Школьная олимпиада по математике, 6 класс. Задания школьной олимпиады по математике рассчитаны на учащихся 6 классов. При подборе заданий олимпиады использовался принцип, при котором из 8 задач 3 задачи должны быть посильны для большинства участников, 3 задачи повышенной трудности (их может решить половина участников), 2 сложные, требующие особой математической смекалки и навыков в решении нестандартных задач. Задания. 1. В записи * 1 * 2 * 4 * 8 * 16 * 32 * 64 = 27 вместо знаков «*» поставить знаки «+» или «-» так, чтобы равенство стало верным. 2. Можно ли разложить гири в 1, 2, 3, …, 21 граммов на две равные по весу кучи? 3. Два друга Вася и Петя, немного поссорившись, пошли с равными скоростями в разные стороны. Через 5 минут Вася решил помириться и стал догонять Петю, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдет минут, прежде чем он догонит Петю? 4. У Коли на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму — 1/5 остатка, третьему — 1/4 того, что осталось, четвертому — 1/3 нового остатка. Последний кусок Коля разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок? 5. Цена картофеля повысилась на 20%. Через некоторое время цена понизилась на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения? Ответ поясните. 6. Одно четырехзначное число составлено из последовательных цифр, расположенных в порядке возрастания, второе число составлено из тех же цифр, но в порядке убывания, третье четырехзначное число также составлено из этих четырех цифр. Что это за числа, если их сумма равна 12300? 7. Предположим, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же, каким он был два часа назад. Чему равен этот угол? 8. Разрежьте квадрат на а) 6 квадратов; б) 7 квадратов; в) 8 квадратов. г) На какое количество квадратов можно разрезать квадрат? Решения. 1. Это можно сделать единственным способом: 1 – 2 + 4 + 8 – 16 – 32 + 64 = 27. 2. Предположим, что гири разложили на две кучи равные по весу. Тогда вес каждой кучи должен равняться (1 + 2 + ... + 21) : 2 = 115,5 г, что невозможно, так как каждая гиря весит целое число грамм. Противоречие. Ответ: нельзя. 3. Если x м/мин — первоначальная скорость ребят, то через 5 минут между ними будет 10x метров. Когда Вася будет догонять Петю, то скорость их сближения будет равна 3x – x = 2x м/мин. Тогда, расстояние между ними пропадет через 10x : 2x = 5 мин. Ответ: 5 минут. 4.Примем весь пирог за 1. Тогда первому другу досталась 1/6 пирога; второму — 1/5 остатка, то есть 1/5 × (1 – 1/6) = 1/6 пирога. Осталось 1 – 1/6 – 1/6 = 4/6 пирога. Третьему другу Коля отрезал 1/4 × 4/6 = 1/6 пирога, четвертому — 1/3 × (4/6 – 1/6) = 1/6 часть. Осталось 2/6 пирога, которые он разделил поровну между собой и пятым другом, то есть по 1/6 пирога. Таким образом, все получили по одинаковому куску пирога. Ответ: всем досталось поровну. 5. Пусть x рублей — начальная цена картофеля. Цена повысилась на 20%, то есть на 0,2x рублей, после чего стала равной x + 0,2x = 1,2x (руб). Затем цена понизилась на 20% (внимание: цена понизилась на 20% не от первоначальной цены x, а от цены, полученной после повышения — 0,2x), то есть на 0,2 × 1,2x = 0,24x (руб), и стала равной 1,2x – 0,24x = 0,96x (руб). Так как 0,96x < x, то картофель стал стоить дешевле после снижения цены. Ответ: картофель стоил дешевле после снижения цены. 6. Если одно из этих чисел 1234, то второе – 4321. Тогда третье число равно 12300 – (1234 + 4321) = 6745. Этот вариант не подходит, так как третье число состоит из других цифр. Если первое число 2345, то второе – 5432, а третье 12300 – (2345 + 5432) = 4523. Этот вариант подходит. В случае, когда первое число 3456, третье будет равно 12300 – (3456 + 6543) = 2301 — не подходит. Если же первое число 4567, то третье 12300 – (4567 + 7654) = 79. В остальных случаях третье число будет еще меньше, что не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 2345, 5432, 4523. 7. Решение. Через два часа минутная стрелка будет на том же месте, а часовая повернется на 60°. Поэтому, искомый угол 60°:2 = 30° или (360° – 60°):2 = 150°. Первый случай возникает от 11:00 до 13:00, второй — от 5:00 до 7:00. Ответ: 30° или 150°. 8. Примеры для (а)-(в) показаны на рисунке: При разрезании квадрата на 4 равных количество квадратов увеличивается на 3. Таким способом из пунктов (а)-(в) можно получить любое число квадратов, начиная с пяти. Критерии оценивания заданий 1. Указан способ, но допущена вычислительная ошибка – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов. 2. Дан ответ без обоснования – 1 балл. Указан способ, но допущена вычислительная ошибка – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов. 3. Допущена вычислительная ошибка – 4 балла. Задача баллов. полностью решена – 7 4. Дан ответ без обоснования – 1 балл. Верно подсчитан остаток, но не сделан вывод – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов. 5. Верно подсчитана стоимость после повышения цены – 1 балл. Верно подсчитана стоимость после снижения цены, но не сделан вывод – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов. 6. Дан ответ без обоснования – 1 балл. Обоснование верное, но допущена вычислительная ошибка – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов. 7. Допущена вычислительная ошибка – 3 балла. Задача полностью решена – 7 баллов. 8. Рассмотрен один вариант – 1 балл, два или три варианта – 4 балла. Задача полностью решена – 7 баллов.