МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Г. В. Беликов, В. К. Манжосов ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для самостоятельной работы и тестирования) ЧАСТЬ 3 Сложное сопротивление Статически неопределимые стержневые системы Ульяновск УлГТУ 2011 УДК 939(076) ББК 38.112 я7 Б23 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Санкин Ю. Н. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета. Беликов, Г. В. Задания по сопротивлению материалов (для самостоятельной работы Б 23 и тестирования). Часть 3. Сложное сопротивление. Статически неопределимые стержневые системы / Г. В. Беликов, В. К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2011. – 59 с. Составлены в соответствии с учебными программами по курсу «Сопротивление материалов» для направлений «Машиностроительные технологии и оборудование», «Транспортные машины и транспортно-технологические комплексы», «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования», «Строительство». По структуре и содержанию предназначены для оперативного контроля знаний на практических занятиях, зачетах, при допуске к экзамену; могут быть использованы студентами для самоконтроля при изучении разделов «Сложное сопротивление», «Статически неопределимые стержневые системы». Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика». УДК 939(076) ББК 38.112 я7 © Беликов Г. В., Манжосов В. К., 2011. © Оформление. УлГТУ, 2011. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 4 1. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ....................................................................... 6 1.1. Косой изгиб ..................................................................................................... 6 1.1.1. Основные понятия и определения .......................................................... 6 1.1.2. Нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях стержня. Расчеты на прочность .................................................................... 8 1.1.3 Определение перемещений сечений стержня ....................................... 16 1.2. Изгиб с кручением........................................................................................ 18 1.2.1. Определение расчетных (эквивалентных) нормальных напряжений, проверка прочности .......................................................................................... 18 1.2.2. Подбор диаметра вала круглого поперечного сечения ....................... 20 1.3. Внецентренное растяжение – сжатие ....................................................... 24 1.3.1. Изгиб балок при действии продольных и поперечных сил .................. 24 1.3.2. Совместное действие чистого косого изгиба с центральным растяжением – сжатием................................................................................ 27 2. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ ........ 33 2.1. Статически неопределимые балки ........................................................... 33 2.2. Статически неопределимые рамы ............................................................ 41 ПРИЛОЖЕНИЕ ......................................................................................................... 50 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ............................................... 59 3 ВВЕДЕНИЕ Представленный в задачнике материал написан на основе многолетнего опыта преподавания дисциплины «Сопротивление материалов» на кафедре «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета и соответствует стандартной программе полного классического курса, реализуемой, как правило, в течение двух семестров. Пособие преследует две цели: оказать студентам помощь в освоении данного курса и подготовить их к последующему изучению и расчету машиностроительных и строительных конструкций. При изучении курса сопротивления материалов наибольшие затруднения для студентов связаны обычно с решением задач. Вместе с тем, очевидно, что именно эта практическая часть курса в наибольшей степени способствует развитию инженерного мышления, приобретению необходимых навыков расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Известно, какую важную роль играет полностью самостоятельная работа, – решение задач без подсказки. Она способствует хорошему усвоению изучаемого предмета, прививает будущим инженерам навыки творческого решения практических задач и приучает пользоваться литературой. При этом предусматривается, что студенты, прежде всего, должны ознакомиться с теоретическими положениями, методическими указаниями и решениями иллюстративных примеров по рассматриваемому разделу. Это позволит им восстановить в памяти, лучше понять и освоить необходимые основы теории, осмыслить методику решения задач данного типа и приобрести сведения, достаточные для сознательного и самостоятельного их решения. При составлении задач использованы источники, указанные в библиографическом списке, а также накопленный на кафедре банк учебнометодических материалов. Задачи для самостоятельного решения сгруппированы по разделам. Приводятся задачи, относящиеся к статически неопределимым стержневым системам, применению теорий прочности, расчету прямого стержня при различных сочетаниях элементарных видов деформаций. Придается большое значение решению численных примеров до конца, до получения числового результата с заданной точностью. В сборник также включены качественные задачи, которые решаются путем логических рассуждений, базирующихся на законах сопротивления материалов, и не требуют, как правило, математических действий. Использование материала, приведенного в задачнике, облегчается благодаря разбивке глав на достаточно большое число параграфов, в пределах которых тематика задач является однородной. Краткие теоретические сведения по каждой теме, приводимые в приложении, должны помочь студентам с минимальной затратой времени восстановить в памяти материал, изученный ранее по учебнику. Большинство формул, предлагаемых в качестве расчетных, совпадают с имеющимися в опубликованных учебниках по сопротивлению материалов. 4 Используемые в сборнике теории (гипотезы) прочности наибольших нормальных напряжений, наибольших относительных удлинений, наибольших касательных напряжений, энергии формоизменения, предельных напряжений (Мора) обозначаются для краткости номерами от 1 до 5 соответственно. Все физические величины даны в единицах СИ. Наряду с основными единицами сил, напряжений и т. д. применяются также оказавшиеся наиболее удобными в практике преподавания производные единицы. Ко всем задачам даны ответы. Если ответы являются приближенными, то даются с точностью до двух значащих цифр после запятой. Эпюры в ответ не включаются, а указываются лишь их характерные признаки. 5 1. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 1.1. Косой изгиб 1.1.1. Основные понятия и определения 1ки На участке АВ пространственной рамы круглого сечения имеет место... 1) косой изгиб с кручением; 2) изгиб с кручением и растяжением; 3) косой изгиб; 4) изгиб с кручением и сжатием. 2ки Балка квадратного сечения, нагруженная поперечной силой Р в плоскости торцевого сечения, испытывает… 1) изгиб с кручением; 2) поперечный изгиб; 3) косой изгиб; 4) чистый изгиб. 3ки Балка круглого сечения, нагруженная поперечной силой Р в плоскости торцевого сечения, испытывает… 1) изгиб с кручением; 2) поперечный изгиб; 3) косой изгиб; 4) чистый изгиб. 4ки Балка шестигранного сечения, нагруженная поперечной силой Р в плоскости торцевого сечения, испытывает… 1) изгиб с кручением; 2) поперечный изгиб; 3) косой изгиб; 4) чистый изгиб. 6 5ки Балка прямоугольного сечения, нагруженная поперечной силой Р в торцовом сечении, испытывает ... 1) изгиб с кручением; 2) поперечный изгиб; 3) косой изгиб; 4) чистый изгиб. 6ки При косом изгибе в поперечных сечениях стержня возникают… 1) продольная сила N , поперечные силы Qy , Qz ; 2) продольная сила N , поперечные силы Qy , Qz и крутящий момент M x ; 3) поперечные силы Qy , Qz ; изгибающие моменты M y , M z ; 4) продольная сила N , изгибающие моменты M y, Mz ; 5) поперечные силы Qy , Qz и крутящий момент M x . 7ки 1) 30°; При косом изгибе в плоскости сечения направление перемещения центра тяжести сечения по отношению к нейтральной (нулевой) линии располагается под углом ... 8ки 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°. При косом изгибе во всех точках нулевой линии поперечного сечения … m ax , напряжения 1) нормальные касательные напряжения 0 ; m ax , напряжения 2) нормальные m a x ; касательные напряжения 0, напряжения 3) нормальные касательные напряжения зависят от положения точки; напряжения зависят от 4) нормальные положения точки, касательные напряжения 0. 7 9ки 1) наиболее близко; Точки сечения, имеющие при косом изгибе наибольшие по модулю нормальные напряжения, по отношению к нейтральной (нулевой) линии расположены…. 10ки 2) наиболее далеко; 3) находятся на ней; 4) в центре тяжести сечения. Наибольшие сжимающие нормальные напряжения в опасном сечении бруса имеют место в точке … 1) 1; 11ки 2) 3; 3) 2; 4) 4. Напряжение в точке 2 опасного сечения определяется по формуле … Mz My ; Wz Wy Mz My ; 3) Wz W y 1) Mz My ; Wz Wy Mz My 4) . Wz W y 2) 1.1.2. Нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях стержня. Расчеты на прочность 12ки Для поперечного сечения двутавра № 14 ( J z = 572 см4; J y = 41,9 см4) уравнение нейтральной (нулевой) линии в опасном сечении балки имеет вид… 1) z 0, 245 y ; 2) z 0,14 y ; z 0, 245 y ; 4) z 0, 48 y . 3) 8 13ки Если M z 2M , а M y 3M , то координаты опасной точки z0 , y0 в главных центральных осях сечения, равны ... 14ки 1) z0 = 1,5b, y0 = –1,1b; 2) z0 = –1,5b, y0 = 1,1b; 3) z0 = 1,5b, y0 = 1,1b; 4) z0 = –1,5b, y0 = –1,1b. Проверить прочность балки, на которую действуют силы Р1 = 5 кН и Р2 = 1,1 кН. Принять [σ] = 160 МПа. 1) σ max = 151,5 МПа; 2) σ max = 112,8 МПа; 3) σ max = 184,6 МПа; 4) σ max = 78,2 МПа. 15ки 16ки Двутавровая балка нагружена в пролете силой Р = 10 кН. Определить величину наибольшего нормального напряжения в поперечном сечении балки. 1) σ max = 97,3 МПа; 2) σ max = 88,05 МПа; 3) σ max = 56,2 МПа; 4) σ max = 105,3 МПа. Определить величину наибольшего нормального напряжения в деревянной балке, нагруженной силой Р = 5 кН. 1) σ max = 10,9 МПа; 2) σ max = 5,88 МПа; 3) σ max = 7,66 МПа; 4) σ max = 12,2 МПа. 9 17ки 18ки 19ки 20ки На свободный конец балки с прямоугольным сечением (h × b = 20 × 10 см) действует сила Р = 5 кН под углом α к оси у (tg α = 0,75, α = 36° 52'). Найти напряжения в опасной точке опасного сечения, если длина пролета l = 1 м, [σ] = 15 МПа. 1) σ А = 21 МПа; 2) σ А = 9,4 МПа; 3) σ А = 17,9 МПа; 4) σ А = 15 МПа. Двухопорная балка нагружена силами Р1 = 15 кН и Р2 = 30 кН. Определить наибольшее напряжение, если сечение балки – прямоугольник со сторонами b и 2b (b = 60 мм). 1) σ max = 183,5 МПа; 2) σ max = 208,3 МПа; 3) σ max = 176,4 МПа; 4) σ max = 229,6 МПа. Если Р = 20 кН, l =1 м, b = 1 см, то наибольшее по модулю нормальное напряжение в балке равно ... 1) max = 360 кПа; 2) max = 400 кПа; 3) max = 160 кПа; 4) max = 200 кПа. Если Р1 = 2 кН, Р2 = 1 кН, q = 2 кН/м, l = 1 м, b = 3 см, h = 6 см, то наибольшее по модулю нормальное напряжение в балке равно ... 1) max = 167 МПа; 2) max = 200 МПа; 3) max = 113 МПа; 4) max = 130 МПа. 10 21ки 22ки Если Р = 800 Н, М = 800 Нм, l = 0,5 м, b = 2 см, h = 4 см, то наибольшее по модулю нормальное напряжение в балке равно ... 1) max = 170 МПа; 2) max = 150 МПа; 3) max = 113 МПа; 4) max = 147 МПа. Если Р = 200 Н, М = 200 Нм, l = 1 м, b = 2 см, h = 4 см, то наибольшее по модулю нормальное напряжение в балке равно 1) max = 127 МПа; 2) max = 113 МПа; 3) max = 150 МПа; 4) max = 190 МПа. 23ки Определить коэффициент запаса прочности (n T ) стальной (σT = 240 МПа) балки, max если Р = 3кН, q = 100 кН/м, l = 0,2 м. Сечение балки – двутавр № 14. Собственный вес балки не учитывать. 24ки 1) n = 2,81, 2) n = 1,94, 3) n = 4,22, 4) n = 3,13. Если Р1 = 5 кН, Р2 = 1,1 кН, a =0,6 м, то для двутавра № 14 (Wz 81,7 см3; Wy 11,5 см3) коэффициент запаса прочности n стальной балки ( т = 240 МПа) равен ... 11 1) 2,17; 2) 1,36; 3) 2,51; 4) 1,58. 25ки 26ки 27ки 28ки Вычислить коэффициент запаса прочности для опасной точки бруса, если т = 240 МПа. 1) n = 2,57; 2) n = 1,24; 3) n = 1,62; 4) n = 3,07. Вычислить коэффициент запаса прочности для опасной точки стержня, если т = 240 МПа, a = 1 м, q = 4 кН/м. 1) n = 1,62; 2) n = 2,57; 3) n = 1,49; 4) n = 3,09. Найти положение нейтральной линии, определить координаты опасной точки в главных центральных осях. 1) α = – 66°, zA = – 1,5 b, yA = – 1,1 b; 2) α = 66°, zA = – 1,5 b, yA = – 0,7 b; 3) α = – 86°, zA = 0,7 b, yA = – 1,8 b; 4) α = – 77°, zA = 1,2 b, yA = 1,1 b. Определить положение нейтральной линии, вычислить нормальные напряжения в опасной точке. 1) α = – 49°, σот = 98 МПа; 2) α = – 70°, σот = – 131 МПа; 3) α = 70°, σот = 176 МПа; 4) α = – 59°, σот = 157 МПа. 12 29ки Если M z = 1,6 кНм и M y = 2,4 кНм, то в опасной точке сечения действует напряжение, по модулю равное 30ки 1) max = 167 МПа; 2) max = 144 МПа; 3) max = 261 МПа; 4) max = 98 МПа. Балка мостового крана имеет сечение в виде прокатного двутавра № 60 с геометрическими характеристиками Wz = 2510 см3, Wy = 181 см3. Найти наибольшие нормальные напряжения σ при торможении крана, вследствие которого груз G отклоняется от вертикали на угол α. Принять l = 6 м, G = 150 кН, tgα = 0,05. Сопоставить величины σ при косом и плоском поперечном изгибе (груз G действует вертикально). 1) σmax = 53 МПа; при косом напряжения уменьшаются в 1,69 раза; 2) σmax = 206 МПа; при косом напряжения возрастают в 2,20 раза; 3) σmax = 152 МПа; при косом напряжения возрастают в 1,69 раза; 4) σmax = 152 МПа; при косом напряжения уменьшаются в 2,20 раза. 31ки изгибе изгибе изгибе изгибе Для сечения, представляющего собой равнобокий уголок 50×50×5 ГОСТ 8509 – 86, схематично изображенного на рисунке, построить эпюру нормальных напряжений и определить нормальное напряжение, действующее в опасной точке. В расчетах принять М = 0,2 кНм. 1) α = – 75°, σот = 74,2 МПа; 2) α = – 43°, σот = 53,7 МПа; 3) α = 57°, σот = – 74,2 МПа; 4) α = 86°, σот = – 69,5 МПа. 13 32ки 33ки 34ки Деревянная балка загружена силами Р1 = 2 кН и Р2 = Р3 = 1 кН. Требуется подобрать прямоугольное сечение балки с отношением сторон h / b = 2. Допускаемое напряжение [σ] = 10 МПа. 1) b = 106 мм, h = 212 мм; 2) b = 154 мм, h = 308 мм; 3) b = 76 мм, h = 152 мм; 4) b = 121 мм, h = 142 мм. На балку прямоугольного сечения, защемленную левым концом, действуют вертикальная и горизонтальная силы, каждая величиной Р = 2,5 кН. Длина а = 2 м, h / b = 2. Найти размеры сечения, если [σ] =10 МПа. 1) b = 24 см, h = 48 см; 2) b = 15 см, h = 30 см; 3) b = 20 см, h = 40 см; 4) b = 17 см, h = 34 см. Для бруса прямоугольного поперечного сечения требуется определить из расчета на прочность размеры поперечного сечения, принимая [σ] = 160 МПа и отношение сторон h / b = 2. 1) b = 105 мм, h = 210 мм; 2) b = 79 мм, h = 158 мм; 3) b = 120 мм, h = 240 мм; 4) b = 135 мм, h = 270 мм. 14 35ки Из расчета на прочность определить требуемые размеры поперечного сечения деревянного бруса. Принять [σ] = 10 МПа. 1) b = 76 мм; 2) b = 58 мм; 3) b = 103 мм; 4) b = 86 мм. 36ки 37ки 38ки Стальная балка круглого поперечного сечения нагружена, как показано на схеме. Определить диаметр, если [σ] =120 МПа. Весом балки пренебречь. 1) d = 69 мм; 2) d = 98 мм; 3) d = 79 мм; 4) d = 91 мм. Шарнирно опертый по концам швеллер нагружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 5 кН/м. Швеллер расположен так, что его стенка образует с вертикалью угол α = 30°. Пролет балки l = 4 м. Линия действия нагрузки проходит через центр изгиба (ЦИ). Определить номер швеллера из условия, что [σ] = 160 МПа. 1) Швеллер №24; 2) Швеллер №18; 3) Швеллер №27; 4) Швеллер № 22. Определить допускаемую нагрузку для чугунного бруса. Принять [σ+] = 35 МПа, [σ–] = 140 МПа. 1) [Р] = 4,71 кН; 2) [Р] = 6,45 кН; 3) [Р] = 3,94 кН; 4) [Р] = 8,11 кН. 15 39ки 40ки При каком соотношении Р1 / Р2 нормальное напряжение в точке К равно нулю? 1) Р1 = 4,2 Р2; 2) Р1 = 3 Р2; 3) Р1 = 5 Р2; 4) Р1 = 3,7 Р2. Нормальное напряжение в точке К равно нулю при соотношении Р1/Р2, равном ... 1) 2,25; 2) 2,5; 3) 1,75; 4) 1,5. 1.1.3. Определение перемещений сечений стержня 41ки Двутавровая балка нагружена в пролете силой Р = 10 кН. Определить полный прогиб сечения С, если Е = 2·105 МПа. 1) υ = 3,61 мм; 2) υ = 4,63 мм; 3) υ = 2,24 мм; 42ки 4) υ = 6,22 мм. Стальная балка (Е = 2 1011 Па; l = 2 м) прямоугольного ( b = 3 см; h = 4 см) сечения нагружена силой Р = 540 Н в плоскости торцевого сечения при = 45°. Перемещение центра тяжести торцевого сечения по вертикали (в мм) по модулю равно… 1) 9,5; 2) 11,25; 3) 12,5; 4) 12,85. 16 43ки 44ки 45ки Если Р = 3 кН, l=1,2 м; b = 4 см, h = 12 см, то прогиб υ конца консоли равен ... 1) υ = 0,731 см; 2) υ = 0,687 см; 3) υ = 0,548 см; 4) υ = 0,600 см. Проверить прочность двутавровой балки, материал – сталь Ст.3, [σ] = 160 МПа, Е = 2,1·105 МПа. Определить величину и направление прогиба свободного конца балки. 1) f = 0,568 см, ψ = 53°27'; 2) f = 0,466 см, ψ = 79°43'; 3) f = 0,621 см, ψ = 68°31'; 4) f = 0,359 см, ψ = 86°43'. Определить величину полного максимального прогиба деревянной балки, нагруженной силой Р = 5 кН, Е = 0,1·105 МПа. 1) υ = 8,27 мм; 2) υ = 6,92 мм; 3) υ = 7,33 мм; 17 4) υ = 8,98 мм. 1.2. Изгиб с кручением 1.2.1. Определение расчетных (эквивалентных) нормальных напряжений, проверка прочности Если Р = 1 кН, l = 80 см, а = 30 см, 4 см, то максимальное d= эквивалентное напряжение, определенное по третьей теории прочности, равно… 1) max = 160 МПа; 1ик 2) 3) 4) max = 110 МПа; max = 136 МПа; max = 142 МПа. Эквивалентное напряжение по третьей 2ик теории прочности экв в опасном сечении стержня АВ равно… III 1) 2) 3) 4) III = 42 Ра/d 3; экв III экв = 51 Ра/d 3; III экв = 37 Ра/d 3; III экв = 45 Ра/d 3. Эквивалентное напряжение по третьей 3ик теории прочности экв в опасном сечении стержня АВ равно… III 1) 2) 3) III экв = 91,7 Ра/d 3; III экв = 79,3 Ра/d 3; III экв = 112,8 Ра/d 3; III = 88,5 Ра/d 3. экв 4) На валу диаметром d = 60 мм насажены два зубчатых колеса. Давления зубчатых колес на вал направлены вертикально вниз и равны Р1 = 5 кН и Р2 = 2 кН. От одного колеса к другому передается мощность N = 7 кВт при угловой скорости ω = 8,4 рад /с. Определить величину наибольших эквивалентных напряжений по III теории прочности. 4ик 18 1) III экв = 69,4 МПа; 2) 3) III экв = 85,3 МПа; 4) III экв III экв = 48,6 МПа; = 105,2МПа. 5ик В опасном поперечном сечении стержня возникают указанные на схеме внутренние силовые факторы. Проверить прочность по III гипотезе прочности, если [σ] = 80 МПа. (Указать положение опасной точки, изобразить элемент, мысленно вырезанный в окрестности этой точки, и показать возникающие на его гранях напряжения). Принять: d = 55 мм, Мx = 0,9 кНм, Мz = 1,1 кНм. 1) 3) 6ик III = 67,7 МПа; экв III = 85,3 МПа; экв 2) 4) III = 98,2 МПа; экв III = 105,2 МПа. экв В опасном поперечном сечении стержня возникают указанные на схеме внутренние силовые факторы. Проверить прочность по III теории прочности, если [σ] = 80 МПа. (Указать положение опасной точки, изобразить элемент, мысленно вырезанный в окрестности этой точки, и показать возникающие на его гранях напряжения). Принять d = 70 мм, Мx = 1,6 кНм, Мy = 2 кНм. 1) 3) 7ик III =114,6 МПа; экв III экв =48,3 МПа; 2) 4) III экв III экв =74,6 МПа; =87,6 МПа. Если Р = 1 кН, l = 40 см, а = 100 см, d = 4 см, то максимальное эквивалентное напряжение, определенное по IV теории прочности, равно… 1) max = 172 МПа; 2) 3) 4) 8ик max = 150 МПа; max = 125 МПа; max = 255 МПа. Если Р = 1 кН, l = 40 см, а = 100 см, d = 4 см, то максимальное эквивалентное напряжение, определенное по IV теории прочности, равно… 1) max = 172 МПа; 2) max = 150 МПа; max = 140 МПа; 3) 4) max = 135 МПа. 19 9ик Проверить прочность полой стальной (σT = 240 МПа) стойки дорожного знака, наружный и внутренний диаметры которой соответственно равны 100 и 80 мм. Ветровое давление на знак составляет 1 кПа. Размер знака 1,8 × 0,6 м, его нижний край расположен на высоте 2,4 м. Принять [nϬ]= 4. 10ик 1) n = 8,46; 2) n = 5,11; 3) n = 2,87; 4) n = 4,79. Из расчета по III теории прочности безопасная нагрузка для стержня АВ при допускаемом напряжении [ ] равна… 1) 3) [ ]d 3 P ; 47a [ ]d 3 P ; 32a [ ]d 3 2) P ; 51a [ ]d 3 4) P . 57a 1.2.2. Подбор диаметра вала круглого поперечного сечения 11ик Если Р = 3,5 кН, l = 50 см, а = 10 см, то минимальный диаметр стального вала ( [ ] = 160 МПа), определенный по III теории прочности, равен… 12ик 1) d = 6,27 см; 2) d = 2,95 см; 3) d = 3,78 см; 4) d = 4,84 см. Если Мк = 1,2 кНм; Ми = 0,9 кНм, то диаметр стального вала ( [ ] = 100 МПа), определенный по первой dI и второй dII теориям прочности, равен… d II = 5,08 см; 1) d I = 4,96 см; 20 2) d I = 3,75 см; d II = 4,15 см; 3) d I = 5,27 см; 4) d I = 4,82 см; d II = 3,98 см; d II = 4,5 см; 13ик Если Мк = 1,2 кНм; Ми = 0,9 кНм, то диаметр стального вала ( [ ] = 100 МПа), определенный по III d III и IV d IV теориям прочности, равен… d IV = 6,87 см; 1) d III = 6,38 см; 14ик 2) d III = 5,35 см; d IV = 5,19 см; 3) d III = 4,73 см; d IV = 4,25 см; 4) d III = 4,37 см; d IV = 3,89 см. Из расчета по III теории прочности минимальный размер b поперечного сечения стержня АВ при допускаемом напряжении [ ] равен… 15ик 1) b = 5,8 3 Pa /[ ] ; 2) b = 4,2 3 Pa /[ ] ; 3) b = 3,1 3 Pa /[ ] ; 4) b = 4,7 3 Pa /[ ] Если Мк = 270 кНм; Ми = 140 кНм, то наружный dн и внутренний dв диаметры стального вала ( [ ] = 150 МПа) при отношении dв/ dн = 0,5, определенные по третьей теории прочности, равны… 16ик 1) dв = 140 мм, dн = 280 мм; 2) dв = 155 мм, dн = 310 мм; 3) dв = 200 мм, dн = 400 мм; 4) dв = 80 мм, dн = 160 мм. Если Мк = 12,5 кНм; Ми = 12,5 кНм, то минимальный диаметр вала (при [ ] = 80 МПа), определенный по III теории прочности, равен… 1) d III = 142 мм; 2) d III = 157 мм; 3) d III = 165 мм; 4) d III = 131 мм. 21 17ик Если Мк = 12,5 кНм; Ми = 12,5 кНм, то минимальный диаметр вала (при [ ] = 80 МПа), определенный по четвертой теории прочности, равен … 1) d IV = 140 мм; 2) d IV = 98 мм; 3) d IV = 128 мм; 4) d IV = 112 мм. 18ик Если h = 80 см, а = 60 см, D = 50 см, d = 60 мм, ветровое давление на знак составляет 2000 Па, то минимальная толщина t трубки (при [ ] = 60 МПа), определенная по третьей теории прочности, равна … 1) t = 3,4 мм; 2) t = 1,6 мм; 3) t = 6,2 мм; 4) t = 4,6 мм. 19ик Стальной вал круглого поперечного сечения 1) d = 45,6 мм; 2) d = 63,5 мм; передает мощность N= 14,7 кВт при угловой скорости ω = 10,5 рад/с. Величина наибольшего 3) d = 82,4 мм; 4) d = 71,2 мм. изгибающего момента, действующего на вал, М = 1,5 кНм. Исходя из условия прочности, по III теории прочности определить необходимый диаметр вала, если [σ]= 80 МПа. 20ик На барабан лебедки наматывается стальной канат для подъема груза Р = 50 кН. Пользуясь третьей теорией прочности, подобрать d диаметр вала АВ, на который насажен барабан, при наиневыгоднейшем положении груза. Диаметр барабана D = 340 мм, длина вала (расстояние между подшипниками) l = 1,25 м, допускаемое напряжение стали на растяжение [σ] = 120 МПа. 1) d = 21,6 см; 2) d = 9,84 см; 3) d = 15,4 см; 4) d = 11,4 см. 22 На середине стального вала насажен маховик, используемый как шкив, весом G = 4 кН. Ременная передача горизонтальная. Натяжение ветвей ремня S1 = 4 кН и S2 = 2 кН. Вал передает мощность 14,7кВт, вращаясь с угловой скоростью 16,7 рад/с. Определить диаметр вала, приняв допускаемое напряжение равным 60 МПа. 21ик 1) d = 85 мм; 2) d = 110мм; 3) d = 57 мм; 22ик 4) d = 69 мм. На валу насажены колесо 1 и барабан 2, размеры которых указаны на схеме. На колесо 1 действует сила Р = 3 кН, а на барабан 2 – сила Q. Определить диаметр вала по третьей теории прочности. Принять [σ]= 60 МПа. 1) d = 65 мм; 2) d = 97 мм; 3) d = 88 мм; 23ик 4) d = 57 мм. Подобрать диаметр сплошного вала подверженного действию моментов от ременных передач, дающих как горизонтальные, так и вертикальные равнодействующие (S и P). Учесть наличие изгиба в двух плоскостях и кручение. Применить четвертую теорию прочности, если Р = 1 кН, R = 40 см, r = 20 см, a = 0,5 м, [σ] = 80 МПа. 1) d = 6,33 см; 2) d = 3,94 см; 3) d = 5,18 см; 4) d = 4,22 см. 23 1.3. Внецентренное растяжение – сжатие 1.3.1. Изгиб балок при действии продольных и поперечных сил 1в Брус нагружен силой Р, действующей в плоскости симметрии параллельно оси бруса. Наибольшие по величине напряжения, возникающие в поперечном сечении, имеют место в точке … 1) 3; 2в 2) 4; 3) 5; 4) 1; 5) 2. Брус нагружен силой Р, действующей в плоскости симметрии параллельно оси бруса. Нормальные напряжения в точке 2 определяются по формуле … 1) P Pe2 A Jz ; P Pe ; 3) A Wz 3в 2) 4) P A P Pe ; A Wz , 5) P Pe2 A Jz . При уменьшении эксцентриситета е силы Р нулевая линия … 1) удаляется от сечения; центра тяжести 2) приближается к центру сечения; тяжести 3) положение нулевой меняется; линии 4) поворачивается вокруг тяжести сечения. 4в не центра Чтобы во всех точках поперечного сечения возникали нормальные напряжения одного знака, эксцентриситет е силы Р должен быть не более… i y2 i2 2) ; 1) z ; ymax ymax iz2 ; 3) zmax 24 4) iy2 zmax . 5в Определить наибольшие напряжения в крайних точках опасного сечения стального кронштейна, сделанного из выгнутого швеллера №16. Дано: Р = 12 кН, WY =13,8см3; Z0=1,8 см, А = 18,1 см2,WY = 35,17 см3. 1 2 1) σ1 = 95,97 МПа, σ2 = 46,90 МПа; 2) σ1 = 95,97 МПа, σ2 = 27,5 МПа; 3) σ1 = 55,77 МПа, σ2 = 95,97 МПа; 4) σ1 = 32,67 МПа, σ2 = 46,90 МПа. 6в Построить эпюры продольной силы и изгибающего момента. Определить напряжения в опасных точках опасного сечения. 1) │σmax│ = 95,97 МПа; 7в 2) │σmax│ = 172,7 МПа; 3) │σmax│ = 88,2 МПа; 4) │σmax│ = 67,5 МПа. Построить эпюры продольной силы и изгибающего момента. Определить напряжения в опасных точках опасного сечения. 1) │σmax│ = 95,97 МПа; 25 2) │σmax│ = 152 МПа; 3) │σmax│ = 102 МПа; 4) │σmax│ = 163 МПа. 8в Построить эпюры продольной силы и изгибающего момента. Определить напряжения в опасных точках опасного сечения. 1) │σmax│ = 123 МПа; 9в 2) │σmax│ = 153 МПа; 3) │σmax│ = 205 МПа; 4) │σmax│ = 168 МПа. Двутавровая балка нагружена силой P =50 кН. Определить величину наибольшего нормального напряжения в поперечном сечении балки. 1) │σmax│ = 110,2 МПа; 10в 2) │σmax│ = 187,3 МПа; 3) │σmax│ = 195,5 МПа; 4) │σmax│ = 139,3 МПа. На свободных концах двух швеллеров, жестко закрепленных в стенку, укреплен блок для подъема груза P = 50 кН. Натяжение каната Т горизонтально. Вылет швеллеров l = 1,5 м. Подобрать сечение швеллеров из условия прочности, если [σ] = 140 МПа. Трением в подшипниках блока пренебречь. 11в 1) Швеллер №22; 2) Швеллер №27; 3) Швеллер №18; 4) Швеллер № 30. Подобрать номер двутаврового профиля для консольной балки, нагруженной силой P = 40 кН, действующей, как показано на схеме. Допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа 26 1) Двутавр №16; 2) Двутавр №12; 3) Двутавр №20; 4) Двутавр №10. Чугунный кронштейн швеллерного сечения подвергается действию вертикальной силы, приложенной на расстоянии 10 см от полки. Определить допускаемое значение P, если [σ р] = 20 МПа, [σ с] = 80 МПа (размеры сечения указаны в схеме). 12в 1) [P] = 16,4 кН; 2) [P] = 18,3 кН; 3) [P] =12,2 кН; 4) [P]= 9,9 кН. 1.3.2. Совместное действие чистого косого изгиба с центральным растяжением – сжатием 13в 1) пересекает продольную ось стержня; Внецентренное растяжение-сжатие стержня 2) не пересекает продольную ось стержня; – это такой вид нагружения стержня, при 3) параллельна продольной оси стержня; котором линия действия внешней силы… продольной оси 4) перпендикулярна стержня. 1) в точках, где нулевая линия пересекает профиль сечения; При внецентренном растяжении-сжатии 2) в центре тяжести сечения; стержня максимальные по модулю нормальные 3) в точках, наиболее удаленных от напряжения возникают… нулевой линии; 4) в точках, где профиль сечения пересекает главные центральные оси. 14в напряжения 1) нормальные m ax , касательные напряжения 0 ; При внецентренном растяжении-сжатии min , напряжения 2) нормальные стержня во всех точках нулевой линии … касательные напряжения m ax ; 0, 3) нормальные напряжения касательные напряжения m ax ; 4) нормальные напряжения зависят от положения точки, касательные напряжения 0 . 15в 27 Если в сечении бруса действуют внутренние силовые факторы Mz, My, N, то максимальные нормальные напряжения возникают в точке сечения… 16в 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. В сечении бруса прямоугольного сечения действуют внутренние силовые факторы Mz, My, N. Наибольшие сжимающие напряжения возникают в точке … 17в 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. Если в сечении бруса действуют внутренние силовые факторы, модули которых равны Mz, My и N, то нормальные напряжения в точке 2 поперечного сечения определяются по формуле… M N M z y y z; 1) A Jz Jy 18в 2) My N Mz y z; A Jz Jy 3) My N Mz y z; A Jz Jy 4) My N Mz y z. A Jz Jy Если в сечении бруса действуют внутренние силовые факторы, модули которых равны Mz, My и N, то нормальные напряжения в точке 3 поперечного сечения определяются по формуле… My N M z; 1) z y A Jz Jy 19в 28 2) My N Mz y z; A Jz Jy 3) My N Mz y z; A Jz Jy 4) My N Mz y z. A Jz Jy 20в Брус нагружен силой Р, действующей параллельно оси бруса. Наибольшие по величине напряжения сжатия, возникающие в поперечном сечении, имеют место в точке … 1) 3; 21в 2) 4; 3) 1; 4) 2. Брус нагружен силой Р, действующей параллельно оси бруса. Наибольшие по величине напряжения растяжения, возникающие в поперечном сечении, имеют место в точке … 1) 3; 22в 2) 4; 3) 1; 4) 2 . Брус нагружен силой Р, действующей параллельно оси бруса. Наибольшие по величине напряжения растяжения, возникающие в поперечном сечении, имеют место в точке … 1) 3; 2) 4; 3) 1; 4) 2. Если в сечении бруса действуют внутренние силовые факторы, модули которых равны Mz, My и N, то полюс силы находится в квадранте… 23в 1) где расположена точка 1; 2) где расположена точка 2; 3) где расположена точка 3; 4) где расположена точка 4; 5) полюс силы находится в центре тяжести сечения. 29 24в Определить напряжения в точках 1, 2, 3 и 4 основания колонны при действии эксцентрично приложенной силы Р =10 кН. Эксцентриситет ey =10 см, ez = 5 см. Сечение колонны h=20 см, b= 10 см. 1) Точка 1: 25в σ1 = 2,5 МПа, Точка 2: σ2 = – 0,5 МПа, Точка 3: σ3 = – 3,5 МПа, Точка 4: σ4 = – 0,5 МПа; 2) Точка 1: σ1 = 3,4 МПа, Точка 2: σ2 = 1,5 МПа, Точка 3: σ3 = –2,0 МПа, Точка 4: σ4 = –1,2 МПа; 3) Точка 1: σ1 = –4,1 МПа, Точка 2: σ2 = – 0,8 МПа, Точка 3: σ3 = 2,3 МПа, Точка 4: σ4 = 1,3 МПа; 4) Точка 1: σ1 = – 2,5 МПа, Точка 2: σ2 = – 3,1 МПа, Точка 3: σ3 = 0,9 МПа, Точка 4: σ4 = 2,6 МПа. Определить наибольшие сжимающие напряжения по основанию фундамента, вес которого G = 144 кН, если внешняя сила (P = 140 кН) приложена с эксцентриситетом e = 0,4 м по главной оси инерции Y-Y. Размеры сечения h×b=2×1 м. 1) σc = – 0,084 МПа; 2) σc = – 0,24 МПа; 3) σc = – 0,045 МПа; 4) σc = – 0,058 МПа. 30 26в Рама клепальной машины подвергается действию двух равных сил P, каждая 10 кН. Найти напряжения в точках А и В сечения рамы. 1) σA =21,6 МПа, σB= 5,7 МПа; 2) σA =12,5 МПа, σB = –16,3 МПа; 3) σA =7,3 МПа, σB = 10,7 МПа; 4) σA =17,1 МПа, σB = 11,3 МПа. Жесткая деревянная стойка прямоугольного поперечного сечения b×h = 13×18 см нагружена продольной сжимающей силой Р = 80 кН, приложенной в точке А с координатами ZA = –3 см, YA = 4 см. Определить положение нейтральной линии, проверить прочность стойки, если допускаемое напряжение древесины на сжатие [σ_ ] =13 МПа. 27в 1) az = 7,1 см, ay = 5,4 см,│σB│= 16,7 МПа; 2) az = 6,7 см, ay = 4,3 см,│σB│= 14,8 МПа; 3) az= 4,7 см,ay = - 6,8 см,│σB│=12,71МПа; 4)az = 5,9 см,ay = - 4,6 см,│σB│=15,43МПа. 28в Проверить прочность деревянного бруска квадратного сечения со стороной h =18 см, ослабленного несимметричной врезкой глубиной hвр = 4 см. Расчетная осевая растягивающая сила P = 135 кН. Допускаемое напряжение древесины принять равным 10 МПа. 1) σmax = 9,95 МПа; 2) σmax =11,53 МПа; 3) σmax = 6,71 МПа; 4) σmax = 3,91 МПа. 31 29в Разрезанное звено цепи сделано из стального стержня диаметром d = 50 мм; а = 60 мм. Если допускаемое напряжение в сечении А принять равным [σ] = 120 МПа, какую величину можно допустить для силы P? 1) Р не более 20,74 кН; 2) Р не более 10,75 кН; 3) Р не более 16,13 кН; 4) Р не более 24,12 кН. 30в 1) Нейтральная линия 1 – 1: Построить ядро сечения для двутавра №30. Данные: iz=12,3 см; iy=2,69 см; h=30 см; b=13,5 см. zP = 2,32 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = –12,41 см; 2) Нейтральная линия 1 – 1: Нейтральная линия 2 – 2: zP =1,07 см, yP = 10,10 см; 3) Нейтральная линия 1 – 1: zP = – 0,84 см, Нейтральная линия 2 – 2: 4) Нейтральная линия 1 – 1: Нейтральная линия 2 – 2: yP = 8,27 см; zP = 2,32 см, yP = 8,27 см. 31в Построить ядро сечения для прямоугольника шириной b=16 см и высотой h=24 см. 1) Нейтральная линия 1 – 1: zP = 3,54 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = 2,56 см; 2) Нейтральная линия 1 – 1: zP = 4,09 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = – 3,54 см; 3) Нейтральная линия. 1 – 1: zP = 2,98 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = 7,34 см; 4) Нейтральная линия 1 – 1: zP = 2,66 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = – 4,00 см. 32 32в Построить ядро сечения для круга диаметром D=12 см. 1) Нейтральная линия 1 – 1: zP = 1,5 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = – 1,5 см; 2) Нейтральная линия 1 – 1: zP = 2,1 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = –2,7 см; 3) Нейтральная линия 1 –1: zP = 1,9 см, Нейтральная линия 2 – 2: yP = 3,2 см; 4) Нейтральная линия 1 – 1: zP = 4,2 см, Нейтральная линия 2 – 2: 2. СТАТИЧЕСКИ СИСТЕМЫ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ yP = 2,8 см. СТЕРЖНЕВЫЕ 2.1. Статически неопределимые балки 1сб Степень статической балки равна… 1) 1; 2сб 2) 2; 2) 2; 1) 1; 33 2) 2; 4) 4. неопределимости 3) 3; 4) 4. неопределимости 3) 3; Степень статической балки равна… 4) 4. неопределимости 3) 3; Степень статической балки равна… 1) 1; 5сб 2) 2; Степень статической балки равна… 1) 1; 4сб 3) 3; Степень статической балки равна… 1) 1; 3сб 2) 2; неопределимости 4) 4. неопределимости 3) 3; 4) 4. 6сб Указанная система является: 1) два раза статически неопределимой; 2) один раз статически неопределимой; 3) статически определимой; 4) три раза статически неопределимой. 7сб Указанная система является: 1) статически определимой; 2) один раз статически неопределимой; 3) три раза статически неопределимой; 4) два раза статически неопределимой. 8сб 9сб 10сб 11сб Реакция в опоре В балки, нагруженной моментом М, определяется как… 1) 7 M ; 16 l 2) 9 M ; 16 l 3) 5 M ; 16 l 4) 11 M . 16 l Реакция в опоре В балки, нагруженной моментом М, определяется как… 1) 3M ; 2 l 2) 5M ; 8 l 3) 11 M ; 8 l 4) 3M . 4 l Реакция в опоре В балки, нагруженной, распределенными силами интенсивностью q , определяется как… 1) 1q ; 4l 2) 3q ; 4l 3) 3q ; 8l 4) 5q . 8l Реакция в опоре В балки, нагруженной силой Р, определяется как… 34 1) 5 P; 16 2) 7 P; 16 3) 9 P; 16 4) 11 P. 16 12сб Опорный момент в заделке А балки, нагруженной силой Р, определяется как… 5 Pl ; 8 7 Pl ; 3) 16 3 Pl ; 8 9 Pl . 4) 16 1) 13сб 2) Балка АВ, заделанная концом А в стену, загружена равномерно распределенной нагрузкой Q. Найти величину опорного момента M. 1) M = ; 2) M = 14сб 3) M = Ql; 4) M = . 6 ; Вычислить реакцию опоры B. 11 ql; 81 23 3) RB = ql; 81 10 ql; 81 4) RB = 1) RB = 2) RB = 15сб 8 ql. 81 Балка АB, заделанная концом А в стену и подпертая в точке B, изгибается сосредоточенной силой P. Найти величину опорного момента М и опорную реакцию у конца B. 2 1) RB = 2 1 2) RB = 3) RB = 4) RB = 35 , 3 2 M = 1 2 2 2 2 2 2 1 2 , M = 1 3 1 1 , 2 1 2 , M= M = 2 2 1 ; ; 1 2 2 2 1 3 ; 1 . 16сб Построить эпюры QY и MZ, EIZ = const. 1) Мmax = 51 кНм, Qmax= 62 кН; 2) Мmax = 23 кНм, Qmax = 27 кН; 3) Мmax = 43 кНм, Qmax = 23 кН; 4) Мmax =30 кНм, Qmax = 30 кН. 17сб Построить эпюры Qy и Mz , EI = const. 18сб 1) Mmax = , Qmax = ; 2) Mmax = , Qmax = ; 3) Mmax = , Qmax = ; 4) Mmax = , Qmax = . Построить эпюры Qy и Mz . 1) Mmax = , Qmax = ; 2) Mmax = , Qmax = ; 3) Mmax = , Qmax = ; 4) Mmax = , Qmax = . Построить эпюры Qy и Mz . 19сб 36 1) Mmax = , Qmax = ; 2) Mmax = , Qmax = ; 3) Mmax = , Qmax = ; 4) Mmax = Qmax = . , 20сб 21сб 22сб Построить эпюры Qy и Mz , EIZ = const. 1) Мmax = 8,61 кНм, Qmax = 22,34 кН; 2) Мmax = 4,85 кНм, Qmax = 30,91 кН; 3) Мmax = 19,22 кНм, Qmax = 18,43 кН; 4) Мmax = 11,25 кНм, Qmax = 32,20 кН. Для стальной балки, изображенной на рисунке, требуется подобрать размеры двутаврового поперечного сечения, приняв [σ] = 160 МПа, P = 10 кН, M = 20 кНм. 1) Двутавр №16 с WZ = 109,0 см3, 2) Двутавр №10 с WZ = 39,7 см3, 3) Двутавр №20 с WZ = 184,0 см3, 4) Двутавр №18 с WZ = 143,0 см3. Раскрыть статическую неопределимость заданной балки, построить эпюру MZ. 33 24 1) RA= qa, 7 12 2 ; 11 12 2 ; 11 24 2 ; 11 24 2. 2) RA= qa, 24 MZmax 3) RA= qa, 37 48 MZmax 35 qa, 48 MZmax 4) RA= 23сб 37 MZmax Найти реакции Q0 и M0 в защемлении балки, защемленной 1 3 концами, приняв С = . 37 1) M0= , Q0= ; 2) M0= , Q0= ; 3) M0= , Q0= ; 4) M0= , Q0= . левом двумя 24сб Балка AB на конце А жестко заделана, на конце B оперта на упруго оседающую опору. Балка несет равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q. Вычислить реакцию опоры B, считая, что коэффициент жесткости опоры B равен α. 4 3 8 1) RB= ; 4 2) RB= 3 24 8 5 3) RB= 25сб 26сб 3 12 3 ; 4 24 4) RB= 3 4 24 8 3 ; . Для балки построить эпюры Q и M, EI = const. 1) Мmax = 0,058ql2, Qmax= 0,756 ql; 2) Мmax = 0,097ql2, Qmax = 0,563ql; 3) Мmax = 0,028ql2, Qmax = 0,957ql; 4) Мmax = 0,071ql2, Qmax = 0,412ql. Для балки, изображенной на рисунке, требуется определить реакции опор и построить эпюры QY и MZ. 1) RA= Qmax= 2) RA= , , 4) RA= Qmax= 38 MZmax=M; MZmax= ; RC= , Qmax= , RC= , , Qmax= 3) RA= RC= , , MZmax= RC= , , , ; , MZmax=M; 27сб Найти опорные реакции для неразрезной двухпролетной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q. 1) RA= 29сб , 3 RC= Q, RB= 8 ; 2) RA= RC= Q, RB= 38 ; 3) RA= RC= Q, 4) RA= 28сб 3 16 7 16 , 5 8 RB= RC= Q, ; RB= 3 16 . Балка AD лежит на четырех равноудаленных опорах и нагружена сосредоточенной силой P по середине. Найти опорные реакции и построить эпюру изгибающих моментов. Обозначить реакции на опорах A и D через R1, на опорах B и C через R. 1) R1= , R= P, Mmax= ; 2) R1= , R= P, Mmax= ; 3) R1= , R= P, Mmax= ; 4) R1= , R= P, Mmax= . Две накрест лежащие деревянные балки квадратного поперечного сечения 25×25 см перекрывают помещение размером 6×4 м. В месте пересечения балок лежит груз Q=35кН. Определить: 1) как распределится груз Q между обеими балками, если при изгибе они все время плотно соприкасаются между собой; 2) какой первоначальный зазор u нужно взять между балками, если желательно, чтобы максимальные нормальные напряжения при изгибе были одинаковыми для обеих балок. 39 1) Р1 = 15 кН, Р2 = 11 кН, u= 2,114 см; 2) Р1 = 9 кН, u= 0,576 см; Р2 = 17 кН, 30сб 3) Р1 = 11 кН, Р2 = 27 кН, u= 0,657 см; 4) Р1 = 8 кН, Р2 = 27 кН, u= 1,074 см. Балка AB концом A заделана в стену, конец B тягой CB прикреплен к потолочной балке DK, свободно лежащей на двух опорах. Найти натяжение стержня BC под действием силы P, считая, что l1= и E1I1=EI. 2 31сб 1) Y= 7 24 ; 2) Y= 5 24 ; 3) Y= 3 24 ; 4) Y= 5 19 ; В месте соединения двух балок AB и CD приложена сила P. Найти усилия P1 и P2, передаваемые на балки AB и CD, если жесткости балок и их пролеты известны. 40 1) P1= , P2= ; 2) P1= , P2= ; 3) P1= , P2= ; 4) P1= , P2= ; 2.2. Статически неопределимые рамы 1ср Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 2ср 3) 4; 2) 3; 3) 4; Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 5ср 2) 3; Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 4ср 3) 4; Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 3ср 2) 3; 2) 3; 3) 4; Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 41 2) 3; 3) 4; неопределимости 4) 5; 5) 6. неопределимости 4) 5; 5) 6. неопределимости 4) 5; 5) 6. неопределимости 4) 5; 5) 6. неопределимости 4) 5 ; 5) 6. 6ср Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 7ср 3) 4; Степень статической плоской рамы равна… 1) 2; 8ср 2) 3; неопределимости 2) 3; 4) 5; 5) 6. неопределимости 3) 4; 4) 5; 5) 6. Отметьте указанные схемы рам теми же цифрами, что и соответствующие им названия систем в методе сил: 1) основная система; 2) эквивалентная система; 3) статически неопределимая система. Указанная называется: 9ср система в методе сил 1) основная система; 2) эквивалентная система; 3) статически неопределимая система. Для схемы 1 плоской рамы схема 2 в методе сил является… 10ср 1) основной системой; 2) эквивалентной системой; 3) статически неопределимой системой. 42 Изображенная плоская рама является: 11ср 1) 2) 3) 4) 5) два раза статически неопределимой; один раз статически неопределимой; три раза статически неопределимой; механизмом с одной степенью свободы; статически определимой. 12ср 1) 1, 2, 3, 4, 5; Установите последовательность действий 2) 3, 2, 1, 5, 4; при раскрытии статической неопределимости 3) 3, 1, 2, 4, 5; системы. 4) 3, 5, 2, 1, 4. 1. Перемножение эпюр. 2. Построение грузовой и единичных эпюр. 3. Выбор основной системы. 4. Построение эпюр внутренних силовых факторов для заданной системы. 5. Переход к эквивалентной системе. 13ср 14ср Реакция в опоре В плоской рамы, нагруженной моментом М, определяется как… 1) 5M ; 8 l 2) 3M ; 4 l 3) 3M ; 5 l 4) 1M . 2 l Реакция в опоре В плоской рамы, нагруженной силой Р, определяется как… 43 1) 5 P; 16 2) 3 P; 8 3) 1 P; 2 4) 5 P. 8 15ср 16ср Реакция в опоре В плоской рамы, нагруженной распределенными силами интенсивностью q , определяется как… 1) 11 ql ; 32 2) 15 ql ; 32 3) 17 ql ; 32 4) 19 ql . 32 Реакция в опоре В плоской рамы, нагруженной распределенными силами интенсивностью q , определяется как… 1) 1 ql ; 8 3 ql ; 8 2) 3 1 ql ; ql . 4) 4 2 Опорный момент в заделке А плоской рамы, нагруженной распределенными силами интенсивностью q , определяется как… 3) 17ср 1) 1 2 ql ; 8 2) 3 2 ql ; 8 3 2 5 ql ; 4) ql 2 . 4 8 Опорный момент в заделке А плоской рамы, нагруженной распределенными силами интенсивностью q , определяется как… 3) 18ср 19ср 1) 1 2 ql ; 32 2) 5 2 ql ; 32 3) 7 2 ql ; 32 4) 11 2 ql . 32 Вычислить EI=const. реакцию опоры 1) RA = 7,2 кН, 2) RA = 5,1 кН, 3) RA = 2,9 кН, 4) RA = 2,5 кН. 44 A, если 20ср 21ср Вычислить EI=const. реакцию опоры 1) RA = 7,2 кН, 2) RA = 5,1 кН, 3) RA = 2,9 кН, 4) RA = 4,5 кН. Определить опоры А рамы. составляющие 11 38 43 76 9 38 47 76 9 38 11 38 A, если реакции 1) RAx = P, RAy = P; 2) RAx = P, RAy = P; 3) RAx = P, RAy = P; 4) RAx = 22ср 11 P, 38 47 76 RAy = P. Раскрыть статическую неопределимость рамы, учитывая деформацию изгиба. 91 54 125 qa, 54 7 54 111 qa; 54 77 54 92 54 17 54 121 qa; 54 91 54 125 qa, 54 17 54 125 qa; 54 91 54 93 62 1) RAx = qa, RAy = RBx = qa, RBy = 2) RAx = qa, RAy = qa, RBx = qa, RBy = 3) RAx = qa, RAy = RBx = qa, RBy = 4) RAx = qa, RAy = qa, RBx = 45 7 qa, 62 RBy = 125 qa; 54 23ср 24ср Вычислить реакцию опоры B, учитывая деформацию участков только от изгибающего момента, EI=const. ; 1) RB = 7 2) RB = 5 3 ; 3) RB = 7 3 ; 4) RB = 7 3 ; Раскрыть статическую неопределенность рамы; построить эпюры M, Q и N при М=40кНм. Жесткость рамы постоянная и одинаковая на обоих участках. 1) М = 43,67 кНм, Q = 20,47 кН, N =19,13 кН; 2) М = 32,72 кНм, Q = 16,36 кН, N = 16,36 кН; 3) М = 18,45 кНм, Q = 14,95 кН, N = 11,42 кН; 4) М = 24,61 кНм, Q = 10,14 кН, N = 8,49 кН. 25ср Раскрыть статическую неопределимость рамы и построить эпюры M, Q и υ при P = 40кН, а = 2м, с = 3м. Жесткость рамы постоянная и одинаковая на обоих участках. 1) М = 52 кНм, Q = 21 кН, υ = 24,5 кН; 2) М = 63 кНм, Q = 40 кН, υ = 47,5 кН; 3) М = 71 кНм, Q = 40 кН, υ = 24,5 кН; 4) М = 49 кНм, Q = 21 кН, υ = 39,6 кН. 46 26ср Для заданной рамы построить эпюры M, Q, N, EI = const. 1) М = 40 кНм, Q = 40 кН, N = 7,2 кН; 2) М = 17 кНм, Q = 27 кН, N = 12,8 кН; 3) М = 57 кНм, Q = 25 кН, N = 25,4 кН; 4) М = 34 кНм, Q = 54 кН, N = 10,8 кН. 27ср Построить эпюры M, Q, N, EI = const. 1) М = 35,64 кНм, Q = 43,72 кН, N =19,54 кН; 2) М = 42,34 кНм, Q = 27,61 кН, N = 27,61 кН; 3) М = 26,25 кНм, Q = 22,50 кН, N = 22,50 кН; 4) М = 54,45 кНм, Q = 30,54 кН, N = 30,54 кН. 28ср Построить эпюры M, Q, N, EI = const. 1) М = 22 кНм, Q = 20 кН, N = 20 кН; 2) М = 51 кНм, Q = 12 кН, N = 16 кН; 3) М = 33 кНм, Q = 22 кН, 4) М = 18 кНм, Q = 17 кН, N = 17 кН. 47 N = 22 кН; 29ср Построить эпюры M, Q, N, EI = const. 1) М = 26,7 кНм, Q = 21 кН, N = 21 кН; 2) М = 10,5 кНм, Q = 24 кН, N = 26 кН; 3) М = 7,7 кНм, Q = 34 кН, N = 34 кН; 4) М = 14,5 кНм, Q = 30 кН, N = 30 кН. 30ср Построить эпюры M, Q, N, EI = const. 1) М = 47,6 кНм, Q = 97,3 кН, N = 57,9 кН; 2) М = 30,6 кНм, Q = 115,3 кН, N = 115,3 кН; 3) М = 57,3 кНм, Q = 103,7 кН, N = 94,4 кН; 4) М = 38,5 кНм, Q = 88,6 кН, N = 88,6 кН. 31ср Построить эпюры M, Q, N, EI = const. 1) М =17,85 кНм, Q = 12,94 кН, N = 11,08 кН; 2) М = 31,76 кНм, Q = 7,94 кН, N = 7,94 кН; 3) М = 26,33 кНм, Q = 9,76 кН, N = 9,76 кН; 4) М = 43,18 кНм, Q = 10,8 кН, N = 10,8 кН. 48 32ср Найти реакцию опор заданной рамы и построить эпюру изгибающих моментов. Жесткость сечений всех элементов рамы одинакова. 1) RA= RC= 2) RA= RB= P, 1 2 P, Mzmax= , RB= Mzmax= , RB = P, RC = P, Mzmax= 3) RA= 4) RA= RC = , P, RB = ; P, P, RC = 49 , ; ; P, 1 Mzmax= 2 . ПРИЛОЖЕНИЕ Основные формулы и справочные данные 1. КОСОЙ ИЗГИБ Рис. П.1 Нормальное напряжение в точке С(z, у) по принципу независимости действия сил определяется суммой напряжений, обусловленных моментами Мz и Мy (рис. П.1): σ= MZ IZ σ=M I y M z или I cos α I sin α , (1.1) где MZ = Mcos α, My = Msin α; Iz и Iy - главные центральные моменты инерции сечения. Нейтральная линия – прямая, проходящая через центр тяжести сечения, не перпендикулярная плоскости действия суммарного изгибающего момента. Уравнение нейтральной линии получается из (1.1), полагая σ = 0: IZ cos α I sin α 0. 1.2 Ее положение определяется по формуле tg β I I tg α, (1.3) где β – угол, образуемый нейтральной линией с главной центральной осью сечения Оz (см. рис. П.1,б). 50 Проверка прочности производится по наибольшим нормальным напряжениям, которые возникают в опасном сечении в наиболее удаленных от нейтральной оси (линии) точках. Условие прочности имеет вид MZ M WZ W σ. (1.4) При разных допускаемых напряжениях на растяжение и сжатие прочность проверяют отдельно для растянутой и сжатой зон. Подбор сечений производится из условия прочности (1.4): WZ ≥ где К = WZ W MZ KM или WZ ≥ M cos α K sin α , (1.5) зависит от формы поперечного сечения стержня. Для прямоугольника К = , для прокатных двутавров К = 8, для прокатных швеллеров К = 6,5. Прогиб при косом изгибе. По принципу независимости действия сил суммарный прогиб определяется как геометрическая сумма: f= f f . Направление суммарного прогиба перпендикулярно нулевой (нейтральной) линии. Условие жесткости: f max ≤ [f] (1.6) 2. ИЗГИБ С КРУЧЕНИЕМ При кручении с изгибом напряженное состояние в опасных точках нельзя рассматривать как одноосное. Касательными напряжениями, обусловленными крутящим моментом, пренебречь нельзя. В опасных точках бруса имеет место плоское напряженное состояние, и расчет на прочность должен выполняться с применением теорий прочности. Расчет стержней круглого сечения Условие прочности: где WZ σэкв WZ σ, – осевой момент сопротивления круглого сечения. 51 Mэкв (2.1) Рис. П.2 Диаметр сплошного вала определится по формуле Mэкв d . 2.2 Для полого вала наружный диаметр равен Mэкв D где α D , (2.3) ; d – внутренний диаметр вала. Формулы эквивалентных моментов: M M M – по 3-й теории прочности, (2.4) M M 0.75M – по 4-й теории прочности. (2.5) 52 3. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ - СЖАТИЕ 3.1 . Совместное действие изгиба и центрально приложенной продольной силы Полагая напряженное состояние в опасной точке линейным (пренебрегаем касательными напряжениями), условие прочности запишется в общем виде σ σ. Для сечения с двойной симметрией формула (3.1) примет вид σ N M M A W W . (3.2) В случае изгиба в плоскости ху σ N M A W . (3.3) 3.2. Внецентренное действие продольной силы Расстояние е от продольной силы до оси стержня называется эксцентриситетом. Точка А – полюс силы с координатами ZP и YP в системе координат главных центральных осей. 53 Рис. П.4 Приведя силу к оси стержня, можно представить внецентренное сжатие (растяжение) как сочетание центрального сжатия (растяжения) и чистого косого изгиба, вызванного изгибающими моментами, M NyP и M NzP Нормальное напряжение в произвольной точке сечения с координатами z и y равно: σ M y I N A M z I или N σ где iz и iy – A 1 , (3.4) радиусы инерции сечения относительно главных осей ОZ и ОY. Условие прочности N MZ M Z AНТ IZ I σ , где АНТ – площадь поперечного сечения «нетто» (за вычетом ослабления). 54 (3.5) Нейтральная линия определяется уравнением прямой 0, 1 (3.6) где z0 и y0 – координаты точек нейтральной линии. Отрезки на осях Оz и Оy – az и ay , отсекаемые нейтральной линией, вычисляются по формулам: az ; ay . (3.7) Направления осей z и y принимаем такими, чтобы полюс силы был в первом квадранте, тогда в (3.4) yp и zp всегда положительные, а координаты y и z принимаются со своими знаками. Полюс силы и нейтральная линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения. С приближением полюса силы к центру тяжести нейтральная линия удаляется от него и наоборот. Если полюс силы перемещать по некоторой прямой, то нейтральная линия будет вращаться вокруг некоторой точки. Касательные, проведенные к контуру сечения параллельно нейтральной линии, дают на контуре две точки, в которых возникают наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения. Ядро сечения Ядром сечения называется область, очерченная вокруг центра тяжести и характерная тем, что всякая продольная сила, приложенная внутри этой области, вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения одного знака. Координаты точки, лежащей на границе ядра сечения и соответствующей данному положению нейтральной линии, определяются: yp iz 2 ; ay zp iy 2 az , (3.8) где az и ay – отрезки на осях у и z , отсекаемые нейтральной линией – касательной к контуру сечения. 55 Рис. П.5 4. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ 4.1. Основные этапы расчета статически неопределимых систем Стержневую систему, усилия в которой не могут быть определены только при помощи уравнений статики, называют статически неопределимой. С точки зрения расчета ее удобно рассматривать как некоторую статически определимую систему, именуемую в последующем основной системой, на которую наложены дополнительные связи. Одним из важнейших методов расчета статически неопределимых систем является метод сил, в котором за основные неизвестные принимают обобщенные реактивные силы в отброшенных дополнительных связях системы. Расчет ведется в такой последовательности: * Определяется степень статической неопределимости (по числу дополнительных связей). * Выбирается основная система, которая получается из заданной после удаления дополнительных связей. Действие отброшенных связей заменяется неизвестными силовыми факторами Х1, Х2,…,Хn. * Составляются канонические уравнения метода сил, математически выражающие условие эквивалентности основной и заданной систем. Для любой n раз статически неопределимой системы: δ11X1+ δ12X2+ δ13X3+…+ δ1nXn+Δ1p = 0, δ21X1+ δ22X2+ δ23X3+…+ δ2nXn+Δ2p = 0, ……………………………………………. δn1X1+ δn2X2+ δn3X3+…+ δnnXn+Δnp = 0, где главные коэффициенты канонических уравнений определяются по формулам: 56 (4.1) M M S EI δ ds; δ M M S EI ds; … ; δ M M S EI M M S EI ds; … ; δ MM S EI ds; (4.2) ds; (4.3) побочные коэффициенты по формулам: M M S EI δ ds; δ свободные члены по формулам: Δ M M S EI ds; Δ M M S EI ds; … ; Δ M M S EI ds; (4.4) Из решения этих уравнений находят значения Х1,Х2 ,...,Хn. * Строят эпюры внутренних силовых факторов. Построение удобно производить методом суммирования по схеме: М M X M X МP ; Q Q X Q X QP ; N N X N X NP ; (4.5) * Выполняется проверка решения, включающая в себя статическую проверку (проверяется равновесие системы и ее отдельных частей) и кинематическую (проверяется отсутствие перемещений по направлению наложенных на систему связей). 4.2. О степени статической неопределимости Для стержневых систем со сложным внутренним образованием можно указать на следующий общий прием определения степени статической неопределимости. В его основу положено то соображение, что каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий n стержней, снижает степень статической неопределимости на n-1, так как такой шарнир заменяет n-1 одиночных шарниров. Поэтому для определения степени статической неопределимости стержневой системы необходимо взять утроенное количество замкнутых контуров (предполагая, что все шарниры, в том числе и опорные, заменены жесткими соединениями) и затем уменьшить его на число включенных в конструкцию одиночных шарниров, учитывая при этом, что один общий шарнир эквивалентен n-1 одиночным шарнирам. Представив это правило в виде формулы, получим: С = 3К – Ш, (4.6) где С – степень статической неопределимости системы; К – число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсутствия шарнирных соединений; Ш – число одиночных шарниров; шарнир, соединяющий два стержня, считается за один (одиночный шарнир), 57 соединяющий три стержня? – за два одиночных шарнира (двойной шарнир) и т.д; основание (земля) рассматривается как стержень с бесконечно большой жесткостью. Например, для конструкции, изображенной на рис. П.6., пронумеровано 4 контура и около каждого шарнира указано соответствующее ему число одиночных шарниров. Следовательно, К = 4, Ш = 1+2+1+1+1 = 6; С = 3 • 4 – 6 = 6, т.е. система шесть раз статически неопределима. Установка шарнира на оси стержня (рис. П.7.) (одиночный шарнир) обращает в ноль изгибающий момент в этом сечении и, следовательно, снижает степень статической неопределимости на единицу: С = 3 • 2 – 1 = 5. Шарнир, включенный в узел (общий шарнир), где сходятся n стержней (рис. П.8,а), снижает степень статической неопределимости на n-1, так как заменяет собой столько же одиночных шарниров (рис. П.8,б): С = 3 • 2 – 2 = 4. а Рис. П.6 Рис. П.7 58 б Рис. П.8 Список рекомендуемой литературы 1. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов / Ф.З. Алмаметов, С.И. Арсеньев, Н.А. Курицын, А.М. Мишин. – М.: Лань, 2005. – 366с. 2. Белявский, С.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / С.М. Белявский. – М.: Высшая школа, 1967. – 377с. 3. Беляев, Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов / Н.М. Беляев. – М.: Наука, 1965. – 348с. 4. Винокуров, А.И. Сборник задач по сопротивлению материалов / А.И. Винокуров. – М.: Высшая школа, 1990. – 383с. 5. Горшков, А.Г. Сборник задач по сопротивлению материалов с теорией и примерами / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. – М.: Физматлит, 2003. – 626с. 6. Иванов, Н.И. Сборник задач по сопротивлению материалов / Н.И. Иванов. – М.: Гостехиздат, 1956. – 276с. 7. Ицкович, Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов / Г.М. Ицкович, А.И. Винокуров, Л.С. Мишин. – М.: Высшая школа, 1999. – 592с. 8. Ицкович, Г.М. Сборник задач по сопротивлению материалов / Г.М. Ицкович, А.И. Винокуров, Н.В. Барановский. – Л.: Судостроение, 1965. – 286с. 9. Лихарев, К.К. Сборник задач по курсу «Сопротивление материалов» / К.К. Лихарев, Н.А. Сухова. – М.: Машиностроение, 1980. – 223с. 10. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов / И.Н. Миролюбов, С.А. Енгалычев, Н.Д. Сергиевский и др. – М.: Высшая школа, 1963. – 481с. 11. Рубинчик, М.В. Руководство к практическим занятиям по сопротивлению материалов / М.В. Рубинчик. – М.: Росвузиздат, 1963. – 487с. 12. Сапунов, В.Т. Классический курс сопротивления материалов в решениях задач / В.Т. Сапунов. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. – 160с. 13. Сборник задач по сопротивлению материалов / А.А. Уманский, А.М. Афанасьев, А.С. Вольмир и др. – М.: Наука, 1964. – 552с. 14. Сборник задач по сопротивлению материалов / под редакцией А.С. Вольмира. – М.: Наука, 1984. – 408с. 15. Сборник задач по сопротивлению материалов / под редакцией В.К. Качурина. – М.: Наука, 1970. – 431с. 16. Снитко, Н.К. Краткий задачник по сопротивлению материалов / Н.К. Снитко. – Л.: Изд. ЛГУ, 1972. – 72с. 17. Тимошенко, С.П. Сборник задач по сопротивлению материалов / С.П. Тимошенко. М. – Л.: ГТТИ, 1933. – 224с. 18. Шапиро, Д.М. Сборник задач по сопротивлению материалов / Д.М. Шапиро, А.И. Подорванова, А.Н. Миронов. – М.: Высшая школа, 1970. – 333с. 59 Учебное издание БЕЛИКОВ Геннадий Викторович, МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич ЗАДАНИЯ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ (для самостоятельной работы и тестирования) Часть 3. Сложное сопротивление. Статически неопределимые стержневые системы. Редактор М. В. Теленкова Подписано в печать 05.10.2011. Формат 60×84/8. Усл. печ. л. 6,8. Тираж 100 экз. Заказ 1020. Ульяновский государственный технический университет. 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32. Типография УлГТУ. 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.