машины. Получены выражения для составляющих устройства электромагнитным моментом асин"

Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 4
машины. Получены выражения для составляющих
синтезирующей функции в обобщенном виде –
цель управления не задана явно. На основе синте"
зирующей функции получены управляющие
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bocker J., Mathapati S. State of the Art of Induction Motor Con"
trol // The University of Paderborn site. 2007. URL:
http://wwwlea.uni"paderborn.de/fileadmin/Elektrotechnik/ AG"
LEA/forschung/veroeffentlichungen/2007/07IEMDC"boecker"
mathapati.pdf (дата обращения: 01.06.2011).
2. Бичай В.Г., Пиза Д.М., Потапенко Е.Е., Потапенко Е.М. Со"
стояние, тенденции и проблемы в области методов управления
асинхронными двигателями // Радiоелектронiка, iнформати"
ка, управлiння. – 2001. – № 1. – С. 138–144.
3. Kerkman R.J., Skibinski G.L., Schlegel D.W. AC Drives: Year 2000
(Y2K) and Beyond // The Rockwell Automation site. 1999. URL:
http://www.ab.com/support/abdrives/documentation/techpa"
pers/Y2KIEEE.pdf (дата обращения: 01.06.2011).
устройства электромагнитным моментом асин"
хронного электродвигателя, отличающиеся про"
стотой реализации и идентификации переменных,
а также высоким быстродействием.
4. Григорьев А.В. Оптимальное управление координатами асин"
хронного электродвигателя// Вестник Кузбасского государ"
ственного технического университета. – 2008. – № 6. –
С. 29–32.
5. Ещин Е.К., Григорьев А.В. Общая задача управления асин"
хронным электродвигателем // Известия высших учебных за"
ведений. Электромеханика. – 2010. – № 1. – С. 39–43.
6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищен"
ко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. –
М.: Наука, 1983. – 392 c.
Поступила 04.07.2011 г.
УДК 621.313.8
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЭДС МАЛОИНЕРЦИОННЫХ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Е.Г. Коков, А.С. Жибинов, Э.Р. Гейнц, Г.С. Цехместрюк
ОАО «Научно*производственный центр «Полюс», г. Томск
E*mail: [email protected]
Получены аналитические выражения для расчета поля возбуждения в средней части активной длины машины, где поле прини*
мается плоскопараллельным, что позволяет достаточно точно находить ЭДС возбуждения в проводниках прямой части и с неко*
торым приближением – в проводниках лобовых частей обмотки.
Ключевые слова:
Магнитное поле, уравнение Лапласа, обмотка якоря, ЭДС проводника, коэффициент использования.
Key words:
Magnetic field, Laplace’s equation, armature winding, electromotive force of conductor, activity factor.
Требование максимального быстродействия
устройств автоматики обусловило необходимость
разработки исполнительных двигателей с малым
моментом инерции вращающихся частей. Для это"
го электрическая машина (ЭМ) заданной мощно"
сти проектируется с максимально допустимой
по механической устойчивости длиной якоря при
минимальном его диаметре (длинная ЭМ). Даль"
нейшее повышение быстродействия достигается
уменьшением инерционной массы ЭМ, когда вра"
щаются только проводники обмотки якоря (двига"
тель с полым печатным или проволочным якорем
[1]) или исключается зубцовая зона, а проводники
обмотки равномерно распределяются по ярму яко"
ря (двигатель с гладким якорем [2]). Дополнитель"
но снизить массу вращающихся частей можно пу"
тем активного использования лобовых соединений
[3] при продлении в их зону индуктора с одновре"
менным сокращением длины прямой (пазовой) ча"
сти якоря.
158
Поскольку в длинных ЭМ основное преобразо"
вание энергии происходит в проводниках прямой
части, а поле в этой зоне можно считать плоскопа"
раллельным, то можно обойтись более простым ре"
шением уравнения Лапласа в двухмерной области,
приняв найденные параметры поля для расчета
с некоторой погрешностью ЭДС в проводниках
лобовых частей, тогда как для коротких ЭМ
необходимо решение трехмерной задачи [4, 5].
Целесообразно определять поле в обобщенной
расчетной области (рис. 1), в которой можно выде"
лить пять подобластей в цилиндрических координа"
тах r, ϕ: t – подобласть с внутренним источником по"
ля J1, w – подобласть с наружным источником поля J2,
e, f – подобласть стыковых зазоров, отделяющих ис"
точники поля от соответствующих магнитопроводов.
Тогда частными вариантами будут: ЭМ с полым
якорем и внутренними постоянными магнитами
(ПМ) (J2=0, r9=r10=r11), полым якорем и наружны"
ми ПМ (J1=0, r1=r2=r3) и с гладким якорем (J1=0,
Энергетика
r1=r2=r3=r4). По приведенной на рис. 1 расчетной
области и полученной для нее математической мо"
дели можно найти поле в рабочем зазоре
ЭМ с шихтованным пакетом [6] и внутренними
(J2=0, r4=r5=r6=r7=r8=r9=r10=r11) или наружными
(J1=0, r1=r2=r3=r4=r5=r6=r7=r8) ПМ.
где
J1n =
4 J1
4J
sin pnϕ1 ; J 2 n = 2 sin pnϕ 2 ;
πn
πn
4p
π
−π 2 p
4p
=
π
−π 2 p
U 1n =
U 2n
∫
U1 (ϕ ) cos pnϕ dϕ ;
0
∫
U 2 (ϕ ) cos pnϕ dϕ ;
0
A1n = r2− pn +1 − r3− pn+1 + r1− 2 pn (r3pn+ 1 − r2pn+ 1 );
A2 n = r10− pn +1 − r9− pn+1 + r11− 2 pn (r9pn+ 1 − r10pn+ 1 );
A3 n = r1−2 pn − r11−2 pn .
В свою очередь, U1,2(ϕ) – функции распределе"
ния потенциалов на поверхности магнитопроводов
от падения магнитодвижущей силы в тангенциаль"
ном направлении, определяемые последователь"
ными приближениями (при первом расчете U1,2=0).
Дальнейшие вычисления производятся в сле"
дующем порядке. По радиальной индукции на по"
∂U e
B
=−
μ
верхности магнитопроводов
0
r
и
∂r
f
∂U
Br =− μ0
вычисляется их поток:
∂r
11
1
Рис. 1.
ϕ
Обобщенная расчетная область ЭМ
Решение уравнения Лапласа для скалярного
магнитного потенциала в отдельной области в ци"
линдрических координатах известно [7] и имеет вид
Φ j1 = ∫ Br1 r1d ϕ =
0
∞
= − μ0 r1 ∑ (Cnf r1pn −1 − Dnf r1− pn −1 )sin pnϕ ;
n =1
∞
U = ∑ (Cn r pn + Dn r − pn ) cos pnϕ.
ϕ
Ô j 2 = ∫ Br11 r11dϕ =
n =1
где n – нечетные числа натурального ряда; p – чи"
сло пар полюсов ЭМ; C, D –коэффициенты; ϕ –
полярный угол от оси полюса; r – расстояние
от центра расчетной области.
Используя условия на внешних границах r1, r11,
где равны потенциалы, и внутренних границах r2,
r3, r9, r10, где равны и потенциалы, и нормальные со"
ставляющие индукции, составим систему из десяти
уравнений для определения неизвестных коэффи"
циентов C и D, решив которую, найдем
⎡ 1
−pn
−pn
⎢ 2 pn ( J 1n A1n − J 2 n A2 n ) + U 1n r1 − U 2 n r11
⎣
J
C qn = 2 n A2n − Dnq r11−2pn + U 2n r11−pn ;
2 pn
J
J
Dnw = Dnq − 2 n r9pn +1 ; Cnw = C qn + 2n r9−pn + 1 ;
2 pn
2 pn
J
J
Dne = Dnw + 2 n r10pn +1 ; Cne = C wn − 2n r10−pn + 1 ;
2 pn
2 pn
J
J
Dnt = Dnq − 1n r3pn +1 ; Cnt = Cnq + 1n r3− pn +1 ;
2 pn
2 pn
J
J
Dnf = Dnt + 1n r2pn +1 ; Cnf = C tn − 1n r2−pn + 1 ,
2 pn
2 pn
Dnq =
1
A3 n
⎤
⎥;
⎦
0
∞
= − μ0 r11 ∑ (Cne r11pn −1 − Dne r11− pn −1 )sin pnϕ
n =1
и при известной высоте магнитопроводов hj1,2 опре"
деляется тангенциальная индукция:
1
1
B j1 =
Ô j 1 è Bj 2 =
Ôj 2 .
h j1
hj 2
Учитывая, что потенциал магнитопроводов по"
средине межполюсного пространства равен нулю,
очередное приближение U1,2 найдем в виде
ϕ
U1 (ϕ ) =
h j1 ⎞
⎛
⎜ r1 −
⎟ H ( B j1 )dϕ ;
2 ⎠
2p⎝
∫
−π
ϕ
hj 2 ⎞
⎛
⎜ r11 +
⎟ H ( B j 2 ) dϕ ,
2 ⎠
−π 2 p ⎝
где H(Bj) – нелинейная скалярная функция.
Итерации продолжаются до достижения задан"
ной погрешности двух последовательных прибли"
жений.
После определения поля в расчетной области
необходимо проверить правильность задания раз"
меров магнитов, вычислив индукцию при ϕ=0 и
r=r9, r=r3, r=r2. Ни одно из этих значений не дол"
U 2 (ϕ ) =
∫
159
Известия Томского политехнического университета. 2012. Т. 320. № 4
жно превышать значение остаточной индукции
ПМ [2].
При вычислении ЭДС принимаем индукцию
в зоне расположения обмотки равной среднему
значению по радиусу:
U q (r7 ) − U q ( r5 ) ∞
Bñðq = − μ0
= ∑ S n cos pnϕ ,
r7 − r5
n =1
Учитывая, что для прямой части обмотки
π
ϕ0 =
, получаем ЭДС элемента lп прямой части
2p
− μ0
[Cnq ( r7pn − r5pn ) + Dnq ( r7−pn − r5−pn )].
r7 − r5
Расчет ЭДС в лобовой части обмотки рассмо"
трим на примере аппроксимации ее формы зави"
симостью z=a+bϕ 0k (рис. 2), которая при k=1 пред"
ставляет прямую линию (треугольная форма лобо"
вой части обмотки), а при четном k≥2 – параболу
второго или высшего порядка [8].
π
, когда стороны витка располагаются по
2p
осям полюсов. Примем это значение за базовое:
где S n =
πn
sin pnϕ .
2
n =1
Максимального значения Ewп достигает при
∞
Ewï = −2ν lï ∑ Sn sin
ϕ=
∞
Ew 0 = −2ν lï ∑ Sn .
n =1
Считая витки обмотки якоря равномерно распре"
деленными по углу ϕ, ЭДС последовательно соеди"
ненных витков на полюсном делении запишем в ви"
π p
pwt
Ew d ϕ . Тогда для прямой части
де Et =
π ∫0
∞
∞
4
1
πn
Etï = − ν lï wt ∑ Sn sin ; Et 0 = − 2ν lï wt ∑ Sn ;
π
2
n =1 n
n=1
для лобовой части
∞
4
1
Etë = − ν lë wt ∑ Sn In .
π
n =1 n
Рис. 2. Представление лобовой части обмотки для расчета
ЭДС
Шаг обмотки в прямой части считаем диаме"
тральным, как обычно принимается для коллек"
торных ЭМ постоянного тока. После преобразова"
ний аппроксимирующей зависимости для угла ϕ0,
отсчитываемого от середины витка, получим
ϕ0 =
π
z
k 1−
.
lë
2p
При скорости ν взаимного перемещения про"
водника и поля ЭДС элемента dl проводника в ло"
бовой части обмотки вычисляется по составляющей
dz, перпендикулярной скорости, т. е. de=Bqcpνdz.
ЭДС dewл двух сторон витка в лобовой части при те"
кущей координате ϕ середины витка запишется
в виде
∞
dewë = ν ∑ Sn [cos pn(ϕ + ϕ 0 ) − cos pn(ϕ − ϕ 0 )]dz.
n =1
ЭДС лобовой части витка найдем, проинтегри"
ровав dewл на длине zm(0≤zm≤lл) распространения
магнитного поля в зону лобовых частей (рис. 2):
∞
Ewë = −2ν lë ∑ Sn In sin pnϕ ,
n =1
zm'
z
⎛πn k
⎞
1 − z ′ ⎟dz ′; z ′ = – относитель"
где I n = ∫ sin ⎜
l
2
⎝
⎠
ë
0
ная координата.
160
Для общего представления введем относитель"
ные параметры при длине элемента lп прямой ча"
сти, равной активной длине zm лобовой части: от"
E
носительную ЭДС витка Ew′ = w и обмотки
Ew 0
на полюсном делении Et′ =
Et
, коэффициент
Et 0
использования лобовой части kè =
∞
Ew′ ï =
∑S
n =1
n
sin
πn
sin pnϕ
2
∞
∑ Sn
Etë
:
Etï
∞
; Ew′ ë =
∑S I
n n
n= 1
2
Et′ï =
π
1
∑nS
n =1
n
∞
;
∞
zm′ ∑ Sn
n =1
∞
sin pnϕ
n= 1
sin
πn
2
∑ Sn
∞
2
; Et′ë =
π
1
∑nS I
n =1
n= 1
n n
∞
zm′ ∑ Sn
;
n= 1
1
Sn I n
∑
n =1 n
kè =
.
∞
πn
1
zm′ ∑ Sn sin
2
n =1 n
∞
Провести исчерпывающий анализ рассматри"
ваемых ЭМ по полученной математической моде"
ли из"за большого числа варьируемых параметров
(тип якоря, форма лобовой части, радиальные раз"
меры немагнитного зазора и обмотки якоря, раз"
Энергетика
Рис. 3. ЭДС: 1) прямой (E'wп) и 2–4) лобовой (E'wл) частей обмотки
меры и свойства ПМ и др.) не представляется воз"
можным, поэтому ограничимся частным примером
двигателя с гладким якорем ДПУ170 [8] (при заме"
не системы возбуждения с тангенциальной на ра"
диальную). Размеры активной части (в сантиме"
трах): r1=r2=r3=r4=2,71; r5=2,725; r7=2,955; r8=2,97;
r9=3,01; r10=r11=4,01; ϕ1=0; ϕ2=26°; p=2; lл=2,8;
lп=16,8.
Результаты расчетов при z'm=1 показаны на
рис. 3, а зависимости коэффициента использова"
ния kи от активной длины лобовой части zm и степе"
ни k аппроксимирующей ее параболы представле"
ны на рис. 4.
лобовые части (общей длиной 5,6 см) при коэффи"
циенте использования 0,688 (k=1) эквивалентны
по развиваемой мощности 3,8 см прямой части,
т. е. длину якоря можно сократить с 22,4 см (lп+2lл)
до 18,6 см при одновременном увеличении длины
индуктора с 16,8 до 18,6 см. Это приведет к сниже"
нию момента инерции (с учетом неизменной мас"
сы коллектора) примерно на 10 %, уменьшению
активного сопротивления якоря, потерь в меди
и улучшению теплового состояния. Использова"
ние лобовых частей обмотки эквивалентно увели"
чению мощности при неизменных габаритах ма"
шины.
Выводы
1. Получены аналитические выражения для рас"
чета магнитного поля малоинерционных маг"
нитоэлектрических машин, позволяющие нахо"
дить ЭДС возбуждения в прямой и лобовых ча"
стях обмотки якоря.
2. Исследование магнитоэлектрических машин
с активными лобовыми частями является осно"
вой для их оптимизации, что позволяет снизить
массогабаритные показатели. Улучшение ис"
пользования активного объема машин достига"
ется за счет приближения формы лобовой части
обмотки к прямоугольной.
Рис. 4. Коэффициент использования лобовой части обмотки
В рассматриваемом двигателе форма лобовых
частей обмотки близка к треугольной, поэтому две
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Казанский В.М. Беспазовые электродвигатели малой мощно"
сти: дис. … д"ра техн. наук. – Новосибирск, 1970. – 304 с.
2. Электрические двигатели с гладким якорем для систем автома"
тики / под ред. Ю.К. Васильева. – М.: Энергия, 1979. – 176 с.
3. Гейнц Э.Р., Коков Е.Г. Использование объема лобовых соеди"
нений обмотки якоря в электрических машинах постоянного
тока // Электронные и электромеханические системы
и устройства: Сб. науч. тр. / под ред. А.И. Чернышева. – Но"
восибирск: Наука, 2007. – С. 239–249.
4. Коков Е.Г., Жибинов А.С., Гейнц Э.Р. ЭДС якорной обмотки
в магнитоэлектрических машинах с активными лобовыми ча"
стями // Электронные и электромеханические системы
и устройства: Сб. науч. тр. / под ред. В.Н. Гладущенко. – Томск:
Изд"во НТЛ, 2011. – С. 273–281.
5. Коков Е.Г., Жибинов А.С., Гейнц Э.Р. Поля возбуждения и ре"
акции якоря в машинах с постоянными магнитами и якорной
обмоткой в воздушном зазоре // Электромеханические преоб"
Рекомендовано для публикации Оргкомитетом V Юбилей
ной Международной научнотехнической конференции «Элек
тромеханические преобразователи энергии», посвященной па
мяти Г.А. Сипайлова, г. Томск.
разователи энергии: Матер. IV Междунар. науч."техн. конф. –
Томск, 2009. – С. 45–48.
6. Коков Е.Г., Жибинов А.С., Гейнц Э.Р. Поля возбуждения и ре"
акции якоря магнитоэлектрических машин с шихтованным
сердечником // Электромеханические преобразователи энер"
гии: Матер. IV Междунар. науч."техн. конф. – Томск, 2009. –
С. 48–52.
7. Домбровский В.В. Справочное пособие по расчету электро"
магнитного поля в электрических машинах. – Л.: Энергоато"
миздат, 1983. – 256 с.
8. Братковский О.А., Судов В.Б., Руссков В.В. Электродвигатель
с беспазовым якорем для следящего привода // Системы авто"
номного электроснабжения и электромеханические устрой"
ства: Сб. науч. трудов НПО «Полюс» / под ред. П.В. Голубева
и А.И. Чернышева. – Томск, 1992. – Т. 2. Проектирование
и технология электрических машин и приборов. – С. 155–158.
Поступила 23.12.2011 г.
161