Лекция 6. Простые формы, категории, кристаллические системы

Лекция 6. Простые формы, категории, кристаллические системы и
сингонии, правила установки и главные направления.
Правильные системы плоскостей и направлений, простые формы
Возьмем некоторое направление в кристаллической среде. Рассматривая действие всех элементов симметрии
класса симметрии на это направление, мы получаем множество направлений, симметричных исходному
направлению. Все эти направления эквивалентны и неотличимы в том смысле, что произвольные свойства
кристаллов в этих направлениях идентичны. Множество эквивалентных направлений в кристалле образуют
правильную систему направлений. Число направлений в одной правильной системе направлений называется
кратностью правильной системы направлений.
Кратность правильной системы определяется, прежде всего, набором и взаимным расположением элементов
симметрии, или, то же, классом симметрии. Кроме того, существенно расположение рассматриваемого
направления относительно элементов симметрии. Ясно, что элемент симметрии не действует на параллельное ему
направление, и в этом случае кратность правильной системы направлений будет понижена. С этой точки зрения
различают правильные системы направлений общего положения, когда направления, входящие в правильную
систему, не совпадают с элементами симметрии и правильные системы направлений частного положения, когда
направления правильной системы совпадают хотя бы с одним элементом симметрии.
Все вышесказанное можно с равным успехом отнести и к кристаллографическим плоскостям. Взяв некоторую
фиксированную плоскость и подействовав на нее элементами симметрии класса симметрии, мы получаем
правильную систему плоскостей, число плоскостей в правильной системе называется кратностью. Существенно,
что плоскости образуют грани кристалла, а симметричные плоскости – грани с одинаковыми свойствами,
например, свойствами роста. Существенно при этом , что знание элементов симметрии позволяет смоделировать
все возможные идеальные формы кристалла, которые получаются при огранке плоскостями одной правильной
системы. Такие идеальные формы называют простыми формами. Интерактивные модели простых форм можно
найти на сайте http://www.ggd.nsu.ru/Crystal/prform.html. Наиболее полно симметрию кристалла отражают
многогранники с гранями общего положения. Виды и названия правильных многогранников приведены в таблице.
Простая форма
Наименование
Моноэдр
Пинакоид
Диэдр плоскостной
Диэдр осевой
Ромбическая
пирамида
Ромбическая призма
Ромбический
тетраэдр
Ромбическая
дипирамида
Тригональная
призма
Тригональная
пирамида
Тригональная
бипирамида
Дитригональная
призма
Дитригональная
пирамида
Дитригональная
бипирамида
Тетрагональная
призма
Тетрагональная
пирамида
Тетрагональная
бипирамида
Дитетрагональная
призма
Дитетрагональная
пирамида
Дитетрагональная
бипирамида
Гексагональная
призма
Гексагональная
пирамида
Гексагональная
бипирамида
Дигексагональная
призма
Дигексагональная
пирамида
Дигексагональная
бипирамида
Тригональный
трапецоэдр
Тетрагональный
трапецоэдр
Гексагональный
трапецоэдр
Ромбоэдр
Тригональный
скаленоэдр
Тетрагональный
скаленоэдр
Тетраглналдьный
тетраэдр
Тетраэдр
Тригонтритетраэдр
Тетрагонтритетраэдр
Пентагонтритетраэдр
Гесатетраэдр
Октааэдр
Тригонтриоктаэдр
Тетрагонтриоктаэдр
Пентагонтриоктаэдр
Гесоктаэдр
Куб (гексаэдр)
Тетрагексаэдр
Ромбо-додекаэдр
Пентагон-додекаэдр
Дидодекаэдр
Огранка реального кристалла является более сложной, поскольку скорость роста тех или иных граней
определяется, кроме их физических свойств, внешними условиями. При этом эквивалентные грани могут
оказаться различными по геометрическим размерам, а в кристалле одновременно проявляются грани, входящие в
различные правильные системы. Возможны также ситуации, когда несвязанные элементами симметрии грани
имеют одинаковые свойства роста.
Категории
Разбиение кристаллов по категориям основано на возможности выделения единичных направлений. Единичным
направлением называется такое направление, которое преобразуется само в себя при действии всех
элементов симметрии данного класса. Чем меньше единичных направлений в кристалле, тем более он
симметричен. Возможны следующие случаи
•
В кристаллах, в которых возможно выделение нескольких единичных направлений, относят к низшей
категории. Такие кристаллы обладают наиболее ярко выраженной анизотропией свойств.
•
В кристаллах, в которых существует единственное единичное направление, относят к средней категории.
В таких кристаллах свойства вдоль единичного направления обычно сильно отличаются от свойств во всех
других направлениях.
•
И, наконец, кристаллы, в которых нет единичных направлений, относят к высшей категории. Свойства
таких кристаллов близки к изотропным.
Для того, чтобы элемент симметрии – поворотная или инверсионная ось - не действовал на некоторое
направление, необходимо, чтобы этот элемент симметрии был либо совпадал с этим направлением, либо являлся
перпендикулярной к направлению осью симметрии второго порядка (возможно, инверсионной). Этот принцип
позволяет легко разделить классы симметрии по категориям
В кристаллах, не содержащих элементов симметрии или содержащих только центр симметрии, любое
направление является единичным. Такие кристаллы принадлежат к низшей категории
В кристаллах, обладающих только одной осью второго порядка (возможно, инверсионной), единичными
направлениями являются направления вдоль оси и перпендикулярно к ней. Эти кристаллы принадлежат к низшей
категории.
В кристаллах, обладающих только тремя осями второго порядка (возможно, инверсионными), направления вдоль
взаимно перпендикулярных осей симметрии переходят сами в себя. Таким образом, в этих кристаллах находится
три единичных направления, и они также принадлежат к низшей категории.
В кристаллах, обладающих одной осью симметрии третьего, четвертого или шестого порядка, только направление
вдоль оси является единичным. Таким образом, эти кристаллы относятся к средней категории.
Во всех остальных кристаллах есть несколько осей порядка выше второго, действие которых не позволяет
появиться единичному направлению. Такие кристаллы будут относиться к высшей категории.
Кристаллические системы
Распределение кристаллов по кристаллическим системам основано на выделении общих, одинаковых по типу и
расположению, элементов симметрии. Эти элементы симметрии называют определяющими элементами
симметрии. Всего возможно семь кристаллических систем
1. В кристаллах триклинной системы может не быть ни одного элемента симметрии (ось первого порядка)
или быть только центр симметрии (инверсионная ось первого порядка).
2. В кристаллах моноклинной системы может быть только одна ось второго порядка, возможно,
инверсионная (плоскость симметрии).
3. В ромбических кристаллах должны быть три оси второго порядка, возможно, инверсионных.
4. В тригональных кристаллах должна быть одна ось третьего порядка, возможно, инверсионная.
5. В тетрагональных кристаллах должна быть одна ось четвертого порядка, возможно, инверсионная.
6. В гексагональных кристаллах должна быть одна ось шестого порядка, возможно, инверсионная.
7. В кубических кристаллах должно быть четыре оси третьего порядка.
В соответствии с приведенным выше анализом возможных элементов симметрии в кристаллах различных
категорий, можно сделать вывод о том, что
к низшей категории принадлежат кристаллы триклинной, моноклинной и ромбической системы;
к средней – кристаллы тригональной, тетрагональной и гексагональной системы;
к высшей – кристаллы кубической системы.
Правила установки
Существенно, что в кристаллографии направление координатных осей по возможности связывается с элементами
симметрии. Правила, по которым выбираются координатные оси, называются правилами установки.
В триклинной системе координатные оси невозможно связать с элементами симметрии, поэтому оси выбирают
параллельно ребрам или перпендикулярно граням кристалла.
В моноклинной системе есть единственный элемент симметрии – ось второго порядка (возможно, инверсионная),
параллельно ей направляют ось Y. Оси X и Z направляют вдоль ребер или перпендикулярно граням кристалла в
плоскости, перпендикулярной оси Y.
В ромбической системе обязательно присутствуют три оси второго порядка (возможно, инверсионные),
параллельно им направляют оси X, Y, Z.
В кристаллах средней категории ось Z направляют вдоль выделенной оси (третьего, четвертого или шестого
порядка), а оси X и Y перпендикулярно оси Z так, что в тригональной и гексагональной системе угол между ними
равен 120о, а в тетрагональной - 90 о. Очевидно, оси X и Y эквивалентны друг другу. Направление осей X и Y
выбирают вдоль осей симметрии второго порядка, при их отсутствии – перпендикулярно плоскостям симметрии,
при их отсутствии – параллельно ребрам и перпендикулярно граням кристалла.
В кристаллах кубической системы обязательно существуют четыре оси третьего порядка, оси X,Y и Z направляют
равнонаклонно к ним. В этих направлениях в кубических кристаллах проходят оси второго или четвертого
порядка.
Выбор координатных осей задает сингонию кристалла. Так как в тригональной и гексагональной системах выбор
координатных осей одинаков, они входят в одну – гексагональную – сингонию.
Главные направления
Из-за того, что направления координатных осей связаны с элементами симметрии, элементы симметрии могут
находиться только в строго определенных кристаллографических направлениях. Для каждой кристаллической
системы определены от одного до трех главных направления, называемых главными направлениями, в
которых могут располагаться элементы симметрии.
Главные трансляционные направления в кристаллах различной симметрии.
Кристаллическая
система
Главные направления
I
II
III
Кубическая
[001]
[111]
[110]
Гексагональная
[001]
[100]
[1-10]
Тетрагональная
[001]
[100]
[1-10]
Тригональная
[001]
[100]
Ромбическая
[001]
[100]
Моноклинная
[010]
[010]
Правила записи символов Германа-Могена класса симметрии
Главные направления используют при записи классов симметрии в символике Германа-Могена. Выделяют три
позиции записи, в каждой из которых последовательно записывают ось симметрии, идущую вдоль каждого
главного направления. Если перпендикулярно к этому направлению проходит плоскость симметрии. то элемент
симметрии записывают в виде дроби: в числителе – ось, в знаменателе – плоскость симметрии.