Ð”Ð¸Ñ Ñ ÐµÑ€Ñ‚Ð°Ñ†Ð - Институт солнечно

1
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт солнечно-земной физики
Российской академии наук Сибирского отделения
На правах рукописи
УДК 550.510.535
Чуйко Даниил Александрович
МГД-волновод во внешней магнитосфере и механизмы его возбуждения
25.00.29 — физика атмосферы и гидросферы
Диссертация
на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук
Мазур Виталий Айзикович
Научный консультант:
доктор физико-математических наук
Леонович Анатолий Сергеевич
Иркутск–2015
2
Введение……………………………………………………...…………………..
4
1. МГД-волновод во внешней магнитосфере……………………………......
14
1.1. Параметры магнитосферы и солнечного ветра обуславливающие существование волновода…………………………………………….……………….
14
1.2. Одномерно неоднородная модель волновода………………………..........
15
1.2.1. Краткое описание модели…………………………..…………………….
15
1.2.2. Основные уравнения…………………..………………………………….
17
1.2.3. Граничные условия в магнитосфере и солнечном ветре…….....………
18
1.2.4. Приближение ВКБ………........…………………………………………...
20
1.2.5. Собственные частоты и собственные моды……………………………..
21
1.3. Двумерно неоднородная модель волновода……………...…………..........
28
1.3.1. Введение азимутальной неоднородности…………..……………………
28
1.3.2. Приближение ВКБ по азимуту………………...………………..………..
35
1.3.3. Собственные частоты и собственные моды………….....……………….
37
1.4.Заключение к Главе 1…………………..……………………………………
38
2. Возбуждение собственных мод МГД-волновода неустойчивостью
Кельвина–Гельмгольца………………………………………………………...
40
2.1. Эффекты конечного значения параметра α………………...……..……….
42
2.2.Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца как неустойчивость собственных мод…………………………………………………………………………...
2.2.1. Решение дисперсионного уравнения………...……………………..……
43
43
2.2.2. Инкремент неустойчивости с учетом альфвеновского резонанса……..
49
2.2.3. «Пересоединение» мод……………..……...……………………………...
55
2.2.4. Пространственная структура мод……………......……………………….
58
2.3. Заключение к Главе 2……………………….………………………………
66
3. Возбуждение собственных мод МГД-волновода гидромагнитными
волнами, проникающими из солнечного ветра……………….……………
68
3.1. Задача о падении и отражении волны…………..………………………….
71
3.1.1. Основные уравнения………......…………………………………………..
71
3.1.2. Определение коэффициента отражения…………………...…..………...
74
3
3.2. Проникновение волн в магнитосферу………………...…...……………….
77
3.2.1. Исследование коэффициента отражения………………...………………
77
3.2.2. Поток энергии и мощность накачки………………….………………….
87
3.3. Заключение к Главе 3………………………….....…………………………
90
4. Распределение энергии колебаний вдоль МГД-волновода………….....
92
4.1. Погонная плотность энергии вдоль волновода……………….…………..
93
4.2. Азимутальная зависимость инкремента неустойчивости……….………..
95
4.3. Азимутальная зависимость мощности накачки……..…...………………..
97
4.4. Уравнение переноса энергии и его аналитическое исследование………. 104
4.5. Распределение энергии пульсаций Pc3 и Pc5….....……………………….. 110
4.5.1. Механизмы генерации пульсаций Pc3 и Pc5…….……………................ 110
4.5.2. Распределение энергии для второй моды диапазона Pc3…….………...
110
4.5.3. Распределение энергии для нулевой моды диапазона Pc5…….………. 115
4.6. Заключение к Главе 4………….…………………………………………… 119
Заключение……………..…………………………………………….................
120
Список литературы…………..………………………………………………... 123
4
Введение
Магнитосфера Земли является крупномасштабной плазменной структурой,
динамика которой определяется изменением параметров потока солнечного
ветра и ориентацией межпланетного магнитного поля [Borovsky et al., 1998;
Watanabe and Sato, 1990]. Поступление энергии в магнитосферу происходит при
ее взаимодействии с солнечным ветром. Часть этой энергии расходуется на генерацию магнитосферных токовых систем, высыпание частиц в ионосферу и
конвекцию магнитосферной плазмы. Другая часть этой энергии запасается в
хвосте магнитосферы, с последующим ее высвобождением во время суббури
[Зелёный, 1986; Carovillano and Siscoe, 1973; Dessler and Parker, 1959; Coronity
and Kennell, 1972].
Одним из наиболее известных механизмов взаимодействия солнечного
ветра и магнитосферы является пересоединение геомагнитного и межпланетного
(ММП) магнитных полей, которое может происходить в лобовой части магнитосферы когда в ММП присутствует южная Bz компонента, антипараллельная
геомагнитному полю [Пудовкин и Семёнов, 1985; Coronity and Kennell, 1972].
При этом происходит интенсивный перенос плазмы, энергии и импульса из
солнечного ветра в магнитосферу. Имеется также и альтернативная точка зрения на механизм переноса энергии, импульса и массы из солнечного ветра в
магнитосферу, связанная с их возможным квазивязким взаимодействием, которое осуществляется за счет различных плазменных неустойчивостей [Антонова
и Овчинников, 1998; Климонтович, 1990].
На флангах магнитосферы развивается крупномасштабная магнитогидродинамическая (МГД) неустойчивость, связанная со сдвиговым течением плазмы на магнитопаузе (неустойчивость Кельвина–Гельмгольца) [Kivelson and
Southwood, 1986].
Развитие этой неустойчивости приводит к раскачке ультранизкочастотных
(УНЧ) волн во внешней магнитосфере и в области солнечного ветра, прилегающей к магнитопаузе [Gosch at. al., 2009]. При этом МГД-волны, падающие на
магнитопаузу из солнечного ветра, могут испытывать сверхотражение. Ампли-
5
туда отраженной волны оказывается больше чем амплитуда падающей волны.
Такой рост амплитуды колебаний связан с неустойчивостью сдвигового течения на магнитопаузе [Walker, 2000b].
Предполагается, что волны, проникающие в магнитосферу из солнечного
ветра, могут захватываться в магнитосферный волновод для быстрых магнитозвуковых (БМЗ) волн во внешней части магнитосферы, прилегающей к магнитопаузе [Stephenson and Walker, 2010a, 2010b; Mann et. al. 1998]. Такие волны
действительно наблюдаются в виде когерентных колебаний, регистрируемых
на спутниках в разных областях внешней магнитосферы [Sung at. al., 2006]. Об
этом же свидетельствуют и одновременные наблюдения когерентных МГДколебаний во внешней магнитосфере и на поверхности Земли. До Земли эти колебания доходят в виде альфвеновских волн, генерируемых на резонансных
магнитных оболочках БМЗ-волнами (механизм альфвеновского резонанса —
FLR — field line resonance). БМЗ-волны, распространяющиеся в волноводе на
флангах магнитосферы, раскачивают альфвеновские волны на резонансных магнитных оболочках, которые затем проникают из магнитосферы на Землю.
В работах, где проводился статистический анализ данных наземных магнитометров, не удалось обнаружить узкополосных колебаний, связанных с возбуждением альфвеновских волн на выделенных частотах. Однако во многих сеансах наблюдений такие узкополосные спектральные пики присутствуют
[Chisham and Orr, 1997; Stephenson and Walker, 2010a], что может служить косвенным подтверждением их волноводной природы. Параметры магнитосферного волновода существенно меняются в зависимости от условий в околоземном
космическом пространстве. Поэтому, хотя во многих конкретных наблюдениях
и наблюдаются узкие пики в спектре регистрируемых колебаний, при их усреднении по большому числу сеансов наблюдений, в которых параметры магнитосферного волновода существенно различны, резонансные пики перемешиваются
и не выделяются в интегральном спектре колебаний.
На существование магнитосферного БМЗ-волновода может также указывать увеличение средней частоты УНЧ-колебаний в частотном диапазоне Рс5
6
при увеличении индекса геомагнитной активности Kр [Ziesolleck and
Chamalaun, 1993]. Все это находит свое объяснение в рамках теоретической модели, представленной в настоящей работе.
Цели и задачи диссертационной работы
Представленная диссертационная работа посвящена решению следующих
задач.
1. Разработать модель БМЗ-волновода во внешней магнитосфере, адекватно
отражающую основные свойства плазмы в лобовой и фланговых областях магнитосферы, которая позволяет провести аналитическое исследование поля волноводных МГД-колебаний с учетом их поглощения в области альфвеновского
резонанса.
2. Рассмотреть структуру собственных мод БМЗ-волновода во внешней
магнитосфере, возбуждаемых неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе.
3. Исследовать процесс проникновения БМЗ-волн из солнечного ветра в
магнитосферу в модели, учитывающей наличие БМЗ-волновода и поглощение
волн в области альфвеновского резонанса.
4. Определить пространственноe распределение линейной плотности энергии собственных мод БМЗ-волновода во внешней магнитосфере, а также спектральной плотности их энергии в различных областях внешней магнитосферы.
Актуальность темы исследования
Отметим, что магнитосфера Земли не единственная, хотя и наиболее изученная, из планетных магнитосфер солнечной системы. Поэтому исследование
различных физических процессов в магнитосфере Земли позволяет понять закономерности крупномасштабных плазменных процессов, протекающих и в магнитосферах других планет солнечной системы [Беленькая, 2009; Russel, 1993].
В настоящее время в магнитосфере Земли функционируют многочисленные искусственные спутники, работа которых зависит от состояния окружающей их околоземной плазмы. В периоды магнитосферных возмущений в работе
7
их аппаратуры могут происходить сбои, а отдельные приборы могут даже полностью выходить из строя [Erinmez, et.al., 2002; Gaunt and Coetzee, 2007; Katz,
et. al. 2000, Kawasaki et. al., 2006, Koons et. al., 1999; Koons and Fennell, 2006;
Weaver, et. al. 2004]. На поверхности Земли всплески напряжения, наводимые
во время геомагнитных возмущений на протяженные линии электропередач, не
раз вызывали сбои в энергоснабжении густонаселенных областей [Paul Cannon,
et. al., 2013]. Магнитосферные электромагнитные поля могут достигать земной
поверхности и оказывать прямое влияние на биологические системы: жизнедеятельность человека, ориентацию в пространстве мигрирующих животных и
птиц и другие биологические процессы [Boyle et al. 2010; Burch et. al., 2008;
Kleimenova et. al., 2007; Baker, et. al., 1983; Stoilova and Dimitrova, 2008].
Магнитосферные возмущения, как правило, сопровождаются генерацией и
распространением крупномасштабных МГД-волн. Такие волны называются
геомагнитными пульсациями, которые принято классифицировать по их спектральному составу и поведению. Выделяют устойчивые пульсации Pc (pulsations continuous), которые условно разбиты на диапазоны с периодами 0.2-5 с
(Pc1), 5-10 с (Pc2), 10-45 с (Pc3), 45-150 с (Pc4), 150-600 с (Pc5), и иррегулярные
пульсации Pi (pulsations irregular) с периодами 1-40 с (Pi1), 40-150 с (Pi2). Поскольку геомагнитные пульсации используются для диагностики состояния
магнитосферной плазмы, их свойства интенсивно изучаются уже на протяжении более полувека [Gul’el’mi, 1989; Singh et al., 2013]
В однородной плазме существует три ветки МГД-колебаний: быстрый
магнитный звук (БМЗ), медленный магнитный звук (ММЗ) и альфвеновские
волны. В неоднородной плазме все эти ветки колебаний связаны между собой и
представляют единое поле МГД-колебаний. В разных областях пространства
это волновое поле имеет свойства, близкие к свойствам тех или иных ветвей
МГД-колебаний однородной плазмы. Как альфвеновские, так и ММЗ-волны
распространяются вдоль силовых линий геомагнитного поля и могут возбуждаться в магнитосфере при их взаимодействии с быстрыми магнитозвуковыми
волнами на резонансных поверхностях. БМЗ волны могут проникать в магнито-
8
сферу из солнечного ветра или генерироваться сдвиговым течением на магнитопаузе при обтекании магнитосферы потоком солнечного ветра. При определенных условиях БМЗ-волны могут запираться между магнитопаузой и поверхностями отражения внутри магнитосферы, связанными с градиентом скорости
Альфвена. В результате в лобовой и фланговых областях магнитосферы образуется волновод для БМЗ-волн.
Как показано в настоящей диссертации, БМЗ-волновод во внешней магнитосфере определяет основные свойства низкочастотных геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах пульсаций Pc3–Pc5. Область локализации собственных колебаний волновода в частотном диапазоне Pc3 расположена в лобовой части магнитосферы. Эти колебания могут возбуждаться неустойчивостью потока протонов, отраженных от фронта головной ударной волны [Потапов, 1974; Гульельми и др. 1976]. Затем эти колебания проникают в магнитосферу через магнитопаузу. Пульсации Pc5, в которых заключена подавляющая
доля энергии всех геомагнитных пульсаций, могут генерироваться неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе при взаимодействии магнитосферы Земли с потоком солнечного ветра.
В настоящее время нет всеобъемлющей теории, описывающей глобальное
распределение и свойства этих колебаний в магнитосфере, которая включала
бы в себя механизмы их генерации, распространения, усиления и диссипации.
Представленная диссертационная работа является попыткой провести такое
комплексное исследование для двух типов геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах Pc3 и Pc5, для которых важную роль играет БМЗ-волновод во
внешней магнитосфере.
Научная новизна
1. Впервые аналитически исследованы пространственная структура и
спектр собственных колебаний МГД-волновода во внешней магнитосфере, их
усиление неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе и затухание в области альфвеновского резонанса.
9
2. Впервые проведено аналитическое исследование процесса проникновения
МГД-волн из солнечного ветра в магнитосферу с учетом БМЗ-волновода во
внешней магнитосфере.
3. Впервые изучена структура собственных мод МГД-волновода в двумерно-неоднородной модели магнитосферы и распределение линейной плотности энергии основных гармоник этих мод вдоль волновода при их возбуждении
широкополосным источником.
Научная и практическая значимость работы
Проведено аналитическое исследование волноводного распространения
МГД-колебаний во внешней магнитосфере с учётом пространственной неоднородности как самого волновода, так и прилегающей к магнитопаузе области
солнечного ветра. Аналитический подход позволяет описать особенности распространяющихся в волноводе МГД-волн и определить один из двух возможных механизмов возбуждения его собственных мод, приводящих к появлению
максимумов в распределении плотности волновой энергии. Речь идет о колебаниях, возбуждаемых либо неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе, либо проникающих в магнитосферу из солнечного ветра.
Проведенные исследования позволили оценить частоты собственных мод,
возбуждаемых в МГД-волноводе БМЗ-волнами, проникающими в него из солнечного ветра, или возбуждаемыми неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на
магнитопаузе. Определены пространственная структура и распределение плотности энергии собственных БМЗ-колебаний, распространяющихся в волноводе.
Полученные результаты позволяют по новому взглянуть на механизм взаимодействия магнитосферы Земли с потоком плазмы солнечного ветра. Представленная в диссертации теория волноводного распространения МГД-колебаний
является обобщением результатов предшествующих работ, посвященных аналогичным исследованиям, и проясняет процессы генерации и распространения
геомагнитных пульсаций во внешней магнитосфере. Теория эволюции собственных мод, распространяющихся в МГД-волноводе во внешней магнито-
10
сфере, вносит существенный вклад в общее понимание процессов, протекающих в околоземном космическом пространстве. Полученные результаты могут
быть использованы для расширения возможностей волновой диагностики состояния околоземной плазмы.
Достоверность результатов, представленных в работе, обеспечивается
использованием строгих аналитических методов математического анализа, согласием полученных результатов, в их предельных случаях, с результатами
предшествующих работ, а также совпадением предсказанных теоретических распределений интенсивности геомагнитных пульсаций диапазонов Pc 3 и Pc5 с
наблюдаемыми в реальной магнитосфере.
Личный вклад автора. Результаты работы в равной мере принадлежат руководителю и диссертанту. Аналитические выкладки выполнены диссертантом и
проверены руководителем. Все численные расчеты и графические представления
результатов выполнены диссертантом.
Апробация работы
Основные результаты и выводы, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях:
 COSPAR, Moscow 2014 “Evolution of eigenmodes of the MHD-waveguide
in the outer magnetosphere.”
 8-я конф. 2013 г. Отражение гидромагнитных волн от магнитосферы:
влияние сдвигового течения на магнитопаузе, волновода во внешней магнитосфере и альфвеновского резонанса в ее глубине.
 7-я конф. «Физика плазмы в солнечной системе» 2012 г. «МГД-волновод
в лобовой и фланговых областях магнитосферы и механизмы его возбуждения».
 Problems of Geocosmos, St. Petersburg 2012 “Nose and flanks magnetospheric MHD waveguide and its excitation mechanisms”
 БШФФ 2011 «Возбуждение магнитосферного резонатора неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе».
11
 5-я конф., «Физика плазмы в солнечной системе» Москва. 2010 г.
«Возбуждение собственных мод магнитосферного резонатора сдвиговым течением на магнитопаузе».
Основные положения, выносимые на защиту
1. Разработана двумерно-неоднородная модель БМЗ-волновода во внешней
магнитосфере, позволяющая проводить аналитические исследования процессов
волноводного распространения его собственных мод с учетом их усиления неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе и затухания в области
альфвеновского резонанса.
2. Получено аналитическое выражение, описывающее зависимость коэффициента прохождения МГД-волн из солнечного ветра в магнитосферу от скорости солнечного ветра, учитывающее наличие БМЗ-волновода во внешней
магнитосфере. Показано, что волновод играет роль своеобразного фильтра, который выделяет дискретный набор скоростей солнечного ветра, при которых
коэффициент прохождения монохроматических волн имеет локальные максимумы, определяемые набором собственных частот волновода.
3. В результате проведенных расчетов показано, что в подсолнечной области магнитосферы максимум спектрального распределения плотности
энергии БМЗ-волн, проникающих в магнитосферу, находится в частотном
диапазоне геомагнитных пульсаций Pc3, а на флангах магнитосферы — в частотном диапазоне пульсаций Pc5. Это полностью соответствует наблюдаемым пространственным распределениям энергии УНЧ-колебаний в магнитосфере.
Публикации
Материалы, представленные в диссертации, опубликованы в 6 печатных
работах:
1. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Возбуждение магнитосферного МГД-резонатора неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца // Физика плазмы. 2011. Т. 37. N 11. С. 979.
12
2. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе, МГД-волновод во внешней магнитосфере и альфвеновский резонанс в
глубине магнитосфере // Физика плазмы. 2013. Т. 39. C. 556.
3. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Влияние МГД-волновода во внешней магнитосфере на отражение гидромагнитных волн от сдвигового течения на магнитопаузе // Физика плазмы. 2013. Т. 39, № 12. С. 1071.
4. Mazur V.A., Chuiko D.A. Azimuthal inhomogeneity in the MHD waveguide
in the outer Magnetosphere // J. of Geophys. Res. 2015, in press. N 120.
doi:10.1002/2014JA020819.
5. Чуйко Д.А., Исследование влияния альфвеновского резонанса на основную моду, генерируемую неустойчивостью на магнитопаузе. СолнечноЗемная физика, 2013, вып. 22. С 16–20.
6. Мазур В.А., Чуйко Д.А. МГД-волновод во внешней магнитосфере и механизмы его возбуждения // Солнечно-земная физика. 2015. М.: ИНФРА-М.
Вып. 1. C. 36–55.
Из них 4 работы — в журналах, рекомендованных ВАК для публикации
результатов диссертаций.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения четырех глав и заключения. Список цитируемой литературы включает 99 наименования. Работа содержит 106 страниц
основного текста, включая 37 рисунков.
Во Введении сформулированы предмет исследования и задачи, решаемые
в диссертации, а также актуальность рассматриваемых вопросов.
В первой главе представлены основные свойства магнитосферного МГДволновода и его модель в двумерно неоднородной плазме. Выведены основные
уравнения, описывающие волноводные МГД-колебания и соответствующие им
граничные условия.
Во второй главе решена задача о структуре собственных мод, возбуждаемых в МГД-волноводе неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе.
13
Аналитически исследованы пространственная структура собственных волноводных мод и инкремент их неустойчивости.
В третьей главе решена задача об отражении БМЗ-волны, падающей на
магнитопаузу из солнечного ветра. Определен коэффициент отражения и исследованы его свойства в зависимости от скорости солнечного ветра и частоты
волны. Определен поток волновой энергии, проникающей в магнитосферный
БМЗ-волновод и эффективная мощность его накачки.
В четвертой главе исследован процесс проникновения БМЗ-волн из солнечного ветра в магнитосферный БМЗ-волновод при наличии неустойчивости
Келвина–Гельмгольца на магнитопаузе. Решено уравнение переноса энергии
собственных мод вдоль волновода. Проведено сравнение распределения плотности волновой энергии собственных мод БМЗ-волновода с экспериментально
наблюдаемым распределением плотности энергии геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах Pc3 и Pc5.
В Заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы.
14
Глава 1
МГД-волновод во внешней магнитосфере
1.1.Параметры магнитосферы и солнечного ветра обуславливающие
существование волновода
Рис. 1. МГД-волновод во внешней магнитосфере (в экваториальном и меридиональном сечениях магнитосферы). Серым цветом показана область локализации поля колебаний БМЗ-волновода, а черным цветом — область соответствующего ему альфвеновского
резонанса.
Структура магнитного поля и характер распределения плазмы во внешней
магнитосфере обеспечивают существование в этой области МГД-волновода для
быстрых магнитозвуковых волн (БМЗ) [Dmitrienko, 2013; Mann et. al., 1999;
Walker, 1998; Wright and Mann, 2006; Wright, 1994]. Экваториальное и меридиональное сечения этого волновода изображены на рис. 1. Внешней границей
волновода является магнитопауза, на которой резкий скачок скорости быстрого
магнитного звука приводит к его отражению от этой границы и запиранию
внутри магнитосферы. Существование внутренней границы волновода обусловлено быстрым нарастанием скорости Альфвена по направлению к Земле —
как поперек магнитных оболочек, так и вдоль силовых линий геомагнитного
поля. Как известно, БМЗ-волны отражаются от области больших значений ско-
15
рости Альфвена. В результате образуется волноводный канал, лежащий в приэкваториальной области, примыкающий к магнитопаузе и протянувшийся в
хвост магнитосферы на неопределенно большое расстояние.
На рис. 1. изображена также область альфвеновского резонанса — резкого
усиления поля колебания, лежащего в области непрозрачности для БМЗ, на тех
силовых линиях, где частота колебания равна собственной альфвеновской частоте. Альфвеновский резонанс является неотъемлемой частью рассматриваемого явления. Собственно, колебание в волноводе и в окрестности альфвеновского резонанса — это одно колебание. В волноводе оно обладает свойствами
быстрого магнитного звука, а в окрестности альфвеновского резонанса — свойствами альфвеновской волны. В силу последнего обстоятельства область альфвеновского резонанса имеет малый масштаб поперек магнитных оболочек и
вытянута вдоль силовых линий геомагнитного поля. БМЗ-колебания волновода
не достигают Земли и их наземные проявления обусловлены именно альфвеновским резонансом. Кроме того, в бесстолкновительной магнитосфере диссипация альфвеновской волны на ионосферных торцах является главным механизмом затухания рассматриваемых колебаний.
1.2. Одномерно неоднородная модель волновода
1.2.1. Краткое описание модели
Схематическое изображение фланговой области магнитосферы и прилегающей к ней части солнечного ветра, а также используемая одномернонеоднородная модель этих областей представлены на рис. 2. Из этого рисунка
видно соответствие между различными элементами модели и реальной системы.
На рис. 3 представлены схематические графики зависимости от x существенных параметров модели — альфвеновской скорости cA(x) в магнитосфере
и скорости звука cS(x) в солнечном ветре. Монотонная зависимость cA(x) означает, что игнорируется наличие таких структурных элементов магнитосферы
как, например, плазмосфера. На интересующие нас крупномасштабные колебания
такие структурные элементы не оказывают существенного влияния. В большей
16
части магнитосферы β≤1, а часто и β<<1 (где β=8πP 0 /B 02 — отношение газокинетического давления плазмы к магнитному). Поскольку учет конечной температуры плазмы в магнитосфере слабо влияет на свойства рассматриваемых в работе БМЗ-волн, то для упрощения теоретического анализа плазма магнитосферы
считается холодной и в ней пренебрегается скоростью звука по сравнению со скоростью Альфвена. Будем считать, что магнитосферное магнитное поле BM направлено по оси z, условие равновесия дает BM=const. Аналогично, в солнечном ветре
постоянно давление плазмы: pW=const. Равновесие на магнитопаузе означает, что
B M 2 /8π=p W .
Для оценок по порядку величины примем следующие значения:
с AM =400 км/с, с SW =50 км/с, где нижние индексы M, W обозначают параметры в
магнитосфере и в солнечном ветре соответственно. В развиваемой ниже теории
отношение с SW /с AM будет считаться малым параметром, что обусловлено большим скачком плотности на магнитопаузе:
2
cSW
 M ,

c2AM 2 W
где γ — показатель адиабаты, ρM, ρW — плотность плазмы по разные стороны
магнитопаузы.
Рис. 2. Соответствие элементов реальной среды и используемой одномерной модели. В
левой части рисунка изображено экваториальное сечение магнитосферы (вечерней полусферы),
в правой части — ее одномерно неоднородная модель. Точка x=x M — координата магнитопаузы.
17
Рис. 3. Зависимость скорости Альфвена cA(x) в магнитосфере от координаты x. Для солнечного ветра принята модель c S =const .
1.2.2. Основные уравнения
Зависимость проекции ξx вектора смещения плазмы от координат и времени выберем в виде ξ x (x, y, z, t)=ξ x (x)exp(ik y y+ik z z–iωt). Все другие возмущенные величины имеют аналогичную зависимость.
Уравнение, описывающее структуру колебания по координате x, в приближении идеальной МГД имеет вид [Duhau and Gratton, 1975]:
2
d ρ0 A dξ x  ρ 2 ξ  0 .
0 A x
dx K 2 dx
Здесь обозначено: ρ0=ρ0(x) — плотность плазмы,
2A  2  kz2c2A ,    ktVW , kt  (0, k y , kz ),
K2 
4
 kt2 , kt2  k y2  kz2 ,
2
2
2
2
2
2
 (cA  cS )  kz cAcS
где VW — скорость солнечного ветра. В дальнейшем изложении вместо смещения ξx используем функцию
18
ρ 2
ς( x)   0 2 A
K
dξ x
.
dx
Уравнение на нее имеет вид
d 2ς d lnρ02A dς

 K 2ς  0 .
2
dx
dx
dx
(1.1)
Через функцию ς(x) можно выразить все другие возмущенные величины. В
частности, для смещения плазмы и полного возмущенного давления (суммы
газокинетического и магнитного) имеем:
ξx 
1 dς , P  p  B0 Bz  ς( x) .
4
ρ02A dx
(1.2)
1.2.3. Граничные условия в магнитосфере и в солнечном ветре
Граничное условие для уравнения (1.1) при x→–∞, где расположена область непрозрачности, сводится к требованию ограниченности решения. При
x→∞ может располагаться как область непрозрачности, так и область прозрачности (распространения) рассматриваемых колебаний. В первом случае граничным условием также является требование ограниченности решения при
x→∞. Во втором — в интересующей нас задаче о собственных модах БМЗволновода требование убегания волны, т. е. отсутствие волны падающей из бесконечности.
На магнитопаузе, при x=x M , коэффициенты уравнения (1.1) испытывают
скачки. Из этого уравнения следуют условия сшивки:
ςx  0,
M

 1

2
 ρ0 A

dς 

dx 
0,
(1.3)
x
M
где символ  f x означает скачок величины f в точке xM. Из формул (1.2) видно,
M
что условия (1.3) означают непрерывность на магнитопаузе смещения плазмы
ξ x и полного возмущенного давления P .
Основное уравнение (1.1) существенно упрощается в принятой нами модели
среды, как в магнитосфере, так и в солнечном ветре. В магнитосфере, полагая
19
c S =0, V W =0 и вводя величину u=ω/k t cAM , которую можно рассматривать как
безразмерную частоту, имеем
ρ02A 


2
2
2
BM
ω
 2 cAM
2
2
2
2
2
q , q ( x)  2  kz  kt u 2  u A  , u A  kz (1.4)
4π
kt
cA
cA ( x)






2
c2
K 2 ( x)  ω2  kt2  kt2 u 2 2AM 1 .
cA
cA ( x) 

(1.5)
Уравнение (1.1) принимает вид
ς 
(q2 )
ς  K 2ς  0 .
2
q
(1.6)
Точка альфвеновского резонанса x=x A , которая определяется уравнением
q2(xA)=0, является особой точкой этого уравнения.
Решение уравнения (1.6), удовлетворяющее граничному условию при x→–∞
определено с точностью до произвольного множителя. Обозначим через ς M (x, u)
какое-то одно из этих решений. Тогда произвольное решение, удовлетворяющее
граничному условию, можно записать в виде ς=CMςM(x, u) и трактовать константу CM как амплитуду колебания в магнитосфере.
В солнечном ветре, полагая cA=0, приводим уравнение (1.1) к виду


2
d 2  d ln 0 d   K 2  0, K 2  2  k 2  k 2  w2 cSW
.

1
t
t 
2
2
2
dx dx
dx
cS
cS ( x) 


(1.7)

Здесь по аналогии с безразмерной частотой u введена величина w   / kt cSW ,
которую можно рассматривать как безразмерную частоту в системе отсчета солнечного ветра. Одно из решений этого уравнения, удовлетворяющее граничному
условию при x→∞, обозначим ςW(x, w). Произвольное решение в солнечном ветре,
удовлетворяющее граничному условию, можно записать в виде ς=C W ς W (x, w) и
константу CW трактовать как амплитуду колебания в солнечном ветре.
Из определения ω  ω  ktVW следует, что введенные величины u и w связаны
соотношением
20
u  v  w, v 
c
kt VW
,   SW .
cAM
kt cAM
(1.8)
Безразмерную величину v можно рассматривать как некоторую разновидность числа Маха. Параметр α, как было указано выше, мал: α<<1.
С помощью полученных решений в магнитосфере и в солнечном ветре
условия сшивки на магнитопаузе (1.3) можно записать в виде
C M ς M (x M , u)=C W ς W (x M , w),
(1.9)
CM  2 1 2 M ( xM , u)  CW 12 W
 ( xW , w) .
2 u  uA
w
(1.10)
Введем безразмерные функции
k  ( x w)
k  ( x , u)
f M (u)  2 (u 2  u 2A ) t M M , fW (w)  w2 t W M , .

M ( xM , u)
W
 (xM ,w)
Легко видеть, что из системы уравнений (1.9), (1.10) следует соотношение
fM(u)=fW(W).
(1.11)
С учетом связи (1.8) при каждом заданном значении v его можно рассматривать либо как уравнение на u, либо как уравнение на w, которое и определяет
эти две безразмерные частоты как функции параметра v. Таким образом, соотношение (1.11) играет роль дисперсионного уравнения.
1.2.4. Приближение ВКБ
Точное аналитическое решение основного уравнения (1.1), как и его частных случаев (1.6) и (1.7), при произвольных зависимостях cA(x) и cS(x) невозможно. Поэтому для его решения будем использовать приближение ВКБ, предполагая, что условия его применимости выполняются. В двух главных порядках
этого приближения общее решение уравнения (1.1) представляется в виде:
ρ 2
ς( x)  0 A
kx
1/2


C1 exp  i





 kxdx   C2 exp  i  kxdx  ,
kx2  K 2 ( x) .
(1.12)
Особую роль в методе ВКБ играют точки поворота (отражения) xR, определяемые уравнением kx2 ( xR )  0 . Они отделяют области прозрачности (распро-
странения), в которых
kx2 ( x)  0
21
, от областей непрозрачности, в которых kx2 ( x)  0 .
Поскольку kx2 ( xA )  k y2 . то точка альфвеновского резонанса лежит в области непрозрачности.
Условия применимости приближения ВКБ для уравнения (1.1) имеют вид:
| kx |3 | dkx2 / dx |,
| kx2A || d 2A / dx | .
(1.13)
Эти условия очевидным образом нарушаются в окрестностях точки альфвеновского резонанса xA и точки поворота xR. Вдали от этих точек характерное
значение kx ~ kt , а для производных в неравенствах (1.13) применима оценка
d / dx ~1/ l , где l — масштаб неоднородности по координате x. Тогда оба нера-
венства сводятся к условию
kt l  1 .
(1.14)
Если условие (1.14) выполняется, то окрестности точек xA и xR, в которых
приближение ВКБ неприменимо, малы по сравнению с масштабом неоднородности. Это означает, что приближение ВКБ применимо на большей части оси x.
Для наиболее важных колебаний, длина волны которых соизмерима с размерами магнитосферы, параметр kt l ~1, то есть приближение ВКБ находится на
границе применимости. Но это приближение обладает замечательной особенностью — оно дает качественно правильные результаты даже на границе применимости. Поскольку используемая модель среды позволяет рассчитывать
только на результаты качественного характера, для исследуемых колебаний
магнитосферы будем использовать приближение ВКБ. Немаловажно, что использование приближения ВКБ позволяет описывать свойства колебания с помощью наглядных физических понятий — области прозрачности и непрозрачности, точки отражения и т. п.
1.2.5. Собственные частоты и собственные моды
При описании свойств колебаний в магнитосфере важную роль играют две
серии решений уравнения (1.6), удовлетворяющих на магнитопаузе граничным
условиям:
22
M ( xM , u)  0 ,
(1.15)
M ( xM , u)  0 .
(1.16)
Их можно рассматривать как решения краевых задач, определяющих собственные значения параметра u и соответствующие собственные функции. Обозначим собственные значения и собственные функции, отвечающие условию
(1.15) через un и Mn ( x)  M ( x,un ) , где номер n  0, 1, 2,... равен числу экстремумов функции Mn ( x) внутри магнитосферы. Аналогично собственные значения и собственные функции, отвечающие условию (1.16), обозначим через un и
Mn ( x)  M ( x, un ) . Номер n равен числу нулей собственной функции Mn ( x)
внутри магнитосферы, На магнитопаузе находится (n+1)-й экстремум функции
Mn ( x) и (n+1)-й нуль функции Mn ( x) . В пренебрежении влиянием альфвенов-
ского резонанса собственные значения un и un вещественны. Их величины чередуются следующим образом: u0  u0  u1  u1  u2  u2  ... Можно показать, что
u0  1 .
Функция f M (u) имеет в точках u  un полюса, а в точках u  un — нули.
Кроме того, она имеет нуль u  uA . В окрестностях этих точек она может быть
представлена формулами
f M (u)  n ,
un  u
f M (u)  n (u  un ),
f M (u)   A (u  u A ) .
(1.17)
Выражения для постоянных коэффициентов будут получены ниже.
При u 2  1 в приближении ВКБ всю магнитосферу можно рассматривать
как область непрозрачности. В этом случае из общего выражения (1.12) с учетом соотношений (1.4) и (1.5) имеем
q2 ( x, u)
M ( x, u) 
kx ( x, u)
1/2
 xM
exp 
 x


kx ( x, u) dx .
(1.18)

При u 2  1 в магнитосфере есть точка поворота. В области непрозрачности
x  xR решение дается формулой, аналогичной (1.18):
23
q2 ( x, u)
M ( x, u) 
kx ( x, u)
1/2
 xR
exp 
 x


kx ( x, u) dx ,

(1.19)
а в области прозрачности xR  x  xM — выражением
1/2
 q2 ( x, u) 


 sin  ( x, u)    ,
M ( x, u)  
M
 kx ( x, u) 
4



 M ( x, u) 
x
x kx ( x,u)dx .
(1.20)
R
В последнем случае значение функции M ( x, u) на магнитопаузе определяется фазой
 M (u)  ( xM , u)  kt
xM

u2
xR
c2AM
1 dx .
c2A ( x)
(1.21)
Из выражения (1.20) видно, что собственные значения un и un являются
корнями уравнений
M (un )   n 1/ 4  , M (un )    n  3/ 4  .



(1.22)

Для интеграла в формуле (1.21) в случае u2 1  1 можно получить явное
выражение. При этом во всей области прозрачности можно использовать разложение

cA ( x)  cAM 1

x  xM 
,
2lM 
(1.23)
справедливое вблизи магнитопаузы, при x  xM  lM . Величина lM есть конкретная реализация введенного выше понятия масштаба неоднородности l. Неравенство (1.14) в этом случае означает kt lM  1. Подставляя (1.23) в (1.21) получаем
M (u)  (2/ 3)(kt lM )(u2 1)3/2 ,
после чего из (1.22) имеем





un 1 1 3 n  1
2 2
4







 
2/3
1
(kt lM
)2/3





, un 1 1 3 n  3
2 2
4







 
2/3
1
(kt lM )2/3
.
(1.24)
Условие
u2 1  1
24
выполняется для гармоник с n  kt lM . Но с практической
точки зрения только гармоники с такими номерами и представляют интерес.
Используя выражения (1.18) и (1.20) находим выражения для функции
f M (u) :
u 2  u A2
2
f M (u) 
при u 2  1 ,
 1 u 2
(1.25)
u 2  u A2


f M (u)  2
tan  M (u)    при u 2 > 1 .
 u 2 1
4

(1.26)
Отсюда видно, что f M (u) имеет полюса и нули в точках, определяемых
уравнениями (1.24).
Если точка поворота xR лежит в интервале, где справедливо разложение
(1.23), то условие применимости приближения ВКБ (1.13) принимает простой вид:
1/3 / k 2/3 .
x  xR  M  lM
t
(1.27)
Из неравенства kt lM  1 следует, что M  lM . Условие (1.27) означает,
что области применимости выражений (1.18) и (1.20) разделены интервалом порядка  M . Приближение ВКБ можно использовать на магнитопаузе, если
xR  xM  M , что равносильно неравенству
u 2 1  (kt lM )2/3 .
(1.28)
Таким интервалом разделены области применимости формул (1.25), (1.26).
Для выражений (1.24) условие (1.28) дает n  1 — формулы приближения ВКБ
не применимы для номеров n ~1 .
Но существует подход, позволяющий заполнить пробелы (1.27) и (1.28).
Более того, он применим в более широком диапазоне u 2 1
1 . Для таких значе-
ний u не только точка поворота xR, но и весь интервал, существенных для уравнения (1.6) значений x лежит в области применимости разложения (1.23). Подставляя это разложение непосредственно в уравнение (1.6), приводим его к виду
25
d 2  k 2  x  xM  u 2 1   0 .

dx2 t  lM

Решение этого уравнения, ограниченное при x  , есть

 xx 
x  xM
R ,
 (kt lM )2/3 (1 u 2 )  Ai  


M

M 



M ( x, u)  Ai 


(1.29)
где Ai( z) — функция Эйри. В областях M  x  xR  lM , где применимо как
приближение ВКБ (1.19), (1.20), так и решение (1.29), они совпадают с точностью до постоянного множителя.
Найдем собственные значения un и un исходя из решения (1.29). Экстремумы и нули функции Ai( z) отрицательны. Обозначим их соответственно
(n ) и (n ) . Величины n и n чередуются: 0  0  1  1  ... Для первых
двух номеров 0  1.02, 0  2.34, 1  3.25, 1  4.09 . Уравнения (1.15) и (1.16),
очевидно, имеют решения
un  1
n
n
, un  1
.
2/3
2(kt lM )
2(kt lM )2/3
(1.30)
и соответствующие собственные частоты

n  kt cAM 1




n
n
,  k c
1
.
n
t AM 

2/3
2/3
2(kt lM ) 
2(kt lM ) 

(1.31)
Сравнивая эти выражения с (1.24) получаем асимптотические формулы
[Abramowitz and Stegun, 1965]
n  (1/ 2)(3 / 2)2/3 (n 1/ 4)2/3 , n  (1/ 2)(3 / 2)2/3 (n  3/ 4)2/3
Для собственных функций из (1.29) имеем выражения:

Mn ( x)  Ai  


 xx

x  xM
M   .
n  , Mn ( x)  Ai  
n
M
M



На рис. 4 приведены графики этих функций для значений n=0 и n=1.
1.32)
26
Рис. 4. Собственные решения Mn и 
в магнитосфере для n=0 и 1.
Mn
Для того чтобы выразить f M (u) через решение (1.29), введем функцию
H ()   Ai() / Ai() .
Эта функция регулярна в точке   0 , имеет полюса в точках   n и нули
в
точках
  n .
Ее
асимптотики:
H ()  ()1/2
при
()  1;


H ()  1/2 tan  2 3/2    при   1 .
4
3
Используя введенное обозначение, имеем
f M (u)  2 (u 2  u 2A )(kt lM )1/3 H (kt lM )2/3 (u 2 1) .



(1.33)
Эта функция имеет полюса и нули в точках un и un , даваемых формулами
(1.30), и регулярна в точке u 2  1 . При u 2 1  (kt lM )2/3 она переходит в формулы метода ВКБ (1.25) и (1.26). Из выражения (1.32) можно получить значения коэффициентов в формулах (1.17):
n  2 sin  (kt lM )1/3 , n  (4/ )(sin2 )(kt lM ) , A  (4/ )ctg . (1.34)
 2n
2
По порядку величины n ~ (kt lM )1/3  1, n ~ (kt lM )  1,  A ~1 .
На рис. 5 изображен график f M (u) для вещественных значений u. Величина f M (0)  (2/ )u2A определяется непосредственным решением уравнения (1.6)
27
при и=0. Для вещественных значений аргумента функция f M (u) , очевидно,
четна: f M (u)  f M (u) . Это следует из того, что в уравнение (1.6) параметр u
входит только в виде u2.
Рис. 5. Зависимость функции f M (u) (левая часть дисперсионного соотношения (1.11)
от безразмерной частоты u.
Для решений в солнечном ветре асимптотическая область x  может
быть как областью непрозрачности, так и областью прозрачности. В последнем
случае граничным условием для собственных мод является требование убегания
энергии волны. Поскольку энергия волны распространяется с групповой скоростью, то это требование означает, что групповая скорость волны должна быть
направлена от магнитопаузы. В движущейся среде солнечного ветра из-за доплеровского сдвига частоты, знаки групповой и фазовой скоростей могут различаться. В рамках приближения ВКБ из уравнения (1.7) имеем
kx2  K 2 ( x)  2  kt2 .
cS
2
Групповая скорость vg определяется соотношением
1  kx ( x, )  
vg

k x c2
S
Поскольку фазовая скорость v ph =ω/k x , то
28
v ph  1 kt c
SW .


vg kx2c2 2 kx2c2
S
S
Отсюда видно, что при w  un направления фазовой и групповой скоростей
совпадают, а при w<0 — они противоположны.
В модели однородного солнечного ветра уравнение (1.7) принимает вид
"  kt2  w2 1   0.


Для вещественных значений w, заключенных в интервале 1  w 1 , физическое решение, т. е. решение, удовлетворяющее условию ограниченности при
x  , есть
W ( x, w)  exp kt (w)( x  xM ) .
(1.35)
Здесь введено обозначение
(w)  1 w2 .
(1.36)
Функция fW (w) , отвечающая решению (1.35) имеет вид
2
2
fW (w)   w   w .
(w)
1 w2
(1.37)
Выражения (1.35), (1.36) и (1.37) можно непосредственно применять для
вещественных значений w в интервале (–1, +1). Для остальных, в том числе и
комплексных значений w, эти функции следует получать аналитическим продолжением из указанного интервала. Результат такого продолжения зависит от
пути, по которому осуществляется обход точек ветвления двузначной функции
(w) . Если обойти эти точки сверху, то на вещественной оси w будем иметь
(w)  i w2 1 при w>1 и (w)  i w2 1 при w<–1. При таком обходе решение
(1.35) перейдет в волну, убегающую по групповой скорости.
1.3.
Двумерно неоднородная модель волновода
1.3.1. Введение азимутальной неоднородности
В настоящей работе также используется двумерно-неоднородная модель
среды, изображенная на рис. 6. В отличие от реальной магнитосферы эта мо-
29
дель однородна по оси z, силовые линии геомагнитного поля прямолинейны.
Таким образом, все параметры плазмы и магнитного поля являются функциями
двух координат — координаты x поперек магнитных оболочек (поперек волновода) и азимутальной координаты y (вдоль волновода).
В плазме солнечного ветра   1 (где β — отношение газокинетического
давления плазмы к давлению магнитного поля), а в большей части магнитосферы   1 , а часто и   1 . Поскольку учет конечной температуры плазмы в магнитосфере слабо влияет на свойства рассматриваемых в работе БМЗ-волн, то
для упрощения теоретического анализа плазма магнитосферы считается холодной и в ней пренебрегается скоростью звука по сравнению со скоростью Альфвена. В солнечном ветре, наоборот, именно скорость звука определяет свойства БМЗ-волн, поэтому в солнечном ветре мы пренебрегаем наличием магнитного поля. Таким образом, колебания в БМЗ-волноводе во внешней магнитосфере рассматриваются как быстрый магнитный звук в холодной плазме, а в
прилегающей к нему области солнечного ветра — как обычный звук. Из условия равновесия на магнитопаузе следует соотношение cS / cAM ~ (M / W )1/2 , где
cAM — скорость Альфвена на магнитопаузе, ρM и ρW — плотности плазмы во
внешней магнитосфере и солнечном ветре соответственно. Поскольку ρM в
10÷30 раз меньше, чем ρW, то параметр   cS / cAM достаточно мал. В аналитической части работы используется теория возмущения по малому параметру α.
В условиях реальной магнитосферы характерный масштаб неоднородности
Lx по координате x в несколько раз меньше, чем характерный масштаб неоднородности Ly по координате y. Для построения аналитической теории мы будем
считать, что Lx  Ly . Тогда можно применить метод разных масштабов, который позволяет свести решение двумерно-неоднородной задачи к последовательному решению двух одномерно-неоднородных задач.
30
Рис. 6. Используемая двумерно-неоднородная модель среды. Выделены область прозрачности для БМЗ-волн и область альфвеновского резонанса, xM — координата магнитопаузы,
xR — внутренняя точка отражения БМЗ, xA — точка альфвеновского резонанса. Геомагнитное поле направлено вдоль оси z.
Сделаем важное замечание. Введенные выше координаты x и y не являются
декартовыми из-за искривленности волновода. Характерный радиус кривизны по
порядку величины совпадает с масштабом Ly. Нас будут интересовать колебания, длина волны которых вдоль волновода λy много меньше Ly. Из простых соображений ясно, что для таких колебаний искривленность волновода не имеет
существенного значения. Поэтому далее при написании уравнений мы будем
рассматривать координаты x и y как декартовые.
Солнечный ветер будем считать однородным по оси x. Фактически, масштаб его неоднородности по осям x и y одного порядка и совпадает с масштабом Ly в магнитосфере. Другими словами, неоднородность плазмы солнечного
ветра по нормали к магнитопаузе существенно слабее, чем та же неоднородность в магнитосфере. Это и оправдывает сделанное предположение. В работе
[Мазур, Чуйко, 2013a] было исследовано влияние на неустойчивость Кельвина–
Гельмгольца нормальной к магнитопаузе неоднородности солнечного ветра и
выяснено, что не слишком сильная неоднородность не меняет качественным
образом свойства неустойчивости.
Для исследования влияния азимутальной неоднородности волновода на распространение собственных мод необходимо задать зависимость от азимутальной
31
координаты y существенных параметров среды. Для качественного аналитического исследования достаточно знания общего характера указанных зависимостей.
Но для проведения численных расчетов необходимо их явное задание.
Для распределения скорости солнечного ветра и альфвеновской скорости
вдоль волновода используем следующие выражения
V ( y)  600


y/L
 км/с ,
км/с, cAM ( y)   200  800
2 / L2 
1 y / L
1

y


(1.38)
которые соответствуют модели Спрайтера [Spreiter, et. al. 1966] для средневозмущенных геомагнитных условий (с Kp-индексом равным 2–3). Здесь L — характерный масштаб неоднородности по координате y. Положим L  5104 км .
Для
выбранных средневозмущенных
условий
используем
соотношение
cS ( y)  0.15cAM ( y) , связывающее скорость звука в солнечном ветре с альфве-
новской скоростью в магнитосфере. Это означает, что малый параметр
  cS / cAM  0.15 . На рис. 7 изображены функции V(y), cAM(y) и cS(y). Будем
считать, что по координате z в волноводе возбуждается основной тон и поэтому
kz   / Lz , где Lz — вертикальный размер волновода. Положим Lz  5104 км.
Наконец, для характерного поперечного масштаба волновода примем значение
lM  2 104 км.
Рис. 7. Графики азимутальной зависимости параметров V ( y), cAM ( y), cS ( y) . Соответствующие слабой возмущённости с K p =2–3.
32
В рамках одномерно-неоднородной модели среды дисперсионное уравнение для мод колебаний системы магнитосфера — солнечный ветер можно записать в виде
 n (k y ; kz , cAM , lM , V , cS ) .
(1.39)
В этой записи подразумевается, что частота моды есть функция волнового
вектора ky, а все остальные величины — волновой вектор kz и величины, характеризующие модель среды — cAM , lM , V , cS рассматриваются как заданные параметры. Но дисперсионное уравнение можно трактовать не только как зависимость
частоты от волнового вектора, но и наоборот — как зависимость волнового вектора от частоты. Для этого нужно разрешить соотношение (1.39) относительно ky:


k y  k yn ; kz , cAM , lM , V , cS .
(1.40)
Именно это уравнение определяет квазиклассический волновой вектор в
рамках приближения ВКБ по координате y. При этом параметры, характеризующие среду, и волновой вектор kz считаются заданными функциями координаты y:
cAM  cAM ( y), lM  lM ( y), V  V ( y), cS  cS ( y), kz  kz ( y) .
Но тогда соотношение (1.40) можно записать в виде
k y  k yn ( y, )
В нулевом приближении по параметру α (которым ограничимся для реальной части частоты) дисперсионное уравнение (1.39) составляется из отрезков
двух зависимостей (см. Главу 2)  k yV и  n (k y ) . Разрешая эти соотношения относительно ky, получаем
k y  k yW   , k y  k yn ( y, ) .
V ( y)
(1.41)
Для k yn ( y, ) в рамках приближения ВКБ из выражения (1.31) имеем
2 ( y, )  k 2 ( y, )  k 2 ( y),
k yn
z
tn


ktn ( y, )   1 n
cAM ( y)  2

c
( y) 
 AM
 l ( y) 
 M

2/3 

.


Схематические графики функций (1.42) изображены на рис. 8.
(1.42)
33
Рис. 8. Схематические графики зависимости от y функции k yW   / V ( y) и семейства
функций k yn ( y, ) . Опорные точки y определяются как абсциссы пересечений k yW и k yn .
Через yn обозначены абсциссы точек пересечения кривых (1.42). Функция
k y  k yn ( y, ) также составляется из отрезков зависимостей (1.42). Соответству-
ющие графики для различных значений n приведены на рис. 9.
Рис. 9. Схематические графики функций k y  k yn ( y, ) для n=0, 1, 2.
При значении частоты ω меньше некоторого критического значения (оно
2 отрицательна в некотором интервале
зависит от номера моды) величина k yn
(0, yRn ) . Это означает, что интервал (0, yRn ) является областью непрозрачности
34
для рассматриваемой моды и фактически волноводное распространение в этом
интервале невозможно.
В дальнейшем изложении нам понадобится групповая скорость волны по
оси y. Она определяется соотношением
k ( y, )
1
.
 y

vgy ( y, )
В области, где k y   / V , очевидно, vgy=V. В области, где k y  k yn получаем
довольно громоздкую формулу

k 2c 2
vgv  vgn  cAM 1 z AM
2



 1 n

6


2  2kz2c2AM  cAM
2  kz2c2AM  lM

 .

 
(1.43)
Из нее видно, что vgn  cAM , а также, что vgn убывает с ростом номера n.
На рис. 10 изображено как график vgn ( y, ) составляется из отрезков различных
кривых.
Рис. 10. Схематические графики функций vgn ( y) для n  0,1,2 .
В дополнение к координатам yn мы будем использовать аналогичные координаты yn . Они определяются точно также как координаты yn с тем отличием, что вместо функции  n (k y ) нужно использовать функции  n (k y ) .
Наконец, понадобится точка yA, определяемая уравнением
 kz ( yA )cAM ( yA ) .
Указанные точки чередуются следующим образом: yA  y0  y0  y1  y1  ...
Поскольку модель среды стационарна и однородна по оси z, то можно рас-
35
сматривать колебания с заданной частотой ω и заданным значением волнового
вектора kz. Тогда для холодной двумерно-неоднородной плазмы магнитосферы,
система уравнений идеальной МГД приводится к виду
2 x   2  k 2    2 y  0 ,
z x
xy
x2  c2A


(1.44)
2 x  2 y   2  k 2    0 .
xy x2  c2A z  y
(1.45)


Здесь x ,  y — проекции вектора смещения плазмы, cA  cA ( x, y) скорость
Альфвена, зависящая от двух координат.
1.3.2. Приближение ВКБ по азимуту
В рамках метода разных масштабов решение системы уравнений (1.44,
1.45) ищется в виде
x  x ( x, y)exp i  k y ( y)dy  ,


 y   y ( x, y)  exp i  k y ( y)dy  .


(1.46)
Здесь предполагается применимость метода ВКБ по переменной y. Экспоненты в выражениях (1.46) являются главным порядком приближения ВКБ, они
описывают быструю зависимость от переменной y. Зависимость от этой переменной функций x ( x, y) и  y ( x, y) гораздо слабее. Рассматриваемые как функции переменной y, они играют роль предэкспонент, т. е. представляют собой
следующий порядок в методе ВКБ.
Подставляя выражения (1.46) в систему уравнений (1.44, 1.45) приводим ее
к виду, который запишем в операторной форме:
 ˆ
ˆ
 L0  L1    0 .


Здесь

    x
 y



,


(1.47)
 2
2


 x2 c2
A
Lˆ0  
 ik y 

x


 0

Lˆ1  
 2

 xy

36
ik y 
x



,
2  k 2  k 2 
y
z 
c2A


 kz2

2


xy
.
dk y 

2ik y  i

y
dy 
(1.48)
В рамках приближения ВКБ оператор L̂0 является оператором главного порядка, а L̂1 — оператором следующего порядка. Поэтому уравнение (1.47) можно
решать методом последовательных приближений:   0 1 . В главном порядке
из уравнения Lˆ00  0 имеем соотношение
0 y  
0 x
ik y
2
x

2
2
2
cA  k y  k z
(1.49)
и уравнение на 0x :


2
2
2
  / cA  kz 0 x   2  k 2    0 .
x 2 / cA2  k y2  kz2 x  c2A z  0 x


(1.50)
Это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением по
переменной x, переменная y играет в нем роль параметра.
Уравнение (1.50) должно быть дополнено граничными условиями по переменной x. В настоящем разделе ограничимся нулевым приближением по малому параметру α. Предел   0 при заданном значении ρM следует трактовать
как предел W  . Но солнечный ветер с бесконечной плотностью не позволяет плазме магнитосферы колебаться нормально к магнитопаузе, т. е. на магнитопаузе, при x  xM , смещение плазмы 0x должно быть равно нулю.
Второе граничное условие следует ставить в глубине магнитосферы, в области, асимптотически далекой от магнитопаузы. Мы будем считать, что эта
область соответствует пределу x  xM   . Здесь расположена область непро-
37
зрачности, в которой амплитуда колебания быстро стремится к нулю. Таким
образом, граничные условия для уравнения (1.50) имеют вид
0 x
x xM
 0, 0M
x xM   0.
(1.51)
1.3.3. Собственные частоты и собственные моды
Уравнение (1.50) вместе с граничными условиями (1.51) при каждом заданном значении переменной y представляют собой краевую задачу по переменной x. Эта задача определяет дискретный набор собственных функций и
собственных значений, причем роль собственного значения играет величина ky:
0 x  (0nx) ( x, y), k y  k y(n) ( y) .
Собственная функция и собственное значение зависят от переменной y как от
параметра.
Главный порядок приближения ВКБ определяет зависимость от переменной y собственного значения k y  k y(n) ( y) , но не собственной функции
0  0 ( x, y) . Последняя определяется только с точностью до множителя, кото-
рый может быть произвольной функцией y. Этот произвол устраняется в следующем порядке приближения ВКБ.
В этом порядке
Lˆ01  Lˆ10  0 .
(1.52)
Функция нулевого приближения 0  0 ( x, y) фиксируется условием разрешимости уравнения (1.52) для поправки 1  1( x, y) . Это условие получается
умножением уравнения на вектор-строку 0   0 x , 0 y  и интегрированием по x


в пределах (, xM ) . С помощью интегрирования по частям нетрудно показать,
что первый член получаемого уравнения обращается в нуль. При этом следует
использовать граничные условия для функции 1x :
 |x  x  0,  |x  x    0 .
1x
1x
M
M
38
Граничные условия для поправки 1x совпадают с условиями для функции
нулевого приближения 0x по той причине, что этим условиям удовлетворяет
смещение плазмы  x во всех порядках приближения ВКБ. В результате соотношение (1.52) принимает вид
xM
 0 Lˆ10dx  0 .

Используя выражение (1.48) и соотношение (1.49), его можно привести к
виду
d 1
dy k y
xM


2
q2 0 y dx  0 ,
(1.53)
где обозначено q2  (2 / c2A )  kz2 . Это условие определяет указанный выше множитель, зависящий от y, уже с точностью до произвольной постоянной. Следует
подчеркнуть, что и собственные функции и собственные значения зависят как от
параметра от частоты колебания ω.
1.4.
Заключение к Главе 1
Перечислим основные результаты Главы 1.
1. Разработана двумерно-неоднородная модель среды, описывающая основные свойства магнитосферного БМЗ-волновода. Эта модель позволяет провести аналитическое исследование волноводных БМЗ-колебаний во внешней
магнитосфере и альфвеновских волн, возбуждаемых ими на резонансных поверхностях.
2. В рамках одномерно неоднородной модели среды получено дисперсионное уравнение для собственных мод системы: магнитосферный БМЗ-волновод —
солнечный ветер. Неоднородность среды поперек магнитных оболочек в рамках
этой модели такова, что она приводит к формированию БМЗ-волновода во внешней магнитосфере.
3. Свойства собственных мод системы магнитосфера-солнечный ветер исследованы в двумерно-неоднородной модели среды с помощью метода ВКБ по
39
координате y. Тем самым, учтена азимутальная неоднородность волновода. Для
решения поставленной задачи в рамках ВКБ приближения по координате y использована локальная одномерно-неоднородная модель среды, распределение
параметров в которой соответствует их распределению в локальном сечении
волновода по координате y. При распространении вдоль волновода свойства
колебания «подстраиваются» под локальные свойства волновода. Дисперсионное уравнение, полученное для одномерно-неоднородной среды обобщено на
случай двумерно-неоднородного БМЗ-волновода.
40
Глава 2
Возбуждение собственных мод МГД-волновода
неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца
Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца на земной магнитопаузе рассматривается в физике магнитосферы как источник МГД-колебаний в магнитосфере
и как механизм проникновения в нее импульса и энергии солнечного ветра.
Причиной неустойчивости Кельвина–Гельмгольца является течение плазмы
солнечного ветра относительно плазмы магнитосферы [Foullon et. al. 2008; Pu
and Kivelson, 1983]. Для первоначального теоретического анализа этой неустойчивости в большинстве работ использовалась простейшая модель тангенциального разрыва, разделяющего два полупространства, каждое из которых
заполнено однородной плазмой в однородном магнитном поле (см., например,
обзор [Kivelson and Zu-Yin Pu, 1984] и цитированную в нем литературу). В рамках этой модели было установлено, что неустойчивые моды колебаний имеют
нижний и верхний пороги по скорости солнечного ветра и обладают пространственной структурой поверхностной волны — экспоненциально падают в обе
стороны от тангенциального разрыва.
В ряде более поздних работ изучался вопрос о влиянии неоднородности
различных элементов среды на неустойчивость. В основном рассматривалась
роль конечной толщины сдвигового слоя [Miura and Pritchett, 1982; Ong and Roderik, 1972; Uberoi, 1986; Walker, 1981]. Было установлено, что неустойчивость
стабилизируется, если длина волны колебания вдоль магнитопаузы меньше
толщины сдвигового слоя. Но поскольку его толщина очень мала по сравнению
с размерами магнитосферы, то ее влияние сказывается только на чрезвычайно
мелкомасштабных колебаниях, не представляющих особого интереса.
Более важную роль могут играть неоднородности магнитосферы и солнечного ветра, масштабы которых гораздо больше толщины переходного слоя и поэтому они должны сказываться на колебаниях с большей длиной волны. В работах
[Fujita, 1996; Trussoni 1982] рассмотрена неустойчивость Кельвина–Гельмгольца
41
в модели одномерно — неоднородной магнитосферы и однородного солнечного
ветра, разделенных плоским тангенциальным разрывом. С помощью численного
решения уравнений было установлено существенное влияние неоднородности
магнитосферы на характер неустойчивости. В частности, было показано, что
существует дискретный набор мод, для каждой из которых имеется нижний, но
нет верхнего порога неустойчивости по скорости солнечного ветра, а инкремент неустойчивости как функция скорости солнечного ветра для каждой из
мод имеет достаточно узкий максимум. Но численный способ исследования не
позволил авторам этой работы обнаружить связь свойств неустойчивости со
свойствами собственных колебаний магнитосферы.
Некоторые важные следствия неоднородности магнитосферы и солнечного
ветра были установлены в работе [Leonovich and Mishin, 2005], в которой модель двух однородных полупространств была дополнена наличием отражающих границ либо в одном, либо в обоих полупространствах. Такие границы
также приводят к существованию собственных мод, запертых между ними и
магнитопаузой, что позволяет в самых общих чертах описать их влияние на неустойчивость.
В настоящей главе неустойчивость Кельвина–Гельмгольца изучается в
рамках модели двух полупространств, заполненных одномерно-неоднородной
плазмой, и разделенных тангенциальным разрывом. Важным отличием настоящей работы является аналитический характер исследования. В работе получены
явные аналитические формулы для всех интересующих величин и зависимостей, например, — для зависимости инкремента неустойчивости от скорости
солнечного ветра. Но, что еще более важно, аналитическое исследование
вскрывает связи между свойствами неустойчивости и свойствами колебаний в
магнитосфере и в солнечном ветре.
В работах [Мазур, 2010, 2011], было установлено, что наличие собственных мод магнитосферы, обусловленное ее неоднородностью, приводит к резонансному характеру возбуждения падающими на нее волнами. Для того чтобы
не отягощать исследование возможным влиянием неустойчивости Кельвина–
42
Гельмгольца, в указанных работах рассмотрение ограничивалось лобовой частью магнитосферы, соседствующей с застойной (неподвижной) областью солнечного ветра. После этого представляется логичным в рамках аналогичной
модели среды изучить влияние собственных мод магнитосферы на неустойчивость Кельвина–Гельмгольца, предполагая, что солнечный ветер движется, но
волн, падающих извне, нет. При этом мы будем подразумевать, что одномернонеоднородная модель среды применяется к фланговым областям магнитосферы.
2.1
Эффекты конечного значения параметра α
В пределе α=0 магнитопауза играет роль неподвижной стенки, и колебания
внутри магнитосферы никак не связаны с колебаниями в солнечном ветре. При
заданном значении сАМ предел α=0 означает c S =0, т. е. звуковые волны в системе отсчета солнечного ветра не распространяются, а являются неподвижными
возмущениями плотности. Их частота в этой системе отсчета равна нулю.
Вследствие эффекта Доплера в системе отсчета магнитосферы эти колебания
имеют частоту ω=kyV, где V — скорость солнечного ветра. Эти колебания можно назвать сносовыми. В этом же пределе α=0 собственные колебания магнитосферы, т. е. собственные моды магнитосферного волновода образуют дискретный набор:  n (k y , kz ) , x  (xn) ( x, k y , kz ) . Конкретный вид этих функций
определяется профилем скорости Альфвена cA ( x) . Таким образом, в пределе
  0,  A  0 в рассматриваемой модели системы магнитосфера — солнечный
ветер имеются два типа колебаний — собственные моды магнитосферного волновода  n и сносовые колебания солнечного ветра  k yV .
Когда α становиться отличной от нуля, сносовые колебания солнечного
ветра и собственные колебания магнитосферы начинают взаимодействовать и
происходит «пересоединение» этих мод. Это схематически показано на рис. 11.
Точный вид зависимости собственных частот от параметра V определяется в
ходе решения дисперсионного уравнения, которое будет приведено в следующем разделе.
43
Рис. 11. Частоты собственных мод системы магнитосфера — солнечный ветер в нулевом порядке по параметру α, как результат «пересоединения» собственных мод магнитосферного волновода и сносовых колебаний солнечного ветра.
2.2.
Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца как неустойчивость соб-
ственных мод
2.2.1. Решение дисперсионного уравнения
Используя установленные свойства функций f M (u) и fW (w) , перейдем к
решению дисперсионного уравнения
f M (u)  fW (w), u  v  w .
(2.1)
Как ясно из общих соображений, и как будет показано ниже, дисперсионное уравнение определяет дискретный набор соответствующих друг другу решений u  un (v) и w=wn(v). Здесь n=0, 1, 2,… — номер собственной моды колебаний системы магнитосфера + солнечный ветер. Собственная мода ς=ςn(x, v) в
магнитосферной области совпадает с функцией CMςM(x, un(v)), а в солнечном
ветре — с функцией CWςW(x, wn(v)), причем соотношение между коэффициентами CM и CW задается одним из условий сшивки (1.9), (1.10).
Зафиксируем n-ю моду колебаний следующим условием: при v  un1
функции u=un (v) и w=w n (v) имеют значения
wn (un1)  0, un (un1)  un1 .
(2.2)
Существование такого решения уравнения (2.1) очевидно. Для моды с номером n=0 будем полагать un1  uA , т. е. условия (2.2) для нее имеют вид
w0 (uA )  0, u0 (uA )  uA .
44
Пространственная структура n-й моды n ( x, v) при v  un1 в магнитосфере
определяется функцией n ( x,un1)  CM M ( x,un1)  CM M (n1) ( x) , т. е. совпадает
с магнитосферной собственной модой, имеющей (n–1) нуль внутри магнитосферы и нуль на магнитопаузе. Эта функция имеет в магнитосфере n экстремумов. Мода n=0 при v  uA не имеет нулей и экстремумов ни в магнитосфере, ни
на
магнитопаузе.
В
солнечном
ветре
возмущение
имеет
вид
n ( x, un1)  CW W ( x,0) . Функция W ( x, 0)  exp kt ( x  xM ) есть решение урав-
нения (1.7) при w  0 и отлична от нуля на магнитопаузе. Но тогда из уравнения
(1.9) следует, что CW  0 , т. е. колебание в солнечном ветре отсутствует.
Далее будем исследовать свойства зафиксированной таким образом моды,
стартуя с точки v  un1 и изучая ход функций u=un (v), w=w n (v) и соответствующую эволюцию пространственной структуры моды при изменении параметра
v
направо и налево от этой точки. В настоящем разделе мы рассмотрим значе-
ния v  un1 , а в следующем — v  un1 .
В окрестности точки w=0 для функции fW(w) применима формула (1.37).
Для модели однородного солнечного ветра при должном аналитическом продолжении она применима во всей комплексной плоскости. В моделях неоднородного ветра эта формула применима в большей части комплексной плоскости, за исключением малых областей. Пока значение w=wn (v) в результате эволюции решения не попадет в эти области, можно использовать формулу (1.37).
Предполагая это, записываем дисперсионное уравнение в виде
2
 w  f M (v w) .
1 w2
(2.3)
Это уравнение существенно упрощается, если в аргументе функции fM
можно пренебречь слагаемым αw. Очевидно, это можно сделать в стартовой
точке, а, значит, и некоторой ее окрестности. В рамках такого приближения из
уравнения (2.3) имеем
45
w2

  f M (v) 



f M2 (v) f M (v) 
.
1

4
2 
(2.4)

Соотношение (2.4) определяет два значения величины w, отличающиеся
знаком. Это означает, что мода с заданным значением n в действительности состоит из двух ветвей колебаний, частоты которых в системе отсчета солнечного
ветра имеют противоположные знаки. При v  un1 значения w чисто мнимы.
Для безразмерной частоты в этом случае имеем

1
2
u  v  if M (v) 


12

f 2 (v) f M (v) 
.
1 M

4
2 
(2.5)

Верхний знак отвечает неустойчивости Кельвина–Гельмгольца. Неустойчивость моды с номером n имеет порог по параметру v — мода неустойчива
при v  un1 . Вблизи порога, если разность v  un1 мала, используя выражение
(1.17), из (2.5) имеем
w2  n1(v  un1), u  v  i1/2
n1 v  un1 .
При увеличении разности v  un1 , когда модуль f M становится велик, формула (2.5) дает
w  i f M (v), u  v  i f M (v) .
Если величина v достаточно близка к un , так что применимо первое из выражений (1.17), то для неустойчивой ветви имеем
w  i n .
un  v
(2.6)
Приближение величины v к un и связанный с этим рост модуля величины
w приводят к двум следствиям. Во-первых, для функции fW (w) можно использовать упрощенные выражения:
fW (w)  iw при Im w  0 , fW (w)  iw при Im w 0 .
(2.7)
Во-вторых, нельзя игнорировать в уравнении (2.3) слагаемое αw в аргументе функции fM, но зато для нее можно использовать первое из выражений
46
(1.17). Тогда для неустойчивой моды (Im w  0) уравнение (2.3) принимает вид
iw 
n
,
un  v  w
(2.8)
или
w2  (v  un )w  in  0 .
Корень этого уравнения, отвечающий неустойчивому решению с Im w  0 ,
есть
v  un  (v  un )2  4in
.
w
2
(2.9)
Рис. 12. Траектория, описываемая функцией w  wn (v) в комплексной плоскости w, когда параметр v изменяется в интервале (un1, ) . Верхние кривые — неустойчивые ветви.
Нижние кривые — затухающие ветви.
На рис. 12 изображена траектория, которую описывает комплексная величина w  wn (v) при изменении параметра v. Из него видно, что при v  un1 вся
траектория лежит в области, где для fW (w) применимо выражение (1.37) или,
даже, его упрощенная форма (2.7). Решение (2.9) в пределе un  v  n переходит в решение (2.6) и, следовательно, продолжает его в область v  un ~ n .
Оказывается, что решение (2.9) применимо вплоть до v  un  . Для того,
чтобы это доказать следует убедиться, что предположения сделанные при выводе уравнения (2.8) сохраняют свою силу и в этом пределе. При v  un  n
из (2.9) следует, что знаменатель в формуле (1.17)
47
un  u  un  v  w 

 
n
n i 
v  un
 

 
  n
   v u
n
 
 

3



,

...






т. е. стремится к нулю при v  un  . Это означает, что в обсуждаемом пределе
справедлива формула (1.17), использованная в правой части уравнения (2.8). Из
той же формулы (2.9), а также из рисунка 12, видно, что в этом пределе величина w   , следовательно, для функции fW (w) применимо выражение (2.7), использованное в левой части уравнения (2.8).
Из решения (2.9) для реальной части безразмерной частоты Reu  v  Re w
имеем
2 2
Re u  v   n 3  ... при un  v  n ,
(un  v)
2 2
Re u  un   n 3  ... при v  un  n.
(v  un )
Мы видим, что Re u  un при v  un  . Безразмерный инкремент Imu
как функция величины v достигает максимума в точке v  un и вблизи этого
максимума

(v  un )2 
Im u  n 1
.
2 
4n 
Его значение в максимуме n / 2 , а ширина максимума 2 n . Из выражения (1.34) и (1.32) видно, что величина максимума и его ширина убывают
с ростом номера n — для больших номеров как n1/3 . График безразмерного
инкремента Imu как функции параметра v в интервале un1  v   изображен
на рис. 13.
48
Рис. 13. Инкремент неустойчивости Кельвина–Гельмгольца как функция безразмерной
скорости солнечного ветра.
Для устойчивой (затухающей) ветви колебания значения w(v) и u(v) получаются комплексным сопряжением. Траектория изменения комплексной величины w(v) для затухающей ветви также изображена на рис. 12.
Для того чтобы лучше уяснить физический смысл полученных результатов
вернемся от безразмерных параметров к размерным величинам. Тогда условие
неустойчивости для основной моды (моды с номером n=0) v  uA принимает
вид ktVW  k yVW  kz cAM . Для колебания с заданными значениями ky и kz это неравенство можно трактовать как условие на скорость солнечного ветра:
VW  (kz / k y )cAM . В зависимости от соотношения между ky и kz порог неустой-
чивости может быть как больше, так и меньше cAM. Если же считать заданной
скорость солнечного ветра, то указанное неравенство можно понимать как пороговое
условие
на
компоненту
волнового
вектора
вдоль
потока:
k y  (cAM / VW )kz .
Для мод с номерами n  1 условие неустойчивости v  un1 можно записать
в двух равносильных формах:
 V2

kt

2
W
VW  un1 cAM , k y  un1kz  2  un1 
ky
 cAM


1/2

первую из которых можно понимать как порог по скорости ветра, а вторую —
49
как порог по волновому вектору. Из этих неравенств видно, что для всех мод
кроме основной моды неустойчивость существует только при VW  cAM .
Соотношение v  un , определяющее положение максимума инкремента для
n-ой моды (в том числе для основной) также можно представить в двух видах:
 V2

kt

2
W
VW  un cAM , k y  un kz  2  un 
ky
 cAM


1/2
.

Видно, что инкремент достигает максимума для всех мод при VW  cAM .
2.2.2. Инкремент неустойчивости с учетом альфвеновского резонанса
Точка альфвеновского резонанса xA для решений магнитосферного уравнения (1.1) является точкой ветвления вида:
( x) ~1 1 k y2 ( x  xA )2 ln( x  xA ) .
2
(2.10)
Функция ( x) (т. е. полное возмущенное давление) конечна в точке xA, но
другие возмущенные величины, такие как компонента смещения плазмы ξy или
компонента возмущенного магнитного поля Bx, имеют в этой точке полюс вида
1/ ( x  xA ) .
Сингулярность такого вида впервые была обнаружена при изучении вопроса
падения электромагнитной волны на переходный плазменный слой [Budden,
1961]. В этом случае возмущение становиться бесконечным в так называемой
точке плазменного резонанса. Простое и физически ясное рассмотрение этого
вопроса дано в работе [Арцимович, Сагдеев, 1979]. Применительно же к альфвеновскому резонансу первое подробное изучение этого вопроса было сделано в [Chen and Hasegawa, 1974]. Обзор проблемы альфвеновского резонанса
может быть найден в [Стикс и Свансон, 1983].
Эффекты, выходящие за рамки идеальной МГД, определяют правило обхода точки ветвления в (2.10) и приводят к регуляризации сингулярностей в величинах ξy и Bx. В условиях земной магнитосферы важнейшим из таких эффектов является затухание колебаний в ионосфере, обусловленное её конечной
проводимостью. Вблизи точки xA колебание представляет собой альфвеновскую
50
волну. Декремент затухания альфвеновских волн в ионосфере вычислялся во
многих работах [Maltsev, 1974; Hughes, 1974; Newton et al., 1978; Leonovich and
Mazur, 1991]. В дальнейшем для нас будет важен только тот факт, что этот декремент γA много меньше частоты волны ω. Для стоячих альфвеновских волн в
магнитосфере характерными являются значения  A /  ~101 103 [Newton et
al., 1978].
Конечная проводимость ионосферы приводит в уравнении (1.1) к замене
 i A , что равносильно замене ( x  xA )  ( x  xA )  i A lA , где  A   A /  1
и lA  d ln cA ( x) / dx
1
|x xA — характерный масштаб неоднородности в точке xA.
Такая замена задает правило обхода особой точки, но одновременно приводит к
появлению диссипации энергии колебания в малой окрестности точки альфвеновского резонанса на масштабе порядка  AlA . Эта диссипация обладает замечательным свойством – она остается конечной даже в пределе  A  0 . Дело в
том, что при уменьшении  A уменьшается размер области диссипации, но зато
растет амплитуда возмущения в этой области.
Если в выражении (1.25) сделать замену    i A , что соответствует замене u  u  i A и приводит к выражению
f M (u)  2

u 2  u 2A  2iu A A
1 u 2
.
(2.11)
При u 2  1 в магнитосфере имеется область прозрачности, и решение в ней
имеет вид
1/2

 q2 ( x, u) 
 
 sin  ( x, u)    i A  .
M ( x, u)  

 kx ( x, u) 
4
2 



Здесь
x
( x, u) 

xR (u )
квазиклассическая фаза, и
kx ( x, u) dx
(2.12)
51


 A  exp 2 AR ,  AR (u) 
xR (u )

| kx ( x, u)| dx .
(2.13)
xA (u )
Малый параметр δA описывает влияние диссипации энергии в окрестности
альфвеновского резонанса. В соответствии со сказанным выше, он не зависит
от величины εA, а его малое значение обусловлено спаданием амплитуды возмущения от области прозрачности до точки альфвеновского резонанса. Из
(2.12) получаем для u 2  1
u  u A 
 
f M (u)  2
tg  M (u)    i A  ,
 u 2 1
4
2
2
2

(2.14)

где M (u)  ( xM ,u) — полный набег фазы от точки поворота до магнитопаузы.
Выражение (2.11) не применимо в некоторой малой окрестности точки
и=1. При u=1 точка отражения совпадает с магнитопаузой и решение (2.12)
нельзя использовать для вычисления функции fM(u). Но для таких значений u
возможен другой подход, основанный на использовании уравнения Эйри [Мазур и Чуйко, 2011]. Он показывает, что функция fM(u) в точке u=1 регулярна.
Схематический график функции fM(u) в пределе εA=0, δA=0 (когда она является
вещественной) изображен на рис. 5.
Далее будем рассматривать fM(u) как функцию комплексного переменного u.
Координаты полюсов этой функции есть un  in , а координаты нулей — un  in .
Их мнимые части определяются соотношениями
n 
A
,
2gn
n 
A
,
2gn
(2.15)
где
gn  g (un ), gn  g (un ), g (u) 
 M (u)
.
u
(2.16)
Кроме того, из (2.11) следует, что имеется нуль uA  i A . Его реальная часть
u A  1.
В окрестностях полюсов и нулей функция fM(u) может быть представлена так:
f M (u) 
n
, f (u)  n (u  un  in ), f M (u)   A (u  u A  i A ) . (2.17)
un  in  u M
52
Выражения для коэффициентов в этих формулах приведены выше.
Расстояние между собственными частотами есть величина порядка
(kt lM )2/3 . Вычисление интеграла (2.13) дает

 A  exp  4
3



(1 u 2A )3/2

k
l
t M.
2
u

(2.18)

Из (2.15), (2.16), и (1.24) имеем
(kt lM )1/3
(kt lM )1/3
n   A
, n   A
.
1/2
1/2
(2.19)
Учет альфвеновского резонанса приводит к малым поправкам в условиях
(2.2). Но, по-прежнему, можно считать, что в окрестности точки v  un1 величина w2 имеет малое значение. Поэтому в левой части уравнения (2.1) можно
положить fW (w)  w2 . В правой части, в аргументе функции fM по этой же
причине можно пренебречь малым слагаемым αw. Используя вблизи точки
v  un1 для функции fM второе или третье из выражений (1.17), имеем
w2  n1(v  un1  in1) .
(2.20)
В случае n=0 здесь следует полагать n1  A, un1  uA, n1   A .
При  A  0 (т. е.  A  0 ) в области v  un1 величина w2 вещественна и положительна, следовательно, безразмерная частота тоже вещественна и имеет
два значения:
1/2
u  v 1/2
n1(un1  v) .
(2.21)
Мода с номером п в действительности имеет две ветви — нижнюю и верхнюю — в соответствии со знаками в формуле (2.21). В том же пределе  A  0 при
v  un1 безразмерная частота имеет два комплексно сопряженных значения:
1/2
u  v i1/2
n1(v  un1) .
(2.22)
Верхний знак соответствует затухающей ветви, а нижний — неустойчивой. Значение v  un1 является порогом неустойчивости по параметру v (фактически — по скорости солнечного ветра).
53
Конечные, но малые значения n1 приводят в выражениях (2.21) и (2.22) к
малым поправкам. Однако эти поправки практически ничего не меняют с физической точки зрения. В области v  un1 инкремент неустойчивости в (2.21) получает
малую, не представляющую интереса поправку. Возникающий в области v  un1
инкремент настолько мал по сравнению с характерным инкрементом в области
v  un1 , что им можно пренебрегать и по-прежнему считать моду устойчивой. По-
этому мы и далее будем называть величину v  un1 порогом неустойчивости и игнорировать поправки, обусловленные параметром n1 ниже и вблизи этого порога.
Единственное интересное с физической точки зрения следствие конечности параметра n1 — возможность связать между собой две ветви ниже и выше
порога неустойчивости, что невозможно в пределе n1  0 . Согласно формуле
(2.20), точка ветвления функции w(v) смещается в комплексную плоскость. Непрерывное продолжение по вещественным значениям параметра v (которые
только и имеют смысл) задает правило обхода точки ветвления. Нетрудно убедиться, что согласно этому правилу нижняя ветвь переходит в неустойчивую, а
верхняя — в затухающую. Поэтому далее мы будем называть неустойчивую
ветвь нижней, а затухающую — верхней.
Решение (2.22) можно продолжить в сторону увеличения v, используя в левой части уравнения (2.1) для функции fM(w) полное выражение (1.37), но, попрежнему, в правой части, опуская слагаемое αw в аргументе функции fM. Тем
самым допускаем значения w  1 , но предполагаем, что  w много меньше
расстояния между un1 и un , которое по порядку величины равно (kt lM )2/3 .
Тогда (2.1) дает
w2

  f M (v) 



f 2 (v) f M (v) 
1 M

.
4
2 
(2.23)

Это выражение позволяет проследить изменение функции w  wn (v) от
окрестности точки v  un1 до окрестности точки v  un .
54
Приближение величины v к un и связанный с этим рост модуля w приводят
к двум последствиям. Во-первых, для функции fW(w) можно использовать
упрощенные выражения fW (w)  iw (для верхней и нижней ветвей соответственно). Во-вторых, нельзя игнорировать в уравнении (2.1) слагаемое αw в
аргументе функции fM, но зато для нее можно использовать первое из выражений (1.17). Тогда уравнение (2.1) принимает вид
iv 
n
.
un  in  v w
(2.24)
Решение этого квадратного уравнения дает для верхней и нижней ветвей
функции u  un (v) выражения
u  un (v) 
v  un  in  (v  un  in )2
2
2in2
,
(2.25)
где обозначено n  2n . Каждому из двух знаков в уравнении (2.24) соответствует два решения квадратного уравнения, т. е. всего — четыре решения. Выбор
двух нужных нам решений определяется требованием сращивания с решением
(2.23).
Свойства решения (2.25) критическим образом зависят от соотношения
параметров n и n . Ограничимся случаем n  n . С учетом соотношений
(2.18), (2.19) это неравенство можно переписать в виде

 A   
kl
 t M
1/2

 .


Принимая во внимание экспоненциально малое значение левой части (см.
(2.18)), выполнение этого условия можно считать вполне реалистичным.
Оказывается, что решение (2.25) описывает свойства моды u=u n (v) от
окрестности точки v  un и вплоть до v  . Действительно, легко убедиться,
что на всем указанном интервале значений v величина v  un мала, а w  1 ,
так что выполняются все условия применимости уравнения (2.24). Простой вид
решения (2.25) позволяет исследовать свойства функции u  un (v) элементарными средствами.
55
2.2.3. «Пересоединение» мод
Таким образом, с учетом конечности α, и диссипацией в области альфвеновского резонанса получены выражения для безразмерной частоты. Рассуждения, описанные в предыдущем разделе применимы также и для отрицательных
значений v. Поэтому функция un (v) может быть определена для отрицательных
значений v. Далее приводятся соответствующие графики её действительной и
мнимой частей.
Напомним, что в пределе  A  0 графики Re u1(v) для двух ветвей в области v  u1 совпадают (рис. 11). Этот общий график расположен ниже прямых
и=v и u  u1 и асимптотически стремится к последней из них в пределе v  .
Ветви различаются своими мнимыми частями, которые, в свою очередь, равны
по модулю и отличаются только знаком.
Рис. 14. Схематические графики безразмерных действительных и мнимых частей частоты нулевой моды колебаний как функций безразмерной скорости солнечного ветра. В.в и
н.в. означают верхнюю ветвь и нижнюю ветвь соответственно.
Конечное значение  A приводит к различию для двух ветвей, как графиков
Re u1(v) , так и графиков Im u1(v) . Детали их поведения отражены на рис. 14. Для
того чтобы указанные на рисунке особенности графиков действительно имели
место необходимо, чтобы расстояние между характерными точками на графи-
ках, равное
2n / n ,
56
было меньше расстояния между собственными частотами
(kt lM )2/3 . Это равносильно условию
A   .
Оно означает, что влияние альфвеновского резонанса не должно быть
слишком мало. В противном случае графики двух ветвей Re un (v) (также как и
Im un (v) ) имеют практически такой же вид, как и в пределе  A  0 .
Рис. 15. Схематические графики безразмерных действительных и мнимых частей частоты первой моды колебаний как функций безразмерной скорости солнечного ветра. В.в и
н.в. означают верхнюю ветвь и нижнюю ветвь соответственно.
Ниже порога неустойчивости v  un функции u  u1(v) для обеих ветвей
можно считать вещественными. При дальнейшем уменьшении v верхняя мода
переходит в нижнюю, а нижняя мода переходит в верхнюю в точках v  u0 
57
как это показано для второй моды на рис. 16. Эти точки трансформации ветвей
обусловлены сингулярным поведением вблизи этих точек функции f M (u) , фигурирующей в дисперсионном соотношении f M (u)  fW (u w) . Как это видно
из рис. 14, 15 и 16, свойства собственной моды симметричны относительно
точек трансформации ее ветвей.
Рис. 16. Схематические графики безразмерных действительных и мнимых частей частоты второй моды колебаний как функций безразмерной скорости солнечного ветра. В.в и
н.в. означают верхнюю ветвь и нижнюю ветвь соответственно.
Приведем упрощенные формулы, в которых опущены несущественные
множители порядка единицы, описывающие инкремент неустойчивости мод в
зависимости от параметров W  k yV , n  un  kt cAM .
Вблизи порога W  n1 (для основной моды n=0 следует полагать
n1  A )
n   1/2(W n1)1/2 .
(2.26)
Вблизи максимума инкремента в точке W  n
n 

(W n )2 

 1
 A .

2
8



(2.27)
58
где
 A   A .
Характерная ширина инкремента W ~  . Наконец, при W n  W
n 
  .
A
W n
(2.28)
Состыковывая эти формулы в промежуточных точках, можно получить выражения, качественно верно описывающие инкремент во всей области неустойчивости.
Для моды n=1 инкремент отрицателен в интервале W  A , а для мод
n  2 — в интервале W  n2 . Аналитические выражения для инкремента в
этих интервалах в определенном смысле аналогичны формулам (2.33)–(2.35).
Так, для моды n=1 в интервале W  A имеем
1  1/2 (A W )1/2 .
(2.29)
Для мод n  2 вблизи точки W  n2
n  1/2 (n2 W )1/2 ,
(2.30)
вблизи минимума в точке W  n2

 n    1

(W n2 )2 
 A ,

82

(2.31)

и асимптотически далеко от минимума, при n2 W  W ,
n  
  .
A
n2 W
(2.32)
2.2.4. Пространственная структура мод
Пространственная структура поля в магнитосферном резонаторе, т. е. в области прозрачности ( xR , xM ) , определяется функцией ( x)  CM M ( x, u) , которая
в приближении ВКБ дается выражением (2.12). Малые мнимые члены в этом
выражении, обусловленные параметром  A , а также мнимой частью частоты
Imu  Imun (v) , не играют существенной роли в описании пространственной
структуры и могут быть опущены. В таком случае функция M ( x, u) является
59
вещественной и общий характер ее поведения вполне ясен. Отметим, что при
v  un1 имеем u  un (v)  un1 и, следовательно, функция M ( x, u) имеет нуль на
магнитопаузе, а при v  un соответственно Re u  Re un (v)  un и функция
M ( x, u) имеет на магнитопаузе экстремум.
Пространственная структура поля возмущения в солнечном ветре описывается функцией (1.35), вид которой определяется значением величины
  (w)  1 w2 . Величина Re определяет длину спадания возмущения при
удалении от магнитопаузы, а Im — длину волны в этом же направлении. Поскольку w  wn (v) , то функцией v является и величина κ. Используя полученные
решения для w  wn (v) , можно построить соответствующие решения для двух
ветвей функции   n (v) . Графики Re n (v ) и Im n (v) приведены на рис. 17.
Рис. 17. Схематические графики Re n (v) и Im n (v) .
При значениях
v  un n2 / 2n
60
величина Re n (v) для нижней ветви стано-
вится отрицательной, т. е. возмущение растет при удалении от магнитопаузы в
солнечный ветер. Для указанных значений v имеем Re n (v)  Im n (v) и мода,
по-существу, является бегущей волной, амплитуда которой медленно меняется
в пространстве и времени. Эти изменения подчинены уравнению сохранения
энергии в бездиссипативной среде солнечного ветра:
W  v W  0 .
g
t
x
Легко убедиться, что для рассматриваемой ветви vg  0 и, поскольку мода
затухает во времени, она должна расти в пространстве в направлении групповой скорости. Собственно, таким же является и поведение верхней ветви. Для
нее vg  0 , она также затухает во времени и растет в направлении групповой
скорости, а, значит, убывает при удалении от магнитопаузы. Такое поведение
бегущих волн — затухание во времени и нарастание в пространстве в направлении групповой скорости — встречается во многих разделах физики. Наверное, самый известный пример — волновая функция, описывающая распад метастабильного состояния в квантовой механике [Ландау и Лифшиц, 1963].
Граничным условием для задачи о собственных модах волновода является
наличие в солнечном ветре только волны, убегающей от магнитосферы. Поэтому
ветви с vg  0 не удовлетворяют этому граничному условию и являются нефизическими решениями данной задачи. Однако, ветви с vg  0 также исследуются
в настоящей диссертационной работе. В разделе 4, где решена задача о распределении в волноводе энергии волн, проникающих в него из солнечного ветра,
эти ветви используются для вычисления линейной плотности энергии волноводных мод.
Наиболее наглядное представление о пространственной структуре колебания дает распределение в пространстве его энергии.
Плотность энергии колебания в магнитосфере дается выражением
2  v2
|
B
|
E
 0 ,
8
2
61
где B — вектор возмущенного магнитного поля, v — вектор возмущенной
скорости. Подставив возмущённые величины в это соотношение из него можно
получить выражение для плотности энергии колебания в резонаторе:
4 CM
E ( x) 
2
B02
1 ,
vg ( x, )
(2.33)
где vg ( x, )  c2Akx /  cA (kx / k ) — проекция на ось x групповой скорости быстрого магнитного звука. Полная энергия, содержащаяся в резонаторе:
xM
ER 

E( x) dx 
4 tg () CM
B02
xR
2

4ug (u) CM
2
B02
.
Здесь tg () — время группового пробега в области прозрачности ( xR , xM ) :
tg () 
xM
dx  d  M  g (u)
 vg ( x, ) d  kt cAM
()
xR
Выражение для плотности энергии колебания вблизи точки альфвеновского
резонанса имеет вид:
E( x) 
8 CM
B02
2
 AlM
.
2
( x  xA )2  2AlM
(2.34)
Полная энергия, сосредоточенная в окрестности альфвеновского резонанса есть
EA 

 E( x)dx 

4  A CM
2
.
B02  A
(2.35)
Интеграл здесь формально распространен на бесконечные пределы, так как при
использовании выражения (2.34) он фактически набирается в малом интервале шириной порядка P lM вблизи точки x  xA . В окрестности альфвеновского резонанса
происходит поглощение энергии колебания. Полная диссипируемая мощность
QA  2 A EA 
8 A CM
B02
2
.
Замечательная особенность этого выражения, состоит в том, что оно не зависит от  A   A и остаются конечным даже в пределе  A  0 .
62
Таким образом, энергия колебаний в магнитосфере сосредоточена в двух
областях — в магнитосферном резонаторе на интервале ( xR , xM ) и в узкой
окрестности точки альфвеновского резонанса xA. Отношение полных энергий,
содержащихся в этих областях
EA  A
,

ER  Ag
(2.36)
В силу чрезвычайно малой величины  A следует ожидать, что отношение
(2.36) существенно больше единицы, т. е. основная доля энергии колебаний
внутри магнитосферы содержится в окрестности точки альфвеновского резонанса. В этом состоит наиболее важное следствие учета альфвеновского резонанса для общей картины рассматриваемого явления.
Координата точки альфвеновского резонанса определяется значением параметра u. Для обсуждаемых нами мод u  un (v) , поэтому и координата точки
альфвеновского резонанса есть функция параметра v: xA  xAn (v) . При каждом
значении этого параметра имеется дискретный набор альфвеновских резонансов, соответствующих модам с различными значениями n.
Наличие альфвеновского резонанса чрезвычайно важно для возможности
наблюдения обсуждаемых колебаний на поверхности Земли. Для того чтобы
объяснить это утверждение необходимо выйти за рамки нашей одномерной модели и рассмотреть явление в более реалистичной модели, учитывающей как
поперечную, так и продольную неоднородность среды. В такой модели скорость Альфвена увеличивается как поперек магнитных оболочек от магнитопаузы в глубину магнитосферы, так и вдоль силовых линий от экватора к ионосфере. Собственные БМЗ-колебания тяготеют к минимуму скорости Альфвена,
поэтому область их локализации будет иметь примерно такой вид, как изображено на рис. 18.
63
Рис. 18. Расположение БМЗ-волновода и области альфвеновского резонанса в реалистичной модели магнитосферы. Показано поперечное сечение магнитосферы по вечернему
меридиану.
Пунктиром на этом рисунке изображена поверхность отражения, которая в
отличие от одномерной модели не является плоскостью x  xR . За поверхностью отражения амплитуда БМЗ быстро убывает, и на поверхности Земли собственные БМЗ-колебания не могут наблюдаться. Но поле гидромагнитного колебания в области альфвеновского резонанса обладает свойствами альфвеновской волны, которая свободно распространяется вдоль силовых линий. Эта область, будучи очень узкой поперек магнитных оболочек, простирается до сопряженных областей ионосферы. Продольная длина альфвеновской волны много больше толщины атмосферы, поэтому электромагнитное возмущение легко
проникает через нее и наблюдается на земной поверхности.
Плотность энергии колебания в солнечном ветре дается выражением
E
0v 2
p
VW v 
,
2
20
где ρ и p — возмущенные плотность и давление. Это выражение можно привести к виду:
64
2
2


u CW exp 2 k ( x  x ) .
E( x) 

t
M 

 2 c2  w 2 c2
0 S
0 S
(2.37)
Отметим, что если  0 , т. е. скорость солнечного ветра больше фазовой
скорости волны, VW   / k y , то ее энергия отрицательна. Полная энергия, содержащаяся в солнечном ветре:
EW 

CW
2
.
E ( x)dx  u
 w 4 c2 kt 
0 S
M

x
(2.38)
В соотношениях (2.37) и (2.38) подразумевается, что частоты ω и  , а,
следовательно, и величины u и w вещественны. Но интересующие нас моды неустойчивы и указанные величины для них комплексны. Комплексной является
и составляющая волнового вектора kx  ikt  . Мнимая добавка к величине u при
всех значениях параметра v мала и ею можно было бы пренебречь. Но у величины
w мнимая часть может быть порядка или даже много больше реальной части. Для
таких случаев формулы (2.37) и (2.38) должны быть модифицированы. Простые, но громоздкие выкладки приводят к следующему результату
W


  v Re w 

w2



w2 1  w2 1 CW
2 w2
2

 2 c2
0 S


exp 2(Re ) kt ( x  xM ) . (2.39)
Если величина w вещественна и w2  1 , то необходимо возвратиться к
формуле (2.37). Из (2.39) получаем


WW   v Re w 

w2



w2 1  w2 1
2 w2
CW
2

 2 c2 k Re 
0 S t


.
Соотношение между энергиями, заключенными в магнитосфере и солнечном ветре определяется относительной величиной амплитуд CM и CW. Связь
между ними дается уравнением (1.9). Из выражений (1.19), (1.20) и (1.35) имеем
2
2
CW  CM kt
u 2  u A2
u 2 1
(u) ,
(2.40)
65
2
где обозначено (u)  1 при u 2  1 и (u)  sin[ M u    / 4] при u 2  1 . Используя соотношение (2.40) и формулы (2.33), (2.34) и (2.37), можно проследить, как
меняется распределение энергии колебания по координате x в магнитосфере и
солнечном ветре при изменении параметра v. Примеры такого распределения
для моды с номером n при четырех характерных значениях этого параметра:
v  un1, v  un1, v  un , v  приведены на рис. 19.
Рис. 19. Распределение энергии колебаний вдоль координаты x для различных значений v:
a — v  un1  (для верхней ветви энергия колебаний в солнечном ветре положительна), b —
v  un1 (колебания обоих ветвей отсутствуют), с — v  un (энергия колебаний в солнечном
ветре отрицательна, а кривые для нижней и верхней ветвей совпадают), d — v   (энергия
колебаний в солнечном ветре отрицательна и кривые для нижней и верхней ветвей отличаются). Используются следующие обозначения (1) область Альфвеновского резонанса (2) область магнитосферного БМЗ волновода (3) область солнечного ветра.
Представляет также интерес соотношение между полными энергиями,
содержащимися в трех существенных для рассматриваемого явления областях —
66
солнечном ветре, БМЗ-резонаторе и окрестности альфвеновского резонанса.
Из выражений (2.35), (2.37) и (2.40) для отношения энергии в солнечном ветре
и резонаторе имеем






2
2
2
2
 v Re w w 1  w 1 u  u A
EW
1


qWR 


(u) .

ER ug (u)Re    w2
2
2 w2
u 1
Известные нам свойства функций u  un (v), w  wn (v),   n (v) позволяют
проанализировать для n-й моды поведение функции qWR  qWR (v) . Ее схематический график приведен на рис. 20. Отношение энергии в солнечном ветре и
резонаторе велико и слабо зависит от значения v.
Рис. 20. График функции qWR (v) — отношение полной энергии колебаний в солнечном
ветре к полной энергии колебаний заключенных в волноводе. Кривые для верхней и нижней
ветвей совпадают в интервале un1  u  un .
2.3.
Заключение к Главе 2
Перечислим основные результаты, полученные в Главе 2.
1. Исследовано влияние неустойчивости Кельвина–Гельмгольца и альфвеновского резонанса на пространственно-временную структуру собственных мод
БМЗ-волновода во внешней магнитосфере. Получены аналитические выражения, описывающие инкремент неустойчивости собственных мод как функцию
параметров среды и компонент волнового вектора колебаний.
2. Показано
что
значение
67
инкремента
неустойчивости
Кельвина–
Гельмгольца в разных областях магнитосферного волновода определяется в основном изменением скорости солнечного ветра вдоль волноводного канала —
от нулевого значения в лобовой (застойной) области до максимальных значений на далеких флангах. С учетом альфвеновского резонанса инкремент в лобовой области становится отрицательным, то есть фактически является декрементом затухания. При движении к флангам магнитосферы достигается область, где инкремент равен нулю. Она соответствует области прозрачности для
колебания в солнечном ветре. При дальнейшем продвижении, начиная с некоторой пороговой точки, инкремент становится положительным и достигает
максимума в точке, где скорость солнечного ветра равна фазовой скорости колебания вдоль волновода.
3. Определены пространственная структура волн в солнечном ветре и в
магнитосфере, а также плотности заключенной в них энергии. Имеются три основные области локализации волновой энергии — солнечный ветер, магнитосферный БМЗ-резонатор и область альфвеновского резонанса. Для типичных
значений магнитосферных параметров энергия, локализованная в окрестности
альфвеновского резонанса много больше, чем энергия, заключенная в резонаторе,
а их отношение практически не зависит от скорости солнечного ветра. Таким
образом, наличие альфвеновского резонанса принципиально важно для всей
картины явления. Это тем более важно потому, что именно альфвеновские колебания, сгенерированные на резонансных поверхностях, могут достигать поверхности Земли. Отношение волновой энергии, заключенной в магнитосферном резонаторе и в солнечном ветре существенно зависит от скорости солнечного ветра
(рис. 20). Отметим две важные точки на графике. На границе области неустойчивости указанное отношение равно нулю — колебание в солнечном ветре отсутствует. В области, где расположен максимум инкремента, энергии колебаний,
заключенных в резонаторе и в области солнечного ветра, равны по модулю, но
различаются по знаку (энергия волны в солнечном ветре отрицательна).
68
Глава 3
Возбуждение собственных мод МГД-волновода
гидромагнитными волнами,
проникающими из солнечного ветра
Проникновение гидромагнитных волн из солнечного ветра в магнитосферу
является одним из основных механизмов возбуждения в ней гидромагнитных
колебаний. Достаточно твердо установлено, что таким способом возбуждаются
геомагнитные пульсации Рс3, практически постоянно существующие в дневной
магнитосфере [Gugliemi, 1974; Гульельми, 1976; Potapov, 1994]. Имеются веские основания считать, что колебания Pc5 на флангах магнитосферы также
проникают из солнечного ветра [Stephenson and Walker, 2010a, 2010b; Kepko,
2002]. К этому же классу можно отнести и пульсации, возникающие в результате
событий SSC (storm sudden commencement) [Baumjohann et al., 1984; Lysak and
Lee, 1992; Fujita and Tanaka, 2006].
Замечательной особенностью явления отражения волн от магнитопаузы
является возможность сверхотражения. При сверхотражении отрицательная
энергия, уносимая отраженной волной больше (по модулю), чем отрицательная
энергия падающей волны. В результате энергия поступает в магнитосферу
[Mann and Wright, 1999; Leonovich, et. al. 2003; Walker, 2005; Kozlov, 2010].
На процесс проникновения гидромагнитных волн в магнитосферу и отражения от нее решающее влияние оказывают следующие три обстоятельства.
1. Внешняя часть магнитосферы Земли, как в ее лобовой области, так и на
флангах, обладает свойствами МГД-волновода [Wright and Mann, 2006]. Уже
давно указывалось на тот факт, что этот волновод может играть роль своеобразного фильтра Фабри-Перо, пропуская волны из солнечного ветра только на
собственных частотах волновода [Kuo, et. al., 1987; Pilipenko, 1990].
2. В глубине магнитосферы имеется альфвеновский резонанс — резкое
усиление поля колебания в окрестности той магнитной поверхности, на которой
69
частота колебания равна собственной альфвеновской частоте [Mann, 1995]. Поглощение энергии колебаний в этой окрестности является главным механизмом
диссипации в бесстолкновительной магнитосфере [Mazur et. al., 2001, 2010].
3. Движение солнечного ветра приводит к допплеровскому сдвигу частоты
волны в системе отсчета солнечного ветра относительно ее частоты в системе
отсчета магнитосферы. В результате эти частоты могут оказаться разных знаков, и тогда волна в солнечном ветре будет иметь (в системе отсчета магнитосферы) отрицательную энергию [Ландау и Лифшиц, 1986], что приводит к явлению сверхотражения такой волны [McKenzie, 1970].
Описанный круг вопросов был предметом теоретического изучения в ряде
работ [Walker, 1998, 2000a, 2005], в которых использовались идентичные, одномерно-неоднородные модели среды, отражающие ее стратификацию по нормали к магнитопаузе.
В работе [Walker, 1998] задача об отражении и проникновении волны решена для покоящегося солнечного ветра и в пренебрежение альфвеновским резонансом, т. е. учтен только первый из перечисленных выше факторов. Поскольку поглощение энергии в этом случае отсутствует, то амплитуды отраженной и падающей волн равны, поток энергии волны в магнитосферу отсутствует. При отражении происходит только изменение фазы волны. Вместе с тем
амплитуда прошедшей волны, т. е. амплитуда колебаний в волноводе демонстрирует резонансную зависимость от частоты волны — эта амплитуда максимальна на собственных частотах волновода.
Влияние альфвеновского резонанса на колебания в волноводе было изучено в работе [Walker, 2000a]. Было показано, что коэффициент отражения от
внутренней границы волновода по модулю меньше единицы, что является естественным следствием поглощения волны в альфвеновском резонансе. Но вопрос о влиянии этого эффекта на процесс отражения волны от магнитопаузы в
этой работе не ставился. Собственно, волна в области солнечного ветра вообще
не рассматривалась (можно сказать, что игнорировался третий из перечисленных выше факторов).
70
Наконец, в работе [Walker et al., 2005] задача решалась с учетом всех трех
факторов. Но исследование, осуществленное в этой работе никак нельзя считать исчерпывающим. В частности, не изучена зависимость коэффициентов отражения и проникновения от скорости солнечного ветра — все вычисления
сделаны для одного его значения. В отношении зависимости этих коэффициентов от частоты волны также имеется ряд вопросов. В указанной работе был
сделан акцент на изучении этих коэффициентов как функций комплексной частоты. Такое исследование представляет большой математический интерес, но
из его результатов трудно усмотреть поведение коэффициентов для вещественных значений частоты (которые в задаче о падении волны только и представляют
интерес с физической точки зрения). В частности не указано на наличие явления
сверхотражения. Это вызывает удивление, так как в другом контексте и для другой задачи Walker подробно изучает явление сверхотражения [Walker, 2000b].
В более поздних работах [Мазур, 2010, 2011] для неподвижного солнечного
ветра решалась та же задача и в рамках вполне аналогичной модели среды. Но,
в отличие от работ [Walker, 1998, 2000a, 2005], где применялись численные методы, в работах [Мазур, 2010, 2011] дано аналитическое решение задачи. Для
всех представляющих интерес величин получены аналитические формулы, позволяющие проанализировать зависимость свойств решения от всех существенных
параметров. В работе [Мазур, 2010] рассмотрены монохроматические волны —
волны с заданной частотой. В следующей работе [Мазур, 2011] на этой основе
рассмотрены широкополосные стохастические колебания и нестационарные
колебания (например, падающий на магнитосферу волновой импульс).
В настоящей Главе задача о падении и отражении волны решается с использованием той же одномерно-неоднородной модели среды (см. рис. 2.) и с учетом
всех трех указанных выше факторов. Задача решается аналитически. Коэффициенты отражения и поглощения исследуются как функции двух параметров — частоты волны и скорости солнечного ветра. Описывается явление сверхотражения
и обсуждается его связь со знаком энергии волны в солнечном ветре.
71
3.1. Задача о падении и отражении волны
3.1.1. Основные уравнения
Легко убедиться, что уравнение (1.1) имеет важный для дальнейшего интеграл
Sx  i
  d *  * d   .
dx 
402A  dx
(3.1)
Можно показать, что эта величина есть проекция на ось x вектора потока
энергии волны


S  c  E B   pv .
4  
Величина Sx не зависит от x, и, в частности, имеет одно и то же значение в
солнечном ветре и магнитосфере.
Решение (1.6) описывает функцию
( x)
в области прозрачности
xR  x  xM , где xR  xR (u) — точка поворота, определяемая уравнением
kx2 ( x,u)  0 . Эта точка существует в магнитосфере, если u 2  1 . Параметр  A
обусловлен диссипацией колебания в точке альфвеновского резонанса
xA  xA (u) , определяемой уравнением q2 ( x,u)  0 . Эта точка существует в маг-
нитосфере, если u2  uA2  kz2 / kt2 , и лежит в области непрозрачности, xA  xR .
В выражении (2.12) подразумевается, что частота волны   0 . Если явно
учесть зависимость от времени, это выражение можно записать в виде
1/2
C  q2 ( x, u) 
( x, t )  M 
[ei t i( x,u) A  ei t i( x,u ) A ] .


2i  kx ( x, u) 
(3.2)
Первый член в квадратной скобке есть волна, падающая на точку отражения xR, а второй — волна, отраженная от нее. Коэффициент отражения, т. е.
2
отношение амплитуд отраженной и падающей волн равен e A  (1 2 A ) .
Но если частота  0 , то падающей волной является второй член в квадратной
скобке, а отраженной — первый. В таком случае коэффициент отражения равен
e2 A  (1 2 A ) . Изменение знака частоты означает изменение знаков фазовой
скорости по осям y и z. От этих знаков коэффициент отражения волны от точки
72
поворота xR зависеть не может. Следовательно, мы должны считать, что при
изменении знака частоты меняется знак величины  A :
 A (u)   A (u) .
(3.3)
Сделаем еще одно важное замечание по этому поводу. Падающую и отраженную волну мы различали по направлению фазовой скорости по оси x:
v ph   / kx . Но с физической точки зрения такое различение следует проводить
по направлению групповой скорости vgx , которая в случае неоднородной среды
определяется соотношением
1  kx ( x, ) .
vgx

Именно с групповой скоростью переносится энергия волны и движется
ограниченный волновой пакет, представляющий собой суперпозицию плоских
волн. Но в конкретном случае в магнитосфере распространяются БМЗ-волны, а
для них направления фазовой и групповой скоростей совпадают.
Решение в области непрозрачности будет нужно только в том случае, когда
области прозрачности в магнитосфере нет, т. е. при u 2  1. В пренебрежение
диссипацией в альфвеновском резонансе это решение имеет вид
M ( x, u)  CM
q2 ( x, u)
kx ( x, u)
1/2
 xM
exp 
 x


kx ( x, u) dx .

(3.4)
Поправка к этому решению, обусловленная альфвеновским резонансом
имеет довольно сложный характер [Мазур, 2010]. Как мы увидим, она не имеет
существенного значения в нашей задаче. Поэтому мы ее рассматривать не будем. Отметим только, что эта поправка полностью отсутствует при u 2  u 2A ,
когда в магнитосфере нет альфвеновского резонанса.
Даже при выполнении условия применимости приближения ВКБ,
kt lM  1, решения (2.12) и (3.4) неприменимы в малых окрестностях точки
поворота и точки альфвеновского резонанса, определяемых неравенствами
x  xR  (kt lM )2/3, x  xA  k y1 .
(3.5)
73
Но статус этих точек различен. Точка поворота xR является особой для решения в рамках приближения ВКБ. У точного решения никакой особенности в
этой точке нет и его можно аналитически продолжить из области прозрачности
в область непрозрачности, в которой оно, достаточно далеко от точки поворота,
переходит в ВКБ-решение вида (3.5). Другое дело — точка альфвеновского резонанса. Она является особой точкой исходного уравнения и для решения ( x)
является точкой ветвления. Как хорошо известно [Budden, 1961; Арцимович и
Сагдеев, 1979; Chen and Hasegawa, 1974], наличие этой особенности приводит к
неустранимой диссипации энергии в ее окрестности. Для нашей модели и в используемых здесь обозначениях этот вопрос рассмотрен в работе [Мазур, 2010].
В области солнечного ветра решение может быть записано в виде
  W ( x, w,R)  CW exp iq(w)( x  xM )  T exp iq(w)( x  xM )  .


(3.6)
Здесь CW — амплитуда возмущения в солнечном ветре, w   / kt cS ,   k yVW , и
q2 (w)  2  kt2  kt2 (w2 1) .
cS
2
(3.7)
Первый член в (3.6) описывает падающую волну, второй — отраженную,
таким образом, T — комплексный коэффициент отражения. Волновой вектор по
оси x для падающей волны kx  q , а для отраженной kx  q . Соотношение (3.7)
определяет величину q2, но как выбрать знак q?
Как было отмечено выше, падающая и отраженная волны определяются
направлением групповой скорости по оси x. В падающей волне групповая скорость должна быть направлена к магнитопаузе, а в отраженной волне — от
магнитопаузы. Поскольку q2  kx2 , то, сделав такую замену в соотношении (3.7),
легко получаем
kc
vg    x S .

kx
2
(3.8)
Групповая скорость отраженной волны должна быть положительна, vg  0 .
Это означает, что для нее kx имеет тот же знак, что и  . Таким образом,
q(w)  kt w2 1,   sign sign w .
(3.9)
74
К сказанному добавим следующее. Из равенства (3.8) легко получить соотношение
vg v ph   cS2 , vg   , v ph   .

kx
kx
(3.10)
Отсюда видно, что знаки групповой и фазовой скоростей по оси x совпадают, если знаки ω и  совпадают, и знаки этих скоростей противоположны,
если противоположны знаки ω и  . Заметим также, что знаки ω и  совпадают
со знаками u и w соответственно.
3.1.2. Определение коэффициента отражения
Плотность энергии звука в неподвижной системе отсчета магнитосферы
[Ландау и Лифшиц, 1986]:
E   E0 ,

(3.11)
где E0 — плотность энергии волны в системе отсчета солнечного ветра, которая
в настоящих обозначениях дается формулой
2

.
E0 
2W cS2
(3.12)
Таким образом, плотность энергии волны положительна, если знаки ω и 
совпадают, и отрицательна, если они противоположны.
Подставляя в выражение для потока энергии волны (3.1) решение (3.5), получаем
2
Sx  SW (1 T ), SW  vg E .
(3.13)
2
Очевидно, что SW — падающий на магнитосферу поток энергии, а T SW —
отраженный поток. Тем самым, величина R  T
2
есть коэффициент отражения
потока энергии, Q  1 R есть доля падающего потока, проникающего в магнитосферу, которую можно назвать коэффициентом поглощения, а величина QSW —
мощность накачки магнитосферного волновода. Величину падающего потока
можно представить в виде
75
SW  vg E 
2
2
1
u (w) CW , (w)   w2 1 .
2W cS
w
(3.14)
Из этого выражения видно, что SW  0 , если u и w одного знака, и SW  0 ,
если их знаки противоположны. Впрочем, это ясно из предыдущего, каков знак
плотности энергии, таков и знак потока энергии.
Функция (w) играет важную роль. График этой функции изображен на
рис. 21. Отметим ее важные для дальнейшего свойства: функция (w) определена для w2  1 , она ограничена по модулю, (w)  1/ 4 и ее знак совпадает со
знаком аргумента w.
Рис. 21. График функции χ.
В соответствии с изложенным выше, плоскость (u, v) разбивается на четыре
области, различающиеся знаками u и w  (u  v) /  (см. рис. 22). В областях I и
III фазовая скорость волны по оси  / k y и скорость ветра V направлены в одну
сторону, но скорость волны по модулю меньше скорости ветра. Будем называть
такую волну отстающей. В областях II и IV скорости волны и ветра либо
направлены в разные стороны, либо — в одну сторону, но тогда скорость волны
по модулю больше, чем скорость ветра. В обоих этих случаях будем называть
волну опережающей. Таким образом, опережающие волны имеют положительную плотность энергии и направления фазовой и групповой скоростей по оси x
у них совпадают, а отстающие волны — это волны с отрицательной энергией и
направления указанных скоростей у них противоположны.
76
Рис. 22. Характерные области на плоскости (u, v) . Знаки  и  противоположны в областях 1 и 3 и совпадают в областях 2 и 4. Полоса 5 соответствует области непрозрачности.
Кроме того, на плоскости (u, v) можно выделить полосу между прямыми
u v   , внутри которой w2  1 , т. е. при таких значениях параметров u, v
волна не может распространяться в солнечном ветре.
Условие сшивки на магнитопаузе для рассматриваемой задачи можно
представить в виде
f M (u)  fW (w, T ) ,
(3.15)
где
k  ( x ,w,T)
k  ( x , u)
f M (u)  2 (u 2  u 2A ) t M M , fW (w,T)  w2 t W M
. (3.16)

M ( xM , u)
W
 (xM ,w,T)
Функцию fW (w,T ) находим, подставляя в определение (3.16) решение (3.6):
fW (w,T )  i 1 1 T .
(w) 1 T
(3.17)
Использование этого выражения в уравнении (3.15) позволяет найти комплексный коэффициент отражения:
77
1 if M (u)(w)
,
T  T (u, w)  
1 if M (u)(w)
(3.18)
Для функции f M (u) введем обозначения:
f M (u)  (u)tg  M (u)  i A  , при u 2  1 ,
(3.19)
f M (u)  (u) при u 2  1.
(3.20)
Здесь обозначено M (u)  ( xM ,u) и
(u)  2

u 2  u A2
u 2 1
.
(3.21)
При этом можно показать, что максимальное значение функции (u)
max (u) ~ (kt lM )1/3 .
3.2.
(3.22)
Проникновение волн в магнитосферу
3.2.1. Исследование коэффициента отражения
Исследуем величину R  T
2
— коэффициент отражения потока энергии,
который далее будем называть просто коэффициентом отражения. Коэффициент отражения R является функцией параметров, определяющих волну —
, k y , kz и функцией (или, правильнее сказать — функционалом) модели среды,
в частности, таких ее параметров, как V , cAM , cS . Ясно, что дать обозримое исследование функции столь большого числа переменных практически невозможно. Поэтому мы ограничимся изучением величины R как функции двух переменных — частоты волны ω и скорости солнечного ветра V. Все остальные
параметры будем считать фиксированными.
Такой выбор обусловлен тем, что диапазоны изменения величин ω и V
наиболее широкие. На магнитосферу из солнечного ветра падает широкий
спектр гидромагнитных волн в интервале частот 10–3–1 Гц [Застенкер, 2008].
Скорость ветра на границе магнитопаузы меняется от нулевого значения в застойной лобовой области до максимальных значений порядка 500 км/с на дальних флангах магнитосферы [Застенкер, 2008]. Остальные параметры меняются
78
в существенно меньших пределах. Так, характерные значения cAM и cS могут
меняться не более чем в 2–3 раза. Волновые векторы ky и kz для интересующих
нас волн, способных проникнуть в магнитосферу, также не могут меняться в
слишком широких пределах. Соответствующие длины волн не должны быть
больше поперечного сечения магнитосферы, но и не могут быть слишком малы
по сравнению с ней.
Впрочем, зависимость от ky представляет большой интерес и служит предметом исследования во многих из перечисленных выше статей. По этому поводу
скажем следующее. В полученных ниже аналитических формулах содержится,
естественно, зависимость от всех параметров задачи. При необходимости зависимость от каждого из них, в том числе и от ky, можно из этих формул «извлечь» и
проанализировать. Но в настоящей работе мы, как уже было сказано, ограничимся
зависимостью от двух переменных ω и V. Точнее, будем использовать введенные
выше безразмерные величины u и v. Таким образом, будем полагать R  R(u, v) .
Из выражения (3.18) получаем
2
R(u, w) 
1 2 (w) f M (u)  2(w)Im f M (u)
1 2 (w)
2
f M (u)  2(w)Im f M (u)
(3.23)
Если Im f M (u)  0 , то R=1. Это вполне естественно — равенство
Im f M (u)  0 означает, что диссипация энергии в магнитосфере отсутствует, сле-
довательно, отражение от нее должно быть полным. Именно так обстоит дело для
значений u 2  u 2A , когда в магнитосфере нет альфвеновского резонанса. В интервале u2A  u2  1 величина Im f M (u) не равна нулю, но мала по сравнению с
Re f M (u) , при этом коэффициент отражения R мало отличается от единицы.
Более интересно поведение коэффициента отражения в области u 2  1 , где
применимо выражение (3.19). Используя формулу
tg ( M  i A ) 
tg  M  i A
,
1 i Atg  M
приводим выражение для R к виду
79
2
2
(1 AW
M  ( A W ) sin  M ,
R
(1 AW )2 cos2  M  ( A W )2 sin 2  M
)2 cos2 
(3.24)
где введено обозначение
W  (u)(w) .
(3.25)
Соответствующее выражение для коэффициента поглощения имеет вид
Q  1 R 
(1 AW
4 AW
.
2 sin 2 

(


)
M
W
M
A
)2 cos2 
(3.26)
Из соотношения (3.24) ясно видно, что R  1 если  A и W одного знака, и
R  1 если их знаки различны. Знак функции  A (u) совпадает со знаком аргу-
мента u, а знак функции W (u, w) — со знаком аргумента w, так как при u 2  1
множитель (u) положителен. Из этого следует, что знаки величин  A и W
совпадают в областях II и IV на рис. 22, а в областях I и III их знаки противоположны. Таким образом, отражение опережающей волны является частичным —
амплитуда отраженной волны меньше, чем падающей, а отстающая волна испытывает сверхотражение, при котором амплитуда отраженной волны больше чем
падающей. Сверхотражение имеет место для волн с отрицательной энергией.
Для экспериментального установления факта сверхотражения волны был
разработан метод анализа двух одновременных FLR (field line resonance —
резонанс силовых линий или альфвеновский резонанс) возбуждённых разными
гармониками [Wright and Rickard, 1995]. Так, если два одновременных FLR
имеют одинаковую фазовую скорость меньшую разности скоростей сдвигового
течения солнечного ветра и скорости звука в солнечном ветре, и при этом скорость сдвигового течения больше суммы скоростей Альфвена в магнитосфере и
звука в солнечном ветре, то волна, возбудившая данные FLR испытала сверхотражение. С помощью такого метода за сутки было обнаружено 7 событий сверхотражения в вечернем и 2 события в утреннем секторе магнитосферы [Mann
and Wright, 1999].
Соотношение (3.24) можно несколько упростить, используя следующее
соображение. В выражении для функции W (u, w) имеется два множителя. Пер-
80
вый из них, (u) , ограничен оценкой (3.22). Второй — неравенством
(w)  1/ 4 . На основании этого можно считать, что W  1, если величина kt lM
не слишком велика, скажем kt lM  50 . Последнее условие выполняется для всех,
представляющих интерес колебаний. Далее мы будем считать неравенство
W  1 выполненным. Но тогда, пренебрегая величиной  AW  1 , соотноше-
ние (3.24) можно записать в виде
cos2  M  ( A W )2 sin 2  M
,
R
cos2  M  ( A W )2 sin 2  M
(3.27)
и соответственно
Q
4 AW
.
cos2  M  ( A W )2 sin 2  M
Это выражение можно преобразовать к виду:
Q
4 AW

S ,
 k yV ( A W )2  (n )2 W
(3.28)
где
W  W ,  A   A .
Для исследования функции R  R(u, v) проанализируем ее зависимость от
переменной v вдоль прямых u  const и зависимость от переменной u вдоль
прямых w  const , т. е. вдоль прямых u  v  w . Последнее сделать технически
проще, чем изучать ее на прямых v  const . В целом такой анализ даст нам достаточно полное представление об указанной функции или, говоря другими
словами, о рельефе поверхности R  R(u, v) .
Вдоль прямых w  const функция (w) постоянна. Основная зависимость R
от u вдоль этих прямых описывается функциями cos2  M (u) и sin2  M (u ) .
Зависимости функций  A (u) и W (u, w) от u гораздо слабее. Рассмотрим зависимость R от u вблизи точек un и un . Для того, чтобы иметь возможность рассматривать и отрицательные значения u, будем считать, что индекс n может
пробегать как положительные, так и отрицательные целые числа. Положим
81
un  un и un  un . Заметим, что при этом приходится различать u0  u0 и
u0  u0 . Далее мы будем считать, что индекс n может быть как положитель-
ным, так и отрицательным целым числом.
Вблизи точки u  un имеем
2 )2 (u  u )2 ] .
R  1 4 AW [1 (1W
n
n
(3.29)
Коэффициент отражения мало отличается от единицы. Для опережающей
волны этот коэффициент несколько меньше единицы, а для отстающей — несколько больше единицы. И это имеет место в достаточно широком интервале
u  un  n1 , размер которого порядка расстояния до соседних точек un и un1 .
При u  un  n1 имеем
R
2 )2 (u  u )2
( A W )2  (1W
n
n
.
2
2
2
( A W )  (1W )n (u  un )2
(3.30)
Это выражение в точке u  un имеет экстремум, равный
R(un ) 
( A W )2
.
( A  W )2
(3.31)
Для опережающей волны это минимум, а для отстающей — максимум.
Характерная ширина соответствующей впадины для опережающей волны, или
пика для отстающей, равны
un 
 A  W
2
n 1W
.
(3.32)
Особенно ярко резонансные свойства коэффициента отражения проявляются при W  1 . Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство (w)  1 . Как видно из рис. 21, это возможно в двух случаях. Либо при
w  1 , т. е. достаточно далеко от полосы непрозрачности на плоскости (v, u) .
Либо при w 1  1 , т. е., наоборот, очень близко к этой полосе. В частности,
при «неподвижном» солнечном ветре, когда v=0, для значений u 2  1 имеем
w  u /   1.
82
При W  1 глубина впадины в коэффициенте отражения опережающей
волны может быть порядка единицы, а ширина этой впадины много меньше,
чем расстояния до соседних точек un1 и un . Это означает, что коэффициент поглощения имеет в точке u  un узкий и высокий пик (Q ~1) . Поглощение имеет
ярко выраженный резонансный характер.
При w  1 , т. е. в сравнительно узких полосах u  v   , значение величины
W  1. Тогда выражение (3.27) мало меняется, оставаясь близким к единице.
Рисунок 23 иллюстрирует результаты приведенного анализа изменения
функции R  R(u, v) вдоль прямых u  v w для четырех характерных значений
величины w.
Рис. 23. Зависимость коэффициента отражения от u вдоль прямых u  v  w для четырёх значений w: a — 1.07, b — 1.41, c — 7, d — 7.
Перейдем теперь к изучению функции R  R(u, v) при постоянных значениях u.
Интерес представляют только значения u близкие к un . Для остальных значений
83
u коэффициент отражения мало отличается от единицы. Выражение для коэффициента отражения при u  un дается соотношением (3.30). Это выражение
существенно отличается от единицы, если W  1 . Для таких значений W
представим его в виде
R(u, v) 
[(un )(w)  A (un )]2  n2 (u  un )2
, w  u v .
2
2
2

[(un )(w)  A (un )]  n (u  un )
(3.33)
Принимая во внимание определение (3.14) для функции (w) , видим, что зависимость этого выражения от параметра v является хотя и громоздкой, но элементарной функцией, и ее исследование также возможно элементарными средствами.
Ограничимся только указанием на ключевые моменты такого исследования.
Если рассматривать выражение (3.33) как функцию переменной χ, то оно
имеет экстремумы в точках
  m , m 
2A (un )  n2 (u  un )2
.
(un )
(3.34)
При un  0 , когда  A (un )  0 , в точке   m находится минимум, а в точке
  m — максимум. Если же un  0 , то они меняются местами. Значения в
экстремумах
Rmin 
Rmax 
2A (un )  n2 (u  un )2   A (un )
2A (un )  n2 (u  un )2   A (un )
2A (un )  n2 (u  un )2   A (un )
,
.
2A (un )  n2 (u  un )2   A (un )
Именно таковы минимальное и максимальное значения коэффициента отражения, достигаемые им на прямой u  const . Но при каких значениях v они
достигаются?
Поскольку m  1 , то уравнение (w)  m имеет решения при таких значениях w, при которых (w)  1 . В таких областях можно использовать предельные выражения
(w)  1/ w , при w  1 ;
84
(w)   2( w 1) , при w 1  1 .
С помощью этих выражений легко найти решения упомянутого уравнения,
а затем соответствующие значения v. В результате получаем две пары решений:
v  u 1 и v  u 2 , где

1  1

2A (un )  2n (u  un )2 
(un )
.
, 2 

2
2 (u )  2 (u  u )2
2 (un )

n
n

A n
(3.35)
Обе величины 1, 2   , но при этом 1    , а 2   . Нетрудно
убедиться, что при u  0 в точках v  u 2 и v  u 1 коэффициент отражения
имеет минимумы, равные Rmin, а в точках v  u 1 и v  u 2 — максимумы
равные Rmax. Если u  0 , выражения для координат максимумов и минимумов
меняются местами.
На рис. 24 изображены графики зависимости R(u, v) от v при u равном un .
Рис. 24. График функции R  R(un , v) для n  1 . Отрезок (u1 , u1  ) соответствует области непрозрачности, в которой функция R  R(un , v) не определена.
85
Особый интерес представляет случай u  un . Тогда
 (u )(w)  (u ) 
n
A n 
R(un , v)  


(
u
)

(
w
)


n
A (un ) 

Экстремумы
этой
функции
2
, w  u v .

находятся
в
точках
(3.36)
v  un 1(un )
и
v  un 2 (un ) , где

2A (un ) 

1(un )  1 2
,
2 (un ) 

2 (un ) 
(un )
.
 A (un )
(3.37)
При этом значение в минимуме Rmin=0, а в максимуме Rmax=∞. Величина
Rmin=0 означает, что падающая волна (энергия которой положительна) полностью поглощается магнитосферой. После этого поглощенная энергия диссипирует в окрестности альфвеновского резонанса.
Величина Rmax=∞ означает, что бесконечным является отношение амплитуд
отраженной и падающей волны. Но такой факт следует трактовать как отсутствие
падающей волны при конечной амплитуде отраженной, т. е. убегающей волны
(напомним, что убегание определяется по направлению групповой скорости). Колебание, в котором нет падающей волны, есть собственное колебание системы.
Таким образом, уравнение R(u, v)   определяет собственные колебания системы.
Этот факт хорошо известен в теории распространения и отражения волн.
Вместо уравнения R(u, v)   удобнее использовать уравнение T (u, v)   .
Его можно трактовать как дисперсионное уравнение, которое определяет дискретный набор комплексных собственных частот u  un (v) . Значения u, в которых комплексный коэффициент отражения T обращается в бесконечность, это,
вообще говоря, его полюса, т. е. нули знаменателя в выражении (3.18). Таким
образом, дисперсионное уравнение может быть записано в виде
f M (u)  i 1 , w  u  v .

(w)
Это именно то дисперсионное уравнение, решения которого исследовались
в Главе 2, посвящённой неустойчивости Кельвина–Гельмгольца в рассматриваемой системе.
86
Главным результатом этого исследования является определение зависимости u  un (v) . На рис. 14 изображены графики Re un (v) и Imun (v) . Из этого рисунка видно, что каждая мода в действительности расщепляется на две ветви,
которые были названы нижней и верхней. Обе ветви, вообще говоря, комплексны. Верхняя ветвь является затухающей при всех значениях v. Нижняя ветвь
может быть как неустойчивой, так и затухающей. Колебания, имеющие мнимую часть частоты, не соответствуют задаче о падении и отражении волны. В
такой задаче, в соответствии с ее постановкой, частота вещественна.
Но в двух точках v1  un 1(un ) и v2  un 2 (un ) мнимая часть частоты
нижней ветви обращается в нуль. Одна из этих точек v2  un 2 (un ) . В этой
точке
Re un (v2 )  un . То есть частота колебания
un (v2 )  un . Поскольку
2 (un )   , то точка (v2 , un ) на плоскости (v, u) лежит вне полосы непрозрачно-
сти. Таким образом, собственная мода с параметрами (v2 , un ) представляет собой в солнечном ветре распространяющуюся волну. Поэтому в точке (v2 , un )
коэффициенты отражения T и R обращаются в бесконечность.
Вторая точка v1  un 1(un ) отвечает моде u  un1(v) , номер которой на
единицу больше. В этой точке un1(v1)  un , т. е. эта точка тоже лежит на прямой
u  un , находится вне полосы непрозрачности (т. к. 1   ) и соответствует соб-
ственной моде (с номером n1 ). Поэтому в точке (v1, un ) коэффициенты отражения T и R также обращаются в бесконечность.
На рис. 25 приведено изображение в трехмерном виде рельефа функции
R(u, v) , которое еще раз демонстрирует известные свойства этой функции.
87
Рис. 25. Трехмерный график функции R(u, v) .
3.2.2. Поток энергии и мощность накачки
В предыдущем разделе установлено, что опережающие волны, энергия которых положительна, отражаются от магнитопаузы частично: R  1, а отстающие волны, обладающие отрицательной энергией, испытывают сверхотражение: R  1 . Но в обоих случаях энергия, поступающая в магнитосферу, положительна. Для опережающих волн это очевидно. Для отстающей волны энергетический баланс подводится так: из потока энергии падающей волны нужно вычесть поток энергии отраженной волны. Этот баланс также положителен.
Поток энергии, проникающий в магнитосферу, можно трактовать как мощность накачки магнитосферного волновода. Эта мощность дается выражением
S  QSW .
(3.38)
Для опережающих волн оба сомножителя в этой формуле положительны, а
для отстающих — отрицательны. Подставляя в выражение (3.38), соотношения
(3.14) и (3.28), приводим его к виду
S
2
2u AW 
C
.
W cS [cos2  M  ( A W )2 sin 2  M ] W
(3.39)
Для характеристики эффективности проникновения волны с данной частотой
в магнитосферу введем безразмерный коэффициент p  S / S0 , где S0 — поток
88
энергии падающей волны в системе отсчета солнечного ветра. Последний можно
найти исходя из того, что групповая скорость волны по оси x в обеих системах отсчета одинакова, а плотности энергии связаны соотношением (3.11). Отсюда
S0  vg E0 
1
2W cS
2
w(w) CW .
(3.40)
Как и должно быть, этот поток зависит только от параметров солнечного
ветра и частоты волны в системе отсчета солнечного ветра  w / kt cS . Из (3.39)
и (3.40) имеем
4 AW
.
p u
 w cos2   (  )2 sin 2 
M
W
M
A
(3.41)
Выше было показано, что существенное проникновение волн в магнитосферу имеет место только в случае u  un и W  1 . Тогда из (3.41) имеем
4 A (un )W (un ,w )
p(u, v)  un
, w  un  v .
 w [ (un )  (un , w)]2  n2 (u  un )2

W
A
Это выражение можно проанализировать точно так же, как и (3.33) для коэффициента отражения R(u, v) . Не вдаваясь в детали такого исследования, приведем график мощности накачки p.
Рис. 26. Трехмерный график функции p(u, v) .
Явление сверхотражения имеет место не только для волн, падающих на магнитопаузу извне — из солнечного ветра, но и для волн, падающих на магнитопаузу
изнутри — из магнитосферы. Ограничиваясь случаем  0 , решение (3.2) можно
89
трактовать как суперпозицию волны, падающей на магнитопаузу (второе слагаемое), и волны, отраженной от нее (первое слагаемое). Коэффициент отражения
R  T  e4 A  1 4 A  1, то есть имеет место сверхотражение. Такой вывод вполне
2
естественен. Амплитуда волны, распространяющейся в магнитосфере в отрицательном направлении, больше, чем амплитуда волны, распространяющейся в положительном направлении. Это свойство можно трактовать как частичное отражение
от точки поворота xR , либо как сверхотражение от магнитопаузы x  xM .
Подставляя решение (2.12) в формулу (3.1), получаем
2
2
2
Sx  2 CM (e2 A  e2 A )   2 A CM .
2BM
BM
(3.42)
Суммарный поток энергии поперек волновода (по оси x) направлен от магнитопаузы к точке поворота. Эта энергия поглощается при отражении в точке
поворота из-за диссипации в альфвеновском резонансе. А на магнитопаузе она
порождается как результат проникновения энергии волны, падающей из солнечного ветра. Таким образом, внутримагнитосферное «сверхотражение» от
магнитопаузы есть не что иное, как другая трактовка проникновения из солнечного ветра. Мы видели, что энергия, поступающая в магнитосферу, положительна как в случае частичного отражения волн положительной энергии, так и сверхотражения волн отрицательной энергии. Этот факт соответствует тому, что в
магнитосфере во всех случаях имеет место сверхотражение от магнитопаузы.
Как указывалось выше, Sx  const . Приравнивая потоки энергии в солнечном ветре (см. формулы (3.13), (3.14) и (3.27)) и в магнитосфере (3.42), имеем
2
2
4W 
CM  2 1
C
.
W
 kt (1  )2 cos2   (  )2 sin 2 
M
W
M
A W
A
(3.43)
Уровень накачки магнитосферного волновода, определяемый величиной
CM
2
проявляет такую же резонансную зависимость от частоты волны и скоро-
сти ветра, что и мощность его накачки. Вместе с тем необходимо подчеркнуть,
что в отсутствие альфвеновского резонанса, т. е. при  A  0 , мощность накачки
волновода (3.39) равна нулю, но уровень его накачки (3.43) отнюдь не равен ну-
90
лю. Это вполне понятно. При  A  0 отсутствует потеря энергии колебания волновода и для его существования нет необходимости в его постоянной подпитке.
3.3. Заключение к Главе 3.
Перечислим основные результаты, полученные в Главе 3.
1. Показано, что для БМЗ-волн, падающих на магнитосферу из солнечного
ветра появляется возможность их сверхотражения, при котором амплитуда отраженной волны больше, чем падающей: R  1 . Такая возможность реализуется,
если частота волны ω в системе отсчета, связанной с магнитосферой, и ее частота   k yVW в системе отсчета, связанной с солнечным ветром, имеют
разные знаки (см. рис. 4). С физической точки зрения это означает, что фазовые
скорости волны вдоль магнитопаузы в этих системах отсчета имеют противоположные направления. Явление сверхотражения объясняют тем, что энергия
волны, распространяющейся в солнечном ветре, отрицательна. Сверхотражение
имеет место только для волн с отрицательной энергией, волны с положительной энергией испытывает неполное отражение: R  1.
2. Коэффициент отражения БМЗ-волн, падающих на магнитосферу, R(u, v) ,
как функция частоты u, имеет ярко выраженные узкие высокие максимумы или
узкие глубокие минимумы на резонансных частотах u  un . Между ними R(u, v)
мало отличается от единицы (см. рис. 6,9), где un — собственные частоты магнитосферного волновода. Номер собственных мод n пробегает все возможные
целые значения, при этом un  un . Таким образом, в распределении на плоскости (u, v) коэффициент отражения R(u, v) заметно отличается от единицы
только в узких полосах вдоль прямых u  un (рис. 8). R  1 если знак v совпадает
со знаком un и R  1 если их знаки противоположны. В полосе, соответствующей собственной моде с n  0 , коэффициент отражения обращается в бесконечность в двух точках — (un , un 1) , (un , un 2 ) . Это соответствует собственным
модам рассматриваемой системы «магнитосфера–солнечный ветер».
91
3. Для двух значений v  un 1 и v  un 2 функция u  un (v) принимает
вещественные значения u  un . Это означает, что комплексная кривая u  un (v)
проходит через указанные выше точки вещественной плоскости (u, v) . То есть,
в этих случаях собственная мода является волной, распространяющейся в области солнечного ветра. Собственная мода в области солнечного ветра имеет вид
волны, убегающей от магнитосферы.
4. Поток энергии, переносимый в магнитосферу падающими на нее из солнечного ветра БМЗ-волнами, положителен, как при падении волны с положительной энергией, так и волны с отрицательной энергией. Волна с положительной энергией отражается частично, поток энергии, уносимый от магнитосферы
меньше, чем падающий. Волна отрицательной энергии испытывает сверхотражение. Поток уносимый от магнитосферы волной с отрицательной энергией
больше, чем поток отрицательной энергии, приносимый падающий волной.
При этом поток энергии, поступающий в магнитосферу, положителен. Вся поступающая в магнитосферу энергия, в конечном счете, диссипирует в окрестности альфвеновского резонанса. Если точка альфвеновского резонанса находится
глубоко в области непрозрачности, то диссипацией энергии в ней можно пренебречь, и отражение падающей на магнитосферу волны можно считать полным (R  1) . При этом поступление энергии в магнитосферу отсутствует.
92
Глава 4
Распределение энергии колебаний вдоль МГД-волновода
Во всех цитированных в предыдущих разделах работах по теории проникновения волн в магнитосферу и теории неустойчивости Кельвина–Гельмгольца
используются одномерно-неоднородные модели среды, учитывающие неоднородность магнитосферы только поперек магнитных оболочек. Они не позволяют изучать влияние неоднородности вдоль магнитного поля и азимутальной
неоднородности волновода, которые, конечно, существуют в реальной магнитосфере. В работе [Leonovich and Mazur, 2001] рассмотрены собственные БМЗмоды в аксиально-симметричной, дипольно-подобной модели магнитосферы, в
которой плазма и магнитное поле неоднородны поперек магнитных оболочек и
вдоль магнитного поля. С математической точки зрения это двумернонеоднородная модель среды. В работе были определены частоты основных мод
такого волновода и их пространственная структура. Если параметры внешней
магнитосферы соответствуют ее лобовой части, то основные моды волновода
лежат в диапазоне Рс3–Рс4, а для параметров, отвечающих флангам они лежат в
диапазоне Рс5. Область прозрачности (распространения) для собственных мод
в меридиональном сечении качественно совпадает с той, что изображена на
рис. 3. В азимутальном направлении такой волновод, очевидно, однороден.
Настоящая Глава посвящена исследованию роли азимутальной неоднородности, как в распределении параметров самого магнитосферного волновода, так
и условий его накачки неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца или проникновением внемагнитосферных волн [Ghosch, 2009; Thomson at. al., 2001, 2002;
Stephenson and Walker, 2010a, 2010b]. Мы используем модель среды однородную вдоль геомагнитного поля, при этом силовые линии этого поля считаются
прямыми. Таким образом, наша модель неоднородна поперек магнитных оболочек и в азимутальном направлении. Характер неоднородности такой модели в
некотором смысле дополнителен характеру неоднородности модели в работе
[Leonovich and Mazur, 2001]. Мы полагаем, что в совокупности результаты ра-
93
боты [Leonovich and Mazur, 2001] и настоящей работы дают достаточно полное
представление о свойствах реального трехмерно-неоднородного волновода.
4.1. Линейная плотность энергии вдоль волновода
Пусть (, k y , x, y) — спектральная плотность энергии колебаний в волноводе. Это означает, что (, k y , x, y)d dk y dxdydz — энергия, содержащаяся в
интервале частот d , в интервале волновых векторов dk y и в элементе объема
dxdydz . В силу однородности нашей модели по координате z, функция E от нее
не зависит. Кроме того, предполагается, что у волнового вектора kz  N / Lz
фиксировано волновое число N (фактически мы ограничиваемся основной гармоникой N  1 ).
Спектральная плотность удовлетворяет уравнению [Шафранов, 1963]
  divS  2 ,
t
где S  v g  плотность потока энергии. Для рассматриваемой нами стационарной, двумерно-неоднородной модели это уравнение принимает вид
Sx  S y  2 .
x y
Проинтегрируем его по x в интервале (, xM ) . Поскольку при x 
расположена область непрозрачности, то Sx ()  0 и мы получаем
dS  2W  S ( x ) .
x M
dy
(4.1)
Здесь
W  W (, k y , y) 
xM
 (, k y , x, y)dx

— погонная (на единицу длины волновода) спектральная плотность энергии, а S
— интегральный поток энергии по оси y. Поскольку S y  vgy  , а групповая скорость vgy не зависит от x, то S  vgyW . Величина Sx ( xM ) есть плотность потока
энергии по оси x на магнитопаузе. Поскольку в нашей модели ось x направлена от
94
магнитосферы, то Sx ( xM ) есть плотность потока энергии, проникающего в магнитосферу, то есть то, что мы ранее называли мощностью накачки магнитосферного
резонатора Q. Очевидно, что Q  Q(, k y , y) . Итак, уравнение (4.1) принимает вид
d (vgyW )
 2W  Q .
dy
(4.2)
В нулевом порядке по параметру α при заданных значениях ω и y величина
имеет строго определенное (собственное) значение k y  k yn ( y, ) . Это означает, что
W (, k y , y) ~ [k y  k yn ( y, )] .
Заметим, что если имеется интервал непрозрачности (0, yRn ) , то в нем следует полагать W  0 . При ненулевом, но малом значении α спектр по волновому
вектору k y уширяется, но остается узким. При   0 появляются два эффекта —
неустойчивость Кельвина–Гельмгольца и накачка внешними волнами. Первая
приводит к появлению инкремента неустойчивости, что при заданном вещественном значении ω следует трактовать как появление мнимой части волнового
вектора Im k y   / v gy . Наличие мнимой части k y равносильно уширению спектра по k y на величину Im k y . Накачка внешними волнами также приводит к
уширению спектра. Из рис. 26 ясно видна резонансная зависимость мощности
накачки Q от частоты волны. Но при заданной частоте она превращается в резонансную зависимость от волнового вектора — внешние волны накачивают
волновод в узком интервале k y вблизи значения k y  k yn ( y, ) . Это явно будет
продемонстрировано чуть ниже.
Таким образом, оба эффекта приводят к тому, что спектральная плотность
энергии W (, k y , y) представляет собой узкий пик по k y вблизи собственного
значения k y  k yn ( y, ) . В связи с этим естественно ввести спектральную плотность, проинтегрированную по ширине этого пика:
Wn (, y)  W (, k y , y)dk y .
(4.3)
Подразумевается, что интегрирование осуществляется по интервалу k y
много большему ширины пика, но много меньшему расстояния до соседних
95
пиков с номерами n1 и n1 . Величина Wn (, y) есть спектральная погонная
плотность энергии колебания n-й собственной моды волновода — спектральная
плотность в точке y, приходящаяся на единицу длины вдоль волновода. Далее
именно функция Wn (, y) будет основным предметом исследования.
4.2. Азимутальная зависимость инкремента неустойчивости
Зависимость инкремента от координаты y определяется из выражений
(2.26–2.32), в которых входящие в них величины следует рассматривать как
функции y. В частности, функцией y следует считать и волновой вектор:
k y  k yn ( y, ) . При таком понимании, согласно определению величин yn , раз-
ность W ( y) n1( y) в точке y  yn1 обращается в нуль и вблизи этой точки
может быть представлена в виде
W ( y) n1( y)  
где Ln11  d ln(cAM / V ) / dy | y
n1
y  yn1
,
Ln1
. Для случая n  0 следует полагать yn1  yA и
Ln1  LA . Аналогично, вблизи точки y  yn имеем
W ( y) n ( y)  
y  yn
,
Ln
где Ln1  d ln(cAM / V ) / dy | yn . Параметры Ln1 , LA и Ln одного порядка величины
и по порядку величины совпадают с характерным масштабом неоднородности по
оси y, фигурирующем в формулах (1.38). Далее мы не будем делать между ними
различия и обозначим одной буквой L.
Тогда выражения (2.25–2.32) можно представить в следующем виде. Вблизи порога неустойчивости при y  yn1  L

 n ( y, )   


1/2
y  yn1 
.
L 
(4.4)
Здесь при n  0 следует полагать yn1  yA . Вблизи максимума инкремента,
при y  yn  L
96

 n ( y, )   1


( y  yn )2 
 .
4L2  An
Здесь обозначено  An   A (ktn ) . Вдали от максимума, при y  yn  L
n ( y, )   L  An .
y  yn
(4.5)
Для моды n  0 инкремент равен нулю в лобовой части магнитосферы —
на интервале (0, yA ) . У мод с номерами n  1 инкремент равен нулю в интервале
( yn2 , yn1) , а в лобовой области он отрицателен. Из выражения (2.29) для моды
n  1 при y  yA имеем

1( y, )   


1/2
yA  y 

L 
.
Соответственно из выражений (2.30–2.32) для мод с номерами n  2 имеем
вблизи точки y  yn2
1/2
y


y
n

2
 ,
 n ( y, )   


L


вблизи минимума инкремента

 n ( y, )    1

( y  yn2 )2 
,
8L2 

и вдали от минимума, при yn2  y  L
n ( y, )   L  A(n2) .
yn2  y
Сращивая выражения для инкремента неустойчивости в разных интервалах можно получить аналитические выражения для всех значений y. Схематические графики инкремента различных мод в зависимости от координаты y
приведены на рис. 27.
97
Рис. 27. Схематические графики зависимости инкремента неустойчивости Кельвина–
Гельмгольца  n от параметра W  k yV и от координаты y для мод n  0,1,2 . Области отрицательных значений  n связаны с диссипацией в областях альфвеновского резонанса.
4.3. Азимутальная зависимость мощности накачки
При вычислении мощности накачки Qn ( y, ) следует иметь в виду, что
волна может распространяться в солнечном ветре только при выполнении
условия  k yV  kt cS . Это означает, что на той части дисперсионной кривой,
где k y   / V накачка отсутствует. То есть накачка равна нулю в интервале
( yn2 , yn ) . В действительности, неравенство  k yV  kt cS определяет несколько
более широкий интервал. Легко убедиться, что накачка отсутствует в интервале
( yn2 L, yn L) . Для мод с номерами n  0.1 накачка отсутствует в интервале
(0, yn L) .
Пусть y  yn L . Мы знаем, что эффективная накачка волновода происходит не только волной с k y  k yn ( y, ) , но и в некотором узком интервале k y
вблизи этого значения. Для таких k y имеем
n (k y )  
k yncAM
(k y  k yn ) .
ktn
Подставляя это разложение в выражение (3.28), получаем
98
4 AnWn

Q
SWn .
2 c2
 k ynV
k
yn
AM (k  k )2
( An  Wn )2 
y
yn
ktn2
Здесь все остальные величины, зависящие от k y , взяты в точке k y  k yn :
 An   A (k yn ), Wn  W (k yn ), SWn  SW (k yn ) .
Выражение (4.4) позволяет вычислить интеграл в (4.3). Представим результат
в виде
Qn ( y) 
ktn 4 AnWn

S ( y) .
 k ynV k yncAM  An Wn Wn
Для y  yn2 L получается аналогичное выражение с заменой n  n  2 .
Таким образом, имеем
Qn  Qn2 при y  yn2 L ,
Qn  0 при yn2 L  y  yn L ,
(4.6)
Qn  Qn при y  yn L ,
где обозначено
Qn ( y, )  Fn ( y, )SWn ( y, ) ,
Fn ( y, ) 
ktn 4 AnWn

.
 k ynV k yncAM  An  Wn
(4.7)
Прежде, чем анализировать зависимость Qn ( y) , необходимо сделать важное замечание. Тот факт, что коэффициенты уравнения (4.2) определяются результатами, полученными в одномерной модели среды, есть следствие ВКБприближения по координате y. Но это приближение накладывает ограничение
на скорость изменения коэффициентов уравнения. Так, применительно к функции Qn ( y) оно имеет вид
d ln Qn
 k y .
dy
Если это ограничение нарушается в некотором интервале значений y, то
функция Qn ( y) не успевает в этом интервале «подстраиваться» под текущие
99
параметры волновода. В таком случае ее значения уже не определяются результатами одномерной модели, а получаются сглаживанием этих результатов по
интервалу y ~ k y1 . В частности, если Qn ( y) имеет в некоторой точке особенность (а мы увидим, что это действительно так), то эта особенность также
должна быть регуляризована на интервале y ~ k y1 .
Анализ зависимости мощности накачки Qn ( y) начнем с изучения функции
Fn ( y) , которая определяет эффективность проникновения волн в магнитосферу.
Преобразуем выражение (4.7) для Fn , подставив в него соотношения (2.18) и (3.25):
k 2 (wn )
Fn  4 tn
 k yn wn 
 An
An  (wn )
.
(4.8)
Здесь обозначено
wn 
 k ynV
,  An   A (ktn ) .
ktncS
Для численного решения уравнения (4.2) выражения (4.8) вполне достаточно,
так как все входящие в него сомножители имеют явное аналитическое выражение.
Но для качественного аналитического исследования оно слишком громоздко. Поэтому для такого исследования мы сделаем в нем существенные упрощения, которые не меняют качественный вид решения уравнения (4.2). С этой целью проанализируем поведение различных сомножителей в выражении (4.8).
Для характерных значений параметров нашей модели среды k z существенно меньше, чем k y . В таком случае
ktn2
 ktn   .
cAM
k yn
Здесь опущена также малая поправка в формуле (1.42) для ktn .
Функция wn ( y) для значений y  yn  L представляется в виде
wn ( y)  
y  yn
.
L
(4.9)
Распространим выражение (4.9) на всю интересующую нас область изменения аргумента y. Это приводит к заметному искажению функции Fn ( y) толь-
100
ко в асимптотически далекой области, где эта функция мала и не сказывается
существенным образом на поведение решения уравнения (4.2).
Используя выражение (4.9), имеем

(wn )    

y  yn 
.
L 
При y  yn  L из определения (3.14) для функции (w) получаем
(wn )   L .
y  yn
(4.10)
В области y  yn ~ L , функция (wn ) имеет более сложное поведение и
отличается от значения (4.10) на величину порядка самой функции (wn ) . Но
быстрое изменение на малом интервале длиной порядка αL в соответствии со
сказанным выше должно быть сглажено. А такое сглаженное поведение уже
столь несущественно отличается от выражения (4.10), что последнее может
быть принято и в этом интервале. Таким образом, мы примем выражение (4.10)
для всех значений y  yn  L .
Использование выражений (4.9) и (4.10) дает
Yn  yn
,
Fn  4   An L
cAM
y  yn Yn  y
(4.11)
где обозначено
Yn  yn   L .
 An
Отметим, что точка Yn , в которой выражение (4.11) обращается в бесконечность, это та же самая точка, в которой инкремент (4.5) обращается в нуль.
О глубокой связи этих двух обстоятельств подробно сказано в работе [Мазур,
Чуйко, 2013b].
В соответствии со сказанным выше, особенность в выражении (4.11)
должна быть регуляризована на масштабе k y1 ~   cAM /  . Это можно сделать
многими способами, которые качественно не отличаются друг от друга. Мы
примем следующую регуляризацию:
Fn  4   An L
cAM
y  yn
101
Yn  yn
.
2
2
(Yn  y)  
(4.12)
Характер зависимости Fn от y в большой степени зависит от значения частоты ω. Это обстоятельство, главным образом, определяется сильной зависимостью от ω функции  An   An ( y) . На рис. 28 эта функция изображена для
нескольких значений частоты. Для частоты в диапазоне Рс3 функция
 An   An ( y) сосредоточена в лобовой области, а в диапазоне Рс5 — на флангах.
Уже одно это обстоятельство предопределяет соответствующую локализацию
самих колебаний.
Рис. 28. Функция  An   An ( y) при различных значениях частоты  : 1–2 mHz, 2–3 mHz, 3–
4 mHz, 4–5 mHz, 5–8 mHz, 6–10 mHz, 7–12 mHz, 8–20 mHz, 9–40 mHz, 10–60 mHz, 11–90 mHz.
Перейдем к обсуждению второго множителя SWn в первом уравнении
системы (4.7). Он определяется свойствами волновой турбулентности в магнитослое. Волновая турбулентность описывается функцией W — спектральной
плотностью энергии волн, которая определяется соотношением
d W  W dxdydzdkx dk y dkz ,
где dW — энергия, содержащаяся в элементе объема dxdydz и в элементе
объема k-пространства dkx dk y dkz . Мы примем самую простую модель турбулентности, согласно которой спектральная плотность энергии волн в магнитослое (части переходной области примыкающей к волноводу) есть функция мо-
102
дуля волнового вектора k, или что то же самое — функция частоты волны в системе отсчета солнечного ветра   kcS :
W  W () .
Напомним, что в силу эффекта Доплера   k yV . Из этого соотношения
видно, что величина  может иметь любой знак. Мы будем предполагать, что
W ()  W () .
Спектральная плотность потока энергии на магнитопаузу есть
fW  vgxW  d  W .
dkx
Это означает, что
dFW  fW dydzdkx dk y dkz
(4.13)
есть поток энергии, падающий на площадку dydz в интервале волновых векторов dkx dk y dkz . Переходя в (4.13) от dkx к d в соответствии с формулой
dkx  (dkx / d )d  , приводим (4.13) к виду
dFW  W dydzd dk y dkz .
(4.14)
Отметим следующее важное обстоятельство. При заданных значениях ky и
kz минимальное значение 2 равно kt2cS2 . При 2  kt2cS2 волна в солнечном ветре
не может распространяться и, следовательно, для таких значений частоты следует
считать dFW  0 .
Из выражения (4.14) видно, что введенная выше величина SW — плотность потока энергии, приходящаяся на интервалы d и dk y , есть
SW   W dkz .
(4.15)
В нашей однородной по оси z модели среды величина kz фиксирована и
имеет одно и то же значение в солнечном ветре и в магнитосфере. Это означает,
что волну с заданным значением kz в магнитосфере может возбуждать только
волна с тем же kz в солнечном ветре. Но, очевидно, что волна в солнечном ветре
со строго фиксированным значением kz несет энергию равную нулю (отлична
от нуля энергия в некотором конечном интервале dkz ). Но мы должны иметь в
103
виду, что в действительности волновод неоднороден по оси z и собственная мода
описывается не функцией exp(ikz z) , а какой-то более сложной функцией, имеющий характерный масштаб Lz . Это означает, что ее Фурье-образ имеет характерный масштаб kz ~1/ Lz . Именно по такому интервалу должно вестись интегрирование в (4.15). Это позволяет нам принять следующую качественную модель
SW  SW () 
W ()
.
L
Здесь мы опять-таки не стали делать различие между Lz и L . Плотность потока энергии падающих волн SW , также следует считать равной нулю при
2  kt2cS2 . Функции W () и SW () различаются постоянным множителем, по-
этому далее мы будем обсуждать модели непосредственно для функции SW () .
Как уже говорилось выше, существует два различных механизма возбуждения МГД-волн в переходном слое. Первый из них — сравнительно низкочастотный — генерация волн на фронте головной ударной волны. Характерный
пространственный масштаб этой турбулентности есть размер поперечного сечения переходного слоя, который по порядку величины совпадает с нашим основным пространственным масштабом L. Поэтому характерная частота этой
турбулентности есть L  cS / L . Для параметров нашей модели среды
L ~103 с1 . Второй механизм — неустойчивость БМЗ-волн в потоке прото-
нов, отраженных от фронта головной ударной волны. Он порождает сравнительно высокочастотные волны с характерной частотой H  0.2 c1 . Как мы
увидим, первый механизм порождает колебания Рс5 на флангах во фланговых
областях магнитосферного волновода, а второй — в его лобовой части.
Для обоих механизмов мы выберем одинаковую модель спектральной
плотности потока энергии волн:
 
SW ()  S   

2

2
exp   2  .
  


(4.16)
Здесь  — характерное значение частоты в спектре падающих волн. Выбор модели (4.16) определяется тем, что спектральная плотность стремится к
104
нулю при больших и малых значениях частот:    и    . Максимум
находится в точках   . Кроме того, функция (4.16) обладает должной симметрией: SW ()  SW () . Для двух указанных механизмов накачки параметры
спектра
будем
полагать
разными:
для
низкочастотного
механизма
  L , S  SL , а для высокочастотного   H , S  SH . Конкретные значения
этих величин будут указаны ниже.
Согласно определению SWn  SW (k yn ) . Это означает, что в величину
  k yV следует подставить k y  k yn . Как мы знаем, в таком случае при
y  yn  L
  
y  yn
.
L
Как и ранее мы распространим это соотношение на все интересующие нас
значения y. Функция SW ()  0 при   kt cS . Это означает, что SWn ( y)  0 при
y  yn  L . Таким образом, имеем
 
SWn ( y, )  S   

2




2

2


y  yn 
 2  y  yn  
 exp  

  ( y  yn L). (4.17)
2

L 
   L  
Соотношения (4.12) и (4.17) вместе дают
Yn  yn
Qn ( y, )  4 S   An ( y, )

cAM
(Yn  y)2  2
3
 
  


2


2  y y  
y  yn
n  ( y  y L).
 exp  2 
n
 
L
L
  
 
(4.18)
В соответствии с соотношениями (4.6) через эту функцию выражается
мощность накачки магнитосферного резонатора Qn ( y, ) .
4.4. Уравнение переноса энергии и его аналитическое исследование
Чтобы получить уравнение на функцию Wn (, y) , проинтегрируем уравнение (4.2) по ky в соответствии с указанным выше правилом. Поскольку величины v gy и  являются плавными функциями ky по сравнению с W (, k y , y) , то они
105
могут быть вынесены из под знака интеграла в точке k y  k yn ( y, ) . В результате
получаем
d (vgnWn )
 2 nWn  Qn .
dy
(4.19)
Здесь vgn ( y, ) — групповая скорость и n ( y, ) — инкремент неустойчивости
n-й собственной моды, а
Qn ( y, )   Q(, k y , y)dk y
(4.20)
— мощность ее накачки. Функции vgn ( y, ) приведены выше, а функции
n ( y, ) и Qn ( y, ) будут описаны далее.
Как уже говорилось, БМЗ-колебанию в волноводе соответствует альфвеновский резонанс, сосредоточенный в узкой (по координате x) окрестности резонансной поверхности, расположенной в области непрозрачности для БМЗ-колебания.
Координата x  xA этой поверхности определяется уравнением  kz ( y)cA ( xA, y) .
Таким образом, в рамках нашей двумерно-неоднородной модели xA  xA ( y, ) .
Обозначим через EA (, k y , y) погонную плотность энергии колебаний, сосредоточенную в окрестности альфвеновского резонанса. Величина EA (, k y , y)
аналогична погонной плотности энергии колебаний волновода W (, k y , y) . Отличие заключается в том, что интегрирование по x осуществляется не по ширине волновода, а по окрестности альфвеновского резонанса. В работе [Мазур,
2010] установлена связь между этими величинами:
EA (, k y , y) 
 A (, k y , y)
W (, k y , y) .
A
(4.21)
Декремент затухания альфвеновских волн обусловлен диссипацией энергии на ионосферных торцах и выражение для него имеет вид [Hughes, 1974]:
2
1 .
A  c

4P cAt A
(4.22)
Здесь  P — интегральная педерсеновская проводимость ионосферы, cA —
скорость Альфвена в верхней ионосфере, t A — время пробега альфвеновской
волны вдоль силовой линии между сопряженными ионосферами. Проинтегри-
106
ровав соотношение (4.21) по ky, получаем
EAn ( y, ) 
 An ( y, )
Wn ( y, )
A
(4.23)
Здесь по аналогии с (4.20) обозначено
EAn ( y, )   EA (, k y , y)dk y .
Поскольку наземные проявления рассматриваемых колебаний обусловлены альфвеновским резонансом, то именно функция EAn ( y, ) определяет распределение амплитуды колебаний по земной поверхности.
Уравнение переноса энергии (4.19) удобнее переписать для функции
Sn  vgnWn — потока энергии вдоль волновода. Из (4.19) имеем
dSn ( y, )
 2n ( y, )Sn ( y, )  Qn ( y, ) ,
dy
(4.24)
где
n ( y, ) 
 n ( y, )
v gn ( y, )
— пространственный инкремент усиления, совпадающий с точностью до знака
с мнимой частью волнового вектора: n ( y, )   Im k yn ( y, ) . Знание решения
уравнения (4.24), очевидно, дает и выражение для погонной плотности энергии:
Wn ( y, ) 
Sn ( y, )
.
vgn ( y, )
(4.25)
Уравнение (4.24) должно быть дополнено начальным условием, которое
естественно поставить в точке y  0 . Наша модель среды симметрична относительно этой точки, поэтому логично считать, что
dSn / dy | y0  0 .
(4.26)
Такое условие обеспечивает и симметричность решения относительно точки y  0 .
Для мод n  0 и n  1 накачка и неустойчивость в точке y  0 отсутствуют.
Из уравнения (4.24) видно, что в таком случае условие (4.26) совместимо с любым значением Sn (0, ) . Однако в этом случае будем полагать
Sn (0, )  0, n  0.1.
(4.27)
107
Это означает, что наличием в волноводе теплового МГД-шума пренебрегается. Как известно, фазовый объем, приходящийся на МГД-волны, ничтожно
мал по сравнению с полным фазовым объемом всех колебаний плазмы, в котором львиную долю занимают ленгмюровские волны. Поэтому амплитуда тепловых МГД-колебаний пренебрежимо мала. Она остается пренебрежимо малой
даже после усиления неустойчивостью. Только нетепловые механизмы возбуждения могут дать наблюдаемый уровень МГД-волн. В нашем случае таким механизмом является накачка внешними волнами. Для мод n  0.1 она начинается
с точки y  yn L и только с этой точки функция Sn ( y, ) отлична от нуля.
Для мод n  2 величины Qn (0, ) и n (0, ) отличны от нуля (при этом
n  0 ). Тогда из уравнения (4.24) следует, что условие (4.26) выполняется, если
Sn (0, )  
Qn (0, )
, n2.
2n (0, )
(4.28)
Соотношения (4.27) и (4.28) мы будем рассматривать далее как начальные
условия для уравнения (4.24).
Функция Sn ( y, ) и выражающаяся через нее функция Wn ( y, ) несут в себе
подробную информацию о распределении энергии вдоль волновода на разных
частотах. Но будучи функциями двух переменных, они трудны для наглядного
обозрения. Поэтому целесообразно ввести функции, проинтегрированные по
одной из двух переменных:


Wn ( y)   Wn ( y, )d , Wn ()   Wn ( y, )dy .
0
(4.29)
0
Первая из них описывает распределение полной погонной плотности энергии вдоль волновода, а вторая — спектральную плотность энергии всего волновода. По аналогии можно ввести функции


0
0
EAn ( y)   EAn ( y, )d , EAn ()   EAn ( y, )dy ,
которые имеют тот же смысл, что и функции (4.29), но для энергии, сосредоточенной в окрестности альфвеновского резонанса.
108
Далее мы ограничимся изучением только трех первых мод n  0, 1, 2 . В любой физической системе в первую очередь возбуждаются низшие гармоники колебаний. Чем больше номер гармоники, тем более затруднено ее возбуждение и
тем меньше ее амплитуда. В нашей задаче свойства мод с номерами n  0.1
очень похожи. Для обеих этих мод накачка отсутствует от лобовой точки до
точки y  yn L . Следовательно, согласно сказанному выше, на этом интервале Sn ( y, )  0 . Неустойчивость включается раньше — с точки yn1  yn L .
Тем не менее, поток энергии моды Sn ( y, ) остается равным нулю вплоть до
включения накачки. Подчеркнем еще раз — это означает, что мы игнорируем
колебания на уровне теплового шума. У моды n  2 имеется накачка в лобовой
области (0, y0 L) . Инкремент в этой области отрицателен и уровень колебаний определяется конкуренцией механизмов накачки и затухания. Напомним,
что в этой области мода является нулевой гармоникой колебаний волновода.
Сделаем теперь несколько простых замечаний относительно решений уравнения (4.24). Если в правой части этого уравнения n  0, и Qn  0 , то Sn  const .
Таким образом, если в некоторой области нет усиления и накачки, то поток энергии вдоль волновода постоянен, а погонная плотность энергии меняется только
вследствие изменения групповой скорости в соответствии с соотношением (4.25).
Пусть теперь мощность накачки Qn  0 , но усиление волны имеется, то
есть n  0 . Тогда решение уравнения (4.24) имеет вид
Sn ( y, )  Sn (0, )exp 2n ( y, ) ,
где
y
y
 n ( y, )
dy
v ( y , )
0 gn 
n ( y, )   n ( y, )dy  
0
— интегральный коэффициент усиления. Влияние усиления волны (т. е. неустойчивости Кельвина–Гельмгольца) является существенным, если изменения
коэффициента усиления n ( y, ) вдоль волновода не являются малыми по
сравнению с единицей.
109
Формулы (4.4–4.5) для инкремента неустойчивости позволяют оценить полный
набег коэффициента усиления. При такой оценке мы будем полагать, что групповая
скорость vgn ~ cAM , что вполне согласуется с формулой (1.43). Тогда имеем
(1)
n

1/2
yn

y
n1
(2)
n

  y  yn1 
vgn  L 

yn  2 L

yn 2 L

dy ~ 2 L ,
3 cAM
 1 ( y  yn )2  dy ~ 8 L ,
vgn 
3 cAM
4L2 



Yn
(3)
n 
yn

1   L   dy ~  ln  1 L .
c
 v  y  yn An   
 AM
 2 L gn 

An

Таким образом,
(2)
(3)
n  (1)
n  n  n

~  ln 
  An


 7  L .
3  cAM

Логарифм в круглой скобке формально велик, но фактически он не может
быть слишком большим именно потому, что он логарифм. Его значение можно
положить равным 2  3 и в целом число в круглой скобке равным 5. Итак
n ~ 5 L .
cAM
(4.30)
При оценках по порядку величины не принято придавать значение безразмерным коэффициентам. Но в нашем случае уверенно определяется, что этот безразмерный коэффициент есть достаточно большое число, поэтому оно оставлено в
оценке (4.30). При характерных для нашей задачи значениях   0.15,
L  5104 км, cAM  300 км/с и в частотном диапазоне Рс5, т. е. для  0.02 c1
имеем n  2.5 . Это большое значение. Оно означает, что амплитуда колебания
возрастает в результате неустойчивости в exp n  10 раз, а их энергия — в
exp2n 100 раз. Таким образом, неустойчивость Кельвина–Гельмгольца играет
важную роль. Не менее важную роль играет и затухание в тех областях, где инкремент отрицателен. В этих областях величина n достигает таких же по модулю, но отрицательных значений. Это обстоятельство особенно важно для колебаний Рс3, сосредоточенных в лобовой области, где инкремент отрицателен.
110
В общем случае n  0, и Qn  0 нетрудно написать решение уравнения (4.24):
y



Sn ( y, )  exp[2n ( y, )] Sn (0, )  Qn ( y, )exp[2n ( y, )]dy .


0



(4.31)
Однако аналитическое исследование этого решения чрезвычайно затруднено тем обстоятельством, входящие в него функции Qn ( y, ) и exp[2n ( y,)]
меняются по переменной y экспоненциально быстро, и скорость этого изменения сильно зависит от значения частоты ω. Поэтому более адекватным является
численное исследование этого решения. Это удобнее делать не на основании
формулы (4.31), а непосредственно интегрируя уравнение (4.24) с граничными
условиями (4.27) или (4.28). Такое интегрирование шагами по переменной y не
представляет труда.
Дальнейший анализ проводится раздельно для частотных диапазонов Рс3 и Рс5.
4.5.
Распределение энергии пульсаций Pc3
4.5.1. Механизмы генерации пульсаций Pc3 и Pc5
Свойства волн проникающих из солнечного ветра определяются свойствами головной ударной волны [Potapov et. al., 2013]. Фронт головной ударной
волны является мощным генератором гидромагнитного шума в переходном
слое [Gurnett et. al., 1979]. Характерная частота этого шума сравнительно мала и
он являются источником геомагнитных пульсаций Рс5 [Mcpherron, 2005]. Другим источником гидромагнитных волн, падающих на магнитосферу, является
циклотронная неустойчивость, развивающаяся в потоке протонов, отраженных
от фронта головной ударной волны [Потапов, 1974; Гульельми и др., 1976;
Potapov and Mazur, 1994]. Их характерная частота существенно выше и они
служат источником пульсаций Рс3.
4.5.2. Распределение энергии для второй моды диапазона Pc3
Для колебаний Рс3 в выражении (4.18) для мощности накачки полагаем
  H  0.2c1 . Именно на такую частоту приходится максимум в интенсивно-
сти генерации колебаний циклотронной неустойчивостью отраженных протонов
111
[Гульельми, и др. 1976; Потапов, 1974]. Как видно из графика на рис. 29, для частот  ~ H функция  An ( y, ) сосредоточена в лобовой области и практически
равна нулю на флангах магнитосферы. Отсюда следует, что моды n  0.1 вообще
не возбуждаются. Действительно, для n  0.1 накачка в интервале y  yn L отсутствует. Но в области y  yn L мощность накачки также равна нулю, поскольку для таких значений y уже можно считать, что  An ( y, )  0 . Таким образом, для мод n  0.1 накачка отсутствует вдоль всей длины волновода и, следовательно, эти моды в диапазоне частот Рс3 не возбуждаются.
Мода n  2 имеет область накачки в лобовой части магнитосферы
y  y0 L , где функция  A0 ( y, ) отлична от нуля. Как уже указывалось выше,
в этой области колебание внутри волновода представляет собой нулевую моду
волновода. Инкремент в этой области отрицателен. Оба эти обстоятельства
предопределяют локализацию Рс3 в лобовой области.
При отрицательном значении инкремента качественное представление о
решении уравнения (4.24) можно получить следующим образом. Предположим,
что левая часть этого уравнения много меньше, чем каждый из членов в правой
части. Тогда
Sn ( y, )  
Qn ( y, )
Q ( y, )
.
, Wn ( y, )   n
2n ( y, )
2n ( y, )
(4.32)
Это решение, очевидно, удовлетворяет начальному условию (4.28). Это предположение означает, что d ln Sn / dy  n . Если для левой части этого неравенства
принять оценку d ln Sn / dy ~1/ L , а для правой n ~  / cAM , то оно примет вид
L  1 .
cAM
Для частот в диапазоне Рс3 это неравенство выполняется с большим запасом. Таким образом, можно ожидать, что выражения (4.32) дают хорошее приближение для решения уравнения (4.24).
Можно было бы ожидать, что мощность накачки максимальна, если максимум множителя во второй строчке выражения (4.18) находится вблизи точки
112
y  0 . Тогда максимумы этого множителя и функции  A0 ( y, ) перекрываются.
Это имеет место при  ~ (L / y0 2)H  0,3H . Но при такой частоте малое
значение имеет множитель ( / H )3  0.03 , фигурирующий в выражении (4.18)
для Qn . Поэтому в действительности мощность накачки максимальна на несколько большей частоте, ближе к H . Но тогда максимум мощности накачки,
а вместе с ним и максимум энергии в волноводе будет уже не в лобовой точке.
Рис. 29. Графики зависимости функции W2 ( y, ) от переменной y для нескольких значений частоты в диапазоне Рс3: (2–10 mHz), 3–20 mHz, 4–40 mHz, 5–60 mHz, 6–80 mHz, 7–90 mHz.
Рис. 30. Сравнение аналитического и численного решения для функции W2 ( y, ) при
  H . 1 ― численное решение уравнения, 2 ― приближённое аналитическое решение.
113
Сказанное находит свое подтверждение в результатах численного решения
уравнения (4.24). На рис. 29. приведены графики зависимости функции W2 ( y, )
от переменной у для нескольких значений частоты. Видно, что амплитуда решения максимальна на частотах близких к  H  0.2c1 . На рис. 30 проведено сравнение приближенного аналитического решения (4.32) и численного решения для частоты  H . Они хорошо согласуются друг с другом. Распределение Рс3 по частотам нагляднее видно на графике функции W2 () , изображенном на рис. 31. Спектр колебаний имеет максимум на частоте  0.18c1 и
быстро спадает при удалении от максимума.
Рис.31. График функции W2 () (спектральная плотность энергии колебаний волновода)
для колебаний Рс3.
Рис. 32. График функции W2 ( y) (интегральная линейная плотность энергии колебаний
волновода) для колебаний Рс3.
114
Из рис. 29 видно, что для колебания на частоте  0.02c1 , обладающего
наибольшей амплитудой, максимум находится не в лобовой точке, а несколько
смещен относительно нее. Указанное свойство отчетливо видно на графике
функции W2 ( y) , описывающей распределение полной энергии колебаний, проинтегрированной по всем частотам (рис. 32).
Рис. 33. График EA2 ( y) (линейная плотность энергии колебаний в области альфвеновского
резонанса для второй моды) для колебаний в частотном диапазоне Рс3: 3–20 mHz, 4–40 mHz, 5–
60 mHz.
Функции Wn ( y, ), Wn (), Wn ( y) описывают распределение энергии в БМЗволноводе. Аналогичные им функции EAn ( y, ), EAn (), EAn ( y) описывают распределение энергии в альфвеновском резонансе. С точки зрения наземных проявлений эти функции играют большую роль, поскольку на Земле наблюдаются
именно альфвеновские волны, сосредоточенные вблизи резонансных магнитных
оболочек. Выражение для EAn ( y, ) дается формулой (4.23), в которой следует задать распределение по координате y декремента затухания альфвеновских волн
 A ( y) на ионосфере. Согласно формуле (4.22), этот декремент определяется инте-
гральной педерсеновской проводимостью ионосферы  P . В средних и высоких
широтах она меняется не очень сильно. Поэтому для качественного рассмотрения
115
можно считать ее константой и принять характерное значение P  108 км/с (в системе СГС), тогда  A ~104 c1 . После этого функции EAn ( y, ), EAn (), EAn ( y)
легко вычисляются. Мы ограничимся тем, что приведем график функции EAn ( y) ,
который изображен на рис. 33. Он в целом аналогичен графику функции Wn ( y) ,
но демонстрирует заметно большее тяготение к лобовой точке.
4.5.3. Распределение энергии для нулевой моды диапазона Pc5
В области частот Рс5 функция  A0 ( y, ) , как это видно из рис. 28, имеет
широкий максимум на фланге магнитосферы. Это обстоятельство обеспечивает
существование на фланге механизма накачки для нулевой моды. Кроме того, на
фланге положителен инкремент неустойчивости Кельвина–Гельмгольца. Таким
образом, нулевая мода на фланге отлична от нуля, и мы ограничимся только ее
изучением.
Для низкочастотного механизма возбуждения магнитосферного волновода в
выражении для мощности накачки полагаем   L   (cS / L)  3103 c1 . На границе области накачки, в точке y  y0 L вторая строчка в выражении (4.18) равна


3 exp   22  .

3L
2L 


Это выражение имеет максимум на частоте
 ~ L /  ~ 2 102 c1 .
Элементарное рассмотрение показывает, что на этой частоте мощность
накачки имеет наибольшую величину и во всей области y  y0 L . В результате
именно на этой частоте находится максимум в спектре Рс5. Как мы видим, «фильтрационные» свойства магнитопаузы существенно сдвигают спектральный максимум колебаний в волноводе по сравнению со спектральным максимумом в потоке энергии падающих волн (4.16) ― от частоты L до частоты L /  .
Из выражения (4.18) легко видеть, что для частот  ~ L /  характерный
масштаб изменения мощности накачки по переменной y равен αL — именно на
116
таком масштабе спадает функция Q0 ( y, ) при y  y0 L . Это обстоятельство
позволяет получить простое аналитическое решение уравнения переноса энергии (4.31). Действительно, в подынтегральном выражении множитель
exp[2n ( y, )] меняется гораздо медленнее. Его характерный масштаб изме-
нения y ~ vg /  ~ 5104 , т. е. y ~ L  L . Это позволяет представить выражение (4.31) при y  y0 L в виде
S0 ( y, )  Q0 ()exp[20 ( y, )] .
(4.33)
Здесь обозначено
Q0 () 

Q0 ( y, )dy ,

y L
(4.34)
0
0 ( y, )  0 ( y, ) 0 ( y0 L, ) 
y
( y, )
dy .

v
(
y
,

)

g
y L
0
Интегрирование в (4.34) формально распространено до бесконечности, но
при этом имеется в виду, что фактически интеграл набирается вблизи нижнего
предела на масштабе порядка αL. Выражение (4.33) применимо только при
y  y0 L . В области y  y0 L , конечно, S0 ( y, )  0 .
Решение (4.33) означает, что вблизи точки y  y0 L колебание в волноводе получает импульсную накачку, а затем эволюционирует в соответствии с
инкрементом неустойчивости. Исходя из выражения (4.18) интеграл (4.34) легко вычисляется:
Q0 ()  2SL A0 ( y0 , )


L exp   22  .

cAM ( y0 )
2L 


(4.35)

Множитель  A0 ( y0 , ) в области частот Рс5 меняется мало, и зависимость
Q0 () определяется двумя последними множителями в (4.35). Соответствую-
щее выражение имеет максимум на частоте m  L /  2 . На этой частоте
 L
Q0 (m )   2 SL A0 ( y0 , m ) L .
e
cS ( y0 )
Результаты численных расчетов подтверждают выводы проведенного ка-
117
чественного исследования. На рис. 34 изображены графики зависимости от y
функции W0 ( y, ) для различных значений частоты. Видно, что максимальную
амплитуду имеют колебания с частотами близкими к  0.02c1 , что совпадает
с частотой L /  . Для сравнения с результатами аналитического исследования
на рис. 35 для частоты  0.02c1 изображены кривые W0 ( y, ) , полученные
аналитически (формула (4.33)) и численным решением уравнения (4.24). Видно,
что между ними имеется вполне удовлетворительное согласие.
Рис. 34. Графики линейной плотности энергии W0 ( y, ) (нулевая мода) для нескольких
значений частоты в диапазоне Рс5: 2–2 mHz, 3–3 mHz, 4–5 mHz, 6–8 mHz, 8–12 mHz.
Рис. 35. Графики аналитического и численного решения для функции W0 ( y, ) (нулевая
мода) при частоте   0.02c1 . 1 — численное решение уравнения, 2 — приближенная аналитическое решение.
118
Более наглядно спектр колебаний в волноводе описывается функций
W0 () . Ее график, полученный численно, изображен на рис. 36. Здесь мы также
видим, что максимум спектральной плотности находится на частоте  0.02c1
и быстро спадает при удалении от нее. Пространственное распределение колебаний в волноводе наглядно описывается функцией W0 ( y) , график которой, полученный численно, изображен на рис. 37. Из него видно, что колебания Рс5
локализованы на фланге магнитосферы.
Рис. 36. График спектральной плотности энергии колебаний W0 () нулевой моды для
колебаний Рс5.
Рис. 37. График линейной интегральной плотности энергии W0 ( y) нулевой моды для
колебаний Рс5.
119
Графики функций EA0 ( y, ), EA0 (), EA0 ( y) для колебаний Рс5 мы приводить не будем, поскольку функция  A0 ( y, ) не слишком сильно меняется в области локализации Рс5, и, следовательно, ход указанных функций качественно
не отличаются от хода соответствующих функций W0 ( y, ), W0 (), W0 ( y) .
4.6. Заключение к Главе 4
Перечислим основные результаты, полученные в Главе 4.
1. Предложены модели генерации геомагнитных пульсаций в частотных
диапазонах Pc3 и Pc5, связанные с БМЗ-волноводом в дневной и фланговой частях магнитосферы.
2. Получено пространственное распределение энергии этих колебаний
вдоль волновода и ее спектральное распределение в различных частях рассматриваемой модели магнитосферы.
3. Показано, что в частотном диапазоне Pc5 основная энергия, закачиваемая в БМЗ-волновод, заключена в основной моде, а в диапазоне Pc3 ― во второй моде собственных колебаний волновода. Первая и нулевая моды в диапазоне
Pc3 вообще не возбуждаются, поскольку имеют нулевую эффективную накачку
на всем протяжении волновода. Максимум мощности накачки, и соответствующий максимуму амплитуды этих колебаний, находятся в окрестности лобовой
точки магнитопаузы, но несколько смещены относительно нее.
4. Волны, порождаемые на фронте головной ударной волны, имеют спектральный максимум на частоте L  3103 с1 . Однако «фильтрационные»
свойства магнитопаузы, таковы, что она не пропускает столь низкочастотные
волны. В результате максимум в спектре волн, проникающих в магнитосферу,
смещается до частоты L /   2 102 c1 , что соответствует колебаниям в частотном диапазоне Рс5. Для волн в этом частотном диапазоне декремент затухания в альфвеновском резонансе, а вместе с ним и мощность накачки, имеют
максимумы на флангах магнитосферы. Поэтому колебания в этом частотном
диапазоне локализованы, в основном, именно на флангах магнитосферы.
120
Заключение
Перечислим основные результаты, полученные в работе.
Разработана двумерно-неоднородная модель среды, описывающая основные свойства магнитосферного БМЗ-волновода. Эта модель позволяет провести
аналитическое исследование БМЗ-колебаний во внешней магнитосфере и альфвеновских волн, возбуждаемых ими на резонансных поверхностях.
В рамках одномерно неоднородной модели среды получено дисперсионное
уравнение для собственных мод системы: магнитосферный БМЗ-волновод —
солнечный ветер. Неоднородность среды поперек магнитных оболочек в рамках этой модели такова, что она приводит к формированию БМЗ-волновода во
внешней магнитосфере.
Свойства собственных мод системы магнитосфера-солнечный ветер исследованы в двумерно-неоднородной модели среды с помощью метода ВКБ по координате y. Тем самым, учтена азимутальная неоднородность волновода. Для
решения поставленной задачи в рамках ВКБ приближения по координате y использована локальная одномерно-неоднородная модель среды, распределение
параметров в которой соответствует их распределению в локальном сечении
волновода по координате y. При распространении вдоль волновода свойства
колебания «подстраиваются» под локальные свойства волновода.
Исследовано влияние неустойчивости Кельвина–Гельмгольца и наличия
области альфвеновского резонанса на пространственно-временную структуру
собственных мод БМЗ-волновода во внешней магнитосфере. Получены аналитические выражения, описывающие инкремент неустойчивости собственных
мод волновода как функцию параметров среды и компонент волнового вектора
колебаний.
Определены пространственная структура волн в солнечном ветре и в магнитосфере, а также плотности заключенной в них энергии. Имеются три основные области локализации волновой энергии — солнечный ветер, магнитосферный БМЗ-резонатор и область альфвеновского резонанса. Для типичных значений магнитосферных параметров энергия, локализованная в окрестности аль-
121
фвеновского резонанса много больше, чем энергия, заключенная в резонаторе, а
их отношение практически не зависит от скорости солнечного ветра. Таким образом, наличие альфвеновского резонанса принципиально важно для всей картины явления. Это тем более важно потому, что именно альфвеновские колебания, сгенерированные на резонансных поверхностях, могут достигать поверхности Земли.
Показано, что для БМЗ-волн, падающих на магнитосферу из солнечного
ветра появляется возможность их сверхотражения, при котором амплитуда отраженной волны больше, чем падающей: R  1 . Такая возможность реализуется,
если частота волны ω в системе отсчета, связанной с магнитосферой, и ее частота   k yVW в системе отсчета, связанной с солнечным ветром, имеют
разные знаки (см. рис. 4). С физической точки зрения это означает, что фазовые
скорости волны вдоль магнитопаузы в этих системах отсчета имеют противоположные направления. Явление сверхотражения объясняют тем, что энергия
волны, распространяющейся в солнечном ветре, отрицательна. Сверхотражение
имеет место только для волн с отрицательной энергией, волны с положительной энергией испытывает неполное отражение: R  1.
Поток энергии, переносимый в магнитосферу падающими на нее из солнечного ветра БМЗ-волнами, положителен, как при падении волны с положительной энергией, так и волны с отрицательной энергией. Волна с положительной энергией отражается частично, поток энергии, уносимый от магнитосферы
меньше, чем падающий. Волна отрицательной энергии испытывает сверхотражение. Поток уносимый от магнитосферы волной с отрицательной энергией
больше, чем поток отрицательной энергии, приносимый падающий волной.
При этом поток энергии, поступающий в магнитосферу, положителен. Вся поступающая в магнитосферу энергия, в конечном счете, диссипирует в окрестности альфвеновского резонанса. Если точка альфвеновского резонанса находится
глубоко в области непрозрачности, то диссипацией энергии в ней можно пренебречь, и отражение падающей на магнитосферу волны можно считать полным (R=1). При этом поступление энергии в магнитосферу отсутствует.
122
Предложены модели генерации геомагнитных пульсаций в частотных диапазонах Pc3 и Pc5, связанные с БМЗ-волноводом в дневной и фланговой частях
магнитосферы. Получено пространственное распределение энергии этих колебаний вдоль волновода и ее спектральное распределение в различных частях
рассматриваемой модели магнитосферы. Показано, что в частотном диапазоне
Pc5 основная энергия, закачиваемая в БМЗ-волновод, заключена в основной
моде, а в диапазоне Pc3 ― во второй моде собственных колебаний волновода.
Первая и нулевая моды в диапазоне Pc3 вообще не возбуждаются, поскольку
имеют нулевую эффективную накачку на всем протяжении волновода. Максимум мощности накачки, и соответствующий максимуму амплитуды этих колебаний, находятся в окрестности лобовой точки магнитопаузы, но несколько
смещены относительно нее.
Волны, порождаемые на фронте головной ударной волны, имеют спектральный максимум на частоте L  3103 с1 . Однако «фильтрационные» свойства магнитопаузы, таковы, что она не пропускает столь низкочастотные волны.
В результате максимум в спектре волн, проникающих в магнитосферу, смещается до частоты L /   2 102 c1 , что соответствует колебаниям в частотном
диапазоне Рс5. Для волн в этом частотном диапазоне декремент затухания в
альфвеновском резонансе, а вместе с ним и мощность накачки, имеют максимумы на флангах магнитосферы. Поэтому колебания в этом частотном диапазоне локализованы, в основном, именно на флангах магнитосферы.
123
Список литературы
Антонова Е.Е., Овчинников И.Л. Квазитрехмерная модель равновесного
турбулентного плазменного слоя в хвосте магнитосферы Земли и его суббуревая динамика // Геомагнетизм и аэрономия. 1998. – Вып. 38(5). – С. 14–21.
Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат,
1979. – 322 с.
Беленькая Е.С. Магнитосферы планет обладающих собственным магнитным полем // УФН. – 2009. – Т. 179, № 8. – С. 809–835.
Гульельми А.В., Потапов А.С., Д'Коста А. К теории возбуждения геомагнитных пульсаций типа Рс3 // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и
физике Солнца. – 1976. – Вып. 39. – C. 27–32.
Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса // М.: Наука,
1990. – 317 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. – 736 с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая Механика. Физмат. – 1963. – 767 с.
Мазур В.А. Резонансное возбуждение магнитосферы гидромагнитными
волнами, падающими из солнечного ветра // Физика плазмы. – 2010. – Т. 36, № 11.
– С. 1013–1023.
Мазур В.А. Резонансное возбуждение магнитосферы стохастическими и
нестационарными гидромагнитными волнами // Физика плазмы. – 2011. – Т. 37.
– С. 458–467.
Мазур В.А., Чуйко Д.А. Возбуждение магнитосферного МГД-резонатора
неустойчивостью Кельвина–Гельмгольца // Физика плазмы. – 2011. – Т. 37, № 11.
– С. 979.
Мазур В.А., Чуйко Д.А. Неустойчивость Кельвина–Гельмгольца на магнитопаузе, МГД-волновод во внешней магнитосфере и альфвеновский резонанс в
глубине магнитосфере // Физика плазмы. – 2013a. – Т. 39. – C. 556.
Мазур В.А., Чуйко Д.А. Влияние МГД-волновода во внешней магнитосфере
на отражение гидромагнитных волн от сдвигового течения на магнитопаузе // Физика плазмы. – 2013b. – Т. 39, № 12. – С. 1071.
Потапов А.С. Возбуждение геомагнитных пульсаций типа Рс3 перед фронтом околоземной ударной волны пучком отраженных протонов // Исследования
по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. – 1974. – Вып. 34. – C. 3–12.
Пудовкин М.И., Семенов В.С. Теория пересоединения и взаимодействия
СВ с магнитосферой Земли // М.: Наука, 1985. – 126 c.
Стикс Т., Свансон Д. Основы физики плазмы / Под ред. А.А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1983. – Т. 1. – 333 c.
Застенкер Г.Н. Плазменная гелиогеофизика / Под ред. Л.М.Зеленого и
И.С. Веселовского. М.: Физматлит, 2008. – Т. 1. – 389 c.
Зеленый Л.М. Динамика плазмы и магнитных полей в хвосте магнитосферы
Земли // Итоги науки и техники, под ред. Р.З. Сагдеева М. ВИНИТИ. – 1986.
– Вып. 24. – С. 58–186.
Шафранов В.Д. Электромагнитные волны в плазме. Вопросы теории плазмы /
Под ред. М.А. Леонтовича. Госатомиздат, 1963. – Вып. 3. – 304 с.
124
Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions / Dover Publications. – 1965. – 1046 c.
Baker R., Mather J.G., Kennaugh J.H. Magnetic bones in human sinuses // Nature. – 1983. – V. 301. – P. 78–80.
Baumjohann W., Junginger H., Haerendel G., et al. Resonant Alfven waves excited by a sudden impulse // J. Geophys. Res. – 1984. – V. 89. – P. 2765.
Borovsky J.E., Thomsen M.F., Elphic R.C. The driving of the plasma sheet by
the solar wind // J. Geophys. Res. – 1998. – V. 103, N A8. – P. 17617–17639.
Boyle W.A., Norris D.R., Guglielmo C.G. Storms drive altitudinal migration in
a tropical bird // Proc Biol Sci. – 2010. – V. 2777. – P.–1693.
Budden K.G. Radio Waves in the Ionosphere // Cambridge University Press.
– 1961. – 566 p.
Burch J.B., Reif J.S., Yost M.G. Geomagnetic activity and human melatonin
metabolite excretion // Neurosci. Lett. – 2008. – V. 438. – P. 76–79.
Cannon P., et al. Extreme space weather: Impacts on engineered systems and infrastructure // Royal Academy of Engineering. – 2013. – 69. p.
Carovillano R.L., Siscoe G.L., Energy and momentum theorem in magnetospheric
processes // Rev. of Geophys. Space Phys. – 1973. – V. 11(2). – P. 289–353.
Chen L., Hasegawa A. Plasma heating by spatial resonance of Alfven wave //
Phys. Fluids. – 1974. – V. 17. – P. 1399.
Chisham G., Orr D. A statistical study of the local time asymmetry of Pc5 ULF
wave characteristics observed at midlatitudes by SAMNET // J. Geophys. Res. – 1997.
– V. 102(A11). – P. 24339–24350.
Coronity F.V., Kennell C.F. Changes of magnetospheric configuration during
the substorm growth phase // J. Geophys. Res. – 1972. – V. 77. – P. 3361–3370.
Dessler A.J., Parker E.N. Hydromagnetic theory of geomagnetic storms // J. Geophys. Res. – 1959. – V. 64, N 12. – P. 2239–1152.
Dmitrienko I.S. Evolution of FMS and Alfven waves produced by the initial disturbance in the FMS waveguide // J. Plasma Phys. – 2013. – V. 79, N 01. – P. 7–17.
Duhau S., Gratton J. Kelvin–Helmholtz instability of anisotropic plasma in
magnetic field // J. Plasma Phys. – 1975. – V. 13. – P. 451–479.
Erinmez I.A., Kappenman J.G., Radasky W.A. Management of the geomagnetically induced current risks on the national grid company’s electric power tran smission system // Journal of atmospheric and Solar-terrestrial physics. – 2002. –
V. 64. – P. 743–756.
Foullon C., et al. Evolution of Kelvin-Helmholtz activity on the dusk flank
magnetopause // J. Geophys. Res. – 2008. – V. 113. – P. A11203.
Fujita S., Glassmeier K.H., Kamide K. MHD waves generated by the Kelvin–
Helmholtz instability in a nonuniform magnetosphere // J. Geophys. Res. – 1996. –
V. 101. – P. 27317–27325.
Fujita S., Tanaka T. Magnetospheric plasma processes during a sudden commencement revealed from a global MHD simulation // Geophysical Monograph. – 2006.
– V. 169. – P. 31.
Gaunt C.T., Coetzee G. Transformer failures in regions incorrectly considered to
have low GIC-risk // Power Tech. – 2007. – P. 807–812.
125
Guglielmi A.V. Diagnostics of the magnetosphere and interplanetary medium by
means of pulsations // Space Sci. Rev. – 1974. – V. 16. – P. 331.
Gul’el’mi A.V. Hydromagnetic diagnostic and geoelectric sounding // Sov.
Phys. Usp. – 1989. – V. 32. – P. 628.
Ghosch S., Thomson D.J., Matthaeus W.H., et al. Coexistence of turbulence and
discrete modes in the solar wind // J. Geophys. Res. – 2009. – V. 114. – P. A08106.
Gurnett D.A., Anderson R.R., Tsurutani B.T., et al. Plasma wave turbulence at
the magnetopause: Observations from ISEE 1 and 2 // J. Geophys. Res. – 1979. – V. 84.
– P. 7043–7058.
Hughes W.J. The effect of the atmosphere and ionosphere on long period magnetospheric micropulsations. // Planet. Space Sci. – 1974. – V. 22. – P. 1157.
James M.K. The spatio-temporal characteristics of ULF waves driven by substorm injected particles // J. Geophys. Res. – 2013. – V. 188. – P. 1737.
Katz J., Davis V.A., Snyder D.B., et al. ESD triggered solar array failure mechanism
// The 6th Spacecraft Technology Conf. AFRL-VS-TR-20001578, 1 Sept. –2000. – P. 39.
Kawasaki T., Hosoda S., Kim J., et al. Charge Neutralization via Arcing on a
Large Solar Array in the GEO Plasma Environment // IEEE Trans, on Plasma Science. – 2006. – V. 34, N 5. – P. 1979–1985.
Kepko L., Spence H.E., Singer H.J. ULF waves in the solar wind as direct drivers of magnetospheric pulsations // Geophys. Res. Lett. – 2002. – V. 29. – P. 1197.
Kivelson M.J., Zu-Yin Pu. The Kelvin–Helmholtz instability on the magnetopause // Planet. Space Sci. – 1984. – V. 32. – P. 1335–1341.
Kivelson M.G., Southwood D.J. Coupling of global magnetospheric MHD
eigenmodes to field line resonances // Geophys. Res. – 1986. – V. 91. – P. 4345.
Kleimenova N.G., Kozyreva O.V., Breus T.K., Rapoport S.I. Pc1 geomagnetic pulsations as a potential hazard of the myocardial infarction // J. Atmos. Solar
Terr. Phys. – 2007. – V. 69. – P. 1759–1764.
Koons H.C., Fennell J.F. Space weather effects on communications satellites // The
radio Science bulletin, international union of radio Science. – 2006. – V. 16. – P. 27–41.
Koons H.C., Mazur J.E., Selesnick R.S., et al.The Impact of the Space Environment on Space Systems // Aerospace Report. #TR99-(1670)-1, 1999. – 13 p.
Kozlov D.A. Transformation and absorption of magnetosonic waves generated
by solar wind in the magnetosphere // JASTP. – 2010. – V. 72, N 18. – P. 1348–1353.
Kuo S.P., Wolfe A., Lee M.S. Spectral characteristics of hydromagnetic waves
in the magnetosphere // J. Plasma Phys. – 1987. – V. 38. – P. 235.
Leonovich A.S., Mazur V.A. An electromagnetic field induced in the ionosphere
and atmosphere and on the Earth’s surface by low-frequency Alfven oscillations of
the magnetosphere // Planet. Space Sci. – 1991. – V. 39. – P. 529.
Leonovich A.S., Mazur V.A. On the spectrum of magnetosonic eigenoscillations of
an axisymmetric magnetosphere // J. Geophys. Res. – 2001. – V. 106. – P. 3919–3928.
Leonovich A.S., Mishin V.V., Cao J.B. Penetration of magnetosonic waves into
the magnetosphere: influence of a transition layer // Ann. Geophys. – 2003. – V. 21,
N 5. – P. 1083–1093.
Leonovich A.S., Mishin V.V. Stability of magnetohydrodynamic shear flows
with and without bounding walls // J. Plasma Phys. – 2005. – V. 71. – P. 645–664.
126
Liu Chen. Kinetic Theory of Geomagnetic Pulsations // J. Geophys. Res. – 1991.
– V. 96. – P. 1503.
Lysak R.L., Lee D.H. The response of the dipole magnetosphere to pressure
pulses // Geophys. Res. Lett. – 1992. – V. 19. – P. 937.
Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Generation of Alfvén Waves by a Plasma Inhomogeneity Moving in the Earth’s Magnetosphere // Plasma Physics Reports. – 2007.
– V. 33. – P. 391.
Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Alfven ship waves: high-m ULF pulsations in
the magnetosphere generated by a moving plasma inhomogeneity // Ann. Geophys. –
2008. – V. 26. – P. 1653–1663.
Maltsev Yu.P., Leontyev S.V., Lyatsky V.B. Three-dimensional current system
in different phases of a substorm // Planet. Space Sci. – 1974. – V. 22. – P. 1519.
Mann I.R., Wright A.N., Cally P.S., Coupling of magnetospheric cavity modes to
field line resonances: A study of resonance widths // Geophys. Res. – 1995. – V. 104.
– P. 441.
Mann I.R., Chisham G., Bale S.D., Multisatellite and ground-based observations of
a tailward propagating Pc5 magnetospheric waveguide mode // J. Geophys. Res. – 1998.
– V. 103, N A3. – P. 4657–4669.
Mann I.R., Wright A.N., Mills K.J., et al. Excitation of magnetospheric waveguide modes by magnetosheath flows. // J. Geophys. Res. – 1999. – V. 0104, N A1.
– P. 333–353.
Mann I.R., Wright A.N. Diagnosing the Excitation Mechanisms of Pc5 Magnetospheric Flank Waveguide Modes and FLRs // Geophys. Res. Lett. – 1999. – V.
26, N 16. – P. 2609–2612.
Mazur N.G., Fedorov E.N., Pilipenko V.A. Emission of alfvén waves from a
nonuniform MHD waveguide // Plasma Phys. Rep. – 2001. – V. 27. – P. 773.
Mazur N.G., Fedorov E.N., Pilipenko V.A. MHD waveguides in space plasma //
Plasma Phys. Rep. – 2010. – V. 36. – P. 609.
McKenzie J.F. Hydromagnetic wave interaction with the magnetopause and the
bow shock // Planet. Space Sci. – 1970. – V. 18. – P. 1.
Mcpherron R.L. Magnetic pulsations: their sources and relation to solar wind
and geomagnetic activity // Surveys in Geophysics. – 2005. – V. 26. – P. 545–592.
Miura A., Pritchett P.L. Nonlocal stability analysis of the MHD Kelvin-Helmholtz
instability in a compressible plasma // JGR. – 1982. – V. 87. – P. 7431–7444.
Newton R.S., Southwood D.J., Hughes W.J. Damping of geomagnetic pulsations by the ionosphere // Planet. Space Sci. – 1978. – V. 26. – P. 201.
Ong R.S.B., Roderick N.F. On the kelvin-Helmholtz instability of the Earth's
magnetopause // Planet. Space Sci. – 1972. – V. 20. – P. 1.
Pilipenko V.A. ULF waves on the ground and in space // J. Atmos. Terr.
Phys. – 1990. – V. 52, N 12. – P. 1193.
Potapov A.S., Mazur V.A. Pc3 pulsations: From the source in the upstream region to Alfven resonances in the magnetosphere. Theory and observations // Solar
Wind Sources of Magnetospheric UltraLow-Frequency Waves. Edited by M. J.
Engebretson, K.Takahashi, and M. Scholer, Geophysical Monograph 81. Washington, D.C.: American Geophysical Union. – 1994. – P. 135–145.
127
Potapov A.S., Polyushkina T N., Pulyaev V.A. Observations of ULF waves in
the solar corona and in the solar wind at the Earth's orbit // J. Atmos. Solar-Terr.
Phys. –2013. –Vol. 102. –P. 235–242.
Pu Zu-yin, Kivelson M.G. The Kelvin–Helmholtz Instability at the magnetopause // J. Geophys. Res. – 1983. – V. 88. – P. 853–861.
Russel C.T. Planetary magnetospheres // Reports on Progress in Physics. – 1993.
– V. 56, N 6. – Р. 687–732.
Spreiter J.R., Summers A.L., Alksne A.Y. Hydromagnetic flow around the magnetosphere // Planet. Space. – 1966. – V. 14, N 3. – P. 223.
Stephenson J., Walker A.D.M. Correlation Between Radar Observations Of
Field Line Resonances And Discrete Oscillations In The Solar Wind Using Multitaper Methods // Geophys. Res. Lett. – 2010a. – V. 29. – P. 1297.
Stephenson J.A.E., Walker A.D.M. Coherence between radar observation of
magnetospheric field line resonances and discrete oscillations in the solar wind //
Ann. Geophys. – 2010b. – V. 28. – P. 47–59.
Singh A.K., Mishra S., Singh R. ULF wave index as magnetospheric and spaceweather parameters. Adv. Space. Res. – 2013. – V. 52(8). – P. 1427–1436.
Stoilova I., Dimitrova S. Geophysical variables and human health and behavior // J.
Atmos. Solar-Terr. Phys. – 2008. – V. 70. – P. 428–435.
Sung S.K., Kim K.H., Lee D.H., et al. Simultaneous ground-based and satellite
observations of Pc5 geomagnetic pulsations: A case study using multipoint measurements // Earth Planets Space. – 2006. – V. 58. – P. 873–883.
Thomson D.J., Lanzerotti L.J., Maclennan C.G. Interplanetary magnetic field: statistical properties and discrete modes // J. Geophysics. Res. – 2001. – V. 106. – P. 15941–
15962.
Thomson D.J., Lanzerotti L.J., Maclennan C.G. Study of some statistics of the
interplanetary magnetic field and implications for discrete modes // Adv. Space Res.
– 2002. – V. 29, N 12. – P. 1911–1916.
Trussoni E., Dobrowolny M., Mastrantonio G. Kelvin–Helmholtz instability of
the magnetopause boundary: Comparison with observed fluctuations // Planet. Space
Sci. – 1982. – V. 30. – P. 677–685.
Uberoi C. On the Kelvin–Helmholtz instability of structured plasma layers in the
magnetosphere // Planet. Space Sci. – 1986. – V. 34. – P. 1223–1227.
Walker A.D.M. The Kelvin–Helmholtz instability in the low-latitude boundary
layer // Planet. Space Sci. – 1981. – V. 29. – P. 1119.
Walker A.D. M. Excitation of magnetohydrodynamic cavities in the magnetosphere // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. – 1998. – V. 60. – P. 1279–1293.
Walker A.D.M. Coupling between waveguide modes and field line resonances //
J. Atmos. Solar-Terr. Phys. – 2000a. – V. 62. – P. 799.
Walker A.D.M. Reflection and transmission at the boundary between two
counterstreaming MHD plasmas ― active boundaries or negative-energy waves? // J.
Plasma Phys. – 2000b. – V. 63. – P. 203.
Walker A.D.M., Excitation of field line resonances by sources outside the magnetosphere // Ann. Geophys. – 2005. – V. 23. – P. 3375–3388.
Watanabe K., Sato T. Global simulation of the solar wind ― magnetosphere in-
128
teractions. The importance of its numerical validity // J. Geophys. Res. – 1990. – V. 95,
N A1. – P. 75–88.
Weaver M., Murtagh W., Balch C., et al. Halloween Space Weather Storms of
2003 // Rep. NOAA technical memorandum 2004 OAR SEC-88, NOAA.
Wright A.N. Dispersion and wave coupling in inhomogeneous MHD waveguides // J. Geophys. Res. – 1994. – V. 99. – P. 159–167.
Wright A.N., Mann I.R., Global MHD eigenmodes of the outer magnetosphere.
“Magnetospheric ULF waves: synthesis and new directions”. Edited by Kazue
Takahashi et al. Geophysical Monograph. Washington, DC: American Geophysical
Union. – 2006. – DOI: 10.1029/169GM06.
Wright A.N., Rickard G.J. ULF pulsations driven by magnetopause motions:
azimuthal phase characteristics // J. Geophys. Res. – 1995. – V. 100. – P. 23703.
Ziesolleck C.W.S., Chamalaun F.H. A two-dimensional array study of lowlatitude Pc5 geomagnetic pulsations // J. Geophys. Res. – 1993. – V. 98. – P. 13.703.