ответы по математике

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
5 класс (ключи)
1. Ответ. 10 · 1 − 9 = 1. (3 баллов)
Так как (* + 1) - двузначное число, то эта * равна 9,
поэтому ** · * =10. Единственное двузначное число, которое после умножения на
однозначное даёт 10 есть 10. Поэтому наша запись расшифровывается следующим
образом: 10 · 1 − 9 = 1.
2. Ответ. 55 часов 30 минут. (5 баллов)
За 1 час гусеница поднимается на 10 см. Через 55 часов она поднимется на 5 м 50
см, а за следующие пол часа она поднимется на вершину.
3 . Ответ
Например: 1 = (5 – 5)+(5 – 5) + 5: 5, 2 = (5: 5) + (5: 5) + 5 – 5,
3 = (5: 5) + (5: 5) + (5 : 5), 4 = 5 – (5 : 5) + (5 – 5) · 5,
5 = 5 + (5 – 5) · (5+5+5), 6 = 5 + (5 : 5) + (5 – 5) · 5,
7 = (5 + 5): 5 + 5 + 5 – 5, 8 = 5 + 5 - 5: 5 – 5: 5, 9 = 5+ 5 – 5:5 + 5 – 5,
10 = 5 + 5 + (5 – 5) · (5 + 5). (7 баллов)
4. Ответ Возможный вариант:
1) Прямые делят квадрат на четыре равных квадрата.
2) Прямые делят квадрат на четыре треугольника (диагоналями).
3) Горизонтальные прямые делят квадрат на четыре равных прямоугольника.
(4 баллов)
5. Ответ. 452.
Если бы большее число было двузначным, то сумма этого числа и меньшего не
была бы трёхзначной. Значит, большее число трёхзначное и имеет вид: ab2.
Поэтому имеем равенства :
ab2 + ab = 497, 10ab + ab = 495, 11ab = 495, ab = 45
(6 баллов)
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
6 класс (ключи)
Ответ к задаче №1: 58. (4 баллов)
Ответ к задаче №2: 842. (5 баллов)
Ответ к задаче №3: А=3; Б=2; В=1; Г=5. (5 баллов)
Ответ к задаче №4: Перевернуть обои часы, когда пройдёт три минуты, в
семиминутных часах останется 4 минуты. Поставить яйцо в данный момент
вариться, когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно.
Получим: 4+7=11. (5 баллов)
Ответ к задаче № 5: План действий:





сначала переправляются два лёгких;
один из них перегоняет лодку обратно;
самый тяжёлый садится в лодку и переплывает один;
второй лёгкий садится в лодку и перегоняет её обратно;
двое лёгких садятся в лодку и переправляются на остров. (6 баллов)
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
7 класс (ключи)
1. Ответ. Всего есть три различных с точностью до перестановки цифр ответа: 345,
267, 338. (5 баллов)
2. Ответ. 120 км/ч Решение. 1 км машина проезжает за 3/4 минуты, а должна
проезжать за 1/2 минуты, следовательно, её скорость должна быть 120 км/ч.
(5 баллов)
3. Ответ. Семь, это числа: 456, 546, 504, 540, 450, 564, 654. Решение. Числа
должны делиться на 2 и сумма их цифр должна делиться на 3. Если трехзначное
число содержит цифру 6, то в числе не может присутствовать цифра 0, иначе сумма
цифр не будет делиться на 3. Кроме того, все числа будут четными и должны
оканчиваться на четную цифру. (5 баллов)
4. Ответ. 13. Решение. Сумма длин периметров всех треугольников и всех
четырехугольников равна удвоенной сумме длин трех жирных отрезков плюс
периметр большого треугольника. Поэтому сумма длин жирных отрезков равна
половине разности суммы периметров всех треугольников и четырехугольников и
периметра большого треугольника, т.е. (25+20-19)/2=13. (8 баллов)
5. Ответ. 7. Решение. Первый турист двигался 60/5 = 12 часов, второй 60/12=5
часов, следовательно, второй турист отдыхал на 7 часов дольше первого. По
условию, это равно общему времени отдыха первого туриста, равному
произведению числа пеньков на время отдыха на каждом из них. Ввиду простоты
числа 7 и того, что число пеньков больше одного, получаем ответ – 7 пеньков.
(7 баллов)
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
8 класс (ключи)
1. В конце этих манипуляций все карточки лежат черной стороной вверх, поэтому
каждая из них была перевернута 1 или 3 раза. Общее число переворотов равно
5+6+7=18, карточек 10, поэтому число вторых и третьих переворотов равно 8,
значит, ровно 4 карточки были перевернуты трижды. Таким образом, Коля
перевернул карточки с первой по пятую, Оля – с первой по четвертую, шестую и
седьмую, Миша – с первой по четвертую и с восьмой по десятую. (8 баллов)
2. Ответ.
. (5 баллов)
3. Ответ. 3a2. (5 баллов)
4. Общее число рыцарей равно общему числу пар соседних рыцарей, сидящих за
столом. Пары бывают дружественными, когда рядом сидят рыцари из одного из
одного клана, и недружественными, когда рядом сидят рыцари из разных кланов.
По условию, количества дружественных и недружественных пар равны, значит,
общее число пар равно удвоенному числу недружественных пар. Далее, проходя по
кругу, мы видим, что каждая недружественная пара соответствует переходу от
одного клана к другому. Поскольку, замкнув круг, мы совершим четное число таких
переходов, получаем, что число недружественных пар делится на два, а число всех
пар – на четыре. (9 баллов)
5. (8 баллов) Ответ. 60°.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
9 класс (ключи)
Решения.
1. (7 баллов) При делении данного числа на 225 в остатке получилось 150.
Разделится ли нацело данное число на 75 и почему?
Решение. Да, так как 22575 и 150 75 , следовательно, остаток равен 0. данное
число можно записать так 225  х  150  75(3х  2), где х – неполное частное.
2. (7 баллов) Известно, что ОА1  1, А1А2  1 и ОА1А2  90 ;
А2 А3  1, ОА2 А3  90 ; А3 А4  1, ОА3 А4  90 ; и т.д. (рис. 1). Тогда длина
отрезка ОА2009 равна…
Решение.
А4
А3
По теореме Пифагора, имеем,
ОА2  1  1 
ОА3 
А2
2
Рис. 1
2 1  3
ОА4  3  1 
42
ОА5 
5
4 1 
ОА2009 
Ответ:
и
2008  1 
т. д.
О
А1
2009
2009 .
3. (7 баллов) Сравните числа 28  10 3  28  10 3 и 10.
Решение. Возведем оба числа в квадрат, так они оба положительны:
2
1)  28  10 3  28  10 3   28  10 3  2 28  10 3  28  10 3  28  10 3 



 56  2 282  10 3

2
 56  2 784  300  56  2 484  56  2  22  100 ;
2) 10 2  100 . Так как равны квадраты положительных чисел, значит, равны и
сами числа.
Ответ: числа равны.
4. (7 баллов) У первого из десяти друзей есть 5 тугриков, у второго – 10
тугриков, у третьего – 15 тугриков, и т.д., у десятого – 50 тугриков. Они сели
на ковёр-самолёт, полёт на котором стоит 5 тугриков с носа. Смогут ли они
честно расплатиться с ковром-самолётом, если тот не дает сдачу и не
разменивает деньги?
Решение. Последний из друзей отдает 50 тугриков, ему предпоследний даёт
45 тугриков, и т.д. вплоть до первого, который даёт второму 5 тугриков.
Ответ: да.
5. (7 баллов) Постройте график функции: y 
x2  x
x2
.

x 2 1 x 1
Решение.
y
x2  x
x2
x(x  1)
x2
x  x 2 x(x  1)





 x , при условии, что
x 1
x 2  1 x  1 (x  1)(x  1) x  1 x  1
x  1, x  1.
6. (7 баллов) При каких значениях параметра р отношение корней уравнения
x 2  2px  1  0 равно 9?
x1  x 2  2p,
Решение. Пусть х1  9х 2 , тогда по теореме Виета 
x1  x 2  1;
9x 2  x 2  2p, 10 x 2  2p ,
 2

9x 2  x 2  1;
9 x 2  1;
1

p  5  3 ,

x  1 ;
 2 3
5

p   3 ,

x  1 ;
 2 3
Ответ:
или
или
5
5
;  .
3
3
10 x 2  2p ,

 2 1
x 2  9 ;


 1
p  5    3  ,



x   1 .
 2
3
5

p  3 ,

x   1 .
 2
3
p  5 x 2 ,

1

 x 2  ,

3

1
 x 2   ;

3
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
10 класс (ключи)
1. Ответ: одинаково
Решение: Пусть х рублей первоначальная цена молока.
В первом магазине цена уменьшилась на 40%, то есть составила 0,6х рублей. Во
втором магазине после первого понижения цена была 0,8х рублей, а после второго 0,75(0,8х)=0,6х. Таким образом, молоко в каждом из магазинов вновь стоит
одинаково.
Ответ без обоснования 1 балл.
Решена задача для частного случая - 2балла.
Составлено уравнение, но не решено – 5 баллов
Составлено уравнение, решено, но допущена вычислите6льная ошибка – 5 баллов
Полное решение 7 баллов
2. Ответ: 2012.
Решение: Преобразуем исходное уравнение: х2 – у2 = 2012 (х –у).Так как числа х и у
различны, то можно разделить обе части уравнения на х –у, получим х +у =2012.
Ответ без обоснования 1 балл.
Выполнено преобразование с применением формулы разности квадратов, но
ответ до конца не доведён – 3 балла
Разделили обе части равенства на х – у, но не объяснили почему это можно
сделать – 5 баллов
Полное решение 7 баллов
3. Ответ: 5 кубиков.
Одно из возможных решений: Пусть кубик,
показанный стрелкой, имеет координаты
(0; 0; 0).Найдем координаты кубиков, которые
следует соединить. Левый из них будет иметь
координаты (1; -5; 5), а правый (3; -2; 4).поэтому,
чтобы соединить их потребуется
1  3   5  (2)  5  4 1  5 кубиков. Например, это могут быть кубики (2; -5; 5), (3; -5;
5), (3; -4; 5), (3; -3; 5), (3; -2; 5).
Правильный ответ без обоснования 1 балл.
В качестве обоснования достаточно найти «расстояние» между концами змейки
по трем измерениям. Если расстояния по трем измерениям найдены правильно, но
дальше при нахождении необходимого количества кубиков ошибка в один кубик – 4
балла.
Полное решение 7 баллов.
4.
Преобразуем выражение к виду
Значит, y 
х 4
х 4х
2

х 4
х  х  4

1
при х  4
х
1
, при условии, что х  4, х  4 .
x
На рисунке видно, что прямая у = кх не имеет с построенным графиком общих
точек, если она горизонтальна, либо если она проходит через одну из
1
1
удаленных точек  4;  или   4;  . Этим случаям соответствуют

значения к = 0; 
4

4
1
1
;
.
16 16
Выполнены преобразования – 1 балл
Учтена область определения функции – 2 балла
Выполнены преобразования и построен график первой функции – 3 балла
Если не учтен случай к<0 – 5 баллов
Если не учтен случай к=0 – 6 баллов
Правильное построение графика оценивается в 7 баллов.
5. Ответ: 450.
Решение:
Так как С1В1 - диаметр, то С 1ВВ1  90 0. Так как ВВ1  АС, то С1В | | АС.
Поэтому ВС1С  С1СА. Углы ВС1С и ВАС равны как вписанные, опирающиеся на
одну дугу. Следовательно, С1СА  ВАС. Пусть Н- основание высоты, опущенной из
вершины С. Прямоугольный треугольник АНС – равнобедренный, т.е. А  45 0.
Ответ без обоснования – 1 балл. Рассмотрение частных случаев обоснованием не
является.
Полное решение 7 баллов.
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников
МАТЕМАТИКА 2014-2015 учебный год
11 класс (ключи)
 x  1  0,
1.Решение.  x  5  0,
 x  5  0,
 x  1,

 x  5, х=5.
 x  5,
Ответ: х = 5. (5 баллов)
2. Решение:
(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)=1320;(x2 +2x-8)( x2 +2x-15)=1320;
Пусть t=x2 +2x, тогда (t-8)(t-15)=1320 t2-23t-1200=0 t1= -25; t2=48;
Получим x2+2x+25=0 и x2 +2x-48=0. Первое уравнение не имеет решение, а второе
x1 =6 и x2= -8
Ответ 6 и -8 (10 баллов)
3. Решение:y= 4 sin 4 x  2 cos 2x  3 + 4 cos 4 x  2 cos 2x  3
y= 4 sin 4 x  2  4 sin 2 x  3 + 4 cos 4 x  4 cos 2 x  1
y= 4 sin 4 x  4 sin 2 x  1 + 4 cos 4 x  4 cos 2 x  1
y= 2sin²x+1+2cos²x+1y=4
Ответ: графиком функции является прямая, заданная уравнением у=4. (10 баллов)
4.Решение:
Сгруппируем слагаемые следующим
образом 1 

2013
2013
2013
1  1
1 
1 
 1

 ... 

=
 
  ...  
=
1006  1007
2012   2 2011 
 1006 1007  1  2012 2  2011
1
1
 1


 ... 

  2013 Таким образом, выражение делится на 2013.
1006  1007 
 1  2012 2  2011
(10 баллов)
5.Решение:
( 15 баллов)