Степанова-Надольска Проекции геом тел

Камчатский государственный технический университет
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Е.А. Степанова, Н.И. Надольская
ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ
Методическое пособие для студентов (курсантов) первого курса всех специальностей,
изучающих дисциплины “Начертательная геометрия. Инженерная графика”,
“Инженерная графика”, “Инженерная и компьютерная графика”.
Петропавловск-Камчатский, 2006
2
УДК 744.43 (031)
ББК 30.2
С 79
Н17
Рецензент:
А.Р. Ляндзберг,
кандидат технических наук, доцент
Степанова Е.А.
Надольская Н.И.
«Проекции геометрических тел». Методическое пособие для студентов
(курсантов) первого курса всех специальностей, изучающих
дисциплины «Начертательная геометрия. Инженерная графика»,
«Инженерная графика», «Инженерная и компьютерная графика»,
составлены в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования.−
Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2006.−38с.
Методическое пособие необходимо курсантам и студентам первого
курса всех специальностей.
Рекомендовано к изданию решением учебно- методического совета
КамчатГТУ (протокол № 4 от 26.01.06)
УДК 744.43 (031)
ББК 30.2
© КамчатГТУ, 2006
© Степанова Е.А.,
Надольская Н.И.,2006
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………….4
1. Построение недостающих проекций точки, принадлежащей
заданной поверхности……………………………………………….4
1.1. Поверхности многогранников…………………………………...4
1.2. Поверхности вращения………………………………………….12
2. Построение проекций линии сечения заданной поверхности
проецирующей плоскостью……………………………………….....12
2.1. Поверхности многогранников…………………………………..12
2.2. Поверхности вращения…………………………………………. 14
3. Построение проекций линии пересечения поверхности заданного
тела сквозным призматическим окном……………………………...23
3.1. Многогранники…………………………………………………...23
3.2. Тела вращения……………………………………………………26
4. Примеры решения типовых задач…………………………………...29
4.1. Задача 1……………………………………………………………29
4.2. Задача 2……………………………………………………………32
4.3. Задача 3………………………………………………………........34
Приложение 1…………………………………………………………35
Литература……………………………………………………………..38
4
ВВЕДЕНИЕ
Проекционное черчение является одним из важнейших разделов
инженерной графики, объединяющих в себе ряд основных положений
начертательной геометрии и машиностроительного черчения.
Успешное освоение методики и навыков решения проекционных задач
является необходимым условием для дальнейшей работы студентов над
такими темами курса машиностроительного черчения как выполнение
рабочих чертежей деталей, выполнение сборочных чертежей, деталирование
сборочных чертежей.
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов и
курсантов при изучении раздела “Проекционное черчение”.
1 ПОСТРОЕНИЕ НЕДОСТАЮЩИХ ПРОЕКЦИЙ ТОЧКИ,
ПРИНАДЛЕЖАЩЕЙ ЗАДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
1.1 Поверхности многогранников
Для построения недостающих проекций точки, принадлежащей заданной
поверхности, используем следующее положение. Точка принадлежит
поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.
Прямая призма
Рассмотрим пример построения недостающих проекций точек A, B, C,
лежащих на поверхности четырёхгранной призмы, по заданным фронтальной
проекции A2 точки А, профильной проекции В3 точки В и горизонтальной
проекции С1 точки С, рис.1. Здесь и далее предполагаем, что заданные
проекции точек видимы.
Так как поверхность призмы является проецирующей, то для точек А и В
сначала находим горизонтальные проекции А1 и В1 на горизонтальных
следах-проекциях соответствующих граней призмы, а затем строим третьи
проекции по двум заданным. Как видно из чертежа, поставленная задача для
точки С является неопределённой (имеет бесчисленное множество решений).
На чертеже ход построения искомых проекций точек отмечен стрелками с
указанием цифрами последовательности действий.
Прямая пирамида
Построение недостающих проекций точки, принадлежащей поверхности
пирамиды, осуществляем с помощью вспомогательной прямой, проведённой
5
Рис.1
Рис.2а
Рис.2б
6
через заданную точку на соответствующей грани пирамиды. За
вспомогательную прямую принимаем горизонталь грани, либо её
образующую (прямую, проходящую через заданную точку и вершину
пирамиды).
Рассмотрим пример построения недостающих проекций точки А по
заданной её фронтальной проекции А2 с помощью горизонтали h,
принадлежащей правой передней грани пирамиды, рис.2а. Через
фронтальную проекцию точки А2 проводим горизонталь h2 и строим
горизонтальную проекцию горизонтали h1 через точку 11.
Рассмотрим построение проекций С1 и С2 по заданной профильной
проекции С3 точки С с помощью вспомогательной образующей,
принадлежащей левой задней грани пирамиды, рис. 3. Через профильную
проекцию точки С3 проводим профильную проекцию образующей.
Строим горизонтальную проекцию образующей через точку 1 и вершину,
затем определяем горизонтальную проекцию точки С1 на горизонтальной
проекции образующей. Определяем фронтальную проекцию точки С2 по
двум проекциям (на пересечении двух линий связи).
Рис.3
1.2 Поверхности вращения
1.2.1 Прямой круговой цилиндр
Рассмотрим графическое построение недостающих проекций точек А, В,
С, лежащих на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, по
заданным проекциям А2, В3 и С1, рис. 4. Поскольку боковая поверхность
7
цилиндра является проецирующей, то алгоритм построения проекций точек
аналогичен приведённому выше для прямой призмы, рис.1.
Последовательность построений отмечена на чертеже стрелками и цифрами.
Рис.4
1.2.2 Прямой круговой конус
Построение недостающих проекций точки, принадлежащей поверхности
конуса, осуществляем с помощью вспомогательной линии, проведённой
через заданную точку. Воспользуемся окружностью (параллелью)
конической поверхности или её образующей.
Рассмотрим построение проекций А1 и А3 точки А по заданной её
фронтальной проекции А2 с помощью окружности m, рис. 5а. Через
фронтальную
проекцию А2 проводим m2 и строим горизонтальную
проекцию m1 окружности m радиуса R (или часть этой окружности).
Рассмотрим построение В2 и В3 по заданной горизонтальной проекции В1,
рис. 5б. Через В1 проводим горизонтальную проекцию m1 вспомогательной
окружности m и строим фронтальную проекцию m2 через фронтальную
проекцию 12 точки 1. Определяем фронтальную проекцию В2 на m2 и
находим профильную проекцию В3 по В1 и В2.
Рассмотрим построение проекций С1 и С2 по заданной профильной
проекции С3 с помощью образующей конуса, рис. 6. Через профильную
проекцию С3 проводим профильную проекцию образующей, проходящую
через точку 1 и вершину конуса. Определяем горизонтальную проекцию С1
на горизонтальной проекции образующей и находим фронтальную проекцию
С2 по С1 и С3.
8
Рис.5а
Рис.5б
Рис.6
1.2.3 Сфера
Для определения недостающих проекций точки, принадлежащей сфере,
по одной заданной проекции, через точку проводим окружность на
поверхности и на её проекциях определяем одноименные проекции точки.
9
Часто вспомогательную окружность рассматривают как результат
пересечения сферы плоскостью уровня, проходящей через точку.
Рассмотрим построение недостающих проекций А1 и А3 точки А по
заданной фронтальной проекции А2, рис. 7. При этом на рис. 7а
вспомогательная окружность лежит в горизонтальной плоскости Г (ГП1), на
рис. 7б – во фронтальной Φ (ΦП2) и на рис. 7в – в профильной плоскости
Ψ(ΨП3). Порядок построения на чертежах отмечен стрелками и
соответствующими цифрами.
Рис.7а
Рис.7б
Рис.7в
10
2
ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ЛИНИИ СЕЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ
ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
Рассмотрим порядок построения линий
поверхностей проецирующими плоскостями.
сечения
простейших
2.1 Поверхности многогранников
Плоскость пересекает поверхность многогранника по многоугольнику,
вершинами которого являются точки пересечения рёбер многогранника
секущей поверхностью.
2.1.2 Прямая призма
Рассмотрим построение проекций линии сечения прямой четырёхгранной
призмы фронтально-проецирующей плоскостью Σ (Σ П2) рис. 8. В сечении
построен пятиугольник АВСDЕ, у которого вершины В,С и D найдены как
точки пересечения плоскости Σ с боковыми рёбрами призмы, а вершины А и
Е – с рёбрами основания.
Рис.8
11
2.1.2 Прямая пирамида
Рассмотрим построения проекций линий сечения правильной
шестигранной пирамиды фронтально - проецирующей плоскостью Σ (Σ П2),
рис. 9. В сечении получается шестиугольник АВСКЕD, вершинами которого
являются точки пересечения рёбер пирамиды с секущей плоскостью.
Рис.9
Рассмотрим построение проекций выреза пирамиды двумя фронтальнопроецирующими плоскостями Σ (ΣП2) и Δ (ΔП2), рис.10. Строим
шестиугольник АВСКЕD полного сечения пирамиды плоскостью Σ (Σ2).
Строим отрезок LM, ограничивающий фигуру сечения (как принадлежащий
линии пересечения плоскостей Σ и Δ. Строим фигуру сечения пирамиды
плоскостью Δ (ΔП2), ограниченную тем же фронтально-проецирующим
отрезком LM.
12
Рис.10
2.2 Поверхности вращения
Линии сечения поверхностей вращения 2-го порядка, ограничивающих
заданные тела, в общем случае, являются кривыми 2-го порядка.
Для построения проекций искомых линий необходимо:
1) определить вид получаемой линии;
2) построить характерные точки для каждой проекции кривой (точки,
определяющие форму проекций кривой и точки касания проекций кривой
к очерку поверхности);
3) построить промежуточные точки проекций кривой;
4) соединить построенные точки лекальной кривой, соблюдая видимость
на проекциях.
13
2.2.1 Прямой круговой цилиндр
В зависимости от положения секущей плоскости относительно оси
(образующих) цилиндра возможны три вида линий сечений:
1) окружность – секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра;
2) две параллельные прямые – секущая плоскость параллельна оси
цилиндра, рис. 11;
3) эллипс – секущая плоскость наклонена к оси цилиндра под углом 0° <
ϕ < 90°, рис. 12. Большая ось эллипса равна отрезку А2В2, а малая –
диаметру цилиндра.
Рис.11
В зависимости от величины угла ϕ изменяется вид профильной проекции
получаемого в сечении эллипса. Так, если ϕ = 45°, то эллипс проецируется в
виде окружности. Если ϕ отличен от 45° - в виде эллипса, рис. 12.
Промежуточные точки профильной проекции строятся либо по их
фронтальным проекциям из условия принадлежности точек поверхности
цилиндра (точки E и F), либо одним из известных способов построения
эллипса по двум осям, рис. 12.
2.2.2 Прямой круговой конус
Поверхность конуса вращения состоит из двух полостей, симметричных
относительно общей вершины S, рис. 13. Обозначим угол наклона секущей
плоскости к оси конуса через ϕ, а угол между образующей и осью конуса
14
через ψ. В зависимости от положения секущей плоскости относительно оси
(образующих) конуса в пересечении получаются различные линии:
1. ϕ > ψ - секущая плоскость пересекает все образующие конуса в
конечных точках, рис. 13а. Получается замкнутое сечение:
а) эллипс (ϕ ≠ 90°; Σ ⊄ S);
б) окружность ( ϕ = 90°; Σ ⊄ S);
в) точка (Σ ⊂ S);
2. ϕ = ψ - секущая плоскость параллельна одной образующей конуса, т.е.
пересекает её в бесконечно удалённой точке, рис. 13б.
а) парабола (Σ ⊄ S);
б) две совпавшие прямые (Σ ⊂ S).
3. ϕ < ψ, в частности ϕ = 0, - секущая плоскость параллельна двум
образующим конуса, т.е. пересекает их в бесконечно удалённых точках,
рис. 13в. Получается разомкнутое сечение с двумя несобственными
точками:
а) гипербола (Σ ⊄ S);
б) две пересекающиеся прямые (Σ ⊂ S).
Рис.12
15
Рис.13а
Рис.13б
Рис.13в
На практике, чаще всего, мы имеем дело с конусом – телом,
ограниченным одной конической плоскостью и плоскостью основания. В
этом случае необходимо помнить, что для определения вида кривой остаются
в силе те же признаки. Отличием здесь является лишь то, что характерные
точки кривой сечения могут получаться на продолжении конической
поверхности (вершина В на рис. 14).
Рис.14
16
Рассмотрим примеры построений проекций линий сечения конуса
различными плоскостями. Рассмотрим пересечение конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ (ΣП2), рис. 15. Построение проекций линии
сечения осуществляется в следующей последовательности:
1) определяем вид кривой. т.к. угол ϕ > ψ, то линией сечения является
эллипс. Большая ось эллипса АВ равна А2В2. Малая ось эллипса CD
перпендикулярна П2 (а значит, параллельна плоскостям П1 и П3) и
проецируется
на
фронтальную
плоскость
проекций
П2
в точку (С2 ≡ D2)–середину отрезка А2В2, а на П1 и П3 – в натуральную
величину. Проекциями получаемого эллипса, в общем случае, являются
эллипсы.
2) определяем характерные точки проекций эллипса – концы большой и
малой осей эллипсов. Ввиду того, что малая ось эллипса параллельна П1 и
П3, то по правилу проецирования прямого угла горизонтальные и
профильные проекции большой и малой осей эллипса будут также
взаимно перпендикулярны, т.е. являются осями эллипсов. Определяем
горизонтальную проекцию А1В1 и профильную проекцию А3В3 из
условия принадлежности точек А и В очерковым образующим конуса на
его фронтальной проекции. Для определения C1D1 проводим на конусе
через точки C, D вспомогательную окружность в горизонтальной
плоскости Г (Г2). Тогда C1D1 находится как хорда проведённой
окружности. Координатным способом определяем C3D3 (или из условия
C3D3 = C1D1). К характерным точкам профильной проекции эллипса
относятся также точки Е3 и F3 касания эллипса к очерковым образующим
конуса. Точки Е3 и F3 разделяют проекцию кривой на видимую и
невидимую части и определяются по фронтальной проекции Е2 ≡ F2. Проекции Е1 и F1 являются промежуточными точками для горизонтальной
проекции эллипса. Последовательность их построения отмечена цифрами.
3) строим промежуточные точки проекций кривой либо из условия
принадлежности их поверхности конуса (по произвольно выбранным
фронтальным проекциям точек), либо одним из известных графических
способов, рис. 12.
4) соединяем полученные точки плавной лекальной кривой, соблюдая
видимость на проекциях.
Рассмотрим построение проекций линий сечения конуса
фронтально– проецирующей плоскостью Σ(ΣП2), рис. 16.
Плоскость Σ пересекает конус по параболе, т.к. Σ параллельна одной
образующей конуса (левой очерковой), т.е. ϕ = ψ. Характерными точками
параболы являются вершина А и точки В и С.
Так как ось симметрии, полученной в сечении параболы, является
фронталью (парабола симметрична относительно фронтальной плоскости
симметрии конуса), то проекции характерных точек параболы-сечения будут
являться также характерными точками парабол-проекций. Проекции А1 и А3
17
Рис.15
определены из условия принадлежности точки А правой очерковой
образующей
конуса на фронтально проекции. Точки В и С проекций
параболы определены из условия их принадлежности окружности основания
конуса. К характерным точкам профильной проекции параболы относятся
также точки Е и F касания её к очерковым образующим конуса. Эти точки
разделяют проекцию кривой на видимую и невидимую части. Проекции Е3 и
F3 определяются по фронтальной проекции Е2≡F2. Проекции Е1 и F1
являются промежуточными точками на горизонтальной проекции кривой и
строятся координатным способом.
Проекции промежуточных точек кривой строим либо из условия
принадлежности их поверхности конуса (точки 1 и 2 на рис. 16), либо
18
Рис.16
одним из известных графических способов. Рассмотрим построение
параболы по вершине А и точке С, рис. 17. Порядок построения следующий.
Рис.17
Через вершину А проводим прямую t, перпендикулярную оси параболы
до пересечения с прямой t в точке К. Соединяем точки А и С. Отрезки АС и
КС делим на одинаковое число равных частей и нумеруем их по порядку от
точек А и К в направлении к С. Соединяем точку А с точками 1, 2, 3, 4. Через
19
точки I, II, III, IV проводим прямые, параллельные оси параболы. Находим
точки параболы как точки пересечения соответственных прямых А - 1 и
прямой, проходящей через точку II и т.д.
После определения достаточного количества точек на проекциях
параболы, соединяем их плавной лекальной кривой, соблюдая видимость.
Рассмотрим пересечение конуса профильной плоскостью Σ(ΣП2),
параллельной оси конуса (угол ϕ = 0°), рис. 18.
Поскольку ϕ < ψ (секущая плоскость параллельна двум образующим
конуса, являющимся очерковыми на профильной проекции), то линией
пересечения будет гипербола, с вершиной в точке А и точками В и С.
Построение проекций гиперболы ясно из чертежа.
Рис.18
2.2.3 Сфера
Плоскость всегда пересекает сферу по окружности. Вид проекций
окружности зависит от положения секущей плоскости по отношению к
плоскостям проекций:
1) секущая плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций,
пересекает сферу по окружности, проецирующейся на эту плоскость без
искажения, а на две другие – в отрезки прямых, равные диаметру
окружности;
2) секущая плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций,
пересекает сферу по окружности, проецирующейся на эту плоскость
20
Рис.19
отрезком прямой, равным диаметру окружности, а на две другие плоскости –
эллипсами;
3) секущая плоскость занимает общее положение. Проекциями
окружности на все плоскости проекций будут эллипсы.
Рассмотрим построение проекций линии сечения сферы фронтальнопроецирующей плоскостью Σ (ΣП2), рис.19. Фронтальная проекция
окружности сечения вырождается в отрезок прямой А2В2, равный диаметру
окружности. Горизонтальная и профильная проекции будут эллипсами.
Строим характерные точки эллипсов-проекций, то есть концы больших и
малых осей. Для этого выделяем два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности, которые сохранят при проецировании прямой угол и дадут оси
эллипса на П1 и П3. Это будут: диаметр CD ⊥ П2, (C2 ≡ D2 делит пополам
отрезок А2В2 или определяется как основание перпендикуляра, опущенного
из фронтальной проекции центра шара на А2В2) и диаметр АВ ⊥ СD. Диаметр
21
CD, как параллельный плоскостям проекций П1 и П3, будет проецироваться
на эти плоскости без искажения, т.е. в натуральную величину. Проекции
диаметра CD будут большими осями эллипсов. Проекции диаметра АВ будут
малыми осями эллипсов.
К характерным точкам эллипсов-проекций относятся также точки касания
проекций линии сечения к очерковым образующим поверхностей, в которых
кривая делится на видимую и невидимую части. Такими точками на
горизонтальной проекции являются точки M1 и N1 (определяющиеся по
фронтальным проекциям M2 и N2 на экваторе сферы), а на профильной –
точки E3 и F3 (определяющиеся по фронтальным проекциям E2 ≡ F2 как
принадлежащие профильному меридиану сферы).
Строим проекции промежуточных точек либо из условий
принадлежности их сфере (точки I и 2 на рис.19), либо одним из графических
способов построения эллипса по двум осям (см. рис. 12). К промежуточным
точкам также относятся точки E1 и F1 на горизонтальной проекции, и M3 и N3
– на профильной проекции сферы.
Полученные точки соединяем плавной лекальной кривой с учётом видимости
на проекциях.
3
ПОСТРОЕНИЕ
ПРОЕКЦИЙ
ЛИНИИ
ПОВЕРХНОСТИ
ЗАДАННОГО
ТЕЛА
ПРИЗМАТИЧЕСКИМ ОКНОМ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
СКВОЗНЫМ
При построении проекций линии пересечения граней призматического
отверстия с телом, ограниченным одной из рассмотренных поверхностей,
используются положения, приведённые выше для построения линий
пересечения этих поверхностей проецирующими плоскостями.
Построение рекомендуется выполнять в следующей последовательности:
1) построить последовательно проекции линий пересечения каждой грани
сквозного призматического окна с заданной поверхностью (линии входа и
линии выхода). Причем для каждой точки линии пересечения
рекомендуется сразу строить все три проекции и только затем переходить
к построению проекций следующей точки.
2) построить проекции линии взаимного пересечения граней
призматического окна.
3.1 Поверхности многогранников
3.1.1 Прямая призма
Рассмотрим построение проекций линий пересечения граней
призматического окна с шестигранной призмой, рис. 20.
Фронтальная и горизонтальная проекции линий пересечения совпадают,
соответственно, со следами проецирующих граней призматического окна и
заданной призмы. Так, например, верхняя горизонтальная грань окна
22
пересекает призму по двум ломаным 1 – 2 – 3 – 4 и 1′ – 2′ – 3′ – 4′ (линиям
входа и выхода этой грани). Фронтальная 12 – 22 – 32 – 42 и профильная 13 – 23
Рис.20
– 33 – 43 проекции линии входа совпадают, соответственно, с фронтальной и
профильной проекциями верхней грани окна, а горизонтальная 11 – 21 – 31 –
41 – с горизонтальными проекциями трёх передних граней призмы.
(Аналогично проецируется линия выхода верхней грани окна).
Левая профильная грань окна пересекается с гранями шестигранной
призмы по двум горизонтально - проецирующим прямым 1 – 5 и 1′ – 5′
(линиям входа и выхода грани) и т.д. Линии пересечения всех граней окна с
поверхностью тела образуют две замкнутые пространственные ломаные
линии (линию входа призматического окна 1 – 2 – 3 – 4 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 1
и линию выхода 1′ – 2′ – 3′ – 4′ – 9′ – 8′ – 7′ – 6′ – 5′ – 1′).
23
Строим линии взаимного пересечения граней окна, которыми являются
пять фронтально-проецирующих прямых 1 – 1′, 5 – 5′, 7 – 7′, 9 – 9′ и 4 – 4′.
3.1.2 Прямая пирамида
Рассмотрим пример построения проекций линии пересечения
четырёхгранного призматического окна с шестигранной пирамидой, рис. 21.
Рис.21
Рассмотрим построение проекций линий пересечения (входа и выхода)
верхней левой грани окна с поверхностью пирамиды. Фронтальные проекции
линий пересечения 12 – 22 – 32 и 1′2 – 2′2 – 3′2 совпадают с фронтальной
проекцией грани.
24
Горизонтальные и профильные проекции линий пересечения строим из
условия принадлежности вершин ломаной линии граням и рёбрам пирамиды.
Так, точки 1 и 1′ принадлежат профильно-проецирующим граням пирамиды.
Поэтому сначала определим профильные проекции точек 13 и 1′3 на
профильных проекциях соответствующих граней, а затем координатным
способом строим горизонтальные проекции 11 и 1′1 (см. построение на рис.
21) для точки 1′). Проекции точек 2 и 2′ строим из условия принадлежности
их соответствующим рёбрам пирамиды. Проекции точек 3 и 3′ строим с
помощью
горизонталей
соответствующих
граней
пирамиды.
Вспомогательные горизонтали получены при пересечении пирамиды
горизонтальной плоскостью Г (ГП2), проходящей через точки 3 и 3′.
Построение проекций точек видно из чертежа.
Линии пересечения остальных граней призматического окна строим
аналогично. Линии пересечения всех граней окна с поверхностью тела
образуют две замкнутые пространственные восьмизвенные ломаные линии
(линию входа и линию выхода).
Строим линии взаимного пересечения граней окна – четыре фронтально –
проецирующие прямые 1 – 1′, 3 – 3′ и т.д.
3.2
Тела вращения
3.2.1 Прямой круговой цилиндр
Рассмотрим построение проекций линий пересечения призматического
трёхгранного окна с прямым круговым цилиндром, рис. 22.
Верхняя грань окна пересекает поверхность цилиндра по двум дугам
окружности. Левая (и аналогично правая) грань окна пересекает цилиндр по
двум дугам эллипса, одной из вершин которого является точка 4.
Так как поверхность цилиндра и грани окна являются проецирующими, то
горизонтальная и фронтальная проекции линии пересечения окна совпадают
соответственно с проекциями поверхности цилиндра и граней окна
(аналогично рассмотренному выше примеру для прямой призмы, рис. 20).
Промежуточные точки дуг эллипса строятся либо из условия их
принадлежности поверхности цилиндра (точка Е, рис. 22), либо одним из
известных графических способов по двум осям (рис. 12).
3.2.2 Прямой круговой конус
Рассмотрим построение проекций линий пересечения прямоугольного
призматического окна с прямым круговым конусом, рис. 23.
Верхняя грань окна пересекает поверхность конуса по двум дугам
окружности радиуса R (на рис. 23) дуга входа обозначена 1 – А – 2).
Фронтальные проекции этих дуг совпадают с фронтальной проекцией грани.
На горизонтальную плоскость проекций дуги проецируются в натуральную
25
величину. Профильные проекции искомых дуг проецируются отрезками
прямых, лежащими на профильной проекции грани. 13 – А3 – 23 – профильная
проекция линии входа. Аналогично построены линии пересечения нижней
грани окна с конусом.
Рис.22
Левая грань окна пересекает поверхность конуса по двум дугам
гиперболы с вершиной в точке 7. Точка 7 нужна для более точного
построения профильных проекций дуг гиперболы. Фронтальные проекции
дуг совпадают с фронтальной проекцией грани. Горизонтальные проекции
дуг проецируются отрезками прямых, принадлежащими горизонтальной
проекции грани. ( На чертеже обозначены горизонтальные проекции 11 – 31 и
1′1 – 3′1 линий входа и выхода). На профильную плоскость проекций дуги
гиперболы проецируются в натуральную величину. Промежуточные точки
26
дуг строятся либо из условия принадлежности их поверхности конуса (точка
8), либо одним из известных графических способов, используя для
построения вершину гиперболы 73.
Строим линии взаимного пересечения граней окна – четыре фронтальнопроецирующие прямые 1 – 1′, 3 – 3′ и т.д.
Рис.23
3.2.3 Шар
Рассмотрим построение проекций линий пересечения призматического
трёхгранного окна с шаром, рис. 24.
Строим проекции линии пересечения граней окна с поверхностью шара.
Левая грань окна пересекает поверхность шара по двум дугам окружности
27
радиуса R с центром в точке С. Фронтальные проекции этих дуг совпадают с
фронтальной проекцией грани. Горизонтальные и профильные проекции
искомых дуг окружности являются дугами эллипса – проекции этой
окружности на П1 и П3 (см. построение проекций линий пересечения сферы
проецирующей плоскостью, рис. 19. Аналогично строятся проекции линий
пересечения шара с правой гранью окна.
Рис.24
Нижняя грань окна пересекает поверхность шара по двум дугам
окружности, лежащей в горизонтальной плоскости Σ (ΣП2). Фронтальные
проекции дуг совпадают с фронтальной проекцией грани. На горизонтальную
плоскость проекций дуги проецируются в натуральную величину, а на
профильную – в виде отрезков прямой, принадлежащих профильной
проекции грани.
28
Строим линии взаимного пересечения граней окна – три фронтальнопроецирующие прямые 1 – 1′, 4 – 4′ и т.д.
4
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
4.1 Задача №1. Построить три проекции тела,
наружной
поверхностью которого является прямой круговой цилиндр, а
внутренней – прямая шестигранная призма
Графическое условие задачи, дополненное наглядным изображением,
приведено на рис. 25.
Рис.25
Форма и размеры сквозного четырёхгранного выреза проецируются без
искажения на фронтальной проекции.
Строим тонкими линиями профильную проекцию без учёта заданного
выреза, рис. 26.
Строим линии пересечения граней выреза с наружной поверхностью
заданного тела, рис. 27. Профильная грань, принадлежащая плоскости Ψ
29
(Ψ2), пересекает боковую поверхность цилиндра по образующим I – II и I′ –
II′, а верхнее основание по фронтально-проецирующему отрезку I – I′.
Фронтально-проецирующая грань выреза, принадлежащая плоскости Σ
(Σ2), пересекает цилиндр по двум дугам эллипса (см. объяснение к рис.22.
Промежуточные точки эллипса построены способом, основанным на
аффинном соответствии эллипса и окружности. Аналогично ведутся
построения для граней выреза, симметричных рассмотренным.
Рис.26
Строим проекции линии пересечения внутренней призматической
поверхности тела гранями выреза, рис. 28.
Грань, принадлежащая плоскости Ψ (и ей симметричная), не пересекает
поверхности призмы.
Грань в плоскости Σ пересекает грани шестигранной призмы по ломаной
линии 3 – 2 – 1 – 2′ – 3′, построение которой видно из чертежа. (Аналогично
пересекает призму симметричная грань выреза).
Строим недостающие проекции рёбер призматического выреза, рис. 28.
Как видно из чертежа, эти рёбра перпендикулярны плоскости П2. Так как
поверхности,
ограничивающие
тело,
являются
горизонтальнопроецирующими, то сначала строим горизонтальные проекции рёбер, а затем
профильные. Нижнее ребро выреза в точках 3 и 3′ пересекает внутреннюю
30
призматическую поверхность и разделяется ими на два отрезка: III – 3 и 3′ –
III
Рис.27
Рис.28
31
4.2 Задача №2. Построить три проекции тела,
наружной
поверхностью которого является прямая шестигранная
пирамида, а внутренней – прямой круговой конус
Графическое условие задачи, дополненное наглядным изображением,
приведено на рис. 29.
Рис.29
Линии пересечения граней окна с наружной поверхностью обозначены
римскими цифрами, а с внутренней – арабскими, рис. 30. Каждая из боковых
граней окна пересекает внутреннюю коническую поверхность по двум дугам
гиперболы. Для более точного их вычерчивания построена вершина
гиперболы.
Как видно из чертежа, каждое из рёбер сквозного призматического окна
пересекается с внутренней поверхностью тела и делится точками
пересечения на два фронтально – проецирующихся отрезка. Так, например,
левое нижнее ребро окна разделяется точками I и I′ на отрезки III – I и I′ –
32
III′. На наглядном изображении видны два фронтально-проецирующих
отрезка правого нижнего ребра, симметричных отрезкам III – I и I′ – III′, рис.
29.
Рис.30
4.3 Задача №3. Построить три проекции тела,
наружной
поверхностью которого является
сфера, а внутренней – прямая
четырехгранная призма
Графическое условие задачи, дополненное наглядным изображением,
приведено на рис. 31.
Линии пересечения граней окна с наружной поверхностью обозначены
римскими цифрами, а с внутренней – арабскими, рис. 32. Каждая из боковых
33
граней окна пересекает поверхность сферы по двум дугам окружности
радиуса R, которые проецируются на П1 и П3 дугами эллипсов.
На рисунке показано построение характерных точек дуг эллипса для
левой грани окна: точек III и III′ – концов больших осей эллипсов на П1 и П3,
Рис.31
точек Iς и Iς′, лежащих на очерковой окружности горизонтальной проекции
шара.
Каждое из рёбер сквозного призматического окна делится точками
пересечения этого ребра с внутренней призматической поверхностью на два
фронтально – проецирующих отрезка. Так, например, верхнее левое ребро
разделяется точками 2 и 2′ на отрезки I – 2 и 2′ – I′, а левое нижнее – на
отрезки II – 3 и 3′ – II′. На наглядном изображении видны два фронтально –
34
проецирующих отрезка, на которые разделяется правое нижнее ребро окна,
рис. 31.
Рис.32
35
Приложение 1
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
36
37
38
ЛИТЕРАТУРА
1. Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, Н.М. Лаврухина.
Начертательная геометрия. – М.: Высш. шк., 1990.
2. С.А. Фролов. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение, 1983.