Математическая модель финансового рычага

Математическая модель финансового рычага
При решении задачи уменьшения стоимости капитала важнейшей
проблемой является выбор оптимального соотношения заемных и собственных
средств. Ее решение основывается на использовании эффекта "финансового
рычага",
возникающего
из-за
расхождений
между
экономической
рентабельностью активов и "ценой" заемных средств.
Традиционная
теория
финансового
рычага
и
средневзвешенной
стоимости капитала исходит из того, что когда в структуре капитала
предприятия повышается доля долга, средневзвешенная стоимость капитала
сначала снижается. Это происходит в связи с тем, что менее рисковый заемный
капитал имеет более низкую стоимость, чем собственный, и когда его доля в
структуре капитала увеличивается, средневзвешенная стоимость капитала
снижается.
Однако, начиная с определенного значения финансового рычага, долг
становится более дорогим из-за возникшего кредитного риска. Кроме того,
если корпорация наращивает заимствования, создается дополнительный
финансовый
собственного
риск
для
капитала
акционеров
также
корпорации,
возрастает.
Это
поэтому
приводит
стоимость
к
росту
средневзвешенной стоимости капитала.
Исходя из этого можно предположить, что существует некоторое
оптимальное значение финансового рычага, при котором средневзвешенная
стоимость капитала минимальна, а стоимость фирмы максимальна. Однако
традиционная теория не формализована и базируется только на рациональных
соображениях,
поэтому
и
нет
математической
модели,
позволяющей
определить этот оптимум для конкретной корпорации.
Альтернативная точка зрения на выбор оптимальной структуры капитала
известна
как
теория
Миллера-Модильяни,
названная
по
имени
ее
разработчиков - американских ученых, лауреатов Нобелевской премии. В
соответствии с ней, исходя из предположений, что процентные платежи
1
освобождены от налога на прибыль, а заемный капитал компании имеет более
низкую стоимость, чем собственный, стоимость фирмы и средневзвешенная
стоимость ее капитала не зависят от финансового рычага вследствие
невозможности получения стабильной арбитражной прибыли на современных
финансовых рынках.
Однако в России оба эти условия выполняются не всегда: долг может
быть более дорогим, чем собственный капитал, а часть процентов по заемному
капиталу выплачивается после налога на прибыль.
В связи с неоднозначностью положений и выводов теории финансового
рычага многие финансовые управляющие не уделяют должного внимания
оптимизации структуры капитала и в своей практической деятельности
ориентируются на ее среднерыночные значения, которые могут быть
неоптимальными. Кроме того, проблема оптимизации структуры капитала
традиционно рассматривается с позиций минимизации стоимости капитала и
максимизации стоимости компании. Однако в связи с относительной
неразвитостью фондового рынка в России реальную стоимость многих
компаний объективно оценить крайне сложно и их собственники в большей
степени заинтересованы в повышении прибыльности, чем в росте курсовой
стоимости.
Исходя
из
этого
целесообразно
рассмотреть
вопрос
о
выборе
оптимальной структуры капитала с точки зрения максимизации прибыли
компании за счет привлечения займов.
Для
решения
этой
задачи
можно
предложить
следующую
математическую модель финансового рычага.
Пусть: A - активы предприятия; S - собственные средства (СС); Z заемные средства (ЗС).
В силу равенства актива и пассива:
A= S Z
(1)
Пусть: N – прибыль до вычета процентов и налогов (EBIT, Earnings
2
Before Interest and Taxes); G - финансовые издержки по обслуживанию заемных
средств; Y – прибыль компании. При условии действия налогового щита в
полном объеме имеет место соотношение:
(2)
Y = N −G
Пусть g - средняя расчетная ставка процента (СРСП) по всей
совокупности заемных средств, измеряемая в долях единицы. Тогда:
(3)
G= gZ
В соответствии с (3) формулу (2) можно переписать в виде:
(4)
Y = N − gZ
Предположим, что N является функцией активов следующего вида:
(5)
N =kA r =k  S Z r
Чем больше активы, тем больше прибыль до вычета процентов и налогов.
Поэтому k>0 и r>0. При r=1 EBIT растет строго пропорционально росту
активов. В этом случае экономическая рентабельность активов (ЭР) не
изменяется с ростом активов и k=ЭР. Если ЭР с ростом активов возрастает, то
r>1, а если убывает, то r<1.
В первом приближении можно считать, что СРСП зависит только от
соотношения заемных и собственных средств (ЗС/СС). Представим эту
зависимость в виде:
g= g 0  g 1
 
Z
S
h
= g0 g1 S
−h
Z
h
(6)
Поскольку СРСП не может быть отрицательной, должны выполняться
условия g0>0 и g1>0. При этом g0 можно интерпретировать как минимальный
процент, под который данное предприятие могло бы получить малый по
отношению к его собственным средствам займ при полном отсутствии у него
заемных средств.
Чем выше соотношение ЗС/СС, тем выше риск кредитора и проценты по
займам, как плата за риск. Поэтому можно предположить, что плата за риск
растет тем быстрее, чем больше соотношение ЗС/СС. Это условие выполняется
3
при h>1.
Содержательный смысл функции (6) состоит в том, что она представляет
СРСП как сумму минимальной ставки процента и дополнения, выражающего
величину платы за риск. При малом отношении ЗС/СС риск невелик, поэтому и
плата за него невелика. Чем больше это соотношение, тем больше плата за
риск.
Подставив зависимости (5) и (6) в формулу (4), получим:
−h
r
Y = N − gZ =k  Z S  − g 0Z − g 1S Z
h1
(7)
Если считать S произвольно заданным параметром, то формула (7)
определяет
зависимость
функции
Y
от единственной
переменной
Z.
Рассмотрим производную функции Y(Z):
r −1
Y '  Z =r k S Z 
− g 0 − h1 g 1 S
−h
Z
h
(8)
При малых Z и доcтаточно больших S производная положительна. В то
же время, при h>r-1 третье слагаемое формулы (8) с ростом Z растет быстрее,
чем первое. Это означает, что при больших Z производная становится
отрицательной. Следовательно, при данных условиях существует такое
Zm ,
при котором достигается максимум функции Y.
Поскольку уравнение Y'(Z)=0 нельзя решить в общем виде, рассмотрим
частный случай постоянной экономической рентабельности активов (r=1). В
этом случае формула (8) примет вид:
−h
Y '  Z =k− g 0− h1 g 1S Z
h
(9)
Если k>g0 (ЭР больше минимальной, "безрисковой" ставки процента), то
выражение (9) обращается в ноль при:

k− g 0
Z m=
h1 g 1

1
h
S
(10)
Вторая производная функции Y(Z) при r=1 всегда отрицательна. Поэтому
в точке Z m достигается максимум функции Y(Z).
Формула (10) дает теоретическую оценку оптимального соотношения
заемных и собственных средств, при котором компания обеспечивает себе
4
максимум прибыли. Ее значение состоит в том, что для любой заданной
величины собственных средств она позволяет рассчитать такую величину
заемных средств, при которой достигается максимальное значение прибыли.
Однако
при
практическом
применении
представленной
модели
финансового рычага следует иметь ввиду следующие обстоятельства.
1) Выражаемая формулой (10) оценка оптимального соотношения
заемных и собственных средств верна только в том случае, если экономическая
рентабельность активов при их росте не изменяется. В противном случае, для
определения оптимального уровня заимствований следует численно решить
уравнение Y'(Z)=0, где Y' определяется формулой (8) и дополнительно
исследовать действительно ли в данной точке достигается максимум.
2) Могут возникнуть сложности с определением коэффициентов функций
(5) и (6). Если считать, что ЭР с ростом активов остается неизменной, то
коэффициент k=ЭР, а r=1. Если же положить, что ЭР с ростом активов
меняется, то коэффициенты k и r нужно оценивать либо экспертно, либо путем
построения уравнения регрессии. Еще сложнее оценить коэффициенты
функции (6). Она описывает поведение СРСП, которая представляет собой
средневзвешенную величину ставок нескольких кредитных договоров. Какие
они будут в реальности неизвестно. Поэтому построение этой функции может
быть основано только на экспертных оценках. В этой связи необходимо
строить различные гипотезы о параметрах функции (6) и проводить
многовариантные расчеты.
3) В модели предполагается, что средняя расчетная ставка процента
зависит только от соотношения заемных и собственных средств. Однако в
действительности, при заключении кредитных договоров банки учитывают
также множество других факторов, не отраженных в модели.
4) Построенная модель основана на показателях аналитического баланса,
в
котором
заемные
средства
рассматриваются
без
кредиторской
задолженности, к источникам собственных средств добавлены резервы и
5
вычтены убытки и расчеты с учредителями, проходящие по активу и т.д.
В связи с указанными ограничениями, выражаемую формулой (10)
оценку оптимального соотношения заемных и собственных средств следует
рассматривать как стратегический ориентир в первом приближении.
Кроме того, следует иметь ввиду, что модель построена в предположении
действия налогового щита. В том случае, когда часть издержек по заемным
средствам включается в налогооблагаемую прибыль более целесообразным
является
отыскание
такого
уровня
заимствований,
при
котором
максимизируется чистая прибыль организации. Это требует дальнейших
исследований и развития рассмотренной модели финансового рычага.
6