Кузьмичев Сергей Дмитриевич

Кузьмичев Сергей Дмитриевич
2
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №7
1. Закон всемирного тяготения. Напряжённость
гравитационного поля. Потенциальная энергия.
2. Теорема Гаусса.
3. Гравитационное поле Земли: напряжённость,
потенциал.
4. Движение в центральном поле тяготения.
Искусственные спутники и планеты. Законы Кеплера.
Космические скорости. Параметры орбит.
5. Примеры.
3
1.1. Закон всемирного тяготения.
Закон
всемирного
тяготения: любые два тела
(материальные
точки)
притягиваются друг к другу с
силами, пропорциональными
произведению их масс и
обратно
пропорционально
квадрату расстояния между
ними:
mm
Fтяг G 1 2 2
r
Гравитационная постоянная
G
6 , 673 10
11
Н м 2 / кг 2
4
1.2. Напряженность поля тяготения.
Fтяг
M
Fтяг
r
g
G
Mm
r
3
r
m
Напряженность поля тяготения массы точечной массы M
g
Fтяг
m
M
G 3 r
r
5
1.3. Принцип суперпозиции.
Гравитационное поле,
возбуждаемое какой-либо
массой, не зависит от
наличия других масс.
Напряженность
гравитационного
поля
создаваемого несколькими
телами,
равно
геометрической
сумме
напряженностей
полей,
возбуждаемых
этими
телами в отдельности.
gΣ g1 g2
gN
g1
m1
g2
gΣ
m2
6
1.4. Потенциальная энергия
взаимодействия
Потенциальная
точечных масс
энергия
П
m1m2
G
r
взаимодействия
двух
Полная энергия «легкой» материальной точки массой
m , движущейся в поле тяготения «тяжелой» материальной
точки массой M
mv 2
Mm
E K П
G
2
r
7
2. Теорема Гаусса
2.1. Поток вектора напряженности
g гравитационного
поля
через
замкнутую поверхность равен
Φ
gdS
m масса
поверхности.
4πGm ,
внутри
замкнутой
8
2.2.Примеры применения
теоремы Гаусса
а) Сферическая симметрия:
однородный шар радиусом R ,
массой m и
постоянной
плотности ρ
- при r R (внутри шара)
4πGρ
r
r , g g0 ,
3
R
Gm
g0
R2
при r R (вне шара)
g
-
g
Gm r
, g
2
r r
R2
g0 2
r
g
g0
0
r=R
r
9
б) Симметрия относительно
плоскости: однородный слой
толщиной d и постоянной
плотности ρ
- при x d / 2 (внутри слоя)
4πGρx, g0
gx
-
при x
gx
gx
x
2πGρd
gx
d / 2 (вне слоя)
g0 , x
g0 , x
d / 2,
d/2
g0
d/2
-d/2
0
-g0
x
10
3. Гравитационное поле Земли:
напряженность и потенциал.
Напряженность
GM З r
, r
2
r
r
g
RЗ
GM З
2
gЗ
9
,
8
м
/
с
RЗ2
Потенциал и
потенциальная энергия
φ
П
GM З
, r RЗ ,
r
GM З m
mφ
r
11
4. Движение в центральном поле
тяготения. Искусственные
спутники и планеты. Законы
Кеплера. Космические скорости.
Параметры орбит.
4.1. Полная энергия планеты (или спутника) массой m
в поле тяготения «неподвижного тяжелого центра»
E
mv 2
2
GMm
r
12
Момент импульса L планеты относительно
«центра тяготения» сохраняется .
L
r , mv
vr
r , vφ
L
L
r , m vr
vφ
,
rφ, v 2 vr2 vφ2 ,
mr 2 φ const
Полную энергию можно записать как сумму
кинетической энергии «радиального» движения и
«эффективной» потенциальной энергии
E
Kr
mvr2
,
2
Kr
П эфф
П эфф ,
mM
G
r
L2
2mr 2
13
4.2. Условия эллиптического, параболического и
гиперболического движений
E 0гиперболическое
движение,
E 0 параболическое
движение,
E 0 эллиптическое
движение
Π r
E
0
2
L
2mr 2
0
r1
r
r2
E
G
mM
r
0
14
4.3. Параметры эллиптической орбиты.
Большая полуось
эллипса
a
GMm / 2 E ,
E
Малая полуось
эллипса
b
L/
2 Em
Период обращения
по эллипсу
4π 2 3
2
T
a
GM
0
a
F1
r1
b
F2
r2
15
4.4. Законы Кеплера.
I. Каждая планета движется по
эллипсу, в одном из фокусов
которого находится Солнце.
II. Радиус-вектор планеты в
равные времена описывает равные
площади.
III.
Квадраты
времен
обращения планет относятся как
кубы больших осей эллиптических
орбит, по которым они движутся
вокруг Солнца.
3
2
2a 2
T2
T12
2a1
3
16
4.5. Космические скорости.
I. Первая космическая скорость - скорость движения
спутника по круговой орбите радиусом, равном радиусу
Земли
GM
v1,К
gRЗ 7 , 9 км / с
RЗ
II. Вторая космическая скорость – минимальная
скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно никогда
не вернулось на Землю*
v2 ,К
GM
2
RЗ
2 gRЗ
11, 2 км / с
III. Третья космическая скорость – минимальная
скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно навсегда
покинуло пределы Солнечной системы . Она зависит от того,
в каком направлении космический корабль выходит из зоны
действия земного тяготения.
17
5. Примеры.
Пример 1. На большом расстоянии от Земли метеорит
движется относительно неё со скоростью v0 . При каком
наибольшем расстоянии l метеорит будет «захвачен «
Землей?
Закон сохранения энергии
mv02 mv 2
mgR
2
2
Закон сохранения момента импульса (для касательной
траектории)
mv0l mvR
l
2 gR
R 1
v02
v22,К
R 1
v02
18
Пример 2. Кто дальше? С полюса Земли запускают две
ракеты, одну вертикально вверх, другую горизонтально.
Начальные скорости обеих ракет равны v0 , причем v0
больше первой космической скорости и меньше второй.
Какая из ракет удалится дальше от центра Земли?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
а) Первая ракета. Из закона сохранения энергии
mv02
2
mgRЗ
r1
RЗ2
mg
,
r1
2 gRЗ2
.
2
2 gRЗ v0
19
б) Вторая ракета. Точка наибольшего удаления
от центра Земли – апогей. Из закона сохранения энергии
mv02
RЗ2
mv22
mgRЗ
mg
2
2
r2
Из закона сохранения момента импульса
mv0 RЗ
r2
r1
r2
2 gRЗ
v02
mv2 r2
v02 RЗ
2 gRЗ v02
v2 ,К
v0
2
1
20
Пример 3. Орбита космического корабля «ВОСТОК» ,
но котором летал Ю. Гагарин, имела высоту в перигее
rп 181 км , а в апогее – rа 327 км . Определите период
обращения корабля вокруг Земли.
Период обращения спутника вокруг Земли при
движении с первой космической скоростью
2 RЗ
RЗ
T0
2
1 ч 24,4 мин
v1,К
g
По третьему закону Кеплера
2
1
2
0
T
T
T
T0
2a1
2a0
3/ 2
3/ 2
T0
2 RЗ
rп
2 RЗ
rа
3/ 2
3/ 2
1 ч 29 ,1 мин
21
Пример 4. Космический корабль движется вокруг
Солнца по той же круговой орбите, что и Земля, причем
настолько далеко от Земли, что её влиянием можно
пренебречь. Какую дополнительную скорость в направлении
своего движении нужно сообщить кораблю, чтобы он смог
достичь орбиты Марса, двигаясь по траектории,
касающейся орбиты Марса? Радиус орбиты Земли
R1 1,5 108 км , радиус орбиты Марса R2 2,28 108 км .
1) Скорость корабля на круговой орбите вокруг Солнца
v1
GM с
R1
30 км / с ,
E1
GM с m
2 R1
22
2) Так как отношение длин больших осей эллипсов
орбит обратно пропорционально отношению энергий, то
GM с m
2 R1
mv22 GM с m
2
R1
2a2 R1 R2 E1
=
=
2a1
2 R1
E2
v2
2GM с R2
R1 R1 R2
v v2 v1 2,9 км / с
0,5TЗМ . По третьему закону Кеплера
Время перелета
TЗМ
TЗ
2a ЗМ
2a З
3/ 2
3/ 2
R1
R2
2 R1
3/ 2
3/ 2
, τ
260 суток