Задания по тригонометрии. I. Дана функция Докажите тождество

Задания по тригонометрии.
I. Дана функция 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 − 3 sin 𝑥 cos 𝑥 + 2 cos 2 𝑥
2𝑓(𝑥)
1+cos 2𝑥

Докажите тождество

Решите уравнение 𝑓(𝑥) = 0

Пусть 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓( 2 − 𝑥) . Вычислите g(8 )

Найдите все решения неравенства g(x)> − из отрезка
= tan2 𝑥 − 3 tan 𝑥 + 2
𝜋
𝜋
1
2
II.Дана функция 𝑓(𝑥) = 2 sin2 𝑥 − cos 𝑥 − 1
7𝜋

Выясните, рационально ли число 𝑓 ( 3 )

Докажите тождество

Решите уравнение 𝑓(𝑥) = 0 на отрезке [− 2 ;

Решите неравенство
𝑓(𝑥)
1+cos 𝑥
𝑓(𝑥)
1+cos 𝑥
= 1 − 2 cos 𝑥
> 0 на
𝜋 3𝜋
]
2
𝜋 3𝜋
отрезке [− ; ]
2 2
sin 𝑥−1
III. Дана функция 𝑓(𝑥) = cos 𝑥+1
12

Известно, что cos 𝛼 = − 13 и 0 < 𝛼 < 𝜋 . Вычислите 𝑓(𝛼)

Решите уравнение 𝑓(𝑥) + 1 = 0 на отрезке [−2𝜋; −𝜋]

Докажите, что √2 (f(x)+1)∙ cos 2 2 < 2 на интервале(−2𝜋; −𝜋)
x
1
IV. Дана функция 𝑓(𝑥) = sin х − cos 2х
𝜋
3𝜋
)
2
𝜋

Упростите выражение f(x+ 2 ) + 𝑓(𝑥 +

Докажите, что 𝑓(𝑥) + 𝑓 (𝑥 + ) + 𝑓 (𝑥 +

Решите уравнение 𝑓(𝑥) + 𝑓 (𝑥 + 2 ) + 𝑓 (𝑥 +

𝜋
2
и вычисли значение при х = − 8
3𝜋
)
2
𝜋
𝜋
3𝜋
𝑓(𝑥)+ 𝑓(𝑥+ )+𝑓(𝑥+ )
2
2
Решите неравество
sin 𝑥−1
= (1 − sin 𝑥)(2 sin 𝑥 + 1)
3𝜋
)
2
=0
≤ 0 на отрезке[−𝜋; 𝜋]
V. Дана функция 𝑓(𝑥) = cos 2х − cos 6х
𝑓(𝑥)

Докажите, что

Вычислите f(𝛼), если cos 2𝛼 = − 4

Решите уравнение f(x) = f(x+4 )

Решите неравество
𝜋
4
𝑓(𝑥+ )
= tan 2𝑥
3
𝜋
𝑓(𝑥)
𝜋
4
𝑓(𝑥+ )
𝜋 𝜋
≥ √3 на отрезке [− 4 ; 4 ]
sin 2х−2 sin2 х
VI. Дана функция 𝑓(𝑥) = 2 cos2 х−sin 2х

Докажите, что f(x)=tan 𝑥

Найдите sin 𝛼 , если f(𝛼) = − 15, 0 < 𝛼 < 𝜋

Решите уравнение f(x)+1 =

Решите неравенство 𝑓(𝑥) ≥ √3 на отрезке [0; 𝜋]
8
2
𝑓(𝑥)
VII. Дана функция 𝑓(𝑥) = 2 cos 2х на отрезке [0; 2𝜋]
 Найдите период этой функции
 Постройте график


Решите уравнение 𝑓(𝑥) = √3 и найдите полученные корни на оси ОХ
Запишите промежутки положительности и отрицательности функции

Запишите промежутки, при которых 𝑓(𝑥) > −√3.
(15 баллов) Угол 𝛼 при одной из вершин треугольника удовлетворяет условию sin 𝛼 + √3 cos 𝛼 = 2 .
Найдите площадь треугольника, если длины всех сторон треугольника различны, длина
противолежащей углу 𝛼 стороны равна 6, а прилежащей стороны 6√3.
(20 баллов) Дана функция 𝑓(𝑥) =



2 sin 𝑥−1
,
sin 𝑥
𝑥 ∈ (0, 𝜋).
Поясните, определена ли функция на отрезке [0; 𝜋] (1 балл)
В промежутке (0, 𝜋) найдите
o нули функции 𝑓(𝑥) (3 балла)
o промежутки знакопостоянства функции 𝑓(𝑥) (5 баллов)
o промежутки возрастания и убывания функции 𝑓(𝑥) (6 баллов)
o точку максимума функции 𝑓(𝑥) (2 бала)
схематически постройте график функции в 𝑓(𝑥) промежутке (0, 𝜋) (3 балла)
(20 баллов)
1. Решите уравнения sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1, если 𝑥 ∈ [2𝜋; 2𝜋] (7 баллов)
2. Найдите все значения параметра 𝒂, при которых уравнения
𝑥
sin 𝑥 + cos 𝑥 = 1
и
cos = 𝑎
2
имеют общее решения, если 𝑥 ∈ (5 баллов)
𝑥
3. Найдите период функции cos 2 и приблизительно изобразите её график при 𝑥 ∈ [2𝜋; 2𝜋].
𝑥
На этом рисунке изобразите график функции 𝑦 = |cos 2|. (8 баллов)
(15 баллов)Рассмотрим функции 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 и 𝑔(𝑥) = cos 𝑥
1. Выразите cos 2𝑥 через cos 𝑥. (2 балла)
2. На отрезке [0; 2𝜋]
a. Решите уравнение 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) (6 баллов)
b. Изобразите в одной системе координат графики функций 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥)(3 балла)
c. При помощи чертежа найдите значение 𝑥 при которых 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥). (4 балла)
(15 баллов) Дана функция 𝑓(𝑥) = sin 2𝑥 на отрезке [0; 2𝜋].
1
1. Решите уравнение 𝑓(𝑥) = 2 (5 баллов)
2. Постройте график функции 𝑦 = sin 2𝑥 и отметьте найденные в предыдущем пункте корни
уравнения. (4 баллов)
3. В треугольнике АВС дано: угол С = 90°, угол А = 𝛼 и АВ=2. Докажите, что площадь
треугольника АВС равна значению 𝑓(𝛼)(4 баллов)
4. Найдите угол 𝛼 так, чтобы площадь треугольника, данного в предыдущем пункте,
равнялась 1. (2 баллов)
(15 баллов) Дана функция 𝑓(𝑥) = sin4 𝑥 − cos4 𝑥
1. Упростите выражение функции. (3 баллов)
2. Вычислите точное значение𝑓(𝛼), если cos 𝛼 = −
2
(3 баллов)
√7
3. Определите, является ли 𝑓(𝑥) чётной или нечётной функцией. (2 баллов)
4. Решите уравнение 𝑓(𝑥) = 0 на отрезке(4 баллов)
5. Начертите в одной и той же системе координат графики функций 𝑦 = cos 𝑥 и 𝑦 = cos 2𝑥
на отрезке[−𝜋; 𝜋](3 баллов)
(5 баллов) Найдите значение величины а, при которых уравнение cos 𝑥 = 5𝒂 − 2 найдётся решение,
𝜋
принадлежащее отрезку [0; ]
2
(10 баллов) Дана функция 𝑦 = 2 sin х на отрезке [0; 2𝜋]
1. Найдите нули функции и область изменения функции
2. Постройте график этой функции
3. При помощи полученного графика найдите
a. Область положительности и отрицательности функции
b. Значение аргумента х, при которых y< −1.
(15 баллов)
1. Упростите выражение cos 2𝑥 + sin 2𝑥 ∙ tan 𝑥 + cos 𝑥.
2. В одной и той же системе координат на отрезке [0; 2𝜋]постройте графики функций 𝑓(𝑥) =
cos 𝑥 и 𝑔(𝑥) = cos 2𝑥 и найдите абсциссы точек пересечения графиков функций.
3. При помощи чертежа пункта 2. на отрезке [0; 2𝜋]найдите значения аргумента х при
которых 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥)