Дудоров А. Е., Замоздра С. Н.

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 14 (268).
Физика. Вып. 13. С. 20–31.
А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра
Факторы эволюции МГД-турбулентности
в протозвёздных облаках
В работе систематизируются факторы эволюции магнитогидродинамической (МГД) турбулентности в протозвёздных облаках. Систематизация основана на группировке по физическому смыслу
различных членов уравнения для плотности энергии несжимаемой (альвеновской) турбулентности. Выделяются 4 группы факторов: источники турбулентности, диссипативные процессы, перенос турбулентной энергии МГД-волнами, крупномасштабные деформации. По каждой группе приводится небольшой обзор. Некоторые факторы рассматриваются на примере трёхмерной численной модели, которая позволяет разделить средние и пульсационные величины путём усреднения
по углу.
Ключевые слова: магнитная газодинамика, МГД-турбулентность, МГД-волны, амбиполярная
диффузия, протозвёздные облака, коллапс.
Введение. Современное звёздообразование
в галактиках происходит в межзвёздных молекулярных облаках. За счёт сверхзвуковой турбулентности в них возникают флуктуации плотности — уплотнения и разрежения. Уплотнения,
имеющие шаровидную форму, называются
ядрами. Некоторые из них испытывают гравитационный коллапс. Центральная часть коллапсирующего ядра может испытать гравитационную
фрагментацию. Коллапс и фрагментация ядер
приводят к формированию протозвёзд. Они
сжимаются медленней окружающего газа, поэтому накапливают массу в режиме аккреции.
Ядра молекулярных облаков, порождающие
в результате коллапса, фрагментации и аккреции одну или несколько звёзд, называются про­
тозвёздными облаками. Они имеют характерные массы 0,1–100 масс Солнца, размеры 0,1–1
световых лет, температуры T = 10–100 К, концентрации молекул 104 –106 см–3. Неоднородности
плотности, лучевой скорости и магнитного поля
протозвёздных облаков указывают на присутствие сверхзвуковой магнитогидродинамической (МГД) турбулентности в этих объектах [1–
2]. Такая турбулентность может инициировать
фрагментацию, усиливать диссипацию энергии,
диффузию тепла, примесей и крупномасштабного магнитного поля [3]. Эти эффекты влияют на
массы, поверхностное магнитное поле и другие
характеристики звёзд, рождающихся в прото­
звёздных облаках.
Можно выделить два основных способа теоретического изучения эволюции турбулентности: 1) статистическое (в том числе феноменологическое) моделирование — вывод уравнений
эволюции характеристик турбулентности с по-
мощью гипотез о свойствах пульсаций; 2) пря­
мое численное моделирование — численное решение трёхмерных МГД-уравнений со случайными краевыми условиями и последующее усреднение решений. Гибридом этих способов является метод крупных вихрей — численное решение МГД-уравнений, в которых введены эффективные коэффициенты переноса. Последние
определяются с помощью статистического моделирования турбулентности на малых масштабах, неразрешённых численным методом.
Эволюция турбулентности в протозвёздных
облаках изучена слабо. Крупномасштабные
компоненты плотности, скорости и магнитного поля в этих объектах в общем случае зависят от координат и времени [3]. При такой зависимости нельзя использовать усреднение
по объёму или по времени для выделения турбулентных пульсаций. Применять третий способ
­усреднения — по ансамблю пульсаций — трудно
и дорого. В статистических моделях турбулентности усреднение по ансамблю приводит к обнулению неизвестных средних величин либо
их выражению через известные величины [4–8].
Если же турбулентность изучается с помощью
прямого численного моделирования, то необходимо рассчитать ансамбль реализаций модели,
то есть набор вариантов её эволюции, отличающихся начальными пульсациями. Такой подход
к моделированию турбулентности протозвёздных облаков пока не использовался.
Для разработки статистических моделей турбулентности в протозвёздных облаках и для
объяснения результатов трёхмерного численного моделирования этих объектов желательно составить список факторов эволюции турбулент-
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках
ности. Эволюция турбулентности — это изменение со временем её статистических характеристик. Простейшими и в то же время важными характеристиками турбулентности являются средние (по времени, объёму или ансамблю)
амплитуды пульсаций на конкретном масштабе
длины или времени. На их основе можно оценить другие величины, например, турбулентное
давление и коэффициенты диффузии.
Исходя из физического смысла различных
членов в уравнениях для объёмной и спектральной плотности турбулентной энергии, Оухтон
[9] систематизировал основные факторы эволюции МГД-турбулентности солнечного ветра.
В настоящей работе с помощью уравнения для
плотности турбулентной энергии мы систематизируем факторы, влияющие на амплитуду пульсаций скорости и магнитного поля в протозвёздных облаках. Для простоты мы рассматриваем
не весь спектр пульсаций, а только основной
масштаб — порядка 1/10 от размера исследуемой области. Пульсации такого масштаба вносят наибольший вклад в энергию турбулентности исследуемой области. Для наглядности мы
обсуждаем часть факторов на конкретном примере, когда облако не сильно искажается турбулентностью, а крупномасштабные угловая скорость и магнитное поле коллинеарны. В этом
случае крупномасштабные распределения плотности, скорости и магнитного поля остаются
симметричными относительно оси вращения,
и поэтому можно выделить средние и пульсационные величины путём усреднения по углу
поворота вокруг этой оси.
Уравнение для плотности турбулентной
энергии. Уравнение для плотности турбулентной энергии используется во многих статистических моделях турбулентности, поскольку позволяет оценить турбулентные давление, вязкость,
нагрев и диффузию. Мы обратимся к уравнению, которое описывает изменение средней (по
ансамблю) объёмной плотности турбулентной
энергии ut в движущемся элементе среды. Для
простоты ограничимся моделями несжимаемой
(альвеновской) МГД-турбулентности. Тогда
ut складывается из плотностей кинетической
и магнитной энергий пульсаций, но не включает плотность их тепловой энергии. Кроме того,
рассмотрим только те модели, в которых предполагается равнораспределение кинетической и
магнитной энергий пульсаций [4]. Даже в этих
простых приближениях искомое уравнение мо-
21
жет содержать более десяти членов. К счастью,
их можно сгруппировать по физическому смыслу и получить уравнение следующего вида [10]:
dut
= − 32 ut ∇U − ∇v a ( ut + − ut − ) + D + S + A, (1)
dt
где d/dt — субстанциональная производная;
U — средняя скорость среды; va — средняя альвеновская скорость; ut+ и ut– — средние плотности энергий возмущений, распространяющихся
в направлении среднего магнитного поля и против него; D < 0 — средний темп диссипации
турбулентной энергии; S > 0 — средний темп
генерации турбулентной энергии; A — совокупность дополнительных членов произвольного
знака, учитывающих специфику модели.
Поясним слагаемые правой части (1).
1. Первое слагаемое включает в себя два эффекта, благодаря которым ut растёт при сжатии
плазмы: (а) рост объёмной плотности кинетической энергии за счёт увеличения плотности среды, (б) усиление магнитного поля при его поперечном сжатии.
2. Второе слагаемое описывает пространственное перераспределение энергии турбулентности за счёт распространения возмущений
относительно среды; оно может быть отлично от
нуля, если турбулентность не является сбалансированной, то есть если ut+ ut–.
3. Слагаемое D может содержать как линейные, так и нелинейные по ut члены.
••Линейные члены описывают омическую и
вязкую диссипацию в простых моделях турбулентности, не учитывающих взаимодействие
возмущений. Эти члены пропорциональны
ηλ–2ut, где η — коэффициент диффузии магнитного поля; λ — размер возмущений в направлении вдоль среднего магнитного поля (например,
[10]).
••Нелинейные члены описывают омическую и
вязкую диссипацию в более сложных моделях
турбулентности, учитывающих, например, каскад энергии на малые масштабы. В несжимаемой МГД-турбулентности каскад энергии происходит при столкновении встречных возмущений. В первом приближении темп такой диссипации, например, для возмущений, распространяющихся в направлении среднего магнитного
поля, пропорционален величине ut + l+−1 ut - / ρ ,
где l+ — размер возмущений в направлении поперёк среднего магнитного поля. При возрастании степени несбалансированности турбулент-
22
ности такая диссипация ослабевает (например,
[11]).
4. Слагаемое S представляет источники турбулентной энергии, например, неустойчивости
сдвиговых течений. В случае протяжённой зоны
генерации это слагаемое обычно выражается через пространственные производные средних величин, а в случае точечных или поверхностных
источников задаётся в виде функции координат
и времени.
5. Слагаемое A может описывать, например,
градиентную диффузию турбулентной энергии,
а также поправки, возникающие при учёте проскальзывания заряженной компоненты плазмы
относительно нейтральной [10].
В соответствии с уравнением (1) мы разбиваем факторы эволюции турбулентности в протозвёздных облаках на четыре группы: источники турбулентности, диссипативные процессы,
перенос турбулентной энергии МГД-волнами,
крупномасштабные деформации, и рассматриваем их более подробно.
Источники турбулентности. По современным представлениям, возникновение турбулентности в протозвёздных облаках тесно связано с их происхождением [12]. Трёхмерные
численные модели межзвёздной среды на масштабах 0,01–100 пк показывают, что прото­
звёздные облака могут формироваться одновременно с молекулярными облаками при
столкновении турбулентных потоков в тёплом
диффузном газе. Турбулентные числа Маха
в нём близки к единице, и этого достаточно
для возникновения сгущений с плотностью
n 0,5 см–3, при которой развивается тепловая
неустойчивость. Она приводит к ускоренному
сжатию газа до n  5 см–3. Накопленной кинетической энергии хватает, чтобы сжатие продолжилось до n >100 см–3 и температуры T <250 К.
При таких условиях быстро растёт обилие H2
и других молекул. Генерация турбулентности
происходит благодаря разнообразным неустой­
чивостям, развивающимся в зоне столкновения
потоков [13]. Из-за низкой температуры турбулентность в молекулярных облаках оказывается сверхзвуковой, поэтому в ней возникают
ещё более плотные структуры, такие как протозвёздные облака. Они изначально турбулентны вследствие каскада турбулентной энергии
на малые масштабы. Поскольку внешние части
протозвёздных облаков постоянно возмущаются окружающей турбулентностью, её можно
А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра
считать поверхностным источником внутренней турбулентности.
Объёмным источником МГД-турбулентности
в протозвёздных облаках являются входящие
МГД-волны. С помощью двумерной численной
модели Эльмегрин [14] показал, что альвеновские волны большой амплитуды, входящие в облако из окружающей среды, возбуждают в нём
МГД-турбулентность с колмогоровским спект­
ром.
Входящие МГД-волны затрагивают только
медленно сжимающуюся внешнюю часть облака и не влияют на быстро сжимающуюся цент­
ральную часть облака. Однако в этой части может работать другой объёмный источник турбулентности — дифференциальное вращение.
Эффективность такого источника пока не оценивалась.
После гравитационного коллапса в прото­
звёздных облаках появляются мелкомасштабные источники турбулентности — струйные истечения из протозвёздных аккреционных дисков. Из численной МГД-модели Ли и Накамуры
[15] следует, что энергии истечений достаточно для замены реликтовой турбулентности на
новую в центральной части облака. Возможно,
поэтому структурные функции лучевой скорости в облаке OMC-1 имеют полочку на масштабе
1000 а. е. [16].
Диссипативные процессы. К диссипативным процессам относятся вязкость, электрическое сопротивление, теплопроводность и диффузия частиц. Диссипация в турбулентной среде сильно неоднородна и нестационарна: она
максимальна в небольших короткоживущих
структурах типа вихревых нитей и токовых
слоёв. Эти структуры возникают вновь и вновь,
пока крупномасштабные потоки остаются неустойчивыми и дробятся на мелкомасштабные
потоки. Характерное время жизни крупномасштабного потока по порядку величины равно
отношению его размера к скорости. Эта оценка
и даёт время диссипативного затухания турбулентности.
Роль диссипативных процессов в затухании
турбулентности должна оцениваться при следующих условиях: а) турбулентность и среда
статистически однородны, б) нет крупномасштабных деформаций, в) нет обмена турбулентной энергией между объектом и окружающей средой. При выполнении этих условий
МГД-турбулентность в общем случае затухает
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках
за время порядка времени оборота энергонесущих вихрей, то есть так же быстро, как и гид­
родинамическая турбулентность [11]. Причина
в том, что движения плазмы в направлении поперёк крупномасштабного магнитного поля похожи на перестановки и перемешивание, то есть
имеют вихреподобный характер.
У альвеновской (несжимаемой) МГД-турбу­
лентности есть режим замедленного затухания,
реализующийся при условии, что амплитуды встречных возмущений сильно различаются (несбалансированная или кросс-спиральная
турбулентность) [11]. Этот эффект объясняется тем, что каскад энергии на малые масштабы
у каждого из встречных возмущений происходит только во время столкновения, поэтому при
сильном различии амплитуд этот каскад заметно ослаблен.
Сжимаемая МГД-турбулентность затухает
почти так же быстро, как и несжимаемая, потому что переход энергии от альвеновских мод к
магнитозвуковым модам существенен только на
основном масштабе [17].
Интересно, что затухание МГД-турбу­лент­
ности замедляется при увеличении её магнитной спиральности (среднего значения скалярного произведения магнитной индукции и векторного потенциала), хотя этот эффект пока не имеет точного объяснения [18].
Оценки по порядку величины показывают
[19], что доминирующим диссипативным процессом во внешних частях протозвёздных облаков является магнитная амбиполярная диф­
фузия (МАД) — совместное движение заряженных компонент плазмы относительно нейтральной компоненты под действием магнитного
поля. Более строгих исследований влияния этой
диффузии на затухание МГД-турбулентности
протозвёздных облаков пока не было. Однако
для более крупных объектов — молекулярных
облаков — Падоан и др. [20] с помощью трёхмерной численной модели показали, что нагрев
за счёт МАД превышает нагрев космическими
лучами.
Диссипация турбулентной энергии на продвинутых стадиях коллапса протозвёздных облаков пока не исследовалась. Но предварительные оценки можно сделать исходя из моделей
диффузии магнитного поля. С помощью одномерной численной модели Дудоров и Сазонов
[21] показали, что в окрестностях протозвезды может возникнуть зона, где МАД менее эф-
23
фективна, чем магнитная диффузия, вызванная
омическим трением.
Поскольку элементом МГД-турбулентности
могут быть МГД-волны, их поглощение вносит
вклад в диссипацию турбулентной энергии. МакИвор [22] сравнил темпы поглощения МГД-волн
за счёт омического и амбиполярного трения, вязкости и теплопроводности для различных фаз
межзвёздной среды. Оказалось, что в молекулярных облаках основной причиной поглощения
волн является МАД. В протозвёздных облаках,
в отличие от молекулярных облаков, на МГДпроцессы заметно влияют заряженные пылинки.
Они замедляют МАД, поэтому в протозвёздных
облаках альвеновские волны поглощаются слабее, чем в молекулярных облаках [23], и способны распространяться даже в плотных слоях протозвёздных облаков (n 106 см–3) [24]. Цвайбель и
Джозафатсон [25] обратили внимание на то, что
волны с большой амплитудой укручаются и быстро диссипируют энергию на своём фронте, поэтому темп поглощения для них близок к темпу
укручения. Для альвеновских волн темп укручения kdv2/(va cos q), где dv — амплитуда возмущения скорости; q — угол между волновым вектором k и невозмущённым магнитным полем;
для быстрых магнитозвуковых волн темп укручения  dv · sinq. Балсара [26] пришёл к выводу
о том, что поглощение МГД-волн из-за МАД существенно зависит от отношения скоростей звука cs и Альвена va: если cs < va, то гораздо слабее
других поглощается медленная волна, а иначе —
быстрая волна. Недавно был обнаружен эффект,
ускоряющий поглощение альвеновских волн:
если магнитные линии случайно переплетены,
то альвеновский пакет экспоненциально быстро
дробится на мелкомасштабные возмущения, поэтому время его поглощения пропорционально логарифму обычного или магнитного числа
Рейнольдса [27].
Перенос турбулентной энергии МГД-вол­
нами. МГД-волны являются непременным элементом МГД-турбулентности, поскольку в ней,
по определению, плотность энергии магнитного поля сравнима или превышает плотность кинетической энергии; следовательно, скорость
Альвена va сравнима или больше турбулентных
пульсаций скорости. В таких условиях МГДволны могут распространяться хотя бы на несколько своих длин до распада [28].
Исследования солнечного ветра с помощью
космических аппаратов показывают, что волны
24
А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра
и турбулентность в нём сосуществуют [9; 28].
Подобное явление может иметь место и в протозвёздных облаках.
Сравнение с турбулентной диффузией. Как
уже отмечалось, внешние части протозвёздных
облаков постоянно возмущаются окружающей
турбулентностью. В принципе, турбулентная
энергия может переноситься внутрь прото­
звёздных облаков за счёт перемешивания (турбулентной диффузии), но перенос турбулентной энергии МГД-волнами более эффективен.
Действительно, даже в случае очень быстрых и
крупных вихрей, например, со скоростью v t= va
и размером lt = R/10, где R — радиус облака, характерное время турбулентной диффузии от
края к центру облака R2/(ltv t) = 10R/va, что на
порядок больше времени пересечения облака
альвеновскими волнами.
Плотность потока волновой энергии пропорциональна произведению групповой скорости
на квадрат амплитуды волн. Перечислим далее
эффекты, влияющие на амплитуду МГД-волн
в протозвёздных облаках без крупномасштабных течений, а влияние таких течений рассмот­
рим в следующем пункте статьи. Будем учитывать, что для переноса турбулентной энергии
существенны волны с длиной порядка основного масштаба.
Распространение вдоль градиента плотно­
сти. У альвеновской волны в магнитной трубке
поток волновой энергии постоянен, если поглощение и отражение пренебрежимо малы. Уален
[29] показал, что в этом случае амплитуды пульсаций скорости и магнитного поля зависят от
плотности по законам
u⊥ ∝ ρ−1/ 4 , B⊥ ∝ ρ1/ 4 . (2)
Для магнитозвуковых волн подобных однозначных зависимостей нет. В частном случае
плоской быстрой магнитозвуковой волны, распространяющейся поперёк невозмущённого
поля, Фатуццо и Адамс [30] обнаружили, что
амплитуда возмущений скорости увеличивается при уменьшении плотности. Они также обратили внимание на то, что этим эффектом можно объяснить увеличение дисперсии скорости
от центра к краю в некоторых протозвёздных
облаках.
Распространение поперёк градиента группо­
вой скорости приводит к размазыванию волнового пакета и уменьшению его амплитуды,
даже в случае альвеновских волн, поскольку
у каждого участка пакета своя групповая скорость. Такую ситуацию для альвеновских волн
называют смешиванием фаз. При этом кроме
расплывания альвеновского пакета происходит генерация коротковолновых альвеновских
и магнитозвуковых возмущений, что ускоряет
диссипацию [27].
Отражение. Если групповая скорость волны
меняется вдоль своего направления на расстоянии меньше или порядка длины волны, то волна испытывает заметное отражение. В прото­
звёздных облаках, сплюснутых вдоль магнитного поля, а также в протозвёздных дисках альвеновская скорость неоднородна, и поэтому МГДволны могут испытывать заметное отражение.
Сначала исследователи молекулярных облаков
рассматривали отражение только альвеновских
волн и только от примитивных неоднородностей плотности, таких как ступенька или прямоугольный барьер (например, [31]). Замоздра [32]
рассчитал коэффициент отражения альвеновских волн от более сложных неоднородностей
плотности, возникающих при гидростатическом
равновесии самогравитирующей изотермической среды вдоль магнитного поля, и показал,
что винтовые альвеновские волны, возбуждаемые в центре протозвёздных облаков, могут существенно отражаться, что препятствует переносу углового момента на периферию.
Взаимодействие (трансформация) волн. При
столкновении волн, имеющих достаточно большие амплитуды, могут возникнуть одна или несколько дочерних волн. В результате амплитуды
родительских волн уменьшаются. Кроме того,
дочерние волны могут принадлежать другой
моде, которая сильнее поглощается. Даже если
дочерние волны принадлежат той же моде, они
обычно имеют меньшую длину и поглощаются сильнее. Если дочерние волны продолжают
трансформироваться с образованием коротковолновых возмущений, то возникает каскад волновой энергии на малые масштабы, существенно ускоряющий диссипацию. Мак-Ивор [22] показал, что у длинных альвеновских и быстрых
магнитозвуковых волн в молекулярных облаках
темп каскада энергии за счёт трёхволновых взаимодействий на порядки превышает темп поглощения из-за остальных процессов. Этот эффект,
так же как укручение профиля, является причиной ускоренного затухания МГД-волн.
Из вышеприведённого анализа следует, что
перенос турбулентной энергии МГД-волнами
25
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках
в протозвёздных облаках может быть заметно
затруднён, поскольку эффекты, уменьшающие
амплитуду волн, многочисленней и сильней
своих «противников».
Крупномасштабные деформации. Все виды
крупномасштабной деформации среды — сжатие, расширение и сдвиг — влияют на эволюцию МГД-волн и турбулентности.
Крупномасштабные сдвиги в протозвёздных облаках возможны за счёт проходящих
МГД-волн, дифференциального вращения
и несиммет­ричного коллапса. Влияние этих
факторов на эволюцию турбулентности в протозвёздных облаках пока не исследовалось. С одной стороны, они могут возбуждать турбулентность. С другой стороны, сдвиг приводит к размазыванию и уменьшению амплитуды возмущений, а также к их трансформации. Например, изза сдвига вдоль крупномасштабного магнитного
поля альвеновская волна порождает магнитозвуковые волны, что ускоряет диссипацию [33].
Крупномасштабное сжатие/расширение приводит к 1) обмену энергией между турбулентностью (волнами) и крупномасштабным течением,
а также к изменению 2) масштабов пульсаций,
3) скоростей МГД-волн и 4) коэффициента магнитной диффузии.
Следует отметить, что в коллапсирующем
протозвёздном облаке скорости МГД-волн и
коэффициент магнитной диффузии изменяются неоднозначно. Например, если магнитная
индукция растёт быстрее, чем ρ , то альвеновская скорость va увеличивается, а иначе —
уменьшается. Коэффициент диффузии магнитного поля за счёт МАД без учёта пыли−1
нок ν AD ∝ B 2 ( nn ni ) , где nn и ni — концентрации нейтралов и ионов. С хорошей точностью
ni ∝ n1/n 2 . Поэтому νAD увеличивается, если магнитная индукция растёт быстрее, чем ρ3/4, а иначе — уменьшается.
Бэтчелор [34] впервые теоретически вывел зависимости тензора турбулентных напряжений
от плотности при однородном сжатии или расширении среды. В некоторых случаях он получил степенные зависимости турбулентного давления от плотности: Pt ∝ ρ γ . Например, в случае, когда время деформации больше времени
оборота вихрей, турбулентная дифференциально вращающаяся среда ведёт себя как изотермический газ (γ = 1) при сжатии вдоль оси
вращения, как одноатомный газ (γ = 5/3) — при
изотропном сжатии и подобна магнитному
полю (γ = 2) при сжатии поперёк оси вращения.
Бэтчелор заключил, что достаточно быстрое
сжатие среды должно приводить к такому увеличению турбулентного давления, которое будет сопротивляться сжатию.
Результаты Бэтчелора, полученные в предельных случаях быстрой и медленной деформации, не могут использоваться в задаче о коллапсе, поскольку его скорость сильно меняется
со временем. В этой задаче нужно использовать
нестационарные уравнения эволюции характеристик турбулентности. Уравнение для плотности кинетической энергии турбулентности,
учитывающее крупномасштабное сжатие/расширение, впервые применено в модели коллапса протозвёздных облаков Симодой и др. [35].
В приближении однородного сжатия показано,
что на медленной начальной стадии коллапса
турбулентность затухает почти так же быстро,
как в стационарной среде, но на быстрой заключительной стадии коллапса турбулентная скорость начинает расти.
Влияние крупномасштабного сжатия/расширения среды на МГД-волны впервые исследовал Паркер [36]. Используя ВКБ-приближение,
он нашёл, что амплитуда незатухающих альвеновских волн в стационарном сферически симметричном звёздном ветре меняется по закону
u⊥ ∝
 A ±1
, B⊥ ∝ ρ1/ 4  0
, 4πρ
 A ±1 
B⊥
(3)
где A — число Альвена; A0 — его граничное
значение; знак +(–) указывает, что волна распространяется по течению (против течения).
Несколько позже Белчер [37] показал, что соотношение (3) может быть записано в виде функции плотности:

A0 ± 1
B⊥ ∝ ρ3/ 4 
 A ± ρ/ρ
0
 0

, 

(4)
где ρ0 — граничное значение плотности. В случае очень медленного течения (A0 << 1) соотношение (4) даёт B⊥ ∝ ρ1/ 4 , откуда следует, что
волновое давление Pw ∝ ρ1/ 2 . В случае очень быстрого течения получаем B⊥ ∝ ρ3/ 4 и Pw ∝ ρ3/ 2 .
Мак-Ки и Цвайбель [4] применили уравнение средней плотности энергии альвеновских
волн, выведенное Дьюаром [38], к задаче об
«уравнении состояния» волнового ансамбля, то
есть зависимости Pw(ρ). Показано, что при медленном сжатии/расширении однородной среды
26
в ­отсутствие диссипации Pw ∝ ρ3/ 2 . Важно отметить, что этот результат справедлив а) при любой симметрии сжатия/расширения, поскольку
плотности кинетической и магнитной энергий
в альвеновских волнах стремятся к равнораспределению, б) при наличии неоднородностей
плотности, если время сжатия много меньше
времени их пересечения.
При крупномасштабном сжатии/расширении
среды могут возникнуть поверхности, где скорость течения равна по модулю групповой скорости волн относительно среды. В таких местах
у волн, распространяющихся против течения,
групповая скорость в лабораторной системе отсчёта стремится к нулю, поэтому они, независимо от длины, испытывают усиление, интенсивное поглощение и полное отражение [39–40].
Усиление вызвано сжатием волнового пакета:
его задний фронт распространяется быстрее
переднего. Интенсивное поглощение вызвано
уменьшением длины волны и соответствующим
увеличением градиентов всех величин. Полное
отражение вызвано невозможностью распространения волны через поверхность с нулевой
групповой скоростью.
Вышеуказанные результаты были получены в
рамках одномерных моделей. Развитие вычислительной техники и численных методов позволило перейти к многомерным моделям протозвёздных облаков. С помощью двух- и трёхмерных
численных моделей с учётом омической диффузии магнитного поля Вазкес-Семадени и др.
[41] показали, что в среднем по объёму МГДтурбулентность ослабевает на медленной начальной стадии коллапса, но усиливается на быстрой стадии, причем в облаках с более слабым
начальным полем к концу расчётов достигается
более высокая дисперсия скорости. Матсумото и
Ханава [42] с помощью трёхмерных расчётов в
рамках идеальной МГД исследовали изменения
дисперсии скорости в коллапсирующем облаке.
Вначале скорость сжатия облака много меньше
пульсаций скорости, поэтому основной вклад
в дисперсию скорости вносит турбулентность.
Её интенсивность снижается во всех случаях.
Коллапс облака начинается, когда дисперсия скорости уменьшается приблизительно до 1/2 скорости звука. Поскольку выделить турбулентные
пульсации из полного поля скорости авторам не
удалось, то эволюция турбулентности на продвинутых стадиях коллапса осталась неизученной.
А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра
Пример моделирования турбулентности в облаке. Рассмотрим эволюцию МГДтурбулентности в часто используемом приближении, что крупномасштабные угловая скорость и магнитное поле вначале однородны
и коллинеарны. В этом случае электромагнитная и центробежная силы замедляют коллапс
облака в одинаковом направлении — поперёк
оси вращения (обозначим её ось z). Поэтому
в отсутствие турбулентности шаровидное облако сплющивается вдоль оси z, а распределения плотности, скорости и магнитного поля
становятся симметричными относительно этой
оси. Допустим, турбулентность нарушает эту
симмет­рию незначительно, то есть сглажива­
ние вышеуказанных распределений по углу поворота вокруг оси z (например, на угол порядка
p/10) восстанавливает их симметрию. Если это
условие выполняется, то усреднение по углу поворота вокруг оси z является корректным способом выделения турбулентных пульсаций.
Воспользуемся методом прямого численного
моделирования турбулентности. Ограничимся
грубой сеткой (1283 ячеек), поскольку в прото­
звёздных облаках МГД-турбулентность слабо
развита вследствие МАД [3]. Применяя модель
изотермического коллапса протозвёздного облака из работы [43], выберем такие начальные
условия: шарообразное облако с радиусом 0,3
находится в центре кубической расчётной области с размером 1; плотность облака 1, плотность
окружающей среды 1/4; тепловое давление всюду одинаково, но турбулентное давление в облаке в 4 раза выше, чем в окружающей среде;
отношения тепловой, вращательной, магнитной
и турбулентной кинетической энергий облака к
модулю его гравитационной энергии равны 0,3;
0,05; 0,2; 0,2 соответственно. Поскольку полная
энергия такого облака отрицательна, оно испытывает гравитационный коллапс. В отсутствие
тепловых движений, вращения, магнитного
поля и турбулентности гравитационный коллапс шарообразного однородного облака происходит за время tff = 3π / ( 32Gρ0 ) (так называемое время свободного спадания), определяемое
только начальной плотностью ρ0 и гравитационной постоянной G. Иначе, коллапс протекает
дольше. Например, в представленном случае —
за время 1,188tff.
Рис. 1 показывает, как работает метод разделения средних и пульсационных величин пу-
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках
тём усреднения по углу поворота вокруг оси z.
Распределения исходных значений плотности
и скорости в плоскости xz на момент времени
1,188tff несимметричны (верхняя панель), но после усреднения по углу поворота вокруг оси z
они порождают почти симметричные относительно уровня z = 0 распределения в плоскости
rz, где r — радиальная координата цилиндрической системы координат (средняя панель). Если
теперь вычесть средние величины из исходных,
то получим пульсации, которые ещё более далеки от симметрии, нежели исходные величины
(нижняя панель).
Посмотрим, как изменяется интенсивность
пульсаций скорости в результате коллапса облака. Рис. 2 показывает начальные и финальные отношения v 2t / cs2 , v 2t /v a2 , v 2t /v 2 на плоскости rz в центральной части облака, где v 2t,
cs2, v a2 — средние квадраты турбулентной, зву-
27
ковой и альвеновской скоростей; v2 — квадрат
средней скорости течения. Вначале v 2t / cs2 < 4,
v 2t / v a2 < 1,3, v 2t /v 2 < 500; то есть турбулентность является сверхзвуковой, трансальвеновской и доминирующей по динамическому давлению. На момент остановки расчётов v 2t / cs2 < 12,
v 2t /v a2 < 1,6, v 2t /v 2 < 0,8, то есть турбулентность
осталась сверхзвуковой и трансальвеновской, но
по динамическому давлению стала менее значима, чем крупномасштабное течение.
Рассмотрим факторы эволюции турбулентности в нашей модели.
1. Источник турбулентности в данной модели задан только в начальных условиях: это ансамбль альвеновских волн со степенным спект­
ром и случайными фазами. На поздних стадиях
коллапса источниками турбулентности могут
быть разнообразные неустойчивости сдвиговых
МГД-течений, возникающих во вращающемся
Рис. 1. Разделение средних и пульсационных величин в трёхмерной численной модели турбулентного
протозвёздного облака на момент времени 1,188tff . Серая шкала — десятичный логарифм плотности,
стрелки — проекции скорости на картинную плоскость. Верхняя панель — исходные величины
в плоскости xz, средняя панель — величины, усреднённые по углу поворота вокруг оси z,
нижняя панель — пульсации в плоскости xz
28
А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра
Рис. 2. Изменение отношений средних квадратов турбулентной скорости и скорости звука
(первый столбец), скорости Альвена (второй столбец), скорости течения (третий столбец)
в трёхмерной численной модели протозвёздного облака. Первый ряд — начальные величины,
второй ряд — момент времени 1,188tff
облаке на стадии быстрого коллапса. Это тема
отдельного исследования, для которого нужно
высокое пространственное разрешение.
2. Диссипативные процессы представлены
схемной вязкостью и схемной магнитной диффузией. Вследствие низкого пространственного разрешения эти процессы эффективно
подавляют возмущения с размером порядка
¼ начального радиуса облака. Поэтому МГДразрывы в численном решении не возникают.
Если же повысить разрешение, например, за
счёт адаптивно-встраиваемых сеток, то можно
ожидать появление диссипативных структур,
например, МГД ударных волн. Условия для их
возникновения выполняются, например, в небольшой центральной части облака на момент
времени 1,188tff (рис. 2: внизу посредине), где
турбулентная скорость превышает скорость
Альвена.
3. Перенос турбулентной энергии МГД-вол­
нами и крупномасштабные деформации совместно могут вызвать интересный эффект, который, вероятно, проявился на рис. 2 (внизу слева). Поскольку при изотермическом коллапсе
скорость звука постоянна, то изменение отно2
2
шения v t / cs указывает на изменение среднего
квадрата турбулентной скорости. В момент времени 1,188tff эта характеристика турбулентности
максимальна в двух биполярных областях на
оси z вблизи центра облака (рис. 2: внизу слева).
На возможность такого распределения турбулентной скорости указывал Замоздра [44], исходя из свойства альвеновских волн усиливаться
при распространении против течения, скорость
29
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках
которого увеличивается в пространстве или во
времени. Заметим, однако, что надёжно выделить этот эффект в трёхмерных моделях очень
сложно, поскольку области максимума v 2t пересекаются с областями максимума полной скорости (средние + пульсации), где погрешности
методики усреднения также максимальны.
Заключение. Исходя из физического смысла членов уравнения для плотности турбулентной энергии мы попытались систематизировать основные факторы эволюции МГДтурбулентности в протозвёздных облаках.
Выделено четыре группы факторов: источники
турбулентности, диссипативные процессы, перенос энергии МГД-волнами и крупномасштабные деформации. Основные результаты можно
собрать в таблицу, где указаны группа факторов, сам фактор и область его значимости.
На основе проведённого анализа можно сделать следующие выводы:
••Турбулентная энергия последовательно черпается из: 1) кинетической энергии потоков, формирующих облако; 2) энергии МГД-волн, про-
никающих снаружи; 3) гравитационной энер­гии
облака в процессе коллапса; 4) энергии струйных истечений из окрестностей протозвёзд.
••В отсутствие этих источников МГД-турбу­
лентность затухает за время порядка времени
оборота энергонесущих вихрей, то есть так же
быстро, как и гидродинамическая турбулентность. Причина в том, что движения плазмы поперёк крупномасштабного магнитного поля похожи на перестановки и перемешивание, то есть
имеют вихреподобный характер.
••МГД-волны переносят турбулентную энергию на порядок быстрее, чем турбулентная диффузия, но заметно затухают из-за нескольких
эффектов. В частности, для альвеновских волн
существенно дробление из-за взаимодействия
с другими модами и запутанности магнитных
линий, а для магнитозвуковых волн важны расхождение и укручение. Для всех мод основной
причиной поглощения является магнитная амбиполярная диффузия.
••Коллапс облака 1) способствует усилению и волновой, и вихревой компонент МГД-
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках и области их значимости
Группа факторов
Источники
Фактор
Область значимости
Кинетическая энергия потоков, форми- Стадия медленного коллапса
рующих облако
Энергия МГД-волн, проникающих сна- Стадия медленного коллапса
ружи
Гравитационная энергия облака
Стадия быстрого коллапса
Энергия струйных истечений из окрест- Стадия аккреции
ностей протозвёзд
Диссипативные
процессы
Перенос энергии
МГД-волнами
Магнитная амбиполярная диффузия
Начальная стадия коллапса
Омическое трение
Окрестности протозвезды
Вязкость
Несущественна
Теплопроводность
Несущественна
Поглощение волн
Всюду, особенно во внешних слоях
Распространение волн вдоль градиента Всюду
плотности
Распространение волн поперёк градиен- Всюду
та групповой скорости
Отражение волн
Дисковидные структуры в центре облака
Взаимодействие (трансформация) волн Всюду
Крупномасштабные
деформации
Сдвиг
Всюду
Сжатие
Всюду
30
А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра
турбулентности, 2) уменьшает масштаб пульсаций, что ускоряет диссипацию, но 3) неоднозначно изменяет скорости МГД-волн и коэффициент диффузии магнитного поля.
••Исследования эволюции турбулентности
в коллапсирующих облаках сдерживаются
проблемой разделения средних и пульсационных величин в условиях неоднородного нестационарного течения. С помощью прямого
численного моделирования мы показали, что
в частном случае, когда облако не сильно искажается турбулентностью, а крупномасштабные угловая скорость и магнитное поле облака коллинеарны, то можно отделить средние и
пульсационные величины путём усреднения
по углу.
Эти выводы могут оказаться полезными для
определения начальных и граничных условий,
а также для анализа результатов трёхмерного
численного моделирования эволюции МГДтурбулентности в протозвёздных облаках.
Список литературы
1. Caselli, P. Dense cores in dark clouds. XIV.
N2H+(1–0) maps of dense cloud cores / P. Caselli,
P. J. Benson, P. C. Myers, M. Tafalla // Astrophys. J.
2002. Vol. 572. P. 238–263.
2. Crutcher, R. M. SCUBA polarization measurements of the magnetic field strengths in the L183,
L1544, and L43 prestellar cores / R. M. Crutcher,
D. J. Nutter, D. Ward-Thompson, J. M. Kirk // Astrophys. J. 2004. Vol. 600. P. 279–285.
3. Дудоров, А. Е. Проблемы звездообразования в замагниченных ядрах молекулярных облаков / А. Е. Дудоров, А. Г. Жилкин, С. Н. Замоздра
// Субпарсековые структуры в межзвездной среде. Ростов н/Д : РСЭИ, 2010. C. 81–101.
4. McKee, C. F. Alfven waves in interstellar gasdynamics / C. F. McKee, E. G. Zweibel // Astrophys.
J. 1995. Vol. 440. P. 686–696.
5. Widlund, O. Development of a Reynolds stress
closure for modeling of homogeneous MHD turbulence / O. Widlund, S. Zahrai, F. H. Bark // Physics of
fluids. 1998. Vol. 10. P. 1987–1996.
6. Chernyshov, A. A. Large-eddy simulation of
magnetohydrodynamic turbulence in compressible
fluid / A. A. Chernyshov, K. V. Karelsky, A. S. Petrosyan // Physics of plasmas. 2006. Vol. 13. P. 032304.
7. Oughton, S. A two-component phenomenology
for homogeneous magnetohydrodynamic turbulence
/ S. Oughton, P. Dmitruk, W. H. Matthaeus // Physics
of plasmas. 2006. Vol. 13. P. 042306.
8. Shcherbakov, R. V. Spherically symmetric accretion flows: minimal model with magnetohydrodynamic turbulence / R. V. Shcherbakov // Astrophys. J.
Suppl. 2008. Vol. 177. P. 493–514.
9. Oughton, S. Solar wind fluctuations: waves and
turbulence / S. Oughton // Solar wind ten: proceedings of the tenth international solar wind conference
/ ed. M. Velli, R. Bruno, F. Malara // AIP conference
proceedings. 2003. Vol. 679. P. 421–426.
10. Дудоров, А. Е. Изменение амплитуды
альвеновских волн в коллапсирующем прото­
звездном облаке / А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра //
Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2009. № 25 (163). Физика.
Вып. 6. С. 55–65.
11. Cho, J. Simulations of magnetohydrodynamic turbulence in a strongly magnetized medium
/ J. Cho, A. Lazarian, E. Vishniac // Astrophys. J.
2002. Vol. 564. P. 291–301.
12. Ballesteros-Paredes, J. Molecular cloud turbulence and star formation / J. Ballesteros-Paredes,
R. S. Klessen, M.-M. Mac Low, E. Vazquez-Semadeni // Protostars and Planets V / ed. B. Reipurth,
D. Jewitt, K. Keil. Tucson : University of Arizona
Press, 2007. P. 63–80.
13. Heitsch, F. Fragmentation of shocked flows:
gravity, turbulence, and cooling / F. Heitsch,
L. W. Hart­­mann, A. Burkert // Astrophys. J. 2008.
Vol. 683. P. 786–795.
14. Elmegreen, B. G. Formation and Loss of Hierarchical Structure in Two-dimensional Magnetohydrodynamic Simulations of Wave-driven Turbulence
in Interstellar Clouds / B. G. Elmegreen // Astrophys.
J. 1999. Vol. 527. P. 266–284.
15. Li, Z. Cluster formation in protostellar outflow-driven turbulence / Z. Li, F. Nakamura // Astrophys. J. Lett. 2006. Vol. 640. P. 187–190.
16. Gustafsson, M. The nature of turbulence in
OMC1 at the scale of star formation: observations
and simulations / M. Gustafsson, A. Brandenburg,
J. L. Lemaire, D. Field // Astron. Astrophys. 2006.
Vol. 454. P. 815–825.
17. Cho, J. Generation of compressible modes in
MHD turbulence / J. Cho, A. Lazarian // Theor. Comput. Fluid Dynamics. 2005. Vol. 19. P. 127–157.
18. Muller, W.-C. The evolving phenomenological view on magnetohydrodynamic turbulence /
W.‑C. Mul­ler, D. Biskamp // Turbulence and magnetic fields in astrophysics / ed. E. Falgarone, T. Passot.
Lecture Notes in Physics. 2003. Vol. 614. P. 3–26.
19. Myers, P. C. On magnetic turbulence in interstellar clouds / P. C. Myers, V. K. Khersonsky // Astrophys. J. 1995. Vol. 442. P. 186–196.
Факторы эволюции МГД-турбулентности в протозвёздных облаках
20. Padoan, P. Ambipolar drift heating in turbulent
molecular clouds / P. Padoan, E. Zweibel, A. Nord­
lund // Astrophys. J. 2000. Vol. 540. P. 332–341.
21. Дудоров, А. Е. Гидродинамика коллапса межзвездных облаков. IV. Степень ионизации и амбиполярная диффузия / А. Е. Дудоров, Ю. В. Са­зонов // Научные информации
астрономического совета АН СССР. 1987. Т. 63.
С. 68–86.
22. McIvor, I. The inertial range of weak magnetohydrodynamic turbulence in the interstellar medium / I. McIvor // Month. Not. Roy. Astron. Soc. 1977.
Vol. 178. P. 85–99.
23. Pilipp, W. The effects of dust on the propagation and dissipation of Alfven waves in interstellar clouds / W. Pilipp, G. E. Morfill, T. W. Hartquist,
O. Havnes // Astrophys. J. 1987. Vol. 314. P. 341–351.
24. Elmegreen, B. G. On the minimum length for
magnetic waves in molecular clouds / B. G. Elmegreen, D. Fiebig // Astron. Astrophys. 1993. Vol. 270.
P. 397–400.
25. Zweibel, E. G. Hydromagnetic wave dissipation in molecular clouds / E. G. Zweibel, K. Josafatsson // Astrophys. J. 1983. Vol. 270. P. 511–518.
26. Balsara, D. S. Wave propagation in molecular
clouds / D. S. Balsara // Astrophys. J. 1996. Vol. 465.
P. 775–794.
27. Malara, F. Dissipation of Alfven waves in
force-free magnetic fields: competition between
phase mixing and three-dimensional effects / F. Malara, P. Petkaki, P. Veltri // Astrophys. J. 2000. Vol.
533. P. 523–534.
28. Ghosh, S. Coexistence of turbulence and discrete modes in the solar wind / S. Ghosh, D. J. Thomson, W. H. Matthaeus, L. J. Lanzerotti // J. of Geophysical Research. 2009. Vol. 114. ID A08106.
29. Walen, C. On the theory of sun-spots / C. Walen
// Arkiv for matematik, astronomi och fysik. 1944.
Vol. 30A, № 15.
30. Fatuzzo, M. Magnetohydrodynamic wave
propagation in one-dimensional nonhomogeneous,
self-gravitating clouds / M. Fatuzzo, F. C. Adams //
Astrophys. J. 1993. Vol. 412. P. 146–159.
31. Langer, M. Energy transfer in biphasic magnetised interstellar medium / M. Langer, J.-L. Puget //
Astron. Astrophys. 2003. Vol. 405. P. 787–793.
32. Замоздра, С. Н. МГД-волны в протозвёздных облаках / С. Н. Замоздра. Saarbrucken : LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co., 2011. 192 c.
31
33. Nakariakov, V. M. Nonlinear coupling of MHD
waves in inhomogeneous steady flows / V. M. Na­
kariakov, B. Roberts, K. Murawski // Astron. Astrophys. 1998. Vol. 332. P. 795–804.
34. Batchelor, G. K. The effective pressure exerted by a gas in turbulent motion / G. K. Batchelor //
Vistas in Astronomy. 1955. Vol. 1. P. 290–295.
35. Simoda, M. On the condensation of interstellar gas. IV. The gravitational contraction / M. Simoda, S. Kikuchi, W. Unno // Publ. Astron. Soc. Japan.
1966. Vol. 18. P. 31–46.
36. Parker, E. N. Dynamical theory of the solar
wind / E. N. Parker // Space Sci. Rev. 1965. Vol. 4.
P. 666–708.
37. Belcher, J. W. Alfvenic wave pressures and the
solar wind / J. W. Belcher // Astrophys. J. 1971. Vol.
168. P. 509–524.
38. Dewar, R. L. Interaction between hydromagnetic waves and a time-dependent, inhomogeneous
medium / R. L. Dewar // Phys. Fluids. 1970. Vol. 13.
P. 2710–2730.
39. Ryutova, M. P. The effects on mass flows on
the dissipation of Alfven waves in the upper layers of
the solar atmosphere / M. P. Ryutova, S. R. Habbal //
Astrophys. J. 1995. Vol. 451. P. 381–390.
40. Campos, L. M. B. C. On Alfven waves in a
flowing atmosphere / L. M. B. C. Campos, P. J. S. Gil
// Phys. Plasmas. 1999. Vol. 6. P. 3345–3357.
41. Vazquez-Semadeni, E. Does turbulent pressure behave as a logatrope? / E. Vazquez-Semadeni,
J. Canto, S. Lizano // Astrophys. J. 1998. Vol. 492.
P. 596–602.
42. Matsumoto, T. Protostellar collapse of magneto-turbulent cloud cores: shape during collapse and
outflow formation / T. Matsumoto, T. Hanawa // Ast­
rophys. J. 2011. Vol. 728. AI 47.
43. Дудоров, А. Е. Трехмерная МГД модель
коллапса турбулентного протозвездного облака
/ А. Е. Дудоров, С. Н. Замоздра // Химическая и
динамическая эволюция галактик : сб. тр. конф.,
28–30 сент. 2009 г. / ред. Н. Г. Бочкарев, Ю. А. Ще­
кинов. Ростов н/Д : РСЭИ, 2010. С. 126–136.
44. Замоздра, С. Н. Одномерные модели коллапса турбулентных протозвездных облаков /
С. Н. Замоздра // Звездообразование в галактике
и за ее пределами : сб. тр. конф., 17–18 апр. 2006
г. / ред. Д. З. Вибе, М. С. Кирсанова. М. : Янус-К,
2006. С. 86–92.