7.6. Движение тел в гравитационном поле. Космические скорости

7.6. Движение тел в гравитационном поле.
Космические скорости
Траектория, по которой движется тело в центральном гравитационном поле,
зависит от его начальной скорости и может быть окружностью, эллипсом,
параболой или гиперболой. Рассмотрим движение спутника по эллиптической
орбите вокруг Земли (рис. 7.10). Ближайшая к Земле точка орбиты называется
перигеем (П), а наиболее удаленная — апогеем (А). Земля находится в одном из
фокусов эллипса. В перигее и апогее силы
гравитационного притяжения направлены нормально к
орбите и спутник движется с центростремительным
ускорением
a=
υ2
,
ρ
Рис. 7.10
где ρ — радиус кривизны орбиты.
В соответствии со свойствами эллипса ρ в перигее и апогее имеет
одинаковые значения. Запишем второй закон Ньютона для спутника,
находящегося в перигее и апогее:
mυп2
mM
(7.16)
=G 2 ,
ρ
rп
mυа2
mM
=G 2 .
(7.17)
ρ
rа
Если не учитывать силы сопротивления, то при движении спутника в любой
точке орбиты выполняется закон сохранения энергии
mυп2
mM mυа2
mM
.
(7.18)
−G
=
−G
2
2
rп
rа
Выразив υп2 из формулы (7.16), υа2 из (7.17) и подставив их значения в
формулу (7.18), получим:
mM
mM
mM
mM
ρG 2 − G
= ρG 2 − G
.
rп
rа
2rп
2rа
После несложных преобразований найдем соотношение
ρ ( rа + rп )
(7.19)
= 1.
2rа rп
Из формулы (7.16) найдем значение ρ и подставим его в (7.19):
υп2 rп ( rа + rп )
(7.20)
= 1.
2GMrа
При rа → ∞ отношение ( rа + rп ) rа → 1 и выражение (7.20) преобразуется в
неравенство
υ п2 rп
≤ 1.
2GM
Отсюда следует, что при
2GM
υп2 =
(7.21)
rп
орбиты из замкнутых (1, 2) преобразуются в
незамкнутые: параболу (3) или гиперболу (4)
(рис. 7.11). Скорости, определяемой из формулы (7.21),
соответствует предельная параболическая орбита. При
υ > υп орбиты становятся гиперболическими. Умножив
левую и правую части формулы (7.21) на m 2 ,
получим:
mυп2
mM
.
=G
2
rп
Рис. 7.11
Левая часть полученного равенства представляет
кинетическую энергию спутника, а правая — абсолютное значение
потенциальной энергии (нулевой уровень отсчета потенциальной энергии принят
в бесконечности). С учетом равенства (7.21) сумма кинетической и
потенциальной энергий
mυп2
mM
E=
−G
= 0.
2
rп
Очевидно, что если полная механическая энергия E = 0 , орбита является
параболической. При E < 0 орбита замкнутая, при E > 0 орбита незамкнутая.
Рассмотрим движение спутника массой m по круговой орбите вокруг Земли.
Высота орбиты спутника над поверхностью Земли — h. Движение спутника
происходит только под действием силы гравитационного притяжения со стороны
Земли, которая является центростремительной, с линейной скоростью υ кр
mυкр2
RЗ + h
=G
mM
( RЗ + h )
2
,
(7.22)
где M — масса Земли, RЗ — радиус Земли.
Как отмечалось ранее (см. § 5.3), без учета вращения Земли можно считать,
что сила гравитационного притяжения, действующая на спутник, равна силе
тяжести:
G
mM
( RЗ + h )
2
= mg .
С учетом этого
υкр = g ( RЗ + h ) .
Из последнего равенства найдем скорость спутника
M
.
(7.23)
υкр = G
RЗ + h
Учитывая зависимость силы тяжести от высоты над поверхностью Земли
2
⎛ RЗ ⎞
g = g0 ⎜
⎟ ( g0 — ускорение свободного падения на поверхности Земли),
+
R
h
⎝ З
⎠
получим:
RЗ2
υкр = g 0
,
RЗ + h
или
υкр = υ1
RЗ
,
RЗ + h
(7.24)
где
(7.25)
υ1 = g 0 RЗ .
Скорость υ1 получила название первой космической скорости. Это
минимальная скорость, которую должен иметь спутник, чтобы он мог двигаться
по круговой орбите на минимальной высоте около поверхности Земли. Принимая
g 0 = 9,81 м/с2, RЗ = 6,37 ⋅ 106 м, получим υ1 ≈ 8 км/с. Следует отметить, что при
запуске спутника на круговую орбиту, должны быть строго выдержаны величина
и направление скорости ракеты-носителя в момент выключения двигателей.
Как видно из формулы (7.24), круговая скорость спутника уменьшается по
мере увеличения его высоты над Землей.
Если скорость υ1 не сильно превышает υ кр , то орбита становится
эллиптической (кривая 2). Если орбита спутника эллиптическая, то его скорость в
любой точке траектории определяется формулой:
R +h
υэл = υкр 2 − З
,
a
где a — большая полуось эллипса.
Рассмотрим движение тела, посланного вертикально вверх, при отсутствии
сил сопротивления среды. Найдем скорость υ2 , которую необходимо сообщить
телу для преодоления сил притяжения Земли. При движении тела запас его
кинетической энергии расходуется для выполнения работы против
гравитационных сил. Изменение кинетической энергии тела равно работе силы
гравитационного притяжения
∞
mυ 2 mυ 22
mM
−
= − ∫ G 2 dR ,
(7.26)
2
2
R
RЗ
где R — расстояние от центра Земли до тела.
Предположим, что конечная скорость тела равна нулю. В этом случае
соотношение (7.26) имеет вид
mυ 22 ∞ mM
= ∫ G 2 dR .
R
2
RЗ
После интегрирования правой части равенства получим:
mυ 22
mM
=G
.
2
RЗ
Из последнего равенства выразим начальную скорость тела
M
υ 2 = 2G .
RЗ
(7.27)
Умножив числитель и знаменатель формулы (7.26) на RЗ , с учетом (7.23) и (7.25)
получим:
υ 2 = 2 g 0 RЗ = 2υ1 .
Данная скорость получила название второй космической скорости, она равна
11,2 км/с. Это наименьшая начальная скорость, которую необходимо сообщить
телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю или по-другому: чтобы вывести
его из сферы гравитационного притяжения Земли. Если телу сообщается вторая
космическая скорость, то оно движется по параболической траектории. Расчеты
показывают, что при движении ракеты-носителя в атмосфере для выхода за
пределы сферы гравитационного притяжения Земли она должна иметь скорость
12—14 км/с.
Третьей космической скоростью называется минимальная начальная
скорость, при которой тело, начиная движение вблизи поверхности Земли,
преодолевает земное притяжение, затем притяжение Солнца и покидает
Солнечную систему. При рассмотрении движения тела вне сферы действия Земли
его начальная и геоцентрическая скорости находятся в результате векторного
сложения геоцентрической скорости аппарата со скоростью движения Земли
вокруг Солнца по орбите, близкой к круговой.
Значение третьей космической скорости зависит от того, в каком направлении
корабль выходит из зоны земного тяготения. В случае, когда запуск производится
в направлении орбитального движения Земли вокруг Солнца третья космическая
скорость минимальна и равна приближенно υ3 = 16,7 км/с.