Задачи и решения - Омские олимпиады

«ПУТЬ К ОЛИМПУ»
ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ УЧЕНИКОВ 5 КЛАССОВ
Омск • 22.11.2015
Условия и решения задач. Критерии проверки.
1. У Пети 8 монет по 10 рублей и 4 монеты по 5 рублей. Он хочет положить деньги в
квадратную картонную коробку так, чтобы возле каждой стенки лежало по 50
рублей. Как это сделать, если разрешается класть монеты друг на друга?
Достаточно привести один вариант размещения.
Решение:
например, размещаем в двух диаметрально противоположных углах 4 монеты по
10р + 2 монеты по 5 р.
Критерии:
2 балла – приведён по крайней мере один пример правильного размещения монет.
0 баллов – в остальных случаях.
2. На базаре продаются круглики и шмуглики. Полкилограмма кругликов стоят
столько же, сколько 2 килограмма шмугликов. А килограмм кругликов и 3
килограмма шмугликов вместе стоят 350 рублей. Что дороже и на сколько рублей:
2 килограмма кругликов или 7 килограммов шмугликов? Ответ необходимо
подтвердить вычислениями.
Решение:
1 кг кругликов стоит столько же, сколько 4 кг шмугликов. Значит 7 кг шмугликов
стоят 350 рублей и 1 кг шмугликов стоит 50 рублей. Тогда 1 кг кругликов стоит 200
рублей, а 2кг кругликов – 400рублей. Значит, 2кг кругликов дороже 7 кг шмугликов
на 50 рублей.
Критерии:
2 балла – полное правильное решение.
1 балл – при правильной логике решения допущена арифметическая ошибка.
0 баллов – в остальных случаях.
3. Разрежьте букву «О» на 8 одинаковых по форме частей так, чтобы линии разреза
шли по сторонам клеток. Найдите два различных способа такого разрезания.
(Формы фигур, полученных при разных способах разрезания, должны быть
различными).
Решение:
Существует несколько способов разрезания, например:
Критерии:
2 балла - указаны не менее двух различных способов разрезания.
1 балл- указан только один способ разрезания.
0 баллов - в остальных случаях.
4. Петя и Вася получили от своей учительницы математики такое задание. Придумать
два трёхзначных числа, которые записываются шестью различными цифрами и в
сумме дают 1000. Петя утверждает, что он смог придумать такие числа, причём
каждое из них делится на 5. А Вася утверждает, что он тоже смог придумать такие
числа, причём каждое из них делится на 8. Кому из ребят стоит верить? Ответ
необходимо объяснить.
Решение:
Раз каждое из Петиных чисел делится на 5 и числа записываются разными
цифрами, то одно из чисел заканчивается на 0, а другое на 5. Тогда их сумма будет
заканчиваться на 5, а не на 0. Петя ошибается.
Вася, например, мог придумать такие числа: 104 и 896.
Критерии:
2 балла - полное правильное решение.1 балл – доказана невозможность примера
Пети ИЛИ правильно приведён пример чисел Васи с проверкой.
0 баллов - в остальных случаях.
5. Каждый вечер привидения Аах и Уух летают вокруг старого замка. Они стартуют
одновременно с одного места в одном направлении и летают по одному и тому же
кругу с постоянной скоростью без остановок ровно 10 минут. Аах пролетает один
круг за 54 секунды, а Уух в 3 раза быстрее. Сколько раз после старта Уух обгоняет
Ааха? Ответ необходимо объяснить.
Решение:
К месту встречи Уух пролетел в 3 раза большее расстояние, чем Аах. И оно больше
расстояния, которое пролетел Аах, на один круг. Таким образом, полный круг в 2
раза больше, чем расстояние, которое пролетел Аах до места первой встречи. Т.е.
первая встреча произошла, когда Аах пролетел полкруга через 54:2=27 секунд.
Всего за 10 минут Уух обгонит Ааха 600:27=22 раза.
Критерии:
2 балла - полное правильное решение.
1 балл – без объяснений используется следующее утверждение. Чтобы найти число
встреч, надо от полного числа кругов, сделанных одним приведением, отнять
полное число кругов, сделанных другим приведением.
0 баллов - в остальных случаях.