Document 2625286

RADIATIVE TRANSFER IN SCATTERING AND ABSORBING ATMOSPHERES: STANDARD COMPUTATIONAL PROCEDURES Edited by Jacqueline Lenoble Laboratoire d’Optique Atmospherique .tyniversite des Sciences et Techniques de Lille 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex France A. DEEPAK Publishing 1985 A Division of Science and Technology Corporation Hampton, Virginia USA ПЕРЕНОС РАДИАЦИИ В РАССЕИВАЮЩИХ И ПОГЛОЩАЮЩИХ АТМОСФЕРАХ Стандартные методы расчета Под редакцией Жаклин Ленобль Перевод с английского канд. физ.-мат. наук Ж. К. Золотовой под редакцией д-ра физ.-мат. наук К. С. Шифрина >, Ленинград Гидрометеоиздат 1990 УДК 523.030 : 535.36 В книге изложены результаты работы международной Рабочей группы, со зданной Комиссией по радиации Международной ассоциации метеорологии и физики атмосферы. Целью этой группы была подготовка исчерпывающего об зора многочисленных методов решения уравнения переноса излучения в атмо сфере, развитых к настоящему времени. В обзоре содержится описание этих методов и анализ их относительных преимуществ и недостатков. Сопоставля ется точность разных методов на типичных примерах. Книга адресована метео рологам, океанологам, астрофизикам, экологам и другим специалистам, иссле дующим процессы переноса радиации в оптически толстых средах, а также студентам соответствующих специальностей. Copyright © 1085 by A. DEEPAK Publishing 1805040400-123 П лло / ло \ on---------7’89 069 (02) -90 AI! li*!,ts reserved* © Перевод на русский язык, Гидрометеоиздат, 1090 С Scan, AHL, 2009 ОГЛАВЛ ЕН ИЕ Предисловие редактора перевода ............................................................................. Предисловие к русскому и з д а н и ю ......................................................... ... 9 11 Предисловие ............................................................................... ............................ Список авторов, принявших участие в созданиинастоящей книги . . . 12 14 Часть I Введение Глава 1. Общие о п р ед ел ен и я ............................................................................ 20 1.1. Параметры, определяющие положение координати направление . . 1.2. Характеристики атмосферы................................................................................ 1.3. Оптическая т о л щ и н а ............................................................................................ 1.4. Характеристики поля и зл уч ен и я .................................................................... 1.5. Уравнение п е р е н о с а ............................................................................................. 1.5.1. Общий в и д .................................................................................................... 1.5.2. Плоскопараллельная атмосфера ........................................................... 1.5.2.1. Интегродифференциальное уравнение для суммарнойрадиации 1.5.2.2. Интегродифференциальное уравнение для рассеяннойрадиации 1.5.2.3. Интегральные у р а в н е н и я ....................................................................... 1.6. Пропускание и о т р а ж е н и е ...................................................................... . 1.7. Принципы взаимодействия ............................................................................ 1.8. Разложение в ряды Фурье по а з и м у т у ............................................ .... . 1.9. Случай с тепловой э м и с с и е й ......................................................................... — 21 ;— 22 24 — — 25 — 26 — 27 — 29 Глава 2. Точные аналитические м е т о д ы ....................................................... 30 2.1. Метод сингулярной собственной ф у н к ц и и ................................................ 2.2. Метод Винера—Хопфа ........................................ ........................................... 2.3. Метод матрицы переноса ................................................................................ 2.4. Приведение к Я-функции или к X- и У-функциям................................ 2.4.1. Полубесконечные ат м осф ер ы ............................................................... 2.4.2. Конечные атм осф еры ............................ ' ......................................................... 2 4.3. Распространение м е т о д а .................................................................... .... . • 2.4.4. Численные сравнения ........................................................................ ^ . . — 32 36 38 39 40 41 — Глава 3. Численные м е т о д ы .................... : ............................................................ 42 3.1. Метод Монте-Карло ............................ ........................................................... 3.2. Метод сферических гармоник (или Рь-приближение) 1 ........................ 3.3. Метод дискретных о р д и н а т ............................................................................ — 45 47 3.4. Метод сопряженных ур а в н ен и й ..................................................................... 3.5. FN-метод ................................................................................................................ 3.6. Метод итераций Гаусса—З е й д е л я ................................................................ 3.7. Метод последовательных порядков р а с с е я н и я ........................................ 3.8. Метод конечных р азн остей ................................................................................. 3.9. Метод матричного оператора (или теория дискретного пространства) 3.9.1. Проблема внешнего о б м е н а ......................................................................... 3.9.2. Уравнения для внутреннего п о л я ........................................................... 3.9.3. Выбор толщины элементарногоп о л я .......................................................... 3.9.4. Предельные формы ........................................................................................ 3.9.5. Заключительные зам ечан и я ........................................................................... 3.10. Метод удвоения или с л о ж е н и я ................................................................... 3.11. Принципы инвариантности............................................................................. 3.12. Метод инвариантного вложения ................................................................ 3.13. DART- м е т о д ......................................................................................................... 50 51 54 56 58 61 — 62 63 — — 64 66 68 69 Глава 4. Приближенные м е т о д ы ............................................................................ 73 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. Соотношения п о д о б и я ......................................................................................... Приближение Э д д и н гто н а .................................... ............................................ Двухпотоковые м е т о д ы ..................................................................................... Приближение экспоненциального я д р а ......................................................... Метод в озм ущ ен и й ............................................................................................. Приближение малых углов ............................................................................ — — 75 76 78 80 Глава 5. Предельные с л у ч а и ..................................................................................... 81 5.1. Однократное р а с с е я н и е ..................................................................................... 5.2. Асимптотические соотнош ения......................................................................... 5.2.1. Постановка задачи ......................................................................................... 5.2.2. Асимптотические параметры и ф ун к ц и и ..................................................... 5.2.3. Асимптотические формулы для однородной атм осф еры .................... 5.2.4. Вычисление асимптотических параметров и ф ункций............................ 5.2.5. Заключение ........................................................................................................ — — 82 83 85 86 87 Глава 6. Проблема аппроксимации индикатрисы р а ссея н и я ........................ 88 6.1. Аппроксимация пика индикатрисы в направлении в п е р е д .................... 6.2. Различные аналитические представления для индикатрисы рассеяния — 90 Глава 7. Численное сравнение м е т о д о в ................................................................. 91 7.1. Однородные атм осф ер ы ..................................................................................... 7.1.1. Программа для численного сравнения методов....................................... 7.1.2. Результаты ......................................................................................................... 7.1.2.1. Светимость (или интенсивность) ............................................................ 7.1.2.2. Поток ................................................................................................................ 7.1.2.3. Замечание по поводу индикатрисы......................................................... 7.1.2.4. Заключение ..................................................................................................... 7.2. Реальная модель а т м о с ф е р ы ....................................................................... 7.2.1. Программа для численных сравнений (аэрозольные модели атмо сферы, основанные на моделях Рабочей группы «Стандартная ра диационная атм осф ера>)................................................................................. 7.2.2. Результаты ........................................................................................................ 7.2.2.1. Яркость ............................................................................................................. 7.2.2.2. П о т о к ................................................................................................................. — — 92 — 115 123 124 — — 128 — 138 Приложение IA. Отражение от поверхности..................................................... Приложение 1Б. Взаимность и соотношения симм етрии................................ Приложение IB. Индикатриса рассеяния для атм осф еры ............................. Список литературы к части I ................................................................................. 151 152 155 159 6 Часть II Введение Глава 1. Проблемы рассеяния при наличии газового поглощения . . . . 184 1.1. Формулировка задачи. Точное р е ш е н и е .................................................... 1.2. Метод последовательных порядков рассеяния............................................ 1.3. Использование //- или К-функций. Соотношение подобия . . . . 1.4. Метод исходного з н а ч е н и я ............................................................................. 1.5. Представление функции пропускания суммой эк с п о н ен т .................... 1.6. Распределение фотонов по длинам п р о б е г о в ............................................ 1.6.1. Полубесконечные атм осф еры ......................................................................... 1.6.2. Метод Монте-Карло ........................................................................................ 1.6.3. Обращение преобразования Л а п л а с а ......................................................... 1.6.4. Применение распределения фотонов по длине п р о б е г а .................... 1.7. Вероятностное распределение поглощающего в е щ е с т в а ........................ — 186 187 188 — 189 190 191 — 194 195 Глава 2. Горизонтально неоднородные атмосферы, освещенные солнечным излучением ..................................................................................................... 198 2.1. Общий а н а л и з ......................................................................................................... 2.2. Однородные атмосферы над неоднородной подстилающей поверх ностью ..................................................................................................................... 2.2.1. Аналитическое решение для изотропного р а с с е я н и я ........................ 2.2.2. Приближенные м е т о д ы ..................................................................................... 2.3. Атмосферы с горизонтальной неоднородностью....................................... 2.3.1. Принципы инвариантности ............................................................................ 2.3.2. Возмущение и малоугловое приближ ение................................................ 2.3.3. Асимптотический м е т о д ................................................................................. 2.3.4. Преобразование Ф у р ь е ..................................................................................... 2.4. Облака конечных размеров ........................................................................... 2.4.1. Дельта-приближение Эддингтона в трех и зм ер ен и я х........................ 2.4.2. Приближение Y...................................................................................................... 2.5. Поле разорванных о б л а к о в ............................................................................. 2.5.1. Правильное расположение ............................................................................ 2.5.2. Статистические модели ................................................................................. 2.5.2.1. Стохастическая структура потоков радиации в атмосфере с ра зорванной облачностью (или с облаками конечного размера) . . 2.5.2.2. Приближенное решение уравнения переноса при наличии ра зорванной облачности (или при конечном размере облака) , . . . 2.6. Метод М онте-К арло............................................................................................. Глава 3. Сферические атмосферы планет, освещенные солнечным пучком 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. Общий анализ ..................................................................................................... Однократное рассеяние .................................................................................... Инвариантное в л о ж е н и е............................................................................ . . Приближенные аналитические м е т о д ы ......................................................... Метод Монте-Карло ......................................................................................... Решение неплоскопараллельных задач методом D A R T ............... ... . — 199 — 203 204 — 207 208 209 — — 213 216 — — — 222 225 . 227 — 229 — 230 231 — Глава 4. Освещение узким коллимированным п у ч к о м ........................ .... . 235 4.1. Общая ф орм улировка......................................................................................... 4.2. Уравнение для м о м е н т о в ................................ ................................................ 4.2.1. Решение в малоугловом приближении . .* ............................................ 4.2.2. Решение в асимптотическом с л у ч а е ............................................................ 4.3. Инвариантное вложение и принципы инвариантности........................... 4.3.1. Процесс инвариантного в л о ж е н и я .............................................................. — 236 238 — 239 7 4.3.2. Использование преобразования Л а п л а с а ................................................ 4.3.3. Принципы инвариантностидля м о м е н т о в ................................................ 4.4. Рассеяние в прямом и обратном направлении в малоугловом при ближении ............................................................................................................... 4.5. Метод М онте-К арло............................................................................................. . 4.6. Нестационарные з а д а ч и ................................................................ .... 241 243 246 251 — Список литературы к части I I ................................................................................. 252 Предметный ук азател ь ................................................................................................. 263 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА Информационный бум, возникший в пятидесятых годах нашего столетия и продолжающийся по сей день, ставит перед современ ными исследователями, в особенности перед новыми поколениями, вступающими в науку, трудную задачу. В этой ситуации совер шенно необходимы краткие тщательно составленные компетент ными специалистами монографии и обзоры. Один из таких обзоров лежит перед Вами, читатель. Он написан заведующей Лаборато рией атмосферной оптики Университета науки и техники в г. Лилле (Франция), профессором Жаклин Ленобль, широко известным ученым, Президентом Международной комиссии по атмосферной радиации Международной ассоциации метеорологии и физики атмосферы. Книга состоит из двух частей. В первой обсуждается класси ческая задача о плоскопараллельном слое, освещенном бесконечно широким параллельным пучком света. Последовательно рассмот рены: 1) точные аналитические методы (глава 2); 2) численные методы (глава 3), описывающие разные схемы использования ЭВМ; 3) приближенные методы (главы 4, 5, 6), в которых решение задачи достигается за счет различных упрощений физического характера. (К этой части следовало бы добавить простой прибли женный метод, предложенный В. В. Соболевым в 1943 г. В нем рассеяние первого порядка учитывается точно, а рассеяние выс ших порядков — приближенно. Метод часто используется в зада чах атмосферной оптики.) Первая часть книги Ж. Ленобль заканчивается ценной главой 7, в которой содержатся тестовые проверки различных методов для типичных задач атмосферной оптики. Это позволит читателю пра вильно выбрать нужный ему метод с учетом объема вычислений и желаемой точности. Во второй части книги рассмотрены задачи рассеяния с учетом газового поглощения (перенос немонохроматического излучения в рассеивающей среде) в горизонтально неоднородной атмосфере, в сферической атмосфере, в среде, облученной узким коллимиро ванным пучком света. Это важные проблемы, плохо освещенные в изданных монографиях. Большой объем рассмотренных вопросов часто вынуждает ав тора быть очень лаконичным. Поэтому, разумеется, книга не может 9 полностью заменить читателю всю научную литературу по изла гаемым вопросам. Это прекрасно понимает и профессор Ж. Ленобль. Она снабжает каждый параграф списком основных публи каций. Книга может служить надежным компасом в необъятном море публикаций, и я надеюсь, что каждый читатель будет при знателен ее автору, который очень тщательно в интересах всех нас проделал трудную, но чрезвычайно полезную работу. При написании монографии Ж. Ленобль использовала мате риалы, которые для нее подготовили 66 специалистов из 9 стран (США, СССР, Франция, Голландия, ФРГ, Англия, Япония, Юго славия, Австралия). Это либо авторы соответствующих методик, либо лица, наиболее активно их использующие. При этом книга отнюдь не является простым сложением различных частей. Она написана Ж. Ленобль как единое целое. Книга рассчитана на научных работников, инженеров, аспи рантов и студентов в области метеорологии, океанологии, физиче ской оптики и смежных дисциплин. Она полезна также для инженеров и конструкторов, занятых разработкой оптической аппаратуры, предназначенной для работы в атмосфере или в океане. Монография Ж. Ленобль — это ценная справочная книга. Я уверен, что она в течение многих лет будет служить постоянным источником справок и ссылок для всех лиц, занимающихся атмо сферной оптикой и смежными вопросами. К. С. Шифрин ПРЕДИСЛОВИЕ к РУССКОМУ ИЗДАНИЮ В этой книге представлены результаты исследований между народной Рабочей группы, которую организовала Комиссия по радиации Международной ассоциации метеорологии и физики ат мосферы. Побудительным мотивом создания Рабочей группы была необходимость разобраться в большом числе методов, используе мых для решения уравнения переноса в плоскопараллельной рас сеивающей атмосфере. Цель настоящей работы — представить по возможности исчер пывающий обзор этих методов при максимально кратком описа нии их принципов. Одновременно мы стремились выявить то об щее, что содержится в различных методах, а также их относитель ные преимущества и недостатки. Этот обзор, дополненный числен ными сравнениями на нескольких типовых примерах, изложен в первой части книги. В дальнейшем Рабочая группа распространила свою деятель ность на изучение неплоскопараллельных задач, существенных для земной атмосферы, и взаимодействия рассеяния и газового погло щения. Здесь речь идет об областях, которые в настоящее время разработаны еще не вполне удовлетворительно и изучение кото рых сейчас активно продолжается. Поэтому целью второй части книги, посвященной этим вопросам, является уточнение состояния наших знаний и различных подходов, отвечающих, как нам ка жется, современному моменту исследований. В деятельности Рабочей группы участвовали так или иначе 66 исследователей со всего мира, и я бы хотела здесь выразить свою признательность многочисленным советским коллегам, пред ставившим описание своих методов или численные результаты сравнительных программ. Я хочу особо поблагодарить профессора Шифрина, предложив шего издать эту работу на русском языке и отредактировавшего ее перевод, а также Гидрометеоиздат, осуществивший публи кацию. Надеюсь, что этот перевод будет способствовать расширению международного сотрудничества. Ж. Ленобль ПРЕДИСЛОВИЕ У этой книги долгая предыстория. Все началось с организации Рабочей группы «Стандартные процедуры для расчета радиаци онного переноса в рассеивающей атмосфере», учрежденной Комис сией по радиации (КР) Международной ассоциации метеорологии и физики атмосферы (МАМФА) под председательством редактора настоящей книги. В задачу этой рабочей группы входил обзор и сравнение многочисленных методов решения уравнения переноса в рассеивающей атмосфере. В дальнейшем Рабочая группа заня лась также рассеянием в неплоскопараллельных атмосферах, со держащих поглощающие газы; кроме того, продолжались числен ные сравнения результатов специальных тестовых проверок, в том числе и для атмосфер, содержащих аэрозоли. Настоящая книга является пересмотренной и дополненной вер сией отчета, опубликованного КР. В первой части рассмотрены плоскопараллельные атмосферы; она содержит существенные до полнения к отчету за 1977 г. и законченные результаты численных сравнений. Вторая часть лишь незначительно отличается от отчета за 1980 г.: несмотря на большое число работ, посвященных в по следние годы неплоскопараллельным атмосферам, существенных достижений в этой области пока нет, и вопрос все еще остается в стадии изучения. Книга, изданная под редакцией председателя Рабочей группы, является коллективным трудом в точном смысле этого слова. В большинство разделов внесли вклад несколько авторов, хотя, разумеется, некоторые разделы написаны только одним из участ ников, ведущим специалистом по соответствующему методу. Ре дактор по мере сил постарался придать различным текстам единый стиль. Последовательные варианты полного текста рассылались всем участникам, чтобы обеспечить общее согласие всего коллек тива авторов. Мы сознательно не приводили ссылок в самом тексте: по каждому разделу составлена библиография, по возмож ности полная. Она приведена в конце каждой части. Весьма ве роятно, что многое мы упустили, но это сделано не преднамеренно. В работе приняли участие 66 специалистов из девяти стран. Всех их редактор благодарит за проявленную добрую волю. Осо бая благодарность тем многим участникам, кто согласился напи сать подробные анонимные параграфы. Файмат, Хант и Ирвин 12 сделали обзор английского текста отчета за 1977 г., а Уитни — аналогичный -обзор отчета за 1980 г.; раздел по рассеянию и га зовому поглощению был первоначально подготовлен Фукаром и Ирвином; Боннель предпринял трудную задачу корректорской правки этого раздела. С благодарностью отмечаю прекрасную работу издательского коллектива, особенно Мэри Гудвин, выполнившей набор (Science and Technology Corporation/A. Deepak Publishing). Особая благо дарность— доктору Рунке, сотруднику Морской исследователькой лаборатории в Вашингтоне, за организацию дополнительной финансовой поддержки, позволившей повысить качество издания. Жаклин Ленобль СПИСОК АВТОРОВ, ПРИНЯВШИХ УЧАСТИЕ В СОЗДАНИИ книги Авасте О. А., СССР, Институт астрофизики и атмосферной фи зики АН ЭССР Аронсон Р., США, Нью-йоркский политехнический институт, фа культет ядерной инженерии Баркстром Б. Д., США, Исследовательский центр НАСА Блерком, Д. ван, США, Университет шт. Массачусетс, факультет физики и астрономии Бокс М., Австралия, Унивесристет Нового Южного Уэльса Боннель Б., Франция, Лилльский университет науки и техники, лаборатория атмосферной оптики Брогниц Ц., Франция, Лилльский университет науки и техники, лаборатория атмосферной оптики Вайникко Г. М., СССР, Институт астрофизики и атмосферной фи зики АН ЭССР Вайнман Дж. А., США, Университет шт. Висконсин, метеорологи ческий факультет Гелейн Ж. Ф., Франция, Париж Гермогенова Т. А., СССР, Институт прикладной математики АН СССР Герстл С. А. У., США, Университет шт. Калифорния, Научная лаборатория Лос-Аламоса Гутшабаш С. Д., СССР, Институт океанологии АН СССР ' Дарбинджан Р. А., СССР, Вычислительный центр Сибирского от деления АН СССР Дево Ц., Франция, Лилльский университет науки и техники, лабо ратория атмосферной оптики Дейл X., США, Университет шт. Аляска, Геодезический институт Дипак А., США, Научно-техническая корпорация Дэйвис Р., США, Университет шт. Висконсин, метеорологический факультет Зеге Е. П., СССР, Институт физики АН БССР Иванов В. В., СССР, Ленинградский государственный университет Ирвин У. М., США, Университет шт. Массачусетс, факультет фи зики и астрономии Кагивада X., США, Рэнд Корпорэйшн Каргин Б. А., СССР, Вычислительный центр Сибирского отделе ния АН СССР 14 Карп А. X., США, Корпорация Ай Би эМ Каттавар Дж. У., Техасское отделение Эй эМ, отдел физики Квенцель Г., ФРГ, Метеорологический институт Кершгенс М., ФРГ, Кельнский университет, Институт геофизики и метеорологии Кокс С. К., США, Университет штата Колорадо, факультет изу чения атмосферы Коновалов Н. В., СССР, Институт прикладной математики АН СССР Кузнецов Е. С., СССР, Вычислительный центр Сибирского отде ления АН СССР Кусцер И., Югославия, Люблянский университет, Институт фи зики Лиоу К. Н., США, Университет шт. Юта, метеорологический фа культет Макки Т. Б., США, Университет шт. Колорадо, факультет изуче ния атмосферы Маккормик Н. Дж., США, Университет шт. Вашингтон, факуль тет ядерной инженерии Малкевич М. С., СССР, Институт физики атмосферы АН СССР Малликин Т. У., США, Университет шт. Индиана, отдел матема тических наук Марчук Г. И., Сибирское отделение АН СССР Минин И. Н., СССР, Ленинградский государственный универси тет, физический факультет Михайлов Г. А., СССР, Сибирское отделение АН СССР Назаралиев М. А., СССР, Сибирское отделение АН СССР Нийлиск X. А., СССР, Таллинн Охврилл Г., СССР, Институт астрофизики и атмосферной физики АН ЭССР Пильц У., ФРГ, Кельнский университет, Институт геофизики и метеорологии Пласс Дж., Н. Техасское отделение Эй эМ, отдел физики Рашке Е., ФРГ, Кельнский университет, Институт геофизики и метеорологии Романова JI. М., СССР, Институт физики атмосферы АН СССР Саттлз Дж . Т., США, Исследовательский центр НАСА Стэмнец К., США, Университет шт. Аляска, Институт геофизики Токашима Т., Япония, Метеорологический исследовательский ин ститут Танре Д., Франция, Лилльский университет науки и техники, ла боратория атмосферной физики Уено С., Япония, Технический институт Уискомб У. Дж., США, Центр космических полетов НАСА Уитни К. К., США, Лаборатория Чарльза Стюарта Дрейпера Фима А. А., США, Инженерия передовой техники Фукар И., Лилльский университет науки и техники, лаборатория атмосферной оптики 15 Хаан Я. Ф. де, Нидерланды, Амстердамский университет, лабора тория природоведения Ханзен Дж . А., США, НАСА/ГИСС Хант Дж . Е., Великобритания, Центр дистанционного зондирова ния Херман Н., Франция, Лилльский университет науки и техники, лаборатория атмосферной оптики Ховеньер Я. В., Нидерланды, Амстердамский университет, лабора тория природоведения Хюлст В. Ц. ван де, Нидерланды, Лаборатория Гюйгенса Шеттл И. П., США, Геофизическая лаборатория воздушного флота Шипли С. Т., США, Исследовательский центр НАСА Шифрин К. С., СССР, Институт океанологии АН СССР Эспозито Л. У., США, Университет шт. Массачусетс Эшельбах Г., ФРГ, Университет Иоханнеса Гутенберга, Метеоро логический институт Ч асть I Введение Задача переноса излучения в рассеивающей атмосфере — это задача многократного рассеяния радиации, излучаемой внутрен ними или внешними источниками; аналогичными методами обычно исследуется рассеяние при наличии теплового излучения. Слож ность задачи в значительной мере зависит от того, насколько точ ный ответ желателен в том или ином случае. В оценках суммарной солнечной радиации, поглощенной атмо сферой, определяющую роль играет сферическое альбедо; таким образом, при расчетах теплового баланса эта величина — осново полагающая. Дивергенция суммарного потока в атмосфере прямо связана со скоростью локального нагревания и является фунда ментальной величиной, определение которой необходимо в иссле дованиях динамики атмосферы. При дистанционном зондировании наиболее подробная диагностическая информация относительно состава и состояния планетарной атмосферы часто извлекается из данных наблюдений за яркостью или даже за поляризацией. В главе 1 мы рассмотрим общие определения, связанные с ра диационным полем и с характеристиками атмосферы. Для ясности изложения мы постараемся использовать одни и те же обозначе ния на протяжении всей книги, в том числе и при описании каж дого из методов. До настоящего времени почти все теоретические и вычисли тельные методы относились к прямой задаче, т. е. физические ха рактеристики атмосферы считались заданными. Источники излуче ния описывали с помощью некоторых граничных условий, после чего находили радиационное поле в атмосфере. Обратная задача, в которой поле радиации полагают извест ным, а целью является определение характеристик атмосферы, имеет, конечно, большое значение для исследований методами дистанционного зондирования. Однако эта задача отягощена мно жеством параметров, необходимых для описания реальной атмо сферы (а возможно, и подстилающей поверхности). Существуют методы для аналитического решения некоторых обратных задач, но они применимы лишь в особо простых случаях. Поэтому обычно искомые атмосферные параметры задают набором величин, а за тем сравнивают вычисленное радиационное поле с измеренным. 2 Зак № 119 17 Мы ограничимся прямой задачей и будем считать, что пара метры, характеризующие атмосферу, нам известны точно. Следует всегда помнить,, что такое предположение несправедливо для реальной атмосферы; недостаточная точность параметров может сказаться на точности полученных значений радиационного поля в неменьшей степени, чем точность используемого численного при ближения. В случае сильно анизотропного рассеяния особенно важной оказывается проблема индикатрисы рассеяния: мы обсу дим ее в главе 6 . Простейшим случаем в проблеме многократного рассеяния является случай однородной плоскопараллельной атмосферы. Не которые вычислительные методы решения задач многократного рассеяния практически полностью пригодны и для атмосфер с вер тикальной неоднородностью. Гораздо трудней справиться с гори зонтальной неоднородностью (включая неоднородные внешние источники, такие, как луч прожектора или отражение от неодно родной поверхности). В некоторых задачах, например при иссле довании явлений сумерек, возникает необходимость учитывать сферичность атмосферы. Эти проблемы будут рассмотрены в части II. В части I мы ограничимся рассмотрением плоскопараллельной атмосферы с возможной вертикальной неоднородностью. Как пра вило, мы будем излагать методы решения в скалярной форме, а для учета поляризации указывать их возможные модификации в матричной форме, но некоторые методы будут изложены непо средственно в матричной форме. Радиацию мы будем считать монохроматической. Случай немонохроматического излучения в принципе всегда сводится к суперпозиции задач для переноса монохроматического излучения. При описании линии поглощения возникает трудность — требуется установить, какое число таких параллельных задач необходимо для достаточно точного опреде ления формы линии (см. часть II). Для удобства изложения методы, описанные в этой книге, бу дут разделены на три группы: 1) точные аналитические методы, 2 ) вычислительные методы и 3) приближенные методы. Следует помнить, что эта классификация в общем произвольна и требует некоторых пояснений. Под точными аналитическими методами (глава 2) мы подразу меваем методы, позволяющие получить результаты в строгом аналитическом виде, по крайней мере в простейших случаях; од нако в конечном счете они всегда сопряжены с вычислениями, причем часто прямые вычислительные методы обеспечивают не меньшую точность. Основное достоинство аналитических методов состоит в том, что они позволяют уяснить математическую струк туру и общее поведение решений уравнения переноса. Главный недостаток — трудность применения этих методов к реальной атмосфере. Под названием «численные методы» (глава 3) мы опишем большую часть методов, используемых в настоящее время для 18 вычисления радиационного поля в планетной атмосфере; как правило, они специально разработаны для вычислительных ма шин. Они могут включать или не включать некоторую аналитиче скую обработку, предшествующую процедуре расчетов. Обычно эти методы дают возможность учитывать реальные характеристики атмосферы и позволяют получить результаты с любой желаемой степенью точности (при условии использования большого компью тера и неограниченного вычислительного времени). В случае ком пьютера средних размеров и разумных затратах счетного времени большинство этих методов обеспечивает вычисление с разумной точностью яркости (а часто и поляризации) излучения в атмо сфере. Под приближенными методами (глава 4) мы понимаем такие способы решения, которые позволяют значительно сократить рас четное время или вообще не требуют программирования на ЭВМ. Эти способы обычно связаны с грубым описанием либо характе ристик реальной атмосферы, либо задачи переноса. Полезность такого подхода зависит, конечно, от характера искомой величины и от требуемой точности. Однако к ним охотно обращаются в установившейся практике расчетов. Глава 5 будет посвящена однократному рассеянию; такое при ближение справедливо для очень тонких слоев и является отправ ным пунктом для некоторых других методов и для асимптотиче ских приближений, относящихся к толстым слоям. Мы будем придерживаться очень краткого описания методов, ограничиваясь изложением основного принципа, а по возможно сти — основной формулы. Будет отмечена тесная связь, существу ющая между некоторыми методами. Мы осознаем, что наш обзор, вероятно, не обладает исчерпы вающей полнотой и что мы могли опустить некоторые важные методы, особенно из тех, что были разработаны для переноса нейтронов и еще не применены к переносу радиации. Авторы различных глав обзора приложили все усилия, чтобы отметить преимущество и недостатки известных им методов. Од нако следует отдавать себе отчет в том, что без тщательной про верки и перекрестных сравнений точности результатов и затрат машинного времени для различных случаев сделать это очень трудно. Следовательно, подобная информация имеет скорее качественный характер и отражает мнение одного автора, а не всей группы. Мы предприняли попытку таких перекрестных срав нений, и некоторые ограниченные результаты этих сравнений при ведены в главе 2 . 2* Глава 1 Общие определения В предложенной монографии автор стремился придерживаться терминологии и обозначений, рекомендованных Рабочей группой при Комиссии по радиации «Терминология и единицы». Однако следует отметить два исключения: яркость мы обозначаем I вме сто рекомендованного L, а оптическую толщину — т вместо б. Эти обозначения, / и т, широко используются в литературе по радиа ционному переносу, и большинство участников прибегало к ним в своих исходных текстах; переобозначения их на протяжении всей книги могли привести к ошибкам или путанице, особенно там, где символы L или б используются в качестве вспомогательных переменных. 1.1. ПАРАМЕТРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮ Щ ИЕ ПОЛОЖ ЕНИЕ КООРДИНАТ И НАПРАВЛЕНИЕ Положение точки М определяется вектором г ( х , у , г); направ ление распространения излучения определяется единичным векто ром Q (a, р, y). В плоскопараллельной горизонтальной однородной атмосфере единственной переменной, определяющей положение точки М, яв ляется высота: ось г, как правило, направлена вверх. Направле ние й по отношению к оси z характеризуется углом Ф (или \i= = cos 'в') и азимутом ф. ^^садтается положительным для восхо дящей радиации и отрицательным для’шадодощейТТако е определе: ниё иcпoльзyeт^J^î^й.м ш oгpаф ии^д„ исключением специальных оговорМГ Щ нако в некоторых методах принято обратное направ ление осей и \i считается положительным для нисходящей радиа ции. Иногда бывает удобно использовать \х = „ |c o s # \ , а направл^ШТ^отмечать + |я или —|я. В таких случаях в тексте и примеча ниях будет четко указано направление \i. Азимут ф отсчитывается от произвольной начальной оси обычно по часовой стрелке, если глядеть снизу вверх. 20 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ АТМОСФЕРЫ Введем фундаментальные характеристики атмосферы: оа — коэффициент поглощения, os — коэффициент рассеяния, ае = = a a+ a s — коэффициент ослабления, соо= (os/oe) — альбедо однократного рассеяния. ое — объемный коэффициент ослабления (м-1). Массовый ко эффициент ослабления равен аер, где р — плотность; то же отно сится к аа и as. Указанные величины обычно являются функциями г, но не Q. Они зависят от частоты излучения v, волнового числа х или длины волны А,; индексы v, к и X будут использоваться только в том случае, если это необходимо для ясности изложения. pv(n Й, й ' ) — индикатриса рассеяния, характеризующая рас сеяние в направлении Q радиации, поступившей из направления Й' в элементарный объем с центром в точке М(г) (индекс v обычно опускается). Индикатриса рассеяния нормирована выра жением j j р (г; Q, O') dOT = 4л. (1.1> Pv(г; Q, й ') — фазовая матрица рассеяния, относящаяся к векторпараметру Стокса (см. п. 1.4); это матрица 4 X 4 , условия ее нор мирования описываются выражением \ \Р\\ (г; Q, Q ) dCl = 4л. (1.2) Использование выражения для многократного рассеяния р (г; Q, Q') = Р || (г; Q, Q ) (1.3) всегда связано с аппроксимацией, однако оно позволяет получить весьма точные результаты. Параметры aa, as и Р — относятся к единице объема. Их можно либо получить прямыми измерениями, либо вычислить с учетом точного состава элемента объема (молекулы и различные ча стицы), а также рассеивающих и поглощающих свойств каждой частицы и молекулы. Атмосфера считается однородной, если a a, os и р или Р не зависят от г. Атмосферу называют консервативной при условии соо=_1_: это предельный случай для реальной атмо сферы, в которой coo очень близко к единице. Рассеяние считают изотропным при р (г; 12, Я ') = 1; этот воображаемый случай не имеет места в реальной атмосфере. 1.3. ОПТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА В плоскопараллельной атмосфере величина оо T = J oe{z)dz 21 (1.4) является оптической толщиной (или оптической глубиной), соот ветствующей высоте г. Величина т часто используется в качестве независимой переменной вместо г. Величину оо Xx = \ a e{z)dz (1.5) О называют полной оптической толщиной. В более общем случае мы можем использовать оптический путь, соответствующий геометрическому пути между двумя точ ками — М\ и М 2: М2 т = J <тв (г) dr. ( 1.6 ) A f| Иногда бывает полезно ввести следующие величины: оо rab s = \ o a(z)dz, (1.7) г оо ■tscatt = Jas (z)dz, (1 .8 ) г т = tabs + т scan, <О0 = —Т-?у'! . (1.9) 1.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ /(г, Й ) — яркость излучения (В т• м-2 • ср-1), распространяю щегося в направлении £2, в точке, задаваемой вектором г. / v(r, Й), /ч(г, Q) или /я(г, й ) — спектральная плотность ярко сти излучения с частотой v (Д ж -м - 2 -ср-1), волновым числом к (Вт • м-1 • ср-1) или длиной волны X (Вт • м-3 • ср-1) . Яркость / далее часто называется удельной яркостью, как принято в астро физике. Индексы v, х и Я, будут по возможности опускаться. /(г, й ) — вектор-параметр Стокса — матрица, элементами ко торой являются чаще всего четыре параметра Стокса (/, Q, U, V), но могут быть и любые другие подобные параметры, например параметры Кущера: I — яркость, определенная выше; степень по ляризации равна (Q2+U2+ V 2)'l2/ I ; величины U и V задают соот ветственно направление поляризации и эллиптичность. Для плоскопараллельной атмосферы часто используют обозна чения /+ и 1~ для радиации, распространяющейся в направлении ц > 0 и ц < 0 соответственно. Введем также следующие величины. /(г, й ) — функция источника, определяемая выражением /(г , Q ) - _ ^ L j j p ( r ; Q, O ') /(г; ООЛУ + М г . Q), (1.10) где член Js описывает действие внутренних или внешних источни ков излучения, либо тех и других вместе. 22 J (r, Q) — матрица источника, определяемая матричным урав нением, аналогичным выражению ( 1. 10 ). F q ( t ) — результирующий поток излучения (Вт-м-2) в точке М ( г) через плоскость, перпендикулярную направлению Й; описы вается выражением Р а ( г ) = \ j / ( r ; Q) co s (fi, Q') d€i = F q (r) — F q (r); (1.11) где F+ и F~ — значения облученности (Вт-м-2) по обеим сторонам плоскости соответственно. В плоскопараллельной атмосфере обычно рассматривают результирующий поток F ( z ) через гори зонтальную плоскость. Тогда F+ и F~ называют восходящим и нисходящим потоками соответственно. Скорость нагревания h связана с дивергенцией вектора F , равного сумме результирующих потоков по трем ортогональным направлениям: й = ~vF. ( 1. 12) Ф(г) — сферический поток в точке М (г), равный ф (Г) = j j / (г, O') dCl' = Ф+ (г) + ф - (г). (1.13) /(г) — средняя интенсивность в точке М ( г): 7 ( г) = Ф ( г)/4 я = ^ г и (г), (1.14) где с — скорость света, и — плотность энергии. Можно определить соответствующие потоковые матрицы. Для плоскопараллельной атмосферы, освещенной параллель ным пучком (см. п. 1.5.2), полезно определить альбедо А в виде отношения полного отраженного потока к падающему потоку: <| | 5 > В случае реальной сферической планеты, для которой предпо ложение о плоскопараллельной атмосфере применимо к отдельной точке на планетарном диске, сферическое альбедо, или альбедо планеты в целом, описывается выражением 2л R J dy $рЛ (|i0; P. v) dp .....-° - -д р ------------- . О -*)- которое представляет собой отношение полного потока, отражен ного планетой, к падающему на нее потоку. Здесь у и р — поляр ные координаты на диске планеты радиусом R. Если планета однородна, то формула (1.16) приобретает вид 1 As = 2 J МчЛ (Мч>ММч). 23 (117) Нисходящий поток F~(xi) у нижней границы атмосферы состоит из потока рассеянной радиации F “ ( t i ) и пропущенного потока прямой радиации |ц о |еМ|/йо nFeXll,l°. определяется следующим образом: Прозрачность = - £ { # - - * (м. ) + * " №\ r w атмосферы <1-18) где t (|Яо) — прозрачность для рассеянной радиации: ■ -Величину ex'/il0 радиации. < 1 | 9 > называют коэффициентом пропускания прямой 1.5. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Нижеприведенные уравнения записаны для яркости I. Анало гичные уравнения для матрицы I можно получить непосредственно заменой всех величин на соответствующие матрицы. Необходимо учитывать, в каком порядке входят матрицы в уравнения. 1.5.1. Общий вид Для произвольной геометрии уравнение переноса имеет вид QV/(r, О )-------а«(г)[/(г. О) — /(г , О)]. Для решения уравнения условия. 1.5.2. ( 1.20 ) (1.20) необходимо задать граничные Плоскопараллельная атмосфера Для плоскопараллельной атмосферы имеем Ч 31 (Т:^ ’ Ф) - = / (т; Ц, ф) — /(т ; ц, ф), ( 1-21 ) тде 2л 1 J (т; ц, \ j р (т; р, ф; ц', ф') / (т; ф) = 4 jl о н/, ф') d]f! dq>' + - i + /.( т ;ц , ф ). (1 .2 2 ) В качестве граничных условий задаются величины / + (ти ц, ф) и / - ( 0 ; (л, ф ) . Рассмотрим атмосферу, верхняя граница которой освещена параллельным пучком солнечных лучей, приходящих из направле ния ((io, фо). Пусть суммарный поток, пересекающий единичную 24 площадку, расположенную перпендикулярно пучку, равен я F. Ре фракцией можно пренебречь. Если подстилающая поверхность абсолютно черная (/+ (tj ; ц., <р) = 0 ), то мы имеем так называе мую стандартную задачу. Обычно нижняя граница является от ражающей, но решение этой «планетарной задачи» можно полу чить через решение стандартной задачи. 1.5.2.1. Интегродифференциальное уравнение для суммарной радиации Уравнение переноса (1.21) вместе с (1.22) можно представить для стандартной задачи в виде \ \ р ( х ; ц. Ф; ц', <р')/(т; ц', t f d p ' t b p ' о (1.23) - 1 с I (0 ; ц, ф) = б(ц — ц 0) 6 (ф — ф0) л / “, (1.24). / + (т,; ц, ф) = 0 . 1.5.2.2. Интегродифференциальное уравнение для рассеянной радиации Рассмотрим отдельно поле рассеянной радиа . (ее интенсив ность равна ID(ti; ц. ф)) и поле пропущенной солнечной радиации. Можно записать следующее уравнение: / ( т; ц, <р) = / 0 (т; ц,, ф) + б(м- — Цо)б(ф — ф0) л /?вг/Цо. (1.25) С учетом выражений (1.25) и (1.23) из уравнения (1.24) ^олучаем уравнение переноса для Id'- р (т; ц, Х р ( т; м-. ф; И. ф ) ф ' d q ---- — ф; цо, ф о ) / 7^ 0 (1.26) и Iо (0 ; ц, ф) = 0 , Id(t i; ц , ф) = 0. (1.27) Условия на нижней границе (1.24) или (1.27) можно изменить и таким”образом учесть любые условия отражения (см. приложе ние 1А). В обоих уравнениях— (1.23) и (1.26) — как для суммар ной радиации, так и для рассеянной обычно используется обозна чение /. 25 1.5.2.З. Интегральные уравнения Простым интегрированием условиями получим уравнения (1.21) с граничными / + (т; м., ф) = / + (т,; ц, q>)e~{T,~ xW - f Ti + - М / ( * ; щ ( p ) e - « - x)l,1dt ^ для IX> 0, (1.28) М-< 0, (1.29) Т Г ( т ; |х, ф) = Г (0; p., <p)eT/tl — X ---- М ' < * ^ <p)e~ {i~ x)l>l dt для О / ( т; (Л, ф) = / (т; |Л, ф) для ц, = 0. (1.30) Эти выражения иногда называют формальным решением задачи. Подставив выражения (1.28) и (1.29) в (1.22), получим инте гральное уравнение для /, называемое вспомогательным уравне нием; подставив выражения (1.22) в (1.28) и (1.29), найдем два сопряженных интегральных уравнения для /+ и 1~. 1.6. ПРОПУСКАНИЕ И ОТРАЖ ЕНИЕ Во многих атмосферных задачах очень часто требуется опреде лять поле уходящего излучения. Если плоскопараллельная атмо сфера, оптическая толщина которой равна ть освещена сверху параллельным пучком в направлении (ро = j cos 0 О| , Фо), поток которого равен nF, то функции отражения и пропускания опреде лятся выражениями / + (0; + ц , ф) = -4njl- ^ ( Т|’ 0: Ч>; Ф°)я/7> ^*31) nF. (1.32) / - (Ть — (Л, ф) = ~ 4 ^ - г (т 1. 0; М-. ф ; Но, Фо) Иногда под теми же названиями используются другие функции, связанные с 5 и Г множителями типа 4щ1о; 4ц, . . . и т. п. Если атмосфера освещена на нижней границе, то используют аналогичные функции S (0, ть ц, Ф; Цо, Фо) и Т (0, ti; ц, Ф; Но, ^о). Для однородной атмосферы S(0, t i) = S ( t„ 0 ) и Т ( 0 , т,) = Т (т,, 0 ) (1.33) (более общие соотношения см. в приложении 1Б). Матрицы отражения и пропускания определяются теми же уравнениями, но соотношения (1.33) справедливы только для азимутально независимых членов (см. п. 1.8 ). 26 1.7. ПРИНЦИП ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Рассмотрим произвольный слой, ограниченный плоскостями с координатами х и у, причем 0 < у < х < ть Интенсивность излучения, выходящего из слоя, линейно зависит от интенсивности падающего излучения и от интенсивности источников i f и /Г. на ходящихся в слое. Таким образом, можно записать 1+(у; ц, <р) = t(y, х)1+(х; ц, <р) + г(х, у) Г (у; \i, <р) + J t ( y , х), (1.34> Г ( х ; —\i, ф) = r(y, x ) I + (x; ц, q>) + t(x, у) Г (у; —ц, ф) + J7(x, у). + (1.35) Величины г и / можно определить как интегральные опера торы следующим образом: г (у, х ) 1 + (х; ц, ф) = 2л 1 х’ = “4^ Г j ф; ф,) /+ V'’ ф')Ф '<*ф', (1 -36> t(y, х ) 1 + (х , fi, ф) = 2л 1 =-^- j j Т(у, х; ц, ц', ф ') /+ (х; ц', <p')dn'dq>'. ф; (1.37> Аналогично можно получить выражения для г(х, у) и t ( x , y ). 1.8. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ФУРЬЕ ПО АЗИМУТУ Индикатриса рассеяния может быть задана либо в виде таб лицы, полученной путем измерений или с помощью расчетов, либо представлена аналитическим выражением (см. приложение IB ). Часто пользуются специфическим приемом — разложением ин дикатрисы по полиномам Лежандра; было доказано, что это един ственная форма представления, позволяющая разложить интенсив ность в ряды Фурье по азимуту. Такое разложение может быть использовано в сочетании почти со всеми методами, поэтому мы приведем его краткое описание. Индикатриса рассеяния имеет вид L р (0-) = £ рiPt (cos ft), /= 0 27 (1.38) PI = — + 1 j P (&) Pi (cos ft) d (cos &). (1.39) Индикатриса нормируется согласно выражению (1.1), отсюда Ро = 1; значение L достаточно велико, чтобы обеспечить требуе мую точность. Величину Pi/3 = g часто называют показателем асимметрии. Как следствие теоремы сложения для полиномов Лежандра Pi, р ( т; ц, <р; Ц.', ф') = L L £ (2 - бо.) cos S (ф - ф') £ Р/ (т) Р S О*) рЦ ц'). 5=0 (1 -40) l= S где ( 1 при 5 = 0 , (0 при s # 0 ; б“ Ps (ц) — присоединенные полиномы Лежандра, нормированные на 2 / ( 2 / + 1). Разлагая / ( т; ц., ф) в ряды по сов 5 (ф — ф0), можно сразу вы полнить интегрирование по ф. Окончательное разложение ограни чено порядком L: L / ( т; ц, ф ) = £ (2 — 60s)/s (t, ц )coss ( ф ф0), (1.41) s= 0 а уравнение переноса распадается на ( L + 1) уравнений вида, ц где /* (т; (1.41): (а ) а / » ( т ; ц ) = р ( т ; ^ _ J t ( т . (1 ^ 4 2 ) получаются из разложения /( т ;ц , ф), аналогичного ц. м.)Р«и " + + J р’ (т; |i, ц ') * . ', (1.43) причем 2л р‘ (т; ц, Jc o s s ф/) р (т; ц, (ф ф; jx', ф ' ) ^ = о L = - £ м т ) р £ ( и ) р £ 0Оl= s 28 П-44) В разложении (1.41) ряды обычно можно обрезать при s = L', где L' С L ; число членов, которыми нельзя пренебречь, зависит ОТ (LI и \1о. Для функций пропускания и отражения можно применять раз ложения, аналогичные (1.41). В случае матричного уравнения переноса можно получить вы ражения, аналогичные (1.41), (1.42) и (1.43), но в гораздо более сложном виде.* 1.9. СЛУЧАИ С ТЕПЛОВОЙ ЭМИССИЕЙ Если радиация, обусловленная тепловым излучением рассеива ющей атмосферы, не является пренебрежимо малой, то, используя предположение о локальном термодинамическом равновесии, к функции источника, заданной выражением ( 1. 10), следует доба вить соответствующий член [1 — (о0 (г) ] В (г), где В — излучение черного тела при температуре атмосферы в точке М ( г). * Индикатрисы рассеяния, встречающиеся в геофизических задачах, как правило, очень сильно вытянуты. С этой точки зрения разложение их по по линомам Лежандра кажется неудачным, так как первый полином Лежандра — это сфера. В работе К. С. Шифрина и др. (см. список литературы к части I, п. 1.8) строго доказано, что полиномы Лежандра — единственная система ортонормированных функций, разложение по которой индикатрисы приводит к раз делению переменных в уравнении переноса. Это их исключительное свойство связано с тем, что только для полиномов Лежандра с помощью теоремы сло~ жения удается расщепить переменные по направлениям падения и рассеяния. Поэтому практически метод Фурье в задачах геофизики применяют редко, так как он связан с использованием разложения (1.38). Например, в задаче о рас сеянии видимого света (А, = 0,5 мкм) на частице фитопланктона радиусом а = = 50 мкм число слагаемых в разложения (1.38) составит около 1500. Объем вычислений становится плохо обозримым. Для этих задач применяются раз личные приближенные приемы типа диффузионного или транспортного при ближения и др., в которых с самого начала используется сильная вытянутость индикатрисы ра£сеяния. (Прим. ред. пер.). 29 Глава 2 Точные аналитические методы 2.1. МЕТОД СИНГУЛЯРНОЙ СОБСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ* Мы ограничимся объяснением принципа этого метода для про стого случая полубесконечной атмосферы с изотропным рассея нием. Уравнение переноса (1.26) будет иметь вид ц д! (V Ц) + / ( т . ц) = A . j /(т; ц / ) ф '+ / . ( Т; Ц). (2.1) Как обычно принято в этом методе, будем считать, что для нисходящей радиации ц > 0 . Будем исходить из решения соответствующего однородного уравнения ц + / ( т ; Ц) = - у - J /(*. W)dW- (2. 2) Разделим переменные с помощью подстановки / ( т, н) = <р(v, ц)е~т/\ (2.3) Решение в таком виде называется собственной модой, a <p(v, ц) — соответствующей собственной функцией. Очевидно, что собствен ная функция подчиняется уравнению Вне интервала (— 1, 1) имеются два собственных значения ±vo, дающие две регулярные собственные функции <p(±vo, ц). Ин тервал (— 1, 1) образует непрерывную часть спектра. В простран стве распределений мы можем построить точные решения для v e ( — 1, 1); эти решения называются сингулярными собствен ными функциями. Используя условие нормировки j фОу, ц)<*ц= 1, * В этом параграфе \i > 0 для нисходящей радиации. 30 (2.5) получаем для дискретных собственных функций: / . © oV o q>(±v„ I * ) - 2 (v o ± (i) . (2.6) где vo является нулем выражения Л (г) - 1 - - f - г | - 1- z In - § ± f , z & l — l, 1]. (2.7) Д ля v e (— 1, 1) мы не можем разрешить уравнение (2.4) отно сительно ф (v, |х) в пределах класса квадратурных интегрируемых функций, так что мы выбираем 2 ( v - ^ ) + ^ ( v ) 6 (v — (А), (2.8) где б — дельта-функция Дирака. Использовав уравнение (2.5), получаем: v e [ - l , 1J, (2.9) ф где означает интегрирование в смысле главного значения Коши. Можно доказать, что набор ф(у, ц ), v e [ ( — 1, 1), vo, —vo], явля ется полным набором ортогональных функций по интервалу — 1 < ^ ц ^ 1. Это означает, что любую произвольную функцию я|э(ц') можно разложить по этому набору функций в ряды и определить коэффициенты разложения.* В настоящей задаче мы ожидаем, что при т-»-оо величина /(v , ц) будет стремиться к нулю или будет ограничена. Это озна чает, что мы можем использовать для разложения только затуха ющие собственные моды (v > 0). Итак, запишем решение в виде / ( т; |д.) = / 0 (т; ц) + A (v0) ф (v0, n)e_T/Vo + 1 + J A (v) ф (v, ц.) e~xh dv, (2 .10) о где / 0 (т; ц ) — особое решение неоднородного уравнения (2 . 1). Можно доказать, что половинный набор собственных функций v e {(0 , 1), vo}, использованный в решении (2 . 10), является пол ным в интервале 0 ^ \х ^ 1 и удовлетворяет условиям ортогональ ности. * Собственные значения, как обычно, определяются из условия разреши мости уравнения (2.4) для собственных функций. Двум собственным значениям ( ± v 0) соответствуют две функции вида (2.6), континууму собственных значений в интервале (— 1, 1 ) — набор обобщенных функций. В соответствии с принятой за рубежом терминологией автор называет их распределением в смысле Л о рана Шварца. (Прим. ред. пер.). 31 В качестве граничных условий зададим /(т , ц) при т = 0 для |х > 0. Представим известную функцию -ф(ц) = 1 ( 0 , ц.)— / 0 (0, ц) набором собственных функций: 1 •ф(ц.) = A (v0) Ф(v„, М-) + $ a (v)ф (v, \i)dv. (2 . 11) о Выражение (2.11) представляет собой сингулярное интеграль ное уравнение для коэффициентов 4 (v ) и /4(vo). Они получаются из этого уравнения с помощью соотношений ортогональности для полунабора собственных функций: 1 $ Ф(V, |Л) ф (v', (X) \iH (М-) d\i = 0, (2.12) о при v > 0, v' > 0, где весовой фактор Н(\х) оказался идентичным классической Я-функции Чандрасекара (см. п. 2.3). Далее можно аналитически вывести выражение для функции отражения через Я-функцию: 1 'l’ (—М-) = \ (и'М) Ф(—М-, I*') я (ц) Я (ц') 1|) (м.') dp', м- > о. (2.13) о Такой же результат дают метод Винера—Хопфа и принцип инва риантности. Описанный метод применим к конечным атмосферам и к ани зотропному рассеянию; возможны численные приложения. Однако в настоящее время его достоинства вряд ли сравнимы с вычисли тельными преимуществами методов, описанных в главе 3. 2.2. МЕТОД ВИНЕРА—ХОПФА* Методы Винера—Хопфа и сингулярной собственной функции различаются только начальным подходом: оба они приводят к сходным интегральным уравнениям, подлежащим решению. В то время как метод сингулярной собственной функции формально имитирует (в применении к несамосопряженным транспортным операторам) методы разложения, принятые в квантовой механике для самосопряженных операторов, метод Винера—Хопфа является преобразованием Фурье (или Лапласа) интегральных или интегродифференциальных уравнений переноса. В обоих методах на чальный анализ сводится к преобразованию задачи к сингулярным интегральным уравнениям, которые разрешимы для полубесконечной атмосферы, а для атмосферы конечной толщины сводятся к интегральным уравнениям Фредхольма. Оба метода применимы по существу только к плоскопараллельным атмосферам. * В этом параграфе ц = | cos во | ■ 32 В качестве иллюстрации рассмотрим проблему нахождения альбедо, определенного выражения (1.26) и (1.27), для изотроп ного рассеяния в однородной атмосфере. Для простоты примем далее F = 4/<оо и переформулируем задачу в следующем виде: дI , d\L + е_т/ц<’ ( ц о > 0 ), / = -^ г J /+ . (т, |х) = / - (0, ц) = 0. (2.14) Как видно из выражений (1.28) и (1.29), функция / определяет фуйкцию /. Объектом метода сингулярной собственной функции является задача (2.14), тогда как мы, используя метод Винера— Хопфа, обратимся к интегральному уравнению * Т| / ( т, ,i0) = e- ^ « + -§L J £ , ( | т ц о )dt. (2.15) о Оба метода, конечно, применимы и к более общим задачам. Интегральное уравнение для / при ti С оо является уравне нием классического типа с симметричным квадратично интегрируе мым ядром. Решение можно выражать через собственные функции интегрального спектра, однако такое разложение трудно вычис лить. Вместо этого мы применим к уравнению (2.15) преобразова ние Фурье и метод комплексной переменной в качестве возмуще ния к случаю ti = оо, который представляет собой стандартную задачу Винера—Хопфа. Для этой задачи существует исчерпываю щая теория.** Возмущения вычисляются в виде решения инте гральных уравнений Фредхольма. Эти решения являются триви альными ДЛЯ Tl = оо. При ©о < 1 общий метод для получения единственного решения уравнения (такого, как уравнение (2.15)) вида Т| f (Т) = g (т) + -f- 5 В, (I т — t 1) f(t) dt (2.16) О приводит к выражению Ti f (т) = g (г) + JR (т. t) g (t) dt. (2.17) О £ i ( * ) — интегральная показательная функция; ее свойства, а также Уравнения (2.15) из уравнения (1.26) см.: В. В. Соболев, гл. 1. (Прим. ред. * Метод Винера—Хопфа подробно изложен в книге Ф. Морса о?2а «Методы «теоретической физики».— М.: Изд-во иностр. лит., 1958, с. * 19. (Прим. ред. пер.). 3 Зак. № 119 33 вывод пер.). и Г. Феш906— Резольвентное ядро R имеет представление min [т, <] * (т , 0 = y ( I т — * 1) + «>о J Ey(т — s)y(* — s) — О — v (t, — t + s )y (t, — t + s)]ds, (2 .1 8 ) где Ti y (t) = £ , ( t ) + - | L S E l ( \ x - t \ ) t ( t ) d t . о (2.19) Это позволяет разделить переменные в резольвентном ядре. Для разрешения уравнения (2.19) можно использовать метод Винера—Хопфа, определив / в трех интервалах: (— оо, 0), (0, ti) , (ti, о о ) . Фурье-преобразование трех интервалов у позволяет перейти от уравнения (2.19) к формуле* • Y i+ (l - - ^ ~ Щ у 2 + у з = Е и — /ч Факторизация Винера—Хопфа позволяет представить [1 — ((Do/2)£i] в виде произведения аналитических функций в трансформирован ных переменных в верхней и нижней полуплоскостях. Применение факторизации и анализа комплексной переменной приводит к ин тегральным уравнениям Фредгольма для vi и ?з. При ti = оо оче видно, что уз = 0, и уравнения Фредголы^а решаются тривиально. После того как yi, Y2 и 73 определены, обратное преобразование Фурье позволяет вычислить у2, необходимое для решения уравне ния (2.18). Существует эквивалентный подход, который в некоторых слу чаях оказывается более прямым: выразить g в уравнении (2.16) через его Фурье-преобразование и записать решение для f в виде оо КТ>“ -5Г SY (IW . ‘ViMi— оо Для исследования /-уравнения можно комбинировать>результаты Винера—Хопфа с некоторыми другими приемами, которые непри менимы к уравнению (2.19). Решим уравнение (2.15) и продемонстрируем связь методов преобразования Фурье и сингулярной собственной функции. Для простоты будем рассматривать только случай ti = 00 . Дифферен цируя уравнение для / по т, получаем интегральное уравнение для решение которого (для ti = 00 , / ( 00 , цо) = 0 ) будет иметь вид / ' (т, * ) “ - £ - / (г, Но)---- 1 - Н О*,) у (т). * (2.20) Угловой скобкой над буквами обозначена Фурье-трансформанта функций. (Прим. ред. пер.) 34 функции Я и у определяются выражениями Я (|х„) = / (0, |л0) (2.21) и оо Y (t) = £ ,( t) + \ Ei(\x - ^ - z — t\)y(t)dt. (2.22) о Умножим уравнение (2.15) на у, проинтегрируем от 0 до оо и, вос пользовавшись выражением (2 .22 ), найдем: оо f у (т) dx, (2.23 о где Я представляет собой трансформанту Фурье. Видно, что H(ifz ) — аналитическая функция от z для Im (z) > 0 . Если обо значить через у* продолжение у на интервал (—оо, оо) в соответ ствии с выражением (2 .22 ), то используя (2 .22 ), получим для трансформанты Фурье y* следующее выражение: Я(цо) = 1 + 7 = £ , + _!> £ , y, (2.24) или с учетом выражения (2.23) у ' = E tH. (2.25) Теперь, интегрируя (2.20), можно выразить / через Я. В ре зультате получим ( y * = Y ПРИ 0 < т < оо) /( т, (2.26) i/z) = H ( i l z ) ^ e txz + ^ - \ y { t ) 2 e i(x~ t ) z d t \ . Применяя соотношение Парсеваля к последнему интегралу и используя выражение (2.25), находим: [ оо "I ~~ёг S ( ~ г‘/ 1) J J = T - dl \ • (2-27) Это соотношение позволяет выразить J полностью через Я. Функция Я определена в (2.21) и выражена в (2.23). Приме няя соотношение Парсеваля к уравнению (2.23) и используя вы ражение (2 .20 ), при Im (z) ^ 0 получаем: Я <*/*> = 1 + -Щ- I - (i f J z (l) d%. (2.28) — оо Если в последнем интеграле контур интегрирования деформиро/\ вать в ветвь, предназначенную для Ей от j до оо и заменить пере менные на обратные величины, получим известное сингулярное интегральное выражение для Я: + з* ■^JCT^r-] Я(ц) — 1 + - | г I* j 1- ^ ~ j T d V35 (2-29) Нуль выражения [1 — ((oo/2)£i], ik, в верхней половине плоскости дает ограничение 0 = 1+ 4 Ч Hk W - f (2-30) ' Таким образом, вычисление / можно свести к сингулярным уравнениям (2.29) и (2.30), решения которых хорошо известны. Теперь можно воспользоваться факторизацией Винера—Хопфа: [l ---------у - £i (z)] Я (i/z) Н (i/z) = (2.31) 1 и результатом оо Г (т, II, Цо) = j / (t , 1ю)е~ (<- т)/й dt. ^ (2.32) X Тогда из представления (2.27) получим выражение для /+: к о ~ т /*Ао { - т е - °2 — х т—~ г'1(I)] 61---— ГГ"* 1 f~ I1ц• f2-33+) [l Я у - % Щ%) |Ао ■* Аналогичное представление получается для / - . Дискретный и контурный спектры в методе сингулярных соб ственных функций получаются из нуля и из ветви, расположенной в верхней полуплоскости [ 1— (wo/2 £ i) ] , при деформировании кон тура в представлении /+. При отсутствии ошибок оба метода должны, конечно, дать одинаковые результаты. Решение вопроса о том, какой метод следует предпочесть — метод сингулярных собственных функций или преобразование Фурье, зависит скорее от каких-либо иных соображений. 2.3. МЕТОД МАТРИЦЫ ПЕРЕНОСА В методе матрицы переноса вектор интенсивности разлагается в линейную комбинацию собственных мод, которые в задачах с плоской геометрией экспоненциально затухают в направлении распространения. В отличие от других методов собственных функ ций здесь не ищут коэффициенты разложения, а стараются скорее исключить их, чтобы получить явные решения в зависимости от интенсивности падающего излучения и источников. Окончательное решение содержит лишь небольшое число легко вычисляемых матриц. Собственные моды могут иметь вид, характерный для любого стандартного метода разложения по собственной моде, на пример сингулярной собственной функции, сферических гармоник, як двойного Piv-метода или метода дискретных ординат Вика—Чан драсекара. Разложим вектор интенсивности на вектор I+, описывающий нисходящее излучение, и вектор 1_, описывающий восходящее излучение. Составляющими 1+ и 1_ являются I+t и 1-/ соответ ственно, где i — некоторый угловой индекс. Для поляризованного излучения эти компоненты являются также векторами в простран стве параметров Стокса. При точных вычислениях (сингулярная собственная функция) индекс i непрерывен: это косинус угла с вертикалью. В нашем разложении всегда |ы > 0. В методе раз ложения по углу коэффициентами разложения являются 1+„ в ме тоде дискретных ординат — значения 1+ и L в дискретных орди натах, помноженные на некие квадратурные веса. Факт разложения по собственной моде можно выразить следу ющим матричным уравнением: 1± (т) = В± А+ (т) + Вт А - (т). (2.34) Здесь А± ( т ) — векторы амплитуды моды на оптической глубине т ( 0 ^ т ^ 0 * Они убывают по экспоненте в направлении распро странения: А±/ (т) = ехр (— | т — т' \/vj) А±/ (т ), т ^ т \ (2.35) Матрицы В± являются синтезаторами и выражают векторы потока через векторы амплитуд. Длина ослабления V/ — обычные собственные значения, соответствующие используемой аппрокси мации. Для континуумных угловых переменных В± представляют собой интегральные операторы с ядром в± (щ v) = ф (v, zfc.u), \х > О, (2.36) где cp(v, (ы) — собственные функции Кейза. Самый удобный путь решения уравнения на собственные зна чения — это использование выражения второго порядка. Уравнение переноса всегда можно представить в виде 1+ (т) = «I + (т) + р!_ (т), (2.37) - ^ 1 _ ( т ) = - ? [ + (т) + *1_ (Т), (2.38) где * и р— матрицы для дискретного представления и интеграль ные операторы для точного углового представления. Их задают просто через индикатрису. Например, для точного представления ядра а и р имеют вид а (ц, ц') = ( 1/ц) [/ ((1 — Ц') Г— 1/2р Ох, ц')], (2.39) Р(Н, Ю = (1 /2 ц )р (-Ц , ц'), (2-40) г^ е Р(Ц, ц .')— матрица рассеяния, I — единичная матрица, а ц, М > 0 . Легко показать, что уравнение для собственных значений имеет вид ( a - p r V + p r 'X / ^ v l X * 37 (2.41) и что в± = X± (* + РГ1ХЛ, (2.42) где X = (Xft)/, а Л — диагональные матрицы с собственными зна чениями v r 1. Выполнив несложные алгебраические преобразования, получим выражения для векторов интенсивности 1± (0 через вектор прихо дящий интенсивности 1+( 0 ) на верхней границе атмосферы и через 1_(т) у подстилающей поверхности. Имеем 1± (т) = К± (/ - т) ехр ( - А т ) К+ (<) 1+ (0) Кт (т) X где X ехр [—Л (t - т)] КТ 1(/) I - (/), К±(*) = В± + Вт ехр(—Ajc)Fexp(—Ах), (2.43) (2.44) F ------В +В _. (2.45) Все матрицы имеют физический смысл, и это позволяет написать выражение, подобное (2.43), не делая никаких алгебраических преобразований. Из уравнения (2.43) непосредственно получаем, что матрицы переноса и отражения задаются соответственно в виде Т (0 = К+ (0) ехр (—А/) КТ 1(0. (2-46) R(t) = K-(t)K+'(t). (2.47> Экстраполированная длина Милна z 0 описывается выражением Zo = ( v o /2 )lg ( - l/F „ „ ) , (2.48) где vo — наибольшее собственное значение, a Foo = ^ ( 0 , 0 ). Заметим, что вся физика — матрица рассеяния и схема аппрок симации— содержится в а и р. Обычно ( « ± Р) -1 можно получить, из матрицы рассеяния аналитическим путем. После этого решается уравнение на собственные значения (2.41). Все представляющие интерес результаты зависят только от постоянных матриц В±, А и F и от однопараметрического семейства матриц К± (*). 2.4. ПРИВЕДЕНИЕ К Я-ФУНКЦИИ ИЛИ К X- И У-ФУНКЦИЯМ* Как было показано при обсуждении методов сингулярной соб ственной функции Винера—Хопфа, функцию отражения от полубесконечной атмосферы можно выразить через Я-функции. Такие же выражения можно получить с помощью физических рассуж дений, основанных на принципе инвариантности (см. п. 3.11). Кроме того, функции Грина в уравнении переноса в случае плоской геометрии (и, следовательно, более привычные Я-, X- и У-функции) можно выразить через фундаментальные функции Ф(т, и ) . Существуют методы для расчета этих и других связанных с ними функций. * В этом параграфе ц = |c o s 6 |, ц = |c o s0 o|. лл Для конечной атмосферы вместо одной Я-функции следует использовать X- и У-функции. Здесь мы приведем результаты только для радиации, рассеянной однородной атмосферой, в слу чае анизотропного рассеяния. 2.4.1. Полубесконечные атмосферы функция отражения, определенная уравнением (1.3.1), разла гается в соответствующие азимутальные ряды: N S(fi, (х0; tp) = S°(M., Но)+ 2 2 т= \ 5 "'(и> Но) COS /Иф. (2.49) Здесь опущена зависимость от оптической толщины и введено обозначение Ф = Ф — ФоКаждую азимутальную составляющую можно выразить через вспомогательные функции фГ (|х), например ( т + т г )s" ^ ^ 1>' + " 4 w • (2.50) Каждую функцию фГ (ц) можно выразить через Я-функцию Нт: фГ (Н) = V w l Я? (и) р? (IX) Нт (|Х). (2.51) Здесь РТ — присоединенные полиномы Лежандра, описанные в п. 1.8 ; qT — полиномы, которые могут быть определены путем решения системы алгебраических уравнений. Одна из форм этой системы имеет вид N q? (И) = У «£(И) + (И) + Яш k= m + 1 1 + ~ t-w 1 q 2 (fi> ! H 'n M sTk (p) ' (2.52) 0 где Rik можно найти из рекуррентного соотношения ( t* _ m + l ) R ?+l k (ll) + {i + m ) # * _ , ( (A ) = = (2 i + 1 - w0P«) \iR?k (I*). Здесь Rll ражения (p.) = 1,(ц) = о при i < k\ gTk определяется (2.53) из вы- g?k(ii) = 'PZ(\i)R?k(V.)R'Sn(v.), ЧЯ (ц) = - f - Рй (и) £ Р« V i —k •39 ( ; ~ ^ ; R?HО*) р? (Н). (2.54) Соответствующая Я-функция для т -й азимутальной компо ненты удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению H m Ox') d n \ н т (|1) = 1 + [iHm (|i) j О H 'T f A (2.55) » где ЧГт(ц) = Чгт (и .)— характеристическая функция для данной индикатрисы. Уравнение (2.55) обычно решают численно методом ийтераций. Вместо этого Нт можно найти из линейного интегрального урав нения И -Ш -W j - I+ и J = < ! iW O * L , о ^ (2.6в) ^ которое можно решить в явном виде, если функция Тт(|х) = 1 + |i j _| Г* (2.57) Г не слишком неправильная. 2.4.2. Конечные атмосферы Оказывается, что функцию отражения можно по-прежнему представлять рядами вида (2.49), а функция пропускания такж е имеет соответствующее разложение N Т (м-, Но; ф) = 7’°(м., Но)+ 2 £ т = тт(р, ц0) cos тц>. (2.58) 1 Компоненты разложения выражаются функцию с помощью формул через вспомогательную ( т + т г ) 5" ^ Х[»Г(ц)ч>” (|«)-Ч 'Г(ц)1'“ М , (2.59) X [ч>?W V? (11) - Ф? Wч'? W], где вспомогательные функции можно выразить через Хт и Ym функции ФГ(|х) = V W l [ Х т (|i) г? (|i) + ( - l ) i + m7m (i*)s? (—|л)] P i (ц), (2 .60)i V ? (|i) = V (2m ) ! [Xm 0*) s? (ц) + ( - l ) ‘+m Ym (ц) г? ( - ц ) ] Р * (ц). 40 функция r f (ц) и s” (n) — полиномы, подлежащие определению из соответствующего набора линейных алгебраических уравнений, подобных (2.52). Функции Х т и Ym находят либо из нелинейных уравнений вида 1 Х т (Н) = 1 + |i J [Хт (ц') Х т (ц) - Ym (ц) Ym (ц')1 dn', (2.61) г т(ч) = К , Г * 6 0 - Г~6 0 X - и V , + цi О М- г либо из линейных сингулярных уравнений. В каждом случае не обходимо учитывать соответствующие ограничения. 2.4.3. Распространение метода Внутренние радиационные поля также могут быть представ лены через Я-функцию или X - и К-функцию. Метод был распро странен на случай неоднородных атмосфер, а в матричном виде включает также эффект поляризации; при этом необходимо учи тывать направление в атмосфере в S- и Г-функциях или в мат рицах. 2.4.4. Численные сравнения В ряде работ даны таблицы Я-функции или X- и К-функций для простейших индикатрис. Эти индикатрисы не могут вполне точно описать атмосферу реальной планеты (даже в очень ясные дни атмосфера Земли содержит значительное количество аэрозоля, вследствие чего индикатриса рассеяния заметно отклоняется от рэлеевской), однако приводимые таблицы очень полезны по край ней мере с двух точек зрения. Во-первых, они служат стандартом, с которым исследователь может сравнивать собственную про грамму расчетов, прежде чем приступить к решению более слож ных задач переноса. Во-вторых, с помощью соотношения подобия, которым посвящен п. 4.1 настоящей книги, они могут быть во многих случаях использованы для получения точных результатов в случае более сложных (особенно, более вытянутых вперед) ин дикатрис. При увеличении числа членов в индикатрисе возрастает не только число функций, подлежащих табулированию; нахождение и построение полиномов qi или соответствующих двух наборов полиномов для конечной атмосферы означает дополнительное увеличение объема работы. 41 Глава 3 Численные методы 3.1. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО При вычислениях методом Монте-Карло прослеживают трех мерный путь отдельного фотона, перемещающегося в рассеиваю щей среде. Различные события, возможные в процессе перемещения фотона на разных уровнях в атмосфере, оцениваются соответству ющими распределениями вероятности. Затем с помощью набора случайных чисел определяется конкретный исход каждого собы тия. Таким образом определяют следующие величины: 1) положе ние в пространстве точек столкновений фотона; 2 ) вероятность поглощения при столкновении; 3) вероятность рэлеевского рассея ния или взаимодействия с аэрозольной частицей; 4) вероятность определенного угла-рассеяния; 5) вероятность поглощения на ниж ней границе; 6 ) вероятность рассеяния фотона вверх от нижней границы при определенном угле рассеяния. В эффективных программах по методу Монте-Карло поглощен ный фотон не «изымается» из обращения, а исход фотонов с верх ней границы атмосферы считается невозможным. При этом каж дому фотону придается статистический вес, который в начальный момент равен единице. При каждом столкновении статистический вес умножается на отношение поперечного сечения полного рас сеяния к суммарному поперечному сечению для всех процессов. Это позволяет учесть вероятность поглощения при взаимодействии. Затем фотон испытывает рассеяние и продолжает свой путь. Когда фотон движется вверх, точка следующего столкновения выбира ется на основе усеченной функции плотности так, чтобы все столк новения фотона были ограничены пределами атмосферы. Для того чтобы устранить это ограничение из конечного результата, статистический вес фотона соответствующим образом регулиру ется. Траектория фотона заканчивается только тогда, когда стати стический вес становится меньше заранее заданного значения, обычно равного 10-5. При любом столкновении фотона определя ется поток в каждый детектор; фотоны могут присутствовать в среде в любом количестве. Если требуется учесть эффекты по ляризации, следует вводить бивариантную функцию плотности, в которую, наряду с обычным углом рассеяния, надлежит вклю чить угол вращения вокруг плоскости рассеяния. 42 Рекомендуем три полезных метода Монте-Карло: 1) передний с осреднением в приемнике — фотоны, поступающие на детектор, осредняются в выбранных пределах телесного угла; 2 ) передний с дискретными углами — при каждом столкновении определяется радиация на детекторе для конкретных, предварительно заданных углов; 3 ) обратный, или сопряженный с дискретными углами — фотоны начинают движение от детектора под определенными углами и проходят путь в обратном направлении. Два из этих ме тодов изучают путь фотонов в направлении распространения света, и столкновения фиксируются в том же порядке, что и в реальной атмосфере. В третьем методе принят обратный поря док: 'началом пути фотонов считается детектор, и их движение прослеживается в обратном направлении — от детектора к верхней границе атмосферы. Первый метод применяется в большинстве опубликованных ра бот по методу Монте-Карло. Третий метод особенно пригоден для сферических атмосфер. Второй и третий методы не годятся для индикатрис, асимметрия которых больше асимметрии, характер ной для дымок. Принято считать, что методы Монте-Карло требуют больших затрат машинного времени, но определенные выводы по этому поводу можно сделать лишь в процессе сравнения их с другими методами, примененными к. тем же задачам при той же точности расчетов. Для такого сравнения приведем данные о затратах ма шинного времени при использовании метода Монте-Карло в трех задачах разной сложности. Во всех случаях указанное время от носится к расчету 1 млн. столкновений фотонов на ЭВМ Control D ata 7600 при произвольном солнечном зенитном угле. В каждом случае потоки радиации или четырехкомпонентного вектора Стокса вычислены примерно на десяти детекторах, размещенных внутри среды или на ее границах; вычислены также восходящий и нисходящий потоки каждого детектора. Атмосфера разделена на несколько слоев, каждый из которых обладает своими свойствами. Реализация программы, предназна ченной для вычисления только интенсивности в модели реальной атмосферы, занимает 1,3 мин. Для реализации той же программы, для расчета четырех векторов Стокса и, следовательно, поляриза ции и других параметров поляризованного света требуется 2,7 мин. Существует и более сложная программа, основанная на методе Монте-Карло, для вычисления вектора Стокса для си стемы океан — атмосфера с учетом изменения с высотой различ ных параметров (рэлеевские, аэрозольные и гидрозольные рассеи вающие частицы) и отражения и преломления фотона на поверх ности океан—атмосфера; ее реализация занимает только 7 мин машинного времени. Полученные результаты осреднены по неко торым диапазонам зенитного и азимутального углов. Статистиче ская изменчивость результатов зависит от оптической глубины среды и от числа фотонов, достигающих детектора, но обычно не превышает нескольких процентов. 43 Очень много работ было посвящено методу Монте-Карло* в СССР. Здесь применялись как прямой, так и обратный методы Монте-Карло и были развиты методы, подобные описанным выше и направленные на уменьшение изменчивости результатов. В вычислительном центре Сибирского отделения АН СССР была разработана универсальная программа компилятивного типа на основе «a-языка», предназначенная для решения задач атмо сферной оптики. Созданный метод опирается на специфические особенности задачи и состоит вкратце в следующем: 1) для того чтобы уменьшить ошибки статистических оценок, воспроизведенные траектории фотонов модифицируются с по мощью примерной информации о «ценности» частиц в различных частях фазового пространства; 2 ) поле интенсивности излучения вычисляется на основе моди фикации локального вычислительного метода, что позволяет опи сать изменчивость; 3) результаты получаются одновременно для различных длин волн на основе метода независимой выборки; это дает возмож ность определить также «чувствительность» поля по отношению к изменениям некоторых других параметров модели — альбедо,, индикатрисы и т. д.; 4) поля интенсивности для рассеянного света различных по рядков могут быть получены раздельно; 5) вычисляются частные производные интенсивности излучения по коэффициентам аэрозольного рассеяния в различных частях атмосферы. Достоинства метода Монте-Карло состоят в следующем: — можно использовать любую матрицу рассеяния; нет никаких препятствий к использованию индикатрис с большими передними максимумами или к использованию в качестве матрицы рассеяния экспериментальных данных; — вычисления поляризации занимают машинное время, лишь немногим более чем в два раза превышающее время, необходимое для расчетов яркости; — в методе Монте-Карло можно использовать любое разумное число детекторов без заметного увеличения затрат машинного времени; нет затруднений в определении яркости внутри среды на любой желаемой высоте; — атмосферу можно разделить на большое число слоев, обла дающих различными свойствами, при этом расходы машинного времени увеличиваются незначительно; толщина каждого слоя может быть выбрана произвольно и не должна зависеть от тол щины других слоев; — можно решать задачи, связанные со сферической геомет рией; — возможно решение задач, в которых яркость зависит не только от оптической толщины среды, но и от координат на гори зонтальной плоскости (например, при наличии разорванной об лачности). 44 Однако следует отметить и ряд недостатков метода МонтеКарло. Результаты подвержены статистической изменчивости, ко торая при разумном использовании машинного времени имеет порядок нескольких процентов. Значительно уменьшать эту ошибку непрактично, так как при двойном увеличении точности результата затраты машинного времени возрастают вчетверо. Та ким образом, для задач, требующих высокой точности, этот метод непригоден. Результаты, полученные при расчетах в направлении вперед с осреднением в приемнике, дают яркость, осредненную по некоторому интервалу телесного угла. Для лучшего определения яркости или какого-либо иного компонента вектора Стокса можно менять угловые интервалы, однако при сужении углового интер вала точность результата понижается. Интенсивность под определенным углом можно получать как «прямым», так и «обрат ным» методом Монте-Карло с дискретными углами. Эти два по следних метода непригодны для индикатрис, асимметрия которых превышает асимметрию, характерную для дымок. Метод Монте-Карло непрактичен при больших оптических толщинах (ti < 100 ). 3.2. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК (ИЛИ Рь-П РИ БЛ И Ж ЕН И Е) В методе сферических гармоник используется интегро-дифференциальное уравнение после разделения по азимуту, т. е. урав нения (1.26), (1.40) и (1.41). Подставим в уравнение переноса разложение для / s (т, ц,) в следующем виде: Is (Т, Н ) = Z n= s (2 п + 1)4?(Т)Р?(|Х), N = 2 p — l - \ - s > L (р — целое). (3 . 1) Тогда с учетом свойств присоединенных полиномов Лежандра получим систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка для 2 р функций К (т): ____________ dA^~ * ._________________ У(/ + * ) ( /- s) _ £ _ + У ( / + 1+ s)(/ + 1 _ S) - [(2/ + 1) - wo (t) p, (т)] Als = t = s, s + 1, . . . , N, ----- Fem % (т) P' (ц„), (3.2) где Р/ = 0 при I > L, A i - ' = AZ+t = 0. Граничные условия / s (0 ; \i < 0 ) и / s (ti; ^ > 0 ) для всех \i нельзя удовлетворить аппроксимацией конечного порядка типа 45 (3.1). Их следует представить в дискретной форме, например в виде условий Маршака: 1 J Г (0 , |x)P*+!tf- I (n )d |i> О / = 1, - 2, - J 7*(xi; Можно использовать также и другие формы дискретизации. Систему дифференциальных уравнений (3.2) с граничными условиями можно решить либо численным методом, либо — для случая однородной атмосферы с постоянными коэффициентами — аналитическим путем: р * Л '( т ) = £ * 'g i(v ‘)eV*T + hlsex/ti\ (3.3) 1= —Р Здесь g 5l находится из системы 2р линейных однородных уравне ний; условие разрешимости этой системы дает значения vj; hls определяется из похожей, но полной системы с правой частью, a ks — из системы линейных уравнений, полученной из граничных условий. В первом варианте метода (численное решение) возникают трудности, вызванные появлением неустойчивости при решении системы, полученной из (3.2) методом конечных разностей, однако эту неустойчивость можно исключить соответствующими линей ными преобразованиями. Во втором варианте единственная вычислительная трудность возникает при решении характеристического уравнения, которое можно записать в виде g s +2p (v) = 0. Однако если использовать тот факт, что корни (р — 1)-го приближения обеспечивают хоро шее приближение для р — 1 наименьших корней р -ro приближе ния, то решение становится очень простым. Следует отметить, что приближенное решение, задаваемое вы ражениями (3.1) и (3.3), ведет к точному решению методом син гулярных собственных функций при р - ^ о о (см. п. 2 . 1). К тому же во избежание затруднений, связанных с тем, что цо может ока заться равным одному из значений v*, следует воспользоваться собственной функцией ф(ц, цо) в качестве точного частного ре шения. Для повышения точности результатов вблизи границ без уве личения вычислительного времени можно воспользоваться итера ционной процедурой, взяв формальное решение (1.28) и (1.29) и подставив в него представление L /<*> (т; ц) = A . Fex/V<‘ У L Ох) P ls (но) + 5о l= s У frPl Ox) At, (т), l= s полученное методом сферических гармоник. 46 (3.4) Основные достоинства метода состоят в следующем: — можно обойти проблему интегрирования осциллирующих P i -функций и выполнить это интегрирование аналитически; — он позволяет получить интенсивность радиации на всех уровнях в атмосфере, а также пропущенную и отраженную радиа цию (увеличение числа направлений не оказывает заметного влия ния на время расчетов; во втором варианте время не зависит (в разумных пределах) от п и от числа уровней т); — направление падающего излучения цо появляется только в последней части расчетов (определение частного решения пол ной системы), и можно пропускать несколько значений |Хо за один прогон без больших затрат времени; — предварительное сравнение с методом удвоения и методом последовательных порядков рассеяния в отношении временных за трат свидетельствует, судя по всему, в пользу метода сферических гармоник; — первый вариант метода пригоден для неоднородных атмо сфер; второй вариант его можно применить к суперпозиции одно родных слоев и к некоторым видам неоднородности, но в этом случае никаких сравнений с другими методами не проводилось; — отражение от поверхности входит только в последнюю часть расчетов при определении k ls из граничных условий. К основным недостаткам метода относятся следующие: — трудно заранее составить представление о точности, которая обычно должна быть весьма высока; необходимо тщательно вы бирать порядок приближения или дискретизации системы; — при увеличении числа членов индикатрисы возрастает вы числительное время; следует заметить, что благодаря некоторым последним усовершенствованиям метода устарели ранее отмечен ные трудности в решении характеристического уравнения для v при больших L. 3.3. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ* В методе дискретных ординат используется интегро-дифференциальное уравнение после разделения его по азимуту, уравнения (1.26), (1.40) и (1.41). В методе дискретных ординат в п- м при ближении интегралы заменяются суммами по квадратной формуле Гаусса: на интервале — 1 ^ ц, ^ 1 размещаются 2п (п ф 0) точек \м с весами а,, полученных из условия Ргп(|А) = 0 и формулы I aycca соответственно. Заменив интегралы суммами, получим 2п неоднородных уравнений первого порядка: L „ d f ” (r, щ ) = Г (т, ,х,)— L £ РгР- ( ^ ) £ ajr (т, Р? (ц;) r t / — т i ( —/г, -\-п)у * В этом параграфе fi0 = | eos -0*01. 47 / (3.5) где 2 / означает, что индекс / меняется от — п до п, п ф 0; So, m = = 1 при т = 0 и бо, т = 0 при других т . Поскольку наивысший порядок разложения на полиномы L находится под интегралами, которые были заменены на суммы согласно гауссовым квадратур ным формулам с весами, то число членов в разложении по поли номам Лежандра не должно превышать 2 п. После некоторых математических преобразований, таких как представление ,т Г (т, ц,) = £ LTWT (чде 1 Х+ z mЫ « - ,/й\ (3.6) / можно получить решение указанной выше системы 2 п дифферен циальных уравнений для заданного т. В выражении (3.6) cqOственные функции получены из присоединенной однородной си стемы типа W?(vi) = где I? — коэффициенты условия , , 1 .т Z WF W ) Р? О*'). (3.7) 1 + 1*1*1 itTm пропорциональности, У (/ + т + 1)(/ — т Н- 1) ЦГ+ 1 = - найденные I? - V ( / + m ) ( / - m ) IT- .. - из (3.8) Приняв |Г = 1, можно получить все значения |. Более того, из выражения f (km) - l _ - L £ а Л (и,) V 2 m l W? Ox,) = 0 (3.9) i можно также получить собственные значения 6 m. Последний член в уравнении (3.6) является частным решением, где н т ( т г ) р" Ы (з-10) И я“ w - T Jfrb s- П (» + mJ/ Д (1+* W (З-П) Решение, описываемое соотношением (3.6), справедливо только для неконсервативного рассеяния, потому что для ©о = 1 значение k m = 0 будет удовлетворять характеристическому уравнению, и, следовательно, постоянная ^ ( к т) становится неопределенной. Та ким образом, для консервативного рассеяния следует получить 48 другое решение. Используя условие сохранения потоке^, можно легко показать, что уравнение переноса допускает решение в виде т л-1 Г (г, |i,) = L ?W ?{ê £ + [(1 - Pi/З) т + щ] Lin + C + Z m /Т + (3.12) Наконец, коэффициенты L f (для данного т.) следует получить численно из граничных условий. Процесс вычислений для расчета уходящего излучения при т = 0 , т. е. при независимости от азимута, можно описать следу ющим образом. Во-первых, надо разложить индикатрису по поли номам Лежандра, коэффициенты которых можно найти, учитывая их ортогональные свойства. Во-вторых, следует определить соб ственные значения из уравнения (3.9). Однако было обнаружено, что вычисление собственных значений на основе формулировки Чандрасекара связано с неопределенностью относительно полного числа собственных значений и их нахождение требует весьма больших затрат машинного времени. Поэтому для задачи на соб ственные значения был сформулирован матричный метод, выве денный непосредственно из присоединенных однородных диффе ренциальных уравнений. Матричный метод не содержит неопреде ленностей относительно числа собственных значений и требует очень малых затрат машинного времени. В-третьих, было найдено, что выбор наименьшего собственного значения приводит к неустой чивости решения для функций W, поэтому был разработан алго ритм численного решения этой задачи. Наконец, было показано, что 2 п дифференциальных уравнений можно свести к двум си стемам из п уравнений, которые можно решать независимо. Б ла годаря таким преобразованиям вычислительный процесс стал бо лее устойчивым, а затраты машинного времени существенно умень шились. В последнее время были предложены и другие численные подходы. Было отмечено хорошее согласие при сравнении результатов расчетов по интенсивности и потоку при изотропном, рэлеевском и анизотропном рассеянии. При расчетах потока в случае исполь зования четырех дискретных потоков значения были получены с точностью около 1 %, тогда как метод двух дискретных потоков приводит к ошибкам от 3 до 10% . Для этих двух упрощенных = аев можно получить аналитические решения в замкнутом Метод дискретных ординат интенсивно использовался в теории нейтронного переноса под названием Sw-метода. Достижения, по лученные в этой области, можно, вероятно, применить при пере носе радиации. Главные преимущества метода дискретных ординат заключа ются в следующем: решение уравнения переноса можно получать в явном виде, и, следовательно, результаты расчетов интенсивности и потока не 4 Зак. Кг 119 да зависят от полной оптической толщины облачных или аэрозоль ных слоев; — метод позволяет получать как внутреннее поле радиации, так и отраженные и пропущенные поля-без дополнительных вы числений; — можно получать в замкнутом виде аналитические решения для двух и четырех потоков, которые особенно полезны при рас четах лучистых потоков в атмосфере; — вычислительное время, необходимое для расчетов интенсив ности и потока, меньше, чем при использовании других методов. С другой стороны, метод обладает рядом недостатков: — очень вытянутая индикатриса рассеяния может вызвать не устойчивость картины яркости; — не был разработан общий анализ и не выполнены расчеты азимутально зависимых членов; — для учета поляризации необходимы дальнейшие теоретиче ские исследования. Использование квадратурной формулы Гаусса идентично при менению номинальной аппроксимации /; можно показать, что для т = О метод дискретных ординат дает в точности те же резуль таты, что и метод сферических гармоник. 3.4. МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИИ Метод сопряженных уравнений был впервые разработан в тео рии нейтронного переноса. Он обычно ассоциируется с Sjv-методом (методом дискретных ординат). Он применяется в тех случаях, когда искомой величиной является некоторый интеграл от радиа ционного поля оо 1 2л S 0 и, ф)I (т, ц. <p)d%d\idq> = </?, /> (3.13) — 1 0 или сама яркость, где R — дельта-функция по всем переменным. Практическим примером является вычисление потоков на некото ром фиксированном уровне. Если требуется найти нисходящий поток на подстилающей поверхности, то функция реакции R при обретает вид /?(т; (х, ф) = м,6 (-г, — -r)t/(—м-)» (3.14) где б — обычная дельта-функция, а V (х) — ступенчатая функция Хевисайда, равная единице при х > 0 и нулю при х < 0 . Если уравнение переноса записано в виде L/ = Q, (3.15) где L — линейный оператор Больцмана, a Q — функция источника, описывающая внутренние и внешние источники излучения, то можно определить сопряженный оператор Больцмана L* и сопря женную интенсивность I* (г; ц, ф ). 50 Имеет место следующее соотношение перестановки: </*, 1/> = </, L*/*>. (3.16) Д ля получения N следует решить сопряженное уравнение пере носа L*I* = R, (3.17) где R — функция реакции, определенная выше, a L* получается из L изменением знака ц в первом члене и взаимной пере становкой (ц., ф) и (ц', ф') в индикатрисе под знаком интеграла. Искомую величину N можно получить из решения /*, исполь зуя выражение N — </*, Q ), (3.18) где N — нисходящий поток на уровне Земли, a Q — плотность внешнего источника солнечного излучения, расположенного выше атмосферы в направлении (ц0, фо)- В результате получаем F~ (fi) = /* (0, Но. фо)- (3.19) Главное преимущество метода в этом случае состоит в том, что значение F~(xi) получается для всех зенитных и азимутальных углов путем однократного решения сопряженного уравнения пе реноса, вместо решения прямого уравнения переноса последова тельно для каждого зенитного угла, как делается во многих пря мых методах. 3.5. FN-М ЕТОД* После разделения по азимуту, т. е. преобразования уравнения (1.26) с учетом уравнений (1.40) и (1.41), мы будем теперь запи сывать общее решение для / 8(т, ц) через собственные функции, определенные в п. 2 . 1: /*(т, ц ) = £ [> (v sM v p> ц)е- Т/УЧ + (5 = 0 1 + S ^ М ф ^ , (х)e~x/vd\, (3.20) — 1 где учтено К пар нулей (dzvp) выражения А Ы = ---- ^.2sl____ \ 8 (г, ц )( 1 - ц 2)*/2 . ( 2 s — i) и _ 2 J , ^ При этом L g i t ’ и) = h P Si (h) gsi (£)- * В этом параграфе Ц > 0 для нисходящей радиации. 4* 51 (3 .22 ) Здесь полиномы 1 g i ( l ) = ] Ф(Е.V)P!(»)d\i (3.23) - 1 удовлетворяют рекуррентному соотношению V (/ + s + l ) ( / - s + l ) §и 1(!) + У ( / + 5 ) ( / - 5 ) ( 1 - бй) gl- . (!) = = (2/ + 1 - йор/) ft). *> S, (3.24) j g ( v p, p.) (3.25) с условием g j = l . Кроме того, Ф(ур, |A) = - y - v g ( И ф (v’ = 2 (V - ц) 8 (v- н) + (1 — V2)-*'2 к (v) б (v — ц), (3.26) где ,,, * (V) д/2si 60v £ g(v, ц ) ( 1 - ц 2)5/2 --------- * (25-1)!!-------- Г 2 , -------- ^ ,q o7v <3-27> Здесь символ ф обозначает интегрирование в смысле главного значения по Коши. Существует теорема о полной ортогональности, относящаяся к элементарным решениям, т. е. 1 (1 — 6 0 j И ( 1 . н-)ф(!', n ) d n = 0, — 1 | = | ' = ± v p или €=(— 1, 1). (3.28) Таким образом, мы можем построить следуйЩие сйнгулярньгё интегральные уравнения относительно искомых интенсивностей и наложить граничные условия: 1 1 f Цфй, ц )/(0 . ц) d\i + ё~х'%5 цф (—|, ja )/(ti, |x)d|x = L i(|), (3.29) о о 1 1 j w ( i . | x ) / ( t i , \i)d\i + e~Xtl% ( ц ф ( — I, ц ) / ( 0 , — (i) d\x = L i ft), о о (3.30) Здесь ^ е Р = (v p )t/(0 ,1), а известные члены имеют вид 1 Li(t)= $ Ц ф (— I, 1 Ц)/(0, ц ) й ц + е_т,/6| ц ф ( £ , 1 ц ) / ( т 1, — (3.31) 1 М Е ) = |ц ф ( —I, Ц )/(т|, —ц)й|х + е_т,/6 Гм-ф(^, у.)1(0, ц)<*Ц. (3.32) о о 52 Для получения приближенного значения уходящей радиации 1(0, —и) И / ( T i , ц), (Li > 0 , воспользуемся разложением N I (О, -(X) = 02 (ц) < rt,M + - ^ (1 - Ц2)5/2 Y j а “Р “ (2м- - !), (3.33> а =0 /(т ь ц) = 0! (ц)е~т^ + - f - (1 - ц 2)5'2 £ baPa (2ц - 1), (3.34) а= 0 где 0 i,2 (ц) — точное решение для со0 = 0 . Неизвестные коэффициенты аа и Ьа получаются в результате подстановки уравнений (3.33) и (3.34) в (3.29) и (3.30), что дает систему: N -у - Z ft) + ЬаЛа (I) е~Х'11] = Я, (6), (3.35) а =0 ЛГ -f- аY м * ft)е_т,/' + b«B* ft)]=** ft)—0 <3-36) Здесь известны правые части R \ ( \ ) , /?г(1) и коэффициенты Ла (£) и 5р(£). Теперь мы можем решить 2 (N + 1 ) линейных алгебраиче ских уравнений, полученных из уравнений (3.35) и (3.36) при вы бранных значениях | (например, Р = 0 , 1, 2, . . . , N), найти ис комые константы da и ba, а = 0, 1, 2, . . . , N, и затем с помощью (3.33) и (3.34) определить уходящую радиацию. . Аналогичный подход можно применить к внутренней радиации. Имеем / (т — И) = ©2 (й) е~ (Т| -т )/*1-|—12- (i _ ц2)*/2 £ са (т) Ра (2|х 1), а= 0 (3.37)' N I (т, ц.) = 0, (ц) е_т/ц + - y - ( l — (Х2)*72 Y d « (т)^« (2^ — !)• (3.38) а—0 Следует решить систему линейных алгебраических уравнений N Y (т) Аа ( |Р)] = W, (т, &„), [*« (*) ^ ftp) - (3.39). а=0 ЛГ -f- Y [“ Са (т) Ла f t9) + d a (т) Ва (*,)] = Г 2(т, 6 „), (3.40)- а—0 где р = о, 1, 2, . . . , N, а правые части Wi(i, |р) и Wi(r, | р) из вестны. Теперь можем найти коэффициенты са (т) и da (i), необхо димые для построения искомого решения. Отметим, что матрица коэффициентов уравнений (3.39) и (3.40) не зависит от т, поэтому Для каждого N необходимо произвести одно обращение матрицы. Основные преимущества метода почти аналогичны преиму ществам метода сферических гармоник: 53 — этот метод обеспечивает определение на всех уровнях в ат мосфере как интенсивности, так и пропущенной и отраженной радиации; — увеличение числа направлений незначительно увеличивает вычислительное время; затраты машинного времени почти не за висят от ti и от числа уровней т; — матрицы коэффициентов в выражениях (3.35), (3.36), (3.39) и (3.40) не зависят от цо, поэтому для нескольких цо требуется только одно матричное обращение; — существенно используя граничные условия, можно приме нять FN-метод к суперпозиции однородных слоев; — учитывая зеркальное и диффузное отражение от поверхно сти, можно получить аналитически модификацию матрицы коэф фициентов в выражениях (3.35), (3.36), (3.39), (3.40). Главным отличием от метода сферических гармоник является то, что учет L членов в индикатрисе не связан с необходимостью выполнения условия N > L. По сути дела если поле радиации не слишком анизотропно (первичное рассеяние не является преобла дающий и/или поглощение не слишком сильное), то при N « 20 ошибка, как правило, не превышает 1 %. В отношении недостатков можно отметить, что трудно пред сказать точность метода. Если требуется высокая точность, то уве личение N ее обеспечивает. Как правило, в современных работах N да 50 позволяет получить по крайней мере четыре верные знача щие цифры. Вычислительное время возрастает пропорционально увеличению числа членов индикатрисы и примерно пропорцио нально N2. 3.6. МЕТОД ИТЕРАЦИИ ГАУССА—ЗЕЙДЕЛЯ Метод начинается с интегральной формы (1.28), (1.29) урав нения радиационного переноса в плоскопараллельной атмосфере. Для нисходящей радиации Т (Т/1 Ц I ) /(т, о>) = / ( 0 , ® )<- r(T/ltl|> + j e-K T- T,)/|tl|l/ (т', (3.41) п ^ где (o = (ji, ф). Все последующие соотношения можно написать без изменений в матричной форме. Численное решение получается путем дискретизации координат т и со и аппроксимации системой линейных алгебраических урав нений без использования разложений в ряд. Для этого атмосфера разделяется на N слоев (0 = то < ti < тг . . . т„ = т ) , оптическая толщина каждого из которых равна Ат. Для интервала (т,, т 1+г) уравнение (3.41) принимает вид 0 (3.42) 54 для ц <С 0 . Соответствующее уравнение справедливо и для ц > > 0. В качестве приближения используем выражение '( V »| (T' f a ) _ d ! L ^ j ( Xi + u ^ ( 1 _ e-(2AT/UM)^ ц (3.43) а для интегрирования по углу члена, относящегося к источнику — выражение м j р (сО/, со ) / (со ) d a ж ^ рк (со/) / (со*) Дсо*, (3.44) к= 1 где единичная сфера разделена на_М областей, соответствующих приращениям телесного угла До/; со/ — центр приращения Дсо,-. Веса pjr(o)/) выбираются в виде интегральных средних значений индикатрисы (или матрицы) в области приращения Дсок: Pac(w/) = - ^ — J* р Ц . <o)d<a. К (3.45) А (0 ^ С помощью выражения (3.45) и приближений (3.45) и (3.44) производим замену (3.42) системой линейных алгебраических уравнений, где неизвестные 1 ц — приближение /(т*, со/), i = 0 , 1, . .. , N\ j = 1, 2 , . . . , М. Интегральные средние значения вычис ляются по формуле (3.45) методом приближенного интегрирова ния с достаточной точностью. Это выражение можно многократно использовать для определения параметров, например высоты солнца, альбедо подстилающей поверхности и мутности. Преиму щество такого выбора рк состоит в том, что число угловых при ращений, необходимое для обеспечения заданной точности, меньше, чем при обычном выборе ря(со/) = р (со/» сок:) * Система алгебраических уравнений решается методом одноша говой итерации Гаусса—Зайделя. Значения нисходящей радиации вычисляются от слоя к слою для каждого итерационного шага. На п-м итерационном шаге значения нисходящей радиации для (*’ + 2 ) -го слоя рассчитываются по значениям нисходящей радиа ции для /-го и ( / + 1)-го слоев на том же самом итерационном шаге и по значениям восходящей радиации (i + 1)-го слоя на (п— 1)-м итерационном шаге. У поверхности Земли вводятся условия отражения, и значения восходящей радиации вычисляются так же от слоя к слою вверх. Достигнув верхней границы, начинаем новый итерационный шаг. Из тестовых расчетов следует, что первые четыре значащие Цифры в результатах расчета достигают постоянства в случае четырех — семи шагов итерации, в зависимости от альбедо Земли. Чтобы получить точность 1 % для яркости и степени поляризации, необходимо разбить полную сферу примерно на 100 областей, а оптическую толщину на Дт = 0,02. 55 Например, расчет четырех параметров Стокса при 10 слоях и оптической толщине т = 0,2 занимает на ЭВМ Control Data 3300 около 10 мин. Основными преимуществами метода являются следующие: — внутреннее радиационное поле (параметры Стокса, а также потоки и дивергенция) получаются без каких-либо дополнитель ных расчетов; — можно учитывать зависимость ослабления радиации от вы соты, поэтому метод полезен при решении многих радиационных задач в аэрозольной атмосфере. Основной недостаток метода заключается в том, что с увели чением оптической толщины линейно возрастают затраты машин ного времени, поэтому метод не очень эффективен для задач с т » 0,01. Для преодоления этого препятствия недавно был пред ложен полуаналитический метод с интегрированием по оптической толщине. Если требуется получить только потоки радиации и их дивер генцию, можно ввести некоторые упрощения. Поляризацией мо жно пренебречь, так что уравнение радиационного переноса стано вится одномерным. В то же время можно аппроксимировать инте грал, входящий в член источника, Jp(co, со/ )/(со/ ) rfco': / + j р(со, o)')dcd' + / “ Jp(co, cdV cd', где /+, I~ — интегральные средние значения радиации /, рассеян ной вверх и вниз. Физический смысл этого приближения состоит в том, что многократное рассеяние в верхней и нижней полусферах полагается изотропным. При таком предположении уравнение ра диационного переноса сводится к уравнению, сходному по форме с хорошо известным уравнением Шустера—Шварцшильда. Оно решается численным методом, описанным выше. Для решения этого уравнения требуется в 10 раз меньше машинного времени, чем для решения первоначального одномерного уравнения радиа ционного переноса. Во всех рассмотренных случаях при т «С 1 разброс значений потоков и дивергенции составляет менее 2 %. 3.7. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПОРЯДКОВ РАССЕЯНИЯ В методе последовательных порядков рассеяния используются уравнения (1.22), (1.28) и (1.29), чаще всего после разделения по азимуту. Интенсивность выражается в следующем виде: оо / ( т; ц, ф ) = £ /<п>(т; ц, ф), П= 1 где / (л) — доля радиации, рассеянной п раз. 56 (3.46) Из уравнений (1.28) и (1.29), привлекая граничные условия (1.27), получаем: / (п)+ (т; ц , / <п)- ( т ; ц, j Ф) ^ ф) / (п) (т; ц , Ф) е " 1(г_т)/,1] dt, (3.47) X = — М / (я) (т; ц, v) e [(<- T)/,tl Л . ^ (3.48). О Соответствующий член функции источника имеет вид 2л 1 /<л>(т; ц, ф ) = М°^т) j j р ( т; О ц, ф; ц', ф ') /^ -1 »(т; ц ', — 1 ф ')< *ц 'Ж р ' + 6 „ Л (т; ц , ф ), (3.49) где ( 1 при п = т, Ьтт — | п р И п ф ту q / ( “) = 0. В численных приложениях интегралы следует аппроксимиро вать квадратурными формулами; особого внимания требует инте грирование по т. При возрастании п отношение In/I n-1 приближа ется к константе, так что сумму в уравнении (3.46) можно усечь, а остаток заменить геометрическими рядами. Математически это действие соответствует нахождению решения интегрального урав нения для функции источника с помощью рядов Неймана. Подоб ные же соотношения можно использовать и в матричной форме. Если речь идет о расчете уходящей радиации на верхней границе полубесконечной атмосферы, то можно рассчитать различные со ставляющие / <п) из уравнений, основанных на принципе инвариант ности (см. п. 3.11). Основные преимущества метода заключаются в следующем: — обеспечивает лучшее, чем в большинстве методов, физиче ское понимание задачи, потому что прослеживается каждый про цесс рассеяния фотона; — можно изучать неоднородные и однородные атмосферы с помощью одной и той же программы; — интенсивность можно получить для стольких значений вы соты и направления, сколько выбрано точек в квадратурной фор муле; — в однородной полубесконечной атмосфере после вычисления интенсивности для ©о = 1 можно получить ее сразу для всех зна чений ©о с помощью соотношения оо /© .( т ; ц , ф) = Z п =0 57 © o /S ? = i(t; ц , ф ). (3 .5 0 ) Иными словами, симметричную сумму / т = 4 - [Л. + 1 -т ] (3.56) используют для нечетных значений qy а антисимметричную сумму Нт = - Y [ / - ~ 1-т) (3.57) — для четных q. Использование этих величин как зависимых пе ременных позволяет поддерживать сохранение энергии, в тех случаях, когда в качестве переменной по высоте берутся дискрет ные точки. Во избежание потерь энергии на конечных точках угло вой сетки, требуется, чтобы условие нормировки индикатрисы (уравнение ( 1. 1)) удовлетворялось при использовании выбранных угловых точек. Применение дискретизаций и аппроксимаций к основному уравнению и различным условиям приводит к двойному набору сопряженных алгебраических уравнений для каждой Фурье-составляющей радиационного поля. Уравнения имеют вид - J sm ( q - 1) + Bsmn (q) Н%(q) + Jsm (q + 1) = Rsm (q), m и л — 1, 2 , . . . , Af для четных q и вид (3.58) —H sm (q - 1) + А°тп (q) Jsn (q) + Hsm ( q + l ) = R sm (q), m и n = 1, 2, . . . , M (3.59) для нечетных q, где Amn (q)> Bmn{q) и Rsm (q) — известные функ ции. Используются обычные обозначения, подразумевающие сум мирование по повторяющемуся нижнему индексу. В матричной форме система уравнений, подлежащих решению, имеет вид [С] [Н] = [#], (3.60) где (Т) В1пп(Т) [С] = — 1 >4*m n ( 1) тп (2) - 1 1 Н*п( 1) (5) Втп (5) Rm (Т) П( \ ) Rm (1) Атп [#] = Нп (2) • , HSn (S) [Я] = Rm (2) • Rfn(S) 59 (3.61) Методу присущи следующие недостатки. Когда ©о стремится к единице (очень слабое поглощение), сходимость ряда (3.46) становится очень медленной; если одновременно ti велико, то рас ход машинного времени становится чрезмерным. Положение можно улучшить, ускоряя сходимость различными методами или заменяя соответствующие члены рассеяния высших порядков асимптоматическими выражениями; последний прием применялся к полубесконечным атмосферам. Кроме того, программу нужно прогонять полностью для каждого значения цо. 3.8. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ При реализации конечно-разностного метода используются интегродифференциальные уравнения, полученные разложением уравнения радиационного переноса в ряды Фурье по азимуту, т. е. система L + 1 уравнений типа (1.42) совместно с уравнениями (1.41), (1.43), (1.44). Однако в уравнении переноса в качестве не зависимой переменной используется не оптическая толщина, а вы сота 2 , а вместо альбедо однократного рассеяния — две величины: коэффициент ослабления <те и коэффициент рассеяния os. Таким образом, уравнения имеют вид р д Р (д г = ° e ( z ) I s (Z, ц ) - ц) — [z ) J p s (z; ц. ц, iK>)Fexlll\ — v ) d \ i - (3.51) Такой вид уравнения переноса обусловлен необходимостью кон троля сохранения энергии при численном решении методом конеч ных разностей. Конечно-разностный метод основан на дискретизации оптиче ской толщины и угловых координат: z : { z q \ q = 1, 2, . . . , N), (3.52) (х:{цт |/и = - М , —М + 1, . . . , - 1 , + 1 , . . . , М}, . (3.53) где М' —т — Цт- Аппроксимируем интегралы выражением м \ pS(z■ (X, M.'VS(Z;|/)с?ц 'э* Y j WmPmnlm 1 — 1 (3.54) т = —М (где wm — квадратурные веса), а производные — выражением dz JZg Zq + j Zq _ \ — ,* (3.55) где Im (q) = /* (Zq, Цт ) . Важной особенностью метода конечных разностей является альтернативное использование на уровнях z q симметричных и ан тисимметричных сумм радиационного поля в угловых точках. 58 В этих уравнениях Т относится к верхней границе, a S — к под стилающей поверхности или к нижней границе. Эти уравнения составляют блок тридиагонального вида, где элементы вне диаго налей имеют значения ± 1 (кроме границы) и, следовательно, могут быть решены с помощью очень эффективного рекуррентного метода. Для метода конечных разностей характерны высокие ско рость и точность; он пригоден для атмосфер с вертикальной неод нородностью. Время, необходимое для решения задачи переноса монохроматического излучения, асимптотически пропорционально DM3L , где D — число точек по высоте, М — число точек по jы, L — число азимутальных членов. Выбор масштаба здесь производится примерно так же, как в методах суммирования — удвоения или в методе сферических гармоник. Точное сравнение показало, что с помощью конечно-разностной операции интенсивность уходящей радиации вычисляется примерно на 20 % быстрее, чем при ис пользовании процедуры удвоения. Кроме того, в случае неоднород ных атмосфер скорость расчетов не уменьшается; лишь некоторое дополнительное время необходимо для ограничения ошибок усе ченного ряда — с этой целью незначительно увеличивают число точек по высоте. Было показано, что конечно-разностный метод позволяет эффективно и точно решать задачи при больших значе ниях оптической толщины. Повышению точности вычислений спо собствуют разработанные указания, как размещать точки толщинной сетки таким образом, чтобы осуществлять достаточный контроль ошибок усеченных рядов. Наконец, было показано, что метод позволяет точно рассчитывать радиационные поля в атмо сферах с переменными оптическими свойствами. В качестве основных преимуществ метода можно указать сле дующие: — быстроту вычисления; — высокую точность, обусловленную тем обстоятельством, что сохранение потока и второго момента радиационного поля выпол няется в точном соответствии с исходным уравнением переноса; — возможность исследования вертикально неоднородных атмо сфер без существенного уменьшения скорости; — гибкость метода, которая позволяет легко менять число и положение угловых точек и, следовательно, лучше описывать из менения индикатрисы, уменьшая таким образом квадратурные ошибки по углу; — возможность быстро и эффективно решать задачи с боль шими значениями оптической толщины; — возможность линеаризации уравнений, которая необходима при изучении чувствительности; Метод имеет и ряд недостатков: — при выборе точек по высоте в неоднородных атмосферах и угловых точек для сильно анизотропных индикатрис требуется физическая интуиция и осторожность; — значения для точек, не совпадающих с точками сетки, должны получаться интерполяцией; 60 — в тех точках, где отношение интенсивности восходящей радиации к нисходящей составляет менее 10~4, возможен рост ошибок при определении интенсивности из симметричных и анти симметричных сумм. 3.9. МЕТОД МАТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА (ИЛИ ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРОСТРАНСТВА) Метод матричного оператора основан на принципе взаимодей ствия (см. п. 1.7) и хорошо работает как при матричной форме уравнений, включая поляризацию, так и при скалярной форме. Воспользуемся представлением матрицы 1+ (*) = { / ( * . И. ф ) : 0 < ц < 1, 0 < ф < 2 я, а < х < 6 }, (3.62) I _ (х) = { /(х, —ц, ф ) : 0 < ( х < 1 , 0 < !ф г ^ 2 я , а < х < Ь) и подобным же представлением для операторов г и Ь — границы слоя). Тогда выражения (1.34) и (1.35) можно записать !+(*) 1+ (0 ) = S(x, у), + Е (* . У). I~(У) !"(*) где Цу, х)т(х, у) Js(y, S(*. у) = т(у, x)t (x , у) , Z(X, у) = h ( x , t (здесь а и в виде (3.63) х) у) (3.64) Дискретно-ординатный аналог соотношения (1.36) можно по лучить в виде произведения 4М X 4Л1 матрицы 1 -S(x, у; Ца. фа» На, фа), Г(*. У) = 4яца а, а = 1, 2 , .. ш , (3.65) с вектором I~(у). Элементы вектора — это удельные интенсивно сти, относящиеся к направлениям, соответствующим квадратурной формуле на единичной сфере. Перемножение матриц (3.65) содер жит в неявном виде приближенную квадратуру, вследствие чего в элементы г(х, у) оказалась включенной диагональная матрица квадратурных весов. Описанный принцип взаимодействия является отправной точ кой нашего обсуждения матричного метода. Задачу можно упро стить, если отделить методы, позволяющие определить уходящую из атмосферы радиацию, от методов, описывающих интенсивности или потоки на различных уровнях внутри самой атмосферы. 3.9.1. Проблема внешнего обмена Рассмотрим два соседних слоя, ограниченных плоскостями х, У> г, где Можно описать принцип взаимодей61 ствия двух слоев в отдельности (х, у) (у, г) и для всего слоя (х, z) в целом следующим выражением: • S(x, z) = S(x, у) • S(y, г). (3.66) Используя формулу (3.64), из формального определения (3.66) можно получить соотношения t(z, *) = t(z, у) [Е — г (дг, у) г (z, y ) ] ~ ' t ( ! / . х), t(x, z) = t (x, y)[E — r(z, y)r(x, y)\~l t (y, z), r (z, x) = r ( y , AT) 4- t (ЖГ, y)r(z , y)[E — r(jc, y)r(z , y)]~l t(y, X), r(x, z) = г (у, z) + t(z, y)r (x, y)[E — r(z, y)r(x, y)]~'t(y, z), (3.67) где E — единичный оператор. Произведения справа существуют, если существуют обратные матрицы. Для членов, содержащих функции источника, можно записать соответствующие соотношения через два линейных оператора — A ( x , y , z ) и A ' ( x , y , z ): £ (х, у) = Л (х, у, z) £ (х, у) + Л ' (*, у, г) £ (у , z), (3.68) t(z, «/) [Е — г (х, у) г (z, |/)]-1 О А(х, у, z) = t(* . y)r(z, y)[E — r(x, y)r( z, у)]~1 E E t(z, y)r(x, y)[E — T( z, y)r (x, y)]~' А'(х, у, z) = О t (x, #)[E — r(z, y) r(x, y))~' На практике прежде всего необходимо разделить слой (а, Ь) набором плоскостей а = Х\ < Хг < . . . < *w+i = Ь. Затем мы должны предположить, что S(xi, jc,+i) можно найти с желательной степенью точности из физических параметров в не которой точке внутри слоя (xi,xt+1), который предполагается достаточно тонким, чтобы можно было считать его однородным. 3.9.2. Уравнения для внутреннего поля Требуется вычислить интенсивности 1^ = 1^(дс„) на заданных уровнях а < *i < х2 < . . . < х „+1 = Ъ в среде. Предположим, что Ii+ = I +(a), I^f-i = 1~( 6 ) — заданы граничными условиями, и что матрицы S (/г, /г + 1) г= S(jc„, *n+i) и источники Е (я, я + 1) из = Х (* n , Xn+i) уже вычислены. Тогда нам предстоит решить систему совместных уравнений t f +i — S (п, п -j- 1) In + £ ( n , n + 1), (3.69) 17 In+ I Перепишем систему (3.69), используя ячейковые векторы 1л + I | + ■n+ V* = 1+ 1/1 + 1 , !„ + ■ /,= In 62 (3.70) при этом -Т (Л + 1 , п) 1 ^ - 1/, + 1(1+ Чг — -R (я, п + 1)(Г +. / , - Z +(n+ и «), (3.71) — R ( f t + 1 , ft) I n — Чг + In + ' / j — Т (ft, ft + где матрицы T и R имеют вид О E . 0 Т(/, /) = o t(t, /) ’ R(/> /)= О 1) Ira + s/j = — (n > О r(i, i) а векторы источников — вид О Z *(*. / (3.73) Уравнение (3.71) имеет простую блоковую тридиагональную струк туру, что позволяет нам предложить простой метод решения. 3.9.3. Выбор толщины элементарного слоя При использовании метода необходимо, чтобы все матричные ■операторы не были отрицательными. Это условие позволяет на ложить ограничение на максимальную толщину элементарного слоя, которое приближенно описывается неравенством Дт < 2ц,, (3.74) где Hi = min(fii). Для hi = 0,02545 получаем Ат < 0,059. Следует отметить, что уравнения для элементарного слоя учитывают также многократно рассеянную радиацию. 3.9.4. Предельные формы Д ля слоев очень малой оптической толщины легко получить в пределе систему дифференциальных уравнений для операторов отражения и пропускания, представляющих собой хорошо извест ные уравнения, следующие из. свойства инвариантности. Подобным же образом можно получить дифференциальные уравнения для Функций источника, используемых в методе инвариантного погру жения. Пользуясь предельной формой операторов отражения и пропускания, приходим к интегрируемой системе дифференциаль ных уравнений; эта процедура применяется- в методе трансформа ции Рикатти. 3.9.5. Заключительные замечания Описанный матричный метод может быть обобщен для создаиия действенной программы, нацеленной на изучение радиацион ного переноса в атмосфере. В модели неоднородной атмосферы при вертикальной дискретизации каждый отдельный тонкий слой однороден. Матричный метод был подвергнут подробному численному ана лизу. 63 ЗЛО. МЕТОД УДВОЕНИЯ ИЛИ СЛОЖЕНИЯ * Суть этого метода Проста: если известны функции отражения и пропускания для каждого из двух слоев, можно получить функ ции отражения и пропускания объединенного слоя, вычислив по следовательные отражения в обе стороны, происходящие между слоями. Пусть та и ть — оптические толщины двух слоев, подлежащих суммированию (индексы а и b относятся соответственно к верх нему и нижнему слоям). В методе сложения предусмотрен следу ющий порядок действий: Ql = RaR*. Qn = QiQn—1> s = n£— 1 Q«. D = T„ + S exp (—t a/jx0) + STa, U = R6 exp (—Ta/m) + R&D, R (та + r b) = Ra + exp (—та/ц) U + TaU, T (та + T,,) = exp (—xb/\i) D + T 6 exp (—Ta/|J.0) + T&D. (3.75) Если умножить матрицы отражения и пропускания R и Т на 4 то они будут соответствовать функциям в выражениях (1.31) и (1.32). Здесь R и Т — матрицы отражения и пропускания рас сматриваемого слоя, когда он освещен снизу. Для однородного слоя R*= R и Т* = Т (см. приложение 1Б). Экспоненциальные членыотносятся к пропусканию прямой радиации через слой а или b без рассеяния; Т — пропускание рассеянной радиации. С нижней границы обоих слоев вверх пропускается рассеянная радиация Т (т0 + Тб) и поток nFe^ a+4b^ v"‘ нерассеянной радиа ции в направлении Фо- Суммарное пропускание, очевидно, надо разделять для прямой и рассеянной радиации, поскольку присут ствие дельта-функции в полном пропускании делает это выраже ние неудобным при полном численном интегрировании. Величины D и U после умножения на jioF представляют собой интенсивности излучения, рассеянного вниз и вверх на границе раздела между слоями. Указанное суммирование производится по потокам радиации, отраженной от поверхности раздела слоев, причем индекс п указывает, сколько раз радиация пересекала гра ницу раздела На пути вверх. На практике эта сумма ограничива ется небольшим числом ( ^ 5 ) членов (в зависимости от требуе мой точности). Более того, остаточные члены можно вполне ап проксимировать геометрической прогрессией, так как отношение последовательных членов стремится к постоянному значению. * В этом параграфе ц = 1cos 0 1, (to = |c o s fl|. 64 Величины R* и Т* вычисляются следующим образом: Qi = RftRfl» Q n — Q i Q n —1» s = nZ Qn, = 1 U = T* -f S exp (—Tj/M-o) + STft, (3-.76) D = Ra exp (—tft/fio) + RaU, R*( t a + T6) = R* + exp (—тb/\i) D + TbD , Т*(та + t6) = exp (—таДх) U + t ; exp (—т6/|л0) + TaU. Хотя в промежуточных результатах (3.75) и (3.76) использу ются те же самые обозначения (Qi, Qn, S, U, D), численные зна ния .не обязательно совпадают. В приведенных выше уравнениях все матрицы содержат четыре строки и четыре столбца. Произвольная матрица этого типа, на пример X, состоит из членов ряда X = Х Ц » , ц,, <р -<р„), I, / = 1, 2, 3, 4, (3.77) где индексы / и j — номера строк и столбцов соответственно. Про изведение двух матриц означает перемножение матриц и интегри рование по присоединенным углам. Элемент произвольной мат рицы Z = XY определяется соотношением 1 2я г 4 ~ ~ irj II Z Z H \ i , Цо. Ф — фо) = Ф ~ ф О ^ М Л Но. ф' — Фо) fI' dp.' dq>'. (3.78) Численные расчеты могут быть успешно выполнены с помощью разложения в ряды Фурье по азимуту и использования численной квадратуры для интегрирования по ц'. Суммирующие уравнения должны быть справедливы для каждой Фурье-составляющей. Та ким образом, получают результаты для всех значений ф — ф0 и дискретных значений ц и цо. Необходимое число зенитных углов зависит от анизотропии индикатрисы и от требуемой точности. Если индикатриса нормирована для дискретного набора зенитных углов, то число зенитных углов можно удерживать в разумных пределах — обычно от 5 до 25. Метод сложения требует, чтобы матрицы отражения и про пускания складываемых слоев были известны. Их можно получить из аналитических выражений для многократного рассеяния с на чальной оптической толщиной ~ 2-20 или с помощью любого точ ного метода для однократного рассеяния с более толстым элемен тарным слоем. Хорошие результаты дает вычисление последова тельных степеней рассеяния для двух или трех порядков с на чальной оптической толщиной, равной примерно 2 - 10—2~12. 5 Зак. № 119 65 Если атмосфера однородна, то можно на каждом шаге склады вать два одинаковых слоя; таким образом, метод сложения ста новится методом удвоения. Более того, в этом случае требуется решить только систему (3.75) с функциями R и Т. Процедура удвоения выполняется очень быстро даже для очень мощных атмосфер. Неоднородную атмосферу можно представить в виде суперпо зиции однородных тонких подслоев, и длинная процедура сложе ния по всей атмосфере оказывается очень громоздкой. Сложение обычно начинается с верхней границы атмосферы; складываются последовательно слои, один под другим. После первого шага верхний слой оказывается уже неоднородным, вследствие чего в системе (3.75) Ra Ф Ra и Та Ф Та — приходится при каждом шаге решать одновременно две системы (3.75) и (3.76) для четы рех матриц R, R*, Т, Т*. Положение улучшается, если начать сло жение с нижней границы атмосферы. Присоединяются вышележа щие слои, и на каждом шаге верхний слой оказывается однород ным; таким образом, на каждом шаге нужно решать систему (3.75) для двух матриц R и Т, что сокращает вдвое машинное время. Бо лее того, если требуется найти только диффузное отражение, как в задачах дистанционного зондирования, то решению подлежат только уравнения, относящиеся к R, что уменьшает расчетное время в два раза. Приведенный формализм включает и учет поляризации. Однако метод сложения пригоден также для расчетов интенсивности, при которых поляризация не учитывается. Необходимо только считать матрицы скалярными;* тогда в соотношениях (3.77) и (3.78) нужно опустить верхние индексы, а в (3.78)— не производить суммиро вания по k. Для рэлеевского рассеяния интенсивности, рассчитан ные без учета поляризации, содержат ошибки ^ 1 0 %, а для частиц, сравнимых по размерам с длиной волны или превышаю щих ее, ошибка не превышает 1 %. Метод сложения очень схож с матричным методом (см. п. 3.9). Основная разница в формализме обоих методов заключается в то ждестве (Е - Х Г 1 - Е = Х + Х2 + Х3+ . . . (3.79) В матричном методе используется «обратный» оператор, тогда как в методе сложения присутствуют бесконечные ряды (см. пра вую часть выражения (3.79)). 3.11. ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ* Во многих задачах физики требуется знать поля уходящего излучения, и определение отражающих и пропускающих свойств атмосферы не требует информации о внутреннем поле радиации. Например, свойство отражения полубесконечной атмосферы явно * В э т о м п а р а гр а ф е ц =: | cos '0* | , и-о = 66 | c o s d 0 |. не изменяется, если к атмосфере добавить тонкий слой; эту интен сивность можно выразить математически через искомую интенсив ность отраженной радиации. Для однородного слоя конечной оптической толщины принципы инвариантности выражаются следующими соотношениями: е—Т/М -о / ( т; + ц , <р) = — 1 2 + Т 4яц ^ Г S( t „ т ; ц, <р; м-е, <Po)F + Я 1 J \J S (T |’ т; Ф; I1'* / (т; —\i, ф) = 1 2 ф 'М и '^ ф ', (3 .8 0 ) T (t, 0 ; M-. ф; IV фо) F + П + 1 4яц ^ 7 IJ S J S (T> ° : Ф; Ф О Д ^ . + МЛ (3 .8 1 ) - ^ - S ( t i , 0; н , ф ; Цо, Ф о)^ = - ^ - 5 ( т , 0; ц, ф ; Цо, ф о )^ + 0 ~ т/м,Х 1 2 Х /(т, л \ \т(г, 4яц Q J J +М -, ф ) + - 7 ^ г 0; ц, ф; ц ,\ ф ') / ( т ; + ц ' , tf')d\i' dtp , (3 .8 2 ) 0; ц , ф; цо, фо)/7 = + 1 2 + -7 ^ r-f 6 4ц Т( хи е- 1 ( х ,- т ) /„ /(т ; т; Ф1 Мю, фо) ^ + ф) + я \ т( ъ> т; I*. ф; ц \ ф ' М * : — мЛ Ф' ) d \ i dtp. (3 .8 3 ) ^00 В полубесконечном однородном слое инвариантность задачи выражается только с помощью уравнения (3.80). Для неоднород ного слоя требуется четыре других аналогичных уравнения S(0, п ) и Т(0, п ) . Для учета эффекта поляризации можно запи сать восемь уравнений в матричном виде. Эти принципы инвари антности очень схожи с уравнением взаимодействия, используемым после дискретизации в методе матричного оператора (см. п. 3.9). После исключения I из этих уравнений и из уравнения переноса мы получаем систему интегродифференциальных уравнений для функций S и Tt выраженных через Я-функцию или X- и У-функции, как описано в п. 2.4. Другая возможность состоит в том, чтобы решить уравнения для функций S и Т каким-либо числен ным методом. До настоящего времени к такому решению прибе гали только в случае однородности исходя из значений функций S и Т для первичного рассеяния с помощью алгоритма итерации; в частности, при этом можно оценить вклад различных порядков рассеяния в S и Т. 5* 67 В работах советских специалистов эта задача решалась следу ющим образом. Различными способами были найдены функции от ражения р(|х, [Iо, Ф) = (4 |1 |До)” 15 ([г, [Ао, ф) для полубесконечных атмосфер. Они вычислялись из линейного сингулярного интеграль ного уравнения для р как непосредственно, так и после предвари тельного отыскания Я-функций. Рассмотренные случаи — трех членные индикатрисы и индикатрисы Хейли—Гринстейна. Исполь зуемый метод дает возможность рассматривать весьма сильно вы тянутые индикатрисы (с асимметрией g до 0,85). Другой подход к определению функции р состоит в использовании хорошо извест ного нелинейного интегрального уравнения для р. 3.12. МЕТОД ИНВАРИАНТНОГО ВЛОЖЕНИЯ В основе метода инвариантного вложения лежит методика счета частиц, опирающаяся на принцип инвариантности. В аналитическом и численном аспектах суть инвариантного вложения заключается в сведении задачи с двухточечной погра ничной проблемой к задаче с начальными значениями. В этом свете преимущества и недостатки будут те же, что и в методе, основанном на принципе инвариантности. Из интегрального урав нения Милна можно точно получить для функции источника си стему Коши, основанную на принципе суперпозиции, которая далее приведет нас к системе интегродифференциальных уравнений для функций рассеяния и пропускания. Инвариантное вложение можно использовать для альтернатив ного подхода к решению интегрального уравнения Милна. Начав со вспомогательного уравнения, которое в случае изотропного рас сеяния имеет вид J(t, х; и) = (соо/4) ехр [— (л — t)fu] + X + (too/2 ) J Ei ( |f — y \ ) J ( y , x; u)dy, о (3.84) где x — полная оптическая толщина, а 0 < t < х, 0 < и < 1, мы можем найти непосредственно требуемое начальное уравнение для функции источника J ( t , y ; x ) в виде dJ(t, х; где Г (?,х ;х ) и)/дх = —иГЧ (t, х; u) + J(x, х; и) Г((, х\ х), (3.85) совпадает с Ф-функцией Соболева: 1 Г(*. х; х) = Ф (t, х) = 2 J /( /, ж; w)dw/w, (3.86) 0 a J (х, х; ц) задается ^-функцией Чандрасекара: J(x, х; м) = (^о/4)Х(х, и). 68 (3.87) Особенность такого подхода состоит в нахождении системы Коши для функции источника конечного порядка, тогда как для отдельных порядков рассеяния принцип суперпозиции не имеет силы. Метод инвариантного вложения применялся при решении задачи диффузного отражения и пропускания в конечных неодно родных анизотропно рассеянных атмосферах, ограниченных отра жающими поверхностями. Этот метод позволяет учитывать частич ную поляризацию. 3.13. DART МЕТОД Аббревиатура DART расшифровывается как Dodecation App roach to Radiative Transfer *. Название метода обязано представ лению поля в виде потоков радиации; число этих потоков может быть произвольно, но упорядочение их всегда каким-либо образом основано на использовании правильного двенадцатигранника. В DART-методе на основе этой и нескольких других идеях созда ется вычислительная схема, обладающая достаточным быстродей ствием в практических приложениях к большим расчетным зада чам, таким, например, как рекуррентное обращение данных по рассеянию или создание больших модельных каталогов в сфери ческой геометрии. Некоторые из основных идей метода DART можно использовать раздельно или вместе с другими методами радиационного переноса (например, метод матричного оператора), что может увеличить их эффективность или точность. Здесь обобщаются и обсуждаются следующие основные идеи. 1. Многие затруднения, связанные с сильно анизотропными, весьма подробными индикатрисами ликвидируются путем предвы числения некоторых угловых интегралов от индикатрисы рас сеяния. 2 . Поляризация может быть учтена с помощью этих же инте гралов путем повсеместного использования хорошо обусловленного интегрируемого определения направления референции поляри зации. 3. Число различных углов рассеяния и, следовательно, число интегралов индикатрисы, минимизируется с помощью распреде лений потоков на основе правильного додекаэдра. 4. Вычислительный код, обеспечивающий модель, организован по древовидной схеме: как только тест показывает, что дальней шие вычисления несущественны для конечного результата, счет прекращается. 5. Задачи, в которых рассеянная радиация незначительно ме няет направление (что является типичным для аэрозолей в зем ной атмосфере), успешно решаются отсеканием от древа рассея ния любого потока, направленного внутрь себя, и соответствующим Подход к радиации на основе додекаэдра. Додекаэдр — двенадцатигран ник. Правильный додекаэдр ограничен двенадцатью правильными пятиуголь никами. (Прим. ред. пер.) 69 изменением масштабов для коэффициента ослабления и альбедо однократного рассеяния.* 6. Число дискретных потоков, необходимое для точных расче тов непрерывного поля излучения, минимизируется с помощью правила Байеса из теории вероятности и физически разумной предварительной оценки поля непрерывного излучения. Обсуждение. Развитие DART-метода начинается с интегродифференциального уравнения переноса суммарной радиации, состоя щей из прямого и рассеянного солнечного излучения: S (г, Q) = / (г, Q) + прямое солнечное излучение. ( Уравнение имеет вид dS(r, Q) = d r £ —ае (г) S (г, Q) + . + J Р (г; Q, O') S (г, Q') dQ' + / 9МИССИЯj . (3.89) Угловые переменные дискретизируются с помощьюинтегрального оператора примерно так же, как в случае преобразования Фурье. Ядром преобразования является степень косинуса угла Q с неко торым номинальным направлением распространения излучения р. Интегральный оператор здесь имеет вид (рО)" . . . dCl. j Q е (p Q ) > (3.90) 0 Величины, создаваемые этим оператором, имеют смысл дискрет ных потоков с номинальным направлением распространения р, на пример [й?5 (г)]р и 5 (г)]р. Свертывание члена источникар (г, Q, Q ') и 5 (г, Q') сводится к сумме произведений Хр" Х р ' ср". р'. рР (г)р" ^ (г)р'> (3.91) где Ср», р',р — скалярные множители, а Р ( г)р»— соответствующие трансформации от индикатрисы рассеяния: ^ (rV = (р"ОУ* р (г; Q, z)dQ. J Q э р^Й > (3.92) 0 Они могут быть один раз предвычислены и затем использованы в любой последующей задаче переноса с теми же индикатрисами. Это экономит машинное время. При учете поляризации индикатриса p(r; Q, z) будет уже не скаляром, а матрицей, все элементы которой для образования P ( i V следует проинтегрировать. Некоторые из этих матричных элементов зависят от направления референции, которая опреде ляет состояние линейной поляризации. Для того чтобы интегриро * Свет,__рассеянный вперед,_включается в поток прямой радиации; при этом надо (о0 и т заменить на (Dq и т*. Подобный прием используется в так называемом транспортном приближении. Он подробно описан в главе 4. (Прим. ред. пер.) пг \ вание имело смысл, направлен ие референции долж но очень гладко и зм еняться с ft. Н ельзя добиться гладкого хода д ля всех ft, но D A R T-метод позволяет достичь этого в окрестности лю бого кон кретного р", д л я которого оценивается интеграл. Н ап равл ен и е реф еренции д л я произвольного ft принято определять следую щ им образом : z (или — z) совм ещ аю т с р", а х поворачиваю т вокруг оси г так, чтобы вектор ft о к а за л с я в плоскости xoz. Такие усло вия референции приводят к физически разум ны м резул ьтатам : наприм ер, при р = z или — z это д ает неполяризованное ^ ( г)р"* Б олее общ ие условия поляризации не об язательн о вклю чаю т это свойство. Число направлений потоков р ', необходимых для полной мо дели, определяется величиной ( п + 1) (п + 2 ), но их распределение в пространстве не определено и может коренным образом мини мизировать число различных углов рассеяния и, следовательно, число необходимых интегралов в индикатрисе. Сейчас обычно пользуются распределением потоков, базирующемся на долготно широтном разделении сферы, а в работах по переносу нейтро нов— Srt-распределениями Карлсона, основанными на разделении правильного октаэдра. Однако распределения потоков, построен ные на разделениях правильного додекаэдра, имеют в 2 —3 раза меньше различимых углов рассеяния, чем в каждом из предыду щих методов. Вычислительный алгоритм для дискретизированного уравнения радиационного переноса, сводится к набору вложенных циклов типа «DO», которые применяются к любому потоку, попадающему на верхнюю границу атмосферы. Каждому порядку рассеяния соответствует свой цикл. Если из теста следует, что сумма оста точных порядков рассеяния пренебрежимо мала по сравнению с уже накопленной суммой, то эти остаточные порядки отбрасы ваются, даже если все они сравнимы по величине с тестируемым рассеянием. Этот тест меняется в зависимости от порядка рассея ния и от продвижения по ходу развития программы, обеспечивая таким образом сокращение машинного времени. Сокращение воз можно также, если опустить в циклах рассеяние вперед. Рассеяние от потока в направлении само на себя характеризуется преобра зованием r ( r )« - 2 W ...* P ( r )p - (3.93) Чтобы исключить его, требуется выразить ае(г) в единицах ! - П г Ь , а соо — в единицах 1/(1 — Т (r)z] . Вычислительное время существенно зависит от числа рассмат риваемых потоков. Для уменьшения этого числа в DART-методе используется правило Байеса из теории вероятности. Предвари тельная оценка, необходимая для правила Байеса, требует физи ческих соображений о радиационном поле. Идеи, которые привле каются для этого сегодня, весьма просты: 1) суммарная радиация должна быть не меньше, чем радиация, рассчитанная на модели с однократным рассеянием; 2 ) многократно рассеянная радиация 71 возрастает с увеличением оптической толщины в направлении сканирования, достигая экспоненциального насыщения; 3) в от сутствии поглощения выходящий поток возрастает с увеличением входящего потока. Эти соображения служат для компенсации не достаточно подробной угловой дискретизации и часто позволяют ограничиваться двенадцатью потоками как адекватной величиной. Главные преимущества DART-метода заключаются в следу ющем: — быстрый счет во многих задачах, решение которых в ином случае потребовало бы много времени; — практически неограниченный динамический диапазон; — отсутствие статистических флуктуаций; — точность, пригодная для задач обращения. Метод имеет следующие основные недостатки: — до настоящего времени до машинного кода доведена только двенадцатипотоковая модель; — простые задачи можно быстро считать другими методами радиационного переноса; быстродействие двенадцатипотокового DART-метода может оказаться меньшим преимуществом, чем точ ность модели высокого порядка. К факторам, не до конца оцененным, относятся: — абсолютный предел скорости, — абсолютный предел точности, — точность учета поляризации, — влияние основных идей на другие моделируемые процессы. Глава 4 Приближенные методы 4.1. СООТНОШЕНИЕ ПОДОБИЯ Пусть нам нужно рассмотреть однородную атмосферу с опти ческой толщиной ть альбедо однократного расстояния соо и инди катрисой р(Ф). Определим сначала показатель асимметрии: I g - ± \ p(&)cosM(cos&) = M3. (4.1) Точное решение может быть аппроксимировано решением такой же задачи для изотропного рассеяния с альбедо оо и оптической толщиной ti. Соотношения подобия будут иметь вид 3 _ (■-»)«. ( 4 2) 1 — ga о ’ '' т* = (1 — gtoo)Ti (4.3) либо x*/v*=Ti/v, (4.4) v* (1 — too) = v ( 1 — coo), (4.5) где v — максимальное дискретное собственное значение уравнения переноса (см. п. 2 . 1). _ Для наиболее интересного случая (1 — ©о) <С 1уравнения (4.4) и (4.5) сводятся к уравнениям (4.2) и (4.3). 4.2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭДДИНГТОНА* В приближении Эддингтона делается предположение, что ра диацию можно задать выражением /(т ; ji. ф) = /„(т) + >х/1(т). (4.6) Тогда уравнение переноса можно проинтегрировать по ф: „ - " Й и О . - , (т. „ ) _ .« > !„<«>(„; _ _ | l p t o f c j,,,)Р е~ х!>1\ где р(°) задается выражением (1.39), взятым при s катриса р а зл о ж ен а на полиномы Л еж а н д р а (1.38). * В этом параграфе Цо = |c o s0 o|. 73 (4.7) = О, если инди- Взяв нулевой и первый моменты (4.7) относительно ц, получим пару дифференциальных уравнений для /о и 1\\ в эти уравнения входят только первые коэффициенты |$i из выражения (1.38). Это означает, что индикатриса в действительности может быть аппрок симирована выражением р(& )= 1 + P.COS&. (4.8) Уравнения для / 0 и / 1 легко решить при заданных граничных усло виях. В этом приближении потоки, рассеянные вверх и вниз, будут соответственно описываться выражениями F+ (т) = л [/„(т)— (т)], F~ (т) = я [/„ (т) + - |- /, (т) j . (4.9) Альбедо атмосферы (при «черной» подстилающей поверхности) задается в виде Л(|1о, ti) = 2 (Ci + С2 + D) при coo =#=1, (4.10) Л(ио, Ti) = 1 — Д ^ З - Р . ' Д , ПРИ ® ° “ 1' (4Л1) а полное пропускание (прямого и рассеянного излучений) — в виде Т (|Ыо, ti) = 2 {С\в kXl + C2&kTx -Ь De Т|^|Ао) -|- е Т|^° Т(ц о, т О - . Д * ^ ^ для соо =5^ 1» (4.12) для « 0 = 1, (4.13) где S~* Cl = 0 [ T lekx,(l-\-b) + T2e - x,l^ ( l - b ) ] , (4.14) С 2 ------G [ Т ^ - кх‘ (1 - Ь) + Г2е~т,/Цо(1 + 6)], (4.15) ^ 0 I 1 ~ (1 n __ - * 2|$ [е * Т1 3 -» ( 1 + b f - e - k" [1 11 -f(1 — —W cop) -r U o j fli/3] P i/^ J (1 - b)2] ’ it -~ D ~ - ^ r ------ г( П i -Ж^ Ж) -------***» k 2 = (l — CDo) (3 — CDoPl), / i K‘ ' j fiV } t* (4Л7> (4.18) T\ = 2 -f- 3|io + (l — G>o) PiM'O(1 -f- 2p*o)» (4.19) T<l = 2 — 3jio — (l — (Do^PiMoO — 2(lxo), (4.20) ь- 1 ь ^ Г t l) — 1 + -2 ^ + (l - -Si-) 7A <4 2 1 > (4.22) При сильной анизотропии индикатрисы для повышения точности по аналогии с методом Эддингтона применяется дельта-метод Эддингтона. При этом усекается пик индикатрисы в направлении рассеяния вперед (см. п. 6 . 1). Уравнение (4.9) показывает, что в основных уравнениях метода можно, наряду с / 0 и / ь использо вать также / + и F~. Следовательно, приближение Эддингтона можно рассматривать как один из вариантов двухпотоковых ме тодов, описанных в следующем параграф е., Добавим, что если поток F(x) определяется с достаточной точностью, то дивергенция dF/dx получается часто с большой ошибкой. Этот недостаток можно устранить, если по-новому опре делить постоянные интегрирования. 4.3. ДВУХПОТОКОВЫЕ МЕТОДЫ * Двухпотоковое приближение использовалось многими авто рами. Оно позволяет быстро получить приближенное решение уравнения переноса, разделяя поле радиации на два встречных потока. В общем виде уравнения для рассеянных восходящего F+ и нисходящего F~ потоков можно представить в следующем виде: ~ а ‘^ + — а2^ _ (т) ~ азмол/ге~т/ц\ dF~x(T) = a2F+ (т) - а, (т) F~ (т) + а 4ю0я F e ~ ^ \ (4.23) Их легко решить с граничными условиями для /г -(0) и ^ ( x i ) . Аналогичные уравнения справедливы для суммарных (прямой -fрассеянный) потоков. Их можно получить из выражений (4.23), если отбросить последние члены в правой части; граничные усло вия на верхней границе в обоих случаях, конечно, будут различ ными. Уравнения (4.23) и их аналоги для суммарных потоков явля ются приближенными; это подтверждается при точном интегри ровании уравнения переноса. Различные двухпотоковые методы (включая и метод Эддингтона, упомянутый выше) различаются в приближениях, которые делаются для установления значений коэффициентов аь а2, а 3, сц, и в выборе либо полного, либо диф фузного потока. В последнее время была предпринята попытка уяснить ситуацию и сравнить между собой различные двухпото ковые методы. Полный обзор этого вопроса оказался бы слишком пространным: мы ограничимся описанием оригинального двухпо токового метода. Альбедо задается выражениями А _________ в этом " "Р" « ч Ч . А - - ,+ при«„- 1, параграфе ц0 = |c o s 0o|. 75 (4.24) а полное пропускание радиации (прямой + рассеянной) — выра жениями (4.25) где G = (r — s)(r + s) ', Г = 1 — (Oof Ч- tDob, s = [(l — too/)2 — coofc2]'/s, (4.26) k = s/ ц0. Коэффициенты Ь и f определяют долю излучения, рассеянного назад и вперед соответственно. Очевидно, что (4.27) b+ f= l, и логично выбрать 1 (4.28) f = -j- Если допустить в соответствии с точным решением для потока при р(н) = 1 + Pin, что f = 4 - ( l + p,/3) = 4 - ( l + g ) , (4.29) то мы получим «модифицированное двухпотоковое» приближение. Двухпотоковые методы могут также включать особое рассмот рение пиков индикатрисы в направлении рассеяния вперед, как в дельта-методе Эддингтона. Обобщением двухпотоковых методов являются JV-потоковые методы. Иными словами, методы, подобные методу дискретных ординат или сферических гармоник, приводят к какому-либо двух потоковому методу, если их использовать со вторым порядком. 4.4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ЯДРА* Этот- метод, как и методы, описанные в п. 4.2 и 4.3, нацелен на получение простых аналитических решений для потоков. Инди катриса аппроксимируется суммой дельта-функции и двух членов полинома Лежандра: (oop(&) = coo(l + Pi cos ft) + Л 6(1 — cos ft). (4.30) Действительную оптическую толщину ti следует заменить эф фективной величиной t ' j ( с м . п . 6 . 1 ) . * В этом параграфе Цо = |c o s 0 o|. 76 Уравнение переноса (1.23) для суммарной радиации использу ется с граничными условиями /(0; и- < 0. ф) = 6 (И ~ ЦоЖф — <Po)jtF, (4.31) / ( т,; ц > 0 , ф ) = 1 £ ^ М - . Мы приняли здесь, что подстилающая поверхность с альбедо р отражает по закону Ламберта и что / ’( t i ) — результирующий поток. С помощью формального решения (1.28) и (1.29) уравнения переноса в выражениях для потока F ( т) и средней интенсивности 7(т) получим в качестве множителей интегральные экспоненциаль ные функции E2(t) и E3(t), которые аппроксимируются через ае~ь* и ае~ы/Ь (а = 3/4, р = 3/2). В результате находим интегральные уравнения для F и /. Последовательным дифференцированием по т задача сводится к дифференциальному уравнению для /, которое легко интегрируется. Привлекая граничные условия (4.31), получаем следующие выражения для результирующих потоков на верхней и нижней границах атмосферы: р т а .р( (*2-1/Ио) V F (0) — Ноя/7^ (^2 _ айор' } (J _ i/(yho)2] J У , , shYTi + 6chY^ \ 1+* G(r',) У (4.32) ^ ( т 1) = ц 0я/ 7 Г 7 -2----- 42, V ^ (Ь2 - ш о^,) [ 1 - tttV i/(yh 0)2] Д (4.33) 0 ( т ,) у где и — 1 ~*~р Uv~ 1- р ’ [(l — w0 + ой о) (Ь2 — — ©о)],/г Ь (4.34, G(ti) = 2(l + 6wv)sh yri + (б+ Му)сЬут1, tp = 1 + wv Метод может быть распространен на случай нескольких при мыкающих слоев. При о)0 = 0,9 ошибка полученных значений потоков составляет менее 10 % при любом значении ti; точность увеличивается при возрастании 77 4.5. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИИ Этот метод был разработан для изучения неоднородной слои стой атмосферы, в которой вначале рассматривалась только за висимость альбедо однократного рассеяния от оптической толщины (но не зависимость индикатрис или матриц рассеяния). Реализа ция метода начинается с предположения о том, что оптические характеристики (и в том числе, следовательно, поле радиации — как внутренней, так и уходящей _через границы) неоднородной атмосферы с переменным альбедо а»(т) могут быть адекватно мо делированы наложением на исходную однородную атмосферу с по стоянным альбедо ©о переменного возмущения а (т), а < 1, так что оо (о(т) = (оо X) а„(т), п = 0, 1, 2, а 0 = 1(4.35) /1= О Можно ожидать, что в большинстве атмосферных задач доста точным окажется очень малое число таких возмущений — воз можно, одно или два. Поэтому все существенные функции рассея ния раскладываются в ряды, аналогичные (4.35): F (t, . .. ) = F 0 (t, . . . ) Е М т ) , П (4.36) где Fo— F — функции для исходной атмосферы,'т. е. F0 (t, . . . ) = = [F (t, . .. ) ] в (т)» ш,. а возмущенные функции таковы, что f„ •< ,<CU (U — матрица, все элементы которой равны единице) с fo ^ s=U (единичная матрица), если рассматривается состояние пол ной поляризации; в других случаях fn ’C l , fo = 1. Численные рас четы, выполненные для нескольких тестовых случаев рассеяния, показали, что усеченные разложения й(т) = «о[ 1 + а ( т ) ] (4.37) F (т, ..'.) = F 0(t, ...) [ E + f(x, ...)] (4.38) и могут дать весьма точные результаты. Метод сначала проверялся на функциях Н, X, Y и их матрич ных аналогах. Например, соответствующее скалярное уравнение в атмосфере с произвольной оптической толщиной имеет вид Z (a, y; И-) = 1 + J { J z (а', у; и) Z (а', у; и') to(a') X О 1а X exp [ - (а' - a) (JL d a 'J ^ ( n ') , где а » V» М-) ( X (а, Р; ц) | ^ ^ ^ 78 приу = Р < °°. при = р = 00# (4.39) Здесь а и р — оптические толщины, отсчитанные соответственно от верхней и нижней границ. Подставив разложения (4.37) и (4.38) при F = Z в уравнение (4.39), получим линеаризованное урав нение z( a, у; ц) = m Z ^ ' (а, у; (i) J Z0(a' , у; ц) {а( а' ) + - f [ 1 + а ( а ' ) ] [ г ( а , у; \i) + z { a , у; n' )]}Z0( a, у; ц' ) X X ехр [ — (а' — a) (-J- -f г|>( |/) . (4.40) Существуют разные возможности решения уравнения (4.40). Н а пример, существует JV-решение (ряд Неймана), которое является единственным: 2 (а ’ У’ I*)---- 2 | i - +a( «) i Н 1 + С“ ) L Ё п= 0 ( C Z Y - 1 И«' ) J (4-41) где С® — известный линейный оператор рассеяния, а (Са) п — опе ратор Са, повторенный п раз. Было найдено, что при рэлеевском рассеянии после нескольких итераций (пяти или шести) достига ется режим геометрических рядов. Этот результат согласуется с тем, что был найден методом последовательных рассеяний. JVleTOfl возмущений можно также использовать непосредственно в уравнении радиационного переноса. Подставляя выражения (4.37) и (4.38), записанное в виде Is (т> ц) = /о(т; ц) + is (т; ц), (4.42) в уравнения (1.42) и (1.43), получаем уравнение возмущения 1 Ц= is (т; I*)— -у - \ PS(V, |i')i* (-г; — — а(т)#*(т; н. Но). где g s — известная функция: 1 £®(т; ц, ji0) — ^ p e '/V o + J - jj (4.43) ц')/;Цт; ц ')й ц '. (4.44) Уравнение (4.43) очень похоже на исходное уравнениепере носа, но в некоторых случаях может быть решено гораздо быстре В частности, используя метод сферических гармоник, можно по казать, что решение присоединенной однородной системы фор мально аналогично; единственное различие заключается в оценке частичного решения полной системы, где теперь вместо (©о/4)/?*(ц, р0)Рех1'1’ стоит a ( t ) g s(T; н, щ>)- Решение можно найти непосредственно, если а(т) представить экспоненциальной функ цией а(т) = е~Ъх\ при этом, незначительно превысив расчетное 79 время, необходимое в случае однородной атмосферы, можно полу чить очень точный результат. Возможности распространения ме тода на другие случаи предстоит еще проверить. Особенно интересен этот метод при образовании решения для множества случаев из известного решения для данного случая. Он полезен также в расчетах синтетических спектров. 4.6. П РИ БЛИ Ж ЕН И Е МАЛЫХ УГЛОВ Решение уравнения переноса (1.26) представляется в виде (4.45) / ( т; |я; ф) = /* ( т ; \х; ф) + / ( т ; \х; ф), где приближение малых углов I* является решением уравнения 2л I dI* (TJ / : ф) = /* (т; и; ф) — j \ р(\*, ф; мЛ ф ) Х Х / * ( т ; ц', ф ' ) ^ -----ф; N. Фо)^ет/|** при граничных условиях /* (т; ц; ф) е= 0 при - 1 (4.46) 1. (4.47) Переменная \i в левой части уравнения (1.26) заменяется на |Хо в уравнении (4.46), а граничные условия (4.47) означают, что нет отражения от слоя. Решение уравнения (4.46) может быть получено непосред ственно. Вычитая (4.46) из уравнения (1.26), записанного с учетом уравнения (4.45), легко найдем, что Г удовлетворяет уравнению ~ 2л I рdI{V 'dx'(Р)~*(т; ^ ф)_ Г J 1 11 0 — X / (х; ц'. ф') d\b' Жр' — (и-о — ц) — ф: ф,^х . (4.48) Это уравнение переноса — того же вида, что и наша исходная за дача. Существенно, что угловая зависимость у функции Т выра жена гораздо слабее, чем у /. Полученное уравнение (4.48 ) можно решить любым из обычных методов. Глава 5 Предельные случаи 5.1. ОДНОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ Для очень тонких слоев радиационное поле можно аппрокси мировать частью / (|), ответственной только за первичное, или одно кратное рассеяние (фотоны, рассеянные один раз). Решая уравнение ( 1.21 ) для однородного случая совместно с граничными условиями (1.27) и используя выражение / ( т; и, ф) = / (1) (т; и, ф) = -^ -р (ц ., получаем: ф; / <|)+(т; и, ф) = Но, фо) FeT/M,°, ex'lv"‘{e(x~ x')lv'— - е (т- т')/|Л»)р(н.Ф; но, Фо)F. / (1) - (т; н, Ф ) = - ^ - ^ — (ет/ц — ет/Цо)р(м-, Ф! Но, Фо)/7. ъ (5.1) И- — И-о (5.2) (5.3) Для неоднородной атмосферы необходимо численное интегрирова ние уравнений (1.28) и (1.29) совместно с выражением (5.1) для /. Для учета поляризации можно применить те же выражения в матричной форме. В тех случаях, когда однократное рассеяние не может опреде лять все радиационное поле, но тем не менее представляет боль шую часть его, удобно сочетать точный подход к однократному рассеянию с приближенным подходом к многократному рассеянию. 5.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ * Возможность применения асимптотической теории к толстым сбоям была, вероятно, недостаточно полно использована. Рассмот рим однородную атмосферу с оптической толщиной ц . Диапазон толщин, к которым применимо большинство вычислительных ме тодов, — это малые значения ti (примерно Tt ^ 3) и в некоторых методах ti = o o . Очень большим толщинам (примерно ti ^ 30) Удовлетворяет асимптотическая теория. Реальная область приме нимости зависит от рассматриваемого случая и от требуемой точ ности. Это позволило авторам считать, что в промежуточном диа пазоне значений (примерно 3 С ti < 30) возникают большие вы числительные трудности. * 6 В этом параграфе ц > 0 для нисходящей радиации. Зак. № 119 81 Можно отметить, что такое мнение часто является необоснован ным, потому что промежуточный интервал может быть охвачен с большой точностью интерполяцией между х\ = 1 и ti = оо. Для этой цели известные численные результаты можно преобразовать таким образом, что они дадут постоянное известное значение при условии, что асимптотическая теория будет применима. Нанесем эти трансформированные числа на график удобного масштаба, разместив на нем весь диапазон ц от 0 до оо и выполним графи ческую интерполяцию, которая обычно дает хорошие результаты уже вблизи значения х\ = 10 и выше. Таким же образом можно произвести численную интерполяцию.* Для получения полных асимптотических выражений можно вос пользоваться двумя существенно различными методами. 1. Испытанный математический способ: строго решить задачу методом разложения по собственным функциям, а затем исклю чить все члены, не связанные с максимальным дискретным соб ственным значением, т. е. относящиеся к наиболее слабым модам. 2 . Разработан физический метод, основанный исключительно на тщательной регистрации результатов различного взаимного расположения толстых и тонких слоев. Он приводит в точности к тем же самым асимптотическим выражениям. В другом физиче ском подходе необходимые константы определяются с помощью интегрирования по асимптотическому полю радиации в глубоких слоях полубесконечной атмосферы. Другие способы, предложенные в литературе, можно рассмат ривать как промежуточные между указанными двумя противопо ложными подходами. 5.2.1. Постановка задачи Рассмотрим уравнение переноса, где / — интенсивность сум марной радиации (рассеянная + пропущенная), а |х считается положительным для радиации, направленной вниз. Граничные условия задаются обычным образом: /(0, |я, ф) = 'ф([х, ф); / ( Т|, —|я, ф) = 0, |А > 0 . ’ (5.4) Используя разделение по азимуту (см. п. 1.8 ), получаем: 1 V d,m £ ^ + / m (T, р ) = - ^ ~ j рт(т; ц, х; n W . (5.5) где Г ( 0, _________ 2я ц) = 1|)т (|Х) = ^ - J'FCn, ф) cos m<pd(p; / т (х,; - ц ) = 0, ^ > 0 . (5.6) * Подобный приближенный прием был развит В. В. Соболевым в 1943 г. (см. Соболев, 1956, глава X). Он прост и широко используется в атмосферной оптике при расчетах в безоблачной атмосфере, в частности для определения наклоннойдальности видимости и яркости дневного неба. Точность его много раз оценивалась. В стандартной ситуации она составляет около 3 %для нис ходящих яркостей и 5 % для восходящих. (Прим. ред. пер.) Я9 Пусть интенсивность отраженной и рассеянной в атмосфере радиации будет выражена через показатели отражения р(ц, ц,', <р — <р') и рассеяния о(ц' ц', ф — ф') соответственно: 2я 1 / ( 0 , —м., ф) = -^- JJm .'p(h. Ц', ф — ф 'Ж н'ф 'М м /Ж р'. Оо /(т,> +М-. Ф) = - j J j И^О*. цЛ ф — фОтрО^'фОФ'Жр'оо (5.7) Умножив функции р и а на 4 получим функции S и Т, определенные выражениями (1.31) и (1.32). Затем функции р(ц, и', ф — ф') и сг(ц., ц.', ф — ф') можно разложить по азимуту; тогда уравнения (5.7) приобретают вид (5.8) 5.2.2. Асимптотические параметры и функции Введем ряд функций и параметров, необходимых при решении рассматриваемой задачи асимптотическим методом. I. Характеристическое уравнение теории переноса. Имеет вид (1 — VM-) tv (И) = j’ Pm (if* I*') I-v GOV - (5.9) Выполняется строгое исследование уравнения (5.9) при весьма общих предположениях относительно индикатрисы. Для задач индикатрисами вида (1.38) уравнение (5.9) при любых m и ©о ^ 1 имеет конечное число действительных корней v f , симмет ричных по отношению к точке v = 0 в интервале (—1, 1). Пред полагается, что решение tvft, соответствующее каждому из этих корней, нормируется следующим образом: (5.10) Функции ivk с различными индексами k ортогональны в ин тервале (— 1, 1) с весом ц: J ivkivt (ц) Цd\i = 0, 83 k Ф 1. Обозначим норму функции (ц) через М*; тогда 1 J [ С > ) ] 2М и- ЛС = 2 (5-11) 2. Задача Милна. Понимается здесь как решение уравнения (5.5) с граничными условиями: 1м ’ к (0 , и)=0 , ц>0 , /т (—и) т 1м, к (Т, М.)= Vfe — eVk% при т-»-оо. (5.12) мк Граничный режим в задаче Милна обозначен через U k{v)\ функция V t (ц.) определена равенством У £ » = /м ’ *( 0, —|х). (5.13) Система функций 6^(ц.) ортогональна системефункций в по луинтервале (0 , 1) с весом ц.: 1 2 1 /£ > ) £ /Г ( ц ) М ^ = 6«. (5-14) о Введем определение 1 N?, = 2 j UT (ц) i* ( - ц ) |а d\i. (5.15) 3. Коэффициент отражения полубесконечной атмосферы. Гар моники р“ т (ц., мю) коэффициента отражения р“ (ц., цо»Ф— фо) удовлетворяют следующему нелинейному интегральному уравне нию, удобному для численных расчетов: 1 (^+ M ’o)P°°m(jA.М -о)= -^-рт(— IX,|Ло)+-у-Цо \ p m (v', ц)р°°тх 1 XО*', (Л о) + м.0S (Но, I*')Р°°т(^'. M O + d n ' 1 р т W 1 4- w0(i(i' j р°°т (ц, д') dn' j рт (—ц', ц") р°°т ill", Ho) dn". (5.16) Имеют место следующие соотношения между функциями (^(р)» U t( v ) и р°°”Ч ц ,ц '): 1 (-ц ) = 2 \ р^О х, ц ) С » | Л О 1 Mk Uk (ц) = iyk (ц) — 2 J p°°m(ц, ц') iv* (—lO / d\k . 84 (5-17) (5.18) 5.2.3. Асимптотические формулы для однородной атмосферы В дальнейшем ограничимся классом задач с азимутальной симметрией и удержим в асимптотической формуле только глав ные члены, соответствующие наименьшему корню vo уравнения (5.9) при т — 0. Для простоты опустим индексы т = 0 в / (10)(т, ц) и во всех вышеописанных функциях нулевого порядка. 1. Полубесконечная однородная атмосфера. В этом случае ti = оо, и решение уравнения переноса порядка ехр(—%т) (v < < X < 1) имеет вид /оо ( т , ц ) « (т ( £/* ’ I (00 = 1, Uqi (ц)е (5.19) (оо < 1, где = 2 j -ф(p.) U (ц)цй?|л. (5.20) 2. Однородная атмосфера большой оптической толщины. Для конечной атмосферы большой толщины (ti » 1) решение выра жается через соответствующие решения для полубесконечной ат мосферы: а) для О ^ т ^ т , — т* ( т * » 1) M N U ê ~ 2vT' /со ( т , Ц,) — In (т, Ц) = /о о ( т , (i) 1 - N2e - 2xXl 4t/,h / м (^» М1)» (3_ p i)T l+ 6S , (Оо 1, (5.21) /м [0* 1, б) для 1 < т < т, , А, (т, ц) = ми**-™ ' _ # V _2vTl , 4U (3 — Р,) т, + 6 6 (о0 < 1, Т’ /м(т, — Т, (5.22) — м.), (О0= 1. Здесь б = 2 j U (ц) (j.2 d\i\ (5.23) определяется соотношением (5 .20 ). Из формул (5 .2 1 ) и ( 5 .2 2 ) для т = 0 и т = Ti соответственно, учитывая выражения (5.7) после разделения по азимуту и уравне85 ние (5.13), получаем следующие асимптотические в ^р ажения для коэффициентов отражения и пропускания: Р«(М', Но) Рт, (Ц, Ц») = Р<»(И> Но) MNU (ц) U (цо) ё 1 - N 2e~ivXi 4 U (ц) U (цо) ( 3 - Р ,) т ,+ 6 б 2VTi (5.24) 4= 1, ’ MU (a) U (но) e ~ vt| 1 _ N2e - 2VT' От,(|Л, Ио) = «о < 1 » (5.25) 4 U (ц ) U (цо) (3 — P i) т , + 6 6 «о = 1 » Кроме того, при достаточно большом xi области приложения формул (5.21) и (5.22) перекрываются. В таком cj|.y4ae> приме няя асимптотическое приближение для решения з а ^ ачи’ Милна, получаем: /мт, (tih) = j [/ (—и) eVT— Ni (и) е VT], з j-. p. - ---Г7Т— J’ С помощью формулы (5.22) легко получить асимптотического режима в атмосфере: 1 _ N*e~2v" too ^ \ t _ 1. выР.аженне ’ для 0)0' < (5.27) {[» — ( Р ./3)] (Т. — т) + ^ + 6} (3 — Pi) Ti + 66 (5.26) ®о = 1. 5.2.4. Вычисление асимптотических п а р а м е т р у и функций Д ля расчета асимптотических параметров и функций предла гается следующий алгоритм, доказавший свою пригод^ость во мно. гих приложениях. 1. С помощью итераций уравнения (5.9) ищем собственную функцию j' ( h ) при данном v. После каждой итерации решение пе ренормируем так, чтобы сохранялось уравнение (5.10) 2. Последовательными аппроксимациями Уравн^’ния (5.16) определяем коэффициент отражения р00(и, Но) Для п^лубесконечной атмосферы. Для перенормировки используем «соотношение (5.17), в результате чего существенно сокращается чисгло итераций в задачах с малым истинным поглощением. 3. Функцию £/(и), определяющую граничные условия в за даче Милна, находим также с помощью итераций ц-3 уравнения 1 (1 — vh ) U (н) = — J К (н; Ю U О*') dix', (5 28 ) 86 где i К (и. йо) = Р (ц. Но) + 2ц \ р°° (м., ц') р (—мЛ о Но) dll'. (5.29) Для перенормировки используется соотношение (5.14). 5.2.5. Заключение Метод можно перенести на атмосферу, состоящую из несколь ких однородных слоев — каждый с большой оптической толщиной. Более того, развитая теория позволяет получить простые и удоб ные формулы для различных интегральных величин, таких как потоки, плотность радиации и т. п. Глава 6 Проблема аппроксимации индикатрисы рассеяния 6.1. АППРОКСИМАЦИЯ ПИКА ИНДИКАТРИСЫ В НАПРАВЛЕНИИ ВПЕРЕД Для больших рассеивающих частиц индикатриса имеет очень острый пик вблизи угла рассеяния 0° (дифракционный пик); наличие этого пика требует использования большого числа чле нов в разложении (1.38) и увеличивает трудность решения урав нения переноса. С большой степенью точности можно предположить, что радиа ция, рассеянная в этом пике, просто переносится в направлении падающего луча; в таком приближении пик в направлении впе ред представляется дельта-функцией, и индикатриса принимает вид р (cos ft) = 2f6 (1 — cos O') + p (cos 0), (6.1) где б — дельта-функция, a p (cos f t ) — индикатриса без пика. Один из подходов — отсечь пик «на глаз». Из условия норми ровки (1.1) находим 1 2f = 2 — j р (cos ft) d (cos 0), (6.2) —i и перенормированная остаточная индикатриса будет иметь вид p-(cost>)- ><«»»> . (6 .3) Более формальный подход — использовать полиномы Ле жандра в разложении индикатрисы в дельта-функции в выраже нии (6.1). Тогда Р/ = (2/ + 1) f + (1 — f) Рг, (6.4) где р и Р/ — коэффициенты Лежандра для р (cos ft) и р' (cos ft) соответственно. Из уравнения (6.4) получаем Ро = 1, откуда следует коррек тирующая нормировка р' ( cos ft). Ограничение разложения р ' (cos ft) на члене порядка £(р; = 0) при / L предполагает следующий выбор f : f = pL/( 2 L + l) , (6.5) что следует из выражения (6.4), если подставить туда p i = 0. 88 Введя уравнение (6.1) в уравнение переноса (1.23) или (1.26), находим решение эквивалентной задачи с усеченной и нормиро ванной индикатрисой р '(0 ) для атмосферы, где альбедо однократ ного рассеяния (оо и оптическая толщина т' связаны с реальными величинами too и т соотношениями Г' 6о(1— /) «*> = , /С с\ (6.6) т = ( l — coof) .т. (6.7) В дельта-методе Эддингтона (см. п. 4.2) и дельта-двухпото ковом методе (см. п. 4.3) используются уравнения (6.1) и (6.3); разложение р '( co sd ) при этом усекается на L — 2. Соотношения подобия (см. п. 4.1) являются по сути дела частным случаем дельта-приближения индикатрисы с усечением р' ( cos д) при 1 = 1 , что дает / = fr/3 = g. Интенсивность радиации, рассеянной под малыми углами, можно вычислить из индикатрисы, аппроксимированной одной или несколькими функциями Гаусса, т. е. / р{&)= ^ Ai ехр (—a,d2) -j- р (cos &), (6.8) i= i где Ai и а, — константы, которые можно получить, приравняв чет ные моменты действительной индикатрисы и четные моменты при ближенной индикатрисы. можно разложить в ряды Гауссово приближение нения для интенсивности малыми углами: / ■ » ]))= £ _ п = 1 £ 4п При больших углах индикатрису р('О') Лежандра с несколькими членами. позволяет получить аналитические урав солнечной радиации, рассеянной под £ ехр (-Ч )2А ) т = 0 1=0 % (2 ,« ,) n ~ m (Л гагГ "* (п - т ) ! (т - 1) 1 <. ' ’ ' 7 (6.9) где X = (п — т) а, + ( т — 1) а 2 . . . ; т = т / ц 0; А, = 4пАи А2 = 4пА2, |Хо— косинус солнечного зенитного угла; я|)= arcsin[sinф/cos (фVI —Ц 2)]". ф — азимутальный угол (число членов, подлежащих суммиро ванию, равно /) . Это уравнение можно решить с помощью калькулятора; можно также получить обратное уравнение и найти индикатрису по ин тенсивности многократно рассеянного света. Для расчета интенсивности излучения в консервативном облаке с оптической толщиной 1 ^ т ^ 20 использовалась индикатриса с *= 1 и разложенным в ряд с 10 полиномами Лежандра. К дымке с т < 2 и цо > 0,35 применялась индикатриса с i = 6 и | = 0. Оказалось, что результаты с точностью до нескольких процентов совпадают с аналогичными значениями, рассчитанными методом удвоения (см. п. 3.10) при условии, что <р < 35°. 6.2. РАЗЛИЧНЫ Е АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ Широко применяемое разложение по полиномам Лежандра описывается формулой (1.38). Его главное преимущество обсуж дается в п. 1.8. Для представления индикатрисы предлагались и другие ана литические выражения; чаще всего используются следующие: 1) индикатриса Хеньи—Гринстейна ----- п т - , (1 + g — 2g cos ft) I* (6.10) где g — показатель асимметрии, заданный выражением (4.1); 2) двухпараметрическая индикатриса вида р ф ) = 4а* (1 - g T [(1 + g f a - (1 - g f T ' (1 + g2~ 2gcos0')-( (6.11) (она сводится к индикатрисе (6.10) при о = 1/2; это позволяет лучше описать сильноанизотропное рассеяние); 3) индикатриса Кагивады—Калабы » > (* )-— У г - <6-12» где *=2[1»(-£ г )Г 4- T f r f . р(о°) (6ЛЗ> . Р ( 180е) это представление кажется нам менее удачным. Сравнение результатов, вычисленных с помощью этих инди катрис, с точными значениями выявляют большие расхождения. Однако для радиации, излучаемой мощными слоями, аналитиче ские функции дают результаты, которые для некоторых задач мо гут быть достаточно точными. Глава 7 Численное сравнение методов Специальная Рабочая группа Комиссии по радиации сочла по лезным завершить свои сообщения о «Стандартных процедурах по расчету переноса в рассеивающей атмосфере» некоторыми численными сравнениями различных методов. Первая программа сравнений ограничивалась пятью простыми моделями однородной плоскопараллельной атмосферы: три модели описывали различные слои дымки, а две — мощные облачные слои. Программа представлена в п. 7.1.1 в том виде, в каком она была разослана предполагаемым участникам. В п. 7.1.2 приво дятся и обсуждаются полученные результаты. Вторая программа относится к более реальной атмосфере с молекулярным и аэрозольным рассеянием; она обсуждается в п. 7.2.1, а результаты приводятся в п. 7.2.2. 7.1. ОДНОРОДНЫ Е АТМОСФЕРЫ 7.1.1. Программа для численного сравнения методов Задача. Дано: — однородная плоскопараллельная атмосфера с оптической толщиной ti и альбедо однократного рассеяния ©о; — подстилающая поверхность — черная; — облучение солнечным пучком; направление (цо, 0); поток nF = я (F = 1). Рассматривается пять случаев: Случай 1 2 3 4 5 Рассеивающий слой Дымка L Дымка 1 Дымка L Ti 1 1 1 64 64 Облако Ci Облако С\ (Оо 1 0,9 0,9 1,0 0,9 Цо —1 —1 —0,5 —1 —1 Рассеивающие частицы описываются распределением по размерам п(г) и показателем преломления т = 1,33. Следует рассчи тать индикатрису на основе теории Ми для А = 0,7 мкм. Дымка * L: N = 100 см-3; гс — 0,07 мкм; п (г) = 4,9757 X Х Ю 6 г2 ехр (— 15,116 г'/*). * гс — модальный радиус. Он соответствует максимуму функции п (г). 91 Облако Сi: Л/"= 100 см-3; r c = 4 мкм; n (r) = 2,3730 г® exp ( - 3 / 2 г). Приводим выписки из указаний исследователям, участвовав шим в этой части работы. «Для вашего удобства в табл. 1 приводятся соответствующие индикатрисы р (-в-), а в табл. 2 — коэффициенты разложения по полиномам Лежандра для дымок. Желательно получить следующее: — поток F (т) — интенсивность / ( т; ц, <р) для т = 0 , xi/20, ti/10, xi/5, т/2, 3ti/4, t i ; ц = — 1; —0,8; —0,6; —0,4; —0,2; 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1; q> = 0,90, 180° (для случая цо = —0,5). По возможности добейтесь точности 1 %; если это невозможно, дайте ожидаемую точность. Сообщите полное время расчетов для каждого из пяти случаев и точные данные используемой ЭВМ. Если Вы пользовались приближением индикатрисы, сформули руйте, пожалуйста, приближение». 7.1.2. Результаты 7.1.2.1. Светимость (или интенсивность) Приведенные результаты (табл. 3—7) были получены следу ющими методами *: — методом сферических гармоник (Дево: 5 случаев); (Фима: дымка L, случаи 1 и 2); (Карп: 5 случаев); — методом дискретных ординат (Стемнес и Дейл: дымка L 3 случая); — FN-методом (Дево: дымка L, 3 случая, т = 0, xi); — конечно-разностным методом (Саттлз и Баркстром; 5 слу чаев); — методом матричного оператора (Пласс и Каттавар: дымка L, случай 2); — методом последовательных рассеяний (Квенцель: дымка L, 3 случая); — методом Монте-Карло (Михайлов и Кузнецов: 5 случаев; Пласс и Каттавар: дымка L, 3 случая; Макки: облако Си 2 слу чая); — DART-методом (Уитни: дымка L, 3 случая); — асимптотическим методом (Гермогенова и Коновалов: об лако Си 2 случая). В табл. 3—7 приведены интенсивности /(т ; ц) для пяти слу чаев: рассчитанные разными методами. Если метод использовался * Результаты, полученные де Хааном методом удвоения, прибыли, к сожа лению, слишком поздно и не могли быть включены в таблицы. Кроме того, результаты, полученные методом сферических гармоник и /W -методом, тоже опоздали и опубликованы в Benassi et al. (1984) и Garcia and Siewert (1984) (см. список литературы к п. 3.2 и 3.5). 92 ТАБЛИЦА 1. р (%) = 1/2 ( P t + Р 2) Гх! 4л PilAn Pi/4n Г 2 /4 л 0,007271 0,007076 0,007671 0,008289 0,009115 0,01009 0,01109 0,01182 0,01198 0,01190 0,01151 0,01076 0,009716 0,008617 0,007999 0,008362 0,009428 0,01002 0,004962 0,004698 0,004924 0,005184 0,005517 0,005922 0,000452 0,007261 0,007827 0,008499 0,009199 0,009742 0,009894 0,009556 0,009024 0,008969 0,009591 0,01002 0,005708 0,006005 0,007082 0,009455 0,01349 0,02131 0,03073 0,03710 0,03581 0,02503 0,01447 0,01043 0,01088 0,01161 0,01117 0,01074 0,01042 0,01005 0,01029 0,01081 0,01142 0,01518 0,01871 0,02524 0,03317 0,03666 0,04170 0,05055 0,002335 0,002638 0,003284 0,004304 0,005633 0,006496 0,006559 0,005579 0,004549 0,006995 0,01133 0,01377 0,01356 0,01267 0,01294 0,01324 0,01393 0,01498 0,01641 0,01863 0,02128 0,02772 0,03480 0,04374 0,04672 0,02947 0,02698 0,05055 Дымка Z, 0,0 2 ,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 2,415 2,331 2,110 1,819 1,521 1,249 1,014 0,8189 0,6596 0,2816 ' 0,1286 0,06442 0,03550 0,02147 0,01425 0,01037 0,008275 2,415 2,332 2,114. 1,828 1,533 1,262 1,028 0,8323 0,6719 0,2872 0,1293 0,06273 0,03292 0,01870' 0,01155 0,007825 0,005882 110,0 120,0 130,0 135,0 140,0 145,0 150,0 155,0 157,5 160,0 162,5 165,0 167,5 170,0 172,5 175,0 177,5 180,0 Облако с , 0 ,0 1,0 2,0 3 ,0 4 ,0 5 ,0 6 ,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 25,0 35,0 45,0 55,0 65,0 75,0 85,0 95,0 105,0 107,5 110,0 112,5 115,0 117,5 120,0 122,5 133,7 9*,25 35,94 10,54 3,900 2,152 1,483 1,140 0,9335 0,8009 0,7092 0,4684 0,2440 0,1242 0,06121 0,02894 0,01417 0,007188 0,004092 0,002788 0,002416 0,002410 0,002711 0,003195 0,003854 0,004508 0,005096 0,005509 133,7 91,30 36,01 10,56 3,881 2,112 1,448 1,107 0,9062 0,7765 0,6887 0,4624 0,2530 0,1361 0,07150 0,03683 0,01847 0,009110 0,004565 0,002652 0,002064 0,002007 0,002038 0,002020 0,002053 0,002046 0,002064 0,002131 125,0 127,5 130,0 132,5 135,0 137,5 140,0 142,5 145,0 147,5 150,0 152,5 155,0 157,5 160,0 162,0 164,0 166,0 168,0 170,0 172,0 174,0 175,0 176,0 177,0 178,0 179,0 180,0 Примечание. Pi и Р 2 из D. Deirmendjian (1969). Electromagnetic Scattering on bpherical Polydispersions.— Elsevier (Пер. с англ.: Д . Дейрменджан. Рассея ние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частица ми. — М.: Мир, 1971). 93 ТАБЛИЦА 2. р (ft) = У р/Р/ (cos ft), дымка L: L = 50 /=о I Р/ о 1,000000000 26 0,047271098 1 2,412569352 27 0,036174453 2 3,230284584 28 0,031790819 3 3,372619044 29 0,023850873 4 3,230904905 30 0,021270572 5 2,892624280 31 0,015620157 6 2,494764726 32 0,014127594 7 2,112119958 33 0,010136496 8 1,746318359 34 0,009290186 9 1,444832236 35 0,006496147 10 1,174739386 36 0,006023510 11 0,963794295 37 0,004079676 12 0,779478141 38 0,003810597 13 0,638056510 39 0,002455582 14 0,516396858 40 0,002294023 15 0,422216264 41 0,001344100 16 0,343353712 42 0,001250220 17 0,279888320 43 0,000604627 18 0,229480563 44 0,000596397 19 0,185896503 45 0,000220111 20 0,154108346 46 0,000275776 21 0,123618953 47 0,000074326 22 0,103846187 48 0,000133432 23 0,082214820 49 0,000012332 24 0,070085358 50 0,000063550 25 0,054611541 94 i l l ' l l чиш СМ СМ СМ СМСМ СМ <N<N<N<N<N<N<N<N<N I I II II CM —• CM CM CM CM — CM I I I I I I I I I (NI IСО - hI I I NI - Iн фI lO lflO ^ S S O O O N ^ t o o ^ i n o o CO(D OCO —н CD CO N O T f O -H СО ^ Ю N 05 CD C O C O lO S O JO O ^ ^ » ^ COCO СО СО Ю N ^ 00 см см см см ~ 11 11 I1 I 1 11 тг —• тг —• о СО О СО N О С О Ю N « CM CM CM CM CM I СО ^ Ю N O ) CM CM CM CM ~ 1 1 1,601,121,433 ,3 6 3 ,4 8 - O) CD CC05 -и N lO ^ ^ S O O O CMCMCMCMCMCM<N<N<N III I I 1 1I 1I 1I 1 I M О О 05Ю 00СМ N 05 О O O N T fC O ’— C O ^ IO C D N N ^ ^ - •CMCM CM CM CM CM 77 CD 05 CO ^ CO CO смсмсмсм~смсмсмсм I Tt*l0l0T}«N0505— I I I I I I I I' CM COOO О Tf O c D T f - < N S i Ô ^ N O ^ C D ^ ^r l l l i l l ТАБЛИЦА 3. Яркость, случай Метод 1: дымка L, ti CM CO CO CD 05 05 -н N 0 0 ^ ООО CD CM Ю 00 N 05 СО ^ Ю N O ) CD C O ^ l O N » H O O ^ ^ ^ CM CM CM CMCM CM CMCM<NCM<N<NCMCMCM l l l l l l CO CM О CD CM О Ю — 05 О N Ю CD СО Ю 00 CD 05 CO I II II I II I OOIDÔO~CON^CM C D 0 5 0 C M 0 5 0 C M —'CM TfOTTNOl^cD- Ю N 05 CD CO о CM 1C N 05 00 — - и - и О CM N О N 00 CD CM Ю CO Tf Ю T I I I II О 05 CD i—1CO 05 05 r f CO 00 00 О О CD ^ ' CM CM О 00 CM 00 o О T f CD Tf 00 N 05 N 05 CD C O ^ lO N ÔTfN -Too —•—'~ CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM I CM CM CM CM 1 ——— 00 N О N 05 N CO 00 О ^ О CO ^ — CM ^ •O ^ N О ^ CD ^ <N<N<N<N<N<N CM CM CM CM — CM CM CM CM CO CO CM тг CO 05 — N 00 — О Ю CD CM Ю 00 N О CD 05 CM N _ . О N Ю CM CM 05 Tf О CO N О Tf CD —' ^ C O 't l O N TfOO T CM C MCMCM CM 1 1 1 1 1 1 1 CM CD 00 N 00о CM CM CM CM 00 CMCD о 05 CO CO ЮN II II I l l l lЮ lЮl 00 COtJ-IC^ M'N^NO ^ N N О CD N CD CM Ю CO T f i o T з§s s CMCMО ЛCM CM 1 1 1 1 1 1 1 1 CO1 11 CM 00 CM00CMCD о CO 05 CO N Ю CO MCMCM CM CM C 1 1 1 1 1 1 1 111 05 CD о о 00 CO CO 00 CO CM <N 00 CM CD о CO CO ЮN —05 » CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM ~ l l l l l l T CMCMCMCM CM 1 1 1 1 1 1 1 1001 N11 05 N <£CD 00о CMCM CM00CMCD о CO CO ЮN ~- O) I I I ОI ICM ) ЮЮ 00 О 111 T 11 MCMCM CM CM C 1 1 1 I 1 1 1 1 о CD 00 N Ю8 8 CM CM CM00 CMCD о тГ COCOЮN O) CM CM CM CM CM смсмсмсм—•смсмсмсм см—• 0 0 5 00 CO CM CM 05 О 00 CD CD CM CD.00 N СО ^ Ю N 0 5 ---М^ ~Ю Ю 005 T—f О ^ «ССЧ 5 О 0 N N ----CM Tt*--------CD ^------СМ05 00 ^ , ^^ ^^ ^ С М СМ — — о> СО L?5 О СМ 00 со ТГО СМ — — ^ - ^ O O O t f C O - ^ -н CD СМ 05^CM CD О ^ 00 CD *C M —• О о о о II II I II II о I см см см см — см II II 00 CD ^ CM С CМ M Tf CD 00 00 CD ^ CM —« О О О О О О О О О —• — о о о о о 1. . . II см CD ю о о о 95 * с % < N C 4 < N < N - - <N<N<N<N<N — < N C S C 4 — О С4 С4 <N <N <N <N т-« CO (N (N Ю 0 (N C O ^ 0 O 5 М Ю т Г Ю ^ ^ « 05 Ю (N (N (N (N « (N C ^ (N (N ^ СЯ CN CN CN I I I I IN IO fII II N C O lO C O O -fN in ^ ^ ^ ^ CO (N (N CD CO C N C O ^ b - ^ (N (N (N (N « I I III н OS < О <N <N <N —« О II CD '■tf1Ю « « « О I I I I II II 05 CN 00 Ю 05 (N <N CN (N (N ^ ^ (N CN О I I I I I CDI CIOIC DIN CIO O O OIÎ CO 05 (N (N W М М М Ю Ю W C O ^ C O S O O lO ^ lO - ^ « Ю O 0 ~ ~ ~ ~ n c Z (N 00 О 1(NCNCN CN « ———« ( N ( N ( N ( N ~ - * ~ - « ( N < N ( N —« О (N (N CN CN Tf X........................ I I ' 1 1I I I О ^ CO « (N 00 ______ >CD~h» 05 С О00 Ю______________ ^(M05 N ЮOO CO <N -Ч CO CD ^ Ю СО Ю <N (N (N (N ~ч ( N C N < N ( N « ~ ( N ( N ( N « 0 I I I I I - I> OIT tI- 0 I5 Î( NИ0 С ЧIО 5II Ю СЧ е* х о - q o c o q j О iq Ю ~ Ю —« 05 CD Ю Ю 00 ^ h - 05 (N 00 5 « о.* w woo w q q ^ s w o o o iO (D W < N с а О C O (N (N c D ^ ( N C O T T h - ^ ^ c D ^ lO ^ ^ (N (N (N (N — (N (N C N (N ^ — ( N ( N ( N ^ O S . §* 1 ^ ^ CO <N СО Г^ОО 00 ^ Ю <N © CO ^ 05 (N ^ 0 5 0 0 ^ 0 q O O T r i O t ^ . < N < N 00 CO о о £ • ^ ^ <N1 0 0 5 ^ (n c d ^ o i n o o h - c D h - i o g o h - h - o o ( N o o CD _ СЯСЯ o q < N O > 00 Tt* r ^ - < N O О О Ю CD <N C* t ^ ^ ^ O O <и ^ о к В Ч Я # О са Г CN II I I I I <N I IСО Ю I СО СОIСЧI ( N ( N ( N ( N ~ - « ( N ( N ( N ( N —« © СО СЧ СЧ CD CD СЯ CO ^ t*- LI- i—i *—■СЯ СЧ (N CN ^ © Tt* (N <N 05 05 ^ ^ 00 CO <N N ^ O W I II I I II I II I I II I 05 Ю CD Ю Ю O N O - l O N ( D ( D O O - ^ ВЦ и ^ (N 00 Ю -«0 5 05 00 ^ 0 0 q c D (N 4 N CN CN — 2 — О I I IО)I ЮЮОО^МЮМ IЮ I 00I <N I (N I I I I I I tO^NCOWN^rf I I I II I I I Ю II TflClflOi Ю СОО> тСЙЮ о —* оо o> со iq оо оо со h» iq iq <n <n ю о o ^ o o c o n w et О CN (N (N (N 05 ~ ~ < —« —* СЧ СЯ (N —« ~ IIII ~ © IIIIII <N <n cp сч о ю м ^ ю ^ с о 00 t4»CN t4» (N Ю <N 05 00 ^ ~ ~ оо оо со <n ~ СЯ СО Ю 05 ю со ~ч « (N СЯ <N (N (N (N СЧ ^ ~ ~ О II OIi nI TIf l II I I I II I I I I I I CIN I ОI CNI—< O l O N O O i n — r ' JgQ rT SO Ю (N Ю Ю Ю *■ (N CD Tf 0 ) 0 5 N N c D N v n O O N N O O W O S ^ ^),( D . -W N <N СЧ 00 <N 05 00 чГ C O (N (N C D C O <N (N <N <N (N C C .С О . Ю <N © © © Ю CD <N <N< —• < —• CO 0000CO COCN CN——CO CO ■ CO « '- 'C D ____ Ю Ю —<СЯ СО Ю 05 « « « « <N c i ( N ( N ( N ( N - « ~ ( N ( N C N — О (N (N <N —* (N (N I I I I I II I I I I I I I I I IГ>- CDI^ I C DI 0I5 MI I « N O O W tN « W C D - < D O O O O N - 0 5 W ^ -N N CO CD « ^ 0 5 О (N (N 0 0 ( N O 00 ^ Ю t*« Ю 00 00 00 05 СЧ 00 S (N О O O q q t N (N W W W C D N W W T fS ^ *-< c D ^ W ^ (N (N (N (N ~ (N (N (N (N — « ( N C N C N ^ O Ю Ю ~ h— CO ^ lfl^ (N 0 5 S U J 00 C 0 (N « СО Ь - Ю « 05 - ч ~ ~ (N СО Ю CN CN CD CD W lC ^ N O ) S (N CD Tt* 05 h - O O t^ - C D t^ - lO O O f^ f^ O O (N O O C 0 (N C N C D C D « (N C O ^ t ^ - « « C D ^ lO ^ ^ (N (N C N (N « C N (N < N (N « ^ (N (N (N - h O C 0 (N (N C D C D (N C O t J - N - I II II II I I II I II I CN ^ C D 00 0 0 * 0 0 ^ 00 CD T f (N С О ^ Ю -*- (N t } - cD I I II I о 96 СО Ю 05 CNCN (N ~ - (N C O lO 05 00 CD - - « О - « со оо со (N « со r>-iq (N (N CN (N (N I I II I о Is* — О Ш , ^ I I J I Li l l i i 00 ^ O O O O O O O O O - - * (N c i CN (N <N CN ША N (N « (N q « T i- s f N q o o ic S w N ~ О О - <N ^ ^ О <(N (N (N ^ CD 00 o- o o o o -o •.- I I iq iq о о ~ TTTTTe S HSS9 ~ ~ с* с* ^ со CO 11 71 71 7 s? 2 £ 0<N0 CO <N 7 1I I I 7 C O 05 Tt* Ю О <N 1I 00 00 — 00 CN О I T 7 71 7 71 1 1 00 оl CO h*. * C s r>T <N <N I I 1 001 -Li < N CO C CO O Ю o> 00 00 ~ — CN CO Ю О 2 7 8 1 7 CTN1If <NI C7O 007(N со cp 3 о Ю5 R 00 ~ ci CO 00 CN C1O 05I 2^ оЯ 00 ~ 00 (N 00 CO ^ о 00 ~ <N 1 J 1 00 CO Ю O? 77 71 1 CN 1 00 8 — CN ci CN <N 11 05 b- о 1 7 1 11 7 CO CO 8 8 CN — cl 05 ci о 7 71 000751 07О5i Ю s & Ю CO о 0 0 0о0 — — ci CO со I 1 7 71 о О s C CO N 8 CO О 8t*. 8 C N 00 00 — 1— Hо 7 71 1I 1 00 00 ci CN CO О 00 7 A — ci CO 7Ю1 001 Ю 7 71 *И 8 <N s <N to 00 о ci 00 00 7 7 - CO О 1,742 ,2 2 2 ,5 2 - 00 о 71 71 7 7 о Ю 0s0 8 00 CO I 7 1 00 1 8 | Ь— — ci $I0 )I1 0 • 04 °i el w со r** o> 00 CO (O CO 7 7 71 CN Ю CN — 8 О s CN 71 7 71 05 ю r^. 05 о 1 1 со 7со1 7 Cl7 U o о8S ю S CO со ci — CN о 71 71 71 71 7Tt« о1 7 2I I 7 & 7о оT ь7 °о Ю сч оСIО T 00 < 0 s CO (D 00 SO юN о2* 5 5 k $ 0Ю CO о £ 00 8 ^ s ю со C C N 00 CN <N 00 — — —ci 00 со 05 7 71 7 7 © CO 5Ю CO 00 ci 00 05 8 <N _ CO 00 ^ ^ о 1,537- 00 <N <N CN СЯ CN 6 45 8 ci CO CO о о <N О © Ю 7 Зак. № 119 1 7 7 71 о 1 Oi Cl О 00 8 ts ci 00 1 sOCl 4. C 7 97 со I ITt< b-I CN Oi Ю S О ) Ю 00- CO Tf CO ~ со CN T*< CO 00 О 77 1f 7 ? CD 00 © © ~ i I конечных разностей СМСМСМ СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСЧСЧ~« CMCjl CNCNCNCNCM ПК <N CMСМ о ч о. С О * V н X о мк I I I I I О ОО ОC DC CO OC D N О (D СЧ СО СО Ю I сд дискрет ных ор динат последо вательно го рас сеяния Метод FN ш0 = ТАБЛИЦА 4.'Яркость, случай 2: дымка £ it = 1, 5 и: К X X оjg о.О С и X S X ии < sГГ о. 0> •еи а. CMCMCMCMCM CMCOCMCM- h CNCNCNCNCN CN INI NОrf> NCOO> ÔCO Ю cd I OICp~*C I I MI ^TTTTT t^C 0 )0D0C1NО 0 CNlOWO^' - C-----CMCMСОЮIs* I lO Ю CM iiiiiiiи матрич ного опе ратора 0,9, .4 (NCOCOlOSlC-O -CM00 (N ci СОЮN N (N CMC* CMCMCMCM СМСМСМСМСМСМСМСОСМСМ’-н CMCMCMCMCMCMCM IITf CD I CIN cub 0 5 S 00 05 00 W S l 0 ^ e C CD IЮ I CDI CD I Is»I ÎICM 00I Î Tt* CO---CNО CDСОО C O OSlO-OOcDOW COa>h- hiCOCO CO Tf ЮCDCD С Ч С О ^ ^Ю С О —' 0 5 —<оо со CMCOCO^ IDCDCM DART R Tt* <N СЧ.СЧ <N СЧ % 00 CD^co Ю J0-O)WNNCOlOU5« j c l i ^ w o i ’-'cocpoo W СО СО —« ОО СЧ о СЧ СО ^ Ю е CM NCW VСN C Mb С4W МСМ Ч C MCMCNCMCM ___ Ш -■ ё i смоо см см «и CMCjl CNCMCM I I I I I ЙЙЙЗЙ = £ § § § CM CO CM CO i CMCMCMCMCMCM CMCMCMCMCNCMCMCOCMCMi— I I I II I I I II ЮTf COCMCDЮ NN05 05CDCMOOCOCD W 000 0 5 0 s * - < c 0 l 0 l j 5 0S)^ -U C 5O0CD )N ^05 ^ CDOh-CM05—«СОЮСМОО CMСОСОЮCDЮ CMCOCOIDCDCD~*0>~*CMCO CMCMCMCMCMCjl CMCMCMCMCMCMCMCOCMCM—• II I I I I I I I I ^ CDЮ05 00 00 SI OO^h-lOCMcp^Tt*^© -0 5 00sc0№ 0lflcbg3 СО О ^СМ ОО^СМЮ СчООСМ S.S.S® ® ® CMСОСОЮCDЮ CMCOCOIOCDCDÔ>*-HCMCM CMCMCMCMCMCM CMCMCMCMCMCMCMCOCMCM^ mill T s e>T ^.eT'eirttC CM CO CMCMCMCMCMCMCM CDTt*CMЮ CM - с О Ю - н Ю ОоС < О О 00 Ю00 CDсм ю О 00 IЮ CMСМСОЮ CDCM CMCMCMCM IIIи II TTT I I If Tf Ю CDЮCOCDN rf NЮ О CMCD~ Ю00 CDCMOSW СМСМСОЮ CDCM CMCM|CM I I I TTTT IC I NcD I CM I CIOOISCM I CIOfâO I I COCD~ cp COCO ^ CO00 05 CMЬ» CIDCD O CMЮ© CO ^ 0050-SO C M lO lO cD b- O ~ ^-lO 05 COO NN ^ CDOSCOOS^COWCMOOW «CMCO СМСМСОЮt*« CDCM CMCOCOIDCDЮ CMСОСОЮCDCD ' 05 <— CMCMCMCMCMCM CMCMCMCMCMCMCMCOCMCM^ CMCMCMсCMCjl CMCM I 4I'fOOCMO’ I I I —M I I I• I I00I I IICD 05CM «OOTft^-i— 00 00 05 СОО ЮО 05 ■^000 05 ^ о о^ сою ю о о —•Ю to ^ 2 8 2 8 t^Ô> СО CDО SC<0) ~ сою смоо ед Ю00 CDсм о 00Ю CMСОСОЮCDЮ CMCOCOЮCDCD 05 *"-*CMCO CMCMCOlONcDN CMч CMьч CMCM Ч NCM NCM N CMCMCMCMCMCMCMCOCMCM^ CMCMCMCMCMCMCM 1-^CMOCMCDI m u 05 ^^Ю05 CM CDcp 05 00050irt)0— 'lOLOcp I^Ô> COCDCM t^C M05~C 05 i—iO ClO OLC OM CM O00 OCN s s a s CNО 00 ID СМСОСОЮCDID CMCOCOlOCDCD’— '05—<CMCO CMCMCOlO t^CD CM CMCMCMCMCM CNCNCMCMCMCMcMCOCNCM—' CMCMCMCMCMCMCM «Ц шиш I I CI O IN -I T f l O 05 тг ТГ05 05 COCD CMСОСОЮCD 00 CD^CM ~ О о о о* о ши I It^.05lO I I IPcD I IM I CMIcDIOO I Ю I I^ I- -I0 )I 0 0I 5 I _ Э 0 0 0rfC 5 0 -C _______ S CDC Ю CDО Jn-CM05 ^CO • “CM00 Ю00 D~ СМ О ^00 ЮCM CMСОСОЮCD ~ ^ CMCO CMCMСО ЮN 00 CD^ CN CMTf CD00 ôoooopoop^ 00 CD^ CM CM ^ о о o' о о о I I I I I о о 98 CM CM CM CM — g> со 00 T f . . -(N W (D CM CM CM CM I I I I 38*8 — CM Ю CO TTTT соф см о CMCMCMCMCM — CMCM — — (N <N СО Ю S S Tf CO V — — CMCOCO — 0 )0 0 — CMCM II I I I I I I I I I I Iооо«оо I I II tco I Îо Iо «ою (N C D N N O O O O Ю S S S S S 2 9 f e £ 8 a • CM CM CM CM CM CMCMCMCMCM CM CM CM — О IIIII ^ 0 )0 )0 0 (0 I I I II I I II -н О ^ Ю CO ГХ N 00 00 °2 00 £° CO - £2 СО Ю — CD N 0 0 0 )0 — — — — CM ^ CD TfCOlO — — — t^CMO) — CMCM 00 ^ N CM<N<N<NCMCNCM<NCM — О CM CM — — о тг Ю O) CM CD — О — Ю — 0 ) 0 ) — CMCM CMCMCMCMCM — — — — — и IIIIIIIII "^ООсООЮсОЮ —ТГО 4 5 3 S 8 8 8 8 J S 8 2 N S C M C O ^ W O - ^ 00 Tt* О) O ^ O — CM Ю CO (NCOCO^CD Ь ^ С О Ю — - — — C M ^cD — — — — CMCM см смсм см CMCM CMCM CM OCOcO — O) N N §CM4 ~. CO 5 8T. 2^ *■ _£* P S~ O)8 2• - “ g s s s s 7477If 7777° - Hrf*! CM CD CM CM CM CM — о CO — *3* CMCMCMCM<N<NCMCM<N — О T TTT b ~ g < o O O ) <_ , O W cO J — см ю со CM s ssss o T o d - _ : ' N. — CM CMCMCMCMCMCMCMCM — — О JI I I I I I I I I I I I I I I I I I I ^ *0 )O c D — ^ O ^ C O W O N O — O O N O cD C O lO O O ^ f C0(DTfU3O^SNOSlfl CO cmu5coo5cmncono)© — CD <N CD CD ^ -и 00 ^ W W CO CO CO O ^SXNNNCM C M C M C O T f N N ^ C O ^ — — — — CMCOCDO)0)00 — CMCM CM CM CM — CM<NCMCM<NCMCMCM<N — О CMCMCMCMCMCMCMCM О O) — Ю O) Tt* ^5 CM —* CM Ю CD 1 Ш \4 " l O N T f ^ ® - < O S - O O l O OOOOO) ^ C O C D - N N - O СМЮСОО) — N © N 0 ) 0 — CM CM CO ^ N N ^ £ 0 ^ — — 0 ) ( n 2 o o S o o S 5 i 5 o )CO CO 50 CM CDCDCO — 0 0 — COCM — — CMC0cDO)O)00 — CMCM a CM CM — CM <NCM<NCMCMCMCM<NCM — O CMCMCMCMCMCMCMCM — — I I >сою o o )0 (0 О) t£<cd £c5 — CM IT Ю CD ; CM CM o CM , — ~ 8 S ? 3>b1 O) CD CM — CM Ю CD CM CM CM — L c i w CO N ^ c o rr - ■ I I I I I I I I I I CMCMeO^NN^COTr —— -a* cd oo >о — ? r CM CM CM CM CM CM I I I ^_ T00T—TTflO T ®oo ..............A CM — — N CD — N N. CM O) — CD r f Ю 00 Tf CM CD CO CD — ift 00 00 — N Ю N О CM Ю CO 05 CM N CD N О) О — CO CD CM CD CD ^ - 0 0 — 00 CM CM CO CD O) O) 00 — CM CM CM CM CO ^ N N ^ CO ^ — — CM CM CM CM CM CM ——о CM CM CM CM CM CM CM CM CM — о — CM Ю CD О) ^ CD CM — CM Ю CD о — CMCOCDO)0)00 — CMCM - CM CM CMICMCMCMCMCMCM — О CO CD CM 00 ^ O CO CD ------со о in см ю со O) CM N CD N О) О — П АЛ 0 05 О CD ——о JI I I I I I I I I ■ I I II I I I I I I I I I r .f Ю..M OО(О) 0ОЮЮЮNCM A CMcp^NOTfNNONlO CMU5000)CMNCDNO)0 — i i : ' 8 ^ ® J o- i o O) Tf cD CM CM CM CM — CM<N<NCMCMCMCM<NCM — Mi l l . ^ \ СО СО СМ I CM ем 0 5 « S 5 CM CM CO ■'ф N OOCD^CM о ^ C o V -- 77 ТГ O ) О) Ю О) О) О) C СO О со ю о N О О 00 со О) Ю СО ЮОО Tf CO CD ^СМсОсО СО — 00 — со см — — смс0 с0 0 ) 0)00 — см см CMCMCMCMCMCMCMCM — — о 111 II I II II ^О О СО О О О Ю ^СО Ю О N — — O O cO ^lO C O lO O O Tf со« со» см« со• со»w) J r —« оо ■ »—> COCM ■»» — — CMCOCO О) X — CM CM 00 CD ТГ CM CM ^ CD 00 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 — 7II ю о 99 CM r f CD 00 —о о о* о о о о> ро оо *— I I 11 о о 7* о <NCM<N<N<N<NCSI<NCM — O сч ~ Т* т г* ° о 7 7 71 7Ю1 71 Т 7 С|О СО CN ” зСО 002 £ 8СЯ & СО СЯ со 1 1 *-« О 7 I1 7 тЛю 7СЯ 71 7 т 705 ю1 СО * 00 2 о 2 СО (N СЯ СО ? 7 7 ю7 7J[ т<Nт1 71 C7N 71 со CN5 00 58 00 « — • *■* со <N ю (О О fe < Ю 1 100 1о 00 СО N О) ci 04 n СО N N N N M i 00l — *. 05^С О — I Oi СО — S3 t>со *1 °i N С Я ся о м м ш s CD о l Я Ю СЯ С СЯ СЯ СО I I I ю rf СО --« 05 СЯ ■<** со СЯ СЯ Ю СО СО СЯ t^О (О N ^ ся (N 7 Т 1 со ся ю _ СО ь- СО 00 СЯ О 7 71 fH I 1 05 05 О О) СЯ СЯ 7 о СО 00 СЯ 1 7 о 1 05 ся СЯ со 00 со о> я 8 * 8 -< <N СО СЯ * 1 3СЯ »и 1 СЯ 00 71 о СО 05 00 1 со СЯ о 1 7 1 00 8 1 К СЯ со СЯ т 7 7 7 71 fc 3 S 1 к 00 05 * СЯ ьГ — СЯ со СЯ »-* о 7 т 1 1 7 О) СЯ S 1 $ 1 ? 7 О) ь(N О 8 ьСЯ О Я 1>СЯ 00 СО ^ CN СЯ ^ О О О О О со ттт 100 сю "о --' 00 СЯ со — *-н 1 1 1 7 7 СЯ о 05 ? 2 3. 8 * 8 СЯ СО СЯ СЯ Tf СО 00 т? т т о X * ттттт® smsi СМСМ~ч — —« О С М С Ч ^ — - * 0 * —— «СМООСМСМ—« ~ —* 0 0 0 —«~ С О II I I I I I I I I I I I I I I I II I III S^(Drt<D(NlOO)0)U50flOOWO)OOlO’-'0>(NW(DlONOOO«DN см;о~сосо~см;о~оо;о~юсо^ооюсмю~оосо~-«о>~г^.^аГ CM CM СМ — тг Ю 00^ -7«-7« CM CO <N Cjl Y Y Y ° Y ° CO CO ( N O tT C N N О ^ М О О )О Ю Ю О О О Ю ^ С О О T T ^ ^ i* H i0 ts ,O N(D^C0CD (NOD-CO^ lO^'tO)lONlO-COeÔ)^S->H СМСМ~-«^*-нО С М ~ — h Y I I I IО I IЮ I ОI 00 ОI ОI^’ ~ т*< ~ ю ~ < оо < ~ C M 0 0 C M jC M ~ —« ~ ~ ~ O ~ * - i CM ОС < Q I I I О~*Ь-~*©сЬс0Г^.00 I I I I I I I I I I00^Ю I IЮ I 00©0>СМГ^.Ю I I I I I I Iс0~*~*с000 I I I —• Г^СМЮ 0 0 CO 0 0 Ф О о ~ Й5 CO CO t * . Ь - ~ СО Ю - « CN cm ~ ^ r>^ ~ ю~~смт£~ю~~смтРоГчРсо^аГю^о>~смт£аГао~^^^ 2(и W ^ O ^ O ) C N W ^ - W ^ « O ) 0 C O O ) W O ) O ' t - l O O O ^ O > * - ' W W С М С М ~ ^ -^ О С М С М — — ~ < 0 — ~ ~ С М С 0 С М С М ~ - н ^ О - « О - « — CM со m оu xк о о х 25S5 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I III 00© OOt>O D-* « ю-«0>CO ю м 1C04fCO 5 0 - ^ T*«© ^ м 1004fO 1 5 Ô0OсO0OO -<-tftÔ 0 0>Tj<CO 0 ) ь cO OO CO^r^CO O ÔSOU cDO (NcD^COcD'-'NcD^COcD-lOcDÔOlOînÔOcDÔl-S'H^ CM CM —« о I I I I —' O ( N N ^ ^ - * O ^ - ’- ' W C 0 N W - * - ' ^ O » h I I I I I I I I I I I I I I I I I O »h - W I I I „ OON-*^WOO)0)TfOONSO<0*HrtONNOOO)COOgcOÔ>»OW N c D O N W W W Q W O O i n ^ N i f l N c D N C J ' H l O t f i N f l O l f l c D W l f l ^ 11 ( N T n n W l O O - O ^ - ' l O - ' O f O - < 0 O a ) N C O O ^ ^ O - < N ^ O В* X « Я 2 Ь 0_г 4> Н Ч °*2 0 ас о* U 4> х ft I I I оIа> I --------------------------I юIо оI о IсмI^оIо а > сIо оIо аI> Iа >I с мIо оM . I смI ~I о о оlю дIо„т }1« q>*-« с о оо>оо о00 О см ООО)tâscoco^cNôooôoooo^cpocoQDooooot^coooio^ 0> со 'IO W W O - ^ ^ N IO ^ O O O - c D O O S W O ^ - 'O ^ S c D O (N r fin C N W С^СО^СОСО^С^СО^СОСО^ЮСО^ООЮС^Ю^СОСО—'0 ) ^ 1 ^ - — С М С М ~ ч ~ ч ~ -« С Я С М _ _______ II II II M I I II II II II I O^^ÔOCN<±>lbCNc6lOOOS-lOCN<bt>.Ob^^-.tOOOpO)Q-.CO Г * ~ © ^ ~ Т ' * 7 ' С ' 1 0 р С ^ С * - г * 7 * - 7 « © - | ,« С > " | * ~ С^ 5. *5 ' СМСМ—<^^^СМ СМ ^^*ч© *-«^-чСМ С0СМ СМ —« ^ ^ © ^ © ^ ^ C M W O lO W C O lO O O N lO W (p S O O ^ ^ -< О О О —< 0 ) С О С О ’^ С О ,^ О О О Т Г О О О О О О Т Р С Р О > ’^ С О О О О > О О Г ^ С О О О Ю ^ ТАБЛИЦА Яркость, случай 3: дымка L, Ti = 1, ю0 = 0,9, ц0 = —0,5, ф I I сIо оI о о С М с О - ч О О с О ^ С М с О ^ О О с О ^ Ю с О ^ О О Ю —' l O ^ C O C O ^ O ^ t ^ WlOlOWfl)O-^^WlO-OWp-0OO)NCOO^Ô«ScDO — * —* CN CN C M —« ~ * - « © ^ - « - « С М е О С М С Ч " 7 ' ~ - UQ О1 WI I^ . -i«~~ II М Ю I I1 ППт I 11 I I I I I I«СОООООО^СМ^ I I II I ^ ^ ССМЮ1 т ^^ЮСМаОСОО>~СО— Ю С М О О С О О > ^ С О —< C p Q Q O O O )^ (N ^ 00 о *-« o> CO TfCOÔOO^TOOOOOO^tÔW cOOOOSOOcOcOOOlO-* CNlOlOCM Ю ~ сотгооо^оооооотгь-о^соооФООсрсооою^ ~ см OCO^CDOONOO О O ^NO O CM CO —• CO CO O O c O r^ G M счсо*-«оосо—« ю с о ^ о о ю ^ ю —< o o c o ~ a > — О О с О 'Ф С М CN ^ Ю 0 0 00 Ю ^ CM CN CO 0 0 ^ O O O O O ^ O O O O O Q O Q O —< ^ O O O O O O O O Q ^ T IT II 101 II II I X 3 2 CM о о о 1 1 1 1 1 1 1 CM CO Tt* CMсо ю <g 05 b- о CM00 CM c i <o — —Ю 7 £ W W - ^ ^ H ОС < о Й ОО* X е( X к а 4> Л <1>Д е; Ч и * О «о и ОН® ( N W ( N ' H - - 0 0 0 - ( N C O О О О >g ( N ..п O IO S 05 05 СО ЮсОСМ СМ Ю Tt« ( N ( N - - < 0 0 0 f ^ ~ ( N O 5 O 5 c £ ) < N 0 0 ( N —« T r O O O S O C O C N c O T t f i n O ^ C N —< ^ 0 0 5 0 ^ с 0 т г - ^ N 2 о к о о о - 0 0 0 - ' ( N МММ 0>ТМОСМСОО>СМСООО o ^ ~ o o t-c o < o r-< N T f ~ C 0 0 0 (N 0 0 ~ c ic M МCMМ М МCM МtÔO I^lO МOOIOOJOO-tf’^М М IIII CO CMO OcOOJ-tfCMr^cO Ô^br^^CMCMOOcOCO СО 00 2 (ь 0 0 (N (N (N -« 0 0 0 о о о 1—<1 1 1 00 05 со О 1 о см см СО см со см см 1 ! 1 1 1т т 1 1 1 1 1 1 CMсо с* см 05 ю 05 ю см ТГ ю 00 00 со см °1 со 00 c i <о CMCM 1 1T T T 1 1 1 1 1 05 CO05 о 00 <q 00 c i <£) о см см см о о о о т 1т 1 1т 1 1 1 1 1 1 1 1 ю 9S 05 4f о о со COо ю 00 ю о 00 00 ю 05 ьГ — — — c i см ю — со о W * СООО - - - O O Г 1—11— Г СО c i i—• СО t"» O O - N « C 0 < N СО t4*- * h - O c i C M ^N N '-'C O C D C M ID O O O - « « ( N N ( N ' CMCM - - O O O M M I М М М I М М М II C O ^fÔSCM ÔOOO cOOÔO—«С М С М Ю 05;£)С 0^ф ~Ю С М —' — СМГ^-СОООЮ ^ Т Г О > О О Ю О ) С О Ю Т ) < ^ О ^ С С ^ Ю ^ О С М Ь О О Ф С О С М О Ю '- < Ю Ю ^ Ь О ) 05 — f". — —•'tO )C O O O C O (D O O M O O O O O O '-. соо —• 05 ''tf <0 05 <0 J4» CM ( N N - - - 0 0 0 0 - « - n ( N ( N - - « 0 0 0 0 - ( N n N ( N N - - 0 0 0 M IM M IM M M M M M TfOOWO5^^CDOCO0SOO^lOÔOlC(NOOin(NON^TfO)O5CMOOO5 «05h-C005C0l04'fr,ÔTri000'ifOOCM;0fÔf^<M05C0;04fr'T*'^;000 t4O)-S--Ô5COOOW0SMOOOOOO-NSOOO5CO0O)0SN ~тг~смсо-«~-«~оосмо>см<о^^~~смсм10^^~смоосмьГ^смсц (NCy)FH ^ ^ O O O O ' H ( N C 0 ( N ( N - - O O O O ' - ' ( N m ( N ( N ( N - - ' O O O р О^. 4> Н * Ч о.« и х о. иV Xс е( О M IM M M I MO)CDCOTt<NO)rt'CM M M ^-'(NOOCOOOlO M M O)C5CDO5<NTfOOOO0OCO'rfO^(NW D у0 -Э <фi o^ -ЮO ^( ОN СN ЧO ' O O )----------------l O n O >-- D * H--------0 i O - l ‘S O~) ^______ С О О______ ^00 ОЮ О ______ Ю C ОOЮ __ О Ю i^ O Т c' О --------05 fSlO ) ^ N ^ ^ ^ O ) C O O O C O 0 ( N N l O O O O O O ^ 0 N O ^ O ) ' ^ 0 O ) C D N ( N i i t i COCMO) W <0 ~ ^ i—• i—• CM CMЮ ''tf1''tf1>—• CM00 CMf"- к CMCM i—i Tf —<c i ID i-4 CMCOCMCMCM—« ^ « 0 0 0 CMCM—• —'^ O O O O ^ C M C p C M C M — — O O O O * W C M - - - 0 0 00-<N «< N (N -'-'0 000-<NC9WW<N*:< W>l WV W>l ^ » -0 0 0 I I I I I I I I I I I I IIIIIIII Ю <0< ^^*05 < I'- Ю^ 4 00 <0 ^ CM ^ О О О О О CM О О CO00 О О 00 CO ^CM к ^ О О О II Ю о 102 О О CM ^ CD 00 О О О О ’TIT - CN 00 <N 00 CD - г ' ^ О О CM О О CM О р TI — о © © — см CSI CM CM C j l C j l CM ян 5 4) 8* О «О * о. Ю — ^ ^ ^ O СМ СМ O O 00 со с о ю О CM Ю ю X U. о О * «=( * к в V л е? Ч О D V О о (*2 х а 2 * н « £ o 2 5* о _, Htq g u g «=( о сCN м СМ~ см N- оо x O О O CMCM CM CM CM О O ^— N О N N CO — CM CM N 00 o — О О — О — § I I II I O с C M C O ^C O O O CM CO ^ CM CM CM — CM CO CO CO CO CM CM CM CMCMCMCMCM I I I I I Г ^С М С О Ю Ю c o c o r ^ o o c q — N м N с O о т р Ю Ю О О ^ С О Ю O oo coooco — — о о > с м CO 0 0 — CM CM CM — — — — С О Ю Ю Ю С М С М ^ CMCOCOCOCOCMCMCM I I II II I II II I II II I I II lO , АO. lflT fcO ^ SS ч* — 00 — — О С М ч * см ою —смг^ сооосо^ ^ смсофосмФ осо *** 0 5 0 5 C 0 - C M — C M O c O O — — CO OC OO CO NC OC O N Ю N — — Z 0) ± hH X — ( D - N O l f l CM СО О ч * CO- — jrÔ > G > C M CM C O r f с о 00* l > ^ I N С О О О dС О — CM С М сСО О i— О N с о см с о ^ — см с о Н а < о 58832 >$& > ю 1——со S СО Ю — <N — CMCM00 — О О О — CM 01 o0 N 00 O O C O ^______ O ) _______ ) SЛ N С О СО Ю — cm cm n — О О Cjl — О — CM 05 — — — Ю Г ^ О О — — — — О О Ю С О Ю ^ С О Ь с м с м с м с м с м с м с м с м с м с м с м с м с м с о с о с о — см см см II II II I II I II II I I I I I I — CM Ю Ю 0 5 — o e o s m c m q > 0 5 «0 ООСОЮСО'ФСО^Ю^СООЮ—«о —c— rôco — W < N S C ) 0 ) N - О Ю N O ’' t О — N - 0^ o > ^ < » CO CMCOCMOCM c M c o ^ t o o o t o c M c o ^ t o o 5 o o — с о ю ^ ю - CM^* CMCMCMCMCMCM CM CM CM CM CM CM CM C0C0C0C0CM CM CM II II II II I I II I I I II I 'I ‘ г^ооооюг^ооооо^юг^о>г^1^о _____ СМ ООСОСОСООСО^СОООЮЮО^О)^!^ M W C O O O S C O -O ^ N O O C O O -O O O O O C M ю ^ * — о > с м о о с р с о О Ю С О О О О ^ О О N - N - CM CM C O — CM ^ 00 1“ СО t o 00 с м с о ^ с о о о с о с м с о ^ с о о о о о CM смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсмсмсмсососососмсмсм — Ю CM — — CM CM N оо о III — II N» С — W СО СО Ю C M C O ^ C O O O C O C M C O ^ C O O O O — C M C M N 00 — CM — 0 0 III о — CM II Ю О С М — — C000CM г с ф о ю N -N C M C M ^ — л о о — CO СО СО Ю — CM CM N» 00 ^ ю — см ^ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I N C O N - - ^ O C O M C O N O J O i n O N r ^ N - C M C M ^ — CMCO — г ^ ю C O N N 0 0 СО Ю N ^ ^ ^ Ю 0 0 0 5 C O CO — C O C M tO N O S C M C M O co«^ со-^ю^г^осо-юоосрог^см S O > 0 ) N - O W N O - ^ $ - N O O X C O С О Ю ^ Ю С М С М ^ * CM CM <NCM CM CM CM CM CM CM CM CM CM COCOCOCOCM CM CM I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O C M ^C O N CM O TfC O C O N — ^ O ^ l O t O O O O O N О О С О Ю С О ^ О ^ Ю ^ Ь Ф Ь — N i-i — N O cO — CMCM N. 05 O) N —, О Ю N O — 05—I n o О 00 CO CMCO^COOOCOCMCO^COOOO— С О Ю т ^ Ю — СМтР о о о —CM CMCMCMCMCM N. N ——СОО) ю О) о ю о n I I I I I 00 — О — N с о ю cm CM CM N - О CO cm О - C O ^ 0 0 ^ W < p - C O O ) N O 5 N c O T f m ^ t c o o o — O c o — o c p o c o — - - O l f l N O ^ ^ a ) — N 0 0 5 0 0 0 0 СО СО — СМ СМ N 0 0 CM C O ^ 00 CM C O T t СО О 00 CM ’S f СО 0 0 ~ СМ a 0 0 СО см ^ — — со TT°ffff CO 0 0 CO T t CM < N CM CM CM CM CM CM CO CO CO CO CM CM CM I I I I I I I I I I I I I I 00 to CM — СО Ю CM ^ ?*• Ю — CO 0 0 CM 0 0 CO —О О*О* О О —О О* О О*О О О О О ——о" о о о 103 2 <я CM CM СМСМСМСОСМСМСМСМСМСМ II CMCSCNCMCMCOCMCMCMCM I I I I I I I I I I юО О_ СО 00 см см см см см I I I I .................... .© о о СО 0 0 © О О) о ю ю о Ю СО О Ю © «о Ю N N Ю СМ — — © — — СМСОЮОО N N ^ t b O J l f J c D N O O СО СО © © © Г*. СО — Ю ^СМ СМ — — 00;— СМ СО СО ©© ю ^© - s©sю ООСОЮ’* * ^ Н ОС < Q СМ — — смсмсмсмсмсмсмсмсм — — CMCMCMCMCMCMCM<NCM—« — — — СМ СМ СМ 2Cl, «о r i X © Th со С О С М С О О О С О Г ^ О О О — С О О — « CM СО CM ^ ©_ — — O____ O C M_ CMCOCOOOOCM I I I I I I II I I I I II I I I I I I I I I I I I I II I <NCM<N<N<N<NCO<N<N<N<N<N<N<N<N<N<NCM<NCO<^<N<N<N — <N<N<N<N<N I I I I I I I I I I I I ОIЮ I^ ОIО сIО I© ЮI ОIО ЮI ©I —I ©I I —I Ю—0)г^ ^*©Ю ю© г <0 00 0©©0 ©) © гГ ^ ^т т» — © -Ф О О Ю Ю О О С О О О О С О О О С О — © © CO CO CM © —« © СЧ CO CM СО Ь - 0 0 © 0 0 со©оосм — — © — — см сосооо© ю см см — см © — I о о; J u S OOS„ е* Я К « £ >Н « «У : а " cm c o i ^ — © с о ю т^ гР <N<NCMCMCM<NC0CMCMCM<NCM<N<NCM<NCM<N<NC0<N<N<N<N— <N<N<N<N<N I I I I— СМСМ^СМ^*©Т^ООООСОСО I I I I I I I I I I I I— т?*С I I МIГ^© I ГÎ 00I IЮ 00I —I соI I соI I смI с м - 5 ^ 0 ^ K^8cn! © ^ < n 00 _______ О) Sк . К ^ О ) Г ^ Г ^ . ^ © г ^ © Г ^ ^ Г ^ О ) 00Г^-©жО ) — О )© С О С О С М О )© © — со см со 00 © СО 0 0 00 СМ — — О) — — СМСОЮООО)ЮСМСМ — СМ О) — CM СО iC — C i c o i o ^ t ^ х а CM<N<NCM<NCMCOCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCOCMCMCMCM— смсмсмсмсм н о ©©СМ©СОСМаО — © — С О © — ^ © — f'-'^C O Ô O — f^4flOOO©COCM © 3* 5* 2 О. соrj й ийо.^ <и я с «3 О I I II I I I I I I II I II I II I II I I I I II I I I ю — с о ю с м ^ © — — © с м с м ^ с о © о о с м © © с о о о ю ю о о с о о о 1^ с о о о ю - СП ^ ^ ^ ^ ^ 00 © © 00 © 00 - © СО СО < N O > - © < N c O < N c O l «О О О О С М — — О — — С М С О « 0 0 0 0 ) 1 0 С М С М — С М О — СМ СОГ^Г — O i C O l O ^ ^ t CM <N<NCNCM CM CO CM CM CNCM CM CM CM CM CM CM CM CM CO CM CM <NCM — C M <N <N <N C M I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I © С М © С М Ю С О ^ С О Ю О О ^ © ^ *Ю 1 Л 1 Л © ^ < Р © Ю © ^ С О Ю Ю Ю С М О О Ю I ю с м с о © с м ^ — — —о о с м с м ^ ^ ^ о о с о - © ^ о о ю ю о о с о © о о ^ о о © ю _ О, ^ о ю СО©ООСМ — — © о г ^ о о © © оо © об - © — — C M C O C O O O © lO C M C M - © с о с о <n © - © С М ~© — C M ^ C O t^ - <n с о <n со г - © ~ С О Ю ^ ^ смсмсмсмсмсмсосмсмсмсмсмсмсмсмсмсмсмсмсосмсмсмсм^смсмсмсмсм ■ 1 1 1 1 1 Ч ю — w* I I I I I I I I I I I I I I I И I I I I I —ю г ^ с м ю с о ч г о о о о о ю ^ ^ г ^ о ^ о о ^ г с р с о — ^ © — X.W — — оосмсмсооооог^со — © ^ i ^ ^ w r ^ w o o r ^ ^ o o t o Ю © ^ СМ ^ СО 00 00 © О • © 00 — О оо со ^ см СМ © СО СО СМ О СО 00 — © СМ СО см Ф •* •*00 СМ ——О) ——СМ СО со 00О) ЮСМ СМ —СМ О) —СМ СО Ь»*ч О)••« о*ю« «ь»* СDO ^ см © 00 СО ^ см СМ ^ со 00 ©©©©©©© ——©©©©©©©©© ——©"©©© ©© © © © - ’??Т a lO © © 104 CM Cjl СЦ Cjl Cjl Cjj О Ф 05 Ф ю со SsisiS! СО ^ 0 ) 0 0 ЯАВА*Л см со 00 00 i> »л X а * ) 33 О X § * с ч с о с о см см см * £ н а < о £ IIIII (О О *■* S о « «US п( я к e- 2° * b£ ч 4 H S£S S ft ь O^. UH4 Q.C0O xa aw v x e »=l о I II II 0 1 Л Ю Ю Ю 7 7 7 7 7 см см см см см см ся см о о о ю ю S lfl N lilf l СО 05 О ^ О ^ СО СЯ О) Ь> СМ СО СО Ю СО см см с о о ю со со Ь»СМО ^О>^ ^ O O > 0N СОСО О) 00 СОСОСО О) О) 00 00 00 1 — см см см см см см см см см о о о с о —< а о о ) с м о о с о о ) с м о о с о о о ю а ^ ^ о о 1 0 с о ^ О )^ 1 0 с о ^ о о с м с м * -н о 5 с о ьГ ^ ^ « iC - ~ - - - - - см~см~c i - - О) C O c O O t ^ iO ^ ^ ^ COCMCMCMCM—' — — и | | м II II I II II II СМСЯСЧСМСМСМСМСЯСМ ^ O ) —* 00г^с 0 с0 с0 ~ * 0)000000 CO CO CO CM CM CM Y О ) 00 CM CM Tf о ‘n its СЯ I ^ - . ^ o ^ o > C M C O T flD ь ю с м с о с о jC jiC jlC jlC jlC jlC jlC jlC jl Cjl CM Cjl CM CM C jl C j* Cjl Cjl Cjl О С М ^ О ^ ^ Ю ^ Ю с О с О ^ С О С М — CM^CO смюсо-^г»<о>со»-г^1^юог^о^о>о N ( N 0 ) 0 0 ) CM T f CM 0 0 О O O O fN O O O N ^ ’ oo>oo>^coooococot>-cM oa)0>coco о 00 O O c O C O lO t^ O iO iC M C O 0 0 > 0 > 0 > c 0 *^ 0 0 0 0 0 < 0 8528SS5S88 Т } * ю ^ ^ ^ 0 ) ^ 0 0 г ^ с 0 с 0 с 0 0 ) 0 > 0 0 00 00 C M C O T flO « O lO C M C O C O TTTTTTTTTTTTTTTTT ^^■^■юсо^ь-оосОсососо^о^^осо C 00> 0 T t * - H C M ’^ 'C M l ^ O O C O T t < ^ <r t , C O —< 1 ^ o o o o ) T*-eoooocototôooo)0)oooo ^lO^^«ôTÔOt>T<0<0<0*-^0)000000 ттттттттттттттит о SB о. ^оооог^«оо —сосо Ю ^П<Ю Ю Ю 1П^^ ТТТТТТ ттт Ю СО^ ^ ТТТТТТТ0 .«ООСОСМСМ!СО^СО^ C M O O O ^ ^ C M ^ C O t ^ O O C O O S ^ l O C O ^ t ^ т* ю <0 — см см см см см см см см см см см см см см I I I I I I IT I 0 о оо)^ еою ю еою 0 0 0 0 0 0 0 1 ^ Ф ’« * ^ * ^ N *н*н^О ^^О О ) СМСОт^ЮГ^ЮСМСОСО C jIC M C M C M C jlC jlC M ( N C jl О Ф О О Ю ^ О )О О с О C M 0 0 O T t ‘ - * C M ^ C 0 0 0 0 > ’« * - * ^ l S 0 0 ^ 0 Q 00)00) ^сооаососог^сооо)0)сол oС oМo ^ ) oôôОi ^С iО ^^ ^О * rО: ^ r <00t^ c0t^ c0-^ 0)000000 с м о о ^ ю г^ ю с м с о о о СО с о СМ С Я - и см — • СМ СЯ CS см —< с я см с я ся см см см см см см см см с йо ^СМ^ ^ д о с м с о ю х а ) ^ Й Ж Я 5 : О Л^СМ Г^0000 О О) О) со со СМ 0 0 C O O ) 00 О ^ О ) 00 СМ СМ О ^ ^ —ГоОГ>Г«ОсО ~& 000000 см" СО C M ^ tO O O CN ^ с о о о о ^ '-ООО СО«6 К О ) O O t J . _ ^ о 0 0 СО « о ^ ю ~ т*. °O C O ^ (N * -^ 000 0 0 0 0 0 0 * ^ 0 0 0 0 0 . IIIII II II I I I II ю 0 0 CO ^ со ^ ^ см см со со CM ° 0 CO ^ 0 0 0 0 0 ^ 0 0 о 105 III аг т* ас О * аса с И I I II I 1 II I I I I I I I I I I О) со о со —о м о м д I O S O C O O < O C O O - 00 <N<NСОСО<N I I I I I N000005 05 СОСОО О — СО^ СО— —Са СО^ Ю са —00 СО— COCOCOCO<NCN<N<N<N<N I I со о ч* СО O fN O O J O ^ lN -IN in t"-CO<N—<i n< N < N C O ^C O C 0C 0C 0C 0<N <N <N C Q <N <N н a < а < N < N < N C O C O C O C O C O < N (N C a C N < N < N < N C O C O C O 2~ ц cl СО о 0 0 cl — О ' сасоооосаот^сао)ооо)^сосадр-ососасо —« о с а с а о о о с о о ю са со со о ca t^. о ca — — — ю О) ю са о — — ю oo ^ ю —oo oo ca ю о II I I I I I I I II I II I I I I <N <N <N<N<N<N<N<N<N<N<N I I I I I I II I II с а о с о с о ю о г ^ с о о о о о о о с о ^ с о — 00 — — o o c o c a r fo c a c a — О) 00 ' f оо ю сч ^ са — о с о о о о о о ю с а — СО СО Ю rt*— о о о с о о о о о о ^ тмо ю со ca — - со ^ ^ — сосососо^юса — — — са < N < N C 4 C 0 C 0 C 0 C 0 C 0 < N C ^ < N < N C S IC 4 < N C 0 C 0 C 0 C ^ < N < N < N < N C N < N < N C 4 C 0 C ^ < N ...............................I I I I I I I I I I I .............................. CO O <N^CD^NOO>OON'-05W N^fOW O N^<NcDlOOO-'tOO'-0 юг^соо)соса — ю — сасоюсосо—n ^ co — —са"соч*сососо —oor^Tca" <N <N <N C O C O C O C O C O <N <N <N <N <N <N <N C O C O C O <N <N <N <N <N <N <N <N <N CO C O <N §§£« < U3 Ч Ч О О tl u о H «0 e a s HoK *8,0 i* «=t о ............................................ i 00 ' l—l00 ! I I I I I I I I I I I I | | ! -Ю ,< ш ш <NО О <N00 О №00 СО0^00 ^ ^ О S WЮ^ S - 1ДО - О юсо<оо)соса—ю —сасоюсосо —n^co ——caco^cococo —0)Ь»са l D N N N O ^ < N O N l / 5 0 0 - O O c D O O O ) 6 ( N ' t 0 6 ( D O O O O O O ( D O ) N ini'Ô CO X-<NO )-H «lfl(N N N ininO )^^^tO O O N <N in<Ni5<N O <Njra<NCOCOCpCOCp<N<N<N<N<N<N<NCOCOCO<N<N<N<N<N<N<N<N<NCOCO<N i— i— и—01) 7 i i— i оi — i ooи—0и) 0 — i oioooo i i и—оi — i coca i i —i cai соi oo ю î 0i) î тго> o c a c a o s « c a 0 O c a o o o ^ O )c o c a --- ^ N c o ^ o « o o ^ c o o c o o c a ^ c o - s o o eoO N Ô )ios^cow os ^ca c o m o o -^ o o -o io i^co o )co ci —locacacoiococo — r^ ^ c o — — caco^cococo — o o s w cacacacocococococaca<Ncacaca<Ncocococa<Nca<Ncacacacacacococa I 0I0 )IO IC OI OIW IC OI OIO CI aIo OI OI> l IO MI cIp oIO cI OIO W I iIn cIO NI OI) t ID »IO NI NIWI- ©I o”N <Я. —ca. OCON — cas0)0000>0)c0 05c0 — — — rpNCaWOOOS - COоO со s о ф oo n о oo ю s ^ со ю о г^^сасоюг^ —ôo— ujscooeoca - io —cacoiocoto —r^T^co ——caco^cococo —oor^Tca cacacacodcaco^cacacacacac^cacocococacacacacacacMcacacococa II I II I I И I II I II I II I II I II II II I I © c a ~ « — N cO O )S d )S O O C M O lfiC O O O O )- — w o ^ o c o ^ t o - ca^CMcocoo)—cpo)ca — —d i f t O ) î o <N o )Ю o О—N —ю оог»*ю ооооооо)^д СО О ^ *5 со O N <5 0 5 00 N - O) ^ ^<N СОЮ Tt N —О ю ьГ о) coca — ю —са сою со оо со ^ см — t ^ ^ c o — — сасот^со са ^ со оо оо со ^ са со —oor^Tca са тг со оо ОООООСЭО ——ОО О О О О О О О ——ОООООО 106 ТТТ' см СМ СМ СМ СМ СМ II I I II ё* 5* сяо с о о т г ю < Я 55 со ю ^ е о е о оо С * COCM<N<N<N <NCM<N<NCMCOCOCO<N<N <N<N<N<N<N СМ СМ СМ см СМ Ю——Ю О COOON ЮСОЮЮ NCD О CONCDOW 00 — — СМ ч* ^СМ I II I I II И I И I II Is- СО 0 0 t> . СО СО 0 0 0 0 СО О 00 ^ 00 — — т ^ С О Ю О О — СМ~ M Оi l' l I I I I I СО — 1^001 — со см со ю со см c i со ^ со со оо ^ СМСМСМСМСМСМС^СМСМСМСМООООСОСМСМСМСМСМСМСМ — СМ — СМ — — — н ОС < а I I I I I I I I I II I I I I II I I I I I I I СО — 00 О ^ 00 —р о о —слсрсм^г^сог^сосмгь^смг^сососою — 00 — О ^ OOOCMOOcOtÔOCMlO — О) СО 00 СМ 00 — COO — — — СО СМ — С М С О ^ С О Ю ^ ^ ^ ^ ^ С О О ) — o o c o r ^ i ^ r ^ r ^ — 00 — — — — — СОСМСМС^СМС^СМСМСМС^СМСОСОСОСМСМСМС^СМСМСМСМС^СМСМСМСМС^ . — со — .r ^ o i c p — ю ^ о 1 ^ о с >оСюО ю ЮЮ г ^Г ^с СмМсСоОсСмМ оО ) Оо Сс Ос О О Г ^ ^ О О Ю О О — 0 )1 ^ ^ ^ 0 5 с 0 С М ^ С М Г ^ С М l<O i C Q C M O ) — с о с м с о о о о > о ) г ^ С0С0О)О)О>СОСМСМ — N N O C M O ^ O K > СО Ю — О ^ С О Г ^ ^ О ^ Ю С М С О О) — — СМ ч* СО Ю СО СМ — ^ ^ С О О ) — CMlOlO^CMCMCOCOlO^JPOCOOO I I I I I I I . I. ( Ip I^ iIo И I -I I “I I I I I ^ b sI oIr -I - I---- 00 О) СМ л о « 2о ои яI C 0<N <N <N C M C M <N <N <N <N <N C 0C 0C 0<N <N C M C M <N <N C 4<N <N C M <N C M <N <N «3 X к в <v л <иъб « О О С О С О С М С О С О С О О С М О С О ^ О Ю С О ^ ^ С М О ^ С М ^ С О S 0 ) O O l O ^ O O O > l ^ O > r ^ C M C M C O c O t ^ ______ O O O Ю СC ОD Ь ФO O N O - ^ — О ______ O O C O O iO i O O O O C M C M — r ^ t ^ O C M O i ^ O O C O ^ * — О СО Ь» CO O ) ^ Ю CM 4« *«5Я а I I I I I I I I I I I I I I I II I I I I II I I SScoi6^f‘OOdiiô>i^cMCMcoco- o> — — см ^ со ю со см — ^ ^ с о о о — с м ю ю ^ о о с м с о е о ^ ^ о о о о о о COCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCOCOCOCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCMCM « H R a « u X O. (j 5«=( оc I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I II I I I I ^ S O O -C O N -O C O O O O )^ W O ^ C O O c O O J W ^ C O C O d > W O O Q C O C0C0O)O)O)COCMCM — l^ t ^ O C M O ^ O i C O lO — o c o r ^ ^ o ^ i o c o c o O) — — CM ^ СО Ю 00 CM — ^ T ^ c O O > — с м ю ю ^ с о с м с о с о ю ^ с о с о о о COOOÔOOOOSiniDO)inCOCOOS-0>W(NO^COlOcp00050S C O <N <N <N <N <N <N <N <N C M C M C O C O C O <N C M C M C M C M C M C M C M <N C M C M C M C M <N I I I II I I IJ I I II I I I I I I I 11 1 I I I I I 2 ' f i b . a 3 ^ ° ° C , O N S W - O O N C O ^ ( N C O N ' t C O O N ( N C O 0 g ) C M 0 0 0 0 0 ^ 0 » 0 0 CO CM* CM - N N O C M O ) ^ *0 )0 0 1 0 — О 0 М Д О Tt> Ю CM CO O) — — с м ^ с о ю о о с м — ^ ^ c o o o — с м ю ю ^ с м с м г ^ о о ю ^ о о о о о о . . <N v CM CM W N CCM N C N CCM N TO O CCM N C NC M CCM N CN op CM CM CM, C CM CM CO TO CO T CO CM CM CM CN CM CN CM CM I I I I I I I I I I I I I I I I I I ^ n S R ^ S S z r ^ ^ ^ ^ w c o c M ^ - r ^ O i c o c p c M O ) — CO TO CO 05 05 • CM cm — n ь» о CMO ^ CM « Ю — O) CO~ - - CO CM Tf °0 c O ^ (N о * * * * * » * . . - ю » « « » * ю 0OCM — 4* ^ СО О — CM Ю ^ CM CM CO CM ^ CM ^COOO CD 0 0 0 0 CO ^ CM но О О о о О О о о - о о о о о о о о о C M CM <N<N<N I I I I I , LJ O c p i 5 00 03 0 ) t - 5 CM T f СО 0 0 o g q o o - Т7Т7°?Т ю О 107 ю см oo Ю^ 00 0000 ТАБЛИЦА 6. Яркость, случай 4: облако С ь t i = 6 4 , ©о = 1, Но = — 1 Метод 1 И сферических гармо ник Монте-Карло асимптотиItO ч с сrV кA и Pг A и 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Д К мк МкК 1,042 О 9,538— 1 8,254— 1 7,113— 1 5,584— 1 1,044 О 9,526—1 8,258— 1 7,122—1 5,602— 1 2,872— 1 1,006 О 9,979—1 9,789— 1 9.579— 1 9,256— 1 8,788— 1 8 ,1 7 9 -1 7,552— 1 7,364— 1 8,884— 1 8,045— 1 9,627— 1 9,775— 1 9,887— 1 9,981— 1 1.004 О 1.005 О 1,002 О 9,966— 1 1.006 О 1,086 О 1,174— 1 8.580— 1 8,803— 1 9,023— 1 9.242— 1 9,457— 1 9,669— 1 9,876— 1 1,008 1,030 1,059 1,260 5.2435,473—1 5,702— 1 5,932— 1 6,161— 1 6,391— 1 6,620— 1 6,850—1 7,079— 1 7,308— 1 7,538—1 1.05 О 9,47— 1 7.88— 1 7.88— 1 5,91— 1 9,36— 1 8,29— 1 7,23— 1 5,47— 1 0 3 ,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 —0,4 6,4 —0,6 —0,8 —1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 12,8 —1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 - 0 ,2 - 0 ,4 —0,6 —0,8 32 —1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 О —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 1,005 О 9,974— 1 9,777— 1 9,564— 1 9,242— 1 8,78— 1 8,170—1 7,529— 1 7,366— 1 8.848—1 2,866 О 9,622—1 9,766— 1 9,876— 1 9,969— 1 1.003 О 1.004 О 1,000 о 9,950— 1 1.004 О 1,084 О 1,840 О 8,571— 1 8,795— 1 9,016— 1 9,235— 1 9,451— 1 9,662— 1 9,870—1 1,008 О 1,029 О 1,059 О 1,144 О 5,237— 1 5,467— 1 5,697—1 5,928—1 6,158—1 6,388—1 6,618— 1 6.848—1 7,079— 1 7,309— 1 7,540— 1 приближения 1,03 О 9,45— 1 8 , 21— 1 7,09— 1 5,57—1 2,50— 1 1.04 О 1.04 О 8,16— 1 8 ,3 2 -1 1, 11 О 6,30— 1 4.94— 1 5,13— 1 6,80— 1 1 , 22— 2 9.50— 1 9.99— 1 9.59— 1 9,55— 1 1,17 О 9,64— 1 9,88— 1 1.01 О 1.04 1,06 1,08 9,09— 1 1.06 О 1,03 О 1,15 О 1,15— 1 9,27— 1 9,52— 1 8.51— 1 9.90— 1 9,66— 1 1,11 9.99— 1 9,26— 1 1.07 О 9,35— 1 1,27 О 5 .5 9 - 1 4,69—1 4,49—1 7.91— 1 5.95— 1 6,78—1 8,87—1 7,30— 1 7 ,20— 1 7,45—1 108 1,13 1,15 1,18 1,20 8,53— 1 8,77— 1 9,01— 1 9,24— 1 9,48— 1 9,72— 1 9,95— 1 1.02 О 1.04 О 1,07 О 1,09 О 5,21— 1 5,44— 1 5 , 68— 1 5,92— 1 6,15— 1 6,39— 1 6 ,63—1 6 , 86— 1 7,10—1 7,33— 1 7,57— 1 конечных разностей 2,359—0 9,354—1 8,049—1 6,911—1 5,548—1 3,210-1 Метод т 48 64 сферических гармо ник И 1 0 ,8 0,6 0,4 0 ,2 0 - 0 ,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 Монте-Карло Д К МК 2,455— 1 2,684— 1 2,914— 1 3,145—1 3,375—1 3 ,6 0 5 -1 3,835—1 4,065—1 4,294—1 4,526—1 4,756— 1 2,459—1 2,687— 1 2,917— 1 3,146— 1 3,376—1 3,605— 1 3,835— 1 4,064—1 4,296— 1 4,523—1 4,753— 1 4,027—2 8,908—2 1,185— 1 1,453— 1 1,708— 1 1,955— 1 2,73—1 2,42— 1 3,07— 1 2,25— 1 4,35— 1 8,926—2 1,189—1 1,458—1 1,713— 1 1,961— 1 ТАБЛИЦА 7, МкК 3,30— 1 4,50— 1 3,65— 1 4,08— 1 3,93—1 7,45—2 1,27—1 1,25—1 1,63— 1 1,50—1 9 ,3 —2 1,27—1 1,36—1 1,64— 1 асимптоти ческого приближения конечных разностей 2,44— 1 2,67— 1 2,92— 1 3,14— 1 3,38— 1 3,62— 1 3,85—1 4,09— 1 4,33— 1 4,56— 1 4,80— 1 4,04—2 9,18—2 1,22— 1 1,50— 1 1,76— 1 2,01— 1 5,007—2 8,832—2 1,173— 1 1,448— 1 1 ,7 1 8 -1 1,965— 1 Яркость, случай 5: облако Си х\ = 64, ©0 = 0 ,9 , |Ло = —1 Метод X и сферических гармо ник Д К Монте-Карло МК 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1,903—1 1,557— 1 1,069—1 9,376—2 7,871—2 1,938— 1 1,83— 1 1,546—1 1,60— 1 1,069— 1 8,76—2 9,417—2 8,82—2 7,981—2 7,27—2 6,514—2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 8,643—2 8,505—2 8,359—2 9,154—2 1,049—1 1,242— 1 1,508— 1 1,904— 1 2,643—Ь 4,455— 1 2,085 0 8,489—2 8,476—2 8,380—2 9,197—2 1,052— 1 1,241— 1 1,506— 1 1,910— 1 2,630—1 4,476— 1 6,924— 1 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 4,147—2 4,376—2 4,760—2 5,527—2 6,711—2 8,44—2 4,117—2 3,70—2 4,369—2 3,77—2 4,768—2 3,60—2 5,540—2 6,17—2 6,726—2 5,76—2 8,457—2 МкК 1,31— 1 1,08— 1 9,55—2 5,97—2 асимптотичсского приближения конечных разностей 1,84— 1 1,48— 1 1,03— 1 9,06—2 7,65—*2 3,99—2 1 ,9 8 9 -0 1,540— 1 1 ,0 0 4 -1 8,620—2 7,201—2 4,814—2 1,09— 1 1,30— 1 8,17—2 7,69—2 % 1,12—1 1,15^—1 1,78—1 2,31— 1 4,12— 1 1 ,0 7 + 2 109 4,18—2 4,63—2 5,36—2 6,40—2 8,21—2 1,08— 1 Метод т м- сферических гармо ник Монте-Карло МК Д К —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 1,093—1 1,456— 1 2,027—1 3,112— 1 8,713— 1 1,094— 1 1,457— 1 2,025— 1 3,112—1 8,938—0 8,32—2 1,66—1 2,33— 1 3,37— 1 8,74 0 1 0,8 0,6 0,4 0 ,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 9,538—3 1,044—2 1,193—2 1,430—2 1,788—2 2,31—2 3,083—2 4,204—2 5,$68—2 8,480—2 1,453—1 9,501—3 1,041—2 1,911—2 1,428—2 1,786—2 2,311—9 3,076—2 4,191—2 5 ,8 4 6 -2 8,440—2 2,230— 1 1,22—2 1,02—2 1,15—2 1,30—2 1,91—2 1 0 ,8 0,6 0,4 0,2 0 - 0 ,2 - 0 ,4 —0,6 —0,8 —1 1,096—4 1,207—4 1,393—4 1,681—4 2,116—4 2 ,7 5 - 4 3,69—4 5,055—4 7,064—4 1,005—3 1,460—3 1,084—4 1,195—4 1,379—4 1,665—4 2,095—4 2,727—4 3,649—4 4,997—4 6,976—4 9,919—4 1,438—3 7,19—5 8,20—5 1,08—4 1,39—4 1,31—4 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,2 —1 2,632—6 2,900—6 3,347—6 4,042—6 5,086—6 6,62—6 8,871—6 1,216—5 1,698—5 2,417—5 3,506—5 2,587—6 2,853—6 3,293—6 3,977—6 5,003—6 6,513—6 8,718—6 1,196—5 1,667—5 2,369—5 3,433—5 2,68—6 1,85—6 2,94—6 2,27—6 2,31—6 9,02—6 8,94—6 2,30—5 2 ,7 8 - 5 5,18—5 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 1,799—7 2,703—7 3,928—7 5,694—7 8,336—7 7,864—7 1,757—7 2,637—7 3 ,8 2 9 -7 5,546—7 8,110—7 8,62—8 1,61—7 2,72—7 7,54—7 2,77—7 МкК конечных разностей 9,54—3 1,06—2 1,22—2 1,48— 1 1,87—2 2,45—2 3,30—2 4,54—2 6 ,3 5 - 2 9,04—2 1,31— 1 2,36—2 2,23—2 4,91—2 8,50—2 2,30— 1 1,14—4 1,26—4 1,46—4 1,77—4 2,23—4 2,92—4 3,93—4 5,40—4 7,56—4 1,08—3 1,56—3 1,29—3 5,52—4 6,21—4 1,72—3 1,22—3 110 асимптоти ческого приближения 2,83—6 3,13—6 3,63—6 4,40—6 5,56—6 7,28—6 9,78—6 1,34—5 1,88—5 2 ,6 8 - 5 3,89—5 2,11—47 1,77—30 5,20—20 4,72— 17 9,06—8 2,09—7 3,13—7 4,53—7 6,5 3 —7 9,56—7 1 ,7 7 - 7 3,11—7 5,04—7 7,56—7 1,27—6 1,943—6 р азн ы м и авторами, то мы приводим инициалы авторов. Значе* иия, выделенные жирным шрифтом, получены интерполяцией между двумя соседними вычисленными значениями ц, однако ин т ер п о л я ц и я проводилась только в случае очень близких значений. Для случаев 1, 2 и 3 (дымка L) мы располагаем результатами, полученны м и четырьмя точными методами (сферические гармо ники, дискретные ординаты, последовательное рассеяние, FN -метод) • Кроме того, три различных автора применяли метод сфери ческих гармоник для случаев 1 и 2 и два автора — для случая 3. Р а зл и ч и е между этими результатами никогда не превышало 1 %, а иногда было менее 0,1 %; большинство случаев различается в пределах нескольких десятых процента. Для случая 2 представ лены также результаты, полученные методом матричного опера тора; основное внимание мы уделяли сравнению в точках ц. = = ±1 и |i = ± 0,6, для которых интерполяция не проводилась. Как оказалось, согласие с другими методами находится в преде лах от одной до нескольких десятых процента. Конечно-разностнып метод дает результаты только на границе слоя; и в этом слу чае значения совпадают с другими результатами до нескольких десятых процента за исключением точек ц = 1, 0, — 1, где ошибка может достигать нескольких процентов, что, несомненно, объясня ется применением экстраполяции. Мы можем сделать вывод, что по меньшей мере пять методов позволяют при правильном использовании получить результаты с точностью 1 %, что на практике более чем достаточно. По-види мому, для достижения такой точности затраты машинного времени на средних ЭВМ составляют, как правило, от 20 с до нескольких минут. Но мы отказались от идеи сравнения затрат машинного времени, так как это вовлечет нас в сложные сравнения характе ристик ЭВМ. Далее заметим, что все методы включают какой-либо вид дискретизации. Меняя порядок приближения, можно получить лучшие результаты за счет увеличения времени вычислений; можно добиться существенного выигрыша во времени либо просто за счет совершенствования процедуры расчета, либо допуская большие ошибки в нескольких особых точках. Некоторая инфор мация о связи между точностью и затратами машинного времени обычно содержится в описании метода. За более подробной инфор мацией читатель может обратиться к оригинальным публикациям. Следует ожидать, что метод Монте-Карло и DART-метод д а дут менее точные результаты. В табл. 8 приведены для случая ^ош ибки, полученные при использовании метода Монте-Карло и DART-метода, которые определялись по отношению к средним значениям, полученным пятью «точными» методами. Согласие между двумя сериями результатов по методу Монте-Карло вполне Удовлетворительно. Ошибка составляет обычно около нескольких процентов, иногда меньше; в исключительных случаях она приблиается к 10%. По мнению обоих авторов, можно увеличить точсть за счет увеличения машинного времени. Что касается самого шинного времени, оно имеет тот же порядок, что и при использо- 111 ТАБЛИЦА 8. Ошибка (% ) по отношению к среднему значению результатов, полученных с помощью шести^точных м етодов*; случай 2: дымка L % Ti = ©о = 0,9, Цо = — 1 Ошибка, % .Точные* ос ре дне иные значения X 0 0,05 0,1 Монте-Карло DART ПК МК 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2,798—2 3,147—2 3,917—2 6,353—2 6,697—2 5,187—2 1,1 2,6 2,4 5,0 15,0 —8 ,4 —3 ,5 - 1 ,8 — 1,4 —0 ,4 —0 ,5 / 1 0 ,8 0,6 0 ,4 0 ,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 2,658—2 3,008—2 . 3,790—2 5,297—2 6,902—2 6,161—2 1,306—2 9,52—3 1,253—2 2,858—2 3,269—2 1,2 3,7 2,9 4,6 4,7 —7,5 —0,5 —0,1 0 0,1 0,3 —3 ,3 - 2 ,2 — 1,3 0,1 0 ,4 / —2 ,8 0,1 0,6 5 ,3 —4,6 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 2,518—2 2,865—2 3,652—2 5,213—2 7,048—2 6,797—2 2,530—2 1,906—2 2,492—2 5,605—2 6,267—2 1,7 2,6 3,5 6,6 9,4 9,3 0,8 —0,8 - 1 ,3 —0,5 0,5 - 4 ,3 —2,6 — 1,4 —0 ,3 0 / 0 ,8 1,8 2 ,3 6 ,7 - 3 ,3 17 27 19 —0 ,2 —9 ,5 22 И 19 10 —7 ,9 — 18 - 1 ,3 —6,6 —0 ,5 - 0 ,2 5 ,3 - 4 ,2 9 ,6 17 8 ,4 —8 ,7 — 18 —6 ,7 —8 ,3 — 1,4 - 0 ,1 5,6 - 4 ,3 * „Точные” методы — метод сферических гармоник (данные трех авторов) дискретных ординат, последовательного рассеяния, DAKT-метод. 112 Ошибка, % и t Монте-Карло DART ПК МК 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 2,235—2 2,567—2 3,344—2 4,969—2 7,202—2 7,745—2 4,674—2 3,777—2 4,909—2 1,078—1 1,152—1 0,2 1.3 1.7 3,9 6,2 —7,3 0,6 —1,8 —0,6 0,6 0,7 -4 ,2 —3,0 —1,6 —0,8 —0,6 / 2,9 3,3 2,7 6,7 - 3 ,7 9,2 17 11 -4 ,2 —13 - 5 ,1 —4,6 1,9 2,1 5,8 -4 ,5 0,5 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 —0,2 -0 ,4 —0,6 —0,8 —1 1,375—2 1,611—2 2,211—2 3,686—2 6,670—2 9,399—2 9,158—2 8,836—2 1,154—2 2,387—2 2,241—2 —1,1 1,2 4>0 5,3 2,0 20 3,5 0,4 —0,3 —0,3 —0,1 —3,3 —2,5 —1,4 —0,2 0,9 / —0,2 2,4 3,1 5,6 —3,6 2,5 11 15 8,8 3,2 8,6 И 13 8,3 8,9 -5 ,4 0,75 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,2 —0,4 —0,6 —0,8 —1 6,706—3 7,862—3 1,107—2 2,073—2 4,630—2 9,751—2 1,138—1 1,226—1 1,623—1 3,229—1 2,734—1 -3 ,4 3,5 3,9 1,8 2,6 9,7 —2,5 - 2 ,1 —0,8 0 —0,1 —4,3 -0 ,7 1,2 2,3 3,5 / 1,0 2,0 1,6 4,7 —3,8 —7,7 0,1 17 21 15 25 24 21 12 10 —6,0 1 0 —0,2 —-0,4 —0,6 —0,8 —1 7,972—2 1,243—1 1,484—1 2,009—1 3,873—1 2,970—1 —6,0 4,6 3,8 1,5 0,9 0,3 / 3,0 2,4 2,5 4,8 -3 ,7 73 41 33 20 14 —6,1 0,2 • 8 «Точные* осредненные значения Зак. № 119 113 вании других методов с менее точными результатами. Однако из вестно, что для плоскопараллельных атмосфер метод Монте-Карло в этом отношении проигрывает. Во всяком случае, главная об ласть его применения относится к более сложным случаям, где другие методы неэффективны, поэтому важно было подтвердить высокую точность метода. DART-метод тоже был предназначен для приложения к реальным неплоскопараллельным атмосферам. Точность его очень сильно меняется: в некоторых точках ошибка составляет несколько процентов или менее того, а в исключитель ных случаях — до 20 % и даже более; в первом приближении можно установить ее равной примерно 10 %. Уитни отме чает, что фактическая ошибка практически постоянна для таких наборов данных, как сканирование лимба, так что для отношений сравниваемых сигналов точность существенно повышается. Вычис лительное время, по-видимому, немного меньше, чем при исполь зовании метода Монте-Карло. В случае с облаками появляются две дополнительные труд ности: большая оптическая толщина и сильно вытянутый пик ин дикатрисы. Поэтому для сравнения было предоставлено меньше результатов (см. табл. 6 и 7). В методе сферических гармоник машинное время почти не за висит от оптической толщины. Результаты представлены различ ными авторами. Дево аппроксимировал облачную индикатрису суммой дельта-функций и разложением остатка по 36 полиномам Лежандра. Поэтому в направлении вперед (ц = — 1) для малых значений оптической толщины результаты неверны. Сравнение с результатами Карпа дает ошибку при [i = — 1 — при т = 12,8 она составляет 10 % для ©о = 1 (случай 4) и 40 % для ©о = 0,9 (случай 5); при т =_32 эти ошибки уменьшаются соответственно до 0,03 и 3 %. Для ©о = 0,9 и больших значений толщины (т = = 48,64) интенсивность радиации становится очень малой и рас хождение между двумя наборами результатов может достигать нескольких процентов. В других случаях расхождение между двумя наборами результатов не превышает нескольких десятых процента, как в случае с дымкой L. При использовании метода Монте-Карло не возникает затруд нений с вытянутым пиком индикатрисы, и качество результатов, полученных для [i = — 1 и малой оптической толщины, превосхо дят качество результатов, полученных с помощью метода сфери ческих гармоник с отсечением переднего пика. Однако при боль шой оптической толщине вычислительное время становится очень большим. Наконец, в случае больших значений оптической толщины ес тественно применять асимптотический метод. Конечно, при малой оптической толщине к нему нельзя прибегать, особенно в случае нисходящей радиации. В консервативном случае (со0 = 1) при сравнении с методом сферических гармоник для уходящей радиа ции на уровне т = 0 и для всего поля радиации на уровне т = 6,4 114 и ниже расхождение всегда_ составляет менее 10%. а обычно — ок о л о 1 %• Для случая 5 (<оо = 0,9) ошибка, как правило, состав ляет от 5 до 10 %• К сожалению, проведенное выше сравнение не коснулось неко торых полезных и широко используемых методов. Определенную информацию о них можно получить, рассматривая их аналоги с описанными методами. Так, метод удвоения основан на тех же принципах, что и метод матричного оператора, хотя численные процедуры обоих методов весьма различны; итерацию Гаусса— З е й д е л я можно приблизительно сравнить с методом последова тельных порядков рассеяния; при большой оптической толщине в обоих методах возникают одинаковые трудности, однако в от личие от вычислительного времени в методе последовательного рассеяния время итерации не зависит от величины соо. 7.1.2.2. Поток Поток можно получить либо интегрированием яркости излуче ния, рассчитанной описанными выше методами, либо так называе мыми приближенными методами, с помощью которых поток полу чают непосредственно. Большинство перечисленных методов включали значения потока. Кроме того, только для расчета пото ков использовались следующие методы. — удвоения (Вискомб: 5 случаев); — дискретных ординат (Лиоу: 5 случаев, поток при х = 0 и только х = ti); — последовательного рассеяния (Кершгенс, Рашке и Пилц: дымка L, 3 случая); Сравнение по пяти случаям выполнялось для большого числа приближенных методов: — Эддингтона (Ирвин и Эспозито; Шеттл). — Эддингтона с принципами подобия (Ш еттл); — дельта-метод Эддингтона (Вискомб; Боннел); — стандартного двухпотокового (Ирвин и Эспозито); — модифицированного двухпотокового (Ирвин и Эспозито; Кершгенс, Рашке, Пилц); — использующего экспоненциальное ядро (Брогниц). В табл. 9— 13 приведены поток отраженной радиации ^ ( О ) , поток пропущенной рассеянной радиации Fр (ti) и суммарный по ток F (т), рассчитанные различными методами. В этих таблицах отсутствует сравнение вычислительного вре мени. Ясно, что при использовании методов, основанных на интег рировании радиации, машинное время примерно одинаково при расчетах как только потока, так и одновременно потока и яркости. Однако для расчета потока требуется знание только азимутальной независимой части яркости. Кроме того, в некоторых полуаналитических методах (например, методе сферических гармоник) поток можно вычислить без подробного расчета яркости, а следова- 1П N 0 > гН т р Xк ОО 05 00 N CD СО СМ СО СМ СМ СМ СМ СМ СМ — Ц У5 8— о *° о -Г 00 00 00 00 0000 00 N N N N N N N Iх*3 со л CO CO CO CO CO CO CO 00 00 00 00CO00 TO со cp со cp со cp cp ср со со ср со со ср 05 05 05 05 05 05 О СМ СМ СМ СМ СМ СМ СМ л о о х О) Ф О) О) Ф 05 O) <N CM <N CM~CM CM CM § SS § § § § со ср ср СО СО СО 05 05 О) О 05 05 о> СМ СМ СМ СМ СМ СМ СМ СМ 0,0 in in in in in in in s 00 s s00s00s00s00s00 00 Яш r f тИ T f r f 5* 2 T f 't 00*00 00 00 00 0000 cp cp CO cp cO cp cp CM CM CM CM <N CM CM Ф 0> O) 05 O) 05 05 «с • CM CM CM CM CMCM CM О 00 00 00 00 00 05 О о 05 05 О) О 05 ОООоооо §Г*§w1 со сосо сосососо Тр Тр Тр Тр Тр Тр tP CM CM CM CM CM CM CM 1о 1— 00 тр — N 05 — CM 05 05 05 05 05 05 05 N N N N N N N ср ср со со ср со ср 05 05 05 05 05 05 О) СМ СМ СМ СМ СМ СМ СМ O O N C O C O N 's f - CD CO cp CD Ю 1П 1П 05 05 05 05 05 05 05 CM CM CM CM CM CM CM со со СОСОСОСОСО тр тр ^ тр тр тР тр 05 О) 05 05 05 оЬ О) ТАБЛИЦА 9. Поток, случай 1 СМсмсмсмсмсмсм 00 О — Ю CO 00 CO CO N N N 00 00 05 05 05 05 05 O) 05 05 CM CM CM CM CM CM CM о CD CD со ср со со 00 0000 00 00 00 00 U X тр 00< CO 8 05 В8 смсмсмсмсмсмсм §+ смсмсмсмсмсмсм смсмсмсмсмсмсм N N N N N N N ' CO CO CO CO CM CM CM 00 00 00 00 00 00 00 cp cp cp cp cp cp cp сососо сососо СО 0)05ФФ05 0)Ф CM CM CM CM* CM CM* <N со со со со со со со см см см см см см см N N N N N N N Ю Ю Ю Ю 1П 1П 1П 00 00 00 00 00 00 00 cp со cO cO cO cp cp со со со со со со со O) 05 05 05 05 05 05 CM <N CM CM CM CM CM О — СО СО ^ О CM 00 N NN 00 00 00 tp cp cp cp cp cp cp vC 05 05 05 05 05 Ф 05 CM CM CM CM CM CM CM 3— I00 о со со со со со со со N N N N N N N 05 05 05 05 0 > О) О) см см см см см см см И *. j ? in in О — CM in N О О О О О О — о О о ООО — 116 = sf £* 05 О —• Ю 00 05 00 05 05 00 CD CS О Ю ci ci ci ci ci ci — N W O O O r f l D N 1 С О * о 1 * — a l C 4 (N « « 0 (N N ^ (N О tp Th Tf О О О 05 00 S CD со со со c i c i c i c i Л Ч <N Q5 Ю 00 Ю 05 r f 00 О СО 00 С* т»* — • ^ 0 00 r f T f i f i N О О 05 05 00 S СО СО СО c i (N c i c i c i са о О 05 05 05 00 S CO oo c i c i c i c i c i c i « во 05 CD — 05 00 S 00 N O W S ^ T f -О О О О О 05 05 00 N CD СО СО СЧ СЧ c i СЧ c i юо 8 .о 4Xс Tf i n W c o i f l 'Ф О CO S N « 05 •е & « 0 5 « О О О Tt<Tf О о О) О) 00 со со c i c i c i _ c ic ic ic ic ic i СО СО ci 05 CD г - 05 00 СО о со Ч** -ОoОo05o 05 ^ ^00iI*-o СsО 3 О r— _ О | ? в So® if S CO oo СО О 00 Ю 05 О О 05 CO 00 .. _ s cb ^ со со оо са са c i 2 в 5* со со c i c i c i c i c i §— юв oo 05 — со са са со — 05 00 тр СО тр Ю О 05 05 05 00 ^ СО оо c i са са c i c i са о о 05 ю о са оо ^ o o o ^ О 0 0 5 05 со со c i c i со со са тр ^ са ^ io s 00 1^- CD са са са Ю 00 — СО Ю 05 Ю ^ so io c a su i 05 s со са са со ю 05 05 05 05 00 Is» СО — СО 00 CD СЧ СЧ —i О Ю 00 Ю (N 05 OO OSO SOO NCO ci ci ci ci ci ci ci со со c i c i c i c i c i 00 CD 00 ci ca^so>oo( — СО Ю О — CO < са o c I Ю Ю s с 05 05 С I00N C D C са са са са са са са е( + СГ) ca M flso^ co 10. CD «в V XS о \о Но * * Sg 05 CO -N 05 СО Са N O C O N « ^ ^ ^ O O O ^ ^ IflS O O 05 05 00 t**» CD ТАБЛИЦА Поток, случай 2: Z,0Ti S r f l O N 05 00 00 00 S CO I е5 05 N ^ ООО Ь* О СО 00 са ^ о 05 ^ ^C O C 0 0 5 W 0 5 S ^ O S C O C J - N * - N hх 3 со со c i c i c i c i c i со со со со со c i c i о I*- CO 05 00 00 Tt* оо О 00 *-<00 ^ O O O ^ ^ I O S са CD CD S 05 CO — CD 00 — 05 оо са са — — — о со — СО 05 « о — 05 оо ^ са са — са — — — о^ 05^ аэ m 0 0 0 5 05 00 SC O со со со со со c i 00 00 c i c i Cl <N Cl о £ CJ 05 00 £ CJ 00 О 00 N ^ г О O 05 05 00 N CD « о х ^ ^ ws со со c i c i c i c i c i со « са 05^ vе fc o X 1 * с -- lO о -Г 05 — ю са s 05 са « O O O l f l C O 't N О О 05 05 00 I4» СО со со c i c i са c i c i О £ Г IQ ч, ч. О О О О О О — 117 о о о О О О — 118 со со со со со со со N NNN NN N T f т1^ ^ rt * 1Й Ю Ю СО Ю Ю Ю О О О О О О О О) О) О) О) О) О) О) ю ю Nю Sю ю юю N S N N N rf rf r f Tt* О О О О О О О ср СО СО СО СО СО СО ig g g g ig ююююююю о о о о о о о 1 Оюююю О 05 05 05 05 О 05 Ю ^^ о 000*00 <NC4<N<NC4C4<N 00 00 00 00 00 00 00 со со СО СО СО СО СО ююююююю ТАБЛИЦА 12. Поток, случай 4: облако С,, ti =* 64, щ О О О О О О О 00 00 0000 00 00 00 Tt* ч г Tt< Tt* ч * Tt* ч г о о о о о о о ср ср со ср ср ср ср Ф О ) О ) О ) Ф Ф 0 ) rf ^ Tj- Tj- r t * r f r f О О О О О О О 8 СО СО СО 8 800800800S00S00800 00 т Р т*« ^ ^ r f ■<г О О О О О О О 0 0 СО Ю Ю 0 0 С4 — <NC4C4C4C4<N<N 00 00 ^00 0000 00 00 Tf Tf Tf О О О О О О О О СО СОС4 С4 00 — СО ч* СО 119 СО СО СО СО СО СО СО N О ОО о о о О со со со со со со со о о о о о* о о" 05 ю О) ю О) ю О) ю О) ю 05 ю О) ю N N N Tt*N^ N Tj-Tf Tt*NTf N ^ о о о о о о о СО СО СО со со со со N N N N NN N т р ^ т р т р rt* r f r f ОО О О О О О СО СО СО СО СО СО СО ююююююю N N NN NN N rf ^ rf rf ^ Tf ^ О О ОО О О О со со со со со со ю ю со йN ю юN йй N N N N N Тр Тр Тр ^ Тр Тр ^ О ОО О О О О О СО СО С4 С4 00 — CO Tt* СО CD CN — N CD СО 00 ^ 00 N ^ О — со n cd I I I CD O CO CD 00 ca 05 ca 05 — 00 O 05 CD 00 Ю 00 — CD N Ю C ffO i О О Ю СО — О СО— О О О ca — о cT — ca io T f 00 CO cp TI V I ^ ^ O O O T f T f I N CO I D — r f — I D tj — 64; юов 6,9; ц0 ca — о о cd 05 — О 00 N о о со са со 05 <N — — cd id ca CD CO N ID CD CD 00 — O —N ^ ID 05 со О О О <N — О OjO* о O СО ID CD I D I D 0 0 CO I I I CO — O 0 0 Tt* — 05 (N 0 0 — CD ^ CO N 1Л 0 0 CS W r f CO со ca id 05 'Ф oo со oo oo ID ID 05 СЯ — О О СО 05 СО 13. Поток, случай 5: облако oo <d ^ ca oo ca СО о ca со cn о о о о O ca* — о о о о о ca CO CD ID 00 5 05 ca 00 о N CDoo о ca — o* — 05 Ю Tt* Cl — О S oSSoSB N CD 00 — О О О С* — O O O O о о О СГ4 ca — N со I io n N r f ID СО I О (N CD I I oo — cn oo ca I I N CD 00 — CO 05 — ca" — о о — — со CD CD — 05 N ID CD CO O CO — ID ID CD ^ О О CD ID 00 CSJ O CD — <N N 05 I I I м о о ю ю м п CD О СО 05 ID 00 00 N CD 00 — <N CO Tt< ТАБЛИЦА — ca^ — o o n О О <N СО — (N -000*0 <n — о о ca id — CO ID CD IDC— —I I I S 00 O 00 N 00 ID S te 8 2 8 cd о со 05 oo 05 ca ь - cd oo — ca ^ id CO — о* о о ca — о o ca id — ca r f oo о со cd о c j ca og j g 120 со cd ca ca oo ^ — CO ^ CD тельно, значительно сокращается вычислительное время. Прибли женные методы были развиты а целью кардинального сокраще ния машинного времени или для того, чтобы полностью обойтись без компьютера. Например, Кершгенз и др. приводят вычисли тельное время для одного и того же случая и одной и той же ЭВМ; метод удвоения — около 4 с, модифицированный двухпото ковый метод — 0,01 с. В трех случаях дымки L расхождение значений потоков, вы численных методами сферических гармоник, матричного опера тора, последовательных рассеяний, дискретных ординат, удвоения FN, конечных разностей и Монте-Карло, не превосходило 1 % и обычно составляло несколько десятых процента. Значения по тока, полученные DART-методом, оказались не очень точными, так как, по замечанию Уитни, интегрирование было выполнено по недостаточному количеству точек. Для случая консервативного облака (случай 4) расхождение результатов, полученных методами сферических гармоник (два ряда результатов), удвоения, конечных разностей и Монте-Карло, составляло от 0,1 до 1 %• Расхождение результатов, вычисленных методами дискретных ординат и асимптотическим, имеет порядок нескольких процентов. Для поглощающего облака (случай 5) рас хождение между названными выше методами несколько увеличи вается, но для уровней т < 12,8 согласие остается хорошим (кроме отраженного потока, вычисленного методом дискретных ординат; вероятно, здесь имела место случайная ошибка). Для уровней т < 12,8 расхождения увеличиваются, но это не имеет большого значения, так как суммарный поток становится ничтожно малым. Ради сравнения значения потока, вычисленные приближенными методами, приводились с четырьмя или пятью значащими циф рами, но это, конечно, не соответствует их действительной точ ности. Следует отметить, что все методы удовлетворяют условию сохранения потока при ©о = 1. В табл. 14 представлена ошибка результирующего потока, вычисленная приближенными методами, по отношению к среднему значению результатов, полученных точными методами, которые обсуждались выше. Наилучшими пред ставляются методы экспоненциального ядра и дельта-метод Эд дингтона, для которых расхождение обычно составляет 1 %, иногда бывает несколько, но никогда не превышает нескольких процентов. Укажем, что при использовании одного и того же (или сходного) метода различными авторами могут быть получены су щественно различные результаты. То же самое относится в еще большей степени к результатам, полученным с помощью двух мо дифицированных двухпотоковых методов, которые могут сильно различаться, так как один из методов дает ошибки более 1 %, а Другой (для тонкого слоя дымки) — несколько процентов. Для облаков оба модифицированных двухпотоковых метода дают ошибки более 10%. Стандартный двухпотоковый метод, с по мощью которого можно получить хорошие результаты для тонких слоев при нормальном падении лучей, не стоит использовать для 121 14. Относительные ошибки значений результирующего потока, вычисленных приближенными по отношению к среднему значению результатов, полученных точными методами методами, —о —со т О О О О О О О I I I "71Т О 04 04 04 СО S СО О СО N О CD Ю О 05 00 00 О O O O Q O « (N Ю О CD О CD I О О О О 04 ^ тР I I IT I I III I т7Т CD CD CD CD Tj-<N Г>- rt« CO 04 04 СО Ю 00 CO CO CO CO CO Ol . (N W C SC O W C D N <N Ю 04 CD О CD 00 — 05 Ю S — 0 0 — 0 0 СО Ю О —o'О ЭЮ CD C РOЗ ч I i7 CO 04 04 CO -N IC S 0 0 ~ ----- I I 05^N «C 0 o o о ——о oo oo op О *-« 00 00 CD 05 00 05 00 00 00 00 S Ю CD 00 r f W Ю ' t CD М Л т О О О О О О О О О О ^С О тМ П — O O O -tj- СО ( N< N00 С О04 OS- W ^ S C O N S C D — с о С Ос о "00 С ОС ОС ОО * (N W fN C O W C D N ~ 05 СО СО о 7 71 CD CD СО — 04 O O O O N О* О О CD O O ’t 4 * 00 04 00 04 (D O CO CO 04 I I О 00 00 CO CN — O* — (О CD CD CD CD CD CD Ю I I I I I 05 Tt* oo — 05 00 00 8 O C 0 W 05 0 0 N C 0 OO OCON -Tf-O O O ^T flfiS О О 05 05 00 S CD Tf W O C D I___ CO CO 00 CN — О О 04 CO CO 04 04 04 04 04 — — — — — -N — ю ТАБЛИЦА — — — — 04 (N 04 ю ю О — (N 1Л N ю O - W l f l S О О О О О О — 122 О О О О О О 00 04 Ю — S b- CD — S CD О 00 05 CD 00 ^ О 04 — О О О rt* CD о 04 rt* 00 О СО CD 04 толстых слоев и наклонного облучения. В то же время метод Эд дингтона дает наилучшие результаты в толстых консервативных слоях. Сочетание принципов подобия с методом Эддингтона может в конце концов изменить знак ошибки, но, по-видимому, не улуч шает результаты. 7.1.2.З. Замечание по поводу индикатрисы Отметим, что сравнение должно быЛо проводиться для задан ного распределения частиц по размерам, а индикатрисы авторы должны были либо рассчитать, либо воспользоваться значениями Дерменджана, приведенными в табл. 1 или (для дымки) значени ями pi из табл. 2. Уискомб указал на важность выбора пределов, интегрирования rmin и rmax, шкал интегрирования по г и способа интегрирования для распределения по размерам. В качестве при мера он нашел, что при изменении интервала интегрирования для случая облака Ci от rmin = 0,10127 мкм, rmax = 24,99546 мкм доГтт = 0,10000 мкм, Гтах = 24,99979 мкм (в обоих случаях Дг = 0,005570423 мкм) показатель асимметрии изменяется в чет вертом десятичном разряде, из чего наверняка следует изменение потока в четвертой значащей цифре. Уискомб рассчитал также для дымки L при длине волны 0,7 мкм и показателе преломления 1,33, используя квадратурную' формулу Лобатто при 179 значениях углов. Он ожидал, что по меньшей мере четыре или пять значащих цифр будут точными. Оказалось, что при / > 4 различия по сравнению со значениями в табл. 2 отмечаются в третьем десятичном разряде. Точные зна чения рг для дымки L и облака С\ были недавно опубликованы Бенасси и др. (см. список литературы к п. 3.2). Более того, все методы включают различные приближения индикатрисы, что в какой-то мере может быть причиной неболь ших расхождений в результатах. Г. А. Михайлов и С. Л. Кузнецов выполнили следующие тесты: они провели обширные расчеты (10е фотонов, 2 ч на БЭСМ-6) для случая 2, т = 0,2. Были полу чены следующие значения интенсивности (1ть.) ошибок метода Монте-Карло по отношению к точному решению уравнения пере носа с кусочно-гладкой линейной индикатрисой (от ь % ), относи тельных расхождений результатов, полученных методами МонтеКарло и сферических гармоник (Amfcsh): ч .............................................1 0,8 f mk ..................... 2,15—2 2,49—2 °mk % . . . . 0,49 0,51 bmksh % . . .—3,7 —3,0 **........................ •«* .................... a">k % . . . . bmksh % . . . —0,2 4,65—2 0,87 —0,7 —0,4 3,84—2 0,55 1,7 0,6 3,29—2 0,60 — 1,60 0,4 4,92—2 0,67 —0 ,9 — 1,6 5,02—2 0,37 2,1 —0 ,8 1,15— 1 0,26 6 ,7 0 ,2 7,08—2 0,77 — 1,8 —1 1,11 0 0,21 —3 ,6 Михайлов и Кузнецов отметили также, что хорошее согласие между результатами, полученными методами сферических гармо ник и матричного оператора, станет еще лучше, если в обоих 123 методах в конечном итоге использовать аналогичные способы дис кретизации индикатрисы. В методе сферических гармоник эта дис кретизация скрыта, но может быть выявлена посредством извест ных аналогий с методом дискретных ординат. То же замечание справедливо для сравнения методов сферических гармоник, FN и дискретных ординат. 7.1.2.4. Заключение Подводя итоги, отметим следующее: — большинство так называемых вычислительных методов поз воляют вычислять яркость с ошибкой не более 1 % при умеренных затратах машинного времени; выявилась ограниченная пригод ность некоторых методов к слоям с большой оптической толщиной и вытянутым пиком индикатрисы в направлении вперед; — проведенная проверка точности методов Монте-Карло и DART является весьма важной ввиду их пригодности для более реальных атмосфер; — наконец, учитывая практическое значение результирующего потока, важнейший результат, вероятно, состоит в проверке при ближенных и быстрых методов его расчета; очень часто погреш ность этих методов составляет менее 1 0 %; для дельта-метода Эд дингтона и метода экспоненциального ядра ошибка во всех слу чаях остается порядка 1 %. 7.2. РЕАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ АТМОСФЕРЫ 7.2.1. Программа для численных сравнений (аэрозольные модели атмосферы, основанные на моделях Рабочей группы «Стандартная радиационная атмосфера») Модель — плоскопараллельная атмосфера, однородная по горизонтали; — подстилающая поверхность — черная; — профили температуры, давления, плотности соответствуют •«Стандартной атмосфере США, 1976» (табл. 15); — падающее солнечное излучение: цо = — 1,0; —0,75; —0,5; — 0,25; поток nF = n(F = 1); — поглощение в газах отсутствует (считается, что слой Оз рас положен-выше аэрозольного слоя); — длины волн: 0,4; 0,55; 2,06 мкм (если только одна длина волны, то 0,55 мкм); — аэрозоли: одна модель для слоя от 2 до 30 км, связанная с каждой из трех моделей для слоя от 0 до 2 км (если только одна модель, использовать профиль II, табл. 16). Фоновый аэрозоль в стратосфере состоит из 75 % H 2SO 4. Кон тинентальный, городской и морской аэрозоли находятся в смесях, определенных в табл. 17. В табл. 18 приведены параметры рас пределения по размерам, а в табл. 19 — показатели преломления. 124 ТАБЛИЦА 15. Стандартная атмосфера СШ А, 1976 Высота, км 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 35 40 45 50 70 100 Давление, гПа Температура, К Плотность, г*м~3 288 282 275 269 262 256 249 243 236 230 223 217 217 217 217 217 217 217 217 217 217 218 219 220 221 222 227 237 253 264 271 220 210 1,013Е+03 8,988Е +02 7,950Е +02 7,012Е +02 6,166E +02 5,405Е +02 4,722Е +02 4,111 Е +02 3,565Е+02 3,080Е+02 2 ,650Е+02 2,270Е+02 1,940Е+02 1,658Е+02 1,417Е+02 1,211 Е + 02 1,035Е+02 8,850Е+01 7,565Е+01 6,467Е+01 5,529Е+01 4,729Е+01 4,048Е+01 3,467Е+01 2,972Е+01 2,549Е+01 1 ,197Е+01 5,74бЕ +00 2,871Е +00 1,491Е+00 7,978Е—01 5,220Е—02 3,008Е—04 1 , 255ЕНЬОЗ 1 ,1 12Е- -03 1,007Е- -03 9,093Е- -02 8,194Е- -02 7,364Е- -02 6,601Е- -02 5,900Е- -02 5 ,258Е- -02 4,671Е- -02 4,135Е- -02 3,648Е- -02 3 ,1 19Е- -02 2,666Е- -02 2 ,279Е- -02 1,948Е- -02 1,665Е- -02 1,423Е- -02 1,217Е- -02 1 ,040Е- -02 8,891Е- -01 7,572Е- -01 6,450Е- -01 5,501Е- -01 4,694Е- -01 4,008Е- -01 1,841Е- -01 8 , 463Е- -00 3,996Е- -00 1,966Е- -00 1,027Е- -00 8 , 283Е--02 4,990Е--04 ТАБЛИЦА 16. Коэффициент ослабления ае и оптическая толщина X при Я = 0,55 мкм Z км ае (30) = 3,32-10-® км"1 \ ое (20) = 2 , 18-10”4 км"1 J <Je = Линейная зави т = 0,003 Фоновый стра симость от г тосферный аэрозоль 2,18-10”4 км"1 = const ое = 0,0025 км"1 = const Профиль I ое = 0 ,5 км-1 = const т = 1,0 Городской аэрозоль т = 0,025 Континенталь ный аэрозоль Профиль I I ое = 0,1 км-1 = = const т = 0,2 Континентальный аэрозоль 125 Профиль I I I = 0,025 км-1 т = 0,05 Морской аэрозоль (*е ТАБЛИЦА 17. Характеристики моделей аэрозолей Распределение по размерам Модель Характеристика состава Доля (%) аэро зольного объема Континентальный аэрозоль Тонкий Грубый Тонкая сажа Водорастворимый Пылеобразный Сажа 29 70 1 Городской инду стриальный аэрозоль ' Морской аэрозоль Тонкий Грубый Тонкая сажа Водорастворимый Пылеобразный Сажа 61 17 22 Океанский Тонкий Океанский Водорастворимый 95 5 ТАБЛИЦА 18. Параметры, характеризующие распределение частиц по размерам Логнормальное распределение * Аэрозоль 0,005 0,50 0,0118 0,30 Тонкий Грубый Тонкая сажа Океанский 0,475 0,475 0,301 0,40 Модифицированное гамма-распределение ** Аэрозоль фоновый стратос ферный 1,0 324 Ni dNj dr ““ In Юга* ## ^2 1,0 18 (Ig/- — Ig r i) 2' 2a2, dV r) = Ara exp (~~6rV )• *** Определено таким образом, что полное число частиц нормировано на единицу. 126 оСО £ 7 ш о о Ш о о 00 О о •г»* 00 0> со T J- —Г — о I о I о ою о сч СО о N о N о ш ю N о I ш со ш N 00 <4* ш о о I ш о о ш ь о о о сч со о 5? Я —Г S о со 00 О шI 00О N I ш I ш О Э 7 ш я 00 сч О СЧ о о О О О О О ю О ш О О О N ю —Г о о ю N ш оо ю о> со сч о 19. Показатели 00 о § ою N 0> о I ш о о> I о ю N 7ш ою N о> о ш о N о ю N 7ш 8 7 к о ТАБЛИЦА о> ю о I ю о оа. * о о о N 800 0£1 и 00 т 7 ш ш 7 7 7 7 7 7 7 7 оо а> преломления для различных типов аэрозоля 00 о ш о о Is* I о со ю сч о Ш оо 7 ш СЧ о> со со ш о о о г 7 8ю о со ю о со ю со Ш оо ш о о со „I о со ю о 8 о I ш оо 00 I т ю I ш 7 о 8 <N 00 со со о I со со о ш о о ю I о о ю 00 со о ш о о ш о о со тР О СО тг О тг о I ою о ю О О оо N 7 ш7 о о со т ю о со ю I ш7 ш7 ш7 ш оо 00 I о 8 О в ъ2с 127 оо оо о о 00 о со ю со ?1 Ш о о N 1 о со ю со о I ш оо о N СО — I N Oi о со со СО ю 8 сч ?1 щ осч осч1 сч ?1 ! Ш оN Ш оо 7 7 сч о о сч ю о сч ю 1 ю -Г о I ш о о 7 7 1 7 о со ю —Г СО Т 8 ш со ш о о О I СЧ N со Ю — R ш N о I ш — I N N Ю ю о_ I ш — о I 7 7 о N Ю W'J ш Ю 1—I W’J о о N 00 о со О т 00 о I ш СЧ со со тГ ТР ш о о осо I ш о о 7 7 о со ю —Г о со ю о 8 оCN ю 8 8 ю ю ю о оо ю ю о 00 сч со СО о О) СО со о о о о *о 3 о о $ Вычисления Вычислить по возможности больше значений следующих вели-, чин: яркость, поляризация, поток и дивергенция потока для |ц | = s = 1,0 (0,1) 0; ф = 0, 90°, 180° (или больше точек), 2 = 0 , 2, 12, 2 0 ,1 30 км (или больше точек). ; Сообщить всю возможную информацию относительно метода»; вычислительного времени и точности. 1 7.2.2. Результаты j 7.2.2.1. Яркость ] Были получены следующие результаты. ' ^ Метод конечных разностей (Саттль): яркость на верхней H i нижней границах; цо = — 1,0; —0,75; —0,50; —0,25; |ц.| = 0 (0,1) 1 1; ф = 0, 90, 180°, 3 профиля; X = 0,40; 0,55; 1,06 мкм. 4 Метод сложения—удвоения (Хаан): яркость и коэффициент * поляризации (%) на верхней и нижней границах; цо = — 1,0;| —0,75; —0,50; —0,25; |ц,| = 0 , 1 ; 0,25; 0,5; 0,75; 1 и 20 в интегри ровании точек методом Гаусса: <р = 0, 90, 180°; 3 профиля; А, =* I = 0,55; 1,06 мкм. | FN -метод (Боннел и Д ево): светимость на верхней и нижней * границах; цо = — 1,0; | ц | = 0 (0,1)1; 0,25; 0,75; 3 профиля; А.= | = 0,4; 0,55, 1,06 мкм и цо = —0,5; |ц | = 0 (0,1) 1; 0,25; 0,50, 0,75; <р = 0, 90, 180°; профиль I; А = 0,55 мкм. В табл. 20 приведены результаты сравнения для отраженной ^ радиации (z = 30 км), а в табл. 21 — для пропущенной радиации ; (г = 0 км). В целом согласие результатов, полученных указан- * ными тремя методами, хорошее: в большинстве случаев их рас хождение не превышает 1—3 %, а иногда и 0,1 %. . ’ Единственное значительное расхождение относится к пику ^ в направлении вперед (цо = ц = — 1 и ц = цо = —0,5). Расхож- ! дение возрастает, когда начинают преобладать однократно рассеянные фотоны. Это легко объяснить тем, что в разных методах | используются различные способы дискретизации. Если принят» $ во внимание, что дискретизация имеет тенденцию уменьшать лолЩщ радиации, рассеянной вперед, то наилучшие результаты дает ме4.|| тод удвоения — сложения, а наименее удачным является F N -ме-^в тод. "I Следует иметь в виду, что в отличие от предыдущей серии срав- ; нений (п. 7.1), в настоящем случае сравниваются не только ме- ■ тоды решения уравнения радиационного переноса; сравнению 4 подвергается также весь подход к физической задаче, включая оценку радиационных характеристик атмосферы. Возможно, это . обстоятельство вносит свой вклад в те несколько процентов 1 (а в отдельных случаях более 10 % ), которыми оценивается здесь .»; расхождение между результатами. | Три автора рассчитали радиационные характеристики молеку- J лярного рэлеевского рассеяния для заданного профиля стандарт-д 128 0,0089 0>0082 0,0084 0,0087 0,0091 о о 0^ ^)0^ 0W 0( 5N 0( ^N^(0^ 0C ,сO 0r '-н с 0 с4 0 0 ф f r t < l f l C D O О О О О О О О О О О CS1 о о о" О О О О О О О о Ю S « l o o оо> & 0,0088 0,0087 0,0090 — 0,0097 ^ W СО r f О — 0,0541 20. Отраженная яркость для трех значений А.; ц0 = 1,0; все ООО ^1 8сч *» со оо ^ со . а О g 0,0514 0,0511 0,0527 0,0538 0,0554 о ю оо (N со оо со ь» 53 $ 00 о> S <N со 2 — C SI о о о о о о о О О О О О о о о О о о о о I <N C l Ю— « « К»ОIs» ь» О $§I N _ О О ^ о N CD S СО' О <N —- (N I 2 £ з о о о о о (N ^ — — *-« еч сч ООО О. ^ 9 Зак. № 119 00. О Ь» S с<N о со Ю 00 о <N СЧ <N «О S S S О о о о о о ^ S О О СО О Ю О 129 ^ О СО О I 0,1432 0,1425 0,1476 — 0,1555 ТАБЛИЦА ООО 0,0539 О о о о о о о о о о о о о о 8 О N О О О 0,1387 0,1415 0,1472 — 0,1555 © 0,0560 0,0502 0,0521 — 0,0556 О' 0,0084 ю 1,0 0,9 ' 0,8 0,75 0,7 о* 0,0092 q> SN < О о о о о о о о о о о о о — — — соо о о о о о о о о о о о о — ООО о о о о о о о о о о ( NС ОЮ О 00 N = 83Й I СО оо о О) N |§В о о о о о о о о — ^ е* l o—<oсо — 8 8 8 о о COWflOlOlflflOSNftCOS^^ Ю *— Ю ‘ О) ~ о о о о о о о — о о о о о о о о § 8о о о c o c o io o o ^ 't io o o О « Ю ю г I о о ( N ю , со 8. о о . о ; о о 00 00 Tt« 00 СО <N (N S оо — — — со ю 8 8 o 2 z n 2 — §5 s a a « f c s s s s a = 8 s о о о о о о о о о о о о .о о о о о о о о о 3 S О О S 8 8 О О 8 2 S fj • о » со оо Tt; (N ( NС ОО о о о о О *-« о сч *-* S i S S 8 .8 8 .2 I — — Cn О I О 2 8 2 3 SS 8 8 2 8 3 I3 3 о 8 о 00.0 о о о о о оо — е* СО (N (N 00 со оо о е* 00 об см g N О во о о о о О О О О — — (N C NС МС О S 2 8 Ц I Щя Щ S ЙМ N ( NС I 2 — — 2 О О О о W О N 00 N СО 00 g О О СО Ю ^ O N g О О О СО S W »н О о о . 0 0 0 0 0 0 0*0 О S О 2 2 | CD N О I« ц я <N О о о) со О Ю N СО N о О О О (N — и § g,g о о ю о ю ю оо N N c q i o ^ c o e s i e s i — — О О О О О О О О О О О О 130 о тГ 00 с5 S ю о £ 1о g Iо s f к 7 к 05 05 О ....*■ § 8 8 1 8 2 « § 2 feg S 2 2 ООО о о о о о О) о> 3 с5 о 0,0473 0,0579 0,0728 0,0823 0,0935 I ©■ C I (N £ И ** о 05 СО Ю N 05 S <н о СО N ^ I» *§. O O юN J f l O S O l O ' t W юW N ^ * ^о О О О О О О О О О О О 9* 1 2 0,0473 0,0572 0,0710 — 0,0886 ТАБЛИЦА §g >» I 1 8£S T Tt« иt« 00 м W 0,0472 Xо I" *О (Qо. 0,0612 8о м zЦ» О) & 0,0816 515X К X «и2Ж о о о о 0,0471 о 0,0473 0,0523 0,0583 0,0618 0,0656 о« Iз * о. II 0,0473 0,0588 0,0691 — 0,0801 ^Ю -00S Й »-• *4 N 2 Z3 Ён 2 о 0,0474 0,0524 0,0582 — 0,0650 20а. Отраженная яркость для трех значений ср; Х,=0,55 мкм & е- 0,0767 S4 8 0,0473 0,0598 0,0704 0,0754 0,0807 О 131 1,0 0,9 0,8 0,75 0,7 II (N Ю ю *1 0,0471 х «1 Е FN о о — — — — — fc со — СЧ о СЧтр Tf т}« S C—O CСQО СЬ»О . гн О О СЧ 8 q 2 2 I 2 S » ш о б О О О О Удвоение — сложение и & бч* а § сч о т г <— § 1C Л< осчсчо8о ^ tP C D O O t P O 05 О О О О О О О 1 о (D S n M FN ъ о» 8 ООО о о о о о Конечные разности 1 li©• сч со ю 1я li §§ s§ ^ l O O О 1 1 з о О О О о S 1 , S? 8 СЧ 1 s j !*? О О О О О 00 £ S а о 8 о O ^ N O > ^ N O O O ' t ® S 8 q 2 2 fc 8 о о I ОС S о о о о о о 8 Конечные разности f со о — сч « ^ ^ СЧ — 05 00 NЮ СО S ' t — — СЧ &8 8 q II ^ о о о о 8со ш о 3 “ о сч оо Sg 8 S 8 88&: О О О ' О О 12 О О О О О О I8 Й I Р 5° II 8> (0 0 )0 )0 0 0 )0 0 ^ FN о о csS o n S S S o — — С Ч С Ч С 0С 0"Ф тр о о о о о о о о Уо «и м isо. Ы О J N О) — — — о> Ю S СО 00 ^ . тг 00 N СО СО N ^ a s s 00 CD 858 — — СЧ I СО тг ю О О О О О О О О О О со ю ^ со сЗ сч — о о о о о о о о о 00 t N 00 Й СО 00 — . 2 2 2 8 I 5SS о о о о 00 о о со со О О О О. ° 1 °0 К N со Ю * СО 8 СЧ — 0 0 *0 000000000 132 Iц Ю О О 8 и т ч <о 8 § со 8 со 00 О о о >» о ю о о о ^ о о о ^ с о * - о > с о ^ СО 8 8 б о о Б 8 о 2 = 2 2 3 S^ e n<5-ом ьомсосою-офооеооою г ТАБЛИЦА 21. Пропущенная яркость для трех значений X; ц0 = ““ ЬО; все <р о о о о о о о о о о о о о 0 о—05 со яр »s §§ о СГ о ООО tto . Is II %8 О о в Ч с( и >» о о о 5 Tt* 8 8 1 О О О -«« СЯ о о 05 N . I СО 05 С-О| — СЯ Ю . N .СО . СО 05 00 I N ^ NN О О О) О О О О О >—• 00 . о ся 00 ся о 54w S а I о о о о о о . о <N Ю I о I о 2 8 8 — ю —« — оо со — ^ ф 8 тР СО о « О ^ i fО l О- aО e^ ^С N N N ooiflgja О ^ Ю О ) * - ^ С О О 05 -М сЗ q оо М N О — О О О О О О О О О О О О О •о. 58 £5 со * СО Tf о ®. °. *1 ^ ' I *1 "1 "1 t II 05 О СЯ Ю00 -со о м -м СО СО СЯ О О О •Q. 00 СО Ю S Ю *-* So I Tf О 0505 (О N ф СО — 2 о 2 О О О о о о о (N N 00 СО СО <N N N со Ю ТР СЯ О ю 05 СО СО О — 00 — СЯ — I <N тР <N СО о 2 j j | 82 О О О о СО 05 05 05 — — 05 1х я X s§ S ч 2° 2: ь СО СО ^ О ю Ю NО00 1 С2Я О2 2О 2СО2СЯ It С8О S 8 О О о о о о о 32 II S N 1Л Ю 05 СЯ О О СО СЯ О <N rf< «о 05 ООО rf* О О .I 8СЯ 2СО305 2 2 гз N CN О 00 05 — 05 S 8 2 , 2 - - « I n О О О О О 1Л 00 Ю (О N N O O O O O O O O 05 О Q M i 133 о — ся сЗ со — в‘ ? ? 7 ? Удвоение — сложение *5Я N СМ о 8 осо со со Ю СО О FN О О О О О О Конечные разности 1 4> со «О ё* ж 5х<у оО 35 >> О Oi я 5 s О II << X СО СО О) S rf (N О О О О О Tt< 1 я FN ^ ' Й СО t 00 © © 00 N 1 8 1П N © ©* о in со 8 © § 1П П 00 Oi in — — in — — — о о о о о о о о — 35 о о о о о о о о о о о о с м СО — 1 — СО — СО N СО ^ С О С О О О О О О т С О Ф О W C O O O )O O N |D 0 N S O O O 00 С МС М CM 00 о & 8см Oi in см см со © о © s о 1I ©©о о о © о — — О СО N со N СО ^ - Ф О О О О О Ю О > ^ О О Ю юсосмсм .смсмсмсоюе* О О О О О—О О О ООООСО О О О О О О О О О* О О О — 00 ^ О T оt« оTf о^ оЮ II С оОрО ^«О о о о о о 1 Л Ф о о о о о о о — Tt« СМ 0 0 — CM СО <g> 8 см О) о O ^ O W W C O N O ^ W N * - N ф W N Ф О № 8 II << со 00 ё осм w. О О О О О О О С М Ю СО r f — см О см Ю см 00 со о о о о 1П СМ00 S —Я см оS> о о со I — 00 со О ч* О ч* ср о O о00i о Tf — N Tf Ю -*« N rf* 00 — N O 00 8‘ S о о о о о о со ю ою —ю см о о со Удвоение — сложение Конечные разности •S N Конечные разности FN *5Я О тГ .. О I <I< NО Ni N СО 00 00 со 1см со O gi . 00 см см см см I ю 55 со оЛ о о о о Oi — О S> с5 S 8 о O i 00 N Ю N N S 8 W I 2 2 £ 2 £ I CO 00 Tt* — - — — см см © 00-00 O i со О O.i о_ со —— см см — см со см о о о о ч*i» C rt* O MT ^t* in in CO N N O i 8Ю 2< N W9 s a a о о* о СМ СО Oi 00 О) 00 ifl ^ ^ о — О CO© 00 N © ©© © © in О о ©© © а. M il 134 CD Ю CO 00 CM © CO CO CO N O O P © in N © 00 Oi & CO © TTTT Удвоение — сложение £г*» О сч ю о о о N 00 8 со 8 О 5: со О с ч о СЧ о Конечные разности (О с ос чс оО o Sс чт рй ю СЧ . «о _ 5; со N 00 «О 00 _ 8 о о § 8 В 8“ 8‘ 8 Удвоение — сложение ю 8 с о О о FN II ю N 8- S о ТР о о Ю $ сч О о Ю 8 О) сч со со ООО ООО о о — о о о о о 8 о о о о СО тР о5 о 8 о о — 0 СЧ 0 0 N СО 0ТР Ю О) со С О тР Ю Ю 50 о о о о о О О О* t5 Q Конечные разности I О ч*. оо сч 00 ^ оо — тр сч О ^ О 00) сч сч О) — СО — Ю тР со 8 8 8 | g 2 2 ~ 2 |2 2 2 О О О О О ООО о Удвоение — сложение ! ООО I 8 2 8 Б ГР СО FN О О II N со S ©■ — сч Гр сч С О N 0 0* «— <N 0 0 N ) . «- О ю N « —*«—*с чс ос о Конечные разности | о о о о о — о ю 22 £2 С О2 00 — — 'Т сч N ОСО ю сч 00 ФV Iю 00 О N -N CO N СОСО Ifl 8СО 3ГР -3 о О оо о о О сч ю ю Ю N со СЧ 0 0 N — — с ч со О I ТАБЛИЦА 21а. Пропущенная яркость для трех значений (р; Х, = 0,55 мкм э- 8 о ^ ЯС Ч22 00 —&со СО СО ТР тР О О ОжОжОж FN 1 ТР s о а O ^ W W ю C O ^ l O 135 C O N ю N O O O о O о — сч ю сч СО Удвоение — сложение 0 FN 00 1©■ СО со о о о 05 с о — О N 8 О со N N 00 —« ( N о см о со 8 СМ О О N l f l W O O O ) ( N ^ l O ( D O 5 S C D 0 N O S О О О О О О О О Удвоение — сложение Конечные разности о о о о о о о о rf* ю — О) СО СО 00 со N N 00 юю 05 СО 00 N O N со Iз ё о о о о о СО СО СЧ о — — О О О О N О N N СО СМ СМ СО О со О О о О О О О я о ю 8 о* О О тР со N 8 О й о О о о о о о о о* о о 05 со — со 05 тР Ю О 0 00 00 00 СМСЧ СМ СЧ О о о о < N 0 0 0 5 N O t P < N i TD FN & н ©■ 05T t*C 0T t*lT D irD C 0N 8 & б б б б б. б о о о о о о о о 8 о* Удвоение — сложение Конечные разности I ю — 05 О О СО СО О О О ООО О О s 05 со ю е 8 fc О О I 8 ci О Ю 00 СЯ О О N 00 N N <N тР Ю 1Л СОСО СО СО О О Ю тр 00 со СО со О О О О о о о о о О 1Л N § О I т Р N СО со I о о о 8 S3 8 ю соеооосою срю FN о О 1 ©• - W l O O O ' t l O O N 05 00 0 0 l O O l O C O N T f c O ^ C O C O C S —‘ О О О О О О О О О Конечные разности , С Ч о о А со ч* со — Tt* СО ^ со — 00 СО 05 N 00 N Ю СО CS *-< — Гр N -P тР , g ^ | СО О N Ю N N СЯ — О S о о о о о Ю СО N N О 05 05 СО СО ^ 00 N ^ «—• Ю CQ— Ю 00 N Ю СО О 00 О 1т — 00 05 О ттттт 8 со О О о о* о О О О о о о о о C M C M C O ^ » O C O N N 0 0 0 5 0 О О О О ГТ Т ......................................... 136 ной атмосферы. Значения оптической толщины молекулярного рассеяния, приведенные в табл. 22, очень близки. Однако де Хаан показал, что если пренебречь лишь коэффициентом деполяризации в формуле Рэлея, то ошибки в значениях отраженной радиации могут составить несколько процентов. Оптическая толщина таэр аэрозольного рассеяния рассчитыва лась по теории Ми при X = 0,4 мкм и % = 1,06 мкм (см. табл. 22), а индикатриса — для трех длин волн. Различия между таЭр у раз личных авторов оказались незначительными, единственное исклю чение — профили II и III при X = 1,06 мкм, где в методе конеч ных разностей использованное значение было примерно на 10 % больше Таэр> использованных в других методах. Этим объясняются большие различия значений яркости. В FN-методе и методе ко нечных разностей индикатрисы альбедо одинаковы; для метода сложения—удвоения она рассчитывалась независимо. Сравнения использованных индикатрис не проводилось. Для метода сложе ния — удвоения верхний предел интегрирования распределения ча стиц по размерам принимался равным 20 мкм для X = 0,55 мкм и 40 мкм для X = 1,06 мкм; предполагалось, что ошибка за счет пренебрежения некоторыми очень большими частицами не превы сит 0,1 %. Однако альбедо однократного рассеяния и показатель асимметрии на 1—3 % отличались от значений, приведенных в Стандартной радиационной атмосфере для континентального аэрозоля при 0,55 мкм. Для FN и конечно-разностного метода верхний предел интегрирования по параметру Ми составил 780, он соответствует радиусу 68 мкм при X = 0,55 мкм. В методе сложения—удвоения атмосфера разделялась на пять однородных слоев: 0—2, 2—7, 7— 12, 12—30 км и слой молекуляр ного рассеяния, расположенный выше 30 км, который в других методах вообще не учитывался. Далее, только для профиля I при X — 0,5 мкм приземный слой разделялся на два подслоя (0— 1 и 1—2 км). К каждому подслою применялось удвоение, а при ком бинировании слоев — сложение. Вычисления проводились со 198 членами разложения Фурье при 20 значениях ц. Для сокращения времени расчетов использовались некоторые приближения, так чтобы значения яркости получились с точностью ± 1 %• Степень поляризации вычислялась с точностью ±0,4 % (она здесь не при водится, так как, к сожалению, сравнений произвести не удалось). В двух других методах поляризация не учитывалась. Не была вы полнена проверка, как неучет поляризации отражается на значе ниях яркости, однако известно, что для аэрозольного рассеяния ошибка составляет около 1 %, а для чисто молекулярного рассея ния достигает 10 %. В конечно-разностном методе применялась Дискретизация с 15 зенитными углами и 31 оптическими толщи нами (исключение составляет профиль I при X = 0,40 и 0,55 мкм i толщин); вычисления проводились с 30 членами разложения Значения при заданных углах получались интерполяцией В рх?числительн°й сетке с помощью кубических сплайн-функций, -методе разделение на однородные слои выполнялось такж е, 137 ТАБЛИЦА 22. Оптическая глубина для FN -метода, метода удвоения — сло жения (УС), метода конечных разностей (К Р) Xмкм 0,4 Профиль I II III 0,55 I II I II 1,06 I II I II Метод тж>л таэр тсумм FN КР FN КР FN КР FN УС КР FN УС КР FN УС КР FN УС КР FN УС КР FN УС КР 0,3388 0,3391 0,3388 0,3391 0,3388 0,3391 0,0947 0,0968 0,0949 0,0947 0,0968 0,0949 0,0947 0,0968 0,0949 0,0069 0,0068 0,0069 0,0069 0,0068 0,0069 0,0069 0,0068 0,0069 1,5191 1,5184 0,3191 0,3203 0,0931 0,0937 1,0280 1,0277 1,0280 0,2280 0,2277 0,2280 0,0780 0,0777 0,0780 0,4220 0,4217 0,4290 0,1016 0,1013 0,1091 0,0559 0,0550 0,0637 1,8579 1,8575 0,6579 0,6594 0,4319 0,4328 1,1227 1,1245 1,1229 0,3227 0,3245 0,3229 0,1727 0,1745 0,1729 0,4288 0,4285 0,4359 0,1084 0,1081 0,1160 0,0627 0,0618 0,0706 * ; как в методе сложения, с дальнейшим разделением на 20 км. Вы числения проводились с 50 членами Фурье при 24 углах ц. По пытки сравнить вычислительное время, необходимое при исполь зовании различных методов, не предпринимались. Во всех мето дах необходимо было найти компромисс между «разумными за тратами машинного времени» и «приемлемой точностью». Д аж е при незначительных изменениях точности расчетов машинное время может меняться в широких пределах. ' Т.2.2.2. Поток Потоки на верхней и нижней границах атмосферы рассчиты вались тремя методами: FN, конечных разностей, сложения— удвоения для тех же случаев, что и яркость. Результаты, вычис ленные FN-методом и конечно-разностным методом, включают также уходящий поток на некоторых промежуточных уровнях.; В случаях когда возможно сравнение, результаты трех названных ' методов согласуются в пределах 1 % или лучше. Ниже мы будем, использовать их в качестве «точных» значений потока, которые; будут играть роль эталона в проверке приближенных методов. Всякий раз, когда результаты получены тремя методами ил», двумя из них, в качестве «точного значения» в таблице приводится 138 их среднее. Разумеется, если использовался лишь один метод, за этало н принимается значение потока, полученное непосредственно ПО этому методу. Пять приближенных методов (Боннел) дали значения потоков для трех профилей, длин волн X, равных 0,40, 0,55 и 1,06 мкм, и со лнечны х углов ц0 = — 1,0; —0,75; —0,5; —0,25. Метод Эддинг тона (Е) (Шеттл и Вейнман, 1970), дельта-метод Эддингтона (DC), (Джозеф и др., 1976), модифицированный двухпотоковый (TS) (Лиоу, 1974), дельта-двухпотоковый (DTS) (Шэллер, 1979), практически улучшенный потоковый (P IF ), являющийся вариан том двухпотоковых методов (Здановски и др., 1980), использова лись в таком виде, в каком они представлены в указанных рабо тах (см. список литературы к п. 4.2 и 4.3). Полученные результаты сравниваются с точными значениями в табл. 23. В большинстве случаев дельта-метод Эддингтона, дельта-двухпотоковый метод и практически улучшенный потоко вый дают результаты, отличающиеся от точных значений не бо лее чем на несколько процентов, что вполне приемлемо для прак тических задач. При Х =0,55 мкм метод Эддингтона и двухпо токовый плохи для отраженного потока в случае цо = — 1 (для профиля II ошибка составляет 20 % ) и не очень точны для про пущенного потока при ц = — 1 (для профиля II ошибка около 10% ). В других случаях они работают так же хорошо, как и PIF и методы, основанные на дельта-приближении: при ц = —0,25 они несколько лучше. Д ля профиля I, оптическая толщина ТАБЛИЦА 23. Сравнение отраженного F * (г = 30 км) и рассеянного пропу щенного F q (г — 0) потоков, а также результирующих потоков Fnet на верх ней границе атмосферы (г = 30 км ), на верхней границе пограничного слоя (г = 2 км) и у подстилающей поверхности (г = 0) Но 4) о £| = Метод £1 Е DE DTS PIF 0,512 0,567 0,570 —8,3 0,741 3,9 + 1 »6 0,743 2,1 0,689 4,2 2,570 —3 ,3 2,567 —0,6 TS Профиль I, А = 0,40 мкм F * (г .= 30) 1,00 0,558 II о 'ы “ч Относительная ошибка 0,713 0,705 2,581 — 1,1 2,640 2,3 Относительная ошибка F„et (г = зо) Относительная ошибка F'net (г = 2) Относительная ошибка Fnet (г = 0) 0,497 —11,0 2,566 1,199 Относительная ошибка 139 2,626 2,3 1,195 —0,3 0,547 —2,1 0,719 0,8 2,590 0,4 2,577 0,4 1,209 2,625 1,7 2,612 1,8 0,9 2,7 1,231 —0,4 2,556 —0,4 1,233 2,8 2,553 —0,5 1,179 — 1,6 F* ( г = 30) 0 ,7 5 Точное значение Но 0 ,5 3 4 0 ,4 7 9 F » (2 = 0 ) Относительная ошибка 1,822 F net (г — 30) Относительная ошибка (г = 1,807 2) Fnet (2 = 0) 0 ,6 7 7 30) 0 ,5 0 0 ,4 8 0 II 0 ,2 6 4 Относительная ошибка F net (г = 1,091 30) Относительная ошибка Fnet (z — 2 ) 1,077 Fnet 0 ,3 0 3 (2 = 0 ) F* (г = 30) 0 ,2 5 0 ,3 4 8 Относительная ошибка П> 0 ,1 0 5 - II (г = 2) О IsT II 0 ,5 5 6 0 ,5 5 3 2 ,0 4 ,1 3 ,6 — 0 ,1 0 ,5 2 0 0 ,4 8 0 7 ,5 8 ,6 0 ,4 1,832 1,819 1 ,8 1 8 — 0 ,2 1,8 0 5 — 0 ,1 1,800 — 0 ,4 1 ,796 — 1 ,4 1,783 — 1 ,3 1 ,7 9 8 — 1 ,3 1 ,7 8 5 — 1 ,2 0 ,7 0 2 0 ,7 1 3 0 ,7 1 7 0 ,6 7 8 2 ,0 3 ,7 5 ,3 6 ,0 0 ,2 0,4 9 1 0 ,4 8 0 0 ,4 7 5 - 0 ,9 0 ,2 8 9 0 ,2 8 9 9 ,4 9 ,2 1,086 1,074 1,0 9 0 — 0 ,1 1 ,0 7 9 0 ,1 0 ,3 2 7 0 ,3 2 7 8 ,2 8 ,0 0 ,3 3 8 0 ,1 2 0 0 ,3 3 2 — 4 ,5 0 ,1 1 5 1 0 ,0 0 ,4 4 8 0 ,4 4 2 1 ,3 2 ,4 0 ,4 2 7 0 ,4 3 4 0 ,4 3 9 1 ,7 2 ,9 0 ,1 0 5 0 ,1 2 0 0 ,1 1 6 Относительная ошибка 1,8 1 2 — 0 ,5 0 ,6 9 0 1 4,0 Относительная ошибка I 0 ,5 3 9 0 ,4 3 7 Относительная ошибка Fnet 0 ,5 3 3 0 ,5 1 5 — 3 ,0 (2 = 0 ) Относительная ошибка P1F 0 ,5 0 4 — 0 ,3 Относительная ошибка DTS 5 ,3 — 0 ,5 Относительная ошибка TS 2 ,9 0 ,1 о nT Ы Относительная ошибка DE 0 ,4 9 3 0 ,7 Относительная ошибка (г = 0 ,5 1 9 0 ,6 Относительная ошибка F+ Е — 2 ,8 Относительная ошибка Fnet Метод 1 4 ,0 10 ,0 0 ,5 0 8 0 ,4 9 7 4 ,6 3 ,7 2 ,4 0 ,2 8 9 0 ,2 9 6 0 ,2 7 f 13 ,0 1,064 — 2 ,4 1 ,0 5 3 — 2 ,2 0 ,3 3 7 11 ,0 1 2,0 1,069 — 2 ,0 1,0 5 7 - 1 ,8 0 ,3 3 4 10 ,0 0 ,3 5 4 0 ,3 4 9 1 ,8 0 ,2 0,121 0 ,1 1 7 16,0 0 ,4 2 6 — 2 ,5 0 ,4 1 8 — 2,1 0,121 1 5,0 11,0 0,431 — 1 ,3 0 ,4 2 3 — 0 ,9 0 ,1 1 7 1 1 ,0 2 ,5 1 ,0 7 5 — 1 ,5 1 ,0 6 3 — 1 ,3 0 ,3 0 9 2 ,2 0 ,3 4 3 — 1 ,6 0 ,1 0 5 0 ,9 0 ,4 3 7 0 ,1 0 ,4 2 9 0 ,5 0 ,1 0 6 0 ,8 Профиль И, Я = 0,40 мкм F+ ( г = 30) 1 ,0 0 0 ,5 2 6 Относительная ошибка F о ( г ~ 0) Относительная ошибка 0 ,4 8 8 - 7 ,3 0 ,8 6 7 0 ,5 1 5 — 2 ,2 0 ,4 6 7 — 1 1 ,0 0 ,5 0 5 — 4 ,1 0 ,5 1 7 — 1 ,7 0 ,911 0 ,8 8 6 0 ,9 3 7 0 ,901 0 ,8 8 3 5 ,0 0 2 ,2 8 ,1 3 ,9 1 ,8 140 Точное значение м. 2 ,6 0 9 F net ( г = 30) Относительная ошибка Р net (2 = 2) 2 ,5 9 4 Относительная ошибка Fnet ( 2 = 0) 2 ,4 9 3 Относительная ошибка F+ (г = 30) 0 ,7 5 0 ,5 1 9 (г = 0) 0 ,7 5 0 F net (2 = 30) 1,8 3 7 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) 1 ,8 2 2 Относительная ошибка Fnet ( г = 0 ) 1,728 Относительная ошибка 30) 0 ,5 0 0 ,4 8 2 Относительная ошибка II о Ы Относительная ошибка F net (2 = 30) 1,089 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) 1,075 Относительная ошибка Fnet (2 = t)) 0 ,9 9 7 Относительная ошибка F+ (2 = 30) 0 ,2 5 0 ,3 6 0 о II Относительная ошибка 0 ,3 1 8 F net (2 = 30) 0 ,4 2 5 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) 0 ,4 1 5 Относительная ошибка Fnet (2 = 0) 0 ,3 7 4 Относительная ошибка 141 TS DTS PIF 2 ,6 7 0 2 ,6 3 2 2 ,6 2 0 1 ,5 0 ,5 2 ,3 0 ,9 0 ,4 2 ,6 3 6 2 ,6 0 9 2 ,6 5 7 2 ,6 1 9 2 ,6 0 6 1 ,6 0 ,6 2 ,4 1 ,0 0 ,5 2 ,5 3 8 2 ,5 1 3 2 ,5 6 4 2 ,5 2 8 2 ,5 1 0 0 ,8 2 ,9 1 ,4 0 ,7 0 ,5 0 4 0 ,5 1 0 - 1 ,8 0 ,4 9 2 — 5 ,2 0 ,5 0 5 — 2 ,8 0 ,5 1 2 — 1 ,4 0 ,7 6 9 0 ,7 6 4 0 ,7 8 6 0 ,7 7 4 0 ,7 6 2 2 ,6 1 ,9 4 ,9 3 ,3 1 ,6 1,848 1,847 1,8 6 0 1,842 1,8 3 9 0 ,6 0 ,3 1 ,2 0 ,6 0 ,1 1,835 1,829 1,847 1,8 3 5 1,8 2 7 0 ,7 0 ,4 1 ,4 0 ,7 0 ,2 1,7 4 9 1,744 1,766 1,754 1 ,7 4 2 1 ,2 0 ,9 2 ,2 1 ,5 0 ,8 0 ,4 7 7 0 ,4 7 0 0 ,4 6 9 0 ,4 7 2 — 2 ,5 0 ,4 7 3 - 1 ,8 — 2 ,6 — 2 ,1 0 ,5 8 9 0 ,5 9 7 0 ,5 9 8 0,601 0 ,5 9 4 2 ,2 3 ,4 3 ,7 4 ,3 3 ,1 1 ,0 8 9 1,096 1,093 1,0 9 7 1 ,0 9 4 0 ,0 0 ,7 0 ,4 0 ,7 0 ,5 1 ,077 1 ,0 8 5 1,082 1,086 1 ,0 8 3 0 ,3 0 ,9 0 ,7 1 ,0 0 ,7 1,011 1,0 1 8 1,0 1 9 1 ,0 2 2 1 ,0 1 6 1 ,4 2 ,1 2 ,2 2 ,5 1 ,9 0 ,3 4 9 0 ,3 4 3 0 ,3 5 2 0 ,3 4 7 — 3 ,0 Относительная ошибка | 2 ,6 2 2 — 1,1 0 ,5 7 7 DE 2 ,6 5 0 — 3 ,0 Относительная ошибка F+ (г = Е 1 ,8 Относительная ошибка П Метод — 4 ,6 — 2 ,3 — 3 ,7 0 ,3 4 5 — 4 ,2 0 ,3 3 2 0 ,3 3 7 0 ,3 3 3 0 ,3 3 6 0 ,3 3 5 4 ,6 6 ,0 4 ,7 5 ,9 5 ,6 0,431 0 ,4 3 7 0 ,4 2 9 0 ,4 3 4 0 ,4 3 5 1 ,3 2 ,7 0 ,8 1 ,9 2 ,3 0 ,4 2 3 0 ,4 2 8 0,421 0 ,4 2 6 0 ,4 2 7 1 ,9 3 ,2 1 ,4 2 ,6 2 ,9 0 ,3 8 9 0 ,3 9 3 0 ,3 8 9 0 ,3 9 3 0 ,3 9 2 4 ,0 5 ,2 4 ,1 5 ,1 4 ,8 •* j 9) И» t , Метод j о! I5 Е DE TS DTS Профиль III, Л = 0,40 мкм F+ (г = 30) 1,00 0,458 —3,5 0,608 0,629 0,623 3,4 2,5 5,1 3,8 0,6231 2,5 I 2,686 0,8 2,678 j 0 ,5 ; 0,443 - 6 ,7 0,640 F net (2 == 30) Относительная ошибка 2,665 2,684 2,678 2,694 Fnet (2 — 2) Относительная ошибка 2,650 0,7 2,671 0,5 2,665 1,1 2,681 0,8 0,6 Fnet (2 = 0) Относительная ошибка 2,648 0,75 0,458 Относительная ошибка 0,557 Относительная ошибка 1,898 F net (* = 30) Относительная ошибка 2,663 0,8 0,6 1,2 0,449 —2,0 —3,6 0,448 0,563 0,571 1,4 1,1 1,902 2 ,6 1,910 0,2 1,890 1,903 0,50 0,445 —3,0 0,568 2 ,0 0,6 0,449 ; —2 ,0 j 0,563 * ы 1,895 0,6 0 ,3 1,893 1,887 0,6 0 ,3 1,881 1,887 0,4 0,3 0,8 0,418 0,416 0,415 — 1,4 2,663 ‘ 1,902 ; 0 ,7 1,896 - 1 ,0 2,671 0 ,9 0 ,2 1,890 0 ,3 Относительная ошибка 2,665 \ 0,6 0 ,5 0,4 1,889 0,422 2,673 0 ,9 0,6 1,898 1,891 Относительная ошибка 0,451 —5,0 0,631 1,907 1,884 Относительная ошибка Fnet (2 = 0) 0,442 0,564 0,3 Fnet (2 = 2) F+ (2 = 30) 2,669 1,2 2,679 —2,3 F B (2 = 0) i 0 ,4 5 8 j —3 ,5 • 0,452 —4,7 Относительная ошибка F+ (г = 30) - 1 ,6 0,414 —1,8 0,416 — 1,4 F b (2 = 0) Относительная ошибка 0,472 0,473 0,475 0,476 0,477 0,475 1,2 1,149 0 ,7 1,150 1,0 F net (2 = 30) Относительная ошибка 0,3 1,148 1,151 0 ,2 1,140 1,151 0 ,7 1,150 0,3 1,141 0,1 1,139' Fnet - 0 ,1 (2 = 2) 1,135 Относительная ошибка Fnet (2 = 0) 1,133 Относительная ошибка F* (г = 30) 0,25 0,326 Относительная ошибка F b (2 = 0) Относительная ошибка 3 1 0,475 Относительная ошибка РЪ (2 = 0) PIF 1,137 0,1 1,139 0,1 0,3 1,135 0 ,4 1,138 0,5 1,139 0,3 1,137 0,1 1,137 0,3 0 ,4 0 ,5 0,3 0,318 0,316 0,319 —2,5 0,308 0,313 1,5 142 —3,1 0,315 2,2 —2,2 0,313 1,4 0,317 —2,7 0,314 2,0 0,316 —3,1 0 ,3 1 6 ’ 2,2 Fnet (* ==30) Точное значение До 0,459 Fnet (2 = 0) 1,00 F b (2 = 0) Относительная ошибка PIF 0,463 0,8 0,464 1,0 0,461 1,0 0 ,4 0,449 0,454 0,456 0,453 1,5 0 ,9 0,455 1,3 0,456 1,5 0,448 1,1 0,453 1,0 0,455 0,452 0,454 1,5 0 ,9 1,3 0,455 1,5 0,205 —27 0,281 —0 ,9 0,295 5 ,7 0,757 —0,9 0,279 0,763 2,863 Fnet (2 = 30) Относительная ошибка 2,852 _ 1,785 Относительная ошибка 0,75 0,288 Относительная ошибка F d (2 = 0) 0,570 2,070 Относительная ошибка 2,059 1,097 Относительная ошибка 0,831 0,802 1,7 2,860 8 ,8 5,1 2,859 2 ,'925 2,915 1,807 1,2 0,281 0,50 0,282 0,351 Относительная ошибка и Ш N << ( 1,292 гноснтельная ошибка 1,282 Относительная ошибка 143 0,3 2,935 - 0 ,1 2,850 2,5 - 0 ,1 1,798 2,6 1,853 0,7 0,300 4,0 2,926 3,8 0,280 - 2 ,8 0,593 4,0 0,601 0,624 5,4 9 ,5 2,074 2,055 2,074 2,064 0,2 1,150 2,1 Относительная ошибка (2 = 2') 0,776 0,2 Fnet (2 = 2) Относительная ошибка Fnet (2 = 0) (2 = 0 ) 0,785 2,8 —2,6 Относительная ошибка F net (2 = 30) F+ (2 = 30) 0,280 2,2 F net (2 = 0) F+ (2 = 30) 0,215 —23,0 2,2 Fnet (2 = 2) Относительная ошибка /Л DTS Профиль I, Л = 0,55 мкм F+ (2 = 30) F n et TS 0,6 Относительная ошибка f D DE 0,464 Относительная ошибка • Б 0,462 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) Относительная ошибка Метод —0,7 2,045 —0,7 1,128 2,8 0,302 0,292 7,3 3,6 0,387 10,0 1,267 — 1,9 1,257 - 1 ,9 0,2 —0,2 2,849 - 0 ,1 1,824 2,2 0,306 6 ,2 0,620 8,7 2,049 — 1,0 2,039 2,845 —0,6 2,835 —0,6 1,779 —0,3 0,312 8,2 0,585 2,7 2,043 — 1,3 2,033 — 1,3 2,065 0,3 — 1,0 1,151 5,0 1,147 1,113 4,5 1,4 0,310 9,9 0,302 7,0 0,302 7,0 0,392 12,0 1,277 — 1,2 1,268 0,404 15,0 1,260 0,402 15,0 - 2 ,5 1,250 — 1,1 - 2 ,5 - 1 ,9 1,258 — 1,8 1,268 0,379 8 ,2 1,268 - 1 ,9 1,258 - 1 ,8 0) До is* Метод 8 Е Ox н « 0,517 Fnet (2 — 0) F+ (г = 30) 0,25 0,230 0,240 4,5 Относительная ошибка 0,143 F S (2 = 0) 0,173 21,0 Относительная ошибка F n et 0,553 7,1 Относительная ошибка (г = 30) 0,558 Относительная ошибка 0,544 —2,6 W4 II £С 0,548 Относительная ошибка 0,535 -2 ,4 F net (г = 0) Относительная ошибка 0,152 0,182 20,0 TS DTS PIF 0,558 7,9 0,570 10,0 р,569 10,0 0,546 5,6 (1,225 - 1 ,9 0,250 0,235 8,9 2,4 1,2 * 0,177 0,167 0,156 9,1 : DE 0,164 15,0 0,558 0,1 0,550 0,3 0,173 14,0 24,0 0,534 —4,4 0,525 —4 ,2 0,186 23,0 17,0 0,548 - 1 ,7 0,540 0 ,2 3 * 0,551, - 1 ,2 - — 1,5 0,543 - 1 ,0 0,176 16,0 0,165 8 ,6 0,188 0,203 —2 ,0 Профиль II, Л = 0,55 мкм F + (2 = 30) 1,00 0,207 Относительная ошибка F~£ (2 = 0) 0,568 Относительная ошибка Fnet (2 = 30) 2,933 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) 0,75 лГ II о II о 3 3,002 2,3 2,993 2,4 0,5 0,221 0,213 0,222 0,529 —3,6 0,530 0,523 2,135 0,1 2,141 — 1,2 2,133 0 ,3 —0,1 1,2 0 ,4 2,132 0,4 2,123 —0,0 2,152 1,3 2,055 2,124 2,060 0,50 2,938 1,4 1,7 Относительная ошибка F+ (2 = 3 0 ) 2,952 0,6 2,974 2,856 Относительная ошибка Относительная ошибка 0,597 5,0 1,4 2,890 Относительная ошибка (z = 2) 0,646 14,0 2,842 Относительная ошибка F net 2,3 - 9 ,1 2,965 Относительная ошибка Fnet (2 = 30) 0,581 0,137 —34,0 2,923 Относительная ошибка F+ (* = 30) 0,615 8,3 0,202 —2,6 0,2 2,929 Относительная ошибка Fnet (2 = 0) 0,166 —20,0 0,234 0,2 0,2 2,921 2,8 0,193 — 13,0 0,552 4,3 2,161 2,943 0,580 2,1 2,937 0,1 2,928 0 ,7 0,1 2,872 2,855 1,1 0 ,5 0,212 0,223 - 1 ,0 0,534 0 ,9 2,142 0 ,7 0,522 — 1,4 2,132 - 0 ,1 2,122 2,084 2,133 0 ,4 2,066 0,1 —0,2 1,2 0,3 —0 ,3 0,245 4,7 0,232 —0,9 0,233 —0 ,0 0,226 —3,1 —0 ,5 2,062 144 —0,1 2,054 0,232 0) Цо ^ Метод 0) х О 5 S» OS Н« Е 0,429 (г = ° ) Относительная ошибка 1,336 Fnet (2 = 30) Относительная ошибка 1,326 Fnet ( 2 = 2 ) Относительная ошибка 1,251 Fnet (2 = 0) 0,25 DTS 0,430 0,4 0,444 0,444 3,4 3,5 0,450 5,0 1,325 - 0 ,8 1,338 1,336 1,315 —0,8 1,254 F d (2 = 0) 1,334 0,1 0 ,6 0,1 1,267 1,274 1,8 1,266 1,3 1,267 1,3 0,209 0,226 0,208 —5 ,8 —0,0 1,343 0,5 1,2 —5,3 0,292 0,306 0,293 0,308 0,305 - 1 ,1 0,555 4,8 0,6 0,558 5,7 0,564 0,576 4,6 0,574 2,1 0,568 2,4 0,566 2,0 0,509 0,524 0,521 0,5 3,4 2,8 - 1 ,5 0,554 0,547 - 1 ,4 F net (2 = 0) 1,327 0,2 0,1 1,328 3,5 0,289 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) Относительная ошибка 0,443 3,2 1,337 0,1 1,328 0,229 Относительная ошибка (2 = 30) PIF 0,221 Относительная ошибка Fnet TS 0,2 Относительная ошибка F+ (2 = 30) DE 0,507 0,505 —0,5 Относительная ошибка 0,575 1,9 0,566 2,2 0,522 2,9 2,1 - 1 ,0 0,550 —0,8 0,210 —5,0 1,8 Профиль III, Л = 0,55 мкм F+ (2 = 30) 1,00 0,162 II о .0,322 Относительная ошибка Fnet (2 = 30) 2,980 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) 2,978 Относительная ошибка ' Fnet (2 = 0) 2,963 Относительная ошибка F+ (г = зо) 0 ,7 5 0,165 1! 0 'ы >> Относительная ошибка тносительная ошибка F n e t (г ==30) Зак. JVo 119 0,349 0,315 0,142 — 12,0 0,363 13,0 0,151 —6 , 6 0,344 0,335 6 ,8 4,1 4,1 2,989 3,017 2,993 2,989 0 ,8 0 ,3 1,3 0 ,6 0 ,3 2,994 2,980 3,008 2,989 2,980 0 ,8 0 ,3 1,3 0 ,6 0 ,3 2,992 2,978 3,006 2,987 2,978 1,0 0,5 1,5 0 ,8 0 ,5 0,159 0,313 2,295 0,1 145 0,335 0,123 —24,0 8 ,4 —0 ,6 2,192 0,151 —6 ,6 3,003 —3 ,4 Относительная ошибка 10 0,137 — 15,0 Относительная ошибка 0,162 — 1,4 0,310 — 1,7 2,192 —0 , 0 0,149 —9 ,8 0,156 — 5 ,2 0,324 0,316 2 ,8 0 ,4 2,206 2,198 0 ,6 0 ,3 0,162 — 1,4 0,310 — 1,7 2,192 —0 ,0 H° 0) $ х Метод Е Нn Ли* (2 = 2) Относительная ошибка 2,183 F net (z = 0)Относительная ошибка 2,181 (2 = 30) 0,50 0,168 II о Относительная ошибка 0,278 Относительная ошибка 2,186 0,2 2,185 0,2 0,278 0,278 0,272 —2,1 1,388 —0,6 1,384 F net 1,391 —0,3 (2 = 0 ) Относительная ошибка (2 = 3 0 ) 0,162 0,171 0,223 5,7 0,210 0,624 Относительная ошибка сч4 II 0,615 Относительная ошибка 0,615 Относительная ошибка —0,0 1,400 - 0 ,2 1,391 —0,2 1,389 0,3 1,400 —0,2 1,392 - 0 ,1 1,390 2,18lj 0 ,1 6 * 0,7 0,282 1,4 0,278^ —0 ,0 < 1,404 1,400 - 0 ,2 0,1 1,395 0,1 1,391 —0 ,2 0,1 0 ,2 0,160 0,168 0,159 0,160 — 1,7 0,222 —0 ,8 ‘' 0,221 —0 ,2 —0 ,9 4,2 —5,6 0,221 —0,9 0,213 —4,4 0,613 — 1,8 0,623 - 0 ,1 0,615 0,605 0,616 0,0 0,604 — 1,9 0,166 - 1 ,6 1 1,393 0 ,4 —0,8 - 1 ,7 F net (2 = 0) 0 ,0 1 0,169 1,385 п 0,3 0 ,3 1,393 0,25 0 ,7 0,7 Fnet (2 = 2) Относительная ошибка F * (2 = 30) 0,0 2,197 0,169 —0,6 Относительная ошибка 2,189 0,3 2,188 2,18$; 0 ,° 2,181 0,7 2,195 2,183 0,0 0,175 1,403 Относительная ошибка PIF TS 4,2 Fnet (2 = 30) Относительная ошибка Fnet (2 = 0) DTS DE 0,614 —0,1 - 1 ,4 0,608 0,625 0,1 0,617 0,3 — 1,2 0,606 0,616 — 1,4 0,1 1,389 0,1 0,623 - 0 ,1 0,616 0,0 0,616 - 0 ,1 Профиль I, Л = 1 ,0 6 мкм F+ (2 = 30) 1,00 0,082 0,047 —42,0 0,429 0,454 О Ы N4 II Относительная ошибка Относительная ошибка F net (2 = 30) 5 ,9 3,059 3,094 3,051 1,1 3,087 2,470 1,2 2,500 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) Относительная ошибка F net (2 = 0) Относительная ошибка 1,2 146 0,088 0,028 0,081 0,092 7,7 —6 6,0 0,430 0,3 0,485 13,0 0,445 3,8 3,053 - 0 ,2 3,114 1,8 3,060 0 ,8 3,049 3,046 —0 ,*2 3,107 1,8 0,1 3,053 —0,3 3,042 2,476 0,2 2,531 2,4 0,1 2,491 —0,3 2,471 0,0 - 1 ,2 0,8 — 13,0 0,425 v F* (г = 30) 0,75 Точное значение Но Метод Е 0,097 Относительная ошибка 0,367 F 5 (2 = °) Относительная ошибка Fnet (2 = 30) 2,257 Fnet (2 = 2) 2,250 Относительная ошибка Fnet (2 = 0) 1,691 Относительная ошибка 0,50 0,113 F S (2 = 0) 0,274 Относительная ошибка Fnet (2 = 30) 1,455 (2 = 2) 1,447 0,376 2,5 0,374 2,0 8,7 2,261 2,249 2,273 Л т (2 = 0) 0,936 Относительная ошибка 0,25 0,115 II 0 Fnet (2 = 30) Относительная ошибка F net ( г = 0 ) 0,385 5,1 0,370 0 ,9 2,253 2,246 —0 ,5 —0 ,5 1,706 0,9 1,704 —0,2 1,715 0,8 2 ,2 1,5 0,5 0,130 0,119 0,118 0,121 4,1 7,1 0,287 4,8 1,440 1,433 0,953 1,9 0,130 0,655 0,648 • ~ 1 ,8 0,293 0,313 6,8 Относительная ошибка 0,398 0,7 1,728 0,667 0,659 0,110 14,0 6 ,6 — 0,4 — 1,8 Fnet (2 = 2) 0,103 0,7 2,266 0,172 12,0 Относительная ошибка 0,083 — 14,0 - 0 ,4 2,242 0,154 Относительная ошибка PIF 2,253 0,2 13,0 Относительная ошибка DTS - 0 ,2 — 1,0 Относительная ошибка n" 0,107 11,0 - 1 ,0 Относительная ошибка F+ (2 = 30) 0,095 — 1,4 15,0 Относительная ошибка Fnet TS 0,1 Относительная ошибка F+ (2 = 30) DE 5,0 0,298 8,6 1,452 — 0,2 1,445 — 0 ,2 0,125 11,0 0,301 10,0 1,445 —0,7 1,438 —0,6 0,964 0,968 3 ,0 3,4 0,108 —5,8 0,175 14,0 0,677 0,131 14,0 0,178 15,0 0,654 0,305 11,0 1,453 2,238 1,700 0,295 7,5 1,450 — 0,1 —0 ,4 1,446 - 0 ,1 — 0 ,3 0,971 3,8 0,110 - 4 ,4 0,178 16,0 1,442 0,961 2,7 0,110 — 4,3 0,173 12,0 0,675 0,675 0,647 1,2 0,668 1,2 0,668 - 1 ,9 0,319 1,3 0,320 1,3 0,314 9,0 7,1 0,003 —92,0 0,034 14,0 0,256 0,226 0,041 2,8 0,219 1,5 0,669 — 1,9 1,5 0,316 7,8 2,246 8,7 Профиль II, Я = 1 ,0 6 мкм F* (г = 30) 1,00 0,040 Относительная ошибка fd (г = 0) 0,230 Относительная ошибка 10* 147 0,019 —52,0 0,240 4,2 0,041 2,2 0,219 - 4 ,8 11,0 - 1 ,8 —4,9 О) Но Е Н* 0,75 (2 = 0) 0,034 0,047 4,1 0,204 —30,0 0 ,221 —5,5 0,209 1 ,0 —4 ,4 0,208 2,322 2,309 0,2 0,0 0 ,8 0 ,2 0,0 У 2,297 2,203 2,298 2,29» < 0,3 0,0 2,315 2,8 2,302 0 ,2 2,248 2,247 —0,0 2,242 2,260 0 ,0 .J 2,242 i 0,184 0,175 —5,0 —3,7 0,185 0,2 1,500 1,510 1,496 1,493 Fnet (2 = 0) Относительная ошибка 1,440 0,078 II о OI Относительная ошибка —0,6 —8 ,4 0,061 ; - 3 ,4 0,188 0,184 ' 2,1 1,513 0 ,2 1,509 : 0 ,4 1,506 1,502 —0,2 1,439 0,4 0,3 0 ,6 1,449 —0,0 0,6 1,477 0,5 1,452 0 ,9 0 ,4 1,449 * 0,088 0,067 — 14,0 0,085 7 ,9 0,066 — 16,0 0,067 — 14,0 0,153 0,138 0,155 0,153 4 ,5 0,719 3 ,4 0,718 2,3 0,712 2 ,4 2,1 0,7H 0,134 0,696 0,650 —0,7 0,643 Относительная ошибка 0,183 0,058 0,6 —9 ,5 0,697 —0 ,8 0,690 0,703 0,063 —0,1 —0 ,2 : ; 1,507 0,3 1,500 12,0 0,148 0 ,5 2,248 —0,0 0,4 1,502 —0,2 Относительная ошибка Относительная ошибка 0,061 0,071 11,0 Fnet (2 = 2) Относительная ошибка Fnet (2 = 0) - 0 ,2 0,063 1,504 Fnet (2 = 2) —6 ,9 ' * 2,305 > 2,305 Fnet (2 = 30) Относительная ошибка F net (2 = 30) Относительная ошибка 0 ,0 5 1 1 4 ,5 'I 0 ,2 0 3 1 2,310 Относительная ошибка 0,25 —6 ,8 3,038 s 0,1 2,304 Относительная ошибка F + (2 = 30) 3,075 1,4 0,051 Относительная ошибка F d (2 = 0) — 0 ,0 j 3,045 0 ,4 0,046 6,8 0,049 Относительная ошибка 0,50 0 ,2 0 ,1 Относительная ошибка F+ (2 = 30) 1 ,2 0,8 —4,6 Fnet (2 = 0) —0 ,0 ! 3,094-j 0,7 3,058 Относительная ошибка Fnet (2 = 2) 3,107 0 ,2 3,100 3,039 0,219 Fnet (2 = 30) 1,2 3,131 3,094 0,0 3,038 Относительная ошибка PIF О F+ (г = 30) 3,138 DTS 3,094 Относительная ошибка F net (2 = 0) Относительная ошибка 3,101 —0,0 TS 3,122 0,7 3,115 3,101 F net (2 = 2) DE СО Fnet (2 = 30) Относительная ошибка н Метод о* — 1,1 148 3,4 0 ,7 1 8 - 7 ,0 0,701 2 ,1 —0 ,3 0,711 2,3 0,662 1,9 0,694 —0,3 0,647 —0 ,5 . 0,6 0,664 2 ,2 0,662 2 ,1 1,9 ■ Но /г+ (2 = 30) 1,00 Метод $* 1" Нт Е DE 0,025 0,003 —86,0 0,023 —6,8 0,159 II 0,162 о *4 Относительная ошибка Fnet (2 = 30) Относительная ошибка Fnet (2 = 2) Fnet (2 = 0) 0,75 3,138 0,1 3,109 0,7 3,131 3,106 0,7 3,129 0,1 3,109 0,7 0,1 0,025 0,030 0,030 Относительная ошибка — 16,0 F~S (2 = 0) 0,162 Относительная ошибка 2,324 Относительная ошибка 2,317 2,319 0,50 о II Относительная F„et (г = Относительная Fnet ( г = тносителЬцая f net (г = З^^ельная о >> Относительная ошибка t net (2 = 30) Относительная ошибка F net (2 = 2) Относительная ошибка Fnet (2 = 0) Относительная ошибка F* (2 = 30) Относительная ошибка ошибка 30) ошибка • 2) ошибка 0) ошибка 0,038 0,146 II Fnet {г = 2) Относительная ошибка Fnet (2 = 0) Относительная ошибка F + (2 = 30) Относительная ошибка 0,155 —4,4 Fnet (2 = 30) 1,529 1,522 1,520 0,25 —2,1 3,118 3,116 Относительная ошибка Относительная ошибка F+ (2 = 30) 0,178 1,00 Относительная ошибка 0,051 0,123 0,730 0,723 0,721 149 3,111 0,4 0,150 - 7 ,3 TS 0 0,191 18,0 3,111 1,1 3,142 1,2 0,2 0,1 3,109' 3,113 0,3 0,1 0,1 0,030 0,015 —49,0 0,027 — 10,0 0,165 0,153 0,4 0,150 - 5 ,4 2,329 —7 ,3 2,326* 1,7 0,1 2,319 0,7 2,334 0,3 2,322 0,1 0,046 19,0 0,1 2,317 —0,1 0,036 —5,0 0,7 2,332 0,6 0,039 2,6 0,137 0,5 0,744 1,8 0,737 1,9 0,735 1,9 г-2,1 3,118 3,116 2,324 0,103 —17,0 0,723 - 1 ,1 0,716 —1,0 0,714 — 1,0 0,163 0,6 0 ,2 0,3 0,140 0,023 —6 ,7 0,159' 1Л 3,144 2,341 —4,3 1,534 0,3 1,527 0,4 1,525 0,4 0,042 — 18,0 0,124 0,019 —24,0 3,151 2,326 0,130 PIF 3,123 2,331 —Л 1,0 1,525 —0,3 1,518 —0,2 1,516 —0,2 0,063 23,0 DTS —6 ,2 1,531 0,1 1,524 0,2 1,522 0,2 0,060 17,0 0,106 — 14,0 0,726 - 0 ,7 0,719 —0,6 0,717 —0,6 0 ,2 2,322 0 ,2 2,320 0,1 0,034 — 10,0 0,1 2,319’ 0,1 2,317 —0,1 0,036 —5,0 0,142 0,140 —2,8 1,536 0,5 1,529 0,5 1,527 0,5 0,041 —20,0 - 4 ,3 1,534 0,3 1,527 0 ,4 1,525 0,4 0,042: — 18,0 0,125 1,4 0,745 2,0 0,738 2,0 0,736 2,0 0,6 0,744 1,8 0,737 1,9 0,735 1,9 0,124 которого в приземном слое велика, рассеянный вниз поток и ре-| зультирующий поток у поверхности земли всегда дают большую.; ошибку при малых р.о (при цо = —0,25 ошибка расчетов по меч* тоду PIF — около 10% , по дельта-методу Эддингтона и дельта-i двухпотоковому методу— 16% , по методу Эддингтона и двухпо-; токовому методу — 20 %. Для Я := 0,40 мкм и Я = 0,55 мкм вы-j воды оказываются аналогичными, только при больших погрешно-* стях полученные результаты несколько точнее. Для Я, = 1,06 мкмзначения приземного потока в случае профиля I, ц<> = —0,25, ста-| новятся более точными, но ошибки в значениях отраженного по^ тока для цо = — 1 сильно возрастают (для метода Эддингтона—Э около 50 %, а для двухпотокового метода — 100 %). Приложение IA Отражение от поверхности Граничные условия на подстилающей поверхности можно пред ставить в виде 2я 1 / + (*■; р, ф) = 4 - J ^ p (ili. ф; и'. ОО —иЛ ф')<*р '<*ф'. (1 А. 1) где «двухнаправленный» коэффициент яркости зависит от направ ления падения (р/, <р) и отражения (р., <р) и обычно является сложной функцией обоих направлений. Более того, коэффициент не очень хорошо изучен для разных видов покровов почвы, и здесь необходимы большие экспериментальные исследования. Рассмотрим два предельных случая: 1) идеально отражающая поверхность, отвечающая закону Ламберта: р(р, ср; р', ф') = Рь (1А.2) где рх, — постоянная величина, равная альбедо подстилающей по верхности; этот предельный случай удобно использовать в каче стве первого приближения для различных видов почв; 2 ) поверхность с зеркальным отражением: р (ц , ф ; р /, ф') = 6 ( ц — р ')6 (ф — ф' + л )р ^ (р ), где pF задается хорошо известным законом Френеля; по существу, таковы условия отражения от спокойной плоской поверхности. Для океанской поверхности отражение следует вычислить на ос нове закона Френеля с учетом формы взволнованной поверхности и переотражений. Присутствие пены учитывается с помощью диф фузной составляющей отражения. Приложение 1Б Взаимность и соотношения симметрии Как и в любой физической теории, в теории радиационного.; переноса важную роль играют инвариантные свойства или транс-! формации. Здесь мы будем различать так называемые локальные' инварианты (или соотношения) и глобальные инварианты. Первые имеют отношение к матрице однократного рассеяния Р ; они инду-; цируют вторые, которые относятся к матрицам рассеяния и про-, пускания S и Т. 1. ЛОКАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ Рэлеевское рассеяние (изотропные молекулы), рассеяние Рэ лея—Кабанна (анизотропные молекулы) и рассеяние Ми (изотроп ные частицы), а также любую комбинацию этих типов рассеяния, описывают в общем три основных соотношения: универсальное соотношение Р (т; ц, ц'; ф — ф') = Р(т; —ц, —ц'; ф '— ф), (1БЛ) соотношение перестановки Р (т; (д., ц/; ф — ф') = g P (т; |х', ц; ф' — ф ^ , (1Б.2) соотношение обратимости Р(т; ц, ц'; ф — ф') = £*Р(т; —ц', —|х; ф' — ф^*.'; (1Б.З) Из комбинации этих соотношений получаются четыре допол нительных зависимых соотношения: Р(т; ц, ц'; Ф — ф') = Е Р ( тс; —ц'. —Ц! ф — <P')g> Р (т; ц., |х'; ф — ф') = д*Р(т; ц', ц; ф — ф '^ * , Р(т; ц, |х'; ф — ф') = gg*P (т; |х, ц'; ф' — ф)£*£, Р(т; |х, \ х ф — ф') = gg*P (т; —М-, —ц/; ф — ф/)g*g• (1В.4) (1Б-5) (1Б.6) (1В.7) В этих выражениях тильда означает транспонирование матрицы; g и g * — симметричные ортогональные матрицы, удовлетворяю щие условию рр* = 1 (единичная матрица), p = g, g*, gg*. Эти семь соотношений применимы независимо от представления, при нятого для описания состояния поляризации. Однако явные выра-жения для g и g* зависят от используемого представления. Так, 152 для представления Стокса g и g* — диагональные матрицы с эле ментами ( 1, 1, 1, — 1) и ( 1, 1, — 1, 1) соответственно. Операции в семи приведенных уравнениях совместно с опера ц и е й тождества образуют абелеву группу. Соответствующая таб лица умножения показывает, что имеется 21 подгруппа четвертого порядка и 35 подгрупп третьего порядка. Системы из трех соотно шений (1Б.5— 1Б.7) и (1Б.1, 1Б.З, 1Б.6) можно использовать с точки зрения алгебраической и пространственно-временной сим метрии соответственно. Все соотношения (кроме 1Б.1) могут быть объяснены только соображениями симметрии аргументов. Мы ознакомили читателя с максимальным числом возможных соотношений. Следует отметить, что не все соотношения справед ливы для любого типа частиц. 2 . ГЛОБАЛЬНЫ Е ВАРИАНТЫ Для неоднородной произвольной атмосферы в целом сущест вует десять соотношений, из которых три являются независимыми S (t„ 0; (X, Hoi <р — <p0) = gS(T„ 0; ц0. Шф — <p0)g. (1Б.8)' S( t „ 0; |х, ф — ф0) = g*S (t„ 0 ;]ц 0. М; ф« — Ф^*> S (t„ 0; ц, |х0; Ф — Фo) = gg*S(т1, 0; |х, ц0; ф0 — ф ) £ ^ , (1Б.9)(1Б.10> S (0, т,; (X, Ц0; Ф— Фо) = е8(0, (1Б.11) т ,, (х0. ф — Фо^> ST(0, т,; (X, |х0; ф — Фo) = g*S(0, т,; Но. и;фо — Ф^*> (1Б.12> S (0, т,; н. fV. ф — Ф«) = gg*S(0, т,; (X, (х0; фо — ф)g*g.(1Б.13 Т(т„ 0; (X, ц0; ф — Фo) = gg*T(тl, 0; |х, щ,; ф# — ф)g*g. (1Б.14) Т (0, т,; |х, |х„; ф — ф0) = gg*T (0, т,; ц, jx0; Фо — ф ^ 51^ . (1Б.15) Т (т„ 0; |х, |х0 ф — фo) = gT(0, т,; (х0. н; ф — фо) g. (1Б.16) Т (т„ 0, (х, |х0; ф — Фo) = g*T(0, т,; |х0, |х; Фо — ф ^ * - (1Б.17) В то же время, если матрица индикатрисы этой неоднородной атмосферы симметрична по отношению к центральному уровню атмосферы, то можно получить десять дополнительных соотноше ний, из которых опять-таки только три будут независимыми (этот особый вид неоднородной атмосферы, конечно, заключает в себе как частный случай однородную атмосферу): S (t„ 0; (х,(V, ф — Ф o)= gS (0, т,; |х0, |х; ф0 — ф) g. (1Б S (t,, s (t,, 0; 0; jx,|х0; ц,ц0; ф — ф0) = £ * 8 ( 0 , т,; Цо. ф — ф0) = gg*S (0, т,; |х, Ц5 Ф- Фо) g*.(1Б (х01 ф — Фo)g*g.( т (Т|. 0; (х,ц 0 ф — фв) = g T (т I, 0; (х0. 153 фо — ф ^ . (1Б.21)- Т (т,, 0; ц, (Х0; Т(0, т,; (X, ц0;<р — Т(0, т,; (X, Т (т„ 0; (X, S ( t , , 0; ц, Т(т,, 0; (X, ф — ф0) = g*T (т„ 0; ц0> Ц; ф — фо^*.(1Б.22) ? 0) = gT(0, т,; ц0, ц; Фо — 9 )g . (1Б.23)| ц0;ф — фо) = ц0;ф — Фо) = щ,; Ф — Фо) = щ; ф — Фо) = g*T (0, т,; |х0, ц; ф — Фо^*> gg*T (0, т,; ц, Цо’> ф — Ф o )g * g . 8(0, т,; ц, Ио5 фо — ф ). Т(0, т,; ц, jx0; ф0 — ф). (1B.24)J (1Б.25);< (1Б.26)1 (1Б-27)] У этих соотношений также имеются групповые свойства. Kaif л в случае с матрицей индикатрисы, здесь тоже следует отметить,’ что соотношения (1Б.8)— (1Б.27) составляют максимальное числа!; возможных соотношений и что они могут быть объяснены толькоs соображениями симметрии аргументов. Важнее всего, что приве-. денные двадцать уравнений применимы как к однократному, рассеянию, так и к рассеянию любого порядка, к любому конеч ному накоплению порядков рассеяния и к полному многократному рассеянию (бесконечное накопление). 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖ ЕНИЯ Физические и модельные приложения Пользуясь соображениями симметрии, можно быстро выпол нить сравнение между результатами наблюдений и теорией (про верка либо качества наблюдений, либо теоретических соображе ний). Д ля этого можно использовать данные об излучении, отра женном или пропущенном облаком, или излучении, диффузно от* раженном атмосферной планеты. Вычислительные приложения Приведенными соотношениями можно воспользоваться как для проверки точности вычислений, так и для сокращения вычисли тельной процедуры. Их можно использовать для сведения четырехмерной задачи? радиационного переноса к задаче с меньшим числом координат, (однако это приложение успешно применяется только в случаях рассеяния типа Рэлея и Рэлея—Кабанна). В методе матричного оператора (см. п. 3.9) и в методе удвое; ния (см. п. 3.10) уравнения (1Б.26) и (1Б.27) описывают связь между потоками, приходящими на верхнюю и нижнюю границы комбинируемых атмосферных слоев. Приложение IB Индикатриса рассеяния для атмосферы 1. РАССЕИВАЮЩИЕ ЧАСТИЦЫ В ЗЕМНОЙ АТМОСФЕРЕ В абсолютно чистой атмосфере рассеяние происходит только 1 на молекулах воздуха * (рэлеевское рассеяние); соответствую щая оптическая толщина меняется в пределах от 0,15 для изуче ния 500 нм до 1,0 в ближней ультрафиолетовой области. Другие рассеиватели — это твердые или жидкие частицы сферической или иной формы. Они характеризуются формой, размером и пока зателем преломления (с реальной и мнимой частями, последняя связана с поглощением). Обычно они полидисперсны вокруг не которого среднего размера; их распределение по размерам описы вается различными полуэмпирическим'и формулами. В первом приближении эти частицы можно разделить на че тыре группы: — твердые аэрозоли (средний размер 0 , 1— 1 мкм, неправиль ная форма, неоднородный состав, обычно мало данных о показа теле преломления); — водяные капли дымки (средний размер 0 , 1— 1 мкм, форма сферическая, показатель преломления известен); — водяные облачные капли (средний размер 1— 10 мкм, форма сферическая, показатель преломления известен); — ледяные облачные кристаллы (средний размер 1— 10 мкм, форма неправильная, показатель преломления известен). Эти частицы либо находятся преимущественно в нижнем слое атмосферы (дымки, аэрозоли), либо сконцентрированы в огра ниченных слоях (слой стратосферных аэрозолей, облака). Изме нение концентрации с высотой вынуждает нас считать атмосферу неоднородной, но следует помнить, что вертикальное распреде ление частиц, как правило, плохо известно. Оптическая толщина, характерная для этих частиц, изменяется от 0,1 для весьма чистой атмосферы до 100 для мощной облач ности. * Выражение «рассеяние на молекулах» используется для краткости. В дей- твнтельности рассеяние происходит не на молекулах, а на флуктуациях плот» сти атмосферы. {Прим. ред. пер.) 155 2. РЭЛЕЕВСКОЕ РАССЕЯНИЕ (ИЗОТРОПНЫЕ МОЛЕКУЛЫ) Рэлеевская матрица рассеяния, Стокса (/, Q, U, V), имеет вид 1+ COS8 & использующая О О COS &2 — 1 параметры1! j О О О 2 cos& О О О о О 2 cosfr COS-&2 — 1 1+ COS2 O' а соответствующая индикатриса — вид p(f>) = - f - ( l + cos2 (1В.2) Показатель рассеяния единичного объема газа, содержащего* JV молекул, описывается выражением *~ 8я3 (пг — I)2 3 X*N (1В.Э) где п — реальный микроскопический показатель преломления газа. Д ля анизотропных молекул необходима модификация формул (1В.1) и (1В.З), но в большинстве атмосферных задач этим эф фектом можно пренебречь. 3. РАССЕЯНИЕ МИ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ 3.1. Одна частица Параметр размера частицы, часто называемой параметром Ми,: равен о = 2 лг/К, где г — радиус частицы, X — длина волны излу чения. Для отдельной частицы матрица рассеяния, записанная с помощью параметра Стокса, имеет вид Р (г ’ ^ = 2яо (г) X Х S.S, -f- S 2S 2 S 2S 2 — S.S, О О S 2S 2 — S , S , S , S , - f S 2S 2 о о О 0 s 2s \ + S,S* i (S2S ' - S,S*) 0 0 i (5 ,s ‘ - s 2s!) s 2s'l + s ls l (1B.4) а индикатриса рассеяния — вид я Р (Г) &) = 2m ( r ) (S ‘S ‘ + 156 <Ш -5) где Si и S 2 — функции от ft, заданные рядами Ми: (*-ж-+ь-ш )- <|В-6> G» ^ < г + <|В -7) • Р'п — присоединенный полином Лежандра; ап и Ьп — коэффици енты, являющиеся функциями а и комплексного коэффициента преломления частицы т ; 5* — число, комплексно сопряженное с Si. Коэффициенты рассеяния и ослабления равны соответственно J ] ( 2 n + l)(a\-\-bn), (1В.8) П=>1 оо -2Т ^ = -1 г £ <2rt + l)R e(a„ + &n). (1В.9) П= 1 Число членов в рядах ( 1В.6 ) и (1В.7), которыми нельзя пре небречь, равно приблизительно (2а + 3 ). Индикатриса рассеяния, имеющая вид (1В.5), может быть пре образована аналитическим путем в ряд по полиномам Лежандра типа (1.38) с тем же числом членов (2 а + 3 ). 3.2. N полидисперсных частиц Обозначим распределение по размерам п(г). число частиц равно Тогда полное оо N = j n(r)dr. О Коэффициенты рассеяния и ослабления для системы имеют вид частиц оо os * = \ o s (r)n(r)dr, О (1В.10) оо ое = § o e(r)n(r)dr, (1В.11) гДе aa(r) иое(г) — коэффициенты для одной частицы,определен ные формулами (1В.8) и (1В.9). Индикатриса рассеяния системы получается из индикатрисы Рассеяния отдельной частицы (1В.5). оо р w = -°s 5- О S п (f ) w Р V d r• (1 вл 2 > Аналогичные соотношения справедливы для матрицы рассеяния. 157 4. РАССЕЯНИЕ НЕСФЕРИЧЕСКИМИ ЧАСТИЦАМИ Для частицы простой геометрической формы типа кристаЛ' лов льда иногда можно развить теорию Ми, но обычно задачу рассеяния несферическими частицами решается только путем не^ посредственного измерения рассеяния. Часто используют весьма грубое допущение, которое заключа ется в том, что неправильные произвольно ориентированные ча< стицы рассеивают так же, как сферические частицы того же раа мера, и с тем же показателем преломления. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ I В большинстве теоретических работ нелегко отделить методы, посвященные переносу нейтронов, от методов, пригодных для переноса излучения. В книге «Hendry, Lathorp et al., Bibliography of Neutral Particle Transport T h e o r y » (Los Alamos Report, L. A. 4287, MS 1970) содержится 1849 ссылок на р а б о т ы в этой области. г , только I. Учебники и общие обзоры Амбарцумян В. А., Мусталь Э. Р., Северный А. Б., Соболев В. В. Теоре тическая астрофизика.— М.: Гостехтеоретиздат, 1952. 635 с. * Зеге Э. П., Иванов А. П., Кацев И. Л. Перенос изображения в рассеи в а ю щ е й среде.— Минск: Наука и техника, 1985. 327 с. Иванов А. П. Оптика рассеивающих сред.— Минск: Наука и техника, 1969. Иванов В. В. Перенос излучения и спектры небесных тел.— М.: Наука, 1969. Кастий Дж., Калаба Р. Е. Методы погружения в прикладной математике/ Пер. с англ.— М.: Мир, 1976. 223 с. Кондратьев К. Я. (ред.). Радиационные характеристики атмосферы и по верхности Земли.— Л.: Гидрометеоиздат, 1969. 212 с. Кондратьев К. Я., Авасте О. А., Федорова М. П., Якишева К. Е. Радиа ционное поле Земли как планеты.— Л.: Гидрометеоиздат, 1967. 359 с. Лиоу К. М. Основы радиационных процессов в атмосфере/Пер. с англ.— Л.: Гидрометеоиздат, 1985. 376 с. * Мак-Картни Э. Оптика атмосферы.— М.: Мир. 1979. 421 с. * Масленников М. В.. Сушкевич Т. А. (ред.). Численное решение задач атмосферной оптики.— М.: Изд. ИПМ АН СССР, 1984. 234 с. Минин И. Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет.— М.: Наука, 1988. 264 с. Сивков С. И. Методы расчетов характеристик солнечной радиации.— Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 231 с. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет.— М.: Гостехтеоретиздат, 1956. 320 с. Соболев В. В. Рассеяния света в атмосферах планет.— М.: Наука, 1972. * Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. 3-е изд.— М.: Наука, *1985. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии/Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1953. 431 с. Bellman, R., editor, G. Birkhoff, and I. Abu Shumays (1969): Transport Theory, SIAM-AMS, AMS Proceedings, Providence, Rhode Island. Bellman, R. E., H. H. Kagiwada, R. E. Kalaba, and М. C. Prestrud (1964): Invaria nt Imbedding and Time-Dependent Transport Processes, American Elsevier, N e w York. Bellman, R. E., R. E. Kalaba, М. C. Prestrud (1963): Invariant Imbedding and Radiative Transfer in Slabs of Finite Thickness, American Elsevier, New York. Busbridge, I. W. (1960): The Mathematics of Radiative Transfer, Cambridge University Press, London. Case, К. М., and P. F. Zweiffel (1967): Linear Transport Theory, Addison Wesley, Reading, Massachusetts. Davison, B. (1958): Neutron Transport Theory, Clarendon Press, Oxford. Goulard, P., editor, S. M. Scala, and R. N. Thomas (1968): Radiative Energy transfer, Proceeding of the Symposium on Interdisciplinary Aspects of Radiative energy Transfer (Philadelphia), Pergamon Press, New York. IT . Hopf, E. (1934): Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, Cambridge University Press, London. f О- E., editor (1971): Transport Theory Atlas Symposium No. 3, Proc. oi the Symposium of Interdisciplinary Applications of Transport Theory (Oxford); J • Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 11, 511— 1033. Oxford Urân°^* ^ as^c Methods in Transfer Problems, Clarendon Press, По * Звездочкой отмечены работы, дактором перевода. (Прим. ред. пер.) добавленные 159 к списку литературы ре Kuriyan, J. G., editor (1973): Proc. of the UCLA Int. Conference on Radia tion and Remote Probing of the Atmosphere, Western Periodicals Comp., Los An geles, California. Ozisik, M. N. (1973): Radiative Transfer and Interactions with Conduction, and Convection, J. Wiley, New York. ’ Preisendorfer, R. W. (1965): Radiative Transfer on Discrete Spaces, Pergamotf Press New York. Sanchez, R., and n! J. McCormick (1982): A Review of Neutron Transport Approximations, American Nuclear Society Critical Reviews Nr. 11, Nuc. Sci. Eng. 80, 481—535. Van de Hulst, H. C. (1980): Multiple Light Scattering. Tables, Formulas and Applications, Vols. 1 and 2, Academic Press, New York. 2.1. Метод сингулярной собственной функции Case, К. М., and P. F. Zweifel (1967): Linear Transport Theory, Addison' Wesley, Reading, Massachusetts. * Kaper, H. G. (1966): One Speed Transport Theory with Anisotropic Scatter*/ ing—Application to the Slab Albedo Problem—Part I, Theory; Report TW-37, Mathematisch Institut, University of Groningen, The Netherlands. Kaper, H. G., and G. K. Leaf (1971)i A Survey of Approximation Procedures' for the Numerical Solution of the Neutron Transport Equation, Report ANL 7779** Argonne National Laboratory, Illinois. ■ Kaper, H. G., and G. K. Leaf (1971): A Survey of Approximation Procedures, Theory With Anisotropic Scattering — Part II: Numerical Evaluation of the^j Exact Slab Albedo Problem Solution; Report TW-65, Mathematisch Institut, Uni-| versity of Groningen, The Netherlands. ; Kaper, H. G., J. K. Shultis, and J. G. Veninga (1970): Numerical Evaluation,' of the Slab Albedo Problem Solution in One Speed Anisotropic Transport Theory,* I. Comput. Phys. 6, 288—313. i Kuscer, I., and N. J. McCormick (1973): Some Analytical Results for Ra-^ diative Transfer in Thick Atmospheres, Proceedings UCLA International Con-^ ference on Radiation and Remote Probing of the Atmosphere, 196—226. $ McCormick, N. J., and I. Kuscer (1966): Bi Orthogonality Relations for S o lv -J ing Half-Space Transport Problems, I. Math. Phys. 7, 2036—2045. > McCormick, N. J., and I. Kuscer (1973): Singular Eigenfunctions Expansions)* in Neutron Transport Theory, Adv. Nuc. Sci. Tech. 7, 181—282 (contains an exten-* ded list of references). \ Pahor, S., and P. F. Zweifel (1969): Invariant Imbedding and Case Eigen functions, I. Math. Phyt. 10, 581—589. , j Schnatz, T. W., and С. E. Siewert (1971): On the Transfer of Polarizedt; Light in Rayleigh-Scattering Half-Spaces With True Absorption, Mon. Not. Astron. Soc. 152, 491—508. Schultis, J. K., and H. G. Kaper (1969): Greenhouse Effect in a Finite sotropically Scattering Atmosphere, Astron. Astrophys. 3, 110—121. *•. Siewert, С. E. (1972): On the Half Range Orthogonality Theorem Apprpv priate to the Scattering of Polarized Light, I. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 12, 683—694. Van de Hulst, H. C. (1970): The Spectrum of the Anisotropic Transfer B5qu*r. an Arbitrary Scattering Function, Bull. Astron. Inst. Nether. 20, 77—86. Van de Hulst, H. C. (1970): The Spectrum of the Anisotropic Tranesfer Equa* tion, Astron. Astrophys. 9, 366—373. 2.2. Метод Винера-Хопфа Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Системы интегральных уравнений для полулй^н ний, базирующиеся на разности аргументов.— Успехи мат. наук, 1958. * Фок В. А. О некоторых интегральных уравнениях математической Ф зики.— Математический сборник, 1944, т. 14 (56), № 1—2, с. 3—50. * Hopf, Е. (1934): Mathematical Problems of Radiative Equilibrium, CaflV bridge University Press, London. 160 K r e i n , M. G. i v r i i e l Differences (1958) (in Russian): Integral Equations on a Half-Line With of the Arguments, Usp. Mat. Nauk. (English translation Amer. Math. Soc. Transl. 22, 163—228, 1962.) M a r t i n , B. J. (1971): On a New Integral Equation Arising in the Theory of R a d i a t i v e Transfer, SIAM J. Appl. Math. 20, 703—713. Williams, М. M. R. (1973): The Wiener-Hopf Technique: An Alternative to the S in g u la r Eigenfunction Method, Adv. Nuc. Sci. Techn. 7, 283—327 (contains an extended list of references). 2.3. Метод матрицы переноса A r o n s o n , R. (1970): Transfer Matrix Solution of Some One- and Two-Medium Tr ansfe r Problems in Slab Geometry, /. Math. Phys. 11, 931—940. A r o n s o n , R. (1971): Relation Between the Transfer Matrix Method and Case’s M e t h o d , Transport Theory Stat. Phys. 1, 209—224. Aronson, R. (1972): Travelling Mode Solution of Transport Theory Problems by Inspection, Transport Theory Stat. Phys. 2, 181— 196. A r o n s o n , R. (1972): General Solution for Polarized Radiation in a HomogeneousS l a b Atmosphere, Astrophys. J. 177, 411—421. Aronson, R. (1973): One-Speed Neutron Transport Problems, Part I: Exact T r a n s f e r Matrix Formulation, Nucl. Sci. Eng. 51, 157— 165. Aronson, R., and D. L. Yarmush (1966): Transfer-Matrix Method for GammaRay and Neutron Penetration, /. Math. Phys. 7, 221—237. Caroll, G., and R. Aronson (1973): One-Speed Neutron Transport Problems, Part II: Slab Transmission and Reflection and Finite Reflector Critical Problems, Nucl. Sci. Eng. 51, 166—179. Pahor, S., A. Suhadolc, and E. Zakrajsek (1974): A New Method for Solving the Matrix Transport Equation in Radiative Transfer, Publication of the Depart ment of Mathematics VI 1971-73, University of Ljubljana, Yugoslavia, 51—80. 2.4. Приведение к Н-функции или к X- и Y-функциям Амбарцумян В. А. Рассеяние света планетными атмосферами.— Астрономи ческий журнал, 1942, т. 19, с. 30. Амбарцумян В. А. Диффузное отражение света туманной средой.— Доклады АН СССР, 1943, т. 38. с. 229—232. Амбарцумян В. А., Мусталь Э. Р.. Северный А. Б., Соболев В. В. Теоре тическая астрофизика.— М.: Гостехтеориздат, 1952. 635 с. Колесов А. К. Результаты расчетов Я-функции для различных индикатрис рассеяния различной элонгации.— Труды Астрономической обсерватории ЛГУ, 1971, т. 28, № 3. Колесов А. К. Отражение и пропускание света полубесконечной атмосфе рой для анизотропного рассеяния.— Труды Астрономической обсерватории ЛГУ, Колесов А. К., Смоктин О. И. Диффузное отражение и пропускание света Прлубесконечной атмосферой с четырехчленной индикатрисой рассеяния.— Аст рономический журнал, 1971, т. 48, с. 1013. Колесов А. К., Соболев В. В. Перенос излучения в полубесконечной среде пРи трехчленной индикатрисе рассеяния.— Труды Астрономической обсерватории ЛГУ, 1969, т. 26, № 3, с. 3— 19. Лоскутов В. М. Вычисление радиационного поля для монохроматического изотропного рассеяния, II. Функции Амбарцумяна и ср(т], т0) и <р(т], То) и их моменты — Астрофизика, 1973, т. 9, № 3, с. 256—267. Лоскутов В. М. Диффузное отражение света от полубесконечной атмосферы СгЛРехчленн°й индикатрисой рассеяния.— Труды Астрономической обсерватории ЛГУ, 1973, т. 29, с. 33. Соболев В. В. Курс по радиационному переносу.— М.: Гостехиздат, 1956. Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет.— Гостехиздат, 1956, 320 с. A bhyankar, К. D., and A. L. Fymat (1969): Linearization of the Global Equaсо °L Radiative Transfer, Jet Propulsion Laboratory Report SPS 37-56, Vol. Ill, 52, Pasadena, California. 11 Зак. № 119 iAi Abhyankar К. D., and A. L. Fymat (1969): Diffuse Reflection by a Semji Infinite. Nonconservative Rayleigh Atmosphere, Bull. Amer. Astron. Soc. 1, 17Й Abhyankar K. D., and A. L. Fymat (1969): Effect of Linearization of thd Transfer Problem on the Computations of the Emergent Radiation Field, Jet Pro! pulsion Laboratory Report SPS 37-57, Vol. Ill, 28—30, Pasadena, California] Abhyankar K. D., and A. L. Fymat (1970): On the Solution Hi (ц) ol Ambarzumian-Chandrasekhar H-Equation, /. Quant. Specirosc. Radiat. Transfer 9j 1563—1566, 1969; 10, 705. j Abhyankar K. D., and A. L. Fymat (1970):Imperfect Rayleigh Scattering iiijj a Semi-Infinite Homogeneous Atmosphere, Astron. Astrophys. 4, 101 — 110, 5, 49U Abhyankar K. D., and A. L. Fymat (1970): Theory of Radiative Transfer irtj Inhomogeneous Atmospheres: III. Application of the Perturbation Method to; Azimuth-Independent Terms, Astrophys. J. 159, 1009—1018. ■ Abhyankar K. D., and A. L. Fymat (1970): Theory of Radiative Transfer iil Inhomogeneous Atmospheres: IV. Application of the Matrix Perturbation Method to a Semi-Infinite Atmosphere, Astrophys. J. 159, 1019— 1028. j Abhyankar K. D., and A. L. Fymat (1971): Tables of Auxiliary Functions fon Non-Conservative Rayleigh Phase Matrix in Semi-Infinite Atmospheres, Astrophys] J. Suppl. Ser. 23, No. 195, 35—192. \ Adams, C. N., and G. W. Kattawar (1970): Solutions of the Equations ofl Radiative Transfer by an Invariant Imbedding Approach, /. Quant Spectrosck Radiat. Transfer 10, 341. 4 Bellman, R., H. Kagiwada, R. Kalaba, and S.Ueno (1966): Numerical Results' for Chandrasekhar’s X and Y Functions of Radiative Transfer, J. Quant. Sped rose. Radiat. Transfer 6, 479—500. Bellman, R., P. T. Y. Poon, and S. Ueno (1973): Numerical Results for F in ite Order X and Y Functions of Radiative Transfer, /. Quant. Spectrosc Radiat, Transfer 13, 1273. ^ Bond, G. R., and С. E. Siewert (1971): On the Nonconservative Equation of^ Transfer for a Combination of Rayleigh and Isotropic Scattering, Astrophys. J..i 164, 9 7 -1 1 0 . . < Busbridge, I. W. (1960): The Mathematics of Radiative Transfer, Cambridge' University Press, New Rochelle, New York. • Busbridge, I. W., and S. E. Orchard (1967): Reflection and Transmission of Light by a Thick Atmosphere According to a Phase Function 1 + x cos0, Astrop- 4 hys. J. 149, 655—664. Busbridge, I. W., and S. E. Orchard (1968): Reflection and Transmission of. Light by Thick Atmospheres of Pure Scatters With a Phase Function 1 + *, + Y?n=z\ ®*Pn(cos0), Astrophys, J. 154, 729—739. :j Cadwell, J. (1971): The W- and Y-Functions of Chandrasekhar, Astrophys. J.k 163, 111. ^ Carlstedt, J. L., and T. W. Mullikin (1966): Chandrasekhar’s X- and Y-Funp<& tions, Astrophys. J. Suppl. Ser. 12, No. 113, 449. ^ Chandrasekhar, S. (1950): Radiative Transfer, Oxford University Press, ford (reprinted by Dover Publications, Mineola, New York. I960). , ^ Chandrasekhar, S., and D. Elbort (1954): The Illumination and Polarization^ of the Sunlit Sky on Rayleigh Scattering, Trans. Amer. Phil. Soc, 44, 643. ^ Coulson, K. L. (1959): Characteristics of the Radiation Emerging From the ? Top of a Rayleigh Atmosphere, Plan. Space Sci. 1, 265—276. Coulson, K. L, J. V. Dave, and Z. Sekera (1960): Tables Related to Radia-J tion Emerging From a Planetary Atmosphere With Rayleigh Scattering, Univer sity of California Press, Los Angeles. Domke, H. (1971) (in Russian): Radiative Transfer With Rayleigh Scatter- . ing: I. Semi-Infinite Atmosphere, Astron Zh. 48, 341 (English translation Sov. Astron. 15, 266, 1971); II. Finite Atmosphere, Astron. Zh. 48, 777 (English translation Sov. Astron. 15, 616, 1971). .■ Fymat, A. L. (1967): Theory of Radiative Transfer in Atmospheres Exhibiting Polarized Resonance Fluorescence, Pp. D. Thesis, University of California at Los Angeles. 162 j A. L. (1971): Tables of Auxiliary Functions for Anisotropic Molecular and Resonance Fluorescence Line Scattering in Semi-Infinite Atmosheres, Jet Propulsion Laboratory Technical Report, Pasadena, California. F y m a t , A. L., and K. D. Abhyankar (1968): Transfer of ,Radiation Through Inhomogeneous Slab Atmospheres, Astron. J. 73, S. 178. F y m a t , A. L., and K. D. Abhyankar (1969): Transfer of Radiation Through A t m o s p h e r e s With Variable Albedo for Single Scattering, Bull. Am. Astron. Soc. ) 219. ' F y m a t , A. L., and K. D. Abhyankar (1969): Iteration Scheme for Soeving the L in earize d X- and H-Equations, JPL Report SPS 37—56, Vol. Ill, 53—55; SPS 37. 57, Bol. Ill, 35, Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, California. F y m a t , A. L., and K. D. Abhyankar (1969): Error Analysis ofthe Lineari zation Method in Radiative Transfer Theory, JPL Report SPS 37-57, Vol. Ill, 25—28, Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, California. Fymat, A. L., and K. D. Abhyankar (1969): Theory of Radiative Transfer in I n h o m o g e n e o u s Atmospheres: I. Perturbation Method, Astrophys. J. 158, 315—324. Fymat, A. L., and K. D. Abhyankar (1969): Theory of Radiative Transfer in I n h o m o g e n e o u s Atmospheres: II Application of the Perturbation Method to a Semi-Infinite Atmosphere, Astrophys. J. 158, 325—335. Fymat, A. L., and K. D. Abhyankar (1970): Imperfect Rayleigh Scattering in a Semi-Infinite Atmosphere, Astron. Astrophys. 4, 101, 1970; 5, 49. Fymat, A. L., and K. D. Abhyankar (1970): An Alternate System of Ueno’s X- and Y-Equations for Inhomogeneous Atmospheres, /. Quant. Spectrosc. Radi at. Transfer 10, 49—54. Fymat, A. L., and K. D.Abhyankar (1970):Transfer ofPartially Polarized Radiation Through Finite Inhomogeneous Atmospheres, Bull. Am. Astron. Soc. 2, 193. Fymat, A. L., and K. D. Abhyankar (1971): Effect of Absorption on Scatter ing by Planetary Atmospheres, J. Geophys. Res. 76, 732—735. Harris, D. L. (1957): Diffuse Reflection From Planetary Atmospheres, Astrop hys. J. 126, 408. Kahle, A. B. (1968):Intensity of Radiation From aRayleigh Scattering Atmosphere, /. Geophys. Res. 73, 7511, Kahle, A. B. (1968): Global Radiation Emerging From a Rayleigh-Scattering Atmosphere of Large Optical Thickness, Astrophys. J. 151, 637—645. Kreise, J. Т., and С. E. Siewert (1971): An Expedient Method for Calculat ing H-Matrices, Astrophys. J. 164, 389—391. Kuscer, I. (1953): Penetration of Radiation Through a Thick Slab Isotropically Scattering Material, Can. J. Phys. 31, 1187. 34 256SCer’* Milne’s Problem for Anisotropic Scattering, /. Math. Phys. F ym at, S c a t t e r in g Kuscer, I. (1958): Diffuse Reflection of Light From a Semi-Infinite Scattering Medium, J. Math. Phys. 37, 52. Lenoble, J. (1963): Essai d’une Methode General epour l’lntroduction des Fonctions X et Y de Chandrasekhar dans le Cas de la Diffusion Anisotrope, c R- Acad. Sci. 256, 4638—4640. Lenoble, J. (1970): Importance de la polarisation dans le Rayonnement Dif533° РаГ Une atmosphere Planetaife, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 10, Mayers, D. F. (1962): Calculation of Chandrasekhar’s X- and Y-Functions ° Г w°*r?Pjc Scattering, Month. Not. R. Astron. Soc. 123, 471. Mullikin, T. W. (1961): Principles of Invariance in Transport Theory, /. Math. Appl. 3, 441-454. Sn. , ?!>,ikin- T w - (1964): Chandrasekhar’s X and Y Equations, Trans. Am. Math. Ьос- //3 , 316—332. spheres^w*1!’ • (* ^ 4 ): Radiative Transfer in Finite Homogeneous Atmo139 37q__o Anisotropic Scattering: I. Linear Singular Equations, Astrophys. J. д, Fmioi. 96- 1964; II. The Uniqueness Problem for Chandrasekhar’s and tl>/ and f t 1!8- Astrophys. J. 139, 1267— 1289. W f ‘k/.,lnv J Ind ( 1965): Equation in Radiative transfer, 5oc. App MAmNonlinear 13 388_ Integrodifferential 41§ Mullikin, T. W. (1966): The Complete Rayleigh Scattered Field Within & Homogeneous Plane-Parallel Atmosphere, Astrophys. J. 145, 886—931. Nagirner, D. I. (1973): (in Russian): Calculation of the Radiation Field foe Monochromatic Isotropic Scattering. I. Resolvent Functions, Astrophys. 9, N3^ Scheeweiss, A. B. (1973) (in Russian): Calculation of the Radiation Field inj Isotropically Scattering Semi-Infinite Medium, Vestnik Leningrad Univ. 7. * Schiffer, R. A. (1971): The Depolarization of Multiple Scattered Atmospheric Radiation Due to Molecular Anisotropy, Ph. D. Dissertation, University of Ca-; lifornia at Los Angeles (UCLA). Sekera, Z. (1955) Învestigation of the Polarization of Skylight, Final Report* Contract AF 19 (122) 239, Department of Meteorology, University of California at Los Angeles (UCLA). Sekera, Z. (1956): Recent Developments in the Study of the Polarization of Skylight, Advances in Geophysics, 3, 43—104. j Sekera, Z. (1963): Radiative Transfer in a Planetary Atmosphere With ImpeN feet Scattering, Report R-413-PR, The Rand Corporation, Santa Monica, Cali-;' fornia. Sekera, Z. (1966): Reduction of the Equations of Radiative Transfer for a' Plane-Parallel Planetary Atmosphere: I. Memorandum RM-4951-PR, II. Мепкк randum RM-5056-PR, The Rand Corporation, Santa Monica, California. J Sekera, Z. (1967): Determination of Atmospheric Parameters From Measure** ments of Polarization of Upward Radiation of Satellite or Space Probe, Icarus 6;} 345. i Sekera, Z. (1968): Radiative Transfer and the Scattering Problem, /. Quant:f Spectrosc. Radiat. Transfer 8, 17—24. Sekera, Z., and A. B. Kahle (1966): Scattering Functions for Rayleigh Atmo-'^ spheres of Arbitrary Thickness, Memorandum R-452-PR, The Rand Corporation, > Santa Monica, California. ! Sobouti, Y. (1963): Chandrasekhar’s X, Y, and Related Functions, Astrophys,! J. Supp. 7, 411. Stibbs, D, W. М., and R. E. Weir (1959): On the H-Functions for Isotropic Scattering, Mon. Not. R . Astron. Soc. 119. 512. Sweigart A. V. (1970): Radiative Transfer in Atmospheres Scattering Accord- 1 ing to the Rayleigh Phase Function With Absorption Astrophys. J. Suppl. Ser. 22, 1. J Ueno, S. (1959): The Probabilistic Method for Problems of Radiative Transfer 1 IX. Diffuse Reflection and Transmission in a Finite Atmospl^re With Isotropic | Scattering in the Nonconservative Case, Ann. Astrophys. 22, 468—483. r| Ueno, S. (1959): The Probabilistic Method for Problems of Radiative Transfer ! XI. On the Scattering and Transmission Functions of Chandasekhar, Ann. Astrop■> J hys. 22, 484—490. . ^ Ueno, S. (1960): The Probabilistic Method for Problems of Radiative Transfer X. Diffuse Reflection and Transmission in a Finite Inhomogeneous Atmosphere, 1 Astrophys. J. 132, 729—745. Van de Hulst, H .C. (1970): Reduction to H-Functions in Radiative Transfer *! With a General Anisotropic Phase Function, Astron. Astrophys. 9, 359—365. f 3.1. Метод Монте-Карло Антюфеев В. С., Михайлов Г. А., Назаралиев М. А. В кн.: Вероятностные ме:оды решения задач математической физики.— Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971, с. 26—43. Антюфеев В. С., Назаралиев М. А. Новая модификация метода М онте-Карло для решения задач теории рассеяния света в сферической атмосфере.— Изв. АН СССР. ФАО, т. 9, № 7, 1973, с. 820—828. Каргин Б. А. В кн.: Вероятностные методы решения задач математической физики.— Изд. ВЦ СО АН СССР, 1971. с. 123—156. * Каргин Б. А. Статистическое моделирование поля солнечной радиации в атмосфере — Изд. ВЦ СО АН СССР, 1984, 206 с. Каргин Б. А., Михайлов Г. А. Журнал высшей математики и математиче ской физики, 1972, т. 12, с. 150— 158. Креков Г. М., Михайлов Г. А., Каргин Б. А.— Изв. физики ВУЗов, 1968, N2 4, с. 110—115. 164 ' К реко в Г. М., Михайлов Г. А., Каргин Б. А. Изв. физики ВУЗов, 1968, № 5, Г 5 4 -5 9 . М а р ч у к Г. И., Михайлов Г. А. Результаты решения некоторых задач атмопЬернон оптики методом Монте-Карло — Изв. АН СССР. ФАО, т. 3, 1967. ^ 1 394—408. Марчук Г. И., Михайлов Г. А., НазаралиевМ. А., Дарбинджан Р. А. Ре шение прямых и некоторых обратных задач атмосфернойоптики методом М о н т е - К а р л о . - Изд. ВЦ СО АН СССР, 1968. * Марчук Г. И. (ред.), Михайлов Г. А., Назаралиев М. А.. Каргин Б. А., Елепов Б. С. Метод Монте Карло в атмосферной оптике, Наука. Новосибирск, 1976, 215 с. Михайлов Г. А. Журнал высшей математики и математической физики, т. 13, 1973. с 574—582. * Михайлов Г. А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло.— Но восибирск: Наука, 1974. 142 с. Михайлов Г. А.. Назаралиев Н. А. Расчеты поляризации света в сфериче ской атмосфере методом Монте-Карло.— Изв. АН СССР. ФАО. т. 7, 1971, с. 385-396. Appleby, J. F., and W. М. Irvine (1973): Path Length Distributions of Pho tons Diffusely Reflected From a Semi-Infinite Atmosphere, Astrophys. S. 183, 337. Collins, D. G. (1967): Study of Polarization of Atmospheric Scattered Light Usincr Monte-Carlo Methods, J. Opt. Soc. Am. 57, 1423 (abstract). Collins, D. G., W. G. Blattner, М. B. Wells, and H. G. Horak (1972): Back ward Monte-Carlo Calculations of the Polarization Characteristics of the Radia tion Emerging From Spherical Shell Atmospheres, Appl. Opt. 11, 2684. Collins, D. G., K. Cunningham, and М. B. Wells (1967): Monte-Carlo Studies of Light Transport, Report RRA-T74 (Radiation Research Associates, Inc., Fort Worth. Texas). Collins, D. G., and М. B. Wells (1965): Monte-Carlo Codes for Study of Light Transport in the Atmosphere, Report RR.-T54 (Radiation Research Associat es, Inc., Fort Worth, Texas) Vols. 1 and 2. Danielson, R. E., D. R. Moore, and H. C. Van de Hulst (1969): The Transfer of Visible Radiation Through Clouds, /. Atmos. Sci. 26, 1078. Darbinian, R. A. (1971) (in Russian): In “Probability Methods of the So lution of the "Problems of Mathematical Physics”, Computer Center, SO AN SSSR, Novosibirsk, 87—97. Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1968): Influence of Particle Size Distri bution on Reflected and Transmitted Light From Clouds, Appl. Opt. 7, 869—878. Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1968): Radiance and Polarization of Mul tiple Scattered Light From Haze and Cloud, Appl. Opt. 7, 1519— 1527. Kattawar, G W., and G. N. Plass (1969): Infrared Cloud Radiance, Appl. Opt. ^ 1169-1178. Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1970): Thermal Emission From Haze and Clouds. Appl. O pta 9, 413. Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1971): Influence of Aerosol Clouds and Molecular Absorption on Atmospheric Emission, J. Geophys. Res. 76, 34—3 Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1972): Radiative Transfer in the Earth’s Atmosphere-Ocean System: IL Radiance in the Atmosphere and Ocean, J. Phys. 0ce«n. 2, 146—156. Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1972): Degree and Direction of Pola2851—2 8 6 5 Scattered Light: I. Homogeneous Cloud Layers, Appl. Opt. 11, nq Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1972): Time of Flight Lidar Measurements Opt. 11, 662. as a" 9tcean Probe’ Appl- tion r , . a*> a w - G- N- PIass» and C. N. Adams (1971): Flux and Polariza/ /70 3^ **ons the Radiation Reflected From the Clouds of Venus, Astrophys. lationsatnfWnr,, a . W:- G N- plass> and J- A- Guinn (1973): Monte Carl° Calcu' J Phi,с A Polarization of Radiation in the Earth’s Atmosphere-Ocean System, ™ ys. Ocean. 3, 353—372. 165 Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1968): Influence of Single Scattering j Albedo on Reflected and Transmitted Light From Clouds, Appl. Opt. 7, 361—367** Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1968): Monte-Carlo Calculations of Light ; Scattering From Clouds, Appl. Opt. 7, 415—419. \ Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1968): Radiant Intensity of Light Scat-?| tered From Clouds, Appl. Opt. 7, 699—704. Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1968): Calculations of Reflected and! Transmitted Radiance From Earh’s Atmosphere, Appl. Opt. 7, 1129— 1135. •) Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1969): Radiative Transfer in an Atmo- \ sphere-Ocean System, Appl. Opt. 5, 455—466. ;•* Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1969): Effect of Changes in Complex Part У of the Refractive Index on Polarization of Light Scattered From Haze and Clouds,J Appl. Opt. b, 2489—2496. Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1970): Polarization of the Radiation ,S Reflected and Transmitted by the Earth’s Atmosphere, Appl. Opt. 9, 1122— 1130ii Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1971): Radiance and Polarization of the J Earth’s Atmosphere With Haze and Clouds, /. Atmos. Sci. 28, 1187— 1198. J Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1971): Radiance and Polarization of Light ! Reflected From Optically Thick Clouds, Appl. Opt. 10, 74. \ Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1971): Radiative Transfer in Water and $ Ice Clouds in the Visible and Infrared Region, Appl. Opt. 10, 738. A Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1971): Reflection of Light Pulses From , Clouds, Appl. Opt. 10, 2304. Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1972): Radiative Transfer in the Earth’s у Atmosphere-Ocean System: I. Elux in the Atmosphere and Ocean, /. Phys. Ocean. 2, 139— 145. Plass, G. N., and G. W. Kattawar (1972): Effect of Aerosol Variation on Ra diance in the Earth’s Atmosphere-Ocean System, Appl Opt. 11, 1598— 1604. Plass, G .N., and G. W. Kattawar (1972): Degree and Direction of Polari zation of Multiple Scattered Light: II. Earth’s Atmosphere with Aerosols, AppL Opt. 11, 1866— 1879. Van Blerkom, D. (1971): Diffuse Reflection From Clouds With Horizontal Inhomogeneities, Astrophys. J. 166, 235. 8.2. Метод сферических гармоник Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов/Пер. с англ.— М.: Изд-во ИЛ, 1960. 520 с. Николаишвили С. С., Поливанский В. П. Вопросы физики реактора. Атомиздат, 1972, № 5, с. 64. Benassi, М., R. D. М. Garcia, А. Н. Karp, and С. Е. Siewert (1984): A HighOrder Spherical Harmonics Solution to the Standard Problem in Radiative Trans fer, Astrophys. J. 280, 853—864. Canosa, J., and H. R. Penafiel (1973): A Direct Solution of the Radiative Transfer Equation: Application to Rayleigh and Mie Atmospheres, J.Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 13, 21—39. Davison, B. (1957): Neutron Transport Theory, Oxford University Press. Deuze, J. L., C. Devaux, and M. Herman (1973): Utilisation de la Methode des Harmoniques Spheriques dans les Calculs de Transfert Radiatif. Extension au Cas de Couches Diffusantes d’Absorption Variable, Nouv. Rev. Optique 4* 307—314. Deuze, J. L., and M. Herman (1972): Extension de la Methode des Harmo niques Spheriques a des Couches d’Albedo Variable, in “Comparaison de Diverses Methodes de Resolution de l’Equation de Transfert: I. Sans Polarisation,”’ Rapport Universite des Sciences et Techniques de Lille, France. Devaux, C., and M. Herman (1971): Remarques sur l’Utilisation de la Met hode. des Harmoniques Spheriques dans les Calculs du Transfert Radiatif, C. R. Acad. Sci. 273, 849—852. Devaux, C., and M. Herman (1972): Methode des Harmoniques Spheriques, in. “Comparaison de Diverses Methodes de Resolution de l’Equation de Transfert: I.. Sans Polarisation, ” Rapport Universite des Sciences et Techniques de Lille*' • France. 166 Karp, A. H. (1981): Computing the Angular Dependence of the Radiation 0f a Pianetary Atmosphere. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 25, 403—412. Karp, A. H., J. Greenstadt, and J. A. Fillmore (1980): Radiative Transfer T h r o u g h an Arbitrarily Thick, Scattering Atmosphere, J Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 26, 391-406. Karp, A. H., and S. Petrack (1983): On the Spherical Harmonics and Discrete O rd in a tes Methods for Azimuth Dependent Intensity Calculations, /. Quant. Specirosc. Radiat. Transfer 30, 351—356. jeans, J. M. (1917): The Equation of Radiative Transfer of Energy, Mon. Soi. R. Astron. Soc. 78, 28. Lenoble, J. (1961): Application de la Methode des Harmoniques Spheriques au Cas de la Diffusion Anisotrope, C. R. Acad. Sci. 252, 2087—2089. Lenoble, J. (1961): Application de la Methode des Harmoniques Spheriques a I’Etudede l’Etat de Polarisation du Rayonnement Diffus, C. R. Acad. Sci. 252, 3562—3564. Mark, J. C. (1945): The Spherical Harmonic Method, Nat. Research Council of C a n a d a , Atomic Energy Project I. Report MT 92, 1944, II. Report MT 97. Markshak, R. E. (1947): Note on the Spherical Harmonic Method as Applied to the Milne Problem for a Sphere Phys. Rev. 71, 43. Yvon, J. (1957): La Diffusion Macroscopique desNeutrons. Une Methode d’Approximation, J. Nucl. Energy 4, 305. 3.3. Метод дискретных ординат Гермогенова Т. А. О решении уравнения радиационного переноса с сильно анизотропным рассеянием.— Доклады АН СССР, 1957, т. ИЗ, т. 113, с. 297—ЗСО. Кузнецов Е. С. Общий метод построения приближенных решений уравнения радиационного переноса.— Известия АН СССР, сор. геофиз., 1951 .т. 71, с. 91. Кузнецов Е. С. О решении уравнения радиационного переноса для плане тарного слоя с анизотропным рассеянием.— Журнал высшей математики и ма тематической физики, 1966, т. 6, с. 769—773. Asano, S. (1975): On the Discrete OrdinatesMethod for theRadiative Trans fer, /. Meteor. Soc. Japan 53, 92—95. Carlson, B. (1963): The Numerical Theory of NeutronTransport, inMethods of Computatinal Physics, I., New York, London. Chandrasekhar, S. (1950): Radiative Transfer, Clarendon Press, Oxford. Cuzzi, J. NMT. P. Ackerman, and L. C. Helme (1982): The Delta Four-Stream Approximation for Radiative Flux Transfer, J. Atmos. Sci. 39, 917—925. Davison, B. (1957): Neutron Transport Theory, Oxford University Press. Hill, T. R. (1975): ONETRAN: A Discrete Ordinates Finite Element Code for the Solution of One-Dimensional Multigroup Transport Equation, Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-5990-MS. Karp, A. H. (1981): Computing the Angular Dependence of the Radiation °* a Planetary Atmosphere, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 25, 403—412. Kuznetsov, E. S. (1951) (in Russian): A General Method of Constructing the Approximate Solutions of the Radiative Transfer Equation, Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Geofiz. 71, 91. Kuznetsov, E. S. (1966) (in Russian): On Solution of Radiative Transfer tquation for a Planetary Layer With Anisotropic Scattering, Zh. Vych. Mat. i Mot. И г , 6> 769- 773. f +Л а!£Г0Р* К. D. (1972): Discrete Ordinates Methodsfor the Numerical Solution i Tr?nsP°rt Equation, Reactor Technology 15, 107. j £ en°ble, J. (1956): Application de la Methode de Chandrasekhar a l’Etude 1-_17 0nnement Diffuse dans le Brouillard et dans la Mer, Rev. Optique 35, (1973): A Numerical Experiment on Chandrasekhar’s Discrete snhftrlf* г лj*or Radiative Transfer: Application to Cloudyand Hazy Atmo spheres, /. Atmos. Sci 80, 1303-1326. PaHioi?,11* O974): Analytic Two-Stream and Four-Stream Solutions for u Z ? ! raii?fer’ L Atmos• ScL 31, 1473-1475. diativp Tro^ r ( 1975 ): Applications of the DiscreteOrdinate Method for Ra3434_3440 Inhomogenous Aerosol Atmospheres, /. Geophys. Res. 80, 167 Stamnes, К. (1982): On the Computation of Angular Distributions of Ra*; diation in Planetary Atmospheres, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 28, 47—5 U Stamnes, K., and H. Dale (1981): A New Look at the Discrete Ordinate.; Method for Radiative Transfer Calculations in Anisotropically Scattering Atmo^ spheres. II: Intensity Computations, J. Atmos. Sci. 38, 2696—2706. | Stamnes, K., and R. A. Swanson (1981): A New Look at the Discrete Ordi^ nate Method for Radiative Transfer Calculations in Anisotropically Scattering^ Atmospheres, J. Atmos. Sci. 38, 387—399. J Weinman, J. A., and P. J. Guettner (1972): Penetration of Solar Irradiances Through the Atmosphere and Plant Canopies, J. Appl. Meteor. 11, 136— 140. Wick, С. C. (1943): Uber Ebene Diffusions Probleme, Z. Phys. 120, 702. ЗА. Метод сопряженных уравнений * Льюинс Дж. Ценность. Сопряженная функция.— М.: Атомиздат, 197 175 с. \ Bell, G I., and S. Glasstone (1970): Nuclear Reactor Theory, Van Nostran^' Publishing Company, New York. о Lewins, J. (1965): Importance, The Adjoint Function, Pergamon Press, New\ York. _ ■; Gerstl, S. A. W. (1979): Application of the Adjoint Method in Atmospheric; Radiative Transfer Calculations, Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-UR-80-17; (1982) Atmospheric Aerosols: Their Formation, Optical Properties and Effects, ed by A. Deepak, pp. 241—254, Spectrum Press, Hampton, V irginia/ Gerstl, S. A. W. (1980): Application of Modern Neutron Transport Method to Atmospheric Radiative Transfer, Proc International Radiation Symposium* August 11— 16, 1980, Fort Collins, Colorado, 500—502. Gerstl, S. A. W., A. Zardecki, and E. P. Shettle (1981): Solar Irradiance Calculations in the UV and Visible Using the Adjoint Discrete Ordinates Method* Proc. Fourth Conference on Atmospheric Radiation, June 16— 18, 1981, Toronto* Canada, 67—70. 3.5. FN -метод Devaux, C., P. Grandjean, Y. Ishiguro, and С. E. Siewert (1979): On MultiRegion Problems in Radiative Transfer, Astrophys. Space Sci. 62, 225—233. Devaux C., and С. E. Siewert (1980): The FN Method for Radiative TransferProblems Without Azimuthal Symmetry, /. Appl. Math. Phys. 31, 592—604. Devaux, С., С. E. Siewert, and Y. L. Yan (1982): The Complete Solution for Radiative Transfer Problems With Reflecting Boundaries and Internal Sources* Astrophys. J. 253, 773—786. Garcia, R. D. М., and С. E. Siewert (1982): On Angular Flux Computations in Neutron Transport Theory, Nucl. Sci. Eng. 81, 474—476. Garcia, R. D. М., and С. E. Siewert (1984): Benchmark Results in Radiative Transfer, IBM Palo Alto Scientific Center, California, Report G320.3471. Grandjean, P., andС. E. Siewert (1979): The FN Method in Neutron Trans port Theory Part II: Applications and Numerical Results, Nucl. Sci. Eng. 69* 161— 168. Siewert, С. E. (1978): The FN Method for Solving Radiative Transfer P ro b lems in Plane Geometry, Astrophys. Space Sci. 58, 131— 137. Siewert, С. E., andP. Benoist (1979): The FN Method in Neutron-Transport Theory Part I: Theory and Applications, Nucl. Sci. Eng. 69, 156— 160. 3.6. Метод итераций Гаусса—Зейделя Braslau, N., and J. V. Dave (1972): Effect of Aerosols on the Transfer o f ” Solar Energy Through Realistic Atmospheres: I. Non-absorbing Aerosols, IBM Report RC 4114, Dec. Braslau, N., and J. V. Dave (1972): Effect of Aerosols on the Transfer of Solar Energy Through Realistic Model Atmospheres: II. Partly Absorbing Aero sols, IBM Report RC 4152, Dec. Braslau, N., and J. V. Dave (1973): Effect of Aerosols on the Transfer of Solar Energy Through Realistic Model Atmospheres, Part I, /. Appl. Meteor. 12„, 601—615, 1973; Part II, /. Appl. Meteor. 12, 616—619. 168 Danzer, К. М., and К. Bullrich (1968): Uber Zwei Methoden zur Berechnung a r strahlungsmehrfachstreuung in der truben Atmosphere, Contr. Atmos. Phys. л i 143—152. ’ D a v e , J. V. (1970): Intensity and Polarization of the Radiation Emerging Plane-Parallel Atmosphere Containing Monodispersed Aerosols, Appl. not. 9, 2673-2684. Dave, J. V., and J. Gazdag (1970): A Modified Fourier Transform Method fnr Multiple Scattering Calculations in a Plane Parallel Mie Atmosphere, ApplI Opt• Я 1457— 1466. E s c h e l b a c h , G. (1971) :A Direct Method for the Integration of the Equation of R a d i a t i v e Transfer in a Turbid Atmosphere, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 11. 757—765. E s c h e l b a c h , G. (1973): Calculs Numeriques Concernant la Luminance, le T a u x d e Polarisation et les Divergences du Flux Energetique de la Region Visible d u Spectre Solaire dans l’Atmosphere Trouble tenant compte de la Diffusion M u l t i p l e , Ann. Geophys. 29, 329—339. Herman, В. M. (1963): A Numerical Solution to the Equation of Radiative T r a n s f e r f o r Particles in the Mie Region, Ph. D. Thesis, University of Arizona, тггпт a T ucson. H erm an, T e c h n i q u e to В. М., W. Asous, and S. R. Browning (1980): A Semi-Analytic Integrate the Radiative Transfer Equation Over Optical Depth, J. Atmos. Sci. 37, 1828—1838. H e r m a n , В. М., and S. R. Browning (1965): A Numerical Solution to the E q u a t i o n of Radiative Transfer, J. Atmos. Sci. 22, 559—566. Herman, В. М., and S. R. Browning (1975): The Effect of Aerosols on the Earth-Atmosphere Albedo, /. Atmos. Sci 32, 1430—1445. Herman, В. М., S. R. Browning, and R. J. Curran (1971): The Effect of Aerosols on Scattered Sunlight, J. Atmos. Sci. 28, 419—428. Herman, В. М., and D. N. Yarger (1966): Some Effects of Multiple Scatter ing on Heating Rates in the Ozone Layer, /. Atmos. Sci. 23, 320—324. 3.7. Метод последовательных порядков рассеяния Гермогенова Т. А. Сходимость некоторых приближенных методов решения уравнения переноса.— Доклады АН СССР, 1968, т. 181, К® 3. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнений переноса.— М.: Наука. 1986. 272 с. Гермогенова Т. А., Сушкевич Т. A. ReiueHHe уравнения радиационного пе реноса методом средних потоков.— Вопросы физики реакторов.— Атомиздат, 1969, т. 181. № 3, с. 34—46. de Вагу, Е. (1964): Influence of Multiple Scattering on the Intensity and P olarization of Diffuse Sky Radiation, Appl. Opt. 3, 1293—1303. Bellman, R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1972): Invariant Imbedding and Radiation Dosimetry: I. Finite Order Scattering and Transmission Functions, Math. Biosci. 14, 235—254. Bellman, R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1972): Invariant Imbedding and Kadiation Dosimetry: II. Integral RecurrenceRelations for the Finite Order catjenng and Transmission Functions, Math. Biosci. 15, 153— 162. p .. f. man» R-, S. Ueno, and R. Vasudevan(1972): Invariant Imbedding and Aaaiation Dosimetry: III. Integral RecurrenceRelations for Finite Order X and Y unctions, Math. Biosci. 15, 195—204. ?•* Ueno, and R. Vasudevan (1973): Invariant Imbedding and Taro-^f cl lP °1s*metry: IV. Finite Order Scattering of GammaRadiation by a В I Maih- Biosci- 17, 8 9 -1 0 4 . Radiafim^n’ ? ’ Ueno, and R. Vasudevan (1973): Invariant Imbedding and Math. Biosc'^t^Kv^' finite Order Intensity of Radiation in a Target Slab, Bellm 1 ^ Radiation aD n^ ’ ^ eno’ anc* R- Vasudevan (1973): Invariant Imbedding and of the Two P*!vV-ry: Fimte Order Scattering and Transmission Functions radiation Approximation in a Target Slab, Math. Biosci. 18, 255—268. 169 Bellman, R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1974): Invariant Imbedding an< Radiation Dosimetry: VIII. Reflection Function From a Double Layer Finitf Order Function, Math. Biosci. 20, 299—314. Bellman, R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1974): Invariant Imbedding an< Radiation Dosimetry: IX. Inverse Problem of Determining a Plane Source in j Finite Isotropically Scattering Target Slab, Math. Biosci. 20, 315—325. Bellman, R., O. Ueno, and R. Vasudevan (1975): Invariant Imbedding and Radiation Dosimetry: X. Emergent Intensity of Finite Order Gamma Radiatiof From a Target Slab With a Plane Source, Math. Biosci. 23, 1—9. • Dave, J. V. (1964): Meaning of Successive Iteration of the Auxiliary Equation in the Theory of Radiative Transfer, Astrophys. J. 140, 1292— 1303. Dave, J. V. (1965): Multiple Scattering in a Non-Homogeneous Rayleigh At* mosphere, /. Atmos. Sci. 22, 273—279. Dave, J. V., and P. Furukawa (1966): Intensity and Polarization of the Ra diation Emerging from an Optically Thick Rayleigh Atmosphere, J. Opt. Soc. Arri 6, 394—400. Dave, J. V. and W. H. Walker (1966): Convergence of the Iterative Solution of the Auxiliary Equations for Rayleigh Scattering, Astorphys. J. 144, 798—8 0 $ Fouquart, Y. (1971): Effet de la Diffusion sur l’Echauffement Radiatif du аад Rayonnement Solaire, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 11, 709—722. ) Fouquart, Y. (1972): Methode des Ordres Successifs de Diffusion, in “Com^j paraison des Diverses Methodes de Resolution de l’Equation de Transfert: I. San» Polarisation44” Rapport Universite des Sciences et Techniques de Lille, France, Dec^ Fymat, A. L., and S. Ueno (1974): Order of Scattering of Partially Polarized? Light in Inhomogeneous Anisotropically Scattering Atmospheres. I. Fundamentals,! Astrophys. Space Sci. 30, 3—25; II. Reciprocity and Symmetry Relation, Astrophym Space Sci. 3d, 251—273. •* Hammad, A. (1953): Calculation of the Polarization of a Sunlight Sky Com- ^ posed of Pure Air Molecules, /. Opt. Soc. Am. 43, 184. ^ Hammad, A., and S. Chapman (1939): The Primary and Secondary Scattering^ of Sunlight in a Plane Stratified Atmosphere of Uniform Composition, PhuA Mag. 28, 99. i Heger, K. (1969): Der Einflusz der Zweifachstreuung auf die Himmelsstralung * und auf die Erdatmosphare verlassende Strahlund unter jder Annahme einer getrubten Atmosphere, Meteor. Rundshau 22, 7— 10. Heger, K. (1971): Einfach-Zweifach-und Dreifachstreuung der Sonnenstrahl- ^ lung in der truben Atmosphare, Contr. Atmos. Phys. 44, 201—212. j Hovenier, J. W. (1971): Multiple Scattering of Polarized Light in Planetary ;l Atmospheres, Astron, Astrophys, 13, 7—29. •{ Irvine, W. M. (1964): The Formation of Absorption Bands and the Distribu- * tion of Photon Optical Paths in a Scattering Atmosphere, Bull. Astron. Inst. Neth. v 17, 266. Irvine, W. M. (1965): Multiple Scattering by Large Particles, Astrophys. /. * 142, 1563-1575. ? Lenoble, J. (1954): Contribution a l’Etude du Rayonnement Ultraviolet Solaire, de sa Diffusion dans l’Atmosphere et de sa Penetration dans la Mer, Ann. Geophys. 10, 117— 146, 187—225. Moller, F., and H. Quenzel (1972): Uber die Wechselwirkung zwischen BodenreHexionsvermogen und Himmelshelligkeit, Gerlands Beitr. Geophys. 81, "I Poon, P. T. Y., and S. Ueno (1974): Algebraic Recurrence Relations for the < Finite Order Scattering and Transmission Functions, J. Quant. Spectrosc. Radiat* \ Transfer 14, 85—92. | Poon, P. T. Y., and S. Ueno (1974): Sobolev’s Phi Function of Radiative | Transfer in Planar and Spherical Media, Astrophys. Space Sci. 28, 233—244. a Raschke, E. (1972): Multiple Scattering Calculations of the Transfer of\5 Solar Radiation in at Atmosphere-Ocean System, Contr. Atmos. Phys. 45, 1— 19. & Raschke, E., and U. Stucke (1973): Theoretische Studien des Transported ^ Solarer Strahlung in einem realistischen Model des Systems Ozean-Atmosphare, * Report BMFT-FBW 73—13. ^ 170 3 Ueno, S., S. Mukai, and A. P. Wang (1973): Invariant Imbedding and Chan Planetary Problem of Polarized Light, In Planets, Stars and Nebulae s tu d ie d With Photopolarimetry, ed. by T. Gehrels, The University of Arizona Press, Tucson, 582-592. ijeno, S., R. Vasudevan, and R. Bellman (1973): Invariant Imbedding and R a d ia tio n Dosimetry: VI. Absorbed Dose of X and Gamma Radiation in a Target Slab . Math. Biosci. 18, 67—75. Uesugi, A., and W. M. Irvine (1970): Multiple Scattering in a Plane-Parallel A tm osp h ere. I. Successive Scattering in a Semi-Infinite Medium, Astrophys. J. 159, drasekhar's 127— 135. Uesugi, A., and W. M. Irvine (1970): Multiple Scattering in a Plane-Parallel II. Curves of Growth for Reflection Spectra, Astrophys. J. 161, 243—354. Uesugi, A., W. M. Irvine, and Y. Kawata (1971): Formation of Absorp tion by Diffuse Reflection in a Semi-Infinite Planetary Atmosphere, /. Quant. Spec trosc. Radiat. Transfer 11, 797—808. Van de Hulst, H. C. (1948): Scattering in a Planetary Atmosphere, Astrophys. A tmosphere: j . \07, 220. Van de Hulst, H. C. (1970): High-Order Scattering in Diffuse Reflection from a Semi-Infinite Atmosphere, Astron. Astrophys. 9, 374—379. Van de Hulst, H. C., and W. M. Irvine (1962): General Report on Radiation Transfer in Planets: Scattering in Model Planetary Atmospheres, Met Soc. R. Sc. Liege 15th Series, Vol. 7, 78—98. 3.8. Метод конечных разностей Auer, L. H., and D. Mihalas (1969): Non-LTE Model Atmosphere III. Complete-Linearization Method, Astrophys. J. 158, 641. B arkstrom , B. R. (1976): A Finite Difference Method of Solving Anisotropic S cattering Problems, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 16, 725—739. Larsen, J. C., and B. R. Barkstrom (1976): Effects of Realistic Angular Ref lection Laws for the Earth’s Surface Upon Calculations of the Earth-Atmosphere Albedo, In Proceedings of the Symposium on Radiation in the Atmosphere, Garmisch-Partenkirchen, FRG, 451—453. Mihalas, D., (1970): Stellar Atmospheres, Freeman, San Francisco. S uttles, J. T. (1981): Anisotropy of Solar Radiation Leaving the EarthAtmosphere System , Ph. D. Thesis, Old Dominion University, Norfolk, Virginia. 3.9. Метод матричного оператора Гермогенова Т. А. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя — Ж урнал высшей математики и математической физики, 1961, т. 1, с. 1001. Aronson, R. (1971): Relations Between the Transfer Matrix Method and C ase’s Method, Transp. Theory Statis. Phys. 1, 209—224. Aronson, R. (1972): General Solution for Polarized Radiation in a Homoge neous Slab Atmosphere,. Astrophys. J. 177, 411—421. Bellman, R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1972): Invariant Imbedding and п н * [ ? п dosimetry: VIII .Reflection Function From a Double Layer-Finite urcier-Functions, University of Southern California Technical Report No. 72—62, Los Angeles; (1974) Math. Biosci. 20, 299—314. 1pm Vrrant’ ** P*» anc* G. E. Hunt (1968): Solution of Radiative Transfer Prob^sing the Invariant Sn Method, Mon. Not. R. Astron. Soc. 141, 27—41. in d i raiJ*’ and G. E. Hunt (1968): Solution of Radiative Transfer Problems Hanetary Atmospheres, Icarus 9, 526—534. Tran*/"«f t and G. E. Hunt (1969): Discrete Space Theory of Radiative Granf г Fli ndamentals, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A313, 183— 197. Transfer и кт and G- E- Hunt (1969): Discrete Space Theory of Radiative Grant т N° nne&ativity and Stability, Proc. Roy. Soc A313, 199—216. Transfer anH n anc* (1969): Discrete Space Theory of Radiative Sci- 26, 963_972 ApPllcation to Problems in Planetary Atmospheres, J. Atmos. 171 Hunt, G. E. (1971): A Review of Computational Technique for Analyzing th Transfer of Radiation Through a Model Cloudy Atmosphere, /. Quant. Spectros< Radiat. Transfer 11, 655—690. Kattawar, G. W. (1973): Theorems of Symmetries and Flux Conservation Radiative Transfer Using the Matrix Operator Theory, J. Quant. Spectrosc. Radiat Transfer 13, 145— 153. Kattawar, G. W., S. J. Hitzfelder, and J. Binstock (1973): An Explicit Fonj of the Mie Phase Matrix for Multiple Scattering Calculations in the I, Q, U an< V Representation, J. Atmos. Sci. 30, 289. < Kattawar, G. W., and G. N. Plass (1973): Interior Radiances in Optical^ Deep Absorbing Media: I. Exact Solutions for One-Dimensoinal, /. Quant. Spe& trosc. Radiat. Transfer 13, 1065— 1080. Kattawar, G. W., G. N. Plass, and F. E. Catchings (1973): Matrix Operatojj Theory: II. Scattering From Maritime Haze, Appl. Opt. 12, 1071— 1084. \ Plass, G. N., G. W. Kattawar, and J. Bintock (1973): Interior Radiances if Optically Deep Absorbing Media: II. Rayleigh Scattering, J. Quant. Spectrosi Radiat. Transfer 13, 1081— 1096. Plass, G. N., G. W. Kattawar, and F. E. Catchings (1973): Matrix Operator Theory of Radiative Transfer: I. Rayleigh Scattering, Appl. Opt. 12, 314—320, Poon, P. T. Y., and S. Ueno (1973): Scattering Matrix and Doubling Equ*| tions for the Scattering and Transmission Functions, J. Atmos. Sci. 30, 954—9 5 f | Preisendorfer, R. W. (1965): Radiative Transfer in Discrete Spaces, Pergamom Press, New York. Preisendorfer, R. W. (1968): A Survey of Theoretical Hydrologic Optics, JLj Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 8, 325—338. *] Redheffer, R. (1962): On the Relation of Transmassion-Line Theory to Scat^ tering' and Transfer, /. Math. Phys. 41, 1—41. Takashima, T. (1973): Matrix Method Evaluating an Internal Radiation Field| in a Plane-Parallel Atmosphere, Astrophys. Space Sci. 23, 201—204. Wang, A. P. I. (1966): Scattering Processes, Ph. D. Thesis, University o f California at Los Angeles. Wang, A. P I. (1967): Invariant Imbedding and Scattering Processes, J. Math. Analy. Appl. 17, 48—60. Wiscombe, W. J., and В. E. Freeman (1972): A Detailed Radiation Model for Climate Studies: Comparisons With a General Circulation Model Radiation Sub-' routine Proc Conf. on Atmos. Radiation, Fort Collins, Colorado. 3.10. Метод удвоения или сложения Иванов В. В. Принципы инвариантности и внутренние поля радиации в полубесконечных атмосферах.— Астрономический журнал, 1975, т. 52. с. 217—226. Danielson R. Е., D. R. Moore, and Н. С. Van de Hulst (1969): The Transfer, of Visible Radiation Through Clouds, J. Atmos. Sci. 26, 1078— 1087. Hansen, J. E. (1969): Radiative Transfer by Doubling Very Thin Layers, Astrophys. S. 155, 565—573. Hansen, J. E. (1969): Exact and Approximate Solutions for Multiple Scatter ing by Cloudy and Hazy Planetary Atmospheres, J. Atmos. Sci. 26, 478—487. Hansen, J. E. (1971): Multiple Scattering of Polarized Light in Planetary At mospheres: I. The Doubling Method, /. Atmos. Sci. 28, 120— 125. Hansen, J. E. (1971): Multiple Scattering of Polarized Light in Planetary/ Atmospheres: II. Sunlight Reflected by Terrestrial Water Clouds, /. Atmos. Sch 28, 1400—1426. Hansen, J. E., and D. L. Coffeen (1972): Polarization of Near-Infrared Sun light Reflected by Terrestrial Clouds, Preprint Volume of Conf. on Atmos. Radia? tion, Amer, Meteor. Soc., 55—60. Hansen, J. E., and J. W. Hovenier (1971): The Doubling Method Applied to Multiple Scattering of Polarized Light, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 1U 809—812. Hansen, J. E., and J. W. Hovenier (1974): Interpretation of the P o l a r i z a t i o n of Venus, /. Atmos. Sci. 31, 1137. Hovenier, J. W. (1971): Multiple Scattering of Polarized Light in Planetary Atmospheres, Astron. Astrophys. 13, 7—29. 172 I r v i n e , W. M. (1968): Multiple Scattering 6y Large Particles II — Optically Th ick L a y e r s , Astrophys. J. 152, 823—834. т v in e W. M. (1968): Diffuse Reflection and Transmission by Cloud and Dust T a v e r s , J- Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 8, 471—485. L a d s , A. A., and J. E. Hansen (1974): A Parameterization for the Absorption f S o l a r Radiation in the Earth’s Atmosphere, J. Atmos. Sci. 31, 118— 133. ° Takashima, T. (1973): Matrix Method Evaluating an Internal Radiation Field a P l a n e - P a r a l l e l Atmosphere, Astrophys. Space Sci. 23, 201—204. 1 Takashima, T. (1973): Emergent Radiation From an Inhomogeneous PlaneP a r a l l e l Planetary Atmosphere Calculated by Using the “Adding” Method, j CQuant. Spectrosc. Radiat. Transfer 13, 1229— 1232. Takashima, T. (1974): Method of Computing of the Effect of Surface Reflec tion o n the Atmospheric Radiation, Publ. Astron. Soc. Japan 26, 361—366. Takashima, T. (1974): Evaluation of the Internal Radiation Field in a Com p o site Planetary Atmosphere With the Lambert Surface Calculated by Matrix W ethod, Astrophys. Space Sci. 30, 309—313. T a k a s h i m a , T. (1975): A New Approach of the Adding Method for t h e Com p u t a t i o n s of Emergent Radiation of Inhomogeneous Plane-Panellel Planetary A t m o s p h e r e , Astrophys. Space Sci. 36, 319—328. T a k a s h i m a , Т., С. I. Taggart, and E. G. Morrissey (1976): A Hybrid Mode of D i f f u s e and Specular Reflector for Computation of the Emergent Radiation by th e “Adding” Method, Astrophys. Space Sci. 40, 157—165. Takashima, Т., С. I. Taggart, and E. G. Morrissey (1977): A Method of Com p u t i n g the Emergent Radiation by the Atmosphere in the Region Ranging From U l t r a - v i o l e t to Infrared Radiation, Astrophys. Space Sci. 49, 331—337. Tanaka, M. (1971): Radiative Transfer in Turbid Atmospheres: I Matrix Analysis for the Problem of Diffuse-Reflection and Transmission, /. Meteor. Soc. Japan 49, 296—311. Tanaka, M. (1971): Radiative Transfer in Turbid Atmospheres: II. Angular Distribution of Intensity of the Solar Radiation Diffusely Reflected and Trans mitted by Turbid Atmospheres, J. Meteor. Soc. Japan 49, 321—332. Tanaka, M. (1971): Radiative Transfer in Turbid Atmospheres: III. Degree of Polarization of the Solar Radiatin Diffusely Reflected and Transmitted by Turbid Atmospheres, J. Meteor. Soc. Japan 49, 333—342. Twomey, S., H. Jacobowitz, and H. G. Howell (1966): Matrix Method for Multiple Scattering Problems, J. Atmos. Sci. 23, 289—296. Van de Hulst, H. C. (1962): Multiple Light Scattering Tables, Formulas and Applications, Vol. 1, section 4.5, Vol. 2, section 15.2.2, Academic Press, New York. Van de Hulst, H. C. (1963): A New Look at Multiple Scattering, Goddard Institute for Space Studies, Technical Report. Van de Hulst, H. C. (1967): Multiple Scattering in Plane-Parallel Layers, in Electromagnetic Scattering, ed. by R. R. Rowell and R. S. Stein, Gordon and Breach, New York, 787—796. Van de Hulst, H C. (1968): Asymptotic Fitting: A Method for Solving Ani sotropic Transfer Problems in Thick Layers, J Comp. Phys. 3, 291—306. Van de Hulst, H. C. (1970): Some Problems of Anisotropic Scattering in Planetary Atmospheres, in Planetary Atmospheres, ed. by C. Sagan, IAU Sym posium, Marfa, Texas. Van de Hulst, H. C. (1971): Multiple Scattering in Planetary Atmospheres, Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 11, 785—795. Van de Hulst, H. C., and K. Grossman (1968): Multiple Light Scattering in ^troospheres in The Atmospheres of Venus and Mars ed. by J. C. Brandt and M- B- McElroy, Gordon and Breach, New York, 35—55. P* (1972): Solar System Applications of Mie Theory and of New York ansêr °* Polarized Light, Ph. D. Thesis, Cornell University, Ithaca, n 3-U. Принципы инвариантности (см. также список литературы к п. 2.4) баРЦумянРпУМАЯН В‘ МУсталь Э- Р., Северный А. Б., Соболев В. В. (ред. АмА.). Теоретическая астрофизика.— М.: Гостехтеориздат, 1952. 635 с. 173 Иванов В. В. Принципы инвариантности и внутренние поля радиации в п Д лубесконечных атмосферах — Астрономический журнал, т. 52, 1975, с. 217—22(Я Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет.— М.: Наука, 197Я 335 с. I Chandrasekhar, S. (195С1): Radiative Transfer, Oxford University Press (repl rinted by Dover Publishing, Mineola, New York, I960). J Hovenier, J. W. (1978): A Unified Treatment of the Reflected and Transmit» ed Intensities of a Homogeneous Plane-Parallel Atmosphere, Astron Astrophyn 68, 239—250. -j Ivanov, V. V. (1975) (in Russian): Invariance Principles and Internal R*j diation Fields in Semi-Infinite Atmospheres, Astron. Zh. 52, 217—226. ^ Lenoble, J. (1972): Methode des Principles d’Invariance pour une Couch Semi-Infinie, in “Comparaison des Methodes de Resolution de l’Equation de Tran$ fert: I. Sans Polarisation,” Rapport Universite des Sciences et Techniques d Lille, France, December. j Sekera, Z. (1966): Reduction of the Equations of Radiative Transfer for Plane-Parallel Atmosphere I, Memorandum RM-4951-PR, The Rand Corporation Santa Monica, California. Sobolev, V. V. (1972) (in Russian): Light Scattering in Planetary Atmospher es, Izd. Natika, Moscow (English translation Pergamon Press, New York, 1975jj Uesugi, A., and W. M. Irvine (1970): Multiple Scattering in a Plane-Parallel Atmosphere. I. Successive Scattering in a Semi-Infinite Medium, Astrophys. Щ 159, 127— 135; II. Curves of Growth for Reflection Spectra, Astrophys. J. 16Q 2 4 3 -2 5 4 . q 3.12. Метод инвариантного вложения I Г*I Амбарцумян В. А. Рассеяние света планетными атмосферами.— Астрошй мический журнал. 1942, т. 19, с. 30. >i* Соболев В. В. Перенос радиации в неоднородной среде.— Доклады A ft СССР, 19.6, т. III, с. 1000. ^ ^ Соболев В. В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет.—f М.: Гостехтеориздат, 1856. 320 с. ч Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет.— М.: Наука, 1972. Яновицкий Е. Г. Диффузное отражение и пропускание света плоским слоем неоднородной среды с анизотропным рассянием.— Астрономический журнал, 1961.* т. 38, № 5, с. 912—919. Яновицкий Е. Г. Диффузное отражение и пропускание света неоднородной; атмосферы, ограниченной отражающей поверхностью.— Известия АН СССР, сер. геофиз.. 1961, № 7, с. 1140—1146. Яновицкий Е. Г. Чистое рассеяние в неоднородной полубесконечной атмо сфере.— Доклады АН СССР, 1969, т. 189, с. 74—76. Яновицкий Е. Г. Анизотропное рассеяние света в неоднородной атмосфере. I. Чистое рассеяние.— Астрономический журнал, 1971, т. 48, с. 323—332. Яновицкий Е. Г. Альбедо и освещенность поверхности планеты с неод нородной чисто рассеивающей атмосферой.— Известия АН СССР, ФАО, 1972,. т. 8, 518—525. Adams, С. N., and G. W. Kattawar (1970): Solutions of the Equations of Radiative Transfer by an Invariant Imbedding Approach, I. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 10, 341—356. Bellman, R. (1969): Invariant Imbedding and Computational Methods in Ra diative Transfer, in Transport Theory, Vol. 1, SIAM-AMS Proceed, ed by R. Bellman, G. Birkhoff, and I. Abu-Shumays, Providence, Rhode Island. Bellman, R., H. Kagiwada, R. Kalaba, and S. Ueno (1967): Invariant Imbed ding Equations for the Dissipation Functions of an Inhomogeneous Finite Slab With Anisotropic Scattering, /. Math. Phys. 8, 2137—2142. Bellman, R., H. Kagiwada, R. Kalaba, and S. Ueno (1968): A New Deriva tion of the Integro-Differential Equations for Chandrasekhar X and Y Functions» /. Math. Phys. 9, 906—908. 174 Bellman, R., and R. Kalaba (1956): On the Principle of Invariant Imbedding nd Propagation Through Inhomogeneous Media, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 42, fog—-632. Bellman, R., R. Kalaba, and М. C. Prestud (1963): Invariant Imbedding and nadiaiive Transfer in Slabs of Finite Thickness, Elsevier Publishing, New York. B e l l m a n , R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1972): Invariant Imbedding and Ra d i a t i o n Dosimetry: I. Finite Order Scattering and Transmission Functions, Math. Biosci. 14, 235 254. B e l l m a n , R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1972): Invariant Imbedding and Ra d iation Dosimetry: II. Integral Recurrence Relations for the Finite Order Scatter in g and Transmission Functions, Math. Biosci. 15, 153— 162. B e l l m a n , R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1972): Invariant Imbedding and R a d i a t i o n Dosimetry: III Integral Recurrence Relations for Finite Order X and Y F un ction s, Math. Biosci. 15, 195—204. B e l l m a n , R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1973): Invariant Imbedding a n d R a diation Dosimetry: IV. Finite Order Scattering of Gamma Radiation by a T a r g e t Slab, Math. Biosci. 17, 89— 104. B e l l m a n , R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1974): Invariant Imbedding and R a d i a t i o n Dosimetry: VIII. Reflection Function from aDouble Layer Finite Or d e r F u n c t i o n , Math. Biosci. 20, 299—314. B e l l m a n , R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1974): Invariant Imbedding and R a d i a t i o n Dosimetry: IX Inverse Problem of Determining a Plane Source in a F i n i t e Isotropicaliy Scattering Target Slab, Math. Biosci. 20, 315—325. Bellman, R., S. Ueno, and R. Vasudevan (1975): Invariant Imbedding and R a d i a t i o n Dosimetry: X. Emergent Intensity of Finite Order Gamma Radiation fro m a Target Slab With a Plane Source, Math Biosci. 23, 1—9. Buell, J., J. Casti, R. E. Kalaba, and S. Ueno (1970): Exact Solution of a Family of Matrix Integral Equations for Multiply Scattered Partially Polarized Radiation: II. /. Math. Phys. 11, 1673—1678. Buell, J., A. L. Fymat, and R. E. Kalaba (1972): An Initial Value Method for the Ambarzumian Integral Equation, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 12, 769—776. Buell, J., R. E. Kalaba, and S. Ueno (1970): Exact Solution of a Family Matrix Integral Equations for Multiply Scattered Partially Polarized Radiation: I, /. Math. Phys. Sci. 4, 180—185. Busbridge, I. W. (1960). The Mathematics of Radiative Transfer, Cambridge University Press, London. Busbridge, I. W. (1961): On Inhomogeneous Stellar Atmospheres, Astrophys. 133, 198. Chandrasekhar, S. (1950): Radiative Transfer, Oxford University Press, Ox ford (reprinted by Dover Publishing, Mineola, New York, 1960). Fymat, A. L., and S. Ueno (1972): Order of Scattering of Partially Polarized Radiation in Inhomogeneous Anisotropically Scattering Atmospheres. I. Funda mentals, Astrophys. Space Sci . 30, 3—25. Kagiwada, H. H., and R. E. Kalaba (1967): A New Initial Value Method for internal Intensities in Radiative Transfer, Astrophys. /. 147, 301—309. Kagiwada, H. H., and R. E. Kalaba (1970): Exact Solution of a Family of Integral Equations of Anisotropic Scattering, J. Math. Phys. 11, 1575—1578. Kagiwada, H. H., R. E. Kalaba, and R. Segerblom (1968): Flux Equivalences i£o°nP Rayleigh,Isotropic, and Other Scattering Models, /. Comput. Phys. 3, Joy—.j66. .Ра*1°г, S., and P. F. Zweifel (1969): Invariant Imbedding and Case Eigen functions, /. Math. Phys. 10, 581—589. fpr T^,reisendorfer, R. W. (1957): A Mathematical Foundation for Radiative Transler TDh*ory, /. Math. Mech. 6. 685. of TrTrei?endorfer, R. W. (1958): Invariant Imbedding Relation for the Principles invariance, Proc. Nat. Acad. Sci . 44, 320. on n ]reise1?ôrêr. R. W. (1958): Functional Relations for the R and T Operators PrI?8 jFali el Media’ Proc. Nat. Acad. Sci. 44, 323. Nut. 44 *328^ ^ 5 8 ) : Time-Dependent Principles of Invariance, Proc. 175 Preisendorfer, R. W. (1961): Generalized Invariant Imbedding Relation, Proc. Nat. Acad. Sci. 47, 591. Preisendorfer, R. W. (1965): Radiative Transfer on Discrete Spaces, Pergamon Press, New York. Preisendorfer, R. W. (1968): A Survey of Theoretical Hydrologic Optics, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 8, 325—338. Sekera, Z. (1963): Radiative Transfer in a Planetary Atmosphere With Im perfect Scattering, The Rand Corporation, Report R-413-PR, Santa Monica, Ca lifornia. Ueno, S. (1960): The Probabilistic Method for Problems of Radiative Trans fer. X. Diffuse Reflection and Transmission in a Finite Inhomogeneous Atmo sphere, Astrophys. J. 132, 729—745. Ueno, S. (1974): Scattering and Transmission Matrices of Partially Polarized Light in a Rayleigh Atmosphere Bounded by a Specular Reflector, Astrophys. Space Sci. 33, 64—71. Ueno, S., R. Kalaba, H. Kagiwada, and R. Bellman (1970): Some Mathemati cal Aspects of Multiple Scattering in a Finite Inhomogeneous Slab With Aniso tropic Scattering, Publ. Astron. Soc. Japan 22, 75—83. Ueno, S., S. Mukai, and A. P. Wang (1973): Invariant Imbedding and Chan drasekhar’s Planetary Problem of Polarized Light, In Planets, Stars, Nebulae Studied With Photopolarimetry, ed. by T. Gehrels, the University of Arizona Press, Tucson, 582—592. Ueno, S., R. Vasudevan, and R. Bellman (1973): Invariant Imbedding and Radiation Dosimetry: VI. Absorbed Dose of X- and Gamma Radiation in a Target Slab, Math. Biosci. 18, 67—75. Ueno, S., and A. P. Wang (1973): Scattering and Transmission Functions of Radiation by Finite Atsospheres With Reflecting Surfaces, Astrophys. Space Sci. 23, 205—219. 3.13. DART-метод Carlson, B. G. (1971): On a More Precise Definition of the Discrete Ordinates Method, In Proceedings of the Second Conference on Neutron Transport Theory, 348-390, ed. by W. L. Hendry, Los. Alamos Scientific Lab. Carlson, B. G., and K. D. Lathrop (1968): Transport Theory, The Method of Discrete Ordinates, In Computing Methods in Reactor Physics, Chapter 3, ed. by H. Greenspan et al., Gordon and Breach, New York. Gray, C. R., H. L. Malchow, D. C. Merritt, R. E. Var, and С. K. Whitney (1973): Aerosol Physical Properties From Satellite Horizon Inversion, NASA CR-112311, July. Gray, C. R.f R. E. Var, and С. K. Whitney (1973): Space Shuttle Ultraviolet Horizon, NASA 9-4065, Task 24A, April. Lathrop, K. D., and B. G. Carlson (1971): Properties of New Numerical Ap proximations to the Transport Equation, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 11, 921—948. Newell, R. E., and C. R. Gray (1972): Meteorological and Ecological Moni toring of the Stratosphere and Mesosphere, NASA CR-2094, August. Whitney, С. K. (1972): Implications of a Quadratic Stream Definition in Radiative Transfer Theory, J. Atmos. Sci. 29, 1520—1530. Whitney, С. K. (1974): Efficient Stream Distributions in Radiative Transfer Theory, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 14, 591—611. Whitney, С. K. (1977): Extending Radiatve Transfer Model by Use of Bayes, Rule, J. Atmos. S c i 34, 766—772. Whitney, С. K. (1979): Scattering of Light by Dielectric Particles: Statistical Theory, /. Opt. Soc. Amer. 69, 1554— 1566. Whitney, С. K-, and H. L. Malchow (1977): Study of Radiative Transfer in Scattering Atmospheres, Report AFGL-TR-78-0101, June. Whitney, С. K., R. E. Var, and C. R. Gray (1973): Research into Radiative Transfer Modeling and Applications, Report AFCRL-TR-73-0420, July. 4.1. Соотношения подобия Зеге Э. П. Световое поле в глубоких слоях рассеивающей и поглощающей сред.— Изв. АН СССР, ФАО, т. 7, 1971, с. 121. 176 Case, К. М., and P. F. Zweiffel (1967): Linear Transport Theory, AddisonWesley, Reading, Massachusetts. Hansen; J. E. (1969): Absorption Line Formation in a Scattering Planetary Atmosphere: A Test of Van de Hulst’s Similarity Relations, Astrophys. J. 158, 337—349. Van de Hulst, H. C., and K. Grossman (1968): Multiple Light Scattering in Planetary Atmospheres, In The Atmospheres of Mars and Venus, ed. J. C. Brandt and М. B. McElroy, Gordon and Breach, New York. 4.2. Приближение Эддингтона Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет.— М.: Наука, 1972. 335 с. Irvine, W. М., and J. Lenoble (1973): Solving Multiple Scattering in Plane tary Atmospheres, Proceedings of the UCLA Int. Conference on Radiation and Remote Probing of the Atmosphere, Western Periodicals Comp., Los Angeles, California, 1—57. Joseph, J. H., W. J. Wiscombe, and J. A. Weinman (1976): The Delta-Eddington Approximation for Planetary Atmospheres, Astrophys. J. 33, 2452—2459. Kawata, Y., and W. M. Irvine (1970): The Eddington Approximation for Planetary Atmospheres, Astrophys. J. 160, 787—790. Meador, W. E., and W. R. Weaver (1980): Two-Stream Approximations to Radiative Transfer in Planetary Atmospheres: A Unified Description of Existing Methods and a New Improvement, /. Atmos. Sci. 37, 630—643. Shettle, E. P., and J. A. Weinman (1970): The Transfer of Solar Irradiance Through Inhomogeneous Turbid Atmosphere Evaluated by Eddington’s Approxi mation, J. Atmos. Sci. 27y 1048. Zdunkowski, W. G., R. M. Welch, and G. Korb (1980): An Investigation of the Structure of Typical Two-Stream Methods for the Calculation ofSolar Fluxes and Heating Rates in Clouds, Contr. Atmos. Phys. 53, 147— 166. 4.3. Двухпотоковые методы Зеге Э. П. Двухпотоковые приближения в теории переноса.— Препринт Ин-та физики АН БССР, 1971. Acquista, С., F. House, and J. Jafolla (1981): N-Stream Approximations to Radiative Transfer, J. Atmos. Sci. 38, 1446— 1451. Chu, С. М., and S. W. Churchill (1955): Numerical Solution of Problems in Multiple Scattering of Electromagnetic Radiation, /. Phys. Chem. 59, 855—863. Coakley, J. A., and P. Chylek (1975): The Two-Stream Approximation in Radiative Transfer: Including the Angle of the Incident Radiation, J. Atmos. Sci. 32, 409—418. Hense, A., M. Kerchgens, and E. Raschke (1982): An Economical Method for Computing the Radiative Transfer in Circulation Models, Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 108, 231—252. Irvine, W. M. (1968): Multiple Scattering by Large Particles: II. Optically Thick Layers, Astrophys. J. 152, 823. Irvine, W. M. (1975): Multiple Scattering in Planetary Atmospheres, Icarus, 25, 175-204. Irvine, W. М., and J. Lenoble (1973): Solving Multiple Scattering in Plane tary Atmospheres, Proceedings of the UCLA Int. Conference on Raaiation and Remote Probing of the Atmosphere, Western Periodicals, Los Angeles, Califor nia, 1—57. Kerschgens, М., U. Pilz, and E. Raschke (1978): A Modified Two-Stream Ap proximation for Computations of the Solar Radiation Budget in a Cloudy Atmo sphere, Tellus , 30, 429—435. Korb, C., J. Michalowsky, and F. Moller (1957): Die Absorption der Sonnenstrahlung in der Wolkenfreien und bewolkten Atmosphare, Beitr. Phys. Atmos. 30, 63—77. Liou, K. N. (1972): Light Scattering by Cirrus Cloud Layers, Proceedings of the Conference on Atmospheric Radiation, Fort Collins, Colorado, 121— 127. Liou, K. N. (1973): Transfer of Solar Irradiance Through Cirrus Cloud Layers, /. Geophys. Res. 78, 1409— 1418. 12 Зак. № 119 177 Liou, К. N. (1974): Analytic Two-Stream and Four-Stream Solutions for Ra diative Transfer, /. Atmos. Sci. 31, 1473— 1475. Lyzenga, D. R. (1973): Note on the Modified Two-Stream Approximation of Sagan and Pollack, Icarus, 19, 240—243. Meador, W. E., and W. R. Weaver (1980): Two-Stream Approximations to Radiative Transfer in Planetary Atmospheres: A Unified Description of Existing Methods and a New Improvement, J. Atmos. Sci. 37, 630—643. Piotrowski, S. (1956): Asymptotic Case of the Diffusion of Light Through an Optically Thick Scattering Layer, Acta Astron. 6, 64. Sagan, C., and J. B. Pollack (1967): Anisotropic Nonconservative Scattering and the Clouds of Venus, J. Geophys. Res. 72, 469—477. Schaller, E. (1979): A Delta-Two-Stream-Approximation in Radiative Flux Calculations, Contr. Atmos. Phys. 52, 17—26. Schuster, A. (1905): Radiation Through Foggy Atmospheres, Astrophys. J. 21, 1. Zdunkowski, W. G., G. Korb, and С. T. Davis (1974): Radiative Transfer in Model Clouds of Variable and Height Constant Liquid Water Content as Compu ted by Approximate and Exact Methods, Beitr. Phys. Atm. 47, 157— 186. Zdunkowski, W. G., R. M. Welch, and G. Korb (1980): An Investigation of the Structure of Typical Two-Stream Methods for the Calculation of Solar Fluxes and Heating Rates in Clouds, Contr. Atmos. Phys. 53, 147—166. 4.4. Приближение экспоненциального ядра Bigourd, С., С. Devaux, and M. Herman (1973): Albedos plan et spherique— Extension de la Methode de Wang (Noyau Exponentiel), Rapport Universite des Sciences et Techniques de Lille, France, November. Wang, L. (1972): Anisotropic Nonconservative Scattering in a Semi-Infinite Medium, Astrophys. J. 174, 671—678. 4.5. Метод возмущений Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах звезд и планет.— М.: Наука, 1972. 335 с. Deuze, J. L., С. Devausc, and М. Herman (1973): Utilisation de la Methode des Harmoniques Spheriques dans les Calculs de Transfert Radiatif. Extension au Cas de Couches Diffusantes d’Adsorption Variable, Nouv. Rev. Optique 4t 307—314. Fymat, A. L. (1970): Spectral Multiple Scattering of Arbitrarily Polarized Light in Inhomogeneous Planetary Atmospheres, JPL Report 98, Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, California. Fymat, A. L., and K. D. Abhyankar (1969— 1970): Theory of Radiative Trans fer in Inhomogeneous Atmospheres: I, II, II, IV, Astrophys. J. 158, 315—324, 325—335 (1969); 159, 1009— 1018, 1019—1028 (1970). Van de Hulst, H. C. (1970): Reduction to H-Functions in Radiative Transfer With a General Anisotropic Phase Function, Astron. Astrophys. 9, 359—365. Van de Hulst, H. C., and W. M. Irvine (1962): General Report on Radiation Transfer in Planets: Scattering in Model Planetary Atmospheres, Mem. Soc. Roy. Soc. 15th Series, Vol. 7, 78—98. 4.6. Малоугловое приближение Галин В. Я., Малкова В. С. Угловое распределение света, исходящего из слоев с большой оптической плотностью.— Известия АН СССР, ФАО, 1971, т. 7, с. 1174—1182. Малкова В. С. Границы применимости малоуглового приближения в обла ках.— Известия АН СССР, ФАО, 1972, т. 8, с. 1100—1103. Романова JI. М. Решение уравнения радиационного переноса при сильно анизотропной индикатрисе рассеяния. Ч. I.— Оптика и спектроскопия, 1962, т. 13, с. 429—435. Ч. II.— Оптика и спектроскопия, 1962, т. 13, с. 819—825. Романова Л. М. Поле радиации в плоских слоях мутной среды с сильно анизотропным рассеянием.— Оптика и спектроскопия. 1963, т. 14, с. 262—269. 178 Irvine, W. M. (1968): An Evaluation of Romanova’s Method in the Theory of Radiative Transfer, The Atmospheres of Venus and Mars, ed. J. B. Brandt and М. B. McElroy, Gordon and Breach, New York. Irvine, W. M. (1968): Diffuse Reflection and Transmission by Clouds and Dust Layers, /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 8, 471—485. 5.1. Однократное рассеяние Box, M. A., and A. Deepak (1981): An Approximation to Multiple Scattering in the Earth’s Atmosphere: Almucantar Radiance Formulation, /. Atmos. Sci. 38, 1037—1048. Deirmendjian, D. (1957): Theory of the Solar Aureole. Part I: Scattering and Radiative Transfer, Ann. Geophys. 13, 286—306. Sekera, Z. (1956): Recent Developments in the Study of the Polarization of Sky Light, Advances in Geophysics, Vol. 13, Academic Press, New York, 4 3 -1 0 4 . 5.2. Асимптотические соотношения Бирюков Ю. Л., Титарчук Л. Г. Об определении радиационного поля в оптически плотной среде с сильно анизотропным рассеянием.— Космические исследования, 1972, т. 10, с. 400—410. Гермогенова Т. А. О характере решения уравнения переноса для плоского слоя.— Журнал высшей математики и математической физики, 1961, т. 1, с. 1001— 1019. Гермогенова Т. А. Дискретный спектр характеристического уравнения пе реноса.— Журнал высшей математики и математической физики, 1974, т. 14, с. 1528. Гермогенова Т. А. О решении неоднородного уравнения переноса.— Пре принт Института прикладной математики АН СССР. 1974, № 133. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В. Асимптотические характеристики ре шения уравнения переноса в задаче неоднородного слоя.— Журнал высшей математики и математической физики, 1974, т. 14, с. 928. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В. Асимптотический метод решения урав нения переноса для плоскопараллельной атмосферы.— Отчет Института при кладной математики АН СССР, подготовленный для Комиссии по радиации, 1975. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В., Лукашевич Н. Л., Фейгельсон Е. М. Проверка интерпретации оптических измерений с «Венера-8».— Космические ис следования. 1977, т. 15, с. 15—755. Иванов В. В. Асимптотические свойства радиационных полей в полубесконечных атмосферах.— Астрофизика, 1974, т. 10, с. 193—204. Иванов В. В. Принципы инвариантности и внутренние радиационные поля в полубесконечных атмосферах.— Астрономический журнал, 1975, т. 52, с. 217—226. Колесов А. К., Соболев В. В. Некоторые асимптотические выражения в теории анизотропного светорассеяния.— Астрофизика, 1969, т. 5, с. 175. Коновалов Н. В. Асимптотические свойства односкоростного уравнения пе реноса в однородном плоскопараллельном слое: задача с азимутальной зависи мостью.— Препринт Института прикладной математики АН СССР. 1974, № 65. Коновалов Н. В. Асимптотические характеристики монохроматических по лей радиации в задачах неоднородного плоскопараллельного слоя большой оп тической толщины. Ч. И. Вычисление основных параметров и функций.— Пре принт института прикладной математики АН СССР, 1974, № 14. Коновалов Н. В. Интервал справедливости асимптотических выражений для расчетов монохроматического излучения в неоднородном оптически толстом плоскопараллельном слое.— Известия АН СССР, ФАО, 1975, т. 11, с.1263—1271. Коновалов Н. В. О точности решения уравнения переноса для плоского слоя большой оптической толщины с сильно анизотропным рассеянием.— Пре принт Института прикладной математики АН СССР, 1975, № 94. Масленников М. В. Задачи Милна с произвольной индикатрисой рассея ния— Доклады АН СССР, 1958. т. 119, с. 895. 12* 179 Масленников М. В. Задача Милна с анизотропным рассеянием.— Труды Института Стеклова, 1968, N° 97. Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет.— М.: Наука, 1972. Титарчук Л. Г. Перенос радиации в однослойной сферической планетной атмосфере.— Космические исследования, 1972, т. 10, с. 905—915. Kuscer, I., and N. J. McCormick (1973): Some Analytical Results for Radia tive Transfer in Thick Atmospheres, Proc. UCLA Int. *Conf. on Radiation and Remote Probing of the Atmosphere, Western Periodicals, Los Angeles, Califor nia, 196—226. Van de Hulst, H. C. (1964): Diffuse Reflection and Transmission by a Very Thick Plane-Parallel Atmosphere With Isotropic Scattering, Icarus, 3, 336—361. Van de Hulst, H. C. (1968): Asymptotic Fitting. A Method for Solving Ani sotropic Transfer Problems in Thick Layers, I. Comput. Phys. 3, 291—306. Van de Hulst, H. C. (1968): Radiative Transfer in Thick Atmospheres With an Arbitrary Scattering Function, Bull. Astron. Inst. Neth. 20, 77—86. Van de Hulst, H. C. (1980): Multiple Light Scattering Tables, Formulas and Applications, Vol. 1, chap. 5, Academic Press, New York. 6.1. Аппроксимация пика индикатрисы в направлении вперед Arking, A., and J. F. Potter (1968): The Phase Curve of Venus and the Na ture of Its Clouds, /. Atmos. Sci. 25, 617—628. Hansen, J. F. (1969): Radiative Transfer by Doubling Very Thin Layers, Astrophys. I. 155, 565—573. Joseph, J. H., W. J. Wiscombe, and J. A. Weinman (1976): The DeltaEddington Approximation for Radiative Flux Transfer, I. Atmos. Sci. 33, 2452_2459 McKellar, В. H. J., and M. A. Box (1981): The Scaling Group of the Radia tive Transfer Equation, /. Atmos. Sci. 38, 1063— 1068. Potter, J. F. (1969): Effect of Cloud* Scattering on Line Formation in the Atmosphere of Venus, I. Atmos. Sci. 26, 511—517. Potter, J. F. (1970): The Delta Function Approximation in Radiative Transfer Theory, I. Atmos. Sci. 27, 943—949. Schaller, E. (1979): A Delta-Two-Stream Approximation in Radiative Flux Calculations, Contr. Atmos. Phys. 52, 17—26. Van de Hulst, H. C. (1980): Multiple Light Scattering Tables, Formulas and Applications, Vol. 2, chaps. 12 and 14, Academic Press. New York. Weinman, J. A. (1968): Axially Symmetric Transfer of Light Through a Cloud of Anisotropically Scattering Particles, Icarus, 9, 67—73. Weinman, J. A., J. T. Twitty, S. R. Browning, and В. M. Herman (1975): Derivation of Phase Functions From Multiply Scattered Sunlight Transmitted Through a Hazy Atmosphere, I. Atmos. Sci. 32, 577—583. Wiscombe, W. J. (1977): The Delta-M Method. Rapid Yet Accurate Radiative Flux Calculations for Strongly Asymmetric Phase Function, /. Atmos. Sci. 34% 1408— 1422. 6.2. Различные аналитические представления для индикатрисы рассеяния Hansen, J. Е. (1969): Exact and Approximate Solution for Multiple Scattering by Cloudy and Hazy Planetary Atmospheres, I. Atmos. Sci. 26, 478—487. Henyey, L. G., and J. L. Greenstein (1941): Diffuse Radiation in the Galaxy, Astrophys. I. 93, 70. Hunt, G. E. (1971): A Review of Computational Techniques for Analyzing the Transfer of Radiation Through a Model Cloudy Atmosphere, I. Quant Spectrosc. Radiat. Transfer 11, 655—690. Kagiwada, H., and R. Kalaba (1967): Multiple Anisotropic Scattering in Slabs With Axially Symmetric Fields, Mem. RM 5245-PR, The Rand Corpora tion, Santa Monica, California. King, M. D. (1983): Number of Terms Required in the Fourier Expansion of the Reflection Function for Optically Thick Atmospheres, I. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer 30, 143—161. Reynolds, L. O., and N. J. McCormick (1980): Approximate Two-Parameter Phase Function for Light Scattering, I. Opt. Soc. Am. 70, 1206—1211. 180 Приложение 1А * Басс Ф. Г., Фукс И. М. Рассеяние волн на статистически неровной по верхности.— М.: Наука, 1972. 424 с. * Шифрин К. С.. Гардашев Р. Г. Модельные расчеты отражения света от морской поверхности.— Изв. АН СССР, ФАО, т. 21, № 2, 1985. * Шифрин К. С., Гардашев Р. Г. Интенсивность света, отраженного от морской поверхности.— Изв. АН СССР, ФАО, 23, № 4, 1985. с. 415—422. Приложение 1Б Fymat A. L., S. Ueno (1976): Order of scattering of partially polarized radiation in inhomogeneous, anisotropically scattering atmospheres — II. Reci procity and symmetry relations, Astrophys. Space Sci. 30, 251—273. Hovenier, J. W. (1969): Symmetry relationships for scattering, polarized light in a slab of randomly oriented particles, /. Atmos. Sci. 26, 488. * Hovenier, J. W., Van de Hulst H. C., der Мее С. V. M. (1986): Condi tions for the elements of the scattering matrix, Astronomy and Astrophysics, /57, 301—310. Secera, Z. (1970): Reciprocity relations for diffuse reflection and trans mission of radiative transfer in the planetary atmosphere, Atm. /., 162y 3. Приложение IB * Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами.— М.: Мир, 1986. 660 с. * Шнфрин К. С. Рассеяние света в мутной среде.— М., Л.: Гостехиздат, 1951, 288 с. * Шифрин К. С. (ред.). Таблицы по светорассеянию. Т. 1—5.— Л.: Гидро метеоиздат, 1966, 1968, 1971, 1973. Deirmendjian, D. (1969): Electromagnetic scattering on spherical polydispersions, Elsevier New York. Kerker, М., editor (1963): Electromagnetic scattering: Proc. Interdisciplinary Conference held at Clarkson College, Potsdam, Pergamon Press, New York. Van d^ Hulst, H. C. (1957): Light scattering by small particles, J. Willy, New York. Часть II ВВЕДЕНИЕ Радиационный перенос монохроматического излучения в плос копараллельной атмосфере может быть рассмотрен многими «стандартными» методами, обзор которых был дан в первой части книги. Однако природные процессы существенно сложнее, чем эти простые модели. Д аж е для удовлетворительного описания спект рального распределения излучения в полосе поглощающего газа в плоском слое атмосферы необходимо выполнить громоздкие вы числения монохроматического излучения при достаточном числе длин волн. В связи с этим для описания рассеяния с учетом газового поглощения потребовались упрощающие методы. Они рассмотрены в главе 1.* В случае когда приближение плоскопараллельной атмосферы перестает быть справедливым, трудности решения общего уравне ния переноса (часть I, уравнение ( 1.2 0 )) быстро возрастают. Горизонтальные неоднородности (см. главу 2 ) могут быть обус ловлены либо граничными условиями (неоднородность подстила ющей поверхности), либо горизонтальной изменчивостью свойств атмосферы. Будут рассмотрены два предельных случая: 1) регу лярные, или периодические изменения коэффициентов рассеяния или ослабления в горизонтальной плоскости в горизонтально бес конечной атмосфере; 2 ) присутствие облака конечных размеров, характеристики которого отличны от характеристик окружающего безоблачного пространства. При этом поле облаков относительно правильной формы, расположенных более или менее правильным образом, можно, вероятно, использовать как промежуточный слу чай по отношению к вышеупомянутым предельным задачам. При лимбовых наблюдениях и в случаях низкого солнца нельзя пренебрегать сферичностью Земли (см. главу 3). Наконец, большое практическое значение имеет освещение узким коллимированным пучком, например лазерным лучом, так как лидары широко используются в исследованиях атмосферы (глава 4). * Дело тут не только в громоздкости расчетов. Для. использования урав нения переноса (1.23) нужно знать монохроматические коэффициенты погло щения газов. Из-за тонкой структуры поглощения они часто неизвестны. Из экс перимента мы получаем функцию пропускания конечного спектрального интер вала ДА., непосредственное использование которой в уравнении переноса невоз можно. Глава 1 посвящена методам решения подобных задач. (Прим. ред. пер.) 182 Метод Монте-Карло пригоден без особых изменений для лю бой геометрической конфигурации. Этим он предпочтительнее, несмотря на то, что его реализации требует больших затрат ма шинного времени. Метод Монте-Карло обеспечивает опорные точки, необходимые для проверки других методов, основанных обычно на использовании приближенных аналитических решений. Точные аналитические решения пригодны только в очень упро щенных случаях. Часть II короче части 1 и может показаться недостаточно полной. Дело в том, что для плоскопараллельных атмосфер те перь существует множество хорошо известных методов; можно их обобщить и в известной мере сравнить между собой. Проблемы, рассмотренные в части II, далеки от разрешения и находятся пока в стадии активных исследований. Однако мы сочли полез ным попытаться дать краткий, хотя, разумеется, не полный обзор современного состояния предмета. На протяжении всей книги сохранялись по возможности по стоянные обозначения-. Это прежде всего касается основных ха рактеристик атмосферы и радиационного поля. Если в главе до пускается отступление от обычных обозначений, то это отмеча ется в примечании. В некоторых параграфах из-за разнообразия рассмотренных задач и сложности алгебраических преобразований каждый автор был вынужден вводить в дополнение к общеприня тым свои собственные обозначения. Они указаны в каждом пара графе особо. ГЛАВА 1 Проблемы рассеяния при наличии газового поглощения 1.1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ. ТОЧНОЕ РЕШ ЕНИЕ В первой части книги мы ограничились обсуждением пере носа монохроматического излучения. В случаях когда альбедо од нократного рассеяния соо» индикатриса р и оптическая толщина ri не зависят от частоты в рассматриваемом интервале длин волн, можно пользоваться теми же методами. Такой подход пригоден для континуумного спектра, в котором указанные параметры мед ленно изменяются в зависимости от длины волны. Эти свойства присущи полосе ультрафиолетового поглощения в озоне; было показано, что в этом случае данные дистанционного зондирования можно обращать с помощью простых приближенных решений уравнений монохроматического переноса. Однако в ряде задач физики атмосферы Земли и других пла нет коэффициент поглощения атмосферных линий и полос явля ется быстро изменяющейся функцией частоты. Данные об интен сивности и ширине этих линий позволяют определить термоди намические характеристики слоя, в котором они наблюдаются, и оценить количество содержащихся в нем поглощающих веществ. В дальнейшем мы будем считать, что быстрое изменение по глощения обусловлено влиянием скорее атмосферных газов, чем аэрозолей. Тогда для определения нужных нам спектральных ха рактеристик следует решать уравнение переноса для данной ин дикатрисы рассеяния (параметры которой зависят, в, первую оче редь, от присутствующего в атмосфере аэрозоля) для большого числа значений шо и ть При такой формулировке задачи подразу мевается, что атмосферное рассеяние происходит без изменения частоты. Эту задачу, конечно, можно решить прямым способом, много кратно применяя методы, описанные в предыдущих параграфах '(каждый раз для новых значений а>о и t i ) . Фактически так уже де лалось— при использовании метода удвоения (см. часть I, п. 3.10) и метода матричных операторов (см. часть I, п. 3.9). Однако пов торные вычисления увеличивают затраты машинного времени, по этому были развиты специальные методы для расчетов спектров. При вычислении спектров поглощения возникает несколько взаимосвязанных проблем. 1. При определении формы полосы поглощения было бы удобно вместо расчетов независимого решения уравнения переноса / v для 184 большого числа точек, решить уравнение переноса один раз для частоты, не входящей в полосу поглощения, а затем с помощью соответствующей поправки найти интенсивность для любого про извольного значения. 2. Если в используемом датчике ширина интервала Av такова, что коэффициент поглощения атмосферы существенно изменяется на протяжении Av, следует искать соответствующее средневзве шенное значение решений / v уравнений монохроматического пере носа. Однако нелегко найти способ построения такого среднего, потому что частота входит в 7V не только через альбедо со0, v, но также через оптическую толщину tv и полную оптическую тол щину Ti, V 3. Для того чтобы оценить количество любого абсорбента, со держащегося в атмосфере, расположенной над некоторым задан ным уровнем, полезно знать средний путь, пройденный фотонами в атмосфере над этим уровнем. Эта задача связана с проблемой многократного рассеяния, поэтому подобные расчеты — дело не простое. Мы рассмотрим несколько отдельных подходов к этим пробле мам. Выбор подхода зависит от решаемой задачи, требуемой точ ности и доступного машинного времени. При расчете отражения от полубесконечной однородной рассеивающей атмосферы осо бенно пригодны метод последовательных порядков рассеяния (см. п. 1.2 ) и выражение с Я-функциями (см. п. 1.3). Они пред назначены по существу для выполнения первого из вышеприве денных требований или, по крайней мере, для ускорения расчетов по большому числу ©о, V Метод начальных значений (см. п. 1.4) опирается на ту же самую идею — получить решение при раз личных wo, v однократным машинным счетом. Очевидно, что он применим тоже только к полубесконечным однородным атмосфе рам. В случае монохроматического излучения поглощение описыва ется экспоненциальной функцией с коэффициентом поглощения Oav и входит в уравнение переноса через альбедо однократного рассеяния too, v. связанного с оау Когда задача состоит в нахож дении интенсивности, осредненной по спектральному интервалу Av, содержащему много линий, поглощение обычно определяют через среднее пропускание, полученное из эксперимента либо вычислен ное с помощью тех или иных моделей полос. При этом необхо димо разложить функции пропускания по показательным функ циям; проблема состоит в нахождении лучшей аппроксимации функции пропускания. Обзор нескольких различных методов при веден в п. 1.5. Наконец, совершенно иной и оригинальный подход изложен в п. 1.6. Вероятно, он может быть применен более широко. Находят распределение длины пробега фотонов в чисто рассеивающей ат мосфере; следовательно, можно ввести и должным образом опре делить поглощение на пути длиной X, оценить, является ли оно 185 экспоненциальным. Описано несколько различных вычислительных схем. В п. 1.7 введено вероятностное распределение поглощающего вещества. 1.2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПОРЯДКОВ РАССЕЯНИЯ Этот метод был описан в части I, п. 3.7 (см. уравнение (3.50)). Решение задачи о переносе монохроматического излучения можно записать в следующем виде: оо /v (tv'; ц, <р; Ti,v) = £ ®о. у/(я>(ту; ц, <р; ti.v), rt =0 (1.1) где в неявной форме указана зависимость / от частоты v, которая входит в I через шо, т и тг, / (п) — интенсивность л-кратно рассеян ной радиации в консервативном случае (too = 1 ) • Если нас интересует спектр радиации, отраженной от полубескоиечной атмосферы, так что тУ = 0 и t i , v = оо, уравнение ( 1. 1) упрощается: оо МО; |А, <f) = £ wo.v/(n>(0; |*. Ф). л= I (1.2) Уравнение (1.2) удовлетворяет перечисленным выше требова ниям, так как задачу переноса (нахождение / (п)) требуется решить только один раз в (континууме); спектральное усреднение сво дится просток усреднению известных величин ©o.v. Среднее число рассеяний <п> (и, следовательно, средний оптический путь рас сеяния, пройденный отраженными фотонами <Х> « </г>) легко на ходится по формуле <»> = Z пюо/(п)/ Е йо/(п). (1.3) Сложность этой процедуры состоит в исключительно медленной сходимости рядов ( 1.2 ), если со0 да 1. Однако эту трудность можно, вероятно, преодолеть, если использовать асимптотические выражения для членов /<п> высоких порядков (или для вклада других интересующих нас величин п-х порядков, таких, как атмо сферное альбедо). Итак, / (П,(0; ц, <р) — - Ап-'1' [1 + (Di/n) + 0(п-2)], (1.4) где А и Di зависят от направления р, <р и угла падения |io, фо, а также от формы индикатрисы рассеяния. Их можно найти, под ставляя в уравнение (1.4) вычисленные значения / (п), где п 'д о статочно велико, чтобы обеспечить асимптотический режим. Вы 186 числения выполняются с помощью интегральных рекуррентных со отношений. Функции А и D\ можно также выразить через коэффициенты G, в следующих рядах (справедливо для рассеяния, близкого к консервативному): /v = j G ^ , i=0 < = ( l -^ O .v ),/a. (1.5) А = Gl/ ( 2 n h), Di = 3/2 [1/4 — (G3/G,)], ( 1.7 ) ( 1.8 ) G ( 1.9 ) '1 ( 1.6 ) в частности, где -----let/ ((i) U (цо) [ 3( 1 - g ) } ' h иg = $ i / 3 — показатель асимметрии индикатрисы.Величина V определена вчасти I, п. 5.2. Для изотопного рассеяния имеем U = У 3/4Я 0 (ц), ( 1. 10) где Но = Н (®о = 1). Функцию (?з можно найти численной подгонкой к результа там расчета; так же можно найти U Выражению (1.4) эквивалентно следующее выражение: ' <я)„ - ^ Я ( " + С)“ ’/г[1 + ° ( « ~ 2)]- (1-11) Здесь В и С — также функции углов и индикатрис. Если удается найти константу С, то асимптотическое условие (1.11) может ус тановиться удивительно быстро. Сумму (1.2) для п > п+, где асимптотические выражения (1.4) или ( 1. 11) относятся к п ’> п+,' часто можно с достаточной точ ностью аппроксимировать интегралами известного вида, включа ющими дополнительную функцию ошибок. Подобным же образом могут быть выражены интегральные величины, такие, например, как эквивалентная величина линии. Для изотропного рассеяния и для двух индикатрис, сходных с индикатрисами рассеяния мор ской дымки и кучевого облака, были опубликованы таблицы значений / <п> для п •< 40. 1.8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ Н- ИЛИ Х-, К-ФУНКЦИЙ. СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ Отражение от полубесконечной изотропно рассеивающей атмо сферы можно выразить через Я-функцию (часть I, п. 2.4). В этом случае расчеты облегчаются тем, что имеется множество таблиц 187 Я-функций для большого числа значений w0, v. Более того, зави симость от ©о, v можно аппроксимировать выражением я f t, ц)« 1, .+ ц [3 (1 — ш0)] ,г • < " 2> • Процесс формирования линий в такой атмосфере основательно изучен физиками и математиками. Используя соотношения подо бия (см. часть I, п. 4.1), этот анализ можно применить при объ яснении аналогичной проблемы для более сложных индикатрис. В связи с этим были выполнены некоторые тесты точности, обес печиваемой теорией подобия. Затабулированные Я-функции использовались также для полу бесконечной атмосферы с рэлеевским рассеянием или с очень простыми (двучленными) индикатрисами. Для описания пропус кания и отражения в конечных атмосферах следует применять X- и У-функции, учитывая зависимость полной оптической тол щины от V. 1.4. МЕТОД ИСХОДНОГО ЗНАЧЕНИЯ Нелинейные интегральные уравнения для Я-функции 1 Я (|х, (Do) = 1 + цЯ (ц, «о) ( Я (ц', (Оо)d\i о |Л+ ,Л (1.13) сводятся к системе Коши, где параметр ©о является независимой переменной. Следовательно, Я-функция получается непосредст венно начиная с Н(ц, юо = 0 ) = 1, причем приращение может быть сколь угодно малым. Этот метод можно, вероятно, распространить и на решение других задач. 1.5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПРОПУСКАНИЯ СУММОЙ ЭКСПОНЕНТ Функция пропускания для спектральных интервалов конечной ширины ДА, для большинства атмосферных газов, а также, по-видимому, почти для всех спектральных интервалов оказывается не экспоненциальной. Однако все существующие методы теоретиче ского исследования переноса излучения в рассеивающей и погло-. щающей среде основаны на допущении, что перенос радиации под чиняется экспоненциальному закону. Этот недостаток можно устранить, если записатв функцию пропускания t^x(u) (и — длина пути в поглощающей среде) в следующем виде: оо <дл (И) = \ f (k) exp (—ku) dk. 0 188 (1.14) Здесь f ( k ) d k — часть спектрального интервала, в котором значе ния коэффициента поглощения меняются от k до k + dk. Обычно интеграл в уравнении (1.14) аппроксимируется ко нечной суммой: п < д а .( « ) = £ я , е х р ( — k ill). ( 1 .1 5 ) /= 1 Для тогочтобы члены этой суммы имелифизическийсмысл, коэффициенты щ и ki должны удовлетворять следующим усло виям: п 0 < а (< 1 , £а«=1 f=i О*16) 0. ( 1 .1 7 ) и Коэффициенты ki по сути идентичны объемному коэффициенту поглощения и измеряются в м-1. Хотя такие представления любых функций конечными суммами экспонент математически плохо обусловлены, они, тем не менее, применяются при решении различных задач. В данном конкретном приложении можно обосновать это представление, разбив спект ральный интервал Д>. на конечное число подинтервалов, характе ристики поглощения которых описываются постоянными коэффи циентами ki. Различные авторы пользовались разными методами представления, погрешность которых составляла от 0,1 до 1 %. 1.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОНОВ ПО ДЛИНАМ ПРОБЕГОВ Альтернативный подход к трем проблемам, перечисленным во введении, основан на использовании распределения вероятно сти р(Х; т; ц; <p; ti) , где p(X)dX — вероятность того, что фотон, внес ший вклад в /<о0=1 (т; ц,; <р; тг) —h, с момента попадания в атмо сферу проделает в ней оптический путь от к до X + dk. Вероят ность распределения р & , связанная аналогичным образом с интен сивностью континуума 1&0с<. 1, тоже может быть определена. Однако для простоты изложения ограничимся в приведенных ниже уравнениях величиной р( Х) , которая, как следует из ранее ска занного, относится к консервативному случаю. Таким образом, X = los, где / — геометрический путь, пройденный фотоном, a os— коэффициент рассеяния в атмосфере. Из физических соображений очевидно, что если известны р(Х) и интенсивность Л, то интенсивность монохроматического излуче189 / ния при произвольном коэффициенте ослабления <jv определяется следующим образом: / v ( t v; |i, ф ; TlfV) = оо = /,(т; ц., ф; т,) J р (Я,; т; ц, ф; т,)ехр<—avX/as)dX. (1.18) В отличие от уравнения (1.1) (см. п. 1.2) это выражение явля ется промежуточным между решением для консервативной атмо сферы и решением для атмосферы с такими же физическими ха рактеристиками, но с добавлением молекулярного поглощения; иными словами, т и t i в правой части выражения (1.18) не зависят от v, так что (1.18) непосредственно описывает профиль линии. Рассмотрим конечный спектральный интервал Av, для которого функция пропускания имеет общий вид ^дУ(/). Тогда уравнение(1.18) можно переписать следующим образом: оо /ду = Л S Р (*■) <AV(Vor,) dX. о (1.19) Здесь зависимость от угла и оптической толщины не содержится в явном виде, а 1\ — интенсивность, которая будет наблюдаться в интервалах Ах в отсутствие поглощения. В монохроматическом случае уравнение (1.19) явно сводится к (1.18). Первый момент оо <я> = \p(X )X dX (1.20) о представляет собой средний оптический путь, пройденный излуче нием в атмосфере при ©о = 1. Это обстоятельство следует иметь в виду при использовании метода в некоторых приложениях (см. ниже). Данный алгоритм требует решения стандартной задачи пере носа любым из обычных методов для получения 7i и (отдельно) решения задачи определения р(Х). Задача определения р(X) ре шалась аналитически или численными методами, а также методом Монте-Карло. 1.6.1. Полубесконечные атмосферы В случае полубесконечной атмосферы можно показать, что для радиации, отраженной после п-го рассеяния, имеем рп (Х) = е х р { - Х ) Х п- 1/ ( п - 1)! (1.21) Это выражение позволяет непосредственно получать р(Х) при A/'Cl (когда существенным является лишь рассеяние первого по рядка, оно легко находится аналитически). Кроме того, формулу ( 1.21 ) можно использовать в некоторых численных методах для обращения преобразования Лапласа. 190 В другом предельном случае, при X 1 р (X)« (i4//i) IT '1' [ 1 + (D,Д ) + О (А.-2)], (1.22) где А и Di — те же самые константы, которые фигурировали в выражении (1.4) (см. п. 1.2). Несколько отличается асимптотическое разложение вида р (X) « В//, ( у 1') [ 1 + (15/8у2) Х + О (у~3! 2)], X > 1, (1.23) где у = X + I + С, В и С — те же константы, что и в выражении (1.11). Для изотропного случая при / . > 2 0 ошибка составила 1 %• 1.6.2. Метод Монте-Карло При расчетах р(А) широко применялся метод Монте-Карло. Методика расчетов очень сходна с изложенной в части I, п. 3.1. Единственная дополнительная процедура состоит в обеспечении накопительных ячеек — для регистрации длин путей, пройденных излученными фотонами. Главное преимущество этого метода — его универсальность; он годится для неоднородных случаев, вертикально и горизон тально неоднородных облачных слоев, для неплоскопараллельных атмосфер. Кроме того, он позволяет находить распределение на любом уровне слоя. Точность метода существенно зависит от числа зарегистрированных фотонов, так же как при расчете ра диационного поля. 1.6.3. Обращение преобразования Лапласа Из выражения (1.18) следует, что оо R(r) = Iv/Il = \ p ( X )e x p ( - r X ) d X , R(r) = Lr,K[p(X)l (1.24) о где г = Ov/cr и L[p\ — преобразование Лапласа функции р. Для получения р(Х) применялось несколько численных методов обрат ного преобразования Лапласа. В дальнейшем будем считать, что мы имеем набор значений R ( r ) для 2 N значений г; эти значения можно получить, решив любым способом уравнения радиацион ного переноса (см. часть 1). Выражая интеграл в уравнении (1.24) с помощью гауссовой квадратуры, получим линейную систему, которую можно обратить и определить 2N дискретных значений р(Х). Соответствующая матрица, подлежащая обращению, обусловлена исключительно плохо, поэтому для получения хорошо обусловленной системы применяют сглаживание. При интерполяции R(r) можно использовать трехточечную аппроксимацию, например Я ( г ) = 1/(1 + Вг)с, (1.25) с двумя константами Б и С, которые следует определить. 191 Величины R ( r ) — это решения стандартной задачи переноса, полученные любым обычным способом. (Заметим, что требуется знать три значения интенсивности: / (г = 0), 1(г\) и /(гг).) По двум значениям R ( r ) можно определить константы, используя соотношение in (1 + Bri) _ In (1 + Br2) С_ ° ~ in R (ri) In R ( r s) • ln R (r >) In (1 + fir,) • ,. yi‘^ / 1 V7\ V ' 1' ' Уравнение (1.26) решается итерациями. Распределение длины пробега фотона р(А) является обратным преобразованием Лапласа уравнения (1.26): р{Х) = аЯ.6 ехр(—сЯ), (1-28) а = 1/В сГ(С), (1.29) Ь = С — 1, (1.30) с = 1/В, (1.31) а Г (С) — гамма-функция от С, удовлетворяющая соотношению Г ( * + 1) = жГ(дг). Средняя оптическая длина пути задается в виде <Я> = ( Ь + 1)(с = ВС. (1.32) В случае если альбедо подстилающей поверхности достаточно велико, предложенную процедуру можно применять к атмосфере в два приема, потому что распределение длины пути обладает аддитивностью: I l P(X) = IsPs(X) + IRp R (X), (1.33) где p s (X ) — плотность распределения значений длины пробега фотонов, полученных по значениям R(r) исследуемой атмосферы, при альбедо подстилающей поверхности, равном нулю (/* — ин тенсивность соответствующего континуума). Величина Pr (X) определяется по разности значений R(r) для атмосферы, включа ющей альбедо подстилающей поверхности, и R(r) для той же атмосферы без альбедо (7Д — соответствующая,интенсивность кон тинуума). Погрешность аппроксимирующего выражения (1.25) составляет менее 1 % для большинства случаев при значениях г от 0 до 1; с увеличением г точность уменьшается. Другой подход — это использование Паде-аппроксимации при интерполяции R (г) в виде отношения двух полиномов: R ( r ) & P N-,(r)IQN(r). (1.34) Определим обратную разность нулевого порядка: Ч>о = г|>0 (r„) = 1IR (г„), п = 0, 1.........2N — 1, (1.35) и обратную разность порядка k : Ук = Ук(гп......... Гп +к). (1.36) 192 Функция *ф вычисляется с помощью следующего рекуррентного соотношения: ЧД+ 1 -Ч > * -1 + А: = 0 , 1, . . . , 2N — 2; , n = 0, 1, . . . , 2 N - k — 2. (1.37) Функцию для интерполяции [f(г) = 1//? (г) ] можно предста вить в виде непрерывного отношения с помощью обратных разно стей: Н ')-ч8+ t '(r.rr., • + i( r , т ) -Ч > ? + С-38» , , ф2(г, r 0> r ^ — ,, ■ ( 1.3 9 ) и наконец к о - » о + :- ^ — . (1-40) «2 + Г — Г 2 а3 где а 0 = Ч>о* а 1= , Ф?. а * = ^* — ^*-2* О-41) Обрезая бесконечную дробь на порядке k, получаем ft-e при ближение f(r), которое можно записать как отношение полиномов А к(г)/Вк(г). Можно показать, что полиномы А 2к, А 2к-\ и В 2к имеют степень ft, а полиномы B 2k-1 — степень ft— 1. Поэтому ко эффициенты обоих полиномов вычисляются следующим образом. Имеем к До (г) = ао = 0 , Aik (г) = £ a?V , i=0 k Bo(r) = b ° o=l , B 2k( r ) = i= 0 Л_,(г) = а ^ = 1, k Л2* - . ( г ) = 2 > f “ V , B-x (r) = bo1= 0, B 2* _ ,(r) = к£ \ ? - 1г1 £= 0 (1.42) i=0 и „ 2/г—2 Ct2fc — I Cli — Гг^ 2k —Ъ 2CLi -f- 2k —Ъ _ 1 , .! 2 , «2/г —2 + 0 /-I , .! Cl2fe_ — Г 2/г „ A2* - 2 „ * 2/г = 0 .2 k 0 i — Гг/г — Ib i 13 Зак. № 119 193 , . ft, (1.44) .. ft — i , (1.45) О } Л2* ... о ■2 . 2/г —2 + Я* - 1 > А2 * - 3 , # 2/г —3 20i + 0£ _ i , О л2* ~ л2Л-1 „ Л2А a i = ^2kî — f2k—\Q'i tfk - 1 «2/г—2 = (1.43) о = 11 „2Л-1 .. ft. (1.46) Учитывая характер функции R(r), которая стремится к нулю, когда г стремится к бесконечности, и равна единице при г = О, получим, что соответствующее приближение должно иметь степень *(k — l)/k. Именно так обстоит в случае A 2k-i /B 2k-i• Итак, восполь зуемся следующей схемой: 1 ) вычислим обратные разности с помощью соотношений (1 .3 6 )-(1 .3 7 ); 2) рассчитаем коэффициенты а* с помощью выражений (1.41); 3) зададим исходные коэффициенты а и Ь с помощью выра жений (1.42); 4) вычислим коэффициенты а и Ь с помощью выражений (1.43)— (1.46), используя попеременно (1.43) и (1.45), затем (1.44) и (1.46) и т. д. Вычисления останавливаются на поря k = N, когда получены коэффициенты а2* ~ ' и b f ~ Затем функция R(r) аппроксимируется рациональным отноше нием Pw-i(^)/Qjv(/')» часто называемым Паде-аппроксимацией второго рода. Распределение значений длины пробега фотонов р(К) является обратным преобразованием Лапласа этого отноше ния: p(X) = L 7 \ [ P N-i(r)/QN(r)], N р(Х) = Z Лт ехр(у,Д), т= 1 (1.47) где ут — т -й корень полинома Qjy (г), Ат = PN- 1(.Ут)/Qn (ут), (1.48) Qn (x) = QN( x ) / ( x - y m\ (1.49) Из условия нормировки р(Х) получаем Т,Ат/(~Ут)=\. (1.50) Этот метод не пригоден для полубесконечной консервативной среды, где уместно использовать ^р(Х)) для слабого непрерывного поглощения: оо p(r, X) = ехр(—г%)р{г = 0 , Х)1\р(г = 0 , А)ехр(—rk)dk. 'о (1.51) На практике вычисления_можно проводить для очень слабого непрерывного поглощения (соос « Ю-4, 10-5). 1.6.4. Применение распределения фотонов по длине пробега Среднее значение интенсивности в спектральном интервале было задано уравнением (1.19). 194 В случае слабого поглощения /Ду(ы) « 5 ы , где S — интенсив ность спектральной линии (в случае изолированной линии) или S = ( 1/Av) 2 iSi, например для случайной модели линий, а и — количество поглощенного газа; /дУ можно записать в виде I an = I,S <k}/os, где <Х> — средний оптический путь, определенный ( 1.20). Из свойств преобразования Лапласа находим (1.52) уравнением < X > _ - , / / ( ^ L ) r_ o. (1.53) Приближенное аналитическое выражение для <Я> можно по лучить, используя формализм приближенного метода для потока (часть I, глава 4). При сильном поглощении выражения для / Ду зависят от формы крыльев линии. Однако асимптотическое разложение эквивалент ной ширины линии Фойгта аналогично разложению линии Л о ренца: W = 2 (Sct«)l/l, (1.54) где а — полуширина линии Лоренца. Тогда эквивалентная ширина сильной линии для рассеивающей атмосферы равна оо W — j р (X) 2 (рSaX/os)'h d%, (1.55) где р — концентрация поглощающего газа. Итак, W = 2 (SapA/as)'h, (1.56) где Л = ( |/ > ( Щ ■*) (1.57) есть квадрат среднего корня из длины пути. 1.7. ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГЛОЩАЮЩЕГО ВЕЩЕСТВА Рассмотрим конечную вертикальную неоднородную атмосферу и обозначим количество поглощающего газа между уровнями г и z + dz через du(z). Аппроксимируем зависимость поглощения от температуры и давления «масштабной аппроксимацией»: *av(2 „ z 2) = exp |^—<tv j ( Pp 0L T V( V 02)' ) gV^ M( ^ ] ' 13* 195 ( 1-58> Затем можно определить вероятность p(u)du того, что на произвольном уровне атмосферы z в направлении (О, ф) количе ство газа, с которым встретится наблюдаемый радиационный пу чок, составит от и до и -j- du, так что оо / v = /| J р (и) ехр (ovu) du, о где /1 — интенсивность континуума; следовательно, p(u)s&p(u, Z „ (i, ф). (1.59) (1.60) Для среднего пропускания по широкому спектральному интервалу оо (1.61) о Очевидно, что те же методы вычислений пригодны для распре деления поглощающего вещества и для распределения длины пробега фотонов в однородной атмосфере; в этом случае р(и) = == р(А,). Интерес заключается в вычислении синтетических спек тров в неоднородных рассеивающих атмосферах или в расчете радиационного баланса. Можно полагать, что все приближенные методы (приближение Эддингтона, метод экспоненциального ядра, двухпотоковое при ближение и т. п.), описанные в части I, глава 4, позволяют опре делять вектор Fi потока F\ на различных высотах как для восхо дящего, так и для нисходящего излучения в виде решения линей ной системы: AF, = S; (1.62) S — вектор источника с единственным ненулевым элементом, пред ставляющим параллельное освещение на верхней границе атмо сферы; А — матрица, элементы которой являются аналитическими функциями от соос» Mo. g и Ат для слоев, расположенных между двумя расчетными уровнями. Если рассмотреть условие, эквива лентное (1.53), (1.63) то можно показать, что ADu — диагональная матрица количества поглощающего газа между расчетными уровнями. Аналитические выражения для эле ментов A = dA/d(Ax)\ te обычно сложны, но тесно свя' ' 7 шос t= = cl ° заны с элементами А, и параллельные вычисления А и А являются довольно эффективными. Главное преимущество этого метода 196 очевидно: можно получить значения <ы> для большого числа по глощающих газов (если необходимо, с различными масштабными коэффициентами давления) при очень незначительных затратах машинного времени, если известны А, А и Fi. Объясняется это тем, что матричное умножение не представляет сложности (ADu диагональна) и что мы уже знаем свойства А-1 из вычислений Fi. Очевидно, этот метод имеет ограниченное применение, но на практике это можно компенсировать вышеописанным вычислением для нескольких масштабов количества одного и того же газа или даже расширением метода, что дает более высокие порядки рас пределения р(и) (включая новые производные от А). ГЛ А ВА 2 Горизонтально неоднородные атмосферы, освещенные солнечным излучением 2 .1 . О Б Щ И Й А Н А Л И З Рассмотрим атмосферу, ограниченную двумя бесконечными параллельными плоскостями, верхняя граница которой однородно освещается параллельным пучком радиации. Поток радиации на единичную площадку, перпендикулярную направлению распростра нения излучения, равен nF. Будем считать, что в атмосфере источ ники излучения отсутствуют. В соответствии с определениями, принятыми в части I, общее «уравнение переноса можно переписать следующим образом: (1 - n T ’co s» " J b . f t f »• *> + + (1 - n T ’ sin Ф + Ц »• »> = = —ое(х, у, z)[I(х, у, г; ц, ф) — / (дг, у, г; ц, ф)], (2 . 1) где положение точки в атмосфере определено координатами (х , у, г), а направление распространения радиации — направляю щими косинусами a = ( l — ц ^ ’ совф; P = ( l — ja2)^* sla ф; v = M- (2.2) Функция источника описывается выражением * 2я I /( * , У, г; ц, Ф) = щ (Х’4п ’~ — J J Р(х, У, z; ц, ф; ц', ф') /( * , у, г; ц ', dq>' + м° (Х’4^ ’ г) р(х, у, г; ц, ф; Цо. ф0)я^(дс, у, г), (2.3) где (цо, фо) относится к направлению падающего пучка; n F ( x , y , z ) — поток прямой радиации в точке ( x , y , z ) . Граничные условия записываются следующим образом: /~ = О на верхней границе атмосферы; /+ у подстилающей поверхности определяются отражательными свойствами последней. В простейшем случае атмосфера горизонтально однородна, так что ое, ©о и индикатриса рассеяния не зависят от х, у; тогда неод нородность поля радиации обусловлена неоднородностью подсти лающей поверхности и вводится в задачу через граничные условия. 198 Этот случай рассмотрен в п. 2.2. Простые случаи можно решать точными аналитическими методами, но чаще прибегают к прибли женным методам. Практическое приложение таких задач — спут никовое наблюдение за объектами, расположенными на поверх ности Земли. Если атмосфера однородна, следует рассмотреть два предель ных случая: бесконечные по горизонтали атмосферы с периодиче ской однородностью (см. п. 2.3) и облако конечных размеров, рас положенное в атмосфере, которая в других отношениях однородна (см. п. 2.4). Наконец, при изучении радиационного баланса Земли большое значение имеет ансамбль большого числа облаков конеч ного размера (см. п. 2.5), расположенных в правильном порядке или хаотически. 2.2. ОДНОРОДНЫ Е АТМОСФЕРЫ НАД НЕОДНОРОДНОЙ ПОДСТИЛАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 2.2.1. Аналитическое решение для изотропного рассеяния Рассмотрим однородную непоглощающую атмосферу с изотроп ным рассеянием над неоднородной поверхностью. Будем считать, что поверхность отражает по закону Ламберта с коэффициентом яркости q, который является функцией переменной х. Уравнение переноса можно записать в виде cos» д1(г' £ »• .»!■ + Sin ft cos ф dI А ?! = = —ae[I(z, x; ft, ф) — J(z, x; ft, q>)]. (2.4) Определим оптическую толщину * т= • j o« dz б (2.5) и назовем ti полной оптической толщиной. Введем характерную длину /о вдоль оси х и обозначим I = *//.. (2.6) Запишем 6 = ае10(т, — т). (2.7) Уравнение для восходящей /+ и нисходящей / _ радиации можно записать в следующем виде: COS ft д!+ , sin ft cos <р dl+ dh * ti — t = J oe dz соответствует определению оптической толщины в части 1 г и используется чаще. 199 где 2я я/2 /( т , | ) = - i - J ( ( / + + / “ ) s in f td f tr fq > + - ^ le x p [ - ( т . - т ) secft0]. 4Jl 0 0 (2.9) Граничные условия записываются в виде /" (til; ft, <р) = 0, г2я я/2 j j l ~ (О, I; ft, ф) cos ft sin ft rfft я / + (0 , |; ft, ф ) = <7 (|) + jtfc o sft 0 exp(—t, secft 0) J . + (2 . 10) Предположим, что коэффициент яркости можно представить в следующем виде: т Я(1) = Ч»+ Е (p n C o sn |-f <7„ sin n |). Л=1 (2.11) Воспользуемся аналогичным разложением для яркостей: /+ = 4 ‘) + £ Л= [ ^ s i n n l - f B ^ co sn i], 1 (2. 12) /~ = 4 2) + S f 4 2) s i n ^ + B < 2)co s« i]. п= 1 С помощью (2 . 12 ) и (2 .8 ) получим для коэффициентов А п и В п следующие условия: cos ft cos ft cos ft + Д 1' = Яо(т), дА<п[> дх дВ" (ГГ рх 6 ( Т |— т) 1 nslnftcosq> — т; т) Т |— 1' о6*(Т| Л __/* лр А ' — COS ft — —cos ft —cos< nslnflxoscp 6 ( т ,- т ) <™<2) дх дву 5т от дх 1 л Sind COS ф 1 <ЧТ| 6 (Т— |—т;т) 200 где 2Я Л / 2 Я°(т) = “ 4я"$ I [ л ^ + А$]] sin 0 d&d] sin &dft £?ф, 2я я /2 (т) = S S Iе »4 + в * \ sin » d&*Р- 4Я О oJ (2-14) Граничные условия при т = х\ имеют вид Л§° (tl, ft) = л!? (ть ft) = (ть ft) = 0, я - 1, 2, . . . (2.15) При т = 0 граничные условия можно написать следующим образом: Ло' = qonF cos fto exp (—ti sec fto) 422Я я Я я //22 Г I - i- j j oo +^ (« М -| ’ + рГвГ )Jcos Osin Л<'> = q„nF cos fto exp (—ti sec &o) + + ’ 2 яЯ Я Я //2 r j! j . oo * * + <7оЛп2) + X! («/П)^/2) + Р /'Э Д I cos ft sin ft dft Ap, /= i = p„nF cos fto exp (—ti sec ft0) + 2я я /2 г + ' 1 °o S \ p nAP + qoB™ + j “1 ( a f U f >+ I}n)B(,2))J cos ft sin ft rfft d<p, n = 1, 2, . . . m. (2.16) Здесь мы введем новые коэффициенты с помощью соотношений: оо _ sin п% sin m l = £ (a{nm sin k%-f aiU cos k%), k=0 sin n\ cos m% = £ (b{nm sin k \ + b{nm cos kl), fe=0 cos n | cos m | = X sin + Cnmcos kl), n , m = l , 2, . . . , (2Л7) k=0 m «г - Л=1 2 ; w +л®, nr - z w +p3), *= 1 m SP - I 1Ш 51° - Z М Ы m + рЖ W ' - kZ= 1W m m + /> й ‘Д __ Z Ш Ч + рШ л=1 U - l . 2......... 201 5 + Р » Й0 - (2.18) После сложных алгебраических преобразований систему (2.13) можно проинтегрировать, а коэффициенты А п и В п выразить через более простые функции. Окончательный результат задается фор мулами оо / + (т, &, <р) = 2 ехр (—т sec &0) л # о + ^ # n sin n X Л=1 x (i + j £« c ^ i njajp_)+ B,cosn(i+ + sec8 j ехр [— (т - ( ) s e c O J (I) + г, £ X In ± E r )+ "• cos n (l + in -a ^ -)j+ [S „ s in п ( i + fr * ”» ? x In (()} dt. Tl / “ (t, i; ft, <p) = sec b j exp [— (t — t) sec ft] X T x {>■m+ л £ jB .s in n (t- ч*** ln- ^ f ) + + f f „ c o s n ( |- - b « |! ^ |n ^ ) ] , ; « ( o L < , (2.19) где nF Tf Л = -“2 “ cos &oexp (—t, sec &0) + J £2 (0 &(0 dt, (2.20) * w - - T - exp [ - (т. - T) sec & , ] + j E x( | т - 1 \) X (t) d t , (2.21) Ti (T) = £2 (T) + 4 ( £1 ( IT - 11) *&0) (/) Л . 0 (2.22) « Г М -Ч Г (т . I&(t)<u, rS ' - W - R S ’, /1 - 1, 2 , . . . (2.23) Постоянные Ho, tf n и Я п определяются бесконечной системой алгебраических уравнений: q0 = Я 0(1 - я>А>) - § [Я /af» + З Д » ] D/, qn - —HoqnDo + Я„ (1 - <7<А.) 202 g [ В Д п) + В Д ’] £>/. Рп — H o p nD o + lH ja f] 4 - D j, n = 1 ,2 ,..., ti D o = .f £ 2 (*)tfo0) (0 dt, o где T| А» = j Н п ( l — QoDn) — (2.24) ( t , -J- In -^ргт") ЯГ (0 d t , n = 1, 2, . . . (2.25) Обычная интегральная экспоненциальная функция имеет вид £ n (^ ) = ] о eXP- f e ~ - ) ds-, (2.26) 5 Фп* — Функция, выражающаяся через Бесселеву следующим образом: функцию /о оо Ф»т) (*, у, pj = j exp (- х + р*) Jo (tnys) t f + p p + i)ix • x > 0; n, m — 0, 1, 2, . . . (2.27) Для получения численных результатов функции у}?* необходимо табулировать. Результаты были получены для <7(I) — <7о+ <7. sin | . (2.28) В литературе имеются и другие приближения и обобщения, в том числе случаи резкой неоднородности коэффициента яркости и отклонения отражаемости от закона Ламберта. 2.2.2. Приближенные методы Все приближенные методы основываются на прослеживании последовательности взаимодействий фотона с атмосферой и с под стилающей поверхностью. Цель задачи — восстановить истинную отражаемость земли рг в наблюдаемой точке по кажущейся отра жаемости * R (ц. ф; Но, Фо) = пГ* (^ оДУ ’ ф) ♦ (2.29) измеренной со спутника. Району, окружающему точку наблюде ния,присваивается некая средняя отражаемость р, и R можно выразить в виде # ( ц . ф; Но. Фо) = /?а (М-. Ф1 Но. фо) + Рт(И. Ф5 Но. Фо) X Та (Цо) ехр (—т/ц) , - Та (Цо) ta (ц) Х -------Т ^Л Г а ------- + Р \ - p A Sa • /0 о т (2‘30) * Эта функция R соответствует функции 5, поделенной на 4|Хо|л [см. часть I уравнение (1.31)]. 203 где R a — отражаемость атмосферы над черцой подстилающей поверхностью; Та, ta и А $а — суммарное пропускание, пропускание рассеянной радиации и сферическое альбедо, определенное в ча сти I формулами (1.17), (1.18) и (1.19) для атмосферы над чер ной подстилающей поверхностью. Д ля каждой конкретной реальной ситуации требуется наилуч шим образом выбрать р. Результаты можно уточнить, если учесть зависимость отражающих свойств поверхности от направления. Задачу можно решать с помощью различных методов (сложения, инвариантного вложения и т. д.). 2.3. АТМОСФЕРЫ С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ В этом параграфе мы рассмотрим горизонтально бесконечные атмосферы, оптические характеристики которых плавно изменя ются в горизонтальной плоскости. 2.3.1. Принципы инвариантности Ищется точное аналитическое уравнение для функции 5 с по мощью принципов инвариантности. Аналогичный подход возможен с применением техники инвариантного вложения. Рассмотрим рассеивающую атмосферу, ограниченную плоско стями 2 = 0 и 2 = 2 i, верхняя граница которой 2 = 0 освещена параллельным пучком.* Будем считать, что коэффициент рассеяния <г* — функция коор динаты х, а индикатриса рассеяния и коэффициент поглощения постоянны. Можно определить функцию отражения 5, которая теперь зависит от х, формулой / + (0, х; Q) = — S (z„ х; Q, Q^nF, И (2.31) где £2 соответствует (ц, <р).** Если мы хотим сформулировать принципы инвариантности, подобные тем, что приведены в части I, п. 3.11, заметим, что слой на уровне г больше не освещен однородно, так как / “ (г, х; Q) является функцией х. Следовательно, необходимо расширить класс рассматриваемых задач. Назовем теперь /[z , *; Q; /(лг, й')1 и S [ 2 , х, Q; f(x, Q ')] ярко стью и функцией отражения, отвечающими освещению параллель ным пучком, направленным под углом Q', с потоком излучения f, зависящим от х. * Ось z ориентирована сверху вниз, но /+ относится к восходящей радиа ции, а / ” — к нисходящей в соответствии с общепринятыми обозначениями. ** Отметим, что это определение 5 отличается от общего определения в ча сти I (см. уравнение (1.31) с множителем 4 я). 204 i Соотношение (2.31) принимает вид / + [0, х\ Q; jtF6(£2 — £2„)] = - i- S ( z „ х, £2; лР6 (£2 - £2„)], (2.32) и принцип инвариантности, соответствующий уравнению (3.80)’ в части I, будет описываться следующим уравнением: / + [z, х, Q; nF6(£2 — Оо)] = -^-S{(zi — z), х, £2; 1йте[г, х, £2; г \ nF 6(Q -Q o)]} + -i- S {(zi — z), х, £2; ^ xhspace I~ [z, x, £2; nFb(& — £2o)]} dQ , (2.33) где Iunsc— поток прямой радиации, поступившей на уровень г. Из-за нелинейности 1 уравнение (2.33) в общем виде плохо подходит для получения уравнения для 5. Предположим теперь, что горизонтальные изменения as можно представить усеченными рядами Фурье: [ П| 1 + е Т (а„ cos п а х -\-bn sin max) J = 0o[l+e/(*)]. (2.34) П =1 Введем подобное же разложение для яркости: I[z, х, Q; nFb (Q — £20)] = 2 q = —oo {/<?[z, £2; nF6 (Q — Qo)J cosqcax - f + '/ ,[ z , £2; nFb (Q — Qo)] sin qax}, Iunsc [z, x , £2; oo = nFb (Q — £2o) Yi q= tio)] ; [^g(z, Qo) cos <7®дс + 'Ф? (z, £2o)sin<7«>Jc]. (2.35) — oo Введем также следующие определения: Sp(zi, х, £2, £2 ) = ( i / + [ z = 0 , х, £2; c6spaxb(Q — £2 ) ], Ssp (zu х, Q, Q ) = jx/+ [z = 0, x, £2; sinp(o*6(£2— Q )]. Заметим, что I + [z = 0, x, £2; a cos pa>xb (£2 — £2')] = — a l + [z = 0; x, £2; cos pa>xb (Q — Q')], 7+ [z = 0, x, £2; b sinpmxb(£2 — £2')] = = Ы + [z = 0, x, £2; sin paxb (£2 — £2')]. Теперь выражение (2.33) приобретает вид (2.36) (2.37) I + [z, х, £2; n F b ( Q - Q a ) ] = ^ - y [ % ( z , £20) S $ ( z i - z , x, £2, £2o) + H y + % ( z , £2o) S j (z i — z, x, £2, £2o)] + +T q ’> ^ F 6 (£ 2 -£ 2 o )]S S (z i-z , *, £2, £2') + S * /2 space q + /7 [z, £2', nFb(Q — £2o)l Sj(zi — z, *, £2, £2')} dQ. 205 (2.38) Теперь следует ввести систему уравнений, аналогичных (2.38) и относящихся к слою, освещенному на уровне 2 = 0 простран ственно модулированными потоками. Введем следующие обозна чения: /[ * , х, Q; co s/нмсб (Q — ф>)] = Icp (z, х, Q, Оо), р = 0, 1, 2, / [ г , х, Q; sin p&xb(Q — Q>)] = Ip (z, х, Q, Qo), p = 1. 2, . . . , (2.39) Ic« (s) (z, x, fi, Qo) = OO = £ q = —00 П м*Чг. Q. fio)COS qmx + lcPqS)(z, Q, Qo) sin <7®*]. (2.40) Функции отражения и прямая радиация также могут быть представлены рядами Фурье: S$w (z, х, Q, Q ) = Q, Q ) cos m x = 5] Г Sq}s) (z, Q, Q') sin г ш \ (2.41) Iuluc (z, x, Q) = 6 (Q — Qo) Z [tj>M<S) (z, Qo) COS q<ax + Q + (z > Qo) sin q<ax]. (2.42) Введем векторы \сря= 0 $ q , Ipq), Ispq — (lpg> Ipq) и аналогично Фм(,)» Spqs) • Из уравнения переноса следует, что 1 ^ = — s2Scpt, и т. д., где S 2 — матрица: § 2= [ _ ? о)Обозначим Ip4 = Iм и т. д. Обобщенный принцип инвариант' ности выражается системой векторных уравнений: Ipr (z, Q, Q o ) = - ^ - ^ |[ S gr(zi — z, Q, Qo) • u2]$ рЛг > °o) + + J [S„r (z, - z, Q, Q ') + u2] I7,(z , Q', Qo) <*Q'\ 4tspace J’ (2.43) где S u 2 — скалярное произведение численного вектора S и мат* ричного вектора и2= ё, — «г), ^ = (о ?)• Аналогичным образом можно получить и другие принципы инвариантности. Дифференцируя систему (2.43) по z, переходя к пределу 2 -> -0 и используя эти уравнения переноса для 1рг, получаем следующую систему для функций S: - g ~ + ( у + -j£-) Spr fa . A Qo) + N ( p tg &0 Sin фо + r tg &sin ф) s2Spr = = coo | p (—Q, Qo) "f J [Spr (Q, Q )p (Q > £Jo) Spr (Q , Qo) X OO X p (Q , Q')l - ^ ~ + E ! S lS fr(Q. Q ')n2]S pq(Q, Qo)p(Q, - Q ) X q — —00 206 X } + в X &p, r + (l—2*)»©! X o Х л ane + ( - 1f bnb] | p ( - 0 , Qo)X “ Sp, г 4.(1 _ 2Л)я(й» Qo)-----— Sp —(l —2Лг)в,г (Q> Qo) + *4" J [ p (®* ^ ) Sp. г + (i —2k) n (Q , Qo) " f р ( й » Qo) S p —( i —2k) я, r (Q> £2 )] X 00 X jp h ^ j J [s^r (Q> Q ) • U2] Sp, ^ + ( 1 - 2 А ) « ( й э Qo) X Q==—00 X p (Q ', -0 * ) dQ^ f j, (2.44) где ti = (ao+a„)Zb ©0 = <t0/(<t0 + e*)> N = ® /(ao + <*»), p — ин дикатриса рассеяния, 6pr — дельта-функция Кронекера; все инте гралы берутся по полупространству. Система (2.44) является обоб щением уравнения для функции отражения S в однородной задаче. Было рассмотрено решение системы (2.44) методом возмущения в применении к простому случаю полубесконечного слоя с изотроп ным рассеянием. 2.3.2. Возмущение и малоугловое приближение Рассмотрим атмосферу; ограниченную двумя бесконечными параллельными плоскостями и равномерно освещенную на верх ней границе параллельным пучком. Пусть коэффициент рассеяния флуктуирует в направлении оси х, так что crs (х) = <т0(1 + ecoscMf), 0 < е < 1 . (2.45) Предполагается, что коэффициент поглощения и индикатриса рассеяния постоянны во всей атмосфере. Метод возмущения со стоит в разложении яркости следующим образом: оо I(z , х; &, ф ) = Z e '/j( z , х; ft, ф), <=о (2.46) где / 0 — решение для однородного слоя с as = оо. Разлагая далее /* в ряды Фурье: 00 г~ 1 It (г, х; ft, ф) = £ j li (г; ft, ф) cos гых + l\r) (z; ft, ф) sln’rcojcj при i > 0, (2.47) получаем систему уравнений для определения 1\г) и /{г). Если индикатриса рассеяния сильно вытянута вперед, можно учитывать только радиацию, рассеянную под малыми углами во круг падающего луча. Как и в однородном случае (см. часть I, п. 4.6), мы будем считать | i = | i o и примем граничные условия в виде (0; ft, ф) = 0, (0; ft, ф) = 0 при —1 < c o s f t < 1. (2.48) 1Р { 1Р { 207 Аналитическое решение было найдено для i = 1 и i = 2. При условиях (2.48) получается точное решение, если е достаточно мало. 2.3.3. Асимптотический метод Пусть коэффициент рассеяния as в полубесконечном слое мут ной среды с изотропной индикатрисой рассеяния изменяется вдоль оси х следующим образом: as — os (дс) = о0(1 + е cos tox). (2.49) Верхняя граница* г = 0 этого слоя освещена потоком F, модули рованным в общем в направлении оси х, так что оо F - F ( x) - A , + Z Ир cos рых + Bp sin ри>х). (2.50) р?= 1Нас интересует асимптотика интенсивности света I ( z ,x ,Q ) на больших оптических расстояниях т = Ooz > 1.** Начнем с уравнения радиационного переноса, используя раз ложения интенсивности света в ряды по возмущающей величине е: / = £ е г/„ (2-51) i а затем в ряды Фурье по х: h (т, | , Q) = £ [7 Г (т, £2) cos N1 + l\r) (г, Q) sin JV|j, (2.52) где | '= Oox, N = ю/(<То + <тв), oa — коэффициент поглощения. Найдем рекуррентные соотношения для преобразований Лапласа от Т\т), l \ r) . Аналитические свойства этих преобразований опреде ляются корнями характеристического уравнения 1— &0 — In r + „ о, 2 Vs2—r2N3 1- Vs2—r2N2 (2.53) где ©о = о0/ ( о 0 + <та) — среднее альбедо однократного рассеяния. Обсудим два особыхслучая. Во-первых, рассмотрим освещение однородного слоя (е = 0) модулированным потоком (Ар ф 0, В р ф О ) . В этом случае пространственные гармоники Т(г\ / (г> ослаб ляются при т-»- оо быстрее, чем Л 0), так что при этом световое поле постепенно перестает зависеть от х. Такой режим соответ ствует асимптотическому поведению интенсивности света в одно родном поле, освещенном F = Л0- Во-вторых, рассмотрим освеще ние неоднородного слоя (е ф 0) однородным потоком (Ар = 0, В Р= 0, р > \ ) . Если соо=1, то интенсивность света при т-»-оо пространственно однородна и не зависит от Q. Если ©о < 1, то можно наблюдать изменчивость света вдоль оси х на всех уровнях при больших т. ♦ Ось z направлена вниз, ** Здесь т — оптическая глубина, обусловленная только рассеянием. 208 2.3.4. Преобразование Фурье Фурье-преобразованием можно воспользоваться для преобразо вания двумерной задачи в одномерную. С его помощью рассмат ривается атмосфера, нормально освещенная на верхней границе потоком F (x ), являющимся функцией горизонтальной ординаты четвертого порядка. Однако представляется затруднительным рас пространить метод на более сложные задачи или более высокие порядки приближения. 2.4. ОБЛАКА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ Однородное облако конечной горизонтальной протяженности рассматривалось с помощью двух различных подходов: один из них основан на дельта-приближении Эддингтона, другой начина ется с разложения на сферические гармоники, ограниченного пер вым порядком. В обоих подходах используется приведенное ниже разложение яркости (2.60) и дается дифференциальное уравнение второго порядка (2.74 )или (2.94), подлежащее решению совместно с граничными условиями (2.78)— (2.81) или (2.105)— (2.110). Спо собы решения уравнения в указанных методах несколько разли чаются. 2.4.1. Дельта-приближение Эддингтона в трех измерениях Стандартное приближение Эддингтона, описанное в части 1 (п. 4.2), предполагает разложение яркости с двумя членами (2.54) / ( т; |х, ф) = /0 (т) + ц/, (т); соответственно усекается и аппроксимируется индикатриса рас сеяния: (2.55) р (© )= 1 + р, cos 0 = 1 + 3g cos 0. Дельта-метод Эддингтона связывает приближение Эддингтона с дельта-приближением переднего пика индикатрисы рассеяния (часть I, п. 6.1). Иными словами, p(cosO) = 2яЛд(1 -cos0)6(< p) + ( l - A / 2 ) ( l + 3 g 'c o s& ), (2.56) где (2.57) Это требует нового масштаба для коэффициента ослабления (2.58) и для альбедо однократного рассеяния _ <р»[1-(Л/2)] т ~ [ 1 - й>о М/2)] * 14 Зак. № 119 (2.59) В решении трехмерной задачи с помощью дельта-приближения Эддингтона сохраняется та же индикатриса рассеяния (2.56) и используется обобщенное разложение яркости: Цх, у, z; (1, <p) = /°(jc, у, z) + Ix (x, у, z)vcos<p + + 1у (х, у, z) v sin <р+ 1г (х, у , 2)ц, (2.60) где v = ( l - n 2)‘/l, ' (2.61) а ф отсчитывается от оси х. Если ограничиться задачей изолированного однородного об лака, то при использовании разложения (2.60) функцию источника можно представить в следующем виде: /(ж, у, z; ц, Ф) = <*.(/<> + £ '(/*vcosq» + /*vsinq> + /,n ) + + {1 + 3g' [щю + wo cos (ф — фо)]} tiF (х , у, z ) ) . (2.62) Умножив уравнение переноса на dudy, v cos <pdndy, v sin <pd\id(f>, 1«/ц^Ф и проинтегрировав по 4я, получим: - ж - + - W + " ^ Г = _3(Т*(1 ” '®“) '/ о + F <*• у ' z)* (2 63) ' * -Ъ Г = - ° е ( 1 - ZogJjx + - J — VOCOS фоF (X, у, z), (2.64) I _r t = —a’e (l — <dog) Iу + -- - jp - . vo Sin фо/7(x, у, z), OIl . = -O e (1 - a»g) /* + noF (x, y, z). (2.65) (2.66) Решение этих уравнений требует информации о геометрии облак 9 , поскольку следует определить граничные условия и перенос прямой радиации к уровню г. К настоящему времени этот метод применялся к отдельному однородному кубообразному облаку с горизонтальными размерами Хо и Ко и вертикальной протяженностью Z*. Облако ориентировано так, что вершина и одна боковая плоскость (плос кость у, г) кубоида освещена солнечным пучком (направление (|io, Фо), освещенность nF). Задача упрощается, если рассматривать освещение каждой по верхности отдельно, а затем суммировать, полученные результаты: г V-oXoYо АТ) -\ioZ 1 * (XoôKo + VoZoKo “Г HoXoKo + VoZoKo 1 ’ У 4 где / <т) — решение только для освещенной верхушки облака, а / <5) — только для освещенной боковой стороны. В действитель ности/^*) можно получить из /<г> соответствующим вращением сн* Ось г направлена от вершины облака вниз. 210 стемы координат. Мы ограничимся в дальнейших рассуждениях решением /<т>. Средняя яркость прямого солнечного излучения, проходящего через любую плоскость х, у внутри облака, задается следующим выражением: _ ( цоя^ О — z/ Xo cos fro) ехр (—<т*г/(ю), 0 < z < Х 0 cos fro, F (2) = 1 I 0, z ^ X o cos fro. (2.68) Следующее приближение состоит в замене наклонного солнеч ного луча лучом, перпендикулярным верхней плоскости: (ц о = 1 , vo = 0) при F(x, у, z) — F (z). (2.69) Затем, используя уравнения (2.63)— (2.66), получаем -% г + Т 5 Г + ~ й г “ 3°*(1 ” ■ lo+ ^ s r - л р ( 1 ~ */*octge») X X ех р (—a*z/|Ao) при 0 = Зо„ ( 1 — (до)/о при Zo ^ Z ^ Z*, Z q, (2.70) = - O e ( \ - m g ) l x, (2.71) - ^ - = - 00(1 - m g ) l y, (2.72) ^ -------- О е ( \ - m g ') 1г + X Z \K>nF(l - z/Xoctg &0) X exp (—OeZ/\lo) при 0 ^ Z ^ Zo, - g - ------O e { l - m g ' ) l z при Z o < z < Z o , (2.73) где Zo = min (Jfo ctg do, Zo). Продифференцировав уравнения (2.71)— (2.73) и воспользовавшись выражением (2.70), получим: ( — (и — r\z/Xo ctg до) ехр (—о'ег/цо), V °_ °_ 1 0, 0 < z < Zo, Z S < Z < Z 0, (2.74) где Я * -З о ;* (1 - « ; ) ( ! - «ад'). (2.75) 4л ч - т Лп г - ^ о - а д + г ) 14* 211 (2.77) Граничные условия отражают* тот факт, что на', границах об- : лака отсутствует рассеянное облучение, и имеют следующий вид: ' + (2J9) <2 8 0 > л* - 9 ' Мюя/7(1 — Zo/ Хо ctg fro) exp (—OiZd/цб)* Z q< -Ко ctg fro, 0, Здесь A = 3 <x«(l — ©og )/2. . Следовательно, можно в виде Xo ctgfl'o- Z0 (2 8 I) получить решение уравнения (2.74) М * . У> г) = _ ОО оо V* V* _ m=ln=i COS [|rn (X — Ар/2) ] COS [£д ( y — Y р/2) ] . , . от [U*.+ -(bA)][W '* + -(W'o)] где 1 я» и 1„ — собственные значения уравнений Iт (£,тХо/2) = Acos ( |т Х0/2), £„ Sin iU o/2) = Acos (i„K,/2). и (2.83) (2.84) d exp [ - Л (Zo — г)] + a 2 exp (—Лг) + аз ex p (—Oez/цо) + + a 4z e x p (—o'tz/цо), O ^z^Z o, Pi exp [ —Л (Zo — z)] -|- Рг exp [ —Л (z — Zo)], Zo ^ z ^ Zo, (2.85) где А 2 = Х2 + & + й (2.86) a «i, аг, 03, 04, Pi и p2 — константы для данного Imn,которые нахо дятся из граничных условий. После этого, используя уравнения (2.71) и (2.73) вместе с выражением (2.82), легко найти /*, 1У и /*. Сравнение потоков, полученных этим приближенным аналити ческим методом и методом Монте-Карло, обычно дает хорошее совпадение (расхождение — около 1 % ); исключение — случаи, когда оптическая толщина составляет менее 10 . 212 2.4.2. Приближение Y\ . Общее интегродифференциальное уравнение (см. часть I, урав нение (1.20)) QV / (г, Q) = - а е (г) [/ (г, Q) — / (г, Q)] (2.87) сводится к системе дифференциальных уравнений заданием рядов для интенсивности и индикатрисы рассеяния: /(г, Q ) = Z Е п = 0 m==—п V ^ T T C (r)C (Q ), P(Q , Q') = £ орЕ п 1 Р (О, Q o ) = f ; £ Й г г ( (2 .88 ) ° ) ( ° ) Y" (Qo). (2.89) (2-90) Л = 0 3 = —Л где У” ( й ) — перенормированные сферические функции. Они нормализованы так, чтобы гармонические | уГ (Й )У 2(2)^ г = 6 ^ , (2.91) где б“ — дельта-функция Кронекера, равная нулю при п Ф о и единице при п = а. Излучение попадает на верхнюю границу об лака, расположенную на уровне z\, солнечным пучком nF, падаю щим в направлении (цо. фо). Подставляя в уравнение (2.87) уравнения (2.88)— (2.90) и ис пользуя уравнение' (2.91), получаем бесконечный набор парных дифференциальных уравнений в частных производных для момен тов 1а, которые можно записать в следующем виде: 2c+i [V(* + P+ !)(« —Р + X -Ж- Л- • X + i + V(a —P)(a + 0)X (t f - **£){V(« + 0)(a + e-2)/gl! - -V (a-P + l)(a-P + l) I I I 1}+ -y ( J r + *~W ) X (V(a + P )(a + P — 1) l a '- ! — V(° + P + 1 )(« + P + 2) la + !}J = . = ~ 0e t 1 + !5 T 1 ~ ] 7“ + ° e 25Т Г V l/(2a + l)K f(Qo) S (z), (2.92) где S (z) = nF exp [—ae (z, — г)/ц.0]/4л. (2.93) Индекс a в этом наборе принимает все целые значения: о = = 0, 1, 2 . . . , а р принимает все значения от —а до а. Точное ре шение этой бесконечной системы уравнений неизвестно. Для полу чения приближенного решения необходимо обрезать набор на не котором значении а. Вообще можно сформировать У„-приближение, отбросив моменты высокого порядка, начиная с / ^ +1 и выше. 213 Поскольку точное решение еще более сложного приближенного решения уравнения (2.92) недоступно, применим ^-приближение. В этом случае разложение в ряд интенсивности обрезается так» что сохраняются только значения а = 0 , 1; все коэффициенты с бо лее высокими значеними индексов считаются тождественно рав ными нулю. В ^-приближении уравнение (2.92) сводится к диф ференциальному уравнению в частных производных второго по рядка: V?/o(t„ ху, т2) — г|2/о (т„ ху, хz) = XS(z), (2.94) где dxx = —ое dx; dxy = —ое dy, dx2 = —ае dz; Х = —3®o[l + g ( l — ®o)], (2.95) ц = 3(1 — ©o) ( 1 — g<oo) (2.96) V? = tf/d x l + tf/d x y2 + dP/dxl (2.97) и Теперь задача сводится к решению уравнения (2.94) с соответ ствующими граничными условиями. Физический смысл граничных условий для настоящей модели состоит в том, что снаружи ни на одну из границ облака не поступает никакой рассеянной радиации. Если доступно только конечное число моментов, то, как очевидно, это условие явно не возможно выполнить в точности. Поэтому используется прибли женный метод, в котором это условие сводится к следующему тре бованию: j (п • Q )/(r, Q)rfQ = 0, n«Q< О (2.98) которое известно как условие Маршака. С помощью уравнения (2.98) можно записать шесть граничных условий для границ облака: й ( х х, /о ("г*! 0, х2) 0) — 2/?(т„ ху, О) = 0, хг = 0, (2.99) /о(т*, Ху, в)Ч" 2/?(т*, Ху, я) = 0, хг = о, (2.100) л/ 2 i [/j (т*, 0, тг) -|- ГГ (хх, 0, тг)] = 0, Ху = 0, (2. 101) 1°о{хх, Ь, хх) + д/2 i [/! (т*. Ь, хг) + /Г 1(хх, Ь, т2)] = 0, ху = Ь, (2.102) /о (0, ху, тг) - 2 [ / г Ч 0 , т„ хг) — /Г 1(О, ху, т*)] / о ( с , Ху, хт) + 2 [ / г 1(с, Ху, Xг) — /1(с, 214 Ху, т*)] = 0, = 0, хя = 0,(2.103) Хх = с. (2.104) Здесь Iи /! н /1 1— моменты разложения интенсивности. Они за даются величиной /о и ее производными. С помощью этих соот ношений граничные условия сводятся к следующим: дА „ - ^ - - A /S - P ,, д/° т2 = 0, + А/о = Pi ехр (—а/\ (2.105) = a, (2.106) хх = 0, О, дхх _ А/о = —-Р2exp (—T2/v0), xx д/!о . C, + А /о= —Р2 exp (—t z/v0), T т x, == с, дхх дА (2.107) (2.108) = 0, (2.109) b, + А/о = —Рз ехр (—Тг/vo), xy ту = Ь, (2.110) Xy где А = 3 (l — g<aо)/2, Pi = ©ifiio/4, Р2 = ©i cos &ocos <po^/4, Рз = ©i sin fro sin q>oF/4. (2.111) Граничные условия (2.05)— (2.110) являются граничными усло виями типа Робина. Они также называются граничными усло виями третьего рода. Описанная система дифференциальных уравнений и граничных условий сходна с задачами Штурма — Лиувилля. Задача реша ется методом разделения переменных. Решение для /о (хх, ху, т*) имеет вид ОО /о (т*, ху, хг) *= ^ ОО * ^ | sin —^—Ху (cos Хпхг Н ^ sin Хпх^\ X Яз= 0 m « O'* Л X [Спт ®Хр (\knmXx) *4” Dnm ^Хр ( knmX^)\ *4“ Sin g Ту X X ^COS ХпХх + -jr- sin XnXx'j [ c ' n m exp (knmXz) + Dnmexp ( C t 2)] + - f (cos Хпхг + X [E n m Sin Я„т2) ^cos Xnxx + J j - Sin k'„xx j X exp ( k ’n m X y ) - f F nm 215 exp ( — k ’n m X y ) + T nrn1} , (2 .1 1 2 ) где Кп и h, — собственные значения, knm = л / ч 2 + (т л / b f + x l , khm = -\/л 2+ { m n /b f + Я.» , knm — д/т]2 + Яд -f- Х„2', Спт> D n m , Спт> (2.113) • D n m t E n m , F n m И T пт ИЗВеСТНЫе КОНСТЗНТЫ. С помощью выражения для /о(т*, т„, т2) вычисляются другие моменты и могут быть определены уходящие потоки и интенсивно сти. Для двумерного облака были выполнены проверки, и резуль таты оказались удовлетворительными. 2.5. ПОЛЕ РАЗОРВАННЫХ ОБЛАКОВ 2.5.1. Правильное расположение Методы, развитые в п. 2.4 для отдельного облака конечных размеров, были распространены на правильно расположенные ку бообразные облака. Они учитывают как затенение прямой солнеч ной радиации соседними облаками, так и освещение боков облака радиацией, рассеянной соседним облаком. *** 2.5.2. Статистические модели Перенос радиации в поле разорванной облачности (например, в кучевых облаках) зависит от оптических свойств отдельных об лаков и от структуры облачного поля. В настоящее время разра ботаны два основных пути исследования статистических парамет ров радиационного поля в атмосфере с разорванной облачностью: 1) статистические модели радиационного поля, в которых поток радиации от индивидуального облака полагается известным — либо из экспериментальных данных, либо с помощью другого статистического метода; осредненные характеристики и изменчи вость радиационного поля вычисляются исходя из данных о ста тистических характеристиках поля облачности; 2) приближенное решение уравнения переноса для атмосферы со статистическим распределением параметров. 2.5.2.1. Стохастическая структура потоков радиации в атмосфере с разорванной облачностью (или с облаками конечного размера) Стохастическая структура разорванной облачности. В однород ной воздушной массе метеорологические параметры характеризу ются небольшими горизонтальными и временными градиентами. Изменчивость потоков радиации вызвана только изменчивостью облачного покрова. Поэтому для установления статистических характеристик потоков радиации необходимо исследовать стати стические характеристики облачного поля. Для описания разорван ной облачности в виде стохастического поля требуется знать функ ции плотности вероятности распределения размеров облаков: р ( а ) — для высоты основания облаков, p ( h ) — для вертикальной 216 мощности облаков, р(1) — для расстояния между облаками, а также взаимосвязь этих функций. Иными словами, необходимо знать трехмерную функцию распределения р(а, h, /), а также иметь информацию о форме облаков. Эти функции можно устано вить с помощью экспериментальных данных или теоретических моделей. При статистических исследованиях разорванной облачности мы прибегали к следующим упрощающим предположениям: 1) облачное поле постоянно во времени; «замороженный» об лачный покров движется над наблюдателем со скоростью v — в теории турбулентности это предположение носит название гипо тезы Тэйлора, оно позволяет перейти от временной переменной t в облачном покрове к расстоянию s = vt; 2) облачное поле однородно и изотропно; 3) основания облаков расположены на некоторой высоте z над подстилающей поверхностью (в горизонтальной плоскости); 4) положение солнца фиксировано в направления Фо, фо', 5) в случае коротковолновой радиации мы пренебрегаем уве личением облачности при приближении к горизонту, иными сло вами, считаем, что облака имеют форму тарелок и имеют толькогоризонтальные размеры; 6) облака непрозрачны для прямой солнечной радиации. Введем характеристики разорванной облачности. Пусть £(Ф, Ф. О — случайная функция, описывающая присут ствие кучевого облака в направлении О, ф в момент t\ Ь — зенит ный угол; ф — азимут; £(ф, Ф> 0 = 1» если облако находится в на правлении Ф, Ф; |( 0 , Ф, t) = 0, если облако отсутствует. При = = 0 случайная функция £(0, 0 описывает присутствие кучевогооблака в зените наблюдателя. Пусть rt#i(p= £(#, Ф. 0 — математическое ожидание | в напра влении ■б', ф. Функция Со, Ф= 1 — л, О, ф описывает вероятность, того, что линия визирования свободна от облачности в направле нии Ф, Ф. Пусть ло= | ( 0 , t) — «абсолютное» количество облаков: вероят ность присутствия кучевого облака в зените наблюдателя можна истолковать как относительную долю большой площади, покры той прямоугольной проекцией конфигурации облаков. Назовем N (t) «относительным» количеством облаков — это доля полусферы (с наблюдателем в центре), покрытая проекцией облачной конфигурации в момент t. Обозначив математическое ожидание N (t) через л, получим: 2Я Я /2 n = F p j= -^ j j n0><ps in d d & ^ . (2.114). Пренебрегая зависимостью от азимута, находим: Я /2 п = MosinO,d0‘. 217 (2.115)? Следует отметить, что при определении относительного коли чества облаков как основания облаков, так и их боковые грани .проектируются на полусферу; при определении абсолютного коли чества проектируются только основания. Поэтому при наличии разорванной облачности значения я всегда больше соответствую щих значений абсолютного количества облаков яо: тогда, очевидно, Н т я = я0. А -» 0 (2.116) Исследовалась взаимосвязь величин я и яо; оказалось, что ■различие их максимально в случае 0,1 ^ я ^ 0,4. Была предло жена эмпирическая формула я = no + ai (1 — по) (по)0*, где, по нашим предварительным оценкам, 0,5 < а, < 0,8, 0,8 < а3 < 1,0. (2.117) Пусть о*, (t) — изменчивость (называемая также дисперсией) случайной функции £ (0 ,/). Можно легко показать, что o2 n, = n o - r f i . (2.118) Пусть Гп, (/) — автокорреляционная функция случайного продесса | ( 0 , t ) , нормированного на о»,. Для определения r„ ,(t) ислользуется простая модель разорванной облачности. В этой мо дели облачный покров рассматривается как верхняя часть случайяой поверхности с нормальным распределением, имеющей на данлом уровне поперечный разрез, так что поверность над разрезом совпадает с границей облака. Из этой модели следует, что r« ,0 )— J - ic s in F W ] . (2.119) где F(t) — корреляционная функция нормальной поверхности. Экспериментальные данные позволили установить, что функция JF(t) имеет следующий вид: F(t) = ех р (—af). (2.120) где значение а (мин-1) определяется по формуле a = 0,27 + 0,8 (я„ — 0,5)2. (2.121) .Для средних широт, где 0,3 <. по <. 0,7, можно приблизительно принять a = 0,3 мин-1. Статистическая структура потоков прямой, рассеянной и суммарной радиации В этом разделе мы представим формулы для определения ста тистических характеристик (математическое ожидание, изменчи вость, корреляционная функция) потоков прямой, рассеянной и суммарной радиации при наличии кучевой облачности. 218 Прямая радиация. Поскольку мы считаем облака непрозрач ными для прямого солнечного излучения, то поток прямой радиа ции, приходящей на горизонтальную плоскость S '( t) , должен иметьформу прямоугольного импульсного сигнала. Таким образом, S '(t) = const = Sc, когда в направлении ft0, Фо облака отсут ствуют, и S '( t) = 0 при наличии облака. Отсюда S' (*) = [ 1 ~ I К Фо, /)] Sc, (2.122) что позволяет найти математическое ожидание m s и дисперсию о% для потока прямой радиации: m-s' = (1 — ио„) S c, (2.123) о |' = К - 4 Ж ) 2, (2.124) где вероятность наличия облака в направлении зенитного угла ■Оо. В первом приближении, особенно при fto <1 60° и очень тонком облачном слое, л#, = «о. (2.125) Отсюда вместо выражений (2.123) и (2.124) получаем m s' = ( 1 — no) Sc, (2.126> 0| , = rto( l _ n o ) ( s ; ) 2. (2.127) Из выражений (2.122) и (2.125) следует, что корреляционную* функцию rg'(t) потока прямой радиации можно представить фор мулами (2.119) и (2.120): г s' (t ) = -jj- arcsin exp (—at), (2.128) где а задается формулой (2.121). Формулы (2.126), (2.127) и (2.128) описывают статистическуюструктуру потока прямой радиации. Рассеянная радиация. Полный поток рассеянной радиации D (t) в момент t описывается следующим выражением: 2ЛЛ/2 £>(*) = j f /(0 , ф, /)cosftslnftdft*fcp, (2.129) где /(О, <р, t ) — полная интенсивность рассеянной радиации, при ходящей из направления О, <р. При разорваной облачности можнозаписать для /(О , <р, /): / (0, ф, t) = [/„ (0) - 1с (0)] I (0, ф, о + 1с (*). (2.130) где интенсивности рассеянной радиации, приходящей от ясного неба / с (О) и от облака /nCft), считаются не зависящими от азимута ф- Разность 1п (О) — h (О ) максимальна в зените ( 0 = 0) и умень шается по мере приближения к горизонту. В плоскопараллельной модели / я (О) — / с (ft) = 0 при О = 90°. В качестве первого при ближения предположим, что I n (ft) - I c (ft) = ( I n - /*) COS ft, (2.131) 219 где постоянные /* и 1С— полная интенсивность рассеянной ра диации для облачного и безоблачного неба в зените соответ ственно. Теперь уравнение (2.129) принимает вид 2я Я/2 D(t) = (ln — Ic)-\ о ' S U&. 0 Ф> t) cos2ftsin& d& dy+ D c, (2.132). где De — поток рассеянной. радиации q t ясного неба. Проведем статистическое осреднение уравнения (2.132). В результате полу чим математическое ожидание то для потока рассеянной радйации: то = -§- я (С - С) по + Dc. (2.133) Д ля нахождения корреляционной функции потока D (t) рас смотрим уравнение (2.132) как линейное интегральное преобразо вание случайной функции £(Ф, ф, t) и воспользуемся методом филь трации спектральных плотностей. Спектр энергетической плотно сти S 2.n0 (®ь ®г) случайной функции % является двумерным пре образованием Фурье от корреляционной функции гя„. Пренебрегая зависимостью от азимута и используя гипотезу Тэйлора, можно ввести частоту ю: (о = (tt>i -|- (о^) ^*. (2.134) Тогда 5гя, («и, ю2) сведется к однородному преобразованию Хэнкеля (Бесселя): оо Ss. (<*>) = 2 F S Гп° (0 /о (u t)td t, (2.135) где /о — функция Бесселя нулевого порядка, а индекс 2 подчер кивает подобие одномерного преобразования Хэнкеля и двумер ного преобразования Фурье. Используя для rnt (t) формулы (2.119) и (2.120), найдем: S i. » » = 4 Ё Ф i l 0) („•/• + «*)•/. ’ (2Л36) где ф«(0) — i-я производная нормальной функции распределения. X ^ ехр( — T x*)dx- (pW = ^ v t (2.137) Корреляционная функция потока рассеянной радиации полу чается обратной трансформацией Хэнкеля после фильтрации спектра энергетической плотности: ОО fD (t) = / j г 2? 7 Г \ Н* ( ® ) * (“ ) Jo И ) ® d<*ILt) о 220 (2. 138) Здесь Z t — высота основания облаков-в единицах нуты) : времени Z , = - f (ми ( 2 .1 3 9 ) (например, при Z = 1 км и скорости облачного покрова v = = 0,4 км-мин-1, Zt — 2,5 мин); Ks(Zt) — коэффициент эффектив ности, описывающий уменьшение дисперсии {Zt) потока рас сеянной радиации при увеличении Zt: К* d2 (Z \ = 00 2°,1 а\ = 2л Sя ! (со) S 2, „ 0 (со) о di*. aD(Z, = 0) о (2.140) В равенстве (2.140) Я г(ю )— спектральная характеристика линей ного интегрального преобразования (2.132): # 2(со) = (©Zt + 1) ехр (-©Z<). (2.141) Наконец, приведем формулы для определения дисперсии а% (Zt) и спектра плотности S 2d(g>) рассеянной радиации: оЪ (Zt) = ^ - я2(/; - l l f oI K e (Zt), (2.142> S2>D(<o) = KE\zt) H* (2.143)= Формулы (2.135) и (2.138), (2.142) и (2.143) описывают ста тистическую структуру потока рассеянной радиации. Суммарная радиация. Из формулы для суммарного потока, радиации Q(t) в момент t Q(t) = S '(t) + D(t) (2.144> следует, что математическое ожидание mq суммарной радиации является суммой математических ожиданий ms' в формуле (2.126) и mD в формуле (2.133): m-Q — ms' + mD(2.145> tq Используя формулу (2.144), получим корреляционную функцию суммарной радиации: (f) — (О + О рГр (0 + O p O s' [ r D , S ' ( О + r D , S ' ( Q О] ^ J 46)v 4 где otq— дисперсия суммарной радиации: oq = о% ' + а % 2apO s'f d , s ' (f = 0 ). ( 2 .1 4 7 ) ' Функция взаимной корреляции rp,s' (t ) между потоками пря мой и рассеянной радиации имеет вид I’d , s'(t) = rp, 221 s <o) ( t ) , (2.148) где го, s(0) — функция взаимной корреляции между потоками рас сеянной и прямой радиации для особого случая, когда положение солнца фиксировано в зените (Фо = 0), а т - [> + -----2 - '£ M » - c o s ( q v - fto)]''8. (2.149) Здесь фу — азимутальная составляющая скорости ветра v /v ^ v об лачного нокрова, а фо — азимут солнца. Уравнение для расчета взаимной корреляции rD,s«>)(t) имеет вид оо TD, s (0) (т) = ± — п г~ п г\ I y ^ B ( z t) о (“ ) « Л (at) w do, (2.150) где Td , s (0) (т) < 0 при In > /с, (2.151) fD, S (0 )(t)> 0 При I*n<I*c Как указывалось выше, формулы для расчета статистических .характеристик потоков коротковолновой радиации выводятся с привлечением некоторых упрощающих предположений, которые позволяют простыми способами выполнять полное статистическое исследование методом корреляционного анализа. Из этого следует, что точность гарантирована лишь «в первом приближении». 2.S.2.2. Приближенное решение уравнения переноса при наличии разорванной облачности (или при конечном размере облака) При использовании стохастической модели делается предполо жение о том, что локальное распределение облачных элементов является случайным, а глобальное распределение — правильным. Предполагается, что плоскопараллельный облачный слой освещен сверху параллельным пучком солнечной радиации и что рассеяние и поглощение происходят только в облачных элементах, так что вне облаков ае = as = 0. В отношении структуры облачности де лаются следующие предположения: 1) количество облаков или частота появления облаков не за висят от высоты в слое 0 < z •< Я, p(z) = р = const; 2) облачное поле не зависит от азимута; 3) вероятность Q(S) одновременного наличия облачных эле ментов в двух точках, расположенных в слое на расстоянии 5 одна от другой, описывается выражением Q(S) = ехр(—aS)p + [1 — ехр(—aS)]p2, (2.152) тде а — параметр, характеризующий средние размеры облака. Последнее предположение было тщательно исследовано с по мощью различных стохастических моделей облачного слоя. Допу стим, что облака имеют случайные радиусы, центры облаков рас пределены по закону Пуассона, а радиусы облачных элементов 222 распределены как f( r ) = C e ~ Cr, где 1/С— средний радиус облака. Тогда Q(S) = Q ( S ) = 1 - 2 ( 1 - р ) + -(- (1 _ р )С<4 I s ехР I - <с / 2>1 + *1° ехР 1 - с (5 /2 )]- 8 / С ) Лучшие приближения ^2 1 5 3 ) . (в смысле квадратичного среднего) к Q(S) с использованием (2.152) были найдены для нескольких значений р: их точность составляла 1—2 %• Был разработан метод решения уравнения радиационного пе реноса в описанной выше стохастической среде и найдены простые алгоритмы в транспортном приближении переноса, т. е. когда индикатриса рассеяния может быть представлена выражением р (0, ф, <К, ф') = (1 — Р)/4я + рб(& — ф — ф'), 0 < р < 1. (2.154)* Здесь параметр р характеризует вытянутость индикатрисы рассея ния, а б — дельта-функция. В расчетах использовались следующие параметры: 1) коэффи циент рассеяния а* (км-1); 2) коэффициент поглощения <ха (км-1); 3) параметр Р; 4) параметр а, характеризующий средние размеры облака; 5) толщина облачного слоя Я (км) (или оптическая тол щина т); 6) альбедо земной поверхности А; 7) количество обла ков р; 8) зенитный угол солнца до; 9) угол наблюдения Ф; 10) сол нечная постоянная nF. Было получено аналитическое выражение для среднего значе ния прямой солнечной радиации, пропущенной через разорванную облачность: Т р - { СТо-+ я! ~ ^ ехР [(М H o lH z - Н)} + ! Р ^ - е хехр р [ [(Я../1 ( М (i. |) (г - Я)]}, (2.155). где 0 | = а , ( 1 — р), |x0 = cos&0, Я,1,2— {оо + Oi + а ± [(оа + Oj + а2) — 4ар (оа + Oi) ] ,г}. (2.156) Восходящий и нисходящий потоки описываются выражениями Т 2- Ы К \ г - 1 \ ) } * (С)dl + 70(г)|ц 01. 223 (2-158) Здесь t E0(t) = 1 - j E (l)dl = exp ( - / ) - tE (t), 0 oo E (t) = \ exp {~?> -dS, t > 0. (2.159)1 Бспомогательная функция W(z) определяется как решение инте грального уравнения Фредгольма второго рода: н w (z) = J g (12 - СI) W (0 d l + V (г), (2.160) где * ^ = ~2 (Хг — Я,) ' [(° Р ~ %' ) Е ( М ) + ~ ° р) Е ( W ) ] ’ (2 - 1 6 1 ) v = т а г {(° в + ° ' ~ х '] ехр М Ц° (Z ~ Н )]+ + (А, - Оа - о,) ехр [(Я,/| ц01) (г - Я)]}. (2.162) Интенсивность рассеянной радиации может быть определена по -аналогичным формулам, в которых используется функция W (z). Этиуравнения выведены при Л = 0 . При ламбертовом отраже нии от земной поверхности с альбедо А > 0 потокирадиации можно рассчитать по следующим формулам: Ф ! (z) - Ф+ (г) ,(oj ф + (г), (2.163) (z). Ф 1(2) = Ф - (з) + (2.164) Выражения для ф+(г) и ф- (г) имеют вид *■* <г> - 1 Р т Г 1"Б"![1' ( г 01 + + - ^ = ^ - Е0 [Х2 (г - 0]} W (0 d t + + Р 1 ? Л Т } {-gi r - £ - » ^ ‘2) + Ф- W - (2-165) | { ^ f r !- E , № , U - t l ) + + ар- Е 0(Хг12 - £ | )} W ( 0 dt. (2.166) Здесь (t) = 1 - 2 j £ 0 (l)dl = ехр ( - t ) - tE0(t). 224 (2.167) Вспомогательная функция W (z) является решением уравнения (2.160), где V(z) заменяется на выражение V (2) =— _ ^ + (** ~ «) Е° M l Представив ядро как сумму экспонент: ы WМ = оS /=1Z ai ехР (~ bi 12 — £ I> W (0 d^>+ а° exp (— ft,z), (2Л 68> (2.169) можно найти численное решение уравнения (2.160). Были выполнены численные эксперименты. 2.6. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО Метод Монте-Карло описан в части I. Использование метода Монте-Карло для расчетов переноса радиации в облаках является по существу прямым моделированием физических процессов, про исходящих с радиацией. Граничные условия определяются реаль ными границами системы. Фотоны, поступающие из источника в рассматриваемую область, двигаются в определенном направле нии. Устанавливается расстояние, пройденное фотонами до мо мента взаимодействия, после чего выбирается тип взаимодей ствия. В случае рассеяния определяется новое направление дви жения фотона после рассеяния. Эта процедура повторяется до тех пор, пока фотон не испытает поглощения или не выйдет за границу области. Если оптическая толщина велика и вычислительное время становится слишком большим, то фотонам приписывают вес, соот ветствующей доле действительной энергии фотонов, которая сохра няется после каждого взаимодействия. Затем столкновение фото нов допускается до тех пор, пока вся их энергия не будет исчер пана. Полученный результат приблизительно совпадает с тем, ко торый дает прямое воспроизведение. В изолированном облаке без поглощения моделируются только пути, пройденные фотонами между взаимодействиями, и изменение направлений, вызванное столкновениями. Моделирование расстояния, пройденного между столкнове ниями, производится непосредственно, так как доля радиации, про пущенной на некоторое расстояние, является одновременно веро ятностью того, что фотон пройдет это самое расстояние. Соотно шение Р7? = ехр(—т) = ex p ^ — j (2.170) связывает вероятность PR с оптической толщиной т или объемным коэффициентом рассеяния <т* и расстоянием s. При моделировании для PR выбирается случайное число RN и расстояние до столкно вения вычисляется из соотношения S $oeds = о 15 Зак. № 119 T = - l n ( l — RN). 225 (2.171) Индикатриса однократного рассеяния Р(а) характеризует угловое распределение радиации после того, как факт рассеяния имел место. Угол рассеяния а измеряется от направления распро странения света до рассеяния к направлению движения фотона после столкновения. Нормированная индикатриса рассеяния jp(a)<fo>= 1 не зависит от второго угла, который необходимо знать для опре деления направления распространения после столкновения. Этот второй угол у случайным образом выбирается равным от 0 до 2л. Вероятность того, что фотон будет рассеян в угле от 0 до а, зада ется уравнением a РР (а) — 2л JP (a)d (cos a). (2.172) О Следовательно, угол а находят, выбирая случайное значение для РР(й) и решая уравнение (2.172) для верхнего предела взаимо действия. Метод Монте-Карло применялся для конечных облаков различ ной конфигурации и для полей конечных облаков. Глава 3 Сферические атмосферы планет, освещенные солнечным пучком 3.1. ОБЩИЙ АНАЛИЗ Случай сферической атмосферы с функцией источника и гра ничными условиями, удовлетворяющими той же самой радиальной симметрии, изучался рядом авторов. Эта задача, соответствующая освещению центральным изотропным точечным источником, или однородно излучающим ядром, возникает в исследованиях радиа ционного переноса в звездных атмосферах и нейтронного переноса в сферических реакторах. В отличие от этой относительно простой задачи «сферической геометрии» в атмосферах Земли и других планет мы имеем дело со сферической оболочкой, освещенной однородным параллельным пучком солнечного излучения. В этом случае задача сферических атмосфер не является больше задачей сферической симметрии. К счастью, радиус Земли (и других планет) достаточно велик по сравнению с толщиной атмосферы, что позволяет в большин стве случаев использовать приближение плоскопараллельной ат мосферы. Однако от такого приближения приходится отказаться в ряде задач, когда либо направление падающего излучения, либо направление приемника наблюдения близко к горизонту. Сюда входят все задачи, связанные с сумерками, с терминатором, с лимбовыми измерениями; это обстоятельство становится существен ным во многих задачах дистанционного зондирования, основанных на таких измерениях. Выберем сначала систему координат так, чтобы ее центр сов падал с центром планеты, а ось z была направлена к подсолнеч ной точке; падающий солнечный луч параллелен оси и имеет об ратное направление. Назовем (г, во, Фо) координатами М (или г), а (1, 0 О, Фо) — координатами Q; начало отсчета азимута произвольно. * Тогда общее уравнение переноса можно записать в виде j f c o s 0 COS 0 0 + s in 0 Sin 0 OCOS (Ф0 — ----- j r [c o s 0 s in 0 O — sin 0 COS 0 0 c o s Ф)] ----- (Ф0 — Ф)] - щ -— — г т г | - 8," № - ф > - ^ } /<г’ в » ф>; е - ф > ------ое (0О, ф .)[/(г, 00, Фо; 0, Ф) — Ц г , 00, Ф0; 0, ф)], (3.1) * г = а + г, где а — радиус Земли, z — высота в атмосфере. 15* 227 а функцию источника / — в виде 2я 2л /(Г, 0О> Ф„; 0, ф )= (Г'--%1.-Ф°) Г jp ( r, 0О) ф0; 0, ф; 0', Ф ')Х 0 0 X I (Г, 00, Фо; ©', ФО Sin 0 ' dQ' dd>' + й° (г’ 4в°’ Фо) X Х р (г, 0о, Фо! ©, Ф) nF exp [—Г (г, 0„, Ф0)], (3.2) где nF exp [—Т (г, во, Фо) ] — прямое солнечное излучение, достиг шее через сферическую атмосферу точки Af; Т — оптическая тол щина слоя над точкой М, измеренная по направлению солнечного пучка. В качестве граничных условий задаются отражение от подсти лающей поверхности и отсутствие выходящей солнечной радиации на верхней границе атмосферы. Задача несколько упрощается, если подстилающая поверхность однородна, а свойства атмосферы зависят только от высоты (сфе рическая стратификация). Тогда ©о(г, 0о, Фо) = ©о(г), о* (г, 0О, ф0) = ов(г), р(г, ©о, Ф„; 0, Ф; 0 ', Ф') = р (г; в , Ф; 0 ', Ф'). (3.3) Земной диаметр, проходящий, через подсолнечную точку, является осью симметрии. Хотя уравнение (3.1) имеет простейшую форму, во многих случаях (особенно когда требуется сравнение с плоскопараллель ным приближением) предпочтительнее связать систему сфериче ских координат с локальной вертикальной осью ОМ. В этой си стеме направление Q определяется зенитным углом ft и азимуталь ным углом <р, отсчитанным от произвольного начала; назовем fto = = я — 0о и фо координатами солнечного луча. Тогда М задается радиус-вектором г и косвенно ("Оо, фо). С помощью некоторых очевидных соотношений сферической тригонометрии можно записать уравнение (3.1) (как и прежде, ц = cos 01 , цо = cos до) в виде L д I дг г д I Р - и У ’ Р - ^ ) 17’ v ф т" г Л X [cos (ф - ф . ) 1 £ + - ^ 5- 8Ш(ф - jj , 1 ( п Цо, ф0; ц, ф) = — Ое(Г)[1(г; Но, Фо; Ц, ф) — / ( г ; ц„, ф„; ц, ф)], (3.4) где 2я 1 Ц п м-о, ф0; ф ) = - \ \ Р ( г> м-, ф: мЛ ч>')1(п m-о, ф0; ц', Ф7) du' d<p' + 0 -1 Р (г; Ц, ф; м-о, Фо) F ехр [—Г (г, ц0)]. (3.5) 228 Здесь мы предполагаем, что имеет место сферическая страти фикация (удовлетворяется система (3.3)). Как и в случае плоскопараллельной геометрии, можно фор мально интегрировать уравнение (3.4) и получить / через функ цию источника /. Введя эти выражения в формулу (3.5), получим интегральное уравнение для /. Однако эти уравнения весьма за путаны и использовать их стоит только в случае однократного рассеяния (см. п. 3.2) или в связи с некоторыми упрощающими приближениями (см. п. 3.4). 3.2. ОДНОКРАТНОЕ РАССЕЯНИЕ Для оптически тонких атмосфер, как и для плоскопараллель ных, радиационное поле можно аппроксимировать частью поля, обусловленной только однократным рассеянием. Без учета многократного рассеяния функция источника (3.5) приобретает вид Ц г ; Но, <р0; Ц, ф ) = - ° j p - p ( r , fi, ф; Мч>, ф0) ^ е х р [ — Г ( г , ц 0)]. (3.6) Пусть 5 — расстояние от точки рассеяния до точки наблюдения, / — длина пути солнечного луча в атмосфере, 7 — угол рассеяния. Тогда уравнение переноса можно записать в виде V {s) ~ 1 - н з г - = “ 0в (3 7 > где / (s) = A iiL р (S, у ) [ j ое (/') dl' J. F ехр - (3.8) Формальное интегрирование дает J I (М, 0) - 4- ® X ехр <*)Р(s>Y)F ехР[ —i (/') d/'J X — J ае (s') ds'j ds. (3.9) Учет эффекта рефракции при переносе солнечного излучения улучшает результаты. Численные расчеты с использованием уравнения (3.9) проводятся непосредственно. 3.3. ИНВАРИАНТНОЕ ВЛОЖ ЕНИЕ Метод инвариантного вложения пригоден при выводе функ ционального уравнения для функции отражения сферической атмо сферной оболочки. Были получены формулы, но численное реше ние представляется трудным и никогда не реализовывалось. 229 3.4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В приближенном методе точно рассчитывается рассеяние пер вого порядка и приближенно — рассеяние более высокого порядка, причем в разложении индикатрисы рассеяния по полиномам Л е жандра сохраняются только первые два члена: (3.10) р(у) = 1 + Pi COSYВ этом случае функцию источника можно представить в виде / = <o0L + t»oPi Я cos + (о0р,<7 sin fr cos (/4n, (cos fr) X X (d(o/4n) и (sin ■fr cos <p) (dm/An) и интегрируя по всем направ лениям, после некоторых упрощений получаем: (3.13) (3 - cooPi) Я - - J L (3 - ©oP,) G = — j . fp , cos fro exp ( - Г ) , (3.14) — j - fp , sin fro exp ( - T ) . (3.15) Предположив далее, что ae является функцией только г и что сомножитель (3 — ©oPi) постоянен в атмосфере, можно исключить Я и О и получить одно уравнение для L: (3.16) AL где А — оператор Лапласа k S = (3 — (DoPl) (l — ©о) (3.17) и f = F ехр ( - Т ) (з —(OoPi + - Воспользовавшись выражением (3.18) найдем: f = _|LFexp(-r)[3 + (l-®o)p.]. (3.20) Величину L можно найти, решая уравнение (3.16) с соответ ствующими граничными условиями, задав закон изменения <те в за висимости от г. Были выполнены расчеты для случаев <те = const и для ав, убывающего по экспоненте с ростом г. По значениям L получают Я, G, а затем, используя выражения (3.14), (3.15) и (3.17), — /. Теперь из (3.4) можно получить яркость. Другой под ход к решению (3.4) с (3.5) основан на использовании численных методов. 3.5. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО В части I отмечалось наличие трех различных методов МонтеКарло: двух прямых и одного обратного. Основная особенность обратного метода Монте-Карло состоит в том, что путь фотона прослеживается в обратном направлении от приемника до источ ника. Это в точности эквивалентно обращению времени и не экви валентно взаимной перестановке приемника и источника. Такой способ исключает некоторые трудности, возникающие при исполь зовании прямого метода, и хорошо подходит к сферической атмо сферной оболочке. Континуумные яркости можно вычислять с боль шой точностью при сравнительно малом числе «историй» фотонов. Этот метод успешно применялся при расчетах для условий сумерек и анализе лимбовых наблюдений. 3.6. РЕШ ЕНИЕ НЕПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ DART Метод DART был описан в части I. Реализация метода DART завершается вычислительной программой, действующей достаточно быстро в применении к практическим задачам, требующим гро моздких расчетов, например обращению данных рассеяния в ис следованиях атмосферы или созданию больших системных ката логов для космической навигации. Указанные приложения метода DART нуждаются в моделях, для которых плоскопараллельная геометрия непригодна даже в грубом приближении, так как они содержат угол наблюдения и/или направление падающего на планету излучения. В то время как задача рассеяния как таковая решается мно жеством различных методов, кривизна Земли вносит дополнитель ные сложности, которые превосходят возможности большинства методов. Методы Монте-Карло и DART обеспечивают численно сходные результаты, но они существенно различаются затратами времени, со значительным преимуществом в пользу DART-метода. Д ля получения параметров яркости и поляризации при 50 на правлениях сканирования или 50 углах солнечного склонения з а 231 трачивается доля минуты. Обычно 50 точек достаточно для по строения вполне подробной кривой. Если в части I обсуждалась дискретизация основного уравне ния радиационного переноса методом DART, то здесь мы сосредо точимся на приемах, связанных со сферической геометрией, необ ходимых при лимбовых и суммарных наблюдениях. В DART-методе все подходы к задачам сферической геометрии основаны на использовании теоремы Байеса из теории вероятно сти. По существу оценка Байеса основана на предварительной оценке функции плотности вероятности, включающей любые общие характеристики, которые могут дать общие физические рассуж дения. Эта предварительная оценка корректируется информацией, полученной из эксперимета: в результате формируется вторичная, конечная оценка. Если результаты эксперимента содержат много информации, то она доминирует во вторичной оценке, если инфор мации мало, то первичная оценка доминирует над вторичной. В случае радиационного переноса оценке подлежит зависи мость яркости от Q. Эксперимент при этом есть численное модели рование дискретной модели радиационного переноса, а информа ция, которую он обеспечивает, — дискретный набор интенсивности уходящего потока. Предварительная информация масштабируется соразмерно этим потокам; она умножается на линейную комбина цию потоков с коэффициентами, являющимися нормированными непрерывными убывающими функциями углов между потоками и Я, так что потоки вблизи Я доминируют в оценках для Я. При большом числе потоков коэффициентные функции полностью определяют окончательную оценку, но если потоков мало, то пред варительная оценка сохраняет существенное влияние на конечную оценку. В численных оценках по радиационному переносу, как пра вило, вычислительное время находится в сильной зависимости от числа задействованных потоков. По практическим соображениям DART-метод в настоящее время ограничен лишь 12 потоками. По этой причине предварительная оценка, используемая в формули ровке яркости, имеет очень большое значение. По этой же причине вся остальная часть этого обсуждения сосредоточена на сообра жениях, обосновывающих предварительную оценку и ее реализа цию. Физические соображения, лежащие в основе предваритель ной оценки, весьма просты: 1) полная радиация не может быть меньше, чем радиация, вы численная по модели однократного рассеяния; 2) многократно рассеянная радиация возрастает с увеличе нием оптической глубины в направлении наблюдения, вплоть до ее экспоненциального насыщения; 3) в случае входящей радиации единичной интенсивности при отсутствии поглощения на подстилающей поверхности выходящий поток должен быть пропорционален входящему потоку. Реализация этих простых идей связана со множеством проблем моделирования, которые обсуждаются ниже. 232 Однократное рассеяние — простая в своей основе задача, кото рую можно решить почти точно, с полной сферической геометрией, рефракцией, реальной атмосферой, поглощением и излучением, а также с рассеянием, детальными данными по индикатрисе рас сеяния с учетом поляризации и с любым законом отражения от подстилающей поверхности. Если воспользоваться этим обстоятель ством и сохранить дискретное моделирование радиационного пере носа для рассеяния второго и более высоких порядков, можно по лучить значительный выигрыш в точности. Программа расчета однократного рассеяния, применяемая в- DART-методе, представ ляет интерес, так как ее можно использовать в любой другой мето дике. Преимущества этой процедуры могут быть весьма значитель ными, особенно при моделировании методом Монте-Карло. Простой подход к задаче однократного рассеяния возможен при соответствующей модели изменения атмосферных составляю щих по высоте. При использовании DART-метода атмосфера пред ставляется в виде концентрических сферических слоев, каждый из которых характеризуется коэффициентом ослабления для рэлеев ского рассеяния, аэрозоля и озона и показателем преломления; внутри данного слоя все эти параметры считаются постоянными. Постоянство параметров позволяет написать простое выражение для приращения яркости на приемнике, обусловленного прираще нием пути, пройденного в слое. Это выражение представляет собой произведение локальной индикатрисы рассеяния и ослабления, про интегрированного по оптической толщине рассеяния. Интеграл ослабления можно выразить через ослабление в ближнем и даль нем концах приращения: A | T ( £ ? » ) V > I g -< r >| A r | - ' 3 -2 l > Здесь индексы s и d обозначают измерения от источника до точки рассеяния и от приемника до точки рассеяния. Легко получить аналитическое выражение без ошибок численного интегрирования. Остается рассмотреть многократное рассеяние с двумя или более рассеяниями в направлениях, отличных от направления рас пространения света. Потоки, полученные в результате этих рас четов, сопоставляются с предварительной оценочной функцией. Функция предварительной оценки включает все величины, завися щие от кривизны пути; таким образом, вычисление потока оказы вается простой геометрической задачей. Следует отметить, что при таком разделении задачи не обязательно вычислять потоки непре менно DART-методом. Можно воспользоваться любым общеприня тым способом численного моделирования радиационного переноса в плоскопараллельной атмосфере. Иными словами, применение правила Байеса в конечном счете позволяет построить послойные профили методами удвоения или матричного оператора. Эффект кривизны сказывается сильнее всего на больших ска нируемых оптических глубинах и соответствующих направлениях облучения. С учетом этого обстоятельства предварительная оценка 233 возрастает с увеличением оптической глубины в направлении ска нирования до экспоненциального насыщения. Использование правила Байеса в задачах радиационного пере носа имеет следующие преимущества: 1) для моделирования радиационного переноса достаточно от носительно небольшого числа потоков и любых моделей плоской атмосферы; 2) можно беспрепятственно обращаться к полному динамиче скому диапазону, составляющему примерно 9 или 10 порядков ве личины; именно такая амплитуда характерна для распределения яркости при лимбовых наблюдениях и в сумерки; 3) особенно важно то, что решение не подвержено статистиче ским флуктуациям, которые становятся непреодолимыми в методе Монте-Карло на нижнем крае динамического диапазона; 4) выходом является гладкая кривая, на которой отчетливо проявляются особенности, связанные с атмосферными возмуще ниями. Глава 4 Освещение узким коллимированным пучком 4.1. ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА Рассмотрим освещение узким коллимированным пучком, на пример прожекторным или лазерным лучом. Будем считать, что атмосфера вблизи луча плоскопараллельна. Основной интерес представляет либо диффузный перенос луча сквозь среду, либо рассеяние света назад, как при лидарном дистанционном зонди ровании. Рассмотрим пучок радиации бесконечно малого поперечного сечения, но с конечной интенсивностью лF. Пучок падает на верх нюю границу атмосферы z — z\. Положение точки в освещенной атмосфере определяется прямоугольными координатами ( х , у , г ) , а направление Q определяется углом ft с осью z (или n = co sd ) и азимутом <р, отсчитываемым от оси х. Можно записать уравнение переноса cos ft -^ -(2 , у, х, ц , < p ) - f Sin ft COS ф X, у, Ц, ф) + (г, х, у, ц, ф) = + sin ft sin ф = —ae(z, - ^ - (2 , х, y)[I(z, х, у, ц, ф) — / ( 2 ,х, у, ц,ф)] (4.1) с функцией источника Ц г , х, у, (1, ф) = <0° 2л I z) j J р(х, у, z; ц, ф; ц'. ф ')Х X / (г, х, у; ц', ф') d\ir dq>' (4.2) и граничными условиями 7 (2 ,, х, у; ц, ф) = яРб(ж — jc0) 6 ( y — </0)б(м. — М б ( ф — Фо) при ц < О, 1(0, х, у; р., ф') = 0 при ц > 0 . (4'3) Здесь (дго, г/о) — координаты точки вхождения радиационного пучка на верхней границе среды z == z\, величина (цо, фо) отно сится к направлению падающего пучка. Атмосфера может быть неоднородной. Чаще всего ее полагают плоскопараллельной, с возможной вертикальной стратификацией, но с постояннбй индикатрисой рассеяния. 235 Если атмосфера однородна, можно ввести полную оптическую глубину ti и оптическую глубину т: т, = аег„ х = ое (z, — z). (4.4) Оптические расстояния по осям х и у соответственно будут иметь вид | = оех, ri = оеу. (4.5) Может оказаться, что удобнее использовать цилиндрические координаты, связанные с осью z, проходящей через точку падения пучка в атмосферу. Будем считать, что падающий пучок находится в плоскости хг. Пусть (z, р, £) — цилиндрические координаты точки М. Направление £2 определяется, как обычно, через = arccos (I и азимут <р; более удобно использовать i|> = ф — %— азимут, отнесенный к рассматриваемой точке. Отметим, что для падающего луча фо = —£. Уравнение переноса в применении к данной системе координат будет иметь следующий вид: Л/ Л/ c o s f t- ^ - ( z , р, £; Ц. •>!>) + sin frco si|)-^ -(z , р, £; ц, t|)) + _|__LSin d sin i|)[-j^-(z, р> £; , |, ) ; _ ^ L ( Zf р> £; ^ = oe (z, р, £)[/(z, р, С; И. ф) — /( z , р, С; И. Ш (4.6) где 2л 1 /(z , р, С; (А, я|)) = 0)0 ' £) j \p(z, р, С; ц, ф; ц', ф') X X / (z, р, £; и', 4|>')4i'di|/. (4.7) Уравнение (4.6) нужно решать с граничными условиями /( z „ р, £; p., 4|)) = nF6(p)6(S)6((i — м.0)6(-ф) при и < О, I (0, р, £; р., г|>) = О при р. > 0. (4.8) В оптически тонких атмосферах однократное рассеяние может служить хорошим приближением для суммарной интенсивности, и оно действительно используется в большинстве работ по лидарному зондированию. Для уточнения можно привлечь рассеяние второго-третьего порядков. В случае когда падающий луч направ лен вдоль оси z, возникает цилиндрическая симметрия, упрощаю щая задачу. 4.2. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ МОМЕНТОВ Рассмотрим следующую задачу: прожекторный луч бесконечно малых угловых и линейных размеров падает на границу плоского однородного слоя мутной среды. Нас интересует пространственная структура светового поля, генерируемого стационарным лучом как внутри слоя, так и на его границах. Удобно использовать уравне 236 ние радиационного переноса (4.1) в системе прямоугольных коор динат — И'2) '/ , 8 1 П ф -^ -+ (1 — n2),/lc o s «r - 2 L + I ( X, l , n, (X, Ф) = 2л 1 ~~Zn~ j 5 1(0, 1 и'; ф — I. л; и'. ф 'М ф '^ц', , л. ц . ф) = л ^ 6 ( | — | 0 ) 6 (Т) — Т1 , ) 6 (ц — ,иэ) 6 (ср — фо), I ( z u I , rj, (А, ф) = 0, ц < 0* ц > 0 . (4.9) с определениями (4.4) и (4.5). Здесь £0, Ло — координаты точки падения прожекторного луча. Для описания пространственного расширения узкого светового луча введем поперечные пространственные моменты интенсивности оо 1пк(*> И. Ф )= И &, Л. (*. 4)dldx\. (4.10) —оо С помощью этих моментов можно получить следующие величины*: /оо — суммарную интенсивность светового пятна на плоскости г = = const, координаты «центра тяжести» светового пятна на этой плоскости: £ = Ло//оо, т) = / 01/ /oj(4-11) Дисперсии, описывающие эффективные размеры светового пятна на плоскости т = const, определяются выражениями D%= Г2- ! 2. F - W / o o , Or, = ? - ? . т? = W/oo. (4.12) Допустим, что ОО 5 Л *[|"/(т. I. Я Ц. ф)к=±°°<*П = 0. ---- ОО оо J 1п [•»!*/(т, п. М. (f)]n=±ood| = 0, (4.13) —оо тогда из уравнения (4.9) следует, что моменты /„* удовлетворяют уравнениям 1 2л ^ + Ink = “S T j 10\ p( v > м '. Ч — у') Ink (t, р', <?')d\i'dq>'+ — + (l — р ) ' ,2(п sin (pin-I, k + k cos (pin, k - 1 ) с граничными условиями (4.14) * ц считается положительным в случае, если оно направлено вниз, а Ф от считывается от оси . у 237 I n k (О, Ц, ф ) = Я F 6 (м. — Цо) 6 (ф — Фо) Фп4 (£о, По). /nfc(Ti, Н, ф) = 0, Ц > о, ц<0- 1, п, к = О, п k Ф О. I |о , 1ЛТо, п, Г (4Л5) Система уравнений (4.14) является рекуррентной. Разумеется, необходимо предварительно получить функцию /оо, являющуюся эквивалентом решения уравнения переноса в равномерно освещен ном однородном слое. 4.2.1. Решение в малоугловом приближении Простейшее решение системы (4.14) получается в малоугловом приближении. Предположим, что индикатриса рассеяния р(О). сильно вытянута в направлении вперед. Тогда можно использо вать малоугловое приближение для получения Ink вблизи освещен ной границы т = 0 для малых углов рассеяния. Можно заменить в уравнении (4.14) |ло(д/<?т) на ц(<3/(3т), а вместо граничных усло вий (4.15) принять Ink (О, М-, ф )= я Р 6 ( ц — ЦоЖф — Фо)Фп*(£о, Ло), — 1 < ц < 1. (4.16) Решение в малоугловом приближении можно получить в сле дующем виде: Ink(x, Ц, ф ) = 1* т* Г~ Z Z 1 Qm (т ) COS/ф + Qm (т ) S i n /<Р pm ( и ) , /= 0 т =1 ( 4 .1 7 ) J где р т ( ц ) — присоединенные функции_Лежандра, Qlm{x), QL( x ) — линейные комбинации функций exp (cooYrt), а уг — коэффициенты в разложении индикатрисы Р(&) = £ (2г + 1 ) yrPr (cos &). ( 4 .1 8 ) Г Решение (4.17) может быть получено численно элементарным образом. . 4.2.2. Решение в асимптотическом случае Вычисление I n k для больших оптических толщин возможно при применении преобразования Лапласа к уравнению (4.14). При этом оказывается, что функции оо Ф„*(5, м., ф) = J e x p ( —sx)I„k(x; ц, <f>)dx удовлетворяют интегральному уравнению 238 (4.19) I 2л (1 + Sfi)<pnft (s, fx, ф) = -4- I \ p (ц, ц', ф — ф') ф„* (s, ц'. 411 - i о n sin ф( l М'2) ,/г фя—i, dip' + k (s, ц. ф) + + ^С05ф (1 — ц2)1/афп,k - i(s , ц. ф)- (4.20) Формулу для расчета величины / п* получают, используя преобра зование Лапласа: i°° Ink(x, И, ф) = ~2л Г \ ехр(«т)ф „4 («, Н. ф)ds. (4.21) -i°° Асимптотическое поведение Ink при т »■ 1 определяется из оценки фя* на полюсе, соответствующем минимальному абсолютному зна чению. В этом случае можно получить аналитические выражения. 4.3. ИНВАРИАНТНОЕ ВЛОЖЕНИЕ И ПРИНЦИПЫ ИНВАРИАНТНОСТИ Радиация, уходящая через верхнюю и нижнюю границы рас сеивающего слоя, может быть выражена через функции пропуска ния (Т) и отражения (S), определенные в части I, п. 1.6. Инвариантное вложение и принципы инвариантности приводят к одним и тем же уравнениям для функций S и Т. Их можно ис пользовать как в прямоугольной (х , у, г ) , так и в цилиндрической (г, р, £) системах координат. 4.3.1. Процесс инвариантного вложения Будем использовать цилиндрическую формулировку задачи и выразим угловое распределение радиации, выходящей через гра ницу 2 i, с помощью функции рассеяния S, помня, что I зависит от Но следующим образом: i ( z u р. С; +и> Ф ) = р; ■ф; но. О- (4.22) Будем полагать, что индикатриса рассеяния всюду постоянна, но с целью общности допустим, что коэффициент рассеяния °а(г, р, £) и коэффициент ослабления ae(z, р, £ ) — переменные величины. Если присоединить к верхней границе z = z t плоский слой бесконечно малой толщины Дг, оптические свойства которого отличны от свойств остальной оптической среды, то диффузная отражательная способность изменится. Рассуждая так же, как и в одномерном случае, после проведе ния всех операций, сопровождающих прохождение радиации через добавочный слой геометрической толщины Дг, получим: 239 / [ z , + Az, p + (tgftcos\|) + tg&0cosC)Az; н> i|>+ ( tg 00 sin£ — — tg O s in tp )-^ -; но, £ + (tg 0 sin-ф— tg 00 sin £) - y - — = / ( z „ p; ti, ♦; Ho, 0 ( 1 - qe(21^ 0’ Az ) ( l - А .(»ь p. 0 az ) + + - £ -* ( p ) * (Q < M * i. P. Op(H. 'fc —Ho, C)A2 + -5f®#(Z|, P. 0 - — X 12Я X j Jp(h> Ф; и". W (zi, p; и". Ф"; Ho. £) d\i"dy" + 4^- <Mzi. 1 2я О, O) Az j j /(z „ p; ц, ф; и', ф ')р (—и'. Ф'; — Ho. £ ) - ^ f - < V + 00 + * ! 2я 1 2я Sm 0 0 z i . p '> COp ' ^ p '^ C ' j (/(z i, r ; 0 0 h. Ф - f i ; и '. Ф О Х 1 2я X - ^ r dv ' j ] p ( - ^ ' * V ; и". W t t . . p'; h". r-> и», d tf, (4.23) где г и I заданы выражениями г = [p2 - f p'2 -f 2pp' cos (l — с)]7’, sin I = p' sin^S' — Q/r. (4.24) (4.25) Первый член правой части уравнения (4.23)относится к фо тонам, прошедшим через слой (zi, z\ + Az) без столкновений. Они внесли вклад в число фотонов, отраженных от (0 ,Zi), которые затем снова прошли сквозь слой среды толщиной Az, избежав взаимодействий. Второй член описывает вклад в отраженную ра диацию, переносимую фотонами, которые отразились непосред ственно от слоя. Третий член связан с фотонами, которые прошли сквозь слой, изменив при этом свое состояние, отразились от (0, Zi) и затем прошли сквозь слой без взаимодействий. Два последних члена учитывают фотоны, которые пересекли (0 ,zi), не испытав взаимодействия в слое (z\, z \- \- A z ) , но при последующем отра жении вступили во взаимодействие со слоем (zb z\ + Az). Харак терной особенностью задачи прожекторного луча является пятый член, содержащий интеграл по поверхности. Устремив Az-»-0 в уравнении (4.23) и воспользовавшись уравнением (4.22), полу чим: - ^ - ( Z l р ; И. ч|>; Но. С) + (tg 0 cos г|) - f tg <jp0cos £) - g |- + +■j - (tg 0 sin if — tg Oo sin О (-Ц - — -Ц -).+ + ( q* ( ^ P . , l L + q« (2‘N °' -0-)- ) s = (Mz„ p, t ) 6 ( p ) 6 ( 0 X 240 1 2я Х р(ц> —M-О. £) + - ^ - M z „ о, 0)J j s ( 2 „ р; ц, г|э; ц', £ ')Х О о I 2я Х р ( - и'. -Но. 0 - ^ - ^ ' + - z r « .( z ., Р. О S J р (н. Ф; и". V O X ^ 0 0 оо 2 я X S (z t, р; и". V '; Но. 0 - ^ ^ " + - ^ ] 12я 1 2я j ] И ] s (z » r = ц. Ф+|; н', i|>')<Mzi. р'. СО р ( —ц'. V ; и-''. ф '0 5 (2 1( р'; р.", о|Л ц„ £') р' dp' d i' ^ r - d ^ -? £ - d r . г* (4.26) г Уравнение (4.26) является требуемым интегродифференциальным уравнением для функции рассеяния. В случае однородности коэффициенты ае и os являются постоянными и уравнение (4.26) можно упростить. Введя ti = aezi, R = аер и альбедо однократного рассеяния ©о = as/o e, получим (4.26) в следующем виде: - f - ( T „ R; ц, г|?; Цо. Q + (tg f r c o ^ + tg cos О -Щ -+ + -jr ( tg » s i„ <, - t g » . s t a £ ) ( - f — ^ - ) + ( f + . - ^ ) s _ [6(р)6(С)р(ц. 1 2я —Цо. S) + ^ - i 5 S ( T „ R; ц, ц'. £0 X Оо 1 2я Х р ( —и', —Цо. S jp fa + оо 2я 1 2 ft Ф5 У-"’ Ф '05(т„ R; ц", 1 2ft Ч>"; цо. i ) - ^ d i t ” + -xh r \ И Л I s (Tl’ R; >*• + + ^ ^ 0 00 00 0 >*'’ Х р ( —н . V . и'. V ) 5 (zi. R ; ц", V ; цо. £ ) Х X R dR di d ^ ' -$ £ - . (4.27) Для функции пропускания Т можно получить уравнение, ана логичное (4.27). 4.3.2. Использование преобразования Лапласа Для двумерной задачи * в однородной атмосфере с изотропным рассеянием как инвариантное вложение, так и принципы инвари * Эта задача соответствует коллимированному лучу с бесконечно малым поперечным сечением по оси х (падающим в точку * = 0 , z = z \), но с бес конечно большим поперечным сечением с однородным потоком вдоль оси у . 16 Зак. № 119 241 антности позволяют получить уравнение для 5, которое значи тельно проще, чем в трехмерной задаче. Это уравнение имеет вид - £ - ( т „ I; V’ £) + (tg»cos\|)tg& 0 cosC )-§|- + ( ^ - + - j ^ ) s = 1 2л [ + j X<5 (т,, I; ц. ■ф; ц'. 0 $ ') - % - dy' + 0 ^ 1 2л м-о, Q - ^ s - d y " + + " 5 Г $ J S (T|> оо I 2 л 1 2Л + “й Ь ‘ 1 J И 1 5 (т>* 1 — м-. ■ф; мЛ Ф") 5 (т ,, I', — оо 0 0 0 ц", V , 0 п., l ) d % ' - $ £ - d y " 4 f - d ^ j . (4.28) Определим теперь двухстороннее преобразование Лапласа функции 5 в однородной среде с изотропным рассеянием следую щим образом: о(Т|, р; ц. мч» £) = М 5 ( т ,, Ь м-о, £)] = оо = j 5 ( t,, I; ц, г|з; щ. £ )ех р (—pQ d\. (4.29) — оо Уравнение для а можно найти в виде - + (tg &cos i|>4- tg &оCOS О ра + (-± - + - ^ ) [1 + j j a ^Tl’ Р' = 1 2л J о(т„ р; н, гр; ц', ф ' ) < Л | / + 12л ТГ О 1 2л ^ ц" d<v"' 16я2 1 2л j Jj j ^ X o(T i, p; |X, t|>; ix', 1|/)а (т ,, p; ц", ip"; ц0. £)-|т-<*ф ' - ^ r - dip" j (4.30) в предположении, что S (ti, ± o o ; ji, яр; ц,0> £ )= 0 . Из-за присутствия в уравнении (4.26) двух частных производ ных и интеграла свертки непосредственное его решение не пред ставляется возможным. Однако уравнение (4.30) допускает чис ленное решение для функции S. Численное обращение двухсторон него преобразования Лапласа обеспечивает нам искомую интен сивность отраженного излучения на верхней границе. 242 4.3.3. Принципы инвариантности для моментов Рассмотрим однородную задачу в прямоугольной системе ко ординат. Так же, как в п. 4.2, будем пользоваться оптическими длинами т, |, ri и определим моменты функций S и Т уравнениями, аналогичными уравнению (4.10). Будем считать для простоты, что S и Т зависят только от одной горизонтальной координаты £, как в п. 4.3.2, и, следовательно, учтем только моменты S nо и Тпо, п — = 0, 1,2 . Записав принципы инвариантности для S и Г и проин тегрировав по плоскости ( |, г)), найдем уравнения для S nо и Тпо. Функции Soo, Too удовлетворяют известным нелинейным уравне ниям Амбарцумяна—Чандрасекара. Для S„o = S n, Т„о = Тп, п = = 1, 2, имеем новые линейные рекуррентные уравнения (go = 0): jJ- + -jJr ) s i (T1, Q, 0,) = |Л ( т „ Q, О О М т,. Q', 0 . ) - ^ - + + (Л (т „ Qo, Q ')S ,( t „ Q', Q ) - ^ + + (tg&sin<p + tg&oSin<p0)S,(T „ £2, Qo), (4.31) = J В (т„ Q, & ) T t (t,, Q', £ 2 o ) - ^ - + [ B { x u Q„, Q ')X Х'ТЛт» Q', Q ) - ^ - + - g - p ( Q , —Qo) (tg &sin T■<T’ Q' ’ «■>x A - j 7\ ( t „ Q, Q')p(Q', - Q o ) - f ^ tgftsUnpr, X X exp ( — J - ) B ( t „ Qo, Q) + tg& 0 sinq)0T , e x p ( — ^ B ( t „ Q,.Qo), (4.32) - ^ - + -J -r ,(T l, Q, Q9) - J X ( t „ Q, Q07’1(t„ Q', Q„) - ^ - + + j B ( x u О», Q ')S ,(t„ Q', Q) " 1 + + exp ( - - £ - ) J s ,( t „ Q, Q ')p(Q ', - Q , ) - ^ l + - f tg 0 sin 9 7 ’o(Tl, Q, Q0) - f tg 0Osin ф0т, exp ( — ^ -)Л (т ,, Q, Q0), (4.33) - ^ + J - 7 ’, ( T„ Q, Qo)= (Л ( т „ Q0, Q')7,i (t „ Q ', Q ) - ^ - + + j B(x„ Q, Q') S, (t„ Q', Qo) ^ - + exp ( - - * - ) -§L X X j p ( - Q , Q ')S ,(t„ Q', Q ,) - ^ l+ tg d ,.s I n q % r ,( T It Q, Q0) + + tg&sin<pt, e x p (— ^ - ) Л ( т ,, Qo, Q). 16* 243 (4.34) Несколько более сложные уравнения получаются для S% и Т2. Они включают те же самые функции: А ( т„ Q, Й') = ^ [ р ( ц . ц', ф, Ф') + + j S0(т„ Q, Q") р и', ф", ф') - ^ ] , В ( т„ Q, Q') = - ^ - S 7 ’o (t„ Q, £2")р(ц", - ц ' , Ф", Ф') (4.35) Из уравнений (4.33) — (4.36) следует, что выполняются прин ципы обратимости: Sj (Tj, Q, Qq) = Sj (tj, Q0, Q), T\ (tj, Q, Qo) = (т-i» Q)« t(4.36) Аналогично s 2(t„ Q, Q0) = S 2(t,, Qj, Q), 7*2(X|, Q, Qo) = ^,2 (î» Qo» Й). (4.37) Функции S n, Tny n = 1, 2, можно разложить в двойные триго нометрические ряды: оо S i(ti, Ц, ф; цо, фо) = Z т , 1=0 [gmV(ti, ц, цо)cos гпц> sin /ф0 + + gfm(tu цо, н) sin т ф c o s/фо], оо T\(xi, fi. ф; Цо, фо) = + Z т , 1= 0 [& m V (f,, н> Но) COS т ф 8 П 1 /ф о + g l m ( t i , Но, н ) ^П Шф COS /ф о], оо S2(ti, н . ф; Цо, фо)= Z т , 1=0 [pmi (tl, |Ы, цо) co s/Пф COS/фо+ + 5т/(т 1» Мо» |ы) sin Шф sin /ф0], оо 7*2(х ь н, ф; цо, фо)= 2 [pmi(x\, н. цо) co s/Пф co s/фо + т, /==0 + Sm/(ti, Н, но) sin т ф sin /ф0]. (4.38) В частности, для изотропного рассеяния имеем: S i(t|, н, ф; Цо, фо) = g$i (т, н, Цо) sin ф0 + g<j{ (ti, но, Ц ^П ф , 7*1(-ct, ц, ф; но, фо) = £ т (ti, н, Цо^Шфо + goi(xu Цо, ц^Ш ф, S 2 (т 1, н, ф; цо, фо) = poo (tl, н. Цо) + рог (ti, ц, Но)co s2фо + + Ра>(*ь Ц,Цо)со82ф + 5и(ть ц, Цо) Sin ф sin фо + 0 [ e x p ( —tj/ ho)], 72 (11, Ц, Ф; цо , фо) = plo(xi, ц, Цо) + р 02г'(ть ц, Цо)c o s2ф0 + + р 2о(ть ц, Но)соз2ф + 5п (ti, ц, Но) sin ф sin фо + 0 [ e x p ( —Ti/ho)]. (4.39) 244 При условии ti > 1 для изотропного рассеяния функции go!, go{ удовлетворяют уравнениям 1 (-j7 + -j^ -)g o i (ti, и. jio) = 2яЛ (ть и) \ (ть ц', |Х о)-^---1 — 2лВ (tl, n ) |g f o '( ti, и'. Но)-^ 7 - + tg &oSo(t |, Ц, Цо), - ^ L +-j^-Sroi'(Ti, И. но) = 2лВ(ть н) j goi'(ti, И , Но)-^т~ + + tg $<>Го(т|, н. Но). (4.40) Здесь Л(т,, H) = ^ r [ l + 2 * J S 0(T„ Н. нО- ^ r - j , 1 В ( х „ Н)! = - *^ о! Т°(х" * ^ - *¥* - • Для изотропного рассеяния и ti > 1 Н (ц )Я Ы - ^ S .( t„ н, Но)' = У Х <4 4 1 > HH«t/ (Н) V (Но) X M W exp (—2frti) 1 - Л Г г е х р (—2*т,) • П (*„ Н, Н.) = i - HH.f/ (Н) U (Но) , - ^ е х (й 2- ^ , ) ’ (4 42) Здесь Я (и ) это Я-функция, U(\i) — решение проблемы Милна, k — корень характеристического уравнения, М и N — постоянные (см. часть I, п. 5.2). Для решения уравнения (4.40) найдем сначала функции I a (ti , но) = ( goiCn. и \ Н о)-^—, 0 ^ 1 р(ть но) = J goi(r\, ц', Но)- тр • (4-43) oJ •* Тогда, опуская члены порядка ехр(—то/но), находим: « & (ч . 1*. M . ) = ^ T ^ H . W f f . W Si n » . j - r ^ 5 r + l r f s - - • *11+|“>(т|%гг+ 0 [‘ + -f *8(Т|+6'?]}- golbi, И. w) = 1^r mHo(li)M(tM)siii»,-~y(-r^ s - + i)x X [l — *а(т| +*)*]{* — 245 т, + 6 [ l + - | - * 2(ti + 6)a]J. (4.44) Здесь б — экстраполированная длина Милна, k ^ 1/т?, Но = = Н((оо = 1 ) . Координаты % «центра тяжести»- светового пятна описываются формулами для отражения I s ( Tl, Ц, Ф> Цо, фо) = "S|/So, для пропускания I r (ti, ц , ф; Цо. фо) = ( 4 .4 5 ) Tt/To. Соответствующие выражения для fjs и fjT можно получить, за менив в формулах ( 4 . 4 5 ) я /2 — <р на <р и я/2 — фо на фо. Интересно отметить, что при ti->- оо координаты «центра тя жести» светового пятна становятся не зависящими от ti и описы ваются следующими выражениями (k -*■ 0): I s (|a, Цо, ф, Фо) = sin ф(1 — ц2)'/; ( цу ^ + sin фо(1 - tr ( ц , цо, ф , фо) m$ V’ )+ + 7 + % г) * = Sin ф (1 — р Т ( l Ч—Г+ 2р ) + + sin фо(1 — цо)^1 + , ^2цо )* (4.46) Для полубесконечного слоя имеем Is G i, Цо, ф , фо) = sin ф (1 — ц2)'/а [ { ^ 2[а + — k (ц + цо) ( l + 1 + 2ц ) ] + S in Ч* 0 “ ^ у ^ — ^о) h [ Т + % Г ^ * + 7 Т ^ - ‘ ('*+ « )( 1 + - г ||г г ) Ь <4'47> если k <С 1. Д ля определения эффективных размеров светового пятна, опре деляемого пространственной дисперсией пучка, необходимо решить другую систему уравнений (для ртп и ртп). В предельном случае ti » 1 можно найти приближенные аналитические выражения. 4.4. РАССЕЯНИЕ В ПРЯМОМ И ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ В МАЛОУГЛОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ Рассмотрим сначала рассеяние в обратном направлении узко коллимированного луча, нормально падающего вдоль оси z в по ложительном направлении и возвращающегося в направлении z = 0. Лидарный источник расположен на расстоянии z = —Rc, а точка на высоте z находится на расстоянии R = z + Re от источника. Лидар получает короткие импульсы. 246 Рассмотрим сначала полное нестационарное трехмерное урав нение радиационного переноса: - £ - - ^ - + c o s O - | £ - + sin&cos<p sin 0- sin ф — |- <ув/ = 2я л = ю 0ае j d<p' j р(Ь’ у ^ * ) - /(* , у, г; ф', t)sin& 'dV . (4.48) Здесь с — скорость света, t — время, z = R — Re — глубина про никновения; координатная ось ориентирована в направлении рас пространения света. Отклонения от оси распространения, вызван ные рассеянием под малыми углами, приводят к растяжению по времени обратного лидарного сигнала. Оценку этого растяжения по времени можно получить, используя среднее смещение по ра диусу Дг, вызванное однократным малоугловым рассеянием впе ред коллимированного луча. Среднее расстояние I, пройденное однократно рассеянной радиацией до места, где произошло рассея ние назад на глубине проникновения г, примерно равно / - (г2 + <Дг2» ’'1~ 2 + .(4 Затем с помощью выражения (4.49) можно оценить дополнитель ное время, необходимое для прихода обратного сигнала: (4.50) где (fif) — дисперсия угла рассеяния для узкого диффракционного пика. Для слабого тумана отставание оказывается равным порядка 10-8 с, т. е. мало по сравнению с типичным временем прохода сиг налов лидара. Следовательно, удобно разделить временную и про странственную зависимость рассеянной радиации /: Ц х, у, z, Ь, ф, /) = 7 (х, у, z, ft, ф)6(2 — ct), (4.51) /N / где / учитывает только пространственную зависимость рассеянной радиации, а б (г — c t ) — дельта-функция Дирака. Из приближен ной формулы (4.51) следует, что радиация, рассеянная в прямом направлении, после отставания по времени t проникает до г = ct, и временное расширение, вызванное рассеянием под малыми углами, пренебрежимо мало. Радиация, рассеянная под большими углами (кроме углов, близ ких к д ~ я ), считается устраненной с пути распространения излучения лидара; следовательно, она не вносит вклад в обрат ный лидарный сигнал. Поэтому рассеянную радиацию можно представить в виде суммы, в которой первое слагаемое—^энер гия 7, рассеянная под малыми углами, а второе — энергия 7, рас сеянная под большими углами: 7(х, у, 2, &, ф) = 7 (х, у, г, 0\ ф) + 7(дс, у, 2, &, ф). (4.52) Аналогичным образом можно представить индикатрису рассеяния в прямом направлении. 247 Малоугловое решение ограничивается излучением, рассеянным под малыми углами в прямом направлении; исключение состав ляет случай рассеяния под большим углом, когда рассеянная ра диация направляется назад, к приемнику. Часть уравнения (4.48), ответственная за малоугловое рассеяние, имеет вид ~Ш~ + £ "Ж" + = оо оо ЩРеI ! v ' г ' 11 ’ & х ■ОО—00 — ОО — 0 0 (4.53) где r i = O c o s ^ £ = ф sin <р; 0 2= ( т ) '— т))2+ ( £ '— £)2 — угол рассеяния; ©о[/5(0)/4я] = 2 (aiyt.i/n) ехр [—у/. <®2] — мультигауссово приближение к индикатрисе рассеяния вперед. Имеется решение в виде ряда Неймана для вклада многократ ного малоуглового рассеяния N -го порядка в обратный сигнал моностатического лидара. Это решение включает все комбинации рассеяний вперед и одно рассеяние назад с последующими т = = N — п — 1 рассеяниями вперед на обратном пути к приемнику. Решение ввиде ряда Неймана (или решение в виде суммы по следовательных рассеяний) уравнения (4.53) ищут в виде оо (4.54) где Индекс п означает число малоугловых рассеяний в прямом направ лении, Оп, т — дельта-функция Кронекера. Уравнение (4.55) можно решить аналитически, если применить двумерное преобразование Фурье к / п, определенному следующим образом: i n (x, р, q, г), О = оо оо ЪГ \ J /„ (* , У, г, Т1, С) exp [1(ху + q y ) \d x d y , (4.56) —оо —оо где f = — 1. Затем уравнение (4.55) преобразуют: OZn+l д 1 я» 2 Я * ^ + ( Z n + I • ) I 0 * ( 2 оо — (1 — 6/1. о) Ое (zn+ i) Y j " Г - j i=l + fe' - п + “ ? № + ^ = оо J еХР {— Yf. i [(л' — л)2 + —00— 00 —oo —oo С)2]} i n - 1(Хп, 1), 0 di\ d C 248 (4.57) где z„ и z n+i — координаты точек /t-го и (п + 1) -го рассеяний. Излучение 1(х, у, г, О, <р, /) исходит в виде узкого по времени им пульса и в виде узко коллимированного луча из точки г = — Rc с гауссовым распределением на излучателе. Граничные условия, применимые к основанию облака, должны описать эффекты гауссового распределения луча на излучателе. Они задаются соотно шением: / 0 (2 1 = 0 , р, q, ч, £ ) = - ^ е х р [ — W2+ £2) + 7 (ЛР + £<7) Яо]. (4.58) Из формул (4.57) и (4.58) следует, что для п > О гп+1 ?»(z»+1, р, q, л. £) = \ J n - i ( z n, р, q, Л, £)Х ! г«+1 X ехр i i( [ое — 7 (лр + tq)] dz [- - dz„, (4.59) где / n_ i(z „ , р, q, л, С) = ое (г„) Y , i= 1 1 i n- i ( z a, р, q, л". О Х —00 —00 X ехр {—у/, г [(л' — л)2 + fe — S)2]} di{ . (4.60) Многократно рассеянная радиация проникает в среду до глу бины z = R — Rc, где она рассеивается назад. Индикатриса рас сеяния в обратном направлении может быть представлена мультигауссовой функцией: л)’ + (£' + № (4.61) s= l где (л', %') — направление радиации, распространяющейся вперед, а (л. £) — направление радиации после однократного рассеяния под большим углом, так что (я - 0 ) 2 = (л' + л )2 + (Г + С)2. (4-62) Для излучения, вернувшегося назад, к приемнику, после т мало угловых рассеяний в прямом направлении, выполняется граничное условие S b , o ( R - R c Р, Я, Л. ti = oe ( R - R c) S= 1 ^ оо i оо i X —00 —00 X ' i n i R — Rc, P. q. л’. О exp {—Y&. Л ( л '+ л)2 + (s + с)2]} ^Л • (4.63) Соотношение (4.63) можно трактовать как представление источ ника направленной назад радиации. 249 Радиация, рассеянная назад, должна удовлетворять уравнению, сходному по форме с уравнением (4.57). Из этого следует, что для трансформированного излучения, выходящего из облака в обрат ном направлении после дополнительных т прямых рассеяний, бу дет выполняться условие * - л• с ^ «ч + т + 1 == 0 , i п, т р, ( fj Т), £ ) == ( гп +т X ех р I — j О J n , т — 1 ( ^ n + т> Р» Ц> Л» О X ^ [р — l(r\p + tq )]d z> d zn +m, | (4.64) где / At, т —I {%п + т> р» Ч* Л» £) = 0«(*я + т) ^ оо j j X ” i=l X t . m - i ( 2 n + m, P , 00 —00—00 <7, л/ * n e x p f - Y M K n ' - t ^ + e ' - O T J d n ' d t ' . ( 4 . 65) Радиация, собираемая приемником лидара, будет определяться выражением N-XN-X РN = ^ п= 0 т=0 ( 4 . 66) P n ,m $ n t N — m — h где Рп, т = Ф я|) оо j | j оо | ^ я ,т ( 2 = О, J/, Т], J ) X —ч> —ч*—°° —°° X R (г = о, дг, у , t j, g) dx dy di\ d%, (4.67) a R (z = 0, x, y, tj, £ ) — функция чувствительности приемника. По местим приемник не на оси, а в точке z = —Rc, х = х0, у = уоТогда функция чувствительности приемника на границе облака будет иметь вид R (г = 0, х, у, ti, £) = 6 ^ сЦ ~ ( х ~ _ j I 6 — ( у — У°)Ъ л2+ V < 'Ф2. 68j О, Л2 + С2 > ¥ • Уравнения (4.67) и (4.68) решаются непосредственно через их трансформанты Фурье, так что if) if) оо оо Рп.т = J J j j ?п. m(2 = 0, р, q, ч, Q r ( z — 0, p, q, tl, O X —Ф —00 —°° X d p d q d i \d £ , (4.69) 250 где преобразование функции чувствительности ояисывается выра жением ? (2 = 0, р, q, т), £) = ^ ехр { + ? * . [ , , ( „ + - £ - ) + » ( ; + - g - ) ] } , О, л" + f < Ч>!. г,2 + £2 > ^ 2. (4.70) Аналогичными методами можно исследовать перенос лазерного луча. Для определения характеристик ослабления рассеивающей среды по измерениям ослабления лазерного луча, проходящего в среде, часто пользуются законом Бэра—Бугера, согласно кото рому излучение ослабляется как ехр (—т), где т — оптическая глубина в среде, пройденная лучом. В принципе закон Бэра—Бу гера пригоден лишь для условий, когда в приемник приходит только прямое излучение. Однако вследствие того, что приемник, производящий измерения пропускания, должен иметь конечное поле зрения (т. е. принимать излучение из конуса, конечных раз меров), в детектор вместе с прямым излучением неизбежно по ступает некоторое количество рассеянной радиации. Следова тельно, для выяснения истинных ослабляющих характеристик рас сеивающей среды следует вводить в закон Бэра—Бугера поправку на рассеяние вперед. Задача рассеяния вперед в малоугловом при ближении широко изучалась с помощью ряда методов, таких как метод разложения в ряды, метод интегрирования по бесселевым функциям и метод Монте-Карло. 4.5. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО Метод Монте-Карло был описан выше и по существу неизме нен для любой геометрии. Он использовался в задачах лазерного или прожекторного луча. 4.6. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ В п. 4.4. приведено нестационарное уравнение переноса (4.48). Некоторые авторы решали эту нестацонарную задачу либо с по мощью метода Монте-Карло, либо развитием аналитических мето дов, описанных для стационарного случая. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ II 1. Общий раздел * Вайнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов/Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1961. 732 с. * Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц.— Труды МИАН, вып. 61, 1961. * Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах.— М.: Мир. * Марчук Г. И. Численные методы расчета ядерных реакторов.— М.: Атомиздат, 1958. * Марчук Г. И.. Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса элек тронов— М.: Атомиздат, 1971. 496 с. * Lenoble J. (Ed.), Geleyn J.— F. (Ed.) (1989): IRS-88: Current problems in atmospheric radiation, Deepak Publ., Hampton, 678 p. 1.1. Формулировка задачи. Точное решение Hansen, J. E. (1969): Absorption Line Formation in a Scattering Atmosphere: A Test of Van de Hulst’s Similarity Relations. Astrophys. J., 158, 337—349. Hunt, G. E. (1972): Formation of Spectral Lines in Planetary Atmospheres. Part I: Theory for Cloudy Atmospheres; Application to Venus. /. Quant. Spectros. Radiat. Transfer, 12, 387—404. Hunt, G. E. (1972): Formation of Spectral Lines in Planetary Atmospheres. Part II: Spectroscopic Evidence for the Structure of the Visible Venus Cloud. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 12, 405—419. Regas, J., and C. Sagan (1970)< Line Formation in Planetary Atmospheres. Part I: The Reflecting Model. Comments, Astrophys. Space Phys., 2, 116— 120. Regas, J., and C. Sagan (1970): Line Formation in Planetary Atmospheres. Part II: The Scattering Model. Comments, Astrophys. Space Phys., 2, 138— 143. Sagan, C., and J. Regas (1970): Line Formation in Planetary Atmospheres. Part III: Refinements Due to Inhomogeneity and to Anisotropic Scattering. Com ments, Astrophys. Space Phys., 2, 161—166. Whitehill, L. P., and J. F. Hansen (1973): On the Interpretation of the “In verse Phase Effect” for CO2 Equivalent Widths on Venus. Icarus, 20, 146—152. 1.2. Метод последовательных порядков рассеяния Соболев В. В. Рассеяние света в планетных атмосферах.— М.: Наука, 1972. 335 с. Kawata, Y., and A. Appleby (1974): Erratum. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 14, 243. Uesugi A., and W. M. Irvine (1969): Computation of Synthetic Spectra for a Semi-infinte Atmosphere. /. Atmos. Sci., 26, 973—978. Uesugi, A., and W. M. Irvine (1970): Multiple Scattering in a Plane-parallel Atmosphere. Part J: Successive Scattering in a Semi-infinite Medium. Astrophys. 159, 127— 135. Uesugi, A., and W. M. Irvine (1970): Multiple Scattering in a Plane-parallel Atmosphere. Part II: Curves of Growth for Reflection Spectra. Astrophys. J., 161, 243—254. 252 Uesugi, A., W. M. Irvine, and Y. Kawata (1971): Formation of Absorpjfcipn Spectra by Diffuse Reflection in a Semi-infinite Planetary Atmosphere. /. Quant Spectrosc. Radiat. Transfer, 11, 797—808. (See tabular errata in Kawata and Appleby, 1974.) Van de Hulst, H. C. (1970): High-order Scattering in Diffuse Reflection From a Semi-infinite Atmosphere. Astron Astrophys., 9, 374—379. 1.3. Использование H- или X-, Y-функций Belton, M. J. S. (1968): Theory of the Curve of Growth and Phase Effects in a Cloudy Atmosphere: Application to Venus. /. Atmos. Sci., 25, 596—609. Belton, M. J. S., D. M. Hunten, and R. M. Goody (1968): Quantitative Spec troscopy of Venus in the Region 8000— 11000 A. In The Atmospheres of Venu& and Mars, ed. by J. L. Brandt and М. B. McElroy, Gordon and Breach, New York, pp. 69—97. Chamberlain, J. W. (1965): The Atmospheres of Venus Near Her Cloud Tops. Astrophys. J., 141, 1184—1205. Chamberlain, J. W. (1970): Behavior of Absorption Lines in a Hazy Planetary Atmospheres Astrophys. J 159, 137—158. Chamberlain, J. W., and G. P. Kuiper (1965): Rotational Temperature and Phase Variation of the Carbon Dioxide Bands of Venus Astrophy. J., 124, 399—405. Hansen, J. E. (1969): Absorption Line Formation in a Scattering Atmosphere: A Test of Van de Hulst’s Similarity Relations. Astrophys. J., 158, 337—349. Lenoble, J. (1968): Absorption Lines in the Radiation Scattered by a Plane tary Atmosphere. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 8, 641—654. Van de Hulst,. H. C. (1952) : Scattering in the Atmospheres of the Earth and the Planets. In The Atmospheres of the Earth and Planets, ed. by G. R. Kuiper, 2nd ed., Chicago University Press, Chicago, Illinois, pp. 49—111. Van de Hulst, H. C., and K. Grossman (1968): Multiple Scattering in Pla netary Atmospheres. In The Atmospheres of Venus and Mars, ed. by J. C. Brandt and М. B. McElroy, Gordon and Breach, New York, pp. 35—55. 1.4. Метод исходного значения Buell, J., R. Kalaba, and A. Fymat (1972): An Initial Value Method for the Ambarzumian Integral Equation. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 12, 769—776. 1.5. Представление функции пропускания суммой экспонент Arking, A., and R. Grossman (1972): The Influence of Line Shape and Band Structure on Temperatures in Planetary Atmospheres. /. Atmos. Sci., 29, 937—949. Avrett, E., and D. Hummer (1965): Non-coherent Scattering. II: Line Fotuaation With a Frequency Independent Source Function. Mon. Not. R. Astron. Soc., 130, 295. Bakan, S., P. Koepke, and H. Quenzel (1978): Radiation Calculations in Absorption Bands: Comparison of Exponential Series and Path Length Distribu tion. Contr. Atmos. Phys., 51, 28—30. Cantor, D. G., and J. W. Evans (1970): On Approximation by Positive Sums of Powers. Siam J. Appl. Math., 18, 380—388. Chandrasekhar, S. (1935): The Radiation Equilibrium of the Outer Layer o f a Star With Special Reference to the Blanquening Effect of the Reverse Layer. Mori. Not. R. Astron. Soc., 95, 21. Domato, G. A. (1974): Frequency Integration for Radiative Transfer Pro blems Involving Homogeneous Non-gray Gases: The Inverse Transmission Func tion /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 14, 935—942. Domato, G. A., and W. C. Wang (1974): Radiative Transfer in Homogeneous Non-gray Gases With Non-isotropic Particle Scattering. J. Heat Trans., ASM E Trans., August, 385—390. Hansen, J. E., G. Russel, D. Rind, P. Stone, A. Lacis, S. Lebedeff, R. Ruedy, and L. Travis (1983): Efficient Three-dimensional Global Models for Climate Studies: Models I and II. Mon. Weather Rev., I l l , 609—662. 253 Hunt, G. E., and I. P. Grant (1969): Discrete Space Theory of Radiative Transfer and Its Application to Problems in Planetary Atmospheres. /. Atmos. Sci., 26, 963—972. Kerschgens, M. (1975): Berechnungen der absorption solarer strahlung in der troposphare. Master’s Thesis, University of Cologne, West Germany. Kerschgens, М., E. Raschke, and U. Reuter (1976): The Absorption of Solar Radiation in Model Atmospheres. Contr. Atmos. Phys., 69, 81—97. Lacis, A. A., and J. E. Hansen (1974): A Parameterization for the Absorption •of Solar Radiation in the Earth’s Atmosphere. /. Atmos. Sci., 31, 118— 133. Lacis, A. A., W. C. Wang, and J. E. Hansen (1979): Correlated к Distribution Method for Radiative Transfer in Climate Models: Application to Effect of Cirrus •Clouds on Climate. NASA CP-2029 (E. R. Kreing, ed.), 416 pp. Malkmus, W. (1967): Random Lorenz Band Model With Exponential Tailed S _1 Line Intensity Distribution Function. /. Opt. Soc. Am., 51, 323—329. Raschke, E., and U. Stucke (1973): Approximations of Band Transmission Functions by Finite Sums of Exponential. Contr. Atmos. Phys., 46, 203—212. Wang, W. C., and P. B. Ryan (1983): Overlapping Effect ofAtmospheric H 20 , C 02 and 0 3 on the C 02 Radiative Effect. Tellus, 35B, 81—91. Wiscombe, W. J., and J. W. Evans (1977): Exponential-sum Fitting of Radia tive Transmission Function. /. Comp. Phys., 24, 416—444. Yamamoto, G., M. Tanaka, and S. Asano (1970): Radiative Transfer in Water Clouds in the Infrared Region. /. Atmos. Sci., 27, 282—292. 1.6. Распределение no длинам пробегов Дианов-Клоков В. И., Озеренский А. П. Расчет плотности лучистой энер гии и эквивалентные траектории для некоторых облачных моделей.— Известия АН СССР. ФАО, 1977. т. 13, с. 315. Дианов-Клоков В. И., Евстратов Н. А., Малков И. П., Озеренский А. П. Рас чет диапазона распределения фотонов и эффективная длина пробега фотонов для некоторых двухслойных облачных моделей.— Известия АН СССР, ФАО, 1974, т. 10, с. 728. Каргин Б. А., Краснокутская Л. Д., Фейгельсон Е. М. Отражение и погло щение энергии солнечного излучения облачными слоями.— Известия АН СССР, ФАО, 1972, т. 8,. с. 505. Романова Л. М. Распределение фотонов по длинам пробегов в плоском слое однородной мутной среды.— Известия АН СССР, ФАО, 1965, т. 1, с. 1022. Романова Л. М. Предельные случаи функции распределения фотонов по длинам пробегов.— Известия АН СССР, ФАО, 1965. т. 1, с. 599. Романова Л. М. Нестационарное световое поле в глубине мутной среды, освещенной узким лучом.— Известия АН СССР, ФАО, 1965, т. 1, с. 599. Романова Л. М. Нестационарное световое поле в глубине мутной среды, освещенной узким лучом.— Известия АН СССР, ФАО, 1969, т. 5, с. 463. Appleby, J. F., and W. М. Irvine (1973): Path Length Distributions of Pho tons Diffusely Reflected From a Semi-infinte Atmosphere. Astrophys. /., 183, 337. Bakan, S., and H. Quenzel (1976): Path Length Distribution of Photons Scattered in Turbid Atmospheres. Contr. Atmos. Phys., 49, 272—284. Bakan, S., and H. Quenzel (1978): Calculation of Atmospheric Water Vapor Absorption Including Multiple Scattering. Contr. Atmos. Phys., 51, 15—27. Bellman, R., R. E. Kalaba, and J. A. Lockett (1966): Numerical Inversions of the Laplace Transform. American Elsevier Publishing Co., New York. Chamberlain, J. W., and H. B. McElroy (1966): Diffuse Reflection by an In homogeneous Planetary Atmosphere. Astrophys. I., 144, 1148. Fouquart, Y. (1974): Utilisation des approximants de Pade pour Fetude des largeurs equivalentes des raies formees en atmosphere diffusante. I. Quant. Spec trosc. Radiat. Transfer, 14, 497. Fouquart, Y. (1975): Contribution a l’etude des Spectres Reflechis par les Atmospheres Planetaires Diffusantes: Application a Venus. Thesis, Universite des Sciences et Techniques de Lille, 12 mars 1975, 225 pp. Fouquart, Y., B. Bonnel, and J. J. Morcrette (1976): Parameterization of Fluxes and Heating Rates in a Cloudy Atmosphere. Proc. Symp. Radiation in the 254 Atmosphere, Garmisch-Partenkirchen. FRG, 19—28 August (H. J. Bolle, *ed.), Science Press, Princeton, 483—485. Fouquart, Y., and J. Lenoble (1973): Formation des raies spectrales et etude des courbes de croissance dans une atmosphere diffusante semi-infinite. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 13, 447. Heinrich, M. (1972): Transmission und Absorption von Volken unter Berucksichtigung der Tropfen und Banden Absorption. Ph. D. Thesis, University of Kiel. Irvine, W. M. (1964): The Formation of Absorption Band and the Distribu tion of Photon Optical Paths in Scattering Atmosphere. Bull. Astron. Inst. Neth. 17, 266. Irvine, W. M. (1966): The Distribution of Photon Optical Paths in a Scatter ing Atmosphere. Astrophys. I., 144, 1140. Irvine, W. M. (1967): Absorption Bands and Optical Paths in a Nonconser vative Scattering Atmosphere. Astrophys. J., 167, 1193. Irvine, W. M. (1968): Diffuse Reflection and Transmission by Clouds ancF Dust Layers. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 8, 471. Penner, S. S. (1959): Quantitative Molecular Spectroscopy and Gas Emissivities. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts, 587 pp. 1.7. Вероятностное распределение поглощающего вещества Buriez, J. С., and Y. Fouquart (1980): Generalization of the Curtis-Godson Approximation to Inhomogeneous Scattering Atmospheres. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 24, 407—419. Fouquart, Y., and B. Bonnel (1979): Computations of Solar Heating of the Earth’s Atmosphere: A New Parameterization. Contr. Atmos. Phys., 53, 35—62. Geleyn, J.-F., and A. Hollingsworth (1979): An Economical Analytical Method for the Computation of the Interaction Between Scattering and Line Absorption of Radiation. Contr. Atmos. Phys., 52, 1— 16. 2.2. Однородные атмосферы над неоднородной подстилающей поверхностью Малкевич М. С. Влияние неоднородной подстилающей поверхности на све торассеяние в атмосфере.— Известия АН СССР, сер. геофиз., 1957, с. 628—643. Малкевич М. С. Влияние горизонтальных изменений альбедо подстилающей поверхности на светорассеяние в однородной атмосфере.— Известия АН СССР, сер. геофиз., с. 995— 1005. Малкевич М. С. Приближенный метод включения горизонтальных измене ний альбедо подстилающей поверхности в задачах атмосферного светорассея ния.— Известия АН СССР, сер. геофиз., 1960, с. 288—298. Малкевич М. С. Влияние неортотропной подстилающей поверхности на све торассеяние в атмосфере.— Известия АН СССР, ср. геофиз., 1960, с. 440—447. Deschamps, P. Y., М. Herman, J. Lenoble, D. Tanre, and M. Viollier (1980): Atmospheric Effects in Remote Sensing of Ground and Ocean Reflectances. In Remote Sensing of Atmospheres and Oceans, ed. by A. Deepak, Academic Press, New York, pp. 115— 148. Kaufman, Y. J. (1979): Effect of the Earth’s Atmosphere on Contrast for Zenith Observation. /. Geophys. Res., 84, 3165—3172. Kaufman, Y. J. (1982): Solution of the Equation of Radiative Transfer for Remote Sensing Over Nonuniform Surface Reflectivity. /. Geophys. Res., 87, 4137—4147. Kaufman, Y. J., and J. M. Joseph (1982): Determination of Surface Albedos and Aerosol Extinction Characteristics From Satellite Imagery. /. Geophys. Res., 87, 1287— 1299. Mekler, Y., and Y. J. Kaufman (1980): The Effect of Earth’s Atmosphere on Contrast Reduction for a Nonuniform Surface Albedo and “Two Halves” Field. /. Geophys. Res., 85, 4067—4083. Odell, A. P., and J. A. Weinman (1975): The Effect of Atmospheric Haze on Images of the Earth’s Surface. I. Geophys. Res., 80, 5035—5040. Tanre, D., M. Herman, and P. Y. Deschamps (1981): Influence of the Back ground Contribution Upon Space Measurements of Ground Reflectance. Appl. Opt 20, 3676—3684. 255 Tanre, D., M. Herman, and P. Y. Deschamps (1983): influence of the Atmos phere on Space Measurements of Directional Properties. Appl. Opt., 22, 733—741. Tanre, D., M. Herman, P. Y. Deschamps, and A. deLeffe (1979): Atmospheric .Modeling for Space Measurements of Ground Reflectances, Including Bidirectional Properties. Appl. Opt., 18, 3587—3594. Ueno, S. (1977): Contrast Transmittance at the Top of an Atmosphere Bound ed by a Horizontally Nonuniform Diffuse Reflector. Proc. 10th Lunar and Pla netary Symposium, Tokyo, 11—13 July, pp. 166—170. Ueno, S., Y. Haba, Y. Kawata, T. Kusaka, and Y. Terashita (1978): The At mospheric Blurring Effect on Remotely Sensed Earth’s Imagery. In Remote Sens ing of the Atmosphere: Inversion Methods and Applications, ed by A. L. Fumat and V. E. Zvev, Elsevier Science Publishing Co., Amsterdam, pp. 305—319. Van Blerkom, D. J. (1971): The Effect of Haze on the Visibility of Martian Surface Features. Icarus, 14, 235—244. 2.3. Атмосферы с горизонтальной неоднородностью Романова Л. М. Перенос радиации в горизонтально неоднородной рассеи вающей среде.— Известия АН СССР. ФАО, 1975, т. 11, с. 809—819. Романова Л. М. Принципы инвариантности для горизонтально неоднородной мутной среды.— Известия АН СССР. ФАО, 1976, т. 12, с. 820—833. Романова Л. М. Асимптотика интенсивности света в горизонтально неод нородных рассеивающих слоях.— Известия АН СССР. ФАО, т. 14, с. 170—176. Романова Л. М., Тарабукина Т. М. Отражение света однородным облаком при горизонтально неоднородном освещении.— Известия АН СССР. ФАО, 1980, т. 16, с. 1163—1172. Романова Л. М., Тарабукина Т. М. Отражение света освещенным солнцем горизонтально неоднородным облаком.— Известия АН СССР. ФАО, 1981, т. 17, с. 27—38. Bellman, R., R. Kalaba, and S. Ueno (1963): Invariant Imbedding and Diffuse Reflection From a Two-dimensional Flat Layer. Icarus, 1, 297—303. Jefferies, J. T. (1955): Radiative Transfer in Two Dimensions. Opt. Acta, 2, 163— 167. Ueno, S. (1976): Invariant Imbedding and Diffuse Reflection of Radiation by Multidimensional Slabs. Memoirs of KANZAWA Institute of Technology, A№6, Ogigaoka Nonoichi, Ishikawa, Japan, June, 41 pp. 2.4. Облака конечных размеров Arduini, R. F. (9177): Application of the Diffusion Approximation to the Transfer of Visual Radiation in Clouds of Finite Size. M. S. Thesis, George Wa shington University, Washington, DC, 33 pp. Davies, R. (1976): The Three-dimensional Transfer of Solar Radiation in Clouds. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison 220 pp. Davies, R. (1978): The Effect of Finite Geometry on the Three-dimensional Transfer of Solar Irradiance in Clouds. /. Atmos. Sci., 35, 1712—1725. Davies, R., and J. A. Weinman (1976): Results from Two Models of the Three-dimensional Transfer of Solar Radiation in Finite Clouds. Proc. of Symp. on Radiation in the Atmosphere, Garmisch Partenkirchen, ed. by H. J. Bolle, Science Press, Princeton, pp. 225—227. Giovanelli, R. G. (1959): Radiative Transfer in Nonuniform Media. Aust. J. Phys., 12, 164— 170. Harshvardhan, J. A. Weinman, and R. Davies (1981): Transport of Infrared Radiation in Cuboidal Clouds. /. Atmos. Sci., 38, 2500—2513.. Joseph, J. H., W. J. Wiscombe, and J. A. Weinman (1976): Solar Flux Transfer Through Turbid Atmospheres Evaluated by the Delta-Eddington Approximation. /. Atmos. Sci., 33, 2452—2459. Liou, K. N., and S. C. Ou (1979): Infrared Radiative Transfer in Finite Cloud Layers. /. Atmos. Sci., 36, 1985—1996. Ou, S. C., and K. N. Liou (1980): Numerical Experiments on the Helmholtz Equation Derived From the Solar Radiation Transfer Equation in Three-dimensio nal Space. Appl. Math. Comput., 7, 155—175. 256 Varma, S. К. S. (1977): Solar Radiation Transfer in Two-dimensional Clouds. Ph. D. Thesis, University of Utah, Salt Lake City, Utah. Varma, S. K. S. (1978): Solar-radiation Transfer in Two-dimensional Clouds: Y-approximation. Proc. 3rd Radiation Conference AMS, Davis, California. Weinman, J. A., Harshvardhan, and W. S. Olson (1981): Infrared Radiation Emerging From Smoke Produced by Brush Fires. Appl. Opt., 20, 199—206. 2.5. Поле разорванных облаков Авасте О. А., Вайникко Г. М. В кн.: Светящиеся облака — оптические свой ства.— Таллинн, 1973, с. 98— 117. Авасте О. А., Вайникко Г. М. Результаты расчетов потоков солнечной ра диации, отраженной и пропущенной разорванными облаками.— Труды МГК СССР, сер. Метеорология, 1973, с. 52—84. Авасте О. А., Вайникко Г. М. Перенос солнечной радиации в разорванных облаках.— Известия АН СССР. ФАО, 1974, т. 10, с. 1054— 1061. Алленов М. И., Чубаков Л. Г., Кууск А. Б. Стохастическая структура лачных и радиационных полей — Труды ИФА АН СССР, 1972. Вайникко Г. М. Уравнение средней интенсивности радиации в разорванных, облаках.— Труды МГК СССР, Метеорология, 1973, т. 21, с. 28—51. Вайникко Г. М., Карпенко Л. С., Шильман А. А. Решение интегрального уравнения с экспоненциальным ядром.— Труды АН ЭССР, сер. физ. и мат., т. 25, 1976, с. 118—123. Глазов Г. Н., Титов Г. А. Уравнение корреляционной функции для интен сивности радиации в разорванных облаках.— Изв. АН СССР, ФАО 1976, т. 12. с. 963—968. * Левин Б. Р. Теоретические основы статической радиотехники. Кн. 1.— М Советское радио, 1969. 752 с. Мулламаа У. А. Р., Сулев М. А., Пылдмаа В. К. и др. Стохастическая струк тура облачных и радиационных полей.— Труды ИФА АН ЭССР, 1972. Нийлиск X. И. Тепловое излучение атмосферы в условиях частичной облач ности.— Изв. АН СССР, ФАО, 1968, т. 4, с. 383—396. Нийлиск X. И. Вычисление средних нисходящих потоков радиации в атмо сфере больших территорий — Изв. АН СССР, ФАО. 1968, т. 4, с. 518—524. Нийлиск X. И. Облачные характеристики в задачах радиационной энерге тики в атмосфере Земли.— Изв. АН СССР, ФАО, 1972, т. 8, с. 270—281. Clauben, М. (1982): On the Radiative Interaction in Three-dimensional Cloud Fields. Contr. Atmos. Phys., 55, 158—169. Gube, М., J. Schmetz, and E. Raschke (1980): Solar Radiative Transfer in a Cloud Field. Contr. Atmos. Phys., 53, 24—34. Harshvardhan, and J. A. Weinman (1982): Infrared Radiative Transfer Through a Regular Array of Cuboidal Clouds. /. Atmos. Sci., 39, 431—439. Levine, B. (1973): (In French) Theoretical Basis of the Statistical Radiotech nique. Tome 1, Mir, Moscow. O’Neill, E. L. (1963): Introduction to Statistical Optics. Reading, Palo Alto, London. Planck, V. G. (1969): The Size Distribution of Cumulus Clouds in Represen tative Florida Populations. I. Appl. Meteor., 8, 56—67.. Weinman, J. A. and Harshvardhan (1982): Solar Reflection From a Regular Array of Horizontally Finite Clouds. Appl. Opt., 21, 2940—2944. 2.6. Метод Монте-Карло (облака) Бусыгин В. П., Евстратов Н. А., Фейгельсон Е. М. Оптические свойства ку чевых облаков и радиационных потоков для кучевого облачного покрова.— Изв. АН СССР. ФАО, 1973, т. 9, с. 1142—1151. Aida, М. (1977): Scattering of Solar Radiation as a Function of Cloud Di mensions and Orientation. I. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 17, 303—310. Appleby, J. F., and D. J. Van Blerkom (1975): Absorption Line Studies of Reflection From_Horizontally Inhomogeneous Layers. Icarus, 24, 51. Davies, R. (1975): Three-dimensional Transfer of Solar Radiation in Ter restrial Clouds. Second Conf. on Atmos. Rad., 29—31 October, Arlington, Virginia,. Amer. Meteor. Soc., 239 pp. 17 Зак. № 119 257 Davies, R. (1976): The Three-dimensional Transfer of Solar Radiation in Clouds. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison, 220 pp. Davies, R. (1978): The Effect of Finite Geometry on the Three-dimensional Transfer of Solar Irradiance in Clouds. /. Atmos. Sci., 35, 1712—1725. Ebel, D. М., and Т. B. McKee (1983): Diurnal Radiance Patterns of Finite and Semi-infinite Clouds in Observations of Cloud Field. /. Clim. Appl. Meteor., 22, 1056—1064. McKee, Т. B., and S. K. Cox (1974): Scattering of Visible Radiation by Finite Clouds. /. Atmos. Sci., 31, 1885—1892. McKee, Т. B., and J. T. Klehr (1977): Radiative of Cloud Geometry. Proc. of the Symposium Radiation in the Atmosphere, Garmisch Partenkirchen FRG, 19— 28 August 1976, ed. by H. J. Bolle, pp. 217—219. McKee, Т. В., M. DeMaria, J. A. Kuenning, and S. K. Cox (1983): Compari son of Monte Carlo Calculations With Observations of Light Scattering in Finite Clouds. J. Atmos. Sci., 40, 1016—1023. Van Blerkom, D. J. (1971): Diffuse Reflection From Clouds With Horizontal Inhomogeneities. Astrophys. I., 166, 235. Welch, R. М., and W. G. Zdunkowski (1981): The Effect of Cloud Shape on Radiative Characteristics. Contr. Atmos. Phys., 54, 482—491. Welch, R. М., and W. G. Zdunkowski (1981): The Radiative Characteristics of Noninteracting Cumulus Cloud Fields, Part I: Parameterization for Finite Clouds. Contr. Atmos. Phys., 54, 258—272. Part II: Calculations for Cloud Field. Contr. Atmos. Phys., 54, 273—285. 3.1. Сферические планетные атмосферы — общий анализ Соболев В. В., Рассеяние света в атмосферах планет.— М.: Наука, 1972. 335 с. Lenoble, J., and Z. Sekera (1961): Equation of Radiative Transfer in a Pla netary Spherical Atmosphere. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 47, 372—378. 3.2. Однократное рассеяние (сферические атмосферы) Минин И. Н. Рассмотрение рефракции в задачах оптики планетных атмо сфер.— Изв. АН СССР. ФАО. 1974, т. 9, с. 929—836. Фесенков Ф. Г. О теории яркости дневного неба в случае сферической земли.— Астрономический журнал, 1955, т. 32, с. 265—281. Adams, С. N., G. N. Plass, and G. W. Kattawar (1974): The Influence of Ozone and Aerosols on the Brightness and Color of the Twilight Sky. /. Atmos. Sci., 31, 1662—1674. Dave, J. V., and C. L. Mateer (1968): The Effect of Stratospheric Dust on the Color of the Twilight Sky. /. Geophys. Res., 73, 6897—6913. Hulburt, E. O. (1953): Explanation of the Brightness and Color of the Sky Particularly the Twilight Sky. /. Opt .Soc. Am., 43, 113—118. 3.3. Инвариантное вложение Bailey, P. B. (1964): A Rigorous Derivation of Some Invariant Imbedding Equations of Transport Theory, /. Math. Analy. Appl., 8, 144— 169. Bellman, R. E., H. H. Kagiwada, and R. E. Kalaba (1966): Invariant Imbed ding and Radiative Transfer in Spherical Shells. /. Comp. Phys., 1, 245—256. Bellman, R. E., H. H. Kagiwada, and R. E. Kalaba (1969): DiffuseReflection of Solar Rays by a Spherical Shell Atmosphere. Icarus, 11, 417—423. Ueno, S., H. H. Kagiwada, and R. E. Kalaba (1969): Radiative Transfer in Spherical Shell Atmospheres With Radial Symmetry. Report RM 6061 P. R., The Rand Corporation, Santa Monica,, California. 3.4. Приближенные аналитические методы (сферические атмосферы) Гермогенова Т. А., Копрова Л. И., Сушкевич Т. А. Изучение угловой, про странственной и спектральной структуры поля яркости Земли для репрезента тивной модели сферической атмосферы.— Изв. АН СССР. ФАО, 1969, т. с. 1266—1277. 258 Минин И. Н., Соболев В. В. Рассеяние света в сферической атмосфере. I.— Искусственные спутники Земли, № 14. Минин И. Н., Соболев В. В. О теории светорассеяния в планетных атмо сферах.— Астрономический журнал. 1963, т. 40, с. 496. Минин И. Н., Соболев В. В. Светорассеяние в сферической атмосфере.— Космические исследования, 1963, т. 40. с. 496. Минин И. Н., Соболев В. В. Светорассеяние в сферической атмосфере.— Космические исследования, 1963, т. 1, с. 267. Минин И. Н., Соболев В. В. Светорассеяние в сферической атмосфере. III.— Космические исследования, 1964. т. 2, с. 610. Смоктий О. И. Многократное рассеяние света в однородной сферически сим метричной планетной атмосфере.— Изв. АН СССР. ФАО, т. 3, № 3, с. 245—257. Смоктий О. И. Многократное рассеяние света в неоднородной сферическисимметричной атмосфере.— Изв. АН СССР, ФАО, т. 3, № 5, 1967, с. 496. Смоктий О. И. Светорассеяние в сферической атмосфере, содержащей аэро золи.— Изв. АН СССР. ФАО, 1969, т. 5, с. 1, 46—62. * Смоктий О. И. Моделирование полей излучения в задачах космическо спектрофотометрии.— Л.: Наука, 1986. 352 с. Соболев В. В. Рассеяние света в планетных атмосферах.— М.: Наука, 1972335 с. 3.5. Метод Монте-Карло (сферические атмосферы) Ануфриев В. С., Назаралиев М. А. Новая модификация метода Монте-Карло для решения задач теории светорассеяния в сферической атмосфере.— Изв. АН СССР. ФАО, 1973, т. 9. с. 820—828. Марчук Г. И., Михайлов Г. И. Результаты решения некоторых задач атмо сферной оптики методом Монте-Карло.— Изв. АН СССР. ФАО, 1967, т. 3,. с. 394—401. Михайлов Г. А.. Назаралиев М. А. Расчеты поляризации света в сфериче ской атмосфере методом Монте-Карло.— Изв. АН СССР. ФАО, 1971, т. 7, с. 377—395. Назаралиев М. А.. Сушкевич Т. А. Расчеты характеристик поля многократно рассеянной радиации в сферической атмосфере.— Изв. АН СССР. ФАО, 1975, т. И, с. 705—717. Adams, С. N., and G. W. Kattawar (1978): Radiative Transfer in Spherical Shell Atmospheres: I. Rayleigh Scattering. Icarus, 35, 139— 151. Collins, D. G., W. G. Blattner, W. B. Wells, and H. G. Horak (1972): Back ward Monte Carlo Calculations of the Polarization Characteristics of the Radiation Emerging From Spherical Shell Atmospheres. Appl. Opt., 11, 2684—2696. Kattawar, G. W., and C. N. Adams (1978): Radiative Transfer in Spherical Shell Atmospheres: II. Asymmetric Phase Functions. Icarus, 35, 436—449. 3.6. Решение неплоскопараллельных задач методом DART Gray, С. R., H. L. Malchow, D. C. Merritt, R. E. Var, and С. K. Whitney (1973): Aerosol Physical Properties from Satellite Horizon Inversion. NASA Con tractor Report 112311. Gray, C. R., R. E. Var, and С. K. Whitney (1973): Space Shuttle Ultraviolet Horizon Report. NASA Report on Contract NASA 9-4065, Task 24A. Newell, R. E., and C. R. Gray (1972): Meteorological and Ecological Moni toring of the Stratosphere and Mesosphere. NASA Contractor Report-2094. Whitney, C. (1972): Implications of a Quadratic Stream Definition in Radia tive Transfer Theory. /. Atmos. Sci., 29, 1520—1530. Whitney, C. (1974): Efficient Stream Distributions in Radiative Transfer Theory. I. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 14, 591—611. Whitney, С. K., R. E. Var, and C. R. Gray (1973): Research into Radiative Transfer Modeling and Applications. AFCRL Contractor Report AFCRL-TR-73-0420. 4.1. Освещение узким коллимированным лучом — общая формулировка Chandrasekhar, S. (1958): On the Diffuse Reflection of a Pencil of Radiation by a Plane Parallel Atmosphere. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 44. 933—940. 17* 259 4.2. Уравнение для моментов (узкий луч) Браво-Животовский Д. М., Долин Л. С., Лучинин А. Г., Савельев В. А. Структура узкого светового луча в морской воде.— Изв. АН СССР. ФАО, 1969, т. 5, с. 160—167. Романова Л. М. Световое поле в глубоких слоях мутной среды, освещенлой узким лучом.— Изв. АН СССР. ФАО. 1968, т. 4, с. 311—320. Романова Л. М. Световое поле в пограничном слое мутной среды с силь ным анизотропным рассеянием, освещенной узким лучом.— Изв. АН СССР. ФАО, 1968, т. 4, с. 1185—1195. Романова Л. М. Некоторые характеристики светового поля, генерированного точечным коллимированным стационарным источником света, в облаках и ту манах.— Изв. АН СССР. ФАО, 1971, т. 7, с. 1153— 1162. 4.3. Инвариантное вложение и принципы инвариантности (узкий луч) Романова Л. М. Эффективный размер светового пятна на границах тол стого мутного слоя, освещенного узким лучом.— Изв. АН СССР. ФАО, 1971, т. 7, с. 410—420. Романова Л. М. Отражение и пропускание узкого светового луча толстым слоем мутной среды с изотропным рассеянием и поглощением.— Изв. АН СССР. ФАО, 1973, т. 9, с. 198—203. Соболев В. В., Рассеяние радиации в среде большой оптической толщины с анизотропным рассеянием.— Доклады АН СССР, 1968, т. 178, № 1. Bellman, R., R. Kalaba, and S. Ueno (1962): Invariant Imbedding and Dif fuse Reflection of Radiation From a Collimated Point Source. I and II, Rand Cor poration RM-3141 ARPA, Santa Monica, California. Bellman, R., R. Kalaba, and S. Ueno (1962): Invariant Imbedding and Diffuse Reflection of Padiation From a Collimated Point Source. Ill, Rand Corporation RM-3165 ARPA, Santa Monica, California. Bellman, R., R. Kalaba, and S. Ueno (1963): On the Diffuse Reflection of Parallel Rays by an Inhomogeneous Flat Layer as a Limiting Process. /. Math. Analy. Appl., 7, 91—99. Chandrasekhar, S. (1958): On the Diffuse Reflection of a Pencil of Radiation by a Plane Parallel Atmosphere. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 44, 933—940. 4.4. Рассеяние в прямом и обратном направлении в малоугловом приближении (узкий луч) Браво-Животовский Д. М., Долин А. С., Лучинин А. Г., Савельев В. А. Структура узкого светового луча в морской воде.— Изв. АН СССР, ФАО, 1969, т. 5, с. 160— 167. * Долин Л. С. Рассеяние светового луча в слое облачной среды.— Изв ВУЗов, Радиофизика, 1964, т. 7, с. 380—382. Долин Л. С. Распространение узкого светового луча в среде с сильным ани зотропным рассеянием.— Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1966, т. 9, с. 67—71. Долин Л. С. О распространении узкого светового луча в среде с сильным анизотропным рассеянием.— Изв. ВУЗов, Радиофизика, т. 9, 1966, № 1, с. 61—71. Arnush, D. (1972): Underwater Light Beam Propagation in the Small-anglescattering Approximation. /. Opt. Soc. Am., 62, 1109—1111. Box, M. A., and A. Deepak (1981): Small-Angle Approximation to the Transfer of Narrow Laser Beams in Anisotropic Scattering Media. NASA Contractor Re port 3407. Box, M. A., and A. Deepak (1981): Limiting Cases of the Small-angle-Scattering Approximation Solutions for the Propagation of Laser Beams in Anisotropic Scattering Media. /. Opt. Soc. Am., 71, 1534— 1539. Bucher, E. A. (1973): Computer Simulation of Light Pulse Propagation for Communication Through Thick Clouds. Appl. Opt., 12, 2391—2400. Bucher, E. A., and R. M. Lerner (1973): Experiments on Light Pulse Com munication and Propagation Through Atmospheric Clouds. Appl. Opt., 12, 2401—2414. Deepak, A., and U. O. Farrukh (1984): Multiple Scattering Effects for Laser Beam Propagation in Snow. Proc. of S P IE , Vol. 414, 103— 107. 260 Deepak, A., U. O. Farrukh, and A. Zardecki (1982): Significance of Higher Order Multiple Scattering for Laser Beam Propagation Through Hazes, Fogs, and Clouds. Appl. Opt., 21, 439—447. Deepak, A., A. Zardecki, U. O. Farrukh, and M. A. Box (1982): Multiple Scattering Effects of Laser Beams Traversing Dense Aerosols. In Atmospheric Aerosols: Their Formation, Optical Properties and Effects, Spectrum Press, Hamp ton, Virginia, pp. 185—225. Fante, F. L. (1973): Propagation of Electromagnetic Waves Through Tur bulent Plasma Using Transparent Theory, IE E E A&P, 21, 750—755. Heggestad, H. M. (1971): Multiple Scattering Model for Light Transmission Through Optically Thick Clouds. /. Opt. Soc. Am., 61, 1293—1300. Mooradian, G.. С., M. Geller, L. B. Stotts, D. H. Stephens, and R. A. Krautwald (1979): Blue-green Pulse Propagation Through Maritime Fogs. Appl. Opt., IS, 429—448. Scott, W. T. (1963): The Theory of Small-angle Multiple Scattering of Fast Charged Particles. Rev. Mod. Phys., 35, 231—313. Shipley, S. T. (1978): The Measurement of Rainfall by Lidar. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison. Stotts, L. B. (1977): The Radiance Produced by Laser Radiation Traversing a Particulate Multiple-scattering Medium. J. Opt. Soc. Am., 67, 815—819. Stotts, L. B. (1979): Limitations of Approximate Fourier Techniques in Solv ing Radiative Transfer Problems. /. Opt. Soc. Am., 69, 1719— 1723. Tam, W. G., and A. Zardecki (1979): Light Beam Propagation in Particulate Media. /. Opt. Soc. Am., 69, 68—70. Tam, W. G., and A. Zardecki (1979): Multiple Scattering of a Laser Beam by Radiational and Advective Fogs. Opt. Acta, 26, 659—670. Tam, W. G., and A. Zardecki (1979): Iterative Method for Treating Multiple Scattering in Fogs. Can J. Phys. 57, 1301—1308. Tam, W. G., and A. Zardecki (1982): Multiple Scattering Corrections to the Beer-Lambert Law; 1. Open Detector. Appl. Opt., 21, 2405—2412. Weinman, J. A. (1976): Effects of Multiple Scattering on Light Pulses Ref lected by Turbid Atmospheres. /. Atmos. Sci., 33, 1763—1771.1 Weinman, J. A. (1984): A Review of the Theory of Multiple Scattering of Lidar Beams in Clouds. In Clouds: Their Formation, Optical Properties and E f fects, Academic Press, New York. Weinman J. A., and S. T. Shipley (1972): Effects of Multiple Scattering on Laser Pulses Transmitted Through Clouds. /. Geophys. Res., 77, 7123—7128. Weinman, J. A., J. T. Twitty, S. R. Browning, and В. M. Herman (1975): Derivation of Phase Functions for Multiply Scattered Sunlight Transmitted Through a Hazy Atmosphere. /. Atmos. Sci., 32, 577—583. Zardecki, A., and A. Deepak (1983): Forward Multiple Scattering Corrections as a Function of the Detector Field of View. Appl. Opt., 22, 2970—2976. 4.5. Метод Монте-Карло (узкий луч) Зеге Е. П., Иванов А. П., Каргин Б. А., Кацев И. Л. Коэффициенты осла бления и рассеяния водной среды или атмосферы От кратковременного расшире ния отраженного пульсирующего сигнала.— Изв. АН СССР. ФАО, 1971. т. 7, с. 750—757. Aruga, Т., Т. Igarashi (1981): Narrow Beam Light Transfer in Small Par ticles: Image Blurring and Depolarization. Appl. Opt., 20, 2698—2705. Blattner, W. G., D. G. Collins, and М. B. Wells (1974): The Effects of Mul tiple Scattering on Backscatter Lidar Measurements in Fog. Radiation Research Associates, Inc., Fort Worth, Texas. Project Report RRA-T 7402. Bucher, E. A. (1971): Monte Carlo Simulation of Light Pulse Propagation Through Thick Clouds. /. Opt. Soc. Am., 61, 1549. Bucher, E. A. (1973): Computer Simulation of Light Pulse Propagation for Communication Through Thick Clouds. Appl. Opt., 12, 2391—2400. Collins, D. G., and М. B. Wells (1965): Monte Carlo Codes for the Study of Light Transport, Vols. 1 and 2. Radiation Research Associates, Inc., Fort Worth, Texas. Project Report RRA-T 54. 261 Kunkel, К. E. (1974): Monte Carlo Analysis of Multiple Scattered Lidar Returns. M. S. Thesis, Department of Meteorology, University of Wisconsin, Ma dison, 91 pp. Kunkel, К. E., and J. A. Weinman (1976): Monte CarloAnalysis ofMultiple Scattered Lidar Returns. /. Atmos. Sci., 33, 1772—1781. Plass, G. N.. and G. W. Kattawar (1971): Reflection of LightPulses From Clouds, Appl. Opt., 10, 2304—2310. Zuev, V. E., G. G. Zadde, G. G. Matvienko, and A. I. Popkov (1974): Remote Sounding of Hydrometeors With a Polarizing Lidar. Sixth Conf. on Laser Radar Studies of the Atmosphere, Sendai, Japan. 4.6. Нестационарные задачи (узкий луч) Зеге Е. П., Иванов А. П., Каргин Б. А., Катцев И. Л. Коэффициенты осла бления и рассеяния водной среды или атмосферы от кратковременного расши рения отраженного пульсирующего сигнала.— Изв. АН СССР. ФАО, 1971, т. 7, с. 750—757. Кочетков В. М. Рассеяние в обратном направлении узкого луча радиации в мутной среде.— Изв. АН СССР. ФАО, 1970, т. 6. с. 591—603. Bellman, R., R. Kalaba, and S. Ueno (1963): Invairant Imbedding and Timedependent Diffuse Reflection of a Pencil of Radiation by a Finite Inhomogeneous Flat Layer. /. Math. Analy. App., 7, 310—321. Bucher, E. A. (1973): Computer Simulation of Light Pulse Propagation for Communication Through Thick Clouds. Appl. Opt., 12, 2391—2400. Cai, Q., and K. N. Liou (1981): Theory of Time-dependent Multiple Backscattering From Clouds. /. Atmos. Sci., 38, 1452—1466. Matsumoto, M. (1980): The Similarity Principle in the Non-stationary Radia tion Field. Publ. Astron. Soc. Japan, 32, 629—638. Разное (узкий луч) Кацев И. Л. Отражение узкого светового луча от однородной изотропно рассеивающей среды — Изв. АН СССР. ФАО, 1972, т. 10, с. 425—430. Beckett, P., P. J. Foster, V. Hutson, and R. L. Moss (1974): Radiative Transfer for a Cylindrical Beam Scattered Isotropically. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans fer, 14, 1115— 1125. Eloranta, E. W. (1972): Calculation of Doubly Scattered Lidar Returns. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison, 115 pp. Liou, K. N., and R. M. Shotland (1971): Multiple Backscattering and Depo larization From Water Clouds for a Pulsed Laser. /. Atmos. Sci., 28, 772—784. Rybicki, G. B. (1971): The Searchlight Problem With Isotropic Scattering. /. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 11, 827—849. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Альбедо 23. 75 — однократного рассеяния 21 — сферическое 23 Вектор-параметр Стокса 22, 156 Вычислительное время 43, 47, 54, 56, 66, 92 Газовое поглощение 184 Горизонтально неоднородные атмосферы 198 Граничные условия 24 Двухпотоковое приближение 65, 75, 115 Дивергенция потока 23 Дискретные ординаты 47, 92 Задача Милна 38, 68, 84 Изотропия 21 Инвариантное вложение 63, 68, 204, 229, 1 Индикатриса рассеяния 21, 155 -------Хеньи—Гринстейна 90 Квадратичная формула Гаусса 47 Конечные разности 58, 92, 128 Консервативный случай 21 Коэффициент ослабления 21 — поглощения 21 — рассеяния 21 Лазерное излучение 235 Линия поглощения 184 Луч прожектора 235 Малоугловое приближение 80 Матрица отражения 26 Матрица пропускания 26 Метод асимпототы 81, 92, 208, 238 Метод Винера—Хопфа 32, 38 Метод возмущения 78, 207 — дельта Эддингтона 75, 76, 115, 209 — исходного значения 188 — матрицы переноса 36 — матричного оператора 61, 66. 92 — Монте-Карло 42, 92, 191, 225, 231, 251 — сложения 64. 128 — сопряженных уравнений 50 — удвоения 64, 115, 138 — DART 69. 92, 231 — FN 51, 92. 128 Неоднородная подстилающая поверхность 199 Нестационарные задачи 251 Облака конечных размеров 209 Однократное рассеяние 81, 229 Оптическая глубина толщины 21 Отражение от поверхности 151 Паде-аппроксимация 192 Параметры Стокса 22, 156 Показатель асимметрии 27. 73 Полиномы Лежандра 27, 39, 45, 48, 73. 90 Поляризация 22 Последовательное рассеяние 56, 92, 186 — восходящий, нисходящий 23 Поток 23, 115, 138 — восходящий, нисходящий 23 — результирующий 23 — сферический 23 Правило Байеса 70 Правильное расположение (облаков) 216 Представление суммой экспонент 188 Преобразование Лапласа 32, 191, 241 Приближение Эддингтона 73, 115 — экспоненциального ядра 76, 115 Принцип взаимодействия 26, 61, 67 — инвариантности 38, 57, 63, 66, 204, 239, 243 Разорванная облачность 216 Рассеяние Ми 156 Распределение t поглощающего вещества 195 — по длинам пробегов 189 — фотонов по длинам пробегов 189 Скорость нагревания 23 Собственные функции 30, 46, 51 Соотношения взаимности 152 — инвариантности 152 — подобия 73, 187 — симметрии 154 Статистические модели (облаков) 216 Сферические атмосферы 227 Сферические гармоники 45, 50, 53, 92, 213 Тепловая эмиссия 29 Терминология и единицы 20 Узкий луч 235 Уравнение для моментов 236, 243 — переноса 24 — Шустера—Швардцальда 56 Условие Маршака 46 Фазовая матрица рассеяния 21, 155 Функция источника 22 — отражения 26 — пропускания 26 — Чандрасекара 32, 38, 41, 67, 187 — Н-функция 32, 38, 41, 67, 187 — АУ-функции 32, 38, 187 Фурье-преобразование 27 — ряды 32, 209 Численное сравнение 91 Яркость 22, 128 — рассеянного излучения 25 — спектрального излучения 22 — суммарного излучения 25 Монография Перенос радиации в рассеивающих и поглощающих атмосферах. Стандартные методы расчета Редактор О. В. Лапина. Художник Б. Л. Каганович. Е. Н. Чукаева. Технический редактор Н. В. Морозова. Художественный редактор Корректор И. Б. Михайлова. ИБ № 1869 Сдано в набор 04.05.90. Подписано в печать 02.10.90. Формат бОХЭО’/м- Бумага книжная. Гарнитура литературная. Печать высокая. Печ. л. 16,5. Кр.-отт. 16,5. Уч.-изд. л. 19,81. Тираж 1330 экз. Индекс МОЛ-7. Заказ № 119. Цена 3 р. 30 к. Гидрометеоиздат, 199226. Ленинград, ул. Беринга, 38. Ленинградская типография № 8 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объе динения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государственного комитета СССР по печати. 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6.

Document 2625286

Related documents

Products

Support

Document 2625286

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib