АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы» Образец

АОО «Назарбаев Интеллектуальные школы»
Образец
Контрольная работа для итоговой аттестации выпускников старшей школы ФМН
Математика
1. Структура контрольной работы
Контрольная работа состоит из 5 заданий в соответствии с содержанием
экспериментальной учебной программы по предмету «Математика» для 1-12 классов
Назарбаев Интеллектуальных школ.
2. Критерии оценивания
Оценивание проводится за каждое задание по сумме баллов за каждый правильно
выполненный проверяемый элемент в соответствии с критериями.
1 задание – 4 балла
2 задание – 4 балла
3 задание – 5 баллов
4 задание – 5 баллов
5 задание – 6 баллов
3. Шкала перевода баллов в оценки .
24- балла -максимальное количество
«5»-89-100%
21-24 баллов
«4»-72-88%
17-20 баллов
«3»-55-71%
13-16 баллов
«2»- 54 и ниже 12 баллов и ниже
4. Время выполнения работы
Время выполнения контрольной работы5 часов.
Образец контрольной работы
1. Упростите выражение:
sin 0,3𝜋 cos(−2,8𝜋) + cos 0,3𝜋 sin(−2,8𝜋)
cos 0,3𝜋 cos 2,3𝜋 − sin 0,3𝜋 sin(−4,3𝜋)
2. Среди всех прямоугольников с заданной площадью S найдите прямоугольник с
наименьшим периметром.
3. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС, длина
стороны которого 4√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и
имеет длину 2. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из
которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а другая проходит через точку
С и середину ребра АВ.
4. Решите неравенство
𝑙𝑜𝑔𝑥−3 (𝑥 2 − 4𝑥)2 ≤ 4
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 𝑦 = 1 − 𝑥 2 и
касательными к этому графику, проведёнными через точку М (0;5).
Решения.
1. Упростите выражение:
sin 0,3𝜋 cos(−2,8𝜋) + cos 0,3𝜋 sin(−2,8𝜋)
cos 0,3𝜋 cos 2,3𝜋 − sin 0,3𝜋 sin(−4,3𝜋)
Решение:
sin 0,3π cos(−2,8π) + cos 0,3π sin(−2,8π)
=
cos 0,3π cos 2,3π − sin 0,3π sin(−4,3π)
=
sin 0,3𝜋 cos(−0,8𝜋) + cos 0,3𝜋 sin(−0,8𝜋)
=
cos 0,3𝜋 cos 0,3𝜋 − sin 0,3𝜋 sin(−0,3𝜋)
=
sin 0,3𝜋 cos 0,8𝜋 − cos 0,3𝜋 sin 0,8𝜋
sin(0,3𝜋 − 0,8𝜋)
=
=
cos 0,3𝜋 cos 0,3𝜋 + sin 0,3𝜋 sin 0,3𝜋 𝑐𝑜𝑠 2 0,3𝜋 + 𝑠𝑖𝑛2 0,3𝜋
=
sin(−0,5𝜋)
= − sin 0,5𝜋 = −1
1
Ответ: -1.
Баллы
5
4
3
2
1
0
Критерии оценивания выполнения задания 1
В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений, и, возможно, приведшая к
неверному ответу или при верном решении неверно записан ответ.
Верно учтена периодичность и чётность тригонометрических функций, но
есть ошибки в дальнейших преобразованиях.
Допущены ошибки в знаках при использовании периодичности и чётности
тригонометрических функций, что привело к ошибкам при выборе формул
для дальнейших преобразований.
Решение не закончено или получен неверный ответ (кроме тех случаев, в
которых выставляется 2–4 балла; см. выше).
Решение неверно или отсутствует.
2. Среди всех прямоугольников с заданной площадью S найдите прямоугольник с
наименьшим периметром.
Решение:
Пусть х – длина прямоугольника. Тогда
𝑆
𝑥
– ширина прямоугольника. Составим
выражение для нахождения периметра прямоугольника: 𝑃 = 2𝑥 +
Рассмотрим функцию 𝑃(𝑥) = 2𝑥 +
2𝑆
𝑥
2𝑆
𝑥
, где 𝑥 > 0.
, где 𝑥 > 0.
Найдём наибольшее значение функции 𝑃(𝑥) на промежутке. Для этого найдём
производную, определим критические точки, исследуем их на экстремум.
2𝑆
𝑃′ (𝑥 ) = 2 − 2.
𝑥
2−
2𝑆
𝑥2
=0 ⇔
2𝑥 2 −2𝑆
𝑥2
𝑥 ≠ 0,
𝑥 = −√𝑆,
= 0 ⇔ { 𝑥 = −√𝑆, ⇔ [
[
𝑥 = √𝑆.
𝑥 = √𝑆;
−√𝑆 ∉ (0; ∞), √𝑆 ∈ (0; ∞).
При переходе через критическую точку 𝑥 = √𝑆 производная меняет знак с минуса
на плюс, поэтому 𝑥 = √𝑆 - точка минимума. Но так как на промежутке экстремум
единственный, и он минимум, то в этой точке функция принимает наименьшее
значение. Значит, √𝑆 - длина искомого прямоугольника. Тогда √𝑆 - ширина
искомого прямоугольника.
Ответ: искомым прямоугольником является квадрат со стороной √𝑆.
Баллы
4
3
2
1
0
Критерии оценивания выполнения задания 2
В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений, и, возможно, приведшая к
неверному ответу или при верном решении неверно записан ответ.
Верно определена и обоснована функция, но неверно исследована, что
привело к неверному ответу.
Верно определена функция, но недостаточно обоснована или есть
существенные выводы в обосновании функции, но функция определена
неверно, последующие этапы решения выполнены с ошибками или
отсутствуют.
Решение неверно или отсутствует.
3. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник АВС, длина
стороны которого 4√2. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и
имеет длину 2. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из
которых проходит через точку S и середину ребра ВС, а другая проходит через точку
С и середину ребра АВ.
Дано: SABC – пирамида.
∆𝐴𝐵𝐶 – равносторонний.
|𝐴𝐵| = 4√2, |𝑆𝐶| = 2.
SC ABC.
E – середина ребра ВС,
D – середина ребра АВ.
Найти: расстояние между
прямыми SE и CD.
Решение:
Проведём через точку С в плоскости АВС прямую p параллельно АВ, также через
точку Е в плоскости АВС прямую m, параллельно CD. Точку пересечения прямых p и
m обозначим через F.
Т.к. (CD)║(FE), то (CD)║(SEF). Значит, расстояние между прямыми CD и SE равно
расстоянию от прямой CD до плоскости SEF. Обозначим это расстояние через h.
𝑉𝑆𝐶𝐹𝐸 =
1
∙ 𝑆𝐶𝐹𝐸 ∙ 𝐶𝑆.
3
Т.к. (CD)║(FE), (CF)║(AB), (CD)
Тогда 𝑆𝐶𝐹𝐸 =
1
2
(CF).
∙ 𝐶𝐹 ∙ 𝐹𝐸.
Получим 𝑉𝑆𝐶𝐹𝐸 =
1
6
1
4√2∙√3
6
4
∙ 𝐶𝐹 ∙ 𝐹𝐸 ∙ 𝐶𝑆 = ∙ √2 ∙
С другой стороны, 𝑉𝑆𝐶𝐹𝐸 =
(FE)
(AB), то (FE)
1
3
∙2=
2√3
.
3
∙ 𝑆𝑆𝐹𝐸 ∙ ℎ.
(SF) по теореме о трёх перпендикулярах. Значит, 𝑆𝑆𝐹𝐸 =
Тогда 𝑉𝑆𝐶𝐹𝐸 =
1
6
1
2
∙ 𝑆𝐹 ∙ 𝐹𝐸.
∙ 𝑆𝐹 ∙ 𝐹𝐸 ∙ ℎ.
Из ∆𝑆𝐶𝐹: 𝑆𝐹 = √𝑆𝐶 2 + 𝐹𝐶 2 = √4 + 2 = √6.
1
𝑉𝑆𝐶𝐹𝐸 = ∙ √6 ∙ √6 ∙ ℎ = ℎ.
6
Получили: 𝑉𝑆𝐶𝐹𝐸 =
Ответ:
2 √3
3
= ℎ. Значит, ℎ =
2√3
.
3
2√3
.
3
Замечание: возможны и другие способы решения, в том числе векторный и
координатный.
Баллы
5
4
3
Критерии оценивания выполнения задания 3
В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений, и, возможно, приведшая к
неверному ответу или при верном решении неверно записан ответ.
Получен верный ответ, но он недостаточно обоснован. Или искомый отрезок
2
1
0
верно обоснован, но есть ошибки в последующих этапах решения или
решение не закончено.
Верно выполнен чертёж и верно выбран один из способов решения задачи,
но решение представлено неверно.
Верно выполнен чертёж, но решение представлено неверно.
Решение неверно или отсутствует.
4. Решите неравенство
𝑙𝑜𝑔𝑥−3 (𝑥 2 − 4𝑥)2 ≤ 4
Решение:
0 < 𝑥 − 3 < 1,
𝑥 2 − 4𝑥 ≠ 0,
{
(𝑥 2 − 4𝑥)2 ≥ (𝑥 − 3)4 ;
2
2
𝑙𝑜𝑔𝑥−3 (𝑥 − 4𝑥) ≤ 4 ⇔
⇔
𝑥 − 3 > 1,
𝑥 2 − 4𝑥 ≠ 0,
{
[ (𝑥 2 − 4𝑥)2 ≤ (𝑥 − 3)4 ;
3 < 𝑥 < 4,
𝑥≠0
[
{
𝑥 ≠ 4,
2
2
(𝑥 − 4𝑥) −(𝑥 − 3)4 ≥ 0;
⇔
⇔
𝑥 > 4,
𝑥≠0
[
{
𝑥 ≠ 4,
2
2
[ (𝑥 − 4𝑥) −(𝑥 − 3)4 ≤ 0;
3 < 𝑥 < 4,
{ 2
(𝑥 − 4𝑥 − (𝑥 − 3)2 )(𝑥 2 − 4𝑥 + (𝑥 − 3)2 ) ≥ 0;
⇔[
⇔
𝑥 > 4,
{ 2
(𝑥 − 4𝑥 − (𝑥 − 3)2 )(𝑥 2 − 4𝑥 + (𝑥 − 3)2 ) ≤ 0;
3 < 𝑥 < 4,
{
(2𝑥 − 9)(2𝑥 2 − 10𝑥 + 9) ≥ 0;
⇔ [
𝑥 > 4,
{
(2𝑥 − 9)(2𝑥 2 − 10𝑥 + 9) ≤ 0.
Разложим на множители квадратный трёхчлен 2𝑥 2 − 10𝑥 + 9. Для этого решим квадратное
уравнение 2𝑥 2 − 10𝑥 + 9 = 0.
10 − √28
5 − √7
𝑥=
4
2 ,
2𝑥 2 − 10𝑥 + 9 = 0 ⇔
,⇔
10 + √28
5 + √7
𝑥
=
;
𝑥
=
;
[
[
4
2
𝑥=
Следовательно, 2𝑥 2 − 10𝑥 + 9 = 2 (𝑥 −
5−√7
5+√7
2
2
) (𝑥 −
).
Совокупность систем неравенств можно записать в
3 < 𝑥 < 4,
виде:
{
5−√7
5+√7
(2𝑥 − 9) (𝑥 −
) (𝑥 −
) ≥ 0;
2
2
𝑥 > 4,
{
5−√7
5+√7
[ (2𝑥 − 9) (𝑥 − 2 ) (𝑥 − 2 ) ≤ 0;
Решим методом интервалов неравенство (2𝑥 − 9) (𝑥 −
Левая часть неравенства равна нулю при 𝑥 = 4,5, 𝑥 =
5−√7
5+√7
2
2
5−√7
2
) (𝑥 −
,𝑥 =
) ≥ 0.
5+√7
2
.
Найдём промежутки знакопостоянства функции.
Решением неравенства являются промежутки
Решением неравенства (2𝑥 − 9) (𝑥 −
5−√7
2
и
5+√7
2
5−√7
5−√7
2
2
) (𝑥 −
≤𝑥≤
5+√7
)
2
≤ 𝑥 ≤ 4,5.
Получим следующую совокупность систем неравенств:
3 < 𝑥 < 4,
5 − √7
5 + √7
≤
𝑥
≤
,
[ 2
2
{
𝑥 ≥ 4,5;
5 + √7
3
<
𝑥
≤
,
𝑥 > 4,
⇔ [
2
5 − √7
4 < 𝑥 ≤ 4,5.
𝑥≤
,
2
5 + √7
[ {[ 2 ≤ 𝑥 ≤ 4,5;
5+√7
2
и 𝑥 ≥ 4,5.
≤ 0 являются промежутки 𝑥 ≤
Ответ: (3;
5+√7
2
] ∪ (4; 4,5].
Замечание: при решении можно учесть, что совокупность систем
𝑥 − 3 < 1,
{( 2
𝑥 − 4𝑥)2 −(𝑥 − 3)4 ≥ 0;
неравенств[
равносильна одному неравенству
𝑥 − 3 > 1,
{( 2
𝑥 − 4𝑥)2 −(𝑥 − 3)4 ≤ 0;
(𝑥 − 4)(2𝑥 − 9)(2𝑥 2 − 10𝑥 + 9) ≤ 0. Тогда данное неравенство будет равносильно системе
𝑥 − 3 > 0,
𝑥 − 3 ≠ 1,
{
𝑥 2 − 4𝑥 ≠ 0,
(𝑥 − 4)(2𝑥 − 9)(2𝑥 2 − 10𝑥 + 9) ≤ 0.
Баллы
4
3
2
1
0
Критерии оценивания выполнения задания 4
В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений, и, возможно, приведшая к
неверному ответу или при верном решении неверно записан ответ.
Верно найдена область допустимых значений переменной, но не учтены
различные случаи значения выражения в основании логарифма или верно
учтены все возможные случаи значения выражения в основании логарифма,
но неверно найдена область допустимых значений переменной.
Верно рассмотрены отдельные неравенства, но не найдена никакая часть
верного ответа.
Решение неверно или отсутствует.
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 и
касательными к этому графику, проведёнными через точку М (0;5).
Решение:
Найдём уравнения касательных к графику функции 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥 2 , проведёнными через
точку М (0;5).
Общее уравнение касательной имеет вид 𝑦 = 𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ).
𝑓(𝑥0 ) = 1 − 𝑥02 ;
𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑥;
𝑓 ′ (𝑥0 ) = −2𝑥0 ;
Уравнение касательной будет иметь вид: 𝑦 = 1 − 𝑥02 − 2𝑥0 (𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑥02 − 2𝑥0 𝑥 + 1;
Учитывая, что 𝑓(0) = 5 имеем:
𝑥02 + 1 = 5 ⇔ 𝑥02 = 4 ⇔ 𝑥0 = ±2.
Тогда касательными к данной функции являются прямые 𝑦 = 5 − 4𝑥 и 𝑦 = 4𝑥 + 5 в
точках касания с абсциссами 𝑥1 = 2 и 𝑥2 = −2 соответственно.
Учитывая симметричность фигуры относительно оси Оу и сдвиг графиков вдоль оси Оу
искомую площадь можно найти следующим образом:
2
2
2 ∫0 ((5 − 4𝑥) − (1 − 𝑥 2 )) 𝑑𝑥 = 2 ∫0 (𝑥 2 − 4𝑥 + 4) 𝑑𝑥 =
𝑥3
8
16
= 2 ( − 2𝑥 2 + 4𝑥) |20 = 2 (8 − 8 + ) =
(кв. ед. )
3
3
3
Ответ:
16
3
(кв. ед. )
Баллы
Критерии оценивания выполнения задания 5
6
5
В представленном решении обоснованно получен верный ответ.
При верном решении допущена вычислительная ошибка, не влияющая на
правильную последовательность рассуждений, и, возможно, приведшая к
неверному ответу или при верном решении неверно записан ответ.
Верно определена фигура, но неверно найдена площадь.
Верно найдены касательные, но неверно определена фигура.
Верно выбран способ нахождения касательных, но верно найдена только
одна из касательных.
Верно выбран способ нахождения касательных, но касательные найдены
неверно.
Решение неверно или отсутствует.
4
3
2
1
0