ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА БОРТОВЫХ ЦИФРОВЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА
2012
№ 186
УДК 629.7.05
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
ДЛЯ АНАЛИЗА БОРТОВЫХ ЦИФРОВЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ
Н.Н. СУХИХ, В.Л. РУКАВИШНИКОВ
В статье предложен подход использования и определения функции чувствительности отдельных дискретных
звеньев для упрощения решения задачи анализа влияния изменения коэффициента передачи бортового цифрового
вычислителя на динамику системы управления.
Ключевые слова: функция чувствительности, передаточная функция, бортовая цифровая автоматическая
система управления полетом.
1. Постановка задачи
Характерной чертой развития бортовых автоматических систем управления полетом является
использование в качестве управляющего органа цифровых вычислительных машин. Применение
цифровых систем управления позволяет решать задачи с большим объемом логических операций
и обеспечивает эффективное повышение надежности. Однако применение бортовых ЦВМ выдвигает ряд проблем, одной из которых является борьба с отказами (сбоями) [1]. Решая данную
задачу, прежде всего, следует определить влияние отказов (сбоев) в БЦВМ на динамику системы.
Считаем, что отказы (сбои) проявляются в изменении коэффициента передачи БЦВМ [2; 3].
Влияние изменения коэффициента на значение выходного сигнала целесообразно исследовать с
использованием аппарата теории чувствительности. Всякая передаточная функция ЦВМ или передаточная функция замкнутой цифровой системы может быть разложена на сумму простейших
дробей, представляющих собой передаточные функции простейших дискретных звеньев. В статье
рассматривается определение функции чувствительности некоторых звеньев.
2. Об изменении коэффициента передачи ЦВМ
На рис. 1 представлена одноконтурная цифровая автоматическая система.
Рис. 1. Одноконтурная цифровая автоматическая система
Для оценки влияния отказа вычислителя на динамику замкнутой цифровой автоматической
системы определим функцию чувствительности выходной величины системы (рис. 1) к изменению коэффициента передачи ЦВМ
U = ∂Y (z ) / ∂K ц 0 ,
(1)
помня, что
Y (z ) = G (z )K ц D0 (z )W (z ) / 1 + K ц D0 (z )W (z ) .
(2)
[
]
[
]
Подставляя (2) в (1), нетрудно вывести следующую зависимость U = Φ(z )G(z )[1 − Φ(z )] / Kц 0 ,
где Ф(z) – передаточная функция замкнутой системы при номинальном коэффициенте передачи
ЦВМ.
Определение функции чувствительности вида U в удобном для последующих расчетов виде,
как правило, не представляется возможным ввиду громоздкости выражения для вычисления U.
93
Использование функции чувствительности для анализа …
Как было сказано выше, данная функция может быть разложена на простейшие дроби, представляющие собой передаточные функции простейших дискретных звеньев.
3. Определение функции чувствительности
Передаточная функция дискретного звена W(z) при наличии экстраполятора нулевого порядка определяется следующим соотношением [4]
W (z ) = Z (z − 1){W (s ) / s}/ z .
(3)
Зная z-преобразование входного сигнала X(z) и передаточную функцию W(z), легко определить решетчатую функцию на выходе звена y[n]
y [n ] = Z −1{W (z )X (z )}.
(4)
Продифференцируем обе части уравнения (4) по некоторому параметру α и положим α = αн,
где αн – неизменное значение α [5]
[∂y[n] / ∂α]α = α n
{
}
= Z −1 [∂W (z ) / ∂α]α = α n X (z ) .
(5)
Введем ряд обозначений в уравнение (5): hα [n ] = [∂y[n ] / ∂α]α = α n - функция чувствительно-
сти по параметру α во временной области; H α (z ) = [∂W (z ) / ∂α]α = α n - передаточная функция
звена по коэффициенту влияния; hα (z ) = H α (z )X (z ) - функция чувствительности по параметру α
в области комплексного переменного или оператор чувствительности.
С учетом введенных обозначений уравнение (5) примет вид
hα [n ] = Z −1{hα (z )} .
(6)
Считая, что на вход звена подается единичное ступенчатое воздействие 1[n], оператор чувствительности запишется так
hα (z ) = zH α (z ) / (z − 1) .
(7)
Выражение (7) представляет собой дробно-рациональную функцию. При высокой степени z
числителя и знаменателя этой дроби получить непосредственно обратное z-преобразование
сложно, поэтому данную дробно-рациональную функцию следует разложить на сумму простых
дробей. В большинстве случаев эти дроби будут представлять собой функции чувствительности
некоторых дискретных звеньев. Зная значения функций чувствительности в области комплексного переменного по уравнению (6), можно определить эти функции во временной области.
В связи с этим важно иметь готовые функции чувствительности дискретных звеньев.
Рис. 2. Функция чувствительности по коэффициенту усиления
дискретного аналога интегрирующего звена
Рассмотрим интегрирующее звено с передаточной функцией W (s ) = k / s
{
}
W (z ) = Z k / s 2 (z − 1) / z = kT 0 / (z − 1) .
(8)
94
Н.Н. Сухих, В.Л. Рукавишников
Определим функцию чувствительности звена с передаточной функцией (8) по коэффициенту усиления k
d
H k (z ) = T0 / (z − 1) ; hk (z ) = T0 z / (z − 1)2 ; hk [n ] = Z −1 T0 z / (z − 1)2 = lim
T0 z n = n .
(9)
z →1 dz
Графически зависимость (9) показана на рис. 2.
Рассмотрим дискретный аналог апериодического звена первого порядка и определим функции чувствительности звена по коэффициенту усиления и постоянной времени
W (s ) = k / (1 + Ts ) ,
W (z ) = (z − 1)Z {k /[s (1 + Ts )]}/ z = k (1 − d ) / (z − d ) ,
(10)
где d = exp(− T / T0 ) .
{
}
(
)
H k (z ) = (1 − d )(z − d )−1 ; hk (z ) = z (1 − d )(z − 1)−1 (z − d )−1 ;
{
}
hk [n ] = Z −1 [z (1 − d )] ⋅ [(z − 1)(z − d )]−1 = 1 − d n .
Соответствующая графическая зависимость (11) показана на рис. 3.
(11)
Р
коэффициенту
Рис. 3. Функция чувствительности по коэффициенту усиления
дискретного аналога апериодического звена первого порядка
H T (z ) = [k (1 − exp(− T0 / T ))(z − exp(− T0 / T ))]T• = Т =
Н
= kT0 (1 − z ) exp(− T0 / TH ) /[TH (z − exp(− T0 / TH ))]2 ;
{
hT (z ) = − zkT0 exp(− T0 / TH ) /[TH (z − exp(− T0 / TH ))]2 ;
}
hT [n ] = Z −1 − zkT0 exp(− T0 / TH ) /[TH (z − exp(− T0 / TH ))]2 = − kT0 n{exp[− nT0 / Tn ]}/ Tn2 .
(12)
Соответствующая графическая зависимость (12) показана на рис. 4.
Рис. 4. Функция чувствительности по постоянной времени
дискретного аналога апериодического звена первого порядка
Нахождение функции чувствительности звена с дискретной передаточной функцией W(z),
представляющей собой правильную дробь, степень z знаменателя которой равна 2, рассмотрим
на следующем примере.
Пусть
W (z ) = kT0 {z [1 − T (1 − d ) / T0 ] + T (1 − d ) / T0 − d }/ z 2 − (1 + d )z + d .
(13)
[
]
95
Использование функции чувствительности для анализа …
Будем определять только hk[n], т.к. определение hT[n] осуществляется по такой же методике
только с более громоздкими выкладками.
H k (z ) = T0 {z[1 − T (1 − d ) / T0 ] + T (1 − d ) / T0 − d }/ z 2 − (1 + d )z + d ;
hk (z ) = T0 z{z[1 − T (1 − d ) / T0 ] + T (1 − d ) / T0 − d }/ (z − 1) .
(14)
Нахождение обратного z-преобразования непосредственно по формуле (14) для определения hk[n] является довольно трудоемкой операцией. Разложим hk(z) на сумму простейших дробей и найдем hk[n]
hk (z ) = zT0 / (z − 1)2 + zT (d − 1) /[(z − 1)(z − d )]
[
{
]
}
hk (n ) = Z −1 zT0 / (z − 1)2 + zT (d − 1) /[(z − 1)(z − d )] =
{
}
.
(15)
= Z −1 zT0 / (z − 1)2 + Z −1{zT (d − 1) /[(z − 1)(z − d )]}
Сравнивая выражения первого слагаемого в формуле (15) с соотношением (9), нетрудно
убедиться, что это есть функция чувствительности дискретного аналога интегрирующего звена
по коэффициенту усиления. Второе слагаемое представляет собой функцию чувствительности
по коэффициенту усиления дискретного аналога апериодического звена с отрицательным знаком (это видно из соотношения (11)).
Отсюда
hk [n ] = n − T 1 − d n .
(16)
Нахождение hα[n] для звена с передаточной функцией W(z), имеющей числитель и знаменатель
с высокой степенью z, легко осуществить аналогичным образом.
(
)
ЛИТЕРАТУРА
1. Сухих Н.Н., Ковалев А.Г., Рукавишников В.Л. Использование принципа реконфигурации для построения
толерантной мажоритарной вычислительной системы управления полетом // Авиакосмическое приборостроение.
- 2009. - № 2. - С. 17 - 21.
2. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. - М.: Наука, 1976.
3. Сухих Н.Н. О чувствительности автоматической системы к изменению коэффициента передачи цифрового
управляющего устройства // Изв. вузов, серия Приборостроение. -1991. - № 10. - С. 30 – 36.
4. Федоров С.М., Литвинов А.П. Автоматические системы с цифровыми управляющими машинами.
- М.: Энергия, 1965.
5. Быховский М.Л. Чувствительность и динамическая точность систем управления // Известия AН СССР.
Техническая кибернетика. - 1964. - № 6.
APPLICATION OF THE SENSITIVITY FUNCTION FOR THE ANALYSIS OF AUTOMATIC
ON-BOARD DIGITAL FLIGHT CONTROLLING SYSTEMS
Sukhikh N.N., Rukavishnikov V.L.
The articles presents a sensitivity function for a series of discrete elements. The function is used for a simplified solution of the problem establishing impact of the changes in transfer ratio of an on-board computing unit on the dynamical
characteristics of a controlling system.
Key words: sensitivity function, transfer function, automatic on-board digital flight controlling system.
Сведения об авторах
Сухих Николай Николаевич, 1951 г.р., окончил Ленинградский институт точной механики и оптики (1974), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой систем автоматизированного
управления, первый проректор - проректор по учебной работе Санкт-Петербургского государственного
университета гражданской авиации, автор более 100 научных работ, область научных интересов - бортовые автоматизированные системы управления полетом.
Рукавишников Валентин Леонидович, 1956 г.р., окончил Ленинградский институт авиационного
приборостроения (1981), доцент кафедры систем автоматизированного управления Санкт-Петербургского государственного университета гражданской авиации, автор 23 научных работ, область научных
интересов - автоматизация процессов управления.