6-24 А.А. Маханек, З.П. Шульман Влияние

УДК 536.2.072
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В КРУПНЫХ СОСУДАХ НА ПРОЦЕСС
ОБЩЕЙ ГИПЕРТЕРМИИ (ОГТ) ЧЕЛОВЕКА
А.А.Маханѐк, З.П.Шульман
Институт тепло- и массообмена им. А.В.Лыкова НАНБ
В рамках многокомпартментной тепловой модели выполнен анализ влияния
теплообмена магистральных артериальных и венозных сосудов на тепловое
состояние человека при электромагнитном и водоструйном общем нагреве.
Установлено, что теплообмен магистральных сосудов с компартментами и
между собой в стационарном состоянии не привносит сколь либо существенных особенностей в уровни температур различных частей тела человека.
Наибольший эффект теплобмена этих сосудов с биотканью проявляется
спустя 15 и 30 мин водоструйного и электромагнитного нагрева, соответственно, и не превышает 0,3°С.
Ключевые слова
Общая гипертермия, теплообмен, кровоток, модель, крупные сосуды.
Условные обозначения
Cb – теплоемкость крови; Ma и Mv – масса крови, циркулирующей в артерии и
вене; m - масса слоя (субкомпартмента), W – интенсивность тканевого кровотока
(перфузия крови) в субкомпартменте, кг/(кг с-1), b – плотность крови, T – средняя
температура, T – средняя температура крови в сосуде, CO – объемная скорость
кровотока из сердца, – эффективный коэффициент теплообмена кожи с окружающей
средой или сосуда с биотканью, Sj – площадь поверхности кожи j-го компартмента (или
сосуда), L – длина сосуда, R – радиус сосуда, h – расстояние между сосудами, индекс a
– артерия, v – вена, b – базисные характеристики (значение параметра в
термонейтральных условиях при отсутствии физической нагрузки), s – кожа, in – вход в
компартмент или сосуд, out – выход из компартмента или сосуда, env – окружающая
среда (воздух или вода), conv – конвективный теплообмен, cond – кондуктивный
теплообмен, rf – нагрев электромагнитным полем, swt – испарение пота.
Введение
Термическое состояние живого организма, его адаптивное саморегулирование и
поддержание стабильного теплового режима (гомеостаза) при любых внешних воздействиях (холод, жара, физические перегрузки и др.), как известно, обеспечиваются
преимущественно кровотоком. Конечно, существенными могут быть и другие тепловые
факторы: потение, испарение, конвекция с поверхности тела и респираторный вынос
тепла из организма. Практический интерес представляет количественное описание
теплового состояния организма человека при общей гипертермии (ОГТ), применяемой
для лечения онкологических больных с множественными или не операбельными
злокачественными новообразованиями. В большинстве известных моделей общей
электромагнитной и водоструйной гипертермии структура нагреваемого биообъекта и
тепловое взаимодействие его отдельных частей сильно упрощены. Чаще всего это
модели типа ядро-оболочка [1], модели с небольшим числом компартментов и кровью в
виде отдельного самостоятельного депо [2-4]. Невелико число исследований, в которых
учитываются крупные сосуды и их теплообмен с окружающей биотканью и между
собой (см., например, [5-8]). Целью данной работы является оценка влияния
теплообмена магистральных сосудов с биотканью на распределение температур в теле
человека, при использовании собственной модификации многокомпартментных
моделей [3, 5-9].
Перечислим отличия предлагаемой модели ОГТ от известных. Исправлены
неточности в соотношениях, описывающих тепловое состояние крови в крупных
сосудах, допущенные в [5, 6]. Конкретизирована связь между средней температурой крови в сосуде и температурами крови на входе и выходе из сосуда.
Подобная конкретизация отсутствует в [5] и весьма недостаточна в [6]. Как и в [9],
голова подразделена на три компартмента: "лоб", "лицо" и остальная часть головы
("голова"). Здесь в кавычках даны условные обозначения соответствующих
компартментов. "Голова" и "лоб" - сферические, а "лицо" - цилиндрический сегменты. Геометрические характеристики всех компартментов приведены в табл.1.
Температура артериальной крови на выходе из легких (и сердца) определяется из
уравнения теплового баланса для крови малого круга кровообращения с учетом
теплоты испарения воды в легких (респираторных теплопотерь). Сердце
рассматривается как дополнительный источник тепла в компартменте "грудная
клетка" и развивает мощность Qcard 8 Вт. Добавлен еще один компартмент – "таз",
что позволяет моделировать накачку тепла в мягкие мышечные ткани этой части
тела. Конечности подразделены на верхнюю, среднюю и оконечную: "плечо",
"локоть", "кисть" для рук, "бедро", "голень" и "ступня" для ног, соответственно.
Задание различий между левой и правой конечностями позволяет учитывать
неодинаковые условия теплообмена. Наша модель, с учетом перечисленных частей
тела, а также живота и шеи охватывает 19 компартментов.
Согласно усовершенствованной модели Столвика [10], расширение и сужение
кровеносных сосудов в слоях кожи j-го сегмента тела зависит от знака параметра
ERRj,S = Tj,S
Tb,j,S.
Все положительные значения ERRj,S суммируясь с весовым множителем SKRj дают
параметр WS, тогда как все отрицательные аналогично образуют параметр CS. Весовые
множители SKRj пропорциональны плотности температурных рецепторов на коже j-го
компартмента. Через параметры ERR1,C = T1,C Tb,1,C (T1,C температура ядра головы),
WS и CS количественно выражаются команды сужения STR и расширения DLT
сосудов:
STR = 5.0 ERR1,C
5.0(WS
CS),
(1)
DLT = 117. ERR1,C + 7.5(WS
CS),
(2)
соответственно которым интенсивность кровотока в каждом элементе кожи (перфузия)
EER j / 4
,
S
b, ,S
SK
j
DLT /
j
V j ,S / 1 SKC j STR ,
(3)
где Wb,j,S базисная интенсивность кровотока а коже, SKVj и SKCj весовые множители, пропорциональные плотности эффекторов (исполнителей) вазоконстрикции
(сужения) и вазодилатации (расширения) сосудов кожи j-го элемента соответственно.
Кровоток в мышце возрастает согласно Stolwijk [4]: прирост составляет 50 л/ч на
каждые 100 ккал/ч прироста мощности метаболических тепловыделений (в [5] он
оставался на исходном уровне при T<43оC).
1. Постановка задачи
Каждый компартмент, как и в [5, 6], состоит из шести субкомпартментов: "ядро",
"мышца", "жир", "кожа", "артерия" и "вена". Ядром конечностей и таза является кость.
Их геометрические характеристики показаны в табл.1. Теплофизические свойства ядра
других частей тела близки или тождественны мышечным.
Таблица 1
Размеры субкомпартментов (см)
Компартмент
Угол, рад
L
Rядро
Rмышца
Rжир
Rкожа
Ra
Голова
Лоб
Лицо
Шея
Грудная клетка
Живот
Таз
Плечо
Предплечье
Кисть
Бедро
Голень
Ступня
2.67
0.44
3.6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9.8
9.8
9.8
28.4
28.6
49.7
5.5
6.9
31.9
31.0
34.8
34.8
24.2
8.598
8.598
5.423
2.603
8.912
8.336
8.336
1.473
1.473
1.0
2.4
2.4
1.782
10.045
10.045
6.183
5.259
11.295
10.512
10.512
3.73
3.73
1.541
4.661
4.661
2.425
10.252
10.252
7.6
5.559
12.664
12.439
12.439
4.011
4.011
2.041
5.525
5.525
3.357
10.453
10.453
7.8
0.667
12.867
12.604
12.745
4.181
4.181
2.261
5.575
5.575
3.598
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.13
0.25
0.25
0.15
Rv
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.13
0.25
0.25
0.15
Теплофизические и другие параметры модели, использованные в расчетах,
представлены в таблицах 2 и 3. Они основаны на данных [2, 3, 5-9].
Таблица 2
Теплофизические свойства слоев биоткани и базовые интенсивности тканевого
кровотока и значения удельных метаболических тепловыделений
Слой
С,
Дж/(кг°С)
, кг/м3
, Вт/(м°С)
qmet,b, Вт/кг
Wb,
мл/(100г мин)
Ядро
голова
грудная клетка
живот
другие части тела
Мышцы
Жир
Кожа
2452
2707
3352
1591
3766
2509
3766
1360
790
1100
1300
1050
850
1050
0.53
0.28
0.55
1.16
0.42
0.16
0.27
5.19
0.35
3.22
0
0.67
0
1.0
57.9
2.7
24.72
0.65
3.1
0.026
см. табл.3
Таблица 3
Базовые перфузии в коже различных компартментов, мл/(100г мин)
Грудная
ПредЖивот Плечо
клетка
плечье
17.4
6.45
8.67 8.39
8.39
Голова Лоб Лицо Шея
43.0
70.0
70.0
Кисть Бедро Голень
20.07
7.11
7.11
Ступня
12.3
Для артерии и вены скорость накопления тепла в крови
&
M
ba a Ta
&
&
&
bvM v Tv
*
Qat
r
Qa in
Qa out
Qconv
Qv in
Qv out
Qt
Qv* .
r
Qvs
*
Qav ,
Qt
Q a* ,
(4)
(5)
Qav .
Перфузионный теплоперенос согласно модели Pennes [11]
4
conv
m k W k Ta
b
Tk .
(6)
k 1
Здесь и далее для краткости номер компартмента j опущен, а индекс k=1-4
обозначает номера субкомпартментов ядро, мышца, жировой слой, кожа).
Теплосодержание крови на выходе из капилляров (перфузирующей компартмент
массой mk за единицу времени)
k
4
m
bt k Wk Tk .
(7)
k 1
Очевидно, что
conv
&
b C bV p Ta ,
t
(8)
где объемная скорость крови, перфузирующей все ткани компартмента, &
Wk .
k
Средние (по энтальпии) температуры артериальной и венозной крови в
соответствующих сосудах данного компартмента можно выразить через температуры
на входе и выходе сосуда
a
1
п ричем
1(
a)Ta out
(9)
T in
aTv out ,
(10)
V
(11)
in
1&
p
.
Часть крови с объемной скоростью V& p уходит в биоткань из крупной артерии
через более мелкие. В венах, наоборот, происходит приток этой крови. Следовательно,
на выходе из компартмента (и входе в следующий) артериальный кровоток составляет
&, а венозны й
.
p
p
Подстановка (9), (10) в (4), (5) с учетом (8) и (11) дает для сосудов
промежуточного компартмента уравнения теплового баланса в виде
&
2
&T
a,in
bV
Ta
Qa* ,
(12)
V
C&
a
Q& v
i
mk Wk Tk
Cb
v
Tv in
Qv* .
(13)
k
Температуру на входе в крупную вену Tv,in определяем как среднюю по теплосодержанию температуру смешения крови дочерних компартментов. Заметим, что Tv,out
на выходе из компартмента определяется как результат смешения крови, поступившей
в вену из дочерних сосудов, и крови, прошедшей через биокань данного компартмента.
Для конечных компартментов ("голова", "лицо", "лоб" и конечностей) имеем
&
&
r
Qat
Qav ; Ta
r
Qvt
Q av
Ta,in ,
Cb
(14)
m k W k Tk
Tv ; T ,ou
Tv ,
(15)
k
а Tv,in определяем как среднюю по энтальпии температуру смешения перфузионных
потоков крови из слоев "ядро", "мышца", "жир" и "кожа".
Изменение кровотока в ходе нагрева описывается терморегуляционной моделью
Stolwijk (1)-(3) (см. также [2, 4, 5]). Теплообмен крупных сосудов с окружающей биотканью (ядром, если это не кость, иначе с мышцей) описывается, как и в [5], а
теплообмен артерии и вены между собой - согласно Wissler [12]:
at ,k
a a
Ta
Tk
(16)
vt,k
v v
Tv
Tk
(17)
Qav
T
L
ln(2
Tv
2
/(
(18)
R ))
Полная система тепловых балансов нашей многокомпартментной модели, помимо
соотношений (12)-(18) для артерий и вен, включает следующие уравнения:
для ядра ("грудная клетка")
dTk
dt
conv k
cond k
Qmet ,k
Qrf ,k
Qcardiac
Qmet ,k
Qrf k
Qas k
Qas,k
Qvs,k ;
ядра: (не "грудная клетка")
dTk
dt
Qvs,k ;
conv k
cond k
conv k
cond k 1
Qcond ,k
Qmet ,k
Qrf ,k
cond k 1
Qcond ,k
Qmet,k
Qrf ,k ;
мышцы:
dTk
dt
жирового слоя:
dTk
dt
кожи:
conv k
Qas,k
Qvs,k ;
dTk
dt
conv k
cond k 1
Qmet,k
Qrf ,k
Qenv
E swt .
Выражения для вычисления мощности теплопотерь на испарение пота (Eswt), конвективного теплообмена с окружающей средой (Qenv), тепловой мощности, подводимой
электромагнитным облучением (Qrf) приведены в [2, 5-9, 12]. Температуру на выходе из
легких определяем, исходя из того, что все тепло Elung, отданное кровью в альвеолах
при испарении воды составляет изменение ее теплосодержания (не учитывается
кондуктивный теплообмен между легкими и остальной частью грудной клетки):
Tlung,out=Tlung,in-Elung/( bCbCO)
Смешанный (конвективный и радиационный) теплообмен с окружающей средой
определяем обычным образом:
env
j
j
Tk
Tenv
Кондуктивный перенос тепла между слоями биоткани
ond k
k
Tk
Tk 1 ,
1
где Gk - проводимости слоев,
g . Для сферы gk = 2 j kLjR1R2/(R2 R1), для
k1
k
цилиндров gk = j kLjln(R2/R1), R1 - внутренний радиус слоя (k-го субкомпартмента), R2 внешний радиус слоя.
2. Численное моделирование
Система перечисленных выше балансных уравнений энергии решена методом
Рунге-Кутта четвертого порядка точности. На каждом временном шаге оценивалась
ошибка усечения ряда Тейлора для контроля устойчивости решения. Практическая
реализации задачи на ЭВМ и ее тестовые испытания показали что для обеспечения
устойчивого решения необходим шаг по времени t < 0.2 с.
Для оценки вклада больших сосудов в теплообмен при ОГТ сформулированная
выше система уравнений энергии решалась численно для 3-х вариантов задания
коэффициентов теплоотдачи сосудов:
1. Вариант не учета тепообмена крупных сосудов друг с другом и с
компартменом (условно обозначим его Ђ);
2. Задание коэффициентов теплообмена, как у Charny [5]: (R=0.5см)=265
Вт/(м2K); (R=0.25см)=530 Вт/(м2K); (R=0.13см)=530 Вт/(м2K) - вариант - Ѓ;
3. Задание в 2 раза больших значений , чем в предыдущем случае - ‚.
Расчеты выполнены для электромагнитной и водоструйной ОГТ. Принимались
следующие условия: масса человека 73 кг, сердечный выброс в термонейтральных
условиях и состоянии мышечного покоя - 5.4 л/мин, площадь поверхности тела 1.84м2, суммарный базовый метаболизм - 67.4 Вт.
Электромагнитная ОГТ: температура окружающего воздуха 29.5°С (тепловой
комфорт, отсутствие мышечного дрожания); тело полностью обнажено, конвективный
теплообмен с его поверхности осуществляется за счет естественной конвекции и
радиации с эффективным коэффициентом теплообмена 8 Вт/м2K; период установления
базовых температур до нагрева - 5 часов; продолжительность нагрева - 3 часа;
суммарная подводимая мощность электромагнитного излучения - 400 Вт (компартменты "голова", "лоб", "лицо" и "шея" не облучаются). В ходе ОГТ "голова" и "лоб"
охлаждаются водой с температурой 10°С и коэффициентом теплообмена 300 Вт/м2K,
лицо охлаждается за счет естественной конвекции и радиационного теплообмена.
Температура подаваемого в легкие воздуха 10°С, его относительная влажность 20%.
Водоструйная ОГТ: коэффициент теплообмена на поверхности кожи - 300
Вт/(м2K), температура воды - 41.5°С (потение отсутствует, кроме, быть может, лица).
Остальные условия аналогичны случаю электромагнитной ОГТ.
3. Обсуждение результатов
Некоторые результаты численного моделирования представлены на рис.1 и в
табл. 4. Анализ теплообмена с учетом крупных сосудов дает качественно отличающиеся результаты для электромагнитной и водоструйной ОГТ. Обращают на себя
внимание факты повышения исходных (до нагрева) температур ядра тела и головного
мозга c увеличением , а также диаметрально противоположные тенденции изменения
температур во времени при электромагнитной и водоструйной ОГТ. Основная причина
такого поведения температур, по-видимому, состоит в различии механизмов накачки
тепла: при электромагнитной ОГТ имеем внутренние тепловыделения (диссипация
энергии источника электромагнитного поля), а при водоструйном нагреве - внешний
теплоподвод к поверхности тела.
T,°C
0,3
T,°C
0,2
а)
0,2
0,1
0,0
б)
0,1
‚
Ѓ
-0,1
0,0
Ѓ
-0,1
‚
-0,2
-0,3
-0,2
0
60
120
180
Продолжительность нагрева, мин
0
60
120
180
Продолжительность нагрева, мин
Рис. 1. Различия в температурах головного мозга между вариантами
Ѓ, Ђ и ‚, Ђ для электромагнитной (а) и водоструйной (б) ОГТ
Увеличение коэффициента внутреннего теплообмена в магистральных сосудах не
создает дополнительных источников или стоков тепла (имея ввиду организм как целое,
а не отдельно взятый компартмент), но усиливает тепловую связь между различными
частями тела, способствуя сглаживанию температурных неоднородностей, обусловленных неодинаковостью внешних и внутренних условий теплообмена отдельных
компартментов, их геометрической структуры, теплофизических свойств, скорости
метаболического теплообразования. Этими же причинами обусловлена и некоторая
зависимость стационарных температур отдельных компартментов от интенсивности
внутреннего теплообмена в крупных сосудах.
Анализируя данные, представленные в табл.4, отметим также более значительное
увеличение сердечного выброса при водоструйной ОГТ по сравнению с электромагнитной. Учет теплообмена магистральных сосудов компартментов не привносит
сколь либо существенных изменений в объемной скорости кровотока из сердца. Ощу-
тимее всего влияние этого теплообмена сказывается на температурах ядра компартментов "голова" и "живот". Максимальное различие температур между вариантами Ѓ,
Ђ и ‚, Ђ составляют 0.2 и 0.3°С для обоих вариантов сравнения. Причем оно соответствует моменту 15 мин от начала нагрева для водоструйной и 30 мин - для электромагнитной ОГТ (см. рис.). После 3-х часов нагрева это различие не превышает 0.1°С.
Таблица 4
Изменения температур некоторых субкомпартментов в зависимости от
вида процедуры и величины внутреннего коэффициента теплообмена
Вариант
Tголова_ядро,°C Tживот_ядро,°C Tжтвот_кожа,° <Tвся_кожа>,°
C
C
До нагрева
Ђ
Ѓ
‚
60 мин э/м ОГТ
Ђ
Ѓ
‚
120 мин э/м ОГТ
Ђ
Ѓ
‚
180 мин э/м ОГТ
Ђ
Ѓ
‚
60 мин орошение
Ђ
Ѓ
‚
120 мин орошение
Ђ
Ѓ
‚
180 мин орошение
Ђ
Ѓ
‚
CO,%
36.66
36.81
36.91
36.75
36.89
36.98
34.24
34.33
34.39
34.54
34.54
34.53
100.0
100.0
100.0
39.98
40.14
40.24
40.53
40.69
40.78
36.57
36.73
36.83
35.86
36.04
36.13
124.5
124.7
124.8
41.05
40.99
41.05
41.69
41.63
41.68
37.69
37.69
37.76
36.79
36.84
36.89
149.5
139.2
138.9
41.11
41.13
41.18
41.78
41.78
41.83
37.83
37.87
37.94
36.86
36.97
37.02
150.3
141.9
142.1
40.60
40.60
40.58
40.73
40.73
40.72
41.24
41.25
41.25
39.74
39.75
39.75
142.0
141.3
140.7
41.11
41.11
41.09
41.30
41.30
41.29
41.38
41.38
41.38
39.89
39.89
39.89
149.0
147.8
147.1
41.22
41.19
41.17
41.42
41.40
41.39
41.41
41.41
41.41
39.92
39.92
39.92
150.6
149.1
148.2
Выводы
Учет теплообмена магистральных сосудов с компартментами и между собой в
стационарном состоянии и в ходе электромагнитной или водоструйной ОГТ
относительно слабо сказывается на уровне температур различных частей тела человека,
а также на величине минутного сердечного выброса. В тоже время малая тепловая
инерционность крови в этих сосудах делает систему балансных уравнений энергии
весьма жесткой, что приводит к необходимости численного интегрирования данной
системы с малым шагом по времени (порядка 0.1-0.2 с) и значительному увеличению
объема вычислений по сравнению со случаем, когда теплообмен крупных сосудов не
рассматривается.
Литература
1. Ермакова И.И. О регуляции по центральной и периферической температурам при
тепловых воздействиях (исследование на математической модели) //
Физиологический журнал СССР, 1980, т.66, N3, с.394-399.
2. Charny C.K., Hagmann M.J., Levin R.L. A whole body thermal model of man during
hyperthermia tissues // IEEE Trans. on Biomed. Eng. 1987. Vol.BME-34. P.375-386.
3. Huckaba Ch.E., Tam H.-S. Modeling the human thermal system / In "Adv. in Biomedical
Engineering", Part I, New-York, 1980, pp.1-58.
4. Stolwijk J.A.J., Hardy J.D. Temperature regulation in man - A theoretical study //
Pflugers Arch. 1966. Vol.291. P.129-162.
5. Charny C.K., Levin R.L. Simulations of MAPA and APA heating using a whole body
thermal model // IEEE Trans. on Biomed. Eng. 1988. Vol.BME-35. P.362-371.
6. Arkin H., Shitzer A. Model of thermoregulation in the human body. Part I: The heat
transfer model (The "passive" model) / EEC-148. Depth. of Mechanical Engineering
Technion, Haifa, Israel. 1984. P.1-36.
7. Arkin H., Shitzer A. Model of thermoregulation in the human body. Part II: The control
model the "active" model) / EEC-149. Depth. of Mechanical Engineering Technion,
Haifa, Israel. 1984. P.1-35.
8. Arkin H., Shitzer A. Model of thermoregulation in the human body. Part III: Model
behavior and comparison to experimental results of exercising, heat / EEC-150. Depth. of
Mechanical Engineering Technion, Haifa, Israel. 1984. P.1-36.
9. Gordon R.G., Roemer R.B., Horvath S.M. A Mathematical model for the human
temperature regulatory system - transient cold exposure response // IEEE Trans. on
Biomed. Eng. 1976. Vol.BME-23. P.434-444.
10. Stolwijk J.A.J., Hardy J.D. Control of body temperature / Handbook of Physiology Reactions to Environmental Agents, D.H.K.Lee Ed. 1977. P.46-67.
11. Pennes H.H. Analysis of tissue and arterial blood temperature in the resting human
forearm // J. Appl. Physiol. 1948. Vol.1. P.93.
12. Wissler E.H. An analytical solution countercurrent heat transfer between parallel vessels
with a linear axial temperature gradient // J. Biomech. Engng., 1988, Vol.110, pp.254256.