Открытая олимпиада школьников по математике 2010 - 2011 учебный год 5 класс

Открытая олимпиада школьников по математике
2010 - 2011 учебный год
5 класс
Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 50 рублей. А на 15
тетрадей у него не хватает 70 рублей. Сколько денег было у школьника?
Ответ: 380 рублей
Решение: Так как после покупки 11 тетрадей у ученика остается 50 рублей, а для
покупки 15 тетрадей у него не хватает 70 рублей, то 4 тетради будут стоить 50 + 70
=120 рублей. Тогда одна тетрадь будет стоить 30 рублей. Следовательно, у школьника
было 11*30 + 50 =380 рублей.
1.
2.
Как разрезать квадрат со стороной 30 м 15 см на 2010 одинаковых треугольников?
Решение: Разделим две противоположные стороны квадрата на отрезки длиной 3 см.
Соединяя концы получившихся отрезков, получим 1005 одинаковых прямоугольников.
Проведя в каждом прямоугольнике диагональ, получим 2010 одинаковых
треугольника.
3. На листе бумаги нарисован круглый циферблат часов с 60 точками, обозначающими
минуты. Двое поочередно проводят отрезки прямых, соединяющих две произвольные
точки. Не разрешается проводить отрезок, пересекающий другие отрезки, но они могут
иметь разные концы. Проигрывает тот, кто не сумеет провести отрезок. Кто выигрывает
при правильной игре – начинающий или его партнер?
Ответ: Выигрывает начинающий.
Решение: Своим первым ходом он соединяет любые две диаметрально
противоположные точки. На последующих ходах он строит отрезок, симметричный
относительно этого диаметра последнему отрезку, проведенному вторым игроком.
4. Медведь, Волк и Лиса разговаривают на поляне. Медведь: «Лиса не самая хитрая»,
Лиса: «Я хитрее Медведя», Волк: «Лиса хитрее меня». Двое зверей сказали правду, а
самый хитрый соврал. Кто самый хитрый из зверей?
Ответ: Самый хитрый - Волк.
Решение: Пусть самый хитрый Медведь. Тогда он солгал, сказав, что Лиса не самая
хитрая. Значит, Лиса должна быть самой хитрой. Но Медведь и Лиса не могут быть
одновременно самыми хитрыми. Значит, Медведь не самый хитрый, и он сказал
правду, что Лиса не самая хитрая. Тогда получается, что самый хитрый Волк.
Действительно, так как самый хитрый солгал, получается, что Лиса не хитрее Волка. А
так как Лиса и Медведь сказали правду, то все сходится.
5. Для нумерации детской книги понадобилось 204 цифры. Сколько страниц в книге, если
нумерация начинается с первой страницы?
Ответ: В книге 104 страницы.
Решение: Для нумерации страниц с первой по девятую понадобится 9 цифр, для
нумерации страниц с 10 по 99: 90  2  180 цифр. Итого требуется 189 цифр. Остается
204-189=15 .Так как с сотой страницы на нумерацию одной страницы требуется 3
цифры, то всего страниц в книге будет 99+15:3=99+5=104.
Учителям математики, работающим в 5 классах,
рекомендуется разобрать решения задач открытой олимпиады с участниками.
Полное решение каждой из пяти задач оценивается в 7 баллов
Уточненные критерии оценивания
Задача № 1.
7 баллов: задача решена верно;
5 баллов: задача решена верно, но допущена арифметическая ошибка;
5 баллов: верно найдена цена тетради;
3 балла: верно находилась цена тетради, но при подсчёте допущена арифметическая
ошибка;
2 балла: дан верный ответ с проверкой;
1 балл: дан верный ответ без обоснований.
0 баллов: решение неверное или отсутствует;
Задача № 2.
7 баллов: показано, как разрезать квадрат;
1 балл: присутствует идея деления на 1005 прямоугольников и деления каждого
прямоугольника на два равных треугольника.
0 баллов: решение неверное или отсутствует;
Задача № 3.
7 баллов: задача решена верно;
не менее 4 баллов: сделан первый ход и показана идея симметрии;
не более 3 баллов: показана идея симметрии, но ничего не сказано про первый ход;
0 баллов: решение неверное или отсутствует;
Задача № 4.
7 баллов: задача решена верно (присутствует объяснение, почему не могут быть самыми
хитрыми медведь и лиса, а также проверено, что если волк лжёт, то условие задачи не
выполняется)
5 баллов: доказано, что медведь и лиса не могут быть самыми хитрыми, но не проверено,
что если волк лжёт, то условие задачи выполнено;
2 балла: доказано, что медведь (лиса) не могут быть самыми хитрыми;
2 балла: дан верный ответ и проверено, что условие задачи выполнено;
1 балл: дан верный ответ без обоснования;
0 баллов: решение неверное или отсутствует;
Задача № 5.
7 баллов: верное решение;
5 баллов: верное решение, но допущена вычислительная ошибка;
1 балл: дан верный ответ без обоснования.