Канд. физ.-мат. наук Т. В. Рыжкова ЦЕПЬ МАРКОВА

Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
83
Канд. физ.-мат. наук Т. В. Рыжкова
ЦЕПЬ МАРКОВА, МОДЕЛИРУЮЩАЯ ИЗМЕНЕНИЯ
В КЛИЕНТСКОЙ БАЗЕ
Экономико-математическая модель управленческого мониторинга, представленная цепью Маркова, дает возможность оценить
вероятности перераспределения клиентов по сегментам клиентской базы, спрогнозировать будущую прибыль компании и принять оптимальное решение при выборе соответствующего маркетингового воздействия.
Процессы, протекающие в экономических системах, связанных с обслуживанием клиентов, могут быть эффективно описаны марковскими процессами, представляющими особый вид вероятностных моделей. Статья посвящена
построению цепи Маркова для анализа последствий воздействия директмаркетинговых компаний на однотипные группы клиентов. Цель такого моделирования – построение модели, которая отражает основные, наиболее существенные свойства объекта, а именно клиентской базы с учетом ее истории.
С помощью такой модели можно проанализировать, «проиграть на компьютере» различные сценарии маркетинговых ситуаций и тем самым получить оптимальное управленческое решение.
По данным клиентской базы одной столичной компании (рекламное
холдинговое агентство), размещающей рекламу на телевидении, построим
экономико-математическую модель маркетингового взаимодействия с клиентами, являющимися в данном случае более мелкими или частными заказчиками рекламных услуг.
Итак, субъект моделирования – это само холдинговое агентство, «держатель» клиентской базы.
Задача моделирования – повышение эффективности работы компании
методами креативного маркетинга в целях максимизации прибыли.
Объект моделирования – клиентская база данных, отражающая историю жизненного цикла клиента, включающего такие показатели, как даты заказов, суммы, число заказов, требования к заказам.
Языком описания служит модель цепи Маркова для процесса изменения
состояния клиентской базы в равноотстоящие моменты времени при заданных
внешних воздействиях.
Марковская цепь строится для сегментов клиентской базы. Клиентская
база позволяет не только вести учет клиентов, но и разбить их на однотипные
группы (сегменты) с целью отслеживания результатов маркетингового воздействия на каждый из сегментов клиентской базы. Сегментация клиентской
базы – довольно сложная задача, определяющая начальный этап построения
вышеописанной модели.
Сегментация клиентской базы. Для специалиста по маркетингу важно
выделить вид спроса различных групп потребителей, который и определит
обобщенный характер поведения клиентов для выбора оптимальной сегмента-
84
Вестник РЭА ● 2008 ● № 3
ции клиентской базы, а также дальнейший вид маркетингового воздействия
согласно построенной модели (табл. 1).
Таблица 1
Характеристики спроса, клиентов, видов маркетинга
Характер спроса
Появляющийся спрос →
Отсутствие спроса →
Низкий спрос →
Снижающийся спрос →
Колеблющийся спрос →
Оптимальный спрос →
Клиенты
Новые (N) →
Пассивные (S) →
Слабоактивные (SB) →
Переходные (C) →
Переходные (C) →
Активные (А)→
Виды маркетинга
Стимулирующий маркетинг
Креативный маркетинг
Стимулирующий маркетинг
Ремаркетинг
Синхромаркетинг
Поддерживающий маркетинг
В табл. 1 использованы следующие обозначения по поведению клиентов: S – Sleep, SB – Sleep Best, A – Active, C – Casuel, N – New.
Таким образом, с одной стороны, характер спроса позволяет выделить
однотипные группы в клиентской базе. С другой стороны, деление клиентской
базы на сегменты базируется на систематизированных постулатах клиентского поведения, т. е. на основе использования известной модели RFM [7].
Перечислим основания этих постулатов.
R-постулат. Вероятность принадлежности позитивному классу отрицательно зависит от показателя давности последнего заказа (Recency): чем
больше времени прошло с момента последнего заказа, тем меньше вероятность будущего заказа.
F-постулат. Вероятность принадлежности позитивному классу положительно зависит от показателя частоты поступления заказов (Frequency): чем
больше заказов сделал клиент, тем больше вероятность, что он сделает еще
один заказ.
M-постулат. Вероятность принадлежности позитивному классу положительно зависит от количества денег (Monetary): чем больше потрачено
денег, тем больше вероятность будущего заказа.
Предикторы RFM используются для прогнозирования принадлежности
позитивному клиентскому классу, поскольку историческое покупательское
поведение зачастую является надежным ориентиром, говорящим о будущем
покупательском поведении. Именно по этим параметрам будет производиться
сегментация нашей клиентской базы. Для этого сгруппируем клиентов по
следующим показателям:
- Recency (R) – давность последнего заказа. Данный показатель рассчитывается как разность, выраженная в днях, между текущей датой и датой
последнего заказа;
- Frequency (F) – общее количество заказов, сделанных клиентом за
всю историю наблюдения за ним;
- Monetary (M) – общее количество денег, потраченных клиентом за
всю историю.
Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
85
Monetary
Frecuency
Recency
Были получены три числовые переменные R, F, M, связанные между собой согласно описанным выше постулатам. На рис. 1 представлена матрица
корреляций этих показателей, построенная по данным о клиентах компании.
Recency
Frecuency
Monetary
Рис. 1. Матрица корреляций показателей RFM
Из рис. 1 видно, что чем меньше давность последнего заказа (Recency),
тем больше частота заказов (Frequency), т. е. переменные R и F коррелируют
между собой отрицательно. Это обстоятельство подтверждает эмпирический
R-постулат. Очевидно, что M и F прямо пропорциональны: чем больше заказов делает клиент, тем больше средств он тратит на них. Соответственно показатели M и F коррелируют положительно. Аналогично паре F и R соответствует отрицательная корреляция между показателями F и R.
Для проведения сегментации клиентской базы используем процедуры
кластерного анализа пакета программ SPSS. Процедура K-Means Cluster Analysis начинается с использования значений первых k наблюдений в качестве
предварительных оценок k кластерных средних, где k – задаваемое число кластеров. Начальные кластерные центры формируются следующим образом:
каждое наблюдение назначается в кластер с ближайшим центром, а затем значение центра вычисляется заново. Далее процесс повторяется: на каждом шаге
наблюдения группируются в кластер с ближайшим центром, а затем значения
центров вычисляются заново. Этот процесс продолжают до тех пор, пока центры кластеров не перестают изменяться или пока количество итераций не достигнет заданного максимума. Эта процедура оптимальна при большом количестве наблюдений (не менее 100). Сопоставляя показатели RFM по конечным
центрам кластеров (табл. 2), можно выделить четыре основные группы клиентов: пассивные клиенты (S) – первый кластер, активные (A) – третий кластер,
86
Вестник РЭА ● 2008 ● № 3
переходные (C) – второй и новые (N) – четвертый кластер. Отслеживая точность разделения, отметим, что статистическая значимость разделения на
5%-ном уровне значимости достижима для четырех и менее кластеров.
Таблица 2
Результаты кластеризации
Конечные центры кластеров
Кластер
Recency
Frequency
Monetary
1
105,64
1,36
2,91
2
72,08
1,29
1,16
3
39,60
4,80
19,20
4
44,43
3,23
5,30
Расстояния между конечными центрами кластеров
Кластер
1
2
1
33,605
2
33,605
3
68,103
37,315
4
61,278
28,019
3
4
68,103
61,278
37,315
28,019
14,800
14,800
Число наблюдений в каждом кластере
Кластер
Валидные
Пропущенные значения
1
2
3
4
11,000
49,000
10,000
30,000
100,000
0,000
Из табл. 2 видно, что значения третьего и четвертого (A – третий кластер, N – четвертый кластер) конечных кластерных центров близки по показателю R, а первого и второго (S – первый кластер, C – второй) – по двум показателям M и F. Расстояния по трехмерной метрике демонстрируют наибольшую близость третьего и четвертого кластеров, а также близость первого и
второго кластеров.
Проведенное разбиение клиентской базы на четыре кластера демонстрирует схожесть кластеров. При этой процедуре лучший результат (увеличение различий) будет всегда при уменьшении числа образования кластеров.
В то же время задача исследования заключается в том, чтобы уточнить
различия в группах клиентов и выделить большее число однотипных групп.
Чтобы усилить различия между кластерами и даже увеличить число кластеров
в целях маркетингового воздействия на специфические группы клиентов, следует задавать «веса» числовым показателям R, F, M, тем самым усиливая априорно наиболее значимый для компании показатель. Сумма весовых коэффициентов равна 100%. Например, для выделения еще одной особой группы
слабоактивных клиентов SB (Sleep Best), потенциально значимой для фирмы,
разделим нашу клиентскую базу данных на сегменты, воспользовавшись специальным методом расстояний с учетом перераспределения «весов». Такой
Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
87
метод позволяет ранжировать клиентов при учете несоизмеримых оценок, которыми в данном случае являются показатели R, F, M, а затем объединить
клиентов в сегменты. Общая оценка клиента рассчитывается по следующей
формуле:
⎛ aik * − aik
ui = ∑ λ k ⎜
⎜ a *
k
ik
⎝
где
2
2
⎞
⎛
a ⎞
⎟ = ∑ λ k ⎜1 − ik* ⎟ ,
⎟
⎜ a ⎟
k
ik ⎠
⎠
⎝
∗
aik – наилучшее значение оценки клиента по k-му критерию R, F, M;
λ k – «веса» по каждому k-му критерию RFM.
Базовая кластеризация по четырем сегментам показала, что для разведения четвертого и третьего кластеров, а также первого со вторым следует усиливать показатели F и M. Так как влияющие показатели RFM – несоизмеримые величины (R измеряется в днях, F – количественное измерение, а M измеряется в денежном эквиваленте), то величина aik* означает наиболее предпочтительную величину показателя (для R – это минимальная величина, для F и
M – максимальная). Лучшим по активности будет клиент, у которого показатель ui наименьший:
uopt = min ui .
i
Итак, по данным клиентской базы о показателях R, F, M для каждого
клиента рассчитываем соответствующие оценки с помощью ранжирования
данных значений. Отметим, что наибольшее значение оценки соответствует
наиболее предпочтительному значению показателя, поэтому меньшему значению показателя R будет соответствовать большая оценка. На диаграмме
(рис. 2) представлено поведение функции обобщенной оценки ui с четырьмя
скачками для пяти сегментов клиентов.
1,2
S
1
SB
0,8
C
0,6
0,4
A
N
0,2
0
1
7
13
19
25
31
37
43
49
55
61
67
73
79
85
91
Рис. 2. Диаграмма обобщенной оценки клиента
97
88
Вестник РЭА ● 2008 ● № 3
Визуально границы скачков для функции показателей ui служат границами разбиения клиентской базы на кластеры, объективно существующие в
исследуемой совокупности. Скачки задают фазовые переходы от сильно связанного к слабо связанному состоянию объектов. Согласно такому разбиению
новыми являются те клиенты, у которых самое маленькое значение оценки,
так как показатели F и M были экспертно усилены. Таким образом, введение
весовых коэффициентов позволяет выделять большее число кластеров и затем
можно по вышеописанной процедуре K-Means Cluster Analysis значимо углубить сегментацию.
Марковская цепь состояний клиентской базы. Введем систему S как
множество из пяти непараметрических элементов S = {s1 , s 2 , s3 , s 4 , s5 }, где
si – сегменты, сформированные в соответствии с поведением клиентов: s1 –
новые клиенты (N), т. е. клиенты, приходящие в период между последующими
пересчетами сегментации; s2 – активные клиенты (A); s3 – переходные клиенты (C); s4 – «лучшие спящие» клиенты (SB); s5 – «спящие» клиенты (S). Размерность si равна количеству клиентов в соответствующей группе. Пусть
S (t k ) = {s1 (t k ), s 2 (t k ), ... , s5 (t k )} – дискретный, случайный вектор, определяю-
щий число клиентов в момент времени tk в каждом сегменте. Случайный
процесс, протекающий в системе S, является дискретным случайным процессом с дискретным временем, поскольку переходы системы из состояния в состояние зафиксированы по изменению клиентской базы в определенные равноотстоящие моменты времени. Обозначим Si (t k ) – событие, состоящее в
том, что с tk шага до tk +1 на промежутке t ∈ [tk , tk +1 ) система находилась в
состоянии si . Тогда дискретный случайный процесс с дискретным временем
будет описываться цепью событий Si (t k ) . Поскольку система S в любой момент времени может пребывать только в одном из состояний si , то события
Si (tk ) несовместны и образуют полную группу.
Предположим, что клиент Х в момент времени tk принадлежит сегменту si , в следующий момент tk +1 клиент может как остаться, так и перейти в
любой другой сегмент системы S. С точки зрения управляющего клиентской
базой решение о взаимодействии с клиентом (direct-marketing) зависит от принадлежности клиента к конкретному сегменту в настоящий момент и не зависит от того, по какой траектории клиент Х попал в обозначенный сегмент.
Другими словами, выполняется свойство марковости цепи событий (для каждого шага вероятность перехода из любого состояния si в любое состояние
s j не зависит от того, когда и как система оказалась в состоянии si ). Вероят-
ность pij миграции клиента из сегмента si в сегмент s j за один период вре-
мени t ∈ [tk , tk +1 ) назовем вероятностью перехода. Графическое представление
Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
89
вероятностей перехода в системе S представим размеченным графом состояний (рис. 3).
P11
P22
P12
P21
s1 – New
P15
P41
P13
P55
P25
P51
P14
s2 – Active
P52
P23
P42
s5 – Sleep
P24
P44
Р33
P43
s3 – Casual
s4 – Sleep Best
P34
P32
P35
P53
P45
P54
Рис. 3. Графическое представление вероятностей переходов клиентов
по сегментам базы
Для рекламного бизнеса, который является сферой деятельности данной
компании, возможен переход из любого сегмента клиентской базы в новый
сегмент даже тогда, когда новый клиент может стать новым, если он выпустит
новый бренд. Поскольку для такой категории клиентов может рассматриваться дополнительная скидка по заказу, то важно учитывать все переходы в сегмент s1 .
Рассматриваемая система S считается эргодической, поскольку заданы
переходы из любого состояния ко всем остальным, в ней отсутствуют состояния без входа и выхода и системы поглощающих состояний. Обозначим вектором p (t k ) = {p1 (t k ), p 2 (t k ), ... , p5 (t k )} вероятность события Si (t k ) . Это вектор вероятностей состояний системы S в момент времени tk
5
∑ p (t ) = 1 .
i =1
i
k
Для расчета вектора состояний p сформируем матрицу переходных вероятностей P системы S:
P = pij
i =1, ... , 5; j =1, ... , 5
.
Каждый элемент этой матрицы pij равен вероятности перехода из состояния si (строки матрицы P ) в состояние s j (столбцы матрицы P ) за про-
90
Вестник РЭА ● 2008 ● № 3
межуток времени t ∈ [tk , tk +1 ) скачком. Стрелки в размеченном графе (рис. 3)
означают наличие ненулевого элемента матрицы P . Переходные вероятности
pij определяют условную вероятность события S j (t k +1 ) при условии наступления события Si (tk ) и рассчитываются по формуле
pij = P (S j (tk +1 ) Si (t k )) =
где
P (S j (t k +1 ) ⋅ Si (t k ))
P(Si (t k ))
=
N ij (t k +1 )
N i (t k )
,
(1)
N ij (t k +1 ) – число клиентов, перешедших из сегмента si в сегмент s j за
один шаг по времени t ∈ [tk , tk +1 ) ;
N ij (tk ) – число клиентов в сегменте si .
Используя результаты проведенной кластеризации, заполним табл. 3.
Таблица 3
Результирующее состояние клиентской базы
( )
( )
N ij t k +1
NA
Active
Casual
Sleep Best
Sleep
Total
N ij t k
NA
Active
Casual
Sleep Best
Sleep
Total
1
2
1
1
1
6
10
20
3
6
2
41
6
5
6
9
3
29
2
2
1
10
1
16
1
1
1
2
3
8
20
30
12
28
10
100
NA
Active
Casual
Sleep Best
Sleep
Total
Количество
клиентов
на начало
периода
20
30
12
28
10
100
Затем по формуле (1) рассчитаем значения переходных вероятностей
pij и заполним матрицу переходных вероятностей. Отметим, что в десятичных дробях допускается округление значений в четвертой значащей цифре:
0,5
0,3
0,1
0,05 ⎞
⎛ 0,05
⎜
⎟
⎜ 0,067 0,667 0,167 0,067 0,032 ⎟
P = ⎜ 0,083 0,250 0,500 0,083 0,084 ⎟ ,
⎜
⎟
⎜ 0,036 0,214 0,321 0,357 0,072 ⎟
⎜ 0,1
0,2
0,3
0,1
0,3 ⎟⎠
⎝
5
∑p
j =1
ij
= 1,
0 ≤ pij ≤ 1 .
(2)
Полученная матрица P по своим свойствам является стохастической,
каждый ее элемент – положительный. Переходные вероятности в общем случае зависимы от времени. Для цепи Маркова справедлива теорема, представленная ниже.
Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
tk −1
91
Теорема 1. Для цепи Маркова вектор-строка вероятностей состояний от
шага до шага tk равна произведению вероятностей состояний от шага tk −1
до шага tk на матрицу переходных вероятностей:
( p1 (t k ), p2 (t k ), ... , p5 (t k )) = ( p1 (t k −1 ), p2 (t k −1 ), ... , p5 (t k −1 ))⋅ P (t k ) .
Чем большей историей переходов клиентской базы мы владеем, тем
точнее выстраивается цепь событий марковского процесса. Самым ограниченным случаем для изучения является наличие данных по одному этапу преобразования клиентской базы. В этом случае заполненной будет только одна
матрица переходных вероятностей P (t1 ) . Считая цепь однородной, можно получить прогнозное значение вероятностей состояний на любом tk шаге по
формуле
( p1 (t k ), p2 (t k ), ... , p5 (t k )) = ( p1 (0), p2 (0), ... , p5 (0)) ⋅ P k (t1 ) ,
где ( p1 (0 ), p 2 (0 ), ... , p5 (0 )) – вектор начальных состояний, который может
быть задан следующим образом:
⎧0, если состояние i пассивно;
pi (0 ) = ⎨
⎩ 1, если состояние i активно.
Активное состояние достижимо при маркетинговом воздействии на обозначенную si группу клиентов. Например, при воздействии на сегмент s2 активных клиентов начальный вектор состояния будет иметь вид
( p1 (0), p2 (0), ... , p5 (0)) = (0, 1, 0, 0, 0) . В результате на следующем шаге состояние клиентской базы будет задано следующим вектором состояний:
( p1 (t1 ), p2 (t1 ), ... , p5 (t1 )) = (0, 1, 0, 0, 0) ⋅ P = (0,067, 0,667, 0,167, 0,087, 0,032) .
В численном отношении количество клиентов по каждому сегменту
может перераспределиться и стать равным N i (t1 ) = pi (t1 ) ⋅ N = (6, 67, 16, 8, 3),
i = 1, 2, ... , 5 , если предположить N равным 100. Этот результат показывает
тенденцию перераспределения внутри клиентской базы при заданном маркетинговом воздействии.
С помощью построенной матрицы переходных вероятностей (2) было
рассчитано прогнозное значение числа клиентов по каждому сектору, которое
затем было сопоставлено с имеющимися данными по вновь сегментированной
клиентской базе за следующий отчетный период (квартал):
(N1 (t1 ), N 2 (t2 ), ... , N5 (t1 )) = (N1 (t0 ), N 2 (t0 ), ... , N 5 (t0 )) ⋅ P ,
92
Вестник РЭА ● 2008 ● № 3
0,5
0,3
0,1
0,05 ⎞
⎛ 0,05
⎜
⎟
⎜ 0,067 0,667 0,167 0,067 0,032 ⎟
N (t1 ) = (20, 30, 12, 28, 10 ) ⋅ ⎜ 0,083 0,250 0,500 0,083 0,084 ⎟ = (6, 41, 29, 16, 8).
⎜
⎟
⎜ 0,036 0,214 0,321 0,357 0,072 ⎟
⎜ 0,1
0,2
0,3
0,1
0,3 ⎟⎠
⎝
Такое перераспределение клиентов свидетельствует об эффективных
маркетинговых действиях компании: число активных клиентов увеличилось,
уменьшилось число клиентов в группах S (Sleep), SB (Sleep Best). В то же время увеличился сегмент C (Сasuel). Следовательно, потребуются соответствующие маркетинговые воздействия, нацеленные именно на эту группу клиентов.
Кроме того, с помощью построенной цепи Маркова можно проанализировать величину основного результирующего показателя – прибыли. Пусть
π(tk ) – общий размер прибыли. Тогда π(tk ) =
5
∑ π(s ) ⋅N (t ) ,
i
i =1
i
k
где π(si ) –
средняя прибыль по si сегменту. Прогнозное значение прибыли может быть
рассчитано с учетом всех вероятных перемещений клиентов по сегментам по
формуле
π(tk +1 ) =
5
5
∑∑ π(s ) ⋅N (t ) ⋅ p
i =1 j =1
i
j
k
ij
.
(3)
При сравнении прогнозного значения прибыли по данным компании на
следующий квартал с реальным значением расхождение было незначительным и составляло порядка 5% по каждому из сегментов клиентской базы.
Финальные вероятности. Финальные вероятности могут служить характеристиками процесса, протекающего довольно длительно после окончания действия на него начальных условий. В результате в системе
S = {s1 , s 2 , ... , s5 } устанавливается некоторый предельный режим, при котором вероятности состояний уже не зависят ни от времени, ни от начального
распределения вероятностей. Такое распределение может представлять тенденцию перераспределения клиентов внутри клиентской базы. Для рассчитанной матрицы переходных вероятностей (2) выполняются все условия следующей теоремы:
Теорема 2. Если матрица P переходных вероятностей эргодической конечной цепи Маркова, то
1) степени P n при n → ∞ стремятся к матрице A ;
2) каждая строка матрицы A является одним и тем же вероятностным
вектором a = (a1 , a2 , ... , an ) , т. е. A = I T ⋅ a , где I = (1, 1, ... , 1) – векторстрока единиц;
Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
93
3) для любого вероятностного вектора p последовательность векторов
p ⋅ P n сходится к вектору a при n → ∞ ;
4) вектор a – единственный вектор, удовлетворяющий системе линейных алгебраических уравнений:
a ⋅ P − a = 0,
(4)
n
∑a
i
i =1
= 1.
Было установлено, что полученная матрица переходных вероятностей
P сходится к предельной матрице A достаточно быстро со степенью сходимости n = 4 . При этом каждая строка матрицы A – это один и тот же вероятностный вектор, равный a = (0,152, 0,481, 0,191, 0,109, 0,067 ) , являющийся
вектором финальных вероятностей.
Следует подчеркнуть, что явные выражения для финальных вероятностей удобны для применения маркетингового анализа. Для нахождения аналитических выражений финальных вероятностей перейдем к блочному представлению исходной матрицы P , составив ее из четырех блоков (2 × 2 ) и самого вектора стационарных вероятностей a , составив его соответственно из
двух блоков:
⎛ p11
ρ⎞
P5×5 = ⎜
⎟.
⎜r
⎝
Q ⎟⎠
(5)
Составными блоками исходной матрицы выступают первый элемент
T
матрицы p11 , два вектора ρ1×4 = ( p12 , p13 , ..., p15 ) и r4×1 = ( p 21 , p31 , ... , p51 ) , а
также оставшаяся матрица
Q4×4 = pij
.
i = 2 , ... , 5; j = 2 , ... , 5
Финальный вектор вероятностей также разбит на две части: элемент a1
и вектор, составленный из остальных элементов a ∗ :
a = a1 , a ∗ .
В таких обозначениях система уравнений для нахождения вектора финальных вероятностей записывается уже без учета первого уравнения, поскольку исходная линейная система уравнений (4) является однородной и неопределенной, но дополняется нормировочным уравнением для суммы финальных вероятностей:
(
)
⎧ ⎛ρ⎞
∗
⎪a ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = a
⎨ ⎝Q ⎠
⎪ a ⋅ I T = 1.
⎩
94
Вестник РЭА ● 2008 ● № 3
Решая полученную систему относительно введенных блоков, несложно
получить рекуррентные формулы для нахождения вектора стационарных вероятностей a = a1 , a ∗ вида
(
)
(
)
⎧a1 = 1 / 1 + ρ ⋅ (E − Q )−1 ⋅ I T
⎨
−1
∗
⎩ a = a1 ⋅ ρ ⋅ (E = Q ) .
(6)
Итак, поскольку вектор финальных вероятностей характеризует перспективное вероятностное состояние клиентской базы, то если рассчитывать
прибыль, используя этот вектор, можно определить значение прибыли как
перспективно возможное в рамках осуществляемых маркетинговых действий
компании
π(tk +1 ) =
5
∑ π(s ) ⋅N (t ) ⋅ a .
i =1
i
i
k
i
Моделирование маркетинговых воздействий. В табл. 1 был обозначен
характер спроса продукции по группам клиентов, а также виды применяемого
маркетингового воздействия на клиентов. В соответствии с этим была составлена графическая модель эффективно развивающейся компании (рис. 4). Ядро
клиентской базы составляют клиенты A (Active), C (Casuel), N (New) – это
внутренний квадрат. На внешней границе этого квадрата расположены два
сегмента клиентов: S (Sleep) и SB (Sleep Best). Треугольник с буквой R (Rivals)
обозначает внедряющихся конкурентов. Треугольник с буквой N (New) –
собственный бренд компании. Введение нового бренда должно проходить на
границе квадрата, затрагивая сегменты S и SB, поскольку внедрение нового
бренда внутри малого квадрата (для клиентов A, C, N), как известно, несет
опасность получения отрицательного эффекта «каннибализма» за счет своих
старых собственных брендов компании.
N
S
C
N
R
A
SB
Рис. 4. Схема маркетинговых воздействий на сегменты клиентской базы
Цель маркетингового воздействия – перевод клиентов из неприбыльных
сегментов в продуктивные (например, из сегмента SB в сегмент A или N либо
из сегмента S в переходный сегмент C). Чтобы «проиграть» любой из этих
сценариев и оценить прибыль, необходимо произвести описанные выше рас-
Рыжкова Т. В. Цепь Маркова, моделирующая изменения в клиентской базе
95
четы прибыли с учетом изменений в матрице переходных вероятностей. Для
A
С
этого введем параметры усилий, например, δ SB и δ S , изменяющих значения вероятностей перехода в выбранных сегментах. Значения усилий можно
задавать априорно, в процентном отношении оценивая маркетинговую операA
С
цию, например, полагая параметры усилий равными δ SB = 0,3 и δ S = 0,3 ,
тем самым моделируя возможность перевода 30 процентов клиентов по двум
сегментам из сегмента SB в сегмент A и из сегмента S в сегмент C. При этом в
расчетах вектора стационарных вероятностей (6) матрица Q будет замещаться матрицей Q ∗ следующего вида:
⎛ p22
⎜
⎜ p32
∗
Q =⎜
A
p + δ SB
⎜ 42
⎜ p
52
⎝
p23
p24
p33
p34
p43
A
p44 − δ SB
p53 + δCS
p54
⎞
⎟
p35 ⎟
.
p45 ⎟
⎟
p55 − δCS ⎟⎠
p25
(
)
Новый вектор финальных вероятностей a = a1 , a ∗ , полученный по рекуррентным формулам (6), – отражение изменений в клиентской базе под
влиянием проведенных маркетинговых воздействий. Кроме того, вектор финальных вероятностей входит в выражение для прибыли. Соответственно его
пересчет позволяет легко «проиграть» различные сценарии маркетинговых
ситуаций.
Таким образом, была построена цепь Маркова, моделирующая перемещения типичных по поведению групп клиентов компании при различных маркетинговых воздействиях. Марковская цепь клиентской базы позволяет оценить вероятности перераспределения клиентов по сегментам клиентской базы
и спрогнозировать прибыль компании при выборе соответствующего маркетингового воздействия, чтобы получить оптимальное управленческое решение.
Список литературы
1. Герчикова И. Н. Маркетинг и международное коммерческое дело. –
М. : Внешторгиздат, 1991.
2. Калинкин А. В., Мастихин А. В. Марковский процесс эпидемии Вейса
и ветвящиеся прoцессы // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. – Сер. «Естественные науки». – 2006. – Вып. 2 (21).
3. Ноздрева Р. Б. Международный маркетинг. – М. : Экономистъ, 2005.
4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – Т. 1. –
М. : Мир, 1984.
5. Шуренков З. М. Эргодические процессы Маркова. – М. : Наука, 1989.
6. Journal of Interactive Marketing. – 2000. – N 14 (2).
7. Miglausch John R. Thoughts on RFM Scoring // The Journal of Database
Marketing. – 2000. – Vol. 8. – N 1.