых эффектах.
3.1. Твердотельные структуры.
3.1.1. Гибридные микро- и наноэлектронные структуры.
3.1.2. Структуры на кластерах.
3.1.3. Структуры одноэлектроники.
3.1.4. Структуры спинтроники.
3.2. Структуры молекулярной электроники.
3.2.1. Структуры на углеродных фуллеренах.
3.2.2. Структуры на углеродных нанотрубках.
3.2.3. Структуры на органических сложномолекулярных цепях.
Развитие физики нанообъектов сегодня может быть разделено по следующими
направлениям










физика наночастиц;
химия наночастиц;
материаловедение наночастиц;
нанотехнологии;
методы нанодиагностики;
наноэлектроника;
нанооптика;
наномеханика;
микро- и наноэнергетика;
биомедицинские нанотехнологии.
Физика и химия наночастиц и материаловедение наночастиц ориентированы на
изучение физических и химических свойств объектов с размерами в несколько десятков
или сотен атомов и имеющих размеры в несколько нанометров, а также анализ способов
их получения. Нанотехнологии в основном связаны с разработкой технологических
приемов получения приборных структур с нанометровыми размерами, а также приборов в
которых в качестве основных рабочих участков, например, проводящих каналов
используются наночастицы. Методы диагностики связаны с разработкой приемов анализа
химического состава и геометрической структуры объектов и приборов нанометрового
размера, а также изучением их электрических, механических и оптических свойств.
Развитие наноэлектроники ориентировано на исследование особенностей протекания
электронных процессов в нанометровых условиях, т.е. в структурах с нанометровыми
размерами активных областей.
Лекция 2.
Электроны в квантовой яме
Вопросы для рассмотрения:
1. Квантование энергии
2. Волновые функции
3. Квантовые ямы сложной формы
4. Влияние однородного электрического поля на энергетический спектр прямоугольной
потенциальной ямы
В случае, когда электрон находится в прямоугольной яме, у него может случиться
волновая локализация, сопровождающаяся запретом движения в направлении поперек
ямы и квантованием энергии. Это произойдет, если де Бройлевская длина волны
h
 W , где h – постоянная Планка, v –
электрона станет меньше ширины ямы —  дБ 
mv
скорость электрона, W – ширина ямы. Теперь электрон может находиться только на
каком-то из уровней размерного квантования, обозначаемых Ei , где i может принимать
значения 1, 2, 3 … , а его волновые свойства будут определяться волновой функцией  i ,
изменяющейся вдоль направления ширины ямы. Как известно из квантовой механики,
величины Ei и  i удовлетворяют уравнению Шредингера

2
d2
  U    E
2m dz 2
Здесь величина U есть значение потенциальной энергии в яме, а направление поперек
ямы (вдоль W ) выбрано за ось Z.
Рассмотрим квантование энергии электрона в яме с бесконечной высотой барьеров
и нулевым значением потенциальной энергии U .
z
0
W
Рис. 1. Потенциальная яма с малой шириной.
Для данной ямы перепишем уравнение Шредингера в виде
d2
dz
Вводя обозначение k 2 
2m
2
2

2m
2
E  0 .
E , получим стандартное дифференциальное уравнение
второго порядка
d2
2
  k 2  0 .
dz
Его решения известны и имеют вид   z   a sin  kz  b  . Параметры a и b —
неизвестны, однако их можно найти из предварительных рассуждений, связанных с
физическими закономерностями. Волновая функция   z  фактически есть функция,
задающая места расположения электрона. Очевидно предположить, что на стенках
потенциальной ямы и за ее пределами электрона нет, тогда можно записать так
называемые граничные условия для функции   z  :   0  0 и  W   0 . Наложив
первое условие на найденное решение уравнения Шредингера, получим
  0  a sin  k  0  b  a sin  b  0. Отсюда либо a  0 , либо b  0 . Но первый случай
исключен, так как тогда   z   a sin  kz  b   0 . Поэтому b  0 и решение принимает вид
  z   a sin  kz  . Подставив второе граничное условие, получим  W   a sin  kW   0 .
Синус равен нулю, если его аргумент кратен . Следовательно kW  i , где i = 1, 2, 3 … .
Это условие и есть условие появления квантования в яме:
i
ki  .
W
Но так как согласно введенному обозначению E 
2 2
k
, то для энергии в яме
2m
получим

2 2
Ei 
2
i2 .
2mW
Чтобы найти параметр a , необходимо воспользоваться условием нормировки
волновой функции электрона, которое имеет тот физический смысл, что где-то в
пространстве рассматриваемый нами электрон обязательно находится, т.е.

2
   z  dz  1 .

Электрон локализован в яме шириной W , поэтому интеграл можно считать только
по этой ширине, т.е.
W
W
0
0
2
2
2
   z  dz   a sin  kz  dz  1.
W
Интеграл
W
2
 sin  kz  dz — табличный и равен 2 . Подставив это значение, получим
0
W
W
0
0
2
2
2
2
 a sin  kz  dz  a  sin  kz  dz 
Отсюда окончательно имеем a 
a 2W
 1.
2
2
, а для волновой функции в яме
W
2
 i 
sin  z  .
W
W 
Мы рассмотрели яму только вдоль одного направления Z. В ней формируется так
называемый двумерный электронный газ (2D). Однако данные вычисления справедливы и
для двух и для трех направлений, если в них будут существовать однотипные
рассмотренной прямоугольные ямы со стенками бесконечной высоты. В первом случае
получается одномерный электронный газ (1D), а во втором — нульмерный (0D). При этом
ширина ямы в каждом из направлений квантования может быть разной.
Для 1D-газа тогда можно записать
i
l
k zi 
, k ly 
, i, l — квантовые числа, (= 1, 2, 3 …),
Wz
Wy
i 

2 2
Eil 

2 2
i 
2
2mWz2
2mWy2
l2,
 i   i 
2
2
sin 
z  sin 
y.
Wz Wy
 Wz   Wy 
Для 0D-газа эти выражения перепишутся уже с учетом трех направлений
i
p
l
k zi 
, k ly 
, k xp 
, i, l, p — квантовые числа, (= 1, 2, 3 …),
Wz
Wx
Wy
il 


2 2
Eilp 
i2 
2
2mWz

2 2
l2 
2
2mWy
2 2
2mWx2
p2 ,
 i   i   i 
2
2
2
sin 
z  sin 
y  sin 
x.
Wz Wy Wx
 Wz   Wy   Wx 
Для 1D- и 0D-газа энергетический спектр станет достаточно сложным и
запутанным. При различии величин Wz , Wy и Wx индексы в определении уровня
ilp 
квантования станут не равноправными, и, например, уровень E123 не будет равен уровню
E321 . Еще более запутанней ситуация может стать в полупроводниках с анизотропией
массы проводимости (когда масса по разным направлениям движения различна), как,
например, в кремнии. Тогда значения уровней квантования будут определяться согласно

2 2
Ei 
Eil 
Eilp 

2 2

2mzWz2
2 2
i2 
2
2mzWz
i2 
2
2mzWz

2 2
i 2 , (2D-газ),

2 2
2m yWy2
l2 
2
2m yWy
l 2 , (1D-газ),

2 2
2mxWx2
p 2 , (0D-газ).
Квантовые ямы, однако, могут быть как прямоугольными, так и произвольной
формы. Обычно наиболее распространенными формами являются три — 1) две
прямоугольные (одна широкая прямоугольная с узкой внутри себя), 2) гармонического
осциллятора, 3) треугольной формы.
В первого типа ямах квантованные значения энергии зависят от размеров
прямоугольных ям и высоты внутренней ямы и могут быть найдены из решения
трансцендентного уравнения
для нечетных номеров уровней —
2mE2i 1
l


2mE2i 1

U
2md 2
,

d  arctg  1 
tg
E

U


2i 1
2


2
E2i 1


для четных номеров уровней —
2mE2i
l  
2mE2i
2


 tg 2md  E2i  U  
2


d  arctg 

U


1


E
2
i


где d – полуширина узкой ямы, l – полуширина широкой ямы и U – глубина узкой ямы
относительна дна широкой.
k
Во втором типе ям значения уровней равны Ei 
 i  0,5 .
m
2
В третьем типе ям значения уровней равны Ei  3
Fs 
1 3

  eFs  i  0, 75  , где
2m  2

U
, т.е. отношение высоты треугольной ямы к ее максимальной ширине.
d
Лекция 3.
Движение электронов над ямами и барьерами
Вопросы для рассмотрения:
1. Пролет электрона над потенциальным барьером
2. Движение электрона над потенциальной ямой.
3. Интерференционные явления при движении над ямами и барьерами
Движение электронов в структурах наноэлектроники фактически всегда
представляет собой движение вдоль потенциальных барьеров различной формы или
сквозь них. В структурах наноэлектроники движение электрона над потенциальным
барьером отличается от движения частиц в объемных средах. Если во вторых носители
заряда практически не замечают таких барьеров — и ток через них переносится без
потерь, то в нанометровых условиях потери возникают. Рассмотрим данный случай
подробнее.
Здесь
исследуемую
структуру
следует разбить на две области — I и II. В
первой
волновой
вектор
электрона
E1
1
U2
X
I
1
определяется согласно
0
II
1
Рис.2. Энергетическая диаграмма.
второй — ki 
k1 
2 m  E1  U 2 
2 m E1
, во
. Волновые
функции электрона для каждой из областей
можно записать в виде
I 
1  A1 exp  i k1 x   B1 exp  i k1 x  ,
(3.1)
II 
2  A2 exp  i k2 x  .
(3.2)
Функция 1 фактически представляет собой суперпозицию падающей  1 и
отраженной  1 волн де Бройля электрона, а функция  2 — прошедшую волну  2 .
Величина A1 является амплитудой электронной волны, распространяющейся от источника
электронов к барьеру, величина B1 — амплитудой рассеявшейся от ступеньки назад
электронной волны, распространяющейся от ступеньки к источнику, и величина A2 —
амплитудой прошедшей электронной волны, распространяющейся над ступенькой.
Если бы электрон рассматривался строго как частица, то при E1 < U2 он бы
отразился от ступеньки, а при E1 > U2 — свободно пролетел бы над ней (как обычный
детский мячик, брошенный в препятствие в виде ступеньки). Но в силу наличия волновых
свойств у электрона аналогом его механического движения над ступенькой является
плотность потока вероятности i . Величина 1 является физическим эквивалентом числа
электронов подлетевших к ступеньке, величина 1 — эквивалентом числа электронов
отразившихся от ступеньки назад и величина  2 — эквивалентом числа электронов
пролетевших над ступенькой вперед. Отношение
 2
1
имеет смысл коэффициента
прохождения D электронами с энергией E1 потенциального барьера в виде ступеньки, а
отношение
1
— смысл коэффициента отражения R электронов с энергией E1 от данного
1
барьера. Очевидно, что в случаях, когда 1 будет равна 0, волновыми свойствами
электрона можно пренебрегать и рассматривать его только как корпускулу.
В квантовой механике выводится следующее соотношение для плотности потока
вероятности электронной волны:
i 
i  d *
d 
 *

 .
m  dx
dx 
(3.3)
Следовательно, для величин D и R мы можем записать
D
2
1
R
1
1

d  2 *
* d  2

 2
dx
dx ,

*
d

d
1
1
1
 1*
dx
dx
*
d 1
d 1
1
 1*
dx
dx .

*
d 1
d 1
1
 1*
dx
dx

2
Равенство 0 величин 1 и R возможно только при 1
d 1*
d 1
 1*
. Проверим это.
dx
dx
(3.4)
(3.5)
Распишем (3.4) и (3.5) для первого случая (ступеньки), подставляя (3.1) и (3.2) и
помня, что комплексно сопряженная функция для исходной получается заменой
множителя (i) везде на множитель (–i). Получим следующие соотношения:
D
A2 exp  i k2 x 
d  A2 exp  i k2 x  
A1 exp  i k1 x 
R
i 
2
dx
B1 exp  i k1 x 
A1 exp  i k1 x 
Помня, что
dx
d  A1 exp  i k1 x  
d  B1 exp  i k1 x  
dx
d  A1 exp  i k1 x  
dx
 A2 exp  i k2 x 
 A1 exp  i k1 x 
 B1 exp  i k1 x 
d  A2 exp  i k2 x  
dx
,
d  A1 exp  i k1 x  
(3.6)
dx
d  B1 exp  i k1 x  
 A1 exp  i k1 x 
dx
.
d  A1 exp  i k1 x  
(3.7)
dx
d exp  x 
d exp  x 
  exp  x  ,
  exp  x  , exp  x  exp  x   1 и
dx
dx
 1 , рассчитаем числители в (3.6) и (3.7) и их знаменатель. Для числителей получим
2 A22ik 2 и 2B12ik1 , для знаменателя — 2A12ik1 .
Окончательно для величин D и R получим:
2
k A2 k  A 
D  2 22  2  2  ,
k1 A1 k1  A1 
(3.8)
2
B2  B 
R  12   1  .
A1  A1 
(3.9)
Из соотношения (3.9) видно, что R = 0 (и 1 = 0) только при B1 = 0. Точные
значения амплитуд A1 , B1 и A2 можно установить с помощью специальных условий,
накладываемых на волновые функции электронов в каждом конкретном случае. Обычно
эти условия связаны с граничными условиями или законами сохранения. В
рассматриваемом случае ступеньки мы можем воспользоваться двумя условиями — 1)
равенством функций 1 и  2 в точке x = 0, так как они непрерывны и должны в этой
точке переходить одна в другую, 2) законом сохранения электронного потока, так как
число электронов, долетевших до ступеньки, должно равняться числу отраженных от нее
плюс числу прошедших над ней. Математически эти условия записываются следующим
образом:
1  0  1  0
1  1   2


A1  B1  A2 ,
 2 A12ik1  2 B12ik1  2 A22ik2

(3.10)
A12 k1  B12 k1  A22 k2 .
(3.11)
Уравнений — два, а неизвестных — три. Точные значения амплитуд найти не
удается, однако можно использовать A1 как параметр и выразить B1 и A2 через A1 .
Подставим (3.10) в (3.11). Слегка преобразовав, получим квадратное уравнение
относительно переменной B1 :
 k1  k2  B12  2k2 A1B1   k1  k2  A12  0 .
(3.12)
Так как B1 есть амплитуда волны — ее значение всегда положительно (амплитуда по
определению есть модуль максимального отклонения). Значит, имеем одно решение
квадратного уравнения в виде:
B1 
2k2 A1  4k22 A12  4  k1  k2  k1  k2  A12
2  k1  k2 
 A1
 k1  k2 
 k1  k2 
.
(3.13)
Подставив это решение в (3.10) для A2 получим:
A2  A1
2k1
.
 k1  k2 
(3.14)
Из соотношений (3.13) и (3.14) легко выделить дроби
A2
B
и 1 , подставив которые в (3.8)
A1
A1
и (3.9), для исследуемого случая получим следующие выражения для D и R:
4k1k2
D
,
2
 k1  k2 
k  k 
R 1 2 2
 k1  k2 
(3.15)
2
.
(3.16)
Анализируя (3.16), очевидно сделать вывод, что R = 0 только при k1  k2 , что
выполняется, если ступенька отсутствует. Если же она есть, даже хотя бы самой
мельчайшей высоты, вероятность того, что электрон может от нее отразиться, отлична от
E
нуля. Например, если высота ступеньки в 10 раз меньше энергии электрона ( 1  10 ), то
U2
вероятность события, что электрон рассеется от такой ступеньки, будет равна почти
E
0.0007, при соотношении 1  2 — уже 0.03.
U2
Суммирование (3.15) и (3.16) подтверждает достоверность того, что при
столкновении со ступенькой электрон должен либо рассеяться от нее, либо преодолеть ее,
так как
k  k 
 1 2 2
2
 k1  k2   k1  k2 
2
4k1k 2
=1
(3.17)
(т.е. D  R  1 ).
При движении над потенциальной ямой глубиной U электрон точно также может
как свободно пролететь дальше с вероятностью D , так и отразится от данной ямы с
вероятностью R . Значения этих вероятностей можно рассчитать с помощью следующих
формул:
D
4E  E  U 
 2mW 2 E
4 E  E  U   U 2 sin 2 
2






,
 2mW 2 E 
U sin 

2




R
 2mW 2 E
2
2
4 E  E  U   U sin 
2


2
2




,
где W – ширина ямы.
Лекция 4.
Квантовые состояния в низкоразмерных условиях
Вопросы для рассмотрения:
1. Ограничение движения
2. Плотность состояний в низкоразмерных условиях
3. Уровень Ферми в низкоразмерном состоянии
Все макропараметры любой электронной системы, прибора, устройства (ток,
сопротивление, проводимость) обусловлены микропараметрами, характеризующими
электронный перенос в них (подвижностью, дрейфовой скоростью, временем и длиной
свободного пробега и рядом других). Эти микропараметры определяют или точнее сами
задаются кинетикой электронов. Кинетика, или пространственное движение электронов,
— это, прежде всего, движение под действием электрических и магнитных полей в
веществе, непрерывно прерываемое различными актами рассеяния. При рассеянии
направление движения электронов меняется. Чаще всего это изменения направления
движения хаотичны, однако некоторые механизмы рассеяния, например, на ионах
примеси и электронов друг на друге, подчиняются определенным закономерностям.
В целом рассеяние электрона определяется углом рассеяния . Однако при точном
определении его пространственного расположения необходимо знать ряд других углов.
На рис. 3 заданы эти углы. Волновой вектор k определяет направление движения
электрона до рассеяния, вектор k ' — после рассеяния. Между векторами k и v
существует очевидная связь k  mv .
z

k




k'
y

β
x
Рис. 3. Пространственная ориентация волновых векторов электрона при рассеянии.
Углы , ,  и  — известны до рассеяния (они задают направление движения
электрона до рассеяния), углы  и  называются углами рассеяния. У каждого механизма
рассеяния они свои. Зная углы , , , ,  и , можно определить направление движения
электрона после рассеяния с помощью следующих соотношений:
kz  k   cos  cos   sin  cos  sin   ,
k y  k   cos  cos  sin  cos  cos  cos   sin  sin  sin  ,
kx  k   cos  cos   sin  cos  cos  sin  sin  sin  cos  .
Рассеяние может быть упругим, тогда k   k , и неупругим, тогда k   k . Закон,
определяющий соответствие между k  и k , устанавливается характером каждого
механизма рассеяния.
3D-состояние — это когда электрон свободен в своем движении по всем трем
направлениям (при рассеянии все компоненты вектора k меняются), 2D-состояние — это
когда электрон свободен в своем движении только по двум направлениям (меняются
только два компонента вектора k — обычно в качестве ее выбирают k x и k y ), 1Dсостояние — это когда электрон свободен в своем движении только по одному
направлению (меняется только одна компонента вектора k — обычно в качестве ее
выбирают k x ).
Плотность состояний n  E  есть параметр, определяющий сколько энергетических
состояний, которые могут занимать электроны, приходится на единичный интервал
энергии. Данная величина имеет очень важный физический смысл, так как она определяет
концентрацию электронов в конкретной области любого материала или прибора, а также
интенсивность рассеяния электронов в этой области (число рассеяний в единицу
времени).
Возьмем объемный прямоугольной формы образец, с размерами Lx , Ly и Lz ,
превышающими де Бройлевскую длину волны электрона (см. рис. 4).
Lz
Lx
Ly
Рис. 4. Образец прямоугольной формы.
Модуль волнового вектора электрона
по определению рассчитывается как
k  k x2  k y2  k z2 . Минимальные изменения его проекций k x , k y , k z в объемном образце
будут равны k x 
2
2
2
, k y 
, k z 
(в соответствии с одним из ключевых
Lx
Lz
Ly
положений зонной теории полупроводников — периодичности решетки). Оценим, как эти
изменения соотносятся со средним значением величин k x , k y , k z .
Среднее значение любой из проекций приблизительно соответствует одной трети
1
1 3
1
тепловой энергии электрона ( k j  Eтепл   k BT  k BT ), т.е.
3
3 2
2
2 2
kj
2m

1
k BT . Для
2
арсенида галлия при комнатной температуре получим k j  1,5 108 м–1. Минимальные же
изменения этой величины для образца, например, с Lx = Ly = Lz = 1 мкм будут
k j  0,063 108 м–1, т.е. почти в 25 раз меньше.
Определим размеры в пространстве k-векторов, приходящиеся на одно состояние.
Они будут равны отношению величины объема минимального изменения вектора k
электрона к объему пространства, в котором это изменение наблюдается, т.е.
k x  k y  k z
. Подставив значения k x , k x , k x и учитывая, что на каждом состоянии
Lx  Ly  Lz
может находиться два электрона с разными спинами, для плотности состояний в kk x  k y  k z
1
2
k
k


пространстве получим Vединич
и n  k   2Vединич
.

3
Lx  Ly  Lz
 2 
 23
В практических целях более интересным является значение плотности состояний в
пространстве энергий n  E  . Эта величина связана с n  k  посредством выражения
n E   nk  
dVE
. Найдем значение n  E  .
dE
2 2
k
, т.е.
2m
значение энергии фактически можно представить в виде сферы с радиусом k. Мельчайшее
изменение объема в пространстве энергий dVE очевидно связано с мельчайшим
изменением волнового вектора dk как поверхность сферы умноженная на величину dk :
dVE  4k 2 dk . Перейдем в dVE от dk к dE . Для этого продифференцируем выражение
Как известно, энергия зависит от волнового вектора согласно E 
2
m
k
k
: dE 
dk . Отсюда dk  2 dE . Подставив это в выражение для dVE ,
2m
m
k
2mE
4km
получим dVE  2 dE . Но по определению энергии k 
. Следовательно,
E
2 2
окончательно получим dVE 
4 2m3 E
3
dE . Отсюда
dVE 4 2m3 E
.

3
dE
dVE
в выражение для n  E  , получим значение
dE
плотности состояний в обычном объемном случае в виде
Подставив значения n  k  и
n3D  E  
2 m3

3 2
E.
n3D  E 
E
Рис. 5. Плотность состояний в 3D-условиях.
В двумерном электронном газе свободным для движения является лишь два
направления — например, по длинам Lx и Ly . В этом случае для энергии будем имеет
E  En 
а
для
nk  
плотности
2
 2 
2
состояний
в
2 2
kx
2m

2 2
ky
2m
k-пространстве
,
k
Vединич

k x  k y
Lx  Ly  Lz
. Как и в объемном случае найдем выражение для

1
 2 2 Lz
и
dVE
. Для 2DdE
Lz
электронного газа зависимость энергии от вектора k имеет зависимость в виде
окружности, и значит элементарное изменение dVE от dk будет представлять собой
площадь обода dVE  dS E  2kdk . dE с dk будут связаны тем же соотношением
m
2m
dk  2 dE . Подставив в dVE или точнее dS E , получим dS E  2 dE . Отсюда
k
dS E 2m
 2 . Однако в этом выражении нужно иметь в виду, что dE имеет разрыв в точке
dE
E  En . Этот разрыв можно учесть путем добавления суммы по всем возможным En
1 E  En
dS E 2m
множителя   E  En   
—
 2    E  En  . Если энергия меньше
dE
0 E  En
n
dS E
энергии самого первого уровня размерного квантования ( E  E1 ), то величина
dE
вообще будет равна 0 и также нулю будет равна и плотность состояний. При достижение
dS E
2m
скачком приобретает значение 2 . При достижении следующего
E  E1 величина
dE
уровня размерного квантования эта величина удваивается и так далее.
dS E
Перемножив n  k  и
, получив выражение для плотности состояний в
dE
двумерном случае
m
   E  En  .
 2 Lz n
Аналогичные, еще более простые расчеты, для плотности состояний в одномерном
случае дают следующее соотношение
  E  Enm 
2m
.
n1D  E  

 Ly Lz n m
E  Enm
n2 D  E  
Лекция 5.
Области пространственного заряда
Вопросы для рассмотрения:
1. Разновидности ОПЗ
2. Уравнение Пуассона в ОПЗ
3. Ход потенциала в ОПЗ
4. Квантование энергии электронов в ОПЗ
Области пространственного заряда (ОПЗ) возникают в полупроводнике результате
наведения в нем зарядов. Эти заряды наводятся по принципу обкладок конденсаторы.
Через слой диэлектрика на поверхность полупроводника подается некоторое напряжение
U . Это напряжение наводит на поверхности заряд, величиной Q  CU , где C – емкость
конденсатора, получаемого из диэлектрика на поверхности. Данный наведенный заряд
располагается в небольшом приповерхностном слое, который и получил название ОПЗ.
Различают четыре разновидности ОПЗ, связанные с количеством наведенного
заряда — две, когда его много, и две, когда его немного. По два различия связаны с тем,
что наведенный заряд может совпадать по знаку с типом проводимости полупроводника, а
может быть ему противоположным. Если знаки зарядов совпадают, то говорят об ОПЗ с
обогащением, когда не совпадают, то говорят об ОПЗ с обеднением. Таким образом,
четырьмя разновидностями ОПЗ являются — 1) сильное обеднение (называется также
инверсия), 2) слабое обеднение, 3) обогащение, 4) сильное обогащение. Ход потенциала в
ОПЗ зависит от основного типа проводимости полупроводника. Схематически ход
потенциала, например, для кремния p-типа представлен на рис. 6.
уровень потенциала
в затворе при VG = 0
VSiO2
VG = VSiO2 + VSi
VSi
1) Инверсия
VG
SiO2
уровень потенциала
в затворе при рабочем VG
уровень потенциала
в затворе при VG = 0
z
zdepl
VSiO2
VG = VSiO2 + VSi
VSi
2) Слабое обеднение
VG
SiO2
уровень потенциала
в затворе при рабочем VG
z
zdepl
уровень потенциала
в затворе при рабочем VG
VSiO2
VG = VSiO2 + VSi
VSi
VG
3) Обогащение
уровень потенциала
в затворе при VG = 0
SiO2
z
zdepl
уровень потенциала
в затворе при рабочем VG
VSiO2
VG = VSiO2 + VSi
VSi
VG
4) Сильное обогащение
уровень потенциала
в затворе при VG = 0
SiO2
z
zdepl
Рис. 6. Разновидности ОПЗ для кремния p-типа
Ход потенциала в ОПЗ может быть описан количественно. Рассмотрим
представленный на рис. 7 случай ОПЗ с инверсией. Очевидно, что к затвору приложено
напряжение VG, которое падает частью на окисле (эта часть равна Vox), а частью на
кремнии (эта часть равна φs + φb ).
Vox
SiO2
Ec
еφb
EF
еφs
Ev
EM
Рис. 7. Ход электрического потенциала у поверхности раздела Si/SiO2
в канале МОП-транзистора
Согласно закону Гаусса для границы раздела двух сред Si/SiO2 для потенциала в
ОПЗ можно записать следующее выражение
ox
e
VG  s   FB   N s  N depl
dox
0
где левая часть фактически и есть доля затворного напряжения, падающая на окисле, а
правая – на приповерхностной области кремния p-типа. В этом выражении VG –
напряжение на затворе,  s – падение напряжения в кремнии (искривление зон), FB –
потенциал плоских зон, который для n-канального МОП-транзистора всегда положителен
и изменяется от 0,8 до 1,1 В, ox и dox – диэлектрическая постоянная окисла и его
толщина, Ns и N depl – поверхностные концентрации электронов и акцепторного заряда

ОПЗ, в данном случае обедненной области.

Величины этих концентраций с незначительной погрешностью можно рассчитать с
помощью известных соотношений
N s  N e  zinv
 e 
N e  ni exp  s 
 k BT 
 2 s 0 si

N depl  N A 
 zinv 
eN A


где N e – объемная концентрация электронов у поверхности раздела окисел/кремний, ni –
собственная концентрация носителей заряда в кремнии при данной температуре (порядка
1019 м–3), NA – объемная концентрация акцепторной примеси, si – диэлектрическая
постоянная кремния, zinv – толщина инверсионного слоя, которая практически для всех
случаев равна приблизительно 10 нм. Таким образом, положительное затворное
напряжение вызовет определенное падение напряжения в кремнии под затвором, которое
равно по величине искривлению энергетических зон у границы раздела Si/SiO2. В случае,
k T N 
когда  s станет больше B ln  A  согласно первой формуле сформируется так
e
 ni 
называемый инверсионный канал толщиной zinv с поверхностной концентрацией
электронов Ns, удовлетворяющей соотношениям второй и третьей формул. Величина тока
от истока к стоку определяется только значением N e , величина же N depl является
паразитной и ненужной — ее формирование ухудшает характеристики транзистора и
является фактически причиной существования порогового напряжения. Пока не
сформируется определенное значение N depl — инверсные электроны не возникают.
Если размеры инверсионного слоя zinv окажутся соизмеримыми с длиной волны
де-Бройля электронов в этом слое, то в нем энергия электронов для движения
перпендикулярно поверхности раздела окисел/полупроводник будет квантоваться.
Лекция 6.
Особенность квантования в кремниевых ОПЗ
Вопросы для рассмотрения:
1. Возникновение ОПЗ в инверсионных слоях кремния.
2. Два типа подзон энергетического квантования в кремнии
3. Переход из квазидвумерного состояния в трехмерное
Формирование инверсионного слоя в кремниевой МОП-структуре имеет место у
границы раздела Si/SiO2, когда к затвору приложено определенное напряжение. В этом
случае в результате изгиба энергетических зон у поверхности (рис. 8) подавляющее
большинство инверсных электронов сосредоточено в узком приповерхностном слое,
толщина которого сравнима с де-бройлевской длиной волны носителей заряда. Так как
движение электронов в одном из трех направлений ограничено и, как правило реализуется
многоподзонный перенос носителей заряда, такой электронный газ является
квазидвумерным (Q2D). Если инверсионный слой расположен в плоскости,
перпендикулярной оси Z, то энергия электрона в Q2D-газе может быть записана в виде
E  Ei 
 2 k x2
2 m *x

 2 k y2
2 m *y
,
где Ei – уровни размерного квантования, с каждым из которых связана энергетическая
подзона; k x, k y – проекции волнового вектора электрона на направления осей X и Y,
соответственно; m*x, m*y – значения эффективной массы носителя в этих направлениях.
E
Ec
SiO2
Z, нм
Zdepl
Zinv
Рис. 7. Изгиб зоны проводимости на границе Si/SiO2
Для определения уровней Ei необходимо самосогласованно решить уравнения
Шредингера и Пуассона, которые в рассматриваемом случае можно записать в
следующем виде:

 2 d 2  i z 
2m*z
 0
dz 2
d 2 z 
dz
2
 ez  i z   Ei  i z  ,
 eN s  N i  i z    depl ,
2
i
depl  eN A Z depl ,
 
0  Z depl   0 ,
0   Z depl  0 ,
где   z  – изменение потенциала в инверсионном слое кремния; i  z  – волновые функции
электронов; NA – концентрация акцепторной примеси, полагаемая постоянной; Ni –
значения поверхностной концентрации электронов в i-й подзоне; N s – поверхностная
концентрация электронов, значение которой можно определить исходя из конструктивнотехнологических параметров реальной МОП-структуры с помощью следующего
соотношения:
 
N s  0 ox VG  VT  ,
ed ox
где VT – пороговое напряжение для данной МОП-структуры. При толщине подзатворного
окисла, равной, например, d ox = 10 нм, имеем N s ≈ 2·1016× VG  VT  м– 2 .
Полагая, что электроны распределены по энергиям согласно статистике Ферми –
Дирака, и учитывая двукратное спиновое вырождение, можно рассчитать значение Ni по
формуле
g m k T 
 E  Ei  
Ni  v di B ln 1  exp  F
 ,
Ns  2
 kB T  

где g v – кратность долинного вырождения; m di – эффективная масса плотности состояний
в i-й подзоне; E F – энергия Ферми.
Обычно технологически получают МОП-структуру, в которой поверхность
раздела p-Si/SiO2 параллельна кристаллографической плоскости (100), а продольное
(тянущее) электрическое поле приложено в направлении [110]. Как известно, нижнюю
зону проводимости в кремнии (Х-зону) можно представить в виде шести эллипсоидов
постоянной энергии, расположенных на осях симметрии [100], [010] и [001]. В этом
случае соответствующая двумерная система имеет один двукратно вырожденный
эквиэнергетический контур в виде окружности и четыре эквиэнергетических контура в
виде эллипсов. Эллипсоиды и контуры постоянной энергии показаны на рис. 9. Подзоны,
соответствующие круговым контурам и характеризующиеся бόльшим значением mz,
равным 0,916 m0, принято обозначать индексами 0, 1, 2 и т. д., а сами подзоны называть
нижними. В свою очередь, подзоны, соответствующие эллиптическим контурам и
характеризующиеся меньшим значением mz, равным 0,19 m0, принято обозначать
индексами 0 , 1 , 2 и т. д., а сами подзоны называть верхними. Эффективные массы
плотности состояний в нижних и верхних подзонах различны. Это оказывает
существенное влияние на заселенность подзон, а следовательно, и на интенсивности
межподзонных переходов.
(100)
Рис. 9. Эллипсоиды и контуры постоянной энергии в канале МОП-транзистора
Переход из квазидвумерного состояния в трехмерное может произойти в двух
случаях: 1) когда снимается размерное квантование и 2) когда электрон приобретет очень
большую энергию.
2
2

Первый случай. Длина волны де Бройля электрона равна  де-Бр 
. Когда
mv
k
пространственные размеры среды d  2де-Бр , можно считать, что размерное квантование
для электрона в данной среде снимается. Этот случай может реализоваться как при
уменьшении де-Бр , например, за счет увеличения значения волнового вектора электрона,
так и увеличении d , например, расширении ямы. В МОП-транзисторной структуре
проводящий канал из-за наличия широкой стоковой области по мере приближения к ней
под действием потенциала стока слегка расширяется, и на определенном расстоянии от
стока величина d может оказаться заметно больше де-Бр и квантование будет снято.
Второй случай. В треугольной потенциальной яме уровни размерного квантования,
локализованные у верха ямы на расстоянии от подзатворного окисла вблизи Zdepl,
фактически совпадают с уровнями обычного объемного образца. Поэтому электрон,
имеющий энергию, равную значению этих уровней (около 0,30,5 эВ), также
автоматически переходит в трехмерное состояние.
Лекция 7.
Экранирование заряда
Вопросы для рассмотрения:
1. Экранирование заряда в ОПЗ
2. Экранирование заряда в квазидвумерных системах
3. Экранирование заряда в квантовых проволоках
В объемном случае длина экранирования
полупроводнике LД через соотношение
LЭ связана с длиной Дебая в
LЭ  LД
диффузии,  – подвижность электронов, а LД 
eD
, где D – коэффициент
kBT 
0k BT
, где n – концентрация
e2 n
носителей заряда,  – диэлектрическая проницаемость среды (полупроводника).
В двумерном случае при отсутствии вырождения (достаточно высокие
 k T
D k BT
температуры)
, и в этом случае LЭ = LД = 0 2 B . Если двумерный случай


e
e n
формируется не в ОПЗ, а в пленке толщиной W и наблюдается вырождение, тогда
0  2W
.
LЭ =
m
e2
В одномерном случае если сохраняется условие невырожденности, то
также LЭ = LД =
D k BT
и


e
 0 k B T
. В случае вырождения формула для параметра экранирования
e2n
заметно усложняется — необходимо учитывать заселенность всех подзон. В этом случае
имеем
LЭ =
0k BT
e
2

NC1D

n m
2mk BT

одномерном случае.
1D
где NC

1
EF  Enm
,
– эффективная плотность состояний в зоне проводимости в
Лекция 8.
Магнитные квантовые явления
Вопросы для рассмотрения:
1. Сила Лоренца
2. Влияние магнитного поля на плотность состояний
3. Влияние магнитного поля на квантование энергии
Плотность состояний есть число энергетических уровней, которые могут занимать
электроны в зоне проводимости, приходящееся на единицу площади. На рис. 10
приведены зависимости этой плотности от энергии электронов для 3D- и 2Dэлектронного газа. Как известно, в трехмерном газе эта зависимость определяется
величиной E
n 
m
3
2,
а в двумерном имеет ступенчатый вид, изменяясь на величину
*
2
при достижении энергии следующего уровня размерного квантования.
nсост , м–2эВ–1.
B=0
2 Δn
Δn
1 ΔE
4
ΔE
9
ΔE
E , эВ
Рис.10. Плотность состояний, когда магнитное поле отсутствует: непрерывные линии
2 2
соответствуют трехмерным состояниям, пунктирные — двумерным, где E    .
2m*
При включении магнитного поля В энергия электронов в двух направлениях,
перпендикулярных направлению В, квантуются на величину ΔEВ =  с , начиная с
ΔEВ0 =
eB
1
ΔEВ, где циклотронная частота  с равна
. Уровни квантования (1ΔEВ0,
*
2
m
3ΔEВ0, 5ΔEВ0, 7ΔEВ0…) называются уровнями Ландау. Для двумерного газа, если В
направить вдоль направления квантования, то энергия электронов окажется квантуемой
по всем трем направлениям. Плотность состояний в системах с B ≠ 0 изображена на рис.
11 и 12.
nсост , м–2эВ–1.
nсост , м–2эВ–1.
B≠0
1 ΔEВ0 3 ΔEВ0 5 ΔEВ0 7 ΔEВ0
B≠0
E , эВ
Рис.11. Плотность состояний в трехмерном
газе: непрерывные линии соответствуют
состояниям при B ≠ 0, штриховые — при
B = 0.
1 ΔEВ0 3 ΔEВ0 5 ΔEВ0 7 ΔEВ0
E , эВ
Рис.12. Плотность состояний для
двумерного газа: непрерывные линии
соответствуют состояниям при B ≠ 0,
пунктирные — при
B = 0.
Число пиков для двумерного случая специфично для каждой ступеньки. Например,
ширина первой ступеньки составляет 3 ΔE (4 ΔE – 1 ΔE) и количество пиков в ней будет
столько, во сколько раз 3 ΔE больше, чем ΔEВ.
Лекция 9.
Магнитные квантовые эффекты
Вопросы для рассмотрения:
1. Эффект Аронова-Бома
2. Эффект Шубникова-деГааза
3. Квантовый эффект Холла
4. Дробный квантовый эффект Холла
Эффект Аронова – Бома
Данный эффект состоит во влиянии магнитного поля на интерференционные
характеристики электрона. В случае, когда длина волны де Бройля электрона больше
длины свободного пробега (между двумя ближайшими актами рассеяния) в каком-нибудь
проводнике или устройстве электрон движется в нем как волна, а не как частица и может
испытывать при взаимодействии с другими электронами интерференцию (усиление или
ослабление волны). Магнитное поле заметно влияет на процесс интерференции.
Рассмотрим структуру с петлей, представленную на рис. 13. Она образована
металлическим проводом очень малой толщиной (несколько десятков нм), диаметр петли
— чуть менее 1мкм. Магнитное поле величиной B проходит через ось петли
перпендикулярно ее плоскости.
Электрон. поток 1
A
B
C
Электрон. поток 2
Рис.13. Структура, демонстрирующая эффект Аронова – Бома.
В точке А электронный поток раздваивается, а в С — сливается. Магнитное поле
влияет на проводимость структуры. В зависимости от величины B проводимость
испытывает осцилляции — многократные колебательные изменения от max к min
e
2  , где
значениям. Амплитуда этих колебаний пропорциональна величине


B dS – магнитный поток через петлю. При условии
e
  N , где N – целое
по петле
число, получаем max электронной волны в точке С, при
e
  K , где K – половинная
1 3 5 7
... ) — имеем min электронной волны в точке С. Чтобы осцилляции
дробь ( , , ,
2 2 2 2
были четко видны (наблюдалась интерференция), необходимо выполнение условия
когерентности — длина де Бройля электрона должна быть больше длины свободного
пробега электронов и обе эти величины должны быть больше диаметра петли. Это
возможно только при очень низких температурах — порядка несколько кельвин.
Эффект Шубникова – де Гааза
Наблюдается в МОП-транзисторах также при очень низких температурах (близких
к абсолютному нулю) и при подаче магнитного поля перпендикулярно плоскости затвора
и подзатворного окисла. На рис. 14 приведена схема прибора, позволяющая обнаружить
эффект Шубникова – де Гааза.
V3
B
VS
VG
VD
Сток
Исток
V1
V2
Электронный ток
Рис.14. МОП-транзистор с тремя зондами для определения текущих напряжений вдоль
канала (V2 – V1) и поперек канала (V3 – V2).
Выбран режим, когда напряжение VD (или точнее VD – VS) постоянно и невелико,
чтобы не было разогрева электронов в канале, и по его длине подвижность электронов не
изменялась бы. Значение В также постоянно, а вот напряжение VG изменяется. Для
каждого VG меряется разница напряжений V2 – V1, которая определяет изменение
проводимости канала. Зависимость этой разницы напряжений имеет осцилляциоподобный
характер. На рис. 15 приведен схематичный, условный вид этой зависимости.
V2 – V1
VG
Рис.15. Осцилляции разницы напряжений V2 – V1 от напряжения на затворе.
С ростом VG пики функции V2  V1  f VG  становятся шире и менее высокими.
Проявление этих пиков и есть эффект Шубникова – де Гааза. Изменение VG увеличивает
значение уровня Ферми EF в канале транзистора, а этот уровень при температурах
близких к абсолютному нулю точно определяет верхний уровень энергии, который
заселяют электроны (при комнатных температурах он является серединой того
энергетического интервала уровней, которые заселяют электроны). Согласно рис. 12
(плотности уровней при наличии магнитного поля) EF может попасть как на интервалы
ΔEВ, где плотность состояний не равна нулю, т.е. на уровни Ландау, и между этими
интервалами, где плотность состояний равна нулю. В первом случае величина V2 – V1
будет иметь свое минимальное значение, т.е. проводимость канала оказывается высокой
(электронов в нем много и они могут двигаться), во втором случае электронов в канале
становится намного меньше, так как для них нет подходящего уровня заселения, и
величина V2 – V1 будет сильно увеличиваться (наблюдаться пик). Уменьшение разницы
V2 – V1 с ростом VG связано с тем, что EF уже прошло какое-то количество уровней
Ландау, и они частично заселены электронами, которые и двигаются в канале прибора.
Квантовый эффект Холла
Данный эффект напрямую связан с предыдущим эффектом и также наблюдается в
рассмотренном на рис. 14 МОП-транзисторе и при тех же условиях. Он связан с
поведением разницы напряжений V3 – V1. Эту разницу называют также напряжением
Холла VH , и оно с ростом VG имеет участки постоянного значения, определяемого только
универсальными константами и не зависимого ни от конструкции МОП-транзистора, ни
от приложенных к его электродам напряжений VG и VD. В честь первооткрывателя
квантового эффекта Холла Клитцинга ввели величину сопротивления Клитцинга RK ,
V
равную RK  H , где I D – ток стока МОП-транзистора. Клитцинг измерил зависимость
ID
величины удельного сопротивления при боковом смещении электронов в канале
транзистора, вызывающем падение напряжений V3 – V1, т.е. величину VH . На рис. 16
приведен схематичный, условный вид этой зависимости.
K
плато 1
плато 2
плато 3
плато 4
VG
Рис.16. Схематичный вид зависимости  K от напряжения на затворе.
Величина  K определяется как  K 
котором образуется VH ,
VH
, где d – ширина канала (участок, на
d jМОП
jМОП – плотность тока, протекающего в канале МОПEH
транзистора. Отсюда  K 
, где E H – холловская напряженность электрического
jМОП
поля. Но в простом эффекте Холла, обнаруженном ранее, было установлено, что
j
B
E H  МОП , где n s – поверхностная плотность электронов в МОП-транзисторе. Эта
ens
eBn
, где n – число уровней
2
квантования Ландау, заселенных электронами. Отсюда несложно получить выражение для
2
 K в виде  K  2 .
e n
Таким образом, изменяя VG, мы передвигаем EF , и когда уровень Ферми достигнет
плотность при наличии магнитного поля равна ns 
следующего уровня Ландау, т.е. будет изменяться квантовое число n, величина  K станет
2
постоянной и равной
. В этот момент зависимость K  f VG  будет
e2n
демонстрировать то по очереди плато, номер которого совпадает с величиной n. Когда EF
перешагнет уровень Ландау и попадет в область с нулевым значением плотности
состояний, то  K опять начнет изменяться с ростом VG (уменьшаться по величине, так как
будет значительно возрастать jМОП при почти постоянном VH ). В появление плато на
зависимости K  f VG  и состоит квантовый эффект Холла.
В структурах на основе GaAs/Al0,3Ga0,7As был обнаружен дробный квантовый
3 5 5 7
... ).
эффект Холла, когда плато возникали и при n не целочисленном (n = , , ,
2 2 3 2
Объясняется этот дробный эффект тем, что электроны на уровнях Ландау могут
взаимодействовать друг с другом, что приводит к некоторой модификации этих уровней в
полупроводниках с высокой подвижностью электронов, что и характерно для структуры
GaAs/Al0,3Ga0,7As.
Лекция 10.
Особенности рассеяния в низкоразмерных условиях
Вопросы для рассмотрения:
1. Основные механизмы рассеяния
2. Определение состояния после рассеяния
3. Дрейфовая скорость электронов
4. Подвижность электронов
Различают рассеяния на ионах примеси, на неоднородностях поверхности, на
акустических фононах, на оптических фононах и электрон-электронное.
Интенсивность примесного рассеяния можно рассчитать согласно:
WI 
e4 N I2D
512  2 02
2

S
 1  q d  ,
Ek 0
где Ek – кинетическая энергия электрона; N I2D – поверхностная концентрация
ионизированной примеси;    sc   ox  2 – среднее значение диэлектрической
проницаемости на границе раздела окисел/полупроводник; S – параметр экранирования,
равный
S
e2 N s
.
0 k B T
При расчете интенсивности рассеяния на ионизированной примеси для устранения
расходимости интегралов при 0 в качестве нижнего предела интегрирования
необходимо выбирать некоторый ненулевой угол min.
Интенсивность рассеяния на шероховатостях поверхности рассчитывается согласно
WSR  k  
m*  2  2
2
3
2

0
 2  q, N s 
 q2 2
exp  

4
2  q, T, N s 


 d ,


где  – среднеквадратическая высота шероховатостей;  – среднее расстояние между
ними (корреляционная длина), а функция q , N s  при q/b>>1 равна
 N s  
e2  N s

 N depl  .

 sc  0  2

Для температур, близких к комнатной, принимая во внимание, что энергия
акустических фононов много меньше энергии электронов, интенсивность рассеяния на
этих фононах может быть рассчитана согласно:
Wac 
2
Dac
m * kB T

3
u
2
U  E  E     i  z   i  z 
2
dz ,
где i и i  – номера, соответственно, начальной и конечной подзон при рассеянии,
которые расположены в одной и той же долине; i z  и i z  – волновые функции
электрона для данных подзон; Dac = 9,5 эВ;  – плотность материала; u – скорость звука в
кремнии; U E  E  – cтупенчатая функция, равная нулю, если аргумент меньше нуля, и
равная единице, если аргумент больше или равен нулю. Наличие данной функции
обеспечивает выполнение закона сохранения энергии.
Интенсивность рассеяния электронов на оптических фононах можно рассчитать с
помощью следующего выражения:
Wopt
2
Dopt
m * gi 
1 1

 N ph    U  E  E  
ρ k B Tph 
2 2

 i  z  i   z 
2
dz ,
где Dopt =91010 эВ/м – константа взаимодействия; N ph – количество фононов с
температурой Tph , определяемое согласно распределению Бозе – Эйнштейна; g i –
параметр мультиплексности конечной при переходе подзоны. Рассеяние электронов на
оптических фононах, сопровождающееся межподзонным переходом, может являться
междолинным рассеянием, если подзона, в которую переходит электрон при этом
рассеянии, расположена в другой долине по отношению к первоначальной подзоне.
При электрон-электронном рассеянии необходимо различать процессы,
сопровождающиеся и не сопровождающиеся межподзонными переходами. Интенсивность
процессов, связанных с межподзонными переходами, рассчитывается по формуле
Wee2D 


im

* 4
max
N s m2D
e N sub Fijmn
q
2
3 2
ε0
ε 2sc s 2
2
,
а процессов без межподзонных переходов (т. е. внутриподзонного рассеяния) – по
формуле
Wee2D 


ii

* 4
N s m2D
e
2 3 ε 02 ε 2sc s 2
,
max
где Nsub – число учитываемых при моделировании подзон; Fijmn
 q  – максимальная
величина форм-фактора; j и n – значения начальной и конечной подзон для второго
электрона; s – параметр экранировки.
Наибольший практический интерес представляет изучение электрофизических
свойств инверсионных слоев кремниевых МОП-структур в случае приложения к ним
достаточно сильных продольных электрических полей. Ниже приведены некоторые
результаты исследования поведения ряда параметров, характеризующих электронный
дрейф в таких структурах.
На рис. 17 дана зависимость дрейфовой скорости электронов vдр от
напряженности продольного электрического поля F при температуре T = 300 K (кривая
1), полученные в результате численного моделирования методом Монте-Карло.
vдр , м/с
105
104
103
F , В/м
105
106
107
Рис. 17. Зависимость дрейфовой скорости электронов vдр от напряженности
продольного поля F при Ns = 6,6∙1016 м–2 и Т = 300 К
Для сравнения на этом же рисунке представлены результаты эксперимента (точки).
Результаты расчета зависимости подвижности электронов μ от величины их
поверхностной концентрации Ns показаны на 18. На том же рисунке приведены
результаты эксперимента. Нетрудно видеть, что с ростом поля дрейфовая скорость имеет
тенденцию к насыщению. Это можно объяснить, прежде всего, значительным ростом
числа актов межподзонного рассеяния на оптических фононах, который приводит к
уменьшению энергии носителей заряда.
μ , м2/(В·с)
0,28
1
2
0,24
0,20
0,16
Ns , 1016 м–2
1
5
10
Рис. 18. Зависимость подвижности электронов μ от величины их поверхностной
концентрации Ns при Т = 300 К: 1 – результаты моделирования; 2 – эксперимент
Лекция 11.
Особенности фононного спектра в системах пониженной размерности
Вопросы для рассмотрения:
1. Дисперсионные зависимости фононов
2. Локализация фононов
3. Интерфейсные фононы
В полупроводниках различают акустические фононы, оптические фононы и
полярные оптические фононы. Акустические фононы — это колебания атомов решетки,
когда соседние атомы колеблются со сдвигом фазы на небольшую величину. В
оптических фононах сдвиг фазы составляет ровно . Рис. 19 поясняет данную ситуацию
сдвиг фазы
Рис. 19. Акустический и оптический фононы
Акустические и оптические фононы бывают продольными и поперечными. У
продольных фононов колебания атомов осуществляются в направлении движения
колебательной волны (на рис. 19 это вдоль горизонтали), у поперечных фононов
осуществляются в направлении перпендикулярно движению волны (на рис. 19
изображены поперечные фононы — для продольных фононов атомы сдвигаются в
направлении горизонтали, т.е. изменяют расстояние между собой по принципу пружины,
прижимаясь друг к другу или отдаляясь).
Если атомы одинаковы — неполярный полупроводник (Si, Ge, C) —
дисперсионное соотношение для фононов можно записать в виде
M 2 M 24

,
K
2K 2
где M – масса атома,  – расстояние между атомами, K – межатомный коэффициент
жесткости, а q и  – соответственно, волновой вектор и угловая частота фонона.
Для полярных полупроводников — (GaAs) — дисперсионное соотношение имеет
вид
cos  2q   1 
2 K  m2  2 K  M 2   2K 2

,
cos  2q  
2K 2
где m и M – соответственно, массы атомов, принадлежащих разным материалам.
При наличии различных интерфейсов, слоев, например в приборных структурах на
основе гетероструктур, дисперсионное соотношение приобретет следующий вид
1
cos  qd    q1d1  q2 d 2  ,
d
где q1 и q2 – волновые вектора в каждом отдельном слое, формирующем интерфейс, d1 и
d 2 – толщины этих слоев и d = d1 + d 2 .
Лекция 12.
Особенности переноса в квантовых проволоках
Вопросы для рассмотрения:
1. Особенности квантования в GaAs-квантовых проволоках
2. Полярное оптическое рассеяние
3. Осцилляции дрейфовой скорости электронов
В полупроводниковых квантовых проволоках (проводах) движение носителей
заряда будет, очевидно, уже ограничено по двум направлениям, поскольку размеры
проволоки в этих двух направлениях сравнимы с де-бройлевской длиной волны
электрона. Таким образом, в данных структурах образуется 1D-электронный газ,
вследствие чего перенос носителей в них будет характеризоваться рядом особенностей,
отличающих его от переноса в трехмерных и двумерных системах. Во-первых, за счет
наличия особых точек на зависимости плотности состояний от энергии носителей
суммарная интенсивность их рассеяния в квантовых проволоках имеет многопиковый
характер. Во-вторых, угол рассеяния носителя в рассматриваемых 1D-системах может
принимать только два значения: 0 или π, в результате чего в них будут наблюдаться
специфические релаксационные процессы. Все это приводит к появлению в квантовых
проволоках уникальных кинетических эффектов и делает в последнее время данные
структуры объектом интенсивных научных исследований.
Обозначим через Y и Z направления, в которых движение носителей заряда в
рассматриваемой проволоке ограничено. Тогда свободное движение электрона возможно
только вдоль оси X. Выражения для волновой функции и полной энергии электрона в
приближении двумерной прямоугольной квантовой ямы с бесконечно высокими
потенциальными барьерами будут иметь следующий вид:
 ( x, y , z ) 
e
ik x x
n y y
2
sin
Ly
Ly
Lx
 2k x 2
2
E

2
2m*x

 1
 *
m

 y
n z
2
sin z
,
Lz
Lz
2
 ny 
1  nz   

 

 ,
 Ly 
m*z  Lz  



2
где k x и m*x – волновой вектор и эффективная масса электрона вдоль оси Х; m*y и m*z –
эффективные массы электронов вдоль осей Y и Z; Lx – длина квантовой проволоки; Ly и Lz
– ее поперечные размеры; ny =1, 2, 3, ... и nz=1, 2, 3, ... . При этом считается, что Lx >>{Lz,
Ly} (рис. 20). Первое слагаемое в уравнении для энергии соответствует кинетической
Ly
Lx
Z
Lz
Y
X
Рис.20. Схематическое изображение полупроводниковой квантовой проволоки
энергии свободного движения электрона вдоль оси X. Второе слагаемое представляет
собой
энергию дна подзон размерного квантования, определяемых поперечными
размерами Ly и Lz, соответствующими эффективными массами и набором целых
положительных чисел ny и nz. Из формул, в частности, следует, что при Ly=Lz вторая
подзона оказывается двукратно вырожденной при ny=2, nz =1 и ny =1, nz =2.
В электрическом квантовом пределе имеет место равенство ny =nz =1. В этом случае
заполненной электронами оказывается только одна нижайшая подзона. На рис. 20
приведены рассчитанные нами кривые зависимости величины энергетического зазора E
между нижайшей и следующей ближайшей к ней подзоной для проволок с квадратным
поперечным сечением. Нетрудно видеть, что в GaAs величина этого зазора намного
больше, чем в Si. Например, для проволоки со стороной сечения Ly =Lz=L=10 нм E=168
мэВ в случае GaAs и E=1,6 мэВ в случае Si. Это означает, что все квантоворазмерные
эффекты в арсенид-галлиевой квантовой проволоке будут выражены гораздо сильнее.
ΔE, мэВ
200
100
2
1
0
5
10
15
20
25
L, нм
Рис. 21. Величина энергетического зазора E между нижайшей и следующей, ближайшей
к ней подзоной в различных квантовых проволоках: 1 – между ближайшими уровнями
разнотипных подзон; 2 – между ближайшими уровнями однотипных подзон
(непрерывная линия – проволока на основе арсенида галлия,
штрихованные – кремния)
По этой причине в большинстве примеров, рассматриваемых в дальнейшем в
данной главе, ограничимся исследованием арсенид-галлиевых квантовых проволок в
условиях электрического квантового предела.
С учетом вышеизложенного выражения для энергии и волновой функции можно
переписать для электрического квантового предела следующим образом, учитывая
равенство компонент тензора эффективной массы для Г-долины GaAs:
 ( x, y , z ) 
e
ik x x
Lx
E
2
kx2
2m*
 y  2
 z 
2
sin 
sin   ,

 Ly  Lz
Ly
 Lz 



 


2m*  Ly

2
2
   2 
   .
  Lz 


Основными механизмами рассеяния в арсенид-галлиевых квантовых проволоках
являются рассеяния на ионах примеси, на неоднородностях поверхности и полярных
оптических фононах с их поглощением и их испусканием. При этом в квантовых
проволоках состояние после рассеяния может приобретать только два направления —
вдоль направления проволоки, т.е. угол рассеяния равен 0, и в обратном направлении, т.е.
угол рассеяния равен .
В приборных структурах на основе объемного GaAs очень важное практическое
значение приобретают нестационарные процессы, связанные с особенностями рассеяния
электронов в данном материале, например, эффект Ганна. Подобного рода
нестационарные явления протекают и в арсенид галлиевых квантовых проволоках. Они
связаны с рассеянием на полярных оптических фононах и наблюдаются при воздействии
на проволоки ступенчатых электрических полей.
На рис. 22 приведена зависимость значения дрейфовой скорости электронов от
времени после приложения к проволоке бесконечной длины при температуре 77 К
постоянного электрического поля с различными значениями напряженности: 5·104, 105 и
5·105 В/м. Данные зависимости получены с учетом только одного механизма рассеяния –
на полярных оптических фононах для проволок квадратного поперечного сечения с
длиной стороны, равной L=L0 и L=10 нм. Анализируя поведение кривых, нетрудно
сделать вывод, что частота и амплитуда колебаний дрейфовой скорости электронов в
значительной степени зависят от напряженности электрического поля. Чем выше
напряженность, тем быстрее электроны набирают энергию, достаточную для испускания
полярного оптического фонона, и тем выше будет частота колебаний. Как видно из рис.
21, величина L не оказывает никакого влияния на частоту осцилляций, но несколько
снижает среднее значение дрейфовой скорости, и это особенно становится заметным при
полях с высокой напряженностью.
vдр ,  105 м/с
3
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
3
4
t, пс
Рис. 22. Изменение дрейфовой скорости электронов во времени при учете только
рассеяния на полярных оптических фононах: 1 — L=L0; 2 – L=10 нм; штрихованные
линии – F=5·104 В/м, пунктирные линии – F=105 В/м, непрерывные линии – F=5·105 В/м
Влияние различных механизмов рассеяния электронов на дрейфовую скорость
представлено на рис. 23. Кривые получены с последовательным учетом рассеяния на
полярных оптических фононах, удаленных ионах примеси и неоднородностях
поверхности. Данный рисунок наглядно демонстрирует тот факт, что включение
дополнительного механизма, во-первых, уменьшает установившееся значение дрейфовой
скорости, а во-вторых, ускоряет затухание ее колебаний.
vдр ,  105 м/с
3
1
2
2
1
3
1
2
3
t, пс
Рис. 23. Изменение дрейфовой скорости электронов во времени при учете различных
механизмов рассеяния: 1 – учет только рассеяния на полярных оптических фононах; 2 –
учет рассеяния на полярных оптических фононах и неоднородностях поверхности; 3 –
учет рассеяния на полярных оптических фононах, неоднородностях поверхности и
ионизированной примеси; F=5·105 В/м; Т = 77 К
Лекция 13.
Основы одноэлектроники
Вопросы для рассмотрения:
1. Одноэлектронный транспорт
2. Кулоновская блокады
3. Приборные структуры одноэлектроники
Одноэлектроника — это раздел наноэлектроники, изучающий условия и приборные
структуры, в которых перенос тока осуществляется одним электроном, или, точнее,
определяется движением одного электрона.
В принципе в современных МОП-транзисторах с малой длиной и шириной канала,
например в КНИ-МОП-транзисторах с длиной канала Lch , толщиной канала dch и
шириной канала W , перенос тока в определенные моменты времени осуществляется
одним или считанным числом электронов. Число электронов, образующих ток, очевидно
равно N  Lch dchWnэл , где nэл – концентрация электронов. Для Lch =0.1 мкм, dch =
0.01 мкм, W =0.01 мкм и традиционной для проводящего канала МОП-транзистора
nэл =1024 м–3 имеем N  10. Однако в стандартном МОП-транзисторе электроны движутся
непрерывно, нет возможности выделить один электрон из общего потока и потому данные
транзисторы не рассматриваются как приборы одноэлектроники.
Одноэлектронные структуры можно создать на основе конденсатора и процесса
туннелирования электронов через потенциальный барьер, связанный с диэлектриком
конденсатора. Однако, чтобы зафиксировать на конденсаторе заряд одного электрона,
нужно чтобы по величине его емкость была соизмерима с зарядом электрона, т.е.
величиной е = 1.6 10–19. такую маленькую емкость выделить невозможно, так как в
любой схеме всегда существует паразитная емкость межсоединений, которая не бывает
меньше величины в 10–15 Ф. Чтобы избежать влияние паразитных емкостей для хранения
заряда одного электрона используют два последовательно включенных конденсатора. В
1
1
1
этом случае суммарная емкость системы будет C  C1  C2 , где
и


C1 Cконд1 Cпаразит
1
1
1
. Так как емкости конденсаторов намного меньше паразитных, то


C2 Cконд2 Cпаразит
они и будут определять C1 и C2 , а значит и C .
Для электронов участок между двумя конденсаторами будет представлять собой
как бы металлический островок. Энергия этого островка равна E 
Q2
. Если на островке
2C
e2
. Попадание второго электрона на
2C
островок оказывается невыгодно, так как в этом случае энергия островка увеличиться на
находится один электрон, то его энергия будет E 
e2
, а чтобы увеличить энергию, нужно приложить к системе
2C
напряжение. Более выгодным будет обратный процесс — уход электрона из островка. На
этом и основан принцип работы одноэлектронного устройства — подавать на входной и
выходной конденсаторы такие напряжения, чтобы электронам было выгодно либо
попадать на островок, либо уходить с него, либо задерживаться на нем, т.е. путем
изменения напряжений на входе и выходе регулировать ток через островок, который
E
e
формирует только один электрон. Напряжение U  =
, контролирующее перенос
e 2C
электронов через островок, получило название напряжение кулоновской блокады.
ту же величину E 
Однако, чтобы измерительные приборы могли фиксировать энергию E 
e2
, эта
2C
энергия должна быть меньше тепловой ET  k BT . Отсюда можно получить критическую
температуру для наблюдения одноэлектронных эффектов:
e2
 kbT ,
2C
T
e2
.
2kbC
При C = 10–15 Ф (порядка паразитной) получаем Tкрит  1 К. При C = 10–17 Ф
получаем Tкрит  100 К. В настоящее время получить C порядка 10–17 Ф не получается и
поэтому одноэлектронные явления можно наблюдать только при крайне низких
температурах — порядка 100 К и менее.
Приборные структуры одноэлектроники базируются на структурах с двумя
последовательно включенными конденсаторами, которые есть ни что иное как квантовая
точка. Другими словами все структуры одноэлектроники — это структуры на основе
квантовых точек. Точки эти могут группироваться в целые массивы (матрицы).
В настоящее время ведутся исследования одноэлектронных структур на основе
1) сканирующего туннельного зондового микроскопа, 2) слоистых структур на основе
гетероструктур при низких температурах, 3) последовательной цепочки квантовых точек
при низких температурах и 4) двумерного массива квантовых точек при низких
температурах.
Лекция 14.
Основы спинтроники
Вопросы для рассмотрения:
1. Спин электрона
2. Приборные структуры спинтроники
3. Квантовые компьютеры
Как известно, спин электрона — это специфическое свойство электрона, присущее
ему наравне с массой порядка 10–31 кг и зарядом порядка 10–19 Кл. Спин — это момент
импульса электрона на некоторую ось Z, т.е. проекция на эту ось какого-то движения
электрона относительно нее. Фактически электрон как бы вращается вокруг этой оси
наподобие вращения Луны вокруг Земли. При этом электроны могут иметь две
одинаковые проекции, но с разными знаками. Следовательно, различаются электроны с
проекцией спина связанной с движением электрона относительно оси Z по часовой
стрелке и с проекцией спина связанной с движением электрона относительно оси Z против
часовой стрелки. В первом случае спин электрона направлен по оси, во втором — против.
В любом энергетическом состоянии могут находиться два электрона, но обязательно с
разными спинами.
Количественно движение электрона в магнитных полях описывается с помощью
магнетона Бора
e
Б 
.
2m
e
Величина  
получила наименование гиромагнитного отношения для
m
электрона. Частное от деления магнетона Бора на гиромагнитное соотношение и
составляет значение спина электрона
L
.
2
Учет того, что спин может иметь две разные проекции дает
L
.
2
Известно, что все вещества по влиянию на них магнитного поля можно разделить
на парамагнетики, на диамагнетики и на ферромагнетики. Диамагнетики — это вещества,
которые под действием магнитного поля очень слабо намагничиваются в направлении
противоположном магнитному полю. Парамагнетики очень слабо намагничиваются в
направлении магнитного поля, тогда как ферромагнетики очень сильно намагничиваются
в направлении магнитного поля. Экспериментальные результаты показали, что через
намагниченный ферромагнетик могут проходить электроны со спином, направленным в
ту же сторону, куда намагничен ферромагнетик. Электроны же с противоположным
спином через данный ферромагнетик не проходят. На этом факте и основаны все
структуры спинтроники.
На рис. 24 приведена схема элемента памяти, построенного на спинтронном
эффекте. Информация (заряд электронов) записывается во втором ферромагнетике.
Первый и третий служат изоляторами, не позволяющими рассеиваться информации.
Запись осуществляется путем подачи в течение какого-то времени (времени записи)
одинаковых по направлению, но слабых магнитных полей B1 и B2 и противоположного им
поля B3 на соответствующие ферромагнетики при одновременной подаче тока на входную
шину. После этого устанавливается поле B1 одинаково направленное с B3 и
противоположное B2. На ферромагнетике 2 накопились электроны с определенным
спином и они не могут уйти с него, так как рядом находятся ферромагнетик 1 и
ферромагнетик 3 с другим направлением намагниченности, не совпадающей с
направлением спина электронов. Обнуление информации осуществляется аналогично,
только теперь одинаково направлены поля B2 и B3.
Запись
Ферромагнетик
1
B1
Ферромагнетик
2
B2
Ферромагнетик
3
Обнуление
B3
Рис. 24. Элемент памяти спинтроники
По такому же принципу работают и полевые транзисторы на спинтронном
эффекте. Ферромагнетики 1 и 3 являются истоком и стоком транзистора и они всегда
намагничены одинаково и постоянно. Ферромагнетик 2 является проводящим каналом.
Путем подачи на него поля B2 с разным направлением можно варьировать проводимость
канала и добиваться разного значения тока.
Основной недостаток приборов спинтроники — использование разных источников
переменного магнитного поля и создание активных областей, соответствующих
различным ферромагнетиком, с быстрым реагированием на переключение магнитного
поля. В результате очень непросто создать области с малыми размерами, а в случае
получения таких ферромагнитных областей — очень не просто изолировать их от влияния
не своих полей. Например, подавая B1 на ферромагнетик 1 мы частично влияем и на
ферромагнетик 2, зачастую не позволяя переключиться ему в нужное состояние. Чтобы
избежать таких паразитных переключений нужно создавать очень сложные изолирующие
конструкции, что заметно увеличивает размеры элементов и самих приборных структур.
Контрольные вопросы
1. В чем состоит основное условие проявления наноэлектронных свойств?
2. Почему происходит ограничение движения электронов при наноэлектронных размерам?
3. В чем проявляется ограничение свободного пробега электронов в наноэлектронных
условиях?
4. Каким образом ширина ямы определяет расстояние между уровнями размерного
квантования в прямоугольной квантовой яме?
5. Для чего необходимо решать уравнение Шредингера в наноэлектронных условиях?
6. Что такое волновая функция электрона и что она определяет?
7. Что такое соотношения неопределенности?
8. На что влияет форма квантовой ямы?
9. Чем треугольная яма отличается от прямоугольной?
10. Как влияет электрическое поле на энергетический спектр в квантовой яме?
11. За счет чего электроны туннелируют через потенциальные барьеры?
12. Почему электрон, имея энергию выше высоты потенциальной ступеньки, может
рассеяться от этой ступеньки?
13. Почему при прохождении электроном над потенциальной ямой возникают
интерференционные явления?
14. Почему при надбарьерном прохождении барьеров возникают интерференционные
явления?
15. Что такое плотность состояний и как она влияет на пробег электронов в приборных
структурах наноэлектроники?
16. Как зависит плотность состояний от температуры в 2D условиях?
17. Как зависит плотность состояний от температуры в 1D условиях?
18. Как зависит плотность состояний от энергии электронов в 2D условиях?
19. Как зависит плотность состояний от энергии электронов в 1D условиях?
20. Какие основные механизмы рассеяния электронов в низкоразмерных условиях?
21. Какие разновидности ОПЗ в полупроводниках бывают?
22. Что такое инверсионный слой?
23. Какой закон определяет искривление зон на поверхности раздела сред?
24. Какие параметры определяют ход потенциала в ОПЗ?
25. Что определяет процесс экранирования в ОПЗ?
26. Что такое уровни размерного квантования Лоренца?
27. В чем состоит эффект Шубникова-де Газа?
28. В чем состоит квантовый эффект Холла?
29. Какие основные механизмы рассеяния в наноэлектронных условиях?
29. Как происходит переход электронов из низкоразмерного состояние в состояние с более
высокой размерностью?
30. Как влияют размеры поперечного сечения квантовой проволоки на квантование энергии
в ней?
31. Что такое полярное оптическое рассеяние?
32. Что такое осцилляции дрейфовой скорости в арсенид галлиевых квантовых проволоках?
34. Что такое одноэлектроника?
35. При каких условиях возможен одноэлектронный перенос?
36. Что такое кулоновская блокада?
37. Что такое спин электрона и в чем его отличие от спина атома?
38. Диамагнитные, парамагнитные или ферромагнитные материалы являются основой
создания приборов спинтроники и почему?
39. В чем состоит принцип работы магнитной ячейки памяти?
ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ
Лабораторная работа 1.
Расчет энергетического спектра в квантовой яме сложной формы
Цель работы: Рассчитать значения двух нижних уровней размерного квантования в
прямоугольной яме, имеющей в своем центре прямоугольный провал.
Теоретическая часть:
На рисунке ниже представлена энергетическая диаграмма исследуемой ямы. Она
характеризуется тремя параметрами: шириной широкой части, равной 2 l, шириной узкой
части (провала), равной 2 d, и глубиной провала, равной U. Наружные стенки ямы
полагаются бесконечно высокими. Обычно получить такие ямы проще всего на основе
арсенид галлиевых сверхрешеток. Поэтому будем рассматривать далее арсенид галлиевую
яму, для которой m  0.067m0 .
2l
2d
U
Значение двух самых нижних уровней размерного квантования можно отождествить с
волновым вектором электрона, связанным с этим уровнем, согласно известным
соотношениям E0 
2 2
k0
и E1 
2 2
k1
. В данной яме с каждым из волновых векторов k0
2m
2m
и k1 также связана своя волновая функция, определяющая пространственное
расположение электронов находящихся на уровнях E0 и E1 в яме. Из условий,
налагаемых на эти волновые функции, вытекают два трансцендентных уравнения для k0 и
k1 в следующем виде
k0l 


2mU
2mUd 2
 k0 d  arctg  1  2 2 tg k02 d 2 
2

2
k0





и
2 

 tg k02 d 2  2mUd 
2


k1l    k1d  arctg 
.
2mU


1 2 2


k
0


Решив эти уравнения относительно k0 и k1 и подставив значения волновых функций в
соотношения для энергий E0 и E1 , рассчитываются значения двух нижних уровней
размерного квантования в исследуемой яме.
Практическая часть:
1. Решите графическим образом трансцендентные уравнения отдельно для k0 и
отдельно для k1 . Например, в случае k0 для этого необходимо построить две кривые —


2mU
2mUd 2
 k0 d  arctg  1  2 2 tg k02 d 2 
2

2
k0

Точка пересечения этих кривых и даст искомое значение k0 . Для вектора
зависимости функций k0l  f  k0  и

  g  k0  .


k1 нужно
построить функции f  k1  , которая фактически ничем не отличается от f  k0  , и h  k1  ,
2 

 tg k02 d 2  2mUd 
2


которая очевидна равна   k1d  arctg 
.
2mU


1 2 2


k
0


2. Для построения графиков функций f  k0  и g  k0  , а также f  k1  и h  k1 
заполните следующую таблицу, выбирая в качестве аргументов k0 и k1 доли l
k0
0.2 l
0.5 l
0.75 l
l
1.5 l
2l
3l
10 l
k1
f  k0 
f  k1 
g  k0 
h  k1 
Выбрать параметры l, d и U ,необходимо согласно своему варианту
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
2 l, нм
5
4
6
5
2 d , нм
4
3
4
3
U, эв
1
0.5
0.8
0.5
3. С помощью найденных в точках пересечения кривых значений k0 и k1 рассчитайте
величину уровней размерного квантования E0 и E1 .
Лабораторная работа 2.
Расчет распределения волновой функции электрона в GaAs-квантовой
проволоке
Цель работы: Рассчитать распределение волновых функций электронов в арсенид
галлиевой квантовой проволоке и оценить вероятность обнаружения электрона в той или
иной части поперечного сечения проволоки.
Теоретическая часть:
На рисунке ниже схематически изображена квантовая проволока. Ее размеры в
поперечном сечении Ly и Lz соизмеримы с длиной волны электрона де Бройля и
приводят к возникновению размерного квантования. Уровни размерного квантования и
значения волновых функций можно рассчитать с помощью известных соотношений
2
2
2
2kx
2 
 n y    n z   

  
E n y nz 

 ,

2m
2m  Ly   Lz  


 n y nz ( y , z ) 
n y y
2
sin
Ly
Ly
n z
2
sin z .
Lz
Lz
Ly
Lx
Z
Lz
Y
X
Вероятность обнаружить электрон, находящегося на определенном уровне размерного
квантования E n y nz , в определенной точке прямоугольного сечения проволоки с

координатами  y, z  равна Pn y nz  y, z  =  ny nz ( y, z )

2
Практическая часть:
1. В соответствии со своим вариантом выбрать исходные данные для исследуемой
квантовой проволоки
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
3
4
2
5
Ly , нм
Lz , нм
4
3
5
2
ny , nz
1, 2 и 2, 1
1, 3 и 3, 1
2, 3 и 3, 2
1, 3 и 3, 2
Должны быть исследованы два состояния с двумя разными наборами номеров n y и n z .
2. Рассчитать распределение волновой функции по координатам поперечного сечения.
Расчет вести в соответствии с нижеприведенной таблицей, в которой записывать
рассчитанные при указанных y и z значения  ny nz ( y, z ) .
z =0.1 Lz
z =0.2 Lz
z =0.4 Lz
z =0.5 Lz
z =0.7 Lz
z =0.8 Lz
z =0.95 Lz
y =0.1 Ly
y =0.2 Ly
y =0.3 Ly
y =0.5 Ly
y =0.75 Ly
y =0.8 Ly
y =0.95 Ly
3. Найти квадрат волновой функции и таким образом оценить вероятность
обнаружения электрона в следующих точках поперечного сечения квантовой проволоки:
y =0.1 Ly и z =0.1 Lz , а также y =0.5 Ly и z =0.5 Lz и y =0.8 Ly и z =0.8 Lz .
ТЕСТЫ ПО ВСЕМУ КУРСУ
Вопрос 1.
Длина волны де Бройля электрона рассчитывается согласно формуле
Варианты ответа
2
1.  дБр 
.
mv
2
3.  дБр 
.
k
Правильно 1) и 3).
2. дБр  vсвободн.пробег .
4.  дБр 
v
.
2f
Вопрос 2.
Электрон проходит над симметричным барьером с энергией больше высоты барьера.
Какое событие более вероятно?
Варианты ответа
1. Электрон отразится от барьера и полетит обратно.
2. Электрон остановится над барьером.
3. Электрон полетит дальше за барьер, но с меньшей скоростью.
4. Электрон полетит дальше за барьер с той же скоростью.
Правильно 4).
Вопрос 3.
Какое соотношение определяет возникновение интерференционных явлений при
прохождении электрона над потенциальным барьером?
Варианты ответа
E
 n где E – энергия электрона, U 0 – высота барьера.
1.
U0
2. k1L  n, где k1 
3. k2 L  n, где k2 
2mE
, L – ширина барьера.
2m  E  U 0 
4.  k1  k2  L  n, где k1 
2mE
, U 0 – высота барьера, L – ширина барьера.
, k2 
2m  E  U 0 
, U 0 – высота барьера, L – ширина
барьера.
Правильно 3).
Вопрос 4.
Плотность состояний в двумерном электронном газе изменяется в зависимости от энергии
электрона по закону
Варианты ответа
1.
E.
1
3.
.
E
Правильно 2).
2.   E  Ei  .
4. от E вообще не зависит.
Вопрос 5.
Для p-подложки потенциал в ОПЗ вида:
отражает
Варианты ответа
1. Область плоских зон.
2. Область обеднения.
3. Область инверсии.
4. Область обогащения.
Правильно 2).
Вопрос 6.
Для n-подложки потенциал в ОПЗ вида:
отражает
Варианты ответа
1. Область плоских зон.
2. Область обеднения.
3. Область инверсии.
4. Область обогащения.
Правильно 4).
Вопрос 7.
Для ОПЗ в кремнии уровни с большим
энергетическим расстоянием между
ними возникают в долинах,
обозначенных на рисунке цифрами:
3
5
2
1
6
4
Варианты ответа
1. 1–2.
2. 3–4.
3. 5–6.
4. 3–4, 5–6.
Правильно 4).
Вопрос 8.
Значение первого уровня магнитного квантования Ландау равно
Варианты ответа
eB
1. EЛ 
.
m
3. EЛ 

2 2
*
.
2m
Правильно 2).
2. EЛ 
eB
.
2m
4. EЛ 
evB
.
m
Вопрос 9.
Эффект Шубникова – де Гааза состоит в установлении зависимости (см. рис. ниже):
VS
V3
B
VG
VD
Сток
Исток
V1
V2
Электронный ток
Варианты ответа
1. V2  V1  f VG  .
2. V2  V1  f VD  .
3. V3  V2  f VG  .
Правильно 1)
4. V3  V2  f VD  .
Вопрос 10.
Квантовый эффект Холла состоит в установлении зависимости (см. рис. ниже):
VS
V3
B
VG
Сток
Исток
V1
V2
Электронный ток
Варианты ответа
1. V2  V1  f VG  .
3. V3  V2  f VG  .
Правильно 3)
VD
2. V2  V1  f VD  .
4. V3  V2  f VD  .
Вопрос 11.
При квантовом эффекте Холла величина удельного сопротивления определяется
выражением
Варианты ответа
1.  K 
2
.
e2n
Правильно 1).
2. K 
2 2
.
2m
3.  K 

e2 n
.
4.  K 
eB
.
2m
Вопрос 12.
В кремниевых двумерных слоях электрон с малой энергией чаще всего рассеивается
Варианты ответа
1. На ионах примеси.
2. На неоднородностях поверхности.
3. На акустических фононах.
4. На оптических фононах.
Правильно 2).
Вопрос 13.
В кремниевых двумерных слоях электрон с высокой энергией чаще всего рассеивается
Варианты ответа
1. На ионах примеси.
2. На неоднородностях поверхности.
3. На акустических фононах.
4. На оптических фононах.
Правильно 4).
Вопрос 14.
Следующая формула задает соотношение между частотой поверхностного акустического
фонона и его волновым вектором
Варианты ответа
u
1. q  , где u – скорость звука.

2
3. q  u
, где u – скорость звука.

Правильно 2).
Вопрос 15.

, где u – скорость звука.
u

4. q  u
, где u – скорость звука..
2
2. q 
В арсенид галлиевой квантовой проволоке Lz  2Ly . Чему равно значение энергетического
уровня дна подзоны E32 ?
Варианты ответа
2
 2  2
1. 8  
.
 L y  2m


Правильно 2).
2
 2  2
2. 10 
.

 L y  2m
 
2
 2  2
3. 12 
.

 L y  2m
 
2
 2  2
4. 13 
.

 L y  2m
 
Вопрос 16.
В арсенид галлиевых квантовых проволоках электрон с малой энергией чаще всего
рассеивается
Варианты ответа
1. На ионах примеси.
2. На неоднородностях поверхности.
3. На акустических фононах.
4. На оптических фононах.
Правильно 2).
Вопрос 17.
В арсенид галлиевых квантовых проволоках электрон с высокой энергией чаще всего
рассеивается
Варианты ответа
1. На ионах примеси.
2. На неоднородностях поверхности.
3. На оптических неполярных фононах.
4. На оптических полярных фононах.
Правильно 4).
Вопрос 18.
Напряжение кулоновской блокады, определяющей одноэлектронный транспорт, равно
Варианты ответа
e
2e
1. U Кб 
.
2. U Кб 
.
2C
C
Правильно 1).
3. U Кб 
C
.
2e
4. U Кб 
2C
.
e
Вопрос 19.
Условие появления кулоновской блокады состоит в выполнении соотношения
Варианты ответа
e2
.
2k BT
Правильно 3).
1. C
2. C
k BT
e
2
.
3. C
e2
.
2k BT
4. C
k BT
e2
.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ
1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке.
2. Особенности электрон-фононного взаимодействия в системах пониженной
размерности.
3. Частица в прямоугольной потенциальной яме.
4. Асимметричные структуры в магнитном поле.
5. Прохождение частиц через многобарьерные квантовые структуры.
6. Дробный квантовый эффект Холла.
7. Сверхрешетки.
8. Практическая реализация одноэлектронных приборов.
9. Энергетический спектр сверхрешеток.
10. Квантование энергии электронов в инверсионном слое кремния.
11. Структуры на сверхрешетках.
12. Особенности электронного переноса в структурах кремний-на-изоляторе.
13. Квантовые состояния в 2D-системах
14. Особенности электронного переноса в квантовых проволоках.
15. Разновидности области пространственного заряда в 2D-системах.
16. Локализация фононов в системах с пониженной размерностью.
17. Три способа решения уравнений Пуассона и Шредингера для инверсионного слоя
кремния.
18. Туннелирование через двухбарьерную структуру с квантовой ямой.
19. Квантовый эффект Холла.
20. Дрейфовая скорость электронов в n-канале кремниевого МОП-транзистора
21. Фононы в системах с пониженной размерностью.
22. Подвижности электронов в квантовой яме гетероструктуры GaAs/AlGaAs.
23. Проводимость двумерного электронного газа.
24. Фононные механизмы рассеяния электронов в 2D-системах.
25. Одноэлектронные приборные структуры.
26. Основные механизмы рассеяния в низкоразмерном электронном газе.
27. Теоретические основы одноэлектроники.
28. Баллистический транспорт в структурах с малыми размерами элементов.
29. Туннелирование электронов через структуру с двумя барьерами.
30. Виды наночастиц.
31. Плотность состояний в 2-D системах.
32. Физические свойства наночастиц.
33. Плотность состояний в квантовых проволоках.
34. Интенсивности основных механизмов рассеяния в 2-D системах.
35. Основы спинтроники.
36. Спиновая ячейка памяти.
37. Электронные состояния после разных механизмов рассеяния: на фононах, ионах,
электронах, поверхности.