Поверочный расчет конструкций методом конечных элементов в

Москва, Щелковское ш., д. 100 Тел.: (495) 505-3166; факс: (495) 665-6019 Е-mail: mail@pkb-p.
ru, www.pkb-p.ru
ПРОЕКТ КАПИТАЛЬНОГО РЕМОНТА ПОМЕЩЕНИЙ
ОАО «РМК»
По адресу: г. Москва, ул. Бауманская, д. 16, стр. 1
РАБОЧИЙ ПРОЕКТ
Поверочный расчет конструкций методом
конечных элементов в объемной постановке
с учетом физической и геометрической нелинейности
Заместитель генерального директора
ООО «ПКБ Перспектива»
Жигалин А.Л.
Гл. конструктор Кандидат технических наук
Силантьев А.С.
Гл. конструктор Сиверин Е.С.
Ведущий инженер ООО «ТЕСИС»
Тропкин С. Н.
г. Москва
2012
Содержание
1. Общая характеристика объекта
3
2. Основные параметры несущей системы здания
3
3. Методика расчета и расчетные схемы
3
3.1. Цели и задачи расчета
3
3.2. Методика расчета
4
3.3. Расчетные схемы
5
4. Исходные данные
13
4.1. Нагрузки и воздействия
13
4.2. Модели материалов
14
5. Результаты расчета
17
5.1. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №1
17
5.2. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №2
27
5.3. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №3
34
5.4. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №4
45
5.5. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №5
52
5.6. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №6
65
5.7. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №7 (с толщиной усиления 5см)
65
5.8. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №8 (с толщиной усиления 5см, длительное действие 75
нормативных нагрузок)
75
6. Выводы и рекомендации
79
7. Литература
80
2
1. Общая характеристика объекта
Проектируемый объект представляет собой часть реконструируемого здания. Здание состоит из 4-х этажного производственного корпуса и семиэтажным корпусом АБК.
Производственный корпус – четырехэтажное здание, прямоугольное в плане, с размерами 18х76 метров. Высота 1-го этажа – 7,2 метра, 2-го, 3-го и 4-го – 6 метров. Производственный корпус разработан с несущим железобетонным каркасом с сеткой колонн 6х9
м и 3х9 м. В существующем производственном корпусе встраиваются антресоли в уровне 1-го и 2-го этажей с размещением офисных помещений.
В результате проведенных ранее расчетов были запроектированы:
- вновь возводимая железобетонная плита перекрытия, опирающаяся на стальные капители;
- конструкция стальной обоймы с капителью.
2. Основные параметры несущей системы здания
Конструктивная схема существующего здания - рамный каркас. Пространственная жесткость и устойчивость здания обеспечивается вертикальными стальными связями и диафрагмами жесткости между железобетонными колоннами. Плиты перекрытия и покрытия - типовые сборные железобетонные шарнирно опертые на типовые сборные ригели.
Фундаменты столбчатые на свайном основании.
Конструктивная схема антресолей каркасная, опертых на капители. Пространственная
жесткость и устойчивость антресолей обеспечивается за счет совместной работы обжатых существующих железобетонных колонн стальными обоймами и устройством монолитного железобетонного перекрытия опертого на стальные капители.
Стальные обоймы - 4 равнополочных уголка 100х8 , объединенные стальными полосами
толщиной 10 мм. Марка стали С245.
Стальные капители - листовая сталь с толщинами 10, 16 мм. Марка стали С245.
Монолитная железобетонная балочная плита перекрытия - бетон класса по прочности
В25. Рабочее армирование из арматуры класса А-400.
3. Методика расчета и расчетные схемы
3.1. Цели и задачи расчета
Целью настоящих расчетов является проверка принятых проектных решений, определение необходимости и достаточности различных вариантов усиления.
Задачи расчета:
- проверка выполнения условий 1-й и 2-й групп предельных состояний существующего
проектного решения;
- при невыполнении условий 1-й и 2-й групп предельных состояний разработка и проверка конструкций усиления;
- анализ воздействий на основной каркас здания и выработка рекомендаций по дальнейшему расчету и усилению каркаса здания.
3
3.2. Методика расчета
Расчет выполнен в п/к Abaqus 6.11 в объемной постановке с учетом физической и
геометрической нелинейности в работе материалов и конструкции в целом.
При решении задач был использован явный решатель, позволяющий значительно
увеличить скорость расчета при решении квазистатических задач методом прямого интегрирования (Explicit solver: Abaqus/Explicit). Основными преимуществами данного решателя и методики являются: эффективный метод анализа больших и сверхбольших задач (от 100 тыс. КЭ до десятков миллионов) с довольно малыми периодами собственных
колебаний, а также с трудностями со сходимостью, в частности со сложными моделями
пластичности, где нахождение точек сходимости при неявном интегрировании представляется довольно трудной задачей; используется теория больших деформаций (геометрическая нелинейность).
Собственно процедура решения задачи представляет собой итерационный процесс, использующий весьма малые приращения нагрузки (для рассматриваемых квазистатических задач) при безусловной сходимости каждой итерации. При этом используется не система линейных уравнений, а метод явного интегрирования уравнений движения
(центрально-зависимое), т.е.
::N
(4.1)
:N
:N
u(i + 21 ) = u(i - 21 ) + 3 t(i + 1) + 3 t(i) $ u(i),
2
u
N
(i + 1)
:N
= u + 3 t(i + 1) $ u(i + 21 ),
N
i
(4.2)
где u N - степени свободы (поступательная или вращательная), а индексы соответствуют
приращениям. Оператор цетральной разности задан в такой постановке явно относительно
::N
: N
кинематического состояния материала, известного из предыдущего шага, т.е. от u(i - ) и u(i) .
Собственно сама процедура явного интегрирования проста, но не дает значительного увеличения скорости расчета. Ускорение процесса счета достигается использованием диагональных матриц масс элементов (причем всюду), потому как ускорения в начале
шага вычисляются как
1
2
::N
u(i) = (M NJ) - 1 $ (P(Ji) - I(Ji)),
(4.3)
где M NJ - матрица масс, P J - вектор нагрузки, и I J - вектор внутренних сил. Дискретная
матрица масс используется ввиду простоты ее инверсии для процесса вычисления.
Важным параметром при использовании явного решателя является стабильный шаг интегрирования, обеспечивающий безусловную сходимость. Он определяется следующим
образом
3t # 2
(4.4)
~max
при отсутствии демфирования и
3 t # 2 $ ( 1 + p2max - pmax)
~max
(4.5)
при демпфировании с максимальным критическим параметром на наиболее высокой частоте.
Основной методикой, позволяющей увеличить скорость расчета (в 10-40раз), является масштабирование массы в схеме. При использовании данного метода, вводится
параметр f, увеличивающий плотность рассматриваемой модели в f2 раз, что позволяет
уменьшить количество шагов n до n/f. Данная методика ускоряет приложение нагрузки в
статической задаче до наиболее оптимальной скорости, оставляя постоянным шаг интегрирования (или квазипостоянным при переменном масштабировании массы).
Моделирование контакта всех элементов между собой осуществлялось с помощью
алгоритма невязки (Penalty Algoritm). Зоны контактов были заданы между железобетонными плитами и капителью, между стальной обоймой и существующей колонной, а также между указанными конструкциями и конструкциями усиления.
4
Тело бетона во всех схемах моделировалось объемными КЭ типа C3D8R, C3D4,
причем октаэдральная сетка элементов использовалась с упрощенным интегрированием
с контролем искажения по основному алгоритму, кинематическое разделение принято по
алгоритму средних деформаций. Бетон существующих колонн моделировался аналогично. Сетка КЭ продольных стержней создана объемной, поперечное армирование моделировалось с помощью поверхности (skin) с заданием только горизонтальных стержней, при
этом использовались КЭ типа SFM3D4R с упрощенным интегрированием.
Моделирование стальных конструкций выполнено также объемными КЭ. Для конструкции обоймы сварные швы в расчете не учитывались.
Арматура плиты была замоделирована стержневыми элементами типа B31 с учетом отгибов и сварных соединений. Моделирование сварки производилось с помощью
соединений (Fasteners) с предельным напряжением, соответствующему разрыву сварного шва 180*0.7=126МПа.
В целях ускорения расчета созданная модель представляет собой 1/4 типовой ячейки здания, моделирование остальной части конструкций выполнен с помощью граничных условий (условий соответствующих симметрий). На нижней грани колонн и обойм
был задан запрет горизонтальных и вертикальных перемещений, на верхней грани - только горизонтальных (моделирование остальной части жесткого каркаса здания).
Расчет выполнялся в 4-е этапа. На первом и втором этапах проверялось выполнение условий 1-й группы предельных состояний. Первый этап включал в себя расчет схемы при действии постоянных, длительных и кратковременных расчетных нагрузок, второй - при действии постоянных и длительных. Третий и четвертый этапы - расчет для проверки условий 2-й группы предельных состояний, соответственно при действии постоянных, длительных и кратковременных нормативных нагрузок и постоянных и длительных нормативных нагрузок. В зависимости от этапа для бетона и стали ипользовались
различные диаграммы состояния при одноосном НДС, определенные согласно [2] и указаниям п. 4.2. При разрушении конструкции на одном из этапов нагружения прочие случаи не рассматривались.
3.3. Расчетные схемы
3.3.1. Расчетная схема №1. Нагрузки постоянные, длительные и кратковременные расчетные. В данной задаче замоделировано действительное состояние конструкции с учетом существующих колонн. Соединение существующих колонн с металлической обоймой принято без учета анкерных болтов, был задан лишь контакт внутренней поверхности уголков и внешней поверхности колонн с коэффициентов трения 0.5.
Всего было использовано узлов 312902, конечных элементов типа:
C3D8R - 252045, C3D4 - 58990, SFM3D4R - 1440, B31 - 21265
Шаг сетки КЭ плиты принят не более 5см. На участках со сложной топологией разбиение
сетки производится тетраэдральными конечными элементами. На рис. 3.1 приведена расчетная часть схемы №1, а на рис. 3.2 - с учетом симметрии (участок перекрытия и колонн).
3.3.2. Расчетная схема №2. Нагрузки постоянные, длительные и кратковременные расчетные. В данной задаче замоделировано действительное состояние конструкции без учетом
существующих колонн. Всего было использовано узлов 41561, конечных элементов типа:
C3D8R - 26980, C3D4 - 6005, B31 - 6851
Шаг сетки КЭ плиты принят не более 10см. На участках со сложной топологией разбиение сетки производится тетраэдральными конечными элементами. На рис. 3.3 приведена расчетная часть схемы №2.
5
6
Рис. 3.1. Схема №1. Моделируемый участок
7
Рис. 3.2. Схема №1. Схема с граничными условиями симметрии
8
Рис. 3.3. Схема №2. Моделируемый участок
3.3.3. Расчетная схема №3. Нагрузки постоянные, длительные и кратковременные расчетные. В данной задаче замоделировано усиление внешней опоры с помощью болтов, соединяющих плиту и стальную капитель. Данное решение позволяет уменьшить фактический угол поворота и повысить опорный изгибающий момент.
Всего было использовано узлов 198304, конечных элементов типа:
C3D8R - 110165, C3D4 - 25048, C3D10M - 49006, SFM3D4R - 1440, B31 - 12546
Шаг КЭ принят не более 5см. На участках со сложной топологией разбиение сетки производится тетраэдральными конечными элементами. На рис. 3.4 приведена расчетная
часть схемы №3.
3.3.4. Расчетная схема №4. Нагрузки постоянные, длительные и кратковременные расчетные. В данной задаче выполняется проверка возможности усиления рассматриваемой конструкции с помощью углеткани. Предполагается исключение поворота плиты на внешней
опоре путем установки болтов. В конструкции усиления принята углеткань типа Sigratex
KDU 1092, устанавливаемая на клей MapeWrap 31.
На нижнюю грань плиты наклеены полосы шириной 30см с шагом 45см. Эквивалентная
толщина клеевой прослойки принята 1.5мм, внутри клеевой прослойки замоделирована
сама углеткань с эквивалентной толщиной 0.4мм. Прочность углеткани принята по данным
производителя 3500МПа, прочность клея - 30МПа при растяжении и 80МПа при сжатии.
Всего было использовано узлов 203434, конечных элементов типа:
C3D8R - 110171, C3D4 - 25048, C3D10M - 49006, SFM3D4R - 1440, B31 - 12545, M3D4 5124.
Шаг КЭ принят не более 5см. На участках со сложной топологией разбиение сетки производится тетраэдральными конечными элементами. На рис. 3.5 приведена расчетная
часть схемы №4.
3.3.5. Расчетная схема №5. Нагрузки постоянные, длительные и кратковременные расчетные. В данной задаче выполняется проверка возможности усиления рассматриваемой
конструкции путем увеличения толщины конструкции в зоне разрушения от сжатия бетоном класса В40 толщиной 3см. Предполагается исключение поворота плиты на внешней опоре путем установки болтов.
Всего было использовано узлов 147265, конечных элементов типа:
C3D8R - 72235, C3D4 - 16512, C3D10M - 48645, SFM3D4R - 1440, B31 - 8333.
Шаг КЭ принят не более 8см. На участках со сложной топологией разбиение сетки производится тетраэдральными конечными элементами. На рис. 3.6 приведена расчетная
часть схемы №5.
3.3.6. Расчетная схема №6. Схема полностью эквивалентна по геометрическим характеристикам схеме №5. В данной моделе производится моделирование воздействия постоянных и длительных расчетных нагрузок. В расчете введены соответствующие модифицированные диаграммы состояния бетона при длительной действии нагрузки согласно [2].
3.3.7. Расчетная схема №7. Эквивалентна схеме №6 за исключением толщины усиливающего слоя бетона В40, которая увеличена до 5см.
9
10
Рис. 3.3. Схема №3. Моделируемый участок с усилением болтами на внешней опоре
11
Рис. 3.4. Схема №4. Моделируемый участок с усилением болтами на внешней опоре и углетканью в пролете
12
Рис. 3.5. Схема №5. Моделируемый участок с усилением болтами на внешней опоре и бетоном В40 на верхней грани
4. Исходные данные
4.1. Нагрузки и воздействия
Нагрузки на перекрытие приянты согласно архитектурным решениям, технологическим
требованиям к помещениям, а также по [1].
Средний вес перегородок принят (3*9*3*0.08*12)/(6*9)=1.44кПа~1.5кПа
№,
п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование
Плитка керамическая
Клеевой раствор
Цементно-песч. стяжка
Железобетонная плита (учитывается непосредственно)
Постоянная
Перегородки (врем. длительная)
Кратковременная полезная
в т.ч. длительная
Нормативная нагрузка, кПа
0.26
0.18
0.54
Коэф.
надеж.
1.2
1.3
1.3
Расч. нагр.,
кПа
0.312
0.234
0.702
5.0
1.1
5.5
5.98
1.5
1.2
6.748
1.8
2.0
0.7
1.2
1.2
2.4
0.84
Постоянные и длительные (без
ж/б плиты)
3.18
3.89
Постоянные, длительные и
кратковременные (без ж/б плиты)
4.48
5.45
13
4.2. Модели материалов
Железобетон. При моделировании материалов были использованы нормативные и
расчетные характеристики бетона и арматуры согласно [2].
Для моделирования искусственного каменного материала (бетона) была использована модель с разрушением (concrete damage plasticity model - [3,4,5]). Данная модель
пластичности учитывает образование и развитие трещин при растяжении, сжатии и срезе, а также теорию прочности бетона, приведенную к описанной ранее в главе 1 теории
прочности Гениева [6]. Модель является континуальной, основанной на пластическом поведении и учитывающей образование и накопление повреждений. Рассматривается два
основных механизма разрушения - образование трещин в растянутом бетоне и раздавливание сжатого бетона. Подразумевается, что бетон работает в трех различных стадиях стадии абсолютно упругой изотропной работы, стадии пластической работы и стадии постразрушения. Ввиду невозможности определения фактической ширины раскрытия трещины, для обеспечения континуальности сетки КЭ применяется метод распределения зоны трещины на группу конечных элементов («размазывание» - smeared cracking). Поэтому в применяемой диаграмме состояния материала после достижения материалом предельных напряжений или деформаций требуется ввести ниспадающую ветвь, имеющую
условный физический смысл. Именно этот участок диаграммы моделирует распределение трещин по некоторой группе КЭ, давая таким образом возможность получения численного решения. Диаграмма состояния v = f (f) задается кусочно-линейной функцией,
приведенной на рис. 4.1. Согласно рекомендациям [2] при моделировании бетона была
использована трехлинейная диаграмма, дополненная ниспадающей ветвью, обеспечивающей сходимость решений. Деформация, при которой растягивающее и сжимающее напряжение после разрушения достигает близкого к нулю значения принята 2ft,crack и 1.5fb,crush
(для сжимающих напряжений) [7,8]. Такие параметры обеспечивают развитие в материале при нагружении образца локальных зон с существенными деформациями и малыми
напряжениями, моделирующие таким образом эквивалентные макротрещины.
Рассматриваемая модель позволяет также проводить расчет схем с циклическим
нагружением, то есть моделировать разгрузку материала при различных уровнях достигнутого напряженно-деформированного состояния по различным кривым разгрузки. Для
расчета опытных образцов, нагружение которых производится статической кратковременной нагрузкой данные параметры не требуются, тем не менее задание параметров повреждения удобно для графического представления результатов расчета. В зависимости
от уровня достигнутого НДС разгрузка бетонного образца происходит по различным кривым, которые могут быть заменены эквивалентными прямыми с переменным углом наклона к оси абсцисс. Изменение динамического модуля разгрузки описывается с помощью двух параметров повреждения dc (damagec) и dt (damaget), характеризующих эквивалентные прямые разгрузки как изменение упругопластического модуля для сжатого и
растянутого бетона:
Edamage = E0 $ (1 - d),
где E0 - начальный модуль упругости неповрежденного материала.
На рис. 4.2 приведена диаграмма в области сжатия с соответствующим параметром повреждения. Существенно, что параметр d показывает относительный уровень деформаций, а также угол наклона ветви разгрузки образца. При расчете образцов данный
параметр для предела прочности был принят равным d=5%, а при напряжениях, равных
1% от предельных (после разрушения материала) - d=95%, то есть в материале при полном разрушении модуль упругости возвратной прямой (прямой разгрузки) составляет 95%
от начального модуля неповрежденного бетона. Таким образом, при величине параметра
относительных разрушений в растянутой зоне более dt>10% в бетоне образуется трещина. Принципиально важным отличием от деформационного анализа образования трещин
14
Рис. 4.1. Общий вид расчетной диаграммы в Abaqus (для материала Concrete damage plasticity), масштаб выбран условным
Рис. 4.2. К определению параметра повреждений на примере диаграммы
состояния бетона в области сжатия
(трещина образуется при f pr,t > ft,ult ) является отсутствие необходимости определения предельной деформации при сложном НДС в рассматриваемом объеме.
Для описания распределения напряжений и деформаций в бетоне также необходим
угол дилатации, или угол расширения при сжатии. Углом дилатации характеризует долю
объемных пластических деформаций, развивающихся при пластическом сдвиге. Данный
угол определяется как величина отклонения вектора пластической деформации от девиаторной плоскости в плоскости ей ортогональной. Вычилялся он по зависимости механики скальных грунтов как b = arctan (sin {) , где {- угол внутреннего трения, принимаемый равным 37c [9]. Таким образом угол дилатации составил 31c.
Для моделирования арматуры была использована модель пластичности с двумя линейными участками - зоной упругой работы и площадкой текучести, принятой с незначительным упрочнением для обеспечения сходимости. На рис. 4.3 приведен общий вид диаграммы состояния для арматурной стали. Моделирование поведения обыкновенной ста15
Рис. 4.3. Диаграмма состояния для арматурной стали А400
ли класа С235 производилось аналогично, зона упрочнения не учитывалась в запас расчета.
Более подробно о использованной методике моделирования бетона и железобетона см. [10, 11].
16
5. Результаты расчета
5.1. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №1
Определение разрушающей нагрузки. В качестве критериев разрушения примем лавинообразное нарастание перемещений пролета плиты перекрытия и образование макрозоны разрушения бетона при сжатии. В данном случае расчет был остановлен ввиду невозможности дальнейшего интегрирования (достигнут максимальный уровень вращения
некоторых узлов). На рис. 5.1.1 приведена зависимость прогиба средней части плиты от
нагрузки, выраженной в процентах от расчетного значения данного этапа. На рис. 5.1.2
приведена зависимость критерия разрушения при сжатии в наиболее опасном участке от
нагрузки. Разрушение происходит при P=64%. На рис. 5.1.3 приведены изополя критерия разрушения при сжатии.
НДС бетона плиты. В наиболее опасном участке плиты, разрушающемся от сжатия наблюдается следующая картина. Ввиду недостаточности сечения происходит постепенное
увеличение высоты растянутой зоны, при этом величина сжатой зоны бетона уменьшается. Непосредственно перед разрушением, сжатая зона мала (в пределах верхнего слоя
КЭ), а в момент разрушения на верхней грани бетона достигаются предельные деформации сжатия. На рис. 5.1.4 приведены изополя полных главных наименьших деформаций в
верхнем слое КЭ. Как видно из рисунка, в зоне разрушения величина главных деформаций
достигает предельного значения 0.0035. На рис. 5.1.5 приведены изополя полных главных
наибольших деформаций в бетоне плиты, где видно, что совместно с разрушением бетона от сжатия, образуются и трещины разрыва (что соответствует известному механизму
разрушения бетона при сжатии). Следует также отметить, что разрушение бетона происходит при сложном (трехосном) НДС при совместном действии всех компонент тензора напряжений. Разрушению подвергается вся толщина плиты по сложной поверхности.
НДС арматуры. Продольное армирование во всех участках плиты перекрытия не успевает включиться в работу. Наибольшее напряжение в основной и дополнительной арматуре
не превосходит предел прочности. В дополнительной надопорной арматуре составляет не
более 220МПа, в армировании нижней зоны вдоль пролета 9м - не более 180МПа. Наибольшее напряжение фиксируется в отгибах на крайней опоре в зоне сварки - до 300МПа.
На рис. 5.1.6 приведены изополя продольных напряжений в арматурных стержнях схемы. В момент разрушения в сжатой и растянутой арматуре достигается предел текучести - рис. 5.1.7.
Деформации конструкции. В момент перед разрушением наибольший прогиб составил
4.37см (от действия полных расчетных нагрузок) - рис. 5.1.8. Следует отметить следующее замечание по работе внешнего узла опирания плиты на капитель. Внешний узел опирания, по результатам расчета является шарнирным с некоторым опорным моментом. Как
видно из рис. 5.1.9 в опорном узле образуется зазор величиной почти в 1см, что приводит к существенному возрастанию изгибающего момента в обоих направлениях в пролете. Таким образом, для повышения несущей способности плиты перекрытия необходимо увеличить опорный момент, воспринимаемый плитой путем запрещения поворота,
то есть путем установки дополнительных анкерных приспособлений (системы болтов).
Изменение НДС существующих колонн. Несмотря на разрушение плиты перекрытия
при нагрузке, меньшей расчетной величины, проанализируем изменение НДС в существующих колоннах. На рис. 5.1.10 приведены изполя критерия разрушения при растяжении, на которых видно, что даже без учета нагрузки от здания в колоннах образуются
нормальные трещины в нижней и верхней зоне по высоте. На рис. 5.1.11 приведены изополя продольных напряжений в продольной арматуре колонны. Наибольшее значение дополнительных напряжений, обусловленных вновь возводимыми конструкциями составило -47МПа..87.7МПа. Столь существенные величины дополнительных напряжений (почти 25% от предела текучести стали) требуют проверки несущей способности всего каркаса здания и расчета усиления конструкций каркаса.
17
Рис. 5.1.1. Зависимость прогиба от нагрузки для первой схемы в середине
пролета
Рис. 5.1.2. Зависимость критерия разрушения при сжатии для первой схемы
в наиболее опасном участке
18
19
Рис. 5.1.3. Изополя критерия разрушения при сжатии при P=64%
Рис. 5.1.4. Изополя наименьших главных деформаций в момент
разрушения в верхнем слое КЭ плиты
20
Рис. 5.1.5. Изополя наибольших главных деформаций в момент разрушения
в верхнем слое КЭ плиты
21
22
Рис. 5.1.6. Изополя напряжений в продольной арматуре при P=63%
23
Рис. 5.1.7. Изополя напряжений в продольной арматуре при P=64%
24
Рис. 5.1.8. Изополя вертикальных перемещений при P=63%
25
Рис. 5.1.9. Изополя вертикальных перемещений в внешнем опорном узле при P=63%
Рис. 5.1.10. Изополя критерия
разрушения при растяжении для
существующей внешней колонны
при P=63%
Рис. 5.1.11. Изополя продольных
напряжений в арматуре внешней
колонны при P=63%
26
Конструкция стальной обоймы и капители. На рис. 5.1.12 приведены напряжения по критерию Миземы в стальных конструкциях усиления (в обоймах) и в капителях. Наибольшие напряжения по Мизесу достигаются в зоне стыка горизонтального и вертикального
листа капители внешней колонны - до 200МПа, в уголках не превосходят 100МПа. На рис.
5.1.13 приведены вертикальные напряжения в рассматриваемых стальных конструкциях.
Во внутренний уголках внешней обоймы вертикальные сжимающие напряжения составили при разрушающей нагрузке 64% 70-90МПа, во внешних уголках - 25-40МПа, в зоне стыка внешнего уголка с капителью наблюдается незначительное растяжение - до 1015МПа, а в зоне стыка с опорным узлом наблюдается растяжение до 70МПа.
Вывод. В результате расчета данной расчетной схемы установлено, что требования по
прочности (условия 1-й группы предельных состояний) НЕ выполнены.
5.2. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №2
Ввиду отсутствия колонн и, как следствие, большей гибкости и податливости внешней опоры, разрушение данной схемы происходит при несколько большей нагрузке (76%
от расчетного значения). Зона разрушения смещается к середине пролета. Механизм разрушения аналогичен рассмотренному ранее в схеме №1. В качестве дополнительного обоснования подобной схемы разрушения приведем изополя продольных напряжений в верхней арматуре за 1% до разрушающей нагрузки (рис. 5.2.1). В средней части пролета в арматуре сжатой зоны достигаются малые напряжения (менее 1МПа), что соответствует малым сжимающим деформациям порядка 0.00002. На следующем этапе вывода результатов сжатая зона уже отсутствует, что свидетельствует о разрушении элемента.
Схема распределения трещин показана на рис. 5.2.2 (критерий повреждений при
растяжении) при нагрузке 76% от расчетной. Как видно из рисунка, в средней зоне высота трещины составляет около 90% от высоты сечения.
Деформации конструкции. В момент перед разрушением наибольший прогиб составил
6.85см (от действия полных расчетных нагрузок) - рис. 5.2.3. На опорном узле также как и
ранее образуется зазор величиной в 1см, что приводит к существенному возрастанию изгибающего момента в обоих направлениях в пролете. Таким образом, для повышения несущей способности плиты перекрытия необходимо увеличить опорный момент, воспринимаемый плитой путем запрещения поворота, то есть путем установки дополнительных
анкерных приспособлений (системы болтов).
Рассмотрим более подробно НДС стальной конструкции обоймы, которая в данной схеме работает в наиболее невыгодном состоянии. На рис. 5.2.4 приведены изополя напряжений по Мизесу в конструкции внешней обоймы при разрушении плиты. Наибольшие
напряжения составили 223МПа, что соответсвует выходу материала на площадку текучести. Наибольшие вертикальные деформации во внутреннем уголке составили 0.0065.
Вывод. В результате расчета данной расчетной схемы установлено, что требования по
прочности (условия 1-й группы предельных состояний) НЕ выполнены. Поэтому рассмотрим различные варианты усиления конструкций, основанные на проведенном анализе
НДС и схемы разрушения.
27
28
Рис. 5.1.12. Изополя напряжений по Мизесу в стальных конструкциях при P=64%
29
Рис. 5.1.13. Изополя вертикальных напряжений S33 в стальных конструкциях при P=64%
Рис. 5.2.1. Изополя продольных напряжений в верхнем армировании при
нагрузке P=76%
30
31
Рис. 5.2.2. Изополя критерия разрушения при растяжении при P=76%
32
Рис. 5.2.3. Изополя вертикальных перемещений при P=76%
Рис. 5.2.4. Изополя напряжений по Мизесу во внешней обойме при P=76%
33
5.3. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №3
Характеристика НДС железобетонной плиты. Разрушение конструкции происходит по
несколько иному механизму. После установки болтов угол поворота внешней опоры существенно уменьшается, что позволяет надопорной арматуре включиться в работу. Непосредствено перед разрушением напряжение в верхнем армировании приведены на рис.
5.3.1. Величина напряжений составляет 274МПа. Устроенные отгибы арматуры, установленной в верхней зоне и приваренные к обойме не включаются в работу в полной мере - в
них напряжение составляет не более 100МПа. В пролете напряжение в арматуре нижней
зоны достигает значения 216МПа (рис. 5.3.2). Сжатая зона бетона на опорах также близка к пределу прочности, что видно на рис. 5.3.3, где показаны изополя критеря повреждения при сжатии при нагрузке 82%. В момент разрушения большая часть надопорной арматуры достигает предела текучести, возрастание изгибающего момента, воспринимаемого сечением более невозможно. Бетон сжатой зоны также в отдельных зонах на опорах исчерпал прочность. Таким образом, на опорах практически одновременно образуются пластические шарниры с частичным разрушением бетона сжатой зоны. Данная система уже не способна сопротивляться возрастающей нагрузке. При дальнейшем возрастании нагрузки образуется пластический шарнир в пролете - рис. 5.3.4 (распределение
продольных деформаций в продольном армировании нижней зоны), конструкция превращается в геометрически изменяемую систему. Поэтому за разрушающую нагрузку примем 82% от расчетной.
При нагрузке 82% прогиб плиты составил 7.9см (рис. 5.3.5), на следующем этапе нагружения (в момент разрушения) прогиб лавинообразно увеличился до 9.4см (рис.
5.3.6), что свидетельствует о разрушении конструкции. В момент перед разрушением значительная часть растянутой зоны плиты получила повреждения - рис. 5.3.7 и 5.3.8.
НДС болтов. На рис. 5.3.9 приведены изополя напряжений по Мизесу для болтов, выполняемых из обыкновенной стали класса прочности 5.6. Наибольшая величина составила
(за исключением ошибок интегрирования) 200МПа, что не превосходит несущей способности болта. Полученные деформации болтов свидетельствуют о их включении в работу, максимальный сдвиг в абсолютном выражении составил не более 3-4мм, что вызвано
частичным смятием бетона.
НДС стальной обоймы внешней колонны. Перед разрушением плиты в уголках обоймы
практически достигается предел текучести - напряжения по Мизесу составили 216МПа,
что близко к пределу упругости стали (рис. 5.3.10). Следует также отметить, что соединительные планки обоймы также близки к пределу прочности.
34
Рис. 5.3.1. Изополя продольных напряжений в верхнем армировании при
нагрузке P=82%
35
Рис. 5.3.2. Изополя продольных напряжений в нижнем армировании при
нагрузке P=82%
36
37
Рис. 5.3.3. Изополя критерият повреждений при сжатии на нижней поверхности плиты при P=76%
Рис. 5.3.4. Изополя продольных деформаций в нижнем армировании при
нагрузке P=82.3% (в момент разрушения)
38
39
Рис. 5.3.5. Изополя вертикальных перемещений при P=82%
40
Рис. 5.3.6. Изополя вертикальных перемещений при P=82.3% (в момент разрушения)
41
Рис. 5.3.7. Изополя критерия повреждений при растяжении при P=82% (схема трещин в верхней зоне)
42
Рис. 5.3.8. Изополя критерия повреждений при растяжении при P=82% (схема трещин в нижней зоне)
43
Рис. 5.3.9. Изополя напряжений по Мизесу в устанавливаемых болтах при P=82%
Рис. 5.3.10. Изополя напряжений по Мизесу во внешней обойме при P=82%
44
5.4. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №4
Определение разрушающей нагрузки и механизма разрушения. Деформирование конструкции с усилением углетканью на всех этапах близко к описанному ранее. Разрушение происходит от исчерпания несущей способности сжатых зон на опорах и в пролете. На рис.
5.4.1 приведены изополя критерия повреждений при сжатии для нижней грани плиты непосредственно перед разрушением (P=87%). Также как и в предыдущей схеме разрушение начинается с повреждения сжатой зоны на опоре. На следующем шаге разрушается
сжатая зона в пролете (рис. 5.4.2). Следует отметить, что установка дополнительного армирования нижней зоны косвенно повысило несущую способность конструкции незначительно - всего на (87-82)/87=5.7%. Таким образом, разрушение конструкции происходит после образования двух пластических шарниров на опорах, вследствие разрушения
сжатой зоны в пролете.
НДС продольного армирования. Непосредственно перед разрушением напряжения в продольном армировании нижней зоны составили: в пролете 150-180МПа (арматура разгружается углетканью), на опорах -60..-80МПа вдоль наибольшего пролета и до -140МПа
вдоль короткого пролета (рис. 5.4.3). В надопорной арматуре верхней зоны перед разрушением достигаются напряжения до 250МПа (на внешней опоре) и до 180-200МПа - на
внутренней (рис. 5.4.4). В момент разрушения верхняя арматура на внешней опоре достигает предела текучести, а также частично и на внутренней опоре (рис. 5.4.5).
Непосредственно перед разрушением прогибы плиты достигли 7.73см (рис. 5.4.6),
что также свидетельствует о недостаточности установки углеткани для повышения жесткости плиты. В момент разрушения перемещения достигают величины 9см и более.
Вывод. В результате проведенного анализа можно сделать вывод о том, что увеличение
жесткости за счет усиления растянутой грани элемента приводит к незначительному опосредованному увеличению несущей способности сжатой зоны бетона (НДС бетона приближается к состоянию двухосного равномерного обжатия), но не позволяет увеличить
несущую способность до требуемого уровня. Поэтому наиболее целесообразно и экономически обосновано повышение несущей способности сжатой зоны путем увеличения
толщины плиты. Поскольку конструкции уже возведены, наиболее эффективным является вариант увеличения толщины нанесением бетонного слоя повышенной прочности на
специальный клеевой состав, обеспечивающий адгезию свежеуложенной смеси и старого бетона.
45
46
Рис. 5.4.1. Изополя критерия повреждений при сжатии при P=87% (разрушения сжатой зоны на нижней грани плиты)
47
Рис. 5.4.2. Изополя критерия повреждений при сжатии при P=88% (разрушения сжатой зоны на верхней грани плиты)
Рис. 5.4.3. Изополя продольных напряжений в нижнем армировании при
нагрузке P=87% (перед разрушением)
48
Рис. 5.4.4. Изополя продольных напряжений в верхнем армировании при
нагрузке P=87% (перед разрушением)
49
Рис. 5.4.5. Изополя продольных напряжений в верхнем армировании при
нагрузке P=88% (в момент разрушения)
50
51
Рис. 5.4.6. Изополя вертикальных перемещений при P=87% (перед разрушением)
5.5. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №5
Рассматриваемый вариант усиления путем увеличения толщины плиты на 3см бетоном
класса В40 предотвратил разрушение конструкции при действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок.
НДС плиты. Схема образования трещин приведена на рис. 5.5.1 (верхняя грань) и 5.5.2
(нижняя грань) (критерий повреждений при растяжении). Как видно из рисунков, практически полностью растянутая зона разрушена как в пролете, так и на опорах. На рис. 5.5.3
приведены изополя напряжений вдоль оси X (вдоль короткого пролета). Практически всюду, за исключением опорных зоны, сечение бетона класса В25 плиты растянуто.В ортогональном направлении величина растягивающих напряжений (в неразрушенной зоне)
близка к пределу прочности - рис. 5.5.4. Тем не менее, предельные деформации на верхней грани плиты на границе контакта с новым слоем бетона не достигаются.
НДС бетона усиления. Наиболее нагруженный участок плиты, требующий усиления - сжатая зона в пролете. На рис. 5.5.5 приведены изополя напряжений в слое усиления вдоль
оси X. Наибольшая величина сжимающих напряжений в пролете составила 2.3МПа, на
опорах преимущественно растяжение, в отдельных зонах превышающее предел прочности. На рис. 5.5.6 приведены изополя напряжений вдоль оси Y. Наибольшие напряжения
в пролете достигли 10.7МПа. Существенными также оказываются и напряжения сдвига около опор они достигают 2.5МПа.
НДС продольного армирования. В арматуре нижней зоны (рис. 5.5.7) в пролете наибольшие напряжения достигают 200МПа. Около опор наибольшее напряжение в сжатой арматуре, оринетированной вдоль оси X составило -200МПа. В армировании верхней зоны на внешней опоре наибольшие напряжения достигли 226МПа, на внутренней опоре
180МПа (рис. 5.5.8). Следует отметить, что дополнительно армирование, установленное
на средней опоре работает весьма не эффективно - величина напряжений в нем не превышает 50-100МПа.
Перемещения конструкции. На рис. 5.5.9 приведены изполя вертикальных перемещений.
Прогиб плиты перекрытия от расчетных полных нагрузок составил 6.7см, что свидетельствует о малой изгибной жесткости конструкции.
НДС стальной обоймы внешней колонны. На рис. 5.5.10 приведены изополя напряжений
по Мизесу во внешней обойме. Как видно из рисунка, наибольшие напряжения достигаются в верхней планке - предел упругости стали, а также в вертикальном листе капители.
Тем не менее, условия прочности выполнены, а незначительные пластические деформации наблюдаются только на данных участках.
Изменение НДС существующих колонн при полной нагрузке. Как уже указывалось ранее, возведенная конструкция оказывает существенное влияние на существующие колонны, вызывает образование трещин даже без учета нагрузки от здания. Дополнительные
напряжения при полной нагрузке в продольном армировании составили -85...+114МПа
(рис. 5.5.11). В бетоне колонны дополнительное сжимающее напряжение достигло 1015МПа (рис. 5.5.12). Значительное изменение НДС существующей конструкции требует
проверки прочности и устойчивости всего каркаса здания в целом, а также его усиления.
Вывод. Таким образом, в результате рассмотрения данного варианта усиления условия
1-й группы предельных состояний при действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок выполнены.
52
53
Рис. 5.5.1. Изополя критерия повреждений при растяжении при P=100% (на верхней грани плиты)
54
Рис. 5.5.2. Изополя критерия повреждений при растяжении при P=100% (на нижней грани плиты)
55
Рис. 5.5.3. Изополя продольных напряжений в бетоне В25 вдоль оси X при P=100%
56
Рис. 5.5.4. Изополя продольных напряжений в бетоне В25 вдоль оси Y при P=100%
Рис. 5.5.5. Изополя продольных напряжений в слое усиления вдоль оси X
57
Рис. 5.5.6. Изополя продольных напряжений в слое усиления вдоль оси Y
58
Рис. 5.5.7. Изополя продольных напряжений в армировании нижней зоны
59
Рис. 5.5.8. Изополя продольных напряжений в армировании верхней зоны
60
61
Рис. 5.5.9. Изополя вертикальных перемещений при P=100%
Рис. 5.5.10. Изополя напряжений по Мизесу во внешней стальной обойме
62
Рис. 5.5.11. Изополя дополнительных продольных напряжений в рабочей
арматуре колонны
63
Рис. 5.5.12. Изополя дополнительных вертикальных напряжений в бетоне
колонны
64
5.6. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №6
Несмотря на выполнение условий 1-й группы предельных состояний при действии полных расчетных нагрузок, необходимо произвести расчет схемы на действие постоянных
и длительных с пониженный сопротивлением бетона (на 10% согласно [2]) и модифицированными диаграммами состояния.
Предлагаемая конструкция усиления толщиной 3см не обеспечивает прочность
при длительном действии нагрузки. Происходит разрушение сжатой зоны по механизму
рассмотренному ранее. На рис. 5.6.1 приведены изополя критерия разрушения при сжатии при разрушающей нагрузке, соответствующей 93% от расчетной длительно действующей. На рис. 5.6.2 приведены изополя критерия повреждений при растяжении при нагрузке 92%. Как и ранее, трещины распространены в верхней зоне плиты на опорах, а
также в нижней зоне в пролете. Прогиб плиты перекрытия перед разрушением составил
3.07см (рис. 5.6.3).
Вывод. Таким образом, толщины бетона величиной 3см недостаточно для обеспечения
прочности конструкции при действии постоянных и длительных (с учетом деформаций
ползучести). Выполним перерасчет конструкции с увеличенной толщиной усиления до 5
см из бетона класса В40 (схема 7).
5.7. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №7
(с толщиной усиления 5см)
Предлагаемая конструкция усиления толщиной 5см способна обеспечить прочность при длительном действии нагрузки. Происходит разрушение сжатой зоны по механизму рассмотренному ранее. На рис. 5.7.1 приведены изополя критерия разрушения
при растяжении при полной расчетной длительной нагрузке. Характер трещинообразования полностью соответствует классической картине. Разрушения сжатой зоны не происходит. Прогиб плиты перекрытия от расчетной длительно действующей нагрузки составил 5.34см (рис. 5.7.2).
На рис. 5.7.3 приведены изополя продольных напряжений в арматуре нижней зоны. Максимальные напряжения составили 243МПа в пролете. В армировании верхней зоны напряжения достигают 213МПа (рис. 5.7.4).
На рис. 5.7.5 приведены изополя продольных напряжений вдоль оси X в зоне усиления. Наибольшие сжимающие напряжения достигли в данном направлении 3-4МПа. На
рис. 5.7.6 показаны изополя напряжений в усиливающем слое вдоль оси Y. Наибольшее
сжатие фиксируется в пролете - до 7МПа.
Вывод. Таким образом, толщины бетона величиной 5см недостаточно для обеспечения
прочности конструкции при действии постоянных и длительных (с учетом деформаций
ползучести). Определим далее прогибы и ширину раскрытия трещин рассматриваемой
конструкции при усилении толщиной 5 см из бетона класса В40 (схема 8).
65
66
Рис. 5.6.1. Изополя критерия повреждений при сжатии при P=93% (разрушение)
67
Рис. 5.6.2. Изополя критерия повреждений при растяжении при P=92% (перед разрушением)
68
Рис. 5.6.3. Изополя вертикальных перемещений при P=92%
69
Рис. 5.7.1. Изополя критерия повреждений при растяжении при P=100% (полная длительная нагрузка)
70
Рис. 5.7.2. Изополя вертикальных перемещений при P=100% от длительно действующей расчетной нагрузки
Рис. 5.7.3. Изополя продольных напряжений в армировании нижней зоны
71
Рис. 5.7.4. Изополя продольных напряжений в армировании верхней зоны
72
Рис. 5.7.5. Изополя продольных напряжений вдоль оси X в зоне усиления
из бетона В40
73
Рис. 5.7.6. Изополя продольных напряжений вдоль оси Y в зоне усиления
из бетона В40
74
5.8. Напряженно-деформированное состояние конструкций схемы №8
(с толщиной усиления 5см, длительное действие
нормативных нагрузок)
Рассмотрим далее результаты расчета схемы по второй группе предельных состояний при действии постоянных и длительных нормативных нагрузок.
На рис. 5.8.1 приведены изополя вертикальных перемещений (прогибов) для плиты перекрытия с усилением. Наибольший прогиб составил 2.07см, что не превышает предельно допустимой величины в 3.54см (согласно [1]).
Определим далее ширину раскрытия трещин в нижней зоне. Наибольшие напряжения составили 158.8МПа (рис. 5.8.2). Наибольшее расстояние между трещинами по КЭ
расчету составило 60см, что превышает ограничение [2], поэтому принимаем lcrc=0.4м.
Коэффициент }s учитывается непосредственно в МКЭ анализе. Тогда ширина раскрытия
трещин составит:
acrc,long = 1.4 $ 0.5 $ 1.0 $ 158.8 $ 0.4 = 0.22 1 [acrc] = 0.3 мм
200000
В верхней зоне наибольшие напряжения составили 220МПа (рис. 5.8.3), расстояние между трещинами 35см. Тогда ширина раскрытия трещин составит:
acrc,long = 1.4 $ 0.5 $ 1.0 $
220 $ 0.35 = 0.27 1 [acrc] = 0.3 мм
200000
Таким образом, условия 2-й группы предельных состояний выполнены для длительно действующей нормативной нагрузки.
75
76
Рис. 5.8.1. Изополя прогибов плиты при P=100% от длительно действующей нормативной нагрузки
Рис. 5.8.2. Изополя продольных напряжений в армировании нижней
зоны при действии постоянных и длительных нормативных нагрузок (к
определению ширины раскрытия трещин)
77
Рис. 5.8.3. Изополя продольных напряжений в армировании верхней
зоны при действии постоянных и длительных нормативных нагрузок (к
определению ширины раскрытия трещин)
78
6. Выводы и рекомендации
В результате проведенных расчетов и анализа напряженно-деформированного состояния
плиты перекрытия (существующей конструкции) установлено:
1. Прочность существующих конструкций, определенная расчетом с применением п/к
Abaqus 6.11 в объемной постановке с учетом физической и геометрической нелинейности в работе материалов и конструкции в целом, недостаточна. Разрушение сжатой зоны
происходит в верхней части плиты перекрытия в пролете.
2. Внешний опорный узел работает как шарнирный узел с частичным защемлением. Угол
поворота составляет 0,5 градуса в момент разрушения плиты по нормальным сечениям.
3. Причиной разрушения плиты перекрытия при заданных проектных нагрузках являются недостаточная жесткость плиты (200мм, по опыту проектирования следует принимать
не менее 230мм), а также не соответствие действительной схемы работы схеме, реализованной при инженерном расчете.
4. Прочность стальных конструкций капителей и обойм обеспечена, несмотря на наличие
незначительных участков с пластическими деформациями (что допускается [12]).
5. Рассматриваемая конструкция оказывает существенное влияние на напряженнодеформированное состояние существующих колонн основного здания. Дополнительные
напряжения в продольном армировании превышают 100МПа.
6. Рассмотренный вариант усиления путем увеличения толщины плиты на 5см из бетона класса В40 обеспечивает выполнение условий 1-й и 2-й группы предельных состояний, причем ожидаемый длительный прогиб плиты составил 2.07см, а ширина раскрытия трещин 0.22-0.27мм.
Анализ различных вариантов усиления показал:
1. Устранение угла поворота внешнего опорного узла путем установки 8-ми болтов на узел
позволяет увеличить несущую способность плиты перекрытия на 20%.
2. Применение углеткани для усиления конструкции (увеличения ее жесткости) нецелесообразно. Увеличение несущей способности при такой конструкции усиления состави¬ло
5.7%.
3. Применение стальных конструкций в качестве усиливающих возможно, но нецелесообразно. При этом необходимо изменять статическую схему работы - добавлять балки, рамы
и прочие конструкции, которые позволят уменьшить расчетные пролеты до 0.2*33=6.6м.
В данном случае необходимы дополнительные проверки прочности плиты.
4. Наиболее эффективным методом усиления является увеличение толщины плиты со стороны верхней зоны. В п.5 рассмотрен вариант наращивания плиты бетоном класса В40 на
5см с обеспечением адгезии старого и нового бетона с помощью клеевых составов. Слой
бетона усиления рекомендуется армировать для увеличения трещиностойкости в приопорных зонах. Допускается заменить бетон усиления материалом с эквивалентными характеристиками, при существенном изменении прочностных и деформационных характеристик необходимо проведение дополнительных расчетов.
5. Необходимо выполнить поверочный расчет каркаса здания с учетом вновь возводимых
конструкций, поскольку они оказывают существенное влияние, которое может привести
к разрушению колонн, и как следствие, к обрушению здания.
79
7. Литература
1. СП 20.13330.2011, «Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СниП 2.01.0785*», М.: Госстрой России, ГУП ЦПП, 2011
2. СП 52-101-2003, «Бетонные и железобетонные конструкции без преднапряжения», М.:
ГУП “НИИЖБ”, ФГУП ЦПП, 2004
3. Abaqus Documentation: Abaqus Analysis User's manual. Materials. Other plasticity models.
Concrete
4. Kenneth H Huebner, Donald L. Dewhirst, Douglas E.Smith, Ted G. Byrom. The finite element
method for engineers, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley&sons, inc, 2001
5. Reddy J.N. Nonlinear finite element analysis. Oxford University press, 2004
6. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М., Стройиздат, 1974
7. Ng Phd P.L., J.Y.K.Lam Phd, A.K.H. Kwan Phd. Tension stiffening in concrete beams. Part
I: FE analysis. Structures and buildings 163 Issue SBI. February 2010, pp 19-28
8. Ng Phd P.L.,, J.Y.K.Lam Phd, A.K.H. Kwan Phd. Tension stiffening in concrete beams. Part
II: member analysis. Structures and buildings 163 Issue SBI. February 2010, pp 29-39
9. Nielsen, M.P., “Limit analisys and concrete plasticity”, CPC Press, Taylor&Francis Group,
LLC, 2011
10. Силантьев А.С. Расчет прочности наклонных сечений изгибаемых железобетонных
элементов методом конечных элементов в КЭ-комплексах Ansys и Abaqus // Промышленное и гражданское строительство. 2012. №2. С. 71-74
11. Силантьев А.С. Сопротивление изгибаемых железобетонных элементов по наклонным сечениям с учетом влияния продольного армирования. Дисс. ... канд.техн.н., Москва, 2012
12. СП 16.13330.2011, «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СниП II-2381», М.: Госстрой России, ГУП ЦПП, 2011
80