Решение задачи распределения ресурсов

Лабораторная работа № 4
Решение задачи оптимального распределения ресурсов
Задание
Предприятие выпускает продукты нескольких видов. Для их изготовления
используется сырье различного типа. Известны нормы расхода сырья – количество,
необходимое для производства одного вида продуктов, и прибыль, получаемая от
реализации продуктов каждого вида. Количество сырья ограничено имеющимися
запасами.
Составить оптимальный план производства, т.е. определить, какое количество
продуктов каждого вида следует производить, чтобы прибыль от их реализации была
максимальна с учетом ограничений.
Варианты
1. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
5
1
2
Сырье 2
1
3
3
Сырье 3
3
2
5
В наличии имеются 1500 единиц сырья 1-го вида, 1000 единиц сырья 2-го вида, 800
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 10
руб, 2-го – 5 руб, 3-го – 3 руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
2. Предприятие выпускает продукцию 2-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2
Сырье 1
1
0,05
Сырье 2
3
0,1
Сырье 3
2
0,075
В наличии имеются 80 единиц сырья 1-го вида, 180 единиц сырья 2-го вида, 110
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 16
руб, 2-го – 0,7 руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
3. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 2-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
1
2
3
Сырье 2
3
1
1
В наличии имеются 130 единиц сырья 1-го вида, 150 единиц сырья 2-го вида.
Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 6 руб, 2-го – 7 руб, 3-го – 7,5
руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
4. Предприятие выпускает продукцию 2-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2
Сырье 1
1
5
Сырье 2
2
3
Сырье 3
3
1
В наличии имеются 180 единиц сырья 1-го вида, 190 единиц сырья 2-го вида, 250
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 110
руб, 2-го – 90 руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
5. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 2-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
0,2
0,2
0,3
Сырье 2
0,3
0,1
0,3
В наличии имеются 3 единиц сырья 1-го вида, 4 единиц сырья 2-го вида. Прибыль
от реализации единицы 1-го продукта составляет 5 руб, 2-го – 6 руб, 3-го – 3 руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
6. Предприятие выпускает продукцию 2-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2
Сырье 1
1000
800
Сырье 2
20
12
Сырье 3
1
2
В наличии имеются 20000 единиц сырья 1-го вида, 250 единиц сырья 2-го вида, 15
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 30
руб, 2-го – 20 руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
7. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 2-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
0,5
0,5
0,35
Сырье 2
0,5
0,3
0,2
В наличии имеются 73 единиц сырья 1-го вида, 60 единиц сырья 2-го вида.
Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 40 руб, 2-го – 70 руб, 3-го – 80
руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
8. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 2-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
8
7
6
Сырье 2
3
4
6
В наличии имеются 800 единиц сырья 1-го вида, 600 единиц сырья 2-го вида.
Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 15 руб, 2-го – 20 руб, 3-го – 8
руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
9. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
1
0,9
1,2
Сырье 2
0,3
0,5
0,2
Сырье 3
0,5
0,5
0,3
В наличии имеются 800 единиц сырья 1-го вида, 600 единиц сырья 2-го вида, 500
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 12
руб, 2-го – 8 руб, 3-го – 7 руб.
10. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
0,5
0,3
0,2
Сырье 2
0,2
0,4
0,6
Сырье 3
0,25
0,2
0,1
В наличии имеются 45 единиц сырья 1-го вида, 30 единиц сырья 2-го вида, 20
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 8 руб,
2-го – 5 руб, 3-го – 7 руб.
11. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 2-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
0,6
0,7
0,5
Сырье 2
0,5
0,4
0,7
В наличии имеются 25 единиц сырья 1-го вида, 30 единиц сырья 2-го вида.
Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 5 руб, 2-го – 4 руб, 3-го – 3
руб.
Составить оптимальный план производства таким образом, чтобы суммарная
прибыль была максимальной.
12. Предприятие выпускает продукцию 3-х видов. Для изготовления этой продукции
используется сырье 3-х типов. Нормы расхода сырья представлены в таблице
Продукт 1 Продукт 2 Продукт 3
Сырье 1
3
4
5
Сырье 2
2
5
3
Сырье 3
1
2
1
В наличии имеются 3005 единиц сырья 1-го вида, 400 единиц сырья 2-го вида, 250
единиц сырья 3-го вида. Прибыль от реализации единицы 1-го продукта составляет 2 руб,
2-го – 5 руб, 3-го – 7 руб.
Отчет о выполнении работы в лабораторном журнале
Отчет о выполнении работы в лабораторном журнале должен содержать
следующие численные результаты:
 Значение максимальной прибыли;
 Оптимальный план производства;
 Виды ресурсов, которые будут истрачены полностью;
 Виды и количество ресурсов, которые будут истрачены не полностью.
Пример выполнения лабораторной работы в MS Excel
Дано: Предприятие выпускает четыре вида товаров, используя при этом три вида
ресурсов (трудовые, сырье и финансы). Нормы расхода ресурсов на каждый вид товара
заданы в таблице:
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Трудовые
1
1
1
1
Сырьевые
6
5
4
3
Финансовые 4
6
10
13
Известна прибыль от реализации товарной единицы каждого вида (руб.):
Товар 1 Товар 2 Товар 3 Товар 4
Прибыль 60
70
120
130
Предприятие располагает ограниченным количеством ресурсов каждого вида:
Запас
Трудовые
16
Сырьевые
110
Финансовые 100
Требуется определить план производства товаров, при котором прибыль
максимальна.
Этапы выполнения работы
1. Откроем новый рабочий лист и внесем на него исходные данные так, как это показано
на рис.
2. Подготовим таблицу для решения задачи, зададим целевую функцию и ограничения:
 В диапазоне (B10:E10) будет рассчитано количество производимых изделий
(оптимальный план производства, который нам необходимо составить). До начала
расчетов в эти ячейки записываем значения 0.
 В ячейку С11 записываем формулу для вычисления значения общей прибыли
от реализации всех изделий. Эта формула может быть записана в следующем
виде:
= B7*B10+C7*C10+D7*D10+E7*E10,
однако удобнее воспользоваться встроенной функцией СУММПРОИЗВ («сумма
произведений»), которая позволяет перемножить последовательность чисел, взятых из
различных рядов данных, а затем сложить произведения:
=СУММПРОИЗВ(B7:E7; B10:E10).
 В строках с 13 по 15 выпишем ограничения. В ячейках B13-B15 рассчитаем
количество истраченных ресурсов. Так, в ячейку В13 занесем формулу
=СУММПРОИЗВ(B4:E4; B10:E10)
(количество ресурса 1, истраченного для производства всех товаров)
Аналогично, в ячейке В14 рассчитаем количество истраченного ресурса 2:
=СУММПРОИЗВ(B5:E5; B10:E10)
а в ячейке В15 – количество истраченного ресурса 3:
=СУММПРОИЗВ(B6:E6; B10:E10)
В ячейки С13-С15 записываем знак неравенства (<=). В ячейках D13-D15
располагаем правые части ограничений. Можно ввести числа, аналогичные числам в
ячейках F4:F6, однако удобнее задать ссылки на эти ячейки. Так, в ячейку D13 помещаем
формулу
=F4
 Для задания ограничений в ячейки В16:В19 записываем ссылки на ячейки
В10:Е10, в ячейки С16:С19 – знак неравенства (>=),в ячейки D16:D19 – значение 0.
3. Для
выполнения
расчета
используем
подпрограмму
Поиск
решения.
Соответствующая команда находится в меню Сервис. При выполнении команды Поиск
решения откроется диалоговое окно с тем же названием. В этом окне нужно задать:
 В поле Установить целевую ячейку – адрес ячейки, в которой находится
формулы для вычисления общей прибыли - C11.



Переключатель - в положение Максимальному значению, поскольку
необходимо найти максимум общей прибыли.
В поле Изменяя ячейки - адрес диапазона ячеек, в котором находится
количество производимых изделий – B10:E10.
В окно Ограничения по одному добавить ограничения с помощью кнопки
Добавить.
- Нажать кнопку Добавить.
- В открывшемся окне «Добавление ограничения» в поле Ссылка на
ячейку задать адрес ячейки, содержащей формулу для левой части
ограничения (например, B13). В списке знаков неравенств выбрать
нужный знак. В поле Ограничение задать адрес ячейки, содержащей
правую часть ограничения (например D13).
- Нажать кнопку ОК.
Нажать кнопку Параметры. Откроется диалоговое окно Параметры поиска
решения. В этом окне нужно установить флажок в поле Линейная модель и
нажать кнопку ОК. Вновь откроется окно Поиск решения.
Для выполнения вычислений нужно нажать кнопку Выполнить. Результаты работы
подпрограммы отображаются в окне Результаты поиска решения. Сообщение
«Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены»
свидетельствует о том, что программе удалось найти решение поставленной задачи. Для
того, чтобы просмотреть полученные результаты в таблице, нужно нажать кнопку ОК в
этом окне. Если появляется сообщение «Поиск не может найти подходящего значения»,
задача поставлена неправильно. В этом случае нужно нажать кнопку Отмена и
проверить правильность параметров поиска решения и формул в таблице.
4. Проанализируем полученное решение.
 Максимальная прибыль составляет 1320 (значение в ячейке С11).
 Оптимальный план производства содержится в диапазоне B10:E10. Товары 2
и 4 производить невыгодно – количества этих товаров равны 0. Товар 1
следует производить в количестве 10, товар 4 – в количестве 6.
 Общее количество сырьевых ресурсов, истраченных на производство,
составит 84, трудовые и финансовые ресурсы будут истрачены полностью.
