ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ БИОЛОГИИ РАН Моделирование проводимости ионных каналов

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ
БИОЛОГИИ РАН
На правах рукописи
Турченков Дмитрий Александрович
Моделирование проводимости ионных каналов
на основе методов молекулярной и броуновской
динамики
Специальность 03.01.02 – Биофизика
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
д. ф.-м. н.
Быстров В.С.
Москва – 2014
2
Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1.
Методы изучения ионных каналов . . . . . . . . . . . . .
4
11
1.1. Экспериментальные методы измерения ионной проводимости ка­
налов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.1.
Фиксация потенциала (voltage clamp) . . . . . . . . . . . .
14
1.1.2.
Метод локальной фиксации потенциала (patch clamp) . .
17
1.2. Математическое моделирование ионных каналов . . . . . . . . .
23
1.2.1.
Методы молекулярной динамики . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.2.
Методы броуновской динамики . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.3.
Уравнение Пуассона–Нернста–Планка . . . . . . . . . . .
34
1.2.4.
Методы квантовой химии . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Построение модели ионной поры на мембране . . . . .
47
2.1. Вне- и внутриклеточные компартменты (I, III) . . . . . . . . . . .
48
2.2. Ионный канал в бислое (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Глава 2.
2.2.1.
Описание ионного канала . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.2.2.
Учет липидного состава . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.3. Используемые допущения и ограничения применимости модели .
61
Глава 3.
Диффузионная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1. Создание разностной схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1.1.
Коэффициент трения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.2. Диффузия простых ионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.2.1.
Диффузия при бесконечном разбавлении . . . . . . . . .
73
3.2.2.
Самодиффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.2.3.
Трассерная диффузия ионов
78
. . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.3. Диффузия ионов в синаптической щели. Влияние поверхностно­
го заряда мембраны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.3.1.
Теория двойного электрического слоя . . . . . . . . . . .
83
3.4. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Глава 4.
Упрощенные методы молекулярной динамики . . . . .
89
4.1. Автокорреляционные функции скорости и силы . . . . . . . . . .
89
4.2. Диффузия сложных ионов и нейромедиаторов . . . . . . . . . . .
92
Глава 5.
Моделирование ионной проводимости каналов P2X2 , P2X4
и P2X7 типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.1. Пуринергические рецепторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
5.1.1.
Общие сведения и классификация . . . . . . . . . . . . .
95
5.2. Построение модели ионной поры на мембране . . . . . . . . . . .
98
5.2.1.
Модель P2X2 рецептора . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
5.2.2.
Модель P2X4 и P2X7 рецептора . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.3.
Моделирование ионной проводимости каналов . . . . . . 107
5.2.4.
Вольт-амперные характеристики P2X2 и P2X7 каналов
5.2.5.
Избирательность P2X2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
. 112
5.3. Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Глава 6.
Программный пакет PCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1. Общие характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Приложение А.
Корреляция двух сумм независимых величин . 121
Приложение Б.
Вывод аналитического выражения для разност­
ных схем общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Приложение В.
Характеристики разностных схем . . . . . . . . . 126
Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4
Введение
Актуальность темы исследования. Ионные каналы играют одну из
ключевых ролей в жизнедеятельности клетки, принимая участие в процессах
генерации и распространения нервного импульса, опосредования мышечных со­
кращений, регуляции ионного обмена, сигнальной функции и др. Любые незна­
чительные структурные нарушения ионного канала могут привести к измене­
нию его основных физиологических характеристик, определяющих его биологи­
ческую роль в клетке — уровне проводимости и селективности. К настоящему
времени выявлено [1] более 27 расстройств, связанных с нарушениями в рабо­
те ионных каналов мышечных клеток и нервных волокон — каналопатий [2].
Так, например, гипо- и гиперкалиемический периодический параличи наблюда­
ются при нарушении функций кальциевого [3] 𝐶𝑎𝑣 1.1 и натриевого [4] 𝑁 𝑎𝑣 1.4
потенциал-зависимых ионных каналов, мутации в отдельных субъединицах ни­
котинового ацетилхолинового и ГАМК- рецепторов [5] могу быт причиной про­
явления различных форм эпилепсии (аутосомно-доминантная ночная лобная,
Ювенильная миоклоническая и др.) и миастенических синдромов [6]. Более то­
го, недавние исследования семейства пуринергических рецепторов показали не
только их исключительную важность в опосредовании сократительных ответов
клетки [7], но и выявили их участие в механизмах пролиферации, дифферен­
цировки и апоптоза [8, 9]. Уже известно, что нарушения в работе отдельных
каналов данного типа явлются причиной различных нейродегенративных рас­
стройств (болезнь Паркинсона, Альцгеймера и др.) [10]. Поэтому совершенно
очевидно, что изучение механизмов работы ионных каналов является важной
аспектом на пути к созданию новых узкоспециализированных лекарственных
форм.
С этой точки зрения исследование структуры и функций ионных кана­
лов, а так же происходящих в них процессов, имеет смысл только вместе с
рассмотрением осуществляемых ими макроскопических функций, что требует
5
привлечения современных, и во многом междисциплинарных научных дисци­
плин, методов и подходов. К настоящему времени разработано достаточно боль­
шое количество различных методологий изучения ионных каналов. Основным
экспериментальным методом на данный момент является методика локальной
фиксации потенциала «patch clamp», обладающая наибольшей чувствительно­
стью, позволяющей получать характерные величины проводимости одиночных
каналов. Однако, проведение подобных экспериментов задействует достаточно
дорогостоящее оборудование и применяется исключительно в научных исследо­
ваниях в силу специфики подготовки объекта исследования.
Активное развитие компьютерных технологий в последнее время привело
к появлению различных методов компьютерного моделирования, среди которых
можно выделить методы квантовой химии, молекулярной и броуновской дина­
мики, а также элементы электродиффузионной теории [11]. Несмотря на значи­
тельные достижения, полученные с использованием данных методов, каждый
из них имеет ряд существенных ограничений, что делает практически невоз­
можным их применение для макроскопического описания такой системы, как
ионный канал на мембране. Это вызвано несколькими факторами. Первая при­
чина в том, что для проведения моделирования методами квантовой химии или
молекулярной динамики нам необходимо знать пространственную структуру
ионного канала. Учитывая, что мембранные белки тяжело поддаются кристал­
лизации (а значит проведение рентгеноструктурного анализа проблематично),
применение данных методов возможно только на некоторых модельных, хоро­
шо изученных системах, таких как ацетилхолиновый рецептор, калиевый KcsA
канал. Вторым сдерживающим фактором является размер системы: так, только
KcsA состоит из более чем 15 000 атомов, а интегрированный в фосфолипидный
бислой с явным учетом растворителя размер системы будет составлять более
100 000 атомов. Для таких систем вычисления методами квантовой химии даже
на современных суперкомпьютерах невозможны. Применение же методов моле­
кулярной динамики способно только смоделировать единичные акты прохода
6
иона, и говорить о биологически значимых временных эволюциях системы в
данном случае не приходится. Если говорить о применении электродиффузи­
онной теории и уравнений Пуассона–Нернста–Планка, то, несмотря на потен­
циально существенно большую временную эволюцию системы, которую мож­
но получить данной методологией, ее применение ограничивается заложенным
диффузионным механизмом переноса, который не наблюдается для большего
числа ионных каналов.
Таким образом, совершенно очевидно, что на данном уровне развития ком­
пьютерных технологий применение каждой методологии в отдельности не спо­
собно охватить биологический процесс целиком, рассматривая систему на сво­
ем отдельном микро-уровне. Поэтому основной целью данной работы являет­
ся разработка нового подхода компьютерного моделирования процесса ионного
транспорта, который позволит объединить микро- и макро-уровни рассмотре­
ния системы на биологически значимых временных интервалах.
Цели и задачи диссертационной работы: Разработка комбинирован­
ного алгоритма моделирования проводимости ионного канала и его примене­
ние для оценки величины трансмембранных токов на примере ионных каналов
P2X2 , P2X4 и P2X7 типа.
Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:
∙ Создать математическую модель описания движения ионов и нейромеди­
аторов в вязкой среде.
∙ Учесть зависимость вязкости и диэлектрической проницаемости раствора
от концентрации растворенных электролитов.
∙ Создать разностную схему численного интегрирования уравнения Ланже­
вена с учетом скоррелированности стохастических приращений координа­
ты и скорости частиц на каждом временном шаге. Исследовать получен­
ную схему на сходимость, сравнить с существующими аналогами.
7
∙ Разработать интерактивную студию моделирования, реализующую ука­
занную методологию на стационарном ПК, с возможностью параллельных
вычислений на графических видеокартах.
∙ На основе разработанной методологии получить характерные величины
ионных токов, селективности и проводимости ионных каналов на примере
пуринергических рецепторов P2X2 , P2X4 и P2X7 типа, сравнить получен­
ные результаты с «patch clamp» экспериментами.
Научная новизна. В данной работе впервые представлен комбинирован­
ный метод компьютерного моделирования проводимости ионных каналов на
основе методов молекулярной и броуновской динамики, в сочетании с предвари­
тельными вычислениями отдельных элементов системы методами DFT. Благо­
даря разработанной разностной схеме на основе аналитического решения урав­
нения Ланжевена в приближении диэлектрического трения данный алгоритм
позволяет описывать движение растворенных ионов в области синаптическо­
го контакта, а использование автокорреляционных функций позволяет модели­
ровать диффузию нейромедиаторов в синаптической щели. Универсальность
подхода позволяет оценивать характерные величины проводимости и селектив­
ности ионных каналов с совершенно различной структурой и пространственной
организацией.
Данные алгоритмы реализованы в интерактивной студии моделирования,
с возможностью 3D-визуализации и вычислениями на графических видеокар­
тах с использованием технологии NVIDIA CUDA. Интерактивность и высокая
производительность позволяет исследователю проводить компьютерное моде­
лирование системы состоящей более чем из 100 ионных каналов с временной
эволюцией до нескольких микросекунд.
На основе разработанных алгоритмов и ПО была впервые предсказана
конфигурация селективного фильтра пуринергического рецептора P2X2 типа
с неизвестной на данный момент пространственной структурой, объясняющая
8
его высокую проводимость и слабую селективность к катионам [12], обнаружен
диффузионный механизм проводимости данного канала.
Теоретическая и практическая значимость.
Разработанное программное обеспечение позволяет проводить компьютер­
ные «patch clamp» эксперименты различной конфигурации и получать интере­
сующие исследователя величины селективности и проводимости ионного кана­
ла без использования дорогостоящей аппаратуры и трудоемких экспериментов.
Благодаря высокой производительности возможна длительная временная эво­
люция системы, что позволяет отслеживать изменения концентраций ионов и
нейромедиаторов в отдельных компартментах рассматриваемой системы. Эти
данные могут представлять высокую диагностическую значимость в клиниче­
ской практике и существенно упрощать разработку новых лекарственных форм,
целью которых являются различные ионные каналы. Кроме того, комбиниро­
ванные алгоритмы моделирования, представленные в работе, могут лечь в осно­
ву разработки высокопроизводительных методов для суперкомпьютеров, кото­
рые позволят смоделировать целый участок нейрона и механизм ионной прово­
димости на молекулярном уровне, что необходимо для создания компьютерных
моделей как отдельных функционирующих элементов, так и всего мозга в це­
лом.
Положения, выносимые на защиту:
∙ Разработана новая математическая модель, описывающая движение ионов
и нейромедиаторов в вязкой среде на основе комбинирования методов мо­
лекулярной и броуновской динамики.
∙ Установлено, что значение среднего квадрата скорости и перемещения бро­
уновской частицы для разностных схем Эйлера и Хейна зависит от разме­
ра шага, что приводит к отклонениям от температуры термостата и изме­
нению коэффициента диффузии. Область применимости существующих
на данный момент основных разностных схем численного интегрирования
9
уравнения Ланжевена лежит в диапазоне 𝛾𝛥𝑡 < 1.
∙ Показано, что для концентраций электролита в растворе > 0.5 М/л в клас­
сической модели Ланжевена необходимо учитывать изменения диэлектри­
ческой проницаемости и вязкости раствора.
∙ Установлено, что при размере частиц радиусом 𝑅 < 1.5 Å необходимо
вводить поправки к закону Стокса на диэлектричекое трение.
∙ Предложена новая разностная схема численного интегрирования уравне­
ния Ланжевена в пространстве координат и скоростей с учетом скоррели­
рованности стохастических приращений на каждом итерационном шаге,
не имеющая ограничений на шаг интегрирования, с асимптотическими
значениями среднего квадрата скорости и перемещения, соответствующи­
ми точному решению.
∙ На основе разработанного метода удалось объяснить высокое значение
проводимости P2X2 канала наличием Asp349 в области селективного филь­
тра. Механизм проводимости данного канала — диффузионный. Показа­
но, что наличие остатков Ser339 и Ser342 в области селективного фильтра
P2X7 канала (согласно данным моделирования по гомологии) приводит к
величинам проводимости, отличным от экспериментальных данных.
Степень достоверности и апробация результатов. Основные резуль­
таты диссертации докладывались на научной сессии НИЯУ МИФИ (Москва,
2012); 15-ом научном симпозиуме международной исследовательской группы по
системной биологии (Амеланд, 2012); двух семинарах IV-ого съезда Биофизи­
ков России (Нижний Новгород, 2012); семинаре кафедры биофизики биологиче­
ского факультета МГУ (Москва, 2012) ХII и XIII-ой ежегодной международной
молодежной конференции ИБХФ РАН-Вузы (Москва, 2012,2013); международ­
ном симпозиуме вычислительного и теоретического моделирования межмолеку­
лярных взаимодействий (Дубна, 2013); международной конференции актуаль­
10
ных вопросов современных физико-математических наук (2014); V междуна­
родной конференции по математической биологии и биоинформатике (Пущино,
2014); международной конференции вопросов современной биологии, физики и
химии (2014).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 19 печатных ра­
ботах, из них 6 статей в рецензируемых журналах [13–18], из них 4 статьи в
российских и зарубежных научных журналах, рекомендованных ВАК РФ для
публикации материалов кандидатских и докторских диссертаций; 5 статей в
сборниках трудов [19–23] и 6 тезисов докладов на всероссийских и междуна­
родных конференциях [24–29]; 2 авторских свидетельства РФ на разработку
программного обеспечения для ЭВМ [30, 31].
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе­
ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли­
кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводи­
лась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим.
Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6
глав, включающих обзор литературы и 5 глав авторских исследований, заклю­
чения, 3 приложений и списка литературы. Работа изложена на 150 страницах
машинописного текста, включает 43 рисунка и 16 таблиц. Библиография вклю­
чает 306 наименований на 19 страницах.
11
Глава 1
Методы изучения ионных каналов
Ионные каналы являются высокомолекулярными компонентами биологи­
ческих мембран нервных и мышечных клеток живых организмов, ответствен­
ных прежде всего, за проведение нервного и мышечного импульса. Встроенные
в непроводящий фосфолипидный бислой, ограничивающий клетку и разделя­
ющий водную среду внутри и снаружи клетки, эти большие молекулы глико­
протеина выступают в качестве транспортеров отдельных ионов. В ответ на
изменения электрического напряжения на мембране или присоединения опре­
деленного лиганда в них происходят конформационные переходы между дву­
мя состояниями («закрытым» и «открытым»). В «открытом» состоянии они
становятся проницаемыми для конкретного набора ионов (например, Na+ или
K+ ) [32, 33] и способны пропускает около 106 −108 ионов в секунду [11, 34, 35]). В
«закрытом» непроводящем состоянии преобладает конформация, при которой
мембрана в целом (и на молекулах ее каналов) находится вблизи или ниже ее
потенциала покоя, с напряжением на внутренней ее части около −70 мВ относи­
тельно внешней. При средней толщине мембраны порядка 5 нм напряженность
электрического поля, обусловленная потенциалом покоя, достигает 107 В/м и
направлено внутрь.
Таким образом, в «закрытом» состоянии мембрана поляризована и дер­
жит довольно высокое внутреннее электрическое поле. В «открытой» конфор­
мации, возникающей при деполяризации потенциала покоя до некоторого опре­
деленного порогового уровня, ионные каналы становятся высокоселективными
ионными проводниками. Все эти свойства аналогичны поведению сегнетоэлек­
триков в окрестности фазового перехода, когда происходит переход из поляри­
зованного состояния в неполярное [36, 37]. Такая аналогия и привела к появ­
лению модели такой «сегнетоэлектрической канальной единицы» (ferroelectric
12
channel unit). Данная идея была впервые предложена Ричардом Лейчтагом (R.
Leuchtag) [32, 33, 38], а позже была развита В. Быстровым [39] и постепен­
но превратилась в модель на основе сегнетоэлектрических жидких кристал­
лов [33, 39–41] для ионных каналов возбудимых биологических мембран.
С точки зрения макроскопических измерений, такие потенциал-зависимые
ионные каналы, сильно различаются друг от друга по характеру упорядоченной
последовательности ионов, которые они пропускают (избирательность пропус­
кания ионов или селективная последовательность ионов), по временным кон­
стантам кинетики процесса прохождения ионов, их реакции на различные фар­
макологические вещества (токсичность, в том числе наличие или отсутствие
инактивации), спонтанный переход в «закрытое» состояние во время длитель­
ного деполяризующего импульса, и т. д. Благодаря селективности ионных кана­
лов, они пропускают только определенные типы из присутствующих в данной
водной среде ионов. Особый интерес представляют Na+ , K+ и Ca2+ каналы, ко­
торые являются членами больших семейств потенциал-активируемых ионных
каналов [42–47]. Здесь следует отметить, что существует также класс ионных
каналов, которые активируются другими способами: например, механо-акти­
вируемые каналы [48, 49], семейство лиганд-зависимых рецепторов [50], фак­
тически являющиеся химически-активируемыми ионными каналами. Все эти
ионные каналы играют ключевую роль в формировании и прохождении потен­
циала действия по нервному волокну (нервного импульса) в нейронах (нервных
клетках), а также участвуют во всех процессах сигнализации внутри и между
клетками, в процессах мышечного сокращения и других.
Исследование структуры и функций этих различных ионных каналов, а
также процессов, происходящих в них, требует привлечения различных совре­
менных и во многом междисциплинарных научных дисциплин, методов и под­
ходов. В этой связи отметим, что еще в [51] было указано на то, что, напри­
мер, физика конденсированных состояний и нелинейных явлений может дать
ответы на вопросы молекулярной биологии. Здесь важно создать общий язык
13
и надежный мост между биологами, физиками и математиками. В частности,
развитие нового физически мотивированного подхода, необходимо на разных
уровнях – феноменологическом (макроскопическом), микроскопическом и мо­
лекулярном. На феноменологическом уровне мы имеем в виду, во-первых, изме­
рения на площади мембраны, содержащей большое число каналов, создающий
на выходе гладкий ответный сигнал. Во-вторых, применение теорий основан­
ных на феноменологическом подходе, таких как например, теория Ландау–Гин­
збурга–Девоншира [36, 37], описывающая широкий спектр нелинейных явлений
при изменении (скачке) упорядочения в системе, в том числе и сегнетоэлек­
трических, сегнетоактивных и родственных системах, в которых поляризация
является параметром порядка системы. Именно такой подход и применил впер­
вые Р. Лейчтаг, который развил классическую электродиффузионную модель
с постоянным значением диэлектрической проницаемости, введя в нее нелиней­
ную зависимостью величины диэлектрической проницаемости от электрическо­
го поля [52, 53], что приводит в итоге к ее характерному изменению по закону
Кюри–Вейсса в окрестности точки фазового перехода. Это и привело к созда­
нию сегнетоэлектрической модели ионного канала [32, 33, 38, 53], а также моде­
ли кинка для прохождения возбуждения (нервного импульса) вдоль нервного
волокна [54, 55].
Микроскопический уровень имеет дело, как правило, с измерениями мало­
го числа каналов, так что открытие и закрытие индивидуального канала может
быть зарегистрировано методами классической техники patch-clamp (подроб­
нее об этом в разделе «Фиксация потенциала»). Во-вторых, сейчас развивают­
ся современные подходы, основанные на методах и технике атомно-силовой и
пьезо-силовой микроскопии [56–60], которые могут позволить зафиксировать
смещение мембраны и отдельных компонент макромолекулы ионного канала
При этом на молекулярном уровне мы имеем дело с событиями, происхо­
дящими на отдельной молекуле: конформационные изменения, формирование
и разрыв связей, движение ионов от сайта к сайту, межмолекулярные силы и
14
поля. Важно, что все эти характеристики и их параметры в настоящее время
возможно исследовать с применением современных методов компьютерного мо­
делирования: ab initio методы квантовой химии [61, 62], методы комбинирован­
ной молекулярной динамики, основанной на разумном сочетании классической
и квантовой механики [63–74]. Отметим, что исследования подобных систем,
состоящих из огромного числа атомов и электронов, стали возможными только
в последнее время благодаря развитию компьютерных технологий и созданию
специальных вычислительных кластеров, систем на графических процессорах
и суперкомпьютеров.
Таким образом, данный обзор призван ознакомить читателя с актуальны­
ми на сегодняшний день методами изучения ионных каналов и оценить перспек­
тивные направления дальнейших исследований для решения насущных фунда­
ментальных и прикладных проблем в различных областях биологии и медици­
ны.
1.1. Экспериментальные методы измерения ионной
проводимости каналов
1.1.1. Фиксация потенциала (voltage clamp)
Начало изучения ионных каналов было положено в экспериментальных
работах Ходжкина, Каца [75, 76] и Коле, Мура [77, 78] с гигантским аксоном
кальмара. Согласно их исследованиям, эквивалентная электрическая схема ак­
сона может быть представлена [79] в следующем виде (Рис. 1.1).
Здесь 𝐶𝑚 – емкость мембраны, 𝐼𝑖 – ионные токи, 𝑅𝑖 задает сопротивле­
ние (проводимость) мембраны для отдельного иона, а 𝜑𝑖 – равновесный нерн­
стовский потенциал создаваемый 𝑖-ым ионом. Тогда полный ток, протекающий
через мембрану, будет суммой емкостного 𝐼𝑐 и ионных 𝐼𝑖 токов:
∑︁
𝑑𝜑𝑚
𝐼𝑚 = 𝐼𝑐 +
𝐼𝑖 = 𝐶𝑚
+ 𝐼𝐾 + 𝐼𝑁 𝑎 + 𝐼ут .
𝑑𝑡
𝑖
(1.1)
15
Рис. 1.1. Эквивалентная электрическая схема возбудимой мембраны клетки [79].
Таким образом, для анализа исключительно ионных токов необходимо пол­
ностью убрать емкостную составляющую [35] – иными словами, зафиксировать
потенциал:
𝑑𝜑𝑚
= 0.
𝑑𝑡
Для этих целей была впервые применена [75] методика двухэлектродной [80, 81]
фиксации потенциала (TEVC, Рис. 1.2).
Рис. 1.2. Двухэлектродная фиксация потенциала [81].
Разность потенциалов между электродом сравнения, помещенным в физ­
16
раствор, и измерительным электродом подается на вход операционного усили­
теля, где сравнивается с командным потенциалом, задаваемым эксперимента­
тором. В случае различия этих потенциалов через другой электрод происходит
компенсирующая данную разность инъекция тока, которая измеряется ампер­
метром. Данная величина будет равняться суммарной величине всех ионных
токов через мембрану. В случае необходимости можно выделить отдельные со­
ставляющие данного тока, используя различные блокаторы [35, 82] ионных ка­
налов (тетраэтиламмоний (TEA) – 𝐾 + каналы, нифедипин – блокатор 𝐶𝑎2+
каналов, тетродоксин (TTX) – 𝑁 𝑎+ и др.).
Существенным недостатком данного метода является необходимость двой­
ного прокалывания электродами, что сужает применимость данного подхода
для клеток, размер которых превышает 20 мкм [82] (ооцит, аксон кальмара и
др.).
В качестве решения этой проблемы было предложено [83, 84] использовать
один электрод и для измерения потенциала, и для инъекций тока – так называ­
емый метод одноэлектродной фиксации потенциала (SEVC) [85]. Это возможно
благодаря быстрому переключению между режимами работы (2 − 20 кГц), од­
нако такая система легко может войти в неконтролируемые осцилляции [85]. В
силу большей по сравнению с двухэлектродной фиксацией задержкой выравни­
вания мембранного потенциала после инъекции тока наблюдается увеличение
шумов и времени эксперимента [86]. SEVC в основном применяется в случае
невозможности образования гигаомного контакта и необходимости сохранения
цитоплазменного состава клетки [85]. С развитием метода «perforated patch»
последняя причина становится все менее актуальной.
Дальнейшее развитие их идей привело к созданию основного на данный
момент экспериментального метода изучения свойств ионных каналов – метода
локальной фиксации потенциала (patch clamp).
17
1.1.2. Метод локальной фиксации потенциала (patch clamp)
Данный метод был разработан в начале 80-х годов XX века немецкими ис­
следователями Неером и Сакманом [87] и позволяет регистрировать амплитуду
ионных токов одиночных каналов за счет образования [88] гигаомного (109 Ом)
контакта между стеклянным электродом и клеточной стенкой [89]. Таким обра­
зом, фрагмент мембраны, заключенный в микропипетке диаметром ∼ 0.5 ÷ 2
мкм [90, 91], оказывается изолированным от внешней среды, что уменьшает
шумы снимаемого сигнала.
Основным элементом электрической схемы (Рис. 1.3) данного метода явля­
ется наличие операционного усилителя с обратной связью [35]. Сопротивление
𝑅𝑓 подбирается таким образом, чтобы фиксировать характерные амплитуды
токов, и лежит в диапазоне 10 ÷ 100 гОм [88].
Рис. 1.3. Схема фиксации потенциала с использованием операционного усилителя [35].
Существуют следующие разновидности [81] данного метода (Рис. 1.4), в
зависимости от которых подбирают необходимый электролитный состав в мик­
ропипетке:
Whole-cell. В пипетку подают давление таким образом, чтобы нарушить
18
Рис. 1.4. Различные разновидности метода patch clamp [92].
целостность изолированного сегмента мембраны. После этого состав цитоплаз­
мы выравнивается с электролитным составом микропипетки. Принципиальная
схема [85] изображена на рисунке ниже (Рис. 1.5).
С точки зрения схемы, разрушение патча эквивалентно 𝑅𝑝𝑎𝑡𝑐ℎ → 0 (оно
переходит в сопротивление среды 𝑅𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠 ). Особенностью данного метода явля­
ется регистрация интегрального тока в клетке. Для этого достаточно, чтобы
сопротивление мембраны 𝑅𝑚 > 𝑅𝑝𝑎𝑡𝑐ℎ + 𝑅𝑎𝑐𝑐𝑒𝑠𝑠 было наибольшим в цепи. Как
и в случае cell-attached, сопротивление утечки 𝑅𝑙𝑒𝑎𝑘 должно быть велико для
минимизации потерь.
Cell-attached. Данная конфигурация отличается только лишь возникно­
вением гигаомного контакта с незначительной деформацией мембраны без яв­
ного нарушения целостности. Оба электрода находятся в по одну сторону мем­
браны [85]. Принципиальная схема изображена ниже (Рис. 1.6). Сопротивление
утечки 𝑅𝑙𝑒𝑎𝑘 указывает на качество плотного контакта, и для минимизации
19
Рис. 1.5. Эквивалентная электрическая схема конфигурации «whole-cell» [85].
потерь 𝑅𝑙𝑒𝑎𝑘 должно быть относительно велико (> 1010 Ом [85]). Для зада­
ния трансмембранной разности потенциалов (внешний – пипеточный электрод)
необходимо использовать омывающие растворы, что создает дополнительные
трудности в силу многокомпонентности цитоплазменного состава.
Рис. 1.6. Эквивалентная электрическая схема конфигурации «call-attached» [85].
20
Inside-out. Изолированный участок мембраны отрывают от клетки, и
данную систему погружают в омывающий раствор, близкий по содержанию
к цитоплазме. Тогда разность потенциалов на мембране строго равна разно­
сти потенциалов между электродами. Принципиальная схема изображена ниже
(Рис. 1.7). Особенностью данной конфигурации является возможность регистра­
ции единичного канала.
Inside-in. Осуществляется переходом от конфигурации «Whole-cell» мед­
ленным отведением микропипетки, за счет чего, после разрыва неизолирован­
ных участков, мембрана смыкается в вывернутом виде [85]. Принципиальная
схема аналогична конфигурации «inside-out» (Рис. 1.7). Теперь цитоплазмати­
ческий раствор – раствор микропипетки. Как и в «Inside-out», можно проводить
исследования одиночных каналов.
Рис. 1.7. Эквивалентная электрическая схема конфигураций «Inside-in» и «Inside-out» [85].
Perforated patch. Когда объект исследования предполагает наличие внут­
риклеточной сигнализации, применение конфигурации «Whole-cell» может при­
вести к нежелательному размытию цитоплазматического состава (вещества с
21
молекулярной массой в диапазоне 100 ÷ 500 [93]) содержимым пипетки [85].
Примером могут служить потенциал-зависимые кальциевые каналы (VDCC):
устойчивый кальциевый ток 𝐼𝐶𝑎 через VDCC требует фосфорилирования ка­
нала [82], а нарушение целостности мембраны в области контакта приводит
к размытию субстратов и веществ, участвующих [94] в фосфорилировании –
cAMP [95], протеинкиназа А [96], и дефосфорилировании (щелочная фосфа­
таза [97]). Вместе с дефосфорилированием, еще одной причиной уменьшения
измеряемых токов является протеолитическая деградация каналов [98, 99]. По­
мимо снижения тока, диализ может влиять на воротные свойства [100], а также
пороги активации [101] и инактивации отдельных потенциал-зависимых 𝐾 + ка­
налов [97].
Решение проблемы в виде добавления в раствор микропипетки специфи­
ческих ингибиторов протеолиза, таких как леупептин [102], а также факторов
поддержки фосфорилирования (АТФ, цАМФ, цАМФ-зависимая протеинкина­
за [82]), если и приводило к уменьшению падения измеряемых токов [98, 99,
103, 104], то возникал вопрос о возможном непредсказуемом влиянии данных
веществ на сигнальную систему клетки, что может сказаться на функциониро­
вании изучаемых в эксперименте каналов [94].
Применение метода «perforated patch» позволяет избежать данного эффек­
та, а также сохраняет легкость доступа к внутриклеточному содержимому. Дан­
ная методика основана [93, 105] на применении специальных полиеновых анти­
биотиков, способных формировать в толще мембраны клетки специфические
поры, пропускающие небольшие частицы, преимущественно моновалентные ио­
ны [82, 85], и препятствующие прохождению больших молекул (Рис. 1.8). До­
полнительным преимуществом является их независимость от мембранного по­
тенциала [82]. Особенностью применения данной методики является введение
антибиотика после образования гигаомного контакта – в противном случае воз­
никнут большие токи утечки [85]. Наиболее известными антибиотиками такого
действия являются амфотерицин B [106, 107] и нистатин [93, 108], образующие
22
поры диаметром около 0.8 нм [109] и 0.4 нм [110] соответственно с характерным
временем жизни в несколько минут [111]. Использование в качестве каналооб­
разующего агента грамицидина D [85, 112], благодаря непроницаемости ионов
хлора 𝐶𝑙− [113], позволяет избежать характерного для полиеновых соединений
нежелательного перераспределения ионов хлора [112], и, как следствие, возник­
новения доннановского потенциала, величина которого может достигать более
10 мВ [107].
Рис. 1.8. Схема конфигурации «perforated patch».
Однако у данного метода есть ряд проблем, связанных в первую очередь
с большей технической сложностью и затратностью проведения эксперимента.
В отличие от «whole-cell», конфигурация «perforated-patch» обладает большим
сопротивлением 𝑅𝑝𝑎𝑡𝑐ℎ в области контакта, приводя к дополнительным поте­
рям напряжения [82]. Данную проблему пытаются решить благодаря исполь­
зованию в качестве ионофоров сапонинов – безазотистых гликозидов с поверх­
ностно-активными свойствами (например, бета-эсцин [114]). Однако в связи с
образованием достаточно больших пор (диаметром около 8 нм [115]) примене­
ние данных веществ сильно затруднено [116].
23
Ниже (Таблица 1.1) представлен характерный состав внутри- и внеклеточ­
ных растворов, применяемых в patch-clamp экспериментах [85, 88, 106].
Таблица 1.1. Состав внутри- и внеклеточных растворов, применяемых в patch-clamp экспе­
риментах
Вещество
Раствор, мМ
Внеклеточный Внутриклеточный
𝑁 𝑎+
126
5
𝐾+
6
147
𝑀 𝑔 2+
2.5
1.2
𝐶𝑎2+
1.2
0
𝐶𝑙−
125
150
𝐺𝑇 𝑃
0
0.1
𝐴𝑇 𝑃
0
5
Глюкоза
11
11
Сахароза
67
0
1.2. Математическое моделирование ионных каналов
Вместе с развитием экспериментальных методов исследования ионных ка­
налов разрабатывались и теоретические модели функционирования ионных ка­
налов. Среди большого числа вычислительных подходов, разработанных для
изучения ионных каналов, можно выделить 3 основные категории [11]: полно­
атомная молекулярная динамика (МД), рассматривающая систему явным обра­
зом; броуновская динамика (БД), оперирующая только растворенными ионами
и отдельными молекулами, растворитель задается неявным образом; теория
Пуассона–Нернста–Планка (PNP), в которой система описывается на макро­
уровне, а ионный состав рассматривается непрерывным. Каждый из данных
подходов обладает своими преимуществами и недостатками. Метод МД наи­
24
более точен, но требует больших вычислительных мощностей. Подходы БД и
ПНП позволяют обойти данное ограничение за счет меньшей детальности мо­
делируемой системы. В то же время, МД имеет наименьшее временное и про­
странственное разрешение (после БД и PNP соответственно). Ниже (Рис. 1.9)
представлена схематичная иллюстрация данных методов на примере единой
системы.
(a)
(b)
(c)
Рис. 1.9. Схематичная иллюстрация применения различных методов к системе ионного ка­
нала, погруженного в липидный бислой и окруженный раствором электролита [11]: теория
Пуассона–Нернста–Планка (a) – ионы, вода, ионный канал и липидная мембрана представ­
лены непрерывной средой со своими диэлектрическими свойствами. БД (b) – ионное окруже­
ние моделируется явным образом. Полноатомная МД (c) – система полностью представлена
в явном виде.
Однако данная классификация является весьма приближенной. Уровень
вычислительной сложности зависит от степени детализации системы. Любые,
самые сложные вычисления МД основаны на соответствующих силовых полях,
выбор которых существенным образом зависит от исследуемой проблемы. В
связи с этим, применение 𝑎𝑏 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜 методов квантовой/молекулярной механики
(QM/MM), в принципе, может обеспечить наивысшую точность вычислений.
Однако, если говорить о пространственно-временном разрешении, то на данный
момент QM/MM-методы только начинают привлекаться к задачам моделиро­
вания макроскопических биосистем [117, 118] и проблемам ионного транспорта
25
[119]. С другой стороны, ведутся работы по объединению методов BD и PNP
[120, 121].
1.2.1. Методы молекулярной динамики
Широкое применение методов молекулярной динамики связано c увеличе­
нием компьютерных вычислительных мощностей и развитием эксперименталь­
ных методов и технологий пространственной реконструкции атомистических
структур биомакромолекул (рентгеноструктурный анализ, ЯМР, электронная
микроскопия). До недавнего времени единственным [122] объектом изучения
МД являлся грамицидиновый канал [123], он и на данный момент является мо­
дельной системой при тестировании новых методов моделирования [11]. Однако
уже к началу XXI века были получены различные структуры бактериальных
каналов: порины [124, 125], механочувствительные [126] и 𝐶𝑎2+ ионные кана­
лы [127]. Знаменательным событием являлось получение в 2001 году простран­
ственной структуры прокариотического 𝐾 + канала [128], чувствительного к pH
среды [127] с пространственным разрешением в 2 Å.
Молекулярная динамика основана на уравнении II-ого закона Ньютона [129,
130]. Если на 𝑖-ую частицу массы 𝑚𝑖 , с координатами r𝑖 в момент времени 𝑡 дей­
ствует сила F𝑖 , то уравнение движения запишется в виде:
𝑚𝑖
𝑑2 r𝑖
= F𝑖 .
𝑑𝑡2
(1.2)
Сила F𝑖 , действующая на частицу, определяется как градиент потенциальной
энергии системы:
F𝑖 (r) = −
𝜕𝑈 (r)
.
𝜕𝑟
(1.3)
В методах МД атомы рассматриваемой системы представляются точечны­
ми частицами, часть которых связана различными атомными связями (Рис. 1.10).
Потенциал такой системы можно представить в виде суммы потенциальной
энергии связей и взаимодействий, не зависящих от наличия химической свя­
26
зи:
𝑈 (r) = 𝑈𝑠𝑡𝑟 + 𝑈𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 + 𝑈𝑡𝑜𝑟𝑠 + 𝑈
⏞ + 𝑈ℎℎ .
⏟ 𝐿𝐷 + 𝑈𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
⏟
⏞
(1.4)
non-bonded
bonded
Рис. 1.10. Химическая связь двух атомов (bond stretching), угловая связь (angle bending)
трех атомов, торсионная связь (torsion), а также несвязанное взаимодействие (non-bonding
interaction).
Потенциальная энергия внутримолекулярной [131] связи 𝑈𝑠𝑡𝑟 атомов запи­
сывается в виде:
𝑁
𝑏
1 ∑︁
𝑈𝑠𝑡𝑟 (𝑟) =
𝐾𝑏,𝑖 (𝑟𝑖 − 𝑟0,𝑖 )2 ,
2 𝑖=1
(1.5)
где 𝐾𝑏,𝑖 – эффективная жесткость связи, 𝑖 – номер связи, 𝑟𝑖 – длина связи, 𝑟0,𝑖
– равновесная длина связи, 𝑁𝑏 – полное число валентных связей.
Аналогично записывается потенциал угловой 𝑈𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 гармонической связи:
𝑁
𝑎
1 ∑︁
𝑈𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 (𝛼) =
𝐾𝑎,𝑖 (𝛼𝑖 − 𝛼0,𝑖 )2 .
2 𝑖=1
(1.6)
Здесь 𝐾𝑎,𝑖 – эффективная упругость валентного угла, 𝑖 – номер угла, 𝛼𝑖 – ва­
лентный угол, 𝛼0,𝑖 – равновесное значение валентного угла, 𝑁𝑏 – полное число
валентных углов.
27
Потенциальная энергия торсионных углов, плоских групп и псевдоторси­
онных углов 𝑈𝑡𝑜𝑟𝑠 задается [132] через ряд Фурье [133]:
𝐿
Φ
1 ∑︁ ∑︁
𝐾𝜑,𝑙 [1 + 𝑔𝜑,𝑙 cos(𝑛𝜑,𝑙 𝛼𝜑 )] ,
𝑈𝑡𝑜𝑟𝑠 (𝛼) =
2
(1.7)
𝜑=1 𝑙=1
𝐾𝑎,𝑙 – константа, 𝜑 – номер угла, 𝑙 – номер гармоники, 𝑔𝜑,𝑙 – вклад гармоники
в потенциал торсионного угла, 𝑛𝜑,𝑙 – кратность гармоники.
Отметим, что иногда для описания энергии внутримолекулярных связей
используется потенциал Морзе [131]:
{︂[︁
}︂
]︁2
−𝑘(𝑟𝑖𝑗 −𝑟0 )
𝑈𝑠𝑡𝑟 (𝑟𝑖𝑗 ) = 𝐸0 1 − exp
−1 ,
(1.8)
где 𝐸0 – амплитуда потенциала, 𝑘 – жесткость связи. Однако замена на пара­
болический потенциал (1.5) оправдана малыми колебаниями валентных связей
при комнатных температурах [132].
Энергия взаимодействия заряженных атомов описывается электростатиче­
ским потенциалом:
𝑈𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡
𝑁𝑎𝑡𝑜𝑚 ∑︁
1 ∑︁
𝑞𝑖 𝑞 𝑗
=
.
4𝜋𝜖𝜖0 𝑖=1
𝑟𝑖𝑗
(1.9)
𝑗̸=𝑖
Парный потенциал взаимодействия описывается потенциалом Леннард–Джон­
са:
𝑈𝐿𝐷 =
𝑁∑︁
𝑎𝑡𝑜𝑚 ∑︁
𝑖=1
[︃(︂
4𝜖𝑖𝑗
𝑗̸=𝑖
𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
)︂12
(︂
−
𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
)︂6 ]︃
,
(1.10)
где 𝜖𝑖𝑗 – глубина потенциальной ямы взаимодействующих частиц, 𝜎𝑖𝑗 – значение
𝑟𝑖𝑗 , при котором 𝑈 (𝑟𝑖𝑗 ) = 0. Параметры 𝜖𝑖𝑗 и 𝜎𝑖𝑗 рассчитываются по правилу
Лоренца–Бертло [134]:
𝜖𝑖𝑗 =
√
𝜖𝑖 𝜖𝑗 ,
𝜎𝑖𝑗 =
𝜎𝑖 + 𝜎𝑗
.
2
Характерные значения данных констант [135–137] при 𝑇 = 298∘ 𝐾 для
основных типов ионов, наиболее распространенных в клетке, приведены ниже
(Таблица 1.2).
28
Таблица 1.2. Параметры потенциала Леннард–Джонса для некоторых ионов при 298∘ K
Тип иона 𝜎𝑖 , нм 𝜖𝑖 /𝑘𝐵 , K
𝑁 𝑎+
0.235
65.42
𝐾+
0.340
50.38
𝐿𝑖+
0.151
83.12
𝐶𝑎2+
0.287
50.32
𝐶𝑙−
0.440
50.32
𝐹−
0.312
90.68
За притяжение отвечает [138] слагаемое ∼ 𝑟−6 , которое обусловлено индук­
ционным диполь-дипольным взаимодействием. Отталкивание на малых рассто­
яниях осуществляется за счет обменного взаимодействия, чему соответствует
член ∼ 𝑟−12 . Необходимо отметить, что по сравнению с другими полуэмпириче­
скими потенциалами парных взаимодействий Букингема, Борна–Хаггинса–Мей­
ера, потенциал Леннард–Джонса более предпочтителен с точки зрения вычисли­
тельной затратности благодаря отсутствию слагаемых с экспонентами и выбор
степени 12 обусловлен исключительно удобством математических расчетов.
Энергия водородных связей напоминает потенциал (1.10) с точностью до
феноменологического слагаемого, отвечающего за дисперсионное диполь-диполь­
ное взаимодействие [132]:
𝑈ℎℎ
[︃
)︂12 (︂ )︂10 ]︃
𝑁ℎℎ ∑︁ (︂
∑︁
𝐴
𝐵
=
−
.
𝑟
𝑟
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝑖=1
(1.11)
𝑗̸=𝑖
Однако в ряде силовых полей потенциал (1.11) не используется в данной форме
[132].
Интегрирование уравнения движения (1.2) для каждой частицы рассмат­
риваемой системы и представляет основной подход МД. Оно осуществляется
с использованием разностных схем, основанных на алгоритме Верле [139], где
приращение координаты для 𝑖-ой частицы за каждый момент времени 𝛿𝑡 запи­
29
сывается в виде:
r𝑖 (𝑡 + 𝛿𝑡) = 2r𝑖 (𝑡) − r𝑖 (𝑡 − 𝛿𝑡) +
f𝑖 (𝑡) 2
𝛿𝑡
𝑚𝑖
(1.12)
где сила 𝑓𝑖 , действующая на 𝑖-ую частицу, находится из выражения (1.3).
Набор параметров, задействованных при расчете потенциальных энергий
системы (1.5)–(1.10), состоящий из равновесных значений длин связей, валент­
ных углов, величин парциальных зарядов, силовых констант и Ван-дер-Вааль­
совских параметров, называется силовым полем. В настоящее время существу­
ет несколько биомолекулярных силовых полей, которые могут быть разделе­
ны по учету атомов системы [11]. Так, полноатомные силовые поля CHARMM
(Chemistry at HARvard Molecular Mechanics) [140], OPLS-AA (Optimized Potential
for Liquid Simulations) [141, 142] и AMBER (Assisted Model Building and Energy
Refinement) [143] учитывают все атомы системы. Для ускорения расчетов ино­
гда пренебрегают неполярными атомами водорода. Такой подход реализован в
GROMOS (GROningen MOlecular Simulation package) [144, 145]). В последних
версиях данных силовых полей (CHARMM36 [146], GAFF – General AMBER
Force Field [147] [148]), за исключением OPLS, включены параметры взаимодей­
ствия с липидами, необходимые для моделирования ионных каналов на мем­
бране [11]. В частности, крупнозернистое силовое поле MARTINI [149] было
специально разработано для молекулярной динамики липидов и активно при­
меняется для моделирования мембранных процессов [150, 151].
Основным недостатком большинства существующих силовых полей явля­
ется то, что они не учитывают поляризационные эффекты, которые могут иг­
рать ключевую роль в селективности ионных каналов на микроскопическом
уровне [152, 153].
Для решения данной проблемы разрабатываются различные силовые по­
ля с учетом поляризационных эффектов [154, 155], такие как AMOEBA (Atomic
Multipole Optimized Energetics for Biomolecular Applications [156]), Gaussian Electrosta
Model (GEM [157]) и др.
30
Подход молекулярной динамики имеет ряд ограничений. В первую оче­
редь, относительно малая временная эволюция системы (10−9 секунды), недо­
статочная для наблюдения отдельных биологических эффектов [122]. Это обу­
словлено необходимостью выбора временного шага системы в 1 фс, соответству­
ющего десятой части периода молекулярных колебаний [132], для обеспечения
стабильности системы. Только в последнее время, благодаря развитию вычис­
лительных технологий и появлению суперкомпьютеров (MDGrape-3 [158], Blue­
Gene [159], Anton [160, 161]), удается дойти до миллисекундного рубежа [162].
Другим не менее важным фактором является необходимость наличия полно­
атомной реконструкции моделируемого белка. Учитывая трудность кристалли­
зации мембранных белков, часто применяется метод моделирования по гомоло­
гии [163, 164], благодаря их относительно высокой схожести в аминокислотной
последовательности [11]. Большие надежды по решению данной проблемы воз­
лагаются на открытие в 2015 году нового рентгеновского лазера на свободных
электронах XFEL. Длина волны подобного излучения (0.05 ÷ 6 нм) позволит
получать рентгенограммы высокого разрешения, а необходимость кристалли­
зации исследуемого вещества пропадет благодаря использованию технологии
мелкодисперсного впрыска [165].
1.2.2. Методы броуновской динамики
Основным подходом броуновской динамики (БД) является упрощение мо­
делируемой системы за счет замены внешнего растворителя на однородную сре­
ду. В такой системе на броуновскую частицу действуют диссипативные силы
трения и случайные «тычки» со стороны других молекул. Находясь в тепловом
равновесии, в среднем все молекулы системы обладают одной энергией, однако
из-за неоднородности массы обладают разными скоростями, что обуславлива­
ет некоторое распределение по квадрату скорости (распределение Максвелла в
термодинамике). В силу малости размеров броуновской частицы и неоднород­
ности импульса окружающих частиц по величине и направлению, соударения
31
не будут точно скомпенсированы.
Запишем теперь все вышесказанное в виде уравнения Ланжевена:
𝑚
𝑑𝑉
= −𝜁𝑉 + 𝐹𝑒 (𝑡) + 𝐹𝑠 (𝑡),
𝑑𝑡
(1.13)
где 𝜁 – коэффициент трения броуновской частицы, 𝐹𝑒 (𝑡) – внешнее поле сил,
𝐹𝑠 (𝑡) – стохастическая сила, обладающая следующими основными свойствами
[166]:
∙ Среднее по ансамблю частиц в произвольный момент времени обращается
в 0, гарантируя среднюю сбалансированность флуктуаций
⟨𝐹𝑠 (𝑡)⟩ = 0.
∙ Столкновения, разделенные во времени, статистически независимы – кор­
реляция отлична от нуля для интервалов порядка длительности столк­
новения (иными словами, автокорреляционная функция стохастической
силы – дельта-функция Дирака)
⟨𝐹𝑠 (𝑡1 )𝐹𝑠 (𝑡2 )⟩ = 𝛼𝛿(𝑡1 − 𝑡2 ).
Учитывая вышеуказанные свойства, становится очевидно, что стохасти­
ческая сила 𝐹𝑠 (𝑡) это фактически стационарный белый шум. Теперь можно
записать уравнение Ланжевена (1.13) в более распространенном виде [167]:
𝑑𝑉 = −𝛾𝑉 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 (𝑡)
(1.14)
Отсюда несложно получить общее решение:
𝑉 (𝑡) = 𝑉0 𝑒−𝛾𝑡 + 𝜎
∫︁ 𝑡
′
𝑒−𝛾(𝑡−𝑡 ) 𝑑𝑊 (𝑡′ ).
(1.15)
0
(аналитическое решение уравнения (1.13) более подробно будет рассмотрено
ниже).
32
Исходя из свойств интеграла Ито [168] можно получить окончательное
выражение для скорости в произвольный момент времени:
(︂
)︂
2
−2𝛾𝑡
𝜎
(1
−
𝑒
)
𝑉 (𝑡) = 𝑉0 𝑒−𝛾𝑡 + 𝑁 0,
.
2𝛾
(1.16)
Нормировочную константу 𝜎 найдем из предположения того, что система
находится в термодинамическом (тепловом) равновесии [166]:
√︂
2𝛾𝑘𝑇
𝜎=
.
𝑚
(1.17)
Тогда из (1.15) нетрудно получить выражение для эволюции координаты
броуновской частицы во времени:
1 − 𝑒−𝛾𝑡
𝑋(𝑡) = 𝑋0 + 𝑉0
+𝑁
𝛾
(︂
[︂
]︂)︂
−2𝛾𝑡
𝜎2
3
𝑒
0, 3 𝛾𝑡 − + 2𝑒−𝛾𝑡 −
.
𝛾
2
2
(1.18)
Найдем теперь средний по ансамблю квадрат перемещения частицы в момент
времени 𝑡:
[︂
]︂
2
−𝛾𝑡 2
−2𝛾𝑡
𝜎
3
(1
−
𝑒
)
𝑒
⟨𝑋 2 ⟩ = 𝑉02
+ 3 𝛾𝑡 − + 2𝑒−𝛾𝑡 −
.
2
𝛾
𝛾
2
2
(1.19)
Рассмотрим различные предельные случаи:
∙ Стремление системы к термодинамическому равновесию осуществляется
в предельном переходе при 𝑡 → ∞:
𝜎2
𝑘𝑇
lim ⟨𝑋 ⟩ = 2 𝑡 = 2
𝑡 = 2𝐷𝑡.
𝑡→∞
𝛾
6𝜋𝜂𝑅
2
(1.20)
Получаем классическое выражение, которое получил Эйнштейн в рамках
своей молекулярно-кинетической теории [169]. Таким образом, при 𝑡 → ∞
будет работать «диффузионное» приближение.
∙ В начальный момент времени (𝑡 → 0)
lim⟨𝑋 2 ⟩ = 𝑉02 𝑡2 ,
𝑡→0
33
т.е. начальные стадии эволюции броуновской системы не описываются ви­
неровским процессом (⟨𝑋 2 ⟩ ∼ 𝑡), а значит начинает проявляться память
частицы о своей начальной скорости и координате в предыдущий момент
времени (т.н. «баллистический режим»). Существование этого режима на
малых временах (Рис. 1.11) обусловлено тем, что самоподобный характер
винеровского процесса на практике должен исчезнуть [170], так как иначе
потребовались бы бесконечные импульсы силы. В последнее время балли­
стический режим удалось наблюдать непосредственно [171]. На временах
порядка 1/𝛾 влияние начальной скорости пропадает, отсюда следует еще
один смысл 𝛾 – это время автокорреляции скорости [172, 173].
Отсюда следует существующее ограничение уравнения (1.13): в любой момент
времени жидкость должна мгновенно восстанавливать свое равновесное состо­
яние, соответствующее данной скорости – иными словами отсутствует эффект
памяти прежней динамики частицы, что существенно для малых 𝑡. Для реше­
ния данной проблемы вводят [174] специфическую «функцию памяти» 𝜅(𝑡 − 𝜏 ),
получая обобщенное уравнение Ланжевена:
∫︁ 𝑡
𝑑V
𝑚
=−
V(𝜏 )𝜅(𝑡 − 𝜏 )𝑑𝜏 + Fe (𝑡) + Fs (𝑡).
𝑑𝑡
0
(1.21)
Однако, учитывая область применения БД и возможность моделирования отно­
сительно продолжительной эволюции системы (10−6 ÷10−3 c [11]), характерный
временной шаг, выбираемый при данных экспериментах [175–177], позволяет
рассматривать броуновские блуждания в пространстве скоростей и координат
как марковский процесс без учета функции памяти [178, 179].
В качестве внешней силы, действующей на броуновские частицы системы,
как правило [11], выбирается суперпозиция электростатического (1.9) и парного
потенциала взаимодействия типа Леннард–Джонса (1.10). При расчете электро­
статических сил растворитель, липидный бислой и белок приближаются одно­
родной средой с постоянной диэлектрической проницаемостью (78 [180], 3÷7
[181, 182], 8÷10 [183, 184] при 298∘ K соответственно).
34
Рис. 1.11. Зависимость смещения от времени (слева), а также плотность распределения сме­
щения (справа) для точного решения (1.18).
В заключение отметим, что в настоящее время комбинированное использо­
вание методов молекулярной и броуновской динамики представляет собой наи­
лучший подход к моделированию ионных каналов с известной атомной струк­
турой [122]. МД моделирование позволяет определить локальный коэффициент
диффузии ионов в канале. Данные значения затем используются в диффузи­
онной модели БД с фиксированной пептидной структурой [185, 186]. Также
методами МД удается рассчитать полную 3-D карту потенциала средней силы
(PMF) и использовать ее для броуновской динамики [120].
1.2.3. Уравнение Пуассона–Нернста–Планка
Следующим упрощением моделируемой системы является замена точного
расчета взаимодействий между ионами на некоторое среднее поле, усредненное
по всем возможным положениям ионов в системе [122]. Таким образом, теперь
в качестве однородной среды со своей диэлектрической проницаемостью будет
выступать растворитель, белок и сами ионы [11]. Тогда, используя уравнение
Пуассона [187], можно найти потенциал Ψ(r), создаваемый данной системой в
точке c радиус-вектором r:
𝛿Ψ(r) = −
𝜌(r)
,
𝜖𝜖0
(1.22)
35
где 𝛿 – лапласиан, 𝜖 – диэлектрическая проницаемость среды, 𝜌(r) – плотность
заряда в точке c радиус-вектором r. Уравнение (1.22) – наиболее популярная
теоретическая модель, используемая для описания электростатического поля
вокруг заряженной биомакромолекулы в ионном растворе [11].
Далее положим, что атомная структура белка и его распределение заря­
да 𝜌𝑃 (r) нам известно. Тогда, зная концентрации растворенных в воде ионов,
можно найти плотность заряда 𝜌𝑆 (r):
𝜌𝑆 (r) = 𝑒
∑︁
𝑧𝑖 𝑐𝑖 (r),
(1.23)
𝑖
где 𝑐𝑖 (r) и 𝑧𝑖 – концентрация в точке r и заряд в элементарных единицах 𝑖-ого
типа иона соответственно, 𝑒 – заряд электрона.
С учетом (1.23), а также принимая во внимание, что в общем случае 𝜖 =
𝜖(r), уравнение Пуассона (1.22) примет вид:
(︃
)︃
∑︁
1
∇ · [𝜖(r)∇Ψ(r)] = −
𝜌𝑆 (r) + 𝑒
𝑧𝑖 𝑐𝑖 (r) .
𝜖0
𝑖
(1.24)
В случае нахождения системы в термодинамическом равновесии из равен­
ства электрохимических потенциалов можно получить, что концентрации ионов
подчиняются распределению Больцмана:
𝑐𝑖 (r) = 𝑐∞
𝑖 exp
𝑧𝑖 𝑒Ψ(r)
,
𝑘𝐵 𝑇
(1.25)
𝑐∞
𝑖 – концентрация 𝑖-ого типа иона в точке, где потенциал Ψ(r) = 0, 𝑘𝐵 и 𝑇 –
константа Больцмана и температура системы соответственно.
Тогда из (1.24), согласно (1.25), получим уравнение Пуассона–Больцмана
(ПБ) [188]:
∇ · [𝜖(r)∇Ψ(r)] = −
1
𝜖0
(︃
𝜌𝑆 (r) + 𝑒
)︃
∑︁
𝑖
𝑧𝑖 𝑐∞
𝑖 exp
𝑧𝑖 𝑒Ψ(r)
𝜆(r)
𝑘𝐵 𝑇
(1.26)
Здесь введен параметр 𝜆(r), описывающий «доступность» для ионов положения
с радиус-вектором r. Например, внутри биомакромолекулы 𝜆 = 0 [11].
36
Решение уравнения (1.26) аналитически может быть получено для ряда
частных случаев [189, 190]. Так, для бинарного электролита и малых потенци­
алов (< 25 мВ) может быть получено уравнение двойного электрического слоя
Гуи–Чепмена, описывающее изменение потенциала с расстоянием от поверхно­
сти твердой фазы вглубь раствора [191].
Так как уравнение (1.26) приводит к приближению среднего поля, прене­
брегая неэлектростатическими ион-ионными взаимодействиями (Ван-дер-Вааль­
совы, водо-индуцируемые [192, 193]), то его применение затруднено при опи­
сании электростатики сильно-заряженных молекул, таких как ДНК, в высо­
коконцентрированных ионных растворах [194]. Однако для ионных каналов,
для которых не характерны столь высокие плотности заряда, теория Пуассона­
Больцмана находит широкое применение при расчете свободной энергии пере­
хода иона из раствора в полость канала [195], характеристики ион-белковых
взаимодействий [196, 197], вычислении распределения трансмембранного элек­
тростатического потенциала [198, 199] и определения стабильности протониро­
ванных и непротонированных состояний радикалов аминокислот в канале [200].
В силу широкой области применения теории Пуассона–Больцмана были раз­
работаны специальные вычислительные алгоритмы для численного решения
уравнения (1.26): APBS (Adaptive Poisson-Boltzmann Solver [201]), DelPhi [202].
Моделирование самих ионных токов требует рассмотрения системы в нерав­
новесном состоянии. Для этого используют уравнение Нернста–Планка, при­
меняемое для описания электродиффузионной теории транспорта. Предпола­
гается, что ионные потоки обусловлены свободной диффузией и миграцией в
электрическом поле, создаваемом всей системой:
[︂
]︂
𝑐𝑖 (r, 𝑡)
𝑒𝑓 𝑓
J𝑖 (r, 𝑡) = −𝐷𝑖 (r) ∇𝑐𝑖 (r, 𝑡) +
∇𝑊𝑖 (r) ,
𝑘𝐵 𝑇
(1.27)
где 𝐷𝑖 и 𝑐𝑖 – коэффициент диффузии и концентрация 𝑖-ого типа иона соответ­
ственно, 𝑊𝑖𝑒𝑓 𝑓 – эффективный потенциал, состоящий из электростатического
Ψ(r) и 𝑈𝑃 (r) потенциалов, описывающих ион-ионные и белок-ионные взаимо­
37
действия [11], причем Ψ(r) рассчитывается по уравнению Пуассона без учета
равновесного распределения концентраций (1.24). Совокупность уравнений (1.24)
и (1.27) и представляет собой теорию Пуассона–Нернста–Планка (PNP).
За счет решения проблемы многочастичных взаимодействий аппроксима­
цией средним полем, использование подхода PNP к задаче моделирования ион­
ных каналов [203] вычислительно менее затратно по сравнению с методами МД
и БД. Как следствие такого подхода, модель PNP пренебрегает конечностью
размера ионов, ион-ионными корреляциями и диэлектрическим откликом си­
стемы на ионное окружение [11], что приводит к значительным различиям в
проводимости (до 50% [185]) при моделировании узких ионных пор методами
БД и PNP [204, 205]. В последнее время уравнения PNP были адаптированы
для учета размерных эффектов с использованием теории функционала плот­
ности (DFT), для описания многочастичного взаимодействия модели твердых
сфер между ионами и молекулами растворителя [206, 207]. Так же, как и в
БД, игнорируются тепловые флуктуации липидного бислоя и пептида. Тем не
менее, данная проблема может быть решена комбинированием методов МД,
Монте–Карло с системой уравнений PNP [208].
1.2.4. Методы квантовой химии
На протяжении развития химии было создано множество концепций эмпи­
рических параметров: валентность, кратность связи, электроотрицательность,
энергия ионизации, родство к электрону, химическая активность. С появлением
квантовой механики они стали находить свое уточнение и переформулировку в
виде тех или иных особенностей решения уравнения Шредингера. Попутно раз­
рабатывались упрощенные подходы для понимания происходящего в атомах
и молекулах на квантовом уровне: понятие атомной орбитали, гибридизация,
связывающие и разрыхляющие молекулярные орбитали.
Теоретически, с написанием уравнения Шредингера в химии практически
не осталось явлений, которые бы не могли бы быть объяснены его решением.
38
Однако вычислительная сложность его аналитического решения слишком вы­
сока. Методы же численного решения уравнения совершенствовались, но на
сегодняшний день точное аналитическое решение возможно лишь для самых
простых систем. Однако применение определенных упрощений приводит к удо­
влетворительному описанию систем с большим числом атомов, вплоть до бел­
ковых систем. Речь идет о теории функционала плотности [209] (DFT), в кото­
рой преодолевается избыточность волновой функции, зависящей от координат
всех электронов, и вводится понятие электронной плотности – скалярного по­
ля, которое варьируется для минимизации энергии модельной системы, в том
числе и вместе с координатами ядер для получения энергетически выгодной
геометрии и электронной плотности. В разных вариантах DFT является одним
из наиболее широко используемых методов вычислительной квантовой химии
и применяется как для расчета отдельных молекул, так и для периодических
систем в физике конденсированного состояния.
Аналогично методам Хартри–Фока, в DFТ проводится антисимметризация
волновой функции, однако в силу особого учета кинетической энергии трак­
товка полученных собственных значений, аналогичных энергиям и орбиталям
Хартри, немного отличается.
Несмотря на успехи, имеются проблемы при описании межмолекулярных
сил, а также трудности при расчете запрещенной зоны в полупроводниках. Важ­
ным фактом является и то, что на сегодняшний день невозможно оценить даже
погрешность методов, не сравнивая полученные значения с результатами дру­
гих экспериментов. Согласие с экспериментом критично для всех теорий, но тут
речь именно об отсутствии возможности оценить априорную ошибку. Отдель­
ной слабостью теории является поиск переходных состояний, в силу того, что
теоретические допущения работают вблизи основного состояния, а переходное
является седловой точкой между локальными минимумами.
В целом, с момента создания в 1970-х, теория, первоначально считавшаяся
довольно неточной, к 1990-м достигла успеха в решении проблем с обменной и
39
корреляционной энергией. Одним из корней проблем, несмотря на абсолютную
теоретическую точность обменно-корреляционного функционала, является его
заведомая сложность и чудовищная неаналитичность, ставящая под вопрос все
текущие его аналитические параметризации с множеством поправок.
В рамках теории конденсированного состояния DFT применяется успешно
в локальном приближении, в базисе плоских волн. Делокализованные электро­
ны обеспечивают применимость такого подхода. Множество программ работа­
ет в базисе плоских волн, включая коммерческий CASTEP, открытые ABINIT,
Quantum ESPRESSO, а также пакеты с академической лицензией CPMD [210].
Для непериодических систем и органических молекул применяются базисы
атомных орбиталей, как численные, так и аналитические гауссовы. Реализова­
ны в пакетах PC GAMESS, GAUSSIAN, SIESTA [211], HyperChem [212] и мно­
гих других. Для описания возбужденных состояний разрабатывается временно­
зависимая теория функционала плотности, TDDFT, реализованная в програм­
ме OCTOPUS [213].
Основы DFT
Приближение неподвижных ядер (приближение Борна–Оппенгеймера) яв­
ляется отправной точкой. Его обоснованием служит разница масс электрона и
нуклона, которая позволяет считать, что электронное облако, обладая намно­
го меньшей инерцией, успевает подстраиваться под движение ядер. Точность
такого приближения составляет порядка 1%.
Концептуальный предшественник DFT – модель Томаса–Ферми, рассчи­
тавших в приближении Борна–Оппенгеймера энергию атома как сумму его ки­
нетической и потенциальных энергий взаимодействия электронов с ядром и
друг с другом, впервые используя выражение для энергии в виде функционала
электронной плотности:
3
𝐸𝑇 𝐹 [𝜌(r)] = (3𝜋 2 )2/3
10
∫︁
𝜌5/3 (r)𝑑r−𝑍
∫︁
𝜌(r)
1
𝑑r+
𝑟
2
ZZ
𝜌(r1 )𝜌(r2 )
𝑑r1 𝑑r2 . (1.28)
𝑟12
40
Недостатки модели Томаса–Ферми устранены с развитием DFT, под кон­
цепцию электронной плотности подведен теоретический базис, сформулирован­
ный на основании вариационного принципа в виде двух теорем Хоэнберга–Кона.
̂︀ системы 𝑁 частиц позволяет определить значение
Оператор энергии 𝐻
энергии в любом состоянии Ψ𝑁 :
̂︀ 𝑁 ⟩.
𝐸[Ψ𝑁 ] = ⟨Ψ𝑁 |𝐻|Ψ
(1.29)
̂︀ в
Заметим, что 𝑁 входит в косвенном виде не только в Ψ𝑁 , но и в 𝐻
виде предела суммирования. Однако волновая функция основного состояния
электронов в любом внешнем потенциале такова, что любая другая функция
даст лишь большее значение энергии системы
𝐸0 = min 𝐸[Ψ𝑁 ].
Тут речь идет о невырожденных состояниях, что является почти всегда умест­
ным, так как вырождение можно снять сколь угодно малой добавкой ассимет­
рии.
̂︀ содержит три слагаемых: 𝑇̂︀ – оператор кинетической энергии,
Оператор 𝐻
𝑉̂︀𝑒𝑥𝑡 – оператор потенциальной энергии набора частиц во внешнем потенциале,
̂︀ – оператор взаимодействия электронов друг с другом. Именно из-за то­
и 𝑈
̂︀ переменные разных частиц не разделены, систему нельзя свести к
го, что в 𝑈
одночастичным уравнениям.
Первая теорема Хоэнберга–Кона гласит, что внешний потенциал, опреде­
ленный с точностью до константы, 𝑉̂︀𝑒𝑥𝑡 , является функционалом электронной
плотности основного состояния. Вывод часто формулируется как: энергия ос­
новного состояния является функционалом электронной плотности основного
состояния. Однако ясно, что вывод следует гораздо шире. Внешний потенциал
определяет гамильтониан целиком, со всеми возбужденными состояниями. По­
этому на самом деле энергетический спектр целиком является функционалом
электронной плотности основного состояния, а не только энергия основного со­
стояния.
41
Так как для каждой плотности стоящей за ней волновой функции можно
сопоставить кинетическую, потенциальную во внешнем поле и потенциальную
энергию взаимодействия, то и в итоговом функционале можно выделить три
части:
𝐸0 [𝜌0 ] = 𝑇0 [𝜌0 ] + 𝑉0 [𝜌0 ] + 𝑈0 [𝜌0 ].
(1.30)
Принято говорить, что в таком разбиении информация о конкретной системе
находится лишь в 𝑉0 . При этом 𝑇0 [𝜌0 ] и 𝑈0 [𝜌0 ] – универсальные функционалы,
на зависящие явно от конкретной системы – данная зависимость находится
уже в самой плотности основного состояния. Последние два принято выделять
в т.н. функционал Хоэнберга–Кона (1.31), позволяющий определить внешний
потенциал и все параметры системы, в т.ч. энергию основного состояния, за
вычетом электростатической во внешнем потенциале:
𝐹𝐻𝐾 [𝜌0 ] = 𝑇0 [𝜌0 ] + 𝑈0 [𝜌0 ].
(1.31)
Подобным же образом из функционала энергии взаимодействия отнимает­
ся классическая кулоновская часть, явно зависящая от плотности и представ­
ляющая собой обычную энергию облака заряда, а то, что осталось, объявляет­
ся (1.32) неклассическим вкладом:
∫︁
𝜌(𝑟1 )𝜌(𝑟2 )
𝑈0 [𝜌0 ] =
+ 𝐸𝑛𝑜𝑛−𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑐𝑎𝑙 [𝜌].
2
(1.32)
Вторая теорема Хоэнберга–Кона гласит [214], что для любой другой плот­
ности, тоже являющейся чьим-то основным состоянием, энергия, как функцио­
нал, будет больше:
𝐸0 [𝜌0 ] ≤ 𝐸0 [̃︀
𝜌].
Теоремы Хоэнберга–Кона являются теоретической основой, и не дают кон­
кретных практических методов нахождения энергии по заданной плотности.
Вообще электронная плотность без таких строгих обоснований уже использова­
лась ещё в модели Томаса–Ферми. Эта модель знаменита тем, что предсказыва­
42
ла отсутствие какой бы то ни было химической связи. Дирак уточнил модель,
но отсутствие химической связи продолжало быть досадной проблемой.
В рамках DFT, строго говоря, отсутствует понятие волновой функции. Тео­
ретически, используя процедуру ограниченного поиска Levy, можно для элек­
тронной плотности основного состояния найти искомую волновую функцию.
Но это мало связано с реальной практикой, так как требует перебора всех воз­
можных волновых функций для данной электронной плотности, причем при
условии, что найденая плотность отвечает основному состоянию. Также суще­
ственным отличием DFT от других теорий, использующих вариационный прин­
цип, является и то, что в отличие от последних, меньшее значение энергии не
является показателем большей близости к истинному значению.
Кон и Шэм показали, как теоремы Хоэнберга–Кона могут быть применены
на практике. Основным моментом стало осознание того, что главные проблемы
модели Томаса–Ферми (а также уточненной Дираком модели) было неточное
определение кинетической энергии. Метод Хартри–Фока в этом плане имеет
преимущество. Взяв его за основу, Кон и Шэм ввели вспомогательную вообра­
жаемую систему из невзаимодействующих электронов. Кинетическая энергия
такой системы может быть рассчитана с хорошей точностью.
Ниже (Рис. 1.12) схематично представлена общая процедура метода DFT.
Ab initio моделирование таких сложных систем, как ионные каналы, пред­
ставляет собой задачу на порядок более сложную. Незнание точных параметров
тех или иных функциональных групп, особенно включающих атомы металлов,
может оказаться существенным недостатком модели, если эти группы играют
ключевую роль во взаимодействии с ионами. Также точный учет электрохи­
мических параметров растворителя может оказаться существенным для успе­
ха/неудачи модели. Существующие дисперсионные взаимодействия в органиче­
ских системах имеют равноправный порядок с другими типами взаимодействий,
но поддаются моделированию ab initio намного сложнее. Приближение локаль­
ной плотности плохо описывает водородные связи, во многом определяющие
43
Рис. 1.12. Схематичное представление общей процедуры метода DFT.
свойства органических молекул.
Расчеты биологических систем фокусируются в основном на методах мо­
лекулярной динамики и эмпирических механистических параметров связей в
органических молекулах. Разумеется, модели DFT постоянно согласовываются
и уточняются как с экспериментальными данными, так и с расчетами моделей
молекулярной динамики. Важно, что в таких случаях речь идет о больших
временных интервалах, нежели может покрыться методами молекулярной ди­
намики ab initio, поэтому упрощения неизбежны.
Полуэмпирические методы
Несмотря на большую точность ab initio методов квантовой химии, они ред­
ко применяются для моделирования систем, состоящих более чем из 10 атомов,
в силу большой вычислительной трудности (время расчета зависит от числа
атомных орбиталей и растет как 𝑛4𝑎 ) [215]. Поэтому вместе с развитием неэмпи­
рических методов решения уравнения Шредингера отдельное внимание уделя­
44
лось полуэмпирическим подходам, призванным расширить применение методов
квантовой химии на реальные прикладные задачи – оценка теплот образования,
геометрическая оптимизация макромолекул, распределение электростатическо­
го потенциала и др.
Это становится возможным благодаря численной оценке некоторых элек­
тронных интегралов и интегралов перекрывания на основе существующих экс­
периментальных данных, что увеличивает скорость расчета на несколько поряд­
ков, а использование валентного приближения приводит к зависимости только
от числа валентных орбиталей (∼ 𝑛3𝑣 ).
К настоящему моменту создано большое число полуэмпирических мето­
дов, решающих задачи для систем, состоящих более чем из 200 атомов. Однако
успех применения данных подходов зависит от конкретного понимания зало­
женных в них физико-химических основ упрощений и схем параметризаций,
что существенно сужает круг решаемых задач и требует четкого знания специ­
фики конкретного метода [216].
Рассмотрим существующие полуэмпирические методы более подробно [215].
∙ CNDO (Complete Neglect of Differential Overlap). Один из первых
полуэмпирических методов [217], позволивший изучать органические со­
единения. На данном методе основаны все дальнейшие подходы полуэмпи­
рических методов. В его основе лежат приближение линейной комбинации
локальных орбиталей (ЛКАО) [218] и предположение о необходимости
учета только валентных электронов (валентное приближение). По срав­
нению с другими полуэмпирическими методами, CNDO имеет большую
скорость расчета, что обосновывает его применение в настоящее время
для больших систем для вычислений дипольных моментов, оптимальной
геометрии и распределения электронной плотности [215]. Из недостатков
надо отметить неудовлетворительную оценку потенциалов ионизации и
теплот образования [215].
45
∙ INDO (Intermediate Neglect of Differential Overlap). Модификация
CNDO, отказывающаяся от приближения нулевого дифференциального
перекрытия [219] (NDO). Данное обстоятельство позволяет применять ме­
тод INDO для расчета молекул в возбужденном состоянии, но сохраняет
все недостатки CNDO.
∙ MINDO (Modified INDO). В ней не вводится дополнительных при­
ближений [220], меняется только схема параметризации [215]. Известны
3 основных модификации данного метода, наиболее распространенным в
настоящее время является MINDO/3, позволяющий рассчитать основные
параметры макромолекул. Однако расчет водородных связей является од­
ним из существенных недостатков метода.
∙ PM3 (Parameter Model 3). Наиболее точный и быстрый полуэмпири­
ческий метод в квантовой химии, что обеспечило ему наибольшую попу­
лярность в широком диапазоне решаемых задач [221]. Основан на методе
MNDO, в котором реализовано приближение двухатомного дифференци­
ального перекрывания (NDDO). Наиболее предпочтительный метод при
расчете распределения заряда, а также полярных свойств макромолекул.
В настоящее время продолжается активное развитие данной модели: в
PM6 были оптимизированы параметры для расчета актиноидов и ланта­
ноидов [222], а PM7 более заточен на органические соединения [223].
Совершенно очевидно, что в ближайшие годы методы моделирования та­
ких больших биологических макросистем, как ионные каналы, а также самого
процесса ионного транспорта, будут развиваться в сторону интеграции различ­
ных подходов к численному моделированию. Начало разработке комбинирован­
ной методологии моделирования проводимости ионных каналов было заложено
в конце 90-х годов XX века года в работах [224], которые впервые примени­
ли методы молекулярной и броуновской динамики для моделирования ионной
46
проводимости калиевого канала. В данной работе методами МД был подсчи­
тан эффективный коэффициент диффузии ионов 𝑁 𝑎+ и 𝐾 + в канале, который
затем использовался в БД моделировании ионной проводимости на основе упро­
щенной модели ионного канала. Несколько ранее в конце 70-х годов была пред­
ложена (Warshel, Karplus и Levitt) гибридная методология QM/MM моделиро­
вания, за которую они удостоились в 2013 году Нобелевской премии по химии
«За создание многоуровневых моделей сложных химических систем», которая
широко применяется для изучения отдельных элементов данной системы (на­
пример, возможность депротонирования аминокислотных остатков аспартата
Asp80 и глутаминовой кислоты Glu71 в селективном фильтре KcsA ионного ка­
нала). Однако применение данной методологии для полноценного моделирова­
ния ионного канала ограничено современными вычислительными способностя­
ми. Из трудов российских ученых необходимо отметить работу Бороновского
С.Е. [225], который впервые совместил методы БД и стохастическую актива­
цию ионных каналов на основе известных констант скоростей ферментативных
реакций.
Именно в данном русле представляется возможным рассмотреть процесс
ионного переноса через мембрану с точки зрения не только отдельного белка,
но и всей клетки в целом, что существенно расширит не только знание о со­
пряженных биофизических процессах в организме, но и откроет возможность
создания узкоспециализированных лекарственных форм. Поэтому разработка
подобной методологии – одна из важнейших задач биофизики на ближайшее
время.
47
Глава 2
Построение модели ионной поры на мембране
В основе используемой в работе модели ионного канала на мембране ле­
жит представление данной системы в виде трех компартментов (Рис. 2.1): два
из них представляют собой вне- (I компартмент) и внутриклеточную (III ком­
партмент) среду, в которой растворены различные частицы с соответствующей
концентрацией, а второй компартмент представляет собой гидрофобный уча­
сток мембраны с ионным каналом.
Элементами рассматриваемой системы являются частицы, которые могут
быть:
∙ Подвижные — частицы, способные перемещаться в пределах различных
компартментов. Представляют собой ионы и молекулы, участвующие в
моделировании. Отметим, что для случая молекул или сложных ионов
положение атомов молекулы относительно друг друга не меняется (жест­
кие связи), однако сама частица подвижна.
∙ Неподвижные — частицы, не меняющие своего пространственного поло­
жения в ходе моделирования. Они описывают системы зарядов фосфоли­
пидного бислоя мембраны и заряженных аминокислотных остатков белка,
формирующих ионную пору и селективный фильтр канала во втором ком­
партменте.
В силу того, что каждый компартмент характеризует отдельную биологи­
ческую систему, методология компьютерного моделирования данных элементов
системы должна быть различной. Рассмотрим их более подробно.
48
Рис. 2.1. Схематическое изображение используемой в работе компартментной модели ион­
ного канала, подчиняющейся комбинированному моделированию методами молекулярной
(компартмент II) и броуновской динамики (компартменты I и III).
2.1. Вне- и внутриклеточные компартменты (I, III)
Учитывая, что компартменты I и III содержат растворенные в воде ионы
и молекулы, то описание такой системы логично проводить на основе методов
броуновской динамики, что позволит существенно сократить время вычислений
за счет учета растворителя в неявном виде. Подробное описание используемой
методологии броуновской динамики будет рассмотрено в Главе 3.
В начале моделирования каждая частица случайным образом помещается
в доступную область своего стартового компартмента (I или III). Количество
частиц определенного типа зависит от концентрации и размеров диффузионных
компартментов, которые задаются исследователем. Отметим, что оптимальный
49
размер компартмента необходимо подбирать таким образом, чтобы соблюсти
баланс между вычислительной сложностью и репрезентативностью выборкой
(числом частиц). Поэтому лимитирующим фактором выступает наибольшая
концентрация вещества, участвующего в моделировании.
Доступной области начальной инициации соответствует та область модели­
руемого пространства, при которой произвольная частица не будет иметь кол­
лизий с другими элементами системы. В ходе моделирования каждая из этих
частиц может (при условии, что ее габариты не превосходят размер ионной по­
ры) сменить свой диффузионный компартмент (I→ III или III→ I) только через
ионный канал (II). Это приводит к двум возможным типам моделирования:
∙ Фиксированные концентрации — любая частица, сменившая свой диффу­
зионный компартмент (I→ III или III→ I) помещается в область стартово­
го компартмента со случайными координатами. Это позволяет избежать
накопления частиц в ходе моделирования ионной проводимости и изме­
нения трансмембранного потенциала. Такой метод моделирования может
применяться только для случая относительно малого числа частиц в си­
стеме (<1000).
∙ Моделирование с накоплением — при смене диффузионных компартмен­
тов частицы не происходит ее перемещение в область стартового компарт­
мента, и ее движение полностью подчиняется ходу моделирования. Дан­
ный тип моделирования применим для систем, число частиц в которой
>1000.
Частицы каждого компартмента взаимодействуют с другими частицами
своего компартмента и с фосфолипидным бислоем, что позволяет существенно
сократить время вычислений межчастичных взаимодействий. Частица счита­
ется сменившей свой компартмент в случае, если координаты ее центра масс
находятся в области соответствующего компартмента.
50
Если на произвольном шаге моделирования рассчитанные новые координа­
ты частицы выходят за границы диффузионного компартмента размера {𝐿𝑥 , 𝐿𝑦 , 𝐿𝑧 }
, то происходит преобразование координат, эмулирующее периодические гранич­
ные условия в упрощенном виде:
⎧
⎪
⎪
⎪
𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 ± 𝐿𝑥 , |𝑥𝑖 |> 𝐿𝑥
⎪
⎪
⎨
𝑦𝑖 = 𝑦𝑖 ± 𝐿𝑦 , |𝑦𝑖 |> 𝐿𝑦
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩𝑧𝑖 = 𝑧𝑖 ± 𝐿𝑧 , |𝑧𝑖 |> 𝐿𝑧
(2.1)
Любая частица диффузионного компартмента, попавшая в область ионной
поры (II), перестает описываться методами броуновской динамики и подчиняет­
ся прямому моделированию упрощенными методами молекулярной динамики.
2.2. Ионный канал в бислое (II)
2.2.1. Описание ионного канала
Ионный канал в данной модели (Рис. 2.2) представляет собой абсолютно
упругое тело, сформированное набором полых конических и цилиндрических
тел. Характерные геометрические параметры такого тела можно получить из
анализа структуры ионного канала, полученной различными методами (рентге­
ноструктурный анализ, электронная микроскопия, ЯМР), что расширяет при­
менимость такого подхода для исследования ионных каналов, для которых от­
сутствует атомистическая пространственная организация (PDB-структура) в
силу высокой сложности кристаллизации мембранных белков. Основными гео­
метрическими параметрами, описывающими ионный канал в данном представ­
лении являются:
∙ D𝑟 — внешний диаметр (абрис) канала, представляющий собой диаметр
ограничивающего ионный канал цилиндра. Для каналов с ярковыражен­
ной не-цилиндрической формой в качестве D𝑟 выбирается максимальный
51
размер канала в поперечном срезе.
∙ H𝑟 — высота канала, представляющая собой высоту ограничивающего
ионный канал цилиндра. Отметим, что в таком случае на эффективный
размер ионного канала будут влиять как внеклеточные петли, участвую­
щие в образовании сайтов связывания нейромедиаторов для лиганд-зави­
симых ионных каналов, так и N,C-концы.
∙ H𝑚 — высота внеклеточной части относительно линии липидного бислоя
толщиной W𝑚 . Зная высоту канала H𝑟 можно определить высоту внут­
риклеточной части.
∙ d𝑖𝑛 — диаметр ионной поры канала внутри клетки.
∙ d𝑜𝑢𝑡 — диаметр ионной поры канала снаружи клетки.
∙ d𝑝 — диаметр самой узкой части ионной поры канала (селективный фильтр).
∙ h𝑖𝑛 — Расстояние от начала ионной поры внутри клетки до селективного
фильтра.
∙ h𝑜𝑢𝑡 — Расстояние от начала ионной поры снаружи клетки до селективного
фильтра. Зная величины h𝑖𝑛 , h𝑜𝑢𝑡 и H𝑚 можно определить длину самой
узкой части ионного канала. Как правило, она несколько меньше толщины
мембраны W𝑚 .
Описание внутренней геометрии канала представляет собой задачу нахож­
дения функциональной зависимости радиуса ионной поры (r𝑖 ) от координаты
по оси канала (y𝑖 ). В случае цилиндрической и конической аппроксимации внут­
ренний абрис канала будет представлять собой массив из пар чисел
{(𝑟1 , 𝑦1 ) , (𝑟2 , 𝑦2 ) , . . . , (𝑟𝑁 , 𝑦𝑁 )} .
Качество подобного приближения будет зависит от того, какими данными
о пространственной организации исследуемого канала обладает исследователь.
52
Рис. 2.2. Геометрические характеристики модели ионного канала на мембране c явным уче­
том растворителя. ±𝛿 — характерные заряды остатков заряженных или полярных аминокис­
лот, формирующих пору ионного канала.
В случае известной PDB-структуры канала внутренняя геометрия будет вос­
произведена с большей точностью, нежели для карт электронной плотности.
Однако, как говорилось выше, такая ситуация возможна далеко не для всех
типов ионных каналов, известных на данный момент.
Окончательная полная форма канала создается на основе данных двух
геометрий — внутренней и внешней. Необходимо отметить, что в ходе модели­
рования канал считается неподвижным и не способен менять свою конформа­
53
цию, оставаясь в открытом состоянии. Таким образом, данная форма канала
описывает его некоторое усредненное пространственное положение, которые в
реальности размывается за счет температурных флуктуаций нативной структу­
ры и специфическими взаимодействиями с элементами системы (фосфолипиды,
ионы и др.).
Следующим этапом создания модели ионного канала является определение
остатков аминокислот, обращенных в область ионной поры, способных непосред­
ственно взаимодействовать с другими частицами — ионами и молекулами во­
ды. Наибольший интерес в этом случае представляют аминокислотные остатки,
формирующие область селективного фильтра, играющие определяющую роль
в функционировании ионного канала. Поскольку селективный фильтр ионного
канала — конформационно стабильный функциональный элемент, это приводит
к тому, что образование структуры фильтра происходит в области трансмем­
бранных доменов — а значит вторичная форма, образуемая последовательно­
стью аминокислот, формирующих фильтр, будет 𝛼-спираль. Поскольку функ­
циональной ролью селективного фильтра ионного канала выступает избира­
тельность к катионам или анионам, то величина эффективного заряда, образо­
ванного полярными или заряженными аминокислотными остатками фильтра,
будет влиять определяющим образом как на эффективность избирательности,
так и на уровень проводимости канала. Поэтому в данной модели учитываются
только полярные или заряженные аминокислотные остатки трансмембранных
доменов ионного канала.
Определение характерных аминокислот, формирующих селективный фильтр,
и их координат по оси канала также будет зависеть от наличествующих дан­
ных о пространственной структуре. И если для PDB-структуры канала данная
задача не представляет большой сложности, то в других случаях необходимо ис­
пользовать сведения как о полной аминокислотной последовательности отдель­
ной субъединицы канала с данными о вторичной структуре отдельного звена,
так и топологию канала.
54
Для учета в нашей модели ионного канала 2.2 выявленных аминокислот,
необходимо знать их геометрические и электростатические параметры. В от­
дельных работах, посвященных изучению влияния распределения заряда вдоль
оси канала на величины проводимости [226], заряд аминокислотных остатков
аппроксимируют величиной в ±0.5 или ±1 заряда электрона, однако предпо­
сылки, заложенные в таком предположении, остаются далеко не очевидными.
Поэтому в данной работе для вычисления распределения заряда по данным
молекулам и определения геометрических характеристик молекул мы исполь­
зовали один из наиболее популярных методов квантовой химии — метод функ­
ционала плотности DFT. После геометрической оптимизации молекулы и вы­
числения распределения электронной плотности, высчитывался эффективный
заряд на радикале аминокислоты 𝛿 и подбирался радиус сферы 𝑅, ограничива­
ющий данный радикал. Конкретное применение данной методологии разобрано
в Главе 5 на примере исследования проводимости ионных каналов P2X2 , P2X4
и P2X7 типа, поэтому здесь мы останавливаться на этом не будем.
Таким образом, для каждого заряженного или полярного аминокислотного
остатка селективного фильтра создавалось его модельное описание, представля­
ющее собой сферу радиусом 𝑅𝑛 , с зарядом 𝛿𝑛 , жестко связанную с поверхностью
канала в положении с координатой 𝑦𝑛 по оси канала. Поэтому сам селективный
фильтр канала представляет собой набор из N заряженных колец, в каждом
из которых равномерно распределены M частиц, где N — число заряженных
или полярных аминокислотных остатков, формирующих область фильтра, для
одной субъединицы, а M — число субъединиц, образующих ионный канал.
Следующим шагом построения модели ионного канала является заполне­
ние ионной поры молекулами растворителя (Рис. 2.2). Это происходит для того,
чтобы моделировать движение частиц, попавших в канал, явным образом. Од­
нако, в силу того, что сам ионный канал в данной модели представляет собой
абсолютно упругое тело с фиксированными в определенном положении заряда­
ми, а все сложные ионы или частицы, попадающие в канал, являются молеку­
55
лами с жесткими связями, то классические потенциалы молекулярной динами­
ки, рассмотренные раннее (см. 1.2.1) можно упростить, оставив вклад только
от электростатического и парного потенциала взаимодействия типа Леннард­
Джонса, что позволит существенно сократить время вычисления межмолеку­
лярных взаимодействий в ионном канале. Тогда на произвольную подвижную
частицу, попавшую в канал, будет действовать внешнее поле сил 𝐹𝑒 (𝑡), завися­
щее от суммарного потенциала:
[︃
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
∑︁
𝑗̸=𝑖
1 𝑞 𝑖 · 𝑞𝑗
+ 4𝜖𝑖𝑗
4𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑖𝑗
(︃(︂
𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
)︂12
(︂
−
𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
)︂6 )︃]︃
(2.2)
где значение диэлектрической проницаемости в канале [227–229] 𝜀 = 3, а 𝜖𝑖𝑗 и
𝜎𝑖𝑗 рассчитываются по правилу Лоренца-Бертло:
𝜖𝑖𝑗 =
𝜎𝑖𝑗 =
√
𝜖𝑖 𝜖𝑗
𝜎𝑖 + 𝜎𝑗
2
В качестве внешнего растворителя использовалась модель воды SPC [230],
параметры которой представлены в Таблице 2.1.
Таблица 2.1. Модель SPC молекулы воды. Параметры расчета.
𝑙
1 Å
𝜃
109.47∘
𝜎
3.166 Å
𝜖
0.650 kJ/mol
𝑞𝑂
−0.82𝑒
𝑞𝐻
+0.41𝑒
Отметим, что частицы диффузионных компартментов (I и III) не оказыва­
ют влияния на движение частиц в области ионного канала. Учитывается только
влияние молекул растворителя, иных подвижных частиц в ионном канале и по­
ле фиксированных зарядов, представляющих собой аминокислотные остатки.
56
Начальное количество молекул воды, заполняющее область ионной поры,
рассчитывается на основе плотности воды в 𝜌 = 997 кг/м3 при температуре 300∘
К и объема ионной поры, доступной для заполнения растворителем (за исклю­
чением исключенного объема, образованного аминокислотными остатками), ко­
торая известна после построения модели ионного канала. Координаты молекул
воды задаются случайным образом так, чтобы не возникало коллизий между
ними и каналом. После этого начинается процесс моделирования движения со­
гласноẽqrefutot, с шагом Δ𝑡 = 0.1 фс и числом шагов 𝑁 = 10000. Граничные
условия аналогичны (2.1), где 𝐿 = 𝐻𝑟 . После окончания моделирования высчи­
тывается средняя температура растворителя. Если данная температура выше
температуры термостата, то количество молекул воды уменьшается на 1 и мо­
делирование проходит снова, и наоборот. Данная процедура повторяется до тех
пор, пока не будет обнаружено равновесное количество молекул растворителя
𝑁, формирующих температуру термостата, после чего данная конфигурация
сохраняется в специальный координатный файл и используется в дальнейшем
как модель ионного канала.
Для произвольной частицы из диффузионного компартмента I или III, ока­
завшейся в области канала (II), меняется режим моделирования и ее движение
описывается упрощенной методологией молекулярного моделирования с шагом
Δ𝑡𝑀 𝐷 , описанной выше. В этом случае диффузионная система совершает один
шаг моделирования за 𝜅 =
Δ𝑡𝐵𝐷
Δ𝑡𝑀 𝐷
шагов молекулярной динамики. И наоборот —
при выходе частицы из области ионной поры ее движение описывается метода­
ми броуновской динамики. Если ни одна частица диффузионного компартмен­
та не находится в области ионной поры, то вся система моделируется методом
броуновской динамики. Данный алгоритм, реализующий одновременное моде­
лирование двумя различными методами, является отличительной особенностью
предлагаемого подхода.
57
2.2.2. Учет липидного состава
Фосфолипидный бислой в данной модели представляет собой непроницае­
мый для частиц слой фиксированной толщины, разделяющий диффузионные
компартменты I и III друг от друга (Рис. 2.1). На поверхности данного слоя рас­
полагаются сферы радиусом 𝑅𝑙 , представляющие собой гидрофильные головы
молекул фосфолипидов. В зависимости от типа фосфолипидов, данные сферы
могут буть либо заряженными, либо полярными. Расположение данных сфер по
поверхности слоя происходит случайным образом в соответствии с конкретным
составом, который определяет пользователь. Отметим, что данные параметры
не меняются в ходе моделирования.
Для реализации данной методологии необходимо определить точные вели­
чины заряда головной части основных мембранообразующих фосфолипидов. С
этой целью, как и для АК в поре (см. 2.2), были проведены расчеты электронной
плотности методом DFT, на основании чего удалось получить пространствен­
ное распределение заряда по молекуле липида. Параллельно была проведена
геометрическая оптимизация фосфолипидов, позволившая определить средний
объем и радиус 𝑅𝑙 ограничивающей гидрофильную часть молекулы сферы.
Данные молекулы рассматривались в депротонированном состоянии. Сна­
чала была проведена предварительная геометрическая оптимизация молекулы.
Затем электронная плотность основного состояния для данной геометрии была
спроецирована на положения атомов методом Хиршфельда. Использовался ло­
кальный функционал в форме PWC, неограниченные по спину волновые функ­
ции, двойной численный базис с учетом валентных орбиталей для атомов водо­
рода. Радиус обрезания 3.7 Å. Учитывая, что молекулы фосфолипидов имеют
контакт с водной средой, использовалась модель растворителя COSMO. Прово­
дился полноэлектронный расчет без использования псевдопотенциалов. Порог
сходимости для геометрической оптимизации составил 10−5 Хартри, 0.005 Å по
расстоянию. Относительная точность сходимости на этапе расчета самосогласо­
58
ванного поля 10−6 . Мультипольное разложение — до октуполя. Для улучшения
сходимости применялся DIIS. Вычисления проводились с использованием паке­
та Accelrys Materials Studio, модуль DMol. Результаты расчетов приведены в
Таблице 2.2.
Таблица 2.2. Заряды и характерные размеры гидрофильной части основных мембранообра­
зующих фосфолипидов
Липид
Phosphatidylcholine (PC)
Phosphatidylethanolamine (PE)
Заряд, q𝑒
+0.76
−0.78
+0.37
−0.37
V, Å3
286 ± 40
205 ± 31
Phosphatidylserine (PS)
−0.84
247 ± 34
Phosphatidylinositol (PI)
−0.92
261 ± 37
Phosphatidylglycerol (PG)
−0.93
205 ± 30
Cardiolipin (CL, DPG)
−1.6
391 ± 50
Sphingomyelin (SPH)
Lysophosphatidylcholine (LPC)
+0.85
−0.83
+0.78
−0.78
<R>, Å
4
230 ± 37
286 ± 40
В качестве примера приведем изображения изоповерхности электронной
плотности отдельных фосфолипидов (Рис. 2.3), раскрашенной в соответствии с
потенциалом. На них отчетливо прослеживаются разные физические свойства
этих липидов, и, как следствие, различная роль, которую они играют в биоло­
гических мембранах.
59
(a)
(b)
(c)
Рис. 2.3. Изоповерхность электронной плотности различных фосфолипидов: (a) фосфати­
дилхолин (PC); (b) фосфатидилсерин (PS); (c) галактоцереброзид (CB).
На основе полученных данных были составлены различные биологические
мембраны и получены характерные величины поверхностной плотности заряда
на них (Таблица 2.3)
кры­
ловек [234]
Тромбоциты
человек [234]
Лимфоциты
ца [233]
че­
Сердечная мыш­
сы [232]
сосудов
Гладкие мышцы
сы [231]
Аксон
кры­
нейрона
крысы [231]
Тело
Аксон кальмара
Вид
40
43
45
35
27
28
28
26
19
22
17
37
39
29
0
0
PC PE
PS
3
8
6
9
6
6
9
9
4
21
6
3
10
-0.92 -0.84
PI
3
-1.62
19
13
16
5
3
4
0
5
3
0
1
1
4
0
CL, DPG SPH CB LPC
-0.93
PG
10
15
13
25
11
8
8
𝑄𝑒
-45
-63
-56
-115
-49
-33
-50
-71
-66
-129
-55
-37
-40
мВ
мКл/м2
-35
𝜑
𝜎
Таблица 2.3. Липидный состав мембран клеток, поверхностная плотность заряда и потенциал мембраны.
60
61
Таким образом, при исследовании произвольного ионного канала, у иссле­
дователя появляется возможность выбрать фосфолипидный состав мембраны,
наилучшим образом описывающий реальный биологический объект. Отметим,
что выбор состава может быть произведен по отдельности как для внутренней,
так и для внешней стороны мембраны.
2.3. Используемые допущения и ограничения
применимости модели
Приведем основные допущения и ограничения, заложенные в предлагае­
мой нами модели ионного канала на мембране:
∙ Ограничения малых концентраций. Как говорилось выше, количе­
ство частиц в диффузионных компартментах зависит как от концентра­
ции вещества, так и от размеров самих компартментов. Это приводит к
тому, что для описания многокомпонентных растворов веществ, концен­
трации которых отличаются друг от друга более чем на порядок (см.
Таблицу 1.1), необходимо существенно увеличивать размер компартмен­
та, что ведет к увеличению затратности вычислений и уменьшению вре­
менной эволюции. Поэтому малые концентрации веществ относительно
основного компонента раствора не учитываются.
∙ Ионный канал. Аппроксимация ионного канала абсолютно упругим те­
лом, не меняющим свои параметры в ходе моделирования, не позволяет
учесть существование температурных флуктуаций в явном виде, которые
могут изменить функционально значимые структурные элементы ионно­
го канала. Сам канал моделируется в открытом состоянии, поэтому от­
следить процесс активации лигандом или изменения конформации под
действием мембранного потенциала невозможно.
62
∙ Аминокислотный состав. Учет исключительно заряженных или по­
лярных аминокислотных остатков в области ионной поры, безусловно,
несколько упрощает реальный механизм проводимости ионного канала.
Использование методов квантовой химии для расчета распределения элек­
тронной плотности отдельно взятой молекулы в вакууме не учитывает
реальное окружение соседних остатков и молекул растворителя, что ска­
зывается на эффективном заряде радикала.
∙ Липидный состав. В модели отсутствует учет эффекта латеральной
диффузии фосфолипидов, возможные флип-флоп перемещения, а также
воздействие на структуру ионного канала. Пренебрегается существующи­
ми малыми проницаемостями ионов сквозь мембрану.
63
Глава 3
Диффузионная модель
3.1. Создание разностной схемы
Исторически сложилось так, что уравнение Ланжевена (1.13) интегриро­
валось методами, применимыми лишь на довольно плотной сетке с размером
шага 𝛥𝑡 ≪ 𝛾1 , т.е. для шага, намного меньшего, чем время свободного пробега
броуновской частицы [172]. Это приводило к тому, что для реальных систем
моделирование существенной эволюции могло занять много времени. Впослед­
ствии появились методы, выходящие за рамки указанного ограничения [173].
В то же время существование аналитических решений (1.16) и (1.18) позво­
ляет строить точные разностные схемы на их основе. Серьезной сложностью в
численном интегрировании уравнения Ланжевена является необходимость гене­
рации большого числа случайных величин [235, 236], скоррелированных опре­
деленным образом [237]. Изменение коэффициента корреляции приращений в
разностной схеме — один из путей уменьшения затратности вычислений.
Найдем ковариацию между скоростью 𝑉 (𝑡) и координатой 𝑋(𝑡) в произ­
вольный момент времени t. Для этого получим выражения для 𝑉 (𝑡) и 𝑋(𝑡) из
уравнения (1.13) в несколько ином виде:
𝑉 (𝑡) = 𝑉0 𝑒−𝛾𝑡 +
∫︁ 𝑡
′
𝑒−𝛾(𝑡−𝑡 ) 𝐹 (𝑡′ ) 𝑑𝑡′
(3.1)
0
∫︁ 𝑡
𝑋(𝑡) = 𝑋0 +
𝑉 (𝑡′ ) 𝑑𝑡′ = 𝑋0 + 𝑉0
∫︁ 𝑡 ∫︁𝑡′
−𝛾𝑡
1−𝑒
𝛾
0
+
0
𝑒−𝛾(𝑡
′′
−𝑡′ )
𝐹 (𝑡′ ) 𝑑𝑡′ 𝑑𝑡′′
0
Тогда:
1 − 𝑒−𝛾𝑡 1
𝑋(𝑡) = 𝑋0 + 𝑉0
+
𝛾
𝛾
∫︁ 𝑡 [︁
0
1−𝑒
−𝛾(𝑡−𝑡′ )
]︁
𝐹 (𝑡′ ) 𝑑𝑡′
(3.2)
64
Исходя из свойств стохастической силы, используя (3.1) и (3.2) можно записать,
что:
1
𝑐𝑜𝑣 (𝑋(𝑡), 𝑉 (𝑡)) =
𝛾
∫︁ 𝑡 ∫︁ 𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑒
0
𝛼
=
𝛾
′′ −𝛾(𝑡−𝑡′ )
′
[︁
−𝛾(𝑡−𝑡′′ )
1−𝑒
]︁
⟨𝐹 (𝑡′ )𝐹 (𝑡′′ )⟩ =
0
∫︁ 𝑡
𝑒
(3.3)
−𝛾(𝑡−𝑡′ )
[︁
]︁
−𝛾(𝑡−𝑡′ )
1−𝑒
𝑑𝑡′
0
Параметр 𝛼 аналогичным образом найдем из дисперсии скорости:
𝜎𝑣2 = ⟨(𝑉 (𝑡) − ⟨𝑉 (𝑡))2 ⟩ = 𝛼
(1 − 𝑒−2𝛾𝑡 )
2𝛾
(3.4)
Сравнивая (3.4) с (1.16) получим, что:
𝛼 = 𝜎2
Тогда окончательное выражение для ковариации:
)︀2
𝑘𝑇 (︀
1 − 𝑒−𝛾𝑡
𝑚𝛾
𝑐𝑜𝑣𝑥𝑣
𝜌(𝑡) =
𝜎𝑥 𝜎𝑣
𝑐𝑜𝑣𝑥𝑣 (𝑡) =
(3.5)
Видно (Рис. 3.1), что на малых временах скоррелированность приращения ско­
рости и координаты высока, что и отвечает баллистическому режиму и сохране­
нию скорости. На больших временах наблюдается диффузионный режим [238],
при котором скорость и координата становятся независимыми.
Изменением значения этой корреляции можно упростить разностную схе­
му точного решения. Далее исследуется влияние этих упрощений на ошибку
схемы, основанной на точном решении. Подробный анализ различных разност­
ных схем приведен в работе [170].
Методы Euler, Heun, implicit midpoint предполагают полную скоррелиро­
ванность (𝜌 = 1) приращений координаты и скорости на каждом итерацион­
ном шаге, тогда как точный метод предполагает корреляцию согласно выраже­
нию (3.5). Метод no correlation представляет собой аналог точного метода, в
65
15
15
15
t = 0.3
v0 = 10
t = 1.3
v0 = 10
t = 7.9
v0 = 10
10
10
10
v 5
v 5
v 5
0
0
0
−5
−10
0
10
x
20
30
−5
−10
0
10
x
20
30
−5
−10
0
10
x
20
30
Рис. 3.1. График корреляции координаты и скорости в зависимости от времени.
котором пренебрегается скоррелированностью приращений координаты (1.18)
и скорости и (1.16). Это избавляет от необходимости генерировать скоррелиро­
ванные пары случайных величин и хранить первое сгенерированное значение
для генерации второго. Метод full correlation предполагает полную скоррели­
рованность приращений, что позволяет уменьшить вдвое число генерируемых
случайных величин. Ниже приведена зависимость ряда точностных характери­
стик разностных схем от размера шага, начиная с долей времени свободного
пробега, и заканчивая кратными величинами
1
𝛾
для оценки границ применимо­
сти методов. Значение 𝛥𝑡·𝑘 = 𝑇 предполагается постоянным, время 𝑇 выбрано
как 10 · 𝛾1 . Методы no correlation и full correlation отвечают точному решению
для величин 𝑥, 𝑣, 𝑣 2 , 𝜎𝑣 и 𝜎𝑣2 , поэтому на соответствующих графиках не по­
казаны. Аналитический вид рассматриваемых в работе разностных схем и их
характеристики подробно изложены в Приложениях Б и В соответственно.
Ниже (Рис. 3.2) хорошо видна область применимости рассмотренных ме­
тодов. Точность метода implicit midpoint остается высокой для 𝛾𝛥𝑡 = 2, в то
время как ошибка методов Euler, Heun для 𝛾𝛥𝑡 = 1 может быть неприемле­
мой для вычисления скорости (Рис. 3.2(b), (d)), но в то же время годиться для
координаты (Рис. 3.2(a), (c)).
Отметим, что методы оценки численных схем интегрирования стохастиче­
ских уравнений аналогичны таковым для обыкновенных уравнений, однако в
66
∆ Xxk \
∆ Xvk \
æ
102
HaL
1
10-6
10-8
10-10
æ
à
à æ æ æ
à æ
à æ
à æ
à æ
æ
à
æ
à
æ
à
æ
à
à æ
à æ
à æ
0.1
10-8
ΓDt
1
∆ Σx k
102
HbL
à
à æ æ æ
à æ
à æ
æ
à
æ
10-2
à
æ
à
æ
à
æ
à
-4
æ
à
10
æ
à
æ
à
æ
à
æ
-6
à
10à æ
à
0.01
à
1
à
10-2
10-4
102
à
10-10
0.01
0.1
ΓDt
1
∆ Σv k
102
HcL
HdL
à
à
1
10-2
ô
10-4ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô à
ô
ò ò
à
ô
ò
à
à
à
à
à
à
à
à
æ æ
æ
10-6
æ
à
æ
à
æ
à
à
à
à
à
æ
à
10-8
æ
à
à
à
à
à
à
à
à
æ
à
10-4
à
æ
à
à
10-2
æ
à
à à
ò
ô
à
10-6
10-8
1
æ
æ
10-10
æ
0.01
0.1
1
ΓDt
10-10
æ
æ æ æ
æ
0.01
0.1
1
ΓDt
Рис. 3.2. Зависимость ошибки величин ⟨𝑥𝑘 ⟩ (a), ⟨𝑣𝑘 ⟩ (b), 𝜎𝑥𝑘 (c) и 𝜎𝑣𝑘 (d) от шага 𝛥𝑡 в
дважды логарифмическом масштабе. Full-correlation (N), no-correlation (H), Euler (×), Heun
(), implicit midpoint (∙).
связи со стохастической природой уравнений возникает своя специфика. Так
как даже у точного решения помимо среднего значения существует ненулевая
дисперсия, то график относительной ошибки среднего следует дополнить гра­
фиком относительной ошибки дисперсии. В работе [239] рассмотрен ряд числен­
ных методов для ОДУ, а для определения степени сходимости показано откло­
нение т. н. «энергии» (суммы квадратов координаты и скорости) от постоянно­
го значения, а также среднеквадратичный разброс энергии. В данной работе
для анализа степени сходимости методов СДУ выбраны относительная ошибка
⟨𝑥𝑘 2 ⟩ и ⟨𝑣𝑘 2 ⟩ по сравнению с точным решением, а также относительная ошибка
величин 𝜎𝑥𝑘 2 и 𝜎𝑣𝑘 2 (Рис. 3.3). Полученные порядки сходимости представлены
ниже (Таблица 3.1).
Обратим внимание, что хотя методы no correlation и full correlation были
67
∆ Yxk2 ]
∆ Yvk2 ]
à
à
102
102
HaL
1
HbL
1
à
à
æ
à
à
æ
ô ò
ò
ô
10-2
ô
à
ô ô ô
ò ò
ô ô
ò ò
ô ô
ò
ô
à
ò ò
ô ô
à
10-4ô ô ô ô ò ò ò ò
æ æ
à
æ
ò
à
ò
æ
à
ò ò
æ
à
æ
à
10-6
æ
à
æ
à
æ
à
æ
à
æ
10-8
à
æ
à
æ
à
æ
10-10 æ
0.01
0.1
à
à
à
à
10-6
à
à
à
æ
æ
10-8
æ
æ
æ
ΓDt
æ
10-10
102
à
HcL
ô
ò
ô
ò
ô
ò
æ
0.01
0.1
ΓDt
1
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
ô
ò
à
ô
ò
à
ô
ò
HdL
à
1
à
à
à
10-2
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
à
æ
10-6
æ
à
æ
à
æ
à
à
10-4
æ æ
æ
à
à
à
à
à
æ
æ
à
æ
10-8
æ
à
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
0.01
æ æ æ
æ
æ
à
æ
à
ò
ô
æ
à
10-6
10-10
æ æ æ
æ
∆ Σv 2k
10-2
10-8
à
10-4
1
1
ô
10ò-4ò
à
à
à
∆ Σx 2k
102
à
10-2
0.1
ΓDt
1
10-10
æ
æ
0.01
0.1
1
ΓDt
Рис. 3.3. Зависимость ошибки величин ⟨𝑥𝑘 2 ⟩ (a), ⟨𝑣𝑘 2 ⟩ (b), 𝜎𝑥𝑘 2 (c) и 𝜎𝑣𝑘 2 (d) от шага 𝛥𝑡 в
дважды логарифмическом масштабе. Full-correlation (N), no-correlation (H), Euler (×), Heun
(), implicit midpoint (∙).
получены на основании абсолютно точной разностной схемы, искажение реаль­
ного коэффициента корреляции приращений скорости и координаты приводит
к тому, что методы имеют ошибку, сравнимую с ошибкой методов первого по­
рядка. Для размера шага 𝛥𝑡 >
1
𝛾
ошибка метода no correlation начинает умень­
шаться (Рис. 3.3(a), (c)). Это связано с тем, что коэффициент корреляции при­
ращений на больших временах стремится к нулю, и пренебрежение корреляцией
становится оправданным.
Важной характеристикой разностных схем является их поведение на боль­
ших временных интервалах. В Таблице 3.2 приведены асимптотические значе­
ния среднего квадрата перемещения (диффузии) и скорости. Как видно (Таб­
лица 3.2), асимптотика среднего квадрата смещения схемы precise соответству­
ет выражению (1.20), но если в точной разностной схеме не учитывать (no
68
Таблица 3.1. Порядки сходимости численных методов. Приведенные значения относятся к
пределам применимости метода.
Порядок сходимости метода
Метод
Экспериментальный
Теоретический
⟨𝑥⟩
⟨𝑥2 ⟩
⟨𝑣⟩
⟨𝑣 2 ⟩
для СДУ [240]
Euler
0.96
1.00
0.96
1.01
1
Heun
2.02
2.01
2.02
2.01
2
implicit midpoint
2.00
2.00
2.00
2.00
2
no correlation
точн.
1.00
точн.
точн.
не имеет аналогов
full correlation
точн.
1.00
точн.
точн.
не имеет аналогов
Таблица 3.2. Асимптотики численных методов. Приведенные значения относятся к пределам
применимости метода.
precise
𝑥𝑘 2
𝑘→∞ 𝑘𝛥𝑡
𝑎𝑝𝑟 = 𝜎 2 𝛾 2
𝑏𝑝𝑟 = 𝜎 2 2𝛾
Euler
𝑎𝑝𝑟
1
𝑏𝑝𝑟 (1−𝛾𝛥𝑡2)
Heun
𝑎𝑝𝑟
implicit midpoint
𝑎𝑝𝑟
Метод
no correlation
full correlation
𝑣2∞
lim
𝑎𝑝𝑟 · (1 − (𝛾𝛥𝑡))
при 𝛾𝛥𝑡 → 0
√
(2 3−3)
𝑎𝑝𝑟 · (1 +
(𝛾𝛥𝑡))
3
при 𝛾𝛥𝑡 → 0
𝜎 2 (2−𝛾𝛥t)
𝛾 2 𝛥t2 −2𝛾𝛥t+4
𝛾(
)
𝑏𝑝𝑟
𝑏𝑝𝑟
𝑏𝑝𝑟
correlation), либо завышать (full correlation) скоррелированность приращений,
то эффективный коэффициент диффузии отличается от точного. Для методов
Euler и Heun асимптотика среднего квадрата скорости зависит от временно­
го шага. На практике это приводит к отклонению от температуры термостата
69
Ланжевена.
На основании проведенного анализа различных численных методов, для
задачи дальнейшего моделирования броуновской динамики была использова­
на наиболее точная разностная схема, построенная на аналитическом решении
уравнения Ланжевена для координаты (1.18) и скорости (1.16), учитывающая
скоррелированность стохастических приращений (3.5). Полный вид представ­
лен ниже (3.6).
[︂
]︂
1 − 𝑒−𝛾Δ𝑡
Δ𝑡
1 − 𝑒−𝛾Δ𝑡
𝑋𝑖 = 𝑋𝑖−1 + 𝑉𝑖−1
+ 𝐹𝑒
−
+ 𝜉𝑋𝑖
𝛾
𝑚𝛾
𝑚𝛾 2
𝜎𝑣
1 − 𝑒−𝛾Δ𝑡
+ 𝜌 𝜉𝑋𝑖 + 𝜉𝑉𝑖
𝑉𝑖 = 𝑉𝑖−1 𝑒−𝛾Δ𝑡 + 𝐹𝑒
𝑚𝛾
𝜎𝑥
(3.6)
где
𝜉𝑋 = N(0, 𝜎𝑥2 )
𝜉𝑉 = N(0, (1 − 𝜌2 )𝜎𝑣2 )
𝑘𝐵 𝑇
(1 − 𝑒−𝛾Δ𝑡 )2
𝜌=
(3.7)
𝑚𝛾𝜎𝑥 𝜎𝑦
(︂
)︂
3
𝑒−2𝛾Δ𝑡
2𝑘𝐵 𝑇
−𝛾Δ𝑡
2
𝛾Δ𝑡 − + 2𝑒
−
𝜎𝑥 =
𝑚
2
2
)︀
𝑘𝐵 𝑇 (︀
𝜎𝑣2 =
1 − 𝑒−2𝛾Δ𝑡
𝑚
Для определения внешнего поля сил 𝐹𝑒 (𝑡), действующего на i-ую части­
цу со стороны всей системы, используется суммарный потенциал, состоящий
из электростатического и парного потенциала взаимодействия типа Леннард­
Джонса:
[︃
𝑈𝑡𝑜𝑡 =
∑︁
𝑗̸=𝑖
1 𝑞 𝑖 · 𝑞𝑗
+ 4𝜖𝑖𝑗
4𝜋𝜀𝜀0 𝑟𝑖𝑗
(︃(︂
𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
)︂12
(︂
−
𝜎𝑖𝑗
𝑟𝑖𝑗
)︂6 )︃]︃
(3.8)
3.1.1. Коэффициент трения
Основным параметром уравнения Ланжевена (1.13), определяющим успеш­
ность применения методов броуновской динамики для описания различных
70
диффузионных процессов, является коэффициент трения 𝜁 частицы. Рассмот­
рим основные приближения, позволяющие явным образом определить коэффи­
циент трения, исходя из свойств частицы, такие как радиус, масса, заряд и т.д.
Закон Стокса
Если представить броуновскую частицу идеальным шаром с массой 𝑚 и
радиусом 𝑅, то при ее движении в непрерывной вязкой жидкости с динамиче­
ской вязкостью 𝜂 коэффициент гидродинамического трения [241]
𝜁𝑉 = 6𝜋𝜂𝑅
1+
1+
2𝜂
𝛽𝑅
3𝜂 .
𝛽𝑅
(3.9)
Отметим, что данное соотношение справедливо только в приближении лобового
сопротивления среды, и в нем не учитываются вращательная и диэлектрическая
сила трения, что является существенным ограничением применимости соотно­
шения Стокса–Эйнштейна для расчета коэффициента диффузии исследуемого
вещества. Также стоит учесть, что при диффузии сферически симметричных
частиц, размер которых соизмерим с размерами молекул растворителя, коэф­
фициент трения скольжения между жидкостью и частицей 𝛽 → 0 [241], что
приводит к другому предельному выражению для коэффициента трения, кото­
рое применяется для описания процесса самодиффузии:
𝜁𝑉 = 4𝜋𝜂𝑅.
Как было сказано выше, приближение Стокса тем лучше описывает движение
броуновской частицы, чем больше ее размер. Однако из соотношения Стокса–Эйн­
штейна очевидно, что коэффициент диффузии будет стремиться к бесконечно­
сти при уменьшении радиуса броуновской частицы, что, естественно, не соответ­
ствует реальным физическим экспериментам. К тому же, остается открытым
вопрос о корректной оценке радиуса частицы в различном окружении.
71
Гидратная оболочка
В силу того, что вода – полярный растворитель, при наличии в раство­
ре произвольных заряженных (или полярных) частиц молекулы воды создают
вокруг них достаточно прочный экранирующий слой – гидратную оболочку.
Поэтому без ограничения общности можно в качестве броуновской частицы
рассматривать совокупность частицы и ее гидратной оболочки.
Размер и свойства гидратной оболочки в основном зависит от заряда (ди­
польного момента) и геометрии частицы. В свою очередь гидратная оболочка
может содержать несколько слоев, что существенно усложняет определение па­
раметров этой структуры, таких как масса, размер, распределение заряда и др.
Размер гидратной оболочки возможно оценить в случае предельно разбавлен­
ного раствора электролита, используя уравнение Стокса–Эйнштейна:
|𝑧|𝑞𝑒2 𝑁𝐴
𝑟𝑠 =
,
4𝜋𝜂𝜆0
где 𝑧 – валентность, 𝑞𝑒 – заряд электрона, 𝜆0 – предельная эквивалентная элек­
тропроводность (подвижность) иона в растворе при определенной температуре.
В качестве сравнения ниже (Таблица 3.3) приведены результаты компьютер­
ных расчетов гидратированных радиусов различных ионов, а также их радиусы
Стокса. Как видно, диапазон размеров броуновских частиц достаточно велик,
поэтому выбор конкретного радиуса гидратной оболочки неоднозначен.
Таблица 3.3. Гидратированные и гидродинамические радиусы различных ионов при 298∘ K
Ион
𝐿𝑖+
𝑁 𝑎+
𝐾+
𝐶𝑎2+
𝐹−
𝐶𝑙−
𝐼−
𝜆0
38.6
50.1
73.5
59.5
55.4
76.4
77.8
𝑟ℎ , Å 3.0–3.8 2.8–3.6 2.3–3.3
𝑟𝑠 , Å
Лит.
3.2
2.5
[242–244]
1.7
3.0–4.0
4.1
[243, 244]
2.8–3.5 2.3–3.3 2.4–3.3
2.2
1.6
[242, 244]
1.6
[244]
72
Диэлектрическое трение
В случае сольватации диэлектрическая природа растворителя учитыва­
лась лишь в электростатическом экранировании заряда и образовании гидрат­
ной оболочки, которая по ходу движения иона считалась постоянной. Т.е. фак­
тически никаких дополнительных поправок к коэффициенту трения не внесено,
меняется лишь геометрия броуновской частицы (в нашем случае ее радиус).
Все потери энергии связаны лишь только с поступательным движением бро­
уновской частицы, но с несколько измененным радиусом.
Однако, помимо таких короткодействующих сил, возникающих при непо­
средственной коллизии заряженной частицы с молекулами растворителя, необ­
ходимо учитывать ион-дипольные и диполь-дипольные взаимодействия, кото­
рые приводят к изменению микровязкости раствора вблизи броуновской части­
цы, диэлектрической проницаемости среды и плотности растворителя (Рис. 3.4).
Рис. 3.4. Природа диэлектрического трения. Сольватация броуновской частицы.
Наиболее полно данная теория была представлена в работе [245], согласно
которой коэффициент диэлектрического трения выражается формулой:
(︀ 𝑅 )︀4 [︁
)︀ (︀ 4𝜎
)︀ 𝜌0 ]︁
(︀ 𝜎
𝜌0
1 + 4Δ 𝑅 − 1 − 𝑅 − 3 𝜌 Δ
𝜌Δ+ 𝜎
1 𝑞 2 (𝜖 − 𝜖∞ ) 𝜏𝐷 𝜎
(︀
)︀
𝜁𝐷 =
×
4𝜋𝜖0 2𝜖 (1 + 2𝜖) 𝑅4
1 + Δ 𝑅𝜎 − 1
(3.10)
где 𝑞 – заряд частицы, 𝑅 – радиус, 𝜖 – диэлектрическая проницаемость среды,
𝜖∞ – высокочастотная диэлектрическая проницаемость (78.36 и 4.49 для воды
73
при 298∘ K соответственно [246]), 𝜏𝐷 – время релаксации (время Дебая, 8.3·10−12
c [247]). Если положить, что у частицы будет всего одна гидратная оболочка,
то 𝜎 = 𝑅 + 2𝑅𝑠 , где 𝑅𝑠 – эффективный радиус молекулы растворителя, а 𝛿 –
специфическая функция десольватации, которая определяется как
Δ=
𝜂0 𝜌
,
𝜂𝑒𝑓 𝑓 𝜌0
где
𝜂𝑒𝑓 𝑓
𝜏
=𝜂+
6𝑚
[︃(︂
𝜌
𝜌0
]︃
)︂2
−1
)︁ [︂ 𝑑𝑈 (𝑟) ]︂
−1 𝜎
.
𝑅
𝑑𝑟 𝑟=𝜎
(︁ 𝜎
Здесь 𝑚 – масса молекулы растворителя, а 𝑈 (𝑟) – усредненный по всем направ­
лениям молекулы растворителя потенциал взаимодействия иона с раствором.
Как видно, данное точное описание требует знания большого числа до­
полнительных параметров, которые сложно определить. Однако ситуация су­
щественно упрощается, когда мы рассматриваем приближение отсутствия соль­
ватации, т.е. 𝛿 → 1. Переходя к пределу, получим упрощенное выражение для
коэффициента диэлектрического трения:
𝜁𝐷 =
1 3𝑞 2 (𝜖 − 𝜖∞ ) 𝜏𝐷
.
4𝜋𝜖0
4𝑅3 𝜖2
(3.11)
Для моновалентных ионов характерный радиус Онзагера [248] 𝐾 ≈ 1.5 Å, где
√︃
1 𝑞 2 (𝜖 − 𝜖∞ )
4
.
𝐾=
4𝜋𝜖0 16𝜋𝜂𝜖2
В данной работе полный коэффициент трения броуновской частицы опре­
делялся как сумма вязкого (3.9) и диэлектрического (3.11) трения:
𝜁 = 𝜁𝑉 + 𝜁𝐷
(3.12)
3.2. Диффузия простых ионов
3.2.1. Диффузия при бесконечном разбавлении
Валидацию предложенного подхода необходимо осуществить в выбранных
стандартных условиях. Результаты подобного моделирования для случая пре­
74
дельно разбавленного раствора при 298∘ К представлены в Таблице 3.4. Моде­
лирование проводилось в двух различных условиях: в первом случае рассмат­
ривалось только гидродинамическое трение (столбец 𝜁𝑉 ); во втором с учетом
поправки (3.11) на диэлектрическое трение (столбец 𝜁𝑉 + 𝜁𝐷 ). Рассчитанные ко­
эффициенты диффузии сравнивались с существующими экспериментальными
данными, а также отдельными МД расчетами.
𝑟𝑖𝑜𝑛 , Å
0.73
0.95
1.33
1.47
1.67
0.66
0.74
0.99
1.33
1.81
1.96
2.20
Ион
𝐿𝑖+
𝑁 𝑎+
𝐾+
𝑅𝑏+
𝐶𝑠+
𝑀 𝑔 2+
𝐹 𝑒2+
𝐶𝑎2+
𝐹−
𝐶𝑙−
𝐵𝑟−
𝐼−
𝜁𝑉 + 𝜁𝐷
МД
1.67 ± 0.03 1.58 ± 0.02 1.60 ± 0.03
1.88 ± 0.02 1.72 ± 0.02 1.81 ± 0.12
2.03 ± 0.03 1.80 ± 0.02 1.71 ± 0.05
2.77 ± 0.04 1.92 ± 0.03 1.01 ± 0.07
3.71 ± 0.03 0.55 ± 0.02 0.61 ± 0.02
4.97 ± 0.02 0.26 ± 0.04 0.54 ± 0.02
5.57 ± 0.03 0.19 ± 0.02 0.46 ± 0.03
2.20 ± 0.04 1.87 ± 0.03 1.88 ± 0.16
2.50 ± 0.05 1.93 ± 0.03 1.95 ± 0.05
2.77 ± 0.05 1.92 ± 0.03 1.84 ± 0.12
3.87 ± 0.06 1.44 ± 0.02 1.28 ± 0.06
5.04 ± 0.08 0.86 ± 0.02 1.20 ± 0.02
𝜁𝑉
Моделирование
2.00
2.08
2.03
1.46
0.79
0.72
0.71
2.07
2.06
1.96
1.33
1.03
Эксперимент
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 252]
[249, 250], [253]
[249, 250], [252]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
[249, 250], [137, 248, 251]
Литература
Известные значения
𝐷0 , 10−9 м2 /c
Таблица 3.4. Коэффициент диффузии различных ионов в водных растворах при 298∘ K.
1.8
1.8
1.8
2.5
4.7
5.1
5.1
1.8
1.8
1.9
2.8
3.6
𝑟𝑒𝑓 𝑓 , Å
75
76
Полученные результаты свидетельствуют о неприменимости упрощенно­
го подхода Стокса к задаче моделирования диффузии ионов. В силу того, что
теория диэлектрического трения не учитывает различия в знаке заряда между
ионами, наблюдается большее расхождение с экспериментальными данными в
коэффициентах диффузии для анионов (Рис. 3.5), т.к. характерный пик ради­
альной функции распределения для анионов наблюдается на меньших расстоя­
ниях, чем для катионов [137], а значит и эффективный размер сольватирован­
ного аниона меньше, чем катиона. Для двухвалентных катионов (𝑀 𝑔 2+ , 𝐶𝑎2+
и 𝐹 𝑒2+ ) [252, 253] обладающих двойной гидратной оболочкой, используемое в
работе приближение Δ → 1 приводит к еще большим отклонениям.
3.2.2. Самодиффузия
Далее исследовалась зависимость коэффициента диффузии различных ин­
дикаторных ионов от концентрации внешнего электролита, в качестве кото­
рых выступали 𝐾𝐶𝑙, 𝑁 𝑎𝐶𝑙 , 𝐿𝑖𝐶𝑙 и 𝐶𝑎𝐶𝑙2 . Моделирование проводилось в
двух состояниях: в первом случае при постоянных значениях вязкости раствора
(𝜂 = 8.9 · 10−4 Па·с , 298∘ K ) и диэлектрической проницаемости, во втором с
учетом изменения этих параметров от концентрации электролита. Так, зависи­
мость вязкости 𝜂 от концентрации растворенного однокомпонентного электро­
лита описывалась формулой Эйринга [241, 254]:
𝑒𝐴𝑋
𝜂 = 𝜂0
1 + 𝐵𝑋
(3.13)
где 𝑋 — мольная доля электролита в растворе, 𝐴 и 𝐵 — некоторые константы,
подбираемые эмпирически [254]. Для диэлектрической проницаемости 𝜀 исполь­
зовалась следующая эмпирическая зависимость[255]:
𝜀=
1+
𝜀𝑤
(︀
√ )︀
𝐶
𝑥
𝑙𝑛
1
+
𝐷
𝐼𝑥
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
∑︀
(3.14)
77
Рис. 3.5. Зависимость коэффициента диффузии D от кристаллографического радиуса раз­
личных ионов. Здесь (△) и (▽) экспериментальные данные для катионов и анионов соответ­
ственно, (∙ и ∙) результат моделирования, (– –) кривая Стокса, (
) теоретическая зависи­
мость с учетом диэлектрического трения.
Здесь 𝑥 — мольная доля 𝑖-ого иона в растворе, 𝐼𝑥 — ионная сила, выраженная
через мольную долю, а
𝐶𝑖 = 𝑐𝑖1 + 𝑐𝑖2 𝑇
𝐷𝑖 = 𝑑𝑖1 + 𝑑𝑖2 𝑇
где 𝑐𝑖1 , 𝑐𝑖2 определяются из экспериментальных данных [256, 257], а 𝑑𝑖1 и 𝑑𝑖2
для широкого спектра электролитов принимают постоянные значения 144 · 104
и −1389𝐾 −1 соответственно [255].
Полученные результаты представлены на графиках относительного изме­
78
нения коэффициента диффузии иона 𝐷/𝐷0 от
√
𝑐 (Рис. 3.6 и 3.7), где 𝐷0 —
диффузия иона при бесконечном разбавлении (Табл. 3.4), а 𝑐 — концентрация
электролита (в мM). Видно, что с увеличением концентрации электролита при­
ближение постоянной вязкости и диэлектрической проницаемости раствора ста­
новится неприемлемым (Рис. 3.6 (a)). Однако необходимо учитывать, что под
вязкостью в данном случае понимается вязкость всего раствора в целом — та­
ким образом теряются локальные особенности взаимодействия отдельного иона
с молекулами растворителя. Это обстоятельство позволяет объяснить сильное
отклонение коэффициента самодиффузии ионов 𝐾 + и 𝐶𝑙− в растворе 𝐾𝐶𝑙
(Рис. 3.6 (b)): согласно представлениям Самойлова [241], для ионов 𝐾 + , 𝐶𝑙−
(в отличие от ионов 𝐿𝑖+ , 𝑁 𝑎+ и 𝐶𝑎2+ ) при 298∘ K наблюдается отрицательная
гидратация, что приводит к деструктуризации воды, и, как следствие, умень­
шение динамической вязкости раствора — а значит для растворов 𝑁 𝑎𝐶𝑙, 𝐿𝑖𝐶𝑙
и 𝐶𝑎𝐶𝑙2 суммарное воздействие на структуру воды скомпенсировано (Рис. 3.6
(a), (c) и (d)) и локальная микровязкость в среднем соответствует макроскопи­
ческой.
3.2.3. Трассерная диффузия ионов
Это обстоятельство подтверждают зависимости для диффузии посторон­
них ионов в растворах электролитов (Рис. 3.7). В силу индикаторных концентра­
ций этих ионов в растворе в качестве среды уже выступает система «электролит
+ растворитель» с макроскопической вязкостью. Теоретические кривые диэлек­
трического трения, учитывающие зависимости 𝜂(𝑐) (3.13) и 𝜀(𝑐) (3.14) указыва­
ют на необходимость учета межионных взаимодействий ближнего и дальнего
порядка.
Для 𝐿𝑖+ интересно отметить сходство в диффузии (Рис. 3.7) с ионами, об­
ладающими двойной гидратной оболочкой (такие как 𝐶𝑎2+ и 𝑀 𝑔 2+ ) . В свою
очередь кривая для 𝐹 − практически идентична 𝐾 + . Отсюда можно сделать вы­
вод, что ионы 𝐿𝑖+ более вероятно обладают двойной гидратной оболочкой, неже­
79
Рис. 3.6. Относительное изменение коэффициента самодиффузии катионов (слева) и анионов
(справа) в приближении постоянного трения и диэлектрической проницаемости (▽), и в
случае их зависимости от концентрации раствора (△): a) NaCl [250, 258–261]; b) KCl [260, 262];
c) LiCl [260, 263]; d) 𝐶𝑎𝐶𝑙2 [264, 265]. () экспериментальные значения, (– –) теоретическая
зависимость в приближении диэлектрического трения, учитывающая изменение вязкости
раствора 𝜂(𝑐) при постоянной проницаемости 𝜀.
ли ионы 𝐹 − . Это обстоятельство косвенно подтверждается соответствующими
амплитудами вторичных максимумов радиальной функции распределения 𝑔𝑖𝑂
для 𝐹 − и 𝐿𝑖+ [266], (1.45 и 1.69 соответственно), что объясняет несколько боль­
80
Рис. 3.7. Относительное изменение коэффициента диффузии ионов в растворах различных
электролитов: a) 𝑁 𝑎𝐶𝑙, b) 𝐾𝐶𝑙, c) 𝐿𝑖𝐶𝑙 и d) 𝐶𝑎𝐶𝑙2 . Здесь () 𝑀 𝑔 2+ , (∙) 𝐿𝑖+ , (△) 𝐶𝑎2+ , (○)
𝐾 + , (▽) 𝐹 − и (×) 𝑁 𝑎+ .
шую подвижность (Таблица 3.3) и диффузию (Рис. 3.5) ионов 𝐹 − в водных
растворах.
3.3. Диффузия ионов в синаптической щели. Влияние
поверхностного заряда мембраны
Результаты предыдущего раздела непосредственно указывают, что при ис­
пользовании поправки на диэлектрическое трение, применение динамики Лан­
жевена для оценки коэффициентов диффузии ионов позволяет получить хо­
81
рошее совпадение с экспериментальными данными для стандартных условий.
В случае рассмотрения синаптического контакта значительную роль играет не
только непосредственное взаимодействие ионов с молекулами растворителя и
друг с другом, но и величины мембранных потенциалов и возникающие неод­
нородности поля.
В силу того, что концентрации нейромедиаторов, присутствующих в ис­
следуемой области лежат в микромолярном диапазоне [267], их влияние в дан­
ной модели не учитывалось. Как и в модельных экспериментах, было рассмот­
рено относительное изменение коэффициентов диффузии при генерации еди­
ничного возбуждающего (ВПСП) и тормозного постсинаптического потенциала
(ТПСП). Амплитуды этих сигналов достигают значений 𝐸𝑒 = 10 мВ и 𝐸𝑖 = 5
мВ соответственно [268], длительностью примерно до 5 ÷ 10 мс [269].
Известно, что в отличие от потенциала действия, развитие ВПСП, помимо
возрастания натриевой проводимости, сопряжено с увеличением проницаемости
мембраны для ионов калия, что несколько ослабляет процесс деполяризации.
В данной работе предполагалось, что изменение потенциала мембраны при воз­
буждении и торможении происходит только за счет изменения натриевого и
хлорного равновесных потенциалов соответственно. При моделировании были
выбраны следующие концентрации (в мМ) ионов [𝐴] 𝑜𝑢𝑡/[𝐴] 𝑖𝑛: 4/140 (𝐾 + ),
145/10 (𝑁 𝑎+ ), 125/5 (𝐶𝑙− ) и 2/10−5 (𝐶𝑎2+ ).
Соответствующее изменение концентраций рассчитывалось согласно урав­
нению Нернста в предположении постоянной концентрации ионов в постсинап­
тической области. При малых концентрациях электролита (< 0.8 M) ключевую
роль играют ион-дипольные взаимодействия, поэтому оправдано применение
уравнения Джонса-Дола, а диэлектрическая проницаемость рассчитывались по
основному компоненту—NaCl.
Учитывая, что при генерации тормозного потенциала необходимое измене­
ние градиента концентраций ионов меньше, чем для возбуждающего (Δ𝐶𝑙 = 41
мМ, Δ𝑁 𝑎 = 47 мМ соответственно), относительное изменение коэффициентов
82
диффузии, как анионов, так и катионов уменьшается слабее (Рис. 3.8). В целом,
амплитуда падения в данном диапазоне является недостаточно высокой, что в
первую очередь обусловлено приближением равномерного пространственного
распределения концентраций ионов в синаптической щели на всем временном
интервале распространения потенциала.
Рис. 3.8. Изменение коэффициента диффузии ионов Na+ (слева) и Cl− (справа) в синапти­
ческой щели при генерации: a) возбуждающего ВПСП, b) тормозного ТПСП постсинаптиче­
ского потенциала без учета поверхностного заряда мембраны.
Однако ситуация существенным образом меняется, если в качестве допол­
нительного параметра будет выступать поверхностный заряд мембраны. Для
различного типа клеток разброс плотности поверхностного заряда, создавае­
мого фосфолипидами [270] составляет: −37 ÷ −55 мКл/м2 для нейронов мы­
ши, −50 ÷ −71 мКл/м2 для клеток крови человека. При этом, возникновение
двойного электрического слоя влечет за собой образование концентрационных
градиентов положительных и отрицательных ионов, величины которых можно
оценить исходя из простых соображений теории Гуи-Чепмена [271].
83
3.3.1. Теория двойного электрического слоя
Двойной электрический слой (Electrical Double Layer) — тонкий поверх­
ностный слой из пространственно разделенных электрических зарядов проти­
воположного знака, образующийся на границе двух фаз. Существование ДЭС и
возникающих в нем потенциалов играет важную, а иногда — основную роль в та­
ких значимых процессах для теории и практики как адсорбция ионов и ионный
обмен, электрокапиллярные и электрокинетические явления и др. В биологи­
ческих системах процессы образования и разрушения двойного электрического
слоя на клеточных мембранах сопровождают распространение электрических
импульсов вдоль нервных и мышечных волокон. Изменение же равновесных
концентраций ионов вблизи поверхности раздела фаз прямым образом связан
с вопросом ионной проводимости отдельных каналов. Поэтому грамотный учет
существования ДЭС в биологических системах - необходимое условие успеш­
ной применимости создаваемой модели на практике. Исходные предпосылки
для разработки теории строения ДЭС сводились к следующему. ДЭС состоит
из ионов одного знака, относительно прочно связанных с дисперсной твердой
фазой (потенциалопределяющие ионы), и эквивалентного количества противо­
положно заряженных ионов, находящихся в жидкой фазе вблизи межфазной
поверхности (противоионы). Заряд на поверхности твердой фазы в первом при­
ближении рассматривается как поверхностный заряд, равномерно распределен­
ный по всей поверхности. Между противоионами и свободными (не входящи­
ми в состав ДЭС) ионами того же знака, находящимися в жидкости существу­
ет динамическое равновесие. Дисперсионная среда представляется всегда как
непрерывная фаза, влияние которой на ДЭС определяется её диэлектрической
проницаемостью. На данный момент существует 3 различные теории ДЭС:
∙ Классическая теория Гельмгольца (1853). Двойной электрический
слой можно представить в виде плоскопараллельного конденсатора (Рис. 3.9(a)
внутренняя обкладка которого образована зарядами твердого тела (ряд
84
потенциалопределяющих ионов (ПОИ)), внешняя – зарядами, локализо­
ванными в жидкости (ряд сольватированных противоионов (ПИ)). Тол­
щина электрического слоя близка к молекулярным размерам или разме­
рам сольватированных ионов. Потенциал слоя снижается в пределах его
толщины линейно до нуля. В соответствии с этой теорией [272] величина
потенциала, определяемого по электрокинетическим измерениям, отож­
дествляется с величиной электрохимического (термодинамического) по­
тенциала. Вполне естественно, что подобное строение двойного слоя воз­
можно только при отсутствии теплового движения ионов. В реальных же
условиях распределение зарядов на границе раздела фаз в первом прибли­
жении определяется соотношением сил электростатического притяжения
ионов, зависящего от электрического потенциала, и теплового движения
ионов, стремящихся равномерно распределиться во всем объеме жидкой
или газообразной фазы.
∙ Теория Гуи-Чепмена (1912). Они предположили, что часть ДЭС имеет
диффузное (размытое) строение и все противоионы находятся в диффуз­
ной его части—в диффузном слое [273], распределяясь в растворе относи­
тельно заряженной поверхности с убывающей при удалении от нее плот­
ностью заряда (Рис. 3.9(b)). Ионы в рамках теории рассматривались как
материальные точки, не имеющие собственного объема, но обладающие
определенным зарядом. Представления, развитые Гуи и Чепменом, поз­
волили объяснить различие термодинамического и электрокинетического
потенциала. Однако теория не объясняла такие факты, как изменение зна­
ка электрокинетического потенциала и перезарядка поверхности. В целом,
теория, объясняя лучше, чем теория Гельмгольца-Перрена электрокинети­
ческие явления, оказалась менее удовлетворительной при использовании
её для количественных расчетов емкости ДЭС.
∙ Теория Штерна (1924). Современная теория строения двойного элек­
85
трического слоя основана на представлениях немецкого физика Отто Штер­
на который объединил две предыдущие теории. Штерн предположил, что
слой противоионов состоит из двух частей (Рис. 3.9(c)). Одна часть при­
мыкает непосредственно к межфазной поверхности и образует адсорбци­
онный слой (слой Гельмгольца) толщиной, равной диаметру гидратиро­
ванных ионов, его составляющих. Другая часть противоионов находится
на более удаленном расстоянии, образуя диффузионный слой.
(a)
(b)
(c)
Рис. 3.9. Строение двойного электрического слоя по: (a) Гельмгольцу; (b) Гуи—Чепмену; (c)
Штерну. Пространственное распределение ионов (сверху) и изменение потенциала с рассто­
янием от поверхности твердой фазы вглубь раствора (снизу).
В силу специфики данной работы, наибольшее внимание следует уделить
именно диффузионному слою, ответственному за неравномерное распределение
концентраций растворенных ионов. С этой целью ниже рассмотрим качествен­
ные моменты теории Гуи-Чепмена и найдем зависимость создаваемого поверх­
ностного потенциала и профиль концентрации от плотности заряда на мем­
бране. Распределение ионов вблизи границы раздела определяется уравнением
86
Больцмана:
𝐶𝑥 = 𝐶0 𝑒𝑥𝑝(−𝑧𝐹 𝜑/𝑅𝑇 )
(3.15)
Уравнение Пуассона (одномерный случай):
𝜌(𝑥)
𝜕 2𝜑
=
−
𝜕𝑥2
𝜀𝜀0
(3.16)
Здесь 𝜌(𝑥) — плотность зарядов в плоскости 𝑥:
𝜌(𝑥) = 𝐹
∑︁
𝑧𝑖 𝑐𝑖𝑥
𝑖
Для случая бинарного простого электролита 𝑧+ = 𝑧− = 𝑧. Тогда используя (3.15)
и раскладывая в ряд получим:
2𝑧 2 𝐹 2 𝑐
𝜌(𝑥) =
𝜑
𝑅𝑇
(3.17)
Решая (3.16), получим уравнение Гуи-Чепмена, описывающее изменение потен­
циала с расстоянием от поверхности твердой фазы вглубь раствора:
⎛
⎞
√︃
⎜
2𝑧 2 𝐹 2 𝑐 ⎟
⎜
⎟
𝜑(𝑥) = 𝜑0 𝑒𝑥𝑝 ⎜−
|𝑥|⎟
𝑅𝑇 𝜀𝜀0 ⎠
⎝
⏟
⏞
(3.18)
κ
Из условия электронейтральности ДЭС:
∫︁ ∞
𝜎=−
𝜌(𝑥)𝑑𝑥
0
получим выражение, связывающее плотность поверхностного заряда 𝜎 с поверх­
ностным потенциалом 𝜑0 и равновесной концентрацией электролита 𝑐:
𝜎 = 𝜀𝜀0 κ𝜑0
(3.19)
Отметим, что уравнение (3.18) применимо в случае малых поверхностных
потенциалов [274] (<25.7 мВ). В общем случае уравнение Гуи-Чепмена имеет
вид [275]:
𝜑(𝑥) =
2𝑅𝑇 1 + 𝛼𝑒𝑥𝑝(−κ𝑥)
ln
𝐹
1 − 𝛼𝑒𝑥𝑝(−κ𝑥)
(3.20)
87
где
𝛼=
𝐹 𝜑0
−1
𝑒𝑥𝑝 2𝑅𝑇
𝐹 𝜑0
𝑒𝑥𝑝 2𝑅𝑇
+1
Для синаптической щели шириной 300÷500 Åc поверхностной плотностью
заряда в −55 мКл/м2 локальное увеличение концентрации ионов в примембран­
ной области может достигать 10 раз, что приводит к изменению коэффициентов
диффузии ионов на 15 ÷ 20% (Рис. 3.10). Отметим, что данная граница явля­
ется верхней, ибо для физиологических концентраций размер слоя Штерна не
меньше 5 ÷ 7 Å.
Рис. 3.10. Относительное изменение коэффициента диффузии ионов Na+ (∙) и Cl− (∙) в
синаптической щели (примембранная область) как функция расстояния от мембраны с по­
верхностной плотностью заряда в −55 мКл/м2
В свою очередь, оценка величины потоков через соответствующие ионные
каналы позволяет говорить о внесении дополнительной неоднородной плотно­
сти распределения при удалении от мембраны [276]. Все перечисленные момен­
ты приводят к значительному изменению как микровязкости и диэлектриче­
ской проницаемости, так и коэффициентов диффузии в примембранной обла­
сти (более 20%), что необходимо учитывать при использовании макроскопи­
ческих диффузионных приближений для оценки систем такого типа. Однако
88
говорить о величине корреляции флуктуаций коэффициентов диффузии и си­
наптической проводимости, в данной диффузионной модели, без рассмотрения
непосредственных механизмов ионной проводимости при генерации ТПСП и
ВПСП не представляется возможным.
3.4. Выводы
На основе представленных в данной главе результатов можно сделать сле­
дующие выводы:
∙ Установлено, что значение среднего квадрата скорости и перемещения бро­
уновской частицы для разностных схем Эйлера и Хейна зависит от разме­
ра шага, что приводит к отклонениям от температуры термостата и изме­
нению коэффициента диффузии. Область применимости существующих
на данный момент основных разностных схем численного интегрирования
уравнения Ланжевена лежит в диапазоне 𝛾𝛥𝑡 < 1.
∙ Показано, что для концентраций электролита в растворе > 0.5 М/л в клас­
сической модели Ланжевена необходимо учитывать изменения диэлектри­
ческой проницаемости и вязкости раствора.
∙ Установлено, что при размере частиц радиусом 𝑅 < 1.5 Å необходимо
вводить поправки к закону Стокса на диэлектричекое трение.
∙ Предложена новая разностная схема численного интегрирования уравне­
ния Ланжевена в пространстве координат и скоростей с учетом скоррели­
рованности стохастических приращений на каждом итерационном шаге,
не имеющая ограничений на шаг интегрирования, с асимптотическими
значениями среднего квадрата скорости и перемещения, соответствующи­
ми точному решению.
89
Глава 4
Упрощенные методы молекулярной динамики
4.1. Автокорреляционные функции скорости и силы
Использование методов броуновской динамики для задач биологического
моделирования параметризуется выбором усредненного действия растворителя
на частицу. В классической модели Ланжевена (1.13) таким параметром рас­
твора является коэффициент трения 𝜁, вид которого зависит от используемо­
го приближения. Так, для непрерывной вязкой жидкости и больших размеров
частиц используется приближение Стокса, учет диэлектрической природы рас­
творителя дает теория Адельмана, Онзагера [245], в газах при малых числах
Кнудсена следует вводить поправки Каннингема [277], и т.д.
Однако если в случае простых частиц (таких, как ионы 𝑁 𝑎+ , 𝐾 + , 𝐶𝑙− )
подобные приближения могут дать приемлемый результат, то в случае много­
атомных молекул (𝑁 𝐻4+ , 𝑆𝑂42− ) ситуация заметно усложняется. Это связано
с неоднозначностью выбора аппроксимирующей геометрии, распределения за­
ряда для данных теорий. Поэтому единственной возможностью определить ко­
эффициент диффузии D и трения 𝜁 таких сложных частиц—это использование
прямого МД моделирования. Далее рассмотрим методы, используемые в данной
работе.
Нахождение коэффициента диффузии 𝐷 исследуемого вещества произво­
дилось двумя способами. В первом случае использовался средний квадрат пе­
ремещения частицы:
2
1
⟨[r(0) − r(𝑡)] ⟩
= lim
𝑡→∞ 6𝑁 𝑛𝑡
𝑡→∞
6𝑡
𝐷 = lim
{︃
𝑛 ∑︁
𝑁
∑︁
}︃
|rj (𝑡 + 𝑡0 ) − rj (𝑡0 )|2
(4.1)
𝑡0 =0 𝑗=0
где N — число исследуемых частиц в системе, n — число шагов моделирования,
причем 𝑡 = 𝑛 · Δ𝑡.
90
Другой метод предполагает построение автокорреляционной функции ско­
рости (VACF) и использование соотношения Грина-Кубо [278]. Рассмотрим его
более подробно.
Известно, что
∫︁
𝛿𝑥𝑡 = 𝑥(𝑡) − 𝑥(0) =
𝑡
𝑣(𝑡′ )𝑑𝑡′
0
и
⟨𝛿𝑥2𝑡 ⟩
∫︁ 𝑡 ∫︁
𝑡
⟨𝑣(𝑡′ )𝑣(𝑡′′ )⟩𝑑𝑡′ 𝑑𝑡′′
=
0
(4.2)
0
Предполагая, что моделирование происходит в состоянии термодинамиче­
ского равновесия (стационарный стохастический процесс), можем записать, что:
⟨𝑣(𝑡′ )𝑣(𝑡′′ )⟩ = 𝑅(𝑡′ − 𝑡′′ ) = 𝑅(𝑡′′ − 𝑡′ )
где R — корреляционная функция (ковариация) процесса V(t). Разбивая об­
ласть интегрирования в (4.2) на 𝑡′′ < 𝑡′ и 𝑡′′ > 𝑡′ получим:
⟨𝛿𝑥2𝑡 ⟩
∫︁
𝑡
=2
′
𝑡′
∫︁
𝑅(𝑡′ − 𝑡′′ )𝑑𝑡′′
𝑑𝑡
0
0
Сделав замену 𝜏 = 𝑡′ − 𝑡′′ , в итоге запишем:
∫︁ 𝑡
2
⟨𝛿𝑥𝑡 ⟩ = 2 (𝑡 − 𝜏 )𝑅(𝜏 )𝑑𝜏
0
Переходя к пределу 𝑡 → ∞ и учитывая (4.1), получаем соотношение Грина–Кубо
для нахождения коэффициента диффузии 𝐷 через автокорреляционную функ­
цию скорости (VACF):
𝐷=
1
3
∫︁
∞
⟨V(0) · V(𝑡)⟩𝑑𝑡 =
0
1
3𝑁 𝑛
∫︁
0
∞
{︃
𝑛 ∑︁
𝑁
∑︁
}︃
V𝑗 (𝑡0 ) · V𝑗 (𝑡 + 𝑡0 ) 𝑑𝑡
(4.3)
𝑡0 =0 𝑗=0
В свою очередь, для определения коэффициента трения 𝜁 броуновской ис­
пользуется автокорреляционная функция стохастической силы [279–281] (FACF):
∫︁ ∞
1
⟨Fs (𝑡0 )Fs (𝑡)⟩𝑑𝑡
(4.4)
𝜁=
3𝑘𝑏 𝑇 0
91
Для вывода этого выражения, рассмотрим обобщенное уравнение Ланжевена:
∫︁ 𝑡
𝑑V
𝑚
=−
𝜅(𝜏 )V(𝑡 − 𝜏 )𝑑𝜏 + Fe (𝑡) + Fs (𝑡)
(4.5)
𝑑𝑡
0
В отличие от упрощенного уравнения Ланжевена (1.13), здесь введена функ­
ция памяти 𝜅(𝜏 ), что позволяет обойти [174] существующее ограничение урав­
нения (1.13): в любой момент времени жидкость должна мгновенно восстанав­
ливать свое равновесное состояние, соответствующее данной скорости — отсут­
ствует эффект памяти прежней динамики частицы, что существенно для малых
t. В стационарном состоянии, достигаемом при 𝑡 → ∞, учитывая свойства сто­
хастической силы, можно записать:
∞
∫︁
Fe = ⟨V⟩
𝜅(𝜏 )𝑑𝜏
0
Тогда, по определению:
∫︁
𝜁=
∞
𝜅(𝜏 )𝑑𝜏
(4.6)
0
Приняв во внимание [282], что
𝜅(𝜏 ) =
⟨Fs (0) · Fs (𝑡)⟩
3𝑘𝑏 𝑇
получаем выражение (4.4).
Здесь необходимо обратить внимание на то, что указана не полная сила,
действующая на частицу, а стохастическая. Основная трудность заключается в
том, чтобы выделить стохастическую составляющую из общей силы. Для этого
запишем автокорреляционную функцию полной силы [283]:
∫︁ 𝑡
⟨F(0)F(𝑡)⟩ = ⟨Fs (0)Fs (𝑡)⟩ −
𝜅(𝜏 )⟨F(0)V(𝜏 )⟩𝑑𝜏
0
При увеличении массы броуновской частицы, амплитуда кросскорреляционной
функции ⟨F(0)V(𝜏 )⟩ уменьшается, ибо |𝑉 |∼ 𝑚−1 . А значит при 𝑚 → ∞ мы по­
лучаем хорошую аппроксимацию автокорреляционной функции стохастической
силы ⟨Fs (0)Fs (𝑡)⟩ через автокорреляцию полной силы. Таким образом, можно
92
записать:
1
𝜁=
lim
3𝑘𝑏 𝑇 𝑚→∞
∫︁
∞
⟨F(𝑡0 )F(𝑡)⟩ =
0
=
1
lim
3𝑘𝑏 𝑇 𝑁 𝑛 𝑚→∞
∫︁
0
∞
{︃
𝑛 ∑︁
𝑁
∑︁
}︃
F𝑗 (𝑡0 ) · F𝑗 (𝑡 + 𝑡0 ) 𝑑𝑡 (4.7)
𝑡0 =0 𝑗=0
Рассмотренные методы расширяют применимость броуновской динамики
на молекулы произвольной сложности, устраняя существующие недостатки при­
ближенных теорий, связанные с геометрической аппроксимацией и сложностью
расчета коэффициентов трения.
4.2. Диффузия сложных ионов и нейромедиаторов
Для описания диффузии частиц со сложной геометрией были использова­
ны прямые расчеты методами упрощенной молекулярной динамики, описанны­
ми ранее (см. Главу 2). Моделирование проводилось при нормальных условиях.
На одну исследуемую частицу приходилось 512 молекул воды, что соответство­
вало плотности в 0.998 г/см3 . Один эксперимент состоял из 100 повторностей,
шаг моделирования Δ𝑡 = 0.1 фс, число шагов 𝑛 = 1000. Электростатические
параметры моделируемых частиц вычислялись на основе метода DFT, конкрет­
ные параметры расчетов были аналогичны вычислениям, проведенным ранее
для молекул фосфолипидов в модели растворителя COSMO (См. 2.2.2) .
В ходе эксперимента снимались автокорреляционные функции скорости
(VACF) (Рис. 4.2) и силы (FACF). Коэффициенты диффузии D и трения 𝜁
броуновской частицы определялись на основе подходов, подробно изложенных
выше.
Для апробации предлагаемого подхода сначала были проведены расчеты
для простых и сложных ионов. Результаты моделирования приведены в Табли­
це 4.1.
Также были проведены аналогичные расчеты для отдельных аминокис­
93
Рис. 4.1. Изоповерхность электронной плотности молекулы глутамина (Gln).
Рис. 4.2. Автокорреляционная функция скорости отдельных ионов.
лот. Как известно, при определенном pH некоторые аминокислоты в водных
растворах присутствуют в цвиттер-ионном состоянии, что влияет на характер
взаимодействия молекул с растворителем. Поэтому в данной работе молекулы
94
глицина (Gly) и глутамина (Gln) (Рис. 4.1) были рассмотрены в двух состояни­
ях: простом и цвиттер-ионном. Сравнение с экспериментальными значениями
показало, что для обычного состояния коэффициенты диффузии несколько за­
нижены, что указывает на необходимость учета более точного распределения
заряда и особенностей структуры частиц.
Таблица 4.1. Результаты прямого МД моделирования для различных частиц.
−12
Частица 𝜁, 10
кг/с
𝐷, 10−9 м2 /с
MSD
VACF
FACF
Эксп.
𝑁 𝑎+
3.2 ± 0.2
1.33 ± 0.02 1.52 ± 0.06 1.29 ± 0.07 1.33 [249]
𝐶𝑙−
2.05 ± 0.13
1.89 ± 0.05 2.03 ± 0.04 1.91 ± 0.12 2.03 [249]
𝐿𝑖+
4.33 ± 0.08
0.97 ± 0.04 1.10 ± 0.12 0.97 ± 0.06 1.03 [249]
𝐾+
2.14 ± 0.06
2.16 ± 0.03 1.82 ± 0.07 1.92 ± 0.05 1.96 [249]
𝑆𝑂4−2
3.70 ± 0.08
1.16 ± 0.05 1.17 ± 0.09 1.11 ± 0.02 1.07 [284]
𝑁 𝑂3−
2.09 ± 0.05
2.05 ± 0.06 2.04 ± 0.05 1.96 ± 0.05 1.90 [284]
𝑁 𝐻4+
2.15 ± 0.02
1.94 ± 0.04 2.08 ± 0.05 1.89 ± 0.02 1.98 [284]
𝐺𝐿𝑌
6.01 ± 0.14
0.61 ± 0.04 0.64 ± 0.07 0.68 ± 0.02
𝐺𝐿𝑌 𝑧
3.91 ± 0.01
1.01 ± 0.07 0.96 ± 0.05 1.05 ± 0.03 1.06 [285]
𝐺𝐿𝑁
7.48 ± 0.17
0.39 ± 0.04 0.51 ± 0.05 0.45 ± 0.01
𝐺𝐿𝑁 𝑧
5.91 ± 0.13
0.67 ± 0.04 0.81 ± 0.05 0.70 ± 0.02 0.76 [285]
−
−
На основе полученных результатов можно заключить, что предлагаемая
методология упрощенной молекулярной динамики прошла успешную апроба­
цию на модельных системах, показав хорошее согласие рассчитанных коэффи­
циентов диффузии и трения различных сложных ионов и отдельных нейромеди­
аторов с существующими экспериментальными данными, что свидетельствует
о возможной применимости данной методологии для задачи дальнейшего моде­
лирования процесса проводимости ионных каналов.
95
Глава 5
Моделирование ионной проводимости каналов
P2X2, P2X4 и P2X7 типа
5.1. Пуринергические рецепторы
5.1.1. Общие сведения и классификация
Пуриновые производные играют важную роль в разнообразных биохимиче­
ских и физиологических процессах, происходящих в живом организме. Извест­
но, что аденозин участвует в синтезе РНК и ДНК, а аденозинтрифосфорная
кислота— это универсальный аккумулятор энергии внутри клетки. К пурино­
вым производным относятся некоторые широко используемые лекарственные
препараты, например кофеин и теофиллин, а накопление в организме конеч­
ного продукта пуринового обмена, мочевой кислоты, — причина заболевания
подагрой. Однако в последние годы стало очевидным, что пуриновые нуклео­
тиды и нуклеозиды играют еще одну важнейшую роль в организме. В 1972
году Джеффри Бернсток опубликовал обзор в котором говорилось о том, что
именно АТФ [286] и, возможно, аденозин действуют как нейромедиаторы. А со­
ответствующие рецепторы были названы пуринорецепторами [287]. В 1978 году
была предложена классификация этого типа рецепторов. К сегодняшнему дню
сложилась [288] окончательная классификация, приведенная в Таблице 5.1.
Рассмотрим некоторые отличия в свойствах и структурах этих рецепторов.
P1. Еще называется аденозиновый рецептор. Основное отличие этого типа
рецепторов от других, то, что они являются сопряженными с G-белками. Как и
другие рецепторы, сопряженные с G-белками, они плохо поддаются кристалли­
зации, а следовательно точному рентгеноструктурному анализу. Структурная
особенность всех таких рецепторов заключается в том, что они состоят из семи
96
Таблица 5.1. Классификация пуринергических рецепторов.
Тип Семейство
Подтип
Лиганд
A1
P1
-
A2𝑎
A2𝑏
Аденозин
A3
P2
P2X
P2Y
P2X1 –P2X7
АТФ
P2Y1−2 ,P2Y4−6 , P2Y8−14 АТФ, АДФ, УТФ, УДФ
трансмембранных доменов (𝛼-спиралей), попарно соединенных тремя внешни­
ми [289] и тремя внутренними гидрофильными петлями (Рис. 5.1).
Рис. 5.1. Структура аденозинового рецептора на примере рецептора А1 человека.
Аденозиновые рецепторы широко представлены в разных типах тканей и
участвуют в регуляции целого ряда биологических процессов.
∙ A1 присутствует по всему телу. Имеет угнетающую функцию в большин­
стве тканей, в которых проявляется. В мозгу замедляет метаболическую
активность. Вместе с A2𝑎 играет важную роль в частоте сердечных сокра­
щений.
∙ A2𝑏 стимулирует активность аденилатциклазы (катализирует превраще­
97
ние АТР в 3’,5’-cAMP, одного из важнейших вторичных мессенджеров
клетки).
∙ A3. Последние исследования показали что воздействие на эти рецепторы
может замедлить рост клеток в меланоме человека.
P2X. Представляют собой длинную цепь последовательно связанных ами­
нокислот, которая образует большую петлю (Рис. 5.2) снаружи клетки [290]. C и
N концы этого белка находятся внутри клетки. Представляют по своей сути ион­
ные каналы, пропускающие катионы 𝑁 𝑎+ , 𝐾 + , 𝐶𝑎2+ . Сами каналы этого типа
как правило состоят их 3 субъединиц, образуя ионную пору. Механизм акти­
вации достаточно прост: АТФ связывается с внеклеточной петлей, провоцируя
конформационные изменения, в результате чего открывается трансмембранная
пора. Так же как и P1, семейство P2X играют немаловажную роль в живой
Рис. 5.2. Схематичное изображение субъединицы пуринорецепторов P2X типа.
клетке. Приведем некоторые примеры:
∙ P2X1 находятся преимущественно в гладких мышцах внутренних органов
и опосредуют сократительные ответы последних.
98
∙ P2X2 опосредуют вкусовые ощущения. Современные исследования под­
тверждают это предположение.
∙ P2X5 часто присутствуют в клетках тканей, находящихся на стадии роста
и дифференцировки.
∙ P2X7 — их стимуляция запускает в клетке механизм апоптоза.
P2Y. По своей сути являются сопряженными с G-белками, поэтому струк­
турная организация этих рецепторов аналогична семейству P1. Когда АТФ
присоединяется в рецептору, запускается последовательность внутриклеточных
процессов, в результате чего ионы Ca+ высвобождаются в цитоплазму, что мо­
жет привести к кратковременному сокращению мышц. Активация этих рецеп­
торов может инициировать изменение генной активности.
Рецепторы P2Y типа находятся в кровеносных сосудах. Их стимуляция
вызывает высвобождение окиси азота (NO), что снижает кровяное давление,
увеличивая сосуды. P2Y12 присутствует в тромбоцитах и отвечает за ускоренное
образование сгустков крови (тромбов).
Исходя из того, что из класса пуринорецепторов ионными каналами яв­
ляются только рецепторы P2X типа, учитывая их важную роль в организме,
а также учтя исследования в области определения аминокислотных последо­
вательностей, структурной организации этих каналов, было решено выбрать в
качестве дальнейшего объекта исследования рецепторы именно этого типа, в
частности P2X2 , P2X4 и P2X7 .
5.2. Построение модели ионной поры на мембране
5.2.1. Модель P2X2 рецептора
Как и при исследовании любой белковой структуры, необходимо знать,
последовательность каких аминокислот составляет его пространственную ор­
99
ганизацию и отвечает за проявление специфических свойств. Ниже приведе­
на аминокислотная последовательность (Рис. 5.3) всех рецепторов P2X семей­
ства [291].
Однако наибольшее внимание в процессе моделирования канала необхо­
димо уделить трансмембранным участкам (доменам), потому как именно они
и образуют саму ионную пору [291]. В связи с этим наиболее информативной
является мембранная топология P2X2 рецептора (Рис. 5.4).
Для анализа геометрии канала были использованы недавние результаты,
полученные методами электронной микроскопии [292] с 3D-реконструкцией изоб­
ражения (Рис. 5.5). Геометрия P2X рецепторов не была освещена до недавнего
времени из-за трудностей в их очистке и кристаллизации [293]. Реконструкция
P2X выявила основное сходство с АХР (ацетилхолиновый рецептор). Получен­
ные результаты показали, что канал имеет 202 Å в высоту и 160 Å в диаметре.
Далее он уменьшается до 105 Å, и в узкой части доходит до 92 Å (имеется ввиду
внешний диаметр).
Как видно (Рис. 5.5), внеклеточная и цитоплазменная часть простирается
на 107 и 65 Å соответственно. Так же стоит отметить одну структурную особен­
ность этого канала, назначение которой еще предстоит выяснить: речь идет о
так называемом "Y-shaped density". Возможно это и есть воротный механизм,
открывающий ионную пору при связывании АТФ.
Далее представлены поперечные срезы канала, показывающие интересую­
щую нас часть—саму ион-проводящую пору. Видно (Рис. 5.6), что канал разби­
вается на 2 вестибюля - верхний и нижний, которые связаны между собой самой
узкой частью канала, размером порядка 11 Å [294]. Так же становится очевидно,
что канал образуют 2 слоя - внешний и внутренний. Сами вестибюли в первом
приближении представляются полусферами: верхний вестибюль шириной 19.4
Å и высотой 16.5 Å, нижний шириной 24.3 Å и высотой 24.8 Å.
На продольном срезе (Рис. 5.7) отчетливо представлена внутренняя гео­
метрия канала.
100
Рис. 5.3. Семейство рецепторов P2X типа. Аминокислотная последовательность субъединицы
канала крысы. Участки, обозначенные сплошной линией - трансмембранные гидрофобные
домены.
Так же очень важным представляется анализ трансмембранных доменов [295],
представляющих собой 𝛼-спирали, и углы, под которыми они «пронизывают»
101
Рис. 5.4. Мембранная топология P2X2 рецептора.
Рис. 5.5. Пространственная структура P2X2 рецептора (в закрытом состоянии).
мембрану. Если раньше считалось, что в образовании самой проводящей по­
ры участвуют оба трансмембранных домена [296, 297], то сейчас становится
понятным, что основную роль в P2X2 играет только ТМ2 [292]. Этот вывод яв­
ляется одним из ключевых в исследовании геометрии канала, потому как стано­
вится возможным определить, какие именно аминокислоты обращены внутрь
поры [298, 299]. Для этого была использована геометрическая интерпретация,
102
Рис. 5.6. Поперечные срезы канала P2X2 . Выделенные фрагменты находятся в мембранной
части.
Рис. 5.7. Продольный разрез канала P2X2 .
наиболее полно отражающая принцип образования 𝛼-спирали. Используя вы­
шеприведенную последовательность ТМ2 (Рис. 5.3), было построено так назы­
ваемое «helical wheel», представленное ниже (Рис. 5.8).
В данном случае единственной заряженной аминокислотой является аспа­
рагиновая Asp347 в положении −7 Å, и полярные Thr339 , Ser345 в положении 7
и −2 Å по оси канала. Для всех ионных каналов, проводящих положительные
катионы, необходимым фактором, усиливающих проводимость, является нали­
чие одной или нескольких отрицательно заряженных АК обращенных внутрь
ионной поры [298]. В силу отсутствия каких-либо экспериментальных данных,
указывающих на то, какая АК в данном случае обращена внутрь, было сделано
предположение, что это будет Asp347 . Учитывая, что пору образует 3 ТМ2, то
103
Рис. 5.8. ТМ2 P2X2 рецептора. Зеленый цвет - полярные нейтральные аминокислоты. Жел­
тый - неполярные нейтральные. Красный - полярные заряженные.
из соображений симметрии можно выделить остальные АК в поре.
В силу того, что ТМ домен это 𝛼-спираль, то решающую роль играют
не сами аминокислоты, а их радикалы. Поэтому следующим этапом в постро­
104
ении модели канала является выявление истинных зарядов радикалов данных
аминокислот. Согласно предлагаемой методологии, аминокислотные остатки и
фосфолипиды формируют систему фиксированных зарядов II компартмента.
В отдельных работах, посвященных изучению влияния распределения заряда
вдоль оси канала на величины проводимости (Boda at al.) заряд аминокислот­
ных остатков аппроксимируют величиной в ±0.5 или ±1 заряда электрона,
однако предпосылки, заложенные в таком предположении, остаются далеко не
очевидными. Поэтому в данной работе для вычисления распределения заряда
по данным молекулам мы использовали один из наиболее популярных методов
квантовой химии — метод функционала плотности DFT. Данные аминокисло­
ты рассматривались в депротонированном состоянии. Сначала была проведе­
на предварительная геометрическая оптимизация молекулы в вакууме. Затем
электронная плотность основного состояния для данной геометрии была спро­
ецирована на положения атомов методом Хиршфельда. Использовался локаль­
ный функционал в форме PWC, неограниченные по спину волновые функции,
двойной численный базис с учетом валентных орбиталей для атомов водорода.
Радиус обрезания 3.7 Å. Проводился полноэлектронный расчет без использо­
вания псевдопотенциалов. Порог сходимости для геометрической оптимизации
составил 10−5 Хартри, 0.005 Å по расстоянию. Относительная точность сходи­
мости на этапе расчета самосогласованного поля 10−6 . Мультипольное разложе­
ние — до октуполя. Для улучшения сходимости применялся DIIS. Вычисления
проводились с использованием пакета Accelrys Materials Studio, модуль DMol.
Полученный по нашим расчетам заряд рассматриваемых в работе аминокис­
лотных остатков составил: Asp (𝑞 = −0.73e, 𝑅 = 1.7 Å), Ser (𝑞 = −0.43e,
𝑅 = 1.2 Å) и Thr (𝑞 = −0.50e, 𝑅 = 2.1 Å). Для каждой молекулы определялся
размер bounding-сферы, аппроксимирующий полярный/ заряженный участок
молекулы, используемый в нашей модели (Рис. 2.1). Результаты представлены
в Таблице 5.2.
Геометрические параметры канала P2X2 и характерное расположение ами­
105
Таблица 5.2. Квантово-химические расчеты распределения электронной плотности для неко­
торых аминокислот в вакууме.
Название
Состояние
Исходное
Депротонированное
Asp
Ser
Thr
нокислотных остатков по оси канала (y), предположительно участвующих в
формировании селективного фильтра представлены в Таблице 5.3.
5.2.2. Модель P2X4 и P2X7 рецептора
Для построения упрощенной модели P2X4 рецептора использовалась его
PDB структура [300]. Как видно (Рис. 5.9) размер внеклеточной части данного
канала составляет около 70 Å, трансмембранный участок — 28 Å, а внутри­
клеточная часть полностью отсутствует. Внешний абрис рецептора 𝐷𝑟 = 75 Å,
наименьший размер ионной поры 𝑑𝑝 составляет Å.
106
Рис. 5.9. PDB-структура P2X4 рецептора [300] в открытом состоянии и характерные размеры
ионного канала. Фронтальный вид (слева), вид сверху (слева)
Анализ аминокислотной последовательности в области селективного филь­
тра (Рис. 5.10) выявил отсутствие каких-либо полярных или заряженных ами­
нокислотных остатков в нативной структуре. Однако поворот второго транс­
мембранного домена (ТМ2) по часовой стрелке на 35∘ развернет остаток аспа­
рагиновой кислоты Asp357 в область поры в положении −17 Å, что приведет к
изменению потенциала вдоль оси канала и к возможному увеличению уровня
проводимости. Таким образом сравнение двух различных состояний селектив­
ного фильтра данного канала (в присутствии и отсутствии Asp357 ) позволит
протестировать чувствительность модели к внесению дополнительного отрица­
тельного заряда в область ионной поры.
Так как пространственная организация P2X7 была получена моделирова­
нием по гомологии на основе структуры P2X4 , геометрические параметры дан­
ного канала были идентичны P2X4 рецептору, отличным была только конфигу­
рация селективного фильтра (Рис. 5.11): в данном случае это были Ser339 , Ser342
и Asp352 в положениях 8 Å, 5 Å и −15 Å соответственно.
На основе предварительного анализа, полученные данные об упрощенной
107
Рис. 5.10. Трансмембранный домен ТМ2 [300] пуринергического рецептора P2X4 типа, фор­
мирующий область ионной поры (слева); Характерный радиус ионной поры канала P2X4 в
открытом состоянии как функция расстояния по оси канала (справа). Гипотетическое нали­
чие остатка Asp357 в области ионной поры после проворота 𝛼-спирали на угол ∼ 35∘
пространственной структуре данных рецепторов отображены в Таблице 5.3.
5.2.3. Моделирование ионной проводимости каналов
Поскольку для P2X7 конфигурация селективного фильтра получена моде­
лированием по гомологии, то вопрос о его пространственной организации оста­
ется открытым, в связи с чем были рассмотрены все 7 различных конфигураций
фильтра, образованного остатками Ser339 , Ser342 и Asp352 . Анализ аминокислот­
ной последовательности ТМ2 P2X2 рецептора выявил возможное участие остат­
ков Thr339 , Ser345 и Asp349 в формировании 7 различных конфигураций. Для
P2X4 было рассмотрено 2 конфигурации - в присутствии и отсутствии Asp357 .
108
Рис. 5.11. Трансмембранный домен P2X7 рецептора в открытом состоянии (вид из внутри­
клеточной части). Структура разрешена [301] использованием алгоритма Phyre2. Полярные
Ser339 , Ser342 и заряженный Asp352 формируют область селективного фильтра канала.
Таблица 5.3. Геометрические параметры ионных каналов P2X2 , P2X4 и P2X7 типа
Канал
Геометрические параметры, Å
D𝑟
H𝑟
H𝑚 d𝑖𝑛 d𝑜𝑢𝑡 h𝑖𝑛 h𝑜𝑢𝑡 d𝑝 Amino acid (y)
Thr339 (7)
P2X2
160 202 122 67
48
66
126 11
Ser345 (-2)
Asp349 (-7)
P2X4
P2X7
Asp357 (-17)
75
98
84
20
24
15
40
8
Ser339 (8)
Ser342 (5)
Asp352 (-15)
Учитывая, что «patch clamp» измерения проводились на реальных биологиче­
ских тканях, состав фосфолипидного бислоя, используемый в моделировании
109
соответствовал фосфолипидному составу тела нейрона крысы: PC 28 %, PE
20%, SPH 4%, PI 6% и PS 4 %, что соответствует поверхностной плотности
заряда на внутренней стороне мембраны 𝜎 ≈ 40 мКл/м2 .
Состав компартментов I и III соответствовал «patch clamp» протоколам из­
мерений одиночных каналов данного типа. Для P2X4 : [𝑁 𝑎𝐶𝑙]𝐼 = 147, [𝑁 𝑎𝐶𝑙]𝐼𝐼𝐼 =
5, [𝑁 𝑎𝐹 ]𝐼𝐼𝐼 = 140 (мМ/л), внешний потенциал −150 мВ. P2X2 : [𝑁 𝑎𝐶𝑙]𝐼 =
145, [𝑁 𝑎𝐹 ]𝐼𝐼𝐼 = 5, внешний потенциал −100 мВ. P2X7 : [𝐶𝑠𝐶6 𝐻11 𝑂7 ]𝐼 = 150,
[𝐶𝑠𝐶6 𝐻11 𝑂7 ]𝐼𝐼𝐼 = 150, внешний потенциал −110 мВ. Параметры моделирова­
ния системы были: размер ячейки 300Å, температура 298∘ K, шаг броуновской
динамики Δ𝑡𝐵𝐷 = 0.1 нс, шаг молекулярной динамики Δ𝑡𝑀 𝐷 = 1 пс, время
моделирования 1 мкс.
Зная число ионов, прошедших через ионный канал за время моделирова­
ния системы, легко определить величины проводимости 𝐺 и амплитуды тока 𝐼.
Для чистоты модельного эксперимента концентрации растворенных веществ в
компартментах I и III были фиксированы: после прохождения через канал ион
заново помещался в свой стартовый компартмент со случайными координатами.
В Таблице 5.4 представлены результаты численного моделирования проводимо­
сти ионных каналов P2X2 , P2X4 и P2X7 типа при различных конфигурациях
селективных фильтров. Как видно, конфигурация P2X4 канала, при которой
ни один заряженный или полярный аминокислотный остаток не повернут в
область ионной поры («без фильтра», БФ) наилучшим образом (9.0 пСм) со­
гласуется с экспериментальными данными («patch clamp» измерениями и PDB
структурой), тогда как наличие остатка аспарагиновой кислоты Asp357 увели­
чивает величину проводимости канала почти в два раза (16.3 пСм). Согласно
структуре P2X7 канала, предсказанной моделированием по гомологии, селек­
тивный фильтр формируют только два остатка серина Ser339 и Ser342 , обращен­
ных в область ионной поры. Однако, величина проводимости для данной кон­
фигурации (14.3 пСм), полученным на основе нашей модели, будет значительно
отличаться от экспериментальных данных (8.3 пСм), тогда как конфигурация
110
БФ находится в согласии с данными. Отсюда мы делаем вывод о возможном
отличии реальной пространственной организации P2X7 канала от предсказан­
ной поворотом ТМ2 домена на угол в 15-25∘ по часовой стрелки, во избежание
наличия остатков данных аминокислот в области ионной поры. Моделирование
P2X2 рецептора позволило объяснить его высокий уровень проводимости (32
пСм) наличием остатка аспарагиновой кислоты Asp349 в области ионной поры.
1.7
1.5
P2X2 БФ ±
25.4
Ser342
±
Ser342
±
Ser345
±
Ser342
±
±
±
Ser345
±
Ser345
±
±
32
2.7 Asp349 2.4 Asp349 2.4 Asp349 2.8 2.0
±
39.2 Thr339 47
1.9 Asp352 2.1 Asp352 2.7 Asp352 2.8 0.6
±
30.2 Thr339 36.2 Thr339 41
2.4 Asp349 2.1
± Ser345 ±
2.1
±
1.5 Asp352 2.1
± Ser342 ±
14.1 Thr339 27.0
0.9
P2X7 БФ ±
19.7 Ser339 24.6 8.3
15.9 Ser339 14.3 Ser339 18.3
8.6 Ser339 11.1
12.4
1.5
1.8
1.2
±
10.5
±
9.0 Asp357 16.3
Конфигурация селективного фильтра и проводимость, G (пСм)
P2X4 БФ ±
Канал
[12, 302, 305]
[304]
[302, 303]
Эксп.
Таблица 5.4. Величины проводимости ионных каналов P2X2 , P2X4 и P2X7 типа при различных конфигурациях селективных фильтров.
111
112
5.2.4. Вольт-амперные характеристики P2X2 и P2X7 каналов
Поскольку атомистическая структура P2X2 и P2X7 рецепторов на настоя­
щий момент отсутствует, для проверки нашей гипотезы были использованы их
вольт-амперные характеристики. Моделирование проводилось с шагом внешне­
го потенциала в 20 мВ в диапазоне −20 ÷ −120 мВ для P2X7 и −20 ÷ −100 мВ
для P2X2 канала при различных конфигурациях селективных фильтров. Пара­
метры моделирования не менялись. Как видно (Рис. 5.12) наилучшим образом
экспериментальные зависимости описывают состояния «без фильтра» для P2X7
и Asp349 для P2X2 , что согласуется с нашими предположениями.
5.2.5. Избирательность P2X2
Исследование избирательности (селективности) канала к отдельным ионам
позволяет охарактеризовать его механизм проводимости. Для этих целей мы
провели моделирование P2X2 с Asp349 конфигурацией селективного фильтра
при внешнем потенциале в −120 мВ для случая различных электролитов оди­
наковой концентрации (120 мМ/л) в I и III компартментах: KCl, NaCl, LiCl,
RbCl и CsCl. Полученные величины ионных токов и проводимости представле­
ны в Таблице 5.5.
Таблица 5.5. Амплитуда тока I и проводимость G ионного канала P2X2 типа для различных
катионов
Ion
I, пА
G, пСм
𝐿𝑖+
𝑁 𝑎+
𝐾+
𝑅𝑏+
𝐶𝑠+
-3.52 -3.92 -4.52 -4.36 -4.38
29
33
38
36
37
Как видно, величины проводимости данных ионов возрастают согласно ко­
эффициентам их свободной диффузии: 𝐾 + ≈ 𝐶𝑠+ ≈ 𝑅𝑏+ > 𝑁 𝑎+ > 𝐿𝑖+ [12].
Это свидетельствует о том, что ярко выраженной селективности к катионам у
данного канала нет, а отношение уровней проводимости для отдельных катио­
113
без фильтра
Ток, пА
Мембранный потенциал, мВ
Эксперимент
без фильтра
Ток, пА
Мембранный потенциал, мВ
Эксперимент
Рис. 5.12. Вольт-амперные характеристики P2X2 (сверху) и P2X7 ионных каналов (снизу)
для различных конфигураций селективных фильтров.
114
нов позволяет говорить о диффузионном механизме ионного транспорта данно­
го канала. Это косвенно подтверждается и достаточно большим (11 Å в диамет­
ре) размером ионной поры.
5.3. Выводы
∙ На основе разработанного метода удалось объяснить высокое значение
проводимости P2X2 канала наличием Asp349 в области селективного филь­
тра. Механизм проводимости данного канала — диффузионный.
∙ Показано, что наличие остатков Ser339 и Ser342 в области селективного
фильтра P2X7 канала (согласно данным моделирования по гомологии)
приводит к величинам проводимости, отличным от экспериментальных
данных.
115
Глава 6
Программный пакет PCS
6.1. Общие характеристики
Все расчеты проводились с использованием разработанной автором интер­
активной студией моделирования — Patch Clamp Simulation (PCS). Вычисли­
тельное ядро данного ПО написано на C/C++, графический интерфейс про­
граммы разработан на Delphi, интерактивная визуализация моделируемого про­
цесса (Рис. 6.1) реализована использованием графических движков GLScene и
ODE (Open Dynamics Engine) на основе библиотеки OpenGL.
Рис. 6.1. Patch Clamp Simulation. Вид моделируемой системы: растворенные ионы во внутрии внеклеточных компартментах, фосфолипиды на внутренней стороне мембраны, желтым
цветом выделена область ионный поры (молекулы воды не отображены).
Данный программный пакет предназначен для изучения различных био­
логических систем и включает в себя следующие возможности:
Броуновская динамика Моделирование макроскопических биологиче­
ских систем (ионная пора, синаптическая щель, примембранные процессы и
116
др.), длительное время эволюции системы (∼ 10−5 c). Учет липидного состава
мембран, аминокислотной последовательности проводящей поры, распределе­
ния зарядов по профилю канала, вкупе с комбинированными методам МД–БД
моделирования позволяют проводить компьютерный аналог дорогостоящих экс­
периментальных исследований ионной проводимости одиночного канала (мето­
ды локальной фиксации потенциала — patch clamp).
Молекулярная динамика Определение макроскопических параметров
многоатомных частиц (сложных ионов, нейромедиаторов и др.), необходимых
для ланжевеновской динамики (𝜁𝑣 , 𝜁𝑟 ).
Параллельные вычисления Ресурсоемкие расчеты силовых полей вы­
полняются на графических видеокартах с использованием технологии NVIDIA
CUDA (Рис. 6.2), обеспечивая увеличение производительности до 20 раз (Рис. 6.3).
Рис. 6.2. Схема распараллеливания, применяемая в PCS.
Интерактивная 3D визуализация Использование различных графиче­
ских движков (Open Dynamics Engine, GLScene) позволяет в режиме on-line
наблюдать за ходом моделирования (Рис. 6.4).
117
Рис. 6.3. Производительность CPU/GPU вычислений для различного числа частиц.
Рис. 6.4. PCS. Интерактивная 3D визуализация.
118
Разработанная студия моделирования и отдельные модули к ней защище­
ны двумя 2 авторскими свидетельствами РФ на разработку программного обес­
печения для ЭВМ [30, 31].
119
Заключение
∙ Разработана новая математическая модель, описывающая движение ионов
и нейромедиаторов в вязкой среде на основе комбинирования методов мо­
лекулярной и броуновской динамики. На ее основе разработана интерак­
тивная студия моделирования, позволяющая получать характерные вели­
чины ионных токов и проводимости ионных каналов.
∙ Показано, что асимптотические значения среднего квадрата скорости и
перемещения броуновской частицы для разностных схем Эйлера и Хейна
зависят от размера шага. Выявлена область применимости (𝛾𝛥𝑡 < 1)
существующих на данный момент основных разностных схем численного
интегрирования уравнения Ланжевена.
∙ Показана необходимость учета зависимостей диэлектрической проницае­
мости и вязкости раствора от концентраций растворенных электролитов
при 𝐶 > 0.5 М/л и введения поправок к закону Стокса на диэлектриче­
ское трение для частиц, радиусом 𝑅 < 1.5 Å.
∙ Предложена новая разностная схема численного интегрирования уравне­
ния Ланжевена в пространстве координат и скоростей с учетом скоррели­
рованности стохастических приращений на каждом итерационном шаге,
не имеющая ограничений на шаг интегрирования, с асимптотическими
значениями среднего квадрата скорости и перемещения, соответствующи­
ми точному решению.
∙ Показано, что существующая пространственная структура P2X7 рецепто­
ра, полученная моделированием по гомологии, приводит к величинам про­
водимости, отличным от экспериментальных данных, что свидетельствует
об отличии реальной пространственной организации P2X7 канала от пред­
сказанной поворотом ТМ2 домена на угол в 15-25∘ по часовой стрелки, во
120
избежание наличия остатков Ser339 и Ser342 в области ионной поры.
∙ Объяснено высокое (30.2 ± 2.0 pS) значение проводимости P2X2 канала
наличием Asp349 в области селективного фильтра, выявлена избиратель­
ность к катионам: 𝐾 + ≈ 𝐶𝑠+ ≈ 𝑅𝑏+ > 𝑁 𝑎+ > 𝐿𝑖+ , свидетельствующая о
диффузионном характере проводимости данного канала.
121
Приложение А
Корреляция двух сумм независимых величин
Напомним что случайная величина 𝑌 = 𝛼𝑁1 (𝜇1 , 𝜎1 2 )+𝛽𝑁2 (𝜇2 , 𝜎2 2 ), равная
сумме двух случайных величин c коэффициентом корреляции 𝜌, эквивалентна
(т.е. имеет такую же плотность вероятности) величине
𝑁 (𝛼 · 𝜇1 + 𝛽 · 𝜇2 , 𝛼2 𝜎1 2 + 𝛽 2 𝜎2 2 − 2𝛼𝛽𝜌𝜎1 𝜎2 )
Если проводится уменьшение числа случайных величин
𝛼1 𝑁𝑥1 + · · · + 𝛼𝑘 𝑁𝑥𝑘 + 𝛽1 𝑁𝑣1 + · · · + 𝛽𝑘 𝑁𝑥𝑘 ∼ 𝐴𝑁˜𝑥 + 𝐵 𝑁˜𝑣 ,
√︃
𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑁𝑥𝑖 , 𝑁𝑥𝑗 )
где
√︃
𝑘
∑︀
𝑖=1
=
𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑁𝑣𝑖 , 𝑁𝑣𝑗 )
=
𝛿𝑖𝑗 , 𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑁𝑥𝑖 , 𝑁𝑣𝑗 )
= 𝛿𝑖𝑗 𝜌, то 𝐴 =
𝑘
∑︀
𝑖=1
𝛼𝑖2 , 𝐵 =
𝛽𝑖2 , а коэффициент корреляции результирующих величин 𝜌˜ = 𝑐𝑜𝑟𝑟(𝑁˜𝑥 , 𝑁˜𝑣 )
выражается следующим образом:
𝑘
∑︀
𝜌˜ = 𝜌 ·
𝛼𝑖 𝛽𝑖
𝑖=1
𝐴𝐵
(А.1)
122
Приложение Б
Вывод аналитического выражения для
разностных схем общего вида
В данной работе численные методы рассматриваются исходя из общего
вида:
⎛ ⎞ ⎛
⎞⎛
⎞ ⎛ ⎞
𝑥
𝐴 𝐴
𝑥
𝑁
⎝ 𝑘 ⎠ = ⎝ 11 12 ⎠ ⎝ 𝑘−1 ⎠ + ⎝ 𝑥 ⎠
𝑣𝑘
𝐴21 𝐴22
𝑣𝑘−1
𝑁𝑣
(Б.1)
Может оказаться, что вектор случайных приращений координат и скоро­
сти на одном шаге N = qk −Aqk−1 , записанный напрямую из разностной схемы,
имеет вид BÑ, где B — матрица размерности 2 × 𝑚, Ñ — столбец из 𝑚 неза­
висимых случайных величин, и 𝑚 зависит от сложности метода. Договоримся
в таком случае представлять эти приращения в виде вектора двух случайных
величин с коэффициентом корреляции 𝜌, используя формулу (А.1) Приложе­
ния А. Также предполагается, что все коэффициенты перед итоговыми прира­
щениями отнесены к дисперсии по формуле 𝑐 · 𝑁 (𝜇, 𝜎 2 ) = 𝑁 (𝜇, 𝑐2 · 𝜎 2 ).
Применяя рекуррентную формулу (Б.1), получим:
𝑥𝑘 = 𝐴𝑘 11 𝑞0 + 𝐴𝑘 12 𝑣0 + 𝐴𝑘−1 11 𝑁𝑥 + 𝐴𝑘−1 12 𝑁𝑣 + · · · + 𝑁𝑥 + 0𝑁𝑣
𝑣𝑘 = 𝐴
𝑘
21 𝑞0
𝑘
+𝐴
22 𝑣0
𝑘−1
+𝐴
21 𝑁𝑥
𝑘−1
+𝐴
22 𝑁𝑣
(Б.2)
+ · · · + 0𝑁𝑥 + 𝑁𝑣
Просуммируем случайные приращения на каждом шаге как независимые
величины:
⎯
⎯
⎸ 𝑘−1
⎸ 𝑘−1
⎸∑︁
⎸∑︁
̃︁𝑥 + ⎷
̃︁𝑣
𝐴𝑘−1 11 𝑁𝑥 + 𝐴𝑘−1 12 𝑁𝑣 + · · · + 𝑁𝑥 + 0𝑁𝑣 ∼ ⎷
𝐴𝑖 11 2 𝑁
𝐴𝑖 12 2 𝑁
𝑖=0
𝑖=0
⎯
⎯
⎸ 𝑘−1
⎸ 𝑘−1
⎸∑︁
⎸∑︁
̃︁
̃︁
̃︁𝑥 + ⎷
̃︁𝑣
𝐴𝑘−1 21 𝑁𝑥 + 𝐴𝑘−1 22 𝑁𝑣 + · · · + 0𝑁𝑥 + 𝑁𝑣 ∼ ⎷
𝐴𝑖 21 2 𝑁
𝐴𝑖 22 2 𝑁
𝑖=0
𝑖=0
(Б.3)
123
Обратим внимание, что знак равенства не используется, так как речь идет об эк­
вивалентности распределения случайной величины, а не о строгом тождестве.
Тильды над случайными величинами обозначают, что коэффициент корреля­
ции между ними изменился, так как складываются случайные величины 𝑁𝑥
и 𝑁𝑣 , которые коррелируют с коэффициентом 𝜌, хотя все остальные парамет­
ры, такие, как среднее и дисперсия, остались прежними. Новый коэффициент
̃︁𝑥 и 𝑁
̃︁𝑣 вычисляется по формуле (А.1):
корреляции между 𝑁
𝑘−1
∑︀
𝐴𝑖 11 𝐴𝑖 12
𝜌̃︀ = 𝜌 √︃ 𝑖=0 √︃
𝑘−1
∑︀ 𝑖 2 𝑘−1
∑︀ 𝑖 2
𝐴 11
𝐴 12
𝑖=0
(Б.4)
𝑖=0
Все рассматриваемые методы имеют матрицу A вида:
⎞
⎛
1 𝛼
⎠
⎝
0 𝛽
(Б.5)
Выражение для k-ой степени матрицы:
⎛
⎞
𝛼(𝛽 𝑘 −1)
1 𝛽−1
⎠
A𝑘 = ⎝
𝑘
0
𝛽
(Б.6)
Используя его, получим:
𝑘−1
∑︁
2
𝐴𝑖 11 = 𝑘
𝑖=0
𝑘−1
∑︁
𝑖=0
𝐴𝑖 12
2
𝛼2
=
(𝛽 − 1)2
(︂
𝛽 2 − 𝛽 2𝑘
𝛽 − 𝛽𝑘
−
2
+𝑘−1
1 − 𝛽2
1−𝛽
𝑘−1
∑︁
)︂
(Б.7)
2
𝐴𝑖 21 = 0
𝑖=0
𝑘−1
∑︁
𝑖=0
𝑖
𝐴 22
2
1 − 𝛽 2𝑘
=
1 − 𝛽2
В итоге имеем выражения для координаты и скорости на k-ом шаге чис­
124
ленного метода:
𝑘
𝛼(𝛽 − 1)
𝑥𝑘 = 𝑥0 +
𝑣0 +
𝛽−1
√︃
√
̃︁𝑥 +
𝑘𝑁
𝛼2
(𝛽 − 1)2
√︃
𝑣𝑘 = 𝛽 𝑘 𝑣0 +
(︂
)︂
𝛽 − 𝛽𝑘
𝛽 2 − 𝛽 2𝑘
̃︁𝑣
−2
+ (𝑘 − 1) 𝑁
2
1−𝛽
1−𝛽
𝛽 𝑘 ̃︁
̃︁𝑣
𝑁
2
𝛽 −1
(Б.8)
Выражение для корреляции случайных слагаемых в координате, согласно (Б.4):
(︁ 𝑘
)︁
𝛽−𝛽
1−𝛽 − (𝑘 − 1)
𝜌̃︀ = 𝜌 √︂(︁
(Б.9)
)︁
√
𝑘
2
2𝑘
𝛽−𝛽
𝛽 −𝛽
𝑘
1−𝛽 2 − 2 1−𝛽 + (𝑘 − 1)
Правильный учет этой корреляции нужен для получения аналитического выра­
жения для 𝑥𝑘 2 .
Параметры разностных схем, согласно (Б.1) и (Б.5), можно представить в
виде таблицы:
Метод
𝛼
𝛽
𝜎𝛥x 2
𝜎𝛥v 2
(︁
)︁
𝜎 2 1−𝑒−2𝛾𝛥t
2𝛾
𝜌corr (𝛥t)
𝜌corr
precise
1−𝑒−𝛾𝛥t
𝛾
𝑒−𝛾𝛥t
)︁
(︁
𝜎 2 𝛾𝛥t− 1 𝑒−2𝛾𝛥t +2𝑒−𝛾𝛥t − 3
2
2
𝛾3
Euler[306]
𝛥t
1 − 𝛾𝛥t
0
𝛥t𝜎 2
1
Heun[306]
(︁
)︁
𝛥t 1 − 𝛾𝛥t
2
𝛥t3 𝜎 2
4
(︁
)︁2
𝛥t𝜎 2 1 − 𝛾𝛥t
2
1
𝛾𝛥t
1 − 𝛾𝛥t
+1
𝛥t3 𝜎 2
(𝛾𝛥t+2)2
4𝛥t𝜎 2
(𝛾𝛥t+2)2
1
𝑒−𝛾𝛥t
(︁
)︁
𝜎 2 𝛾𝛥t− 1 𝑒−2𝛾𝛥t +2𝑒−𝛾𝛥t − 3
2
2
3
𝛾
(︁
)︁
𝜎 2 1−𝑒−2𝛾𝛥t
𝑒−𝛾𝛥t
(︁
)︁
𝜎 2 𝛾𝛥t− 1 𝑒−2𝛾𝛥t +2𝑒−𝛾𝛥t − 3
2
2
𝛾3
(︁
)︁
𝜎 2 1−𝑒−2𝛾𝛥t
implicit midpoint[306]
no correlation
full correlation
𝛥t
𝛾𝛥t
+1
2
1−𝑒−𝛾𝛥t
𝛾
1−𝑒−𝛾𝛥t
𝛾
𝛾 2 𝛥t2
2
− 𝛾𝛥t + 1
2
2𝛾
2𝛾
0
1
Таблица Б.1. Параметры численных методов
Методы Euler, Heun, implicit midpoint предполагают полную скоррелиро­
ванность приращений координаты и скорости на каждом итерационном шаге,
тогда как точный метод предполагает корреляцию согласно выражению (3.5).
Метод no correlation представляет собой аналог точного метода, в котором пре­
небрегается скоррелированностью приращений координаты и скорости. Метод
full correlation предполагает полную скоррелированность приращений.
125
Аналитические выражения для величин 𝑥𝑘 и 𝑣𝑘 , полученные на основе
этих данных, приведены в Приложении В.
126
Приложение В
Характеристики разностных схем
Метод Euler
Точное выражение для координаты на k-ом шаге метода Эйлера:
(︀
)︀
(1 − 𝛾Δt)𝑘 − 1 𝑣0
+ 𝑁𝑥 (0,𝜎𝑥2𝑘 )
𝑥𝑘 = 𝑥0 −
𝛾
где
𝜎𝑥2𝑘
(︀
(︀
)︀
)︀
−4(1 − 𝛾Δt)𝑘 + (1 − 𝛾Δt)2𝑘 + 𝑘𝛾 2 Δt2 + 2𝛾Δt (1 − 𝛾Δt)𝑘 − 𝑘 − 1 + 3 𝜎 2
=
𝛾 3 (𝛾Δt − 2)
Аналогичное выражение для скорости на k-ом шаге метода Эйлера:
𝑣𝑘 = (1 − 𝛾Δt)𝑘 𝑣0 + 𝑁𝑣 (0,𝜎𝑣2𝑘 )
где
(︀
𝜎𝑣2𝑘
)︀
(1 − 𝛾Δt)2𝑘 − 1 𝜎 2
=
𝛾(𝛾Δt − 2)
Отсюда сразу следует асимптотика квадрата скорости на бесконечности:
𝜎2
⟨𝑣𝑘 ⟩ −−−→
𝛾(2 − 𝛾Δt)
2
𝑘→∞
Асимптотика среднего квадрата смещения:
𝑘→∞
⟨𝑥𝑘 2 ⟩ −−−→
Δt𝑘𝜎 2
𝛾2
Метод Heun
Метод также использует разложение коэффициентов матрицы метода в
ряд Тейлора по степеням 𝛾𝛥𝑡. Точное выражение для координаты на k-ом шаге
метода Heun:
(︂
1−
𝑥𝑘 = 𝑥0 +
(︁
𝛾 2 Δt2
2
− 𝛾Δt + 1
𝛾
)︁𝑘 )︂
𝑣0
+ 𝑁𝑥 (0,𝜎𝑥2𝑘 )
127
где
)︁𝑘
(︁
2
2
2Δt 𝜎 𝛾 Δt
2
(︀
𝛾 𝛾 2 Δt2 −
2 2
)︁𝑘
(︁
2
2
4Δt𝜎 𝛾 Δt
− 𝛾Δt + 1
2
(︀
)︀
𝛾 2 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
2
− 𝛾Δt + 1
)︀ −
=
2𝛾Δt + 4
(︁
)︁𝑘
(︁
)︁2𝑘
2
2
2 𝛾 2 Δt
2 𝛾 2 Δt
8𝜎
− 𝛾Δt + 1
Δt𝜎
− 𝛾Δt + 1
2
2
)︀ +
(︀
)︀
+ 3 (︀ 2 2
𝛾 𝛾 Δt − 2𝛾Δt + 4
𝛾 2 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
(︁
)︁2𝑘
2
2 𝛾 2 Δt
2𝜎
− 𝛾Δt + 1
2
𝑘Δt3 𝜎 2
2𝑘Δt2 𝜎 2
(︀
)︀
(︀
)︀
− 3 2 2
+ 2 2
−
𝛾 𝛾 Δt − 2𝛾Δt + 4
𝛾 Δt − 2𝛾Δt + 4 𝛾 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
2Δt2 𝜎 2
4𝑘Δt𝜎 2
)︀ + (︀
)︀
− (︀ 2 2
𝛾 𝛾 Δt − 2𝛾Δt + 4
𝛾 2 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
3Δt𝜎 2
6𝜎 2
)︀ − (︀
)︀
+ 2 (︀ 2 2
𝛾 𝛾 Δt − 2𝛾Δt + 4
𝛾 3 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
𝜎𝑥2𝑘
Аналогичное выражение для скорости на k-ом шаге метода Heun:
(︂
𝑣𝑘 =
𝛾 2 Δt2
− 𝛾Δt + 1
2
)︂𝑘
𝑣0 + 𝑁𝑣 (0,𝜎𝑣2𝑘 )
где
(𝛾Δt − 2)
𝜎𝑣2𝑘
=
(︂(︁
2
2
𝛾 Δt
2
− 𝛾Δt + 1
)︁2𝑘
)︂
− 1 𝜎2
(︀
)︀
𝛾 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
Отсюда сразу следует асимптотика квадрата скорости на бесконечности:
𝜎 2 (2 − 𝛾Δt)
)︀
⟨𝑣𝑘 ⟩ −−−→
𝛾 𝛾 2 Δt2 − 2𝛾Δt + 4
2
𝑘→∞
(︀
Асимптотика среднего квадрата смещения:
Δt𝑘𝜎 2
⟨𝑥𝑘 ⟩ −−−→
𝛾2
2
𝑘→∞
Метод implicit midpoint
Точное выражение для координаты на k-ом шаге метода implicit midpoint:
(︂
(︁
)︁𝑘 )︂
𝑣0
1 − 2−𝛾Δt
𝛾Δt+2
𝑥𝑘 = 𝑥0 +
+ 𝑁𝑥 (0,𝜎𝑥2𝑘 )
𝛾
128
где
𝜎𝑥2𝑛 =
(︂ (︁
)︂
)︁𝑘 (︁
)︁2𝑘
2−𝛾Δt
4 𝛾Δt+2
− 2−𝛾Δt
+ 2𝑘𝛾Δt − 3 𝜎 2
𝛾Δt+2
2𝛾 3
Аналогичное выражение для скорости на k-ом шаге метода implicit midpoint:
)︂𝑘
(︂
2 − 𝛾Δt
𝑣𝑘 =
𝑣0 + 𝑁𝑣 (0,𝜎𝑣2𝑘 )
𝛾Δt + 2
где
𝜎𝑣2𝑘 =
(︂
(︁
)︁2𝑘 )︂
1 − 2−𝛾Δt
𝜎2
𝛾Δt+2
2𝛾
Отсюда сразу следует асимптотика квадрата скорости на бесконечности:
𝜎2
⟨𝑣𝑘 ⟩ −−−→
2𝛾
2
𝑘→∞
Видно, что она не зависит от размера шага и в точности равна асимптотике
аналитического решения.
Асимптотика среднего квадрата смещения:
𝑘→∞
⟨𝑥𝑘 2 ⟩ −−−→
Δt𝑘𝜎 2
𝛾2
Метод no correlation
Точное выражение для координаты на k-ом шаге метода без корреляции:
(︀
)︀
1 − 𝑒−𝑘𝛾Δt 𝑣0
𝑥𝑘 = 𝑥0 +
+ 𝑁𝑥 (0, 𝜎𝑥2𝑘 )
𝛾
где
𝜎𝑥2𝑘 =
(︀
)︀
𝑒−2𝛾Δt 𝑒𝛾Δt (4𝑘 − 2) + 2𝑒−(𝑘−2)𝛾Δt − 𝑒−2(𝑘−1)𝛾Δt + 2𝑒−(𝑘−1)𝛾Δt − 2𝑘 − 𝑒2𝛾Δt (𝑘(2 − 2𝛾Δt) + 1) 𝜎 2
2𝛾 3
Аналогичное выражение для скорости на k-ом шаге метода без корреляции:
𝑣𝑘 = 𝑒−𝑘𝛾Δt 𝑣0 + 𝑁𝑣 (0, 𝜎𝑣2𝑘 )
где
)︀
1 − 𝑒−2𝑘𝛾Δt 𝜎 2
=
2𝛾
(︀
𝜎𝑣2𝑘
129
Видно, что выражение для скорости полностью совпадает с точным аналитиче­
ским решением.
Отсюда сразу следует асимптотика квадрата скорости на бесконечности:
𝜎2
⟨𝑣𝑘 ⟩ −−−→
2𝛾
2
𝑘→∞
Асимптотика среднего квадрата смещения:
(︀
)︀
𝑘𝜎 2 𝑒−2𝛾Δt 𝑒2𝛾Δt (𝛾Δt − 1) + 2𝑒𝛾Δt − 1
⟨𝑥𝑘 ⟩ −−−→
𝛾3
2
𝑘→∞
Метод full correlation
Точное выражение для координаты на k-ом шаге метода без корреляции:
(︀
)︀
1 − 𝑒−𝑘𝛾Δt 𝑣0
𝑥𝑘 = 𝑥0 +
+ 𝑁𝑥 (0, 𝜎𝑥2𝑘 )
𝛾
где
𝑘Δt𝜎 2
=
𝛾2
√︀
√
𝑒(𝑘−1)𝛾Δt−𝑘𝛾Δt 1 − 𝑒−2𝛾Δt 𝑘 𝑒2𝛾Δt (2𝛾Δt − 3) + 4𝑒𝛾Δt − 1𝜎 2
−
(−1 + 𝑒𝛾Δt ) 𝛾 3
√︀
√
1 − 𝑒−2𝛾Δt 𝑘 𝑒2𝛾Δt (2𝛾Δt − 3) + 4𝑒𝛾Δt − 1𝜎 2
+
(−1 + 𝑒𝛾Δt ) 𝛾 3
√︀
√
𝑒−𝑘𝛾Δt 1 − 𝑒−2𝛾Δt 𝑒2𝛾Δt (2𝛾Δt − 3) + 4𝑒𝛾Δt − 1𝜎 2
+
(−1 + 𝑒𝛾Δt ) 𝛾 3
√︀
√
1 − 𝑒−2𝛾Δt 𝑒2𝛾Δt (2𝛾Δt − 3) + 4𝑒𝛾Δt − 1𝜎 2 𝑒−𝛾Δt 𝜎 2 𝑒−2𝑘𝛾Δt 𝜎 2
−
−
−
(−1 + 𝑒𝛾Δt ) 𝛾 3
𝛾3
2𝛾 3
𝑒−𝑘𝛾Δt 𝜎 2 𝑒−(𝑘+1)𝛾Δt 𝜎 2 𝑒−2𝛾Δt 𝑘𝜎 2 2𝑒−𝛾Δt 𝑘𝜎 2 𝑘𝜎 2
𝜎2
+
+
−
+
−
−
𝛾3
𝛾3
𝛾3
𝛾3
𝛾3
2𝛾 3
𝜎𝑥2𝑘
Аналогичное выражение для скорости на k-ом шаге метода без корреля­
ции:
𝑣𝑘 = 𝑒−𝑘𝛾Δt 𝑣0 + 𝑁𝑣 (0, 𝜎𝑣2𝑘 )
где
)︀
1 − 𝑒−2𝑘𝛾Δt 𝜎 2
=
2𝛾
(︀
𝜎𝑣2𝑘
130
Видно, что выражение для скорости полностью совпадает с точным аналитиче­
ским решением.
Отсюда сразу следует асимптотика квадрата скорости на бесконечности:
𝜎2
⟨𝑣𝑘 ⟩ −−−→
2𝛾
2
𝑘→∞
Асимптотика среднего квадрата смещения:
𝑘→∞
⟨𝑥𝑘 2 ⟩ −−−→
(︁
)︁
√︀
𝑘𝜎 2 𝑒−2𝛾Δt 𝑒2𝛾Δt (𝛾Δt − 1) + 2𝑒𝛾Δt + (𝑒2𝛾Δt − 1) (𝑒2𝛾Δt (2𝛾Δt − 3) + 4𝑒𝛾Δt − 1) − 1
𝛾3
131
Список литературы
1. Bernard G., Shevell M. I. Channelopathies: a review // Pediatric neurology. 2008. Vol. 38,
no. 2. P. 73–85.
2. Rouleau G., Gaspar C. Ion Channel Diseases. Advances in genetics. Elsevier Science, 2011.
3. Fontaine B. Primary periodic paralysis and muscle sodium channel // Advances in nephrol­
ogy from the Necker Hospital. 1993. Vol. 23. P. 191–197.
4. Sternberg D., Maisonobe T., Jurkat-Rott K. et al. Hypokalaemic periodic paralysis type 2
caused by mutations at codon 672 in the muscle sodium channel gene SCN4A // Brain.
2001. Vol. 124, no. 6. P. 1091–1099.
5. Kullmann D. M., Waxman S. G. Neurological channelopathies: new insights into disease
mechanisms and ion channel function // The Journal of physiology. 2010. Vol. 588, no. 11.
P. 1823–1827.
6. Kass R. S. et al. The channelopathies: novel insights into molecular and genetic mechanisms
of human disease // The Journal of clinical investigation. 2005. Vol. 115, no. 8. P. 1986–1989.
7. North R. A. Molecular physiology of P2X receptors // Physiological reviews. 2002. Vol. 82,
no. 4. P. 1013–1067.
8. Yang D., Elner S. G., Clark A. J. et al. Activation of P2X receptors induces apoptosis in
human retinal pigment epithelium // Investigative ophthalmology & visual science. 2011.
Vol. 52, no. 3. P. 1522–1530.
9. White N., Burnstock G. P2 receptors and cancer // Trends in pharmacological sciences.
2006. Vol. 27, no. 4. P. 211–217.
10. Burnstock G. Purinergic signalling and disorders of the central nervous system // Nature
Reviews Drug Discovery. 2008. Vol. 7, no. 7. P. 575–590.
11. Maffeo C., Bhattacharya S., Yoo J. et al. Modeling and simulation of ion channels // Chem­
ical reviews. 2012. Vol. 112, no. 12. P. 6250–6284.
12. Ding S., Sachs F. Single Channel Properties of P2X2 Purinoceptors // J. Gen. Physiol. 1999.
Vol. 113, no. 5. P. 695–720.
13. Turchenkov D. A., Bystrov V. S. Conductance Simulation of the Purinergic P2X2, P2X4,
and P2X7 Ionic Channels Using a Combined Brownian Dynamics and Molecular Dynamics
Approach // The Journal of Physical Chemistry B. 2014. Vol. 118, no. 31. P. 9119–9127.
14. Турченков Д. А., Бороновский С. Е., Нарциссов р. Р. Моделирование диффузии ионов
в синаптической щели с использованием стохастической модели Ланжевена в прибли­
жении диэлектрического трения // Биофизика. 2013. Т. 58, № 6. С. 1013–1021.
15. Турченков Д. А., Турченков М. А. Aнализ упрощения разностных схем для уравнения
Ланжевена, влияние учета корреляции приращений // Компьютерные исследования и
моделирование. 2012. Т. 4, № 2. С. 325–338.
16. Турченков Д. А., Быстров В. С. Экспериментальные и теоретические методы изучения
ионных каналов // Математическая биология и биоинформатика. 2014. Т. 9, № 1.
С. 112–148.
132
17. Шайтан К. В., Шайтан А. К., Турченков Д. А. и др. Алгоритмы и методы исследования
трехмерных атомистических моделей молекул белков на основе анализа картины рассея­
ния мощного рентгеновского лазерного излучения // Наноструктуры. Математическая
физика и моделирование. 2013. Т. 9, № 2. С. 33–74.
18. Turchenkov D. A. Determination of System Diffusion Coefficient // Journal of Nature Science
and Sustainable Technology. 2013. Vol. 7, no. 4. P. 327–333.
19. Turchenkov D. A., Turchenkov M. A. Simulation of conductivity of ionic channel purinergic
P2X2 receptor using combined Brownian and molecular dynamic approach // Computational
and Theoretical Modeling of Biomolecular Interactions / Ed. by y Rubin A. B. et al.;
Moscow-Izhevsk: Institute of Computer Science. 2013. P. 77–79.
20. Turchenkov D. A. Determination diffusion coefficient of Brownian particles using velocity or
force autocorrelation func-tion in molecular dynamic simulations // Quantitative Chemistry,
Biochemistry and Biology. Steps Ahead / Ed. by y Gennady E. Zaikov et al.; New-York:
Nova Publishers. 2013. P. 271–277.
21. Турченков Д. А., Быстров В. С., Турченков М. А. Анализ конфигурации селективно­
го фильтра ионных каналов методами квантовой химии // Актуальные вопросы есте­
ственных наук: физика, химия, биология / Под ред. проф. Обухова А.Г.; Москва. 2014.
С. 35–38.
22. Турченков Д. А., Быстров В. С., Турченков М. А. Применение методов квантовой хи­
мии для ана-лиза молекул фосфолипи-дов в биологических мембранах // Актуальные
вопросы современных физико-математических наук / Под ред. проф. Сынзыныса Б.
И.; Москва. 2014. С. 63–66.
23. Turchenkov D. A., Bystrov V. S. Implementation of multiscale modeling technique of ionic
channel conductance using combined QM/MD/BD dynamics approach // Доклады V Меж­
дународной конференции «Математическая биология и биоинформатика» / Под ред.
проф. Лахно В.Д.; Москва: МАКС Пресс. 2014. С. 118–119.
24. Турченков Д. А., Бороновский С. Е., Нарциссов р. Р. Моделирование диффузии ионов
с использованием стохастического интегрирования уравне-ния Ланжевена // Сборник
трудов научной сессии НИЯУ МИФИ, Москва. 2012. Т. 2. С. 137.
25. Boronovskiy S. E., Turchenkov D. A., Nartsissov. Modeling of ion diffusion in water solu­
tions based on methods of Langevin dy-namics // Abstract Book 15th Workshop of the
International Study Group for Systems Biology, Ameland. 2012. P. 42.
26. Турченков Д. А., Бороновский С. Е., Нарциссов р. Р. Моделирование диффузии ионов
в стохастической модели Ланжевена с использованием прибли-жения диэлектрического
трения // Материалы докладов IV съезда биофизиков России, Нижний Новгород. 2012.
Т. 1. С. 293.
27. Турченков Д. А. Метод вычисления коэф-фициента трения бро-уновских частиц на
основе автокорреляционной функции скорости или силы при моделировании биомем­
бран методами молекулярной динамики // Материалы докладов IV съезда биофизиков
России, Нижний Новгород. 2012. Т. 1. С. 294.
28. Турченков Д. А., Турченков М. А. Определение коэффициента диффузии броуновских
частиц на основе автокорреляционной функции скорости и силы методами молекуляр­
ной динамики // Материалы ХII ежегодной международной молодежной конференции
ИБХФ РАН-Вузы, Москва. 2012.
133
29. Турченков Д. А., Быстров В. С. Моделирование проводимости ионного канала на приме­
ре пуринергического рецептора P2X2 типа комбинированными методами броуновской
и молекулярной динамики // Материалы ХIII ежегодной международной молодежной
конференции ИБХФ РАН-Вузы, Москва. 2013.
30. Турченков Д. А., Турченков М. А. Интерактивная студия моделирования Patch Clamp
Simulation (PCS) // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ:
№ 2013618398. 2013.
31. Шуров Д. Л., Шайтан А. К., Турченков Д. А. и др. Программный комплекс реконструк­
ции пространственной структуры белков и комплексов на основе карт электронной плот­
ности низкого разрешения // Свидетельство государственной регистрации программы
для ЭВМ: № 2013618398. 2013.
32. Leuchtag H. R. Voltage-sensitive ion channels: biophysics of molecular excitability. Springer,
2008.
33. Leuchtag H. R., Bystrov V. S. Theoretical models of conformational transitions and ion con­
duction in voltage-dependent ion channels: Bioferroelectricity and superionic conduction //
Ferroelectrics. 1999. Vol. 220, no. 1. P. 157–204.
34. Gennis R. B. Biomembranes. Springer, 1989. P. 553.
35. Sperelakis N. Cell Physiology Source Book. Elsevier Science, 2001.
36. Lines M. E., Glass A. M. Principles and applications of ferroelectrics and related materials.
Oxford University Press, 1977.
37. Smolenskiy G. Ferroelectrics and Related Materials. Ferroelectricity and related phenomena.
Gordon and Breach Science Publishers, 1984.
38. Richard Leuchtag H. Fit of the dielectric anomaly of squid axon membrane near heat-block
temperature to the ferroelectric Curie-Weiss law // Biophysical chemistry. 1995. Vol. 53,
no. 3. P. 197–205.
39. Bystrov V. S. Ferroelectric liquid crystal models of ion channels and gating phenomena in
biological membranes // Ferroelectrics Letters Section. 1997. Vol. 23, no. 3-4. P. 87–93.
40. Bystrov V. S., Leuchtag H. R. Bioferroelectricity: Modeling the transitions of the sodium
channel // Ferroelectrics. 1994. Vol. 155, no. 1. P. 19–24.
41. Leuchtag H., Bystrov V. Ferroelectricity in liquid crystals, films, microtubules and voltage­
gated ion channels // Biophysical Journal. 1999. Vol. 76, no. 1. P. A330–A330.
42. Hille B. Ion channels of excitable membranes. Sinauer Sunderland, MA, 2001. Vol. 507.
43. North R. A. Ligand-and voltage-gated ion channels. CRC Press, 1995. Vol. 2.
44. Peracchia C. Handbook of Membrane Channels: Molecular and Cellular Physiology. Access
Online via Elsevier, 1994.
45. Jan L. Y., Jan Y. N. Voltage-sensitive ion channels // Cell. 1989. Vol. 56, no. 1. P. 13–25.
134
46. Eisenman G., Dani J. An introduction to molecular architecture and permeability of ion
channels // Annual review of biophysics and biophysical chemistry. 1987. Vol. 16, no. 1.
P. 205–226.
47. Stevens C. F. Sodium channel structure-function relations. // Society of General Physiolo­
gists series. 1986. Vol. 41. P. 99–108.
48. Coste B., Xiao B., Santos J. S. et al. Piezo proteins are pore-forming subunits of mechanically
activated channels // Nature. 2012. Vol. 483, no. 7388. P. 176–181.
49. Kim S. E., Coste B., Chadha A. et al. The role of Drosophila Piezo in mechanical nocicep­
tion // Nature. 2012. Vol. 483, no. 7388. P. 209–212.
50. Hucho F., Weise C. Ligand-Gated Ion Channels // Angewandte Chemie International Edi­
tion. 2001. Vol. 40, no. 17. P. 3100–3116.
51. Peyrard M. Nonlinear excitations in biomolecules: Les Houches School, May 30 to June 4,
1994. Centre de physique des Houches. Springer, 1995.
52. Leuchtag H. R. Indications of the existence of ferroelectric units in excitable-membrane
channels // Journal of theoretical biology. 1987. Vol. 127, no. 3. P. 321–340.
53. Leuchtag H. R. Phase transitions and ion currents in a model ferroelectric channel unit //
Journal of theoretical biology. 1987. Vol. 127, no. 3. P. 341–359.
54. Bystrov V. S., Lakhno V. D., Molchanov M. Ferroelectric active models of ion channels in
biomembranes // Journal of theoretical biology. 1994. Vol. 168, no. 4. P. 383–393.
55. Gordon A., Vugmeister B., Rabitz H. et al. A ferroelectric model for the generation and
propagation of an action potential and its magnetic field stimulation // Ferroelectrics. 1999.
Vol. 220, no. 1. P. 291–304.
56. Bystrov V. S., Bdikin I. K., Heredia A. et al. Piezoelectricity and Ferroelectricity in biomate­
rials: from proteins to self-assembled peptide nanotubes // Piezoelectric Nanomaterials for
Biomedical Applications. 2012. P. 187–211.
57. Gruverman A., Rodriguez B. J., Kalinin S. V. Electromechanical behavior in biological sys­
tems at the nanoscale // Scanning Probe Microscopy. 2007. P. 615–633.
58. Liu Y., Zhang Y., Chow M.-J. et al. Biological ferroelectricity uncovered in aortic walls by
piezoresponse force microscopy // Physical review letters. 2012. Vol. 108, no. 7. P. 078103.
59. Kalinin S. V., Rodriguez B. J., Shin J. et al. Bioelectromechanical imaging by scanning probe
microscopy: Galvani’s experiment at the nanoscale // Ultramicroscopy. 2006. Vol. 106, no. 4.
P. 334–340.
60. Kalinin S. V., Jesse S., Rodriguez B. J. et al. Recent advances in electromechanical imaging
on the nanometer scale: Polarization dynamics in ferroelectrics, biopolymers, and liquid
imaging // Jpn. J. Appl. Phys. 2007. Vol. 46. P. 5674–5685.
61. Znamenskiy V. S., Green M. E. Quantum calculations on hydrogen bonds in certain water
clusters show cooperative effects // Journal of chemical theory and computation. 2007.
Vol. 3, no. 1. P. 103–114.
135
62. Riahi S., Roux B., Rowley C. N. QM/MM molecular dynamics simulations of the hydration of
Mg (II) and Zn (II) ions // Canadian Journal of Chemistry. 2013. Vol. 91, no. 7. P. 552–558.
63. Bystrov
V.
S.
Компьютерное
моделирование
Биосегнетожлектричество: Пептидные нанотрубки.
Publishing, Saarbruecken, 2013.
молекулярных
структур.
LAP LAMBERT Academic
64. Kariev A. M., Green M. E. Quantum Calculations on Potassium Channel Selectivity and
Gating // Biophysical Journal. 2009. Vol. 96, no. 3. P. 192a.
65. Bucher D., Rothlisberger U., Guidoni L., Carloni P. QM/MM Car-Parrinello molecular dy­
namics study of selectivity in a potassium channel // ABSTRACTS OF PAPERS OF THE
AMERICAN CHEMICAL SOCIETY / AMER CHEMICAL SOC 1155 16TH ST, NW,
WASHINGTON, DC 20036 USA. Vol. 228. 2004. P. U247–U247.
66. Papazian D. M., Shao X. M., Seoh S.-A. et al. Electrostatic interactions of S4 voltage sensor
in shaker K< sup>+</sup> channel // Neuron. 1995. Vol. 14, no. 6. P. 1293–1301.
67. Sapronova A., Bystrov V., Green M. E. Ion channel gating and proton transport // Journal
of Molecular Structure: THEOCHEM. 2003. Vol. 630, no. 1. P. 297–307.
68. Sapronova A., Bystrov V. S., Green M. E. Water, proton transfer, and hydrogen bonding in
ion channel gating // Frontiers in Bioscience. 2003. Vol. 8. P. s1356–s1370.
69. Green M. E. A possible role for phosphate in complexing the arginines of S4 in voltage gated
channels // Journal of theoretical biology. 2005. Vol. 233, no. 3. P. 337–341.
70. Pradhan P., Ghose R., Green M. E. Voltage gating and anions, especially phosphate: a
model system // Biochimica et Biophysica Acta (BBA)-Biomembranes. 2005. Vol. 1717,
no. 2. P. 97–103.
71. Yu W., Lopes P. E., Roux B., MacKerell Jr A. D. Six-site polarizable model of water based
on the classical Drude oscillator // The Journal of chemical physics. 2013. Vol. 138.
72. Whitfield T. W., Varma S., Harder E. et al. Theoretical study of aqueous solvation of K+
comparing ab initio, polarizable, and fixed-charge models // Journal of chemical theory and
computation. 2007. Vol. 3, no. 6. P. 2068–2082.
73. Chowdhary J., Harder E., Lopes P. E. et al. A Polarizable Force Field of Dipalmitoylphos­
phatidylcholine Based on the Classical Drude Model for Molecular Dynamics Simulations of
Lipids // The Journal of Physical Chemistry B. 2013. Vol. 117, no. 31. P. 9142–9160.
74. Yigzawe T. M., Sadus R. J. Thermodynamic properties of liquid water from a polarizable
intermolecular potential // The Journal of chemical physics. 2013. Vol. 138.
75. Hodgkin A., Katz B. The effect of sodium ions on the electrical activity of the giant axon of
the squid // The Journal of Physiology. 1949. Vol. 108, no. 1. P. 37–77.
76. Hodgkin A., Huxley A. The components of membrane conductance in the giant axon of
Loligo // The Journal of physiology. 1952. Vol. 116, no. 4. P. 473–496.
77. Cole K., Moore J. Ionic current measurements in the squid giant axon membrane // The
Journal of general physiology. 1960. Vol. 44, no. 1. P. 123–167.
136
78. Cole K., Moore J. Potassium ion current in the squid giant axon: dynamic characteristic //
Biophysical Journal. 1960. Vol. 1, no. 1. P. 1–14.
79. Antonov V., Chernysh A., Pasechnik V. и др. Biophysics. Moscow: Vlados, 2003.
80. Ogden D. Microelectrode techniques: the Plymouth Workshop handbook. Company of Biol­
ogists, 1994.
81. Purves D. Neuroscience. Sinauer Associates, 2012.
82. Walz W. Patch-Clamp Analysis: Advanced Techniques. Neuromethods Series. Humana Press,
2007.
83. Brennecke R., Lindemann B. Theory of a membrane-voltage clamp with discontinuous feed­
back through a pulsed current clamp // Review of Scientific Instruments. 1974. Vol. 45,
no. 2. P. 184–188.
84. Wilson W., Goldner M. Voltage clamping with a single microelectrode // Journal of neuro­
biology. 1975. Vol. 6, no. 4. P. 411–422.
85. Molleman A. Patch Clamping: An Introductory Guide to Patch Clamp Electrophysiology.
Wiley, 2002.
86. Smith T. G., Lecar H., Redman S. J., Gage P. W. Voltage and patch clamping with micro­
electrodes. American Physiological Society Washington, 1985.
87. Hamill O., Marty A., Neher E. et al. Improved patch-clamp techniques for high-resolution
current recording from cells and cell-free membrane patches // Pflugers Archiv. 1981. Vol.
391, no. 2. P. 85–100.
88. Windhorst U., Johansson H. Modern Techniques in Neuroscience Research: 33 Tables.
Springer, 1999.
89. Penner R. A practical guide to patch clamping // Single-channel recording. Springer, 1995.
P. 3–30.
90. Zhao Y., Inayat S., Dikin D. et al. Patch clamp technique: Review of the current state of
the art and potential contributions from nanoengineering // Proceedings of the Institution
of Mechanical Engineers, Part N: Journal of Nanoengineering and Nanosystems. 2008. Vol.
222, no. 1. P. 1–11.
91. Fertig N., Blick R. H., Behrends J. C. Whole cell patch clamp recording performed on a
planar glass chip // Biophysical journal. 2002. Vol. 82, no. 6. P. 3056–3062.
92. Fulton J. Biological Vision: A 21st Century Tutorial. Trafford, 2004.
93. Horn R., Marty A. Muscarinic activation of ionic currents measured by a new whole-cell
recording method. // The Journal of General Physiology. 1988. Vol. 92, no. 2. P. 145–159.
94. Korn S., Horn R. Influence of sodium-calcium exchange on calcium current rundown and the
duration of calcium-dependent chloride currents in pituitary cells, studied with whole cell
and perforated patch recording. // The Journal of general physiology. 1989. Vol. 94, no. 5.
P. 789–812.
137
95. Chad J., Kalman D., Armstrong D. The role of cyclic AMP-dependent phosphorylation in
the maintenance and modulation of voltage-activated calcium channels. // Society of General
Physiologists Series. 1987. Vol. 42. P. 167.
96. Becq F. Ionic channel rundown in excised membrane patches // Biochimica et Biophysica
Acta (BBA)-Reviews on Biomembranes. 1996. Vol. 1286, no. 1. P. 53–63.
97. Tang X. D., Hoshi T. Rundown of the hyperpolarization-activated KAT1 channel involves
slowing of the opening transitions regulated by phosphorylation // Biophysical journal. 1999.
Vol. 76, no. 6. P. 3089–3098.
98. Belles B., Hescheler J., Trautwein W. et al. A possible physiological role of the Ca-dependent
protease calpain and its inhibitor calpastatin on the Ca current in guinea pig myocytes //
Pflügers Archiv. 1988. Vol. 412, no. 5. P. 554–556.
99. Belles B., Malecot C., Hescheler J., Trautwein W. “Run-down” of the Ca current during
long whole-cell recordings in guinea pig heart cells: role of phosphorylation and intracellular
calcium // Pflügers Archiv. 1988. Vol. 411, no. 4. P. 353–360.
100. Bezanilla F., Caputo C., DiPolo R., Rojas H. Potassium conductance of the squid giant axon
is modulated by ATP // Proceedings of the National Academy of Sciences. 1986. Vol. 83,
no. 8. P. 2743–2745.
101. Fernandez J., Fox A., Krasne S. Membrane patches and whole-cell membranes: a comparison
of electrical properties in rat clonal pituitary (GH3) cells. // The Journal of physiology. 1984.
Vol. 356, no. 1. P. 565–585.
102. Cepeda C., Colwell C. S., Itri J. N. et al. Dopaminergic modulation of NMDA-induced whole
cell currents in neostriatal neurons in slices: contribution of calcium conductances // Journal
of neurophysiology. 1998. Vol. 79, no. 1. P. 82–94.
103. Horn R., Korn S. J. Prevention of rundown in electrophysiological recording // Methods in
enzymology. 1992. Vol. 207. P. 149–155.
104. Armstrong D., Eckert R. Voltage-activated calcium channels that must be phosphorylated
to respond to membrane depolarization // Proceedings of the National Academy of Sciences.
1987. Vol. 84, no. 8. P. 2518–2522.
105. Marty A., Neher E. Tight-seal whole-cell recording // Single-channel recording. Springer,
1995. P. 31–52.
106. Boulton A., Baker G., Walz W. Patch-Clamp Applications and Protocols. Humana Press
Incorporated, 1995.
107. Rae J., Cooper K., Gates P., Watsky M. Low access resistance perforated patch recordings
using amphotericin B // Journal of neuroscience methods. 1991. Vol. 37, no. 1. P. 15–26.
108. Korn S., Marty A., Connor J., Horn R. Perforated patch recording // Methods Neurosci.
1991. Vol. 4, no. 26. P. 264–273.
109. De Kruijff B., Demel R. Polyene antibiotic-sterol interactions in membranes of Acholeplasma
laidlawii cells and lecithin liposomes. III. Molecular structure of the polyene antibiotic-choles­
terol complexes // Biochimica et Biophysica Acta (BBA)-Biomembranes. 1974. Vol. 339,
no. 1. P. 57–70.
138
110. Akaike N., Harata N. Nystatin perforated patch recording and its applications to analyses
of intracellular mechanisms // The Japanese journal of physiology. 1994. Vol. 44, no. 5.
P. 433–473.
111. Zeidler U., Barth C., Stark G. Radiation-induced and free radical-mediated inactivation of
ion channels formed by the polyene antibiotic amphotericin B in lipid membranes: effect of
radical scavengers and single-channel analysis // International journal of radiation biology.
1995. Vol. 67, no. 2. P. 127–134.
112. Kyrozis A., Reichling D. B. Perforated-patch recording with gramicidin avoids artifactual
changes in intracellular chloride concentration // Journal of neuroscience methods. 1995.
Vol. 57, no. 1. P. 27–35.
113. Hladky S., Haydon D. Ion movements in gramicidin channels // Current topics in membranes
and transport. 1984. Vol. 21. P. 327–372.
114. Fan J.-S., Palade P. Perforated patch recording with b-escin // Pflugers Archiv. 1998. Vol.
436, no. 6. P. 1021–1023.
115. Launikonis B. S., Stephenson D. G. Effects of b-escin and saponin on the transverse-tubular
system and sarcoplasmic reticulum membranes of rat and toad skell muscle // Pflugers
Archiv. 1999. Vol. 437, no. 6. P. 955–965.
116. Ishibashi H., Moorhouse A. J., Nabekura J. Perforated Whole-Cell Patch-Clamp Technique:
A User’s Guide // Patch Clamp Techniques. Springer, 2012. P. 71–83.
117. Gao J., Truhlar D. G. Quantum mechanical methods for enzyme kinetics // Annual Review
of Physical Chemistry. 2002. Vol. 53, no. 1. P. 467–505.
118. Kamerlin S. C., Vicatos S., Dryga A., Warshel A. Coarse-grained (multiscale) simulations in
studies of biophysical and chemical systems // Annual Review of Physical Chemistry. 2011.
Vol. 62. P. 41–64.
119. Modi N., Winterhalter M., Kleinekathöfer U. Computational modeling of ion transport
through nanopores // Nanoscale. 2012. Vol. 4, no. 20. P. 6166–6180.
120. Comer J., Aksimentiev A. Predicting the DNA sequence dependence of nanopore ion current
using atomic-resolution Brownian dynamics // The Journal of Physical Chemistry C. 2012.
Vol. 116, no. 5. P. 3376–3393.
121. Carr R., Comer J., Ginsberg M. D., Aksimentiev A. Atoms-to-microns model for small solute
transport through sticky nanochannels // Lab on a Chip. 2011. Vol. 11, no. 22. P. 3766–3773.
122. Levitt D. G. Modeling of ion channels // The Journal of general physiology. 1999. Vol. 113,
no. 6. P. 789–794.
123. Mackay D., Berens P., Wilson K., Hagler A. Structure and dynamics of ion transport through
gramicidin A // Biophysical journal. 1984. Vol. 46, no. 2. P. 229–248.
124. Kreusch A., Schulz G. E. Refined Structure of the Porin from Rhodopseudomonas blastica:
Comparison with the Porin from Rhodobacter capsulatus // Journal of molecular biology.
1994. Vol. 243, no. 5. P. 891–905.
125. Schirmer T. General and specific porins from bacterial outer membranes // Journal of struc­
tural biology. 1998. Vol. 121, no. 2. P. 101–109.
139
126. Chang G., Spencer R. H., Lee A. T. et al. Structure of the MscL homolog from Mycobacteri­
um tuberculosis: a gated mechanosensitive ion channel // Science. 1998. Vol. 282, no. 5397.
P. 2220–2226.
127. Doyle D. A., Cabral J. M., Pfuetzner R. A. et al. The structure of the potassium channel:
molecular basis of K+ conduction and selectivity // science. 1998. Vol. 280, no. 5360.
P. 69–77.
128. Zhou Y., Morais-Cabral J. H., Kaufman A., MacKinnon R. Chemistry of ion coordination
and hydration revealed by a K+ channel–Fab complex at 2.0 Å resolution //
Nature. 2001. Vol. 414, no. 6859. P. 43–48.
129. Kholmurodov K. International Workshop: Molecular Simulation Studies in Material and
Biological Sciences. Nova Publishers, 2007.
130. Allen M. P., Tildesley D. J. Computer simulation of liquids. Oxford university press, 1989.
131. Kholmogorov K. T., Altaisky M. V., Puzynin I. V. et al. Molecular Dynamics Methods
for Simulation of Physical and Biological Processes // Physics of Elementary Particles and
Atomic Nuclei. 2003. Vol. 34, no. 2.
132. Shajtan K., Tereshkina K. Molecular dynamics of proteins and peptides. Moscow: Oikos,
2004. С. 245.
133. Poltorak O. Thermodynamics in physical chemistry. Moscow: Highest School, 1991. С. 319.
134. Nikolsky B. Physical chemistry. Theoretical and practical guide. St. P.: Chemistry, 1987.
С. 353.
135. Koneshan S., Rasaiah J. Computer simulation studies of aqueous sodium chloride solutions at
298∘ K and 683∘ K // The Journal of Chemical Physics. 2000. Vol. 113, no. 18. P. 8125–8137.
136. Uchida H., Matsuoka M. Molecular dynamics simulation of solution structure and dynamics
of aqueous sodium chloride solutions from dilute to supersaturated concentration // Fluid
Phase Equilibria. 2004. Vol. 219, no. 1. P. 49 – 54.
137. Koneshan S., Rasaiah J. C., Lynden-Bell R., Lee S. Solvent Structure, Dynamics, and Ion
Mobility in Aqueous Solutions at 25∘ C // The Journal of Physical Chemistry B. 1998. Vol.
102, no. 21. P. 4193–4204.
138. Kaplan I. Introduction to the theory of intermolecular interactions. Moscow: Science, 1982.
С. 312.
139. Verlet L. Computer "experiments"on classical fluids. I. Thermodynamical properties of
Lennard-Jones molecules // Physical review. 1967. Vol. 159, no. 1. P. 98.
140. MacKerell A. D., Bashford D., Bellott M. et al. All-atom empirical potential for molecular
modeling and dynamics studies of proteins // The Journal of Physical Chemistry B. 1998.
Vol. 102, no. 18. P. 3586–3616.
141. Kaminski G. A., Friesner R. A., Tirado-Rives J., Jorgensen W. L. Evaluation and
reparametrization of the OPLS-AA force field for proteins via comparison with accurate
quantum chemical calculations on peptides // The Journal of Physical Chemistry B. 2001.
Vol. 105, no. 28. P. 6474–6487.
140
142. Jorgensen W. L., Maxwell D. S., Tirado-Rives J. Development and testing of the OPLS
all-atom force field on conformational energetics and properties of organic liquids // Journal
of the American Chemical Society. 1996. Vol. 118, no. 45. P. 11225–11236.
143. Cornell W. D., Cieplak P., Bayly C. I. et al. A second generation force field for the simulation
of proteins, nucleic acids, and organic molecules // Journal of the American Chemical Society.
1995. Vol. 117, no. 19. P. 5179–5197.
144. Riniker S., Christ C. D., Hansen H. S. et al. Calculation of relative free energies for ligand-pro­
tein binding, solvation, and conformational transitions using the GROMOS software // The
Journal of Physical Chemistry B. 2011. Vol. 115, no. 46. P. 13570–13577.
145. Hermans J., Berendsen H. J., Van Gunsteren W. F., Postma J. P. A consistent empirical
potential for water–protein interactions // Biopolymers. 1984. Vol. 23, no. 8. P. 1513–1518.
146. Klauda J. B., Venable R. M., Freites J. A. et al. Update of the CHARMM all-atom additive
force field for lipids: validation on six lipid types // The journal of physical chemistry B.
2010. Vol. 114, no. 23. P. 7830–7843.
147. Liu Y., Chipot C., Shao X., Cai W. The effects of 7-dehydrocholesterol on the structural
properties of membranes // Physical Biology. 2011. Vol. 8, no. 5. P. 056005.
148. Daura X., Mark A. E., Van Gunsteren W. F. Parametrization of aliphatic CHn united atoms
of GROMOS96 force field // Journal of Computational Chemistry. 1998. Vol. 19, no. 5.
P. 535–547.
149. Marrink S. J., Risselada H. J., Yefimov S. et al. The MARTINI force field: coarse grained
model for biomolecular simulations // The Journal of Physical Chemistry B. 2007. Vol. 111,
no. 27. P. 7812–7824.
150. Davis R. S., Sunil Kumar P., Sperotto M. M., Laradji M. Predictions of Phase Separation
in Three-Component Lipid Membranes by the MARTINI Force Field // The Journal of
Physical Chemistry B. 2013. Vol. 117, no. 15. P. 4072–4080.
151. Shinoda W., DeVane R., Klein M. L. Zwitterionic lipid assemblies: molecular dynamics stud­
ies of monolayers, bilayers, and vesicles using a new coarse grain force field // The Journal
of Physical Chemistry B. 2010. Vol. 114, no. 20. P. 6836–6849.
152. Tai K., Fowler P., Mokrab Y. et al. Molecular modeling and simulation studies of ion channel
structures, dynamics and mechanisms // Methods in cell biology. 2008. Vol. 90. P. 233–265.
153. Arning K. Mathematical Modelling and Simulation of Ion Channels // Radon Institute for
Computational and Applied Mathematics. 2009. P. 139–142.
154. Harder E., MacKerell A. D., Roux B. Many-Body Polarization Effects and the Membrane
Dipole Potential // Journal of the American Chemical Society. 2009. Vol. 131, no. 8.
P. 2760–2761.
155. Lamoureux G., Roux B. Modeling induced polarization with classical drude oscillators: The­
ory and molecular dynamics simulation algorithm // The Journal of chemical physics. 2003.
Vol. 119. P. 3025.
156. Piquemal J.-P., Perera L., Cisneros G. A. et al. Towards accurate solvation dynamics of diva­
lent cations in water using the polarizable amoeba force field: From energetics to structure //
The Journal of chemical physics. 2006. Vol. 125, no. 5. P. 054511–054511.
141
157. Cisneros G. A., Piquemal J.-P., Darden T. A. Generalization of the Gaussian electrostat­
ic model: Extension to arbitrary angular momentum, distributed multipoles, and speedup
with reciprocal space methods // The Journal of chemical physics. 2006. Vol. 125.
P. 184101–184112.
158. Narumi T., Ohno Y., Okimoto N. et al. A 55 TFLOPS simulation of amyloid-forming pep­
tides from yeast prion Sup35 with the special-purpose computer system MDGRAPE-3 //
Proceedings of the 2006 ACM/IEEE conference on Supercomputing / ACM. 2006.
159. Kumar S., Huang C., Zheng G. et al. Scalable molecular dynamics with NAMD on the IBM
Blue Gene/L system // IBM Journal of Research and Development. 2008. Vol. 52, no. 1.2.
P. 177–188.
160. Shaw D. E., Deneroff M. M., Dror R. O. et al. Anton, a special-purpose machine for molecular
dynamics simulation // Communications of the ACM. 2008. Vol. 51, no. 7. P. 91–97.
161. Dror R. O., Jensen M. Ø., Borhani D. W., Shaw D. E. Exploring atomic resolution physiology
on a femtosecond to millisecond timescale using molecular dynamics simulations // The
Journal of general physiology. 2010. Vol. 135, no. 6. P. 555–562.
162. Pierce L. C., Salomon-Ferrer R., Augusto F. de Oliveira C. et al. Routine access to millisecond
time scale events with accelerated molecular dynamics // Journal of Chemical Theory and
Computation. 2012. Vol. 8, no. 9. P. 2997–3002.
163. Law R. J., Henchman R. H., McCammon J. A. A gating mechanism proposed from a simula­
tion of a human 𝛼7 nicotinic acetylcholine receptor // Proceedings of the National Academy
of Sciences of the United States of America. 2005. Vol. 102, no. 19. P. 6813–6818.
164. Capener C. E., Shrivastava I. H., Ranatunga K. M. et al. Homology modeling and molecular
dynamics simulation studies of an inward rectifier potassium channel // Biophysical Journal.
2000. Vol. 78, no. 6. P. 2929–2942.
165. Gaffney K., Chapman H. Imaging atomic structure and dynamics with ultrafast X-ray scat­
tering // Science. 2007. Vol. 316, no. 5830. P. 1444–1448.
166. Balescu R. Equilibrium and Non-Equilibrium Statistical Mechanics. Wiley-Interscience pub­
lication. John Wiley & Sons, 1975. P. 742.
167. Evans L. An introduction to stochastic differential equations version 1.2 // Department of
Mathematics UC Berkeley, in internet. 2002.
168. Степанов С. Стохастический мир // http://synset.com. 2011. Т. 376. С. 132.
169. Einstein A. Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung
von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen // Annalen der physik. 1905. Vol.
322, no. 8. P. 549–560.
170. Turchenkov D. A., Turchenkov M. A. Analysis of simplifications of numerical schemes for
Langevin equation, effect of variations in the correlation of augmentations // Computer
Research and Modeling. 2012. Vol. 4, no. 2.
171. Pusey P. N. Brownian Motion Goes Ballistic // Science. 2011. Vol. 332, no. 6031. P. 802–803.
172. Turq P., Lantelme F., Friedman H. L. Brownian dynamics: Its application to ionic solutions //
The Journal of Chemical Physics. 1977. Vol. 66, no. 7. P. 3039–3044.
142
173. Gunsteren W., Berendsen H. Algorithms for brownian dynamics // Molecular Physics. 1982.
Vol. 45, no. 3. P. 637–647.
174. March N., Tosi P. Introduction to Liquid State Physics. World Scientific, 2002.
175. Song C., Corry B. Ion conduction in ligand-gated ion channels: Brownian dynamics studies
of four recent crystal structures // Biophysical journal. 2010. Vol. 98, no. 3. P. 404–411.
176. Krishnamurthy V., Chung S.-H. Large-scale dynamical models and estimation for permeation
in biological membrane ion channels // Proceedings of the IEEE. 2007. Vol. 95, no. 5.
P. 853–880.
177. Singer A., Schuss Z. Brownian simulations and unidirectional flux in diffusion // Physical
Review E. 2005. Vol. 71, no. 2. P. 026115–026122.
178. Chung S.-H., Allen T. W., Hoyles M., Kuyucak S. Permeation of ions across the potas­
sium channel: Brownian dynamics studies // Biophysical Journal. 1999. Vol. 77, no. 5.
P. 2517–2533.
179. Li S. C., Hoyles M., Kuyucak S., Chung S.-H. Brownian dynamics study of ion transport in
the vestibule of membrane channels // Biophysical journal. 1998. Vol. 74, no. 1. P. 37–47.
180. Barthel J., Bachhuber K., Buchner R., Hetzenauer H. Dielectric spectra of some common
solvents in the microwave region. Water and lower alcohols // Chemical physics letters. 1990.
Vol. 165, no. 4. P. 369–373.
181. Kimura Y., Ikegami A. Local dielectric properties around polar region of lipid bilayer mem­
branes // The Journal of membrane biology. 1985. Vol. 85, no. 3. P. 225–231.
182. Plant A. L., Gueguetchkeri M., Yap W. Supported phospholipid/alkanethiol biomimetic
membranes: insulating properties // Biophysical journal. 1994. Vol. 67, no. 3. P. 1126–1133.
183. Gillespie D., Boda D. The anomalous mole fraction effect in calcium channels: a measure of
preferential selectivity // Biophysical journal. 2008. Vol. 95, no. 6. P. 2658–2672.
184. Schutz C. N., Warshel A. What are the dielectric “constants” of proteins and how to validate
electrostatic models? // Proteins: Structure, Function, and Bioinformatics. 2001. Vol. 44,
no. 4. P. 400–417.
185. Im W., Roux B. Ion permeation and selectivity of OmpF porin: a theoretical study based on
molecular dynamics, Brownian dynamics, and continuum electrodiffusion theory // Journal
of molecular biology. 2002. Vol. 322, no. 4. P. 851–869.
186. Marreiro D., Saraniti M., Aboud S. Brownian dynamics simulation of charge transport in
ion channels // Journal of Physics: Condensed Matter. 2007. Vol. 19, no. 21. P. 215203.
187. Ohshima H. Potential and Charge of a Hard Particle // Biophysical Chemistry of Biointer­
faces. P. 1–46.
188. Fogolari F., Brigo A., Molinari H. The Poisson–Boltzmann equation for biomolecular elec­
trostatics: a tool for structural biology // Journal of Molecular Recognition. 2002. Vol. 15,
no. 6. P. 377–392.
189. D’yachkov L. Analytical solution of the Poisson-Boltzmann equation in cases of spherical
and axial symmetry // Technical physics letters. 2005. Vol. 31, no. 3. P. 204–207.
143
190. Liu X., Li H., Li R., Tian R. Analytical solutions of the nonlinear Poisson–Boltzmann equa­
tion in mixture of electrolytes // Surface Science. 2013. Vol. 607, no. 0. P. 197 – 202.
191. Schoch R. B., Han J., Renaud P. Transport phenomena in nanofluidics // Rev. Mod. Phys.
2008. — Jul. Vol. 80. P. 839–883.
192. O’Brien E. P., Dima R. I., Brooks B., Thirumalai D. Interactions between hydrophobic
and ionic solutes in aqueous guanidinium chloride and urea solutions: lessons for protein
denaturation mechanism // Journal of the American Chemical Society. 2007. Vol. 129,
no. 23. P. 7346–7353.
193. Sabarinathan R., Aishwarya K., Sarani R. et al. Water-mediated ionic interactions in protein
structures // Journal of biosciences. 2011. Vol. 36, no. 2. P. 253–263.
194. Maffeo C., Schöpflin R., Brutzer H. et al. DNA-DNA Interactions in Tight Supercoils Are
Described by a Small Effective Charge Density // Phys. Rev. Lett. 2010. — Oct. Vol. 105.
P. 158101–158112.
195. Jogini V., Roux B. Electrostatics of the Intracellular Vestibule of K+ Channels // Journal
of Molecular Biology. 2005. Vol. 354, no. 2. P. 272 – 288.
196. Corry B., Kuyucak S., Chung S.-H. Dielectric self-energy in Poisson-Boltzmann and Pois­
son-Nernst-Planck models of ion channels // Biophysical journal. 2003. Vol. 84, no. 6.
P. 3594–3606.
197. Noskov S. Y., Im W., Roux B. Ion Permeation through the 𝛼-Hemolysin Channel: Theoretical
Studies Based on Brownian Dynamics and Poisson-Nernst-Plank Electrodiffusion Theory //
Biophysical journal. 2004. Vol. 87, no. 4. P. 2299–2309.
198. Grabe M., Lecar H., Jan Y. N., Jan L. Y. A quantitative assessment of models for voltage-de­
pendent gating of ion channels // Proceedings of the National Academy of Sciences of the
United States of America. 2004. Vol. 101, no. 51. P. 17640–17645.
199. Roux B., Allen T., Berneche S., Im W. Theoretical and computational models of biological
ion channels // Quarterly reviews of biophysics. 2004. Vol. 37, no. 01. P. 15–103.
200. Aguilella V. M., Queralt-Martı́n M., Aguilella-Arzo M., Alcaraz A. Insights on the permeabil­
ity of wide protein channels: measurement and interprtion of ion selectivity // Integrative
Biology. 2011. Vol. 3, no. 3. P. 159–172.
201. Baker N. A., Sept D., Joseph S. et al. Electrostatics of nanosystems: application to micro­
tubules and the ribosome // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2001. Vol. 98,
no. 18. P. 10037–10041.
202. Rocchia W., Alexov E., Honig B. Extending the applicability of the nonlinear Poisson-Boltz­
mann equation: Multiple dielectric constants and multivalent ions // The Journal of Physical
Chemistry B. 2001. Vol. 105, no. 28. P. 6507–6514.
203. Coalson R. D., Kurnikova M. G. Poisson-Nernst-Planck theory approach to the calculation
of current through biological ion channels // NanoBioscience, IEEE Transactions on. 2005.
Vol. 4, no. 1. P. 81–93.
204. Moy G., Corry B., Kuyucak S., Chung S.-H. Tests of Continuum Theories as Models of Ion
Channels. I. Poisson- Boltzmann Theory versus Brownian Dynamics // Biophysical Journal.
2000. Vol. 78, no. 5. P. 2349–2363.
144
205. Kuyucak S., Bastug T. Physics of ion channels // Journal of biological physics. 2003. Vol. 29,
no. 4. P. 429–446.
206. Gillespie D., Nonner W., Eisenberg R. S. Density functional theory of charged, hard-sphere
fluids // Physical Review E. 2003. Vol. 68, no. 3. P. 031503.
207. Roth R. Fundamental measure theory for hard-sphere mixtures: a review // Journal of
Physics: Condensed Matter. 2010. Vol. 22, no. 6. P. 063102.
208. Simakov N. A., Kurnikova M. G. Soft Wall Ion Channel in Continuum Representation with
Application to Modeling Ion Currents in 𝛼-Hemolysin // The Journal of Physical Chemistry
B. 2010. Vol. 114, no. 46. P. 15180–15190.
209. Koch W., Holthausen M. C. A Chemist’s Guide to Density Functional Theory, 2nd Edition.
Wiley-VCH, 2001.
210. Gonze X., Beuken J.-M., Caracas R. et al. First-principles computation of material proper­
ties: the ABINIT software project // Computational Materials Science. 2002. Vol. 25, no. 3.
P. 478–492.
211. O’boyle N. M., Tenderholt A. L., Langner K. M. cclib: A library for package-independent
computational chemistry algorithms // Journal of computational chemistry. 2008. Vol. 29,
no. 5. P. 839–845.
212. Froimowitz M. HyperChem: a software package for computational chemistry and molecular
modeling // Biotechniques. 1993. Vol. 14, no. 6. P. 1010–1013.
213. Castro A., Appel H., Oliveira M. et al. octopus: a tool for the application of time-dependent
density functional theory // physica status solidi (b). 2006. Vol. 243, no. 11. P. 2465–2488.
214. Kohn W., Sham L. J. Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Ef­
fects // Phys. Rev. 1965. — Nov. Vol. 140. P. 1133–1138.
215. Blatov V. A., Shevchenko A. P., Peresypkina E. B. Semi-empirical methods in quantum
chemistry // Samara, Universe-group. 2005.
216. Sadlej J. Semi-empirical methods of quantum chemistry: CNDO, INDO, NDDO. Polish
Scientific Publ, 1985.
217. Pople J. A., Beveridge D. L. Approximate molecular orbital theory. New York: McGraw-Hill,
1970. Vol. 30.
218. Aruldhas G. Quantum Mechanics 2Nd Ed. Prentice-Hall Of India Pvt, 2008.
219. Krogh-Jespersen K. The Intermediate Neglect of Differential Overlap (Indo) Model Hamil­
tonian and Its Application to Certain Ground- and Excited- State Properties of Organic
Molecules. New York: Graduate School of Arts and Science, 1976.
220. Anderson C. P. A Modification of the Intermediate Neglect of Differential Overlap Procedure
for Interprtion of Photoelectron Spectra and the Photoelectron Spectra of Some Halogen
Containing Compounds. University of Tennessee, 1973.
221. Bystrov V. S., Paramonova E. V., Bdikin I. K. et al. Molecular modeling of the piezoelectric
effect in the ferroelectric polymer poly (vinylidene fluoride)(PVDF) // Journal of molecular
modeling. 2013. P. 1–12.
145
222. Stewart J. Optimization of parameters for semiempirical methods V: Modification of NDDO
approximations and application to 70 elements // Journal of Molecular Modeling. 2007.
Vol. 13, no. 12. P. 1173–1213.
223. Hostaš J., Řezáč J., Hobza P. On the performance of the semiempirical quantum mechanical
PM6 and PM7 methods for noncovalent interactions // Chemical Physics Letters. 2013.
224. Allen T., Hoyles M., Kuyucak S., Chung S. Molecular and Brownian dynamics study of ion
selectivity and conductivity in the potassium channel // Chemical physics letters. 1999. Vol.
313, no. 1. P. 358–365.
225. Бороновский С. Моделирование движения ионов в среде на основе оптимизированного
компьютерного алгоритма и его применение для описания трансмембранных токов в
белковых каналах. Дисс. к.ф.-м.н.; МГУ им. Ломоносова, 2010. С. 130.
226. Boda D., Valiskó M., Eisenberg B. et al. The Effect of Protein Dielectric Coefficient on
the Ionic Selectivity of a Calcium Channel // J. Chem. Phys. 2006. Vol. 125, no. 3.
P. 034901–034912.
227. Silva J. R., Pan H., Wu D. et al. A Multiscale Model Linking Ion-channel Molecular Dynamics
and Electrostatics to the Cardiac Action Potential // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2009.
Vol. 106, no. 27. P. 11102–11106.
228. Ng J. A., Vora T., Krishnamurthy V., Chung S.-H. Estimating the Dielectric Constant of
the Channel Protein and Pore // Eur. Biophys. J. 2008. Vol. 37, no. 2. P. 213–222.
229. Allen T. W., Andersen O., Roux B. On the Importance of Atomic Fluctuations, Protein Flex­
ibility, and Solvent in Ion Permeation // J. Gen. Physiol. 2004. Vol. 124, no. 6. P. 679–690.
230. Berendsen H. J. C., Postma J. P. M., van Gunsteren W. F., Hermans J. Intermolecular
Forces // Pullman, B., Ed.; Reidel Publishing Company: Dordrecht. 1981. P. 331–342.
231. Calderon R. O., Attema B., DeVries G. H. Lipid Composition of Neuronal Cell Bodies and
Neurites from Cultured Dorsal Root Ganglia // Journal of Neurochemistry. 1995. Vol. 64,
no. 1. P. 424–429.
232. Oliveira T. R., Lamy M. T. Structural properties of lipid reconstructs and lipid composition
of normotensive and hypertensive rat vascular smooth muscle cell membranes. // Brazilian
journal of medical and biological research. 2009. — Sep. Vol. 42. P. 844–853.
233. Weglicki W. B., Owens K., Kennett F. F. et al. Preparation and properties of highly enriched
cardiac sarcolemma from isolated adult myocytes. // Journal of Biological Chemistry. 1980.
Vol. 255, no. 8. P. 3605–3609.
234. Owen J. S., Hutton R. A., Day R. C. et al. Platelet lipid composition and platelet aggregation
in human liver disease. // Journal of Lipid Research. 1981. Vol. 22, no. 3. P. 423–30.
235. Phillips C. L., Anderson J. A., Glotzer S. C. Pseudo-random number generation for Brownian
Dynamics and Dissipative Particle Dynamics simulations on GPU devices // Journal of
Computational Physics. 2011. Vol. 230, no. 19. P. 7191–7201.
236. Жмуров А. А., Барсегов В. А. Эффективные генераторы псевдослучайных чисел при
молекулярном моделировании на видеокартах // Компьютерные исследования и моде­
лирование. 2011. Т. 3, № 3. С. 287–308.
146
237. Allen M. P., Tildesley D. J. Computer Simulation of Liquids. Oxford University Press, USA,
1989. — jun.
238. Ermak D. L., Buckholz H. Numerical integration of the Langevin equation: Monte Carlo
simulation // Journal of Computational Physics. 1980. — Apr. Vol. 35, no. 2. P. 169–182.
239. Ciccotti G., Hoover W. Molecular-dynamics simulation of statistical-mechanical systems:
Varenna on Lake Como, Villa Monastero, 23 July-2 August 1985. Proceedings of the Inter­
national School of Physics "Enrico Fermi". North-Holland, 1986. P. 43–65.
240. Süli E., Mayers D. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press,
2003.
241. Erdey-Grúz T. Transport phenomena in aqueous solutions. A Halsted Pr. book. Hilger, 1974.
P. 512.
242. Yang Z.-Z., Li X. Ion Solvation in Water from Molecular Dynamics Simulation with the
ABEEM/MM Force Field // The Journal of Physical Chemistry A. 2005. Vol. 109, no. 16.
P. 3517–3520.
243. Obst S., Bradaczek H. Molecular Dynamics Study of the Structure and Dynamics of the
Hydration Shell of Alkaline and Alkaline-Earth Ml Cations // The Journal of Physical Chem­
istry. 1996. Vol. 100, no. 39. P. 15677–15687.
244. Nightingale E. R. Phenomenological Theory of Ion Solvation. Effective Radii of Hydrated
Ions // The Journal of Physical Chemistry. 1959. Vol. 63, no. 9. P. 1381–1387.
245. Chen J. H., Adelman S. A. Macroscopic model for solvated ion dynamics // The Journal of
Chemical Physics. 1980. Vol. 72, no. 4. P. 2819–2831.
246. Barthel J., Bachhuber K., Buchner R., Hetzenauer H. Dielectric spectra of some common
solvents in the microwave region. Water and lower alcohols // Chemical Physics Letters.
1990. Vol. 165, no. 4. P. 369 – 373.
247. Bollinger J.-C., Yvernault T. Ionic solvation from conductivity data: Application and exten­
sion of the Chen-Adelman model // Journal of Solution Chemistry. 1985. Vol. 14. P. 605–619.
248. Lee S. H., Rasaiah J. C. Molecular dynamics simulation of ionic mobility. I. Alkali ml cations
in water at 25∘ C // The Journal of Chemical Physics. 1994. Vol. 101, no. 8. P. 6964–6974.
249. Yuan-Hui L., Gregory S. Diffusion of ions in sea water and in deep-sea sediments // Geochim­
ica et Cosmochimica Acta. 1974. Vol. 38, no. 5. P. 703 – 714.
250. Mills R., Lobo V. Self-diffusion in electrolyte solutions: a critical examination of data com­
piled from the literature. Physical sciences data. Elsevier, 1989.
251. Chowdhuri S., Chandra A. Hydration structure and diffusion of ions in supercooled water:
Ion size effects // The Journal of Chemical Physics. 2003. Vol. 118, no. 21. P. 9719–9725.
252. Jiao D., King C., Grossfield A. et al. Simulation of Ca2+ and Mg2+ Solvation Using Polar­
izable Atomic Multipole Potential // The Journal of Physical Chemistry B. 2006. Vol. 110,
no. 37. P. 18553–18559.
147
253. Amira S., Spangberg D., Probst M., Hermansson K. Molecular Dynamics Simulation of
Fe2+(aq) and Fe3+(aq) // The Journal of Physical Chemistry B. 2004. Vol. 108, no. 1.
P. 496–502.
254. Goldsack D. E., Franchetto R. The viscosity of concentrated electrolyte solutions. I. Concen­
tration dependence at fixed temperature // Canadian Journal of Chemistry. 1977. Vol. 55,
no. 6. P. 1062–1072.
255. Wang P., Anderko A. Computation of dielectric constants of solvent mixtures and electrolyte
solutions // Fluid Phase Equilibria. 2001. Vol. 186, no. 1-2. P. 103 – 122.
256. Harris F. E., O’Konski C. T. Dielectric Properties of Aqueous Ionic Solutions at Microwave
Frequencies // The Journal of Physical Chemistry. 1957. Vol. 61, no. 3. P. 310–319.
257. Hasted J. B., Ritson D. M., Collie C. H. Dielectric Properties of Aqueous Ionic Solutions.
Parts I and II // The Journal of Chemical Physics. 1948. Vol. 16, no. 1. P. 1–21.
258. Wang J. H., Miller S. Tracer-diffusion in Liquids. II. The Self-diffusion as Sodium Ion in
Aqueous Sodium Chloride Solutions1 // Journal of the American Chemical Society. 1952.
Vol. 74, no. 6. P. 1611–1612.
259. Wang J. H. Tracer-diffusion in Liquids. III. The Self-diffusion of Chloride Ion in Aqueous
Sodium Chloride Solutions // Journal of the American Chemical Society. 1952. Vol. 74,
no. 6. P. 1612–1615.
260. Mills R. The Self-diffusion of Chloride Ion in Aqueous Alkali Chloride Solutions at 25∘ //
The Journal of Physical Chemistry. 1957. Vol. 61, no. 12. P. 1631–1634.
261. Mills R., Adamson A. W. The Measurement of Self-diffusion in Electrolyte Solutions1,2 //
Journal of the American Chemical Society. 1955. Vol. 77, no. 13. P. 3454–3458.
262. Friedman A. M., Kennedy J. W. The Self-diffusion Coefficients of Potassium, Cesium, Iodide
and Chloride Ions in Aqueous Solutions1 // Journal of the American Chemical Society. 1955.
Vol. 77, no. 17. P. 4499–4501.
263. Tanaka K., Nomura M. Measurements of tracer diffusion coefficients of lithium ions, chloride
ions and water in aqueous lithium chloride solutions // J. Chem. Soc., Faraday Trans. 1.
1987. Vol. 83. P. 1779–1782.
264. Wang J. H. Tracer-diffusion in Liquids. IV. Self-diffusion of Calcium Ion and Chloride Ion
in Aqueous Calcium Chloride Solutions // Journal of the American Chemical Society. 1953.
Vol. 75, no. 7. P. 1769–1770.
265. Lyons P. A., Riley J. F. Diffusion Coefficients for Aqueous Solutions of Calcium Chloride
and Cesium Chloride at 25∘ // Journal of the American Chemical Society. 1954. Vol. 76,
no. 20. P. 5216–5220.
266. Lee S. H., Rasaiah J. C. Molecular Dynamics Simulation of Ion Mobility. 2. Alkali Metal
and Halide Ions Using the SPC/E Model for Water at 25 ∘ C // The Journal of Physical
Chemistry. 1996. Vol. 100, no. 4. P. 1420–1425.
267. Покровский В., Коротько Г. Физиология человека. Москва, «Медицина», 2003. С. 656.
268. Schmidt R., Thews G. Human Physiology. Springer-Verlag, 1989.
148
269. Squire L. Fundamental Neuroscience. Academic Press, 2003.
270. Calderon R. O., Attema B., DeVries G. H. Lipid Composition of Neuronal Cell Bodies and
Neurites from Cultured Dorsal Root Ganglia // Journal of Neurochemistry. 1995. Vol. 64,
no. 1. P. 424–429.
271. Schoch R. B., Han J., Renaud P. Transport phenomena in nanofluidics // Rev. Mod. Phys.
2008. — Jul. Vol. 80. P. 839–883.
272. Салем Р. Теория двойного слоя. Физматлит, 2003.
273. Савицкая Т. А., А. К. Д., А. Ш. Т. Коллоидная химия: строение двойного электриче­
ского слоя, получение и устойчивость дисперсных систем. БГУ, 2011.
274. Schoch R. B., Han J., Renaud P. Transport phenomena in nanofluidics // Rev. Mod. Phys.
2008. — Jul. Vol. 80. P. 839–883.
275. Рубин А. Биофизика: Биофизика клеточных процессов. Высшая Школа, 1987.
276. Akaike N., Kaneda M. Glycine-gated chloride current in acutely isolated rat hypothalamic
neurons // Journal of Neurophysiology. 1989. Vol. 62, no. 6. P. 1400–1409.
277. Cunningham E. On the velocity of steady fall of spherical particles through fluid medium //
Royal Society of London. 1910. Vol. 83. P. 357–365.
278. Resibois P., Leener d. Classical kinetic theory of fluids. A Wiley-Interscience publications.
Wiley, 1977.
279. Espanol P., Zuniga I. Force autocorrelation function in Brownian motion theory // The
Journal of Chemical Physics. 1993. Vol. 98, no. 1. P. 574–580.
280. Mazur P., Oppenheim I. Molecular theory of Brownian motion // Physica. 1970. Vol. 50,
no. 2. P. 241 – 258.
281. Kirkwood J. G. The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theo­
ry // The Journal of Chemical Physics. 1946. Vol. 14, no. 3. P. 180–201.
282. Balucani U., Zoppi M. Dynamics of the Liquid State. Oxford Series on Neutron Scattering
in Condensed Matter. Clarendon Press, 1994.
283. Koneshan S., Lynden-Bell R. M., Rasaiah J. C. Friction Coefficients of Ions in Aqueous
Solution at 25∘ C // Journal of the American Chemical Society. 1998. Vol. 120, no. 46.
P. 12041–12050.
284. Yuan-Hui L., Gregory S. Diffusion of ions in sea water and in deep-sea sediments // Geochim­
ica et Cosmochimica Acta. 1974. Vol. 38, no. 5. P. 703 – 714.
285. Longsworth L. G. Diffusion Measurements, at 25∘ С, of Aqueous Solutions of Amino Acids,
Peptides and Sugars // Journal of the American Chemical Society. 1953. Vol. 75, no. 22.
P. 5705–5709.
286. Зиганшин А. У. АТФ: новая роль для старого знакомого // Химия и жизнь. 2003. № 12.
С. 18–21.
149
287. Khakh B. S., Burnstock G. The Double Life of ATP in Humans // Scientific American. 2009.
P. 84–92.
288. Fredholm B. B., Abbracchio M. P., Burnstock G. et al. Nomenclature and classification of
purinoceptors. // Pharmacological Reviews. 1994. Vol. 46, no. 2. P. 143–156.
289. Иванов А. А., Баскин И. И., Зефиров Н. С. Молекулярное моделирование аденозиновых
рецепторов // Вестник Московского университета. Химия. 2002. Т. 43, № 4. С. 231–236.
290. Khakh B. S. Molecular physiology of P2X receptors and ATP signalling at synapses //
Nature reviews. Neuroscience. 2001. Vol. 2. P. 165–174.
291. North R. A. Molecular Physiology of P2X Receptors // Physiological Reviews. 2002. Vol. 82,
no. 4. P. 1013–1067.
292. Mio K., Ogura T. Reconstruction of the P2X(2) Receptor Reveals a Vase-shaped Structure
with Lateral Tunnels Above the Membrane // Structure. 2009. Vol. 17, no. 2. P. 266–275.
293. Kawate T., Michel J. C., Birdsong W. T., Gouaux E. Crystal structure of the ATP-gated
P2X(4) ion channel in the closed state // Nature. 2009. Vol. 460. P. 592–598.
294. Eickhorst A. N., Berson A., Cockayne D. et al. Control of P2X2 Channel Permeability by the
Cytosolic Domain // The Journal of General Physiology. 2002. Vol. 120, no. 2. P. 119–131.
295. Khakh B. S., Egan T. M. Contribution of Transmembrane Regions to ATP-gated P2X2
Channel Permeability Dynamics // Journal of Biological Chemistry. 2005. Vol. 280, no. 7.
P. 6118–6129.
296. Barrera N. P., Ormond S. J., Henderson R. M. et al. Atomic Force Microscopy Imaging
Demonstrates that P2X2 Receptors Are Trimers but That P2X6 Receptor Subunits Do Not
Oligomerize // Journal of Biological Chemistry. 2005. Vol. 280, no. 11. P. 10759–10765.
297. Masin M. Identification and Characterization of the Molecular Complex Formed by the P2X2
Receptor Subunit and the Adapter Protein Fe65 in Rat Brain. 2006.
298. Li M., Kawate T., Silberberg S. D. Pore-opening mechanism in trimeric P2X receptor chan­
nels. // Nature communications. 2010. Vol. 1. P. 44.
299. Jiang L.-H., Rassendren F., Spelta V. et al. Amino Acid Residues Involved in Gating Iden­
tified in the First Membrane-spanning Domain of the Rat P2X2 Receptor // Journal of
Biological Chemistry. 2001. Vol. 276, no. 18. P. 14902–14908.
300. Hattori M., Gouaux E. Molecular Mechanism of ATP Binding and Ion Channel Activation
in P2X Receptors // Nature. 2012. Vol. 485, no. 7397. P. 207–212.
301. Jiang L.-H., Baldwin J. M., Roger S., Baldwin S. A. Insights into the Molecular Mechanisms
Underlying Mammalian P2X7 Receptor Functions and Contributions in Diseases, Revealed
by Structural Modeling and Single Nucleotide Polymorphisms // Front. Pharmacol. 2013.
Vol. 4. P. 1–17.
302. Evans R. Single Channel Properties of ATP-gated Cation Channels (P2X Receptors) Het­
erologously Expressed in Chinese Hamster Ovary Cells // Neurosci. Lett. 1996. Vol. 212,
no. 3. P. 212–214.
150
303. Priel A., Silberberg S. D. Mechanism of Ivermectin Facilitation of Human P2X4 Receptor
Channels // J. Gen. Physiol. 2004. Vol. 123, no. 3. P. 281–293.
304. Cario-Toumaniantz C., Loirand G., Ferrier L., Pacaud P. Non-genomic Inhibition of Human
P2X7 Purinoceptor by 17b-oestradiol // J. Physiol. 1998. Vol. 508, no. 3. P. 659–666.
305. Wong A. Y., Burnstock G., Gibb A. J. Single Channel Properties of P2X ATP Rceptors in
Outside-out Patches from Rat Hippocampal Granule Cells // J. Physiol. 2000. Vol. 527,
no. 3. P. 529–547.
306. Burrage K., Lenane I., Lythe G. Numerical Methods for Second-Order Stochastic Differential
Equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2007. Vol. 29, no. 1. P. 245–264.