УДК 517 11 Гетманова Е.Е. ПОВЕДЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО

SWorld – 18-27 December 2012
http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012
MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE, TRANSPORT, PRODUCTION AND EDUCATION‘ 2012
УДК 517 11
Гетманова Е.Е.
ПОВЕДЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСОВ СИЛЫ
OOO “Дистанционный репетитор”, Москва, Соловьиный проезд, д.6, 117593
UDC 517 11
Getmanova E.E.
BEHAVIOUR OF HARMONICS OSCILLATOR UNDER THE ACTION
OF FORCE IMPULSES
Company “DistTutor”, Moscow, Solovinij projezd, 6,117593
В докладе аналитически и численно изучены особенности вынужденных
колебаний гармонического осциллятора с различными начальными условиями
под действием периодических линейно нарастающих импульсов силы. На сайте
http://osciltheory.ucoz.com/
помещена
Flash
анимация
рассмотренных
колебаний.
Ключевые слова: Вынужденные периодические колебания, компьютерное
Flash моделирование, периодические линейно нарастающие импульсы силы.
Features of the forced oscillations of an oscillator with different initial
conditions under action of periodic triangular impulses of force have been
considered.
Animation
of
oscillations
is
shown
on
the
site
http://osciltheory.ucoz.com/
Key words: the forced periodic oscillations, Flash modeling, the periodic
triangular impulses of force.
Задача о поведении осциллятора с различными начальными условиями под
действием внешних периодических линейно нарастающих импульсов силы
часто встречается в технике и представляет интерес. Результаты исследования
данной задачи аналитически (методом припасовывания [1]), и численно
представлены в докладе. Метод припасовки применялся для решения
нелинейных задач [1]. Однако, представляется возможным использовать
данный метод для решения задачи о поведении линейной системы под
действием внешних периодических импульсов силы. Решение, полученное в
этом случае, является точным и позволяет проанализировать особенности
поведения системы. Анимацию всех, описанных в статье колебательных
процессов, можно посмотреть на сайте http://osciltheory.ucoz.com/ , страница
«Нарастающие импульсы».
Рассмотрим
действуют
линейный
периодические
гармонический
линейно
осциллятор,
нарастающие
на
в
который
интервалах
N (T + ∆T ) ≤ t ≤ ( N + 1)T + N∆T , N = 0,1,2,... импульсы
F (t ) =
силы
F0
(t − N (T + ∆T )), N = 0,1,2,... ( T − время нарастания силы,
T
∆T − временной
интервал между двумя последовательными силовыми воздействиями) (рис.1,
p = 1,2,3,... − номер временного интервала действия импульса, q = 1,2,3,... − номер
временного интервала, где сила не действует). Сопротивление среды не
учитывается,
собственная
частота
колебаний
осцилляторов
равна
ω0 .
Отрицательное начальное смещение x(0) = ∆x < 0 означает, что в начальный
момент времени пружина сжата, положительное x(0) = ∆x > 0 - в начальный
момент времени пружина растянута. Положительная величина начальной
скорости v(0) = v0 > 0 показывает, что направление начальной скорости совпадает
с направлением действия силы, отрицательная начальная скорость v(0) = v0 < 0 направление
скорости
направлению силы.
в
начальный
момент
времени
противоположно
Рис. 1
Аналитическое
показало,
T=
2π + 2πn
ω0
и
численное
что
при
π
,T =
исследование
колебаний
длительности
+ 2πn
π + 2πn
,T = 2
ω0
ω0
импульса
3π
+ 2πn
2
,T =
n = 0,1,2,... ,
ω0
2π + 2πn1
ω0
импульсами
π
, ∆T =
силы
и интервалах между
последовательными
∆T =
осциллятора
+ 2πn1
π + 2πn1
, ∆T = 2
ω0
ω0
3π
+ 2πn1
2
, ∆T =
n1 = 0,1,2,... возможны
ω0
колебания с нарастающей амплитудой и периодические колебания с
периодами
T p = 2(T + ∆T ) ,
T p = 4(T + ∆T ) .
Например, при
T=
2π
ω0
амплитуда колебаний нарастает (рис. 2а, http://osciltheory.ucoz.com/,
, ∆T =
2π
ω0
,
страница
«Нарастающие импульсы»). В интервалах действия силы ( p интервалах)
смещение меняется по закону

v
( p − 1)F0
F0 
 sin(ω 0 t ) +  ∆x +
x(t ) =  0 −
3 
mω 02

 ω 0 mTω 0 
интервалах,
v
x(t ) =  0
 ω0
где
силовое


qF0
 sin(ω 0 t ) +  ∆x +
mω 02



F (t − (T + ∆T )( p − 1))
 cos(ω 0 t ) + 0
.
mTω 02

воздействие
отсутствует
( q интервалах)
В
-

qF0
 cos(ω 0 t ) . При условиях ∆x = −
, v0 = 0 осциллятор
mω 02

находится в состоянии покоя в положении
q интервале (рис. 2б, q = 3 , ∆x = −
∆x = 0 в
соответствующем
( p − 1)F0
3F0
, v0 = 0 ). При условиях ∆x =
,
2
mω 0
mω 02
v0 =
F0
осциллятор
mTω 02
двигается
с
постоянной
соответствующем p интервале (рис. 2в, p = 3 , ∆x = −
скоростью
vс =
F0
mTω 02
в
F0
2 F0
,
).
v
=
0
mω 02
mTω 02
Рис.2
Рассмотрим набор маятников с начальными условиями, обеспечивающими
состояние покоя в последовательных интервалах. При действии периодических
импульсов
силы
осцилляторы
совершают
колебания,
при
этом
последовательные маятники в соответствующих интервалах будут либо
неподвижны в положении ∆x = 0 ( q интервалы), либо двигаться с постоянной
скоростью vс =
F0
( p интервалы) (http://osciltheory.ucoz.com/, «Нарастающие
mTω 02
импульсы»).
Если
ω 0T = 2π + 2πn, ω 0 ∆T = π + 2πn1 , n = 0,1,2,..., n1 = 0,1,2,... ,
периодические
T=
4π
ω0
, ∆T =
T p = 2(T + ∆T ) =
2π
ω0
то
колебания
(2(1 + n ) + (1 + 2n1 )), n = 0,1,2,...n1 = 0,1,2,... (рис.3,
 4π π  10π
π
, T p = 2 +  =
, ∆x < 0, v0 < 0 ).
ω0
 ω0 ω0  ω0
Рис.3
При нулевых начальных условиях ( ∆x = 0, v0 = 0 ) маятник неподвижен в
интервалах q = 2,4,6,... (рис.4а), а при ∆x = −
(рис.4б, на рис.4в
F0
, v0 = 0 - в q = 1,3,5,... интервалах
mω 02
показана зависимость скорости от времени). Колебания
маятников с приведенными начальными условиями имеют одинаковую
фазовую траекторию и сдвинуты на ∆ϕ = ω 0 (T + ∆T )
Рис.4
При ∆x = 0 , v0 =
F0
F
осциллятор двигается с постоянной скоростью vс = 0 2
2
mTω 0
mTω 0
(рис.5а, на рис.5б приведена зависимость скорости от времени) в интервалах
p = 1,3,5,... , а при
∆x = −
F0
,
mω 02
v0 =
F0
- в интервалах
mTω 02
Колебания осцилляторов сдвинуты на ∆ϕ = ω 0 (T + ∆T ) .
p = 2,4,6,... (рис.5в).
Рис.5
Максимальная амплитуда свободных колебаний при нулевых начальных
условиях amp1 =
F0
(не зависит от времени нарастания силы), максимальная
mω 02
2
амплитуда вынужденных колебаний
Если
ω 0T = π + 2πn, ω 0 ∆T =
периодические
T=
T p = 4(T + ∆T ) =
π
2
 1 
F
 .

amp 2 = 0 2 1 + 
mω 0
 ω 0T 
+ 2πn1 , n = 0,1,2,..., n1 = 0,1,2,... ,
то
колебания
4π 

1
 (1 + 2n ) +  + 2n1  , n = 0,1,2,...n1 = 0,1,2,...
ω0 

2
(рис.6,
π
5π  14π
π
5π
 =
, T p = 4 +
, ∆x > 0, v0 > 0 ).
, ∆T =
ω0
2ω 0
 ω 0 2ω 0  ω 0
Рис.6
Можно определить начальные условия, при которых осциллятор будет
неподвижен в q интервалах (рис. 7, q = 1,5,9,... и q = 2,6,10,... ). Колебания соседних
осцилляторов сдвинуты на
∆ϕ = ω 0 (T + ∆T ) .Существуют
также начальные
условия, при которых осциллятор двигается с постоянной скоростью в
p интервалах (http://osciltheory.ucoz.com/).
Рис.7
Исследование показало, что характер колебаний линейного осциллятора
при действии на него периодических импульсов нарастающей силы может либо
происходить с нарастанием амплитуды, либо иметь периодический характер
(при рассмотренных T и ∆T ). Определенные начальные условия позволяют
остановить осциллятор в q интервалах, либо принудить его двигаться с
постоянной скоростью в p интервалах. Следует отметить, что аналогичный
характер колебаний системы под действием импульсов постоянной или
знакопеременной силы (http://osciltheory.ucoz.com/).
Литература:
1. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний,. – M.: 1991, 255 c.
References:
1. Panovko JG Introduction to mechanical vibrations. - M.: 1991 - 255 c.