1 Особые точки векторных полей, нормальные формы
реклама
1
1.1
Особые точки векторных полей, нормальные формы
Общие понятия
На этом семинаре будет дано краткое изложение основ теории локальных нормальных
форм векторных полей в n-мерном (вещественном или комплексном) фазовом пространстве. Для записи векторных полей в таком пространстве мы будем использовать два
эквивалентных способа записи:
V1 (x)
∂
∂
+ · · · + Vn (x)
∂x1
∂xn
⇔
ẋ = V (x) .
Здесь фазовая переменная x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn (или Cn ), вектор-функция V (x) состоит из n компонент Vi (x) : Rn (Cn ) → R (C), соответственно, и точка сверху означает
дифференцирование по некоторой вспомогательной переменной t (играющей роль времени). Запись в виде системы автономных дифференциальных уравнений ẋ = V (x)
имеет для нас ряд преимуществ, и мы будем чаще всего пользоваться ею.
Особая точка (или, по-другому, положение равновесия) векторного поля ẋ = V (x) –
это точка x∗ ∈ R (C), в которой это поле обращается в нуль:
V (x∗ ) = 0 ⇔ V1 (x∗ ) = · · · = Vn (x∗ ) = 0.
Множество особых точек задается системой n уравнений с n переменными, поэтому в
случае поля V (x) общего положения все особые точки изолированы. Тем не менее, как
мы увидим уже на следующем семинаре, в некоторых задачах возникает необходимость
рассматривать поля, особые точки которых неизолированы – например, они образуют
кривую в трехмерном фазовом пространстве.
Наша ближайшая цель – исследовать «фазовый портрет» векторного поля в окрестности его особой точки. Более точно: в окрестности особой точки мы хотим привести
векторное поле к наиболее простому виду, называемому нормальной формой, с помощью подходящей локальной системы координат. В идеале эта нормальная форма должна быть достаточно проста, чтобы уравнение можно было если не проинтегрировать в
квадратурах, то хотя бы понять, как выглядит его «фазовый портрет» (совокупность
фазовых кривых дифференциального уравнения).
Если замена переменной y = f (x) переводит поле ẋ = V (x) в поле ẏ = W (y), то
говорят, что эти поля эквивалентны. Под «заменой переменной» обычно подразумевается диффеоморфизм (класса гладкости не ниже C 1 ) фазового пространства, при этом
говорят что этот диффеоморфизм сопрягает данные векторные поля. В зависимости
от класса сопрягающего диффеоморфизма выделяют несколько разных типов эквивалентности: аналитическую и C k -гладкую (k может быть натуральным числом или ∞).
Мы хотели бы расширить понятие эквивалентности векторных полей таким образом,
чтобы использовать замены переменных, являющиеся не только диффеоморфизмами,
но и гомеоморфизмами. Естественно, что «просто подставлять» такие замены в векторные поля нельзя: для этого нужно иметь возможность дифференцировать функции
замены. Но можно перейти от векторных полей к их фазовым потокам – однопараметрическим группам диффеоморфизмов фазового пространства, и опредялить эквивалентность полей через эквивалентность их фазовых потоков.
Определение. Пусть даны два векторных поля ẋ = V (x) и ẏ = W (y) с общим
t
фазовым пространством и фазовыми потоками gVt (x) и gW
(y), соответственно. Это поля
1
называются топологически эквивалентными, если существует гомеоморфизм фазового
пространства y = f (x), который сопрягает их фазовые потоки:
t
t
gVt (x) ≡ f −1 ◦ gW
◦ f (x) ⇔ f ◦ gVt (x) ≡ gW
◦ f (x).
(1.1)
Это же можно изобразить в виде коммутативной диаграммы (приводим ее для вещественного случая, для комплексного – аналогично):
f
Rn (x) −−−→ Rn (y)
g t
g t
yV
yW
f
Rn (x) −−−→ Rn (y)
При этом эквивалентность называется: C k -гладкой, если гомеоморфизм f является C k диффеоморфизмом (k – натуральное число или ∞), и аналитической, если гомеоморфизм f – аналитический диффеоморфизм.
Очевидно, что в случаях, когда f – диффеоморфизм, это определение совпадает с
предыдущим.
Мы будем заниматься локальной теорией, рассматривающей поле ẋ = V (x) в сколь
угодно малой окрестности его особой точки x∗ . При этом без ограничения общности
будем считать, что x∗ = 0 (начало координат фазового пространства) и является неподвижной точкой сопрягающего гомеоморфизма f . Таким образом, далее мы будем говорить об эквивалентности ростков векторых полей в начале координат.1
Наконец, расширим понятие эквивалентности ростков векторных полей еще в одну (на первый взгляд, странную) сторону. Именно, будем рассматривать так называемые «формальные» замены переменных, задаваемые формальными (т.е. не обязательно сходящимися) векторными рядами с центром в точке 0. В этом случае, конечно, мы
имеем дело не с «настоящими», а с чисто алгебраическими объектами: «настоящие»
вещественно- или комплекснозначные функции от переменных x1 , . . . , xn заменяются
элементами кольца формальных степенных рядов
K = R[[x1 , . . . , xn ]] или K = C[[x1 , . . . , xn ]],
в качестве «замен переменных» рассматриваются элементы множества K n , обладающие невырожденными матрицами Якоби, а векторные поля понимаются как элементы
модуля над кольцом K.
Смысл использования таких «ненастоящих» замен переменных и соответствующей
им формальной эквивалентности станет ясен из дальнейшего. Сейчас ограничимся лишь
очевидным замечанием: формальная эквивалентность является необходимым условием
как аналитической, так как C ∞ -гладкой эквивалентности ростков векторных полей,
при этом она проверяется гораздо проще двух последних, так как представляет собой
ряд чисто алгебраических условий.
Для исследования ростка векторого поля ẋ = V (x) в особой точке 0 в первую очередь
выделим ее линейную часть:
ẋ = V (x) = Ax + v(x),
A :=
∂V
(0),
∂x
(1.2)
1 Как известно, ростки всех векторныех полей в любой неособой точке устроены одинаково и просто: все они экви∂
валентны ∂x
. Это – так называемая «теорема о выпрямлении векторного поля»: с помощью подходящей локальной
1
замены координат все фазовые кривые поля превращаются в прямые линии, параллельные оси x1 [1].
2
где v(x) – вектор-функция, 1-плоская в точке 0. Как мы знаем, во многих вопросах
качественной теории дифференциальных уравнений линейная часть поля играет ключевую роль.2 Возникает естественный вопрос: эквивалентен ли росток поля ẋ = V (x)
своей линеаризации ẏ = Ay? Этим вопросом мы сейчас и займемся. Забегая вперед,
скажем, что ответ на него зависит, в первую очередь, от спектра матрицы A.
Прежде всего, мы докажем следующее почти очевидное утверждение:
Предложение 1.1. Спектр λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Cn линейной части ростка поля
(1.2) в особой точке является C 1 -гладким инвариантом, то есть не меняется при
C 1 -гладких заменах координат, но не является топологическим инвариантом.
Доказательство. В окрестности особой точки 0 рассмотрим C 1 -гладкую замену
координат y = f (x) = Cx + · · · , где C – невырожденная матрица порядка n, многоточие
означает вектор-функцию, 1-плоскую в 0. Обратная замена имеет вид x = f −1 (y) =
C −1 y + · · · , откуда получаем:
ẏ = C ẋ + · · · = CAx + · · · = CAC −1 y + · · · ,
то есть после замены переменных линейная часть A исходного поля ẋ = Ax + · · · превращается в линейную часть CAC −1 нового поля ẏ = CAC −1 y + · · · . Это – закон, по
которому изменяется матрица линейного оператора при замене координат. Как известного, спектр λ этой матрицы является инвариантом линейного оператора.
Для доказательства второго утверждения достаточно привести пример двух топологически эквивалентных полей с разными спектрами. Мы ограничимся одномерным
случаем: фазовые потоки полей ẋ = x и ẏ = 3y на вещественной прямой задаются форt
мулами gVt (x) = et x и gW
(y) = e3t y соответственно. Положив y = x3 в формуле (1.1),
мы видим, что гомеоморфизм y = x3 сопрягает фазовые потоки этих полей.
Замечание 1.1. Спектр линейной части поля в неособой точке не инвариантен
относительно замен координат, то есть не имеет геометрического смысла.
Введем несколько ключевых обозначений и определений, которыми будем постоянно
пользоваться в дальнейшем.
Определение. Пусть s = (s1 , . . . , sn ) ∈ Zn+ (Z+ – это множество неотрицательных
целых чисел: 0, 1, 2, . . .). Определим число |s| := s1 + . . . + sn , моном xs := xs11 · . . . · xsnn
степени |s| и вектор-мономы µi,s (x) := xs ∂x∂ i для индексов i = 1, . . . , n. По аналогии с
обычными полиномами, вектор-полином – это выражение вида
P (x) =
X
ci,s µi,s (x) =
n X
X
i=1 s∈Zn
+
s,i
ci,s xs
∂
,
∂xi
при этом степенью P (x) мы будем называть не наибольшую, а наименьшую степень
монома xs , входящего в него с ненулевым коэффициентом ci,s . (Причины такого, на
первый вгляд, странного определения степени станут ясны из дальнейшего.) Векторполином P (x) называется однородным степени r, если все мономы xs , входящие в него
с ненулевыми коэффициентами ci,s , имеют одинаковую степень |s| = r.
2 Например, устойчивость положения равновесия x = 0 системы ẋ = V (x) зависит только от матрицы A и не зависит
от «нелинейности» v(x) в общем случае, когда спектр A не содержит чисто мнимых собственных чисел и нулей. Также
мы знаем, что при сделанном предположении в достаточно малой окрестности нуля фазовый портрет системы ẋ = V (x)
«похож» на фазовый портрет ее линеаризации ẋ = Ax (простейшие примеры такого рода – узел, седло и фокус на
плоскости).
3
1.2
Формальная эквивалентность
Начиная с этого момента, мы будем предполагать, что все рассматриваемые векторные
поля – аналитические (в фазовом пространстве Rn или Cn ), и замены координат также
задаются аналитическими функциями. Соответствующая эквивалентность векторных
полей называется аналитической.
Теория аналитических векторных полей (дифференциальных уравнений) исторически была первым вполне сложившимся разделом качественной теории диффренциальных уравнений. Результаты, которые будут изложены в этом разделе, восходят к работам Анри Пуанкаре и (немного позднее) Анри Дюлака, ученика Пуанкаре в Ecole
Polytechnique.
Росток аналитического поля (1.2) в особой точке 0 представляется в виде сходящегося ряда
∞
X
∂V
ẋ = V (x) = Ax + v(x) = Ax +
vr (x), A :=
(0),
(1.3)
∂x
r=2
где vr (x) – однородный вектор-полином степени r. Мы хотим найти аналитическую
замену
∞
X
x = y + H(y) = y +
hr (x),
(1.4)
r=2
где hr (x) – однородный вектор-полином степени r, приводящую росток поля (1.3) к его
линеаризации
ẏ = Ay.
(1.5)
С технической точки зрения, удобнее пойти в обратном порядке и переформулировать
вопрос следующим эквивалентным образом: найти аналитическую замену переменных
y → x (обратную замене (1.4)), приводящую росток поля (1.5) к виду (1.3).
Лемма 1.1. Аналитическая замена переменной
x = y + hr (y),
(1.6)
где hr (x) – однородный вектор-полином степени r ≥ 2, переводит поле (1.5) в поле
ẋ = Ax + LA hr (x) + · · · · · · · · · ,
{z
}
| {z } |
deg=r
(1.7)
deg>r
где LA hr (x) – скобка Ли векторных полей ẋ = hr (x) и ẋ = Ax, т.е.
∂hr
Ax − Ahr (x),
∂x
а многоточие означает вектор-мономы степени > r.
Доказательство. Заметим, что x = y + hr (y) равносильно y = x − hr (x) + · · ·
(многоточие, как и прежде, означает вектор-мономы степени > r). Используя оба эти
соотношения и уравнения (1.5), (1.6), получаем:
µ
¶
∂hr
∂hr
(y) ẏ = E +
(y) Ay =
ẋ = ẏ +
∂y
∂y
µ
¶
∂hr
= E+
(x − hr (x) + · · · ) A(x − hr (x) + · · · ) =
∂y
LA hr (x) = [hr (x), Ax] =
4
µ
= Ax +
¶
∂hr
(x)Ax − Ahr (x) + · · · = Ax + LA hr (x) + · · · .
∂y
Таким образом, применяя к ростку поля (1.3) замену (1.6) с подходящим однородным
вектор-полиномом hr (y), deg r ≥ 2, мы можем убить в правой части (1.3) все мономы
степени r (не меняя при этом мономы степеней < r), если так называемое гомологическое уравнение
LA hr (x) = vr (x)
(1.8)
при данном r разрешимо. Подчеркнем, что в уравнении (1.8) правая часть vr (x) – заданный однородный вектор-полином степени r, а hr (x) – неизвестный однородный векторполином той же степени.
Из сказанного следует, что если гомологическое уравнение (1.8) имеет решение при
P
всех r = 2, . . . , N , то подходящей заменой x = y + N
r=2 hr (x) мы можем убить в правой
части (1.3) все мономы степеней r = 2, . . . , N .
Если же гомологическое уравнение (1.8) разрешимо вообще при всех r ≥ 2, то мы
приходим к «замене переменных» (1.4), которая убивает в правой части (1.3) вообще
все мономы степеней r ≥ 2, т.е. приводит поле (1.3) к желаемому виду (1.5). Беда лишь
только в том, что такая «замена переменных» уже является формальным векторным
рядом, который, вообще говоря, может расходиться во всех точках кроме нуля и не
определять никакого диффеоморфизма, т.е. не быть настояшей «заменой переменных»
(как быть в такой ситуации, мы обсудим дальше). Также далее мы увидим, что в ряде
случаев построенный формальный ряд (1.4) сходится, т.е. определяет локальный аналитический диффеоморфизм, который решает нашу задачу – приводит поле (1.3) к
линейной части (1.5).
Вопросы сходимости ряда (1.4) мы обсудим позже. Сейчас мы должны ответить
на первоочередной вопрос: при каких условиях гомологическое уравнение (1.8) разрешимо? Оказывается, что препятствием разрешимости уравнения (1.8) с произвольной
правой частью является наличие специальных целочисленных соотношений между собственными числами λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Cn матрицы A, называемых резонансами.
Определение. Целочисленное соотношение
λi = (s, λ) := s1 λ1 + · · · + sn λn ,
s ∈ Zn+ ,
i ∈ {1, . . . , n},
(1.9)
называется резонансом. При этом число |s| ≥ 0 называется порядком резонанса (1.9),
моном xs называется резонансным. Очевидно, что всегда имеют место n резонансов
первого порядка: λi = (s(i) , λ), где в наборе s(i) на i-ом месте стоит 1, а на всех остальных
местах – 0. Такие резонансы мы будем называть тривиальными, а все остальные –
нетривиальными.
Лемма 1.2. Если нет резонансов (1.9) порядков |s| = 2, . . . , N , то гомологическое
уравнение (1.8) разрешимо при любой правой части vr (x), r = 2, . . . , N .
Доказательство. Обозначим через Hr конечномерное линейное пространство, состоящее из однородных вектор-многочленов степени r, и рассмотрим линейный оператор
LA : Hr → Hr , r ≥ 2,
5
ставящиий в соответствие каждому hr (x) ∈ Hr вектор-многочлен LA hr (x) = [hr (x), Ax]
из того же пространства. Покажем, что если между собственными числами матрицы
A нет резонансов (1.9) порядка |s| = r, то линейный оператор обратим, т.е. он осуществляет изоморфизм пространства Hr на себя. Очевидно, что тогда уравнение (1.8)
разрешимо при любой правой части vr (x) ∈ Hr .
Для простоты, мы проведем подробное доказательство этого утверждения в случае
комплексного фазового пространства Cn и в предположении, что матрица A диагонализируема. В этом случае в пространстве Cn выберем базис из собственных векторов
e1 , . . . , en матрицы A: Aei = λi ei . Тогда матрица A станет диагональной с элементами
λ1 , . . . , λn . Покажем, что оператор LA : Hr → Hr тоже диагонализируем, причем он
имеет собственные векторы xs ei со всевозможными |s| = r и i ∈ {1, . . . , n}.
Действительно,
∂(xs ei )
LA (xs ei ) =
Ax − A(xs ei ).
∂x
При этом
0
...
s
s
∂(x ei )
)
Ax = ∂(x
∂x. 1
∂x
..
0
0
..
.
∂(xs )
∂x2
..
.
0
···
..
.
···
..
.
···
0
λ 1 x1
.. .. Ã
!
. .
n
s
X
s
∂(x
)
∂(x )
λj xj ei =
λ i xi =
∂xn
∂x
j
.. ..
j=1
.
.
λn xn
0
à n
!
µX
¶
n
X xs
s
=
s j λ j xj e i =
sj λj x ei = (s, λ)xs ei
x
j
j=1
j=1
и A(xs ei ) = xs Aei = xs λi ei . В результате получаем соотношение
³
´
LA (xs ei ) = (s, λ) − λi xs ei ,
означающее, что xs ei – собственный вектор линейного оператора LA с собственным
числом (s, λ) − λi . По условию леммы, все собственные значения (s, λ) − λi , |s| = r,
ненулевые. Следовательно, оператор LA на пространстве Hr обратим.
Случай, когда матрица A не диагонализируема, т.е. имеет жордановы клетки, рассматривается аналогично. В этом случае оператор LA на пространстве Hr тоже имеет
жордановы клетки, но, как можно видеть из предыдущих рассуждений, его собственные
числа задаются той же формулой (s, λ) − λi . Следовательно, при отсутствии резонансов
оператор LA на пространстве Hr обратим.
Наконец, если фазовое пространство вещественно (Rn ), а среди собственных чисел
есть комплексные (входят парами, вместе с комплексно сопряженными), в пространстве
Rn можно выбрать базис e1 , . . . , en , состоящий из вещественных и комплексно собственных сопряженных векторов. Обратимость оператора LA на пространстве Hr доказывается совершенно аналогично.
С учетом всего сказанного, мы получаем следующий результат:
Теорема 1.1 (Пуанкаре). Если нет резонансов (1.9) порядков |s| = 2, . . . , N , то
росток поля (1.3) приводится к виду ẏ = Ay + ωN (y), где ωN (y) – N -плоская в нуле
невязка, с помощью полиномиальной замены x = y + H(y). Если же нет резонансов
6
(1.9) всех порядков |s| ≥ 2, то росток поля (1.3) приводится к виду ẏ = Ay с помощью
«формальной замены» x = y + H(y), где H(y) – формальный векторный ряд.
Пример 1.1. На плоскости R2 рассмотрим векторное поле, имеющее в 0 особую
точку типа узел, седло или фокус. Спектр линейной части A равен (λ1 , λ2 ), введем
также число α = λ1 : λ2 . Тогда условие теоремы Пуанкаре выполнено
– для узла: если α ∈
/ N и α−1 ∈
/ N,
– для седла: если α ∈
/ Q,
– для фокуса: всегда.
Теперь рассмотрим случай, когда есть резонансы (1.9) порядков |s| ≥ 2. Напомним,
что соответствующие мономы xs называются резонансными.
Теорема 1.2 (Пуанкаре–Дюлака). С помощью формальной замены x = y + H(y),
где H(y) – формальный векторный ряд, росток поля (1.3) приводится к виду
ẏ = Ay + R(y),
R(y) =
n X
∞
X
ci,s y s
i=1 |s|=2
∂
,
∂yi
(1.10)
где коэффициент ci,s 6= 0 только если y s – резонансный моном.
Доказательство. Для простоты, проведем подробное доказательство в предположении, что фазовое пространство комплексно (Cn ) и матрица A диагонализируема. Тогда
матрица A имеет n собственных векторов e1 , . . . , en , составляющих базис в Cn . Как мы
видели при доказательстве леммы 1.2, оператор LA : Hr → Hr имеет набор собственных векторов xs ei со всевозможными |s| = r и i ∈ {1, . . . , n}, которые составляют базис
пространства Hr .
Пусть мы хотим убить мономы некоторой фиксированной степени r ≥ 2. Для этого
нужно рассмотреть соответствующее гомологическое уравнение (1.8). Если резонансов
λi = (s, λ) порядка |s| = r нет, то это уравнение разрешимо при любой правой части, и
с помощью подходящей замены мы убиваем все мономы xs степени r.
Предположим теперь, что мы имеем гомологическое уравнение LA hr (x) = vr (x) с
таким r, что имеет место резонанс λi = (s, λ) порядка |s| = r с некоторыми s ∈ Zn+ и
i ∈ {1, . . . , n}. Разложим известную нам функцию vr ∈ Hr и неизвестную hr ∈ Hr по
базису xs ei пространства Hr :
vr (x) =
n X
X
s
vi,s x ei ,
hr (x) =
n X
X
hi,s xs ei .
i=1 |s|=r
i=1 |s|=r
Тогда уравнение LA hr (x) = vr (x) принимает вид
LA hr (x) =
n X
X
i=1 |s|=r
s
hi,s LA (x ei ) =
n X
X
i=1 |s|=r
¡
¢
s
hi,s (s, λ) − λi x ei =
n X
X
vi,s xs ei
i=1 |s|=r
¡
¢
и распадается на систему независимых уравнений hi,s (s, λ) − λi = vi,s относительно
неизвестных коэффициентов hi,s . Очевидно, что определяя hi,s при λi 6= (s, λ) равенством
vi,s
hi,s =
(s, λ) − λi
и полагая hi,s призвольно (например, равными нулю) при λi = (s, λ), мы получим такой
вектор-полином hr (x), что замена x = y + hr (y) убивает все вектор-полиномы xs ei , для
7
которых λi 6= (s, λ) и «оставляет в живых» лишь вектор-полиномы xs ei , для которых
λi = (s, λ). Это означает, что в R(y) остаются лишь резонансные мономы xs .
Случай с жордановыми клетками и вещественным рассматривается аналогично. Случай, когда фазовое пространство вещественно (Rn ), а среди собственных чисел есть комплексные, тоже рассматривается аналогично, используя то, что можно выбрать базис
e1 , . . . , en , состоящий из вещественных и комплексно сопряженных собственных векторов.
Векторные поля (1.10) называют формальными нормальными формами Пуанкаре–
Дюлака (слово «формальные» подчеркивает, что поле приводится к данному виду формальной заменой переменных, которая, вообще говоря, может не быть сходящимся рядом и не определять никакой «настоящей» замены).
Замечание 1.2. Из доказательства теоремы 1.2 нетрудно увидеть, что с помощью
полиномиальной замены x = y + H(y) росток поля (1.3) можно привести к виду
ẏ = Ay + RN (y) + ωN (y),
RN (y) =
n X
N
X
i=1 |s|=2
ci,s y s
∂
,
∂yi
(1.11)
где коэффициент ci,s 6= 0 только если λi = (s, λ) и ωN (y) – N -плоская в нуле невязка.
Замечание 1.3. В случае, когда матрица A приведена к нормальной жордановой
форме, нетрудно уточнить вид «нелинейности» R(y).
Действительно, в этом случае собственные векторы матрицы A имеют вид ei = ∂x∂ i ,
собственные векторы оператора LA : Hr → Hr имеют вид xs ∂x∂ i , |s| = r, и система уравнений, соответствующая формальной нормальной форме Пуанкаре–Дюлака, принимает
вид
ẏi = λi yi + εi yi+1 + ci,s y s , i = 1, . . . , n.
в котором резонансный моном y s входит только в уравнение с тем номером i, для которого имеет место резонанс.
Пример 1.2. На плоскости R2 рассмотрим векторное поле, имеющее в 0 узел со
спектром (λ1 , λ2 ), где λ1 = mλ2 , где m ≥ 2 – натуральное число. Это соотношение –
резонанс порядка m с индексом s = (0, m) и резонансным мономом xs = xm
2 . Очевидно,
что других нетривиальных резонансов нет.
Приведя с помощью вещественного линейного преобразования линейную часть поля
в 0 к диагональной форме, получим, что формальная нормальная форма Пуанкаре–
Дюлака имеет вид
½
ẏ1 = λ1 y1 + cy2m ,
(1.12)
ẏ2 = λ2 y2 .
Пример 1.3. На плоскости R2 рассмотрим векторное поле, имеющее в 0 седло со
спектром (λ1 , λ2 ), где имеет место соотношение λ1 + λ2 = 0, которое само по себе не
является резонансом вида (1.9), но порождает две бесконечные серии нетривиальных
резонансов
λ1 = (k + 1)λ1 + kλ2 ,
λ2 = kλ1 + (k + 1)λ2 ,
с разонансными мономами x1 (x1 x2 )k , x2 (x1 x2 )k .
8
k = 1, 2, . . .
Приведя с помощью вещественного линейного преобразования линейную часть поля
в 0 к диагональной форме, получим, что формальная нормальная форма Пуанкаре–
Дюлака имеет вид
∞
X
ẏ
=
λ
y
+
y
c1,k (y1 y2 )k ,
1 1
1
1
k=1
(1.13)
∞
X
c2,k (y1 y2 )k .
ẏ2 = λ2 y2 + y2
k=1
Пример 1.4. В пространстве R3 рассмотрим векторное поле, имеющее в 0 «обобщенный узел» со спектром (λ1 , λ2 , λ3 ), где λ1 = 2λ2 = 2λ3 6= 0. В этом случае имеется 5
нетривиальных резонансов:
λ1 = 2λ2 , λ1 = λ2 + λ3 , λ1 = 2λ3 , λ2 = λ3 , λ3 = λ2 ,
из которых только первые три имеют порядок ≥ 2 (а именно, второй), и следовательно,
являются препятствием для уничтожения нелинейных членов. Соответствуюшие им
резонансные мономы равны x22 , x2 x3 , x23 .
Приведя с помощью вещественного линейного преобразования линейную часть поля
в 0 к жордановой нормальной форме, получим, что формальная нормальная форма
Пуанкаре–Дюлака имеет вид
2
2
ẏ1 = λ1 y1 + ay2 + by2 y3 + cy3 ,
ẏ2 = λ2 y2 + εy3 ,
(1.14)
ẏ = λ y .
3
3 3
Кроме резонансов, важную роль играет еще одно свойство набора собственных чисел
λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Cn . Пространство Cn разделяется на две непересекающиеся области,
называемые областью Пуанкаре и областью Зигеля.
Определение. Изобразим все собственные числа λ1 , . . . , λn в виде точек на комплексной плоскости. Набор λ = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Cn принадлежит области Пуанкаре, если
выпуклая оболочка этих точек не содержит нуля, и принадлежит области Зигеля в
противном случае (рис. 1).
0
0
0
а)
б)
в)
Рис. 1. Набор λ принадлежит области Пуанкаре (а, б) и области Зигеля (в)
В случае, когда фазовое пространство вещественно (Rn ), это определение принимает
наиболее простой вид: набор λ принадлежит области Пуанкаре, если все числа Re λi
имеют один и тот же знак, и принадлежит области Зигеля в противном случае.
9
Предложение 1.2. В области Пуанкаре резонансные гиперплоскости лежат дискретно, и в каждой точке может быть не более чем конечное число резонансов, в то
время как в области Зигеля резонансные гиперплоскости всюду плотны. Кроме того,
в области Пуанкаре все нетривиальные резонансы (1.9) имеют s ∈ Zn+ , в котором
si = 0.
Доказательство этих утверждений мы приводить не будем: оно несложно и может
быть воспроизведено самостоятельно или найдено в книгах [2, 3].
Следствие. Если спектр λ принадлежит области Пуанкаре, то формальная нормальная форма Пуанкаре–Дюлака (1.10) является полиномиальной.
В примерах 1.2, 1.4 спектр λ принадлежит области Пуанкаре, и формальные нормальные формы (1.12), (1.14) полиномиальные, а в примере 1.3 спектр λ принадлежит
области Зигеля, и формальная нормальная форма (1.13) содержит бесконечное число
слагаемых.
1.3
Аналитическая эквивалентность
В этом разделе мы обратим внимание на сходимость формальных замен переменных
из предшествующего раздела. В случаях, когда удается установить сходимость, формальная замена превращается в «настоящую» аналитическую замену переменных.
1.3.1
В области Пуанкаре
Лемма 1.3. Для любого набора λ ∈ Cn , принадлежащего области Пуанкаре, найдется
такое число c > 0, что при всех s ∈ Zn+ , |s| ≥ 2, выполнено неравенство
|s1 λ1 + · · · + sn λn |
|(s, λ)|
=
≥ c.
|s|
s1 + · · · + sn
(1.15)
Кроме того, существует такое ε > 0, что при всех s ∈ Zn+ , |s| ≥ 2 и i ∈ {1, . . . , n}
имеют место неравенства
|(s, λ) − λi | ≥ ε(|s| − 1),
если (s, λ) − λi 6= 0.
(1.16)
Доказательство. Заметим, что выражение в левой части неравенства (1.15) является выпуклой линейной комбинацией чисел λ1 , . . . , λn , а поскольку выпуклая линейная
оболочка точек λ1 , . . . , λn на комплексной плоскости не содержит нуля, имеет место
требуемая оценка с некоторым достаточно малым c > 0 (см. рис. 1).
Для того, чтобы выполнялись неравенства (1.16), достаточно взять число ε равным
наименьшему из всех минимумов (по всевозможным s ∈ Zn+ , |s| ≥ 2) следующих выражений
¯
¯
¯ (s,λ) λi ¯
¯ |s| − |s| ¯
|(s, λ) − λi |
=
, i = 1, . . . , n.
(1.17)
1
|s| − 1
1 − |s|
Таким образом, достаточно показать, что минимумы выражений (1.17) действительно
существуют и положительны. Для этого выберем число r ∈ N такое, что |λi |/|s| < c/2
10
и 1/|s| < 1/2 при всех s ∈ Zn+ , |s| ≥ r, и всех i ∈ {1, . . . , n}. Тогда с учетом неравенства
(1.15) при всех |s| ≥ r будем иметь оценку (продолжение формулы (1.17)):
¯
¯
¯ (s,λ) λi ¯
−
¯
c − 2c
|s|
|s| ¯
|(s, λ) − λi |
=
≥
= c, i = 1, . . . , n.
1
|s| − 1
1 − |s|
1 − 12
Множество наборов s ∈ Zn+ , |s| < r, конечно. Поэтому каждое выражение (1.17) достигает на этом множестве некоторого ненулевого минимума di , и все они оцениваются
снизу числом ε = min{c, d1 , . . . , dn } > 0.
Теорема 1.3 (Пуанкаре). Если спектр λ не имеет резонансов (1.9) всех порядков
|s| ≥ 2 и принадлежит области Пуанкаре, то росток поля (1.3) приводится к виду
ẏ = Ay с помощью аналитической замены x = y + H(y).
Доказательство. Как и раньше, проведем подробное доказательство в предположении, что фазовое пространство комплексно (Cn ) и матрица A диагональна со спектром
λ. Здесь нам удобно иметь дело с обратной заменой
y = x + G(x) ⇔ yi = xi + gi (x), i = 1, . . . , n,
(1.18)
где ряды gi (x) содержат лишь мономы степеней ≥ 2. Нам нужно доказать существование таких сходящихся рядов gi (x), что замена (1.18) превращает поле ẋi = λi xi + ωi (x),
где ωi (x) – ряды, содержащие лишь мономы степеней ≥ 2, в линейное поле ẏi = λi yi .
Точнее, нужно доказать, что для любых сходящихся рядов ωi (x) найдутся такие сходящиеся ряды gi (x), что замена (1.18) превращает первое поле во второе.
Это условие может быть переписано в следующем виде:
ẏi =
n
n
X
X
∂
∂gi
(xi + gi (x))ẋl =
(λl xl + ωl ) + (λi xi + ωi ) ⇔
∂x
∂x
l
l
l=1
l=1
λi yi = λi (xi + gi ) =
n
X
∂gi
l=1
∂xl
(λl xl + ωl ) + (λi xi + ωi ).
Сокращая подобные члены λi xi в обеих частях последнего уравнения и производя очевидные преобразования, перепишем его в виде
λ 1 x1
∂gi
∂gi
∂gi
∂gi
+ · · · + λ n xn
− λi gi = −ω1
− · · · − ωn
− ωi .
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
(1.19)
Теорема будет доказана, если мы установим существование аналитического решения
gi уравнения (1.19) для каждого i ∈ {1, . . . , n}. Точнее, мы уже знаем (теорема 1.1),
что уравнение (1.19) имеет формальное решение gi , заданное формальным рядом, и
нам остается лишь установить сходимость этого ряда в круге со сколь угодно малым
радиусом сходимости. Для этого нужно «мажорировать» (т.е. оценить сверху) модули коэффициентов исследуемого формального ряда таким образом, чтобы «мажорирующий» степенной ряд заведомо сходился. Это стандартный прием доказательства
существования решений в теории аналитических дифференциальных уравнений – как
обыкновенных, так и с частными производными (например, он используется при доказательстве теоремы Коши–Ковалевской, см., [9]).
11
Шаг 1. Рассмотрим уравнение несколько более общего вида, чем (1.19):
α1 x1
∂u
∂u
∂u
∂u
+ · · · + αn xn
− βu = Ω1 (x)
+ · · · + Ωn (x)
+ Ωn+1 (x),
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
(1.20)
где α1 , . . . , αn , β – некоторые числа и Ω1 (x), . . . , Ωn+1 (x) – 1-плоские в нуле аналитические функции. Предположим, что уравнение (1.20) имеет формальное или аналитическое решение u(x). Дифференцируя обе части уравнения (1.20) и используя правило
Лейбница для дифференцирования произведения, получаем, что частные производные
функции u(x) порядка |s| ≥ 2 выражаются через частные производные функции u(x)
меньших порядков и частные производные известных функций Ω1 (x), . . . , Ωn+1 (x).
Именно, применим к обеим частям уравнения (1.20) дифференциальный оператор
Ds =
∂ |s| gi
,
· · · ∂xsnn
∂xs11
s = (s1 , . . . , sn ), |s| = s1 + · · · + sn ≥ 2,
и затем подставим x = 0. Положим s0 = (s1 , . . . , si−1 , 0, si+1 . . . , sn ), тогда
´
∂u ´
∂ si s0 ³
∂u ´
∂ si ³
s0 ∂u
D α i xi
=
D α i xi
=
αi xi D
=
∂xi
∂xsi i
∂xi
∂xsi i
∂xi
³ ∂u ´
∂ si ³ 0 ∂u ´
∂(αi xi ) ∂ si −1 ³ s0 ∂u ´
= α i xi · s i D s
+ si
· si −1 D
= α i xi D s
+ si αi Ds u.
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
∂xi
s
³
Следовательно, после применения оператора Ds к левой части (1.20) и подстановки
x = 0 получаем ((s, α) − β)Ds u(0).
Так как Ω1 (x), . . . , Ωn+1 (x) – 1-плоские в нуле функции, после применения оператора
Ds к правой части (1.20) и подстановки x = 0 получаем полином от частных производных функции u(x) порядков < |s| и частных производных функций Ω1 (x), . . . , Ωn+1 (x)
порядков ≤ |s|. В результате получаем равенство
³
´
((s, α) − β)Ds u(0) = P Dk u(0), Dl Ωi (0) : ∀ |k| < |s|, |l| ≤ |s|, i = 1, . . . , n + 1 , (1.21)
причем, как следует из формулы Лейбница, все коэффициенты полинома P положительные.
Шаг 2. Рассмотрим два уравнения вида (1.20) с числами α1 , . . . , αn , β и α10 , . . . , αn0 , β 0
и функциями Ω1 (x), . . . , Ωn+1 (x) и Ω01 (x), . . . , Ω0n+1 (x), соответственно. Пусть u(x) и u0 (x) –
формальные или аналитические решения этих уравнений, оба 1-плоские в нуле. Тогда
имеет место следующее утверждение.
Если выполнены следующие условия:
1) |(s, α) − β| ≥ (s, α0 ) − β 0 > 0 для всех |s| ≥ 2,
2) ряды Ω01 (x), . . . , Ω0n+1 (x) имеют неотрицательные коэффициенты и мажорируют ряды Ω1 (x), . . . , Ωn+1 (x), т.е. |Ds Ωi (0)| ≤ Ds Ω0i (0) при всех s и i = 1, . . . , n + 1,
то ряд u0 (x) мажорирует ряд u(x), т.е. |Ds u(0)| ≤ Ds u0 (0) при всех s. В частности,
из сходимости ряда u0 (x) следует сходимость ряда u(x).
Доказательство этого утверждения проводится индукцией по |s|.
Для |s| = 0 и |s| = 1 неравенства |Ds u(0)| ≤ Ds u0 (0) выполнены в силу того, что, по
условию, обе функции u(x) и u0 (x) 1-плоские в нуле. Для |s| ≥ 2 воспользуемся форму-
12
лой (1.21), из которой в силу положительности коэффициентов полинома P имеем:
¯
¯
¯ P (Dk u(0), Dl Ωi (0)) ¯ P (|Dk u(0)|, |Dl Ωi (0)|)
s
¯
¯≤
|D u(0)| = ¯
≤
¯
(s, α) − β
|(s, α) − β|
P (Dk u0 (0), Dl Ω0i (0))
= Ds u0 (0).
≤
0
0
(s, α ) − β
Шаг 3. В качестве «первого» уравнения вида (1.20) из предыдущего шага возьмем
уравнение (1.19), а в качестве «второго» возьмем уравнение
³ ∂u
´
³ ∂u
´
∂u
∂u
ε x1
+ · · · + xn
− u = Ω(x)
+ ··· +
+1 ,
(1.22)
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
¶k
µ
¶
∞ µ
X
1
X
X
Ω(x) := m
=m
−1−
, X := x1 + · · · + xn .
X
a
a
1
−
a
k=3
Первое условие из предыдущего пункта будет выполнено, если мы выберем число
ε > 0, удовлетворяющее неравенству (1.16). Нам остается лишь добиться выполнения
второго условия за счет выбора значений постоянных a, m.
Функция Ω(x), очевидно, является аналитической в круге kxk < a. Выберем числа
a > 0 и m > 0 таким образом, чтобы ряд Ω(x) мажорировал ряды всех функций
ω1 (x), . . . , ωn+1 (x) из (1.19). Это можно сделать следующим образом (подробности см.,
например, в книге [9]). Пусть ряд ωi (x) сходится при |x1 |, . . . , |xn | ≤ ai + δi с некоторыми
положительными ai , δi . Положим
a = min ai ,
i
m = max max |ωi (x)|, где Πi = {x : |x1 |, . . . , |xn | ≤ ai }.
i
x∈Πi
В теореме 1.1 мы установили, что уравнение (1.19) имеет формальное решение gi (x),
1-плоское в нуле. В этом пункте мы показали, что решение этого уравнения мажорируется решением u(x) уравнения (1.22), если последнее существует и также является
1-плоским в нуле. Более того, если ряд u(x) сходится, то решение gi (x) аналитично в
некоторой окрестности нуля. Таким образом, для завершения доказательства осталось
предъявить 1-плоское аналитическое решение уравнения (1.22).
Шаг 4. Будем искать решение уравнения (1.22) с требуемыми свойствами в виде
U (X), X := x1 + · · · + xn . Подставляя U (X) в (1.22), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции U (X) от одной переменной,
которое после очевидных тождественных преобразований можно переписать в виде
³
M X2
m
M X 2 ´ dU
−U =
, M := .
(1.23)
X −n
a − X dX
a−X
εa
Это уравнение будем решать методом вариации произвольных постоянных. С помощью интегрирования и простейших преобразований находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
U0 (X) = CX(a − bX)−
nM
b
,
b := 1 + nM,
где C – постоянная интегрирования, и решение уравнения (1.23) имеет вид
U (X) = C(X)X(a − bX)−
13
nM
b
(1.24)
где C(x) – решение уравнения
nM
dC
M ³
MX ´
= (a − bX) b
1−n
.
dX
a−X
a−X
(1.25)
Выбрав решение уравнения (1.25) с начальным условием C(0) = 0 и подставляя его
nM
в (1.24), получим решение U (X) = C(X)X(a − bX)− b = X 2 Φ(X), где Φ(X) – функция,
аналитическая в некоторой окрестности нуля. Это и доказывает теорему.
Теорема 1.4 (Пуанкаре–Дюлака). Если спектр λ принадлежит области Пуанкаре, то росток поля (1.3) приводится к полиномиальной нормальной форме Пуанкаре–
Дюлака (1.10) с помощью аналитической замены x = y + H(y).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.3.
1.3.2
В области Зигеля
Если же в условии теоремы 1.3 спектр λ принадлежит не области Пуанкаре, а области
Зигеля, то аналитическая эквивалентность в приведенных выше теоремах, вообще говоря, не имеет места. Для сходимости рядов, реализующих формальную замену переменных, должны быть некоторые дополнительные условия, которые заменяют неравенства
из леммы 1.3. Это условия как на спектр λ, так и на нелинейные члены в соответствующей формальной нормальной форме Пуанкаре–Дюлака (если есть резонанс).
Смысл ограничений на спектр λ состоит в том, что собственные числа λi не могут
быть достаточно хорошо приближены выражениями вида (s, λ) при s ∈ Zn+ . Приведем
два таких условия (в порядке их исторического появления):
Определение. Спектр λ ∈ Cn называется несоизмеримым по Зигелю (по Брюно),
если для всех s ∈ Zn+ , |s| ≥ 2, и i ∈ {1, . . . , n}, таких, что λi 6= (s, λ), выполнено условие
• Зигеля: ∃c > 0, ν > 0 : |λi − (s, λ)| > c/|s|ν ,
1−ε
• Брюно: ∃c > 0, ε > 0 : |λi − (s, λ)| > c/e|s| .
Условие Зигеля сильнее, чем условие Брюно, но исторически оно появилось раньше
(внимательный читатель может заметить аналогию между условием Зигеля и диофантовыми числами). Оба условия выполнены для почти всех (в смысле меры Лебега)
наборов λ ∈ Cn , причем условие Зигеля справедливо для почти всех наборов, если
положить ν = n + 1.
Теорема 1.5 (Зигеля–Брюно). Если спектр λ не имеет резонансов (1.9) всех
порядков |s| ≥ 2 и несоизмерим по Зигелю или по Брюно, то росток поля (1.3) приводится к виду ẏ = Ay с помощью аналитической замены x = y + H(y).
В случае, когда имеют место резонансы, вступает в действие условие на нелинейные члены в формальной нормальной форме Пуанкаре–Дюлака. В отличие от условия
на λ (которое выполнено почти всегда), ограничение, накладываемое на нелинейные
члены, очень сильное. Поэтому можно сказать, что если набор λ имеет резонанс (1.9)
порядка |s| ≥ 2 и принадлежит области Зигеля, то росток поля (1.3) почти никогда
аналитически не эквивалентен своей нормальной форме Пуанкаре–Дюлака. Точную
формулировку соответствующего результата можно найти в работах А.Д. Брюно. Мы
приведем ее здесь в несколько упрощенном виде, пожертвовав общностью, но избегая
громоздких формулировок.
14
Сформулируем задачу следующим образом: пусть известно, что посредством некоторого формального преобразования росток поля (1.3) приводится к нормальной форме
Пуанкаре–Дюлака, имеющей вид
X
ẏi = λi yi Fi (y), Fi (y) =
ci,s y s ,
(1.26)
|s|≥0
где Fi (y) – аналитические функции (сходящиеся ряды), коэффициент ci,s 6= 0 только
если y s – резонансный моном. Подчеркнем, что правая часть поля (1.26) включает в
себя резонансные мономы первого порядка, в том числе и тривиальные, так что ряд
Fi (y) содержит по крайней мере один ненулевой член: ci,0 6= 0. При каких условиях
росток поля (1.3) эквивалентен (1.26) не только формально, но и аналитически?
Определение.
• Условие А: Все функции F1 (y), . . . , Fn (y) тождественно равны друг другу.
Теорема 1.6 (Брюно). Если спектр λ векторного поля (1.3) несоизмерим по Брюно
и нормальная форма Пуанкаре–Дюлака (1.26) удовлетворяет условию А, то имеет
место не только формальная, но и аналитическая эквивалентность.
Замечание 1.4. Из доказательства теоремы 1.2 видно, что формальная нормальная
форма Пуанкаре–Дюлака (равно как и приводящее к ней формальная замена) определяется неоднозначно. Можно показать, что условие А выполняется или не выполняется
для всех таких форм одновременно, следовательно, оно является условием не на саму
нормальную форму, а на сам росток аналитического векторного поля (1.3).
Конечно, совокупность условия Брюно и условия А является только достаточной,
но не необходимой для аналитической эквивалентности ростка поля (1.3) своей нормальной форме Пуанкаре–Дюлака. В качестве примера возьмем какое-нибудь полиномиальное поле вида (1.26), не удовлетворяющее условию А, и сделаем аналитическую
(например, тоже полиномиальную) замену переменных. Полученное новое поле будет,
очевидно, аналитически эквивалентно своей нормальной форме Пуанкаре–Дюлака.
Тем не менее, в теореме 1.6 идет речь о целом классе векторных полей (а именно, о
классе векторных полей, имеющих данную формальную нормальную форму Пуанкаре–
Дюлака), условие A не может быть ослаблено. А.Д. Брюно показал, что существует
аналитическое поле (1.3), не удовлетворяющее условию A, росток которого не приводится к своей формальной нормальной форме Пуанкаре–Дюлака никаким аналитическим
диффеоморфизмом (соответствующая формальная замена переменных – расходящийся
векторный ряд).
Пример 1.5. В пространстве R3 с координатами (x, y, z) рассмотрим аналитические
векторные поля, имеющие в нуле особую точку со спектром (λ1 , λ2 , λ3 ) = (1, −1, 0).
Здесь есть три бесконечных серии резонансов с резонансными мономами:
λ1 = (k + 1)λ1 + kλ2 + lλ3 ⇒ xk+1 y k z l ,
λ2 = kλ1 + (k + 1)λ2 + lλ3 ⇒ xk y k+1 z l ,
λ3 = kλ1 + kλ2 + lλ3
⇒
k, l ∈ Z+ .
(xy)k z l ,
Соответствующая формальная нормальная форма Пуанкаре–Дюлака (1.26) имеет вид
ẋ = xf1 (xy, z), ẏ = −yf2 (xy, z), ż = g(z) + xyh(xy, z),
15
(1.27)
где fi , g, h – формальные ряды от соответствующих переменных, в которых fi (0) = 1,
g(0) = g 0 (0) = 0.
Легко видеть, что спектр (1, −1, 0) несоизмерим по Брюно. Действительно, при любом s ∈ Z3+ , для которого λi 6= (s, λ), имеет место неравенство |λi − (s, λ)| ≥ 1, поэтому
условие Брюно выполнено при любом положительном c < 1. Для выполнения же условия А нужно, чтобы были тождественно выполнены равенства f1 = f2 , g = h = 0. Если
эти равенства выполнены и ряд f := f1 = f2 сходится, то любое векторное поле поле
рассматриваемого типа локально аналитически эквивалентно полю
³ ∂
∂
∂ ´
−y
+0
.
(1.28)
f (xy, z) x
∂x
∂y
∂z
Поле (1.28) принадлежит совершенно особому подмножеству коразмерности ∞ (в пространстве аналитических векторных полей). В частности, оно обладает таким свойством: все компоненты поля содержатся в идеале, порожденном двумя из них (в кольце
ростков аналитических функций). Множество особых точек таких полей задается не
тремя, а двумя уравнениями, т.е. вообще говоря, является кривой в трехмерном фазовом пространстве (конкретно в случае поля (1.28) эта кривая – ось z). Так как описанное
свойство инвариантно относительно замен координат, им обладают и все поля, аналитически эквивалентные (1.28). Это показывает, насколько жестким является условие А.
1.4
Гладкая эквивалентность
Начиная с этого момента, мы будем рассматривать C ∞ -гладкие (если не указано иное)
векторные поля в вещественном фазовом пространстве (Rn ). Нас будет интересовать
вопрос о C ∞ -гладкой и конечно-гладкой эквивалентности ростков таких полей в особой
точке 0, также мы скажем несколько слов о топологической эквивалентностй.
1.4.1
Гиперболический спектр
Определение. Спектр λ ∈ Cn называется гиперболическом, если ни одно из собственных значений λi не лежит на мнимой оси: Re λi 6= 0 для всех i = 1, . . . , n.
Теорема 1.7 (Чень). Если два ростка векторных полей в особой точке имеют
гиперболический спектр λ и формально эквивалентны, то они C ∞ -гладко эквивалентны.
Следствие 1. Если спектр λ векторного поля (1.3) в особой точке 0 гиперболический и не имеет резонансов (1.9) всех порядков |s| ≥ 2, то росток поля (1.3) C ∞ -гладко
эквивалентен своей линеаризации ẏ = Ay.
Следствие 2. Если спектр λ векторного поля (1.3) в особой точке 0 гиперболический, то росток поля (1.3) C ∞ -гладко эквивалентен своей формальной нормальной
форме Пуанкаре–Дюлака (1.10).
Теперь мы перейдем к вопросу о конечно-гладкой эквивалентности. Одним из очевидных достоинств конечно-гладкой эквивалентности является то, что для приведения
ростка поля к своей линейной форме требуется отсутствие резонансов уже не всех порядков 2 ≤ |s| < ∞, а лишь до определенного конечного значения: 2 ≤ |s| ≤ N (число
N зависит от порядка k гладкости сопрягающего диффоморфизма: чем больше k, тем
больше N ). Аналогично, посредством конечно-гладкого диффеоморфизма росток поля
16
(1.3) можно привести к полиномиальной форме даже в случае, когда формальная нормальная форма Пуанкаре–Дюлака содержит бесконечное число резонансных мономов.
Существует множество теорем о конечно-гладкой эквивалентности, мы здесь ограничимся лишь несколькими из них. Сначала приведем две теоремы для случая гиперболического спектра:
Теорема 1.8 (Селл). Пусть для некоторого числа k ∈ N спектр λ удовлетворяет
следующим условиям:
• λi − (s, λ) 6= 0 при всех 2 ≤ |s| ≤ 2k,
• Re(λi − (s, λ)) 6= 0 при всех |s| = 2k.
Тогда росток поля (1.3) C k -гладко эквивалентен своей линеаризации ẏ = Ay.
Для любого k ∈ N и гиперболического спектра λ ∈ Cn определим число
¸
·
max | Re λi |
+ 2,
N (k) = 2 (2k + 1)
min | Re λi |
(1.29)
где квадратные скобки означают целую часть числа, а также введем резонансы нового
типа:
Re λi = s1 Re λ1 + · · · + sn Re λn ,
s ∈ Zn+ ,
i ∈ {1, . . . , n}.
(1.30)
Как и раньше, число |s| ≥ 0 называется порядком резонанса (1.30), моном xs называется
резонансным. Очевидно, что всегда имеют место n тривиальных резонансов первого
порядка, определяемых аналогично (1.9).
Теорема 1.9 (Самовол). Пусть ẋ = V (x) и ẋ = W (x) – ростки векторных полей
с гиперболическим спектром λ в особой точке 0. Если разность V (x) − W (x) является
N (k)-плоской в точке 0, то ростки полей ẋ = V (x) и ẋ = W (x) C k -гладко эквивалентены.
В частности, для любого k ∈ N росток поля (1.3) C k -гладко эквивалентен полиномиальному полю
(k)
n N
X
X
∂
ci,s y s
ẏ = Ay + R(y), R(y) =
,
(1.31)
∂y
i
i=1
|s|=2
где коэффициент ci,s 6= 0 только если y s – резонансный моном, соответствующий
резонансу (1.30) порядка |s|, 2 ≤ |s| ≤ N (k).
Пример 1.6. Для иллюстрации приведенных выше теорем обратимся к примеру 1.2
(слегка изменив обозначения для удобства). Там было установлено, что росток векторного поля, имеющего в нуле узел с резонансом λ1 : λ2 = m, где m ≥ 2 – натуральное
число, формально эквивалентен ростку
½
ẋ = λ1 x + cy m ,
(1.32)
ẏ = λ2 y,
Из теоремы 1.3 следует, что если поле аналитическое, то имеет место не только формальная, но и аналитическая эквивалентность. Рассмотрим случай, когда коэффициент c 6= 0, и резонансный моном cy m в нормальной форме (1.32) присутствует. В каком
классе гладкости росток поля (1.32) можно привести к линейной части, т.е. «убить»
резонансный моном?
17
Согласно теореме 1.8, росток поля (1.32) C k -гладко эквивалентен своей линеаризации при любом k < m2 . Теорема 1.9 в данном случае не позволяет сделать никаких
заключений, так как определенное формулой (1.29) число N (k) всегда больше m.
С другой сторны, очевидно, что росток поля (1.32) нельзя привести к линейной части
с помощью C k -гладкого диффеоморфизма при k ≥ m. Для доказательства выпишем
явную формулу для общего решения системы (1.32): x = y m (c ln |y| + const), из которой следует, что при c 6= 0 все интегральные кривые являются C m−1 -гладкими, но не
C m -гладкими в нуле, в то время как при c = 0 все интегральные кривые являются
C ∞ -гладкими. Диффеоморфизм класса C m не может переводить такие интегральные
кривые друг в друга.
1.4.2
Локальные инвариантные многобразия
Прежде чем привести теоремы для случая негиперболического спектра, нужно ввести
несколько фундаментальных понятий.
Напомним, что инвариантным многообразием векторного поля ẋ = V (x) называется
такое подмногообразие M фазового пространства, что вектор V (x) ∈ Tx M в каждой
точке x ∈ M . Простейший пример: одномерное инвариантное многобразие, называемое
интегральной кривой векторного поля. Заметим, что инвариантное многобразие поля
ẋ = V (x) является таковым и для любого поля ẋ = f (x)V (x), полученного из первого
умножением на скалярную функцию f , поэтому понятие инвариантного многобразия –
атрибут не только векторных полей, но и полей направлений.
Перечислим несколько очевидных свойств.
1. Если M – инвариантное многобразие и x∗ ∈ M – неособая точка поля V , то
существует единственная интегральная кривая γ поля V , проходящая через точку x∗ ,
причем γ ⊂ M . В случае же, когда x∗ ∈ M – особая точка поля V , кривая γ может и
не содержаться в M .3
2. Предположим, что M – регулярное m-мерное инвариантное многообразие. Если
x∗ ∈ M – особая точка поля V со спектром λ = (λ1 , . . . , λn ), то спектр ограничения поля
V на M получается из λ отбрасыванием некоторых n − m собственных чисел.
3. Предположим, что U – регулярный первый интеграл поля ẋ = V (x), т.е. LV U ≡ 0
и ∇U 6= 0. Тогда {U = const} – инвариантное слоение фазового пространства: каждый
слой является инвариантным многообразием (коразмерности 1). Если x∗ – особая точка
поля V , то спектр λ в x∗ содержит по крайней мере одно нулевое собственное значение,
собственный вектор которого трансверсален слою {U = const} at x∗ , и спектр ограничения поля V на слой {U = const} в точке x∗ получается из λ отбрасыванием этого
нулевого собственного числа.
Для исследования локального фазового портрета векторного поля в окрестности особой точки 0 удобно установить существование инвариантных многообразий, проходящих через эту точку, ограничение поля на которые обладает специальными свойствами.
Образцом для такой конструкции является линейное поле ẋ = Ax. Рассмотрим линейный оператор A : Rn → Rn , разделим его спектр на три подмножества:
λs = {Re λi < 0}, λu = {Re λi > 0}, λc = {Re λi = 0},
∂
∂
∂
3 Например, двумерные инвариантные многобразия поля V = x
1 ∂x +x2 ∂x +x3 ∂x в трехмерном фазовом простран1
2
3
стве – это всевозможные плоскости, проходящие через 0, а интегральные кривые – всевозможные прямые, проходящие
через 0. Для каждой такой плоскости найдутся как прямые, целиком лежащие на ней, так и не имеющие с ней никакого
пересечения кроме самой точки 0.
18
и рассмотрим разложение пространства Rn в прямую сумму:
Rn = T s ⊕ T u ⊕ T c ,
(1.33)
где T s , T u , T c – инвариантные подпространства оператора A, такие, что спектр ограничения оператора A на T s (T u , T c ) равен λs (λu , λc ) соответственно.
Очевидно, что поле ẋ = Ax имеет три инвариантных многообразия W s , W u , W c –
аффинные подмногообразия фазового пространства Rn , касающиеся подпространств
T s , T u , T c в точке 0. (Эти аффинные подмногообразия можно отождествить с самими
подпространствами T s , T u , T c , если считать, что касательное пространство к многообразию содержится в том же самом пространстве, что и само многообразие.)
Подпространства T s , T u , T c называются устойчивым, неустойчивым и центральным подпространствами, а W s , W u , W c – устойчивым, неустойчивым и центральным
многообразиями поля ẋ = Ax.
Фазовые кривые с начальными условиями x∗ 6= 0 стремятся к 0 с экспоненциальной
скоростью при t → +∞ (t → −∞), если x∗ ∈ W s (W u ) и стремятся к 0 медленнее
или вовсе не стремятся при t → ±∞, если x∗ ∈ W c . Например, если dim W c = 2,
то ограничение поля на плоскость W c может быть центром (см. рис. 2, слева) или
нильпотентной жордановой клеткой, или тождественно равным нулю.
Рис. 2. Инвариантные многообразия W s , W u , W c линейного поля ẋ = Ax (слева) и нелинейного поля
ẋ = V (x) (справа)
Теперь мы перейдем к определению аналогичных понятий для произвольного C r гладкого (r ≥ 1) поля ẋ = V (x) = Ax + v(x) в окрестности особой точки 0. Разложение
(1.33) и определение подпространств T s , T u , T c зависят только от линейной части A и
без всяких изменений переносится на случай нелинейного поля.
Определение. Инвариантные многообразия поля ẋ = V (x), проходящие через особую точку 0 и касающиеся в ней подпространств T s , T u , T c , обозначаются W s , W u , W c и
называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями этого поля.
Разумеется, существование таких многообразий для произвольного поля ẋ = V (x)
неочевидно. Оно гарантируется (при весьма слабых ограничениях на поле) двумя следующими теоремами.
19
Теорема Адамара–Перрона. Пусть росток поля ẋ = V (x) принадлежат классу
C r с 1 ≤ r ≤ ∞ и имеет гиперболический спектр, т.е. T c = (0) и Rn = T s ⊕ T u .
Тогда в некоторой окрестности особой точки существуют инвариантные многообразия W s , W u класса C r . Как и в случае линейного поля ẋ = Ax, фазовые кривые поля
ẋ = V (x) с начальными условиями x∗ 6= 0 стремятся к 0 с экспоненциальной скоростью при t → +∞ (t → −∞), если x∗ ∈ W s (W u ).
Теорема о центральном многообразии. Пусть росток поля ẋ = V (x) принадлежат классу C r с 2 ≤ r < ∞. Тогда в некоторой окрестности особой точки существуют инвариантные многообразия W s , W u класса C r и центральное многообразие
W c класса C r−1 . Фазовые кривые поля ẋ = V (x) с начальными условиями x∗ 6= 0 стремятся к 0 с экспоненциальной скоростью при t → +∞ (t → −∞), если x∗ ∈ W s (W u ),
как и в теореме Адамара–Перрона. Динамика ограничения поля на центральное многообразие W c определяется нелинейными членами и может быть довольно сложной.
Замечание 1.5. Если поле ẋ = V (x) является C ∞ -гладким или аналитическим, то
многообразия W s , W u – такого же класса (C ∞ -гладкие или аналитические), а центральное многообразие W c – вообще говоря, лишь конечно-гладкое.
Может показаться, что это утверждение противоречит теореме о центральном многообразии: ведь если поле C ∞ -гладкое, то для любого сколь угодно большого числа r в
некоторой окрестности особой точки W c принадлежит классу C r . Казалось бы, из этого
должно следовать, что многообразие W c – C ∞ -гладкое. Однако существуют примеры,
когда W c C r -гладко в такой окрестности Ur , что Ur стягивается к 0 при r → ∞, так что
пересечение всех Ur состоит лишь из одной точки 0 (см. пример в §3.2 [7]).
Замечание 1.6. Для данного ростка векторного поля устойчивое и неустойчивое
многообразия W s , W u – единственны, а центральное многообразие W c – вообще говоря,
нет (см. пример ниже).
Пример 1.7.
В начале координат плоскости (x, y) поле ẋ = x2 ,
ẏ = y имеет особую точку со спектром (1, 0), которая называется седлоузлом. Фазовый портрет этого
поля в полуплоскости x < 0 похож на седло, а в в
полуплоскости x > 0 – на узел (см. рис. 3).
Разложение (1.33) имеет вид R2 = T u ⊕ T c , причем одномерные подпространства T u и T c параллельны координатным осям x = 0 и y = 0, соответственно. Неустойчивое многообразие W u , очевидно,
единственно: оно совпадает с осью x = 0. Определению центрального многобразия удовлетворяет ось
y = 0, а также любая из бесконечного числа кривых
y = f (x), составленных из двух «красных кусков»
f (x) = 0 при x ≤ 0 и f (x) = c exp(1 − x1 ) при x > 0.
Таким образом, данное поле имеет бесконечное число различных центральных многобразий, из которых одно (при c = 0) аналитическое, а все остальные
(при c 6= 0) – класса C ∞ .
20
y
x
Рис. 3. Седлоузел
Заметим, что в случае линейного поля ẋ = Ax разложение (1.33) порождает «расщепление» системы линейных дифференциальных уравнений ẋ = Ax на три независимые
системы, порядки которых равны размерностям T u , T s , T c . Для этого нужно с помощью
линейной замены перейти к новым переменным y1 ∈ T u , y2 ∈ T s , z ∈ T c , в результате
чего система ẋ = Ax становится прямым произведением трех систем:
¯
¯
¯
ẏ1 = (A¯T u ) y1 , ẏ2 = (A¯T s ) y2 , ż = (A¯T c ) z.
Возможен ли аналогичный результат для нелинейных полей? Препятствием здесь является присутствие нелинейных членов, связывающих между собой три независимые
системы, на которые распадается линейная часть. И с помощью гладких (даже C 1 гладких) замен такое «расщепление» сделать, вообще говоря, невозможно. Тем не менее, оказывается, что это можно сделать, если использовать не диффеоморфные, а
гомеоморфные замены переменных:
Теорема (принцип сведе́ния Шошитайшвили). Росток любого C 2 -гладкого поля ẋ = V (x) топологически эквивалентен прямому проиведению
u
ẏ1 = y1 , y1 ∈ T ,
ẏ2 = −y2 , y1 ∈ T s ,
(1.34)
ż = w(z), z ∈ W c ,
где поле ż = w(z) – ограничение поля ẋ = V (x) на центральное многообразие W c .
Замечание 1.7. Если центральное многообразие не единственно, то в нормальной
форме (1.34) можно взять любое из них, так как ограничение поля ẋ = V (x) на любые
два центральные многообразия топологически эквивалентны.
Принцип сведения показывает, что с топологической точки зрения вся нетривиальная динамика сосредоточена на центральном многообразии поля. Если росток поля
ẋ = V (x) – гиперболический, т.е. T c = (0), то третье уравнение в системе (1.34) отсутствует, и существуют ровно два топологических инварианта: числа dim T u и dim T s
(равные числу собственных значений λi с положительной и отрицательной вещественной частью). Этот частный случай принципа сведе́ния называется теоремой Гробмана–
Хартмана.
Пользуясь топологической эквивалентностью, можно сделать заключение о некоторых свойствах фазового портрета векторного поля (например, она сохраняет число
фазовых кривых, входящих в особую точку). Тем не менее, топологическая эквивалентность довольно груба и не сохраняет другие важные свойства. Достаточно сказать, что
узел и фокус, имеющие столь разные фазовые портреты, оказываются топологически
эквивалентны. Поэтому задача о нахождении гладких нормальных форм векторных
полей в окрестности особых точек с негиперболическим спектром остается весьма актуальной, ей посвящен следующий раздел.
1.4.3
Негиперболический спектр
В этом разделе мы будем рассматривать ростки C ∞ -гладких векторных полей в фазовом пространстве Rn (это требование можно ослабить до большой, но конечной гладкости), имеющих в 0 особую точку со спектром λ ∈ Cn , содержащим m собственных
чисел с Re λi 6= 0 и l = n − m собственных чисел с Re λi = 0.
21
Далее всегда будем считать, что m > 0 – такие наборы называют частично гиперболическими (при m = n получается гиперболический набор). Упорядочим собственные
числа таким образом, что
Re λi 6= 0 при i = 1, . . . , m,
Re λi = 0 при i = m + 1, . . . , n.
Если m < n, то поле имеет центральное многобразие W c размерности l > 0. Для того, чтобы охватить гиперболические наборы, договоримся считать, что в случае m = n
центральное многобразие W c также существует и состоит из одной точки 0 (это не
противоречит данному выше формальному определению W c ). В окрестности точки 0
удобно сделать линейную замену координат и рассматривать новые фазовые переменныe x = (y, z), где
y = (y1 , . . . , ym ), y ∈ T u ⊕ T s , z = (z1 , . . . , zl ) ∈ W c
(1.35)
(здесь мы рассматриваем T u , T s как аффинные подмногообразия самого фазового пространства). Переменные y = (y1 , y2 ) называются гиперболическими, а переменные z –
негиперболическими. Разумеется, переменные (y, z) определяются условием (1.35) неоднозначно. Их можно, например, выбрать таким образом, чтобы привести линейную
часть поля к нормальной жордановой форме или (если в спектре есть комплексные
числа) к ее вещественному аналогу.
Для любого k ∈ N определим число N (k) по формуле (1.29), в которой максимум
и минимум | Re λi | берутся по гиперболической части спектра, т.е. по тем собственным
числам, для которых | Re λi | 6= 0.
Наконец, введем в рассмотрение два типа резонансов:
Re λi = s1 Re λ1 + · · · + sm Re λm ,
s ∈ Zm
+,
i ∈ {1, . . . , m},
(1.36)
0 = s1 Re λ1 + · · · + sm Re λm ,
s ∈ Zm
+,
i ∈ {1, . . . , m}.
(1.37)
Как и раньше, число |s| ≥ 0 называется порядком резонанса, моном y s называется резонансным. Подчеркнем, что в резонансные мономы входят только гиперболические
переменные, а негиперболические не входят. Очевидно, что всегда имеют место m тривиальных резонансов (1.36) первого порядка с мономами y1 , . . . , ym и один тривиальный
резонанс (1.37) нулевого порядка с мономом 1.
Теорема 1.10 (Самовол). Пусть ẋ = V (x) и ẋ = W (x) – ростки векторных полей
с частично гиперболическим спектром λ в особой точке 0. Если разность V (x) − W (x)
является N (k)-плоской по гиперболическим переменным y в y = 0, то ростки полей
ẋ = V (x) и ẋ = W (x) C k -гладко эквивалентены.
В частности, для любого k ∈ N росток поля в частично гиперболической особой
точке C k -гладко эквивалентен полю
N (k)
X
ẏ
=
ϕi,s (z)y s , i = 1, . . . , m,
i
|s|=1
(1.38)
N (k)
X
ż =
ψj,s (z)y s , j = 1, . . . , l,
j
|s|=0
где все ϕi,s (z), ψj,s (z) – гладкие функции от z, причем ϕi,s (z) 6≡ 0 только если y s –
резонансный моном, соответствующий резонансу (1.36), ψj,s (z) 6≡ 0 только если y s –
22
резонансный моном, соответствующий резонансу (1.37). При этом имеются в виду
все резонансы, включая и тривиальные, а сопрягающий диффеоморфизм можно выбрать с тождественной линейной частью.
Замечание 1.8. Ни одна из сумм в формуле (1.38) не является пустой, так как содержит по крайней мере тривиальный резонансный моном: для первых m уравнений
это мономы y1 , . . . ym , а для последних l уравнений – моном 1. Например, если нет резонансов (1.36) порядков 2 ≤ |s| ≤ N (k), первые m уравнений принимают вид ẏ = Λ(z)y,
где Λ(z) – квадратная матрица порядка m, коэффициенты которой гладко зависят от
z. Если нет нетривиальных резонансов (1.36) порядков |s| ≤ N (k), первые m уравнений
принимают вид ẏ = Λ(z)y с диагональной матрицей Λ(z).
Замечание 1.9. Если нет нетривиальных резонансов (1.37) порядков |s| ≤ N (k),
последние l уравнений в (1.38) принимают вид
żj = ψj,0 (z),
j = 1, . . . , l.
(1.39)
Система уравнений (1.39) содержит лишь негиперболические переменные (являющиеся локальными координатами на W c ) и описывает динамику на W c .
2
Поля с неизолированными особыми точками
В этом разделе мы будет иметь дело с ростками C ∞ -гладких векторных полей специального вида в вещественном фазовом пространстве Rn с n ≥ 3. Интерес к полям такого
вида оправдывается различными приложениями, которые и составляют главную цель
нашего курса. Эти ростки в особой точке 0 характеризуются следующим свойством:
среди всех n компонент поля найдутся две, образующие идеал I (в кольце ростков
гладких функций в точке 0), который содержит все компоненты поля.
Очевидно, что данное своство инвариантно относительно гладких замен координат.
Перенумеровав при необходимости фазовые переменные, всегда можно считать что образующими идеала I являются первые две компоненты поля. Обозначив соответствующие переменные через x, y, а все остальные – через z = (z1 , . . . , zn−2 ), запишем росток
поля в виде
ẋ = v, ẏ = w, żj = αj v + βj w, j = 1, . . . , n − 2,
(2.1)
где v, w и αj , βj – гладкие функции от всех переменных x, y, z.
Относительно векторных полей (2.1) нас будут интересовать те же вопросы, которые мы рассматривали в предшествующем разделе: нормальные формы в различных
классах эквивалентности. Однако теперь мы будем вести изложение в направлении,
противоположном предыдущему разделу: начнем с топологических и конечно-гладких
нормальных форм, затем перейдем к бесконечно-гладким и аналитическим. Сами же
нормальные формы служат нам для того, чтобы понять, как устроен фазовый портрет
поля в окрестности особой точки.
Обозначим через W c множество особых точек поля (2.1). Очевидно, это множество
задается двумя уравнениями v = 0 и w = 0, поэтому в общем случае (когда ростки функций v и w в точке 0 имеют независимые дифференциалы) является гладким
подмногообразием фазового пространства коразмерности 2.
Предложение 2.1. С помощью выбора подходящих локальных координат множество W c можно «выпрямить», чтобы оно стало подпространством x = y = 0; при
23
этом идеал I = hv, wi = hx, yi. Далее, с помощью замен zj → zj −αj (0)x−βj (0)y можно
добиться выполнения условий αj (0) = βj (0) = 0, j = 1, . . . , n − 2.
Предложение 2.2. Спектр поля (2.1) в точке 0 равен λ = (λ1 , λ2 , 0, . . . , 0), где
λ1,2 6= 0 и нулевому собственному значению соответствуют n − 2 независимых собственных векторов, касательных к W c . Паре ненулевых собственных чисел λ1,2 соответствует инвариантная плоскость T h , трансверсальная W c .
Далее мы всегда будем предполагать, что имеем дело с локальными координатами
из предложения 2.1 и что спектр λ является частично гиперболическим, т.е.
λ = (λ1 , λ2 , 0, . . . , 0),
Re λ1,2 6= 0.
(2.2)
Разложение касательного пространства (1.33) в этом случае имеет вид Rn = T h ⊕ T c ,
где T h := T s ⊕ T u (одно из подпространств T s , T u может быть нулевым), а подпространство T c – ядро оператора A. При этом x, y – гиперболические переменные, а
z = (z1 , . . . , zn−2 ) – негиперболические.
Предложение 2.3. Центральное многообразие поля (2.1) со спектром (2.2) единственно и совпадает с множеством особых точек W c , что и оправдывает выбранное
выше обозначение.
z
Доказательства всех предложений очень простые,
и мы их опускаем. Ограничимся лишь кратким объяснением, почему центральное многообразие единственно.
В локальных координатах из предложения 2.1 центральное подпространство T c совпадает с подпро0
странством {x = y = 0}, целиком состоящим из
y
особых точек поля. Следовательно, W c = T c будет
центральным многообразием. Предположим, что оно
x
не единственно, т.е. существует другое инвариантное
многообразие W1c , касающееся подпространства T c в Рис. 4. Единственность центрального
нуле.4 В случае n = 3 оно изображено на рис. 4 в виде многообразия
красной линии.
Из этого рисунка видно, что во всех точках линии W1c , расположенных достаточно
близко к нулю, z-компонента поля должна быть намного больше проекции поля на
плоскость (x, y). С другой стороны, в выбранных координатах первых две компоненты
поля (2.1) содержат линейные члены по переменным x, y, а все остальные компоненты
являются 1-плоскими по этим переменным. Полученное противоречие показывает, что
инвариантное многообразие W1c с такими свойствами не существует.
2.1
Топологическая и конечно-гладкая эквивалентность
Далее мы будем рассматривать спектр поля (2.1) не только в фиксированной особой
точке 0, но и в достаточно близких к ней особых точках, которые можно отождествить
с координатами z. Все утверждения предложений 2.2 и 2.3 верны и для особых точек,
4 Собственно говоря, на этом можно было бы закончить доказательство единственности, просто сославшись на принцип
сведения Шошитайшвили: ведь ограничение поля на W c – тождественный нуль, и если было бы еще одно центральное
многобразие W1c , то ограничение поля на W1c тоже должно было быть тождественным нулем, но последнее означает
равенство W1c = W c . Однако мы приведем более прямое, хотя и более длинное доказательство единственности.
24
расположенных в достаточно малой окрестности точки 0. Спектр поля (2.1) в особой
точке z ∈ W c имеет вид
λ(z) = (λ1 (z), λ2 (z), 0, . . . , 0),
Re λ1,2 (z) 6= 0.
(2.3)
Договоримся, что λ := λ(0) и λi := λi (0), т.е. λ и λi без указания аргумента z всегда
будут означать спектр и собственное число в особой точке 0, соответственно.
Из предложения 2.3 и принципа сведения Шошитайшвили сразу же вытекает утверждение о топологической структура фазового портрета поля (2.1) в окрестности рассматриваемой особой точки:
Теорема 2.1 Росток поля (2.1) топологически эквивалентен ростку
ξ˙ = ±ξ, η̇ = ±η,
ζ̇j = 0, j = 1, . . . , n − 2,
(2.4)
где знаки ± совпадают со знаками Re λ1,2 .
Действительно, так как ограничение поля (2.1) на центральное многообразие тождественно равно нулю, топологическая нормальная форма (1.34) принимает вид (2.4).
Теорема 2.1 утверждает, что росток поля (2.1) топологически эквивалентен ростку
семейства векторных полей на плоскости, зависящему от n − 2 параметров. Как мы уже
отмечали, топологическая эквивалентность весьма груба. Для иллюстрации рассмотрим следующий пример.
Пример 2.1. Из принципа сведения Шошитайшвили следует, что ростки полей
ẋ = x, ẏ = −y, ż = xy
и ẋ = x, ẏ = −y, ż = 0
(2.5)
топологически эквивалентны, причем они даже имеют одинаковые спектры во всех
особых точках. Однако фазовые портреты этих полей сильно отличаются (см. рис. 5).
Для того, чтобы понять, как выглядит фазовый портрет первого поля (2.5), достаточно заметить, что резонансный моном xy является его первым интегралом. Движение
по фазовым кривым, заполняющим инвариантный цилиндр xy = c (в случае c = 0 вырождающийся в пару пересекающихся координатных плоскостей) имеет постоянную
третью компоненту: ż = c.
z
z
Рис. 5. Фазовые портреты полей (2.5)
Наибольший интерес для нужных нам приложений представляют гладкие (хотя бы
конечно-гладкие) нормальные формы полей (2.1) со спектром (2.2). Этим вопросом
25
мы сейчас и займемся. Нашей целью будет приведение ростка поля (2.1) к нормальной
форме, содержащей как можно больше тривиальных уравнений ζ̇j = 0 (в идеале – n − 2,
как в топологической нормальной форме (2.4)). Остальные ненулевые компоненты поля
должны иметь наиболее простой вид.
Прежде всего, заметим простую связь между резонансами (1.36) и (1.37). Во-первых,
из отсутствия нетривиальных резонансов (1.36) порядка p следует отсутствие нетривиальных резонансов (1.37) порядка p − 1. Во-вторых, в случае m = 2 из отсутствия
нетривиальных резонансов (1.37) порядка p − 1 следует, что нетривиальные резонансы (1.36) порядка p могут быть только вида Re λ1 = p Re λ2 или Re λ2 = p Re λ1 . Если
при этом p > 1, то оба числа λ1,2 вещественные, если же p = 1, то либо λ1 = λ2 –
вещественные, либо λ1 = λ2 – комплексно сопряженные.
Наконец, заметим, что при m = 2 резонансы (1.37) равносильны
s1 λ1 + s2 λ2 = 0, s1,2 ∈ Z+ ,
(2.6)
так как в случае, когда λ1,2 – пара комплексно сопряженных чисел, нет ни резонансов
(1.37), ни резонансов (2.6), за исключением тривиальных.
Для удобства формулировок результатов упорядочим собственные числа λ1,2 таким
образом, что |λ1 | ≥ |λ2 |.
Теорема 2.2 Если набор (λ1 , λ2 ) не имеет нетривиальных резонансов (2.6) порядков
|s| := s1 + s2 ≤ N (k), то росток поля (2.1) C k -гладко эквивалентен
ξ˙ = vb, η̇ = w,
b ζ̇j = 0,
j = 1, . . . , n − 2,
(2.7)
где для vb, w
b ∈ I = hξ, ηi имеются следующие три возможности:
• Если λ1,2 ∈ R, λ1 6= pλ2 для всех 1 ≤ p ≤ N (k), то
vb = λ1 (ζ)ξ, w
b = λ2 (ζ)η.
(2.8)
• Если λ1,2 ∈ R, λ1 = pλ2 для некоторого 1 ≤ p ≤ N (k), то
vb = λ1 (ζ)ξ + ϕ(ζ)η p , w
b = λ2 (ζ)η.
(2.9)
• Если λ1,2 — комплексно сопряженные, то
vb = α(ζ)ξ + β(ζ)η, w
b = −β(ζ)ξ + α(ζ)η.
(2.10)
Доказательство. Это утверждение – тривиальное следствие теоремы 1.11. Действительно, как отмечено в замечании 1.9, если в гиперболической части спектра нет
нетривиальных резонансов (1.37) порядков |s| ≤ N (k), то нормальная форма (1.38)
принимает вид
ξ˙ = vb, η̇ = w,
b ζ̇j = ψj,0 (ζ), j = 1, . . . , n − 2.
При сделанном предположении нетривиальные резонансы (1.36) порядков |s| ≤ N (k)
могут быть только вида Re λ1 = p Re λ2 с натуральным p, и все мономы, входящие в
состав vb и w,
b содержат либо ξ, либо η. Следовательно, vb, w
b ∈ hξ, ηi, причем в окрестности
нуля
¯
¯
¯ ∂(b
b ¯¯
¯ v , w)
¯ ∂(ξ, η) ¯ 6= 0.
26
Теперь вспомним, что все компоненты поля (2.1) содержатся в идеале I, порожденном
двумя из них. Очевидно, что образующими идеала I могут быть только первые две
компоненты vb, w,
b и все функции ψj,0 (ζ) ≡ 0.
Остается рассмотреть несколько случаев. Если между числами Re λ1,2 нет нетривиальных резонансов (1.36) порядков |s| ≤ N (k), то, очевидно, (2.8). Если λ1,2 вещественные и λ1 = pλ2 для некоторого 2 ≤ p ≤ N (k), то (2.9). Если λ1,2 вещественные и λ1 = λ2
или λ1,2 — комплексно сопряженные, то имеют место два нетривиальных резонанса
(1.36) первого порядка, и функции
vb = a1 (ζ)ξ + a2 (ζ)η,
w
b = b1 (ζ)ξ + b2 (ζ)η.
Задача о дальнейшем упрощении поля ξ˙ = vb, η̇ = w,
b ζ̇j = 0 сводится в этом случае к
задаче о нормальной форме матриц, зависящих от параметров ζ. Нетрудно показать,
что для матрицы второго порядка с помощью гладкой замены ξ → c1 (ζ)ξ + c2 (ζ)η,
η → e1 (ζ)ξ+e2 (ζ)η можно получить (2.9) в случае вещественных λ1,2 (жорданова клетка)
и (2.10) в случае комплексных λ1,2 .
2.2
Бесконечно-гладкая и аналитическая эквивалентность
Очевидно, что возможность приведения поля (2.1) к виду (2.7), содержащему n − 2 тривиальных уравнений ζ̇j = 0, с помощью C ∞ -гладкого или аналитического диффеоморфизма означает существование n−2 независимых первых интегралов соответствующего
класса (C ∞ -гладких или аналитических). Под независимыми первыми интегралами (и
вообще, функциями) мы будем иметь в виду такие первые интегралы (функции), дифференциалы которых в рассматриваемой точке линейно независимы. Очевидно, что
n − 2 – это максимальное число независимых первых интегралов, которые может иметь
росток поля (2.1) со спектром (2.2). Действительно, каждый первый интеграл из числа
независимых дает одно нулевое собственное число в спектре, а в рассматриваемом нами
случае число нулей равно n − 2.
Для того, чтобы лучше понять условия существования набора n − 2 независимых
первых интегралов, обозначим через LV производную по направлению поля (2.1) и
докажем следующую лемму, являющуюся аналогом лемм 1.1 и 1.2 из предыдущего
раздела.
Лемма 2.1. Если набор (λ1 , λ2 ) не имеет нетривиальных резонансов (2.6) порядков
|s| ≤ N , то существует набор C ∞ -гладких независимых функций U (j) , j = 1, . . . , n − 2,
таких, что производные LV U (j) , j = 1, . . . , n − 2, являются N -плоскими по гиперболическим переменным x, y в нуле.
Доказательство. Запишем росток поля (2.1) с идеалом I = hv, wi = hx, yi и центральным многообразием W c : x = y = 0 в виде
¯
µ ¶
µ ¶
¯
∂(v,
w)
ẋ
x
¯ ,
= A(z)
+ · · · , A(z) :=
ẏ
y
∂(x, y) ¯W c
(2.11)
(j)
(j)
żj = a (z)x + b (z)y + · · · , j = 1, . . . , n − 2,
где a(j) (0) = b(j) (0) = 0, многоточие означает члены, 1-плоские по x, y в нуле. Из форму(j)
(j)
лы (2.11) с учетом |A(0)| =
6 0, следует, что Ux (0) = Uy (0) = 0, и условие независимости
27
дифференциалов функций U (j) , j = 1, . . . , n − 2, принимает вид
¢¯
¯ ¡ (1)
¯ ∂ U , . . . , U (n−2) ¯
¯
¯
¯ ∂(z1 , . . . , zn−2 ) ¯ 6= 0.
(2.12)
Мы приведем доказательство для случая, когда собственные числа λ1,2 вещественные (случай, когда λ1,2 комплексные, рассматриваются аналогично с помощью тех же
соображений, что и в лемме 1.2). В этом случае матрицу A(z) с помощью замены вида
x → c1 (z)x + c2 (z)y, y → e1 (z)x + e2 (z)y можно привести к форме
λ1 (z) ε(z)
,
A(z) =
0
λ2 (z)
причем ε(z) ≡ 0, если λ1 6= λ2 .
Сначала мы установим существование хотя бы одной функции U с ненулевой линейной частью, такой, что производная LV U является N -плоской по переменным x, y
в нуле. Очевидно, что этим свойством обладает N -струя функции U по переменным
x, y, поэтому без ограничения общности ограничимся функциями U , являющимися полиномами степени N по переменным x, y, коэффициенты которых гладко зависят от z.
Такие функции будем представлять в виде сумм однородных полиномов от x, y:
U=
N
X
Ur ,
где Ur =
r=0
X
us1 s2 (z)xs1 y s2 , |s| = s1 + s2 .
(2.13)
|s|=r
Тогда
LV Ur = Qr + · · · · · · · · · , где
|{z} |
{z
}
deg=r
deg>r
Qr =
X¡
¢
s1 λ1 (z) + s2 λ2 (z) us1 s2 (z)xs1 y s2 + s1 ε(z)us1 s2 (z)xs1 −1 y s2 +1 ,
|s|=r
причем Qr ≡ 0 при r = 0.
Пусть R – кольцо ростков гладких функций от z в нуле и Hr – модуль над R,
порожденный мономами xs1 y s2 , |s| = r. Соответствие Ur → Qr является гомоморфизмом
модуля Hr . Существование функции U с требуемым свойством будет доказано, если
мы установим, что гомологическое уравнение Qr = ωr с произвольной правой частью
ωr ∈ Hr относительно неизвестных us1 s2 (z), |s| = r, разрешимо при всех r = 1, . . . , N .
Для этого достаточно упорядочить неизвестные us1 s2 (z) лексикографическим способом:
получающаяся при этом матрица линейной системы порядка r+1 является треугольной,
причем все ее диагональные элементы
s1 λ1 (z) + s2 λ2 (z), |s| = r,
(2.14)
не обращаются в нуль в некоторой окрестности точки z = 0, так как функции λ1,2 (z)
непрерывны и, согласно условию, s1 λ1 (0) + s2 λ2 (0) 6= 0 при всех 1 ≤ |s| ≤ N . Тем
самым, гомологическое уравнение Qr = ωr с любой правой частью ωr ∈ Hr разрешимо
в некоторой окрестности точки z = 0 (заодно мы доказали, что Ur → Qr является
изоморфизмом модуля Hr ).
28
Лемма будет доказана, если мы установим существование функций U (j) , j = 1, . . . , n−
2, обладающих данным свойством и удовлетворяющих условию (2.12). В определении
функций Qr не присутствует коэффициент us1 s2 (z) с s1 = s2 = 0, который, следователь(j)
но, можно выбирать произвольно. Выбирая n − 2 функций u00 (z) с независимыми дифференциалами в нуле, мы и получаем требуемый набор функций U (j) , j = 1, . . . , n − 2.
Лемма 2.1 может быть распространена и на случай N = ∞. В этом случае мы имеем
дело уже не с полиномом, а с бесконечным рядом (2.13). Проблемы со сходимостью
ряда здесь не возникает: как следует из леммы Бореля–Уитни, для любой последовательности коэффициентов us1 s2 (z) ряда (2.13) найдется C ∞ -гладкая функция U (x, y, z),
ряд Тейлора которой по переменным x, y в нуле совпадает с данным рядом. Однако
проблема возникает, когда мы хотим установить существование набора n − 2 независимых первых интегралов. Принципиальное отличие между первыми интегралами и
функциями U (j) из леммы 2.1 состоит в том, что в случае интегралов гомологические
уравнения Qr = ωr должны быть выполнены в некоторой окрестности точки z = 0,
общей для всех r ≥ 1. Как мы отмечали при доказательстве леммы 2.1, для каждого
натурального r существует окрестность Or , в которой все элементы (2.14) не обращаются в нуль, и следовательно, уравнение Qr = ωr разрешимо. Но эти окрестности Or
могут стягиваться к нулю при r → ∞, так что их бесконечное пересечение состоит из
одной единственной точки. В этом случае нобор n − 2 первых интегралов с требуемыми
свойствами не существует.
Тем самым, мы установили необходимое условие существования набора n − 2 независимых первых интегралов:
s1 λ1 (z) + s2 λ2 (z) 6= 0, ∀ |s| ≥ 2, ∀z ∈ (Rn−2 , 0).
(2.15)
Конечно, говоря о необходимости условия (2.15), мы имеем в виду не индивидуальные
векторные поля, а весь класс полей рассматриваемого вида. Не составляет труда привести индивидуальные «контрпримеры» к утверждению о необходимости – примеры полей (2.1), не только не удовлетворяющих условию (2.15), но и имеющих нетривиальные
резонансы (2.6) в самой точке 0, которые тем не менее имеют наборы n− 2 независимых
первых интегралов. Однако все такие примеры в определенном смысле «нетипичны» –
с помощью сколь угодно малого возмущения поля можно добиться того, чтобы набор
n − 2 независимых первых интегралов перестал существовать (пример 2.2). Именно в
этом смысле мы и говорим о «необходимости» условия (2.15).
Пример 2.2. Векторное поле
ẋ = x, ẏ = −y, żj = 0, j = 1, . . . , n − 2,
имеет резонанс λ1 (z) + λ2 (z) = 0 во всех особых точках z, но имеет также и набор n − 2
независимых первых интегралов: U (j) = zj . Нетрудно проверить, что «возмущенное»
поле, в котором одна компонента żj = 0 заменена на żj = εxy с любым ε 6= 0 имеет
только n − 3 независимых первых интегралов. Для доказательства этого достаточно
попытаться найти набор независимых функций U (j) , j = 1, . . . , n − 2, о которых идет
речь в лемме 2.1, в виде (2.13). Простое вычисление показывает, что существуют лишь
n − 3 такие функции с независисмыми дифференциалами.
29
Предложение 2.4. Если пара ненулевых собственных чисел λ1,2 принадлежит области Пуанкаре, то условие (2.15) выполнено. Если пара λ1,2 принадлежит области
Зигеля, то условие (2.15) выполняется крайне редко – если и только если отношение
функций λ1,2 (z) постоянно:
λ1 (z) : λ2 (z) ≡ const, ∀z ∈ (Rn−2 , 0),
(2.16)
с иррациональной константой.
Доказательство. Первое утверждение (об области Пуанкаре) совершенно очевидно,
в частности, оно следует из предложения 1.2 предыдущего раздела.
Второе утверждение (об области Зигеля) тоже проверяется тривиально. Прежде всего нужно заметить, что отсутствие резонансов s1 λ1 (z) + s2 λ2 (z) = 0 в фиксированной
точке z ∈ W c равносильно тому, что отношение λ1 (z) : λ2 (z) – иррациональное число.
Если условие (2.16) не выполнено, то в любой сколь угодно малой ε-окрестности нуля
найдется такая точка zε ∈ W c , для которой значение λ1 (zε ) : λ2 (zε ) рационально, т.е.
равно −qε : pε с некоторыми pε , qε ∈ N. Очевидно, в этой точке имеет место резонанс
pε λ1 (z) + qε λ2 (z) = 0.
Выведенное нами «необходимое» условие (2.15) является и достаточным для существования набора n − 2 C ∞ -гладких независимых первых интегралов. Доказательство
достаточности более сложно, и мы его не приводим, отсылая читателя к работе [10].
Теорема 2.3 (Руссари). Если пара ненулевых собственных чисел λ1,2 (z) удовлетворяет условию нерезонансности (2.15) в некоторой окрестности нуля, то в теореме 2.2 имеет место не только конечно-гладкая, но и C ∞ -гладкая эквивалентность.
Рассмотрим вопрос об аналитической эквивалентности ростков полей (2.1), которые при этом, естественно, предполагаются аналитическими. Очевидно, что условие
нерезонансности (2.15) является «необходимым» (в указанном выше смыле) и для аналитической эквивалентности. Здесь, как и в предыдущем разделе, существенную роль
играет то, принадлежит ли пара ненулевых собственных чисел λ1,2 области Пуанкаре
или области Зигеля.
Теорема 2.4 (Воронин). Если пара ненулевых собственных чисел λ1,2 принадлежит области Пуанкаре, то условие нерезонансности (2.15) выполнено, и в теореме 2.2 имеет место аналитическая эквивалентность.
Теорема 2.5 (Воронин). Если выполнено условие (2.16) с диофантовой константой, то условие нерезонансности (2.15) выполнено, и росток поля (2.1) аналитически
эквивалентен
ξ˙ = λ1 (ζ)ξ, η̇ = λ2 (ζ)η, ζ̇j = 0, j = 1, . . . , n − 2.
(2.17)
Следующий раздел целиком посвящен случаю, когда отношение λ1 : λ2 – отрицательное рациональное число, т.е. имеет место резонанс (2.6) порядка ≥ 2.
2.3
Резонанс в области Зигеля
Пусть между вещественными собственными значениями λ1,2 имеет место резонанс
µλ1 + νλ2 = 0,
µ, ν ≥ 1,
30
µ + ν ≥ 2,
(2.18)
где натуральные числа µ и ν взаимно простые. Без ограничени общности будем предполагать далее, что µ ≥ ν. Теорема 2.2 утверждает, что если для натурального k выполнено неравенство
h
µi
µ + ν > 2 (2k + 1) + 2,
(2.19)
ν
то росток поля (2.1) приводится к нормальной форме (2.17) с помощью C k -гладкого
диффеоморфизма. Грубо говоря, неравенство (2.19) справедливо, если числа µ и ν достаточно большие, но их отношение µν невелико. Но во многих случаях (2.19) не имеет
места даже для наименьшей гладкости k = 1 (например, в случае очень важного для
приложений резонанса λ1 + λ2 = 0). Поэтому сейчас мы будем исследовать резонанс
(2.18) не предполагая выполнения этого неравенства.
Так как при наличии резонанса (2.18) условие леммы 2.1 не выполнено, мы уже не
можем ожидать сущестование n − 2 независимых первых интегралов. Однако нет оснований полагать, что не может быть меньшего набора независимых первых интегралов.
Далее мы покажем, что при выполнений некоторых условий общности росток поля (2.1)
с резонансом (2.18) обладает набором n − 3 независимых первых интегралов.
Лемма 2.2. Для любого k ∈ N росток поля (2.1) с резонансом (2.18) C k -гладко
эквивалентен ростку
(
ξ˙ = ξ(λ1 + Φ1 (ρ, ζ)), η̇ = η(λ2 + Φ2 (ρ, ζ)),
(2.20)
ζ̇j = ρΨj (ρ, ζ), j = 1, . . . , n − 2,
где ρ = ξ µ η ν – резонансный моном, Φ1,2 (ρ, ζ) и Ψj (ρ, ζ) – многочлены по переменной
ρ степеней N1 = [(N (k) − 1)/(µ + ν)] + 1 и N2 = [N (k)/(µ + ν)] + 1 соответственно,
коэффициенты которых гладко зависят от переменной ζ, причем Φ1,2 (0, 0) = 0.
Доказательство. Это утверждение – тривиальное следствие теоремы 1.10. Применение этой теоремы дает нормальную форму
N1
N1
X
X
r
˙
ξ=ξ
ϕ1,r (ζ)ρ , η̇ = η
ϕ2,r (ζ)ρr ,
r=0
r=0
(2.21)
N
2
X
ζ̇j =
ψj,r (z)ρr , j = 1, . . . , n − 2,
r=0
Здесь последние n − 2 уравнений содержат мономы ρr , соответствующие резонансу
(2.18), а два первых уравнения содержат мономы ξρr и ηρr , соответствующие двум
бесконечным сериям резонансов
λ1 = (rµ + 1)λ1 + rνλ2 ,
λ2 = rµλ1 + (rν + 1)λ2 ,
r = 0, 1, 2, . . . ,
порожденных резонансом (2.18). Правые части двух первых уравнений (2.21) имеют
ненулевые линейные части ϕ1,0 (0)ξ = λ1 ξ и ϕ2,0 (0)η = λ2 η, соответственно. Поэтому
они являются образующими идеала I = hξ, ηi, который содержит правые части всех
уравнений системы (2.21). Отсюда следует, что правые части последних n−2 уравнений
обращаются в нуль на центральном многообразии W c = {ξ = η = 0}, т.е. ψj,0 (z) ≡ 0
для всех j = 1, . . . , n − 2. Вынося в правых частях этих уравнений общий сомножитель
ρ за знак суммы, после очевидных переобозначений мы приходим к формуле (2.20).
Первое условие общности положения, которое мы накладываем на поле (2.1), состоит
в том, что в формуле (2.20) хотя бы одна из функций Ψj (ρ, ζ), j = 1, . . . , n − 2, не
31
обращается в нуль. Очевидно, без ограничения общности всегда можно считать, что
это – функция Ψ1 (ρ, ζ). Далее мы всегда будем считать это условие выполненным.
Лемма 2.3. Предположим, что в формуле (2.20) выполнено условие Ψ1 (0, 0) 6= 0.
Тогда для любого набора чисел ω1 , . . . , ωn−2 ∈ R росток поля (2.20) имеет C ∞ -гладкий
первый интеграл U (ρ, ζ), удовлетворяющий уравнению
Φ(ρ, ζ)
∂U
∂U
∂U
+ Ψ1 (ρ, ζ)
+ · · · + Ψn−2 (ρ, ζ)
=0
∂ρ
∂ζ1
∂ζn−2
(2.22)
и начальным условиям
U (0, 0) = 0,
∂U
∂U
(0, 0) = ω2 , . . . ,
(0, 0) = ωn−2 ,
∂ζ2
∂ζn−2
∂U
= ω1 ,
∂ρ
(2.23)
где функция
Φ(ρ, ζ) := µΦ1 (ρ, ζ) + νΦ2 (ρ, ζ).
(2.24)
˙ ν + νξ µ η ν−1 η̇ выражения для
Доказательство. Подставив в выражение ρ̇ = µξ µ−1 ξη
˙ξ и η̇ из (2.20), с учетом (2.18) и (2.24) получаем
ρ̇ = µρ(λ1 + Φ1 (ρ, ζ)) + νρ(λ2 + Φ2 (ρ, ζ)) = ρΦ(ρ, ζ).
Таким образом, для переменых ρ, ζ мы получаем систему уравнений
ρ̇ = ρΦ(ρ, ζ),
ζ̇j = ρΨj (ρ, ζ),
j = 1, . . . , n − 2.
(2.25)
Все компоненты поля (2.25) содержат общий сомножитель ρ, разделив на который, мы
получаем поле
ρ̇ = Φ(ρ, ζ), ζ̇j = Ψj (ρ, ζ), j = 1, . . . , n − 2,
(2.26)
каждая интегральная кривая которого является интегральной кривой поля (2.25).
Очевидно, что любой первый интеграл поля (2.26) является первым интегралом поля
(2.25). Поле (2.26) не обращается в нуль в начале координат, так как по крайней мере
одна его компонента не обращается в нуль: Ψ1 (0, 0) 6= 0. Следовательно, поле (2.26)
имеет n − 1 независимых первых интегралов Uj (ρ, ζ), j = 1, . . . , n − 1, удовлетворяющих
уравнению (2.22). Для этого уравнения рассмотрим задачу Коши с начальным условием
¯
U (ρ, ζ)¯Γ = Ω,
где Γ – гладкая гиперповерхность в пространстве (ρ, ζ) и Ω – гладкая функция, заданная
на Γ. Если Γ трансверсальна характеристическому направлению уравнения (2.22), то
задача Коши имеет единственное решение [2, 3].
В силу условия Ψ1 (0, 0) 6= 0 гиперплоскость Γ, заданная равенством ζ1 = 0, трансверсальна направлению поля (2.26) – характеристическому направлению уравнения (2.22),
поэтому для любой гладкой функцией Ω(ρ, ζ2 , . . . , ζn−2 ) задача Коши с начальным условием
U (ρ, 0, ζ2 , . . . , ζn−2 ) = Ω(ρ, ζ2 , . . . , ζn−2 )
имеет единственное решение, которое является интегралом поля (2.26) и, следовательно, первым интегралом векторного поля (2.25). Для выполнения условия (2.23) остается
только выбрать начальную функцию Ω(ρ, ζ2 , . . . , ζn−2 ), удовлетворяющую условию
Ω(0, 0) = 0,
∂Ω
(0, 0) = ω1 ,
∂ρ
∂Ω
(0, 0) = ω2 ,
∂ζ2
32
...,
∂Ω
(0, 0) = ωn−2 ,
∂ζn−2
где числа ω1 , . . . , ωn−2 взяты из (2.23).
Следствие. Для любого k ∈ N росток поля (2.1), удовлетворяющий указанным
выше условиям, C k -гладко эквивалентен ростку
˙
ξ = ξ(λ1 +Φ1 (ρ, ζ)), η̇ = η(λ2 + Φ2 (ρ, ζ)),
(2.27)
ζ̇1 = ρΨ1 (ρ, ζ),
ζ̇j = 0, j = 2, . . . , n − 2,
где Φ1,2 (ρ, ζ) и Ψ1 (ρ, ζ) – гладкие функции от ρ, ζ, причем Φ1,2 (0, 0) = 0 и Ψ1 (0, 0) 6= 0.
Доказательство. Выберем n − 3 набора (ω1 , . . . , ωn−2 ) ∈ Rn−2 таким образом, чтобы
векторы (ω2 , . . . , ωn−2 ) ∈ Rn−3 были линейно независимы. Тогда по лемме 2.3, существуют n − 3 независимых гладких первых интеграла U (2) (ρ, ζ), . . . , U (n−2) (ρ, ζ) поля (2.20),
удовлетворяющих условию (2.23). Замена переменных ζj 7→ U (j) (ρ, ζ), j = 2, . . . , n − 2,
превращает поле (2.20) в (2.27).
Замечание 2.1. В формуле (2.27), в отличие от (2.20), функции Φ1,2 (ρ, ζ) и Ψ1 (ρ, ζ)
уже не являются полиномами по переменной ρ.
Замечание 2.2. При доказательстве формулы (2.27) мы использовали не все независимые первые интегралы U (ρ, ζ), удовлетворяющие (2.22) и (2.23). Неиспользованным
остался интеграл с ω1 = 1, ω2 = . . . = ωn−2 = 0. Очевидно, что с помощью этого интеграла нельзя получить еще одно тривиальное уравнение вида ζ̇j = 0, однако он может
сослужить нам службу при дальнейшем исследовании поля (2.27). Этим мы сейчас и
займемся.
Рассмотрим ограничение функции Φ(ρ, ζ), определенной формулой (2.24), на центральное многообразие W c = {ξ = η = 0}, состоящее из особых точек поля. Полученная
таким образом функция Φ(0, ζ) переменной ζ ∈ W c обращается в нуль в тех и только
тех особых точках поля (2.1), в которых имеет место резонанс (2.18). Как может быть
устроено резонансное множество R ⊂ W c , состоящее из нулей функции Φ(0, ζ)?
В случае общего положения функция Φ(0, ζ) имеет в начале координат ненулевой
дифференциал, и резонансное множество R – гладкое подмногобразие коразмерности 1
центрального многобразия W c . В частности, при n = 3 центральное многобразие W c –
кривая в трехмерном фазовом пространстве, и в окрестности начала координат нет
других особых точек поля с резонансом (2.18), кроме самого начала координат. Это
первый случай, который мы будем далее исследовать (при некотором дополнительном
предположении).
Если функция Φ(0, ζ) имеет в начале координат нулевой дифференциал, резонансное множество R может быть устроено гораздо сложнее. Для наших приложений нам
важно рассмотреть случай, когда Φ(0, ζ) ≡ 0, т.е. R = W c (во всех без исключения особых точках поля имеет место резонанс (2.18)). Это второй случай, который мы будем
исследовать.
Теорема 2.6. Предположим, что росток поля (2.1) имеет в начале координат
особую точку с резонансом (2.18) и удовлетворяет условиям:
1. Ψ1 (0, 0) 6= 0,
∂Φ
2.1.
(0, 0) 6= 0 или 2.2. Φ(0, ζ) ≡ 0.
∂ζ1
33
Тогда для любого k ∈ N этот росток C k -гладко эквивалентен ростку поля
˙
e
e
ξ = ξ(λ1 +Φ1 (ρ, ζ)), η̇ = η(λ2 + Φ2 (ρ, ζ)),
e 1 (ρ, ζ),
ζ̇1 = ρΨ
ζ̇j = 0, j = 2, . . . , n − 2,
(2.28)
e 1,2 (ρ, ζ) и Ψ
e 1 (ρ, ζ) – гладкие функции от ρ, ζ, причем Φ
e 1,2 (0, 0) = 0 и Ψ
e 1 (0, 0) 6= 0,
где Φ
имеющему первый интеграл
ρ + ζ 2 , если ∂Φ (0, 0) 6= 0,
1
∂ζ1
(2.29)
U=
ρ, если Φ(0, ζ) ≡ 0,
при этом во втором случае выполнено тождество
e ζ) := µΦ
e 1 (ρ, ζ) + ν Φ
e 2 (ρ, ζ) ≡ 0.
Φ(ρ,
(2.30)
invariant cylinders and planes
invariant cone
Рис. 6. Иллюстрация к теореме 2.6 при µ = ν = 1.
Доказательство. Согласно следствию из леммы 2.3, достаточно доказать теорему
для поля (2.27), т.е. установить существование таких локальных координат (переход
к которым осуществляется с помощью C k -гладкого диффеоморфизма), в которых поле (2.27) имеет аналогичный вид (вообще говоря, с некоторыми новыми функциями
e 1,2 (ρ, ζ) и Ψ
e 1 (ρ, ζ)) и имеет первый интеграл U указанного вида.
Φ
Мы найдет такие координаты, снова воспользовавшись леммой 2.3 и выбрав первый
интеграл U (ρ, ζ) удовлетворяющий уравнению (2.22) и начальным условиям (2.23) с
числами
ω1 = 1, ω2 = 0, . . . , ωn−2 = 0,
который мы не использовали при выводе формулы (2.27). Уравнение (2.22) в этом случае принимает вид
∂U
∂U
(ρ, ζ)Φ(ρ, ζ) +
(ρ, ζ)Ψ1 (ρ, ζ) = 0.
(2.31)
∂ρ
∂ζ1
Равенство (2.31) выполнено во всех точках фазового пространства, и в частности,
в точках резонансного множества R. Рассмотрим ограничение равенства (2.31) на R.
Для этого нужно подставить значение ρ = 0 и заменить функцию Φ(ρ, ζ) нулем. Так
как Ψ1 (0, 0) 6= 0, полученное в результате этих действий тождество равносильно
∂U
(0, ζ) = 0 ∀ζ ∈ R.
∂ζ1
34
(2.32)
I. Пусть выполнены условия 1 и 2.1. Дифференцируя тождество (2.31) по ζ1 и
∂U
затем подставляя значения ρ = 0 и ζ = 0, с учетом Φ(0, 0) = ∂ζ
(0, 0) = 0 и ∂U
(0, 0) = 1
∂ρ
1
получаем равенство
∂Φ
∂ 2U
(0, 0) +
(0, 0)Ψ1 (0, 0) = 0,
∂ζ1
∂ζ12
откуда в силу
∂Φ
(0, 0)
∂ζ1
6= 0 получаем
∂ 2U
(0, 0) 6= 0.
∂ζ12
Резонансное множество R ⊂ W c , заданное уравнением Φ(0, ζ) = 0, представляет
собой гладкую гиперповерхность в W c , и в силу условия 2.1 существует гладкая замена
ζ1 → ζ10 (ζ), после которой R становится гиперплоскостью ζ10 = 0. Будем считать, что
такая замена уже сделана, т.е. что резонансное множество R имеет уравнение ζ1 = 0.
Введем обозначение ζ = (ζ2 , . . . , ζn−2 ), тогда ζ = (ζ1 , ζ) и тождество (2.32) принимает
вид
∂U
(0, 0, ζ) = 0 ∀ζ ∈ (Rn−3 , 0).
(2.33)
∂ζ1
Используя лемму Адамара, функцию U (ρ, ζ) можно представить в виде
(2.34)
U (ρ, ζ) = ρu(ρ, ζ) + ζ1 v(ρ, ζ) + w(ζ)
с некоторыми гладкими u, v, w. Так как U является первым интегралом поля (2.27),
в котором ζ̇j = 0 при всех j = 2, . . . , n − 2, то U останется первым интегралом, если
к нему прибавить любую функцию от переменных ζ = (ζ2 , . . . , ζn−2 ). В частности, в
представлении (2.34) можно положить w(ζ) ≡ 0.
Дифференцируя равенство (2.34) по ζ1 и затем подставляя ρ = 0 и ζ1 = 0, в силу
(2.33) получаем, что v(0, 0, ζ) ≡ 0. Из этого следует, что функция v(ρ, ζ) представима в
виде v(ρ, ζ) = ρv1 (ρ, ζ) + ζ1 v2 (ρ, ζ). Подставляя последнее выражение в (2.34) с w(ζ) ≡ 0,
получаем представление
U (ρ, ζ) = ρu(ρ, ζ) + ζ1 (ρv1 (ρ, ζ) + ζ1 v2 (ρ, ζ)) = ρf (ρ, ζ) + ζ12 v2 (ρ, ζ),
(2.35)
2
где f (ρ, ζ) = u(ρ, ζ) + ζ1 v1 (ρ, ζ). Из условий ∂U
(0, 0) = 1 и ∂∂ζU2 (0, 0) 6= 0 следует, что
∂ρ
1
f (0, 0) = 1 и v2 (0, 0) 6= 0. Замена переменных
p
p
η → η ν f (ρ, ζ), ζ1 → ζ1 |v2 (ρ, ζ)|
переводит интеграл (2.35) в интеграл ρ + ζ12 или ρ − ζ12 в зависимости от знака v2 (0, 0).
Очевидно, что поле (2.27) при такой замене переходит в поле такого же вида.
Для завершения доказательства остается заметить, что интегралы ρ + ζ12 и ρ − ζ12
эквивалентны. Действительно, так как числа µ и ν взаимно простые, то по крайней
мере одно из них нечетное. Пусть это будет число µ, тогда замена ξ → −ξ превращает
ρ − ζ12 в −(ρ + ζ12 ). Умножая последний интеграл на −1, получаем интеграл ρ + ζ12 . Если
нечетным является число ν, рассуждение совершенно аналогично.
II. Пусть выполнены условия 1 и 2.2. В этом случае резонансное множество R
совпадает со всем центральным многообразием W c , и тождество (2.32) принимает вид
∂U
(0, ζ) = 0 ∀ζ ∈ W c .
∂ζ1
35
(2.36)
Используя лемму Адамара, представим функцию U (ρ, ζ) в виде
U (ρ, ζ) = ρu(ρ, ζ) + w(ζ)
с гладкими u, w. Дифференцируя это равенство по ζ1 и затем подставляя ρ = 0, из
∂w
(2.36) получаем, что ∂ζ
(ζ) ≡ 0, т.е. функция w(ζ) зависит только от ζ = (ζ2 , . . . , ζn−2 ).
1
Используя то же рассуждение, что и в предыдущем случае, можно считать w(ζ) ≡ 0,
(0, 0) = 1 следует, что u(0, 0) = 1.
т.е. U (ρ, ζ) = ρu(ρ, ζ), причем из условия ∂U
∂ρ
Таким образом, замена переменной
p
η → η ν u(ρ, ζ)
переводит интеграл U (ρ, ζ) = ρu(ρ, ζ) в ρ, причем поле (2.27) переходит в поле такого
же вида.
Докажем покажем, что в новых локальных координатах (в которых поле имеет вид
(2.28) с первым интегралом U = ρ) имеет место тождество (2.30). Это очевидным обра˙ ν + νξ µ η ν−1 η̇ ≡ 0. Подставляя в него выражения
зом следует из тождества ρ̇ = µξ µ−1 ξη
ξ˙ и η̇ из (2.28), с учетом резонансного соотношения (2.18) получаем тождество
e 1 (ρ, ζ)) + νρ(λ2 + Φ
e 2 (ρ, ζ)) = ρ(µΦ
e 1 (ρ, ζ) + ν Φ
e 2 (ρ, ζ)) = ρΦ(ρ,
e ζ) ≡ 0,
µρ(λ1 + Φ
e ζ) ≡ 0.
из которого следует Φ(ρ,
Замечание 2.3. Если в теореме 2.6 выполнены условия 1 и 2.2, то имеет место
не только конечно-гладкая, но и C ∞ -гладкая эквивалентность. Если же выполнены
условия 1 и 2.1, то C ∞ -гладкая эквивалентность, вообще говоря, не имеет места.
2.4
Орбитальная эквивалентность
Далее нам понадобится расширить понятие эквивалентности векторных полей – ввести
так называемую «орбитальную» эквивалентность.
Обычно под топологической (C k -гладкой или аналитической) орбитальной эквивалентностью двух векторных полей подразумевают существование гомеоморфизма (соответственно, C k -гладкого или аналитического диффеоморфизма) фазового пространства, переводящего интегральные кривые первого поля в интегральные кривые второго
поля с сохранением направления движения по ним. Очевидно, что понятие орбитальной эквивалентности более слабое, чем понятие соответствующей эквивалентности без
слова «орбитальная», так как требуется не сопряжение фазовых потоков (однопараметрических групп диффеоморфизмов) полей, а сопряжение их орбит (интегральных
кривых) с сохранением не параметризации, заданной потоками, а только ориентации.
Здесь мы еще больше ослабим понятие орбитальной эквивалентности.
Определение. Топологической (C k -гладкой или аналитической) орбитальной эквивалентностью двух векторных полей мы будем называть существование гомеоморфизма (соответственно, C k -гладкого или аналитического диффеоморфизма) фазового
пространства, переводящего интегральные кривые первого поля в интегральные кривые второго поля даже без сохранения направления движения.
Данное определение более геометрично и больше соответствует нашим приложениям. В этих приложениях мы будем иметь дело не с самими векторными полями, а с
36
полями направлений (другими словами, одномерными распределениями). Векторные
поля являются лишь удобным средством для задания полей направлений, подобно тому, как прямую можно задать одним ненулевым вектором – базисом на этой прямой.
Поэтому нас будет интересовать эквивалентность именно полей направлений, не предполагающая ни параметризации, ни даже ориентации интегральных кривых. Данное
нами определение служит как раз этой цели: векторные поля орбитально эквивалентны, если и только если эквивалентны соответствующие им поля направлений.
Теорема 2.7. Предположим, что росток поля (2.1) имеет в начале координат
особую точку с резонансом (2.18) и удовлетворяет условиям 1 и 2.2 из теоремы 2.6.
Тогда для любого k ∈ N этот росток C k -гладко орбитально эквивалентен
(
ξ˙ = νξ, η̇ = −µη, ζ̇1 = ρ,
(2.37)
ζ̇j = 0, j = 2, . . . , n − 2.
Доказательство. Перепишем первые два уравнения нормальной формы (2.28) в
эквивалентном виде
b 1 (ρ, ζ)),
ξ˙ = νξ(α + Φ
b 2 (ρ, ζ))
η̇ = −µη(α + Φ
b1 = Φ
e 1 , µΦ
b 2 = −Φ
e 1 . Из тождества (2.30) следует, что
с некоторым числом α 6= 0 и ν Φ
¡
¢
e1 = Φ
e 2 . Умножая поле (2.28) на скалярную функцию α + Φ
b 1 (ρ, ζ) −1 , которая в силу
Φ
b 1 (0, 0) = 0 не обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат,
условия Φ
мы получим поле
(
ξ˙ = νξ, η̇ = −µη, ζ̇1 = ρ q(ρ, ζ),
(2.38)
ζ̇j = 0, j = 2, . . . , n − 2,
¡
¢
e 1 (ρ, ζ)· α+ Φ
b 1 (ρ, ζ) −1 , имеющее те же интегральные кривые, что
с функцией q(ρ, ζ) = Ψ
и векторное поле (2.28). Теперь остается только найти такую замену негиперболической
переменной ζ1 → z1 , которая приводит уравнение ζ̇1 = ρ q(ρ, ζ) к простейшему виду
ż1 = ρ, не меняя всех остальных уравнений системы (2.38).
Такую замену будем искать в виде z1 = h(ρ, ζ) с неизвестной функцией h, удовле∂h
творяющей условиям h(0, 0) = 0 и ∂ζ
(0, 0) 6= 0. Вычисляя производную функции h в
1
силу системы (2.38) с учетом того, что ρ̇ = 0 (резонанасный моном ρ является первым
интегралом этой системы), получаем уравнение
∂h
ρq(ρ, ζ) = ρ,
∂ζ1
которому должна удовлетворять искомая функция h. Сокращая сомножитель ρ в обеих
частях, получаем линейное уравнение с частными производными первого порядка:
∂h
q(ρ, ζ) = 1,
∂ζ1
в котором коэффициент q(0, 0) 6= 0. Такое уравнение, очевидно, имеет локальное решение h(ρ, ζ), удовлетворяющее обоим дополнительным условиям. Это и дает искомую
замену ζ1 → z1 , которая приводит векторное поле (2.38) к виду (2.37).
Следующий пример показывает, что условие Ψ1 (0, 0) 6= 0 в теореме 2.7 действительно
существенно.
37
Пример 2.3. Рассмотрим векторное поле
ξ˙ = ξ(1 + Φ1 (ξη, ζ1 )),
η̇ = −η(1 + Φ1 (ξη, ζ1 )),
ζ̇1 = ξηΨ1 (ζ1 ),
(2.39)
где Ψ1 (0) = 0. Центральное многообразие поля (2.39) совпадает с осью ζ1 и целиком
состоит из особых точек, имеющих резонанс (2.18) с µ = ν = 1 и резонансным мономом
ρ = ξη. Условие Φ(0, ζ1 ) = Φ1 (0, ζ1 ) − Φ1 (0, ζ1 ) ≡ 0 выполнено, а Ψ1 (0, 0) 6= 0 – нет.
Покажем, что поле (2.39) не может быть C k -гладко орбитально эквивалентно нормальной форме (2.37) при k ≥ 2. Для этого заметим, что поле (2.39) имеет инвариантную плоскость ζ1 = 0. Если бы существовал C k -гладкий диффеоморфизм, осуществляющий орбитальную эквивалентность (2.37) и (2.39), то поле (2.37) имело бы инвариантную поверхность вида ζ1 = f (ξ, η) с некоторой C k -гладкой функцией f . Последнее
означает выполнение равенства
ξ
∂f
∂f
−η
− ξη = 0.
∂ξ
∂η
Подставляя в него выражение Тейлора для f , мы приходим к несовместной системе
уравнений на уровне 2-струи функции f . Следовательно, гладкая орбитальная эквивалентность полей (2.37) и (2.39) невозможна даже в классе C 2 .
Теорема 2.8 (Руссари). В теореме 2.7 имеет место C ∞ -гладкая орбитальная
эквивалентность.
Доказательство этого результата для частного случая µ = ν = 1 содержится в работе [10]. Техника, используемая в этой работе, может быть также использована для
доказательства аналогичного результата с произвольными µ и ν, однако, насколько мне
известно, такое доказательство нигде не опубликовано.
Замечание 2.4. В аналитическом случае теорема 2.7 не верна. Точнее говоря, в
аналитическом случае к правой части нормальной формы (2.37) добавляется функциональный модуль, см. [11, 12]. Это может быть объяснено с точки зрения общей теории,
построенной Брюно. Действительно, в нормальной форме (2.37) условие А не выполняется, так как третье уравнение имеет вид ζ̇1 = ρ, а не ζ̇1 = 0.
38
Список литературы
[1] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука, М., 1971.
[2] Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1978.
[3] Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.
[4] Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Совр. проблемы
матем. Фундамент. направления. Динамические системы, Т. 1. М.: ВИНИТИ, 1985.
[5] Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука,
1979.
[6] Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука:
Физматлит, 1998.
[7] Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002.
[8] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ,
1949.
[9] Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Наука. Физматлит, 1961.
[10] Roussarie R. Modèles locaux de champs et de formes. Asterisque (1975), vol. 30, p. 1–181
[11] Voronin S.M. The Darboux–Whitney Theorem and Related Questions. In: Nonlinear Stokes
Phenomenon (Yu. Ilyashenko, ed.). Adv. in Sov. Math., Providence, vol. 14, 1993, p. 139–233.
[12] Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами и ее приложения. Вестник
Челябинского гос. ун-та, сер. 3, (1999), том 2(5), с. 12–30.
39
