расчет балок на изгиб и кручение

Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Московский государственный университет путей
сообщения»
И нститут пути, стр о и те л ьства и сооруж ений
КАФЕДРА «СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА»
РАСЧЕТ БАЛОК НА ИЗГИБ
И КРУЧЕНИЕ
Рекомендовано редакционно-издательским
Советом университета в качестве
методических указаний
для студентов специальности СЖД
М осква - 2014
УДК 539.3/.6; 624.071.3; 624.04.001.24; 681.3
Д -11
Державин Б.П., Жаринов М.Ю., Лукьянов А.М., Мелешонков Е.И.
Расчет балок на изгиб и кручение: Методические указания по
дисциплине «Сопротивление материалов». - М.: МГУПС (МИИТ),2014.
-44 с.: ил.
Методические указания по курсу «Сопротивление материалов» для
студентов специальности СЖД посвящены разделу «Расчет балок на
изгиб и кручение». Кратко излагаются основные теоретические
сведения. Приводятся характерные примеры с подробными
решениями и для самостоятельного контроля - основные формулы,
контрольные вопросы с тестовыми задачами, что способствует
лучшему усвоению данных разделов курса. Методические указания
следует рассматривать как дополнение к лекциям и указанной
учебной литературе.
При выполнении задания рекомендуется использовать учебники;
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление
материалов. - 8-е изд. испр. - М.: Высш.шк. 2012, - 560 с.:ил.
2. Лукьянов А.М. Сопротивление материалов. Учебное пособие для
вузов ж.-д. транспорта. - М.: ГОУ «Учебно-методический центр по
образованию на железнодорожном транспорте», 2008, - 560 с.:ил.
©МГУПС (МИИТ), 2014
I П оперечны й и згиб б алок
1. П одбор по пе р е чн ы х сечений балок. А н али з
напряж енного состоян и я.
Пример 1. Для балки из стали С-255, нагруженной, как показано на
рис. 1:
1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. подобрать сечение из прокатного двутавра, используя условия
прочности по нормальным и касательным напряжениям;
3. построить для сечения m-n эпюры нормальных и касательных
напряжений;
4. в точке «К» сечения m-n исследовать напряженное состояние
аналитическим способом:
а) найти положение главных площадок и значения напряжений,
действующих на этих площадках;
б) определить положение площадок, где действуют ттах, и
значения напряжений на этих площадках.
При расчете принять:
коэффициент надежности по нагрузке у р =1,15;
коэффициент условий работы у =1,0;
расчетное сопротивление изгибу R и=240 МПа (24 кН/см2);
расчетное сопротивление сдвигу ^ = 1 4 0 МПа (14 кН/см2);
нормативная нагрузка qH=10 кН/м; а=1,5м.
Решение. Определим опорные реакции VA и VB из уравнений
равновесия:
EM B = 0,
VA-4 -q -4 a -2 a -q a а + qa2 = 0,
£ МА = 0,
-V B4а+ q-4a-2a+ qa За+ qa2=0.
Отсюда VA = 2qa; VB = 3qa.
После определения реакций VA и VB следует обязательно
проверить правильность их вычисления, составив уравнение
равновесия:
£Y=0,
2qa - q-4a - qa +3qa = 0
Следовательно, реакции найдены, верно.
В соответствии с характером нагружения разобьем балку на три
участка (рис. 1). Для каждого участка составим выражения
Q и М, применяя метод сечений (оставшиеся части балок показаны
на рис. 1,6,в,г):
3
а)
I1 /
Ча| ' 2
'3
»а!
* | П П ' 1 1 И и > П П в
\
_
£
I.
zi
12
1
Х ' з
\W Y
VA=2qa
За
6)
Г }
I
Ifzj
VB=3qa
— a - 5>|
e)
Ml
M
O'
t?—^
>' Qi
qa
!(*l±
Q2 1
iM
2 Ч а
■O
.
y.
L ______
z,
i <
г)
'С :— О
Qb
К примеру 1.
u
Рис. 1.
z, < За
Qi=2qa-qz, ;
участок II - 0 ^
^
qa
M
участок I - 0 ^
a
z2
g2= -Зда + 9Z2;
М, = 2 q a - z t - q z , ^ \
^
а
2
М 2 = - q a + 3qa -z2- q z 2-^-\
участок III -0 < z 3 < а
@з=0; М ъ —- qa 2
При помощи полученных выражений построим эпюры поперечных
сил и изгибающих моментов (рис. 2).
4
а)
■m /
.* * t t 1 I 1 H
' f
----Tjn
t П
I
I ) t u
qa
B
-O
f
<— a ->]<-- a -=H
VA=2qa
VB=3qa
6)
2qa
qa
n ^ T T T frL
Zo=2a
/
2qa
3qa
в)
qa
Рис. 2. К прим еру!
Заметим, что на участке I имеется сечение, где Q = 0. В этом
сечении изгибающий момент достигает экстремального значения,
что следует из дифференциальной зависимости
Q = dM /dz.
Найдем его значение.
Сначала определим положение этого сечения. Приравняем
выражение СЬ нулю:
Q t = 2qa - qz0= 0 , отсюда Zq=2а
(рис. 2,6).
Подставим значение z0 в выражение М1и вычислим
М„
= 2 q a - 2 a - q - 2 a ^ - = 2qa2
(рис. 2,в).
Определим значение расчетной нагрузки по формуле:
я = г Р -д и
где: у
(1)
(1)
- коэффициент надежности по нагрузке;
qH - значение нормативной нагрузки.
В нашем примере
q = 1,15 -10 = 11,5 кН/м.
Сечение прокатной двутавровой балки подбираем из условия
прочности по нормальным напряжениям
(2)
где: М „ах - наибольший изгибающий момент;
W=/„/y,nax ' момент сопротивления сечения
относительно
нейтральной оси х ;
у - коэффициент условий работы;
Rk - расчетное сопротивление изгибу.
Заметим, что наибольшие нормальные напряжения в поперечных
сечениях балки возникают в наиболее удаленных точках от
нейтральной оси х, которая проходит через центр тяжести сечения.
Наибольший расчетный изгибающий момент равняется (см. эпюру
М - рис. 2,в)
Mmax = 2qa2 = 2 11,5-1,5 2 =51,75 кН м.
Из условия прочности по нормальным напряжениям (2) вычислим
значение минимального момента сопротивления сечения:
Из сортамента выбираем ближайший больший номер двутавра, у
которого W / 0CT> Wx.
Таким будет двутавр № 22:
Wxr0CT = 232 см 3 > Wx. =. 216 см 3;
6
геометрические характеристики:
момент инерции 1Х = 2550с/и4,статический момент полусечения
Sx =131см3, и размеры поперечного сечения (рис. 3): высота двутавра
- h = 22см, ширина полки - b =11см, толщина стенки - s = 0,54см,
средняя толщина полки - t = 0,87см.
Проверим прочность балки из двутавра № 22 по нормальным
напряжениям (2):
<xmax= Мта!С/ Wxr0CT= 51,75-10 2/232=
=22 3 кН/см 2= 223 МПа < у Ru =1-240 МПа.
Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки (двутавр №
22) условию прочности по касательным напряжениям:
О
S?mc
Ттах~
j в
- У Reд
(3)
где: Q тах- наибольшая поперечная сила;
1Х - момент инерции всего сечения относительно нейтральной
оси х ;
Sx отс- статический момент сдвигаемой (отсеченной) части
поперечного сечения относительно нейтральной оси х ;
в ширина
поперечного
сечения
балки
на
уровне
рассматриваемой точки;
Я?ед - расчетное сопротивление сдвигу.
Наибольшие касательные напряжения возникают в точках стенки
двутавра находящихся на нейтральной оси х (рис. 3, а)
Определим наибольшую расчетную поперечную силу (см. эпюру Q
- рис. 2, б)
Q max- 3qa = 3 -11,5-1,5 = 51,75 кН.
Проверим прочность балки по касательным напряжениям (3):
т
тах
= 51' 7 5 ' 131 * 4,92 кН/см2 * 49,2 МПа <yR
2550-0,54
= 140 МПа
Таким образом, двутавр № 22 удовлетворяет
прочности по нормальным и касательным напряжениям
условиям
7
Заметим, что в некоторых случаях, кроме указанных выше
проверок прочности, необходима ещё и проверка по главным
напряжениям
о 'г л
=
о12
=
а/2
±
1/2у]о2 + 4т2 < yRw
В балках имеются сечения, где изгибающий момент и поперечная
сила одновременно достигают больших значений и в этих сечениях
могут быть точки, в которых напряжения а и т также будут достигать
значений, мало отличающихся от максимальных. Например, в
двутавровом сечении такие точки находятся в месте перехода полки в
стенку (точки 3 и 4 - см. рис. 3,а); другая точка (точка 6 - см. рис. 3,а)
- у наружной поверхности полки в месте её примыкания к стенке
(здесь возникают максимальные нормальные напряжения и
наибольшие горизонтальные касательные напряжения).
Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для
заданного сечения m - n (см. рис. 2).
Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения
определяются по формуле:
/Р
Му
О = у -у
(4)
где: М х - изгибающий момент в рассматриваемом сечении m - n ;
1Х- момент инерции сечения относительно нейтральной оси х ;
у - расстояние от нейтральной оси х до точки, в которой
вычисляются напряжения.
Знак напряжения определяется по физическому смыслу, т.е. если,
например, точка находится в растянутой части сечения (при
положительном моменте растянута нижняя часть), то напряжение в
этой точке принимается положительным (растяжение).
Из формулы (4) видно, что нормальные напряжения в поперечном
сечении изменяются по линейной зависимости (пропорционально
расстоянию у). Поэтому для построения эпюры а в сечение m - n
достаточно вычислить значения напряжений в крайних точках 1 и 2
(рис. 3,а) этого сечения.
Изгибающий момент в сечении m - n равняется:
MU1 = 2qa a - qa a/2 = 1,5 qa2 =1,5-11,5-1,5 2 = 38,8 кН м.
8
Нормальные напряжения в точках 1 и 2 вычисляем по формуле (4)
СГ„ = ^ у =
**
_
33,5 -10z
11 = 1-16,7 кН/см2 = + 767 МПа
2550
Эпюра нормальных напряжений изображена на рис. 3,6.
= +
в)
МПа
12,9
__Л
А
\ 15,9
16,4
I
I
7
12,9
Рис. 3. К прим еру!
В сечениях прокатных двутавровых балок большую часть
поперечной силы воспринимает стенка. Эта часть составляет (0,95
0,97) Q .
В полках двутавра действуют только горизонтальные касательные
напряжения - х». Значения этих напряжений, обычно, невелики и
поэтому они не имеют практического интереса.
Вертикальные напряжения в полках (xzy) довольно точно равны
нулю. Они возникают в полках лишь в пределах стенки, их
распределение, как и значения, которые малы, не могут быть
определены методами сопротивления материалов.
9
Поэтому эпюра касательных напряжений (тгу) строится только для
стенки. Напряжения в стенке, изменяются по закону квадратной
параболы.
Касательные напряжения в любой точке стенки двутаврового
сечения балки вычисляются по формуле
Q -S?™
- V
,
/„ ■в
(5)
где: Qy - поперечная сила в рассматриваемом сечении m - n ;
1Х - момент инерции всего сечения относительно нейтральной
оси х;
в ширина поперечного сечения балки
на уровне
рассматриваемой точки - в примере толщина стенки двутавра;
J
S хOTC - статическииw момент отсеченнойWчасти поперечного
сечения
относительно нейтральной оси х;
это часть поперечного сечения, которая располагается по одну
сторону от прямой, проведенной через рассматриваемую точку и
параллельной нейтральной оси х.
Поперечная сила в сечении m - n равняется (рис.1 и 2):
Qm.n = 2qa - q a = qa = 11,5-1,5 = 17,25 кН.
Для построения эпюры касательных напряжений определим их
значения в характерных точках (рис.З, а).
Точки 3 и 4 (в месте сопряжения полки со стенкой):
статический момент для вычисления напряжений в этих точках
(статический момент полки) можно определить вычитанием из
статического момента полусечения двутавра (приведенного в
сортаменте) статического момента половины стенки
Sxomc = 131 - 0,54 (11 - 0,87) (1 1 - 0,87)/2 = 103,3 см3
17,25-103,3
у
т3 =т4 = ------- = 1,29 кН/см2 = 12,9 М П а .
2550-0,54
Точка 5 (на нейтральной оси х):
17 25■131
х5 = — :---- = 1,64 кН/см2 = 16,4 МПа.
2550-0,54
Эпюра касательных напряжений ( tzy) приведена на рис.З,в.
10
Определим долю поперечной силы, которая воспринимается
стенкой двутавра. Для этого умножим площадь эпюры т2у, состоящую
из площади прямоугольника и площади квадратной параболы (на
рис. 3,в они разделены пунктирной линией) на толщину стенки
Qy = 1,29 (22 -20,87)- 0 ,5 4 + у (1 ,6 4 - 1,29)(22 - 2 0,87) 0,54=14,11+2,55 = 16,66 кН,
что составляет {16,66/17,25)100% = 96,6% от значения поперечной
силы Оу =17,25 кН.
Исследуем напряженное состояние в заданной точке «К» сечения
m-n (рис. 2,а и 3,а). Для этого сначала выделим в окрестности этой
точки элементарный параллелепипед, на гранях (площадках) которого
будут действовать нормальные и касательные напряжения.
Напомним, что касательные напряжения имеют два индекса:
первый, указывает с какой осью параллельна, внешняя нормаль
площадки, второй - с какой осью параллелен вектор напряжения.
Правило знаков для касательного напряжения: оно считается
положительным, если одновременно направления внешней нормали и
вектор касательного напряжения совпадают или одновременно не
совпадают с направлением соответствующих координатных осей.
Нормальные напряжения имеют один индекс, который указывает, с
какой осью параллелен вектор напряжения. Правило знаков для
нормального напряжения: растягивающее напряжение считается
положительным, сжимающее - отрицательным.
На вертикальных площадках, совпадающих с поперечным
сечением, действуют нормальные oz и касательные т2у напряжения.
Нормальные напряжения будут сжимающими, так как точка «К»
находится в сжатой зоне (при положительном изгибающем моменте
сжата верхняя часть балки), а касательные напряжения совпадают с
направлением поперечной силы (при положительной поперечной силе
они стремятся повернуть элемент по ходу часовой стрелки).
На горизонтальных площадках возникают только касательные
напряжения t yz, которые на основании закона парности равны
напряжениям т2у, то естьт^ = t zy; (см. рис. 4).
11
Нормальные напряжения сту равняются нулю, так как принято
допущение - продольные волокна не давят друг на друга.
На вертикальных площадках (в плоскости yz), которые
перпендикулярны оси х, нормальные и касательные напряжения
равняются нулю.
Напряжения,
действующие
на
площадках
выделенного
параллелепипеда, принято называть исходными.
В дальнейшем для простоты изображения будем рассматривать
прямоугольный элемент, являющийся проекцией параллелепипеда на
вертикальную плоскость (рис. 5).
/
v У
и 1
Ъу
O z = 6 0 ,8
Z
z
Ъ у
T z y = 1 5 ,9
Tyz
Рис. 5. К прим еру!
Определим значения исходных напряжений:
а) нормальных по формуле (4):
12
а = - 38,8' 1G— - 4 = -6 ,0 8 кН/см2 =- 6,08 МПа
2550
б) касательных по формуле (5):
Sxomc = 131 - 0,54 4 2 = 126,7 см3
Г„ := ---
17,25-126,7
= -7,59 кН/см = -1 5,9 МПа
2550 ■0,54
Знак минус у напряжения
принят потому, что внешняя нормаль
площадки совпадает с осью z, а направление вектора напряжений не
совпадает с осью у.
Значения главных напряжений вычисляются по формулам:
= °тах = ° г /2 + ] / 2 \ ° ' +
4тJ
=°пип =(Tz/ 2 - l / 2 ^ j a z2 +4т
\
(6)
2
Тогда
а, = -60,8/2 + 1/2^( -60,8)2+ 4( -15,9)3 =
= -30,4 + 34,3 = +3,9 МПа (растяжение)
а, = - 6 0 , 8 / 2 - 1 / 2 ^ ( - 6 0 , 8 ) 2 + 4 ( - 1 5 ,9 ) 2 =
= -64,7 МПа
(сжатие)
Положение главных площадок определим по формулам:
tga, = г_у /о , ;
tg a 2 =
/ а 2.
(7)
где а, и а 2 - углы наклона внешних нормалей главных площадок
(векторы а { и о 2) к оси z;
- 1 5 ,9
tga, = ------- ’-
'
А ппп.
= -4 ,0 7 7 ;
а
Л
= -7 6 ,2
0
„
= -7 6
+ 3 ,9
13
tga2= —~5' 9 = +0,246;
a2 = +13,8 ° = +14°
- 64,7
Положительный угол ос откладывается от оси z против хода
часовой стрелки, а отрицательный - по ходу часовой стрелки.
Исходный элемент и элемент с главными площадками, а также
векторы напряжений действующих на площадках этих элементов
показаны на рис. 6.
Ог= 3,9
Рис. 6. К прим еру!
Примем главные площадки за исходные, совместив ось координат
z-i с направлением а 1, а ось у, - с напряжением о 2 (рис.7). В этом
случае напряжения, действующие на наклонных площадках,
вычисляются по формулам:
<т, + <у
cos2/?
2
(8)
sin i p
где:/?- угол, который отсчитывается от направления напряжения
а ! (оси z-i); при повороте осей Zy у! против хода часовой стрелки угол
/3 считается положительным.
14
Рис. 7Zl
К прим еру!
Из формулы (8) для Гр видно, что наибольшие касательные
напряжения действуют на площадках, наклоненных к главным на
угол /3 \ = 45° и /02= Р \ + 90°= 13&.
Вычислим значения напряжений на площадках, наклоненных на
угол
/?!
и
р 2 , по формулам
(8).
Тогда
cos2fi, =cos90° =0,
{32 = cos270 ° = 0 , sin2fi, = +1;
sin2fi2 = - 1 .
Нормальные напряжения равняются:
cos2
°45 = °135 ~
(т,+(т2 3,9 + ( -6 4 ,7 )
2— = ---- 2--- =
МПа (сжатие)
Касательные напряжения
СГ7 —<т2
(Ту о 2 ,
3 , 9 - ( -6 4 ,7 )
+ 0 = ---- ---- = -34,3 М П а ,
,,
3 ,9 -(-6 4 ,7 )
* » «= *.« = — Ly J- ( ~ l ) = + ------ -------- *- = +34,3 МПа.
Заметим, что направления векторов напряжений - г ш = - т 45
определяются в соответствии с указанным выше правилом в
повернутых осяx z ^ , на углы 45° (оси z 'у ' ) и 135° (оси z" у 11) - см.
рис. 7.
Исходный элемент с главными площадками и элемент, на
площадках которого действуют ттах и соответствующие нормальные
напряжения а45 и а 135 показаны на рис. 7.
15
2. Проверка прочности балок по нормальным и
касательным напряжениям.
Пример 2. Для балки из стали С-285 (рис. 8):
1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. проверить выполняются ли условия прочности по
нормальным и касательным напряжениям.
При расчете принять:
коэффициент надежности по нагрузке у р = 1,25;
коэффициент условий работы /=0,9;
расчетное сопротивление изгибу R„=260 МПа (26 кН/см2);
расчетное сопротивление сдвигу RCfl=150 МПа (15 кН/см2);
нормативная нагрузка q „=10 кН/м; а = 1,0 м.
Решение. Учащимся рекомендуется самостоятельно
определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов для балки, показанной на рис. 8.
а)
10x200мм
2qa
/
2^18
%
2а ±
6’
VA=6qa
4а-
VB=2qa
@
4qa
' ' 'ф
Ф
2qa
в)
Ф
4 6qa2
Рис. 8.
16
К примеру 2.
2qa
Проверку прочности по нормальным напряжениям выполняем
для сечения, где М = Мтах. Определяем в этом сечении
напряжения атах, которые действуют в точках, наиболее
удаленных от нейтральной оси х.
Вычислим значение расчетной нагрузки по формуле (1)
q = 1,25 10 = 12,5 кН/м.
Наибольший расчетный изгибающий момент равняется (рис.
8,в).
Мтах = 6 qa 2 = 6-12,5 1 2 = 75 кН м.
Определим положение центра
сечения, по формуле:
тяжести
поперечного
Ус= ^ = 1 ± Ж
Ус А
£4
где: Д - площадь простой фигуры;
(9)
у с - расстояние от вспомогательной оси х, до центра тяжести
простой фигуры;
(20 , 7 - 9)-2 + 1 - 20-(18 + 0, 5)
Ус =
= 12,1 см.
20,7-2 + 1-20
От оси х-I откладываем вверх расстояние ус = 12,1 см и
обозначаем центр тяжести сечения буквой С (рис. 9).
У ..
20
K
D
сг»
О
Размеры в см.
Рис. 9.
К примеру 2.
17
Вычислим момент инерции сечения относительно центральной
(нейтральной) оси х по формуле:
(Ю)
где:
Iх-
момент
инерции
простой
фигуры
относительно
центральной оси Xj, параллельной оси х ;
а. - расстояние между осями х j и х ;
А, - площадь простой фигуры.
20■ I 3
1Х = 2[1090 + (12,1 - 9 ) 2 ■20,7] + [-— - + 20■ 1 ( 6 ,9 - 0,5)2] =
= 2578 + 821 = 3399 см '
Для швеллера № 18: А = 20,7 см2 I х = 1090 см4 .
Находим
формуле:
момент
сопротивления
сечения
при
изгибе
по
(11)
Проверим прочность балки по нормальным напряжениям (см.
условие (2) в примере 1)
о,
75 ■10
------------= 26,7 кН /см2 = 267 М Па > 0 ,9 -2 6 0 = 234 МПа.
281
Следовательно, прочность балки по нормальным напряжениям
не обеспечена.
Проверку прочности по касательным напряжениям выполним
для сечения, где Qy = Qmax . Определяем в этом сечении
напряжения Г тах, которые действуют в точках, расположенных на
уровне центра тяжести (нейтральной оси х).
Наибольшая расчетная поперечная сила равняется (рис. 8,6)
Qmax
18
= 4qa = 4-12,5-1 = 50 кН.
Значение статического момента S ° TC можно вычислить либо
для части сечения, расположенной выше, либо ниже нейтральной
оси х.
Напомним, что статический момент площади А относительно
какой-либо оси равняется произведению этой площади А на
расстояние от ее центра тяжести до оси.
Проще вычислить статический момент нижней части сечения
относительно нейтральной оси х (рис. 10)
S°mc = 2[0,87 ■7(12,1- 0,87/2) + 0,51 -11,23 11,23/2] =
= 2,[71,0 + 32,2] = 206,4 см3.
Рис. 10.
К примеру 2.
Учащимся рекомендуется определить статический момент
верхней части сечения относительно нейтральной оси х (рис. 11) и
сравнить его с вычисленным выше (их значения должны быть
равны - в этой задаче расхождение составляет менее 1% - ответ
rio m c
\
_ Л^ _
з ч
= 207,5 см ).
Рис. 11.
К примеру 2.
19
Ширина сечения балки, где определяется г тах, равняется
толщине стенок двух швеллеров, т.е. в = 2-0,51 см.
Проверим прочность балки по касательным напряжениям (см.
условие (3) в примере 1)
г
=
- 50' 2- 6’4 = 2,98 кН/см2 = 29,8 МПа <
3 3 9 9 -2 -0 ,5 1
< 0 ,9 - 1 5 0 = 135 МПа.
Следовательно, условие прочности по касательным
напряжениям выполняется.
Вывод: прочность балки не обеспечена, так как не выполняется
условие прочности по нормальным напряжениям.
В этом случае, необходимо либо уменьшить расчетную
нагрузку, либо увеличить размеры поперечного сечения балки.
Для обеспечения прочности балки требуется выполнение обоих
условий - по нормальным и касательным напряжениям.
Заметим, что, кроме этого в Строительных Нормах и Правилах
(сокращенно СНиП) при расчетах на прочность в точках стенки
балки требуется выполнение условия
0,87-л]а~ + 3 г2 < yRM.
20
3. Упруго-пластический
предельной нагрузки.
изгиб
балок.
Определение
Пример 3. Для балки из стали С-235 (рис. 12):
1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. вычислить значения:
а) нагрузки qm, при которой в сечении, где действует М тах,
нормальные напряжения в наиболее удаленных от нейтральной
оси точках достигают предела текучести от;
б) предельной нагрузки qnp, при которой в том же сечении
образуется
пластический шарнир, т.е. наступает предельное
состояние балки.
3. Определить отношение вычисленных нагрузок
a = Я п р /Я т-
При расчете принять:
предел текучести оТ= 235 МПа (23,5 кН/см2); а = 1,0 м.
а)
А
q
1 i n
кс
VA=3qa
.qa
20
(л i i i i i I
,4а
X
4
-
2.3
3qa
qa
I ? ПТПТГРГ-
/
^
e)
^1
2¥ Ц
ю
VB=2qa
®
$
<------- Zo= За
2qa
(м)
4,5qa'!
Рис. 12.
4qa
К примеру 3.
Решение.
Учащимся
рекомендуется
самостоятельно
определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов для балки, показанной на рис. 12.
21
Задача об исследовании исчерпания несущий способности
конструкции (балки) является довольно сложной. Но для
конструкций из низкоуглеродистой стали (С235........ С285),
обладающей ярко выраженной площадкой текучести, задача
упрощается. Реальную диаграмму напряжение - деформация
можно заменить без большой
погрешности диаграммой
идеального упругопластического материала диаграммой
Прандтля (рис. 13).
Начальный участок диаграммы, вплоть до предела текучести от, соответствует упругой, а другой - пластической (безграничная
площадка текучести) стадиям работы материала. Значения
пределов
текучести при растяжении и сжатии
считаем
одинаковыми.
Заметим, что тщательно поставленные эксперименты на
растяжение показали: первоначальные отклонения от прямой ниже
предела
текучести
вызваны,
как
правило,
появлением
дополнительных изгибных
напряжений
из-за неизбежного
эксцентриситета в приложении нагрузки (даже в том случае, когда
принимаются специальные меры центрирования нагрузки).
Подобные исследования привели к заключению, что предел
текучести, предел пропорциональности и предел упругости
практически совпадают.
Считаем, что:
1) материал балки идеальный упругопластический;
2) нагрузка приложена в плоскости симметрии поперечного
сечения;
3) изгиб балки происходит в той же плоскости.
Нагрузка увеличивается постепенно от нуля и вначале
материал работает в упругой стадии. При этом нормальные
напряжения изменяются по высоте сечения пропорционально
расстоянию у от нейтральной оси х, проходящей через центр
тяжести (см. формулу (4) в примере 1).
22
Нормальные напряжения достигают максимального значения в
наиболее удаленных точках от оси х в сечении, где М = Мтах. При
достижении в этих точках напряжений, равных пределу текучести
(рис. 14,а и б), заканчивается упругая стадия, а соответствующая
нагрузка обозначается через qT. Найдем значение этой нагрузки.
Определим положение центра тяжести сечения по формуле (см. формулу (9) в примере 2):
20-2 -12 + 2 10-1
у = ----------- = 8,3 см.
Вычислим значение момента инерции сечения относительно
центральной оси х по формуле (см. формулу (10) в примере 2):
10-23
2■203
/, = [ ~ ^ ~ + 1 0 - 2 - ( 8 ,3 - 1 ) 2] + [ — — + 2 0 - 2. ( 1 2 - 8 , 3)2] =
= 1072,5 + 1880,9 = 2953 см4.
23
Найдем значение момента сопротивления
формуле (см. формулу (11) в примере 2):
при изгибе по
2953
,
W = ------ = 216 см
х 13,7
Нормальные напряжения в наиболее удаленной точке 1 (рис.
14,6) равняются
Мт
4 ,5 g Ta 2
— =а
W
а max - —±- - —
W
.
Отсюда
=
=
2 1
У
Ш
=
к Н
/ с м
=
;
4,5-100
Вычислим напряжения от нагрузки qT в нижней точке (точка 2)
того же сечения по формуле (см. формулу (4) в примере 1):
а = 4'5 : П '3 ' 1 : 10 .8,3 = 14,3 кН /см 2 = 143 МПа.
2953
Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 14,6.
После достижения в верхних волокнах напряжений <у = сгт ,
напряжения в них возрастать не могут (см. диаграмму Прандтля рис. 13) и поэтому при увеличении нагрузки Я > QT в верхней части
балки появляется пластический слой; в нижних волокнах
напряжения продолжают расти, пока не достигнут предела
текучести и после этого в нижней части балки тоже появляется
пластический слой (рис. 14, в). При этом в части сечения (около
нейтральной оси) сохраняется упругое ядро. Описанное
напряженное состояние соответствует упруго - пластической
стадии.
При дальнейшем росте изгибающего момента области
текучести, в верхней и нижней частях сечения, одновременно
увеличиваются и при появлении текучести во всех волокнах
сечения (рис. 14,г) наступает предельное состояние сечения. Это
состояние сечения называется пластическим шарниром
24
(или шарниром пластичности), а соответствующий изгибающий
момент - пластическим предельным моментом - Мпр,.
Следует заметить, что образование пластического шарнира в
статически определимых балках приводит к предельному
состоянию по непригодности к эксплуатации из-за стремительного
нарастания деформаций (перемещений).
В предельном случае нейтральная ось не проходит через центр
тяжести сечения. Она делит сечение на две равновеликие части.
Исключение составляют сечения, имеющие две оси симметрии
(например, прямоугольник, двутавр, и др.). В этих сечениях
нейтральная ось и в предельном случае проходит через центр
тяжести.
Определим положение нейтральной оси п - п в предельном
случае. Общая площадь сечения А = 20-2+10-2=60 см2. Площадь
половины сечения А/2 = 30 см2. Следовательно, нейтральная ось
п - п пройдет на расстоянии 15 см от верхней кромки сечения (см.
рис. 14,а).
Значение предельного момента вычислим по формуле
М
np
= а -Wrv,= a (S p + S C3K)
Т
Т
n-n
(12)
n-n
где: W - пластический момент сопротивления;
Sр
и $ сж - статические моменты растянутой и сжатой
п-п
частей сечения относительно нейтральной оси п - п .
Найдем пластический момент сопротивления
Wm = (5-2-2,5 + 2 -10-6) +15-2-7,5 = 370 см3
Тогда
Mn
пр = oT-W
I
пл =235-370= 4,5
7 q*пр -а2.
Отсюда
а = ————
j- = 23’5'-37У = 0,193 кН/см= 19,3
пр 4,5-а
4,5-10(f
кН/м
Вычислим отношение
a _ q np
<JT.W„
qT
4,5 а 2
4,5а 2
a T-Wx
Wm
370
Wx
216
} ?}
25
Это отношение обычно называют коэффициентом формы
поперечного сечения, так как оно зависит только от формы
сечения.
Заметим, что при определении предельного состояния не
учитывалось влияние касательных напряжений, которые, как
правило, не сильно искажают окончательные результаты. Однако
не учет касательных напряжений всегда приводит к более раннему
исчерпанию несущей
способности
изгибаемых элементов
(снижению предельного изгибающего момента).
26
II Кручение стержней с круглым поперечным сечением.
4. Расчеты на прочность и жесткость.
Пример 4. Для стального ступенчатого стержня с круглым
поперечным сечением (рис. 15, а) требуется:
1. построить эпюру крутящих моментов;
2. определить из условия прочности диаметр стержня на
каждом участке;
3. проверить выполняется ли условие жесткости на каждом
участке; если оно не выполняется, то следует найти диаметр
стержня из условия жесткости;
4. при принятых значениях диаметров стержня построить
эпюру углов закручивания.
При расчете принять:
допускаемое
касательное
напряжение
[г ]=
30 МПа;
допускаемый относительный угол закручивания [# ]= 12-10'3 рад/м;
модуль упругости при сдвиге G = 80 ГПа.
Указание. Полученные из расчета значения диаметров
округлить до ближайших четных или оканчивающих на 5 чисел (в
мм).
а)
б)
2700 н-м
700 н м
Эпюра М, н-м
1
700
2000
Рис. 15.
К примеру 4.
27
Решение. Эпюра крутящих моментов изображена на рис. 15,6.
Учащимся рекомендуется самостоятельно построить эту эпюру.
Определим на каждом участке значения диаметров стержня из
условия прочности. Условие прочности имеет вид
т max = ——<
Т1Г — [Lт•" J1,5
Wp
(13)
где: Мг - крутящий момент,
п/ _ ж<^ 3 - момент сопротивления круглого сечения при кручении,
' р
16
[z] - допускаемое касательное напряжение материала стержня.
Из условия прочности (13) диаметр стержня равняется
d = j 16 А*‘ .
(И)
Чп-[ т ]
На участке I
, 16-2000
_
d = 1 ----------------- =7-10 м = 70 мм.
1 ^3,14-30-10
На участке II
d„ = i |— - - 700 - = 4 , 9 - 10~2м = 50 мм.
" V3,14 -30 -10*
Проверим, выполняется ли условие жесткости на каждом
участке.
Условие жесткости имеет вид
в
с /„
где: в - наибольший относительный угол закручивания;
G - модуль упругости при сдвиге;
28
<15)
,4
ж-а
/
------------ полярный момент инерции круглого сечения;
р
32
[<9] - допускаемый относительный угол закручивания.
На участке I
в, = ------------- -— ------------- = 10,6-10~3 <12-10~3 рад/м.
„ Ч 14-7 ■10
80-10 •
32
Условие жесткости выполняется. Следовательно, на первом
участке диаметр стержня окончательно принимается равным
d,
= 70 мм.
На участке II
в„ = -------------- ----------------- — = 14,3-10~3 > 12 ■10~3 рад/м.
в 3,14-5 -10
80-10 ■и _ _ — 1_
32
Условие жесткости не выполняется. Поэтому на этом участке
следует найти диаметр из условия жесткости.
Из условия жесткости (15) диаметр стержня равняется
d =J
\
32 М *
k
(16)
-G[ в ]
Тогда
,
I
32-700
2
d = 4\------------------------- ------------ 7 = 5,22 ■10 м = 53 мм
V 3,14-80-10 ■12-10-10 ' J
На участке II с округлением до стандартного размера (см.
указание на стр. 27) принимаем больший диаметр равным d = 54
мм.
Таким образом, стержень, удовлетворяющий
прочности и жесткости, изображен на рис. 16,а.
условиям
29
5. Определение углов закручивания.
Построим эпюру углов закручивания для стержня (см. рис. 16, а).
Углы закручивания сечений стержня в пределах участка, когда Мг
const, GIP= const определяются по формуле
*= х
M l.
(17)
В этом случае эпюра углов закручивания изменяется по линейной
зависимости, а погонные углы закручивания - постоянны в пределах
каждого участка.
Эпюру углов закручивания начинаем строить от закрепленного
сечения, где фА = 0 (начало участка I).
Знаки в выражениях углов закручивания соответствуют знакам
крутящих моментов.
а)
I
d'=70wM
\
2700 н-м
700 н-м
т \
Б.
С
У
30б)
5 0 с м-
Эпюра ф, рад
2,06-10
-ч 3,18-КГ
Рис. 16.
30
К задаче 4.
Угол закручивания сечения
выражению
срв (в конце участка I) определим по
q>B = e r lj = - 1 0 , 6 -10~3 -0,3 = - 3 ,1 8 - 10~3 рад.
На участке II относительный угол закручивания не был вычислен
(при принятом с/ц = 54 мм). Поэтому угол закручивания на участке II
определяем по формуле (17)
<Ри = ----------- 700- '5- ------ —= 5,24-10~3 рад.
80-109 ■ — -- —
32
-
Угол закручивания крайнего правого сечения (конец участка II)
равняется
Фс =(рв +(р„ =-3 ,1 8 - 1 0 ~ 3 +5,24-10~3 = 2,06-10~3рад.
Эпюра углов закручивания стержня изображена на рис. 16,6.
31
Ш
Материал для самостоятельного контроля.
6. Основные формулы.
Положение центра тяжести поперечного сечения, симметричного
относительно оси у
Ус
л
£ 4
'
Момент инерции поперечного сечения относительно центральной
(нейтральной)оси х
-4).
Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения
балки при плоском изгибе
аАТ = -М~у - у
.
Касательные напряжения в любой точке поперечного сечения
балки при плоском, поперечном изгибе
T_Q, s r “
К в
Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе балок
(J
т
ах
- М
_™« < y R
\/\/ ~ •
и*
Условие прочности по касательным напряжениям при изгибе балок
оо тс
Значения главных напряжений
= ° тах = ° z /2 + 1/2л1а : 2 + 4хгу ;
°2 =
= ° J 2 ~ 1/2т]°/ +
Положение главных площадок
Щ°-1 = Тд, /о, ;
32
tga2 = х:у / о 2.
Пластический предельный момент
Мl np =а Т -Wпл
Пластический момент сопротивления
Wm
=(SP + S пCж).
ПЛ ' п-п
-п 7
Касательные напряжения в любой точке круглого поперечного
сечения стержня при кручении
_ м
^ max
г
’
Р
ip
Условие прочности при кручении стержня круглого поперечного
сечения
Mz
^max ~ ш — [^1
Wp
Условие жесткости при кручении стержня круглого поперечного
сечения
М,
G Ip
Момент сопротивления круглого поперечного сечения при кручении
W =—
р
16
Полярный момент инерции круглого поперечного сечения при
кручении
n-d4
р
32
Углы закручивания сечений стержня в пределах участков, когда
Mz = const, GIP = const
A M zJr I
<P = I *=• G Ip,
,
33
7. Контрольные вопросы.
1.
Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях
балки при поперечном изгибе?
2. Какая ось сечения называется нейтральной и где она находится?
3. Как определяется момент сопротивления при изгибе, и в каких
единицах он измеряется?
4. Напишите условия прочности при расчете балки по методу
предельных состояний.
5. В каких точках поперечного сечения балки нормальные и
касательные напряжения достигают наибольших значений при
поперечном изгибе?
6. По какой формуле определяются нормальные напряжения в
поперечном сечении балки при поперечном изгибе и как они
изменяются по высоте балки?
7. Напишите формулу для определения касательных напряжений
(формулу Журавского) при поперечном изгибе?
8. Как вычисляются при применении формулы Журавского
гчотс
статическии момент о х и момент инерции 1х?
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
34
Какой вид имеет эпюра касательных напряжений в стенке
двутавра при изгибе балки?
В чем состоит закон парности касательных напряжений?
Какие площадки называются главными и как аналитически
определить их положение?
Как аналитически вычисляются главные напряжения при изгибе?
В каких случаях производится проверка прочности балок по
главным напряжениям?
Какое положение занимают площадки,
где действуют
наибольшие касательные напряжения, по отношению к главным
площадкам? Напишите формулу для определения значений
наибольших касательных напряжений.
По каким формулам определяются координаты центра тяжести?
Для каких сечений при определении центра тяжести достаточно
найти только одну координату?
Как определяется положение центра тяжести для сложного
сечения?
Какие оси называются главными, и какие - главными
центральными?
19. Напишите формулу для определения осевого момента инерции
при переходе от центральных осей к произвольным параллельным
осям.
20. Какие стали можно считать идеальным упругопластическим
материалом? Какой вид имеет в этом случае условная диаграмма
растяжения?
21. Какие характерные стадии работы проходит балка из идеального
упругопластического материала при возрастании нагрузки от нуля до
предельного значения7
22.Когда заканчивается упругая стадия в балке из идеального
упругопластического материала?
23. Как проходит нейтральная ось в поперечном сечении, где
расположен пластический шарнир?
24. Какой вид имеет эпюра нормальных напряжений в поперечном
сечении балки при предельном значении изгибающего момента?
25. Как определяется значение предельного изгибающего момента?
26. Напишите формулу момента сопротивления при кручении для
круглого сечения. В каких единицах он измеряется?
27. Какие напряжения возникают при кручении в круглом поперечном
сечении, и в каких точках сечения они достигают наибольших
значений?
28. Напишите условие прочности при кручении.
29. Напишите формулу полярного момента инерции для круглого
сечения. В каких единицах он измеряется?
30. Как вычисляются полный и относительный углы закручивания?
31. Напишите условие жесткости при кручении.
35
8. Тестовые задачи.
Задача 1. Для стальной балки (см. рисунок) построить эпюры
поперечных сил и изгибающих моментов. Определить размеры
поперечного сечения из условия прочности по нормальным
напряжениям, если R=120Mna_________________
а
b
1
Вариант
Схема
Р, кн
36
м
1
12
10
0 ,4
1,0
2 ,0
2
14
11
0,5
1,2
2,5
0 ,6
0 ,4
1,4
3 ,0
3,5
3
1.
q, кН/м
1
17
12
4
15
14
5
6
7
8
12
10
12
15
2
15
10
20
16
1,3
1,0
1,5
1,7
1,6
3,0
2,5
3,5
4 ,0
5,5
4,5
5,0
6 ,0
Задача 2. Для заданной балки (см. рисунок):
1) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2) из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать
сечение: а) из двутавра, либо б) из двух поставленных рядом
швеллеров, если R=160Mna;
3) для
подобранного
сечения
вычислить
максимальные
касательные напряжения.
1.
3qa
i
7qa
,
Ж
4
/
а=10кН/м
2.
q=12KH/M
Ш
4a 1 . 3a . «
53
1.
■>
► t
3a . , 3a .! 3qa
6a
а=0,25м
3.
а=0,27м
4qa
q= 8 K H /M
4.
7qa
i i i U
ii
r
X
6a
, . 3a i
• 3a J
liH U
.-2a-* <
За
'
За
8.
. . 3a
6qa 6a
8qa
ЯГЛ
1 1 1 1
6a
2qa
5^a
2a
а=0,23м
Г
J
а=0,22м
д=9кН/м
За |.
10qa2
За
а=0,25м
J
. 2a J
/
4 4 4 111
4k
5qa
12qa
,
q=8KH/M
12qa
^
3a
Я
6 a
6.
4 1 1 1 4
7.
<c
а=0,22м
q= 6 K H /M
6a
8qa
J
а=0,27м
5.
q=5KH/M
3qa
/
,
5qa
Y1 1 1 1
q = llK H /M
1 /
4
I I I -
!
•2a J.
а=0,4м
4a
37
Задача 3. Для заданной балки (см. рисунок) построить эпюры
поперечных сил и изгибающих моментов, определить предельное
значение нагрузки, если R=200Mria.
в)
/
ГТТТТТ1
т
За=0,9м
2qa
9см
4а
2qa2
а=1м
38
I
№20
Задача 4. Для заданного стержня (см. рисунок) построить эпюру
крутящих моментов и проверить выполняются ли условия прочности и
жесткости, если G=80ma, [т]= 40МПа, [0] = 0,6 град/м =10,5-10'3 рад/м.
а)
в)
1,7кН-м
5кНм
1,2кН м
1,2кН м
2кН-м
/Л
Т
П
V/
"
S
и
1?
0,3м
0,3м
0,4м
39
Задача 5. Для стержня с круглым поперечным сечением,
изображенного на рисунке, построить эпюру крутящих моментов,
определить либо максимальное касательное напряжение, либо
построить эпюру углов закручивания ср (G=80ITIa).
2М
б)
М!=2кН-м
d
М 2=1,2 к Н-м
d-Бсм
V/
2а
в)
к
^
а=0,5м.
2а
5М
5кНм
2кН-м
_Г\
1ГЯ (N\
2а
%
2а=0,5м
2а
Задача 6. Для стержня (см. рисунок) определить допускаемое
значение момента М, если [т]= 40МПа.
а)
в)
40
4М
м
М
2,7М
б)
зм
м
2М
0,7М
М
IV ПРИЛОЖЕНИЯ
размеры
№
k
Ъ
5
t
Площадь
сечения А см2
ДВУТАВРЫ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ (по ГОСТ 8239-89)
гУ
мм
-С
-Q
— высота двутавра;
— ширина полки;
— толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
W
/ — момент инерции;
W — момент сопротивления;
S — статический момент
полусечения;
/' — радиус инерции.
10
12
14
16
18
20
22
24
27
30
33
36
40
45
50
55
60
100
120
140
160
180
200
220
240
270
300
330
360
400
450
500
550
600
55
64
73
81
90
100
110
115
125
135
140
145
155
160
170
180
190
4,5
4,8
4,9
5
5,1
5,2
5,4
5,6
6
6,5
7
7,5
8,3
9
10
11
12
7,2
7,3
7,5
7,8
8,1
8,4
8,7
9,5
9,8
10,2
11,2
12,3
13
14,2
15,2
16,5
17,8
12,0
14,7
17,4
20,2
23,4
26,8
30,6
34,8
40,2
46,5
53,8
61,9
72,6
84,7
100
118
138
Справочные значения для осей
X -
1* .
см
4
198
350
572
873
1290
1840
2550
3460
5010
7080
9840
13380
19062
27696
39727
55962
76806
У- У
Г
й ^д ,
см
3
39,7
58,4
81,7
109
143
184
232
289
371
472
597
743
953
1231
1589
2035
2560
см
4,06
4,88
5,73
6,57
7,42
8,28
9,13
9,97
11,2
12,3
13,5
14,7
16,2
18,1
19,9
21,8
23,6
см
3
23
33,7
46,8
62,3
81,4
104
131
163
210
268
339
423
545
708
919
1181
1491
см
4
17,9
27,9
41,9
58,6
82,6
115
157
198
260
337
419
516
667
808
1043
1356
1725
иг,'
3
см
6,49
8,72
11,5
14,5
18,4
23,1
28,6
34,5
41,5
49,9
59,9
71,1
86,1
101
123
151
182
1,22
1,38
1,55
1,70
1,88
2,07
2,27
2,37
2,54
2,69
2,79
2,89
3,03
3,09
3,23
3,39
3,54
см
■U
r\J
к
5
Ь
t
мм
— высота швеллера;
— ширина полки;
s — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
Z o — расстояние от оси Y до
наружной грани стенки;
h
b
/ — момент инерции;
W — момент сопротивления;
S — статический момент
полусечения;
/ — радиус инерции.
5
6,5
8
10
12
14
16
16а
18
18а
20
22
24
27
30
33
36
40
50
65
80
100
120
140
160
160
180
180
200
220
240
270
300
330
360
400
32
36
40
46
52
58
64
68
70
74
76
82
90
95
100
105
110
115
4,4
4,4
4,5
4,5
4,8
4,9
5
5
5,1
5,1
5,2
5,4
5,6
6
6,5
7
7,5
8
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,1
8,4
9
8,7
9,3
9
9,5
10
10,5
11
11,7
12,6
13,5
6,16
7,51
8,98
10,9
13,3
15,6
18,1
19,5
20,7
22,2
23,4
26,7
30,6
35,2
40,5
46,5
53,4
61,5
■
'-Y
X -- X
1 *.
см
4
22,8
48,6
89,4
174
304
491
747
823
1090
1190
1520
2110
2900
4160
5810
7980
10820
15220
5
* *
№
Справочные значения для осей
§ L0
размеры
Площадь сечения
А см2
ШВЕЛЛЕРЫ СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ (по ГОСТ 8240-93)
_______ Швеллеры с уклоном внутренних граней полок________
9,1
15
22,4
34,8
50,6
70,2
93,4
103
121
132
152
192
242
308
387
484
601
761
V
см
1,92
2,54
3,16
3,99
4,78
5,6
6,42
6,49
7,24
7,32
8,07
8,89
9,73
10,9
12
13,1
14,2
15,7
S *,
см
3
5,59
9
13,3
20,4
29,6
40,8
54,1
59,4
69,8
76,1
87,8
110
139
178
224
281
350
444
1> .
см
4
5,61
8,7
12,8
20,4
31,2
45,4
63,3
78,8
86
105
113
151
208
262
327
410
513
642
W, '
см
3
2,75
3,68
4,75
6,46
8,52
11
13,8
16,4
17
20
20,5
25,1
31,6
37,3
43,6
51,8
61,7
73,4
V
см
0,95
1,08
1,19
1,37
1,53
1,7
1,87
2,01
2,04
2,18
2,2
2,37
2,6
2,73
2,84
2,97
3,1
3,23
Zo.
см
1,16
1,24
1,31
1,44
1,54
1,67
1,8
2
1,94
2,13
2,07
2,21
2,42
2,47
2,52
2,59
2,68
2,75
V. Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление
материалов: Учеб. для вузов. - б-е изд. испр,- М.: Высш. шк., 2012­
560с.: ил.
2. Лукьянов А.М. Сопротивление материалов. Учебное пособие для
вузов ж.-д. транспорта. - М.: ГОУ «Учебно-методический центр по
образованию на железнодорожном транспорте»,2008 - 560 с.: ил.
3. Сопротивление материалов / Под ред. А.Ф. Смирнова. Учеб. для
вузов. 3-е изд. перераб. и доп. - М., Высш. шк., 1975.-480 с.: ил.
4. Сборник задач по сопротивлению материалов. Учеб. пособие
для вузов / Под ред. А.В. Александрова.- М., Стройиздат, 1977. 335с.: ил.
5. Цетыркин И.Е. Сборник задач по сопротивлению материалов.
Учеб. пособие./Под ред. А.Ф. Смирнова. - М.: МИИТ,1968.-106 с.: ил.
6. Державин Б.П., Лукьянов А.М., Монахов И.И. Построение эпюр
внутренних усилий. Учебное пособие - М.:МИИТ, 2013 - 40с.: ил.
ОГЛАВЛЕНИЕ
I Поперечный изгиб балок.................................................................... 3
!Подбор поперечных сечений балок. Анализ напряженного
состояния. Пример........................................................................ 3
2.Проверка прочности балок по нормальным и касательным
напряжениям. Пример.................................................................. 16
3..Упруго-пластический изгиб балок. Определение предельной
нагрузки. Пример...........................................................................21
II Кручение стержней с круглым поперечным сечением..................27
4.Расчеты на прочность и жесткость. Пример..............................27
5.Определение углов закручивания. Пример...............................30
III Материал для самостоятельного контроля...................................32
6.Основные формулы......................................................................32
7.Контрольные вопросы..................................................................34
8.Тестовые.задачи...........................................................................36
IV Приложения......................................................................................41
1. Двутавры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8239-89)........ 41
2.Швеллеры стальные горячекатаные (по ГОСТ 8240-93)......42
V.Литература......................................................................................43
43
Учебно-методическое издание
Державин Борис Павлович, Жаринов Михаил Юрьевич,
Лукьянов Анатолий Михайлович, Мелешонков Евгений Иванович
Расчет балок на изгиб и кручение
Методические указания
по дисциплине «Сопротивление материалов»
Подписано в печать l o . o v . z o t v
Формат 60x841/16
Тираж 100 экз. Уел. печ. л. -2 ,7 5 Заказ 9?$" Изд. № 26-14
127994, Москва, ул. Образцова, 9 стр. £
44
Ч П Ц , /7-/ М И И I