Документ 2646918

НИУ ВШЭ, 2013-2014 уч. год
поток с подготовкой, 06.12.2013
13.12.2013
20.12.2013
Мини ДЗ к семинарам 13-14-15.
Темы: Общее равновесие: равновесие в экономике с частной собственностью, закон
Вальраса. Равновесие и оптимальность. Существование и единственность. Ядро.
1. Рассмотрите экономику с двумя потребителями (А и В) и тремя товарами. Функции полезности
  x 
потребителей имеют вид: u A ( x1A , x2A )  x1A x2A и u B ( x1B , x2B )  x1B

B 
2
,   0 . В экономике
имеется одна совершенно конкурентная фирма, которая производит товар x 2 , используя x1 в
качестве фактора производства согласно следующей технологии: x2 
x1 . Потребитель A
изначально обладает 12 единицами товара x1 , а потребитель B обладает 36 единицами товара x1 .
Доля первого потребителя в собственности фирмы составляет 25%, а второго- 75%.
(а) Проверьте выполнение закона Вальраса для данной экономики.
(б) Запишите определение равновесия по Вальрасу.
(в) Найдите равновесие по Вальрасу.
(г) Найдите множество Парето оптимальных распределений и изобразите его графически.
(д) Выберите любое внутреннее ПО распределение (отличное от равновесного) и реализуйте его
как равновесие с трансфертами.
2. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями А и В, предпочтения
которых представимы следующими функциями полезности u A x1A , x2A  min x1A , x2A
и








u x , x  min x , 2 x . Начальные запасы потребителей А и В   1, 2 и   2,1 ,
соответственно.
(а) Охарактеризуйте Парето-оптимальные распределения и изобразите свой ответ в ящике
Эджворда.
(б) Найдите все равновесия, следуя определению.
B
B
1
B
2
B
1
B
2
A
B
3. Пусть в экономике предпочтения каждого потребителя представимы функцией полезности и
u k (0)  0 . Рассмотрите следующую задачу. Зафиксируйте уровни благосостояния для всех
потребителей, кроме одного (например, первого) и максимизируйте его полезность при
фиксированных полезностях остальных участников технологических и ресурсных ограничениях:
max u 1 ( x11 ,, x1N )
u k ( x1k , , x Nk )  u k
x
k
k
i
  i   y ji
k  2, , M
(1)
i  1,, N
(2)
j
Fj ( y j1 ,..., y jN )  0
j  1,..., J
(3)
(а) Покажите, что любое парето-оптимальное распределение в экономике обмена является
решением этой задачи при некоторых значениях уровней полезности ( u k )k s .
(б) Покажите, что в случае, если функции полезностей непрерывны, а предпочтения агентов
строго монотонны, то любое решение данной задачи дает парето оптимальное распределение
ресурсов.
(в) Останется ли утверждение пункта (б) верным, если заменить предпосылку о строгой
монотонности на требование локальной ненасыщаемости?
4. Рассмотрите экономику обмена с N благами и М потребителями, в которой каждый потребитель
ценит только одно благо и запас хотя бы одного товара у каждого потребителя положителен.
Верно ли, что в данной экономике всегда существует равновесие?
НИУ ВШЭ, 2013-2014 уч. год
поток с подготовкой, 06.12.2013
13.12.2013
20.12.2013
5. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами, в которой функции полезности всех


потребителей имеют вид u k x1k , x2k 
x1k  x2k , а все вектора начальных запасов равны
 k  0,1 . Покажите, что в экономике равновесие не существует.
6. Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями и двумя благами, где предпочтения
потребителей представимы функцией полезности u k x1k , x2k  min x1k , x2k .
(а) Обсудите, будет ли избыточный спрос удовлетворять свойству валовой заменимости?
(б) Проверьте Ваши предположения формальным вычислением.




7. (а) Рассмотрите экономику обмена с двумя благами и двумя потребителями с одинаковыми
рациональными, строго выпуклыми, строго монотонными предпочтениями и одинаковыми
первоначальными запасами. Найдите ядро данной экономики.
(б) Изменится ли ответ на пункт (а), если опустить предпосылку об одинаковости предпочтений?
(в) Изменится ли ответ на пункт (а), если опустить предпосылку о строгой монотонности
предпочтений?
(г) Изменится ли ответ на пункт (а), если опустить предпосылку о строгой выпуклости
предпочтений?
8. Рассмотрите экономику обмена с двумя товарами и двумя потребителями, которые имеют
предпочтения, представимые функцией Кобба-Дугласа. В экономике начальные запасы каждого
блага ненулевые (т.е.   0 ).
(а) Может ли ядро данной экономики содержать единственное распределение? Будет ли указанное
распределение Парето оптимально?
(б) Назовите необходимое и достаточное условия на распределение начальных запасов между
потребителями, при которых ядро экономики содержит все Парето-оптимальные состояния этой
экономики?
9. Рассмотрите экономику с двумя товарами и M потребителями, предпочтения которых
представимы функциями полезности вида u k ( x k )  k x1k 
x2k . В экономике действует фирма,
трансформационная функция которой имеет вид F ( y1 , y 2 )  y1  2 y 2 . Пусть А- множество
Парето оптимальных распределений, В- множество равновесных распределений, С- множество
распределений, лежащих в ядре, D- множество распределений, лежащих в ядре R раз
реплицированной экономики. Как соотносятся множества А, В, С, D? Обоснуйте все соотношения.
10. Рассмотрите экономику обмена с двумя товарами и двумя потребителями, которые имеют
одинаковые
предпочтения,
описываемые
функцией
полезности
u k ( x1 , x2 )  x1 x2 .
Первоначальные запасы потребителей задаются векторами 1=(1,3) и 2=(5,1). Сформируйте
коалицию с минимальным числом участников, которая могла бы заблокировать распределение
{(3,2),(3,2)} при какой-то реплике. (Укажите, сколько участников каждого типа будет входить в
коалицию, и специфицируйте блокирующее распределение).
11. Рассмотрите экономику обмена с двумя благами, x1 и x 2 , и двумя потребителями, А и В.
Начальные запасы потребителей представлены векторами  A  1,7 и  B  3,1 . Предпочтения




потребителей представимы функциями полезности u A  min x1A , x2A и u B  min x1B , x2B .
(а) Опишите ядро данной экономики.
(б) Рассмотрите распределение ~
x  x1A , x2A , x1B , x2B  2,5, 2,3 . Возможно ли блокирование
данного распределения при какой – то реплике экономики? Если нет, то обоснуйте почему, если
да, то укажите, сколько участников каждого типа будет входить в коалицию, и специфицируйте
блокирующее распределение.


