13. Представления симметрических групп § 13.1. Действие S

§13.
Sn
Представления симметрических групп
Напомним, что диаграмма Юнга
, в каждой клетке которой стоит какая-нибудь буква алфавита [1::m] = {1; 2; : : : ; m} (при
этом могут использоваться не все буквы, и используемые буквы могут повторяться), называется
заполнением формы . Заполнение T называется стандартным , если число букв совпадает с
числом клеток диаграммы: m = ||, и каждая буква используется ровно один раз. Заполнение
T называется таблицей , если его символы нестрого возрастают слева направо вдоль строк
диаграммы и строго возрастают сверху вниз вдоль столбцов. Число всех таблиц формы в
алфавите [1::m] мы обозначаем через d(m), а число стандартных таблиц формы | через d.
P Зафиксируем n ∈ N и с каждым стандартным заполнением T формы = ( ; ; : : : ; k ) c
i = n свяжем две подгруппы RT ; CT ⊂ Sn , которые будем называть строчной и столбцовой
подгруппами заполнения T . Строчная подгруппа RT состоит из всех перестановок, сохраняющих
содержимое каждой строки заполнения T . Аналогично, столбцовая подгруппа CT состоит из всех
перестановок, сохраняющих содержимое каждого столбца. Таким образом,
13.1. Действие
на заполненных диаграммах Юнга.
1
RT ' S1 × S2 × · · · × Sk ;
CT ' St1 × St2 × · · · × Stm ;
где t = (t ; t ; : : : ; tm) | транспонированная к диаграмма.
1
2
Упражнение 13.1.
Убедитесь в том, что симметрическая группа
Sn
становками букв на стандартных заполнениях фиксированной формы
g ∈ Sn
RgT
=
gRT g −1
2
и
CgT
=
транзитивно действует пере-
, и для любой перестановки
gCT g −1
(13-1)
Нашей ближайшей целью является комбинаторное описание множества перестановок
RT · CT = {g = pq | p ∈ RT ; q ∈ CT } :
Прежде всего заметим, что поскольку RT ∩ CT = {e}, то представление перестановки g ∈ Sn в
виде g = pq с p ∈ RT и q ∈ CT единственно, если существует. Далее, если U = pqT , то никакие
два элемента, расположенные в одной строке заполнения T не могут оказаться в одном столбце
заполнения U . Верно и обратное, но чтобы убедиться в этом потребуется одна комбинаторная
лемма.
Определение 13.1
Скажем, что диаграмма доминирует диаграмму и будем писать D , если + + · · · +k >
+ + · · · + k при всех k ∈ N .
1
1
2
2
Упражнение 13.2.
Убедитесь, что доминирование является отношением частичного порядка на мно-
жестве всех диаграмм Юнга заданного веса
n
и приведите пример двух несравнимых 6-клеточных
диаграмм.
Лемма 13.1
Если форма стандартного заполнения U не является строго доминирующей над формой стандартного заполнения T одного и того же веса || = ||, то имеет место ровно одна из двух
взаимоисключающих возможностей:
• либо найдутся два числа, стоящие в одной строке заполнения T и в одном столбце заполнения U ,
• либо = и pT = qU для некоторых p ∈ RT и q ∈ CU .
Пусть все элементы каждой из строк заполнения T находятся в разных столбцах заполнения U .
Доказательство.
109
13.2. Симметризаторы Юнга
Поскольку все элементы первой строки T лежат в разных столбцах U , выполняется неравенство 6 и существует перестановка q ∈ CU , переводящая все элементы из первой строки
заполнения T в первую строку заполнения q U .
Поскольку все элементы второй строки T также лежат в разных столбцах, существует не
затрагивающая элементов из первой строки заполнения T перестановка q ∈ Cq1U = CU , такая
что в заполнении q q U каждый элемент второй строки заполнения T стоит либо во второй
строке, либо | если он находится в столбце высоты 1 | в первой. В частности, + 6 + .
Продолжая в том же духе, мы получим последовательность перестановок q ; q ; : : : ; qk ∈ CU
(где k | количество строк в диаграмме ), в которой qi ∈ Cqi 1···q1U = CU оставляет на месте
все элементы из первых i − 1 строк заполнения T , а также все элементы i-той строки T , лежащие
в заполнении qi− · · · q U в столбцах высоты < i, и переводит все остальные элементы из i-той
строки T в i-тую строку заполнения qiqi− · · · q U . В частности, + + · · · +i 6 + + · · · +i
при каждом i. По условию леммы эти неравенства возможны только при = , и в этом случае
каждая перестановка qi переводит элементы i-той строки заполнения T в точности в i-тую
строку заполнения qiqi− · · · q U . Поэтому qk · · · q U = pT для некоторого p ∈ RT .
1
1
1
1
2
2 1
1
1
2
1
2
2
−
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
Следствие 13.1
Перестановка g ∈ Sn тогда и и только тогда имеет вид g = pq для некоторых p ∈ RT , q ∈ CT ,
когда никакие два элемента из одной строки T не лежат в одном столбце gT .
Если U = pqT , где p ∈ RT , q ∈ CT , то элементы из одной строки T очевидно
лежат в разных столбцах U . Наоборот, пусть никакие два элемента из одной строки заполнения
T не лежат в одном столбце заполнения U = gT . По лем. 13.1 найдутся перестановки p ∈ RT и
q ∈ CU , такие что pT = qU = qgT , откуда p = qg . Записывая q ∈ CgT = gCT g − как gq g − с
q ∈ CT , получаем g = pq − , что и требовалось.
Элементы групповой алгебры C[Sn]
X
X
rT =
; cT =
sgn() · ;
(13-2)
Доказательство.
1
1
1
1
1
1
13.2. Симметризаторы Юнга.
∈RT
sT
= r T · cT =
∈ CT
X
p∈RT
q ∈ CT
sgn(q) · pq
(13-3)
называются, соответственно, строчным , столбцовым и полным симметризаторами Юнга . Они
обладают следующими очевидными свойствами:
rgT = grT g − ; cgT = gcT g − ; sgT = gsT g −
∀ g ∈ Sn
(13-4)
prT = rT p = rT ∀ p ∈ RT
(13-5)
sgn(q) · qcT = sgn(q) · cT q = cT ∀ q ∈ CT
(13-6)
sgn(q)psT q = sT ∀ p ∈ RT и ∀ q ∈ CT :
(13-7)
Замечательно, что полный симметризатор sT ∈ C[Sn] однозначно с точностью до пропорциональности определяется свойством (13-7). Точнее, имеет место
1
1
1
Лемма 13.2
Векторное подпространство ET = { ∈ C[Sn] | sgn(q)pq = ∀ p ∈ RT ∀ q ∈ CT } одномерно и
линейно порождается симметризатором sT .
Покажем, что всякий элемент = P xg g ∈ C[Sn] , лежащий в пространстве
g ∈Sn
ET , равен xe · sT . Условие sgn(q )pq = означает, что xP
pgq = sgn(q ) · xg для любого g ∈ Sn . Полагая
g = e, получаем xpq = sgn(q ) · xe , откуда = xe · sT +
xg g . Проверим, что все коэффициенты
Доказательство.
g 6∈RT CT
110
§13. Представления
симметрических групп
в последней сумме нулевые. Если g 6∈ RT CT , то по сл. 13.1 найдутся два элемента, лежащие
в одной строке заполнения T и в одном столбце заполнения U = gT . Транспозиция ∈ Sn этих
двух элементов лежит в RT и в óU = gCT g− . Из второго вытекает, что g− g ∈ CT . Полагая
p = , q = g − g в равенстве xpgq = sgn(q ) · xg , получаем xg = −xg , откуда xg = 0.
xg
1
1
1
Лемма 13.3
Если заполнения T и U имеют различную форму, то
r T · C [ S n ] · cU = cU · C [ S n ] · r T = s T · C [ S n ] · s U = 0 :
Достаточно показать, что rT · g · cU = cU · g · rT = 0 для любо g ∈ Sn. Допустим,
что форма заполнения T лексикографически больше формы заполнения U и рассмотрим сначала
случай g = e. По лем. 13.1 какие-то два элемента из одной строки заполнения T лежат в одном
столбце заполнения U . Транспозиция ∈ Sn этих двух элементов лежит как в RT , так и в CU .
Поэтому
rT · cU = (rT · ) · cU = rT · ( · cU ) = −rT · cU
cU · rT = −(cU · ) · rT = −cU · ( · rT ) = −cU · rT ;
откуда rT · cU = cU · rT = 0 для любых заполнений T и U , таких что форма T лексикографически
больше формы U . Для произвольного g ∈ Sn получаем тогда
rT · g · cU = rT · gcU g − · g = (rT · cgU ) · g = 0
cU · g · rT = cU · grT g − · g = (cU · rgT ) · g = 0
поскольку по уже доказанному rT · cgU = 0 = cU · rgT . Если форма заполнения T лексикографически меньше формы заполнения U применим к элементам rT · g · cU и cU · g · rT антиподальный
антиавтоморфизм групповой алгебры C[Sn ], действующий на базисные элементы g ∈ Sn по
правилу g 7−→ g− . Поскольку этот антиавтоморфизм оставляет симметризаторы rT и cT на
месте и оборачивает порядок сомножителей в произведениях, равенства rT · g · cU = cU · g · rT = 0
превратятся в уже установленные равенства rU · g · cT = cT · g · rU = 0.
Доказательство.
1
1
1
Лемма 13.4
sT · C[Sn ] · sT = C · sT , причём s2T = n · sT , где n | положительное число, зависящее только от
формы заполнения T и равное n!= dim (C[Sn] · sT ) .
Из равенств (13-5) {(13-7) вытекает, что при любом x ∈ C[Sn] элемент sT · x · sT
обладает свойством (13-7) и, тем самым, лежит в одномерном пространстве ET = C · sT из
лем. 13.2. В частности, sT = nT · sT для некоторого nT ∈ C . Чтобы найти nT , вычислим двумя
способами след оператора правого умножения на элемент sT :
x7→x·sT
- C [Sn ]
C [S n ]
С одной стороны, из формулы (13-3) вытекает, что для любого g ∈ Sn коэффициент при g
у произведения g · sT равен единице, откуда tr (sT ) = |Sn| = n! . С другой стороны, левый
идеал C[Sn] · sT является Sn-подмодулем левого регулярного представления Sn, и поскольку все
представления Sn вполне приводимы, найдётся дополнительный Sn-подмодуль W ⊂ C[Sn], такой
что C[Sn] = W ⊕ C[Sn] · sT . Правое умножение на sT переводит W ⊂ C[Sn] внутрь C[Sn] · sT , а на
идеале C[Sn] · sT действует как умножение на nT . Поэтому tr (sT ) = nT · dim (C[Sn] · sT ). Таким
образом, nT отлично от нуля и равно n!= dim (C[Sn] · sT ).
Для любого другого заполнения U = gT той же формы, что и T , векторное подпространство
C[Sn ] · sU = g · (C[Sn ] · sT ) · g − получается из подпространства C[Sn ] · sT действием автоморфизма
сопряжения элементом g
x7→gxg 1
- C [S n ] :
C [S n ]
Доказательство.
2
1
−
111
13.2. Симметризаторы Юнга
Поэтому левые идеалы C[Sn] · sU и C[Sn] · sT изоморфны как левые Sn-модули и, в частности,
имеют одинаковую размерность. Тем самым число nT = n T зависит только от формы = (T )
заполнения T .
( )
Теорема 13.1
Представление Sn левыми умножениями в идеале VT = C[Sn] · sT неприводимо. Два таких представления VT и VU изоморфны тогда и только тогда, когда заполнения T и U имеют одинаковую форму = (T ) = (U ). Если для каждой n-клеточной диаграммы Юнга произвольным
образом зафиксировать некоторое стандартное заполнение T, то неприводимые представления
V = VT составят полный список попарно неизоморфных неприводимых представлений Sn .
Пусть W ⊂ VT является Sn-инвариантным подмодулем. Отметим, что перестановочный с левым умножением на Sn проектор W : C[Sn] -- W представляет собой
оператор правого умножения на элемент w = (1) ∈ W , т. к. для любого x ∈ C[Sn] имеем
W (x) = W (x · 1) = x · W (1) = x · w .
Поскольку sT · W ⊂ sT · VT = sT · C[Sn] · sT = C · sT , для левого действия элемента sT на
подмодуле W имеются ровно две возможности: либо sT · W = 0, либо sT · W = C · sT . В первом
случае
W · W ⊂ VT · W = C[Sn ] · sT · W = 0 ;
откуда w · w = 0, а значит правое умножение на w аннулирует W = C[Sn] · w и W = 0. Во втором
случае sT ∈ sT · W ⊂ W , откуда VT = C[Sn] · sT ⊂ W , т. е. W = VT . Таким образом, модуль VT
неприводим.
Как мы видели в конце доказательства лем. 13.4, представления VT и VgT = gVT g− , отвечающие любым двум заполнениям одинаковой формы, изоморфны. Если заполнения T и U имеют
разные формы, то по лем. 13.3 левое умножение на sT аннулирует модуль VU , тогда как на модуле
VT оно, по лем. 13.4, действует умножением на ненулевое число n T . Поэтому представления VT
и VU не изоморфны. Последнее утверждение теоремы следует из того, что попарно неизоморфных неприводимых представлений V получилось ровно столько, сколько классов сопряжённых
элементов в Sn.
sT cT · rT Множества RT CT и CT RT , вообще говоря, различны.
Например, для стандартного заполнения T = 31 2 они различаются содержащимся в них
циклом длины три: в RT CT это цикл |12i◦|13i = |132i, а в CT RT | цикл |13i◦|12i = |123i.
Таким образом, перестановка сомножителей в формуле (13-3) позволяет написать ещё один
симметризатор
X
s0T = cT · rT =
sgn(q) · qp
(13-8)
Доказательство.
1
( )
13.2.1. Симметризаторы
0
=
.
p∈RT
q ∈ CT
который, вообще говоря, не равен симметризатору sT = rT ·cT . Как элементы групповой алгебры
s0T и sT переводятся друг в друга антиподальным антиавтоморфизмом групповой алгебры
C[Sn ], действующим на базисные элементы g ∈ Sn по правилу g 7→ g − .
1
Упражнение 13.3.
Сформулируйте и докажите для симметризатора
лем. 13.3, лем. 13.4 и теор. 13.1.
Предложение 13.1
s0T
аналоги соотношения (13-7),
Представления Sn левыми умножениями в идеалах VT = C[Sn] · sT и VT0 = C[Sn] · s0T изоморфны.
Операторы правого умножения на cT и rT являются гомоморфизмами левых
Sn -модулей
x7→x·cT
- C [S ] · r c = V
VT0 = C[Sn ] · ÓT rT n
T T
T
x7→x·r
Доказательство.
T
112
§13. Представления
симметрических групп
Композиция x 7→ x · rT cT = x · sT действует на VT = C[Sn] · sT умножением на ненулевую
константу n T . Таким образом, операторы правого умножения на n− = cT и n− = rT являются
взаимно обратными изоморфизмами представлений.
1 2
( )
1 2
Следствие 13.2
Неприводимые представления V и Vt , отвечающие транспонированным диаграммам и t,
получаются друг из друга тензорным умножением на одномерное знаковое представление.
Обозначим через : C[Sn] - C[Sn] | знаковый автоморфизм групповой
алгебры, который задаётся на базисных элементах g ∈ Sn правилом g 7→ sgn(g) · g . Выберем
какое-нибудь стандартное заполнение T формы и рассмотрим транспонированное заполнение
T t транспонированной диаграммы t . Тогда RT t = CT , CT t = RT и
X
X
sT t =
sgn(p) · qp = sgn(q) · sgn(pq) · qp = s0T :
Доказательство.
p∈RT
q ∈ CT
p∈RT
q ∈ CT
Тензорное произведение представления V на одномерное знаковое представление изоморфно
представлению Sn в пространстве VT0 = C[Sn] · s0T , заданному правилом g : x · s0T 7−→ sgn(g) · gx · s0T .
Автоморфизм изоморфно отображает это пространство на Vt = C[Sn] · sT t и переводит это
действие в стандартное действие левым умножением g : (x) · sT t 7−→ g(x) · sT t .
M Орбита стандартного заполнения T под действием строчной
подгруппы RT называется таблоидом формы . Мы будем обозначать таблоид, получающийся из заполнения T , через {T }. Таблоиды фиксированной формы биективно соответствуют
левым смежным классам Sn=RT , и группа Sn действует на них левыми умножениями. Таким
образом возникает представление Sn на пространстве формальных линейных комбинаций (с
комплексными коэффициентами) таблоидов формы . Это представление иначе можно описать
как представление Sn, индуцированное с тривиального одномерного представления подгруппы
RT ⊂ Sn . Оно называется модулем таблоидов и обозначается M .
13.3. Модуль таблоидов
Упражнение 13.4.
Sn
.
Покажите, что представление
левыми умножениями в идеале
C[Sn ] · rT
.
Sn
в пространстве
M
изоморфно представлению
M принято обозначать через
. Рассмотрим класс сопряжённости C ∈ cl(Sn), состоящий из всех перестановок циклового типа , и обозначим через mj число
строк длины j в диаграмме .
13.3.1. Характер модуля
Предложение 13.2
Значение (C) равно коэффициенту при одночлене x = x1 x2 P
· · · xnn в симметрическом многочлене Ньютона pm(x) = p (x)m1 p (x)m2 · · · pn(x)mn , где pk (x) = xki .
1
1
2
2
i
Поскольку каждый элемент g ∈ Sn действует на M некоторой перестановкой
базисных векторов, след tr (g) равен числу таблоидов {T } формы , таких что {gT } = {T }.
Последнее означает, что каждый цикл перестановки g действует в пределах какой-либо одной
строки заполнения T . Таблоид {T }, в i-той строке которого находится %ij непересекающихся
циклов длины j из перестановки g, можно составить m ! · m ! · · · · · mn!= Q %ij ! способами .
ij
Таким образом,
X m ! · m ! · · · · · mn !
Q
(13-9)
(C ) = tr(g ) =
%ij !
%ij
Доказательство.
1
1
2
1
2
ij
1 все
такие таблоиды составляют одну орбиту группы
Sm1 × Sm2 × ·Q
· · × Smn , переставляющей между собою
%ij ! перестановок циклов внутри строк
циклы одинаковой длины, и стабилизатор данного таблоида состоит из
ij
13.4. Модуль Шпехта
113
S
где сумма берётся по всем наборам неотрицательных целых чисел %ij , удовлетворяющих условиям
X
X
%ij = mj и
j · %ij = i :
(13-10)
i
j
С другой стороны, mi-тая степень j -той степенной суммы Ньютона раскладывается как
X
mi !
pj (x)mi = (xj + xj + · · · + xjn )mi =
xj ·%1j xj ·%2j · · · xjn·%nj
%
!
%
!
·
·
·
%
!
j
j
nj
%ij
1
2
1
2
1
2
где сумма берётся по всем наборам неотрицательных целых чисел %ij , удовлетворяющих
первому условию из (13-10). Перемножая такие разложения по всем j получаем при x1 x2 · · · xnn в
точности коэффициент (13-9).
1
Упражнение 13.5.
Выведите формулу (13-9) из формулы для характера индуцированного предста-
вления из 12-1.
13.4. Модуль Шпехта
идов M вектор
2
S
.
Для каждого заполнения T формы рассмотрим в модуле таблоvT
= c T {T } =
X
q ∈ CT
sgn(q) · {qT } :
(13-11)
Поскольку ни при каком q ∈ CT никакие два элемента из одного столбца T не могут оказаться в
одной строке qT , равенство q T = pq T невозможно ни при каких q ; q ∈ CT и p ∈ Rq2T , т. е. все
слагаемые в правой сумме (13-11) суть различные базисные векторы пространства таблоидов
M , взятые с коэффициентами ±1. В частности, каждый из векторов vT отличен от нуля.
Линейная оболочка векторов (13-11), полученных из всех возможных заполнений T формы
, является Sn -подмодулем, поскольку
gvT = gcT {T } = gcT g − {gT } = cgT {gT } = vgT ∀ g ∈ Sn :
Этот подмодуль обозначается S и называется модулем Шпехта .
1
2
1
2
1
Лемма 13.5
Если форма заполнения T не является строго доминирующей диаграмму , то
(
0
при 6= cT M =
C · vT при = :
Если в пересечении RU ∩ CT имеется хоть одна транспозиция , то
cT {U } = cT {U } = cT · {U } = −cT {U } ;
(13-12)
откуда cT {U } = 0. Согласно лем. 13.1, в условиях нашей леммы такой транспозиции нет, только
когда U и T имеют одинаковую форму и pU = qT для некоторых p ∈ RU и q ∈ CT . В этом
случае cT {U } = cT {pU } = cT {qT } = sgn(q) · cT {T } = ±vT , что и утверждалось.
Доказательство.
Теорема 13.2
Модуль Шпехта S изоморфен неприводимому представлению V левыми умножениями в идеале
C[Sn ] · sT (где T | произвольное заполнение формы ).
Покажем сначала, что S неприводим. Если бы существовало разложение S =
V ⊕ W в сумму Sn -подмодулей, то каждый оператор cT , построенный по заполнению T формы
, переводил бы каждое из слагаемых в себя. Однако по лем. 13.5 cT S ⊂ cT · M = C · vT . Тем
самым, ненулевой вектор vT лежит ровно в одном из слагаемых | скажем, в V . Но тогда V
содержит и все остальные векторы vgT = gvT , а значит, совпадает с S .
Доказательство.
114
§13. Представления
симметрических групп
Из лем. 13.5 следует также, что все неприводимые представления S попарно неизоморфны:
при (T ) < оператор cT аннулирует модуль S ⊂ M , а на модуле S действует нетривиально:
cT vT = cT cT {T } = |CT | · cT {T } = |CT | · vT :
Таким образом, S изоморфен ровно одному из неприводимых представлений V = C[Sn] · rU cU ,
где U | произвольное заполнение формы . По лем. 13.3 левое умножение на cT аннулирует все
идеалы V с 6= . Поэтому S ' V .
Следствие 13.3
Разложение модуля таблоидов M в прямую сумму неприводимых подмодулей имеет вид
M = S ⊕
M
S ⊕k
B т. е. S входит в M с кратностью один, а все остальные подмодули разложения отвечают
диаграммам , строго доминирующим диаграмму (см. опр. 13.1).
Поскольку оператор cT переводит M внутрь S и нетривиально действует
на S , никаких других прямых слагаемых, изоморфных S , в M нет, т.е. S входит в M с кратностью 1. Если существует инъективный гомоморфизм S - M , то оператор cU ,
отвечающий произвольному заполнению U формы , должен нетривиально действовать на M .
Но если 6= не является строго доминирующим над , то cU M = 0 по лем. 13.5.
Упорядочим все стандартные заполнения T
формы , полагая T U , если наибольшее из чисел, стоящих в заполнениях T и U в разных
клетках, встречается в столбцовой развёртке заполнения T раньше, чем в столбцовой развёртке
заполнения U .
Доказательство.
13.4.1. Стандартный базис модуля Шпехта.
1
Упражнение 13.6.
Проверьте, что это отношение транзитивно.
Например, 120 стандартных заполнений формы
31
42
5
23 13 41
4 1 4 2 3 2 ···
5
5
5
45 15 25 25 15 35 35
··· 2 3 2 4 1 4 3 4 3 4 1 4 2 4 :
1
3
3
1
2
2
1
Главная особенность введённого порядка в том, что для любой стандартной таблицы T и
любых p ∈ RT и q ∈ CT выполняются строгие неравенства pT T qT , поскольку самое
большое число в любом цикле перестановки p сдвигается влево, а самое большое число в любом
цикле перестановки q | вверх. В частности, если T | таблица, а U ≺ T | любое заполнение,
то {T } =6 {U }, поскольку T | минимальный элемент орбиты RT T .
32
41
5
21
43
5
Упражнение 13.7.
Пусть
12
43
5
выстроятся по убыванию так:
U
и
V
| стандартные
таблицы
и
U ô . Покажите, что cT {U } = 0.
Теорема 13.3
Векторы vT , где T пробегает множество стандартных таблиц формы , образуют в S базис.
1 напомним, что столбцовая развёртка заполнения T диаграммы | это слово, которое получится если читать
заполнение T по столбцам, двигаясь в каждом столбце снизу вверх и перебирая столбцы слева направо; например,
1 3 4
столбцовая развёртка стандартной таблицы T =
| это слово 21534
2
5
115
13.5. Кольцо представлений симметрических групп
Убедимся вначале, что векторы vT , построенныеP по всевозможным стандартным таблицам T , линейно независимы. Выражение вектора vT = sgn(q)·{qT } через базисные
q ∈ CT
P
векторы {U } пространства M имеет вид vT = {T }+ "U ·{U }, где "U = −1; 0; 1. Любую линейU ≺ô
ную зависимость между векторами vT можно переписать в виде vT = P xU · vU . Раскладывая
U ≺ô
векторы vT и vU по базису из таблоидов, мы получаем равенство вида {T } = P yU · {U }, что
U ≺ô
невозможно, так как {T } =6 {U } ни для какого U ≺ T .
о биекции и теоремы Машке вытекает, что
P Таким образом,Pdim S > d . Из теоремы
d = n! = |Sn | = dim S . Поэтому dim S = d и векторы vT порождают S .
Доказательство.
1
2
3
2
2
Обозначим через Rn аддитивную
абелеву группу классов представлений симметрической группы Sn. Напомним (см. n◦ 12.3), что
Rn можно определить как фактор свободной абелевой группы, порождённой классами [V ] изоморфных представлений Sn, по соотношениям [U ⊕ W ] = [U ] + [W ] или, что то же самое, | как
свободную абелеву группу, порождённую классами [V] изоморфных неприводимых представлений Sn. Мы собираемся снабдить прямую сумму всех таких групп
13.5. Кольцо представлений симметрических групп.
R
=
def
M
Rn
n>1
структурой градуированного коммутативного кольца с единицей. Подчеркнём, что градуированное умножение на всём R, которое мы сейчас введём, отличается от обсуждавшегося в
n◦ 12.3 умножения [U ]; [W ] 7→ [U ⊗ W ], имеющегося на каждом из Rn в отдельности.
- GL(U ) и : Sm
- GL(W )
R Любые два представления ' : Sk
определяют представление
' × : Sk × Sm - GL(U ⊗ W )
(13-13)
заданное правилом (g; h) : u ⊗ w 7−→ gu ⊗ hw. Вложим Sk × Sm в Sk m в качестве подгруппы,
переводящей в себя каждое из двух подмножеств разбиения
{1; 2; : : : ; k + m} = {1; 2; : : : ; k } t {k + 1; k + 2; : : : ; k + m}
(13-14)
4
13.5.1. Умножение в
.
+
образуем представление IndSSkk+×mSm U ⊗ W группы Sk m, индуцированное с представления (13-13)
подгруппы Sk × Sm ⊂ Sk m , и положим по определению
+
+
[U ] · [V ] = IndSSkk+×mSm U ⊗ W
def
h
i
(13-15)
:
Отметим, что вместо разбиения (13-14) можно было бы использовать любое другое разбиение
алфавита [1::(k + m)] на два непересекающихся подмножества. Это дало бы другую подгруппу
Sk × Sm ⊂ Sk m , сопряжённую к использованной выше, и представление IndSSkk+×mSm U ⊗ W , индуцированное с представления (13-13) этой сопряжённой подгруппы, будет изоморфно построенному.
Таким образом, класс [U · V ] не зависит от выбора разбиения (13-14), используемого для его построения.
Из этого замечания сразу следует коммутативность умножения (13-13). Ассоциативность
вытекает из того, что для любых трёх представлений U , V и W групп Sk , S` и Sm, оба класса
+
1 для
этого достаточно оставить слева только ненулевой член с максимальным индексом
ненулевые члены перенести направо
2 см. формулу (6-10) на стр. 49
3 см. см. сл. 9.6 на стр. 76
4 т. е. такого, что Rk · Rm ⊂ Rk+m
T,
а все остальные
116
§13. Представления
симметрических групп
([U ] · [V ]) · [W ] и [U ] · ([V ] · [W ]) совпадают с классом представления Sm n k , индуцированного с
представления подгруппы Sk × S` × Sm ⊂ Sm n k в пространстве U ⊗ V ⊗ W по правилу
(g ; g ; g ) : u ⊗ v ⊗ w 7→ g (u) ⊗ g (v) ⊗ g (w) :
+ +
+ +
1
Упражнение 13.8.
2
3
1
2
3
Убедитесь в этом.
Дистрибутивность конструкции по отношению к прямым суммам представлений следует из дистрибутивности тензорных произведений.
Лемма 13.6
Кольцо R изоморфно кольцу многочленов с целыми коэффициентами от счётного числа переменных, отвечающих классам тривиальных одномерных представлений [1k ] групп Sk (для всех
k ∈ N). Модули таблоидов M являются мономами от этих классов
[M ] = [11 ] · [12 ] · · · · · [1n ] = [1 ]`1 [1 ]`2 · · · [1n]`n
(где `i есть количество строк длины i в диаграмме ) и образуют базис R как модуля над Z.
Из сл. 13.3 вытекает, что классы таблоидных представлений [M ] выражаются
через неприводимые классы [S ] при помощи верхней треугольной матрицы с целыми коэффициентами и единицами по главной диагонали. Поэтому классы [M ] образуют базис R как модуля
над Z. Поскольку представление M , отвечающее диаграмме = ( ; ; : : : ; n), индуцировано
с тривиального одномерного представления подгруппы S1 × S2 × · · · Sn ⊂ S||, класс [M ]
является произведением классов тривиальных одномерных представлений [1i ] = [M i ] групп
Si , ибо модуль M i таблоидов, форма которых | одна строка длины i , представляет собой
тривиальное одномерное представление группы Si .
R Обозначим через ([U ]; [W ]) евклидово скалярное произведение на R, для которого базис из классов неприводимых представлений [V] является ортонормальным. Отметим, что сумма R = ⊕Rk является ортогональной относительно такого
скалярного произведения.
Для любых двух классов представлений [U ] = P k · [V] и [W ] = P m · [V], лежащих в
|| n
|| n
одной и той же компоненте Rn, имеем равенство
X
([U ]; [W ]) = km = dimHomSn (U; W ) = (U ; W )n ;
(13-16)
1
2
Доказательство.
1
2
(
(
)
)
13.5.2. Скалярное произведение в
.
=
=
||=n
где через (U ; W )n мы обозначаем скалярное произведение характеров в групповой алгебре
C[Sn ]. Для каждой n-клеточной диаграммы обозначим, как обычно, через mi число её строк
длины i и положим
Y
z = mi ! · imi ;
(13-17)
i
Число элементов в классе сопряжённости C ⊂ Sn, состоящем из всех перестановок циклового
типа , записывается в этих обозначениях как
n!
|C | =
:
z
Поскольку подстановки g и g− имеют одинаковый цикловой тип, (g) = (g− ) для любого
характера и скалярное произведение характеров в правой части (13-16) переписывается как
1 X g− (g) = 1 X |C| (C) (C) = X U (C)W (C) :
U
W
U
W
n!
n!
z
1
1
1
g ∈Sn
Таким образом, для любых классов представлений [U ]; [W ] ∈ Rn
X
([U ]; [W ]) = U (C)zW (C) :
(13-18)
117
13.5. Кольцо представлений симметрических групп
Напомним, что в n◦ 6.6.2 мы ввели
накольце ˜ симметрических функций c целыми коэффициентами скалярное произведение ∗ ; ∗ , для
которого базис из полиномов Шура s является ортонормальным, базис из полных симметрических функций h является двойственным к мономиальному базису m, а полиномы Ньютона p
образуют
в ортогональный базис векторного пространства Q ⊗ ˜ со скалярными квадратами
p ; p = z (определения этих базисов и матрицы переходов между ними см. в §5).
На языке симметрических функций результат предл. 13.2 о характере таблоидного представления M утверждает, что значения (C) являются коэффициентами разложения ньютоновской симметрической функции p по мономиальному базису m:
X
p =
(C ) · m
13.5.3. Связь с симметрическими функциями.
и, тем самым, равны скалярным произведениям с элементами двойственного базиса:
(C ) = p ; h ;
которые можно иначе воспринимать как коэффициенты разложения полных симметрических
многочленов h по ортогональному базису p=z:
X
X (C ) · p
M
:
(13-19)
h =
z − p ; h p =
1
z
Сравнение этой формулы с формулой (13-18) приводит к следующему важному результату.
Теорема 13.4
Существует изометрический изоморфизм колец ch : R ∼- ˜, переводящий классы таблоидных
представлений [M ] в полные симметрические многочлены h, классы неприводимых представлений [S ] | в многочлены Шура s, а инволюцию на классах представлений, заданную тензорным умножением на одномерное знаковое представление, | в инволюцию ! на ˜, переводящую
s в st . Этот изоморфизм корректно задаётся правилом
X
ch : [U ] 7−→ ch([U ]) = U (C) · p :
(13-20)
1
2
def
z
Отображение (13-20) очевидно линейно по [U ]:
X
ch([U ] + [W ]) = ch([U ⊕ W ]) = U ⊕W (C) · p =
Доказательство.
z
=
( ( ) + W (C)) · p = ch([U ]) + ch([W ]) :
X U C z
Согласно лем. 13.6 и сл. 5.4 со стр. 37 оба кольца R и ˜ являются кольцами многочленов от
счётного числа переменных: первое | от классов тривиальных одномерных представлений [1k ]
групп Sk , второе | от простейших полных симметрических многочленов hk (в обоих случаях
k пробегает N). В силу соотношения (13-19) отображение ch переводит каждый базисный моном
[M ] = [11 ] · [12 ] · · · · · [1n ] = [1 ]`1 [1 ]`2 · · · [1n]`n
(где `i есть количество строк длины i в диаграмме ) в базисный моном
h = h1 · h2 · · · · · hn = h`1 h`2 · · · h`nn ;
3
1
1
2
2
1 см. n◦ 5.4
2 не смотря на то, что оно содержит знаменатели!
3 напомню, что hk (x) представляет собою сумму всех мономов полной степени k (см. n◦ 5.3)
118
§13. Представления
симметрических групп
причём делает это с сохранением мультипликативной структуры, поскольку ch ([1k ]) = hk . Таким образом, ch является изоморфизмом колец R ∼- ˜. Ортогональность отображения ch
вытекает из формулы (13-18) и того, что
полиномы Ньютона p образуют в ортогональный
базис Q ⊗ ˜ со скалярными квадратами p ; p = z:
X
X
ch([U ]) ; ch([W ]) = U (C)W (C) · p ; p = U (g)W (g) = ([U ]; [W ]) :
z z
;
z
Далее, из сл. 13.3 вытекает, что ортонормальный базис [S] выражается через через таблоидный
базис [M ] при помощи некоторой нижней унитреугольной матрицы:
X
[S ] = [M ] + x[M ] :
B Согласно формуле (6-20) со стр. 54 полные симметрические многочлены h выражаются через
многочлены Шура s также при помощи нижней унитреугольной матрицы
X
X
K; · s
K; · s = s +
h =
B (так как числа Костки K; отличны от нуля только при D и все K; = 1). Поэтому выражение ch [S ] через полиномы Шура тоже задаётся некой нижней унитреугольной матрицей:
X
X
X
ch [S ] = ch [M ] + x[M ] = h + xh = s + ys :
1
B B B Поскольку 1 = [S ] ; [S ] = ch([S ]) ; ch([S ]) = s ; s + y s ; s = 1 + P y ,
B B все y = 0, т. е. ch [S ] = s . Утверждение о согласованности двух инволюций вытекает из
сл. 13.2 и сл. 6.2 со стр. 54.
P
2
2
Следствие 13.4 (правило Юнга)
Кратность вхождения неприводимого представления S в модуль таблоидов M равна числу
Костки K;.
Следствие 13.5 (правило Литлвуда { Ричардсона)
Кратность вхождения неприводимого представления [S ] в представление
[S ] · [S ] равна коэфP фициенту Литтлвуда{ Ричардсона c из разложения s · s = c · s .
2
Следствие 13.6 (правило ветвления 1)
Представление IndSSnn+1 (S ) группы Sn , индуцированное неприводимым представлением S подгруппы Sn ⊂ Sn , является прямой суммой (с единичными кратностями) неприводимых
представлений S , диаграмма которых получается добавлением одной клетки к диаграмме .
Поскольку [IndSSnn 1 (S )] = [S ] · [1 ], утверждение вытекает из предыдущего
следствия и формулы Пьери для вычисления s · h .
+1
+1
Доказательство.
3
1
−
1
Следствие 13.7 (правило ветвления 2)
Ограничение ResSSnn 1 (S ) неприводимого представления S группы Sn на подгруппу Sn− ⊂
Sn , является прямой суммой (с единичными кратностями) неприводимых представлений S ,
диаграмма которых получается выкидыванием одной клетки из диаграммы .
−
1
1 напомню, что K; равно числу таблиц формы , заполненных 1 единицами, 2 двойками, и т. д. (см. формулы
(6-14){(6-15) на стр. (6-14))
2 см. теор. 6.2 на стр. 53
3 см. упр. 6.6 на стр. (упр. 6.6)
119
13.5. Кольцо представлений симметрических групп
Это получается из предыдущего следствияS по двойственности Фробениуса:
кратность вхождения неприводимого представления S в ResSnn 1 (S ) равна кратности вхождения неприводимого представления S в IndSSnn 1 (S ).
Доказательство.
−
−
Следствие 13.8 (формула Фробениуса для характеров
Sn )
Значение характера неприводимого представления S симметрической группы Sn на классе
сопряжённости C ⊂ Sn равно каждому из следующих трёх равных друг другу чисел:
◦ коэффициенту при p (x)=z в разложении многочлена Шура s (x) по базису p (x)=z в
пространстве Q ⊗ ˜
◦ коэффициенту при s (x) в разложении многочлена Ньютона p (x) по базису Шура s (x) в
Z-модуле ˜
◦ коэффициенту при одночлене x = x1 n− x2 n− · · · xnn в многочлене
Y
p (x) · ´ (x) = p (x)m1 p (x)m2 · · · pn (x)mn · (xi − xj )
+
1
+
1
1
2
+
2
2
i<j
(где pk (x) = P xki суть степенные суммы Ньютона, число mi равно количеству строк длины i в
i
диаграмме , а через ´ (x) = det xni −j = Q (xi − xj ) обозначен определитель Вандермонда).
i<j
Первое вытекает прямо из теор. 13.4. Поскольку система многочленов p ортогональна со скалярными квадратами
при p(x)=z в разложении s по базису
z , коэффициент
p равен скалярному произведению s ; p , которое в свою очередь равно коэффициенту при
s в разложении p по ортонормальному базису s , что даёт второе представление. Записывая
s по формуле Якоби { Труди как отношение определителей s (x) = ´ (x)=´ (x) и умножая
обе части разложения
X
´ (x)
p (x) =
( C ) · ´ (x)
на определитель Вандермонда ´ , получаем разложение
X
p (x) · ´ (x) =
(C ) · ´ (x) :
Доказательство.
+
+
+
Иными словами, (C) равен коэффициенту разложения кососимметрического многочлена
p (x) · ´ (x)
по стандартному базису из мономиальных кососимметрических функций ´ (x) (см. n◦ 5.1.2 и
n◦ 5.5).
+