Эффект Казимира Метод дзета-функции

ÊÀÇÀÍÑÊÈÉ (ÏÐÈÂÎËÆÑÊÈÉ) ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÔÈÇÈÊÈ
Í.Ð. Õóñíóòäèíîâ
Ýôôåêò Êàçèìèðà
Ìåòîä äçåòà-ôóíêöèè
Ó÷åáíîå ïîñîáèå
ÊÀÇÀÍÜ 2012
ÓÄÊ 530.22:530.145
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà
ÔÃÀÎÓÂÏÎ
¾Êàçàíñêèé (Ïðèâîëæñêèé) ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò¿
ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèè èíñòèòóòà ôèçèêè
Ïðîòîêîë  5 îò 22 íîÿáðÿ 2012 ã.
çàñåäàíèÿ êàôåäðû òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ãðàâèòàöèè
Ïðîòîêîë  10 îò 16 íîÿáðÿ 2012 ã.
Ðåöåíçåíòû:
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè
èì. Í.È. Ëîáà÷åâñêîãî, ÊÔÓ Þ.Ã. Èãíàòüåâ
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. èíñòèòóòà ôèçèêè ÊÔÓ À.Á. Áàëàêèí
Õóñíóòäèíîâ Í.Ð.
Ýôôåêò Êàçèìèðà. Ìåòîä äçåòà-ôóíêöèè.: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Í.Ð.
Õóñíóòäèíîâ. Êàçàíü: Êàçàíñêèé óíèâåðñèòåòå, 2012. 40ñ.
Öåëü íàñòîÿùåãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ñîñòîèò â îêàçàíèè ïîìîùè ñòóäåíòàì ôèçè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà â îñâîåíèè ìàòåðèàëà êóðñà "Êâàíòîâûå ýôôåêòû ïðè íàëè÷èè ãðàíèö".  ïîñîáèè
ðàññìàòðèâàåòñÿ òåîðèÿ äçåòà-ôóíêöèè è òåîðèÿ òåïëîâîãî ÿäðà, à òàêæå ìåòîä îáîáùåííîé
äçåòà-ôóíêöèè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè Êàçèìèðà.
c Êàçàíñêèé óíèâåðñèòåò, 2012
c Õóñíóòäèíîâ Í.Ð., 2012
Îãëàâëåíèå
Îáîçíà÷åíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Äçåòà-ðåãóëÿðèçàöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ýôôåêò Êàçèìèðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ . . . . .
3.1 Îäíîìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1
Óñëîâèÿ Äèðèõëå (Íåéìàíà) . . . . .
3.1.2
Ñìåøàííûå êðàåâûå óñëîâèÿ . . . . .
3.2 Äâóìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Òðåõìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 -ìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Ýôôåêò Êàçèìèðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ìåòîä
èíòåãðàëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Òåïëîâîå ÿäðî è äçåòà-ôóíêöèÿ . . . . . . . .
4.2 Îäíîìåðíûé ñëó÷àé . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé äëÿ ñôåðû . . . .
Ïðèëîæåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D
3
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
êîíòóðíîãî
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
5
6
8
8
9
13
15
17
18
.
.
.
.
.
21
21
31
32
36
Îáîçíà÷åíèÿ
 ïîñîáèè ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
I. Ïñåâäîåâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ
Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè: D + 1;
Èíäåêñû: ; ; : : : = 0; 1; 2; : : : ; D ; i; j; k; : : : ; = 1; 2; 3; : : : ; D ;
Ñèãíàòóðà ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè: ( ; +; +; : : : ; +);
;
Òåíçîð êðèâèçíû: R = @ @ + 5. Òåíçîð Ðè÷÷è è ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà: R = R , R = R
;
;
6. Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðà T:
T = T; ; T = T ; ;
1.
2.
3.
4.
r
(x; x0) = s2=2 ïîëîâèíà êâàäðàòà ãåîäåçè÷åñêîãî èíòåðâàëà ìåæäó òî÷êàìè x è
0
x , èçâåñòíàÿ òàêæå, êàê ìèðîâàÿ ôóíêöèÿ Ñèíãà;
q
2
0
8. Îïðåäåëèòåëü âàí Ôëåêà-Ìîðåòòà: 4 = det( @xx0 (x; x ))= g (x)g (x0 ).
7.
II. Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
D;
i; j; k; : : : = 1; 2; 3; : : : ; D; a; b; c; : : : íîìåð âåêòîðà eia;
@l ijk + ikn njl iln njk ;
3. Òåíçîð êðèâèçíû: Ri jkl = @k ijl
1. Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà:
2. Èíäåêñû:
Rik = Rnink , R = Rnn;
;k
5. Êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðà T: ri = ;i ; 4T = T ;k ;
4. Òåíçîð Ðè÷÷è è ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà:
6. Òåíçîð âíåøíåé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòè
S (âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëü-
íàÿ ôîðìà): Kij = Ni;j ;
7. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà íîðìàëè N i : âåêòîð íîðìàëè ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåí âî âíåøíþþ îáëàñòü;
1 êàñàòåëüíûå ê ãèïåðïîâåðõíîñòè S , âåêòîð
8. Ðåïåð: âåêòîðû eia ; a = 1; : : : ; D
i
i
eD = N åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ãèïåðïîâåðõíîñòè;
9. Ðåïåðíûå êîìïîíåíòû:
N =
i N ej ek ,
Âíåøíÿÿ êðèâèçíà Kab =
ab
jk i a b
Òåíçîðû: Ta = Ti eia , TN = Ti N i ;
10. Êîâàðèàíòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ñâÿçíîñòè íà ãðàíèöå
U;a = U:a; U;ab = U:ab KabU;N .
4
U:a:
1
Ââåäåíèå
Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ìîëåêóëàìè è ìàêðîñêîïè÷åñêèìè òåëàìè, à òàêæå ìåæäó ìàêðîñêîïè÷åñêèìè òåëàìè ÿâëÿåòñÿ âàæíûì äëÿ ìíîãèõ ðàçäåëîâ ôèçèêè, òåõíîëîãèè,
õèìèè è, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî âðåìåíè, â áèîëîãèè. Íàðÿäó ñ ãðàâèòàöèîííîé ñèëîé,
êîòîðàÿ ïîÿâëÿåòñÿ ìåæäó ëþáûìè îáúåêòàìè, îáëàäàþùèìè ìàññîé èëè ýíåðãèåé, ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ îáû÷íî íàçûâàåìàÿ ñèëîé Âàí äåð Âààëüñà.
Ýòî âçàèìîäåéñòâèå ïîÿâëÿåòñÿ êàê ìåæäó ýëåêòðè÷åñêè íåéòðàëüíûìè àòîìàìè, òàê
è ìåæäó àòîìîì è òåëîì, à â êîíå÷íîì ñ÷åòå è ìåæäó òåëàìè. Âïåðâûå ýòî âçàèìîäåéñòâèå áûëî ââåäåíî ôåíîìåíîëîãè÷åñêè Éîõàííåñîì Äèäåðèêîì Âàí äåð Âààëüñîì äëÿ
îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ãàçîâ, óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ êîòîðûõ
!
p+
a
(v b) = RT;
v2
íîñèò åãî èìÿ (ñì., íàïðèìåð, [1, ñ.221]). Ýòî óðàâíåíèå ñîäåðæèò äâà ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðà a è b. Ïàðàìåòð b èìååò ñìûñë îáúåìà, çàíèìàåìîãî ìîëåêóëàìè
ãàçà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïàðàìåòðà a ñâÿçàí ñ íåêîé ñèëîé ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè, ïðîèñõîæäåíèå êîòîðîé îñòàâàëîñü íåÿñíûì äî ïîÿâëåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè
è êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Ëîíäîí â ðàáîòàõ [2, 3] ïîêàçàë, ÷òî ìåæäó äâóìÿ ýëåêòðîíåéòðàëüíûìè àòîìàìè èëè ìîëåêóëàìè èìååòñÿ ñëàáàÿ ñèëà ïðèòÿæåíèÿ, ïîòåíöèàë
êîòîðîé ïàäàåò êàê øåñòàÿ ñòåïåíü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè, VL = C=r 6 . Ïîñòîÿííàÿ
C çàâèñèò îò ïîëÿðèçóåìîñòåé 1 è 2 ìîëåêóë
C=
3~ Z 1
0
1(i )2(i )d:
(1)
Ôèçè÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå ýòîãî ïîòåíöèàëà ñâÿçàíî ñ äèïîëü-äèïîëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìîëåêóë. Õîòÿ àòîì â öåëîì ýëåêòðîíåéòðàëåí, îí ñîñòîèò èç çàðÿäîâ ðàçíûõ
çíàêîâ, è ïî ýòîé ïðè÷èíå âíå àòîìà èìååòñÿ áûñòðî ñïàäàþùèé ïîòåíöèàë äèïîëÿ,
êîòîðûé ïîëÿðèçóåò ñîñåäíèé àòîì è íàîáîðîò. Òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíîìó ñëàãàåìîìó â ãàìèëüòîíèàíå. Êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèé ðàñ÷åò ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé äàåò âûøåïðèâåäåííûé ïîòåíöèàë
Ëîíäîíà. Ïîñëå âûâîäà Ëîíäîíà ýòè ñèëû ñòàëè íàçûâàòü äèñïåðñèîííûìè.
Âû÷èñëåíèÿ Ëîíäîíà ñïðàâåäëèâû â ðàìêàõ íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïîòåíöèàë çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé Ïëàíêà, ñêîðîñòü ñâåòà íå ïðèñóòñòâóåò. Ýòî
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ôîðìóëà äëÿ ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ñïðàâåäëèâà íà ìàëûõ
ðàññòîÿíèÿõ, êîãäà çàïàçäûâàíèåì âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íà á
îëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðåëÿòèâèñòñêèå ýôôåêòû, ÷òî áûëî ñäåëàíî Êàçèìèðîì è Ïîëäåðîì â ðàáîòå [4]. Íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ çàïàçäûâàíèå ïðèâîäèò ê äðóãîé
çàâèñèìîñòè ïîòåíöèàëà îò ðàññòîÿíèÿ ïîòåíöèàë ïàäàåò êàê ñåäüìàÿ ñòåïåíü ðàññòîÿíèÿ:
VCP =
23~c 1(0)2(0)
:
4
r7
(2)
 ôîðìóëå ôèãóðèðóåò ñòàòè÷åñêàÿ (íà íóëåâîé ÷àñòîòå) ïîëÿðèçóåìîñòü àòîìîâ, ïîòåíöèàë çàâèñèò îò ïîñòîÿííîé Ïëàíêà è ñêîðîñòè ñâåòà.
Ðàññìîòðåííûå âûøå ïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóëû ñ ìîëåêóëîé ìîæíî ïðèìåíèòü ê ïàðàëëåëüíûì ïëàñòèíàì, ñäåëàííûì èç ìîëåêóë òàêîãî âèäà. Ýòî
ïðèâîäèò ê ñèëå ïðèòÿæåíèÿ, êîòîðàÿ ïàäàåò êàê òðåòüÿ ñòåïåíü ðàññòîÿíèÿ d ìåæäó
5
ïëàñòèíàìè äëÿ ìàëûõ ðàññòîÿíèé, ãäå ñïðàâåäëèâ ïîòåíöèàë Ëîíäîíà (1),
F
A
=
;
S
6d3
(A íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé Áîåðà-Õàìàêåðà), è êàê ÷åòâåðòàÿ ñòåïåíü ðàññòîÿíèÿ
äëÿ áîëüøèõ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè, ãäå ñïðàâåäëèâ ïîòåíöèàë ÊàçèìèðàÏîëäåðà (2). Ñèëó ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè äëÿ áîëüøèõ ðàññòîÿíèé ìåæäó íèìè ïðèíÿòî íàçûâàòü ñèëîé Êàçèìèðà, îíà áûëà âû÷èñëåíà Êàçèìèðîì â ðàáîòå [5]. Â
ÿâíîì âèäå ýòà ñèëà íà åäèíèöó ïëîùàäè ïëàñòèí (äàâëåíèå) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
2~c
F
=
:
S
240d4
Ãëàâíîé îñîáåííîñòüþ ñèëû Êàçèìèðà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà íå çàâèñèò îò ñîðòà
ìàòåðèàëà èç êîòîðîãî ñäåëàíû ïëàñòèíû. Ýòî íàâåëî Êàçèìèðà íà ìûñëü, ÷òî ïðîèñõîæäåíèå äèñïåðñèîííûõ ñèë ñâÿçàíî ñ âàêóóìíûìè êâàíòîâûìè ôëóêòóàöèÿìè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ò.å. ñ ýíåðãèåé íóëåâûõ êîëåáàíèé. Êàçèìèð ïîä÷åðêèâàë [6], ÷òî
íà ýòó èäåþ åãî íàòîëêíóë Í. Áîð. Äðóãîé ïîäõîä ê ñèëàì Êàçèìèðà áûë ðàçâèò Ëèôøèöåì [7]. Òåîðèÿ Ëèôøèöà îïèñûâàåò äèñïåðñèîííûå ñèëû ìåæäó òåëàìè êàê ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå âñëåäñòâèå ôëóêòóàöèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìåæäó äèññèïàòèâíûìè
ñðåäàìè, êîòîðûå âñåãäà ïðèñóòñòâóþò êàê âíóòðè òåë, òàê è âíå èõ ïîâåðõíîñòè.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ ïðîãðåññ â ïîíèìàíèè äèñïåðñèîííûõ ñèë, ïðîâåäåíà îãðîìíàÿ ðàáîòà â ýêñïåðèìåíòàëüíîé îáëàñòè. Ïîëó÷åíî ïðåêðàñíîå ñîãëàñèå
òåîðèè ñ ýêñïåðèìåíòîì. Òåîðèè ñèë Âàí äåð Âààëüñà-Êàçèìèðà-Ïîëäåðà ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà, îòìåòèì òîëüêî êíèãè [714]. Â ïîñëåäíèõ êíèãàõ èìåþòñÿ òàêæå
è îáçîðû ýêñïåðèìåíòîâ. Ê ñîæàëåíèþ, ïðàêòè÷åñêè âñÿ ñîâðåìåííàÿ ëèòåðàòóðà, ïîñâÿùåííàÿ ýòîé òåìàòèêå, îïóáëèêîâàíà íà àíãëèéñêîì ÿçûêå, è äàííîå ïîñîáèå ñòàâèò
ñâîåé öåëüþ âîñïîëíèòü ýòîò ïðîáåë.
Ýôôåêò Êàçèìèðà áóäåò ðàññìîòðåí ñ òî÷êè çðåíèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé âàêóóìà.  ðàìêàõ òàêîãî ïîäõîäà ýôôåêò Êàçèìèðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýôôåêò, ñâÿçàííûé
ñ íàëè÷èåì ãðàíèö. Äëÿ ñèëû Êàçèìèðà íå âàæåí ñîñòàâ òåë, à âàæíà ãåîìåòðèÿ ïîâåðõíîñòè òåë è âçàèìíîå èõ ðàñïîëîæåíèå, ÷òî âëèÿåò íà ñïåêòð íóëåâûõ êîëåáàíèé
êâàíòîâàííîãî ïîëÿ.
Ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùåéñÿ âåëè÷èíîé è òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ïðîöåäóðû ðåãóëÿðèçàöèè è ïåðåíîðìèðîâêè äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíå÷íîãî ðåçóëüòàòà.  êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ èçâåñòíî ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîöåäóð ïåðåíîðìèðîâêè è ðåãóëÿðèçàöèè, òàêèå êàê îáðåçàþùèé ìíîæèòåëü, ðàçìåðíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ,
ïîìîäíàÿ ðåãóëÿðèçàöèÿ, äçåòà-ðåãóëÿðèçàöèÿ è ò.ä. Âñå ýòè ïðîöåäóðû ïîçâîëÿþò âûäåëèòü â ÿâíîì âèäå ðàñõîäèìîñòè è çàòåì èçáàâèòüñÿ îò íèõ ïåðåíîðìèðîâêîé çàòðàâî÷íûõ êîíñòàíò òåîðèè. Êàçèìèð â ñâîèõ ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâàë ïðîöåäóðó îáðåçàíèÿ
äëÿ ñóììèðîâàíèÿ ðàñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ. Äëÿ ïåðåíîðìèðîâêè äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü
äâå êîíôèãóðàöèè ñ ðàçëè÷íûì ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïëàñòèíàìè.  äàííîé ðàáîòå ìû
áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðîöåäóðó äçåòà-ðåãóëÿðèçàöèè, ïðåäëîæåííóþ â ðàáîòàõ [15, 16]
è ìîäèôèöèðîâàííóþ çàòåì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýôôåêòà Êàçèìèðà â ñòàòüÿõ [17, 18]. Â
äàëüíåéøåì ìû ïðèìåì ïëàíêîâñêóþ ñèñòåìó åäèíèö, â êîòîðîé c = G = ~ = 1.
2
Äçåòà-ðåãóëÿðèçàöèÿ
Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ïðîöåäóðó ðåãóëÿðèçàöèè è ïåðåíîðìèðîâêè íà ïðèìåðå ñêàëÿðíîãî ìàññèâíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ðàçìåðíîñòè D +1. Ïóñòü â ïðîñòðàí6
ñòâå èìåþòñÿ ïîâåðõíîñòè S , íà êîòîðûõ çàäàíû îïðåäåëåííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, è
êîòîðûå ðàçäåëÿþò ïðîñòðàíñòâî íà ñîâîêóïíîñòü îáëàñòåé. Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ
âû÷èñëåíèå ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé â ýòèõ îáëàñòÿõ. Ðàññìîòðèì ìàññèâíîå ñêàëÿðíîå ïîëå , ïîä÷èíÿþùååñÿ óðàâíåíèþ Êëåéíà-Ãîðäîíà
0
1
@2
4D + m2A (t; xD ) = 0;
@t2
ãäå 4D = 00x + : : : + 00xD D -ìåðíûé ëàïëàñèàí. Ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ
èìåþò âèä (t; xD ) = ei!t (xD ), è ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
@
1
4D + m2 (xD ) = !2(xD );
(3)
êîòîðîå èìååò ñìûñë óðàâíåíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ! 2 , ýëëèïòè÷åñêîãî îïåðàc=
2
òîðà ëàïëàñîâñêîãî òèïà, A
D + m . Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû ! î÷åâèäåí
ýòî ýíåðãèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. ×òîáû íàéòè ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü âñåâîçìîæíûå ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé,
ñîâìåñòèìûõ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, è âû÷èñëèòü ïîëóñóììó ýòèõ ýíåðãèé. Ñïåêòð
ýíåðãèé îáû÷íî ïîëó÷àåòñÿ èç êðàåâûõ óñëîâèé, êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðîå ôóíêöèîíàëüíîå ñîîòíîøåíèå âèäà
4
((xD ))xD 2S = 0:
Îáû÷íî ðàçëè÷àþò òðè âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé: Äèðèõëå, Íåéìàíà è Ðîáèíà, êîòîðûå
èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
(x)x2S = 0;
@n(x)x2S = 0;
(@n(x) + u(x)(x))x2S = 0:
(4a)
(4b)
(4c)
Ñóùåñòâóþò è áîëåå ñëîæíûå êðàåâûå óñëîâèÿ, íî ìû èõ êàñàòüñÿ çäåñü íå áóäåì.
Îïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé ðàñõîäèòñÿ. Â ðàìêàõ
ïîäõîäà äçåòà-ðåãóëÿðèçàöèè ðàñõîäÿùååñÿ âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â
ñëåäóþùåì âèäå:
1
2
X
ED (s) = 2s (!2)
ãäå
!
1
2
s
X
1
= 2sD (s
2
D (s) = (!2)
!
1
);
2
(5)
s
ÿâëÿåòñÿ äçåòà ôóíêöèåé îïåðàòîðà ëàïëàñîâñêîãî òèïà (ñì. óðàâíåíèå (3))
Ac = 4D + m2:
!
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýíåðãèè íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïðåäåë s
0 â ðåãóëÿðèçîâàííîì âûðàæåíèè.  ýòîì ïðåäåëå âñå ðàñõîäèìîñòè ïîÿâÿòñÿ â âèäå ïîëþñîâ. Ñðåäè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìîãóò áûòü êàê äèñêðåòíûå, òàê è íåïðåðûâíûå. Ïî äèñêðåòíûì ïðîâîäèòñÿ
ñóììèðîâàíèå, à ïî íåïðåðûâíûì èíòåãðèðîâàíèå. Èíòåãðèðîâàíèå ïðèâîäèò ê âåëè÷èíå, èìåþùåé ñìûñë ïëîòíîñòè ýíåðãèè. Ïàðàìåòð ñ ðàçìåðíîñòüþ ìàññû ââåäåí
7
äëÿ òîãî, ÷òîáû âåëè÷èíà E (s) èìåëà ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè. Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
çíà÷åíèé ïàðàìåòðà s ðÿä (5) ñõîäèòñÿ. Áîëåå òîãî, ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèÿ E (s) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé ïàðàìåòðà s. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðè óñòðåìëåíèè
s 0 ôóíêöèÿ E (s) ðàñõîäèòñÿ, è ðàñõîäèìîñòè ìîæíî âûäåëèòü â ÿâíîì âèäå â
âèäå ïîëþñîâ. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü êîððåêòíûì îáðàçîì ïðîâåñòè ïåðåíîðìèðîâêó è
ïîëó÷èòü êîíå÷íîå çíà÷åíèå äëÿ ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé.
Ïðîñòåéøèì ñïîñîáîì ïåðåíîðìèðîâêè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé. Íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ïðåäåë áîëüøèõ ìàññ m
è ñîõðàíèòü âñå ñëàãàåìûå, êîòîðûå "âûæèâóò" â
ýòîì ïðåäåëå
!
!1
EDdiv (s) = mlim
!1 ED (s):
Òîãäà ïåðåíîðìèðîâàííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä:
n
o
div (s) :
EDren = lim
E
(
s
)
E
D
D
s!0
Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç ýíåðãèè êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé íåîáõîäèìî âû÷åñòü âñå ñëàãàåìûå, îñòàþùèåñÿ â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå, ïîñêîëüêó ïðåäåë
m
ñîîòâåòñòâóåò êëàññè÷åñêîìó ïðåäåëó ~
0 (â ðàçìåðíîì âèäå ïàðàìåòð
ìàññû ýòî îáðàòíàÿ êîìïòîíîâñêàÿ äëèíà mc=~).
Èñïîëüçóÿ òåîðèþ òåïëîâîãî ÿäðà (ñì. Ÿ4.1), ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü ìîæíî âû÷èñëèòü â ÿâíîì âèäå
!1
!
EDdiv (s)
!2s 1 DX+1 n D+1
B m
=
m 2(4)D=2 n=0
2
n
(s + n D2 1 )
;
(s 12 )
(6)
ãäå Bk êîýôôèöèåíòû òåïëîâîãî ÿäðà, à (x) ãàììà ôóíêöèÿ Ýéëåðà. Îòñþäà
1
=
âèäíî, ÷òî ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü èìååò âèä ôóíêöèè ñ ïðîñòûìè ïîëþñàìè ïðè n D
2
k, ãäå k = 0; 1; : : :. Â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè D = 1 ïîëþñà èìåþò ñëàãàåìûå
ñ n = 0; 2; â ðàçìåðíîñòè D = 2 ñîîòâåòñòâåííî ñëàãàåìûå ñ n = 1; 3 è, íàêîíåö, â
ðàçìåðíîñòè D = 3 ïîëþñà ïîÿâëÿþòñÿ â ÷ëåíàõ ñ n = 0; 2; 4.
3
3.1
Ýôôåêò Êàçèìèðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ
Îäíîìåðíûé ñëó÷àé
Ðàññìîòðèì ìàññèâíîå ñêàëÿðíîå ïîëå â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ðàçìåðíîñòè 1 + 1. Ïîìåñòèì äâå ïëàñòèíû (â îäíîìåðíîì ñëó÷àå ýòî äâå òî÷êè) â òî÷êàõ x = 0 è x = L
è âû÷èñëèì ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé. Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî ðàçäåëèëîñü íà òðè
îáëàñòè (ñì. Ðèñ. 1), òî íåîáõîäèìî âû÷èñëÿòü ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé íåçàâèñèìî â êàæäîé èç íèõ è ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñëîæèòü. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå îáëàñòü
ìåæäó ïëàñòèíàìè (îáëàñòü I), à çàòåì îáëàñòè âíå ýòîãî ïðîñòðàíñòâà (îáëàñòè II è
III).
Èòàê, íåîáõîäèìî ðåøèòü ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó âû÷èñëèòü ñïåêòð, ! 2 , è íàé@2
c =
2
òè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè (x) îïåðàòîðà ëàïëàñîâñêîãî òèïà A
@x2 + m , ò.å.
íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùåå óðàâíåíèå íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
c (x) = ! 2 (x)
A
8
Ðèñ. 1: D
= 1. Ïëàñòèíû (òî÷êè) ðàñïîëîæåíû â x = 0 è x =
L.
Ïðîñòðàíñòâî äåëèòñÿ
ïëàñòèíàìè íà òðè îáëàñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ýíåðãèþ íóëåâûõ
êîëåáàíèé, è ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñëîæèòü.
2
â îáëàñòè x
[0; L] ñ êàêèìè-ëèáî êðàåâûìè óñëîâèÿìè íà êîíöàõ îòðåçêà. Ïîëó÷åííûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îðòîãîíàëèçèðóåì ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ
ZL
(1; 2) = i
0
f1@t2
2@t1g ;
ò.å. ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèé
(1;n; 2;k ) = n;k ; (1;n; 2;k ) = 0;
äëÿ ïîëîæèòåëüíî è îòðèöàòåëüíî ÷àñòîòíûõ ÷àñòåé = ei!t . Äèñêðåòíûé èíäåêñ
ïîÿâèòñÿ ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ñïåêòðà ýíåðãèé. Åñëè æå èíäåêñ îñòàíåòñÿ íåïðåðûâíûì, òî
â ïðàâîé ÷àñòè íàäî çàìåíèòü ñèìâîë Êðîíåêåðà íà äåëüòà-ôóíêöèþ Äèðàêà.
3.1.1
Óñëîâèÿ Äèðèõëå (Íåéìàíà)
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå êðàåâûå óñëîâèÿ Äèðèõëå íà îáîèõ êîíöàõ îòðåçêà
(0) = (L) = 0:
Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò èäåàëüíóþ ïðîâîäèìîñòü îáåèõ ïëàñòèí.
!2 m2. Íà
Îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä (x) = c1 eikx + c2 e ikx , ãäå k =
äàííîì ýòàïå âåëè÷èíà ýíåðãèè ! íå ôèêñèðîâàíà, è ïîýòîìó k ìîæåò áûòü êàê ìíèìîé
(ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ! < m), òàê è äåéñòâèòåëüíîé (ñîñòîÿíèÿ ðàññåÿíèÿ ! > m)
âåëè÷èíîé.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Äèðèõëå (4a) ïðèâîäÿò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
(
p
c1 + c2
c1eikL + c2e
ikL
= 0
= 0;
óñëîâèåì íåòðèâèàëüíîé ðàçðåøèìîñòè êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå
sin(kL) = 0;
(7)
à âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä (x) = 2ic1 sin(p
kx).
!2 óðàâíåíèå (7) èìååò òîëüêî
 ñëó÷àå ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé k = i = i m2
òðèâèàëüíîå ðåøåíèå = 0, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íåíîðìèðóåìà. Â
ñëó÷àå ñîñòîÿíèé ðàññåÿíèÿ ïðè äåéñòâèòåëüíîì
íóëåâûõ êîëåáàíèé
kn =
k ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äàåò ñïåêòð
n 2
; !n = kn2 + m2; n = 1; 2; 3; : : : :
L
9
Çíà÷åíèå n = 0 îòáðàñûâàåòñÿ, ïîñêîëüêó òàêîå ñîñòîÿíèå, = 0, íåíîðìèðóåìî.
Îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, n = 1; 2; : : :, òàêæå íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå, ïîñêîëüêó ñîáñòâåííûå ôóíêöèè
sin nx
L îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì (ôàçîé) îò ñîñòîÿíèé ñ ïîëîæèòåëüíûìè n, è ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïðåäñòàâëÿþò
i!n t sin kn x= !n L, ãäå
ñîáîé îäíó
ôóíêöèþ. Íîðìèðîâàííûå ðåøåíèÿ ñóòü n =e
q
!n = kn2 + m2.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê âû÷èñëåíèþ äçåòà-ôóíêöèè è ñîîòâåòñòâóþùèì ïåðåíîðìèðîâêàì ðàññìîòðèì ðåãóëÿðèçàöèþ îáðåçàþùèì ìíîæèòåëåì è ôèçè÷åñêèé
ñìûñë ïåðåíîðìèðîâêè. Ðàññìîòðèì áåçìàññîâûé ñëó÷àé, m = 0.  ýòîì ñëó÷àå ñïåêòð
ýíåðãèé èìååò âèä ! = n=L, è ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé
p
1 n
1X
E1 =
2 n=1 L
ðàñõîäèòñÿ. Ðåãóëÿðèçóåì ýòî âûðàæåíèå ââîäÿ îáðåçàþùèé ìíîæèòåëü
1 n
1X
e
E1(") =
2 n=1 L
" n
L ;
êîòîðûé â êîíöå âû÷èñëåíèé óñòðåìèì ê íóëþ. Ñóììà âû÷èñëÿåòñÿ â ÿâíîì âèäå
E1(") =
L
1
2 " 8L sh 2L 2"2
+ O("2):
24L
(8)
Êàêîâ ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïåðâîãî áåñêîíå÷íîãî ñëàãàåìîãî? Ðàññìîòðèì ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé â ïðîñòðàíñòâå áåç ãðàíèö.  ýòîì ñëó÷àå ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé
âåëè÷èíîé, è ïëîòíîñòü ýíåðãèè èìååò ñëåäóþùèé âèä:
E1;M 1 Z 1 dk p 2 2
m +k :
=
L
2 1 2
Ýòî âûðàæåíèå ðàñõîäèòñÿ. Ââåäåì îáðåçàþùèé ìíîæèòåëü è ðàññìîòðèì áåçìàññîâûé
ñëó÷àé. Ïîëó÷àåì
E (") 1 Z 1 dk
1
1;M
L
=
2
jkje
1 2
"k
=
2"2
:
Ýòî âûðàæåíèå â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ðàñõîäÿùèìñÿ ÷ëåíîì â óðàâíåíèè (8). Òàêèì
îáðàçîì, âû÷èòàíèå ïåðâîãî ðàñõîäÿùåãîñÿ âûðàæåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò âû÷èòàíèþ áåñêîíå÷íîé ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé âàêóóìà ïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãî.  êâàíòîâîé
òåîðèè ïîëÿ òàêàÿ ïåðåíîðìèðîâêà ñîâåðøàåòñÿ íîðìàëüíûì óïîðÿäî÷åíèåì îïåðàòîðîâ ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé áåçìàññîâîãî
ïîëÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä:
:
24L
E1 =
(9)
Ïåðåõîäèì òåïåðü ê âû÷èñëåíèþ äçåòà-ôóíêöèè (èíäåêñ óêàçûâàåò íà ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà)
1(s
2
31 s
2
1 n !2
X
1
)= 4
+ m25
2 n=1 L
10
:
Ýòà ôóíêöèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Ýïøòåéíà-Ãóðâèöà
EH (s; ) =
1
X
s
(n2 + 2)
n=1
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1
) = m1
2
1(s
ãäå
2s 2s 1
1
; );
2
EH (s
= mL
.
Ôóíêöèÿ Ýïøòåéíà-Ãóðâèöà, ïðåäñòàâëåííàÿ â âèäå ðÿäà, ñõîäèòñÿ ïðè Re s >
1=2. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå â îáëàñòü Re s < 1 ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ
ôîðìóëû Àáåëÿ-Ïëàíà (ñì., íàïðèìåð, [19]):
p
1
X
(s 12 )
1
1
=
+
+
2
2 s
2a2s 2 (s)a2s 1
n=1 (n + a )
2 sin s Z 1 (x2 1) s
+ 2s 1 1 2ax
dx:
a
e
1
Èñïîëüçóÿ ýòó ôîðìóëó, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé ýíåðãèè
8
m !2s < 1
(s 1)
E1(s) =
2 m
2
:
Z
2 cos s
+
1 (x2
p
2
1)
(s
s
1
2
e2ax 1
1
9
=
1
2)
dx; :
(10)
Ìîæíî ïîëó÷èòü ýòî âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè
Ýïøòåéíà-Ãóðâèöà:
1
2
EH (s; ) =
2s
p (s
+
2
(s)
1 s
2 s s+ X
+
n K
(s) n=1
1
2
1
2
1
2)
2s+1
s+ 12 (2n);
(11)
ãäå R (s) è Ks (x) ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî äçåòà ôóíêöèåé Ðèìàíà è ìîäèôèöèðîâàííîé ôóíêöèåé Áåññåëÿ. Ðÿä âî âòîðîé ñòðîêå äëÿ s > 1=2 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå èíòåãðàëà
Ts( ) =
1
X
n=1
n
sK
Z 1 dx(x2
( 12 )
1)s
s
:
( ) 1
s (2n ) =
e2x 1
(s + 12 )
1
2
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé ýíåðãèè
íóëåâûõ êîëåáàíèé:
8
9
1
=
m !2s < 1
(s 1)
2 s 2 s
E1(s) =
2 m
:
2
+
p
2
(s
11
1
2)
+
(s
T
); :
1 1 s(
2)
1
3
Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå ñâîéñòâî (s
s) = = cos s, ïîëó÷àåì îòñþäà
2) (2
ôîðìóëó (10).
 ïðåäåëå m
ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è ïîëó÷àåì ðàñõîäèìîñòè ýíåðãèè â ÿâíîì âèäå
8
9
m !2 s < 1
(s 1) =
!1
E1div (s) =
2 m
2
:
+
p
2
(s
:
1
;
2)
Ýòî âûðàæåíèå â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ îáùåé ôîðìóëîé (6) äëÿ ðàçìåðíîñòè D = 1.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì ïåðåíîðìèðîâêè ýòî âûðàæåíèå íåîáõîäèìî âû÷åñòü. Ïîñëå
ýòîãî ïîëó÷àåì ïåðåíîðìèðîâàííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé
p
Z1
m
x2 1
T1( ) = m 1 2x dx:
E1ren =
2
e
1
Îòñþäà â áåçìàññîâîì ïðåäåëå ïîëó÷àåì
:
24L
E1ren =
(12)
(13)
Èç ïîëó÷åííûõ ôîðìóë ëåãêî ïîëó÷èòü ïîâåäåíèå ýíåðãèè ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ
ìàññû m èëè ðàññòîÿíèé ìåæäó ïëàñòèíàìè L. Ïîñêîëüêó â îáîèõ ñëó÷àÿõ = mL
0, òî â ýòîì ïðåäåëå ïîëó÷àåì
!
m
=
;
24
24L
E1renjmL!0 =
÷òî ñîâïàäàåò ñ âû÷èñëåíèåì îáðåçàþùèì ìíîæèòåëåì (9).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé â îáëàñòè II. Ââåäåì ôèêòèâíóþ
ãðàíèöó â òî÷êå x = . Òîãäà äëÿ ýòîé îáëàñòè ñïðàâåäëèâû ðàññóæäåíèÿ, èçëîæåííûå âûøå, è ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé äàåòñÿ ôîðìóëàìè (12) è (13), â êîòîðûõ
íåîáõîäèìî çàìåíèòü L
. ×òîáû ïîëó÷èòü ýíåðãèþ êîëåáàíèé â ïîëóïðîñòðàíñòâå II íåîáõîäèìî , è òîãäà ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé ïîëÿ â ýòîé îáëàñòè
óñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òàêèå æå ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû è äëÿ îáëàñòè III, íåîáõîäèìî
òîëüêî çàìåíèòü L
L. Òàêèì îáðàçîì, çàêëþ÷àåì, ÷òî îáëàñòè âíå çàçîðà ìåæäó
ïëàñòèíàìè íå äàþò âêëàäà â ïîëíóþ ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé.
 ñëó÷àå óñëîâèé Íåéìàíà íà êîíöàõ îòðåçêà
!
!
!1
0(0) = 0(L) = 0;
(14)
âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé íå èçìåíèòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ Íåéìàíà (4b) ïðèâîäÿò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
(
c1 c2
c1eikL c2e
ikL
= 0
= 0;
óñëîâèåì íåòðèâèàëüíîé ðàçðåøèìîñòè êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå
sin(kL) = 0;
÷òî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ óñëîâèé Äèðèõëå (7).
12
(15)
3.1.2
Ñìåøàííûå êðàåâûå óñëîâèÿ
Ðàññìîòðèì òàêæå ñìåøàííûé ñëó÷àé íà ëåâîé ãðàíèöå óñëîâèå Äèðèõëå, íà ïðàâîé
Íåéìàíà:
(0) = 0(L) = 0:
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
(
c1 + c2
c1eikL c2e
ikL
(16)
= 0
= 0;
óñëîâèå íåòðèâèàëüíîé ðàçðåøèìîñòè êîòîðîé èìååò âèä
cos(kL) = 0:
Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð çàäà÷è ïîëóöåëûé
!
1
n + ; !n2 = kn2 + m2; n = 0; 1; 2; : : : :
L
2
Îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ÷èñëà n òàêæå íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå, ïîñêîëüêó ñîákn =
(
cos
p
((n 1)+1=2)x
= cos
. Íîðìèðîâàííûå ðåøåíèÿ ñóòü
L
q
n = ei!nt cos knx= !nL, ãäå !n = kn2 + m2.
ñòâåííàÿ ôóíêöèÿ
n+1=2)x
L
Âû÷èñëèì ýíåðãèþ â áåçìàññîâîì ñëó÷àå, ââîäÿ îáðåçàþùèé ìíîæèòåëü
1 (n + 1 )
1X
2 e
E1(") =
2 n=0 L
" (nL+ 2 ) :
1
Ñóììà âû÷èñëÿåòñÿ â ÿâíîì âèäå
ch 2"L
L
+
E1(") =
+ O("2):
2 " 2
8L sh 2L 2" 48L
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé â ýòîì ñëó÷àå èìååò
ñëåäóþùèé âèä:
E1ren =
Äçåòà-ôóíêöèÿ èìååò âèä
1(s
:
48L
2
31 s
2
!2
1 2
X
1
1
)= 4 2 n+
+ m2 5
2 n=0 L
2
:
Ýòà ôóíêöèÿ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îáîáùåííóþ ôóíêöèþ Ýïøòåéíà-Ãóðâèöà
EH (s; a; ) =
1
X
((n + a)2 + 2)
s
n=0
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1(s
1
) = m1
2
2s 2s 1
13
EH (s
1 1
; ; );
2 2
ãäå
= mL
.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Àáåëÿ-Ïëàíà, ïîëó÷àåì äëÿ Re s
<1
2 sin s Z 1 (x2 1) s
dx;
a2s 1 1 e2ax + 1
p
1
X
(s 12 )
1
=
1 2
2 s
2 (s)a2s 1
n=0 ((n + 2 ) + a )
(17)
è, òàêèì îáðàçîì, ðåãóëÿðèçîâàííîå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè èìååò ñëåäóþùèé âèä:
8
9
1
Z 1 (x2
m !2s < (s 1)
1) 2 s =
p
E1(s) =
2 m
:
(s
2
1
2)
+ 2 cos s
1
e2ax + 1
dx; :
m ! 1 ïîëó÷àåì ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü ýíåðãèè â ÿâíîì âèäå
!2s p
(s 1)
m
E1div (s) =
:
2 m
2 (s 12 )
Ýòî âûðàæåíèå â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ îáùåé ôîðìóëîé (6) äëÿ ðàçìåðíîñòè D = 1 è
 ïðåäåëå
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Äèðèõëå è Íåéìàíà íà äâóõ ãðàíèöàõ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì
ïåðåíîðìèðîâêè ýòî âûðàæåíèå íåîáõîäèìî âû÷åñòü. Ïîñëå ýòîãî ïîëó÷àåì ïåðåíîðìèðîâàííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé
E ren
1
 ïðåäåëå
= m
Z
1
1
= mL ! 0 ïîëó÷àåì
E1renjmL!0 =
3.1.3
p
x2 1
e2x + 1
dx:
(18)
m
=
:
48 48L
Ïîëå íà êîëüöå
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé áåç ãðàíèö - êâàíòîâàííîå ïîëå "æèâóùåå" íà êîëüöå. Òî÷êè x è
x + L îòîæäåñòâëÿþòñÿ. Ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íåò, åñòü òîëüêî óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòè
(x) = (x + L):
Ýòî ñîîòíîøåíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä: c1 eikx (1
eikL) + c2e ikx(1 e ikL) =
Ïîñêîëüêó îíî âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîé òî÷êè x, òî ýòî ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ eikL
1, îòêóäà ïîëó÷àåì ñïåêòð
kn =
2n
L
; !n2 = kn2 + m2; n = 0; 1; 2; 3; : : : :
ðåøåíèÿ
âûãëÿäÿò
ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
n
=
q
kn x) =p2! L, ãäå ! = k2 + m2 . Äàííóþ çàäà÷ó ëåãêî ñâåñòè ê ïðåäûäón
n
n
Íîðìèðîâàííûå
ei(!nt
0.
=
ùåé. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó
E1 =
1
X
n= 1
!n = 2
14
1
X
n=1
m
!n + ;
2
!
òî äîñòàòî÷íî óäâîèòü ðåçóëüòàò äëÿ äâóõ óñëîâèé Äèðèõëå (12) è çàìåíèòü =2
(ïîñêîëüêó ñïåêòðû ñîâïàäàþò ïðè çàìåíå L
L=2). Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
!
p
Z1
E1ren = m
ãäå
x2 1
ex 1
1
dx;
= mL=. Îòñþäà â áåçìàññîâîì ïðåäåëå èìååì
E1ren = 12L :
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü àíòèïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ
(x) = (x + L);
êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó ñïåêòðó:
2
1
(n + ); !n2 = kn2 + m2; n = 0; 1; 2; 3; : : : :
L
2
Åñëè ïðèìåíèòü óñëîâèå àíòèïåðèîäè÷íîñòè äâàæäû, òî ïîëó÷èì, ÷òî (x) = (x +
2L). Òàêèì îáðàçîì, ïðè äâîéíîì îáîðîòå ïîëå âîçâðàùàåòñÿ â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå. Ýòî
kn =
îçíà÷àåò, ÷òî ïîëå "æèâåò" íà ëèñòå Ìåáèóñà. Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå
E1 =
1
X
n= 1
!n = 2
1
X
n=0
!n ;
òî ýíåðãèþ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñëó÷àÿ ñìåøàííûõ êðàåâûõ óñëîâèé óìíîæåíèåì ðåçóëüòàòà íà 2 è çàìåíîé =2:
!
E ren
1
 ïðåäåëå
= m
= mL ! 0 ïîëó÷àåì
Z
1
1
E1renjmL!0 =
p
x2 1
ex + 1
dx:
(19)
m
=
:
24 24L
×èñëåííûé àíàëèç ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ êðàåâûõ
óñëîâèé èçîáðàæåí íà Ðèñ. 2.
3.2
Äâóìåðíûé ñëó÷àé
 ýòîì ñëó÷àå èìååì çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
Ac =
@2
42 + m = @x2
2
@2
+ m2:
2
@y
Ðàññìîòðèì ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó Äèðèõëå íà îáåèõ ïëàñòèíàõ. Ïîñêîëüêó ïðîòÿæåííîñòü
ïëàñòèí âäîëü îñè y íå îãðàíè÷åíà, òî ñîîòâåòñòâóþùåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ
íåïðåðûâíîé âåëè÷èíîé, ïðèíèìàþùåé ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå çíà÷åíèå.  ýòîì
ñëó÷àå óäîáíåå âû÷èñëÿòü ïëîòíîñòü ýíåðãèè íà åäèíèöó ïëîùàäè îáåèõ ïëàñòèí. Ýòî
15
E1 m
L E1
0.15
0.2
0.10
0.05
Β
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Β
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
-0.2
-0.05
-0.10
-0.4
-0.15
Ðèñ. 2: D
= 1. Ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé äëÿ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé m (ñëåâà) è L
(ñïðàâà). Â ïîðÿäêå óìåíüøåíèÿ òîëùèíû êðèâûå ñîîòâåòñòâóþò êðàåâûì óñëîâèÿì Äèðèõëå
èëè Íåéìàíà íà îáåèõ ïëàñòèíàõ, ñìåøàííûå óñëîâèÿ Äèðèõëå íà îäíîé è Íåéìàíà íà äðóãîé,
ïåðèîäè÷åñêèå è àíòèïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ.
ìîæíî ñäåëàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ðàññìîòðèì ïåðâûé. Äëÿ ýòîãî îáðåæåì ïëàñòèíû íà
âåëè÷èíàõ y = R. Òîãäà ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñòàíåò äèñêðåòíûì
n !2
l !2
! =
+ m2;
+
L
2R
2
ãäå
n; l = 1; 2; 3; : : : :
Îïðåäåëèì ïëîòíîñòü íà åäèíèöó ïëîùàäè îáåèõ ïëàñòèí äçåòà ôóíêöèè ñîîòíîøåíèåì
2(s
2(s 12 )
1
) = lim
:
2 R!1 2 2R
(20)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ äçåòà ôóíêöèè
2
2(s
=
ãäå
2n =
82
>
<
4
>
n=1 :
1
X
2R 2 n 2
L
31 s
2
1 X
1 n !2
X
1
l !2
4
)=
+
+ m25
2 l=1 n=1 L
2R
n
L
+ m2
!2
31 s
2
1h
X
+ m25 1+2s l2
n
l=1
9
=
i 1 s>
+ 2n 2 >; ;
(21)
.
Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (11) ïîëó÷àåì
n
1h
1+2s X 2
l
l=1
i1
2 2 s
+ n
p
1
(s 1)
2 s sn
=
+
+
T ( ):
2
2 (s 12 ) n
(s 12 ) 1 s n
1
2
! 1 îñòàåòñÿ òîëüêî âòîðîå ñëàãàåìîå, ïîäñòàâëÿÿ êîòîðîå â (21) è çàòåì
 ïðåäåëå R
â (20) ïîëó÷àåì
2(s
1
1 (s 1)
)= p
(s 1):
2
4 (s 12 ) 1
(22)
Ýòî ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è äðóãèì, áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì. Ïóñòü ìû
íå íàêëàäûâàåì íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ïðîòÿæåííîñòü ïëàñòèí âäîëü îñè y . Òîãäà
16
ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íóìåðóåòñÿ êàê äèñêðåòíîé
ðûâíîé ky
( ; + ) âåëè÷èíàìè
2 1 1
n = 1; 2; 3; : : :, òàê è íåïðå-
n !2 2
! =
+ ky + m2:
L
2
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå (22) ïîëó÷àåòñÿ â ñëó÷àå íåïîñðåäñòâåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà
2
31 s
2
1 n !2
1 Z +1 dky X
1
4
)=
+ ky2 + m25
1
2
2
2 n=1 L
2 (s
Òàêèì îáðàçîì, èç ôîðìóë (22) è (11) ïîëó÷àåì
8
m2 !2s < 1 (s 1)
E2(s) =
m
2
p
8 (s
:
s s
+
T
2 (s 12 )
3
2
1
2
3
2
1 (s
1 +
8 (s
2)
9
=
2
=
m
2
:
+
s ( ); :
Ñíîâà âûäåëÿåì ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü
8
m2 !2s < 1
E div (s)
3
2)
1
2)
:
(s 1) 1 (s
p
+
8 (s 12 ) 8 (s
9
3
=
2)
1
;
2)
è êîíå÷íóþ ÷àñòü
E2ren =
m2 Z 1 x2 1
m2
T
dx:
(
)
=
8 1 e2x 1
8 2
3
2
3
2
 áåçìàññîâîì ïðåäåëå èìååì
R (3)
E2ren = 32
;
L2
ãäå R (x) äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà.
3.3
Òðåõìåðíûé ñëó÷àé
 ýòîì ñëó÷àå îïåðàòîð èìååò âèä
Ac =
@2
43 + m = @x2
2
@2
@y2
@2
+ m2:
2
@z
(23)
Ðàññìîòðèì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Äèðèõëå íà îáåèõ ïëàñòèíàõ. Òîãäà ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íóìåðóåòñÿ êàê äèñêðåòíîé n = 1; 2; 3; : : :, òàê è íåïðåðûâíûìè
ky ; kz ( ; + ) âåëè÷èíàìè
2 1 1
n !2 2 2
! =
+ ky + kz + m2:
L
2
17
Ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé íà åäèíèöó ïëîùàäè îáåèõ ïëàñòèí ïîëó÷àåòñÿ ïî
àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ïàðàãðàôîì:
3(s
2
31 s
2
1 n !2
1
1 Z +1 dky Z +1 dkz X
4
)=
+ ky2 + kz2 + m25
2
2 1 2 1 2 n=1 L
:
Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷àåì
1 (s
1
)=
2
8 (s
3(s
Äàëåå ïåðåõîäèì ê ýíåðãèè
8
m3 !2s <
E3(s) =
2
m
:
1 (s
16 (s
Ñíîâà âûäåëÿåì ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü
8
m3 !2s < 1
2
s
3
2)
1
2)
+
9
3
):
2
1 (s 2)
p
+
16 (s 12 )
=
s s 1
T
(
)
:
+
4 (s 12 ) 2 s ;
5
2
E3div (s) =
3
2) (
1 1
2)
m
:
(s
16 (s
3
2)
1
2)
9
1 (s 2) =
+ p
16 (s 12 ) ;
è êîíå÷íóþ ÷àñòü
E ren
3
m3
m3 Z 1 (x2 1)
=
T
(
)
=
dx:
16 3 2
12 1 e2x 1
3
2
 áåçìàññîâîì ïðåäåëå èìååì
E3
ren
3.4
2
R (4)
=
:
=
32 2L3
2880L3
D-ìåðíûé ñëó÷àé
Âû÷èñëåíèÿ ïðåäûäóùèõ ïàðàãðàôîâ ìîæíî îáîáùèòü íà ïðîèçâîëüíóþ ðàçìåðíîñòü.
Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì äâå D
1-ìåðíûå ïëàñòèíû â D-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå,
ðàñïîëîæåííûå â òî÷êàõ x = 0 è x = L ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè x. Äëÿ êðàòêîñòè â
äàëüíåéøåì îáîçíà÷èì ðàçìåðíîñòü ïëàñòèí D 1 = d. Îïåðàòîð ëàïëàñîâñêîãî òèïà
èìååò âèä
Ac =
+ m2:
4D
Ñïåêòð ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íóìåðóåòñÿ êàê äèñêðåòíîé
íåïðåðûâíûìè kd
( ; + ) âåëè÷èíàìè
2 1 1
n !2 2
! =
+ kd + m2:
L
2
18
n = 1; 2; 3; : : :, òàê è
Ïëîòíîñòü äçåòà-ôóíêöèè âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äçåòà-ôóíêöèþ äëÿ îäíîìåðíîãî
ñëó÷àÿ ñîîòíîøåíèåì:
D (s
2
31 s
2
1 n !2
1
1 Z +1 dk d X
4
)=
+ k2d + m25
2
2 1 (2 )d n=1 L
2
31 s
2
1 n !2
1
d Z 1 d 1 X
=
k dk 4
+ k 2 + m2 5
d
d
0
2(2 ) (1 + 2 )
L
n=1
d
(s d2 12 )
d 1
):
=
(
s
1
2(2 )d (s 12 )
2 2
d
2
2
(24)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé íà åäèíèöó ïëîùàäè îáåèõ ïëàñòèí ïîëó÷àåì
8
(s D )
(s D 1 )
mD !2s <
1
ED (s) =
2 m
: D+1 D2 1
2 s
+
D+ 12 s
2D
1
D +1=2
2
(s
1
2)
Ñíîâà âûäåëÿåì ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü
8
mD !2s <
EDdiv (s)
=
m
+ D+1 D
2 2
2
2
1
2)
(s
:
1
T
1
2
+
D
2D+1 2 1
9
>
=
2
1
2)
2
)>; :
+ D2 s (
D)
(s
(s
1
2 +
1
2)
D 1
2D+1 2 9
(s D 1 ) =
(s
(s
2
1
2)
2
(25)
;
è êîíå÷íóþ ÷àñòü
D D +1=2
m
EDren =
T + D ( ) =
D 2D+1
D
Z 1 (x2
1)
mD = D 1 D+1
dx:
2
(1 + D2 ) 1 e2x 1
2
1
2
2
2
2
 áåçìàññîâîì ïðåäåëå èìååì
EDren =
(D + 1)R (D + 1)
:
D 4D+1 (1 + D2 )LD
2
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ íàõîäÿòñÿ â ñîãëàñèè ñ ïîëó÷åííûìè âûøå â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ D = 1; 2; 3. Äëÿ ñëó÷àÿ D = 1 ðåçóëüòàò íåîáõîäèìî
ïîäåëèòü íà äâà.
Ôîðìóëó (25) ìîæíî òàêæå èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ òåïëîâîãî ÿäðà. Äåéñòâèòåëüíî, ñðàâíèâàÿ åå ñ îáùåé ôîðìóëîé (44), ïîëó÷èì, ÷òî â äàííîé
19
ñèòóàöèè îòëè÷íû îò íóëÿ äâà êîýôôèöèåíòà òåïëîâîãî ÿäðà (òî÷íåå ýòî ïëîòíîñòè
êîýôôèöèåíòîâ, ò.å. êîýôôèöèåíòû, äåëåííûå íà ñóììàðíóþ ïëîùàäü ïëàñòèí 2S )
L
1 Z
B0 = =
dV;
2 p 2S V p
Z
1 Z
=
dS
+
B =
dS
:
S
2
2 2S S
1
2
20
4
Ýôôåêò Êàçèìèðà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ìåòîä êîíòóðíîãî èíòåãðàëà.
4.1
Òåïëîâîå ÿäðî è äçåòà-ôóíêöèÿ
Âíà÷àëå îñòàíîâèìñÿ êðàòêî áåç ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè íà îáîáùåííîé äçåòàôóíêöèè è òåîðèè òåïëîâîãî ÿäðà. Ñóùåñòâóåò îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà, ïîñâÿùåííàÿ êàê
ñòðîãîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè [2027], òàê è ôèçè÷åñêèì ïðèëîæåíèÿì [2833].
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé ýëëèïòè÷åñêèé îïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà b â D -ìåðíîì
åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ñâÿçàííóþ ñ íèì ñïåêòðàëüíóþ çàäà÷ó. Ìû áóäåì èìåòü â
âèäó îïåðàòîð b =
+ m2 + U (x), êîòîðûé îáû÷íî íàçûâàþò îïåðàòîðîì ëàïëàñîâñêîãî òèïà. Ïîä ñïåêòðàëüíîé çàäà÷åé ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùàÿ: íàéòè íàáîð ÷èñåë, ,
íàçûâàåìûé ñïåêòðîì îïåðàòîðà è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé,
, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
b = :
L
L
4
L
 ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ïðèíÿòî áîëåå òî÷íîå îïðåäåëåíèå ñïåêòðà îïåðàòîðà ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë , ïðè êîòîðûõ ðåçîëüâåíòà îïåðàòîðà íå îïðåäåëåíà. Ïîä ðåçîëüâåíòîé îïåðàòîðà b ïîíèìàåòñÿ îïåðàòîð âèäà ( b
E ) 1, ãäå E òîæäåñòâåííûé
îïåðàòîð. Äðóãèìè ñëîâàìè ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë , ïðè êîòîðûõ îïåðàòîð b
E
íåîáðàòèì.
 îòñóòñòâèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì. Äëÿ òîãî ÷òîáû
ñäåëàòü åãî äèñêðåòíûì, íåîáõîäèìî íàëîæèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òðè òèïà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ïîâåðõíîñòè S Äèðèõëå, Íåéìàíà è Ðîáèíà,
êîòîðûå èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
L
L
(x)x2S = 0;
(@n(x))x2S = 0;
(@n(x) + u(x)(x))x2S = 0;
L
(26a)
(26b)
(26c)
ãäå @n ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäíîé ïî íîðìàëè, à ôóíêöèÿ u îïèñûâàåò "ïðîçðà÷íîñòü" ãðàíèöû. Äëÿ ñïèíîðíûõ è âåêòîðíûõ ïîëåé ñóùåñòâóþò è äðóãèå òèïû ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, êîòîðûå ìû çäåñü ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì.
Ñïåêòð îïåðàòîðà, = (n);j , çàâèñèò îò íàáîðà äèñêðåòíûõ ÷èñåë, (n), êîòîðûå
ìû íàçîâåì êâàíòîâûìè, è îò ÷èñëà j = 1; 2; : : :, íóìåðóþùåãî ðåøåíèÿ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå îáû÷íîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà, â ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîì
ñëó÷àå, íàáîðîì (n) ÿâëÿþòñÿ îðáèòàëüíîå è ìàãíèòíîå êâàíòîâûå ÷èñëà (l; m). Äëÿ
êàæäîé ïàðû ÷èñåë (l; m) ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå êîëè÷åñòâî ðåøåíèé êðàåâûõ óñëîâèé,
çàíóìåðîâàííûõ ÷èñëîì j .
Îáîáùåííîé äçåòà-ôóíêöèåé îïåðàòîðà b íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ñóììà:
X
Lb(s) = (ns);j :
(27)
L
L
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îïåðàòîðà b =
x = 0; ïîëó÷àåì ñïåêòð â âèäå èçâåñòíîé äçåòà-ôóíêöèåé Ðèìàíà
d2
dx2
(n);j
d2=dx2 è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Äèðèõëå â òî÷êàõ
= j 2, è îáîáùåííàÿ äçåòà-ôóíêöèÿ ñòàíîâèòñÿ
(s) =
1
X
j =1
j
21
2s
= R (2s);
P
s
ãäå äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà R (s) = 1
n=1 n .
Ýëëèïòè÷åñêîìó îïåðàòîðó b ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
L
@t(t; x) + Lb(t; x) = 0:
Çäåñü t > 0 ÿâëÿåòñÿ íå âðåìåíåì, à íåêîòîðîé âñïîìîãàòåëüíîé ïåðåìåííîé ðàçìåðíîñòè êâàäðàòà äëèíû. Òåïëîâûì ÿäðîì, K (t; x; x0 ) îïåðàòîðà b íàçûâàåòñÿ ðåøåíèå
ýòîãî óðàâíåíèÿ êàê ïî ïåðåìåííîé x, òàê è ïî x0 , óäîâëåòâîðÿþùåå "íà÷àëüíûì" óñëîâèÿì
L
lim K (t; x; x0) = (x; x0);
(28)
t!+0
ãäå ñïðàâà ñòîèò
þùèì îáðàçîì
D-ìåðíàÿ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà. Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóZ
p
dx (x; x0) = 1;
L
ãäå dx = gdD x èíâàðèàíòíûé ýëåìåíò îáúåìà. Ôóíêöèÿ Ãðèíà îïåðàòîðà b âûðàæàåòñÿ ÷åðåç òåïëîâîå ÿäðî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Z1
0
GLb(x; x ) = K (t; x; x0)dt:
0
L = 4 + m2 â ïëîñêîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàí-
 ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îïåðàòîðà b
ñòâå ýòà ôóíêöèÿ õîðîøî èçâåñòíà
K (t; ~r; ~r0) =
1
e
(4t)3=2
(~
r
~r0 )2
4t
tm2 :
Îíà óäîâëåòâîðÿåò òðåáóåìûì "íà÷àëüíûì" óñëîâèÿì (28), ÷òî ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå äåëüòà-ôóíêöèè êàê ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, êëàññè÷åñêèé ó÷åáíèê [34]). Èíòåãðèðîâàíèåì òåïëîâîãî ÿäðà
ïî t > 0 ïîëó÷àåì èçâåñòíóþ ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà
mj~r ~r0 j
GLb(~r; ~r0) =
e
:
4 j~r ~r0j
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî òåïëîâîå ÿäðî ñâÿçàíî ñ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì
òåïëîïðîâîäíîñòè
@ + b = (t) (3)(x x0);
t
ñîîòíîøåíèåì
E óðàâíåíèÿ
E LE
E (t; ~r; ~r0) = (t)K (t; ~r; ~r0):
L
Ðàçëîæèâ òåïëîâîå ÿäðî ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿ îïåðàòîðà b ëåãêî ïîêàçàòü,
÷òî òåïëîâîå ÿäðî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñïåêòð îïåðàòîðà
Z
X
0
t 0
K (t; x; x ) =
e (x)(x ):
R
P
Ñèìâîë
îáîçíà÷àåò èíòåãðèðîâàíèå â ñëó÷àå íåïðåðûâíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
è ñóììèðîâàíèå â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Íàáîð ôóíêöèé (x) óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèÿì ïîëíîòû è îðòîãîíàëüíîñòè
Z
(x)0 (x)dx = (; 0);
22
Z
X
(x)(x0) = (x; x0):
Ïîä ñèìâîëîì (; 0 ) ïîíèìàåòñÿ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî
ñïåêòðà è ñèìâîë Êðîíåêåðà, ;0 , äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà.
Ñëåäîì òåïëîâîãî ÿäðà íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîíñòðóêöèÿ:
Z
X
K (t) = K (t; x; x)dx =
e t;
(29)
îáîáùàþùàÿ ïîíÿòèå ñëåäà ìàòðèöû íà íåïðåðûâíûé ñëó÷àé. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïîëíîòû íàáîðà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.
Àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå òåïëîâîãî ÿäðà ïðè t
+0 äëÿ îïåðàòîðà ëàïëàñîâñêîãî âèäà,
=
+ m2 + U(x), õîðîøî èçâåñòíî [28] è èìååò ñëåäóþùèé
âèä:
1=2
1
(x;x0 )
tm2 X
0 n
0
L
!
4
Kas(t; x; x ) =
4
(4t)D=2
e
4t
n=0
B n (x; x )t :
2
2
(30)
Êîýôôèöèåíòû B (x; x0 ) íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè òåïëîâîãî ÿäðà.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ôèãóðèðóþò ðàçëè÷íûå èìåíà, ñâÿçàííûå ñ íèìè, èõ íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè Àäàìàðà, Ìèíàêøèñóíäàðàìà, Ïëåéäæåëÿ, Ñååëåÿ, Äæèëêè; â êâàíòîâîé
òåîðèè ïîëÿ èõ îáû÷íî íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè ÄåÂèòòà-Øâèíãåðà. Âû÷èñëÿÿ ïðåäåë ñîâïàäåíèÿ â (30) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîñòðàíñòâó, ïîëó÷àåì àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå äëÿ ñëåäà òåïëîâîãî ÿäðà:
1
n
e tm X
nt ;
B
Kas(t) =
(4t)D=2 n=0
2
2
2
(31)
R
ãäå B = B (x; x)dx. Âàæíîé îñîáåííîñòüþ ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî ïîëóöåëûì ñòåïåíÿì t.
Ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ òåïëîâîãî ÿäðà ïîäðîáíî èçëîæåíû â âûøåïðèâåäåííîé ëèòåðàòóðå. Èññëåäîâàíèÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè ñâÿçàíû ñ ðàññìîòðåíèåì
ðàçëè÷íûõ îïåðàòîðîâ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé êàê íà ãëàäêèõ ìíîãîîáðàçèÿõ, òàê è íà
ìíîãîîáðàçèÿõ ñ îñîáåííîñòÿìè. Ïîäðîáíûé îáçîð ýòèõ âîïðîñîâ íàõîäèòñÿ âíå ðàìîê
äàííîé ðàáîòû, è ìû êîñíåìñÿ òîëüêî òåõ ìîìåíòîâ, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ äàëüíåéøåãî ðàññìîòðåíèÿ. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èìåþòñÿ îáùèå ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ
òåïëîâîãî ÿäðà âïëîòü äî B2 . Äëÿ îïåðàòîðîâ ëàïëàñîâñêîãî òèïà ïîêàçàíî, ÷òî âñå
êîýôôèöèåíòû ñêëàäûâàþòñÿ èç äâóõ ÷àñòåé îáúåìíîé è ïîâåðõíîñòíîé, òàê, ÷òî èõ
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå:
Z
Z
B =
b dV
V +
c dS:
S Êîýôôèöèåíòû ñ öåëûì èíäåêñîì èìåþò îáà âêëàäà, òîãäà êàê ñ ïîëóöåëûì èíäåêñîì çàâèñÿò òîëüêî îò ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè è òèïà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà íåé,
ò.å. bn+ 1 = 0. Ïëîòíîñòè b è c âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòè2
êè ìíîãîîáðàçèÿ (òåíçîðû Ðèìàíà, Ðè÷÷è, ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà è èõ ïðîèçâîäíûå) è
ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè (âíåøíÿÿ êðèâèçíà K è íîðìàëüíûé (âíåøíèé) âåêòîð N
ïîâåðõíîñòè). Ïðèâåäåì çäåñü îñíîâíûå ôîðìóëû äëÿ îïåðàòîðà ëàïëàñîâñêîãî òèïà
=
+ m2 + U, çàäàííîãî íà D-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Âíà÷àëå âûïèøåì îáúåìíóþ ÷àñòü êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðàÿ íå çàâèñèò îò òèïà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:
!
L
4
b0 = f; b1 =
U
23
1
R f;
6
(
1 1 R R
R R +
180
180
9
1
1 !2 1
1 !=
+ U
R
4 U 5 R ; f:
2
6
6
b2 =
(32)
Âêëàä îò ãðàíèöû çàâèñèò îò òèïà óñëîâèé íà íåé. Äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Äèðèõëå
(26a) èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
c =
p
1
3
1
2
7(Kaa)2 + 10KbaKab f
f; c1 = Kaaf + f;N
2
96U 16R + 8RaNaN
c =
192
30Kaaf;N 24f;NN g
(
!
1
3
1
1 ! a 1 a
c2 =
R;N
R Ka
R NaN Kbb+
U;N
U
3
20
3
6
90
1
1 b ac 1 a :b 1
+ RaNbN K ab
RacbK + (Ka ):b +
(Kaa)3
30
90
15
189
11 a b c 8 a b c )
Ka Kc Kb + Kb Kc Ka f
315
189
(
1 ! 1 a 2 1 a b)
1
U
R
(K ) + Kb Ka f;N +
2
6
14 a
42
1
1
+ Kaaf;NN + (4f );N
15
12
3
2
p n
1
2
(33)
Äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Ðîáèíà (26c) èìååì èíûå ôîðìóëû:
)
1 a
c = + f; c1 = Ka + 2u f
2
3
1
2
(
1
f
2 ;N
96U + 16R 8RaNaN + 13(Kaa)2 + 2KbaKab + 96uKaa+
192
o
+192u2 f f6Kaa + 96ug f;N + 24f;NN
(
!
7
1
1 ! a 1 a
2
U; N
R;N
U
R Ka
R NaN Kbb+
c2 =
3
40
3
6
90
1
1 b ac 1 a :b 1 a 3
+ RaNbN K ab
R K + (Ka ):b + (Ka ) +
30
90 acb
15
27
1 a b c 4 a b c
1 ! 2
+ Ka Kc Kb +
Kb Kc Ka 2u U
R + u(Kaa)2+
45
135
6
5
2 a b 4 2 a 4 3 1 :a)
+ uKb Ka + u Ka + u + u:a f
15 !
3
3
3
(
1
1
1 a 2 1 a b 1 a 2 2)
U
R + (Ka ) + Kb Ka + uKa + u f;N +
2
6
30
30
6
3
!
1 a 1
1
+
Ka + u f;NN
(4f );N :
15
3
12
c =
3
2
p n
p
24
(34)
Âûðàæåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Íåéìàíà ïîëó÷àþòñÿ èç âûøåïðèâåäåííûõ
ôîðìóë äëÿ óñëîâèé Ðîáèíà çàìåíîé u
0.
Êîýôôèöèåíòû òåïëîâîãî ÿäðà íåîáõîäèìî ïîíèìàòü â îáîáùåííîì ñìûñëå. Ïî
ýòîé ïðè÷èíå â ôîðìóëàõ ôèãóðèðóåò ôóíêöèÿ èç ïðîñòðàíñòâà áåñêîíå÷íî-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé.
Ïåðâîå îáúåìíîå ñëàãàåìîå B0 = V íàçûâàåòñÿ âåéëåâñêèì âêëàäîì. Ïðîèñõîæäåíèå åãî ñëåäóþùåå.  1911 ãîäó Âåéëü ïîëó÷èë àñèìïòîòèêó ñïåêòðà îïåðàòîðà
Ëàïëàñà äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé ãëàâíîãî ÷èñëà n (VD îáúåì):
!
0
n 4 @
12
( D2 ) A D
VD
n D (1 +
2
1
X
ck
k ):
D
n
k=1
Èñïîëüçîâàíèå ãëàâíîãî ÷ëåíà ýòîãî ðàçëîæåíèÿ â îïðåäåëåíèè äçåòà-ôóíêöèè (41) â
îêðåñòíîñòè òî÷êè s = D=2 (ñì. (39)) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî B0 = VD , ò.å. b0 = 1.
Ñóùåñòâóåò òåñíàÿ ñâÿçü ìåæäó äçåòà-ôóíêöèåé îïåðàòîðà è åãî òåïëîâûì ÿäðîì.
Äçåòà-ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ìåëëèíà îò ñëåäà òåïëîâîãî ÿäðà K (t):
L(s) =
Z1 dt
0
ts
K (t):
t (s)
Ýòó ôîðìóëó ëåãêî äîêàçàòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âûðàæåíèå äëÿ ñëåäà òåïëîâîãî
ÿäðà (29) è îïðåäåëåíèå äçåòà-ôóíêöèè (27). Èñïîëüçóÿ â ýòîì ñîîòíîøåíèè àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ñëåäà òåïëîâîãî ÿäðà (31), ïîëó÷àåì ïîëþñíóþ ñòðóêòóðó äçåòàôóíêöèè:
1
(s + n 2D )
m 2s X
D
n
n
B m
=
L;as(s) =
D=2
(4
)
(
s
)
n
=0
8
9
1 < Bn
=
Bn+
D
D 1
1 mD 2s X
(
s
+
n
)
+
(
s
+
n
)
=
;:
(4 )D=2 (s) n=0 : m2n
2
m2n+1
2
2
1
2
(35)
Ýòî ðàçëîæåíèå â ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ îáû÷íî íàçûâàþò àäèàáàòè÷åñêèì, ïîñêîëüêó îíî èäåò ïî ñòåïåíÿì îáðàòíîé ìàññû.
Äëÿ öåëåé ïåðåíîðìèðîâêè â ýòîì âûðàæåíèè ñîõðàíÿþò âñå ñëàãàåìûå, "âûæèâàþùèå" â ïðåäåëå m
. Ýòè ñëàãàåìûå ñîäåðæàò âñå ïîëþñû ïðè s
1=2, ÷òî
íåîáõîäèìî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì,
!1
Ldiv;as(s)
!
m 2s DX+1 n D
=
B m
(4 )D=2 n=0
n
2
(s + n 2D )
:
(s)
(36)
Òåïëîâîå ÿäðî òàêæå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç äçåòà-ôóíêöèþ ñîîòíîøåíèåì
K (t; x; x0) =
1 I
(s)
ds s L(s);
2
t
ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå ïîëþñà ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ.
 ëèòåðàòóðå èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ íåñêîëüêî èíàÿ ôîðìà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ òåïëîâîãî ÿäðà, áåç ýêñïîíåíöèàëüíîãî ìíîæèòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ìàññîé,
Kas(t; x; x0) =
41=2 e
(4t)D=2
25
(x;x0 )
4t
1
X
n=0
A n (x; x0)t :
n
2
2
(37)
Êîýôôèöèåíòû A (x; x0 ) òîæå íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè òåïëîâîãî ÿäðà. Âû÷èñëÿÿ ïðåäåë ñîâïàäåíèÿ â (37) è èíòåãðèðóÿ ïî ïðîñòðàíñòâó, ïîëó÷àåì àñèìïòîòè÷åñêîå
ðàçëîæåíèå äëÿ ñëåäà òåïëîâîãî ÿäðà:
1
X
n
1
nt ;
A
(4t)D=2 n=0
(38)
A k = Ress= D k ( (s)L(s)):
(39)
Kas(t) =
2
2
R
ãäå A = A (x; x)dx. Êîýôôèöèåíòû òåïëîâîãî ÿäðà â òàêîé ôîðìå ìîæíî âûðàçèòü â âèäå âû÷åòîâ
2
2
2
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå â ôîðìå (38) è èñïîëüçóÿ
òîò ôàêò, ÷òî ãàììà ôóíêöèÿ èìååò ïðîñòûå ïîëþñà â öåëûõ íåïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëàõ
k = 0; 1; 2; : : :,
ïîëó÷àåì
( 1)k
(s k + ") ; " ! 0;
k!"
( m2)n k
;
An =
Bn
(n k)!
k=0
n
X
( m2)n k
A n+ =
:
Bn+
(n k)!
k=0
n
X
1
2
1
2
 áåçìàññîâîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû A ñîâïàäàþò ñ B .
 Ÿ3 ìû ïîäðîáíî ðàçîáðàëè ïðîñòåéøèå ìîäåëüíûå ñèòóàöèè, â êîòîðûõ óäàåòñÿ
â ÿâíîì âèäå ïîëó÷èòü ñïåêòð è, áîëåå òîãî, âû÷èñëèòü â ÿâíîì âèäå äçåòà-ôóíêöèþ
è ýíåðãèþ.  ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ðåàëüíûõ ñëó÷àåâ ñïåêòð ïîëó÷èòü íå óäàåòñÿ. Äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû áûë ïðåäëîæåí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ âûðàæåíèÿ äëÿ
äçåòà-ôóíêöèè áåç äåòàëüíîé èíôîðìàöèè î ñïåêòðå [18]. Ðàçáåðåì êðàòêî ýòîò ïîäõîä
íà ïðèìåðå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèþ
[m2 + R] = 0:
Äëÿ îáùíîñòè ðàññìîòðèì ñêàëÿðíîå ïîëå, "æèâóùåå" íà èñêðèâëåííîì ôîíå, íî
ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ âûáåðåì óëüòðàñòàòè÷åñêèì. Âûäåëèì â ÿâíîì âèäå çàâèñèìîñòü
îò âðåìåíè
(x) = (x)ei!t;
ãäå ïàðàìåòð ! èìååò ñìûñë ýíåðãèè. Òîãäà ïðîñòðàíñòâåííàÿ ÷àñòü ïîëÿ (x) ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì 2 = ! 2
m2 è óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ
(
4 + R) = 2:
 îòñóòñòâèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñïåêòð ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì. Äëÿ òîãî ÷òîáû
ñäåëàòü åãî äèñêðåòíûì, íåîáõîäèìî íàëîæèòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òðè òèïà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Äèðèõëå, Íåéìàíà è Ðîáèíà (ñì. (26)). Äëÿ ñïèíîðíûõ è âåêòîðíûõ ïîëåé ñóùåñòâóþò è äðóãèå òèïû ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Íåîáõîäèìîñòü
ðàññìîòðåíèÿ êðàåâûõ óñëîâèé ñâÿçàíà ñ äèñêðåòèçàöèåé ñïåêòðà. Äëÿ ðåàëüíûõ ñèòóàöèé ýòî ìîæåò èìåòü è ïðÿìîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë, íàïðèìåð, ïðè âû÷èñëåíèè ñèë
26
Êàçèìèðà â êîíêðåòíîé ñèòóàöèè, ãäå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ îïðåäåëÿþò ãåîìåòðèþ ýêñïåðèìåíòà. Êðàåâûå óñëîâèÿ (26) îïðåäåëÿþò çàâèñèìîñòü ñïåêòðà îò íàáîðà ÷èñåë (n),
êîòîðûé ìîæåò áûòü êàê íåïðåðûâíûìè, òàê è äèñêðåòíûì: = (n);j . Çäåñü èíäåêñ
j = 1; 2; : : : íóìåðóåò ðàçëè÷íûå ðåøåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
Ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïîëóñóììà (äëÿ íåïðåðûâíîé
ïåðåìåííîé ïîëóèíòåãðàë) ïî âñåìó ñïåêòðó ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
1 XXr
E=
2
2(n);j + m2:
j ( n)
Îïðåäåëåííàÿ òàêèì îáðàçîì âåëè÷èíà ðàñõîäèòñÿ.  ðàìêàõ ïîäõîäà äçåòà-ôóíêöèè
ýòî âûðàæåíèå ðàññìàòðèâàþò êàê àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ñëåäóþùåé ôóíêöèè:
1
2
E (s) = 2s
XX
j ( n)
(2(n);j + m2)
1
2
s
(40)
â îáëàñòü s = 0. Ïàðàìåòð ñ ðàçìåðíîñòüþ ìàññû ââåäåí äëÿ òîãî, ÷òîáû âåëè÷èíà
E (s) èìåëà ðàçìåðíîñòü ýíåðãèè. Ôóíêöèÿ
XX 2
(s) =
( + m2) s
(41)
L
j (n)
(n);j
L
4
ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííîé äçåòà-ôóíêöèåé îïåðàòîðà ëàïëàñîâñêîãî òèïà =
+ m2 +
R. Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ ýòîãî ïîäõîäà ïîëó÷àåì, ÷òî ðåãóëÿðèçîâàííàÿ ýíåðãèÿ
íóëåâûõ êîëåáàíèé ïðîïîðöèîíàëüíà äçåòà-ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþùåãî îïåðàòîðà:
1
!
1
E (s) = 2sL(s ):
2
2
(42)
Ïðè óñòðåìëåíèè s
0 ýòî âûðàæåíèå ðàñõîäèòñÿ. Äëÿ ïåðåíîðìèðîâêè íåîáõîäèìî âûäåëèòü â ÿâíîì âèäå ðàñõîäÿùèåñÿ ñëàãàåìûå è óñòðàíèòü èõ, ïåðåíîðìèðóÿ ïàðàìåòðû êëàññè÷åñêîé ÷àñòè ýíåðãèè. Âñå óëüòðàôèîëåòîâûå ðàñõîäèìîñòè ìîæíî âûäåëèòü, èñïîëüçóÿ àäèàáàòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå òåïëîâîãî ÿäðà è ñîîòâåòñòâåííî
äçåòà-ôóíêöèè (35). Ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé ñèòóàöèè èìååì:
Ldiv;as(s
1
m 2s DX+1 n D+1
)=
B m
2
(4 )D=2 n=0
(s + n D2 1 )
:
(s 12 )
n
2
Âûïèøåì â ÿâíîì âèäå ýòî âûðàæåíèå äëÿ ðàçíûõ ðàçìåðíîñòåé
D=1
Ldiv;as(s
1
1 m
)=p
2
4 (s
2s
1
2)
(
B0m (s 1) + B m (s
2
1
2
)
1
) + B1 (s) ;
2
D=2
Ldiv;as(s
1
1 m
) =
2
4 (s
2s
1
2)
(
B0m3 (s
27
3
) + B m2 (s 1)+
2
1
2
+ B1m (s
)
1
) + B (s) ;
2
3
2
D=3
Ldiv;as(s
1
1
m
) =
2
(4 )3=2 (s
2s
1
2)
(
B0m4 (s 2) + B m3 (s
1
2
)
1
) + B2 (s) :
2
+ B1m (s 1) + B m (s
2
3
2
3
)+
2
Äëÿ ïåðåíîðìèðîâêè íåîáõîäèìî âû÷åñòü èç ðåãóëÿðèçîâàííîãî âûðàæåíèÿ (42)
âñå ñëàãàåìûå, êîòîðûå "âûæèâàþò" â ïðåäåëå m
. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé èìååò ñëåäóþùèé âèä:
!1
div
E ren = lim
(
E
(
s
)
E
(s));
s!0
(43)
ãäå
E
div
1 2s div
!2s 1 DX+1 n D+1
1
B m
= L;as(s ) =
2
2
m 2(4)D=2 n=0
n
2
!1
(s + n D2 1 )
:
(s 12 )
(44)
Îòñþäà âèäíî, ÷òî âñå ñëàãàåìûå, îñòàþùèåñÿ â ïðåäåëå m
, ñîäåðæàò âñå ðàñõîäèìîñòè. Â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè D íåîáõîäèìî ñîõðàíÿòü ñëàãàåìûå äî B D+1 .
2
 áîëüøèíñòâå ñèòóàöèé íåâîçìîæíî íàéòè â ÿâíîì âèäå ñïåêòð îïåðàòîðà, ÷òîáû
âû÷èñëèòü äçåòà-ôóíêöèþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå áûë ðàçâèò ïîäõîä, ïîçâîëÿþùèé ñâåñòè
âû÷èñëåíèå äçåòà-ôóíêöèè ê èññëåäîâàíèþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà, êîòîðûå
íàéòè ãîðàçäî ïðîùå. Ñóòü ìåòîäà â ñëåäóþùåì. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà, íåîáõîäèìûå äëÿ âû÷èñëåíèÿ äçåòà-ôóíêöèè, íàõîäÿòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (26). Îáû÷íî
ýòè óñëîâèÿ ñâîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîãî òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ âèäà
(n)(; R) = 0;
(45)
ãäå ïàðàìåòð R õàðàêòåðèçóåò çàâèñèìîñòü îò ãðàíèöû. Ðåøåíèå = (n);j çàâèñèò
îò íàáîðà ÷èñåë (n) è äîïîëíèòåëüíî èìååò èíäåêñ j = 1; 2; : : : , êîòîðûé íóìåðóåò
ðàçëè÷íûå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äçåòà-ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
âûðàæåíèé, êîòîðûå çàâèñÿò îò íóëåé ôóíêöèè . Ïðèìåíÿÿ äàëåå ïðèíöèï àðãóìåíòà
X
@
1 Z
0
f
(
)
(
)
d
=
f
(
j)
2i @
j
X
k
f (1
k );
ãäå 0j ; 1
k íóëè è ïîëþñà ôóíêöèè , êîíâåðòèðóåì ðÿä ïî
êîíòóðíûé èíòåãðàë ïî êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè :
1 2s X X 2
((n);j + m2) s
2
j ( n)
1 X 1 Z
= 2s
d(2 + m2)
2 (n) 2i
E (s) =
j â âûðàæåíèè (40) â
1
2
28
1
2
s
@
ln (n)(; R):
@
Ðèñ. 3: Íà ðèñóíêàõ èçîáðàæåíà êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü ïåðåìåííîé . Êðåñòèêîì îáîçíà÷åíû
n (; R), êðóæêàìè ïîêàçàíû (âîçìîæíûå) ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ. (a) Âíà÷àëå
êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ îõâàòûâàåò âñå íóëè ôóíêöèè n (; R). (b) Çàòåì äåôîðìèðóåì êîí-
íóëè ôóíêöèè
( )
( )
òóð â ïîëóîêðóæíîñòü è (c) óñòðåìëÿåì åå ðàäèóñ ê áåñêîíå÷íîñòè. (d) Âêëàä îò ïðîìåæóòêà
[+im;
im] ðàâåí íóëþ (âîçìîæíûå ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ñîêðàùàþòñÿ).
Îñíîâíûå ýòàïû äàëüíåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé èçîáðàæåíû íà Ðèñ. 3. Êîíòóð îõâàòûâàåò ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè âñå íóëè ôóíêöèè (n) . Çàòåì ïðåäñòàâëÿåì êîíòóð
â âèäå ïîëóîêðóæíîñòè è åå äèàìåòðà, ðàñïîëîæåííîãî âäîëü ìíèìîé îñè, è ðàäèóñ
ïîëóîêðóæíîñòè óñòðåìëÿåì ê áåñêîíå÷íîñòè.  èòîãå îñòàåòñÿ èíòåãðàë âäîëü ìíèìîé
îñè = ik. Èíòåãðàëû ïî îòðåçêàì k
[ m; 0] è k [0; m] âçàèìíî ñîêðàùàþòñÿ,
è ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé:
@
1 X cos s Z 1
2
E (s) =
2
2s
(n)
m
2
dk(k2 m2)1=2
s
@k
ln (n)(ik; R):
(46)
Çäåñü íåîáõîäèìî ñäåëàòü íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ. Êîíòóð îõâàòûâàåò âñå íåíóëåâûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (45). Îáû÷íî ýòîìó óñëîâèþ òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåò
íóëåâîå ðåøåíèå 0 = 0, è ïðè ïåðåõîäå íà ìíèìóþ îñü âîçíèêàåò äîïîëíèòåëüíûé
âêëàä. Ïî ýòîé ïðè÷èíå íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü íóëåâîå ðåøåíèå èç óðàâíåíèÿ (45).
Ýòîãî ëåãêî äîñòèãíóòü äîìíîæèâ ýòî óðàâíåíèå íà ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòåïåíü . Ïîëíûé ñïåêòð ðåøåíèé íå èçìåíèòñÿ, òîãäà êàê íóëåâîå ðåøåíèå èñêëþ÷àåòñÿ. Âòîðîå
çàìå÷àíèå ñâÿçàíî ñ òîé ñèòóàöèåé, êîãäà èìåþòñÿ ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå
íåîáõîäèìî ñ ñàìîãî íà÷àëà ó÷èòûâàòü âêëàä òàêèõ ñîñòîÿíèé â ïîëíóþ ýíåðãèþ (40),
ò.å. äîáàâèòü ñëåäóþùåå ñëàãàåìîå:
1
2
X
E bound(s) = 2s (m2 2l )
l
1
2
s;
ãäå l ýíåðãèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Ôóíêöèÿ (n) (ik) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ
Éîñòà, íóëè êîòîðîé íà ìíèìîé îñè â èíòåðâàëå k
[ m; m] îïèñûâàþò ñâÿçàííûå
ñîñòîÿíèÿ. Âû÷åòû â ýòèõ òî÷êàõ â òî÷íîñòè ñîêðàùàþò âûïèñàííûé âûøå äîïîëíèòåëüíûé âêëàä â ýíåðãèþ, è â èòîãå ôîðìóëà (46) îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â ýòîé ñèòóàöèè.
 ïðåäåëå s
0 âûðàæåíèå (46) ðàñõîäèòñÿ. Ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (43). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàñõîäÿùåéñÿ ÷àñòè ýíåðãèè, íåîáõîäèìîé
äëÿ ïåðåíîðìèðîâêè, äîñòàòî÷íî â ôîðìóëå (46) èñïîëüçîâàòü ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè (n) . Ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå â ïðåäåëå m
ïðèâîäèò â òî÷íîñòè
ê ôîðìóëå (44), êîòîðàÿ ôàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì ÄåÂèòòà-Øâèíãåðà. Òàêèì
îáðàçîì, èñïîëüçóåìûé ïîäõîä ïîëåçåí íå òîëüêî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé, íî è äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ òåïëîâîãî ÿäðà.
2
!
!1
29
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
as(n) ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè äî ïîðÿäêà, ñîîòâåò-
ñòâóþùåãî ó÷åòó ðàçëîæåíèÿ ýíåðãèè äî ñòåïåíè m0 . Âû÷òåì è ïðèáàâèì ê ïîäûíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ (46) ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå as
(n) è ïðåäñòàâèì ýíåðãèþ â âèäå
ñóììû äâóõ ÷àñòåé
êîíå÷íîé (â ïðåäåëå
E (s) = En(s) + Eas(s);
s ! 0)
En(s) =
@
@k
1 2s cos s X Z 1
dk(k2
m
2
( n)
m2)
1
2
s
ln (n)(ik; R) ln as(n)(ik; R) ;
è ïîëó÷åííîé èç ðàâíîìåðíîãî ðàçëîæåíèÿ
1 2s cos s X Z 1
2
Eas(s) = dk
(
k
2
(n) m
m2)
1
2
s
@
ln as(n)(ik; R):
@k
 ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ó÷òåíû âñå ÷ëåíû ðàâíîìåðíîãî ðàçëîæåíèÿ, êîòîðûå â ïðåäåëå m
äàþò êîíå÷íûé âêëàä. Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â
óðàâíåíèå (43), ïîëó÷àåì
!1
E ren = En + Easn;
ãäå
En = En(0) =
1 XZ 1 p 2
dk k
2 (n) m
@ ln (n)(ik; R)
@k
(47a)
m2 ln as(n)(ik; R) ;
(47b)
Easn = lim
(E (s) E div ):
(47c)
s!0 as
Çäåñü ðàñõîäÿùàÿñÿ ÷àñòü E div äàåòñÿ ôîðìóëîé (44).
Êîíå÷íàÿ ÷àñòü En ïîëó÷àåòñÿ ÷èñëåííî. Âòîðàÿ, òîæå êîíå÷íàÿ, ÷àñòü íà ïðàêas
òèêå âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èñïîëüçóÿ ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå (n) , ïîëó-
!1
÷àåì â ÿâíîì âèäå Eas (s). Çàòåì â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè âû÷èñëÿåì ïðåäåë m
(ïðè ýòîì ïîëþñíàÿ ñòðóêòóðà íå èçìåíÿåòñÿ). Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå âû÷èòàåì èç
Eas(s) è âû÷èñëÿåì ïðåäåë s 0. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé
ôóíêöèåé.
Èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü îáùåå ïðàâèëî ïîâåäåíèÿ
ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé ñêàëÿðíîãî ìàññèâíîãî ïîëÿ â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìîòðèì ôîíîâîå ïðîñòðàíñòâî, õàðàêòåðèçóþùååñÿ íåêîòîðûì ðàçìåðíûì ïàðàìåòðîì . Íàïðèìåð, â ñëó÷àå êîñìè÷åñêîé ñòðóíû êîíå÷íîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ýòî ðàäèóñ ñòðóíû, â ïðîñòðàíñòâå êðîòîâîé íîðû ýòî ðàäèóñ ãîðëîâèíû. Òîãäà ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ðàçìåðà ïîâåäåíèå ýíåðãèè îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì âåëè÷èíû âòîðîãî
êîýôôèöèåíòà òåïëîâîãî ÿäðà
!
E ren
b2 ln(m)
;
m
16 2(m)
30
ãäå b2
= B2 âòîðîé áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ÿäðà.
Äëÿ áîëüøèõ ðàçìåðîâ ïàðàìåòðà ïîâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì íåèñ÷åçàþùèì êîýôôèöèåíòîì òåïëîâîãî ÿäðà. Äëÿ ïðîñòðàíñòâ, íå èìåþùèõ ñèíãóëÿðíûõ ïîâåðõíîñòåé, ýòî áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò b3 = B3 3 :
b3
E ren
:
m
32 2(m)3
Ïðè íàëè÷èè ñèíãóëÿðíûõ ïîâåðõíîñòåé òàêèì êîýôôèöèåíòîì áóäåò b5=2
E ren
b5=2
:
3
m
32 =2(m)2
= B5=22:
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé èìåëà ìèíèìóì, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû b2 è b5=2 (b3 ) áûëè ïîëîæèòåëüíû.  ýòîì ñëó÷àå ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ìàñøòàáà ïðåâàëèðóåò îòòàëêèâàíèå, à íà áîëüøèõ íàîáîðîò ïðèòÿæåíèå, è ýíåðãèÿ êà÷åñòâåííî èìååò âèä ïîòåíöèàëà Ëåíàðäà-Äæîíñîíà.
4.2
Îäíîìåðíûé ñëó÷àé
Ïðèìåíèì ýòîò ïîäõîä äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè Êàçèìèðà ìåæäó äâóìÿ ïëàñòèíàìè.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå îäíîìåðíûé ñëó÷àé. Óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèå ñïåêòðà ýíåðãèè
äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (7)
(k) = sin(kL) = 0:
(48)
Ýòîìó ñîîòíîøåíèþ òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿåò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå k = 0. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ è ÿâëÿåòñÿ íåíîðìèðóåìîé. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîäåëèì ïðåäûäóùåå ñîîòíîøåíèå íà kL è ïîëó÷èì ñëåäóþùåå
óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðà:
(k) =
sin(kL)
kL
= 0:
Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (48) çà èñêëþ÷åíèåì íóëåâîé ýíåðãèè. Äëÿ äàëüíåéøåãî (ñì. óðàâíåíèå (46)) íàì ïîíàäîáèòñÿ ôóíêöèÿ íà
ìíèìîé îñè. Îíà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
sh kL
ekL (ik) =
=
1 e
kL
2kL
äå:
2kL
:
 ðàìêàõ ýòîãî ïîäõîäà ðåãóëÿðèçîâàííàÿ ýíåðãèÿ âûðàæàåòñÿ â ñëåäóþùåì âè-
@
ln (ik)
@k
(
2L )
1
2
s
=
+
m)
L
:
k e2kL 1
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàñõîäèìîñòåé âû÷èñëèì ïðåäåë k ! 1. Îïóñêàÿ ýêñïîíåíöèàëüíî
E1(s) =
cos s Z 1
dk(k2
m
2 Z
cos
s 1
2
2s
dk
(
k
2 m
2s
ìàëûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì
E div (s)
1
1
2
s
1
2
s Z 1
2
2
dk
(
k
m
)
2 m
2s cos
= m2)
31
1
2
s
(
L
1)
k
:
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ýíåðãèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä:
E ren
1
= m
Z
1
1
dx
p
x2 1
e2x 1
:
Ýòî âûðàæåíèå ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì ðàíåå (10). Òî÷íî òàêîå æå âûðàæåíèå ïîëó÷àåòñÿ â ñëó÷àå óñëîâèé Íåéìàíà íà îáåèõ ïëàñòèíàõ.  ñëó÷àå, êîãäà íà îäíîé èç ïëàñòèí
èìååòñÿ óñëîâèå Äèðèõëå, à íà äðóãîé óñëîâèå Íåéìàíà, ïîëó÷àåì
(ik) = ch(kL):
Òîãäà
s Z 1
2
2
dk
(
k
m
)
2 m
2s cos
E1(s) = 1
2
s
(
L
2L )
:
e2kL + 1
Òàêèì îáðàçîì, ïåðåíîðìèðîâàííàÿ ýíåðãèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä:
E1ren = m
Z
1
1
dx
p
x2 1
e2x + 1
:
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (24) è íàïèñàííóþ âûøå ôîðìóëó, ëåãêî ïîëó÷èòü ýíåðãèþ
íóëåâûõ êîëåáàíèé â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îáðàçîì,
îáà ïîäõîäà äàþò îäèíàêîâûé ðåçóëüòàò. Ìåòîä, èñïîëüçîâàííûé â ýòîì ðàçäåëå ìîæåò
áûòü ïðèìåíåí è â òåõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà â ÿâíîì âèäå íåèçâåñòåí ñïåêòð îïåðàòîðà è
íåâîçìîæíî ïðîâåñòè ñóììèðîâàíèå â ÿâíîì âèäå.
4.3
Ýíåðãèÿ íóëåâûõ êîëåáàíèé äëÿ ñôåðû
 êà÷åñòâå íåòðèâèàëüíîãî ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðû âû÷èñëåíèé ðàññìîòðèì ýíåðãèþ Êàçèìèðà äëÿ ìàññèâíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â ïðîñòðàíñòâåâðåìåíè Ìèíêîâñêîãî ïðè íàëè÷èè ñôåðû ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿì Äèðèõëå íà íåé
(èäåàëüíî ïðîâîäÿùàÿ ñôåðà).  ýòîì ñëó÷àå íåâîçìîæíî íàéòè ñïåêòð ýíåðãèé â ÿâíîì
âèäå è ïîýòîìó íåâîçìîæíî âû÷èñëåíèå ýíåðãèè íóëåâûõ êîëåáàíèé íåïîñðåäñòâåííûì
ñóììèðîâàíèåì.
Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ïîäõîäå íåîáõîäèìî âûðàæåíèå äëÿ ãðàíè÷íîãî
óñëîâèÿ íà ìíèìîé îñè, ò.å. ïðè = ik, òî ìû ñðàçó ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ:
4 = k2;
ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì Äèðèõëå íà ñôåðå ðàäèóñà
R
r=R = 0:
Ïîñêîëüêó ñôåðà ðàçäåëÿåò ïðîñòðàíñòâî íà äâå îáëàñòè, òî íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü ýíåðãèþ íóëåâûõ êîëåáàíèé êàê âíóòðè, òàê è âíå ñôåðû. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ íóëåâûõ
êîëåáàíèé ðàâíà ñóììå ýòèõ âûðàæåíèé. Ó÷èòûâàÿ ñôåðè÷åñêóþ ñèììåòðèþ çàäà÷è
ïðåäñòàâèì ñêàëÿðíîå ïîëå â ñëåäóþùåì âèäå:
= Ylm(; ')(r);
ãäå
Ylm ÿâëÿþòñÿ ñôåðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
32
Ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü ïîëÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Áåññåëÿ
r200 + r0 (k2r2 + 2) = 0;
ãäå = l + 12 , è l = 0; 1; 2; : : :.
Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Áåññåëÿ
= c1I (kr) + c2K (kr):
Ïîëå, íàõîäÿùååñÿ âíóòðè ñôåðû, äîëæíî áûòü ðåãóëÿðíûì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ïðè
r = 0, è ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïîëîæèòü c2 = 0. Ïîëå âíå ñôåðû äîëæíî áûòü êîíå÷íûì
íà áåñêîíå÷íîñòè ïðè r
, è ïîýòîìó c1 = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
!1
in = c1I (kr);
out = c2K (kr):
Ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Äèðèõëå íà ñôåðå
r = R:
in(R) = out(R) = 0:
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïðèâîäÿò ê òðàíñöåíäåíòíûì óðàâíåíèÿì íà ñïåêòð ýíåðãèé
in(R) = c1I (kR) = 0;
(49a)
out(R) = c2K (kR) = 0:
(49b)
Ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé k;j íóìåðóþòñÿ äâóìÿ ÷èñëàìè = l + 1=2 è j = 1; 2; : : :.
Ïîñëåäíèé èíäåêñ íóìåðóåò ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (49) äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà l. ×òîáû óáðàòü òðèâèàëüíîå ðåøåíèå k = 0 â (49a) è èçáàâèòüñÿ îò
ðàñõîäèìîñòè ïðè k = 0 â óðàâíåíèè (49b), äîìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå íà k , à
âòîðîå íà k è îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ÷åðåç in è out :
in = k I (kR);
out = k K (kR):
 ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé òåîðèåé (46) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ðåãóëÿðèçîâàííîé ýíåðãèåé íóëåâûõ êîëåáàíèé âíóòðè è âíå ñôåðû, à òàêæå äëÿ ïîëíîé
ýíåðãèè:
Z1
1
cos s X
(2l + 1) m dk(k2
2 l=0
Z1
1
2s cos s X
Eout(s) = (2l + 1) m dk(k2
2 l=0
Etot(s) = Ein(s) + Eout(s):
Ìíîæèòåëü 2l + 1 ïîÿâëÿåòñÿ âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî
Ein(s) =
2s
1 X
+l
X
l=0 m= l
fl =
1
X
m2)1=2
m2)1=2
@
ln in;
@k
s @ ln ;
out
@k
s
(2l + 1)fl;
l=0
è ñîîòâåòñòâóåò ñòåïåíè âûðîæäåíèÿ ïî ìàãíèòíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó.
33
Äëÿ âûäåëåíèÿ âñåõ ðàñõîäèìîñòåé äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå äî ñòåïåíè 3 . Èñïîëüçóÿ ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå Äåáàÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ (ñì.
Ïðèëîæåíèå) è â ñîîòâåòñòâèè ñ (47), ïîëó÷àåì (k = x=R)
v
!
u
Z
1
u x 2
1X 1
t
in
2
En =
Easin(s) =
out =
En
Easout(s) =
Çäåñü âåëè÷èíû
è
p
m
dx
0l=0 mR=
R
1
v
u
3
u t X
@ B
@ln I (x) ln t
e
pDp(t)CA ;
@x
2
p=1
31=2 s
2
!2
Z1
1
X
cos
s
x
2s
m2 5
mR= dx 4
R
0 v l=0
1
u
3
u
@ B t t X p
@ln
x e + Dp(t)CA ;
@x
2
p=1
v
!
u
1 Z1
u x 2
1X
t
m2
dx
0l=0 mR=
R
1
v
u
3
u
X
@ B
t
@ln K (x) ln t e ( ) pDp(t)CA ;
@x
2
p=1
2
31=2 s
!2
1 Z1
x
cos s X
2
mR= dx 4
m5
R
1
0 vl=0
3
u t X
@ B u
@ln t x e
+ ( ) pDp(t)CA :
@x
2
p=1
(50a)
(50b)
(50c)
(50d)
Dp ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ñòåïåíè 3p ïåðåìåííîé t âèäà
p
Dp =
p
X
n=0
ap;ntp+2n;
t = 1= 1 + x2; = 1 + x2 + ln 1+px1+x
2
(51)
.
Âû÷èñëåíèÿ â âûðàæåíèÿõ (50b) è (50d) ìîæíî ïðîâåñòè äî êîíöà. Ñðàâíèâàÿ
çàòåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ îáùèì (44), ïîëó÷àåì êîýôôèöèåíòû òåïëîâîãî ÿäðà â
ÿâíîì âèäå
4
3
8
3
B0in = R3; B1in=2 = 23=2R2; B1in = R; B3in=2 =
1 3=2 in
16 ; B2 =
:
6
315 R
Ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèé Áåññåëÿ K îòëè÷àåòñÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ)
îò ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèé I òîëüêî çàìåíîé . Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
!
Bnout = Bnin; Bnout+ = Bnin+ :
1
2
1
2
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ðàñõîäÿùóþñÿ ÷àñòü ýíåðãèè â ÿâíîì âèäå
Eas = E div ;
34
ãäå â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè ñ (44)
8
2s <
E div
(s
(s 2)
3
=
m
B
+
m
B
0
16 3=2m2s :
(s 12 )
(s
9
(s) =
+ mB + B2
:
(s 12 ) ;
4
1
2
3
2)
1
2)
+ m2B1
(s 1)
+
(s 12 )
3
2
 ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé òåîðèåé (ñì. (47c)) íåîáõîäèìî âû÷åñòü ýòî âûðàæåíèå èç (50b)
è (50d), ò.å. òå ñëàãàåìûå, êîòîðûå "âûæèâàþò" â ïðåäåëå áîëüøèõ ìàññ m
.
Ðàçëîæåíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ â îêðåñòíîñòè s = 0 âûÿâëÿåò ïîëþñíûå ðàñõîäèìîñòè
8
8
0
19
0
19
2 =
3B
2B < 1
2 =
4B < 1
1
4
m
m
4
m
1
0
3
=
2
+ ln @ 2 A;
+
1 + ln @ 2 A; +
E div =
:
:
2
3
=
2
2
64 s 2
m
24
32 9 s
m
8
0
1
2
mB
B2 < 1
4 A=
@
+ 31==22
2
+
ln
:
16
32 2 : s
m2 ;
!1
Ïðîöåäóðå ïåðåíîðìèðîâêè ìîæíî ïðèäàòü âèä ïåðåíîðìèðîâêè çàòðàâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ, êàê ïðèíÿòî â êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ïîëíóþ
ýíåðãèþ â âèäå ñóììû êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé ÷àñòåé
in + E out :
Etot = Eclass + En
n
Êëàññè÷åñêóþ ÷àñòü ýíåðãèè ïîëÿ, çàêëþ÷åííîãî â ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êå, ïðåäñòàâèì
â ñëåäóþùåì âèäå:
h
Eclass = pV + S + F R + k + ;
R
ãäå V = 4R3 =3 è S = 4R2 . Ïàðàìåòð p èìååò ñìûñë äàâëåíèÿ, à ïîâåðõíîñòíî-
ãî íàòÿæåíèÿ. Îñòàëüíûå ïàðàìåòðû íå èìåþò ñïåöèàëüíûõ íàçâàíèé. Òîãäà óêàçàííîå
âûøå âû÷èòàíèå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïåðåíîðìèðîâêó çàòðàâî÷íûõ êîíñòàíò òåîðèè
8
0
19
2 =
m4 < 1 1
4
m3
@
A
p p
+ ln
; +
;
2 ;
64 2 :8s 2
m
48
0
19
2 =
m2 < 1
4
m
@
A ; k
F F+
k
1
+
ln
;
12 : s 8
m2 ;0 19 96
1 <1
42 A=
@
h h+
2
+
ln
:
630 : s
m2 ;
!
!
!
!
!
 èòîãå ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè êâàíòîâûõ ôëóêòóàöèé:
in + E out :
E = En
n
×èñëåííûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé ïîêàçàí íà Ðèñ. 4. Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå èìååòñÿ äâà ðàçìåðíûõ ïàðàìåòðà ðàäèóñ ñôåðû R è ìàññà ïîëÿ m, òî íà äâóõ
ðèñóíêàõ ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü îò ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Åñëè ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ìàññà ïîëÿ, òî áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèÿ ER, åñëè, íàîáîðîò,
ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ðàäèóñ ñôåðû, òî áåçðàçìåðíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ
35
Ðèñ. 4: Ýíåðãèÿ Êàçèìèðà äëÿ ñôåðû (ñêàëÿðíîå ìàñèâíîå ïîëå). Ñëåâà çàâèñèìîñòü îò ìàññû
ïîëÿ
m, ðàäèóñ ñôåðû R ôèêñèðîâàí. Ñïðàâà çàâèñèìîñòü îò ðàäèóñà ñôåðû R, ìàññà ïîëÿ
ôèêñèðîâàíà.
êîìáèíàöèÿ E=m. Ïîëó÷èâøèåñÿ ôóíêöèè çàâèñÿò òîëüêî îò áåçðàçìåðíîé ïåðåìåííîé mR. Êàê âèäíî èç Ðèñ. 4, ýíåðãèÿ â çàâèñèìîñòè îò ðàäèóñà îáíàðóæèâàåò íàëè÷èå
ýêñòðåìóìà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèëà Êàçèìèðà ìîæåò ìåíÿòü çíàê.  ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, êàê áûëî ïîêàçàíî Áîéåðîì (ñì., íàïðèìåð, [8]), ñèëà Êàçèìèðà ÿâëÿåòñÿ
îòòàëêèâàþùåé äëÿ âñåõ ðàäèóñîâ ñôåðû.
Ïðèëîæåíèå: Ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå Äåáàÿ
Ðàâíîìåðíîå ðàçëîæåíèå Äåáàÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä:
v
u
1
u t
X
I (x) = t e nu (t);
2
v
K (x) =
xI0 (x) =
p
xK0 (x) =
p
u
1
u t X
t e
(
v
u
u
t
n
n=0
) nun(t);
2
n=0
1 n
1 X
e
vn(t);
2st n=0
e
2t
1
X (
n=0
) nvn(t);
ãäå t = 1= 1 + x2 ; = 1 + x2 +ln px 2 , à êîýôôèöèåíòû u è v óäîâëåòâîðÿþò
1+ 1+x
ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì
12
1Zt
t (1 t2)u_ n(t) + 0 (1 5t02)un(t0)dt0;
2
8
1 2
vn+1(t) = un+1(t) + t(t 1)un(t) + t2(t2 1)u_ n(t):
2
un+1(t) =
36
Âåëè÷èíû
Dp îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì
ln
ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ñòåïåíè
1
X
n=0
nun =
1
X
n=1
n Dn ;
3p ïåðåìåííîé t âèäà
Dp =
p
X
n=0
ap;ntp+2n:
(52)
 ÷àñòíîñòè
1
5 3
t
t;
8 24
1
3
5
D2 = t2 t4 + t6;
16
8
16
25 3 531 5 221 7
D3 =
t
t + t
384
640
128
D1 =
37
1105 9
t:
1152
Ëèòåðàòóðà
[1] Íîáåëåâñêèå ëåêöèè ïî ôèçèêå 1901-1921 / Ïîä ðåä. Ñ. Íîâîêøîíîâ. Ì.: Ðåä.
æóðí. Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê, 2002. Ñ. 416.
[2] Eisenschitz R., London F. Uber
das Verhaltnis der van der Waalsschen Krafte zu den
hom
oopolaren Bindungskraften // Z. Phys. A. 1930. Vol. 60. P. 491527.
[3] London F. Zur Theorie und Systematik der Molekularkrafte // Z. Phys. A. 1930. Vol. 63.
P. 245279.
[4] Casimir H. B. G., Polder D. The Inuence of retardation on the London-van der Waals
forces // Phys. Rev. 1948. Vol. 73. P. 360372.
[5] Casimir H. B. G. On the Attraction Between Two Perfectly Conducting Plates // Proc.
K. Ned. Akad. Wet. 1948. Vol. 51. P. 793795.
[6] Casimir H. B. G. Some remarks on the history of the so called Casimir eect // The
Casimir Eect. 50 Years Later / Ed. by M. Bordag. World Scientic Publishing Co.,
1998. P. 39.
[7] Ëèôøèö Å. Ì., Ïèòàåâñêèé Ë. Ï. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà. ×àñòü 2. Ì.: Íàóêà, Ãë.
ðåä ôèç.-ìàò. ëèò., 1978. Ñ. 448.
[8] Ãðèá À. À., Ìàìàåâ Ñ. Ã., Ìîñòåïàíåíêî Â. Ì. Êâàíòîâûå ýôôåêòû â èíòåíñèâíûõ
âíåøíèõ ïîëÿõ. Àòîìèçäàò, 1980. Ñ. 296.
[9] Ãðèá À. À., Ìàìàåâ Ñ. Ã., Ìîñòåïàíåíêî Â. Ì. Âàêóóìíûå êâàíòîâûå ýôôåêòû â
ñèëüíûõ ïîëÿõ. Ì.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1988. Ñ. 288.
[10] Ìîñòåïàíåíêî Â. Ì., Òðóíîâ Í. Í. Ýôôåêò Êàçèìèðà è åãî ïðèëîæåíèÿ. Ì.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1990. Ñ. 216.
[11] Milonni P. W. The Quantum Vacuum. An Introduction to Quantum Electrodynamics.
Academic Press, New York, 1994. P. 522.
[12] Milton K. A. Casimir Eect: Physical Manifestation of Zero-Point Energy. World Scientic Publishing Co., 2001. P. 301.
[13] Parsegian A. V. Van der Waals Forces. A Handbook for Biologists, Chemists, Engineers,
and Physicists. Cambridge University Press, 2006. P. 380.
[14] Bordag M., Klimchitskaya G., Mohideen U., Mostepanenko V. Advances in the Casimir
Eect. Oxford University Press, New York, 2009. P. 749.
[15] Dowker J., Critchley R. Eective Lagrangian and Energy Momentum Tensor in de Sitter
Space // Phys.Rev. 1976. Vol. D13. P. 3224.
38
[16] Hawking S. Zeta Function Regularization of Path Integrals in Curved Space-Time //
Commun.Math.Phys. 1977. Vol. 55. P. 133.
[17] Blau S. K., Visser M., Wipf A. Zeta functions and the Casimir energy // Nuclear Physics
B. 1988. Vol. 310, no. 1. P. 163 180.
[18] Bordag M., Elizalde E., Kirsten K., Leseduarte S. Casimir energies for massive elds in
the bag // Phys. Rev. 1997. Vol. D56. P. 48964904.
[19] Õóñíóòäèíîâ Í. Ôîðìóëà Àáåëÿ-Ïëàíà â ïðèìåðàõ. Êàçàíü, 2013. Ñ. 21.
[20] Øàôàðåâè÷ È. Ð. Äçåòà-ôóíêöèÿ. Ì.: ÌÃÓ, 1969. Ñ. 149.
[21] Chavel I. Eigenvalues in Riemannian geometry. Academic Press, 1984. P. 379.
[22] Berline N., Getzler E., Vergne M. Heat kernels and Dirac operators. Springer Verlag
Berlin Heidelberg, 1991. P. 375.
[23] Gilkey P. B. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem.
Electronic reprint, 1996. P. 352.
[24] Rosenberg S. The Laplacian on a Riemannian manifolds. Cambridge University Press,
1997. P. 180.
[25] Gilkey P. B. Asymptotic formulae in spectral geometry. CRC Press LLC, 2004. P. 298.
[26] Grigor'yan A. Heat kernel and analysis on manifolds. American Mathematical Society.
International Press., 2009. Vol. 47 of Studies in Advanced Mathematics. P. 504.
[27] Calin O., Chang D.-C., Furutani K., Iwasaki C. Heat kernels for elliptic and sub-elliptic
operators. Methods and techniques. Birkhauser, 2011. P. 456.
[28] Elizalde E., Odintsov S. D., Romeo A. et al. Zata-regularization techniques with applications. World Scientic Publishing Co., 1994. P. 319.
[29] Elizalde E. Ten physicsl applications of spectral zeta functions. Springer Verlag Berlin
Heidelberg, 1995. P. 229.
[30] Esposito G. Dirac Operators and Spectral Geometry. Cambridge University Press, 1998.
P. 219.
[31] Avramidi I. G. Heat kernel and quantum gravity. Springer Verlag Berlin Heidelberg,
2000. P. 156.
[32] Kirsten K. Spectral Functions in Mathematics and Physics. Chapman and Hall/CRC,
2002. P. 400.
[33] Bytsenko A. A., Cognola G., Elizalde E., Moretti V. Analytic aspects of quantum elds.
World Scientic, 2003. P. 370.
[34] Âëàäèìèðîâ Â. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, Ãëàâ. ðåä. ôèç.-ìàò.
ëèò., 1981. Ñ. 512.
39