УДК 621.313 Зюзев А.М., Метельков В.П. (УГТУ-УПИ, г. Екатеринбург, [email protected]) ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТОРА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НАГРЕВА ЛОБОВЫХ ЧАСТЕЙ ОБМОТКИ Наиболее подверженным тепловому воздействию элементом асинхронного двигателя (АД) является изоляция обмотки статора [1]. При этом во многих случаях, особенно для двигателей закрытого исполнения, лобовые части обмотки имеют наиболее высокую температуру, что в наибольшей степени проявляется при нарастании температуры в переходных процессах пуска двигателя. Это объясняется тем, что на начальных стадиях нагрева машины темп изменения температуры обмотки весьма высок, а сталь нагревается значительно медленнее меди и обеспечивает более интенсивный отвод тепла от пазовых частей обмотки, чем воздух от лобовых частей. Усредненная температура обмотки статора, получаемая из простейшей двухмассовой термодинамической модели (см. рис. 1), где узел 1 объединяет лобовые и пазовую части обмотки статора, а узел 2 – пакет статора и корпус (в дальнейшем будем обозначать такую модель ЛП-С по первым буквам входящих в нее элементов), дает лишь усредненную температуру обмотки. Это требует разработки модели и метода расчета её параметров, которые обеспечили бы получение результатов, в большей степени соответствующих реальным тепловым процессам в лобовых частях обмотки статора при ограниченном количестве информации о двигателе. λ12 1 λ10 λ1л,1п 1п λ1п,2 2 1л λ20 Рис. 1. Схема термодинамической модели статора АД (ЛПС). λ10, λ20 и λ12 - тепловые проводимости λ1л,2 2 λ10л λ10п λ20 Рис. 2. Схема термодинамических связей в модели статора АД с разделением лобовой и пазовой частей обмотки Разделим лобовую и пазовую части обмотки так, чтобы двухмассовая тепловая схема статора могла быть представлена в виде трехмассовой (см. рис. 2). На рис. 2 пунктиром показана обмотка статора и обозначено: 1л – узел, соответствующий лобовым частям обмотки; 1п – -129- узел, соответствующий пазовой части обмотки; λ1л,1п – тепловая проводимость между лобовой и пазовой частями; λ1п,2 – тепловая проводимость между пазовой частью обмотки и сталью; λ10л – тепловая проводимость от лобовых частей обмотки в охлаждающую среду; λ20 – тепловая проводимость от стали статора в охлаждающую среду. Обозначим такую схему Л-П-С, подчеркнув дефисом разделение лобовых и пазовой частей обмотки. Процессы в такой тепловой схеме описываются следующей системой дифференциальных уравнений: C1л dτ 1л /dt =−λ11лτ 1л +λ1л , 2τ 2 +λ1л ,1пτ 1п + ΔP1л ; C1п dτ 1п /dt =−λ11пτ 1п +λ1п, 2τ 2 +λ1 л ,1пτ 1 л + ΔP1п ; ' C 2 dτ 2 /dt =−λ 22τ 2 +λ1 л , 2τ 1 л +λ1п, 2τ 1п + ΔP2 , (1) где λ11л=λ10л+λ1л,2+λ1л,1п; λ11п=λ10п+λ1п,2+λ1л,1п; λ’22=λ20+λ1л,2+λ1п,2. Схема на рис. 2 содержит шесть тепловых проводимостей, подлежащие определению, поэтому уравнений системы (1) недостаточно для нахождения их величин. В плане выяснения повреждающего действия высокой температуры на изоляцию интересует самый нагретый элемент обмотки, в качестве которого для двигателей закрытого исполнения, как было сказано, обычно выступают лобовые части. Это дает основания трансформировать схему на рис. 2 таким образом, чтобы сгруппировать узлы, относящиеся к пазовой части обмотки и стали статора в один узел, как показано на рис. 3, выделив узел лобовых частей (схема Л-ПС). У схемы Л-ПС узел 1л включает в себя только лобовые ’ части обмотки, а узел 2 объединяет пазовую часть обмотки и сталь. Учтем, что в большинстве случаев можно пренебречь тепловым потоком от пазовой части обмотки в охлаждающую среду (λ10п=0), так как λ10п≠0 лишь при наличии радиальных вентиляционных каналов [2]. В первом приближении также можно пренебречь и тепловым потоком непосредственно между лобовой частью обмотки и сталью статора (λ1л,2=0), поскольку этот поток проходит только через воздух, тепловое сопротивление которого велико. В дальнейшем эти потоки будут косвенно учтены при определении параметров двухмассовой тепловой схемы с выделением лобовых частей обмотки статора (Л-ПС). Эти соображения позволяют представить схему Л-П-С в упрощенном виде так, как показано на рис. 4. -130- λ1п,2 λ1л,1п λ12 ' 2’ 1л λ10 1л λ 20 ' 2 1п λ20 λ10 ' ' Рис. 3. Схема термодинамической модели статора АД с выделением лобовых частей обмотки (Л-ПС) Рис. 4. Упрощенная схема термодинамической модели статора АД с разделением лобовых и пазовой частей обмотки (Л-П-С) Выясним взаимосвязи параметров схемы Л-П-С с параметрами схем ЛП-С и Л-ПС. Далее для удобства некоторых преобразований будем использовать вместо тепловых проводимостей λ тепловые сопротивления R=1/λ. Индексы соответствующих проводимостей и сопротивлений совпадают. При разделении и слиянии источников тепловыделения в тепловых схемах будем пользоваться правилами эквивалентных преобразований тепловых схем [2]. При переходе от схемы ЛП −С (см. рис. 1) к схеме Л −П−С после разделения узла 1 на узлы 1л и 1п между ними появляется тепловое сопротивление R1л1п. В соответствии с правилами эквивалентных преобразований тепловые сопротивления R’10 и R1п,2 выразим следующим образом: ' = R10 − ΔR1 ; R1п, 2 =R12 − ΔR2 , R10 (2) где ∆R1=R1л1п ∆P1п(∆P1л+ ∆P1п) ; ∆R2=R1л1п ∆P1л(∆P1л+ ∆P1п) , а R12 определено исходя из схемы ЛП-С. Для перехода от схемы Л−П−С к схеме Л−ПС необходимо объед инить узлы 1л и 2. Для этого представим схему −ПС Л так, как показано ’ на рис. 5. После замены узлов 1п и 2 одним узлом 2 , тепловое сопротивление R1п,2, располагавшееся между исходными узлами, разделится на два тепловых сопротивления ∆R’1 и ∆R’2: -1 -1 ΔR1' = R1п, 2 ΔP2 ( ΔP1п + ΔP2 ) ; ΔR'2 = R1п, 2 ΔP1п ( ΔP1п + ΔP2 ) . −1 R1л,1п -1 ∆R1' ∆R'2 1л 2’ ' R10 R20 Рис. 5. К переходу от схемы Л−П−С к схеме Л−ПС -131- (3) Соответственно, тепловые сопротивления схемы Л−ПС будут иметь следующие величины: ' R12 =R1 л ,1п + ΔR1' ; (4) R = R20 + ΔR . (5) ' 20 ' 2 Из (2) получим: R1п, 2 = R12 − R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) . -1 (6) Из сопоставления схем на рис. 3 и рис. 5, используя соотношения (3) и (4) с учетом (6) получим: [ ] ' R12 = R1 л ,1п + R12 − R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) ΔP2 ( ΔP1п + ΔP2 ) . -1 −1 (7) Для модели Л-ПС этих данных достаточно. Для модели Л-П-С найдем R1л1п и R20. Используя соотношения (3) и (5) с учетом (6) получим: [ ] R'20 =R20 + R12 −R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) ΔP1п ( ΔP1п + ΔP2 ) . -1 Из (7) находим: ( ' R1л ,1п = R12 − R12 -1 ) (8) -1 ΔP1л ΔP2 ΔP2 . ⋅1− ΔP1п + ΔP2 ( ΔP1л + ΔP1п )( ΔP1п + ΔP2 ) Из (8) находим: [ ] R20 =R'20 − R12 −R1 л ,1п ΔP1 л ( ΔP1 л + ΔP1п ) ΔP1п ( ΔP1п + ΔP2 ) . -1 -1 (9) (10) Для схемы Л-ПС на рис. 3 может быть применена следующая методика определения ее параметров (далее величины со штрихом относятся к схеме на рис. 3, без штриха – к схеме на рис. 1). Пренебрегая влиянием разницы температур пазовой части и лобовых частей обмотки в установившемся режиме на удельные теплоемкости и сопротивления, введем следующие обозначения: c' =C1 л (C1п +C 2 ) =cµ л [c(1−µ л )+1] ; p' = p'N =( ΔP2 N + ΔP1пN )/ ΔP1 лN =( p+1−µ л )µ л−1 ; −1 b =b = ΔP1 лN /C1 лτ 1 л.устN =b , ' ' N −1 (11) (12) (13) где c=C1/C2; µл=m1л/m1; p=pN=∆P2N/ ∆P1N; b=bN=∆P1N/C1τ1устN. Здесь С1=С1л+С1п – суммарная теплоемкость лобовых и пазовой частей обмотки; m1 и m1л – масса обмотки статора и масса лобовых частей обмотки; ∆P1лN – мощность потерь в номинальном режиме в лобовых частях обмотки; ∆P1пN – мощность потерь в номинальном режиме в пазовой части обмотки; ∆P1N =∆P1лN +∆P1пN; τ1л.устN – установившееся превышение температуры лобовых частей в номинальном режиме (принимаем τ1л.устN≈τ1устN). Для схемы Л-ПС на рис. 3 запишем следующую систему уравнений: -132- C1 л dτ 1 л /dt =−λ'11 лτ 1 л +λ'12τ '2 + ΔP1 л ; ' ' ' ' C 2 dτ 2 /dt =−λ 22τ 2 +λ12τ 1 л + ΔP1п + ΔP2 , (14) где λ’11л=λ’10+λ’12; λ’22=λ’20+λ’12. Здесь ∆P2 − мощность потерь в стали статора (для двигателей закрытого исполнения сюда следует прибавить ту часть механических потерь, которая греет подшипниковые щи' ты); C 2 − теплоемкость второй массы тепловой схемы (включая пазовую часть обмотки статора), рассчитанная с учетом величины тепловой энергии, запасаемой в отдельных ее элементах; τ’2 − превышение температуры узла 2’ для схемы на рис. 3. ' Теплоемкость C 2 рассчитывается с учетом величины тепловой энергии, запасаемой в отдельных ее элементах: C '2 =C1п +C 2ϑ , (15) где C2 – учитывает теплоемкость пакета статора и корпуса; ϑ =τ2уст/τ1уст; τ1уст и τ2уст − установившиеся значения перегрева для узлов 1 и 2 схемы на рис. 1, которые существуют при номинальном режиме. С учетом (15) ’ можно уточнить выражение для c , записав его в следующем виде: c' =cμл (c−cμл +ϑ ) −1 , (16) Запишем систему (14) для установившегося режима и, поделив оба уравнения системы на С1л, при учете доли массы лобовых частей в общей массе обмотки, получим: ' ' ' -1 α11 лτ 1 л −α12τ 2 = μ л ΔP1 л C л ; ' ' ' -1 α22τ 2 −α12τ 1 л = μ л ( ΔP1п + ΔP2 )C л , (17) где α’11л=λ’11л/C1; α’12=λ’12/C1; α’22=λ’22/C1. С учетом (12) и (13) преобразуем систему (17) к следующему виду: где ' ' ' α11 л −α12ϑ = μ л b; ' ' ' α22ϑ −α12 =b(1− μ л + p ), ' ’ ϑ =τ 2уст/τ1л.уст; b=∆P1/С1=(dτ1л/dt)нач. (18) Характеристическое уравнение системы (14) имеет два корня χ'1 и χ' 2 . Процессы в рассматриваемой термодинамической системе при реальных значениях параметров двигателя носят апериодический характер и описываются суммой двух экспонент, которые имеют постоян' −1 ' −1 ные времени, определяемые этими корнями: T1 = − χ'1 и T2 = − χ' 2 . На основе теоремы Виета, устанавливающей связь между коэффициентами алгебраического уравнения второго порядка и его корнями, запишем следующие соотношения: -133- −1 ' ' ' −1 ' −1 α11 л +cμ л (c−cμ л +ϑ ) α 22 = μ лT1 + μ лT2 ; ' ' '2 2 ' −1 ' −1 cμ л (c−cμ л +ϑ )−1 (α11 л α 22 −α12 )= μ лT1 T2 . (19) Рассмотрим возможности решения системы уравнений (18) и (19) с целью определения значений параметров термодинамической модели. В случае, когда отсутствует информация, позволяющая предварительным расчетом определить величины µл и с’, следует относить эти параметры к числу неизвестных, что увеличивает общее количество параметров тепловой схемы, подлежащих определению. При этом количество неизвестных параметров превышает количество уравнений в системе (18), (19) и (21). В этом случае для схемы на рис. 4 может быть применена следующая методика определения неизвестных параметров, состоящая из двух этапов. На первом этапе определяются величины параметров для упрощенной тепловой схемы на рис. 1. В результате получаем значения следующих величин: α10, α20, α12, а также Т1 и Т2. На втором этапе определяем параметры для схемы на рис. 3. При этом полагаем, что суммарная теплоотдача для всего двигателя во внешнюю среду для схем на рис. 1 и рис. 3 должна быть одинаковой. ' ' Поэтому параметры α10 и α 20 для схемы на рис. 3 считаем заданными, используя соответствующие значения, найденные на первом этапе. ' Также заметим, что большие постоянные нагрева двигателя T2 и Т2, определяющие общее время его нагрева, практически одинаковы для обеих схем. Это вытекает из того факта, что масса пазовой части обмотки мала по сравнению с суммарной массой пакета статора и корпуса (например, для двигателя 4A100L4 она составляет 5,08%) и, следо’ вательно, теплоемкости узла 2 в схеме на рис. 1 и узла 2 в схеме на рис. 3 очень близки. Таким образом, остаются неизвестными лишь четыре параметра: ' ' ' α1 л , 1 п , µл, ϑ и T1 . Для их определения достаточно четырех уравнений (18) и (19). Эти уравнения применительно к данному набору параметров можно представить в более удобной для решения форме: ' ' )−α12' ϑ' = μлb ; +α12 (α10 ' ' ' ' (α20 +α12 )ϑ −α12 =b(1− μ л + p ); ' −1 ' −1 ' ' ' −1 (α10 +α12 )+cμ л (c−cμ л +ϑ ) (α20 +α12 )= μ л (T1 +T2 ); −1 2 ' −1 −1 ' ' ' ' '2 cμ л (c−cμ л +ϑ ) [(α10 +α12 )(α20 +α12 )−α12 ]= μ лT1 T2 . -134- (22) Заметим, что с точки зрения источников тепловой энергии узел 2 в схеме на рис. 3 состоит из двух частей, тепловые проводимости от которых во внешнюю среду различны. Для источника мощностью ∆P1п тепловая проводимость определяется суммой тепловых сопротивлений ’ −1 −1 λ12 и λ 20 и составляет λ 20 min =λ12λ20(λ12+λ12)-1. Для источника мощностью ' ∆P1ст+∆P1мех тепловая проводимость определяется только проводимостью λ20. Поэтому эквивалентная тепловая проводимость во внешнюю среду от источника мощности ∆P1п+∆P1ст+∆P1мех будет находиться в пределах λ 20 min < λ 20 <λ20 (соответственно α 20 min < α 20 <α20). ' ' ' ' ' На рис. 6 показаны зависимости от α 20 величин α 12 , µл и T1 /T1 для ' ' двигателя 4A100L4, построенные по результатам решения системы уравнений (22). Здесь Т1 − малая постоянная времени для тепловой схемы, показанной на рис. 1. Эти зависимости соответствуют множеству вариантов искомых параметров. Остановимся на проблеме отбора правильного варианта значений α 12 и µл. Корни характеристического уравнения для системы (14), описывающей процессы в схеме Л-ПС обратно пропорциональны ' ' µл. Следовательно, постоянная времени T1 пропорциональна µл. При этом, если µл→1, то схема Л-ПС сводится к схеме ЛП-С. Тогда величина ' ' T1 должна стремиться к Т1. Это дает основания полагать, что T1 /T1≈µл. ' Точка пересечения зависимостей µл и T1 /T1 от α 20 на рис. 6 соответст' ' вует выполнению условия T1 =µлT1. Она и определяет правильный вариант решения (отмечен на рис. 6 знаком «о»): α 20 =0,00326 1/с, ' α 12 =0,0167 1/с, µл =0,536. Полученным результатам соответствуют теп' о о ловые проводимости: λ 20 =4,31 Вт/ С и λ12 =22,08 Вт/ С. ' ' Исходя из изложенного сформулируем порядок расчета параметров схемы Л-П-С: 1. Формируем набор исходных данных − c, p, b; 2. По уравнениям схемы ЛП-С находим α10, α20, α12, а также Т1 и Т2; ' 3. Принимаем α 10 = α 10 ; α 20 = α 20 и T2 =T2; ' ' -135- µ л , TT1 , ' 1 0.8 ' -1 α12 X10, c µ лo 0.6 0.4 α T1' T1 ' α12 µл 'o 0.2 12 0 3.18 3.2 3.22 3.24 3.26 3.28 -1 ' ,c α 20 3.3 -3 x 10 o α '20 Рис. 6. К определению величин α 12 , α 20 и µл ' ' 4. Решаем систему уравнений (22) при различных α 20 и строим ' ' ' графики зависимостей величин α 12 , µл и T1 /T1 от α 20 ; ' 5. По точке пересечения графиков T1 /T1 и µл находим значение 'o α 20 , соответствующее адекватному решению системы; ' ( ) 6. По зависимостям α 12 = f1 α 20 ' ' дим значения этих величин: α 12 и µ л ; ( ) и µ л = f 2 α 20 ' при α 20 = α 20 нахо' 'o o 'o 7. Решая первое уравнение системы (22) относительно α 10 , уточ' няем значение o 'o 'o ' α 10 =µ л b−α 12 1−ϑ ; ( ) этой величины по α 12 и µ л : найденным o 'o 8. По α 12 =α 12 , α 10 =α 10 , α 20 =α 20 и µ л =µ л рассчитываем λ12 , λ10 , ' 'o ' 'o ' 'o o ' ' λ 20 , С1л и С1п; ' 9. С использованием формул (6), (9) и (10) по λ12 , λ10 , λ 20 рассчи' ' ' тываем λ1 п ,2 , λ1 л ,1 п и λ 20 . На рис.7 и 8 показаны графики изменения температуры в лобовых (Л) и пазовой (П) частях обмотки двигателя 4A100L4 при двух характерных случаях интенсивного нагрева двигателя для термодинамической модели по схеме Л-П-С с параметрами, определенными с помощью изложенного подхода, основанного на численном решении системы уравнений (22) – графики 1. Для сравнения показаны процессы, рассчитаные по подробной (включающей шесть узлов) тепловой схеме – графики 2. -136- θo140 Л θo180 1 Л 160 1 120 140 100 120 80 100 П 40 0 П 80 2 60 2 60 20 40 60 40 0 80 t, c 20 40 60 80 t, c Рис. 8. Процессы нагрева при 10с работы в режиме короткого замыкания с последующим разгоном при номинальном моменте сопротивления Рис. 7. Процессы нагрева при разгоне с устройством плавного пуска за 40с при номинальном моменте сопротивления БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Федоров М. М. Динамические тепловые модели узлов электрических машин // Електромашинобудування та електрообладнання: Міжвід. наук.-техн. зб.– 1999. Вип. 53. C. 70–73. 2. Сипайлов Г. А., Санников Д. И., Жадан В. А. Тепловые гидравлические и аэродинамические расчеты в электрических машинах – М.: Высш. шк., 1989. – 239 c. УДК 62-83:621.74 Сарваров А.С., Пермякова О.В. (Магнитогорский государственный технический университет им.Г.И.Носова) ВЕКТОРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ. НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ В настоящее время частотно-регулируемому электроприводу переменного тока уделяется большое внимание. Это происходит в связи с тем, что асинхронный двигатель является надежным и простым по конструкции элементом автоматизированного электропривода, способ частотного регулирования скорости является наилучшим по основным показателям регулирования, а также в связи с тем, что появились быстродействующие микропроцессорные устройства и надежные источники питания и преобразователи частоты. Для обеспечения высоких динамических и статических показателей по равномерности частоты вращения и вращающего момента, для создания высокого вращающего момента на малых и близких к нулевым частотах вращения применяются методы векторного управления -137-