МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению лабораторных работ по курсу СМ 1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению лабораторных работ по курсу
«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»
на универсальном учебном комплексе СМ 1
2
МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Перед началом лабораторной работы на опорной плите стенда должна
быть собрана одна из наладок.
Студенты должны изучить соответствующие разделы курса “Сопротивление материалов”.
Каждое учебное заведение вправе разрабатывать собственную методику
проведения лабораторных работ.
Работа 1. Определение модуля нормальной (продольной) упругости и
коэффициента Пуассона (Наладка 1).
а) Для выполнения работы используйте стержень (ящик 2, поз. 11).
б) Цель работы - экспериментальное определение модуля нормальной
(продольной) упругости  и коэффициента Пуассона  и сравнение их с табличными значениями.
в) Краткие теоретические сведения.
Модуль нормальной (продольной) упругости  характеризует жесткость
материала, т.е. способность сопротивляться деформации, определяется отношением нормального напряжения  к соответствующему относительному
удлинению  при растяжении прямого стержня и выражается формулой:
E
Z
Z
(1.1.)
или
E
F
AZ
(1.2.)
где F - усилие растягивающее стержень,
z- продольная деформация,
А - площадь поперечного сечения стержня.
Коэффициентом Пуассона  называется абсолютное значение отношения поперечной деформации к продольной при одноосном напряженном состоянии:

X
Z
,
где εх- поперечная деформация
εz- продольная деформация.
г) Порядок выполнения работы.
1) Установите стержень, зафиксируйте штифтами и произведите предварительное нагружение стержня для устранения зазоров в шарнирах нагрузкой 0,5 кН и снимите показания с табло ИД для четырех тензорезисторов.
3
2) Нагружайте образец последовательно силой 1,5 кН, 2,5 кН, 3,5 кН, 4,5
кН, контролируя величину силы по табло блока измерителя силы. На каждом
уровне силы снимайте показания ИД для четырех тензорезисторов.
3) Подсчитайте среднюю разность показаний табло ИД (  nz,  nx) для
ступени нагрузки  F = 1 кН.
4) Определить приращение продольной и поперечной деформаций ∆ε х,
∆εz, соответствующие приращению силы  F = 1 кН по формулам:
 Z  K g  n z ,
 x  K g  n x
(1.3.)
где Кg - цена единицы дискретности ИД.
5) Вычислите модуль нормальной упругости по формуле:
E
F
AZ
6) Вычислите коэффициент Пуассона по формуле:

 X
 Z
7) Сравните результаты с табличными данными.
Примечание: результаты вычислений должны быть в пределах (для стали):
Е = (1,9.....2,1) ∙ 105 МПа
 = 0,25.....0,3.
Работа 2. Исследование внецентренного растяжения стержня (Наладка
1).
а) Для выполнения работы используйте два специальных стержня с разной длиной (ящик 2, поз. 9 и 10).
б) Цель работы - экспериментальное определение напряжений в среднем сечении стержня при его внецентренном растяжении. Сопоставление
опытных результатов с теоретическими для различных расчетных схем.
в) Краткие теоретические сведения.
При внецентренном растяжении жесткого (малой длины) стержня
наибольшие и наименьшие напряжения равны по всей длине и определяются
алгебраической суммой напряжения растяжения и наибольшего напряжения от
изгиба без учета прогибов.
 max 
min
F F e
F
6 F e



A WX
b  h b  h2
(2.1.)
4
где: F - растягивающая сила в Н,
b, h, e - размеры поперечного сечения стержня и эксцентриситет приложения силы в м. Смотри п. 2.3.
При нежестком (длинном) стержне напряжения вычисляются с учетом
прогибов стержня.
Наибольшее и наименьшее напряжения в среднем сечении стержня,
подсчитанное с учетом прогибов стержня равно:
 max 
min
6  F  (e  VC )
F F  (e  VC )
F



A
WX
bh
b  h2
(2.2.)
где Vc – прогиб среднего сечения стержня.
Прогибы сечений стержня теоретически рассчитываются с применением дифференциального уравнения упругой линии.
г) Порядок выполнения работы.
1) Установите короткий стержень, зафиксировав его штифтами, и произведите предварительное нагружение для устранения зазоров в шарнирах небольшой силой и снимите показания ИД для двух тензорезисторов и трех прогибомеров.
2) Нагружайте образец последовательно силой 1,0 кН, 2,0 кН, 3,0 кН, 4,0
кН, контролируя величину силы по табло блока измерителя силы. На каждом
уровне силы снимайте показания ИД для обоих тензорезисторов и трех прогибомеров.
3) Подсчитайте разность показаний тензорезисторов и прогибомеров
путем вычитания из последующих показаний начальных значений.
4) Определите напряжения и перемещения.
5) Разгрузите короткий образец, снимите и поставьте на его место длинный стержень и выполните эксперимент аналогичным способом.
6) Повторите эксперимент по перечислению 2 и определите значения по
перечислениям 3 и 4.
7) Подсчитайте теоретические значения наибольших и наименьших
напряжений.
Дайте заключение о целесообразности использования различных расчетных схем и соответствии теоретических и опытных данных.
Работа 3. Исследование напряжений в стержне большой кривизны
(Наладка 1).
а) Для выполнения работы используйте образец в виде скобы (ящик 2
поз. 14).
б) Цель работы - экспериментальное определение напряжений, возникающих в кривом брусе при его внецентренном растяжении.
в) Краткие теоретические сведения.
5
Принято различать брус малой и большой кривизны. Основным признаком для такого деления является отношение высоты сечения h в плоскости
кривизны к радиусу кривизны центрального слоя  .
Если это отношение существенно меньше единицы (
h

= 0,2 и меньше),
считается, что брус имеет малую кривизну. Для бруса большой кривизны отношение
h

соизмеримо с единицей. В стержне большой кривизны напряжения
при изгибе распределяется нелинейно по высоте поперечного сечения.
Нейтральный слой имеет радиус кривизны rо, меньше радиуса центрального
слоя на е. Наибольшие напряжения (при растяжении) возникают в точках сечения, расположенных на внутренней цилиндрической поверхности. Напряжения
σ в среднем сечении А-А определяются действием силы F и момента Мизг.

F M изг  (r  r0 )

A
Ae R
(3.1.)
Расчеты, проведенные методами теории упругости показывают, что в
стержне возникает двухосное напряженное состояние, т.е. помимо окружных
напряжений имеются еще и радиальные. Величина этих напряжений невелика
и в практических расчетах на прочность не учитывается.
г) Порядок проведения работы.
1) Установите стержень, зафиксируйте штифтами и произведите предварительное нагружение для устранения зазоров в шарнирах силой 0,5 кН и
снимите показания ИД для всех тензорезисторов.
2) Нагружайте образец последовательно силой 1,5 кН; 2,5 кН; 3,5 кН,
контролируя величину силы по табло блока измерителя силы. На каждом
уровне силы снимайте показания ИД для всех тензорезисторов.
3) Подсчитайте среднюю разность показаний всех тензорезисторов для
ступени нагрузки F = 1 кН.
4) Определите приращение напряжений во всех точках для ступени F =
1 кН по формуле:
∆σ=Kg∙∆n∙E,
где Kg - цена единицы дискретности ИД,
Е = 2,1 ·10 5 МПа - модуль нормальной упругости.
5) Подсчитайте по формуле (3.1.) теоретические значения напряжений
во всех точках при нагрузке в 1 кН и постройте график распределения напряжений по сечению.
6) Дайте заключение об особенностях напряженного состояния в кривом стержне. Оцените соответствие теоретических и опытных результатов.
6
Работа 4. Определение модуля сдвига (Наладка 2).
а) Для проведения работы используйте образец меньшего диаметра, выполненный из стали. Нагружайте образец крутящим моментом - вращением
гайки. Силу, действующую на плечо рычага, равное 0,2 м, контролируйте по
блоку измерителя силы (ИС), угол закручивания измеряйте механическим угломером.
б) Цель работы - экспериментальное определение модуля сдвига (модуля упругости второго рода) при чистом сдвиге.
в) Краткие теоретические сведения.
В пределах упругих деформаций угол закручивания φ связан с крутящим моментом Мк следующей зависимостью:

M K l
,
G  YP
(4.1.)
где l - длина участка стержня;
Jp - полярный момент инерции;
G - модуль упругости второго рода (модуль сдвига).
Отсюда
G
M K l
  YP
(4.2.)
На практике модуль сдвига определяют по приращению взаимного угла
поворота ∆φ, на участке стержня длиной l, которое соответствует ∆M k =∆F·а.
Здесь ∆F - ступень увеличения нагрузки, а - длина плеча рычага (а = 200 мм).
Таким образом
G
F  a  l
  YP
(4.3.)
г) Порядок выполнения работы.
1) Произведите предварительное нагружение образца для устранения зазоров в системе силой 100 Н и снимите показания угломера.
2) Нагружайте образец последовательно силой 200 Н, 300 Н, 400 Н,
контролируя значения силы по табло блока измерителя силы. Снимайте на
каждом уровне показания индикатора угломера.
3) Подсчитайте среднюю разность показаний индикатора угломера, соответствующее приращению силы  F = 100 Н.
4) Вычислите угол закручивания, соответствующий приращению силы
 F = 100 Н по формуле   =
n
,
h
(4.4.)
7
где ∆n - средняя разность показаний индикатора угломера, соответствующая приращению силы
∆F=100Н;
h - длина вылета кронштейна крепления индикаторной головки.
5) Вычислите по формуле 4.3. модуль сдвига G и сравните с табличными данными.
Примечание: модуль сдвига G, полученный в результате эксперимента
должен быть в пределах G=(0,78....0,82)·105МПа.
Работа 5. Исследование напряженно-деформированного состояния в
стержне при кручении. (Наладка 2).
а) Для работы используйте образец большего диаметра с наклеенными в
точке А тремя тензорезисторами - один вдоль оси, а два других под 45 о. Нагружайте образец крутящим моментом вращением гайки. Силу, действующую на
плечо рычага равное 0,2 метра, контролируйте по показаниям блока измерителя силы (ИС).
б) Цель работы - экспериментальное определение напряжений, возникающих при кручении, сопоставление их с расчетными, вычисленными по
формулам.
в) Краткие теоретические сведения.
При кручении тонкостенного стержня имеет место плоское напряженное состояние – «чистый» сдвиг. Касательные напряжения, возникающие в
точках поперечного сечения тонкостенной трубы постоянной толщины, выражаются формулой:
 max 
MK
2 F a

WK   D 2  h
(5.1.)
где F - сила действующая на плечо рычага;
D - средний диаметр трубы,
h- толщина стенки трубы.
При известных деформациях u, v в направлении осей u и v формулы
обобщенного закона Гука позволяют определить главные напряжения совпадающие с касательными:
E
( u   V )
1  2
E
 3  V 
( V   u )
1  2
1   u 
г) Порядок выполнения работы.
(5.2.)
(5.3.)
8
1. Произведите предварительное нагружение образца силой 100 Н для
устранения зазоров в системе и снимите показания ИД для двух тензорезисторов, наклеенных под углом 45о к продольной оси образца.
2. Нагружайте образец последовательно силой 200 Н, 300 Н, 400 Н, контролируя значения силы по табло блока измерителя силы. Снимайте на каждом
уровне показания ИД для обоих тензорезисторов.
3. Подсчитайте среднюю разность показаний ИД для обоих тензорезисторов, соответствующие приращению силы  F = 100 Н.
4. Определите приращение деформаций, соответствующие приращению
силы  F = 100 Н по формулам:
∆εu= Кg·∆nu,
∆εv= Кg·∆nv,
(5.4.)
где: Кg - цена единицы дискретности ИД.
5. Определите главные напряжения 1 и 3 по формулам 5.2. и 5.3., принимая для алюминия Е = 0,7· 105 МПа,  =0,33.
6. Подсчитайте величину касательных напряжений по формуле 5.1.
7. Сравните значения главных напряжений, полученных экспериментально и теоретически.
Работа 6. Исследование плоского напряженного состояния стержня методом электротензометрии (Наладка 2).
а) Для работы используйте образец (большего диаметра) с наклеенными
в точке А тремя тензорезисторами - один вдоль оси, а два других под 45 о.
Опорную площадку под подшипником необходимо опустить. При нагружении
рычага силой F, которое достигается вращением гайки, образец испытывает
кручение и изгиб. Контролируйте силу F по показаниям блока измерителя силы
(ИС).
б) Цель работы - экспериментальное определение положения главных
осей и значений главных напряжений при произвольном плоском напряженном
состоянии. Сравнение результатов эксперимента с теоретическими данными.
в) Краткие теоретические сведения.
При кручении тонкостенного полого стержня с одновременным изгибом, в точках сечения возникают нормальное и касательное напряжения,
наибольшие значения которых определяются по формулам:

MX
4 F l
,

WX   D 2  h
(6.1.)

MK
2 F a
,

WP   D 2  h
(6.2.)
где: Мх, Мк изгибающий и крутящий моменты в сечении стержня;
Wх, Wp - моменты сопротивления изгибу и кручению;
F- сила,действующая на рычаг;
l, - расстояние от точки А до средней плоскости рычага;
9
а – плечо рычага;
D - средний диаметр сечения тонкостенного стержня;
h - толщина стенки стержня.
Главные напряжения и угол наклона одной из главных осей к оси
стержня вычисляются по формулам:
 1,3
2

 
     2
2
2
tg ( 2   ) 
(6.3.)
2 
(6.4.)

Если же нам известны деформации в данной точке сечения в направлении трех осей ( u, z, v), расположенных под углом 45о друг к другу (uz v), то
главные деформации 1 и 3 и угол α˚ между осью стержня и одной из главных
осей можно вычислить по формулам:
 1,3 
 u  V
2
tg (2   ) 


1
( u   Z ) 2  ( V   Z ) 2
2
,
(6.5.)
2   z  ( u   v )
,
u  v
(6.6.)
β=45˚-α,
а значения главных напряжений по формулам:
1 
E
( 1   3 )
1  2
(6.7.)
3 
E
( 3   1 )
1  2
(6.8.)
г) Порядок выполнения работы.
1. Произведите предварительное нагружение образца изгибающим и
крутящим моментами приложением на конце рычага силы 100 Н и снимите показания ИД для всех трех тензорезисторов.
2. Нагружайте последовательно образец силой 200 Н, 300 Н, 400 Н.
Снимайте на каждом уровне показания ИД для всех трех тензорезисторов n u, nz,
nv.
10
3. Вычислите среднюю разность показаний ИД для всех трех тензорезисторов ∆nu, ∆nz, ∆nv, соответствующие приращению силы ∆F = 100 Н ∆Мх = 25
Нм; ∆Мк = 20 Нм.
4. Вычислите значения относительных деформаций по формулам:
u =Кg·∆nu ; z= Кg·∆nz; v = К·g∆nv
где Кg - цена единицы дискретности ИД.
5. Определите положение первой главной оси по формуле 6.6.
6. Вычислите главные деформации 1 и 3 в соответствии с формулой
6.5.
7. Подсчитайте главные напряжения 1 и 3 по формулам обобщенного
закона Гука 6.7. и 6.8.,
где Е=0,7·105 МПа - модуль упругости сплава Д16,
μ = 0,33 - коэффициент Пуассона сплава Д16.
8. Определите теоретически положение главных осей и главные напряжения по формулам 6.3. и 6.4.
9. Сопоставьте результаты, найденные в эксперименте, с результатами
теоретического расчета. Сопоставьте теоретические и экспериментальные
данные и сделайте вывод о погрешности.
Работа 7. Исследование напряженно-деформированного состояния в
плоской раме (Наладка 3).
а) Цель работы - определение перемещений в статически определимой
раме. Определение реакции опоры в статически неопределимой раме. Сопоставление напряжений в среднем сечении В статически определимой и неопределимой рам. Сравнение теоретических результатов с экспериментальными
данными.
б) Краткие теоретические сведения.
Рассматриваются статически определимая и статически неопределимая
рамы. В статически определимой раме находятся перемещения сечений А и В и
напряжение в сечении В. В статически неопределимой раме находятся перемещение сечения В, напряжение в сечении В и реакция опоры А. Раскрытие
статической неопределимости осуществляют методом сил. Сравниваются результаты, полученные теоретически и экспериментально для двух рам.
Порядок выполнения работы.
1) Соберите статически неопределимую раму.
2) Снимите показания индикаторов, закрепленных в сечениях А и В, показания ИД для двух тензорезисторов в сечении В и блока измерителя силы
(ИС) в сечении А.
3) Нагрузите раму двумя силами 20 Н и снимите показания указанных в
пункте 2 приборов.
4) Вычислите горизонтальную составляющую реакции опоры А как разность показаний блока измерителя силы.
11
5) Определите деформацию и напряжение в сечении В по показаниям
ИД.
6) Превратите раму в статически определимую, отведя датчик усилий от
подвижной опоры А вращением гайки.
7) Снимите показания индикаторов и показания ИД для обоих тензорезисторов.
8) Нагрузите раму и снимите показания приборов, перечисленных в
пункте 7.
9) Определите деформацию и напряжение в сечении В статически определимой рамы.
10) Определите горизонтальное перемещение подвижной опоры А, как
разность показаний индикатора 13.
11) Определите отношение максимальных напряжений в сечении В статически определимой и неопределимой рам полученных экспериментально.
12) Вычислите теоретически величины определенные экспериментально и сравните их значения. Постройте эпюры изгибающих моментов для статически определимой и неопределимой рамы.
Работа 8. Опытная проверка теоремы взаимности работ. (Наладка 3).
а) Цель работы - проверка справедливости теоремы взаимности работ.
Сопоставление результатов определения перемещений экспериментальным и
теоретическим путем.
б) Краткие теоретические сведения.
Согласно теореме взаимности работ, работа сил первого состояния на
соответствующих им перемещениях от сил второго состояния равна работе
сил второго состояния на соответствующих им перемещениях от сил первого
состояния.
Состояние 1
F
l
l
Состояние 2
l
l
l
l
B
l
l
M
A
A
Рассмотрим два состояния статически определимой рамы - нагружение
рамы силой F (состояние 1) и моментом М (состояние 2).
Для этих состояний можно записать равенство:
12
F∙δ12=M∙21,
(8.1.)
где δ12- перемещение точки приложения силы F от момента М (состояние 2);
21- угол поворота сечения А от силы F (состояние 1).
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите статически определимую раму.
2) Снимите показания индикатора угломера 13, закрепленного на стойке
6.
3) Нагрузите раму в сечении В грузом 20 Н и повторите пункт 2.
4) Уберите стойку 6 и рычаг упора ножки индикатора 19, наверните на
ось 11 груз 12 до упора, создавая этим на подвижной опоре А момент М = 2
Нм.
5) Снимите показания индикатора 14, закрепленного на стойке и опирающегося своей ножкой на раму в сечении В.
6) Открутите груз 12 и вновь снимите показания индикатора 14.
7) Определите прогиб сечения В рамы от действия момента М как разницу показаний индикатора 14.
8) Определите угол поворота опоры А под действием силы F по формуле:
 21 
h
,
H
(8.2.)
где ∆n - разность показаний индикатора 13,
H - длина рычага от точки А рамы до точки опоры ножки индикатора.
9) Проверьте справедливость равенства работ по формуле (8.1.). Оцените погрешность.
Работа 9. Изучение характера распределений напряжений в зоне расположения концентратора и в зоне удаленной от него (Наладка 4) и определение коэффициента концентрации.
а). Цель работы - экспериментальное определение коэффициента концентрации напряжений, изучение характера распределения напряжений в зоне
концентратора и в зоне достаточно удаленной от него.
б) Краткие теоретические сведения.
Концентрацией напряжений называется явление резкого увеличения
напряжений в зоне изменения конфигурации детали. Это изменение напряжений имеет локальный характер. Так для стержня прямоугольного сечения с
двумя полукруглыми вырезами коэффициент концентрации напряжений Кт при
изгибе зависит от параметра 2r/h,
где r - радиус выреза,
h - высота стержня.
Номинальное напряжение в сечении стержня равно:
13
Mx
,
Wx
F l
где Mx 
6
 ном =
(9.1.)
- изгибающий момент в поперечном сечении балки;
Wx =
b  h2
6
- момент сопротивления сечения изгибу;
F – сила, развиваемая нагружающим устройством;
b, h – размеры сечения исследуемого участка стержня.
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите наладку и произведите предварительное нагружение силой
F = 0,5 кН.
2) Снимите показания ИД со всех тензорезисторов в районе концентратора напряжений.
3) Последовательно нагрузите балку силой 2,5 кН; 4,5 кН, контролируя
величину силы по блоку измерителя силы (ИС).
4) На каждом уровне нагружения снимайте показания ИД, в соответствии с пунктом 2.
5) Определите среднюю разность ∆n показаний ИД по каждому тензорезистору для ступени нагрузки ∆F=2,0кН).
6) Определите деформацию во всех точках, соответствующую приращению силы ∆F = 2,0 кН.
ε = Кg·∆n
где Кg - цена деления единицы дискретности ИД.
7). Определите напряжения во всех точках, соответствующие ∆F = 2 кН.
σ= Е·ε,
где Е = 2,1·105 МПа - модуль нормальной упругости стали.
8) Найдите номинальные значения напряжений используя формулу
(9.1).
9) Подсчитайте коэффициент концентрации Кт.
KT 
 max
 ном
(9.2.)
где σmax- напряжение в вырезах.
10) Переключите кабель на разъем вне зоны концентрации и проделайте
то же, что и для зоны концентратора.
11) Сопоставьте полученные данные σном, σмах и Кт и сделайте заключение о характере распределения напряжений в зоне концентрации и вне этой
зоны.
Работа 10. Определение перемещений в балке при изгибе (Наладка 5).
14
а) Цель работы - экспериментальное определение значений прогибов и
углов поворота сечений балки и их сравнение с теоретическими значениями.
б) Краткие теоретические сведения.
Теория расчета стержней (балок), работающих на изгиб, основывается
на ряде допущений. Линейные перемещения (прогибы) малы по сравнению с
пролетом балки, а линейные перемещения вдоль продольной оси пренебрежимо малы. Поперечные сечения считаются нормальными к оси балки и после
изгиба, при этом угол наклона касательной к оси изогнутой балки равняется
углу поворота сечения, что соответствует пренебрежению деформации сдвига.
Таким образом, положение каждого поперечного сечения балки, работающей
на изгиб, характеризуется двумя перемещениями: прогибом (перемещением в
направлении, перпендикулярном к оси балки) и углом поворота.
Прогибы  балки в соответствии с изложенными допущениями определяются из решения дифференциального уравнения:
Mx
d 2V

,
2
E  Ix
dz
(10.1.)
а углы поворота  сечений - из выражения:

dV
dz
(10.2.)
Прогиб балки в данной точке практически равен разнице показаний индикатора прогибомера до и после нагружения
Углы поворота опорных сечений определяются из соотношений:
A 
n A
,
H
B 
n B
,
H
где ∆nA, ∆nB - разности отсчетов индикаторов соответственно на опоре
А и В;
Н = 100 мм - расстояние от оси балки до ножки индикатора.
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите наладку.
2) Снимите показания индикаторов угломеров и прогибомера.
3) Подвесьте в заданном сечении балки груз 40 Н.
4) Снимите показания индикаторов, перечисленных в пункте 2.
5) Определите углы поворота опорных сечений балки и прогиб.
Работа 11. Определение значения опорной реакции статически неопределимой балки (Наладка 5).
15
а) Цель работы - определение опытным путем значения неизвестной
опорной реакции в статически неопределимой балке и сравнение ее с теоретическим значением.
б) Краткие теоретические сведения.
Балки, содержащие большее число связей, чем необходимо для их геометрической неизменяемости, называются статически неопределимыми. Избыточные связи носят название “лишних”. Такие балки нельзя рассчитывать, используя только уравнения статики, т.к. число неизвестных реакций превышает
число независимых уравнений равновесия. Расчет статически неопределимых
балок, как правило, включает в себя выбор так называемых основных систем.
Основная система - это статически неопределимая и геометрически неизменяемая балка, полученная из заданной, путем отбрасывания лишних связей. Усилия в лишних связях находятся из дополнительных уравнений - уравнений
совместимости деформаций. Смысл этих уравнений состоит в отрицании перемещений по направлению отброшенных связей. Математически это условие
для балки с одной лишней связью записывается в виде:
δ11X1 + ∆1F = 0,
(11.1.)
где X1 - усилие в лишней связи;
δ11, ∆1F - перемещения в основной системе по направлению отброшенной связи соответственно от Х1 = 1 и от заданной нагрузки.
Отбросив связь в точке В и обозначив реакцию связи через Х1 построим
эпюры изгибающих моментов от силы Х1 = 1 и F. По формуле Мора вычислим
перемещения, входящие в уравнение (11.1.).
M x21  dz
,
E  Yx
 11  
l
 1F  
l
M XF  M X 1  dz
E  Yx
Подставив полученные значения в уравнение (11.1.), получим Х1.
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите наладку.
2) Снимите показания индикатора прогибомера 13 в сечении В и блока
измерителя силы (ИС).
3) Подвесьте на консоль балки груз 20 Н.
4) Снимите показания блока измерителя силы (ИС) и индикатора прогибомера 13.
5) Определите реакцию опоры в сечении В, как разность показаний блока измерителя силы.
6) Произведите теоретический расчет Х1.
7) Сравните результаты эксперимента и расчета.
16
Работа 12. Определение напряжений и перемещений в балке при косом
изгибе (Наладка 6).
а) Цель работы - сравнение теоретических значений напряжений в заданном сечении и прогиба свободного конца балки с экспериментальными
данными.
б) Краткие теоретические сведения.
Косым изгибом называют изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента, возникающего в поперечном сечении балки, не
проходит ни через одну из главных осей инерции сечения.
Косой изгиб стержня сводится к двум прямым изгибам в главных плоскостях. Напряжения определяются алгебраическим суммированием напряжений при прямых изгибах, перемещения точек оси стержня находятся путем
геометрического суммирования составляющих перемещений по главным осям
сечения.
В нашем случае от составляющих Fх и Fу силы F в поперечном сечении,
расположенном на расстоянии l1 от свободного конца балки, возникают изгибающие моменты:
Мх=Fу l1, Му = Fх l1
Нормальные напряжения в угловых точках поперечного сечения рассматриваемого стержня определяют по формуле:
Mу
Мх
±
,
Wу
Wx
bh2
hb2
где Wх =
,
Wу=
6
6
=±
(12.1.)
Составляющие полного прогиба свободного конца стержня определяются по формулам:
Fx  l 3
u
,
3  E  Yy
v
Fy  l 3
3  E  Yx
(12.2.)
а полный прогиб свободного конца стержня
  u2  v2
(12.3.)
в) Порядок выполнения работы.
1) Cоберите наладку с заданным наклоном главной оси стержня (0°, 15°,
30°, 45°).
2) Снимите показания ИД для всех 4х тензорезисторов и двух индикаторов.
3) Нагружайте последовательно стержень силой 10 Н, 20 Н, 30 Н, 40 Н.
На каждом уровне снимите показания приборов по пункту 2.
17
4) Определите составляющие прогиба свободного конца стержня по
вертикали и горизонтали, как среднюю разность показаний индикаторов (δ гор,
δвер) для ступени нагрузки 10 Н.
5) Определите значение прогиба по формуле:
2
2
   гор
  вер
6) Определите среднее значение показаний ИД (∆n) для приращения силы ∆F = 10 Н.
7) Определите значение деформаций балки от силы 10 Н:
ε = Кg∆n, где Кg - цена деления единицы дискретности.
8) Определите приращение напряжения:
σ = ε∙E, где Е = 2·105 МПа - модуль упругости для стали.
9) Определите теоретические значения напряжений и прогибов.
10) Сравните экспериментальные значения с соответствующими теоретическими.
Работа 13. Испытание тонкостенного стержня открытого профиля на
изгиб и кручение (Наладка 7).
а) Цель работы - экспериментальное определение положения центра изгиба и проверка закона распределения секториальных нормальных напряжений
при стесненном кручении.
б) Краткие теоретические сведения.
Тонкостенными стержнями называют стержни, у которых размеры поперечного сечения значительно больше толщин элементов, составляющих это
сечение. Кручение тонкостенных стержней открытого профиля сопровождается искажением плоскости поперечного сечения, так называемой депланацией.
Если же развитие депланации стеснено, то в поперечных сечениях стержня
возникают нормальные напряжения, связанные с изгибом отдельных элементов
стержня. Кручение, сопровождающееся появлением нормальных напряжений в
поперечных сечениях, называют стесненным кручением. Нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня при стесненном кручении, образуют статически уравновешенную систему сил и определяются по
формуле:
 =
B
,
J
(13.1.)
где В  - самоуравновешенный силовой фактор, действующий в сечении, называемый бимоментом;
J  - секториальный момент инерции поперечного сечения;
 - главная секториальная координата точки, в которой определяются
напряжения.
Для поперечного сечения стержня В  и J  являются постоянными величинами, поэтому из приведенной выше формулы (13.1.) следует, что секто-
18
риальные нормальные напряжения   распределяются в сечении по закону
главных секториальных координат.
При построении эпюры главных секториальных координат за полюс
принимается центр изгиба, а за начало отсчета главная секториальная точка.
Если сила F приложена в центре изгиба, то стержень будет только изгибаться. При приложении силы F вне центра изгиба стержень помимо изгиба
испытывает еще и стесненное кручение. В этом случае в поперечных сечениях
стержня возникает бимомент.
В  = Mz
shkz
,
kchkl
(13.2.)
где Mz = -Fс; k 
G  Y
E  Yw
;
GJα - жесткость сечения стержня при свободном кручении.
Положение центра изгиба (точка А) находится из условия равенства нулю момента касательных сил, действующих в поперечном сечении стержня.
ΣMA= 0, Q  x - Sh = 0,
откуда  x =
Sh
Q
(13.3.)
Выражая S через Q и подставляя в (13.3.), будем иметь
x 
3  b3  t
6  b  t  h 
(13.4.)
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите наладку.
2) Нагрузите стержень силой 10 Н. Медленно перемещая груз по рамке
при помощи винта добейтесь положения, когда показания индикаторов сравняются, что соответствует приложению нагрузки в центре изгиба.
3) По шкале рамки определите координату центра изгиба и снимите показания ИД для всех тензорезисторов.
4) Нагрузите стержень последовательно силой 20 Н; 30 Н; 40 Н. На каждом уровне снимите показания тензорезисторов.
5) Определите относительную деформацию стержня и напряжения во
всех четырех точках исследуемого сечения по формулам:
ε = Кg∆n
σ = Eε,
где Кg - цена деления единицы дискретности ИТ,
∆n - средняя разность показаний ИД, соответствующая приращению силы 10 Н,
Е - 2·105 МПа - модуль упругости материала (стали).
19
6) Стержень разгрузите и перевесьте подвеску на неподвижную серьгу.
7) Повторите опыт в соответствии с пунктами 4 и 5.
8) Постройте эпюры напряжений по результатам эксперимента.
9) Определите теоретические значения напряжений и координату центра изгиба.
10) Постройте эпюры теоретических напряжений.
11) Сравните результаты эксперимента и расчета.
Работа 14. Определение критической силы для сжатого стержня
(Наладка 8).
а) Цель работы: исследование явления потери устойчивости сжатого
стального стержня в упругой стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими значениями.
б) Краткие теоретические сведения.
При нагружении прямолинейного стального стержня, закрепленного по
концам, продольной центрально приложенной сжимающей нагрузкой, стержень вначале сохраняет свою первоначальную форму, а затем при определенной нагрузке внезапно выпучивается (искривляется). Нагрузка, при которой
наряду с первоначальной прямолинейной равновесной формой стержня становится возможна новая искривленная равновесная форма, бесконечно близкая к
прямолинейной, называется критической. При незначительном увеличении
нагрузки больше критической происходят значительные отклонения от прямолинейного равновесного положения стержня.
Теоретическое значение критической силы для сжатого стержня, теряющего устойчивость при упругих деформациях, определяется по формуле Эйлера:
Fкр =
 2 EJ min
,
( l)2
(14.1.)
где Е - модуль продольной упругости материала стержня;
Jmin - минимальный осевой момент инерции поперечного сечения
стержня (в нашем случае при прямоугольном сечении, Jmin = hb 3|12, где hбольшая, b - меньшая сторона сечения);
 - коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления
и нагружения стержня;
l - длина стержня.
Следовательно, формула Эйлера применима, когда
 кр = Fкр/A   пц или гибкость стержня
λ=
l
imin
,
больше предельной гибкости:
(14.2.)
20
λкр = 
Е
(14.3.)
пц
В этих формулах imin 
Ymin
минимальный радиус инерции сечения
A
стержня,
σпц - предел пропорциональности материала.
В нашем случае, когда сечение прямоугольное
imin 
h  b3
1
b
 0.2896  b
12  b  h
2
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите наладку и проверьте соответствие опорных закреплений
одной из предусмотренных схем.
2) Нагружайте стержень сжимающей силой. Следите за значением силы
по показаниям блока измерителя силы.
3) Определите критическую нагрузку по началу интенсивного роста
прогибов стержня при практически неменяющейся силе.
4) Медленно разгрузите стержень. При этом стержень должен вернуться
в исходное состояние.
5) Вычислите по формуле 14.1. теоретическое значение критической
нагрузки Fкр.
6) Сравните значения критических нагрузок полученных экспериментально и вычисленных теоретически. Сделайте заключение о справедливости
гипотез, принятых при выводе формулы Эйлера, и о степени пригодности этой
формулы для практических расчетов.
Работа 15. Исследование работы стержня при продольно-поперечном
изгибе (Наладка 8).
а) Цель работы - исследование поведения стального шарнирно-опертого
стержня при продольно-поперечном изгибе; экспериментальное определение
косвенным путем (по методу Саусвелла) значения критической нагрузки сжатого стержня и сравнение ее с теоретическим значением.
б) Краткие теоретические сведения.
Изгиб гибкого стержня при одновременном действии на нее поперечных нагрузок и продольной силы называют продольно-поперечным изгибом.
При этом прогибы балки (внутренние усилия и напряжения тоже) зависят от
поперечных нагрузок, так и от продольной силы.
Для решения задачи продольно-поперечного изгиба необходимо составлять и решать дифференциальное уравнение изогнутой балки - EJx  '' = Mx,
что само по себе может оказаться непростой задачей. Задача значительно
усложняется, если стержень имеет несколько участков, т.к. в этом случае для
каждого участка придется составлять и решать свое дифференциальное урав-
21
нение. Поэтому, как правило, в практических расчетах при определении прогибов в таких балках применяют приближенную формулу:
V 
VП
F
1
FЭ
,
(15.1.)
где vП - прогиб от поперечной нагрузки, т.е. без учета продольной силы;
F - продольная сила;
FЭ =
 2 EJx
- Эйлерова сила.
( l ) 2
Заметим, что формула Эйлеровой силы напоминает формулу Эйлера для
критической нагрузки Fкр (см. работу 14 формулу (14.1.)) с тем отличием, что
в числитель входит осевой момент инерции Ix относительно нейтральной оси x,
а не обязательно Jmin. Только в том случае, когда Jx = Jmin и гибкость стержня
больше предельной гибкости, т.е.
λ=
l
imin
> λпр = 
Е
пц
,
(15.2.)
Эйлерова и критическая силы совпадают.
Следует иметь ввиду, что приближенной формулой нельзя пользоваться
при сжимающей силе F, близкой к FЭ, т.к. при этом прогибы v будут очень
большими, а в пределе (при F  FЭ) стремиться к бесконечности. Решение
дифференциального уравнения в этом случае также приводит к неправильным
результатам, т.к. при его выводе используется приближенное выражение кривизны. Однако, достаточно достоверные результаты получаются в обоих способах, когда сжимающая сила F находится в интервале
0< F < (0,7 - 0,8) FЭ
Из уравнения (15.1.) вытекает, что кривая v как функция F является гиперболой, у которой v = vП при F=0 и прямая F = FЭ (v →∞) является асимптотой.
При исследовании прогиба среднего сечения v шарнирно-опертой балки, нагруженной увеличивающейся продольной силой F и постоянной поперечной силой Q в середине пролета
vП =
Ql3
48EJ min
и FЭ = Fкр =
(15.4.)
 2 EJ min
l2
,
так как Jx = Jmin,  = l и  >  пр.
Дополнительные прогибы, вызванные действием продольной силы F,
приближенно определяются по формуле:
22
V 
VП
FЭ
1
F
(15.5)
где vП - прогиб от силы Q.
в) Порядок выполнения работы.
1) Соберите наладку и отверните винты на концах балки (шарнирное закрепление обоих концов  = l).
2) Заверните болт на подвижной части кронштейна до соприкосновения
с балкой и повесьте на ось подвижной части подвеску без груза.
3) Снимите показания индикатора прогибов балки (no).
4) Нагрузите балку поперечной силой 10 Н и снимите показания индикатора (ni).
5) Нагружайте последовательно балку сжимающей продольной силой 50
Н, 100 Н, 150 Н, 200 Н, 250 Н, контролируя величину силы по блоку измерителя силы. На каждом уровне снимайте показания индикатора (ni).
6) Медленно разгрузите стержень от сжимающих усилий и снимите
подвеску с грузом, стержень при этом должен вернуться в исходное состояние.
7) Определите прогиб балки от поперечной силы как разность показаний индикатора (ni - no).
8) Определите прогиб балки от действия продольной силы  i = (ni - n1).
9) Вычислите полный прогиб балки от действия продольной и поперечной нагрузок вместе: (ni - no).
10) Вычислите теоретические значения прогибов от действия поперечной силы и продольных нагрузок по формулам (15.1., 15.4.).
11) Постройте график теоретических значений в координатах F/V и отметьте на нем экспериментальные значения.
12) Постройте график в координатах F/f, F.
13) Сравните между собой значения теоретических и экспериментальных прогибов.
14) Сравните теоретическое значение критической нагрузки, вычисленной по формуле Эйлера с экспериментальным.
15) Сделайте вывод о практической целесообразности применения метода Саусвелла для определения критических нагрузок сжатых стержней.
Работа 16. Опытная проверка напряженного состояния балки при плоском изгибе (наладка 9).
а) Цель работы - проверка закона Гука при изгибе; проверка линейного
закона распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки
при чистом изгибе;
б) Краткие теоретические сведения.
23
Для проведения испытаний используют балку, у которой поперечное
сечение имеет форму двутавра. Если начало координат поместить в центре тяжести сечения, то оси ОХ и ОУ, как оси симметрии, будут главными центральными осями. Продольная ось балки - ОZ. При действии на балку сил, перпендикулярных оси ОZ и лежащих в плоскости УОZ, которую принято называть
главной плоскостью, балка будет изгибаться в этой плоскости. Такой изгиб
называют плоским изгибом. Если в поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент Мх (поперечная сила Qy = 0) - средний участок балки,
то такой изгиб называют чистым. Когда в сечениях балки не равны нулю М х и
Qy, изгиб называют поперечным (крайние участки балки).
При чистом изгибе в поперечном сечении балки возникают только нормальные напряжения  z. В любой точке поперечного сечения они могут быть
определены по формуле:
 z=
Mx
y,
Jx
(16.1.)
где Мх - изгибающий момент в рассматриваемом сечении;
Jx - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной
оси ОХ;
y - расстояние от нейтральной оси до точки сечения, в которой вычисляют напряжение.
При выводе формулы (16.1.) приняты гипотезы:
а) плоских сечений;
б) о ненадавливании продольных волокон (  у = 0).
Предполагается, что материал балки при изгибе следует закону Гука.
Из формулы (16.1.) видно, что нормальные напряжения по высоте сечения балки изменяются по линейному закону.
Напряжения σz, найденные по формуле (16.1.) в растянутой зоне балки
при чистом изгибе, являются главными напряжениями σ1, в сжатом – σ3, а площадки, на которых они действуют, - главными площадками, совпадающими с
поперечным сечением балки. Знак напряжения σ z определяют по физическому
смыслу.
Для экспериментальной проверки линейного закона изменения нормальных напряжений по высоте балки в зоне чистого изгиба в семи точках сечения наклеены семь тензорезисторов, с помощью которых определяют деформации εz на разных расстояниях от оси Z, а затем находят нормальные
напряжения:
σz = E∙ εz
(16.2.)
где εz - относительная продольная деформация рассматриваемого волокна;
Е - модуль упругости материала балки.
в) Порядок выполнения работы.
1) Собрать наладку.
2) Нагрузите балку предварительной силой F = 0,5 кН.
24
3) Снимите показания ИД для всех тензорезисторов наклееных в зоне
чистого изгиба. Значение силы контролируйте по показаниям блока измерителя
силы (ИС).
4) Нагружайте балку последовательно силой 2,5 кН и 4,5 кН. На каждой
ступени нагружения снимайте показания ИД.
5) Снимите нагрузку.
6) Определите среднюю разность показаний ИД ∆n i для каждого тензорезистора для ступени нагрузки ∆F = 2 кН.
7) Определите относительную деформацию для каждого тензорезистора
по формуле:
ε = Кg∆n
где Кg - цена деления единицы дискретности.
8) Вычислите нормальные напряжения для точек зоны чистого изгиба
по формуле (16.2.).
9) Вычислите максимальные теоретические значения растягивающего и
сжимающего напряжений в зоне чистого изгиба:
σzmах = ±
Mx
,
Wx
где Wx - осевой момент сопротивления.
10) Постройте эпюру теоретических напряжений в сечении зоны чистого изгиба. Отметьте на ней точками значения экспериментальных напряжений
в точках наклейки тензорезисторов.
11). Сравните теоретические и экспериментальные значения напряжений и сделайте заключение о справедливости закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению изгибаемого стержня.
Работа 17. Исследование напряженно-деформированного состояния
консольного стержня равного сопротивления изгибу (Наладка 10).
Для выполнения работы используйте консольный стержень переменного поперечного сечения. На верхней плоскости стержня наклеены шесть тензорезисторов, подключаемых к ИД.
а) Цель работы: Исследовать напряженно-деформированное состояние
стержня равного сопротивления изгибу и сделать заключение о возможности
его использования для градуировки электронных измерителей деформации, работающих с тензорезисторами.
б) Краткие теоретические сведения.
Стержень равного сопротивления изгибу имеет переменное поперечное
сечение, боковые грани сходятся в точке, где прикладывается сосредоточенная
сила. При этих условиях деформации и напряжения в направлении оси стержня
в области переменного поперечного сечения постоянны:
25
Z 
Mx
Fz
6 F  z


,
1 b
Wx
b  h2
2
  zh
6 l
(17.1.)
где F – сила, приложенная в точке схождения боковых граней стержня;
l – длина стержня;
h – высота поперечного сечения;
b – ширина поперечного сечения у заделки.
Деформации εz в стержне равны
Z 
z
E

6 F l
E  b  h2
Деформацию εz необходимо связать с перемещением точки приложения
силы F, для этого можно использовать интеграл Мора.
f 
1 F l3
,

2 E  Yx
(17.2.)
где f – прогиб балки в точке приложения силы F;
Jx – осевой момент инерции площади поперечного сечения стержня у
заделки.
Jx = 1/12 ∙ bh3
После преобразований получим
Z 
f h
 const
l2
в) Порядок выполнения работы
1. Подключите к стержню ИД.
2. Задайте микрометрическим винтом перемещение равное 0,50 мм.
3. Снимите показания по табло ИД для всех тензорезисторов.
4. Последовательно деформируйте стержень микрометрическим винтом
до значений перемещений 1,50 мм и 3,50 мм. На каждом уровне деформации снимайте показания табло ИД.
5. Подсчитайте среднюю разность показаний ИД соответствующую перемещению 1,00 мм.
6. При известной цене единицы дискретности шкалы ИД можно вычислить деформации и напряжения в точках стержня, где наклеены тензорезисторы.
7. При неизвестной цене единицы дискретности шкалы ИД можно ее
определить и использовать в других лабораторных работах, где используются тензорезисторы.