Âîïðîñû ê ýêçàìåíó

Âîïðîñû ê ýêçàìåíó
1. Îïðåäåëåíèå òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (â òîì ÷èñëå: òî÷êè, îêðåñòíîñòè
òî÷êè, çàìûêàíèå ìíîæåñòâà, óòâåðæäåíèå î çàìûêàíèå ìíîæåñòâà). Áàçà òîïîëîãèè, ïðèìåðû.
2. Îïðåäåëåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, îïðåäåëåíèå ãîìåîìîðôèçìà.
3. Íåïðåðûâíûé îáðàç êîìïàêòà ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì. Äîêàçàòü.
4. Äèàìåòð ìíîæåñòâà, ε-ñåòü, âïîëíå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî.
5. Çàìûêàíèå âïîëíå îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà âïîëíå îãðàíè÷åíî. Äîêàçàòü.
6. Âñÿêîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ëþáîãî êîìïàêòà êîìïàêòíî. Äîêàçàòü. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîãî îòîáðàæåíèÿ.
7. Íåïðåðûâíîå è âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå êîìïàêòà ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì.
8. Îïðåäåëåíèå ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûõ è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé. Òåîðåìà ÀðöåëàÀñêîëè.
9. Ñåìåéñòâî ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûõ íà ïðîñòðàíñòâå C[a, b] ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì. Äîêàçàòü.
10. Ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ïðèìåðû ïîëíûõ è íåïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ
ïðîñòðàíñòâ.
11. X êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî âïîëíå îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî.
Äîêàçàòü.
12. Îïðåäåëåíèå ïðîñòðàíñòâ L2 , Lp , R2 [a, b] (ïðîñòðàíñòâî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé â êâàäðàòå, p-ñòåïåíè íà îòðåçêå [a, b] ïî Ëåáåãó è ïî Ðèìàíó ñîîòâåñòâåííî).
13. Òåîðåìà Õàóñäîðôà.
14. Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Áàçèñ Ãàìåëÿ, áàçèñ Ðèññà.
15. Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Ïðèìåðû.
16. Îïðåäåëåíèå ε-ïîêðûòèÿ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, ε-îòîáðàæåíèÿ, ε-ñäâèãà.
17. Êðèòåðèé êîìïàêòíîñòè â òåðìèíàõ ε-îòîáðàæåíèÿ.
18. Ïðèìåðû áàçèñà Ãàìåëÿ.
19. Îïðåäåëåíèå Ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû. Ñâÿçü íîðìû è ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ.
20. Àëãîðèòì ÁóáíîâàÃàëåðêèíà.
21. Êðèòåðèé êîíå÷íîìåðíîñòè áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà.
22. Îïðåäåëåíèÿ ñòðîãîé íîðìû, ñòðîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåðû
ñòðîãèõ è íåñòðîãèõ íîðì.
23. Ëþáîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñòðîãî íîðìèðîâàíî. Äîêàçàòü.
24. Êèðïè÷ Ãèëüáåðòà è åãî êîìïàêòíîñòü.
25. Îïðåäåëåíèå âñþäó ïëîòíîãî è íèãäå íåïëîòíîãî ìíîæåñòâà.
26. Òåîðåìà Áýðà, ìíîæåñòâà ïåðâîé è âòîðîé êàòåãîðèé.
27. Îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. ßäðî îïåðàòîðà.
28. Îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîãî îïåðàòîðà.
29. Îïåðàòîð íåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí íåïðåðûâåí â íóëå. Äîêàçàòü.
30. Îïðåäåëåíèå îãðàíè÷åííîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
31. Êðèòåðèé îãðàíè÷åííîñòè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
32. Îïðåäåëåíèå íîðìû îïåðàòîðà. Ñâîéñòâà íîðìû.
33. Ëèíåéíû îïåðàòîð íåïðåðûâåí òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îí îãðàíè÷åí. Äîêàçàòü.
34. Òåðåìà Áàíàõà (áåç äîêàçàòåëüñòâà).
35. Ëèíåéíîå áèåêòèâíîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå (îïåðàòîð) ÿâëÿåòñÿ ãîìåîìîðôèçìîì. Äîêàçàòü.
36. Ñâîéñòâà áèåêòèâíûõ íåïðåðûâíûõ (ëèíåéíûõ) îòîáðàæåíèé â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå.
37. Ýêâèâàëåíòíîñòü íîðì â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ñâîéñòâà íîðì â áàíàõîâîì
ïðîñòðàíñòâå.
38. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Äîêàçàòü. Îïðåäåëåíèå ãðàôèêà îïåðàòîðà.
39. Îïðåäåëåíèå çàìêíóòîãî îïåðàòîðà.
40. Òåîðåìà Áàíàõà î çàìêíóòîì îïåðàòîðå.
41. Òåîðåìà Áàíàõà Øòåéíãàóçà.
42. Ïîíÿòèå äîïîëíÿåìîñòè ïîäïðîñòðàíñòâà â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå.
43. Ïîíÿòèå ñîïðÿæåííîãî ïðîñòðàíñòâà. Òåîðåìà Õàíà Áàíàõà. Ïîíÿòèå äâîéñòâåííîãî áàçèñà è åãî ñâîéñòâà.
44. Äîïîëíÿåìîñòü êîíå÷íîìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå.
45. Ëþáîå çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà äîïîëíÿåìîå. Äîêàçàòü.
46. Ïðîáëåìà ïîëèíîìèàëüíîé àïïðîêñèìàöèè â ïðîñòðàíñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C[a, b].
47. Ïîíÿòèå ïðîåêòîðà. Ïðèìåðû.
48. Ïåðåñå÷åíèå ÿäðà ïðîåêòîðà è åãî îáëàñòè çíà÷åíèé ñîñòîèò èç íóëÿ. Äîêàçàòü.
49. Ñâîéñòâà ÿäåð ïðîåêòîðà.
50. Ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ïðîåêòîðîâ.
51. Âñÿêèé ïðîåêòîð ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà èìååò íîðìó ðàâíóþ åäèíèöå. Äîêàçàòü.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ýòî íåâåðíî. Ïðèâåñòè ïðèìåð.
52. Ïîíÿòèå îáðàòíîãî îïåðàòîðà ðåçîëüâåíòû, ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîáñòâåííîãî
çíà÷åíèÿ. Ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
53. Òåîðåìà ôîí Íåéìàíà (î ðÿäå Íåéìàíà).
54. Ìíîæåñòâî ðåãóëÿðíûõ çíà÷åíèé îãðàíè÷åííîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà îòêðûòî
â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äîêàçàòü.
55. Ñïåêòð ëèíåéíîãî îãðàíè÷åííîãî îïåðàòîðà, åãî ñâîéñòâà.
56. Îïðåäåëåíèå êîíå÷íîìåðíîãî îïåðàòîðà. Ïðèìåðû.
57. Ïîíÿòèå êîìïàêòíîãî (âïîëíå íåïðåðûâíîãî) ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
58. Ñâîéñòâà êîìïàêòíûõ îïåðàòîðîâ.
59. Ïðîèçâîäíàÿ Ôðåøå è ïðîèçâîäíàÿ Ãîòå.
60. Ìåòîä Íüþòîíà íàõîæäåíèÿ êîðíåé, ñâîéñòâà ìåòîäà, ïðèìåðû.
61. Òåîðåìà Áàíàõà î íåïîäâèæíîé òî÷êå.
62. Ïðîáëåìà òàáóëèðîâàíèÿ ôóíêöèé. 13-ÿ ïðîáëåìà Ãèëüáåðòà.
63. Òåîðåìà Ãèëüáåðòà î ñóùåñòâîâàíèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé m-ïåðåìåííûõ,
íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå êîìïîçèöèè àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé îò ìåíüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ. Ñëåäñòâèå ñëîæíîñòü àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ
÷èñëîì ïåðåìåííûõ.
64. Òåîðåìà Âèòóøêèíà.
65. Ïîíÿòèå òàáëèöû ôóíêöèè. Âîññòàíîâèìîñòü ôóíêöèè ñ òî÷íîñòüþ ε ïî ñâîåé
òàáëèöå. Øèôðóþùèé è ðàñøèôðîâûâàþùèé àëãîðèòìû.
66. Îáúåì òàáëèöû ôóíêöèè. Ïðèìåðû òàáëèö.
67. Ïîíÿòèå ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ àëãîðèòìà. Ïîíÿòèå íàñûùàåìîãî ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ, ïîãðåøíîñòü íàñûùåíèÿ, êîìïàêò íàñûùåíèÿ. Ïîïåðå÷íèê ïî Àëåêñàíäðîâó è Êàëìîãîðîâó.