8 Лекция 4 (24 сентября 2002 года). Определение. А – непрерывно, если для x B1 Определение. А – ограничено, если C : x : Предложение. Пусть A : B1 Доказательство. Ax 1 ( x) : y x Ay Ax . x 1 имеем Ax C для линейного оператора. B2 - линейный оператор. А непрерывно А ограничено. А – непрерывно. Положим 1 . Отсюда существует : x Ax 1 x (т.к. A(x) A( x) ), если шар радиуса - он переводит во внутренность единичного шара. В силу линейности оценку достаточно получить на единичной сфере. Достаточно доказать непрерывность при х = 0 (это в силу линейности). если x 1 0 : c x c Ax C, : Ax (в силу линейности). Определение. Пусть Н – гильбертово пространство. F l ( H , C ) т.е. линейное отображение: H C , называется линейным непрерывным функционалом (ЛНФ). Задача. ЛНФ образует линейную структуру, т.к. если F1 , F2 Все аксиомы ЛП выполнены. До этого доказали, что ЛНФ = l ( H , C ) - банахово пространство. ЛНФ, то F1 F2 ,F1 ( C) тоже ЛНФ. Теорема (Рисса-Фреше). Любой ЛНФ в гильбертовом пространстве Н представим в виде F ( f ) ( f , h), h H при этом U : F h изоморфизм Н* на Н. Тем самым Н* и Н изоморфны. Доказательство. Рассмотрим N { y H | F ( y ) 0} ядро функционала F. Если N H F ( f ) 0 f ,0, h 0 (в этом случае теорема доказана). Если N H g N : F ( g ) 0 (в противном случае мы бы расширили ядро). Достаточно найти один элемент: F( f ) F( f ) f H , f f g g Т.е. т.к. это для f H , то Н разлагается в ортонормированную сумму N ( g ) F ( g ) F F ( f ) N и одномерного подпространства N получить, что F (h) {g}, C. Ищем h g , C : Мы должны, с одной стороны, h, h , а с другой стороны, F (h) F ( g ), g , g 2 F (g) . А отсюда F (g) 2 , т.к. . Получаем, что если выбрано так, что g , g f , h F ( f ), f N и f , h 0, f N F ( f ) ( f , h). (Далее для изоморфности). h 1 h, h h , т.е. F h достигается F sup f , h h , т.к. f , h f h . F f 1 h h U h при f , F H * h,U определён F H * и есть отображение на Н (т.к. f , h F ( f ) H * ) и h U это отображение сохраняет норму H * H изоморфизм. Нигде не используется ограниченность, кроме y N , yn y H ,0 F ( yn ) F ( y) 0 Н – замкнута, поэтому: H N N . того, что: 9 СОПРЯЖЁННЫЙ ОПЕРАТОР В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Пусть A l ( H , H ) . Определение. Оператор А* называется сопряжённым к А, если Теорема. A l ( H , H ) Ax, y x, A * y , x, y H . !A *. F ( x) Ax, y - это ЛНФ на Н (по х). Непрерывность вытекает из ограниченности. !h H : Ax, y x, h, x H . Положим A * y h. Это определение распространим для y H . (у был «заморожен»; «размораживаем» у и этим пользуемся). Тем самым имеем Ax, y x, A * y , x, y H . (сопряжённый определён однозначно). Доказательство. Фиксируем y H и рассмотрим: БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА Определение. Множество М в банаховом пространстве В называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре В, т.е. не существует 0, x0 B : M Bx0 , M (замыкание) не содержит шар внутренних точек. Теорема (Бэра о категориях). Полное метрическое (или банахово) пространство не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств. Доказательство. Пусть метрическое и банахово пространство X M n , M n нигде не плотное в Х. M 1 не n1 содержит внутренних точек x1 X , u1 0, т.ч. B[ x1 , 1 ] M 1 . Возьмём 1 1 . Далее 2ой шаг: центр рад. 1 M 2 нигде не плотно x2 B[ x1 , 1 ], 2 , можем взять таким – это возможно т.к. важно, чтобы радиусы 2 уменьшались M 2 B[ x2 , 2 ] ……………… Повторим процедуру. 1 M n нигде не плотно xn B[ xn1 , n1 ], n , т.ч. M n B[ xn , n ] . xn B[ xn0 , n0 ], n n0 . n Т.е. {xn } фундаментальная последовательность (по определению), т.е. x lim xn , x X , т.к. Х – полное. n Т.к. шары замкнуты, то x B n . С другой стороны, Bn1 M n M n X . n 1 Лемма. ограничен M1 Пусть А – линейный оператор из В1 в В2 (банаховы). Тогда А {x B1 | Ax 1} - прообраз единичного шара имеет внутренние точки (т.е. не может быть нигде не плотным). Доказательство. Если оператор ограничен, то он непрерывен, следовательно обязан быть внутренней точкой (из определения непрерывности). Пусть M1 B[ x0 , ]. Отсюда для всех х, т.ч. x , имеем: Ax A( x x0 ) Ax0 , в силу (1) линейности и свойств нормы. Но (1) аналогично, B[ x0 , ] M1 , A(1) 1, по определению М1. x0 M 1 , Ax0 1, Ax 1 1 2 Ax 2 1 x A ограничена.