СИНТЕЗ КОМПАКТОВ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ

Реклама
Ë.À. Øèðîêîâ
ÓÄÊ 517.987
ÑÈÍÒÅÇ ÊÎÌÏÀÊÒÎÂ ×ÓÂÑÒÂÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ
ÄËß ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈÈ
ÏÀÐÀÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÐÅÃÓËÈÐÎÂÀÍÈß
Ë.À. Øèðîêîâ
òîìàòèçàöèè ïðîöåññîâ îïòèìàëüíîé ïàðàìåòðè÷åñêîé íàñòðîéêè ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå ãðàäèåíòíûõ àëãîðèòìîâ,
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
ØÈÐÎÊÎÂ
Ëåâ
Àëåêñååâè÷
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
È
Äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è ñèñòåì â ýêîíîìèêå è
óïðàâëåíèè ÌÃÈÓ. Àêàäåìèê Ìåæäóíàðîäíîé àêàäåìèè èíôîðìàòèçàöèè, ÷ëåí-êîððåñïîíäåíò Ðîññèéñêîé àêàäåìèè åñòåñòâåííûõ íàóê, Èçîáðåòàòåëü
ÑÑÑÐ. Ñïåöèàëèñò â îáëàñòè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ÑÀÏÐ, èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. Àâòîð
3 ìîíîãðàôèé, áîëåå 130 íàó÷íûõ ñòàòåé, âêëþ÷àÿ
èçîáðåòåíèÿ, 2 ó÷åáíèêîâ è áîëåå 20 ó÷åáíûõ ïîñîáèé.
Ââåäåíèå
Äëÿ àâòîìàòèçèðîâàííîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ
ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à àâòîìàòèçàöèè ïðîöåññîâ íàñòðîéêè âåêòîðîâ ïàðàìåòðîâ ðåãóëÿòîðîâ ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ. Àâòîìàòè÷åñêàÿ ïàðàìåòðè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ òàêæå âàæíà è äëÿ óñëîâèé èõ ðåàëüíîé ýêñïëóàòàöèè â ñëó÷àÿõ ñàìîíàñòðàèâàþùèõñÿ è àäàïòèâíûõ ñòðóêòóðíûõ ðåøåíèé
ïðè èõ ñèíòåçå. Ýôôåêòèâíûì ïîäõîäîì ê àâ© Ë.À. Øèðîêîâ, 2008
22
ìåòîäà Íüþòîíà, ìåòîäà Ãåññå. Ïðè èõ ðåàëèçàöèè íà îñíîâå áåñïîèñêîâûõ ïðèíöèïîâ îïòèìèçàöèè íàõîäèò ïðèìåíåíèå òåîðèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè [1–4]. Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè îïðåäåëÿþò ãðàäèåíò, ýêñòðàïîëÿöèîííûå ìàòðèöû óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè
[1,5]. Òàê, ïðè îïòèìèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïî âåêòîðó ïàðàìåòðîâ íàñòðîéêè
ñ=(ñ0,...,ñn)ò ("ò" – ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ)
íà îñíîâå êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè
(1)
I=L(F1(x(t))+F2(x1c(t)))
ñ ëèíåéíûì îïåðàòîðîì L, íåëèíåéíûìè âûïóêëûìè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè F1 è F2 ñîîòâåòñòâåííî îò âûõîäíîé êîîðäèíàòû ñèñòåìû x(t)=x(t,ñ) è âåêòîðà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà
x1c(t)=(x0(t),...,xn(t)),
(2)
ãäå 1 – èíäåêñ âåêòîðà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
ïåðâîãî ïîðÿäêà xj(t)=∂x(t)/∂cj , j=
[3], äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåêòîðà ãðàäèåíòà ∇cI=∂I/∂c äîëæíà
îäíîâðåìåííî ñ x1c (t) âû÷èñëÿòüñÿ è ìàòðèöà
ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà:
,
(3)
x2c (t)=|| xjl(t)||, j,l=
ãäå 2 – èíäåêñ âåêòîðà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà xjl(t)=∂2xjl(t)/∂cj∂cl.
Ïðè îïòèìèçàöèè ñ ýêñòðàïîëÿöèîííîé
ìàòðèöåé Ãåññå H=∂∇cI/∂c â ñëó÷àå êðèòåðèÿ
(1) òðåáóþòñÿ è ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà:
Ñèíòåç êîìïàêòîâ ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ àâòîìàòèçàöèè
ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ
ðîñ îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ íà îäíîé ìîäåëè âïåðâûå ðåøåí â ðàáîòàõ
[6,7].
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé
âàæíà ðàçðàáîòêà ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé
äëÿ îäíîâðåìåííîãî ïîëó÷åíèÿ âñåõ âåêòîðîâ
ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåáóåìîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü êîìïàêòàìè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ è ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè àâòîìàòè÷åñêîé ïàðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ.
Çàäà÷à àâòîìàòè÷åñêîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî
ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
ðåãóëèðîâàíèÿ
Àâòîìàòè÷åñêèå ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ
ëèíåéíûìè â îáùåì ñëó÷àå íåìíèìàëüíî-ôàçîâûìè îáúåêòàìè, ê êîòîðûì îòíîñÿòñÿ è
îáúåêòû ñ çàïàçäûâàíèåì, ìîãóò áûòü îïèñàíû [5] äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âèäà:
q nx (n)(t)+q n-1x (n-1)(t)+...+q 0x (0)(t)=b mz (m)(t-τ)+
+bm-1z(m-1)(t-τ)+...+b0z(0)(t-τ),
(5)
ãäå m<n (âåðõíèå èíäåêñû â ñêîáêàõ îáîçíà÷à-
äåì ðàññìàòðèâàòü àääèòèâíî âêëþ÷åííûå c
âåêòîðîì ïàðàìåòðîâ îáúåêòà à è âåêòîð ïàðàìåòðîâ íàñòðîéêè c àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà:
q = à + c,
ò
ãäå a=(a0,...,an) , ñ=(ñ0,...,ñn)ò, q=(q0,...,qn)ò.
 ïðîöåññå ïàðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè
ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ äîëæåí íàñòðàèâàòüñÿ (n+1)-ìåðíûé âåêòîð c.
Ïðè òðàäèöèîííîì ïîäõîäå, äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (5) ïî âåêòîðó ïàðàìåòðîâ íàñòðîéêè ðåãóëÿòîðà, ïîëó÷àþò ñèñòåìû (n+1)
óðàâíåíèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè [1]:
,
(6)
ãäå xj(t)=(x(n)j(t), x(n-1)j(t),...,xj(t))T – âåêòîð ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà xj(t) âûõîäíîé êîîðäèíàòû x(t) ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó
íàñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà cj; Ò –
ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ; x(j)(t) – j-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè t îò âûõîäíîé êîîðäèíàòû x(t)
ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ.
Òàê êàê íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû (5) íóëåâûå, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå
(6) òàêæå áóäóò íóëåâûìè:
xj(i)(0)=0, j=
, i=
.
(7)
Äëÿ îäíîâðåìåííîãî ïîëó÷åíèÿ êîìïîíåíò
âåêòîðà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè (2) ñëåäóåò
ðåøàòü âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6). Ïðè òàêîì
ïîäõîäå èìåííî ýòîò ôàêò ïðåäîïðåäåëÿåò ãðîìîçäêîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ
îáúåìà ïðîãðàììû, òàê è ñ òî÷êè çðåíèÿ âðåìåíè
åå ðåàëèçàöèè. Èìåÿ â âèäó çàäà÷ó ðàçðàáîòêè
23
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
Äëÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà ýòî îáåñïå÷èâàåò ìåòîä òî÷åê ÷óâñòâèòåëüíîñòè [1]. Äëÿ îäíîâðåìåííîãî ïîëó÷åíèÿ ìàòðèö ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàçðàáîòàí ñòðóêòóðíûé ìåòîä [2,3], îäíàêî îí ïðåäóñìàòðèâàåò ïðèìåíåíèå ñîâîêóïíîñòè èç áîëåå ïÿòè ñïåöèàëüíûõ ïðàâèë. Âîï-
êàÿ, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ (5) óäîâëåòâîðÿþòñÿ óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè â íåêîòîðîé îòêðûòîé îáëàñòè D è óñëîâèÿ Ëèïøèöà, ÷åì îáåñïå÷èâàåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ.
Äëÿ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ â ñîñòàâå âåêòîðà âàðüèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû q áó-
È
ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, à òàêæå óñêîðåíèÿ ôîðìèðîâàíèÿ èñêîìûõ ïðîåêòíûõ
ðåøåíèé ïðè ìåíüøèõ çàòðàòàõ öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü ìåòîäû îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ òðåáóåìûõ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè.
÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:
.
Çäåñü z(t-τ)=0 ïðè t<τ; bi – ôèêñèðîâàííûå,
qi – âàðüèðóåìûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû; τ≥0 – ÷èñòîå çàïàçäûâàíèå; z – íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òà-
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
ñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà: xjlk(t)=∂3x(t)/∂cj∂ck∂cl.
 äðóãèõ ïîñòàíîâêàõ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè è áîëåå âûñîêèõ
ïîðÿäêîâ.
Äëÿ óïðîùåíèÿ àëãîðèòìè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ àâòîìàòèçèðîâàííîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ
þò ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè) ñ íóëåâûìè íà-
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
x3c (t)=|| xjlk(t)||, j,l,k=
,
(4)
ãäå 3 – èíäåêñ âåêòîðà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíî-
Ë.À. Øèðîêîâ
áîëåå ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ îïòèìèçàöèè,
ðàññìîòðèì äëÿ àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ ïðèìåíåíèå ìåíåå ñëîæíûõ ñòðóêòóð, ò.å.
êîìïàêòîâ ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ ãåíåðàöèè âñåõ
òðåáóåìûõ âåêòîðîâ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
ïðè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ îïòèìèçàöèè. Êàê
îòìå÷åíî âûøå, áàçèñîì äëÿ ðåàëèçàöèè òàêîé
âîçìîæíîñòè îäíîâðåìåííîãî ïîëó÷åíèÿ âåêòîðîâ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î ãëîáàëüíîé âçàèìîñâÿçè ôóíêöèé
÷óâñòâèòåëüíîñòè ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
è âûòåêàþùåå èç íåå ñëåäñòâèå.
Òåîðåìà î ãëîáàëüíîé âçàèìîñâÿçè
ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ëèíåéíûõ
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
È
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
âèäà (5): n-ãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè è ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ðàçëè÷íîãî ïîðÿäêà ïî ðàçëè÷íûì ïàðàìåòðàì âçàèìîñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè:
(8)
 îñíîâå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû èñïîëüçóåòñÿ ëåììà.
Ëåììà.  äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, îïèñûâàåìûõ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âèäà (5) ñ íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, ïðîèçâîäíûå
(9)
èìåþò íóëåâûå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû îñíîâûâàåòñÿ íà
àíàëèçå ñèñòåìû óðàâíåíèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
(6) è èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (5), èìåþùèõ íóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî
xj(n)(0)=0, j=
.
(10)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè j-å óðàâíåíèå ñèñòåìû (6):
Îòêóäà ïðè t=0 ñ ó÷åòîì (10) ïîëó÷èì:
xj(n+1)(0) = 0, j =
(11)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè çíà÷åíèÿõ ïîðÿäêîâ
24
(12)
Äîêàæåì àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ p=k+1.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì j-å óðàâíåíèÿ
(
ìåííîé t:
) ñèñòåìû (6) k+1 ðàç ïî ïåðå-
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ
óñëîâèé èç ñîîòíîøåíèé (7),(10) – (12), èç ïîëó÷åííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñëåäóåò:
xj(n+k+1)(0) = 0,
 äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, îïèñûâàåìûõ
ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè
.
ïðîèçâîäíûõ ïî t äî k-ãî âêëþ÷èòåëüíî óñòàíîâëåí ôàêò íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ
ïðîèçâîäíûõ
.
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (9) ñïðàâåäëèâû, ò.å. ëåììà äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå. Äîêàçàííûé â ëåììå ðåçóëüòàò èìååò ìåñòî ïðè èçìåíåíèè i èìåííî äî
2n-1. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè i=2n íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ (9) îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé â (5), êîòîðîå âû÷èñëÿåòñÿ óæå ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó çíà÷åíèþ ïðàâîé ÷àñòè.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ðàññìîòðèì
ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (6) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (7). Êàæäîå
óðàâíåíèå ñèñòåìû (6), ðàçðåøåííîå îòíîñèòåëüíî ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, èìååò ñîîòâåòñòâóþùóþ ïðàâóþ ÷àñòü, íåïðåðûâíóþ è èìåþùóþ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè, îïðåäåëåííîé íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âñåì ñâîèì àðãóìåíòàì.
Ïðè óñëîâèè ñîáëþäåíèÿ ñîîòíîøåíèé
(13)
ïðîäèôôåðåíöèðóåì j-å óðàâíåíèå èç ñèñòåìû (6) (j ∈[
]) k ðàç ïî ïåðåìåííîé t:
(14)
Ñîïîñòàâëÿÿ óðàâíåíèÿ (14) è (6), ìîæíî
çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (13) â
ñèñòåìå (6) íàéäåòñÿ (j+k)-e óðàâíåíèå ñ ïðàâîé ÷àñòüþ, ðàâíîé ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ
(14). Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû è èõ ëåâûå ÷àñòè:
(15)
Íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15), ïðåäâà-
Ñèíòåç êîìïàêòîâ ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ àâòîìàòèçàöèè
ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ
(17)
(18)
Îïðåäåëèì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïåðåìåííûõ
uk(i)(t) â (18) ïðè
. Ñ ýòîé
öåëüþ, êàê ñëåäóåò èç (16), äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ñ ó÷åòîì (13) íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ
xj(j+k)(t) è
, i=
, j= . Íà îñíîâå (10) è
ëåììû ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íà÷àëüíûå
óñëîâèÿ ýòèõ ôóíêöèé áóäóò èìåòü íóëåâûå çíà÷åíèÿ.
Èç àíàëèçà îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (18) ïðè ïîëó÷åííûõ íà÷àëüíûõ
óñëîâèÿõ ìîæíî óñòàíîâèòü íàëè÷èå íóëåâîãî
ðåøåíèÿ:
.
(19)
 ñîîòâåòñòâèè ñ èñõîäíîé ôîðìóëèðîâêîé
çàäà÷è ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (18) íåïðåðûâíà è èìååò â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè, îïðåäåëåííîé íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè, íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî
. Òîãäà, â ñîâñåì àðãóìåíòàì uk(t),u1k(t),...,
îòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî íàéäåòñÿ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå n ðàç äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ uk(t), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (18) è çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, êîòîðàÿ åäèíñòâåííà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè çàäàííûõ
óñëîâèÿõ íóëåâîå ðåøåíèå (19) ñóùåñòâóåò è îíî
åäèíñòâåííî.
Òîãäà íà îñíîâàíèè ñîîòíîøåíèÿ (17) ìîæíî çàïèñàòü:
(20)
Äèôôåðåíöèðóÿ (20) ïî ëþáîìó j-ìó ïàðàìåòðó ci (i∈[0, n]), ïîëó÷àåì:
(21)
Ó÷èòûâàÿ ïåðåñòàíîâî÷íîñòü èíäåêñîâ ïàðàìåòðîâ âåêòîðà ñ, è ââîäÿ îáùóþ èíäåêñàöèþ, ñîîòíîøåíèå (21) ìîæíî ïåðåïèñàòü â
êàçàíà.
Ñîîòíîøåíèå (8) ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ñèñòåì âèäà (5), ðàñïîëàãàÿ ôóíêöèÿìè ÷óâñòâèòåëüíîñòè íåêîòîðîãî r-ãî ïîðÿäêà ïî êàêèìëèáî ïàðàìåòðàì, ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè òîãî æå ïîðÿäêà ïî ïàðàìåòðàì
ñî ñìåùåííûìè íà íåêîòîðûå âåëè÷èíû èíäåêñàìè ëèáî ð-êðàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî
âðåìåíè èñõîäíîé ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè,
åñëè ð–ïîëîæèòåëüíîå ñìåùåíèå, ëèáî ð-êðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì, åñëè ð – îòðèöàòåëüíîå
ñìåùåíèå. Èç òåîðåìû âûòåêàåò ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî â òåîðåìå êëàññà ñèñòåì ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïîðÿäêà
, èìåþùèå ðàâíûå
ñóììû èíäåêñîâ ïàðàìåòðîâ, ïî êîòîðûì îíè
îïðåäåëÿþòñÿ, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (8) íà
îñíîâå òåîðåìû ìîæíî â ñâîþ î÷åðåäü çàïèñàòü ðàâåíñòâî:
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
uk(t)=xj(k)(t)-xj+k(t),
ïåðåïèøåì (16) â âèäå:
Ïðîäîëæàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå, ìîæíî ïîëó÷èòü ïîäîáíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
âçàèìîñâÿçè ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà â âèäå (8), ò.å. òåîðåìà äî-
È
Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå
.
(22)
Îíî ñïðàâåäëèâî ïðè ôèêñèðîâàííîì ðc ,
êîòîðîå ìîæåò áûòü êîìáèíàöèåé èíäåêñîâ
ëþáûõ ïàðàìåòðîâ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
r-ãî ïîðÿäêà.
Ñôîðìóëèðîâàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò ïî
ñîîòíîøåíèþ (8) ïðè r=1 óñòàíîâèòü âçàèìîñâÿçè ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ ñèñòåìû
(6). Íà èõ îñíîâå ìîæíî ñòðîèòü êîìïàêòû ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ
êîìïîíåíòîâ âåêòîðà (2), èñïîëüçóÿ ëèøü ïåðâîå óðàâíåíèå èç ñèñòåìû (6), àäåêâàòíîå ïî
ñòðóêòóðå óðàâíåíèþ (5). Íàçîâåì åãî áàçîâûì
óðàâíåíèåì ÷óâñòâèòåëüíîñòè. Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò ôóíêöèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè
x0(t), à îäíîâðåìåííî ïîëó÷àåìûå ïî (8) ïðè
r=1, i1=0, k1=j ïðîèçâîäíûå ðåøåíèÿ åñòü îñ-
25
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
(16)
âèäå:
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
ðèòåëüíî ñãðóïïèðîâàâ ÷ëåíû ïðè îäèíàêîâûõ
êîýôôèöèåíòàõ:
Ë.À. Øèðîêîâ
òàëüíûå ôóíêöèè âåêòîðà (2):
.
(23)
Êîìïàêò ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ ãåíåðàöèè
ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà
 ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì, ðàññìîòðèì ìåòîäèêó îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ âñåãî âåêòîðà òðåáóåìûõ äëÿ àëãîðèòìîâ
îïòèìèçàöèè ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðî-
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
È
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
ãî ïîðÿäêà. Ñ ýòîé öåëüþ ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âåêòîðó ñ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (6)
ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (23).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó èç óðàâíåíèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
âòîðîãî ïîðÿäêà:
cTxj0(t)=–2x0(j)(t), j= ,
(24)
ãäå xj0(t)=(x(n)j0(t)+x(n-1)j0(t)+...+xj0(t))T – âåêòîð ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà xj0(t) âûõîäíîé êîîðäèíàòû x(t) ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó
íàñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà cj è ïàðàìåòðó íàñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà c0; x0(j)(t) – j-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè t îò
ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïåðâîãî ïîðÿäêà
x0(t)âûõîäíîé êîîðäèíàòû x(t) ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó íàñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà c0.
Ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (24) ñîñòàâëÿþò ïåðâóþ âåêòîð-ñòðîêó ìàòðèöû (3):
(25)
SM(0)=(x00(t),...,x0n(t)).
Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïî âåêòîðó ïàðàìåòðîâ ñ îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (6), ìîæíî ñôîðìèðîâàòü ñîâîêóïíîñòü
ñèñòåì óðàâíåíèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî
ïîðÿäêà, ðåøåíèÿ êîòîðûõ ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü
âñþ ìàòðèöó (3). Îäíàêî òàêîé ïóòü âåñüìà ãðîìîçäîê. Óïðîùåíèå âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè îáåñïå÷èâàåò ñôîðìóëèðîâàííàÿ òåîðåìà, èç ñîîòíîøåíèÿ (8) êîòîðîé ïðè
r=2 ñëåäóåò ðàâåíñòâî:
v=1,2.
(26)
Íà åãî îñíîâå ìîæíî âû÷èñëÿòü ýëåìåíòû
ïåðâîé ñòðîêè SM(0)=(SM(0,0),...,SM(0,n)) (çäåñü
SM(0,i)= xni(t), i= ) ìàòðèöû (3), èñïîëüçóÿ ëèøü
ïåðâîå óðàâíåíèå èç (24), ÷àñòü êîòîðîãî àäåêâàòíà èñõîäíîìó óðàâíåíèþ. Ðåøåíèå ýòîãî
26
óðàâíåíèÿ åñòü ôóíêöèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè x00(t),
à îäíîâðåìåííî ïîëó÷àåìûå ïðîèçâîäíûå ðåøåíèÿ ïî t â ñîîòâåòñòâèè ñ (26) ïðè i1+k1, i2=0;
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îñòàëüíûå ôóíêöèè
k 2=
÷óâñòâèòåëüíîñòè â (25).
Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ðåøåíèåì êàæäîãî j-ãî (
) óðàâíåíèÿ èç ñèñòåìû (24) áóäåò ôóíêöèÿ x0j(t) – ïåðâûé ýëåìåíò SM(j)-é ñòðîêè ìàòðèöû (3), à îäíîâðåìåííî ïîëó÷àåìûå
ïðè åãî ðåøåíèè ïðîèçâîäíûå ñîñòàâÿò åå îñòàëüíûå ýëåìåíòû.
Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû (3) îáåñïå÷èâàåò èñïîëüçîâàíèå ñëåäñòâèÿ òåîðåìû, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì
(27)
ãäå kv– âàðèàöèÿ èíäåêñîâ ïàðàìåòðîâ, ïî êîòîðûì îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè. Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ðàñïîëîæåííûå â äèàãîíàëÿõ ìàòðèöû (3), ïåðåñåêàþùèõ ãëàâíóþ,
ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèå (27) óñòàíàâëèâàåò çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ìàòðèöû (3), ðàñïîëîæåííûõ íà ïîáî÷íîé äèàãîíàëè è íàä íåé, ïî ôóíêöèÿì, âû÷èñëåííûì äëÿ
ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû. Ñîâîêóïíîñòü ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
ïðåäñòàâèì ïîäìíîæåñòâîì Q21 ìíîæåñòâà Q2
ýëåìåíòîâ ìàòðèöû (3). Îíî âêëþ÷àåò
ýëåìåíòîâ. Àíàëîãè÷íî ïî ôóíêöèÿì ÷óâñòâèòåëüíîñòè n-é ñòðîêè ìàòðèöû
(3):SM(n)=(SM(n,0),..., SM(n,n)), âû÷èñëåííûì íà
îñíîâå n-ãî óðàâíåíèÿ èç ñèñòåìû (24), ìîæíî â
ñîîòâåòñòâèè ñ (27) óñòàíîâèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèé, ðàñïîëîæåííûõ íàä ýòîé ñòðîêîé äî ïîáî÷íîé äèàãîíàëè âêëþ÷èòåëüíî. Ïðåäñòàâèì èõ ïîäìíîæåñòâîì Q22 ìàòðèöû (3). Ñëåäîâàòåëüíî,
ðåøåíèåì äâóõ óðàâíåíèé èç ñèñòåìû (23), ñîñòàâëåííûõ ñîîòâåòñòâåííî îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ ñ0 è ñn, âû÷èñëÿåòñÿ âñå ìíîæåñòâî Q2.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû (3) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ è îäíèì n-ì óðàâíåíèåì èç ñèñòåìû
(24), êîòîðîå íàçîâåì áàçîâûì. Ïî ýòîìó óðàâíåíèþ âû÷èñëÿåòñÿ n-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû (3) è
ñîîòâåòñòâåííî ïîäìíîæåñòâî Q22. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèé ïîäìíîæåñòâà Q21, ðàñïîëîæåííûõ íàä ïîáî÷íîé äèàãîíàëüþ, íåîáõîäèìî
Ñèíòåç êîìïàêòîâ ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ àâòîìàòèçàöèè
ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ
ãäå
– áàçîâàÿ ÷àñòü â S M e ;
– ðàñøèðåíèå â
T
ñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà x0nj(t) âûõîäíîé êîîðäèíàòû
x(t) ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó íàñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà c0, ïàðàìåòðó cn
è ïàðàìåòðó íàñòðîéêè cj; x0n(j)(t) – j-ÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè t îò ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà x0n(t) âûõîäíîé êîîðäèíàòû x(t) ñèñòåìû ðåãóëèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðó íàñòðîéêè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëÿòîðà c0 è ïàðàìåòðó cn.
Èç ðåøåíèÿ n-ãî óðàâíåíèÿ â (29) (ïðè j=n) ñ
ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (8)–(22) ïðè r=3; iv=0; v=1,3;
k1=k2=n; k3=I ñëåäóåò:
(30)
(îòðèöàòåëüíûé âåðõíèé èíäåêñ â ñêîáêàõ îáîçíà÷àåò ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ). Òîãäà èñêîìûé
ýëåìåíò ìàòðèöû (3) åñòü ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò âåêòîðà (28), àðãóìåíò êîòîðîãî ðàâåí ñóììå èíäåêñîâ èñêîìîãî ýëåìåíòà.
Òàêèì îáðàçîì, êîìïàêò ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ
îòêóäà ïîëó÷àåì ýëåìåíòû n-é ñòðîêè ìàòðèöû
n-ãî (èëè âåðõíåãî) ñëîÿ ìíîæåñòâà Q3 – âåêòîð
Sk(n,n)=(Sk(n,n,0),...,Sk(n,n,n)) (çäåñü Sk(n,n,i)=xnni(t),
i=0,n). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óñòàíîâëåííûå â òåîðåìå è ñëåäñòâèè âçàèìîñâÿçè ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî n-å óðàâíåíèå â
ãåíåðàöèè ìàòðèöû ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
âòîðîãî ïîðÿäêà (3) ìîæíî ïîñòðîèòü ëèáî íà îñíîâå äâóõ óðàâíåíèé èç (23) äëÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ ñ0, ñ0 è ñn, ñ0,
ëèáî íà îñíîâå òîëüêî îäíîãî áàçîâîãî óðàâíåíèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ñîñòàâëåííîãî îòíîñèòåëü-
(29) ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü âñå ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî òåì ïàðàìåòðàì, ñóììà íîìåðîâ êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ îò 2n äî 3n. Ïðåäñòàâèì èõ áàçîâûì ïîäìíîæåñòâîì Q31 ìíîæåñòâà
Q3. Â âåðõíåì, èëè â ïîñëåäíåì, ñëîå ìíîæåñòâà
Q3 ýòè ôóíêöèè ïðèíàäëåæàò ïîáî÷íîé äèàãîíàëè
íî ïàðû ïàðàìåòðîâ ñn, ñ0 ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñøèðåíèÿ (28) n-é ñòðîêè ìàòðèöû (3).
Êîìïàêò ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ ãåíåðàöèè
ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî è áîëåå
âûñîêèõ ïîðÿäêîâ
è åé ïàðàëëåëüíûì, ðàñïîëîæåííûì ñïðàâà; â ïðåäïîñëåäíåì ñëîå – äèàãîíàëÿì, ñìåæíûì ñ ïðåäûäóùèìè, èñêëþ÷àÿ ïîáî÷íóþ; â ñëåäóþùåì ñëîå –
àíàëîãè÷íûì äèàãîíàëÿì, èñêëþ÷àÿ ïîáî÷íóþ è ñîñåäíþþ ñ íåé è ò.ä.  íèæíåì, èëè ïåðâîì, ñëîå
òàêàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðàâûì íèæíèì óã-
Ðàññìîòðèì îáîáùåííóþ ìåòîäèêó îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè
òðåòüåãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ. Èçëîæåííûé
âûøå ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðàçðàáîòàòü êîìïàêò ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðåõìåðíîãî ìàññèâà (êóáà Q3) ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà (4), ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ñîâîêóï-
ëîâûì ýëåìåíòîì.
Ñëåäîâàòåëüíî, áàçîâîå ïîäìíîæåñòâî Q31
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåóãîëüíóþ ïèðàìèäó. Â ýòîé
ïèðàìèäå íàêëîííàÿ ãðàíü, êîòîðóþ íàçîâåì ïîáî÷íîé, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé òðåóãîëüíèê, îñíîâàíèå êîòîðîãî – ïîáî÷íàÿ äèàãîíàëü âåðõíåãî
ñëîÿ, à ïðîòèâîëåæàùàÿ åé âåðøèíà – ïðàâûé
íîñòü èç n+1 ñëîåâ, êàæäûé èç êîòîðûõ åñòü k-ÿ
íèæíèé óãëîâîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Q3, õàðàêòå-
27
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
(28)
(29)
ãäå x0nj(t)=(x (t)+x
(t)+...+x0nj(t)) – âåêòîð ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíî(n-1)
0nj
È
öåëåñîîáðàçíî ôîðìàëèçîâàòü. Ýòî ìîæíî
ñäåëàòü ðàñøèðåíèåì âëåâî n-é ñòðîêè SM(n)
ìàòðèöû (3) íà n ýëåìåíòîâ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ âåêòîð-ñòðîêà:
,
(n)
0nj
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
ôóíêöèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñëåäóþùåé äèàãîíàëè, ðàñïîëîæåííîé íàä íåé, à òàêæå, êàê âèäíî
èç (27), îïðåäåëÿþòñÿ è ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ýòîé äèàãîíàëè â öåëîì. Îáùåå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåãðèðîâàíèé ðàâíî n.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ÝÂÌ ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ ìíîæåñòâà Q2
ìàòðèöà (
).
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âåêòîðó ñ n-å óðàâíåíèå èç ñèñòåìû (24) è ñ ó÷åòîì (26) çàïèøåì
ñèñòåìó èç n+1 óðàâíåíèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà:
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
âîñïîëüçîâàòüñÿ îïåðàöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Îäíîêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ïðèíàäëåæàùåé
íåêîòîðîé äèàãîíàëè, ïàðàëëåëüíîé ïîáî÷íîé,
âû÷èñëÿåòñÿ, êàê ñëåäóåò èç ñîîòíîøåíèÿ (26),
Ë.À. Øèðîêîâ
ðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ïðèíàäëåæàùèå åé ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè èìåþò ïîñòîÿííóþ ñóììó èíäåêñîâ ïàðàìåòðîâ, ïî êîòîðûì îíè îïðåäåëÿþòñÿ,
è, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû, ðàâíû ìåæäó
ñîáîé:
 êàæäîì ñå÷åíèè êóáà, ïàðàëëåëüíîì ïîáî÷-
êöèé x000(t), x00n(t) è x0nn(t).
Èñõîäÿ èç ñôîðìóëèðîâàííîé òåîðåìû è
ñëåäñòâèÿ èç íåå âñå ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè
òðåòüåãî ïîðÿäêà ìîæíî âû÷èñëèòü íà îñíîâå ëèøü
îäíîãî n-ãî óðàâíåíèÿ èç ñèñòåìû (29), êîòîðîå
íàçîâåì áàçîâûì. Âûïîëíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå
èíòåãðèðîâàíèå ïîëó÷åííîé èç íåãî ôóíêöèè xnn0(t),
íîé ãðàíè, ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè èìåþò ïîñòîÿííûå ñóììû èíäåêñîâ ïàðàìåòðîâ, ïî êîòîðûì îíè îïðåäåëÿþòñÿ è, êàê óñòàíîâëåíî âñëåäñòâèå òåîðåìû, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïðåäåëåíèÿ âñåõ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè êàêîãî-ëèáî ñå÷åíèÿ äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü
ïðèíàäëåæàùåé ïîáî÷íîé äèàãîíàëè (è ñëåäîâàòåëüíî, ãðàíè) âåðõíåãî ñëîÿ ìíîæåñòâà êóáà Q3,
ïîëó÷èì, êàê âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ òåîðåìû, ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñå÷åíèé, ïàðàëëåëüíûõ ïîáî÷íîé ãðàíè, ò.å. ïîäìíîæåñòâî Q32. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âñåõ ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ ïîäìíîæå-
òîëüêî îäíó èç íèõ. Èñõîäÿ èç ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà Q3, ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ôóíêöèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè êàæäîé ïàðû ñå÷åíèé, ïàðàëëåëüíûõ ïîáî÷íîé ãðàíè, èìåþò ñóììû èíäåêñîâ îïðåäåëÿåìûõ èìè ïàðàìåòðîâ, îòëè÷àþùèåñÿ ìåæäó ñîáîé íà ÷èñëî, ïðåâûøàþùåå íà åäèíèöó îáùåå
ñòâàì Q32 è Q33, äîëæíî áûòü âûïîëíåíî 2n-êðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå.
Êàê è âûøå, äëÿ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ
ÝÂÌ ôîðìàëèçóåì ïðîöåäóðó âû÷èñëåíèÿ ìíîæåñòâà Q33 ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî
ïîðÿäêà íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ îäíîãî n-ãî
÷èñëî ðàçìåùåííûõ ìåæäó íèìè ñå÷åíèé. Èç ñîîòíîøåíèÿ (30) âèäíî, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ïî ïàðàìåòðàì, ñóììû èíäåêñîâ êîòîðûõ èçìåíÿþòñÿ îò n äî 2n (îòíåñåì
èõ ê ïîäìíîæåñòâó Q32), íåîáõîäèìî ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ èç (29), ñîñòàâëåííîãî îòíîñèòåëüíî
óðàâíåíèÿ èç (29). Äëÿ ýòîãî, ó÷èòûâàÿ ñòðóêòóðó
ìíîæåñòâà Q3 , ââåäåì ðàñøèðåíèå âëåâî ïîñëåäíåé ñòðîêè Q3 âåðõíåãî ñëîÿ êóáà íà 2n ýëåìåíòîâ è ïîëó÷èì âåêòîð-ñòðîêó:
ôóíêöèè x00n(t). Òîãäà ïðîèçâîäíûå îò ýòîãî ðåøåíèÿ ïî t, êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷åííîãî àíàëîãè÷íî (30) èç (8) ñîîòíîøåíèÿ
ãäå S k(n,n,i),i=
ãäå kv – âàðèàöèè èíäåêñîâ ïàðàìåòðîâ. Îáùåå
÷èñëî ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè áàçîâîãî ïîä-
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
È
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
ìíîæåñòâà ðàâíî:
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà Q33.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåñü ìàññèâ Q3 (4) îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì òðåõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ôóí-
îïðåäåëÿþò îñòàëüíûå ôóíêöèè ïîäìíîæåñòâà Q32.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îñòàâøåãîñÿ ïîäìíîæåñòâà
Q33 ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ñ ñóììàìè èíäåêñîâ, èçìåíÿþùèõñÿ îò 0 äî n, òðåáóåòñÿ, êàê ñëåäóåò èç âûøåèçëîæåííîãî, ðåøèòü óðàâíåíèå, ñîñòàâëåííîå îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè x000(t). Ñ ýòîé
öåëüþ, ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî ïàðàìåòðó ñ0 ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (24) ñ ó÷åòîì (26), ïîëó÷èì
(31)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (31) è åãî ïðîèçâîäíûå
ïî âðåìåíè, êàê ñëåäóåò èç ïîëó÷àåìîãî ïî àíàëîãèè ñ (30) èç (8) ñîîòíîøåíèÿ
28
(32)
– áàçîâàÿ ÷àñòü â S k e ;
– ðàñøèðåíèå â Sk.
Òðåáóåìàÿ ôóíêöèÿ ÷óâñòâèòåëüíîñòè ìíîæåñòâà (4) îïðåäåëÿåòñÿ ýëåìåíòîì âåêòîðà (32), àðãóìåíò êîòîðîãî ðàâåí ñóììå èíäåêñîâ èñêîìîé
ôóíêöèè.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà (4) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëèáî êîìïàêò ÷óâñòâèòåëüíîñòè, âêëþ÷àþùèé òðè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî òðîåê ïàðàìåòðîâ ñ0, ñ0, ñ0; ñn, ñ0, ñ0 è ñn, ñn, ñ0, ëèáî êîìïàêò íà
îñíîâå îäíîãî n-ãî óðàâíåíèÿ èç ñèñòåìû (29) îòíîñèòåëüíî òðîéêè ïàðàìåòðîâ ñn, ñn, ñ0 ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñøèðåíèÿ (32) n-é ñòðîêè âåðõíåãî
ñëîÿ êóáà Q3.
Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå ïî èç-
Ñèíòåç êîìïàêòîâ ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ àâòîìàòèçàöèè
ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ
ëîæåííîé ìåòîäèêå êîìïàêòà ÷óâñòâèòåëüíîñòè
äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè ëþáîãî s-ãî ïîðÿäêà, ñîñòàâëÿþùèõ ñîîòâåòñòâóþùèå
ìàññèâû s-ìåðíûå êóáû Qs. Çäåñü òàêæå âîçìîæíû äâà ïîäõîäà. Ïåðâûé îñíîâàí íà ðåøå-
ìû ðåãóëèðîâàíèÿ. Äàëåå, ðåàëèçóÿ ðàñøèðåíèå
áàçîâîãî ïîäìíîæåñòâà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ïðè àâòîìàòèçèðîâàííîì ïðîåêòèðîâàíèè
ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ ïðîñòî ôîðìàëèçóåòñÿ
ïðîöåäóðà îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ íà ÝÂÌ
íèè ñèñòåìû èç n óðàâíåíèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè sãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâåííî ñîñòàâëåííûõ îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðîâ:
âñåãî ìíîæåñòâà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè òðåáóåìûõ äëÿ àëãîðèòìîâ áåñïîèñêîâîé ïàðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïîðÿäêîâ.  ðåçóëüòàòå
îáåñïå÷èâàåòñÿ âîçìîæíîñòü áåñïîèñêîâîé ïðîöåäóðû ïàðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ëèëåéíûõ
ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ, ò.å. âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ íàñòðîåê èõ ðåãóëÿòîðîâ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàäàííûìè êðèòåðèÿìè êà÷åñòâà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ðåãóëèðîâàíèÿ.
âåðõíåãî ñëîÿ êóáà Q3. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ
ôóíêöèé âñåãî ìíîæåñòâà Q3 ââåäåì ðàñøèðåíèå
âëåâî n-é ñòðîêè âåðõíåãî ñëîÿ íà n(s-1) ýëåìåíòîâ:
2.
3.
(33)
ãäå S R (n,...,n,i)=
, – áàçîâàÿ ÷àñòü â S R ;
–
4.
ðàñøèðåíèå â S . Òðåáóåìàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà
îïðåäåëÿåòñÿ ýëåìåíòîì âåêòîðà (33), íîìåð êîòîðîãî ðàâåí ñóììå èíäåêñîâ èñêîìîé ôóíêöèè
÷óâñòâèòåëüíîñòè.
e
R
5.
Çàêëþ÷åíèå
Ïðè àâòîìàòèçàöèè ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåì
ðåãóëèðîâàíèÿ, áàçèðóÿñü íà èçëîæåííûõ òåîðåòè÷åñêèõ îñíîâàõ è ìåòîäèêàõ, ìîæíî ðåàëèçîâûâàòü êîìïàêòû ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ âåêòîðîâ, ìàòðèö, ìíîãîìåðíûõ êóáîâ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè, òðåáóåìûõ
äëÿ ðàçëè÷íûõ àëãîðèòìîâ àâòîìàòè÷åñêîé ïàðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ,
èñïîëüçóÿ ëèøü îäíî óðàâíåíèå ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ áàçîâîãî ïîäìíîæåñòâà ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè, êîòîðîå àíàëîãè÷íî ïî ñòðóêòóðå èñõîäíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñèñòå-
6.
7.
29
È
Ýòè ôóíêöèè ñîñòàâëÿþò n-þ âåêòîð-ñòðîêó
Ìåòîäû òåîðèè ÷óâñòâèòåëüíîñòè â àâòîìàòè÷åñêîì óïðàâëåíèè / Ïîä ðåä. Å.È. Ðîçåíâàññåðà è Ð.Ì. Þñóïîâà. – Ë.: Ýíåðãèÿ, 1971.
– 325 ñ.
Øèðîêîâ Ë.À. Áåñïîèñêîâàÿ àâòîìàòè÷åñêàÿ
îïòèìèçàöèÿ îäíîãî êëàññà íåìèíèìàëüíîôàçîâûõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1969. № 11. Ñ. 67–74.
Kokotovic P., Bingulac S., Medanic J. Some
approaches to the reduction of control system
sensitivity // Proc. of the III-rd Allerton Conf.
Illinois, Oct., 1965. P. 212–224.
Øèðîêîâ Ë.À. Àâòîìàòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ
ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ â óñëîâèÿõ îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1974. № 8. Ñ. 78–84.
Êîñòþê Â.È., Øèðîêîâ Ë.À. Àâòîìàòè÷åñêàÿ
ïàðàìåòðè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ñèñòåì ðåãóëèðîâàíèÿ. - Ì.: Ýíåðãîèçäàò, 1981. – 96 ñ.
Øèðîêîâ Ë.À. Êîìïàêòíûå àíàëèçàòîðû ÷óâñòâèòåëüíîñòè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ëèíåéíûõ
äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1990. №1. Ñ. 19–28.
Øèðîêîâ Ë.À., Øèðîêîâà Î.Ë. Ôèëüòðû ÷óâñòâèòåëüíîñòè äëÿ ãðàäèåíòíûõ àëãîðèòìîâ
îïòèìèçàöèè â ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ // XIV ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ
«Ìàòåìàòèêà. Ýêîíîìèêà. Îáðàçîâàíèå». V
ìåæäóíàðîäíûé ñèìïîçèóì «Ðÿäû Ôóðüå è
èõ ïðèëîæåíèÿ»: Òåç. äîêë., – Ðîñòîâ-íàÄîíó, 2008. Ñ. 177.
ÏÐÎÈÇÂÎÄÑÒÂÀ
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1.
ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÀÍÈß
æåííîé âûøå ìåòîäèêå, èñïîëüçóåò áàçîâîå ïîäìíîæåñòâî ôóíêöèé s-ãî ïîðÿäêà, âû÷èñëåííûõ ïî
áàçîâîìó óðàâíåíèþ ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ñòðóêòóðíî èäåíòè÷íîìó èñõîäíîé ñèñòåìå (5):
ÀÂÒÎÌÀÒÈÇÀÖÈß
.
Âòîðîé ïîäõîä, ôîðìàëèçóþùèé âû÷èñëåíèå
èñêîìûõ ôóíêöèé ÷óâñòâèòåëüíîñòè, ñëåäóÿ èçëî-
Похожие документы
Скачать