Современные подходы к построению решений ... бессеточными методами связываются с использованием ...

УДК 519.63
МЕТОД АТОМАРНЫХ РБФ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ
ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
О.Ю. Лисина
Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет
Современные подходы к построению решений краевых задач
бессеточными методами связываются с использованием в качестве
базисных атомарных функций. Начало исследованиям данного класса
функций положили работы В.Л.Рвачева и В.А.Рвачева, построившим в
1971 году простейшую одномерную атомарную функцию up (x) [1, 2].
Бесконечная дифференцируемость и финитность функции up (x)
позволила построить алгоритмически простые вычислительные схемы
для решения задач аппроксимации функций. Атомарные функции
использовались в качестве пробных при решении краевых задач на
основе применения вариационных методов. Расширение понятия
атомарной функции на случай многих независимых переменных
(нетривиальные
обобщения)
связаны
с
исследованиями
В.М.Колодяжного и В.А.Рвачева [3], которые предложили классы
атомарных функций, порождаемых ФДУ специального вида [4, 1]:
Lu  x1 , x2 , ..., xn    k 
K
k 1
k
u  a  x1  1  , a  x2   2  , ..., a  xn   n   d 
 u  ax1 , ax2 , ..., axn 
,(1)
где x1 , x2 , ..., xn  R n , L – дифференциальный оператор, в качестве
которого можно рассматривать дифференциальные операторы
N
различных видов   
i 1
2
xi2
– оператор Лапласа;    2 – оператор
N
Гельмгольца;  – бигармонический оператор и т.д.;  k :   i2  rk2 –
i 1
граница выпуклой области, a - коэффициент сжатия. Выбор значений
коэффициентов k , 
осуществляется таким образом, чтобы
обеспечивалось существование и единственность финитного решения
соответствующих ФДУ. Функции, получаемые в результате решения
ФДУ вида (1), являются бесконечно
дифференцируемыми, что
представляется важным при реализации численных алгоритмов
решения задач математической физики. В частности, при решении задач
теплопроводности такие функции могут использоваться в качестве
базисных при построении приближенного решения.
Алгоритм бессеточной схемы численного решения 3D краевой
задачи с помощью АРБФ Horp  x1, x2 , x3  рассмотрим на примере
построения решения краевой задачи для дифференциального уравнения
Гельмгольца,
к
которому
легко
преобразуется
уравнение
теплопроводности. Пусть D  ( x1 , x2 , x3 ) : a  x1  b; c  x2  d ; f  x3  g куб в
пространстве 3 . Пусть в ограниченной односвязной области   D
задано дифференциальное уравнение
(2)
u( x1 , x2 , x3 )   2u( x1 , x2 , x3 )  0, ( x1 , x2 , x3 ) 
а на границе  области  граничное условие Дирихле
(3)
u( x1 , x2 , x3 )    ( x1 , x2 , x3 )
Построим в области D множество точек Dh , задающее сеть.
Обозначим через Q множество из N узловых точек множества Dh ,
которые содержатся в области  (ограничены границей  ). Через Q
обозначим множество узловых точек множества Dh , которые являются
внутренними точками области  . Приближенное решение задачи (2)–
(3) будем отыскивать в виде
N M
u ( x1 , x2 , x3 )   ci Horp ( x1  x1i , x2  x2 i , x3  x3i ) ,
(4)
i 1
где ( x1i , x2i , x3i )  Q , i  1, 2, ..., N ; ( x1i , x2i , x3i )  Q , i  1  N , N  2, ..., N  M , что
приводит к N уравнениям, необходимым для определения N  M
коэффициентов ci . Остальные M уравнений получим из условия
приближенного
удовлетворения
граничному
условию
(3).
Характерными особенностями предлагаемого метода является, с одной
стороны, использование финитных функций (свойство локальности), а с
другой – полученные решения исходной краевой задачи являются
бесконечно дифференцируемыми, что немаловажно для решения задач
некоторых классов.
Литература
1.
Колодяжный В.М. Атомарные функции. Обобщения на случай
многих переменных и перспективные направления практических
приложений / Рвачев В.А. // Кибернетика и системный анализ. – 2007. –
43, N 6. – С. 155–177.
2.
Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Теория атомарных приближений.
Математика, кибернетика. – М.: Знание, 1978. – 62 с.
3.
Колодяжний
В.М.
Фінітні
розв′язки
функціонально–
диференціальних рівнянь з частинними похідними/ Рвачов В.О. //
Доповіді НАН України. – 2004. – № 5 – С. 17–22.
4.
Колодяжний В.М. Деякі властивості атомарних функцій багатьох
змінних/ Рвачов В.О. // Доповіді НАН України. – 2005. – № 1 – С. 12–
20.